TOP 17 chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia – Huỳnh Chí Hào

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em 17 chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia – Huỳnh Chí Hào, có đáp án chi tiết. Mời mọi người đón xem. 

24 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

200 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
1
Chuyeân ñeà 1
PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN
1.
2 2 2
( ) 2
a b a ab b
abbaba 2
2
)(
22
2.
2 2 2
( ) 2
a b a ab b
abbaba 2
2
)(
22
3.
2 2
( )( )a b a b a b
4.
3 3 2 2 3
( ) 3 3
a b a a b ab b
)(3
3
)(
33
baabbaba
5.
3 3 2 2 3
( ) 3 3
a b a a b ab b
6.
7.
8.
2
2 2 2
2 2 2a b c a b c ab ac bc
A. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
Nhắc lại:
1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng
a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức).
b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức
(khác không).
c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó.
Lưu ý:
+ Chia hai vế của phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng mất nghiệm.
+ Bình phương hai vế của phương trình đề phòng dư nghiệm.
2) Caùc böôùc giaûi moät phöông trình
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù)
Böôùc 4: Keát luaän
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2
3. Các phương pháp giải phương trình đại số thường sử dụng
a) Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình ñaõ cho veà phöông trình ñaõ bieát caùch giaûi
b) Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi phöông trình ñaõ cho veà daïng tích soá : A.B = 0; A.B.C = 0.
Ñònh lyù:
0
. 0
0
A
A B
B
;
0
. . 0 0
0
A
A B C B
C
c) Phöông phaùp 3: Ñaët aån phuï ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng ñaõ bieát caùch giaûi.
PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
I. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát:
1. Daïng : ax + b = 0 (1)
soá tham : ba,
soá aån : x
2. Giaûi vaø bieän luaän:
Ta coù : (1)
ax = -b (2)
Bieän luaän:
Neáu a
0 thì (2)
a
b
x
Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh 0.x = -b
* Neáu b
0 thì phöông trình (1) voâ nghieäm
* Neáu b = 0 thì phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
Toùm laïi :
a
0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát
a
b
x
a = 0 vaø b
0 : phöông trình (1) voâ nghieäm
a = 0 vaø b = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình:
Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = 0 (1) ta coù:
(1) coù nghieäm duy nhaát
a
0
(1) voâ nghieäm
0
0
b
a
(1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
0
0
b
a
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3
II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai:
1. Daïng:
2
0
ax bx c
(1)
soá tham : c, ba,
soá aån : x
2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình :
Xeùt hai tröôøng hôïp
Tröôøng hôïp 1: Neáu a
0
thì (1) laø phöông trình baäc nhaát : bx + c = 0
b
0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát
b
c
x
b = 0 vaø c
0 : phöông trình (1) voâ nghieäm
b = 0 vaø c = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
Tröôøng hôïp 2: Neáu a
0 thì (1) laø phöông trình baäc hai coù
Bieät soá
2
4b ac
( hoaëc
' 2 '
' vôùi b
2
b
b ac
)
Bieän luaän:
Neáu
0
thì pt (1) voâ nghieäm
Neáu
0
thì pt (1) coù nghieäm soá keùp
1 2
2
b
x x
a
(
'
1 2
b
x x
a
)
Neáu
0
thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät
1,2
2
b
x
a
(
' '
1,2
b
x
a
)
LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải phương trình:
2
2
2 3
4
1
x x
x
Bài 2: Giải phương trình:
2
4 2
6 5
2
2
x
x
x
x
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai:
Ñònh lyù : Xeùt phöông trình :
2
0
ax bx c
(1)
Pt (1) voâ nghieäm
0
0
0
c
b
a
hoaëc
0
0a
Pt (1) coù nghieäm keùp
0
0a
Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät
0
0a
Pt (1) coù hai nghieäm
0
0a
Pt (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
0
0
0
c
b
a
Ñaëc bieät
Neáu pt(1) coù heä soá a,c thoaû a.c < 0 thì pt(1) luoân coù hai nghieäm phaân bieät.
LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho phương trình
2
3 6 1 0
mx mx m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Kết quả:
1
0
4
m m
Bài 2: Cho phương trình
3 2
2
x
x m
x
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Kết quả:
1 9m m
4. Ñònh lyù VIEÙT ñoái vôùi phöông trình baäc hai:
Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai :
2
0
ax bx c
(
0a
) coù hai nghieäm x
1
, x
2
thì
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.
Ñònh lyù ñaûo : Neáu coù hai soá
,x y
maø
x y S
vaø
. Px y
)4(
2
PS thì
,x y
laø nghieäm cuûa
phöông trình
2
X S.X P 0
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
5
YÙ nghóa cuûa ñònh lyù VIEÙT:
Cho pheùp tính giaù trò caùc bieåu thöùc ñoái xöùng cuûa caùc nghieäm ( töùc laø bieåu thöùc chöùa x
1
, x
2
vaø khoâng
thay ñoåi giaù trò khi ta thay ñoåi vai troø x
1
,x
2
cho nhau .Ví duï:
2
2
2
1
21
2
2
2
1
11
xx
xx
xx
A
) maø khoâng caàn
giaûi pt tìm x
1
, x
2
, tìm hai soá khi bieát toång vaø tích cuûa chuùng ….
Chuù yù:
Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a+b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø
1 2
1 vaø x
c
x
a
Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a-b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø
1 2
1 vaø x
c
x
a
LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho phương trình
3 2
2
x
mx
x
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
0
x x
.
Kết quả:
3
2
m
Bài 2: Cho phương trình
3 2
2
x
x m
x
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
2 1
3
x x
.
Kết quả:
10m
Bài 3: Cho phương trình
2 3
2
2
x
x m
x
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
2 2
1 2
1 1
2 2
x x
.
Kết quả:
2m
5. Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai:
Döïa vaøo ñònh lyù Vieùt ta coù theå suy ra ñònh lyù sau:
Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai :
2
0
ax bx c
(1) (
0a
)
Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät
> 0
P > 0
S > 0
Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät
> 0
P > 0
S < 0
Pt (1) coù hai nghieäm traùi daáu
P < 0
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
6
II. Phöông trình truøng phöôngï:
1.Daïng :
4 2
0 ( a 0 )
ax bx c (1)
2.Caùch giaûi:
Ñaët aån phuï : x
2
= t
(
0
t
). Ta ñöôïc phöông trình:
0
2
cbtat
(2)
Giaûi pt (2) tìm t. Thay t tìm ñöôïc vaøo x
2
= t ñeå tìm x.
Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (2) maø ta suy ra ñöôïc soá nghieäm
cuûa phöông trình (1)
LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho phương trình
4 2
2 1 2 3 0
x m x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 2: Cho phương trình
4 2
3 2 3 1
x m x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 .
Kết quả:
1
1
3
0
m
m
Bài 3: Cho phương trình
4 2
3 2 3 1
x m x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
sao cho
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
4
x x x x x x x x
.
Kết quả:
1
3
m
Bài 4: Cho phương trình
4 2
2 1 2 1 0
x m x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
sao cho
1 2 3 4
x x x x
và
4 3 3 2 2 1
x x x x x x
.
Kết quả:
4
4
9
m m
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
7
III . Phöông trình baäc ba:
1. Daïng:
3 2
0
ax bx cx d
(1) (
0a
)
2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1)
Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x
0
Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân
töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá :
(1)
(x-x
0
)(Ax
2
+Bx+C) = 0
0
2
0 (2)
x x
Ax Bx C
Sô ñoà Hoocne:
Trong ñoù:
0
x
0 0
a A, x .A b B, x .B c C, .C d 0
Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù)
Chuù yù
Ta coù theå aùp duïng phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng kyû thuaät söû duïng sô ñoà HOOÙCNE, ñeå
giaûi caùc phöông trình ña thöùc baäc cao (vôùi ñieàu kieän nhaåm ñöôïc moät nghieäm cuûa ña thöùc).
Ví dụ: Giải phương trình
4 3 2
8 6 24 9 0
x x x x
LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải phương trình: a)
3 2
3 16 23 6 0
x x x
b)
3 2
3 2 4 0
x x x
Bài 2: Cho phương trình
3 2
3 2 2 0
x x m x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.
Bài 3: Cho phương trình
3 2
2 3 2 0
x m x m x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình:
3 2
3 3 1 6 6 0
x mx m x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,x x x
thỏa mãn hệ thức
2 2 2
1 2 3 1 2 3
20
x x x x x x
.
Kết quả:
2
2,
3
m m
Baøi 5: Cho phöông trình:
3 2
3 1 2
x x mx x m
(1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieäm phaân bieät
1 2 3
, ,x x x
sao cho biểu thức
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
2 3 5
T x x x x x x
đạt GTNN
a b c d
x
0
A B C
0 (soá 0)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
8
Kết quả:
11
min
3
T
khi
11
3
m
IV. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN QUY VEÀ BAÄC HAI BAÈNG PHEÙP ÑAËT AÅN PHUÏ
1.Daïng I:
4 2
0 ( a 0 )
ax bx c
Ñaët aån phuï : t = x
2
2. Daïng II.
( )( )( )( ) ( k 0 )x a x b x c x d k
trong ñoù a+b = c+d
Ñaët aån phuï : t = (x+a)(x+b)
3.Daïng III:
4 4
( ) ( ) ( k 0 )
x a x b k
Ñaët aån phuï : t =
2
a b
x
4.Daïng IV:
4 3 2
0
ax bx cx bx a
Chia hai veá phöông trình cho x
2
Ñaët aån phuï : t =
1
x
x
LUYỆN TẬP
Giaûi caùc phöông trình sau:
1.
4 2
10 9 0
x x
2.
( 1)( 2)( 3)( 4) 3x x x x
3.
2 2
( 3 4)( 6) 24
x x x x
4.
4 4
( 2) ( 3) 1
x x
5.
4 3 2
3 6 3 1 0
x x x x
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
9
B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
Nhaéc laïi:
Caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông bất phöông trình thöôøng söû duïng:
1) Chuyeån veá moät bieåu thöùc cuûa bpt töø veá naøy sang veá kia (nhôù ñoåi daáu bieåu thöùc)
2) Nhaân hoaëc chia hai veá cuûa bpt vôùi moät haèng soá hoaëc moät bieåu thöùc khaùc 0
Ghi nhớ quan trọng:
+ Âm thì đổi chiều
+ Dương thì không đổi chiều
3) Thay thế moät bieåu thöùc trong bpt bôûi moät bieåu thöùc khaùc baèng vôùi bieåu thöùc ñoù.
I. Baát phöông trình baäc nhaát:
1. Daïng :
(1) 0
bax
(hoaëc
,,
)
2. Giaûi vaø bieän luaän:
Ta coù :
(2) )1( bax
Bieän luaän:
Neáu
0
a
thì
a
b
x )2(
Neáu
0
a
thì
a
b
x )2(
Neáu
0
a
thì (2) trôû thaønh :
bx
.0
*
0
b
thì bpt voâ nghieäm
*
0
b
thì bpt nghieäm ñuùng vôùi moïi x
II. Daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát:
1. Daïng:
0)(a )(
baxxf
2. Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc:
x
a
b
ax+b Traùi daáu vôùi a 0 Cuøng daáu vôùi a
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
10
III. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai:
1. Daïng: 0)(a
2
)( cbxaxxf
2. Baûng xeùt daáu cuûa tam thöùc baäc hai:
Chú ý:
Nếu tam thức bậc hai
2
f(x) ax bx c (a 0)
có hai nghiệm
1 2
x ,x
thì tam thức luôn có thể
phân tích thành
2
1 2
f(x) ax bx c a x x x x
Moïi tam thöùc baäc hai f(x) = ax
2
+bx+c (a0) ñieàu coù theå bieåu dieån thaønh
2 2
( ) ( )
2 4
b
f x ax bx c a x
a a
3. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc:
Ñònh lyù: Cho tam thöùc baäc hai: 0)(a
2
)( cbxaxxf
0a
0
Rx 0)(xf
0a
0
Rx 0)(xf
0a
0
Rx 0)(xf
0a
0
Rx 0)(xf
x
1
x
2
x
f(x)
Cuøng daáu a 0 Traùi daáu a 0 Cuøng daáu a
acb 4
2
x
a
b
2
f(x)
Cuøng daáu a 0 Cuøng daáu a
x
f(x)
Cuøng daáu a
0
0
0
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
11
LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho
2
2 2 2 3 1
f x m x m x m
Tìm
m
để
0,f x x
.
Kết quả:
1
2
4
m
Bài 2: Cho
2
3 1 6 1 3 2 3
f x m x m x m
Tìm
m
để
0,f x x
.
Kết quả:
1m
IV. Baát phöông trình baäc hai:
1. Daïng:
0
2
cbxax
( hoaëc
,,
)
2. Caùch giaûi: Xeùt daáu tam thöùc baäc hai ôû veá traùi roài choïn nghieäm thích hôïp.
V. So saùnh moät soá
vôùi caùc nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai
cbxaxxf
2
)(
(
0
a
)
Ñònh lyù:
1
1
1
1
Tam thöùc co ùhai nghieäm x thoûa
a.f( ) 0
x
0
Tam thöùc co ùhai nghieäm x thoûa
a.f( ) 0
x
S
2
2
2
2
2
,x
x
,x
x
0
1
1
0
Tam thöùc co ùhai nghieäm x thoûa
a.f( ) 0
x
S
2
2
2
,x
x
0
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
12
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Baøi 1: Cho phöông trình:
2 1
1
x
x m
x
(1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
1 2
,x x
thỏa mãn
2
1 2
4
x x
Kết quả:
1, 7m m
Baøi 2: Cho phöông trình:
2
2 2
x
x m
x
(1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
1 2
,x x
thỏa mãn
2 2
2 2
1 1 2 2
37
2
x x m x x m
Kết quả:
5
2,
2
m m
Bài 3: Cho phương trình:
2
x 3 x 3x 6 m 0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Kết quả:
15
m
4
m 24
Bài 4: Cho phương trình:
3 2
x 2 m 1 x 7m 2 x 4 6m 0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.
Kết quả:
2
m 1
3
m 2
Bài 5: Cho phương trình:
4 2
x 2 m 1 x +2m+1 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Kết quả:
1
m
2
m 0
Bài 6: Cho phương trình:
2
x x m
x 1 (1)
x m
Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Kết quả:
m 6 4 2
m 6 4 2
Bài 7: Cho phương trình:
2 2
3x 4 m 1 x m 4m 1 0
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
x ;x
thỏa mãn điều kiện
1 2
1 2
1 1 1
x x
x x 2
Kết quả:
m 1
m 5
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
13
Bài 8: Cho phöông trình:
0
3
2
3
1
23
mxmxx
(1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieäm phaân bieät x
1
, x
2
, x
3
thoûa maõn 15
2
3
2
2
2
1
xxx
Kết quả:
(m 1 m 1)
Bài 9: Cho phương trình
2
2 1 0
x x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
. 1 4
x x m
Bài 10: Cho phương trình
1
2 1
x
kx
x
(1)
Tìm k để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
1
x x
Bài 11: Cho phương trình
2 2
2
1
x
x m
x
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
2
1 2
1
x x
Bài 12: Cho phương trình
1
2
x
x
x m
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
2
x x
Bài 13: Cho phương trình
2 4
1 1
1
x
m x
x
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
2
2
1 2 1 2
1 . 4 90
m x x x x
Bài 14: Cho phương trình
1
2 1
x
x m
x
(1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho biểu thức
2 2
1 2
1 1
(2 1) (2 1)
A
x x
đạt giá trị lớn nhất.
---------------------------------Hết------------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
14
Chuyeân ñeà 2
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I. Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån
1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån
a. Daïng :
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
(1)
Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ...
b. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän
Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc :
1221
22
11
baba
ba
ba
D
(goïi laø ñònh thöùc cuûa heä)
1221
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
(goïi laø ñònh thöùc cuûa x)
1221
22
11
caca
ca
ca
D
y
(goïi laø ñònh thöùc cuûa y)
Böôùc 2: Bieän luaän
Neáu
0
D
thì heä coù nghieäm duy nhaát
D
D
y
D
D
x
y
x
Neáu D = 0 vaø 0
x
D hoaëc
0
y
D
thì heä voâ nghieäm
Neáu D = D
x
= D
y
= 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm
Ví dụ: Giải bằng máy tính hệ:
1 0
2 2 15 0
x y
x y
Ví dụ:
3. Heä phöông trình baäc nhaát ba aån
Daïng :
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
15
Caùch giaûi: Sử dụng pheùp coäng để khử một ẩn đưa về hệ bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ: Giải bằng máy tính hệ:
20 4 8 0
50 10 10 0
40 12 4 0
x y z
x y z
x y z
II. Heä phöông trình baäc hai hai aån:
1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån:
Caùch giaûi: Giải bằng phép thế
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
2 2
2 8 0
1 2 5
x y
x y
2. Heä phöông trình ñoái xöùng :
1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I:
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau
thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi.
b.Caùch giaûi:
Böôùc 1: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi
2
4S P
ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P.
Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn
2
4S P
.
Böôùc 3: Vôùi S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình :
2
0
X SX P
( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).
Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x
0
;y
0
) laø nghieäm cuûa heä thì (y
0
;x
0
) cuõng laø nghieäm cuûa heä.
Ví dụ : Giải hệ phương trình:
3 3
2
4
xy x y
x y x y
2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II:
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau
thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä.
b. Caùch giaûi:
Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá.
Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä .
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3
2 3
x xy
y yx
Ví dụ 2:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
16
III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai:
a. Daïng :
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
b. Caùch giaûi:
Ñaët aån phuï
x
t
y
hoaëc
y
t
x
. Giaû söû ta choïn caùch ñaët
x
t
y
.
Khi ñoù ta coù theå tieán haønh caùch giaûi nhö sau:
Böôùc 1: Kieåm tra xem (x,0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ?
Böôùc 2: Vôùi y
0 ta ñaët
x
t x ty
y
. Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông
trình ta khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t .
Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x,y.
Ví dụ : Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1
3
x xy y
x xy y
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau
1. Sử dụng phép thế
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
2. Sử dụng phép cộng
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình
4 4 2 2
2 2
6 41
10
x y x y
xy x y
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
17
3. Đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: (A-2012)
Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình
2 2
4 2 0
2 8 18
xy x y
x x y y
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
Ví dụ 5:
Ví dụ 5:
4. Biến đổi về dạng tích số
Ví dụ 1: (D-2012)
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 0
4 2 4 0
x y xy x y
x y x y
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình:
2 2
2
1
3 3
x y xy
x y y
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
18
Ví dụ 5:
5. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1 :
Giải hệ phương trình:
3
3
x y 6
y x 6
Ví dụ 2:
------------------------------Hết------------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
19
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ phương trình:
2 2
2
x y 1 x y 1 3x 4x 1
xy x 1 x
Bài 2: Giải hệ phương trình:
2
2
x 1 y y x 4y (1)
x 1 y x 2 y (2)
Bài 3: Giải các hệ phương trình:
1)
2 2
2
3
4xy 4 x y 7
x y
1
2x 3
x y
Kết quả:
x 1
y 0
2)
4 2 2
2 2
x 4x y 4y 2
x y 2x 6y 23
Kết quả:
x 1 x 1
y 3 y 3
----------------------------Hết-------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
20
Chuyeân ñeà 3
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. Ñònh nghóa vaø caùc tính chaát cô baûn :
1. Ñònh nghóa:
A neáu A 0
neáu A < 0
A
A
2. Tính chaát :
2
2
0 , A A A
Lưu ý:
2
A A
II. Caùc ñònh lyù cô baûn :
a) Ñònh lyù 1 : Vôùi A
0 vaø B
0 thì A = B
A
2
= B
2
b) Ñònh lyù 2 : Vôùi A
0 vaø B
0 thì A > B
A
2
> B
2
III. Caùc phöông trình vaø baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái cô baûn & caùch giaûi :
Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI bằng định nghĩa hoặc
nâng lũy thừa.
* Daïng 1 :
22
BABA
,
BABA
* Daïng 2 :
22
0
BA
B
BA
,
BA
B
BA
0
,
BA
A
BA
A
BA
0
0
* Daïng 4:
2 2
B 0
A B
A B
,
B 0
A B
B A B
,
BA
A
BA
A
BA
0
0
* Daïng 5:
22
0
0
BA
B
B
BA
,
B 0
A B
B 0
A B A B
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
21
IV. Caùc caùch giaûi phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái thöôøng söû duïng :
* Phöông phaùp 1 :
Bieán ñoåi veà daïng cô baûn
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
xxxx 22
22
2)
334
2
xxx
3)
2
1
42
2
x
x
* Phöông phaùp 2 :
Söû duïng phöông phaùp chia khoaûng
Ví duï : Giaûi phöông trình sau :
x 1 2x 1 3
(1)
V. Caùc caùch giaûi baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái thöôøng söû duïng :
* Phöông phaùp 1 :
Bieán ñoåi veà daïng cô baûn
Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau :
65
2
xx
(1)
* Phöông phaùp 2 : Söû duïng phöông phaùp chia khoaûng
Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau :
2 2
x 2x x 4 0
(1)
-
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
22
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1:
Giải các phương trình sau:
1)
x 2 2x 1 x 3
Kết quả:
x 3 x 0
2)
2
x 1 x 1
2
x x 2
Kết quả:
x 5
3)
4 x 2 4 x x 6
Kết quả:
x 2
x 1 33
4)
2
2 2 5 1x x x
Kết quả:
3
x
2
2 113
x
4
Bài 2:
Giải các bất phương trình sau:
1)
2
x 6 x 5x 9
Kết quả:
x 1 x 3
2)
x 1 x 2 x 3
Kết quả:
3)
2
x 3
2
x 5x 6
Kết quả:
------------------------------------Hết---------------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
23
Chuyeân ñeà 4
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
CHÖÙA CAÊN THÖÙC
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. Caùc ñieàu kieän vaø tính chaát cô baûn :
*
A
coù nghóa khi A
0
*
0A
vôùi A
0
*
AA
2
&
0A neáu A-
0A neáu A
A
*
AA
2
vôùi A
0
* BABA .. khi A , B
0
* BABA .. khi A , B
0
II. Caùc ñònh lyù cô baûn : (quan trọng)
a) Ñònh lyù 1 : Vôùi A
0 vaø B
0 thì A = B
A
2
= B
2
b) Ñònh lyù 2 : Vôùi A
0 vaø B
0 thì A > B
A
2
> B
2
c) Ñònh lyù 3: Vôùi A vaø B bất kỳ thì A = B
A
2
= B
2
III. Caùc phöông trình vaø baát phöông trình caên thöùc cô baûn & caùch giaûi :
Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ CĂN THỨC bằng phép nâng lũy thừa.
* Daïng 1 :
A 0 (hoaëc B 0 )
A B
A B
* Daïng 2 :
2
B 0
A B
A B
* Daïng 3 :
2
A 0
A B B 0
A B
* Daïng 4:
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
24
IV
.
Caùc caùch giaûi phöông trình caên thöùc thöôøng söû duïng :
* Phöông phaùp 1 :
Bieán ñoåi veà daïng cô baûn
Ví duï 1 : Giaûi phöông trình sau :
02193
2
xxx
Ví duï 2 :
Ví duï 3 :
* Phöông phaùp 2 :
Ñaët ñieàu kieän (neáu coù) vaø naâng luyõ thöøa ñeå khöû caên thöùc
Ví duï : Giaûi phöông trình sau :
2x 9 4 x 3x 1
(1)
* Phöông phaùp 3 :
Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình hoaëc heä pt ñaïi soá
Phương pháp:
Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT chứa ẩn phụ. Giải PT chứa ẩn phụ. Đối chiếu với điều kiện ẩn phụ
đã nêu để tìm nghiệm thích hợp của PT này.
Bước 3: Tìm nghiệm của PT ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ.
Ví du 1ï :
Giaûi caùc phöông trình sau :
1) xxxx 33)2)(5(
2
2)
5)4)(1(41 xxxx
Ví dụ 2 :
Ví dụ 3 :
* Phöông phaùp 4 :
Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá : A.B = 0 hoaëc A.B.C = 0
Ví duï 1 : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
xx
x
x
123
23
2
2)
2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1
Ví du 2ï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
10 1 3 5 9 4 2 2
x x x x
2)
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
25
3)
2 2
x 2x 22 x x 2x 3
4)
2
9 20 2 3 10
x x x
5)
2
3
2 11 21 4 4
x x x
V.
Caùc caùch giaûi baát phöông trình caên thöùc thöôøng söû duïng :
* Phöông phaùp 1 :
Bieán ñoåi veà daïng cô baûn
Ví duï 1:
Giaûi caùc baát phöông trình sau :
1)
134
2
xxx
2)
2)4)(1( xxx
Ví du 2ï:
* Phöông phaùp 2 :
Ñaët ñieàu kieän (neáu coù) vaø naâng luyõ thöøa ñeå khöû caên thöùc
Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau :
x 11 2x 1 x 4
(1)
* Phöông phaùp 3 :
Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá (hoặc bpt căn cơ bản)
Ví duï 1: (B-2012)
Ví duï 2:
* Phöông phaùp 4 :
Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá hoaëc thöông
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :
1)
0232)3(
22
xxxx
2)
1
4
35
x
x
VI.
Hệ phöông trình có chứa caên thöùc :
Các phương pháp thường sử dụng:
1. Sử dụng phép thế
2. Sử dụng phép cộng
4. Biến đổi về dạng tích số
5. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
3 5 4 5
12 5 4 2 35
x y x y
x y x y
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
26
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2 3 4 4
2 3 4 4
x y
y x
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
6 5 7 3 2 0
1 1
x y xy x y
x x y y
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
2
4
16 2 3
x y x y x y
x y x
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau
1)
x 1 x 6 x 9
Kết quả:
x 10
2)
2 2
2x 8x 6 x 1 2 x 1
Kết quả:
x 1
3)

2 x 6 x 2 x 6 x 8
Kết quả:
x 2
4)
2 2
4 1 3
x
x x x x x x
Kết quả:
9
x 1 x
16
5)
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x
Kết quả:
x 1
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
1)
x 1 x 6 x 9
Kết quả:
9 x 10
2)
2
2 x 16
7 x
x 3
x 3 x 3
Kết quả:
x 10 34
3)
2
51 2x x
1
1 x
Kết quả:
1 52 x 5
x 1
4)
3
2 x x 1 1
Kết quả:
1 x 2 x 10
5)
2 2 2
x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18
Kết quả:
17
x
3
------------------------Hết----------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
27
Chuyeân ñeà 5:
BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
I. Soá thöïc döông, soá thöïc aâm:
Neáu x laø soá thöïc döông, ta kyù hieäu x > 0
Neáu x laø soá thöïc aâm, ta kyù hieäu x < 0
Neáu x laø soá thöïc döông hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng aâm, kyù hieäu
0
x
Neáu x laø soá thöïc aâm hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng döông, kyù hieäu
0
x
Chuù yù:
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a > 0" laø meänh ñeà "
0
a
"
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a < 0" laø meänh ñeà "
0
a
"
II. Khaùi nieäm baát ñaúng thöùc:
1. Ñònh nghóa 1: Soá thöïc a goïi laø lôùn hôn soá thöïc b, kyù hieäu a > b neáu a-b laø moät soá döông, töùc
laø a-b > 0. Khi ñoù ta cuõng kyù hieäu b < a
Ta coù:
0a b a b
Neáu a>b hoaëc a=b, ta vieát
ba
. Ta coù:
0b-a
ba
2. Ñònh nghóa 2:
Giaû söû A, B laø hai bieåu thöùc baèng soá
Meänh ñeà : " A lôùn hôn B ", kyù hieäu : A > B
" A nhoû hôn B ", kyù hieäu :A < B
" A lôùn hôn hay baèng B " kyù hieäu
A B
" A nhoû hôn hay baèng B " kyù hieäu
A B
ñöôïc goïi laø moät baát ñaúng thöùc
Quy öôùc :
Khi noùi veà moät baát ñaúng thöùc maø khoâng chæ roõ gì hôn thì ta hieåu raèng ñoù laø moät baát
ñaúng thöùc ñuùng.
Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc laø chöùng minh baát ñaúng thöùc ñoù ñuùng
III. Caùc tính chaát cô baûn cuûa baát ñaúng thöùc :
1. Tính chaát 1:
a b
a c
b c
2. Tính chaát 2:
a b a c b c
Heä quaû 1:
a b a c b c
Heä quaû 2:
a c b a b c
3. Tính chaát 3:
a b
a c b d
c d
4. Tính chaát 4:
neáu c > 0
neáu c < 0
ac bc
a b
ac bc
Heä quaû 3:
a b a b
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
28
Heä quaû 4:
neáu c > 0
neáu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c
5. Tính chaát 5:
0
0
a b
ac bd
c d
6. Tính chaát 6:
1 1
0 0a b
a b
7. Tính chaát 7:
nn
baNnba
*
,0
8. Tính chaát 8:
n
baNnba
n
*
,0
Heä quaû 5: Neáu a vaø b laø hai soá döông thì :
22
baba
Neáu a vaø b laø hai soá khoâng aâm thì :
22
baba
IV. Baát ñaúng thöùc lieân quan ñeán giaù trò tuyeät ñoái :
1. Ñònh nghóa:
neáu x 0
( x )
neáu x < 0
x
x R
x
2. Tính chaát :
2
2
0 , x , x x , -x x
x x
3. Vôùi moïi
Rba
,
ta coù :
a b a b
a b a b
. 0
a b a b a b
. 0
a b a b a b
V. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc :
Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :
a > 0, b > 0, c > 0
b c a b c
c a b c a
a b c a b
a b c A B C
VI. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn :
a. Baát ñaúng thöùc Cauchy:
Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù :
2
a b
ab
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b
Toång quaùt
:
Cho n soá khoâng aâm a
1
,a
2
,...a
n
ta coù :
1 2
1 2
...
. ...
n
n
n
a a a
a a a
n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a
1
= a
2
=...= a
n
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
29
b. Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :
Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù :
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx
Toång quaùt :
Cho hai boä soá
1 2
( , ,... )
n
a a a
vaø
1 2
( , ,..., )
n
b b b
ta coù :
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ... ) ( ... )( ... )
n n n n
a b a b a b a a a b b b
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi
1 2
1 2
...
n
n
a
a a
b b b
vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng
c) Baát ñaúng thöùc cô baûn: Cho hai soá döông a,b ta luoân coù:
1 1 1 1
( )
4
a b a b
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b
Caùc phöông phaùp cô baûn chöùng minh baát ñaúng thöùc :
Ta thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp sau
1. Phöông phaùp 1: Phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông
Bieán ñoåi töông ñöông baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán moät baát ñaúng thöùc ñaõ bieát raèng ñuùng .
Ví du1ï:
Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca
vôùi moïi soá thöïc a,b,c
2.
2 2
1
a b ab a b
vôùi moïi a,b
Ví duï 2:
Cho hai soá a,b thoûa ñieàu kieän a+b
0
, chöùng toû raèng:
3 3
3
( )
2 2
a b a b
Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu x>0 thì
16)1
21
()1(
2
2
x
x
x
2. Phöông phaùp 2: Phöông phaùp toång hôïp
Xuaát phaùt töø caùc baát ñaúng thöùc ñuùng ñaõ bieát duøng suy luaän toaùn hoïc ñeå suy ra ñieàu phaûi chöùng
minh.
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh :
2 2 2
2( )
a b c ab bc ca
Ví duï 2: Cho x, y laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn ñieàu kieän
4
5
yx
. Chöùng minh raèng:
5
4
14
xx
Ví duï 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông. Chöùng minh raèng:
zxyzxyzyx 53423
Ví duï 4: Chöùng minh raèng vôùi moïi moïi x,y döông ta coù: )(2
11
22
yx
yx
yx
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
30
Ví duï 5: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh :
0)2()2()2(
baccaacbbccbaab
Ví duï6: Cho x,y,z vaø xyz=1. Chöùng minh raèng : zyxzyx
333
Ví duï 7: Cho x, y, z > 0 vaø x+y+z=xyz. Chöùng minh raèng :
33xyx
Ví duï 8: Cho ba soá döông a, b, c . Chöùng minh raèng :
9
c
cba
b
cba
a
cba
Ví duï 9: Cho ba soá döông x,y,z thoûa maõn
1
zyx
. Chöùng minh raèng :
10
111
zyx
zyx
Ví duï 10: Cho a,b,c >0 vaø abc=1. Chöùng minh raèng :
3
b c c a a b
a b c
a b c
3.
Phöông phaùp 3: Söû duïng ñaïo haøm xeùt caùc tính chaát cuûa haøm soá
Ví duï 1: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: sinx < x vôùi moïi x > 0
Ví duï 2: Chöùng minh baát ñaúng thöùc:
2
1cos
2
x
x
vôùi moïi x > 0
Ví duï 3: Chöùng minh baát ñaúng thöùc:
xtgxx 2sin
vôùi moïi
)
2
;0(
x
Ví duï 4: Vôùi
2
0
x
, chöùng minh
1
2
3
sin2
222
x
tgxx
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Baøi 1: Cho caùc soá döông x,y,z thoûa maõn xyz=1. Chöùng minh raèng
33
1
11
33
3333
zx
xz
yz
zy
xy
yx
Khi ñaúng thöùc xaûy ra?
Baøi 2: Cho x,y,z laø caùc soá döông thoûa maõn 4
111
zyx
. Chöùng minh raèng :
1
2
1
2
1
2
1
zyxzyxzyx
Baøi 3: Vôùi a,b,c laø ba soá thöïc döông thoûa maõn ñaúng thöùc
abccabcab
, chöùng minh raèng:
3
222
222222
ca
ca
bc
bc
ab
ab
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
31
Chuyeân ñeà 6
ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH
LÖÔÏNG GIAÙC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Ñôn vò ño goùc vaø cung:
1. Ñoä:
beïtgoùc
0
1 Goùc
180
1
2. Radian: (rad)
rad
0
180
3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng:
Ñoä 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
2
II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc:
1. Ñònh nghóa:
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),(
kOyOx
t
(tia ngọn)
O
.
y
x
o
180
O
x
y
B
M
(điểm gốc)
t
O
A
(điểm ngọn)
2kAB
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
32
2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:
Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät:
AM k2
M
k
CA
k
C
k
A
2
DB,
k ,
2
2
- D
2k
2
2
B
2k
III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc:
1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:
A: ñieåm goác
x
'
Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh )
y
'
Oy : truïc sin ( truïc tung )
t
'
At : truïc tang
u
'
Bu : truïc cotang
2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc:
a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM=
.
Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x
'
Ox vaøø y
'
Oy
T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t
'
At vaø u
'
Bu
Ta ñònh nghóa:
cos
sin
tan
cot
OP
OQ
AT
BU
x
y
O
C
A
B
D
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1R
1
1
'x
'u
u
t
't
'y
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1
Q
B
T
M
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
33
b. Caùc tính chaát :
Vôùi moïi
ta coù :
1 sin 1 hay sin 1
1 cos 1 hay cos 1
tan xaùc ñinh
2
k
cot xaùc ñinh k
c. Tính tuaàn hoaøn
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
k
k
)( Zk
IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät:
Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät
- 3
-1
- 3
/3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
- 3
-1
- 3
/3
1
1
-1
-1
-
/2
5
/6
3
/4
2
/3
-
/6
-
/4
-
/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
/3
/4
/6
3
/3
3
B
/2
3
/3
1
3
O
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
34
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Goùc
Hslg
0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
2
sin
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0 0
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
2
2
2
3
-1 1
tan
0
3
3
1
3
kxñ
3
-1
3
3
0 0
cot
kxñ
3
1
3
3
0
3
3
-1
3
kxñ kxñ
V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät:
Ñoù laø caùc cung :
1. Cung ñoái nhau :
vaø -
(toång baèng 0) (Vd:
6
&
6
,…)
2. Cung buø nhau :
vaø -
( toång baèng
) (Vd:
6
5
&
6
,…)
3. Cung phuï nhau :
vaø
2
( toång baèng
2
) (Vd:
3
&
6
,…)
4. Cung hôn keùm
2
:
vaø
2
(Vd:
3
2
&
6
,…)
5. Cung hôn keùm
:
vaø
(Vd:
6
7
&
6
,…)
1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau :
sin( ) sin
tan( )
cos( ) c
tan
cot
o
( )
s
cot
cos( ) cos
t
sin( ) s
an( ) tan
cot( )
i
ot
n
c
Ñoái cos
Buø sin
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
35
3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm
2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2
tan
cos( ) sin
2
sin( )
( ) cot
2
cot(
) ta
s
2
co
2
n
5. Cung hôn keùm
:
tan(
cos( ) cos
sin( ) s
) tan
co
in
t( ) cot
VI. Coâng thöùc löôïng giaùc:
1. Caùc heä thöùc cô baûn:
2 2
cos sin 1
sin
tan =
cos
cos
cot =
sin
2
2
2
2
1
1 tan =
cos
1
1 cot =
sin
tan . cot = 1
2. Coâng thöùc coäng :
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tan +tan
tan( + ) =
1 tan .tan
tan tan
tan( ) =
1 tan .tan
Phuï cheùo
Hôn keùm
2
sin baèng cos
cos baèng tröø sin
Hôn keùm
tang , cotang
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
36
3. Coâng thöùc nhaân ñoâi:
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin
cos sin
sin 2 2sin .cos
2 tan
tan 2
1 tan
4 Coâng thöùc nhaân ba:
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
5. Coâng thöùc haï baäc:
2 2 2
1 cos 2 1 cos 2 1 cos2
cos ; sin ; tan
2 2 1 cos 2
6.Coâng thöùc tính
sin ,cos ,tg
theo
tan
2
t
2
2 2 2
2t 1 t 2t
sin ; cos ; tan
1 t 1 t 1 t
7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång :
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
2
1 cos 2
2
cos
2
1 cos2
sin
2
2sin
2
1
cossin
4
cos33cos
cos
3
4
3sinsin3
sin
3
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
37
8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích :
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc:
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
4 4
6 6
cos 4
cos sin
cos 4
c
3
os sin
4
5 3
8
B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù)
Böôùc 4: Keát luaän
I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng )
u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv u = v + k2
u = -v+k2
tanu=tanv u = v+k (
u;v )
2
cotu=cogv u = v+k (
u;v k )
k
( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø
Zk
)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
38
II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn:
1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m (
Rm
)
* Gpt : sinx = m (1)
Neáu
1
m
thì pt(1) voâ nghieäm
Neáu
1
m
thì ta ñaët m = sin
vaø ta coù
x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
* Gpt : cosx = m (2)
Neáu
1
m
thì pt(2) voâ nghieäm
Neáu
1
m
thì ta ñaët m = cos
vaø ta coù
x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
* Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm
Rm
)
Ñaët m = tan
thì
(3) tanx = tan x = +k
* Gpt: cotx = m (4) ( pt luoân coù nghieäm
Rm
)
Ñaët m = cot
thì
(4) cotx = cot x = +k
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
x
y
O
C
A
B
D
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
39
Bài tập rèn luyện
1)
2 3
cos10 2cos 4 6cos3 .cos cos 8cos .cos 3x x x x x x x
(
2x k
)
1)
3 3
2
cos3 .cos sin3 .sin
4
x x x x
(
8
x k
)
2)
3 2
2 tan cot
3 sin2
x x
x
(
6
x k
)
3)
2
tan sin
3 4cos
tan sin 2
x x x
x x
(
2
2
3
x k
)
4)
3
2
cos 2
3 sin4
cos
4
x
x
x
(
12
x k
)
5)
sin3 cos3
3cos sin
1 2sin 2
x x
x x
x
(
4
x k
)
2. Daïng 2:
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c
(
0a
)
Caùch giaûi:
Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta ñöôïc phöông trình :
2
0
at bt c
(1)
Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x
Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù)
Bài tập rèn luyện
1)
sin3 cos3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
(
2
3
x k
)
2
5 5 2
4cos sin 4sin cos sin 4x x x x x
(
,
4 8 2
k k
x x
)
3)
cos 2 3cot 2 sin4
2
cot 2 cos 2
x x x
x x
(
7
,
12 12
x k x k
)
4)
2
2sin 3 2 cos 2cos 1
1
1 sin 2
x x x
x
(
2
4
x k
)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
40
3. Daïng 3:
cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c
(Phương trình bậc nhất đối với cosx và sinx)
Caùch giaûi:
Chia hai veá cuûa phöông trình cho
2 2
a b
thì pt
2 2 2 2 2 2
(1) cos sin
a b c
x x
a b a b a b
(2)
Ñaët
2 2 2 2
b
cos vaø sin
a
a
a b b
vôùi
0;2
thì :
2 2
2 2
c
(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
b
b
Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x.
Chuù yù :
2 2 2
Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm a
b c
Bài tập rèn luyện
1)
3
3sin 4 3 cos12 1 4sin 4x x x
(
7
;
24 6 72 6
k k
x x
)
2)
4 2 4 2
3 cos 3 sin sin 4cos cos 4sinx x x x x x
(
2
2 ; 2
3
x k x k
)
3)
6 6
3 3
4 sin cos sin4 1
2
x x x
(
;
4 2 12 2
k k
x x
)
4)
1 3
8sin
sin cos
x
x x
(
;
6 12 2
k
x k x
)
5)
3
2sin cos 2sin 3 cos 2 cos 1
2 2 3
x x
x x x
(
7
;
4 12
x k x k
)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
41
d. Daïng 4:
2 2
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)
a x b x x c x
(1)
(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos)
Caùch giaûi 1:
Aùp duïng coâng thöùc haï baäc :
2 2
1 cos2 1 cos2
sin vaø cos
2 2
x x
x x
vaø coâng thöùc nhaân ñoâi :
1
sin .cos sin 2
2
x x x
thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3
Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang )
Chia hai veá cuûa pt (1) cho
2
cos x
ta ñöôïc pt:
2
tan tan 0
a x b x c
Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi.
Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem
x k
2
coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng?
Ví duï : Giaûi phöông trình:
031coscos.sin)31(sin3
22
xxxx
Nói thêm:
Phương trình dạng đẳng cấp bậc ba:
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0
a x b x x c x x d x
hoặc các đẳng cấp cao
hơn sẽ thực hiện theo cách giải 2.
d. Daïng 5:
(cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c
(1)
Caùch giaûi :
Ñaët
cos sin 2 cos( ) vôùi - 2 2
4
t x x x t
Do
2
2
t 1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x
Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình :
2
1
0
2
t
at b c
(2)
Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt:
2 cos( )
4
x t
tìm x.
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
42
Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng :
(cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c
4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng :
a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng
giaùc cô baûn ñaõ bieát
Ví duï 1: (B-2012)
Ví du 2ï: Giaûi phöông trình:
1)
0
2
3
2sincossin
44
xxx
2)
sin 3x 3 cos 3x 2 s in2x
3)
1
tan x 3
cos x
b. Phöông phaùp 2:
Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá
Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây:
A=0
. 0
B=0
A B
hoaëc
A=0
. . 0 B=0
C=0
A B C
Ví du 1ï : (A-2012)
Ví du 2 : (D-2012)
Ví du 3 : Giaûi caùc phöông trình :
a.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2
x x x
b.
3
2sin cos2 cos 0
x x x
c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï
Moät soá daáu hieäu nhaän bieát :
Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa)
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
a.
01cos2cos3cos
xxx
b. 01cos42coscos4
3
xxx
Phöông trình coù chöùa
(cos sin ) vaø sinx.cosxx x
Ví duï : Giaûi phöông trình :
3 3
3
1 sin cos sin 2x
2
x x
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
43
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
1 1 7
4 sin x
3
sin x 4
sin x
2
2)
2 sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2 cos x
3)
3 3 2 2
sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
2 2
1 sin x cos x 1 cos x sin x 1 s in2x
2)
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x
3)
2
x x
sin cos 3 cos x 2
2 2
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
6 6
2 cos x sin x sin x cos x
0
2 2 sin x
2)
x
cot x sin x 1 tan x tan 4
2
3)
cos 3x cos 2x cos x 1 0
Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
2 2
cos 3x cos 2x cos x 0
2)
1 sin x cos x s in2x+cos2x=0
3)
4 4
3
cos x sin x sin 3x cos x 0
4 4 2
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
2
cos2x 1
cot x 1 sin x s in2x
1 tan x 2
2)
2
5 sin x 2 3 1 sin x tan x
3)
2cosx 1 2 sin x cos x s in2x sin x
------------------------------------Hết----------------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
44
Chuyeân ñeà 7:
HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC
TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
I. Caùc kyù hieäu:
A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, C
a, b, c : laø ñoä daøi caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc ñænh A, B, C
h
a
, h
b
, h
c
: laø ñoä daøi caùc ñöôøng cao haï töø caùc ñænh A, B, C
m
a
, m
b
, m
c
: laø ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán keû töø A, B, C
l
a
, l
b
, l
c
: laø ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A, B, C
R : laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC
r : laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC
p =
2
1
(a+b+c) : laø nöõa chu vi tam giaùc ABC
S : laø dieän tích tam giaùc ABC
c
a
b
m
a
l
a
h
a
H D
M
B
A
C
II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng :
Trong tam giaùc vuoâng ABC . Goïi b
'
, c
'
laø ñoä daøi caùc hình chieáu caùc caïnh goùc vuoâng leân caïnh huyeàn ta coù caùc
heä thöùc:
gBbtgCbc
gCctgBcb
BaCac
CaBab
cbha
cbh
cbh
cba
cabab
cot..
cot..
.7
cos.sin.
cos.sin.
.6...5
111
.4
..3
.2
...1
222
''2
222
''2
c &
2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
45
c b
a
h
c'
b'
H
A
B
C
II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc thöôøng
1. Ñònh lyù haøm soá COÂSIN:
Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :
Cabbac
Bcaacb
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
c
b
a
A
B
C
Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, bình phöông moãi caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh kia tröø ñi hai
laàn tích hai caïnh aáy vôùi coâsin cuûa goùc xen giöõa chuùng.
Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :
bc
acb
A
2
cos
222
,
ac
bca
B
2
cos
222
,
ab
cba
C
2
cos
222
2. Ñònh lyù haøm soá SIN:
Trong tam giaùc ABC ta coù :
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
Heä quaû: Vôùi moïi tam giaùc ABC, ta coù:
CRcBRbARa sin2,sin2,sin2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
46
c
a
b
O
A
B
C
Ghi nhôù:
Trong moät tam giaùc, tyû soá giöõa moät caïnh cuûa tam giaùc vaø sin cuûa goùc ñoái dieän vôùi caïnh ñoù baèng ñöôøng kính
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.
3. Ñònh lyù veà ñöôøng trung tuyeán:
Trong tam giaùc ABC ta coù :
42
42
42
222
2
222
2
222
2
cba
m
bca
m
acb
m
c
b
a
4. Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc:
Dieän tích tam giaùc ABC ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc sau:
a b c
1 1 1
1. S ah bh ch
2 2 2
1 1 1
2. S absinC acsinB bcsin A
2 2 2
abc
3. S
4R
4. S pr
5. S p(p a)(p b)(p c)
c
a
b
m
a
M
B
A
C
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
47
c
a
b
h
a
H
B
A
C
5. Ñònh lyù veà ñöôøng phaân giaùc:
ba
C
ab
l
ca
B
ac
l
cb
A
bc
l
cba
2
cos2
;
2
cos.2
;
2
cos.2
CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN
Daïng 1: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC
Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A=B ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau
Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi veá naøy thaønh veá kia
Phöông phaùp 2: Xuaát phaùt töø moät moät heä thöùc ñuùng ñaõ bieát ñeå suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh
VÍ DUÏ MINH HOÏA:
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau:
a)
A B C
sin A sinB sinC 4.cos .cos .cos
2 2 2
b)
2 2 2
sin A sin B sin C 2 2cosA.cosB.cosC
Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau:
a)
tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC
(
ABC khoâng vuoâng)
b)
A B B C C A
tg .tg tg .tg tg .tg 1
2 2 2 2 2 2
Daïng 2: CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC
I. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc :
Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :
a > 0, b > 0, c > 0
b c a b c
c a b c a
a b c a b
a b c A B C
II. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn :
1. Baát ñaúng thöùc Cauchy:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
48
Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù :
2
a b
ab
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b
Toång quaùt
:
Cho n soá khoâng aâm a
1
,a
2
,...a
n
ta coù :
1 2
1 2
...
. ...
n
n
n
a a a
a a a
n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a
1
= a
2
=...= a
n
2 . Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :
Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù :
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx
Toång quaùt :
Cho hai boä soá
1 2
( , ,... )
n
a a a
vaø
1 2
( , ,..., )
n
b b b
ta coù :
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ... ) ( ... )( ... )
n n n n
a b a b a b a a a b b b
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi
1 2
1 2
...
n
n
a
a a
b b b
vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng
3) Baát ñaúng thöùc cô baûn:
a) Cho hai soá döông x, y ta luoân coù:
1 1 1 1
( )
4
x y x y
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y
b) Vôùi moïi soá thöïc x, y ta luoân coù:
xyyx 2
22
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y
III. Baát ñaúng thöùc JENSEN :
1) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) < 0 );( bax
(f laø haøm loài) thì
Vôùi moïi );(,...,,
21
baxxx
n
ta coù:
)
...
(
)(...)()(
2121
n
xxx
f
n
xfxfxf
nn
)2(
n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi
n
xxx ...
21
2) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) > 0
);( bax
(f laø haøm loõm) thì
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
49
Vôùi moïi );(,...,,
21
baxxx
n
ta coù:
)
...
(
)(...)()(
2121
n
xxx
f
n
xfxfxf
nn
)2(
n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi
n
xxx ...
21
Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A
B (>,
,
) ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông
phaùp sau:
Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng
Phöông phaùp 2: Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ si, BCS,...) ñeå suy ra baát ñaúng thöùc caàn chöùng
minh
VÍ DUÏ MINH HOÏA:
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:
8
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
CBA
Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:
a)
2
33
2
cos
2
cos
2
cos
CBA
b)
2
33
sinsinsin CBA
c)
3
222
C
tg
B
tg
A
tg
Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:
a)
8
33
2
cos.
2
cos.
2
cos
CBA
b)
33 tgCtgBtgA
c)
33
1
2
.
2
.
2
C
tg
B
tg
A
tg
Daïng 3: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC
KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 1:
bieät....ñaëc goùc coù giaùc tamlaø
ñeàu giaùc tamlaø
caân giaùc tamlaø
caân vuoâng giaùc tamlaø
vuoâng giaùc tamlaø
ABC
tröôùc" cho kieänÑieàu"
maõn thoûa ABC giaùc tam Cho
THÌ
KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 2:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
50
bieät....ñaëc goùc coù giaùc tamlaø
ñeàu giaùc tamlaø
caân giaùc tamlaø
caân vuoâng giaùc tamlaø
vuoâng giaùc tamlaø
ABC
tröôùc" cho kieänÑieàu"
maõn thoûa ABC giaùc tam Cho
VAØ ÑUÛ CAÀN
"Ñieàu kieän cho tröôùc" coù theå laø:
Ñaúng thöùc löôïng giaùc veà goùc
Ñaúng thöùc löôïng giaùc + ñoä daøi (caïnh, trung tuyeán, phaân giaùc,...)
Ñaúng thöùc ñoä daøi
Heä ñaúng thöùc
1) Nhaän daïng tam giaùc vuoâng
Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho
tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc
2) Nhaän daïng tam giaùc caân
Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho
tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc
3) Nhaän daïng tam giaùc ñeàu
Ngoaøi phöông phaùp ñaõ neâu treân ta coù theå giaûi quyeát baøi toaùn theo caùch sau
Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc: Goàm 2 böôùc (aùp duïng khi "Ñieàu kieän cho tröôùc" coù daïng
ñaúng thöùc A = B
Böôùc 1: CM baát ñaúng thöùc
BA
hoaëc
BA
(1)
Böôùc 2: Laäp luaän ñeå ñaúng thöùc ôû (1) xaõy ra maø khi ñaúng thöùc (1) xaûy ra thì tam giaùc ABC ñeàu
VÍ DUÏ MINH HOÏA:
Ví duï 1: Tam giaùc ABC coù
tgA
AB
BA
cossin
cossin
. Chöùng minh raèng
ABC vuoâng
Ví duï 2: Chöùng minh raèng neáu
ABC
thoûa maõn ñieàu kieän
012cos2cos2cos
CBA
thì tam
giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng
Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc caân
1)
C
tgA tgB 2.cot g
2
2)
sin A sinB sinC A C
cot g .cot g
sinA sinB sinC 2 2
Ví duï 4: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc ñeàu
1)
1
cosA.cosB.cosC
8
2)
A B C
cos cos cos
2 2 2
3
1 cosA 1 cosB 1 cosC
3)
A B C
cosA cosB cosC sin sin sin
2 2 2
4)
1 1 1 1 1 1
A B C
cosA cosB cosC
sin sin sin
2 2 2
Ví duï 5: Xaùc ñònh daïng cuûa tam giaùc ABC bieát:
1)
C
a b tg (a.tgA b.tgB)
2
2)
b c a
cosB cosC sin B.sinC
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
51
3)
b c
cosB cosC
a
4)
a.cosA b.cosB c.cosC 1
a b c 2
Ví duï 6: Haõy tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC neáu trong tam giaùc ñoù ta coù :
2 2 2 2
9
sin A sin B sin C 3cosC cos C
4
Ví duï 7: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát raèng
8
332
2
sin
2
sin
2
sin
)(4
CBA
bcapp
trong ñoù BC = a, AB = c,
2
cba
p
--------------------------------Heát---------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
169
Chuyeân ñeà 8:
HAØM SOÁ MUÕ - HAØM SOÁ LOÂGARÍT
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
COÙ CHÖÙA MUÕ VAØ LOGARÍT
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ MUÕ
1. Caùc ñònh nghóa:
n
n thöøa soá
a a.a...a
(n Z ,n 1,a R)
1
a a
a
0
a 1
a 0
n
n
1
a
a
(n Z ,n 1,a R/ 0 )
m
n
m
n
a a
(
a 0;m,n N
)
m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a
2. Caùc tính chaát :
m n m n
a .a a
m
m n
n
a
a
a
m n n m m.n
(a ) (a ) a
n n n
(a.b) a .b
n
n
n
a a
( )
b
b
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
170
3. Haøm soá muõ: Daïng :
x
y a
( a > 0 , a
1 )
Taäp xaùc ñònh :
D R
Taäp giaù trò :
T R
(
x
a 0 x R
)
Tính ñôn ñieäu:
* a > 1 :
x
y a
ñoàng bieán treân
R
* 0 < a < 1 :
x
y a
nghòch bieán treân
R
Ñoà thò haøm soá muõ :
Minh hoïa:
Đạo hàm của hàm số mũ:
'
x x
e e
' .ln
x x
a a a
' . '
u u
e e u
(với u là một hàm số)
' . ln . '
u u
a a a u
(với u là một hàm số)
a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1
f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=2
x
y=
x
2
1
1
x
y
y
x
1
O
O
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
171
II. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ LOÂGARÍT
1. Ñònh nghóa: Vôùi a > 0 , a
1 vaø N > 0
dn
M
a
log N M a N
Ñieàu kieän coù nghóa: N
a
log coù nghóa khi
0
1
0
N
a
a
2. Caùc tính chaát :
a
log 1 0
a
log a 1
M
a
log a M
log N
a
a N
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N
1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
a a
log N .log N
Ñaëc bieät :
2
a a
log N 2.log N
3. Coâng thöùc ñoåi cô soá :
a a b
log N log b.log N
a
b
a
log N
log N
log b
* Heä quaû:
a
b
1
log b
log a
vaø
k a
a
1
log N log N
k
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
172
4. Haøm soá logarít: Daïng
a
y log x
( a > 0 , a
1 )
Taäp xaùc ñònh :
D R
Taäp giaù trò
T R
Tính ñôn ñieäu:
* a > 1 :
a
y log x
ñoàng bieán treân
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x
nghòch bieán treân
R
Ñoà thò cuûa haøm soá loâgarít:
Minh hoïa:
Đạo hàm của hàm số lôgarit:
1
ln '
x
x
và
1
ln '
x
x
'
ln '
u
u
u
và
'
ln '
u
u
u
(với u là một hàm số)
1
log '
ln
a
x
x a
và
1
log '
ln
a
x
x a
'
log '
.ln
a
u
u
u a
và
'
log '
.ln
a
u
u
u a
(với u là một hàm số)
0<a<1
y=log
a
x
1
x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=log
2
x
x
y
x
y
f(x)=ln(x )/ln( 2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1
log
1
O
1
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
173
5. CAÙC ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN:
1. Ñònh lyù 1: Vôùi 0 < a
1 thì : a
M
= a
N
M = N
2. Ñònh lyù 2: Vôùi 0 < a <1 thì : a
M
< a
N
M > N (nghòch bieán)
3. Ñònh lyù 3: Vôùi a > 1 thì : a
M
< a
N
M < N (ñoàng bieán )
4. Ñònh lyù 4: Vôùi 0 < a
1 vaø M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N
M = N
5. Ñònh lyù 5: Vôùi 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
M >N (nghòch bieán)
6. Ñònh lyù 6: Vôùi a > 1 thì : log
a
M < log
a
N
M < N (ñoàng bieán)
III. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:
Dạng cơ bản:
x
a m
(1)
m 0
: phương trình (1) vô nghiệm
m 0
:
x
a
a m x log m
1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng : a
M
= a
N
(Phương pháp đưa về cùng cơ số)
Ví du 1 : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
x 1 2x 1
9 27
2)
2
x 3x 2
2 4
3)
x x 2 x 1 x 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
Ví du 2ï : Giaûi caùc phöông trình sau
1)
x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
2)
x 5 x 17
x 7 x 3
32 0,25.128
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0
3)
x x x
5.2 7. 10 2.5
4)
x x
( 2 3 ) ( 2 3 ) 4
5)
x x
5 2 6 5 2 6 10
6) 322
2
2
2
xxxx
7)
027.21812.48.3
xxxx
8)
07.714.92.2
22
xxx
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
174
9)
2 2
x x 2 x 1 x 2
4 5.2 6 0
10)
3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0
Baøi taäp reøn luyeän:
1)
4)32()32(
xx
(
1
x
)
2)
xxx
27.2188
(x=0)
3)
13
250125
xxx
(x=0)
4)
12
21025
xxx
(x=0)
5)
x x
( 3 8 ) ( 3 8 ) 6
(
)2
x
6)
xxx
8.21227
(x=0)
3 Phöông phaùp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,..
Ví duï : Giaûi phöông trình sau :
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
2)
0422.42
2
22
xxxxx
3)
2x 1 x 1 x
5 7 175 35 0
4)
x 3 6 x 3 4
2 x 1 2 x 1
x .2 2 x .2 2
5)
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1
4. Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó
(Phương pháp lôgarít hóa)
Ví dụ : Giải phương trình
1)
2
x 1 x x 2
3 .2 8.4
2)
1
5 .8 500
x
x
x
5. Phöông phaùp 5: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh
nghieäm duy nhaát (thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm)
* Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát sau:
Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù
khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x
0
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C)
Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong
khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) .
( do ñoù neáu toàn taïi x
0
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông
trình f(x) = g(x))
Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x
2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)
x
1
( ) 2x 1
3
4)
3 x 2
2 x 8x 14
5)
x 2 x 2
3.25 3x 10 .5 3 x 0
Baøi taäp reøn luyeän:
1)
163.32.2
xxx
(x=2) 2)
x
x
32
(x=1)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
175
IV. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:
Dạng cơ bản:
a
log x m
(1)
m
:
m
a
log x m x a
1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng :
a a
log M log N
(ñoàng cô soá)
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
2
2 1
2
1
log log (x x 1)
x
2)
2
log x(x 1) 1
3)
2 2
log x log (x 1) 1
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
x
log (x 6) 3
2)
x x 1
2 1
2
log (4 4) x log (2 3)
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx
(
141;11 xx
)
4)
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
x 3; x 3 2 3
5)
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
x 2; x 1 33
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá.
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
2
2 2
6 4
3
log 2x log x
2)
051loglog
2
3
2
3
xx
3)
4 2 2 4
log log x log log x 2
4)
x 3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
5)
2
x 25
log 125x .log x 1
6)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
7)
2
5x 5
5
log log x 1
x
8)
3
log 9 x 2 3
x 2 9 x 2
3 Phöông phaùp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,..
Ví duï : Giaûi phöông trình sau :
log x 2.log x 2 log x.log x
7 7
2 2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
176
4. Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát.
(thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm)
* Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát sau:
Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù
khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x
0
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C)
Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong
khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) .
( do ñoù neáu toàn taïi x
0
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông
trình f(x) = g(x))
Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
2
2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4
2)
6
log x
2 6
log x 3 log x
3)
2 3
log 1 x log x
V. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:
1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : a
M
< a
N
(
, ,
)
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :
3 6x
4x 11
2
x 6x 8
1) 2 1
1
2) 2
2
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )
3
2)
2
x 1
x 2x
1
2
2
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá.
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :
x x
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0
2)
x 3 x
2 2 9
3)
2x 4 x 2x 2
3 45.6 9.2 0
4)
2 1
1
x x
1 1
( ) 3.( ) 12
3 3
5)
52428
11
xxx
(
)20
x
6)
11
21212.15
xxx
(
2
x
)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
177
VI. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:
1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn :
a a
log M log N
(
, ,
)
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :
1)
2
2 2
log (x x 2) log (x 3)
2)
2
0,5 0,5
log (4x 11) log (x 6x 8)
3)
2
1 3
3
log (x 6x 5) 2 log (2 x) 0
4)
1 1 2
2 4
log x 2 log x 1 log 6 0
5)
1 3
2
x 1
log log 0
x 1
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2
2)
2 3
3
log log x 3 1
3)
2
3x x
log (3 x) 1
4)
x
9
x
log (log (3 9)) 1
5)
x
x 3
log log 9 72 1
6)
)12(log12log4)1444(log
2
555
xx
7)
x 2x 1 x
1 1
4 2
log 4 4 log 2 3.2
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá
Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau :
1)
2
2 2
log x log x 2 0
2)
log x 4
2
x 32
3)
2
log x log x
6 6
6 x 12
4)
2
3
1 4
2
log x log x 2 0
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
x
x
2
3 2
log (3 2) 2.log 2 3 0
2)
2
2x
x
log 64 log 16 3
3) 2
3log
3)(log
2
2
2
x
x
(
2
1
8
1
x
)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
178
VII. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH:
Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình
1)
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3
6)
4)(log)(log
)
3
1
()3(
22
2
yxyx
yxyx
2)
25
1
1
log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
7)
y
3
3 4 x
( x 1 1)3
x
y log x 1
3)
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
8)
2)(log
11522.3
5
yx
yx
4)
3
644.2
yx
yx
9)
x 4 y 3 0
log x log y 0
4 2
5)
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
179
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
DAÏNG 1: Caùc baøi toaùn giaûi phöông trình vaø baát phöông trình
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình
1)
1
2
12
2
1
2.62
)1(3
3
xx
xx
(x=1)
2) )4(log4log2)1(log
3
8
2
2
4
xxx (
622;2 xx
)
3) )2(loglog
37
xx (x=49)
4) )2(loglog
75
xx (x=5)
5)
072.32.5
35
13
x
x
(x=1)
6)
3
28
12
2
1
log4log232log
x
x
(
2
5
x
)
7)
x
xx
x
1
3
2
2
log
3
2
log
(x=1,x=2,x=4)
8)
05
8
log3
2
2
log
2
x
x
x
x
(
2,
2
1
xx
)
9)
xxxx 26log)1(log
2
2
2
(
2,
4
1
xx
)
10)
x
x
x
4
4
log
2
)10(log.2log21
(x=2,x=8)
Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình
1) 09.93.83
442
xxxx
(x>5)
2) 23.79
12
2
2
2
xxxxxx
(
20
4
1
xx
)
3)
xxx
112
2
1
2
1
36
(
1101
xxx
)
4)
0128
8
1
4
1
13
xx
(
3
4
x
)
5)
)1(log1)21(log
5
5
xx
(
2
1
5
2
x
)
6) xx
22
loglog2 (
2
4
1
x
)
7)
1)93(loglog
9
x
x
( 10log
3
x )
8)
)13(log
1
)3(log
1
2
2
4
x
xx
(
1
3
2
x
)
9)
0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
x
xx
(-2 < x <-1)
Baøi 3 : Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
180
1.
2
1
2
3 2
log
2
x x
y
x
2.
3 8
0,3
2
log ( 1)
2
2 8
x x
x
y
x x
DAÏNG 2: Söû duïng coâng cuï ñaïi soá giaûi caùc baøi toaùn coù chöùa tham soá
Baøi 1: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù nghieäm: 0)12.(44
xx
m (
10
mm
)
Baøi 2: Cho phöông trình: 022.4
1
mm
xx
Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät
21
xx
sao cho
3
21
xx
(m=4)
Baøi 3: Tìm m ñeå phöông trình sau coù hai nghieäm traùi daáu: 014)12(16).3( mmm
xx
(
4
3
1 m
)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
181
BÀI TẬP RÈN LUYỆN (GIẢI MẪU)
Bài 1: Giải phương trình:
1 1 1
2 2 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 (1)
Bài giải:
Điều kiện:
x 1 0 x 1
x 1 0 x 1 1 x 7
7 x 0 x 7
Khi đó:
1 1 1
2 2 2
2
2
1 1
2 2
2
2
2 2
2
1 log x 1 log x 1 log 7 x 1
1
log x 1 log 7 x
2
1
x 1 7 x
2
2x 1 49 14x x
x 14x 50 0
x 3
x 17
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x 3
Bài 2: Giải phương trình:
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x +log x 6 (1)
2
Bài giải:
Điều kiện:
x 2 0 x 2
6 x 4
4 x 0 x 4
x 2
x 6 0 x 6
Khi đó:

1 1 1
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1
4 4
2
2
1 3 log x 2 3 3 log 4 x 3 log x 6
log x 2 1 log 4 x log x 6
log 4 x 2 log 4 x x 6
4 x 2 4 x x 6
x 2 x 8
4 x 2 4 x x 6 x 6x 16 0
4 x 2 4 x x 6
x 1 33
x 2x 32 0
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x 2 x 1 33
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
182
Bài 3: Giải phương trình:
2
1
2 4
2
log x 2 log x 5 log 8 0 (1)
Bài giải:
Điều kiện:
x 2 0
x 2
x 5
x 5 0
Khi đó:
2 2 2
2 2
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8
log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x 5
x 5
x 5
x 3 x 6
x 2 x 5 8 x 3x 18 0
2 x 5
2 x 5 2 x 5
3 17
x 2 5 x 8
x 3x 2 0
x
2
x 6
3 17
x
2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là
x 6
3 17
x
2
Bài 4: Giải phương trình:
1
2 2
2
log x 2 log x 5 log 8 0
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
x 2 0
x 2
x 5
x 5 0
Khi đó:
2 2
2
2
1 log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x 3 x 6
x 2 x 5 8 x 3x 18 0
3 17
x 2 x 5 8
x 3x 2 0
x
2
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x 3 x 6
3 17
x
2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
183
Bài 5: Giải phương trình:
4 2
2x 1
1 1
log x 1 log x 2
log 4 2
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
x 1
x 1 0
1
2x 1 0
x
2
x 1
2x 1 1
x 0
x 2 0
x 2
Khi đó:
2 2 2
2 2
2
1 1 1 1
1 log x 1 log 2x 1 log x 2
2 2 2 2
log x 1 2x 1 log 2 x 2
x 1 2x 1 2 x 2
x 1
2x 3x 5 0
5
x
2
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
5
x
2
Bài 6: Giải phương trình:
2
2 2 2
log 2x log 6 log 4x
4 x 2.3
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
x 0
Khi đó:
2
2
2 2 2 2 2
2 1 log x
log 2x log 6 log 4x 1 log x log 6
4 x 2.3 4 x 2.3
Đặt
t
2
t log x x 2
, phương trình (2) trở thành:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
184
2
2
t
log 6
2 1 t1 t t t log 6 t
2
t t
t t t
2
t t
4 2 2.3 4.4 2 18.9
3 3
4.4 6 18.9 4 18
2 2
3 3
18 4 0
2 2
t
t
3 4
2 9
t 2
3 1
(loai)
2 2
Với
t 2
ta được nghiệm của phương trình (1) là :
1
x
4
Bài 7: Giải phương trình:
3 9x
3
4
2 log x .log 3 1
1 log x
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
3
x 0
x 0
1
9x 1 x
9
log x 1
x 3
Khi đó:
3 3
3 3 3 3
2 log x 4 2 log x 4
1 1 1 (2)
log 9x 1 log x 2 log x 1 log x
Đặt
3
t log x (t 2;t 1)
, phương trình (2) trở thành:
2
t 1
2 t 4
1 t 3t 4 0
t 4
2 t 1 t
Với
t 1
ta được pt :
3
1
log x 1 x
3
Với
t 4
ta được pt :
3
log x 4 x 81
So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là
1
x ; x 81
3
Bài 8: Giải phương trình:
x x+1
3 3
log 3 - 1 .log 3 - 3 = 6
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
x x
3 1 0 3 1 x 0
Khi đó:
x x
3 3
1 log 3 - 1 . 1 log 3 1 6
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
185
Đặt:
x
3
t log 3 1
, pt trở thành:
2
t 2
t t 1 6 t t 6 0
t 3
Với
t 3
:
x x x
3 3
1 28 28
log 3 1 3 3 1 3 x log
27 27 27
Với
t 2
:
x x x
3 3
log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10
Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện.
Vậy pt(1) có hai nghiệm là
3 3
28
x log ; x log 10
27
Bài 9: Giải phương trình:
x 7
log 7x .log x 1
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
x 0
x 1
Khi đó:
x 7 7
7
1 1 1
1 log 7x .log x 1 1 .log x 1
2 2 log x
Đặt
7
t log x
, pt trở thành:
2
2
t 0
t 0
1 1
1 .t 1 t 1
1 1
t t 2 0
2 t
1 .t 1
2 t
Với
t 1
:
7
log x 1 x 7
(thỏa điều kiện)
Vậy pt(1) có nghiệm là
x 7
Bài 10: Giải phương trình:
2
2
2x 1 x 1
log 2x x 1 log 2x 1 4
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
2
1
x 1 x
2
2x x 1 0
1
x
2x 1 0
1
2
x
2
2x 1 1 x 1
x 1
x 1 0 x 1
x 0
x 1 1
Khi đó:
2x 1 x 1
2x 1
2x 1
1 log 2x 1 x 1 2 log 2x 1 4
1
1 log x 1 2 4
log x 1
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
186
Đặt
2x 1
t log x 1
, pt trở thành:
2
t 1
2
t 3 t 3t 2 0
t 2
t
Với
t 1
:
2x 1
log x 1 1 x 1 2x 1 x 2
(thỏa điều kiện)
Với
t 2
:
2
2
2x 1
x 0 (loai)
log x 1 2 x 1 2x 1 4x 5x 0
5
x
4
Vậy pt(1) có tập nghiệm là
5
S 2;
4
Bài 11: Giải bất phương trình:
2
1
2
x 3x 2
log 0
x
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
2
0 x 1
x 3x 2
0
x 2
x
Khi đó:
2
1 1
2 2
2
2
x 3x 2
1 log log 1
x
x 3x 2
1
x
x 4x 2
0
x
x 0
2 2 x 2 2
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
2 2 x 1
2 x 2 2
Bài 12: Giải bất phương trình:
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
2 2
2 2
2 2
6
x x x x
0 0
4 x 2
x x x 4
x 4 x 4
1 0
x 2
x 4 x 4
x x x x
log 0 1
x 4 x 4
Khi đó:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
187
2 2
0,7 6 0,7 6
2 2
6 6
2
x x x x
1 log log log 1 log 1
x 4 x 4
x x x x
log log 6 6
x 4 x 4
4 x 3
x 5x 24
0
x 8
x 4
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
4 x 3
x 8
Bài 13: Giải bất phương trình:
1
3
3
2 log 4x 3 log 2x 3 2
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
3
x
4x 3 0
3
4
x
2x 3 0 3
4
x
2
Khi đó:
2
3 3
2
3 3
2
2
1 log 4x 3 2 log 2x 3
log 4x 3 log 9 2x 3
4x 3 9 2x 3
16x 42x 18 0
3
x 3
8
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
3
x 3
4
Bài 14: Giải bất phương trình:
2
2
2x x
x 2x
1
9 2 3
3
(1)
Bài giải:
Ta có:
2
2 2 2
2x x
x 2x x 2x x 2x
1
9 2 3 9 2.3 3 0
3
Đặt
2
x 2x
t 3 (t 0)
, bpt trở thành:
2
t 2t 3 0 1 t 3
Do
t 0
nên ta chỉ nhận
0 t 3
Với
0 t 3
:
2
x 2x 2 2
0 3 3 x 2x 1 x 2x 1 0 1 2 x 1 2
Vậy bpt(1) có tập nghiệm là
S 1 2;1 2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
188
Bài 15: Giải bất phương trình:
x x 2
5 5 5
log 4 144 4 log 2 1 log 2 1
(1)
Bài giải:
Ta có:
x x 2
5 2 5
x x 2
5 5
x x 2
x x
x
1 log 4 144 log 16 log 5 2 1
log 4 144 log 80 2 1
4 144 80 2 1
4 20.2 64 0
4 2 16 2 x 4
Vậy bpt(1) có tập nghiệm là
S 2;4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải bất phương trình:
1
2
3
2x 3
log log 0
x 1
Bài 2: Giải phương trình:
x
3
1 6
3 log 9x
log x x
Bài 3: Giải phương trình:
1
2
2
2 log 2x 2 log 9x 1 1
Bài 4: Giải bất phương trình:
2x 1 2x 1 x
3 2 5.6 0
Bài 5: Giải bất phương trình:
2 2
2x 4x 2 2x x 1
2 16.2 2 0
------------------------------Heát----------------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
52
Chuyeân ñeà 9:
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I.KHAÙI NIEÄM VEÀ GIAI THÖØA:
1.Ñònh nghóa: Vôùi n
N vaø n > 1
Tích cuûa n soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 ñeán n
ñöôïc goïi laø n - giai thöøa. Kyù hieäu : n!
Ta coù :
n! = 1.2...n (1)
* Quy öôùc : 0! = 1 vaø 1! = 1
2. Moät soá coâng thöùc:
* n! = (n - 1)!.n *
n!
k!
= (k+1)(k+2)...n (n
k) *
n!
(n k 1)(n k 2)...n
(n k)!
II. CAÙC QUY TAÉC CÔ BAÛN VEÀ PHEÙP ÑEÁM:
1. QUY TAÉC COÄNG:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
53
ĐỊNH NGHĨA (SGK NC)
TỔNG QUÁT
ĐỊNH NGHĨA (SGK CB)
2. QUY TAÉC NHAÂN:
Ví duï: An muoán ruû Bình ñeán chôi nhaø Cöôøng. Töø nhaø An ñeán nhaø Bình coù 4 con ñöôøng. Töø nhaø Bình
ñeán
nhaø Cöôøng coù 6 con ñöôøng ñi. Hoûi An coù bao nhieâu caùch ñi ñeán nhaø Cöôøng
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
54
ĐỊNH NGHĨA (SGK NC)
TỔNG QUÁT
ĐỊNH NGHĨA (SGK CB)
III. HOAÙN VÒ:
Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau.
1.Ñònh nghóa :
Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n
1).
Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû cuûa taäp hôïp A
ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù
ĐỊNH NGHĨA (SGK NC)
ĐỊNH NGHĨA (SGK CB)
n phaàn töû
Hoaùn vò
Nhoùm coù thöù töï
Ñuû maët n phaàn töû
cuûa A
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
55
2.Ñònh lyù :
Kyù hieän soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø P
n
, ta coù coâng thöùc:
n
P n!
(2)
IV.CHÆNH HÔÏP:
Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 2 chöõ soá khaùc nhau.
1.Ñònh nghóa:
Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû . Moãi boä goàm k (
)1 nk
phaàn töû saép thöù töï cuûa taäp hôïp A
ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû cuûa A.
ĐỊNH NGHĨA (SGK NC)
ĐỊNH NGHĨA (SGK CB)
2.Ñònh lyù:
Kyù hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø
k
n
A
, ta coù coâng thöùc:
n phaàn töû
Chænh hôïp
Nhoùm coù thöù töï
Goàm k phaàn töû
ñöôïc laáy töø n
phaàn töû cuûa A
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
56
k
n
n!
A
(n k)!
(3)
V. TOÅ HÔÏP:
Ví duï: Cho taäp hôïp A=
3,2,1
.Vieát taát caû caùc taäp con cuûa A goàm 2 phaàn töû
1.Ñònh nghóa:
Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû .Moãi taäp con cuûa goàm k phaàn töû (
1 k n
) cuûa A
ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho.
ĐỊNH NGHĨA (SGK NC)
ĐỊNH NGHĨA (SGK CB)
2. Ñònh lyù :
Kyù hieäu soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø
k
n
C
, ta coù coâng thöùc:
k
n
n!
C
k!(n k)!
(4)
n phaàn töû
Toå hôïp
Nhoùm khoâng coù
thöù töï
Goàm k phaàn töû
ñöôïc laáy töø n
phaàn töû cuûa A
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
57
LÖU YÙ QUAN TROÏNG:
Caùc baøi toaùn veà giaûi tích toå hôïp thöôøng laø nhöõng baøi toùan veà nhöõng haønh ñoäng nhö :
laäp caùc soá töø caùc soá ñaõ cho ,saép xeáp moät soá ngöôøi hay ñoà vaät vaøo nhöõng vò trí nhaát ñònh ,
laäp caùc nhoùm ngöôøi hay ñoà vaät thoûa maõn moät soá ñieàu kieän ñaõ cho v.v...
1. Neáu nhöõng haønh ñoäng naøy goàm nhieàu giai ñoïan thì caàn tìm soá caùch choïn cho moãi
giai ñoïan roài aùp duïng quy taéc nhaân.
2. Nhöõng baøi toaùn maø keát quaû thay ñoåi neáu ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû ,
thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn lieân quan ñeán hoaùn vò vaø chænh hôïp.
3. Ñoái vôùi nhöõng baøi toaùn maø keát quaû ñöôïc giöõ nguyeân khi ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû
thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn veà toå hôïp.
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
58
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
I. CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ PHEÙP ÑEÁM:
Baøi 1:Töø 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün , moåi soá goàm 5
chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi. KQ: 1260
Baøi 2: Moät toå goàm 8 nam vaø 6 nöõ . Caàn laáy moät nhoùm 5 ngöôøi trong ñoù coù 2 nöõ . Hoûi coù bao
nhieâu caùch choïn. KQ: 840
Baøi 3: Cho hai ñöôøng thaúng song song (d
1
) , (d
2
) . Treân (d
1
) laáy 17 ñieåm phaân bieät , treân (d
2
)
laáy 20 ñieåm phaân bieät . Tính soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 ñieåm trong soá 37 ñieåm ñaõ
choïn treân (d
1
) vaø (d
2
) . KQ:5950
Baøi 4: Töø moät taäp theå goàm 12 hoïc sinh öu tuù , ngöôøi ta caàn cöû moät ñoaøn ñi döï traïi heø quoác teá
trong ñoù coù moät tröôûng ñoaøn , 1 phoù ñoaøn vaø 3 ñoaøn vieân . Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû ?
KQ: 15840
Baøi 5: Vôùi 6 chöõ soá phaân bieät 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù caùc chöõ soá phaân
bieät trong ñoù moãi soá ñieàu phaûi coù maët soá 6. KQ: 1630
Baøi 6: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi sao cho taát caû caùc chöû soá
ñeàu khaùc khoâng vaø coù maët ñoàng thôøi caùc chöõ soá 2, 4, 5. KQ: 1800
Baøi 7: Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû , 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng . Ngöôøi ta choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù .
Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra khoâng ñuû caû 3 maøu. KQ:645
Baøi 8: Cho 8 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7 .Töø 8 chöõ soá soá treân coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá , moãi soá
goàm 4 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau vaø moãi soá ñeàu khoâng chia heát cho 10. KQ: 1260
Baøi 9: Hoûi töø 10 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc
nhau sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 0 vaø soá 1. KQ:42000
Baøi 10: Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù chöõ soá ñaàu tieân laø soá leû?
KQ: 42000
Baøi 11: Coù bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù ñuùng 3 chöõ soá leû vaø 3 chöõ soá chaün
( chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc khoâng ). KQ:64800
Baøi 12: Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam , 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lyù nam . Laäp moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn
coù caû nam vaø nöõ , caàn coù caû nhaø toaùn hoïc vaø nhaø vaät lyù . Hoûi coù bao nhieâu caùch.
KQ:90
Baøi 13: Cho taäp hôïp
9;8;7;6;5;4;3;2;1A
. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau
sao cho caùc soá naøy chia heát cho 5 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû?
Baøi 14: Cho taäp hôïp
9;8;7;6;5;4;3;2;1;0A
. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau
sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 0 vaø 3?
Baøi 15: Cho taäp hôïp
9;8;7;6;5;4;3;2;1A
. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau
sao cho chöõ soá thöù ba chia heát cho 3 vaø chöõ soá cuoái chaün?
Baøi 16: Cho taäp hôïp
9;8;7;6;5;4;3;2;1A . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau
sao cho caùc soá naøy chia heát cho 2 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû?
Baøi 17: Moät tröôøng trung hoïc coù 8 thaày daïy toaùn, 5 thaày daïy vaät lyù, vaø ba thaày daïy hoùa hoïc. Choïn töø ñoù ra
moät ñoäi coù 4 thaày döï ñaïi hoäi. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå coù ñuû ba boä moân?
Baøi 18: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, chöõ soá 0 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng moät laàn,
hai chöõ soá coøn laïi phaân bieät
CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
59
Ví dụ:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
60
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
61
Chuyên đề 10:
XÁC SUẤT
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
62
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
63
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
64
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
65
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (B-2012)
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4: Tung 2 con xúc xắc đồng chất.
1) Tìm xác xuất của biến cố có tổng số chấm là 8.
2) Tìm xác xuất của biến cố có tổng số chấm là số lẻ hoặc chia hết cho 3.
Kết quả: 1)
5
36
2)
2
3
Bài 5: Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ.
1) Tìm xác suất lấy ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có 1 nữ.
2) Tìm xác suất lấy ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có không quá 3 nữ.
Kết quả: 1)
10
33
2)
65
66
Bài 6: Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô, trong đó có 6 xe tốt. Điều một cách ngẫu nhiên 3 xe đi công tác. Tìm
xác suất để trong 3 xe đó có ít nhất một xe tốt.
Kết quả:
29
30
Bài 7: Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Cần chọn một nhóm 4 người để trực nhật.
1) Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau.
2) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một nhóm 4 người ta được nhóm có đúng 1 nữ.
Kết quả: 1)
495
2)
28
55
Bài 8: Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Cần chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người đi làm 3
công việc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ? Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên ta được
mỗi nhóm có đúng 1 nữ.
Kết quả:
16
55
Bài 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy
được:
1) 3 bóng tốt.
2) Ít nhất 2 bóng tốt.
3) Ít nhất 1 bóng tốt.
Kết quả: 1)
7
44
2)
7
11
3)
21
22
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
66
Bài 10: Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ. Giả thiết rằng kích thước và
trọng lượng của tất cả các quả các quả cầu nói trên là y hệt nhau. Lấy hú họa ra 5 quả cầu. Tìm xác suất của
biến cố: trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ.
Kết quả: 5/17
Bài 11: Một hộp có 12 viên bi, trong đó có 4 viên màu đỏ và 8 viên màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tìm
xác suất để:
1) Cả 3 viên bi đều màu xanh.
2) Cả ba viên bi đều màu đỏ.
3) Có đúng một viên bi màu xanh.
4) Có ít nhất một viên bi màu xanh.
Kết quả: 1) 56/220 2) 4/220 3) 48/220 4) 216/220.
Bài 12: Hai xạ thủ cùng bắn một phát vào bia. Xác suất trúng đích của người thứ nhất là 0,9, của người thứ
hai là 0,7. Tính các xác suất sau đây:
1) Cả hai phát đều trúng.
2) Ít nhất một phát trúng.
3) Chỉ một phát trúng.
Kết quả: 1)
0,63
2)
0,97
3)
0,34
.
……………………HẾT……………………
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
67
Chuyeân ñeà 11:
ÔN TẬP HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH
TRONG MAËT PHAÚNG
PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG
TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM - TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong maët phaúng :
x
'
Ox : truïc hoaønh
y
'
Oy : truïc tung
O : goác toaï ñoä
,i j
: veùc tô ñôn vò (
1 vaø
i j i j
)
Quy öôùc : Maët phaúng maø treân ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxy ñöôïc goïi laø maët phaúng
Oxy vaø kyù hieäu laø : mp(Oxy)
II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô:
1. Ñònh nghóa 1: Cho
( )M mp Oxy
. Khi ñoù veùc tô
OM
ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo
,i j
bôûi heä thöùc coù daïng :
vôùi x,yOM xi y j
.
Caëp soá (x;y) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M.
Kyù hieäu: M(x;y) ( x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; y: tung ñoä cuûa ñieåm M )
/
( ; )
ñ n
M x y OM xi y j
YÙ nghóa hình hoïc:
vaø y=OQ
x OP
2. Ñònh nghóa 2: Cho
( )a mp Oxy
. Khi ñoù veùc tô
a
ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo
,i j
bôûi heä thöùc coù daïng :
1 2 1 2
vôùi a ,aa a i a j .
Caëp soá (a
1
;a
2
) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô
a
.
Kyù hieäu:
1 2
( ; )a a a
/
1 2 1 2
=(a ;a )
ñ n
a a a i a j
x
y
i
j
O
'x
'y
'x
x
y
i
j
O
'y
M
Q
P
x
y
O
'x
'y
M
Q
P
x
y
x
y
1
e
2
e
O
'x
'y
P
a
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
68
YÙ nghóa hình hoïc:
1 1 1 2 2 2
vaø a =A
a A B B
III. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô :
Ñònh lyù 1: Neáu
B
( ; ) vaø B(x ; )
A A B
A x y y
thì
( ; )
B A B A
AB x x y y
Ñònh lyù 2: Neáu
1 2 1 2
( ; ) vaø ( ; )a a a b b b
thì
*
1 1
2 2
a
b
a b
a b
*
1 1 2 2
( ; )a b a b a b
*
1 1 2 2
( ; )a b a b a b
*
1 2
. ( ; )k a ka ka
( )k
IV. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:
Nhaéc laïi
Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm treân hai ñöôøng thaúng
song song .
Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:
Ñònh lyù 3 : Cho hai veùc tô
vaø vôùi 0
a b b
cuøng phöông !k sao cho .a b a k b
Neáu
0
a
thì soá k trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
k > 0 khi
a
cuøng höôùng
b
k < 0 khi
a
ngöôïc höôùng
b
a
k
b
x
y
O
'x
'y
1
A
1
B
2
A
2
B
A
B
K
H
A
B
C
a
b
2 5
a b , b - a
5 2
);(
AA
yxA
);(
BB
yxB
a
b
a
b
a
b
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
69
Ñònh lyù 4 :
, , thaúng haøng cuøng phöông A B C AB AC
(Ñieàu kieän 3 ñieåm thaúng haøng )
Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô
1 2 1 2
( ; ) vaø ( ; )a a a b b b
ta coù :
1 2 2 1
cuøng phöông a . . 0
a b b a b
(Ñieàu kieän cuøng phöông cuûa 2 veùc tô
V. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô:
Nhaéc laïi:
. . .cos( , )a b a b a b
2
2
a a
. 0
a b a b
Ñònh lyù 6: Cho hai veùc tô
1 2 1 2
( ; ) vaø ( ; )a a a b b b
ta coù :
1 1 2 2
.
a b a b a b
(Coâng thöùc tính tích voâ höôùng theo toïa ñoä)
Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô
1 2
( ; ) a a a
ta coù :
2 2
1 2
a a a
(Coâng thöùc tính ñoä daøi veùc tô )
Ñònh lyù 8: Neáu
B
( ; ) vaø B(x ; )
A A B
A x y y
thì
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y (Coâng thöùc tính khoaûng caùch 2 ñieåm)
Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô
1 2 1 2
( ; ) vaø ( ; )a a a b b b
ta coù :
1 1 2 2
a 0
a b b a b
(Ñieàu kieän vuoâng goùc cuûa 2 veùc tô)
Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô
1 2 1 2
( ; ) vaø ( ; )a a a b b b
ta coù
: VD
);(
);(
21
21
bbb
aaa
)4;2(
)2;1(
b
a
x
y
b
O
'x
'y
a
a
b
b
a
O
B
A
);(
AA
yxA
);(
BB
yxB
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
70
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos( , )
.
.
a b a ba b
a b
a b
a a b b
(Coâng thöùc tính goùc cuûa 2 veùc tô)
VI. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k:
Ñònh nghóa: Ñieåm M ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo tyû soá k ( k
1 ) neáu nhö :
.MA k MB
A
M
B
Ñònh lyù 11 : Neáu
B
( ; ) , B(x ; )
A A B
A x y y
vaø
.MA k MB
( k
1 ) thì
.
1
.
1
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y
k
Ñaëc bieät : M laø trung ñieåm cuûa AB
2
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
VII. Moät soá ñieàu kieän xaùc ñònh ñieåm trong tam giaùc :
3
3
0.1
CBA
G
CBA
yyy
y
xxx
GCGB
G
x
GA ABC giaùc tam taâm troïng laø G
2.
. 0
H laø tröïc taâm tam giaùc ABC
. 0
AH BC AH BC
BH AC BH AC
3.
'
'
'
laø chaân ñöôøng cao keû töø A
cuøng phöông
AA BC
A
BA BC
4.
IA=IB
I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC
IA=IC
5.
D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong cuû
a goùc A cuûa ABC .
AB
DB DC
AC
6.
' ' '
D laø chaân ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc A cuûa ABC .
AB
D B D C
AC
7. J laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ABC
.
AB
JA JD
BD
VIII. Kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng khaùc:
G
A
B
C
H
A
B
C
A'
B
A
C
I
A
B
C
B
A
C
D
J
B
A
C
D
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
71
Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc theo toaï ñoä ba ñænh :
Ñònh lyù 12: Cho tam giaùc ABC . Ñaët
1 2 1 2
( ; ) vaø ( ; )AB a a AC b b
ta coù :
1 2 2 1
1
.
2
ABC
S a b a b
A
B
C
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
72
ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ
A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
I. Caùc ñònh nghóa veà VTCP vaø VTPT (PVT) cuûa ñöôøng thaúng:
a
laø VTCP cuûa ñöôøng thaúng (
)
ñn
0
a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi ( )
a
n
laø VTPT cuûa ñöôøng thaúng (
)
ñn
0
n coù giaù vuoâng goùc vôùi ( )
n
* Chuù yù:
Neáu ñöôøng thaúng (
) coù VTCP
1 2
( ; )a a a
thì coù VTPT laø
2 1
( ; )n a a
Neáu ñöôøng thaúng (
) coù VTPT
( ; )n A B
thì coù VTCP laø
( ; )a B A
II. Phöông trình ñöôøng thaúng :
1. Phöông trình tham soá vaø phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng :
a. Ñònh lyù : Trong maët phaúng (Oxy). Ñöôøng thaúng (
) qua M
0
(x
0
;y
0
) vaø nhaän
1 2
( ; )a a a
laøm
VTCP seõ coù :
Phöông trình tham soá laø :
0 1
0 2
.
( ) : ( )
.
x x t a
t
y y t a
Phöông trình chính taéc laø :
0 0
1 2
( ) :
x x y y
a a
2. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng :
)(
n
);(
000
yxM
);( yxM
a
x
y
O
a
a
)(
a
n
)(
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
73
a. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm M
0
(x
0
;y
0
) vaø coù VTPT
( ; )n A B
laø:
0 0
( ) : ( ) ( ) 0A x x B y y
(
2 2
0
A B
)
b. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng :
Ñònh lyù :Trong maët phaúng (Oxy). Phöông trình ñöôøng thaúng (
) coù daïng :
Ax + By + C = 0 vôùi
2 2
0
A B
Chuù yù:
Töø phöông trình (
):Ax + By + C = 0 ta luoân suy ra ñöôïc :
1. VTPT cuûa (
) laø
( ; )n A B
2. VTCP cuûa (
) laø
( ; ) hay a ( ; )a B A B A
3.
0 0 0 0 0
( ; ) ( ) 0
M x y Ax By C
Meänh ñeà (3) ñöôïc hieåu laø :
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät ñieåm naèm treân ñöôøng thaúng laø toïa ñoä ñieåm ñoù
nghieäm ñuùng phöông trình cuûa ñöôøng thaúng .
3. Caùc daïng khaùc cuûa phöông trình ñöôøng thaúng :
a. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(x
A
;y
A
) vaø B(x
B
;y
B
) :
( ) :
A A
B A B A
x x y y
AB
x x y y
( ) :
A
AB x x
( ) :
A
AB y y
b. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
);(
000
yxM
);( yxM
n
x
y
O
);(
000
yxM
);( BAn
x
y
O
);( ABa
);( ABa
);( yxM
x
y
O
);(
AA
yxA
);(
BB
yxB );(
AA
yxA
);(
BB
yxB
A
x
B
x
A
y
B
y
x
y
);(
AA
yxA );(
BB
yxB
A
y
B
y
x
y
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
74
Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng (
) cắt trục hoàng tại điểm A(a;0) và trục tung tại
điểm B(0;b) với a, b
0 có dạng:
1
x y
a b
c. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm M
0
(x
0
;y
0
) vaø coù heä soá goùc k:
Ñònh nghóa: Trong mp(Oxy) cho ñöôøng thaúng
. Goïi
( , )Ox
thì
k tg
ñöôïc goïi laø heä soá goùc
cuûa ñöôøng thaúng
Ñònh lyù 1: Phöông trình ñöôøng thaúng
qua
0 0 0
( ; )M x y
coù heä soá goùc k laø :
0 0
y- y = k(x -x )
(1)
Chuù yù 1: Phöông trình (1) khoâng coù chöùa phöông trình cuûa ñöôøng thaúng ñi qua M
0
vaø vuoâng goùc
Ox neân khi söû duïng ta caàn ñeå yù xeùt theâm ñöôøng thaúng ñi qua M
0
vaø vuoâng goùc Ox laø
x = x
0
Chuù yù 2: Neáu ñöôøng thaúng
coù phöông trình
y ax b
thì heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng laø
k a
Ñònh lyù 2: Goïi k
1
, k
2
laàn löôït laø heä soá goùc cuûa hai ñöôøng thaúng
1 2
,
ta coù :
1 2 1 2
// k
k
1 2 1 2
k . 1
k
c. Phöông trình ñt ñi qua moät ñieåm vaø song song hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñt cho tröôùc:
i.
1 1
Phöông trinh ñöôøng thaúng ( ) //( ): Ax+B
y+C=0 coù daïng: Ax+By+m =0
ii.
1 2
Phöông trinh ñöôøng thaúng ( ) ( ): Ax+By+
C=0 coù daïng: Bx-Ay+m =0
Chuù yù:
1 2
;m m
ñöôïc xaùc ñònh bôûi moät ñieåm coù toïa ñoä ñaõ bieát naèm treân
1 2
;
III. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng :
x
y
O
0:
21
mAyBx
x
y
O
0
x
1
M
0:
1
CByAx
);( yxM
x
y
O
0
x
0
y
0:
11
mByAx
x
y
O
0
x
0:
1
CByAx
1
M
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
75
Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Vò trí töông ñoái cuûa
1 2
( ) vaø ( )
phuï thuoäc vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình :
1 1 1
2 2 2
0
0
A x B y C
A x B y C
hay
1 1 1
2 2 2
(1)
A x B y C
A x B y C
Chuù yù: Nghieäm duy nhaát (x;y) cuûa heä (1) chính laø toïa ñoä giao ñieåm M cuûa
1 2
( ) vaø ( )
Ñònh lyù 1:
1 2
1 2
1 2
. Heä (1) voâ nghieäm ( )//( )
. Heä (1) coù nghieäm duy nhaát ( ) c
aét ( )
. Heä (1) coù voâ soá nghieäm (
) ( )
i
ii
iii
Ñònh lyù 2: Neáu
2 2 2
; ;A B C
khaùc 0 thì
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
A
. ( ) caét ( )
A
A
. ( ) // ( )
A
A
. ( ) ( )
A
B
i
B
B C
ii
B C
B C
iii
B C
IV. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng
1
x
y
O
2
21
//
1
x
y
O
2
21
caét
1
x
y
O
2
21
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
76
1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất trong các số đo
của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai
đường thẳng a và b). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là
a, b
Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng
0
0
2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT
a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là
u
và
v
thì
u.v
cos a,b cos u, v
u . v
b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là
n
và
n '
thì
n.n '
cos a,b cos n,n '
n . n '
Ñònh lyù : Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Goïi
(
0 0
0 90
) laø goùc giöõa
1 2
( ) vaø ( )
ta coù :
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
A A B B
A B A B
Heä quaû:
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) A 0A B B
V. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng :
Ñònh lyù 1: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng
( ) : 0Ax By C
vaø ñieåm
0 0 0
( ; )M x y
Khoaûng caùch töø M
0
ñeán ñöôøng thaúng
( )
ñöôïc tính bôûi coâng thöùc:
0 0
0
2 2
( ; )
Ax By C
d M
A B
Ñònh lyù 2: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Phöông trình phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi
1 2
( ) vaø ( )
laø :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
Ñònh lyù 3: Cho ñöôøng thaúng
0:)(
1
CByAx
vaø hai ñieåm M(x
M
;y
M
), N(x
N
;y
N
) khoâng naèm
1
x
y
O
2
x
y
O
)(
0
M
H
1
x
y
O
2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
77
treân (
). Khi ñoù:
Hai ñieåm M , N naèm cuøng phía ñoái vôùi (
) khi vaø chæ khi
0))(( CByAxCByAx
NNMM
Hai ñieåm M , N naèm khaùc phía ñoái vôùi (
) khi vaø chæ khi
0))(( CByAxCByAx
NNMM
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (A-2012)
Bài 2: (D-2012)
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
N
M
N
M
N
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
78
Bài 10:
Bài 11:
Bài 12:
Bài 13:
Bài 14:
Bài 15:
Bài 16:
Bài 17:
Bài 18:
Bài 19:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
79
ÑÖÔØNG TROØN TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ
A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
I. Phöông trình ñöôøng troøn:
1. Phöông trình chính taéc:
Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) taâm I(a;b), baùn kính R laø :
2 2 2
( ) : ( ) ( )
C x a y b R
(1)
Phöông trình (1) ñöôïc goïi laø phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng troøn
Ñaëc bieät: Khi I
O thì
2 2 2
( ) :
C x y R
2. Phöông trình toång quaùt:
Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình :
2 2
2 2 0
x y ax by c
vôùi
2 2
0
a b c
laø phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) coù taâm I(a;b), baùn kính
2 2
R a b c
II. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn:
Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn
2 2
( ) : 2 2 0
C x y ax by c
taïi ñieåm
0 0
( ; ) ( )M x y C
laø :
0 0 0 0
( ) : ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y c
VI. Caùc vaán ñeà coù lieân quan:
1. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn:
x
y
O
);( baI
R
a
b
);( yxM
(C)
I(a;b)
)(
);(
000
yxM
)(C
I
R
M
H
I
R
HM
)(C
)(C
I
R
H
M
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
80
Ñònh lyù:
( ) ( ) d(I; ) > RC
( ) tieáp xuùc (C) d(I; ) = R
( ) caét (C) d(I; ) < R
Lưu ý: Cho đường tròn
2 2
( ) : 2 2 0
C x y ax by c
và đường thẳng
: 0
Ax By C
. Tọa độ giao
điềm (nếu có) của (C) và (
) là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 2 0
0
x y ax by c
Ax By C
2. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn :
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) vaø (C ) khoâng caét nhau I I > R
( ) vaø (C ) caét nhau R < I I < R
( ) vaø (C ) tieáp xuùc ngoaøi nhau I I = R
( ) vaø (C ) tieáp xuùc trong
C R
C R R
C R
C
1 2 1 2
nhau I I = R R
Lưu ý: Cho đường tròn
2 2
( ) : 2 2 0
C x y ax by c
và đường tròn
2 2
' : 2 ' 2 ' ' 0
C x y a x b y c
.
Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2 0
2 ' 2 ' ' 0
x y ax by c
x y a x b y c
1
I
1
R
1
C
2
I
2
R
2
C
1
I
1
R
1
C
2
C
2
R
2
I
1
C
1
I
1
R
2
C
2
R
2
I
1
C
2
C
1
I
2
I
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
81
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (B-2012)
Bài 2: (D-2012)
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
82
Bài 10:
Bài 11:
Bài 12:
Bài 13:
Bài 14:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
83
ÑÖÔØNG ELÍP TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ
A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
I.Ñònh nghóa:
Elíp (E) laø taäp hôïp caùc ñieåm M coù toång khoaûng caùch ñeán hai ñieåm coá ñònh F
1
; F
2
baèng haèng soá
* Hai ñieåm coá ñònh F
1
; F
2
ñöôïc goïi laø caùc tieâu ñieåm
* F
1
F
2
= 2c ( c > 0 ) ñöôïc goïi laø tieâu cöï
1 2
(E) M / MF MF 2a
( a>0 : haèng soá vaø a>c )
II. Phöông trình chính taéc cuûa Elíp vaø caùc yeáu toá:
1. Phöông trình chính taéc:
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
vôùi
2 2 2
b a c
( a > b) (1)
2. Caùc yeáu toá cuûa Elíp:
* Elíp xaùc ñònh bôûi phöông trình (1) coù caùc ñaëc ñieåm:
- Taâm ñoái xöùng O, truïc ñoái xöùng Ox; Oy
- Tieâu ñieåm F
1
(-c;0); F
2
(c;0)
- Tieâu cöï F
1
F
2
= 2c
- Truïc lôùn naèm treân Ox; ñoä daøi truïc lôùn 2a ( = A
1
A
2
)
- Truïc nhoû naèm treân Oy; ñoä daøi truïc lôùn 2b ( = B
1
B
2
)
- Ñænh treân truïc lôùn : A
1
(-a;0); A
2
(a;0)
- Ñænh treân truïc nhoû :B
1
(0;-b); B
2
(0;b)
(E)
2c
M
1
F
2
F
-a
a
(E)
c
-c
y
x
R
S
P
Q
O
M
1
r
2
r
1
A
2
A
1
B
2
B
1
F
2
F
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
84
- Baùn kính qua tieâu ñieåm:
Vôùi M(x;y)
(E) thì
1 1
2 2
c
r MF a x a ex
a
c
r MF a x a ex
a
- Taâm sai :
c
e (0 e 1)
a
- Ñöôøng chuaån :
a
x
e
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
85
ÑÖÔØNG HYPEBOL TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ
A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
I. Ñònh nghóa:
1 2
(H) M / MF MF 2a
( a > 0 : haèng soá vaø a < c ) (1)
II. Phöông trình chính taéc cuûa Hypebol vaø caùc yeáu toá:
1. Phöông trình chính taéc:
2 2
2 2
x y
(H) : 1
a b
vôùi
2 2 2
b c a
(1)
2. Caùc yeáu toá cuûa Hypebol:
* Hypebol xaùc ñònh bôûi phöông trình (1) coù caùc ñaëc ñieåm:
- Taâm ñoái xöùng O, truïc ñoái xöùng Ox; Oy
- Tieâu ñieåm F
1
(-c;0); F
2
(c;0)
- Tieâu cöï F
1
F
2
= 2c
- Truïc thöïc naèm treân Ox; ñoä daøi truïc thöïc 2a ( = A
1
A
2
)
- Truïc aûo naèm treân Oy; ñoä daøi truïc aûo 2b ( = B
1
B
2
)
- Ñænh: A
1
(-a;0); A
2
(a;0)
- Phöông trình tieäm caän :
b
y x
a
- Baùn kính qua tieâu ñieåm:
Vôùi M(x;y)
(H) thì :
Vôùi x > 0
1 1
2 2
r MF a ex
r MF a ex
x
a
b
y
x
a
b
y
1
F
2
F
M
x
y
1
B
2
B
1
A
2
A
a
c
c
a
O
M
1
F
2
F
c2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
86
Vôùi x < 0
1 1
2 2
r MF (a ex)
r MF ( a ex)
- Taâm sai :
c
e (e 1)
a
- Ñöôøng chuaån :
a
x
e
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
87
ÑÖÔØNG PARABOL TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ
A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
I. Ñònh nghóa :
(P) M / MF d(M,
* F laø ñieåm coá ñònh goïi laø tieâu ñieåm
* (
) laø ñöôøng thaúng coá ñònh goïi laø ñöôøng chuaån
* HF = p > 0 goïi laø tham soá tieâu
II. Phöông trình chính taéc cuûa parabol:
1) Daïng 1: Ptct:
y
2
= 2px
2) Daïng 2: Ptct:
y
2
= -2px
3) Daïng 3: Ptct:
x
2
= 2py
4) Daïng 4: Ptct :
x
2
= -2py
p
K
H
F
M
y
x
p/2
F(-p/2;0)
M
2/:)( px
y
x
-p/2
:y = -p/2
F(0;p/2)
O
M
F(0;-p/2)
x
( ) : y = p/2
p/2
y
O
M
( ): x=-p/2
O
-p/2
F(p/2;0)
x
y
M
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
88
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Bài 1: (A-2012)
Bài 2: (B-2012)
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
Bài 10:
----------------------------------Heát-------------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
89
c
b
a
M
H
C
B
A
Chuyeân ñeà 12:
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho
ABC
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
c) AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH
e) BC = 2AM
f)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =
sin cos
b b
B C
,
b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
* Định lý hàm số Sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
3. Các công thức tính diện tích:
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
1
2
S
a.h
a
=
1 . .
. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
với
2
a b c
p
Đặc biệt :
ABC
vuông ở A :
1
.
2
S AB AC
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
90
4. Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều:
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt
phẳng gọi là song song
với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
a/ /(P) a (P)
a
(P)
II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và
song song với đường
thẳng a nằm trên mp(P)
thì đường thẳng d song
song với mp(P)
d (P )
d / / a d / /(P )
a (P )
d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a
song song với mp(P) thì
mọi mp(Q) chứa a mà cắt
mp(P) thì cắt theo giao
tuyến song song với a.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d
d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
cắt nhau cùng song song
với một đường thẳng thì
giao tuyến của chúng
song song với đường
thẳng đó.
(P) (Q) d
(P) / /a d / /a
(Q) / /a
a
d
Q
P
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
91
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi
là song song với nhau nếu
chúng không có điểm nào
chung.
(P)/ /(Q) (P) (Q)
Q
P
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa
hai đường thẳng a, b cắt
nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì
(P) và (Q) song song với
nhau.
a,b (P)
a b I (P) / /(Q)
a / /(Q),b / /(Q)
I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu một đường
thẳng nằm một trong hai
mặt phẳng song song thì
song song với mặt phẳng
kia.
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)
a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) song song thì
mọi mặt phẳng (R) đã cắt
(P) thì phải cắt (Q) và
các giao tuyến của chúng
song song.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b
b
a
R
Q
P
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được
gọi là vuông góc với một
mặt phẳng nếu nó vuông
góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.
a mp(P) a b, b (P)
Hệ quả:
a mp(P)
a b
b mp(P)
P
c
a
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau a và b
cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vuông góc
với mp(P).
d a ,d b
a , b mp(P) d mp(P)
a, b caét nhau
d
a
b
P
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
92
ĐL2: (Ba đường vuông
góc) Cho đường thẳng a
không vuông góc với
mp(P) và đường thẳng b
nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b
vuông góc với a là b
vuông góc với hình chiếu
a’ của a trên (P).
a mp(P), b mp(P)
b a b a '
a'
a
b
P
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt
phẳng chứa một đường
thẳng vuông góc với một
mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc
với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)
Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với
nhau thì bất cứ đường
thẳng a nào nằm trong
(P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều
vuông góc với mặt
phẳng (Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d
d
Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với
nhau và A là một điểm
trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ
nằm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)
A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng
cắt nhau và cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)
a
R
Q
P
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
93
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng cách
từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng
song song với nó, chứa đường thẳng
còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai
đường thẳng đó.
B
A
b
a
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
94
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’
cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng
phương với a và b.
b'
b
a'
a
2. Góc giữa đường thẳng a không
vuông góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó
trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt
phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường
thẳng a và mp(P) là 90
0
.
P
a'
a
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với
giao tuyến tại 1 điểm
b
a
Q
P
P
Q
a
b
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là
diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên
mp(P’) thì
S' Scos
trong đó
là góc giữa hai mặt phẳng
(P),(P’).
C
B
A
S
C. CÁC HÌNH ĐA DIỆN
§1. Hình chóp
1. Hình chóp:
Cho đa giác A
1
A
2
...A
n
và một điểm S
nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó.
Nối S với các đỉnh A
1
, A
2
,..,A
n
đề được
n tam giác: SA
1
A
2
, SA
2
A
3
,...,SA
n
A
1
.
Hình gồm n tam giác đó và đa giác
A
1
A
2
...A
n
gọi là hình chóp và được ký
hiệu là S.A
1
A
2
...A
n
.
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
95
2. Hình chóp đều:
Một hình chóp được gọi là hình
chóp đều nếu đáy của nó là đa
giác đều và các cạnh bên bằng
nhau.
Một hình chóp được gọi là hình
chóp đều nếu đáy của nó là đa
giác đều và có chân đường cao
trùng với tâm của đa giác đáy.
Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tứ giác đều
+ Trong một hình chóp đều thì
- Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
- Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
§2. Hình lăng trụ
1. Hình lăng trụ:
Hình hợp bởi các hình bình hành
A
1
A
2
A'
2
A'
1
, A
2
A
3
A'
3
A'
2
,...,A
n
A
1
A'
1
A'
2
và hai đa giác A
1
A
2
...A
n
, A'
1
A'
2
...A'
n
gọi
là hình lăng trụ hoặc lăng trụ, và ký hiệu
là A
1
A
2
...A
n
.A'
1
A'
2
...A'
n
.
+ Trong một hình lăng trụ thì
- Các cạnh bên bằng nhau;
- Các mặt bên là các hình bình hành;
- Hai đáy là hai đa giác bằng nhau.
2. Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy là
hình bình hành.
+ Trong một hình hộp thì
- Các mặt bên là các hình bình hành;
- Các đường chéo của hình hộp cắt nhau
tại trung điểm mỗi đường.
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
96
3. Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ
có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
+ Trong hình lăng trụ đứng thì
- Độ dài cạnh bên là chiều cao;
- Các mặt bên là các hình chữ nhật.
4. Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ
đứng có đáy là đa giác đều.
+ Trong hình lăng trụ đều thì
- Độ dài cạnh bên là chiều cao;
- Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng
nhau.
5. Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng
có đáy là hình bình hành.
6. Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng
có đáy là hình chữ nhật.
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
97
7. Hình lập phương: là hình hộp chữ
nhật có tất cả các cạnh bằng nhau
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
98
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Thể tích của một khối đa diện hiểu theo nghĩa thông thường là số đo độ lớn phần không gian mà có chiếm
chổ. Từ xa xưa con người đã tìm cách đo thể tích của các khối vật chất trong tự nhiên. Đối với những vật thể
lỏng, như khối nước trong một bể chứa, người ta có thể dùng những cái thùng có kích thước nhỏ hơn để
đong. Đối với những vật rắn có kích thước nhỏ người ta có thể thả chúng vào một cái thùng đổ đầy nước rồi
đo lượng nước trào ra ...Tuy nhiên trong thực tế có thể có nhiều vật thể không thể đo được bằng những cách
trên. Chẳng hạn để đo thể tích của kim tự tháp Ai Cập ta không thể nhúng nó vào nước hay chia nhỏ nó ra
được. Vì vậy người ta tìm cách thiết lập các công thức tính thể tích của một số khối đa diện đơn giản khi biết
kích thước của chúng, rồi từ đó tìm cách tính thể tích của các khối đa diện phức tạp hơn.
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Thể tích của khối chóp
1) Công thức tính thể tích khối chóp:
Định lý: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:
1
V .B.h
3
Một số vấn đề có liên quan đến thể tích khối chóp
Định lí 1: Thể tích khối chóp sẽ không thay đổi nếu đỉnh của nó di chuyển trên một
đường thẳng song song với mặt phẳng chứa đáy.
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
99
Định lý 2: Cho khối chóp tam giác
.S ABC
. Trên ba đường thẳng
, ,SA SB SC
lần lượt lấy
ba điểm
', ', 'A B C
khác với
S
. Gọi
V
và
'V
lần lượt là thể tích của các khối chóp
.S ABC
và
. ' ' 'S A B C
. Ta luôn có:
.
. ' ' '
. .
' ' ' '
S ABC
S A B C
V
V SA SB SC
V V SA SB SC
2) Các bài toán luyện tập đơn giản:
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
3) Các bài toán luyện tập nâng cao:
Bài 1: (D-2012)
Bài 2: (B-2012)
Bài 3: (A-2012)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
100
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
Bài 10:
Bài 11:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
101
II. Thể tích của khối lăng trụ
1) Công thức tính thể tích khối lăng trụ:
Định lý: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:
V B.h
1) Các bài toán luyện tập đơn giản:
Bài 1
Bài 2
Bài 3
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A’B’C’)
trùng với trọng tâm G của
A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc
0
60
. Tính thể tích lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo a.
Bài 4
Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’,có AA’ >AB và A’B = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC)
bằng
5
15a
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
2) Các bài toán luyện tập nâng cao:
Bài 1
Bài 2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
102
Bài 3
Bài 4
Bài 5
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
103
MẶT CẦU
Trong đời sống hằng ngày chúng ta thường thấy hình ảnh của mặt cầu thông qua hình ảnh bề mặt của quả
bóng bàn, của viên bi, của mô hình quả địa cầu, của quả bóng chuyền...
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Mặt cầu và các khái niệm liên qua đến mặt cầu
1. Mặt cầu
Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng R (R>0)
được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R. Ký hiệu:
S O;R)
S O;R) M | OM R
Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu
S O;R)
thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu
đó.
Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2R.
Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu
đó.
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu.
Cho mặt cầu tâm O bán kính R và A là một điểm bất kỳ trong không gian.
Nếu
OA R
thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu
S O;R)
Nếu
OA R
thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu
S O;R)
Nếu
OA R
thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu
S O;R)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
104
Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu
S O;R)
cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó
được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính R.
3. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Mặt cầu có bán kính R có diện tích là:
2
S
R
4
Khối cầu bán kính R có bán kính là:
3
V
R
4
3
4. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
và hình đa diện gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Một số kiến thức cơ bản có liên quan
M: điểm nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
0
AB
AMB 90
MI
I la trung diem AB
2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
105
: đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
M MA MB
: mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
M MA MB
: trục của tam giác ABC.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa
đa giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
được gọi là trục của đa giác.
M MA MB MC
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
106
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp tam giác đều ?
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ
giác đều ?
II. Các bài toán luyện tập
Bài 1
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5
Bài 6
------------Hết-------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
107
Chuyeân ñeà 13:
HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG
KHOÂNG GIAN
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM - TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ
I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong khoâng gian
x
'
Ox : truïc hoaønh
y
'
Oy : truïc tung
z
'
Oz : truïc cao
O : goác toaï ñoä
, ,i j k
: veùc tô ñôn vò
(hay
i; j;k
: veùc tô ñôn vò )
Quy öôùc : Khoâng gian maø trong ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxyz ñöôïc goïi laø
khoâng gian Oxyz vaø kyù hieäu laø : kg(Oxyz)
II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô:
1. Ñònh nghóa 1: Cho
( )M kg Oxyz
. Khi ñoù veùc tô
OM
ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo
, ,i j k
bôûi heä thöùc coù daïng :
+ y vôùi x,y,zOM xi y j k
.
Boä soá (x;y;z) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M.
Kyù hieäu: M(x;y;z)
( x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; y: tung ñoä cuûa ñieåm M, z: cao ñoä cuûa ñieåm M )
/
( ; ; )
ñ n
M x y z OM xi y j zk
YÙ nghóa hình hoïc:
; y= OQ ; z = OR
x OP
O
z
'x
y
x
'y
k
i
j
'z
O
z
y
x
M
z
y
x
z
y
x
p
1
M
M
Q
3
M
2
M
R
O
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
108
2. Ñònh nghóa 2: Cho
( )a kg Oxyz
. Khi ñoù veùc tô
a
ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo
, ,i j k
bôûi heä thöùc coù daïng :
1 2 3 1 2 3
+ a vôùi a ,a ,aa a i a j k
.
Boä soá (a
1
;a
2
;a
3
) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô
a
.
Kyù hieäu:
1 2 3
( ; ; )a a a a
/
1 2 3 1 2 3
=(a ;a ;a )
ñ n
a a a i a j a k
II. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô :
Ñònh lyù 1: Neáu
B
( ; ; ) vaø B(x ; ; )
A A A B B
A x y z y z
thì
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
Ñònh lyù 2: Neáu
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) vaø ( ; ; )a a a a b b b b
thì
*
1 1
2 2
3 3
a
b
a b a b
a b
*
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
*
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
*
1 2 3
. ( ; ; )k a ka ka ka
( )k
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
109
III. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:
Nhaéc laïi
Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm treân hai ñöôøng thaúng
song song .
Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:
Ñònh lyù 3 : Cho hai veùc tô
vaø vôùi 0
a b b
cuøng phöông !k sao cho .a b a k b
Neáu
0
a
thì soá k trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
k > 0 khi
a
cuøng höôùng
b
k < 0 khi
a
ngöôïc höôùng
b
a
k
b
Ñònh lyù 4 :
, , thaúng haøng cuøng phöông A B C AB AC
Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) vaø ( ; ; )a a a a b b b b
ta coù :
1 1
2 2 1 2 3 1 2 3
3 3
a
cuøng phöông a : : : :
kb
a b a kb a a b b b
a kb
IV. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô:
Nhaéc laïi:
. . .cos( , )a b a b a b
2
2
a a
. 0
a b a b
Ñònh lyù 6: Cho hai veùc tô
1 2 2 1 2 3
( ; ; ) vaø ( ; ; )a a a a b b b b
ta coù :
1 1 2 2 3 3
.
a b a b a b a b
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
110
Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô
1 2 3
( ; ; ) a a a a
ta coù :
2 2 2
1 2 3
a a a a
Ñònh lyù 8: Neáu
B
( ; ; ) vaø B(x ; ; )
A A A B B
A x y z y z
thì
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) vaø ( ; ; )a a a a b b b b
ta coù :
1 1 2 2 3 3
a 0
a b b a b a b
Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) vaø ( ; ; )a a a a b b b b
ta coù :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
a b a b a b
a b
a b
a b
a a a b b b
V. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k:
Ñònh nghóa : Ñieåm M ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo tyû soá k ( k
1 ) neáu nhö :
.MA k MB
Ñònh lyù 11 : Neáu
B
( ; ; ) , B(x ; ; )
A A A B B
A x y z y z
vaø
.MA k MB
( k
1 ) thì
.
1
.
1
.
1
A B
M
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y
k
z k z
z
k
Ñaëc bieät : M laø trung ñieåm cuûa AB
2
2
2
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
A B M
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
111
Định lý 12: Cho tam giác ABC biết
B C
( ; ; ) , B(x ; ; ), C(x ; ; )
A A A B B C C
A x y z y z y z
G là trọng tâm tam giác ABC
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
Ví duï 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Tìm ñieåm D sao cho töù giaùc ABCD laø hình bình haønh
Ví duï 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vuoâng .
b. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC
c. Tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán keû töø A
VI. Tích coù höôùng cuûa hai veùc tô:
1. Ñònh nghóa: Tích coù höôùng cuûa hai veùc tô
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) vaø ( ; ; )a a a a b b b b
laø moät veùc tô ñöôïc
kyù hieäu :
;a b
coù toïa ñoä laø :
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
; ; ;
a a a a
a a
a b
b b b b
b b
Caùch nhôù:
1 2 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a a a a
b b b b
2. Tính chaát:
; vaø ;
a b a a b b
1
. ;
2
ABC
S AB AC
;
ABCD
S AB AD
' ' ' '
'
.
; .
ABCD A B C D
V AB AD AA
1
. ; .
6
ABCD
V AB AC AD
cuøng phöông ; 0
a b a b
, , ñoàng phaúng , . 0
a b c a b c
A, B, C, D đồng phẳng
AB,AC,AD
đồng phẳng
AB,AC .AD 0
1 2 3
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
'A
'B
'C
'D
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
112
BAØI TAÄP ÖÙNG DUÏNG:
Baøi 1: Cho boán ñieåm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chöùng minh raèng boán ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng
b. Tính dieän tích tam giaùc ABC
c. Tính theå tích töù dieän ABCD
Baøi 2: Tính theå tích töù dieän ABCD bieát A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7: Cho tứ diện ABCD với
A(2; 1;6),B( 3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1)
. Chứng minh tam giác ABC vuông.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
113
ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
I. Caùc ñònh nghóa:
1. Veùc tô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng:
a
laø VTCP cuûa ñöôøng thaúng (
)
ñn
0
a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi ( )
a
Chuù yù:
Moät ñöôøng thaúng coù voâ soá VTCP, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau.
Moät ñöôøng thaúng (
) hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät VTCP cuûa noù.
2. Caëp VTCP cuûa maët phaúng:
Cho maët phaúng
xaùc ñònh bôûi hai ñöôøng thaúng caét nhau a vaø b . Goïi
a
laø VTCP cuûa ñöôøng
thaúng a vaø
b
laø VTVP cuûa ñöôøng thaúng b. Khi ñoù :
Caëp
( , )a b
ñöôïc goïi laø caëp VTCP cuûa maët phaúng
Chuù yù :
Moät maët phaúng
hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTCP cuûa noù.
3. Veùc tô phaùp tuyeán ( VTPT) cuûa maët phaúng :
n
laø VTPT cuûa maët phaúng
ñn
0
n coù giaù vuoâng goùc vôùi mp
n
Chuù y ù:
Moät maët phaúng coù voâ soá VTPT, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau.
Moät maët phaúng hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTPT cuûa noù.
a
a
)(
a
b
a
b
n
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
114
4. Caùch tìm toïa ñoä moät VTPT cuûa maët phaúng khi bieát caëp VTCP cuûa noù:
Ñònh lyù: Giaû söû maët phaúng
coù caëp VTCP laø :
1 2 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a a a a
b b b b
thì mp
coù moät VTPT laø :
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
; ; ;
a a a a
a a
n a b
b b b b
b b
Ví duï: Tìm moät VTPT cuûa maët phaúng
bieát
ñi qua ba ñieåm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phöông trình cuûa maët phaúng :
Ñònh lyù 1: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình maët phaúng
ñi qua ñieåm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
vaø coù moät
VTPT
( ; ; )n A B C
laø:
M x;y;z
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0 x y zC zA yBx
Ñònh lyù 2: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình daïng :
0 A B Cx y z D
vôùi
2 2 2
0
A B C
laø phöông trình toång quaùt cuûa moät maët phaúng .
Chuù yù :
Neáu
( ) : 0 x y CzB DA
thì
( )
coù moät VTPT laø
( ; ; )n A B C
0 0 0 0 0 0 0
( ; ; ) ( ) : 0 Ax 0M x y z Ax By Cz D By Cz D
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:
1. Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä:
(Oxy):z = 0
(Oyz):x = 0
(Oxz):y = 0
2. Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén:
Phöông trình maët phaúng caét caùc truïc Ox, Oy, Oz taïi
( ;0;0)
(0; ;0) (a,b,c 0)
(0;0; )
A a
B b
C c
],[ ban
a
b
);;( CBAn
);;(
0000
zyxM
0
M
x
y
z
);;( CBAn
)(Oxz
)(Oxy
)(Oyz
z
y
x
O
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
115
laø:
1
x y z
a b c
Ví duï 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Vieát phöông trình maët phaúng (ABC)
Ví duï 2: Trong Kg(Oxyz) cho
1;2;3 , 2; 3;1
A B
. Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua A và vuông góc
với đường thẳng AB.
Ví duï 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
: 2 3 4 0
P x y z
và
: 3 2 1 0
R x y z
. Viết phương
trình mặt phẳng
R
đi qua
1;1;1
A
đồng thời vuông góc với cả
P
và
Q
.
Ví duï 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
M(9;1;1)
, cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
III. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng :
1. Moät soá quy öôùc vaø kyù hieäu:
Hai boä n soá :
1 2
1 2
( , ,..., )
( , ,..., )
n
n
a a a
b b b
ñöôïc goïi laø tyû leä vôùi nhau neáu coù soá
0t
sao cho
1 1
2 2
.
.
n n
a tb
a tb
a tb
Kyù hieäu:
1 2 1 2
: : ... : : : ... :
n n
a a a b b b
hoaëc
1 2
1 2
...
n
n
a
a a
b b b
2. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng
,
xaùc ñònh bôûi phöông trình :
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) : 0 coù VTPT ( ; ; )
( ): 0 coù VTPT ( ; ; )
A x B y C z D n A B C
A x B y C z D n A B C
A
B
C
a
b
c
O
2
n
1
n
1
n
2
n
1
n
2
n
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
116
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
A
( ) caét ( ) A : : : : (hay: )
A
A
( ) // ( )
A
A
( ) ( )
A
B B C C A
B C A B C hoaëc hoaëc
B B C C A
B C D
B C D
B C D
B C D
Ñaëc bieät:
1 2 1 2 1 2
A 0A B B C C
ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
I. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng:
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng
( )
ñi qua ñieåm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
vaø nhaän
1 2 3
( ; ; )a a a a
laøm VTCP laø :
0 1
0 2
0 3
( ) : (t )
x x ta
y y ta
z z ta
2. Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng
( )
ñi qua ñieåm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
vaø nhaän
1 2 3
( ; ; )a a a a
laøm VTCP laø :
0 0 0
1 2 3
( ) :
x x y y z z
a a a
Ví du 1ï:
Ví du 2ï:
Ví du 3:
O
z
y
x
)(
0
M
),,( zyxM
a
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
117
Cho ñieåm M(-2;1;1) vaø ñöôøng thaúng
x 1 2t
(d) : y 1 t
z 3 t
. Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua ñieåm
M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d).
Ví duï 4: Cho ñieåm M(1;2;3) vaø ñöôøng thaúng
x z z
(d) :
1 1 1
. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñieåm
M vaø ñöôøng thaúng (d)
II. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng :
1.Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng :
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho :
ñöôøng thaúng
0 0 0
1 2 3
( ) :
x x y y z z
a a a
coù VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a
vaø qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
vaø maët phaúng
( ) : 0 Ax By Cz D
coù VTPT
( ; ; )n A B C
Khi ñoù :
1 2 3
1 2 3
0 0 0
1 2 3
0 0 0
( ) caét ( ) Aa 0
Aa 0
( ) // ( )
0
Aa 0
( ) ( )
0
Ba Ca
Ba Ca
Ax By Cz D
Ba Ca
Ax By Cz D
Ñaëc bieät:
1 2 3
( ) ( ) a : : : :a a A B C
Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa (
) vaø (
) ta giaûi heä phöông trình :
( )
( )
pt
pt
tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)
Ví duï 1: Cho hai ñieåm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) vaø maët phaúng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toaï ñoä giao ñieåm I cuûa ñöôøng thaúng AB vaø maët phaúng (P).
Ví duï 2: Cho ñieåm M(1;1;1) vaø maët phaúng (P) coù phöông trình:
x 2y 3z 14 0
. Tìm toïa ñoä hình
chieáu vuoâng goùc cuûa M treân maët phaúng (P).
n
M
)(
a
n
M
)(
a
n
M
)(
a
a
n
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
118
Ví duï 3: Cho ñöôøng thhaúng
x 1 y 2 z 2
(d) :
1 5 4
vaø maët phaúng
2
(P) : x 3y 4m z m 0
. Tìm m
ñeå ñöôøng thaúng (d) naèm trong maët phaúng (P).
2. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng :
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng :
0 0 0
1 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' ' '
0 0 0
2 0 0 0 0
' ' '
( ) : coù VTCP ( ; ; ) vaø qua M ( ; ; )
( ) : coù VTCP ( ; ; ) vaø qua M ( ; ; )
x x y y z z
u a b c x y z
a b c
x x y y z z
u a b c x y z
a b c
' '
1 2 0 0
' '
0 0
1 2
' ' '
1 2
( ) vaø ( ) ñoàng phaúng , . 0
, . 0
( ) caét ( )
: : : :
( ) // ( ) : :
u u M M
u u M M
a b c a b c
a b c
' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0 0
' ' ' ' ' '
1 2 0 0 0 0 0 0
' '
1 2 0 0
: : ( ) :( ) :( )
( ) ( ) : : : : ( ) : (
) : ( )
( ) vaø ( ) cheùo nhau , . 0
a b c x x y y z z
a b c a b c x x y y z z
u u M M
Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa
1 2
( ) vaø ( )
ta giaûi heä phöông trình :
1
2
( )
( )
pt
pt
tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)
III. Goùc trong khoâng gian:
1. Goùc giöõa hai maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng
,
xaùc ñònh bôûi phöông trình :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ): 0
A x B y C z D
A x B y C z D
Goïi
laø goùc giöõa hai maët phaúng
( ) & ( )
ta coù coâng thöùc:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
.
A A B B C C
A B C A B C
Ví duï: Cho hai maët phaúng
(P) : x y 2 0 &(Q) : x z 3 0
. Xaùc ñònh goùc giöõa hai maët phaúng
(P) vaø (Q).
0
M
'
0
M
a
1
2
b
0
M
u
'u
1
2
'
0
M
0
M
'
0
M
u
'u
1
2
u
'u
0
M
'
0
M
1
2
);;(
2222
CBAn
);;(
1111
CBAn
00
900
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
119
2. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho ñöôøng thaúng
0 0 0
( ) :
x x y y z z
a b c
vaø maët phaúng
( ) : 0 Ax By Cz D
Goïi
laø goùc giöõa hai maët phaúng
( ) & ( )
ta coù coâng thöùc:
2 2 2 2 2 2
sin
.
Aa Bb Cc
A B C a b c
3.Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng :
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng :
0 0 0
1
0 0 0
2
' ' '
( ) :
( ) :
x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c
Goïi
laø goùc giöõa hai maët phaúng
1 2
( ) & ( )
ta coù coâng thöùc:
' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
cos
.
aa bb cc
a b c a b c
IV. Khoaûng caùch:
1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng
( ) : 0 Ax By Cz D
vaø ñieåm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
Khoaûng caùch töø ñieåm M
0
ñeán maët phaúng
( )
ñöôïc tính bôûi coâng thöùc:
0 0 0
0
2 2 2
( ; )
Ax By Cz D
d M
A B C
Ví duï: Cho hình töù dieän ABCD bieát toïa ñoä caùc ñænh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)
Tính ñoä daøi ñöôøng cao hình töù dieän xuaát phaùt töø D.
);;( CBAn
)(
);;( cbaa
00
900
);;(
1
cbaa
1
2
)';';'(
2
cbaa
00
900
);;(
0000
zyxM
H
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
120
2. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho ñöôøng thaúng (
) ñi qua ñieåm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
vaø coù VTCP
( ; ; )u a b c
. Khi ñoù khoaûng caùch töø ñieåm M
1
ñeán
( )
ñöôïc tính bôûi coâng thöùc:
0 1
1
;
( , )
M M u
d M
u
Ví duï: Cho ñöôøng thaúng :
1 3
( ) :
3 4 1
x y z
d
vaø ñieåm A(1;2;1)
Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán ñöôøng thaúng (d).
3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau :
1 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' ' '
2 0 0 0 0
( ) coù VTCP ( ; ; ) vaø qua M ( ; ; )
( ) coù VTCP ( ; ; ) vaø qua M ( ; ; )
u a b c x y z
u a b c x y z
Khi ñoù khoaûng caùch giöõa
1 2
( ) vaø ( )
ñöôïc tính bôûi coâng thöùc
'
0 0
1 2
, ' .
( , )
; '
u u M M
d
u u
Ví duï: Cho hai ñöôøng thaúng :
1 2
9 6
5 5 1
( ) : vaø (d ) : 2
3 2 2
2
x t
x y z
d y t
z t
Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng (d
1
) vaø (d
2
).
H
u
);;(
0000
zyxM
1
M
)(
0
M
'
0
M
u
'u
1
2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
121
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (A-2012)
Bài 2: (B-2012)
Bài 3: (D-2012)
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
Bài 10:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
122
Bài 11:
Bài 12:
Bài 13:
Bài 14:
Bài 15:
Bài 16:
Bài 17:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
123
MAËT CAÀU TRONG KHOÂNG GIAN
I. Phöông trình maët caàu:
1. Phöông trình chính taéc:
Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz). Phöông trình cuûa maët caàu (S) taâm I(a;b;c), baùn kính R laø :
2 2 2 2
( ) :( ) ( ) ( )
S x a y b z c R
(1)
Phöông trình (1) ñöôïc goïi laø phöông trình
chính taéc cuûa maët caàu
Ñaëc bieät: Khi I
O thì
2 2 2 2
( ) :
C x y z R
2. Phöông trình toång quaùt:
Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz). Phöông trình :
2 2 2
2 2 2 0
x y z ax by cz d
vôùi
2 2 2
0
a b c d
laø phöông trình cuûa maët caàu (S) coù
taâm I(a;b;c), baùn kính
2 2 2
R a b c d
.
Ví duï: Cho 4 ñieåm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Vieát phöông trình maët caàu ñi qua boán ñieåm A, B, C, D. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu
II. Giao cuûa maët caàu vaø maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng
( )
vaø maët caàu (S) coù phöông trình :
( ) : 0
2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) ( )
Ax By Cz D
S x a y b z c R
Goïi d(I;
) laø khoaûng caùch töø taâm maët caàu (S) ñeán maët phaúng
Ta coù :
1. ( ) caét maët caàu (S) d(I; ) < R
2. ( ) tieáp xuùc maët caàu (S)
d(I; ) =R
3. ( ) khoâng caét maët caàu (S) d(
I; ) > R
I
H
R
M
H
M
R
I
I
R
r
H
M
)(S
)(S
)(S
)(C
z
y
x
O
R
);;( zyxM
)(S
I
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
124
Chuù yù:
Khi
cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:
Phương trình là:
0
2 2 2
2
Ax By Cz D
x a y b z c R
Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng
Bán kính
2 2
( , )
r R d I
Ví duï: Cho maët caàu
2 2 2
(S) : x y z 4x 2y 2z 3 0
. Vieát phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu taïi
ñieåm M(0;1;-2).
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (A-2012)
Bài 2: (B-2012)
Bài 3: (D-2012)
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
125
Bài 9:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
125
Chuyên đề 14:
GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM
A. Giới hạn
1. Các giới hạn cơ bản:
1)
x x
0
lim C C
(C laø haèng soá)
2)
0
x x
0
lim f(x) f(x )
(f(x
0
) phaûi xaùc ñònh)
3)
x
lim C C

,
x
1
lim 0
x

,
k
x
1
lim 0
x

,
k
x
C
lim 0
x

Một vài giới hạn đặc biệt
a)
k
x
lim x


với k nguyên dương
b)
k
x
lim x


với k là số lẻ
a)
k
x
lim x


với k là số chẵn.
2. Các quy tắc tính giới hạn:
1)
x x x x x x
0 0 0
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
2)
x x x x x x
0 0 0
lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x)
3)
x x
0
x x
0
x x
0
lim f(x)
f(x)
lim
g(x) lim g(x)
Quy tắc 1: Nếu
0
x x
lim f (x)

và
0
x x
lim g(x) L 0
thì
0
x x
lim f (x).g(x) ?
được cho trong bảng sau:
0
x x
lim f (x)

Dấu của L
0
x x
lim f (x).g(x)




+
+




(Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau:
0 0
x x ;x x ; x ;x
 
)
Quy tắc 2: Nếu
0
x x
lim f (x) L 0
và
0
x x
lim g(x) 0
và
g(x) 0
hoặc
g(x) 0
với mọi
0
x I\
x
,
trong đó I là một khoảng nào đó chứa x
0
thì
0
x x
f (x)
lim ?
g(x)
được cho trong bảng sau:
Dấu của L Dấu của g(x)
0
x x
f (x)
lim
g(x)
+
+
+
+




Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
126
(Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau:
0 0
x x ;x x ; x ;x
 
)
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
a)
3 2
x
lim x 3x 4x 2

b)
3 2
x
lim x 3x 4

c)
4 2
x
lim x 2x 3

d)
4
2
x
x 3
lim x
2 2

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
a)
x
2x 1
lim
x 2

b)
x
2 x
lim
2x 1

a)
x 2
2x 1
lim
x 2
b)
1
x
2
2 x
lim
2x 1
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau
a)
2
2
x
2x 3x 1
lim
x 2x

b)
2
x
2x 3x 1
lim 2x
x 2

a)
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2
b)
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2
B. Liên tục
Các định nghĩa:
Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng
a;b
và
0
x a;b
.
Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x
0
nếu
0
0
x x
lim f (x) f (x )
Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng
a;b
.
Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng
a;b
nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng
a;b
Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn
a;b
.
Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn
a;b
nếu nó liên tục trên khoảng
a;b
và
x a
x b
lim f (x) f (a)
lim f (x) f(b)
Định lý:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng
(tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
3) Các hàm lượng giác
y sin x, y cos x, y tan x, y cot x
liên tục trên tập xác định của chúng.
C. Đạo hàm
1) Ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm:
Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø
0
x (a;b)
.
Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x
0
, kyù hieäu laø f'(x
0
) hay y'(x
0
) laø giôùi haïn höõu haïn (neáu coù)
cuûa
0
x x
0
0
f(x) f(x )
lim
x x
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
127
0
0
x x
0
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x
2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm:
Cho haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x
0
laø f'(x
0
) . (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá
0 0 0
M (x ;f(x )) (C)
vaø
laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M
a) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm:
Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x
0
laø heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi
ñieåm
0 0 0
M (x ;f(x ))
0
k f '(x )
(k tan
với
ox;
)
b) Phöông trình tieáp tuyeán:
Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x
0
thì phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm
M
0
(x
0
;f(x
0
)) laø:
0 0 0
y f '(x )(x x ) f(x )
hay:
0 0
y y k x x
trong đó :
0 0
0
y f(x )
k f '(x )
3. Caùc quy taéc tính ñaïo haøm:
Ñaïo haøm cuûa toång hieäu tích thöông caùc haøm soá
a. Ñaïo haøm cuûa toång ( hieäu ):
vuvu
b. Ñaïo haøm cuûa tích:
v.uv.uv.u
Ñaëc bieät
C.u C.u
Vôùi C laø haèng soá.
c. Ñaïo haøm cuûa thöông:
2
v
v.uv.u
v
u
Ñaëc bieät
2
1 1
v v
và
2
C C.v'
v
v
d. Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp:
Cho hai haøm soá
ufy
vaø
xgu
khi ñoù
xgfy
ñöôïc goïi laø haøm hôïp cuûa hai
haøm soá treân, khi ñoù:
xux
u.yy
3. Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá cô baûn:
(C): y=f(x)
0
x
x
0
f(x )
y
0
M
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
128
0
C
( C laø haèng soá )
x ' 1
C.x ' C
Với u là một hàm số
n n 1
x n.x
n N,n 2
n n 1
u n.u .u
2
1 1
x x
(x 0)
2
1 u
u u
x
x
2
1
x 0
u
u
u
2
xcosxsin
ucosuusin
xsinxcos
usinuucos
2
2
1
tan x 1 tan x
cos x
2
2
u
tan u (1 tan u).u
cos u
2
2
1
cot x 1 cot x
sin x
2
2
u
cot u 1 cot u .u
sin u
2
dcx
b.cd.a
dcx
bax
2
11
111
2
1
11
2
2
bxa
cabbxbaxaa
bxa
cbxax
....
Đạo hàm của hàm số mũ:
'
x x
e e
' .ln
x x
a a a
' . '
u u
e e u
(với u là một hàm số)
' . ln . '
u u
a a a u
(với u là một hàm số)
Đạo hàm của hàm số lôgarit:
1
ln '
x
x
và
1
ln '
x
x
'
ln '
u
u
u
và
'
ln '
u
u
u
(với u là một hàm số)
1
log '
ln
a
x
x a
và
1
log '
ln
a
x
x a
'
log '
.ln
a
u
u
u a
và
'
log '
.ln
a
u
u
u a
(với u là một hàm số)
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Ví duï 1 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau
4
3 2 2
2
1 x 3
1) y x 4x 5x 11 2) y x
3 2 2
2x 1 3x 2x 1
3) y= 4)
y
3x 2 2x 1
Ví duï 2 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
129
3 2
1) y 2sin x sin2x 2) y 3cos2x 2 cosx
4 x
3) y= 2sinx sin x 4) y sin x
3 2
Ví duï 3 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
2 2
1) y x 2x 5 2) y x 1 4 x
2
3) y= 3 x x 1
4)
1
2
2
x
x
y
Ví duï 4: Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1)
xxy 4
2)
1
2
3
x
x
y
3)
xxy 42
4)
2
2 xxy
Ví dụ 5: Tính
f '(x)
và giải phương trình
f '(x) 0
khi biết
1)
3 2
f (x) 2x 3x 36x 10
2)
4 2
f (x) x 2x 3
3)
2
x 2x 2
f (x)
x 1
4)
2
2
x 8x 7
f (x)
x 1
Ví dụ 6: Tính
f '(x)
và lập bảng xét dấu của
f '(x)
khi biết
1)
3 2
1 3
f (x) x x 5
4 2
2)
4 2
f (x) x 8x 6
3)
3x 1
f (x)
1 x
4)
2
x x 1
f (x)
x 1
Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
1)
3
y x 3x 2
tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2.
2)
4 2
y x 2x
tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8.
3)
2x 3
y
2x 1
tại giao điểm của (C) với trục tung.
Ví dụ 8 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
1)
3
y x 3x 2
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
2)
4 2
y x 2x
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y 24x
.
3)
2x 3
y
2x 1
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
y x
2
.
C. VI PHÂN
Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích
f '(x). x
gọi là vi phân của hàm số
y f (x)
, ký hiệu là
df (x) f '(x). x
(1) . Đặc biệt với hàm số
y x
ta có
dx x '. x x
nên (1) có thể viết thành:
df (x) f '(x).dx
--------------------Hết----------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
126
Chuyeân ñeà 15:
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1:TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Trongbàinàychúngtasẽứngdụngđạohàmđểxéttínhđơnđiệu(tứclàtínhđồngbiếnvànghịchbiến)của
hàmsố.Đồngthờisẽxétcácứngdụngcủatínhđơnđiệutrongviệcchứngminhbấtđẳngthức,giảiphương
trình,bấtphươngtrìnhvàhệphươngtrình.
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
GiảsửKlàmộtkhoảng,mộtđoạnhoặcmộtnữakhoảngvàflàhàmsốxácđịnhtrênK.
I) ĐỊNH NGHĨA
Hàmsốfđượcgọilàđồng biến(tăng)trênKnếu

1 2 1 2 1 2
x ,x K, x x f x f x
Hàmsốfđượcgọilànghịch biến (giảm)trênKnếu

1 2 1 2 1 2
x ,x K, x x f x f x
Minh họa:
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
x
y
K=(-1;0)
K=(1/2;1)
y=f(x)=x
4
-2x
2
+2
Nếuhàmsốđồng biếntrênKthìđồthịđi lêntừtráisangphải
Nếuhàmsốnghịch biếntrênKthìđồthịđi xuốngtừtráisangphải
HàmsốđồngbiếnhaynghịchbiếntrênKđượcgọichunglàhàm số đơn điệu trênK.
II) CÁC ĐỊNH LÝ
1) Định lý 1:Chohàmsố
y f (x)
cóđạohàmtrênK.
a)Nếuhàmsố
f (x)
đồng biếntrênKthì
f '(x) 0
vớimọi
x K
b)Nếuhàmsố
f (x)
nghịch biếntrênKthì
f '(x) 0
vớimọi
x K
[f(x)đồngbiếntrênK]
[
f '(x) 0
vớimọi
x K
]
[f(x)nghịchbiếntrênK]
[
f '(x) 0
vớimọi
x K
]
2) Định lý 2:Chohàmsố
y f (x)
cóđạohàmtrênK.
a)Nếu
f ' x 0
vớimọi
x K
thìhàmsố
f (x)
đồng biến trênK
b)Nếu
f ' x 0
vớimọi
x K
thìhàmsố
f (x)
nghịch biếntrênK
c)Nếu
f ' x 0
vớimọi
x K
thìhàmsố
f (x)
không đổitrênK
[
f '(x) 0
vớimọi
x K
]
[f(x)đồngbiếntrênK]
[
f '(x) 0
vớimọi
x K
]
[f(x)nghịchbiếntrênK]
[
f '(x) 0
vớimọi
x K
]
[f(x)khôngđổitrênK]
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
131
Chú ý quan trọng:
KhoảngKtrongđịnhlýtrêncóthểđượcthaybởimộtđoạnhoặcmộtnữakhoảng.Khiđóphảibổsunggiảthiết
"Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó". Cụthể
Nếuhàmsốliên tụctrênđọan
a;b
vàcóđạohàm
f '(x) 0
trênkhoảng
a;b
thìhàmsốfđồngbiến
trênđoạn
a;b
Nếuhàmsốliên tụctrênđọan
a;b
vàcóđạohàm
f '(x) 0
trênkhoảng
a;b
thìhàmsốfnghịch
biếntrênđoạn
a;b
3) Định lý 3:(Định lý mở rộng)Chohàmsố
y f (x)
cóđạohàmtrênK.
a)Nếu
f ' x 0
vớimọi
x K
và
f ' x 0
chỉtạimộtsốđiểmhữuhạnthuộcK
thìhàmsố
f (x)
đồngbiếntrênK.
b)Nếu
f ' x 0
vớimọi
x K
và
f ' x 0
chỉtạimộtsốđiểmhữuhạnthuộcK
thìhàmsố
f (x)
nghịchbiếntrênK.
Tính đơn điệu của hàm số bậc ba
4) Định lý 4: Chohàmsốbậcba
3 2
y f x ax bx cx d a 0
,tacó
2
f ' x 3ax 2bx c
.
a)Hàmsố
3 2
y f x ax bx cx d a 0
đồng biếntrên
2
f ' x 3ax 2bx c 0 x
b)Hàmsố
3 2
y f x ax bx cx d a 0
nghịch biếntrên
2
f ' x 3ax 2bx c 0 x
B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
I. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
1.Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số.
Ví dụ 1:Tìmcáckhoảngđơnđiệucủacáchàmsốsau
3 2 3 2
4
2 4 2
2
a)y f x x x x 3b)y f x x 3x 9x 11
x
c)y f x 2x 6d)y f x x 4x 3
4
3x 1 x 2x 2
e)y f x f )y f x
x 1 x 1
Ví dụ 2:Xétchiềubiếnthiêncủacáchàmsốsau 

2
a)y x 2 x b)y x 4 x
2
x 3 x
c)y d)y
2 2
x 1 x 1
2.Dạng 2: Định tham số để hàm số đơn điệu trên một miền K cho trước.
Ví dụ 1: Tìmcácgiátrịcủathamsốmđểhàmsố
a)
3 2
1
y x mx m 6 x 2m 1
3
đồngbiếntrên
b)
3 2
1
y x m 1 x m 3 x 4
3
nghịchbiếntrên
Ví dụ 2:Tìmcácgiátrịcủathamsốmsaochohàmsố
3 2 2
f x x m 1 x 2m 1 x m 2
a)Đồngbiếntrên
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
132
b)Đồngbiếntrênnữakhoảng
3
;
2

Ví dụ 3:Tìmcácgiátrịcủathamsốasaochohàmsố
3 2 2
1 1
f x x ax 2a 3a 1 x 3a
3 2
a)Nghịchbiếntrên
b)Nghịchbiếntrênmỗinữakhoảng
; 1
và
3;

Ví dụ 4:Tìmcácgiátrịcủathamsốmsaochohàmsố
3 2
f x x 3x 3mx 1
nghịchbiếntrênkhoảng
0;

(Khối A-2013)
II. CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO
1.Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức.
a) Ví dụ 1:Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau:
i)
sin x x
vớimọi
x 0;
2
ii)
2
x
cos x 1
2
vớimọi
x 0;
2
b) Ví dụ 2:Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau:
i)
2sin x tan x 3x
vớimọi
x 0;
2

ii)
sin x tan x 2x
vớimọi
x 0;
2
2.Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Bổ sung các tính chất của tính đơn điệu
Tính chất 1:Giảhàmsố
y f x
đồngbiến(nghịchbiến)trênkhoảng
a;b
và
u; v a;b
tacó:
f u f v u v

Tính chất 2:Giảhàmsố
y f x
đồngbiếntrênkhoảng
a;b
và
u; v a;b
tacó:
f u f v u v

Tính chất 3:Giảhàmsố
y f x
nghịchbiếntrênkhoảng
a;b
và
u; v a;b
tacó:

f u f v u v

Tính chất 4:Nếuhàmsố
y f x
đồng biến trên
a;b
và
y g x
làmhàm hằnghoặclàmộthàm
số nghịch biếntrên
a;b
thìphươngtrình
f x g x
cónhiềunhấtmộtnghiệmthuộckhoảng
a;b
 Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếucó
0
x a;b
saocho
0 0
f x g x
thìphươngtrình
f x g x
cónghiệmduy nhất trên
a;b
a) Ví dụ 1: Giảiphươngtrình
x 9 2x 4 5
b) Ví dụ 2: Giảiphươngtrình
2
x cos x 0
4 2
c) Ví dụ 3: Giảiphươngtrình
2 2
x 15 3x 2 x 8
d) Ví dụ 4:Giảibấtphươngtrình
x 2 3 x 5 2x
e) Ví dụ 5:Giảihệphươngtrình
cot x cot y x y
5x 8y 2
với
x, y 0;
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
133
f)Ví dụ 6:Giảihệphươngtrình:
x y 1 y 1 x 0
x 1 y 2
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1:Tìmcáckhoảngđơnđiệucủacáchàmsốsau
3 2 4 2
2
a)y f x x 3x 9x 5b)y f x x 2x 3
2x 1 x 2x 3
c)y f x d)y f x
x 1 x 2
Bài 2:Lậpbảngbiếnthiêncủacáchàmsốsau
2
a)y x 4 x
b)y x 1 9 x
c)y x 1 8 x x 1 8 x
Bài 3:Chohàmsố
3 2
1
y a 1 x ax 3a 2 x 2
3
Tìmađểhàmsốđồngbiếntrên
Bài 4:Tùytheomhãyxétsựbiếnthiêncủahàmsố
2
y x m x m
Bài 5:Giảicácphươngtrìnhsau:

2
3
a) 4x 1 4x 1 1
b) sin x cos x 2x 1 0
c)4x 12x 8 cos3x 9cos x 0
Bài 6:Giảibấtphươngtrình
2
x x 6 x 2 18
Bài 7:Giảihệphươngtrình
3 2
3 2
3 2
2x 1 y y y
2y 1 z z z
2z 1 x x x
Bài 8:ChotamgiácABCcóbagócnhọn.Chứngminhrằng:
sin A sin B sin C tan A tan B tan C 2
------------------------Hết-----------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
134
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
135
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
136
CÁC BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC
Bài 1: (B-2014)
Bài 2: (B-2013)
Bài 3: (A-2012)
Bài 4: (B-2012)
Bài 5: (D-2012)
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
Bài 10:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
137
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
138
Bài 3:
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
I) ĐỊNH NGHĨA: Giảsửhàmsố
y f x
xácđịnhtrêntậphợpD.
SốMđượcgọilàGTLNcủahàmsố
y f x
trêntậpDnếucácđiềusauđượcthỏamãn

0 0
i)f x M x D
ii) x D : f x M
 Ký hiệu:
x D
M Max f x
SốmđượcgọilàGTNNcủahàmsố
y f x
trêntậpDnếucácđiềusauđượcthỏamãn

0 0
i)f x m x D
ii) x D : f x m
 Ký hiệu:
x D
m min f x
Minh họa:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
y=f(x)=x
3
-3x+4
-5/2
3/2
m=33/8
M=6
D=[-5/2;3/2]
Quy ước:TaquyướcrằngkhinóiGTLNhayGTNNcủahàmsốfmàkhôngnói"trêntậpD"thìtahiểu
đólàGTLNhayGTNNtrênTẬP XÁC ĐỊNHcủanó.
ĐốivớiGTLNvàGTNNđốivớihàmnhiềubiếncũngcóđịnhnghĩatươngtự.
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
139
II) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN:
1) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
(hay phương pháp dùng định nghĩa).
Một số kiến thức thường dùng:
a)
2 2
( ) ( )
2 4
b
f x ax bx c a x
a a
b)Bất đẳng thức Cô-si:
Vớihaisốa,bkhôngâm
a, b 0
taluôncó:
a b
ab a b 2 ab
2
Dấu"="xảyrakhi
a b
Vớibasốa,b,ckhôngâm
a, b,c 0
taluôncó:
3 3
a b c
abc a b c 3 abc
3
Dấu"="xảyrakhi
a b c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
1)
2 2
2 2
2
2
a b
a b ab ab

2)
2
2
( )
( ) 4
4
a b
a b ab ab
3)
2
2 2 2 2 2
( )
( ) 2( ) a
2
a b
a b a b b
2) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
(hay phương pháp miền giá trị).
Cơ sở lý thuyết của phương pháp:Chohàmsốxácđịnhbởibiểuthứcdạng
y f x
Tập xác địnhcủahàmsốđượcđịnhnghĩalà:
D
{
x |
f(x)có nghĩa}
Tập giá trịcủahàmsốđượcđịnhnghĩalà:
T={
y |
Phươngtrìnhf(x)=ycó nghiệm
x D
}
DođónếutatìmđượctậpgiátrịTcủahàmsốthìtacóthểtìmđựơcGTLNvàGTNNcủa
hàmsốđó.
Một số kiến thức thường dùng:
a)Phươngtrình
2
ax bx c 0 a 0
cónghiệm
0
b)Phươngtrình
a cos x bsin x c a,b 0
cónghiệm
2 2 2
a b c
3) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).
Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
 Định lý:Hàmsốliên tụctrênmộtđoạn
a;b
thìđạtđượcGTLNvàGTNNtrênđoạnđó.
(Weierstrass 2)
Phương pháp chung: MuốntìmGTLNvàGTNNcủahàmsố
y f x
trênmiềnD,talập BẢNG
BIẾN THIÊNcủahàmsốtrênDrồidựavàoBBTsuyrakếtquả.
Phương pháp riêng:
Trongnhiềutrườnghợp,cóthểtìmGTLNvàGTNNcủahàmsốtrênmộtđoạnmàkhôngcầnlập
bảngbiếnthiêncủanó.Giảsửhàmsố
f
liêntụctrênđoạn
;a b
vàcóđạohàmtrênkhoảng
;a b
,
cóthểtrừmộtsốhữuhạnđiểm.Nếu
'( ) 0
f x
chỉtạimộtsốhữuhạnđiểmthuộc
;a b
thìtacóquy
tắctìmGTLNvàGTNNcủahàm
f
trênđoạn
;a b
nhưsau:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
140
Quy tắc
1) Tìmcácđiểm
1 2
, ,...,
m
x x x
thuộc
;a b
màtạiđóhàmsố
f
cóđạohàmbằng
0
hoặckhôngcó
đạohàm.
2) Tính
1 2
( ), ( ),..., ( ), ( ), ( )
m
f x f x f x f a f b
.
3) Sosánhcácgiátrịtìmđược.
SốlớnnhấttrongcácgiátrịđólàGTLNcủa
f
trênđoạn
;a b

SốnhỏnhấttrongcácgiátrịđólàGTNNcủa
f
trênđoạn
;a b

Chú ý: Phảikiểmtratínhliêntụccủahàmsố
y f x
trênđoạn
a;b
,tránhápdụngmộtcáchhình
thức.
B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
1) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 1:TìmGTLNcủahàmsố
2
f x 2x 8x 1
Ví dụ 2:TìmGTNNcủahàmsố
2
f x 2x 4x 12

Ví dụ 3:TìmGTNNcủacáchàmsốsau
a)
2
f x x
x 1
với
x 1;

b)
7
f (x) x 3
x 3
2) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
Ví dụ 1 :TìmGTLNvàGTNNcủahàmsố
2
2
x x 2
y
x x 2
Ví dụ 2:TìmGTLNvàGTNNcủahàmsố
1 sin x
y
2 cos x
3) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm
Ví dụ 1:TìmGTLNvàGTNNcủacáchàmsốsau:
1)
2
16 2 12
y x x
trênđoạn
1
0;
4
2)
2
9
4
y x x
trênđoạn
4
1;
3
3)
3 2
y x 3x 9x 35
trênđoạn
4,4
4)
3
2
2 3 4
3
x
y x x
trênđoạn
4,0
5)
x 2
y
x 2
trênđoạn
0;2
6)
3
2
x
y
x
trênđoạn
1;2

7)
2
2 3 3
1
x x
y
x
trênđoạn
0;2
8)
2
2 5 4
2
x x
y
x
trênđoạn
1;1

Ví dụ 2:TìmGTLNvàGTNNcủahàmsố
1)
3
4
y 2sin x sin x
3
trênđoạn
0;
2)
4 2
y cos x 6cos x 5

3)
3
6 2
4 1
y x x
trênđoạn
1;1
4)
4 4
sin cos 2
y x x

Ví dụ 3:TìmGTLNvàGTNNcủacáchàmsốsau:
1)
2
4
y x x
 2)
2
2 8
y x x
3)
y 2 x 4 x

4)
2
y x 4 x
5)
2
1 1
y x x
6)
2 2
1 1
y x x
7)
2 2
1
4
4
y x x x x
(TN THPT 2014)
8)
2 2
4 21 3 10
y x x x x
(Khối D-2010)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
141
ỨNG DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ
TRONG PT VÀ BPT
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ
Giảsử
f x
làhàmsốliên tụctrênmiềnDvàđạtGTLN, GTNNtrênmiềnấy.Kýhiệu:
x D
x D
M Max f x
m min f x
Khi đó ta có các kết luận sau:
1)Phươngtrình
f x a
cónghiệm
x D
m a M
Ví dụ 1: Tìmađểphươngtrìnhsaucó nghiệm
2 x 4 x a
Ví dụ 2: Tìmmđểphươngtrìnhsaucó nghiệm
2
x m 4 x 0
Ví dụ 3: Tìmmđểphươngtrìnhsaucó nghiệm
2
x 3 x 1 4x x 2m 1 0
Ví dụ 4: Tìmmđểphươngtrìnhsaucó nghiệm
x 3;0

2
2 2
x 2x m 1 x 2x m 1 0
2)Bấtphươngtrình
f x a
có nghiệm
x D
a M

Bấtphươngtrình
f x a
có nghiệm
x D
a m
Ví dụ : Tìmađểbấtphươngtrìnhsaucónghiệm
x 1 4 x a
3)Bấtphươngtrình
f x a
nghiệm đúng với mọi
x D
a m

Bấtphươngtrình
f x a
nghiệm đúng với mọi
x D
a M
Ví dụ : Tìmmđểbấtphươngtrìnhsaunghiệmđúngvớimọi
x 2;2

2
x m 4 x 0
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
142
B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
Bài 1:Chophươngtrình
2 x 2 x 2 x 2 x m
(1)
Tìmmđểphươngtrình(1)cónghiệm
Bài 2:Chophươngtrình
2 2 x 6 x 2 x 6 x 3m 1 0
(1)
Tìmmđểphươngtrình(1)cónghiệm
Bài 3:Chophươngtrình
2
2 2
x 1 2x 2 x 3m 2 0
(1)
Tìmmđểphươngtrình(1)cónghiệm
Bài 4:Chophươngtrình
2 2
x 2 x x 2 x 5m 1 0
(1)
Tìmmđểphươngtrình(1)cónghiệm
Bài 5:Chophươngtrình
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x
(1)
Tìmmđểphươngtrình(1)cónghiệm
Bài 6: Chophươngtrình
4 4
2 sin x cos x cos4x 2sin2x m 0
(1)
Tìmmđểphươngtrình(1)cónghiệm
x 0;
2
Bài 7:Chobấtphươngtrình
2
x 4 6 x x 2x m
(1)
Tìmmđểbấtphươngtrình(1)nghiệmnghiệmđúngvớimọi
4 x 6
--------------------------Hết----------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
143
Bài 4:
CUNG LỒI - CUNG LÕM VÀ ĐIỂM UỐN
TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Khái nhiệm về cung lồi, cung lõm và diểm uốn

Tạimọiđiểmcủacung
AC
,tiếptuyếnluônluônởphía trên của
AC
.Tanói
AC
làmộtcung lồi.
Tạimọiđiểmcủacung
CB
,tiếptuyếnluônluônởphía dưới của
CB
.Tanói
CB
làmộtcung lõm.
ĐiểmCphâncáchgiữacunglồivàcunglõmđượcgọilàđiểm uốncủađồthị.Tạiđiểmuốntiếptuyến
đixuyênquađồthị.
2. Dấu hiệu nhận biết lồi, lõm và điểm uốn
Định lý 1:Chohàmsố
y f (x)
cóđạohàmcấphaitrênkhoảng
a;b
.
Nếu
f ''(x) 0
vớimọi
x a;b
thìđồthịcủahàmsốlồitrênkhoảngđó.
Nếu
f ''(x) 0
vớimọi
x a;b
thìđồthịcủahàmsốlõmtrênkhoảngđó.
Định lý 2:Chohàmsố
y f (x)
cóđạohàmcấphaitrênkhoảng
a;b
và
0
x a;b
Nếu
f "(x)
đổi dấu khixđiquax
0
thìđiểm
0 0 0
M x ;f (x )
làđiểm uốncủađồthịhàmsốđãcho.
3. Áp dụng
Ví dụ:Tìmkhoảnglồilõmvàđiểmuốncủađồthịcáchàmsốsau
a)
3 2
y x 3x 2
b)
4 2
y x 2x 3
-------------------------Hết------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
144
Bài 5:
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang
 Định nghĩa 1
Định nghĩa 2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
145
2. Đường tiệm cận xiên
 Định nghĩa 3
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
146
3. Áp dụng
Ví dụ : Tìmcácđườngtiệmcậncủađồthịcáchàmsốsau
a)
2x 1
y
x 1
b)
1 2x
y
x 2
c)
2
x 2x 3
y
x 2
d)
2
x 2x 2
y
x 1
-------------------------Hết-------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
147
Bài 6:
KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Dựa vào chương trình SGK + đáp án của BGD để biên soạn
Chương trình Cơ bản + Nâng cao
1.Hàmsố
3 2
y ax bx cx d a 0
1) Tập xác định:
D
2) Sự biến thiên:
a)Chiềubiếnthiên:
+
y' ?

y' 0 x ?
+Xétdấuy':
x

?

y' ?

-Kếtluậnvềcáckhoảngđơnđiệucủahàmsố.
b)Cựctrị:kếtluậnvềcựctrịcủahàmsố.
c)Giớihạn:

x
lim y ?

và
x
lim y ?

(Chỉnêukếtquảkhôngcầngiảithíchchitiết)
d)Bảngbiếnthiên:
x -
?+
y' ?
y ?
(Bảngbiếnthiênphảiđầyđủmọichitiết)
 3) Đồ thị:
Giaođiểmcủađồthịvớicáctrụctọađộ:
+GiaođiểmvớiOy:
x 0 y ?
+GiaođiểmvớiOx(nếu có):
y 0 x ?

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
148
2.Hàmsố
4 2
y ax bx c a 0
1) Tập xác định:
D
2) Sự biến thiên:
a)Chiềubiếnthiên:
+
y' ?

y' 0 x ?
+Xétdấuy'
x

?

y' ?

-Kếtluậnvềcáckhoảngđơnđiệucủahàmsố.
b)Cựctrị:kếtluậnvềcựctrịcủahàmsố.
c)Giớihạn:

x
lim y ?

và
x
lim y ?

(Chỉnêukếtquảkhôngcầngiảithíchchitiết)
d)Bảngbiếnthiên:
x -
?+
y' ?
y ?
(Bảngbiếnthiênphảiđầyđủmọichitiết)
 3) Đồ thị:
Giaođiểmcủađồthịvớicáctrụctọađộ:
+GiaođiểmvớiOy:
x 0 y ?
+GiaođiểmvớiOx(nếu có):
y 0 x ?

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
149
Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ
Dựa vào chương trình SGK + đáp án của BGD để biên soạn
Chương trình Cơ bản + Nâng cao
3.Hàmsố
ax b
y c 0, ad bc 0
cx d
1) Tập xác định:
d
D \
c
2) Sự biến thiên:
a)Chiềubiếnthiên:
+
2
ad bc
y'
cx d
;kếtluận
y' 0
hoặc
y' 0
vớimọi
d
x
c

-Kếtluậnvềcáckhoảngđơnđiệucủahàmsố
b)Cựctrị:hàmsốkhôngcócựctrị
c)Giớihạnvàtiệmcận:
+
d d
x x
c c
d
lim y ? vaø lim y ? x
c
làtiệmcậnđứng
+
 
x x
a a a
lim y vaø lim y y
c c c
làtiệmcậnngang
(Chỉnêukếtquảkhôngcầngiảithíchchitiết)
d)Bảngbiếnthiên:
x
-

d
c
+
y' ??
y ??
(Bảngbiếnthiênphảiđầyđủmọichitiết)
 3) Đồ thị:
Giaođiểmcủađồthịvớicáctrụctọađộ:
+GiaođiểmvớiOy:
x 0 y ?
+GiaođiểmvớiOx:
y 0 x ?

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
150
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcáchàmsốsau
1)
3 2
y x 3x 4
2)
3 2
y x 3x 4
3)
3 2
y x 3x 4x 2
4)
3 2
y x 3x 4x 2
5)
3 2
y x 3x 3x 2
6)
3 2
y x 3x 3x 2
7)
3
2
2 2
3
y x x
8)
3
3 1y x x
9)
2 3
3
y x x
10)
3 2
3 3 9y x x x
Bài 2:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcáchàmsốsau
1)
4 2
y x 2x 3
2)
4 2
y x 2x 3
3)
4 2
y x 2x 3
4)
4 2
y x 2x 3
5)
4 2
1 1
3
4 2
y x x
6)
4
2
3
2 2
x
y x
7)
2
2
1
y x
8)
2 4
8
y x x
Bài 3:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcáchàmsốsau
1)
2x 1
y
x 1
2)
1 x
y
x 2
3)
4 1
2 3
x
y
x
4)
1 2
2
x
y
x
5)
2
2
x
y
x
6)
3 2
1
x
y
x
Bài 4:Chohàmsố
3 2 2
y x 2m 1 x m 3m 2 x 4
1)Tìmmđểđồthịhàmsốđãchocóđiểmcựcđạivàđiểmcựctiểu.
2)Tìmmđểđồthịhàmsốđãchocóđiểmcựcđạivàđiểmcựctiểuởvềhaiphíacủatrụctung.
Bài 5:Chohàmsố
3 2
1
y x mx m 6 x 2m 1
3
Tìmmđểđồthịhàmsốđãchođồngbiếntrên
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
151
Bài 7:

CAÙC BAØI TOAÙN CÔ BAÛN
COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
1.BAØI TOAÙN 1 :
ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ
COÙ MANG DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
Phöông phaùp chung:
Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö sau:
Böôùc 1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái .
Böôùc 2: Söû duïng ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái
Phaân tích haøm soá ñaõ cho thaønh caùc phaàn khoâng coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái
( Daïng haøm soá cho bôûi nhieàu coâng thöùc)
Böôùc 3: Veõ ñoà thò töøng phaàn roài gheùp laïi( Veõ chung treân moät heä truïc toïa ñoä).
* Caùc kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng:
1. Ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái :
0A neáu
0A neáu
A
A
A
3. Moät soá tính chaát veà ñoà thò:
a) Ñoà thò cuûa hai haøm soá y=f(x) vaø y=-f(x) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh
b) Ñoà thò haøm soá chaün nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng
c) Ñoà thò haøm soá leû nhaän goác toïa ñoä laøm taâm ñoái xöùng
* Hai daïng cô baûn
Baøi toaùn toång quaùt:
Töø ñoà thò (C) :y=f(x), haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:
1
2
(C ) : y f (x)
(C ) : y f ( x )
Ví dụ:
Töø ñoà thò (C) :
3
y x 3x 2
, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:
3
1
3
2
(C ) : y x 3x 2
(C ) : y x 3 x 2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
152
Daïng 1: Töø ñoà thò
)(:)()(:)(
1
xfyCxfyC
Caùch giaûi
B1. Ta coù :
(2) 0f(x) neáu
(1) 0f(x) neáu
)(
)(
)(:)(
1
xf
xf
xfyC
B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C
1
) nhö sau:
Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (1) )
Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ( do (2) )
Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C
1
)
Minh hoïa
Daïng 2: Töø ñoà thò
2
(C) : y f (x) (C ) : y f( x )
( ñaây laø haøm soá chaün)
Caùch giaûi
B1. Ta coù :
2
f (x) x 0(1)
(C ) : y f( x )
f ( x) x 0(2)
neáu
neáu
B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C
2
) nhö sau:
Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do (1) )
Laáy ñoái xöùng qua Oy phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy
( do do tính chaát haøm chaün )
Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân traùi truïc Oy (neáu coù) ta seõ ñöôïc (C
2
)
Minh hoïa:
x
Minh ho
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x
3
-3x+2
f(x )=x^3-3*x+2
f(x )=abs(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x
3
-3x+2
23:)(
3
1
xxyC
y=x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
f(x)=x ^3-3* x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x
3
-3x+2
f(x) =x ^3-3*x+2
f(x) =a bs( x^3)-abs(3*x)+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x
3
-3x+2
23:)(
3
2
xxyC
y=x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
x
y
y
x
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
153
Baøi 1: Cho haøm soá : xxy 3
3
(1)
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)
2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:
xxya 3)
3
b)
xxy 3
3
Baøi 2: Cho haøm soá :
1
1
x
x
y
(1)
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)
2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:
1
1
)
x
x
ya
b)
1
1
x
x
y
c)
1
1
x
x
y
d)
1
1
x
x
y
2.BAØI TOAÙN 2 :
SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
154
Baøi toaùn toång quaùt:
Trong mp(Oxy) . Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò hai haøm soá :
1
2
(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)
(C
1
) vaø (C
2
) khoâng coù ñieåm chung (C
1
) vaø (C
2
) caét nhau (C
1
) vaø (C
2
) tieáp xuùc nhau
Phöông phaùp chung:
* Thieát laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá ñaõ cho:
f(x) = g(x) (1)
* Tùytheosoá nghiệmcuûa phöông trình (1) màtakếtluậnvềsốđiểmchung
củahaiđồthị (C
1
) vaø (C
2
) .
Lưu ý:
Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C
1
) vaø (C
2
).
Ghi nhôù: Soá nghieäm cuûa pt (1) = soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C
1
) vaø (C
2
).
Chuù yù 1 :
* (1) voâ nghieäm
(C
1
) vaø (C
2
) khoâng coù ñieåm ñieåm chung
* (1) coù n nghieäm
(C
1
) vaø (C
2
) coù n ñieåm chung
Chuù yù 2 :
* Nghieäm x
0
cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C
1
) vaø (C
2
).
Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y
0
= f(x
0
) hoaëc y
0
= g(x
0
).
AÙp duïng:
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 1: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C):
2
y x x 2
vaø ñöôøng thaúng
y x 2
Bài 2: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cong (C):
2
y x 4
vaø (C'):
2
y x 2x
Bài 3: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C):
3 2
1
y x x
3
vaø ñöôøng thaúng
5
(d) : y 3x
3
Bài 4: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C):
1
12
x
x
y
vaø ñöôøng thaúng
13:)(
xyd
Bài 5:Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C):
y x
vaø ñöôøng thaúng
(d) : y x 2
Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt
x
y
y
y
x
x
OO
O
)(
1
C
)(
2
C
)(
1
C
)(
2
C
1
x
2
x
1
M
2
M
2
y
1
y
0
M
)(
2
C
)(
1
C
x
y
0
y
0
x
O
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
155
Baøi 1 : Chohàmsố
2x 1
y
x 2
.Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsốmđểđườngthẳng
y mx 2
cắtđồthị
hàmsốđãchotạihaiđiểmphânbiệt.
Baøi 2 : Chohàmsố
3 2x
y
x 1
.Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsốmđểđườngthẳng
y mx 2
cắtđồthị
hàmsốđãchotạihaiđiểmphânbiệt.
Baøi 3: Cho haøm soá
2
( 1)( )y x x mx m
(1)
Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät.
Baøi 4: Cho haøm soá
3 2
3 2
y x x mx m
(1)
Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät.
Baøi 5: Cho haøm soá
4 2
1
y x mx m
(1)
Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät.
Dành riêng cho chương trình nâng cao
Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haøm soá :
Ñònh lyù : Chohaiđồthị
1
2
(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)
(C
1
) tieáp xuùc vôùi (C
1
)
heä :
' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
coù nghieäm
Bài 1: Chứngminhrằnghaiđườngcong
3
5
(C) : y x x 2
4
và
2
(C') : y x x 2
tiếpxúcnhau.tạimột
điểmnàođó.
Bài 2: Tìmkđểđườngthẳng
(d) : y kx
tiếpxúcvớiđườngcong
3 2
(C) : y x 3x 1
Bài 3: Tìmkđểđườngthẳng
(d) : y k x 2 7
tiếpxúcvớiđườngcong
3 2
(C) : y x 3x 2
Bài 4: Tìmkđểđườngthẳng
(d) : y k x 1 3
tiếpxúcvớiđườngcong
2x 1
(C) : y
x 1
Bài 5: Tìmkđểđườngthẳng
(d) : y k x 5
tiếpxúcvớiđườngcong
2
x x 1
(C) : y
x 1
3.BAØI TOAÙN 3:
TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG
M
O
)(
1
C
)(
2
C
y
x
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
156
a. Daïng 1:
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm
0 0 0
M (x ;y ) (C)
Phöông phaùp:
Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x
0
;y
0
) coù daïng:
y - y
0
= k ( x - x
0
) hay
0 0 0
y f '(x )(x x ) f(x )
Trong ñoù : x
0
: hoaønh ñoä tieáp ñieåm
y
0
: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y
0
= f(x
0
)
k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k = f
'
(x
0
)
AÙp duïng:
Bài 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá
3 2
3 1
y x x
taïi điểmtrênđồthịcóhoànhđộ
x 1
.
(CĐ -2014)
Bài 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá 33
3
xxy taïi điểmtrênđồthịcóhoànhđộ
x 2
.
Bài 3:Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá
2x 3
y
x 1
taïi điểmtrênđồthịcóhoànhđộ
x 3
.
Bài 4:Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá
3x 2
y
x 1
taïi điểmtrênđồthịcótungđộ
y 2
.
Bài 5:Chohàmsố
3 2
y 2x 3x 1
(1).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvớiđồthị(C)củahàmsố(1)tạiđiểm
trên(C)cóhoành
0
x
,biếtrằng
0
y''(x ) 0
Bài 6: Chohàmsố
4 2
8 12
y x x
(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C),khibiếttungđộtiếpđiểmlà
12
y
.
Bài 7: Chohàmsố
2 3
1
x
y
x
(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C)tạicácgiaođiểmcủa(C)vàđường
thẳng
3y x
(TN THPT 2014)
b. Daïng 2:
(C):y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0
M
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
157
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc
Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau
Böôùc 1: Goïi
0 0
( ; ) ( )M x y C
laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C)
Böôùc 2: Tìm x
0
baèng caùch giaûi phöông trình :
'
0
( )f x k
, töø ñoù suy ra
0 0
( )y f x
=?
Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y
0
= k ( x - x
0
) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.
Bài 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá
3
y x 3x
biếttiếptuyếncóhệsốgóc
k 9
Bài 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá
2x 1
y
x 2
biếttiếptuyếncóhệsốgócbằng
5
Bài 3: Chohàmsố
3
3 2y x x
,cóđồthịlà
( )C
.Tìmtọađộđiểm
M
thuộc
( )C
saochotiếptuyếncủa
( )C
tại
M
cóhệsốgócbằng
9
.(Khối D-2014)
Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp
tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc .
Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau:
Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng (
) coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa (
) laø:
k a
Ñònh lyù 2: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng
1 2
( ) vaø ( )
. Khi ñoù:
1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
k .k 1
AÙp duïng:
(C):y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0
M
(C):y=f(x)
x
y
ak /1
O
baxy
:
2
(C):y=f(x)
x
y
ak
baxy
1
2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
158
Bài 4: Cho ñöôøng cong (C):
3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): y = 4x+2.
Bài 5: Cho ñöôøng cong (C):
2x 3
y
2x 1
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuônggóc vôùi ñöôøng thaúng
1 3
( ) : y x
2 2
Bài 6: Cho ñöôøng cong (C):
x 2
y
2 x
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuônggóc vôùi ñöôøng thaúng
( ) : y 4x 2011
c. Daïng 3:
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(x
A
;y
A
)
Phöông phaùp : Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau
Böôùc 1: Viếtphươngtrìnhtiếptuyến(d)với(C)tạiđiểmM
0
(x
0
;y
0
)
( )C
0 0 0
( ) : '( )( ) ( )d y f x x x f x
(*)
Böôùc 2: Ñònh x
0
ñeå (d) điquađiểmA(x
A
;y
A
). Ta coù:
(d) điquađiểmA(x
A
;y
A
)
0 0 0
'( )( ) ( )
A A
y f x x x f x
(1)
Böôùc 3: Giaûi pt (1) tìm x
0
. Thay x
0
tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.
AÙp duïng:
Bài 7: Cho ñöôøng cong (C): 43
23
xxy
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1)
Bài 8: Cho ñöôøng cong (C):
2 5
2
x
y
x
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0).
Phương pháp dành cho chương trình nâng cao
x
y
AAAA
yxxkyxxkyy
)()(:
O
);(
AA
yxA
)(:)( xfyC
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
159
Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau
Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (
) qua A vaø coù heä soá
goùc laø k bôûi coâng thöùc:
( ) ( )
A A A A
y y k x x y k x x y
(*)
Böôùc 2: Ñònh k ñeå (
) tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù:
A
'
f(x)=k(x-x )
tieáp xuùc (C) heä coù nghieäm (1)
f ( )
A
y
x k
Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.
AÙp duïng:
Bài 9: Cho ñöôøng cong (C): 43
23
xxy
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1)
Bài 10: Cho ñöôøng cong (C):
2 5
2
x
y
x
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0).
4
.
BAØI TOAÙN 4:
BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
160
Cô sôû cuûa phöông phaùp:
Xeùt phöông trình f(x) = g(x) (1)
Nghieäm x
0
cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C
1
):y=f(x) vaø (C
2
):y=g(x)
Bài toán : Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình dạng : f(x) = m (*)
Phöông phaùp:
Böôùc 1: Xem (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò:
( ) : ( ) : (C) laø ñoà thi coá ñinh
( ) : : ( ) laø ñöôøng thaúng di ño
äng cuøng phöông Ox
vaø caét Oy taïi M(0;m)
C y f x
y m
Böôùc 2: Veõ (C) vaø (
) leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä
Böôùc 3: Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa (
) vaø (C)
Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa phöông trình (*)
Minh hoïa:
AÙp duïng:
Bài 1: 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) củahaøm soá
3 2
y x 3x 4
2) Dựavàođồthị(C),bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:
3 2
x 3x 4 m
3) Tìm m ñeå phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät:
3 2
x 3x 2 m 0
Bài 2: 1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsố
3
y 2x 6x 1
2)Dựavàođồthị(C),biệnluậntheomsốnghiệmcủaphươngtrình:
3
2x 6x 1 m 0
Bài 3:1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsố
3 2
y x 3x
2)Dựavàođồthị(C),biệnluậntheomsốnghiệmcủaphươngtrình:
3 2
x 3x m 0
Bài 4: 1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố
4 2
y x 2x
y
x
)(:)( xfyC
);0( m
1
m
2
m
my
O
y
x
0
x
)(
1
C
)(
2
C
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
161
2)Tìmmđểphươngtrìnhsaucó4nghiệmphânbiệt:
4 2
x 2x m 0
Bài 5: 1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố
3 2
y x 3x 2
2)Tìmmđểphươngtrìnhsaucó3nghiệmphânbiệt,trongđócóhainghiệmlớnhơn1

3 2
x 3x 2 3m
Bài 6: 1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố
2 3
y 3x x
2)Tìmmđểphươngtrìnhsaucó3nghiệmphânbiệt:
2 3
3x x 3m 0
Bài 7: 1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố
2 4
y 8x x
2)Biệnluậntheomsốnghiệmcủaphươngtrình
4 2
x 8x m
Bài 8: 1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố
2
2
y x 1
2)Biệnluậntheomsốnghiệmcủaphươngtrình
4 2 2
x x m x 1
-------------------Hết-----------------
5. BAØI TOAÙN 5:
HOÏ ÑÖÔØNG CONG
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
162
BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong ),(:)( mxfyC
m
( m laø tham soá )
Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï )(
m
C ñi qua ñieåm );(
000
yxM cho tröôùc.
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI:
Ta coù :
Hoï ñöôøng cong )(
m
C ñi qua ñieåm );(
000
yxM
),(
00
mxfy (1)
Xem (1) laø phöông trình theo aån m.
Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M
0
Cuï theå:
Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M
0
Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M
0
Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M
0
Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M
0
laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong )(
m
C
TÌM ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG
BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong ),(:)( mxfyC
m
( m laø tham soá )
Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (C
m
)
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Böôùc 1: Goïi );(
000
yxM laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) maø hoï (C
m
) ñi qua. Khi ñoù phöông trình:
),(
00
mxfy nghieäm ñuùng
m (1)
Böôùc 2: Bieán ñoåi phöông trình (1) veà moät trong caùc daïng sau:
Daïng 1:
0
BAm
m
Daïng 2:
0
2
CBmAm
m
AÙp duïng ñònh lyù:
0
BAm
0
0
B
A
m (2)
0
0
0
0
2
C
B
A
mCBmAm
(3)
Böôùc 3: Giaûi heä (2) hoaëc (3) ta seõ tìm ñöôïc );(
00
yx
Ví dụ:
6. BAØI TOAÙN 6:
TÌM CAÙC ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
163
Bài 1:Chohàmsố
2
1
x
y
x
cóđồthịlà
( )C
.
Tìmtọađộđiểm
M
thuộc
( )C
saochokhoảngcáchtừ
M
đếnđườngthẳng
y x
bằng
2

(Khối A-2014)
Baøi 2: Cho haøm soá
2
3 6
2
x x
y
x
Tìm treân ñoà thò haøm soá taát caû nhöõng ñieåm coù caùc toaï ñoä laø nguyeân .
Baøi 3: Cho haøm soá
2 1
1
x
y
x
Tìm treân ñoà thò haøm soá nhöõng ñieåm coù toång khoaûng caùch ñeán hai tieäm caän nhoû nhaát
Baøi 4:Chohàmsố
2
y 2x(1 x )
GọiA,Blàcácgiaođiểmcủa(C)vớitrụchoành(khácgốctọađộO).TìmcácđiểmIthuộc(C)
saochotamgiácIABvuôngtạiI.
LUYỆN GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
164
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
Bài 10:
Bài 11:
Bài 12:
Bài 13:
Bài 14:
Bài 15:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
165
Bài 16:
----------------------------------Heát-----------------------------------
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
164
Chuyeân ñeà 16:
NGUYEÂN HAØM -TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG
TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
I. ÑÒNH NGHÓA NGUYEÂN HAØM :
* Ñònh nghóa : Haøm soá F(x) goïi laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a , b) neáu : F’(x) = f(x) , x(a ; b)
Neáu thay khoaûng (a , b) baèng ñoaïn [a , b] thì ta phaûi coù theâm :
F '(a ) f(a)
F '(b ) f(b)
* Ñònh lyù :
Cho F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a , b)
G(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a,b)
G(x) = F(x) + C
(C : haèng soá )
. Nhaän xeùt : Neáu haøm soá f(x) coù 1 nguyeân haøm laø F(x) thì noù coù voâ soá nguyeân haøm, taát caû caùc nguyeân haøm
ñeàu coù daïng F(x) + C vaø coøn goïi laø hoï caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x), kyù hieäu :
f(x)dx
Vaäy : F(x) laø 1 nguyeân haøm cuûa f(x) thì :
f(x)dx F(x) C
II. SÖÏ TOÀN TAÏI NGUYEÂN HAØM :
Moïi haøm soá lieân tuïc treân [a,b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù.
III. CAÙC TÍNH CHAÁT :
.
( f(x)dx)' f(x)
.
a.f(x)dx a f(x)dx
(a 0)
.
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
.
f(t)dt F(t) C f[u(x)].u'(x)dx F u(x) C
(1)
Đặt u = u(x) thì du = u’(x)dx
Vaäy (1)
f(t)dt F(t) C f(u)du F(u) C
* Tröôøng hôïp ñaëc bieät : u = ax +b
1
f(t)dx F(t) C f(ax b)dx F(ax b) C
a
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
165
IV. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn:
Baûng 1 Baûng 2
Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C
a ( haèng soá) ax + C
x
1
1
x
C
( )ax b
a
1
1
( )
1
ax b
C
1
x
ln
x C
1
ax b
1
ln
ax b C
a
x
a
ln
x
a
C
a
ax b
A
1
.
ln
ax b
A
C
A a
x
e
x
e C
ax b
e
1
ax b
e C
a
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1
cos( )
ax b C
a
cosx sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )
ax b C
a
2
1
cos x
tanx + C
2
1
cos ( )ax b
1
tan( )
ax b C
a
2
1
sin x
-cotx + C
2
1
sin ( )ax b
1
cot( )
ax b C
a
'
( )
( )
u x
u x
ln ( )
u x C
2 2
1
x a
1
ln
2
x a
C
a x a
tanx
ln cos
x C
cotx
ln sin
x C
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
166
Phöông phaùp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản
Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân
haøm cô baûn
Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi
löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn.
Ví dụ: Tính
1)
1
2
1
I dx
x 4
2)
2
2
2x 9
I dx
x 3x 2
3)
2
3 2
2x 5x 3
I dx
x x 2x
4)
4
x
dx
I
e 2
Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1.
3
1
( ) cos
1
f x x
x x
2.
2
2x 5
f(x)
x 4x 3
Phương pháp 2
: Phương pháp đổi biến số
Định lí cơ bản:
Cách thực hiện: Tính
f u(x) u'(x)dx
bằng pp đổi biến số
Bước 1: Đặt
u u(x) du u'(x)dx
Bước 2: Tính
f u(x) u'(x)dx f(u)du F(u) C F u(x) C
Ví dụ: Tính
2
I x cos 3 x dx
Kỹ thuật: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân
Ví duï: Tính
1.
5
cos sin
x xdx
2.
tan
cos
x
dx
x
3.
1 ln x
dx
x
4)
3sin x
cos x.e dx
5)
ln x
dx
x
6)
tan x
2
e
dx
cos x
7)
dx
x ln x
8)
dx
sin x
9)
4
dx
cos x
Phương pháp 3
: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí cơ bản:
Ví dụ: Tính
1)
1
I x 1 sin xdx
2)
2x
2
I x 2 e dx
3)
3
I x ln xdx
4)
4
I ln xdx
5)
2
I x 1 ln xdx
6)
x
6
I e cosxdx
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
167
I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN
1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân
;a b
. Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
( Coâng thöùc NewTon - Leipniz)
2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân:
Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì :
( ) 0
a
a
f x dx
Tính chaát 2:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân
;a b
thì:
( )
b
a
cdx c b a
Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân
;a b
vaø
( ) 0f x
thì
( ) 0
b
a
f x dx
Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân
;a b
vaø
( ) ( ) x a;b
f x g x thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân
;a b
vaø
( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M
thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân
;a b
thì
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân
;a b
vaø k laø moät haèng soá thì
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân
;a b
vaø c laø moät haèng soá thì
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân
;a b
cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa
laø :
( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
168
Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau:
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)
2)
1
0
x
dx
2x 1
3)
1
0
x 1 xdx
4)
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1
7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
8)
3
2
0
4sin x
dx
1 cos x
9)
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
10)
2
4
0
cos 2xdx
11) 12)
1
x
0
1
dx
e 1
. 12)
dxxx )sin(cos
4
0
44
13)
4
0
2sin21
2cos
dx
x
x
14)
2
0
13cos2
3sin
dx
x
x
15)
2
0
sin25
cos
dx
x
x
16)
0
2
2
32
4
dx
xx
Baøi 2:
1)
3
2
3
x 1dx
2)
4
2
1
x 3x 2dx
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx
4)
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
5)
3
x
0
2 4dx
6)
dxxx
2
0
2
Baøi 3:
1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá
f(x) Asin x B
thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän
'
f (1) 2
vaø
2
0
f(x)dx 4
2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12
II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ :
1) DAÏNG 1:Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
baèng caùch ñaët t = u(x)
Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1:
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Caùch thöïc hieän:
Böôùc 1: Ñaët dxxudtxut )()(
'
Böôùc 2: Ñoåi caän :
)(
)(
aut
but
ax
bx
Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI (tieáp tuïc tính tích phaân môùi)
Bài 1: (B-2012)
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
169
Bài 2: Tính caùc tích phaân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
2)
2
5
0
cos xdx
3)
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
4)
4
4
0
1
dx
cos x
5)
e
1
1 ln x
dx
x
6)
e
2
1
1 ln x
dx
x
7)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
8)
2
0
22
sin4cos
2sin
dx
xx
x
9)
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
10)
2
0
sin
cos)cos(
xdxxe
x
11)
e
dx
x
xx
1
lnln31
12)
4
0
2
2sin1
sin21
dx
x
x
2) DAÏNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
baèng caùch ñaët x =
(t)
Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2:
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
Caùch thöïc hieän:
Böôùc 1: Ñaët dttdxtx )()(
'
Böôùc 2: Ñoåi caän :
t
t
ax
bx
Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tieáp tuïc tính tích phaân môùi)
Tính caùc tích phaân sau:
1)
1
2
0
1 x dx
2)
1
2
0
1
dx
1 x
3)
1
2
0
1
dx
4 x
4)
1
2
0
1
dx
x x 1
5)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x
6)
2
2 2
1
x 4 x dx
II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
170
Tính caùc tích phaân sau:
1)
8
2
3
1
1
dx
x x
2)
7
3
3 2
0
1
x
dx
x
3)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
4)
2
2 3
0
1x x dx
5)
32
5
2
4xx
dx
6)
1
0
311 x
dx
III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN:
Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn:
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Caùch thöïc hieän:
Böôùc 1: Ñaët
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn :
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Böôùc 3: Tính
b
a
vu.
vaø
b
a
vdu
Bài 1: (D-2012)
Bài 2: (A-2012)
Bài 3:
Tính caùc tích phaân sau:
1)
2
0
x 1 sin2xdx
2)
2
2
0
2x 1 cos xdx
3)
3
2
2
ln x x dx
4)
2
3
1
ln x
dx
x
5)
2
5
1
ln x
dx
x
6)
2
2
0
x cos xdx
7)
e
2
1
x ln xdx
8)
2
0
xsin x cos xdx
9)
4
2
0
x(2 cos x 1)dx
10)
1
2 2x
0
(x 1) e dx
11)
e
2
1
(x ln x) dx
12)
1
0
2
)2( dxex
x
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
171
1
C
y
2
C
y
2
C
x
1
C
x
13)
1
0
2
)1ln( dxxx
14)
e
dx
x
x
1
ln
15)
2
0
3
sin)cos(
xdxxx
16)
2
0
)1ln()72( dxxx
17)
e
3 2
1
x ln xdx
18)
3
2
1
1 ln 1x
I dx
x
IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG:
Coâng thöùc:
b
a
dxxgxfS )()(
b
a
dyygyfS )()(
Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau:
1) (H
1
):
3x 1
y
x 1
y 0
x 0
2) (H
2
):
2
2
y x
x y
3) (H
3
) :
2
2
y x 2x
y x 4x
4) (H
4
):
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
5) (H
5
):
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x
V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY.
Coâng thöùc:
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC
)(:)(
2
xgyC
ax
bx
O
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
yfxC
)(:)(
2
ygxC
ay
by
O
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
172
dxxfV
b
a
2
)(
dyyfV
b
a
2
)(
Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : y = x
2
+ x - 5 ; x + y - 3 = 0
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox
Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :
y x;y 2 x;y 0
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Oy
Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng :
2 2
4 ; 2
y x y x
.
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox
------------------------------Heát-------------------------------
a
b
0
y
)(:)( xfyC
b
ax
bx
x
y
O
b
a
x
y
0
x
O
)(:)( yfxC
by
ay
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
173
Chuyên đề 17:
SỐ PHỨC
A. SOÁ PHÖÙC. COÄNG, TRÖØ, NHAÂN, CHIA SOÁ PHÖÙC.
I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT.
1. Soá phöùc laø moät bieåu thöùc daïng a + bi, trong ñoù a, b laø caùc soá thöïc vaø soá i thoûa maõn
2
1
i
.
Kí hieäu
z a bi
i: ñôn vò aûo, a: phaàn thöïc, b: phaàn aûo.
Chuù yù:
z a 0i a
ñöôïc goïi laø soá thöïc
(a )
z 0 bi bi
ñöôïc goïi laø soá aûo (hay số thuần ảo)
0 0 0i
vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo
2. Bieåu dieãn hình hoïc cuûa soá phöùc:
M(a;b) bieåu dieãn cho soá phöùc z z = a + bi
3. Hai soá phöùc baèng nhau. Cho hai soá phöùc
z a bi
vaø
z ' a ' b 'i
vôùi
a,b,a ',b'
a a '
z z '
b b'
4. Coäng vaø tröø soá phöùc. Cho hai soá phöùc
z a bi
vaø
z ' a ' b 'i
vôùi
a,b,a ',b'
z z ' a a ' b b' i
z z' a a ' b b' i
5. Nhaân hai soá phöùc. Cho hai soá phöùc
z a bi
vaø
z ' a ' b 'i
vôùi
a,b,a ',b'
z.z' aa ' bb' ab' a 'b i
6. Moâñun cuûa soá phöùc z = a + bi
2 2
z a b OM
7. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø
z a bi
z z
z z
2z z a
2
2 2
.
z z a b z
8. Chia hai soá phöùc.
x
y
a
b
O
M
x
y
a
b
O
M
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
174
Cho hai soá phöùc
z a bi
vaø
z ' a ' b 'i
vôùi
a,b,a ',b'
o Thöông cuûa z’ chia cho z (z
0)
:
2
2 2 2 2
' ' '
z z z z z ac bd ad bc
i
z a b a b
zz
z
B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI TREÂN TẬP SOÁ PHÖÙC
1. Caên baäc hai cuûa soá phöùc
o
z 0
coù moät caên baäc hai laø 0
o
z a
laø soá thöïc döông coù 2 caên baäc 2 laø
a
o
z a
laø soá thöïc aâm coù 2 caên baäc hai laø
a .i
2. Phöông trình baäc nhất ax + b = 0 (a, b, c laø soá phức cho tröôùc, a
0
).
Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực
3. Phöông trình baäc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a, b, c laø soá thöïc cho tröôùc, a
0
).
Tính
2
b 4ac
o
0
: Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät thực
1 2
b
x ,
2a
o
0
: Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät phức
1 2
b i
x ,
2a
o
0
: Phöông trình coù 1 nghieäm keùp laø
b
x
2a
II. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của của các số phức sau
1)
2 4 3 5 7 4 3z i i i
2)
2
3 2 1
z i i
3)
3
1 4 1
z i i
4)
2
1 2 2
z i i
5)
2 2
4 3 2
z i i
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của của các số phức sau
1)
2
3 2
i
z
i
2)
3
1 2
i
z
i i
3)
2
1 5
2
1
i
z i
i
4)
2
1 3
1 2
1
i
z i
i
5)
2 3
4 5
i
z
i
6)
2
2 3
1
i
z
i
Bài 3: Tìm môđun của các số phức sau
1)
3
4 3 1
z i i
2)
2
1 2 3z i i
3)
2
1 3 1 2z i i
4)
3
1 2
i
z
i i
5)
2 3
4 3 1 2z i i
Bài 4:
1)
2x yi 3 2i x yi 2 4i
2)
2
1 2 1 0
i x i y
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
175
3)
2
5 12x yi i
4)
2
1 1 2 3i x yi i i
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1)
2 3 5 4iz z i
2)
3 2 1 2i z i i
3)
(3 2i)z 4 5i 7 3i
4)
z
2 3i 5 2i
4 3i
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1)
2
3 2 0
z z
2)
2
4 7 0
z z
3)
2
2 5 4 0
z z
4)
2
7 0
z z
Bài 7: Giaûi phöông trình sau treân tập soá phöùc
1) z
4
– 5z
2
– 6 = 0 2) z
4
+7z
2
– 8 = 0
3) z
4
– 8z
2
– 9 = 0 4) z
4
+ 6z
2
+ 25 = 0
Bài 8: Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M treân maët phaúng phöùc bieåu dieãn cho soá phöùc z thoûa maõn:
1)
z i z 2 3i
; 2)
z 3 1
3)
3 4 2
z i
4)
1 1z i
5)
2 3 5
z i
Bài 9: Cho số phức
2 2
2
5 3 2
1 2
i i
z
i
. Hãy tính
z
Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn
2 3 4 5 6z i i i
ĐỀ THI TRONG CÁC NĂM QUA
Bài 1. Giải phương trình
2
2 5 4 0
x x
trên tập số phức.
TN THPT – 2006
Đáp số:
1
5 7
4 4
x i
;
2
5 7
4 4
x i
Bài 2. Giải phương trình
2
4 7 0
x x
trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 1)
Đáp số:
1
2 3x i
;
2
2 3x i
Bài 3. Giải phương trình
2
6 25 0
x x
trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 2)
Đáp số:
1
3 4x i
;
2
3 4x i
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức:
2 2
(1 3 ) (1 3 )P i i
TN THPT – 2008 (lần 1)
Đáp số:
4P
Bài 5. Giải phương trình
2
2 2 0
x x
trên tập số phức.
TN THPT – 2008 (lần 2)
Đáp số:
1
1x i
;
2
1x i
Bài 6. Giải phương trình
2
8 4 1 0
z z
trên tập số phức.
TN THPT – 2009 (CB)
Đáp số:
1
1 1
4 4
x i
;
2
1 1
4 4
x i
Bài 7. Giải phương trình
2
2 6 5 0
z z
trên tập số phức.
TN THPT – 2010 (GDTX)
Đáp số:
1
3 1
2 2
x i
;
2
3 1
2 2
x i
Bài 8. Cho hai số phức:
1
1 2z i
,
2
2 3z i
. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2
2z z
.
TN THPT – 2010 (CB)
Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
Bài 9. Cho hai số phức:
1
2 5z i
,
2
3 4z i
. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2
.z z
.
TN THPT – 2010 (NC)
Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
176
Bài 10. Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 10 0
z z
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
| | | |A z z
.
ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số: A = 20
Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn
| (2 ) | 10
z i và
. 25z z
.
ĐH Khối B – 2009 (CB)
Đáp số: z = 3 + 4i
z = 5
Bài 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
| (3 4 ) | 2z i
.
ĐH Khối D – 2009
Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – 4 ), bán kính R = 2.
Bài 13. Cho số phức z thỏa mãn:
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z
. Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB)
Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 14. Tìm phần ảo của số phức z, biết:
2
( 2 ) (1 2 )z i i
.
ĐH Khối A – 2010 (CB) Đáp số:
2
Bài 15. Cho số phức z thỏa mãn:
3
(1 3 )
1
i
z
i
. Tìm môđun của
z iz
.
ĐH Khối A – 2010 (NC)
Đáp số:
8 2
Bài 16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
| | | (1 ) |z i i z
.
ĐH Khối B – 2010 (CB)
Đáp số: đường tròn
2 2
( 1) 2
x y
Bài 17. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện
| | 2
z
và z
2
là số thuần ảo.
ĐH Khối D – 2010
Đáp số: z
1
= 1 + i; z
2
= 1 – i; z
2
= –1 –i; z
4
= –1+ i.
Bài 18. Cho số phức z thỏa mãn:
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i
. Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB)
Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 19. Cho số phức z thỏa mãn:
2
1 2 4 20
i z z i
. Tính môđun của z.
CĐ Khối A – 2011
Đáp số:
5
z
Bài 20. Cho số phức z thỏa mãn:
2
2 1 2 0z i z i
. Tìm phần thực và phần ảo của
1
z
.
CĐ Khối A – 2011
Đáp số: Phần thực
1
2
; Phần ảo
1
2
.
Bài 21. Tìm số phức z, biết:
2 3 1 9z i z i
ĐH Khối D– 2011 (CB)
Đáp số:
2 z i
Bài 22. Tìm số phức z, biết:
5 3
1 0
i
z
z
ĐH Khối B – 2011 (NC)
Đáp số:
1 3;2 3
i i
Bài 23. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
1
i
z
i
ĐH Khối B – 2011 (NC)
Đáp số:
2; 2 a b
Bài 24. Tìm tất cả các số phức z, biết
2
2
z z z
ĐH Khối A – 2011 (CB)
Đáp số:
1 1
0;
2 2
z z i
Bài 25. Tính môđun cua số phức số z, biết
2 1 1 1 1 2 2z i z i i
ĐH Khối A – 2011 (NC)
Đáp số:
2
3
z
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
177
Bài 26: (A-2012)
Bài 27: (B-2012)
Bài 28: (D-2012)
Bài 29: (D-2012)
--------------------------Hết------------------------
| 1/200
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 1 PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN 1. a  2 b  2 a ab  2 ( ) 2
b a2  b2  (a b 2 )  ab 2 2. a  2 b  2 a ab  2 ( ) 2
b a2  b2  (a b 2 )  ab 2 3. 2 a  2 b  (a  ) b (a  ) b 4. a  3 b  3 a  2 a b  2 ab  3 ( ) 3 3 b 3 3 3
a b  (a b)  3 ( ab a  ) b 5. a  3 b  3 a  2 a b  2 ab  3 ( ) 3 3 b 6. 3 a  3 b a  2 b a ab  2 ( )( b ) 7. 3 a  3 b a  2 b a ab  2 ( )( b ) 2
8. abc  2 a  2 b  2
c  2ab  2ac  2bc
A. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ Nhắc lại:
1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng
a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức).
b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức (khác không).
c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó. Lưu ý:
+ Chia hai vế của phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng mất nghiệm.
+ Bình phương hai vế của phương trình đề phòng dư nghiệm.
2) Caùc böôùc giaûi moät phöông trình
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù) Böôùc 4: Keát luaän 1
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3. Các phương pháp giải phương trình đại số thường sử dụng
a) Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình ñaõ cho veà phöông trình ñaõ bieát caùch giaûi
b) Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi phöông trình ñaõ cho veà daïng tích soá : A.B = 0; A.B.C = 0.  A  0  A  0 Ñònh lyù: . A B   0   ; . A .
B C  0  B  0 B  0   C   0 
c) Phöông phaùp 3: Ñaët aån phuï ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng ñaõ bieát caùch giaûi. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
I. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát:  soá aån : x 1. Daïng : ax + b = 0 (1)  a, tham : b soá 2. Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : (1)  ax = -b (2) Bieän luaän: b
 Neáu a  0 thì (2)  x   a
 Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh 0.x = -b
* Neáu b  0 thì phöông trình (1) voâ nghieäm
* Neáu b = 0 thì phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x Toùm laïi : b
 a  0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x   a
 a = 0 vaø b  0 : phöông trình (1) voâ nghieäm
 a = 0 vaø b = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình:
Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = 0 (1) ta coù:
 (1) coù nghieäm duy nhaát  a  0 a  0  (1) voâ nghieäm   b  0 a  0
 (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x   b  0 2
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai:  soá aån : x 1. Daïng: 2
ax bx c  0 (1)  a, , b tham : c soá
2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Xeùt hai tröôøng hôïp
Tröôøng hôïp 1: Neáu a  0 thì (1) laø phöông trình baäc nhaát : bx + c = 0 c
 b  0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x   b
 b = 0 vaø c  0 : phöông trình (1) voâ nghieäm
 b = 0 vaø c = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
Tröôøng hôïp 2: Neáu a  0 thì (1) laø phöông trình baäc hai coù b Bieät soá 2
  b  4ac ( hoaëc ' 2 '
  b '  ac vôùi b  ) 2 Bieän luaän:
 Neáu   0 thì pt (1) voâ nghieäm b ' b
 Neáu   0 thì pt (1) coù nghieäm soá keùp x x  
( x x   ) 1 2 2a 1 2 ab   ' ' b  
 Neáu   0 thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x  ( x  ) 1,2 2a 1,2 a LUYỆN TẬP 2 x  2x 3
Bài 1: Giải phương trình:  x  2 4 1 4 x  2
Bài 2: Giải phương trình: 6  x   5 2   x   x  2 2 3
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai:
Ñònh lyù : Xeùt phöông trình : 2
ax bx c  0 (1) a  0  a  0
 Pt (1) voâ nghieäm  b  0 hoaëc     0 c  0 a  0
 Pt (1) coù nghieäm keùp     0 a  0
 Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät     0 a  0
 Pt (1) coù hai nghieäm     0 a  0 
 Pt (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x  b  0  c  0 Ñaëc bieät
Neáu pt(1) coù heä soá a,c thoaû a.c < 0 thì pt(1) luoân coù hai nghieäm phaân bieät. LUYỆN TẬP Bài 1: Cho phương trình 2
3mx  6mx m 1  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 1
Kết quả: m  0  m  4 3x  2 Bài 2: Cho phương trình
x m (1) x  2
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Kết quả: m  1 m  9
4. Ñònh lyù VIEÙT ñoái vôùi phöông trình baäc hai:
 Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai : 2
ax bx c  0 ( a  0 ) coù hai nghieäm x1, x2 thì  b
S x x     1 2 a   c
P x .x    1 2 a
 Ñònh lyù ñaûo : Neáu coù hai soá x, y maø x y S vaø x.y  P ( 2
S  4P) thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình 2 X  S.X  P  0 4
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
 YÙ nghóa cuûa ñònh lyù VIEÙT:
Cho pheùp tính giaù trò caùc bieåu thöùc ñoái xöùng cuûa caùc nghieäm ( töùc laø bieåu thöùc chöùa x1, x2 vaø khoâng 2 2 x x 1 1
thay ñoåi giaù trò khi ta thay ñoåi vai troø x 1 2
1,x2 cho nhau .Ví duï: A    ) maø khoâng caàn 2 2 x x x x 1 2 1 2
giaûi pt tìm x1, x2 , tìm hai soá khi bieát toång vaø tích cuûa chuùng …. Chuù yù: c
 Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a+b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø x  1 vaø x  1 2 a c
 Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a-b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø x  1 vaø x   1 2 a LUYỆN TẬP 3x  2 Bài 1: Cho phương trình  mx (1) x  2
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x x  0 . 1 2 1 2 3 Kết quả: m  2 3x  2 Bài 2: Cho phương trình
x m (1) x  2
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x x  3 . 1 2 2 1 Kết quả: m  10 2x  3 Bài 3: Cho phương trình
 2x m (1) x  2 1 1
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn  . 1 2
x  22 x  22 1 2
Kết quả: m  2
5. Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai:
Döïa vaøo ñònh lyù Vieùt ta coù theå suy ra ñònh lyù sau:
Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai : 2
ax bx c  0 (1) ( a  0 )  > 0 
 Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät  P > 0 S > 0   > 0 
 Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät  P > 0 S < 0 
 Pt (1) coù hai nghieäm traùi daáu  P < 0 5
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
II. Phöông trình truøng phöôngï: 1.Daïng : 4 2
ax bx c  0 ( a  0 ) (1) 2.Caùch giaûi:
 Ñaët aån phuï : x2= t ( t  0 ). Ta ñöôïc phöông trình: 2
at bt c  0 (2)
Giaûi pt (2) tìm t. Thay t tìm ñöôïc vaøo x2= t ñeå tìm x.
Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (2) maø ta suy ra ñöôïc soá nghieäm cuûa phöông trình (1) LUYỆN TẬP Bài 1: Cho phương trình 4
x  m   2 2
1 x  2m  3  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Bài 2: Cho phương trình 4
x   m   2 3
2 x  3m  1 (1)
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 .  1   m  1 Kết quả:  3 m  0  Bài 3: Cho phương trình 4
x   m   2 3
2 x  3m  1 (1)
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt x , x , x , x sao cho 2 2 2 2
x x x x x x x x  4 . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 Kết quả: m  3 Bài 4: Cho phương trình 4
x  m   2 2
1 x  2m 1  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt x , x , x , x sao cho x x x x và 1 2 3 4 1 2 3 4
x x x x x x . 4 3 3 2 2 1 4
Kết quả: m  4  m   9 6
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
III . Phöông trình baäc ba: 1. Daïng: 3 2
ax bx cx d  0 (1) ( a  0 )
2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1)
Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x0
Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân
töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá : (1)  (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0 x x 0   2
Ax Bx C  0 (2)  Sô ñoà Hoocne: a b c d x0 A B C 0 (soá 0) Trong ñoù:
a  A, x .A  b  B, x .B  c  C, x .C  d  0 0 0 0
Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù) Chuù yù
Ta coù theå aùp duïng phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng kyû thuaät söû duïng sô ñoà HOOÙCNE, ñeå
giaûi caùc phöông trình ña thöùc baäc cao (vôùi ñieàu kieän nhaåm ñöôïc moät nghieäm cuûa ña thöùc).
Ví dụ: Giải phương trình 4 3 2
x  8x  6x  24x  9  0 LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải phương trình: a) 3 2
3x 16x  23x  6  0 b) 3 2
x  3x  2x  4  0 Bài 2: Cho phương trình 3 2
x  3x  m  2 x  2m  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt. Bài 3: Cho phương trình 3
x   m   2 2
3 x  2  mx m  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt. Bài 4: Cho phương trình: 3 2
x  3mx  3m  
1 x  6m  6  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x , x , x thỏa mãn hệ thức 2 2 2
x x x x x x  20 . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2
Kết quả: m  2, m   3
Baøi 5: Cho phöông trình: 3 2
x  3x mx 1  x m  2 (1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieäm phaân bieät x , x , x sao cho biểu thức 1 2 3 T  2  2 2 2
x x x  2 2 2
 3x x x  5 đạt GTNN 1 2 3 1 2 3 7
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 11 11 Kết quả: min T  khi m  3 3
IV. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN QUY VEÀ BAÄC HAI BAÈNG PHEÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 1.Daïng I: 4 2
ax bx c  0 ( a  0 )
 Ñaët aån phuï : t = x2
2. Daïng II. (x a)(x b)(x c)(x d)  k ( k  0 ) trong ñoù a+b = c+d
 Ñaët aån phuï : t = (x+a)(x+b) 3.Daïng III: 4 4
(x a)  (x b)  k ( k  0 ) a b
 Ñaët aån phuï : t = x  2 4.Daïng IV: 4 3 2
ax bx cx bx a  0
Chia hai veá phöông trình cho x2 1
 Ñaët aån phuï : t = x x LUYỆN TẬP
Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 4 2
x 10x  9  0
2. (x  1)(x  2)(x  3)(x  4)  3 3. 2 2
(x  3x  4)(x x  6)  24 4. 4 4
(x  2)  (x  3)  1 5. 4 3 2
x  3x  6x  3x 1  0 8
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ Nhaéc laïi:
Caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông bất phöông trình thöôøng söû duïng:
1) Chuyeån veá moät bieåu thöùc cuûa bpt töø veá naøy sang veá kia (nhôù ñoåi daáu bieåu thöùc)
2) Nhaân hoaëc chia hai veá cuûa bpt vôùi moät haèng soá hoaëc moät bieåu thöùc khaùc 0 Ghi nhớ quan trọng:
+ Âm thì đổi chiều
+ Dương thì không đổi chiều
3) Thay thế moät bieåu thöùc trong bpt bôûi moät bieåu thöùc khaùc baèng vôùi bieåu thöùc ñoù.
I. Baát phöông trình baäc nhaát:
1. Daïng : ax b  (1) 0 (hoaëc , ,  ) 2. Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : ) 1 (
ax  b (2) Bieän luaän: b
 Neáu a  0 thì (2)  x   a b
 Neáu a  0 thì (2)  x   a
 Neáu a  0 thì (2) trôû thaønh : 0.x  b
* b  0 thì bpt voâ nghieäm
* b  0 thì bpt nghieäm ñuùng vôùi moïi x
II. Daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát:
1. Daïng: f (x)  ax b (a  0)
2. Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc: x b      a
ax+b Traùi daáu vôùi a 0 Cuøng daáu vôùi a 9
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
III. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai: 1. Daïng: 2
f (x)  ax bx c (a  0)
2. Baûng xeùt daáu cuûa tam thöùc baäc hai:   x   f(x) Cuøng daáu a   0 x b        0
  b2  4ac 2a f(x)
Cuøng daáu a 0 Cuøng daáu a x   x x  1 2    0 f(x)
Cuøng daáu a 0 Traùi daáu a 0 Cuøng daáu a Chú ý:
 Nếu tam thức bậc hai 2
f(x)  ax  bx  c (a  0) có hai nghiệm x , x 1
2 thì tam thức luôn có thể phân tích thành 2
f(x)  ax  bx  c  a x  x x  x 1  2 
 Moïi tam thöùc baäc hai f(x) = ax2+bx+c (a0) ñieàu coù theå bieåu dieån thaønh b  2 2
f (x)  ax bx c  ( a x  )  2a 4a
3. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc:
Ñònh lyù: Cho tam thöùc baäc hai: 2
f (x)  ax bx c (a  0)   0  f (x)   0 x  R   a  0   0  f (x)   0 x  R   a  0   0  f (x)   0 x  R   a  0   0  f (x)   0 x  R   a  0 10
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho f x  m   2
2 x  2 m  2 x  3m 1
Tìm m để f x  0, x    . 1
Kết quả: 2  m   4
Bài 2: Cho f x  m   2 3
1 x  6 m  
1 x  32m  3
Tìm m để f x  0, x    . Kết quả: m  1 
IV. Baát phöông trình baäc hai: 1. Daïng: 2
ax bx c  0 ( hoaëc , ,  )
2. Caùch giaûi: Xeùt daáu tam thöùc baäc hai ôû veá traùi roài choïn nghieäm thích hôïp.
V. So saùnh moät soá  vôùi caùc nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai f (x ax2 )
bx c ( a  0 ) Ñònh lyù:
Tam thöùc co ùhai nghieäm x , x thoûa  1 2   a.f()    0 x     x 1 2     0   
Tam thöùc co ùhai nghieäm x ,x thoûa   1 2      a.f()  0 x  x    1 2   S      0   2     0   
Tam thöùc co ùhai nghieäm x , x thoûa   1 2      a.f()  0   x   x 1 2    S     0   2  11
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN 2x 1 Baøi 1: Cho phöông trình:
 x m (1) x 1
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x , x thỏa mãn  x x  4 1 2 2 1 2
Kết quả: m  1, m  7  x  2 Baøi 2: Cho phöông trình:
x m (1) 2x  2
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x , x thỏa mãn 1 2 2 2 37 2
x   x m 2
x x m  1 1 2  2  2 5
Kết quả: m  2, m   2
Bài 3: Cho phương trình:    2 x
3 x  3x  6  m  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.  15 m    Kết quả:  4 m   24 
Bài 4: Cho phương trình: 3     2 x 2 m
1 x  7m  2x  4  6m  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt. 2   m  1 Kết quả:  3  m  2 
Bài 5: Cho phương trình: 4     2 x 2 m 1 x +2m+1 (1)
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.  1 m     Kết quả:  2 m   0  2 x   x  m Bài 6: Cho phương trình:  x  1 (1) x  m
Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. m  6  4 2  Kết quả:  m  6  4 2  Bài 7: Cho phương trình: 2     2 3x 4 m
1 x  m  4m  1  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x ; x 1 2 thỏa mãn điều kiện 1 1 1   x  x 1 2  x x 2 1 2 m  1 Kết quả:  m  5  12
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 1 3 2 2 Bài 8: Cho phöông trình:
x mx x m   0 (1) 3 3
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieäm phaân bieät x 2 2 2
1, x2, x3 thoûa maõn x
x x  15 1 2 3 Kết quả: (m  1   m  1) Bài 9: Cho phương trình 2
x  2x 1 m  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x x . m 1  4 1 2   x 1 Bài 10: Cho phương trình  kx (1) 2x 1
Tìm k để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x x  1 1 2 2x  2 Bài 11: Cho phương trình
 2x m (1) x 1
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  x x 2  1 1 2 x 1 Bài 12: Cho phương trình  x  2 (1) x m
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x x  2 1 2 2x  4 Bài 13: Cho phương trình
m x   1 1 (1) 1 x
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x  
1, x2 thỏa mãn 1 m .  x x 2 2  4x x  90 1 2 1 2   x 1 Bài 14: Cho phương trình
x m (1) 2x 1
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức 1 1 A   
đạt giá trị lớn nhất. 2 2 (2x 1) (2x 1) 1 2
---------------------------------Hết------------------------------ 13
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 2 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I. Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån
1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån
a x b y c a. Daïng : 1 1 1  (1)
a x b y c  2 2 2
Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ...
b. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän
Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc : a b  1 1 D
a b a b (goïi laø ñònh thöùc cuûa heä) 1 2 2 1 a b 2 2 c b  1 1 D
c b c b (goïi laø ñònh thöùc cuûa x) x 1 2 2 1 c b 2 2 a c  1 1 D
a c a c (goïi laø ñònh thöùc cuûa y) y 1 2 2 1 a c 2 2 Böôùc 2: Bieän luaän  D x x   D
 Neáu D  0 thì heä coù nghieäm duy nhaát   D y y   D
 Neáu D = 0 vaø D  0 hoaëc D  0 thì heä voâ nghieäm x y
 Neáu D = Dx = Dy = 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm
x y 1  0
Ví dụ: Giải bằng máy tính hệ: 
2x  2y 15  0  Ví dụ:
3. Heä phöông trình baäc nhaát ba aån
a x b y c z d 1 1 1 1 
Daïng : a x b y c z d 2 2 2 2
a x b y c z d  3 3 3 3 14
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Caùch giaûi: Sử dụng pheùp coäng để khử một ẩn đưa về hệ bậc nhất hai ẩn.
20  4x  8y z  0 
Ví dụ: Giải bằng máy tính hệ: 50 10x 10y z  0
40 12x  4y z  0 
II. Heä phöông trình baäc hai hai aån:
1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån:
Caùch giaûi: Giải bằng phép thế
2x y  8  0 
Ví dụ: Giải hệ phương trình:   x   2
1  y  22  5 
2. Heä phöông trình ñoái xöùng :
1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I:
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau
thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi. b.Caùch giaûi:
Böôùc 1: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi 2
S  4P ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P.
Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn 2 S  4P .
Böôùc 3: Vôùi S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình : 2
X SX P  0 ( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).
Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x0;y0) laø nghieäm cuûa heä thì (y0;x0) cuõng laø nghieäm cuûa heä. xy
x y  2
Ví dụ : Giải hệ phương trình:  3 3
x y x y  4 
2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II:
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau
thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä. b. Caùch giaûi:
 Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá.
 Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä . 2 2 
x  2  3xy
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2 2
y  2  3yx  Ví dụ 2: 15
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai: 2 2 a x
b xy c y d a. Daïng : 1 1 1 1  2 2
a x b xy c y d  2 2 2 2 b. Caùch giaûi: x y x Ñaët aån phuï  t hoaëc
t . Giaû söû ta choïn caùch ñaët  t . y x y
Khi ñoù ta coù theå tieán haønh caùch giaûi nhö sau:
Böôùc 1: Kieåm tra xem (x,0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ? x
Böôùc 2: Vôùi y  0 ta ñaët
 t  x  ty . Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông y
trình ta khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t .
Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x,y. 2 2 
x xy y  1
Ví dụ : Giải hệ phương trình:  2 2
x xy y  3 
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau 1. Sử dụng phép thế Ví dụ 1: Ví dụ 2: Ví dụ 3: 2. Sử dụng phép cộng Ví dụ 1: Ví dụ 1: 4 4 2 2
x y  6x y  41 
Giải hệ phương trình  xy   2 2
x y  10  16
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (A-2012) 3 2 3 2
x  3x  9x  22  y  3y  9 y
Giải hệ phương trình  1 2 2
x y x y    2 Ví dụ 2: 
xy  4x y  2  0
Giải hệ phương trình  2 2
x  2x y  8y  18  Ví dụ 3: Ví dụ 4: Ví dụ 5: Ví dụ 5:
4. Biến đổi về dạng tích số Ví dụ 1: (D-2012) Ví dụ 2: 2 2 x y  2 
xy x y  0
Giải hệ phương trình:  2 2
x y  4x  2y  4  0  Ví dụ 3: Ví dụ 4: 2 2 
x y xy  1
Giải hệ phương trình:  2 3
x y y  3  17
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví dụ 5:
5. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số Ví dụ 1 : 3 x  y  6
Giải hệ phương trình:  3 y  x  6  Ví dụ 2:
------------------------------Hết------------------------------ 18
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN  2 x  y   1 x  y   2 1  3x  4x  1
Bài 1: Giải hệ phương trình:  2 xy  x  1  x  2
x  1  yy  x  4y (1) 
Bài 2: Giải hệ phương trình:   2   x  
1 y  x  2  y (2) 
Bài 3: Giải các hệ phương trình: 4  xy  4 3 2 2 x  y    7  x  y2  1)  1 2  x   3  x  y  x   1  Kết quả:  y   0  4 2 2  x  4x  y  4y  2 2)  2 2 x y  2x  6y  23  x   1 x   1   Kết quả:    y   3 y   3  
----------------------------Hết------------------------- 19
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 3
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. Ñònh nghóa vaø caùc tính chaát cô baûn : A neáu A  0
1. Ñònh nghóa: A    A neáu A < 0  2. Tính chaát : 2 2
A  0 , A  A Lưu ý: 2 A  A
II. Caùc ñònh lyù cô baûn :
a) Ñònh lyù 1 : Vôùi A  0 vaø B  0 thì A = B  A2 = B2
b) Ñònh lyù 2 : Vôùi A  0 vaø B  0 thì A > B  A2 > B2
III. Caùc phöông trình vaø baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái cô baûn & caùch giaûi :
Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI bằng định nghĩa hoặc nâng lũy thừa. * Daïng 1 : 2 2
A B A B , A B A  B A  0  B  0 B  0 A B
* Daïng 2 : A B   
, A B   , A B  2 2  A BA  BA  0 
 A B A  0  B  0 B  0 A B * Daïng 4: A  B    , A  B   , A B  2 2 A  B   B  A  B  A  0 
 A BB  0 B  0  * Daïng 5: 
A B  B  0 , A  B  B  0    2 2  A B A  B  A  B  20
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
IV. Caùc caùch giaûi phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái thöôøng söû duïng :
* Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi veà daïng cô baûn
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 2x  4
1) x2  x  2  x2  2x 2) 2
x  4x  3  x  3 3)  2 2 x  1
* Phöông phaùp 2 : Söû duïng phöông phaùp chia khoaûng
Ví duï : Giaûi phöông trình sau : x  1 2x   1  3 (1)
V. Caùc caùch giaûi baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái thöôøng söû duïng :
* Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi veà daïng cô baûn
Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau : 2
x  5x  6 (1)
* Phöông phaùp 2 : Söû duïng phöông phaùp chia khoaûng
Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau : 2 2
x  2x  x  4  0 (1) - 21
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN Bài 1:
Giải các phương trình sau:
1) x  2  2x  1  x  3
Kết quả: x  3  x  0 2 x  1  x  1 2)  2 x x   2 Kết quả: x  5
3) 4 x  2  4  xx  6 x  2  Kết quả:  x  1  33  4) 2
2 x  2x  5  x 1  3 x   2 Kết quả:   2  113 x   4 Bài 2:
Giải các bất phương trình sau: 1) 2 x  6  x  5x  9
Kết quả: x  1  x  3
2) x  1  x  2  x  3 Kết quả: x  3 3)  2 2 x  5x  6 Kết quả:
------------------------------------Hết--------------------------------- 22
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 4
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN THÖÙC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. Caùc ñieàu kieän vaø tính chaát cô baûn :
* A coù nghóa khi A  0
* A  0 vôùi A  0  A neáu A  0
* A2  A & A   - A neáu A  0 2
*  A  A vôùi A  0 * A B . 
A. B khi A , B  0 * A B . 
A.  B khi A , B  0
II. Caùc ñònh lyù cô baûn : (quan trọng)
a) Ñònh lyù 1 : Vôùi A  0 vaø B  0 thì A = B  A2 = B2
b) Ñònh lyù 2 : Vôùi A 0 vaø B 0 thì A > B  A2 > B2
c) Ñònh lyù 3: Vôùi A vaø B bất kỳ thì A = B  A2 = B2
III. Caùc phöông trình vaø baát phöông trình caên thöùc cô baûn & caùch giaûi :
Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ CĂN THỨC bằng phép nâng lũy thừa. A  0 (hoaëc B  0 ) * Daïng 1 : A  B   A  B  B  0  * Daïng 2 : A  B   2 A  B  A  0 
* Daïng 3 : A  B  B  0  2 A  B  A  0 B  0  * Daïng 4: A  B   B  0   2 A  B  23
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
IV. Caùc caùch giaûi phöông trình caên thöùc thöôøng söû duïng :
* Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi veà daïng cô baûn
Ví duï 1 : Giaûi phöông trình sau : 3 2
x  9x  1  x  2  0 Ví duï 2 : Ví duï 3 :
* Phöông phaùp 2 : Ñaët ñieàu kieän (neáu coù) vaø naâng luyõ thöøa ñeå khöû caên thöùc
Ví duï : Giaûi phöông trình sau : 2x  9  4  x  3x  1 (1)
* Phöông phaùp 3 : Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình hoaëc heä pt ñaïi soá Phương pháp:
Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT chứa ẩn phụ. Giải PT chứa ẩn phụ. Đối chiếu với điều kiện ẩn phụ
đã nêu để tìm nghiệm thích hợp của PT này.
Bước 3: Tìm nghiệm của PT ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ. Ví du 1ï :
Giaûi caùc phöông trình sau : 1) (x  )(
5 2  x)  3 x 2  3x
2) x  1  4  x  (x  )( 1 4  x)  5 Ví dụ 2 : Ví dụ 3 :
* Phöông phaùp 4 : Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá : A.B = 0 hoaëc A.B.C = 0
Ví duï 1 : Giaûi caùc phöông trình sau : x 2 1)
 3x  2  1  x 3x  2 2) 2
x  2 7  x  2 x 1  x  8x  7 1
Ví du 2ï : Giaûi caùc phöông trình sau :
1) 10x 1  3x  5  9x  4  2x  2 2) 2
3x 1  6  x  3x 14x  8  0 24
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3) 2 2
x  2x  22  x  x  2x  3 4) 2
x  9x  20  2 3x 10 5) 2 3
2x 11x  21  4x  4
V. Caùc caùch giaûi baát phöông trình caên thöùc thöôøng söû duïng :
* Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi veà daïng cô baûn Ví duï 1:
Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) 2
x  4x  3  x  1 2) (x  )(
1 4  x)  x  2 Ví du 2ï:
* Phöông phaùp 2 : Ñaët ñieàu kieän (neáu coù) vaø naâng luyõ thöøa ñeå khöû caên thöùc
Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau :
x  11  2x 1  x  4 (1)
* Phöông phaùp 3 : Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá (hoặc bpt căn cơ bản) Ví duï 1: (B-2012) Ví duï 2:
* Phöông phaùp 4 : Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá hoaëc thöông
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : x  5  3 1) ( 2 x  3x) 2 2
x  3x  2  0 2)  1 x  4
VI. Hệ phöông trình có chứa caên thöùc :
Các phương pháp thường sử dụng: 1. Sử dụng phép thế 2. Sử dụng phép cộng
4. Biến đổi về dạng tích số
5. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 
 3x y  5x  4y  5
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  1
 2 5x  4y x  2y  35  25
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
 2x  3  4  y  4
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 
 2y  3  4  x  4  2 2
6x y  5xy  7x  3y  2  0 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  3 3
x x 1  y y 1  
x y x y  4x y
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  2
x 16  2  y  3x  CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau 1) x  1  x  6  x  9 Kết quả: x  10 2) 2 2
2x  8x  6  x  1  2x   1 Kết quả: x  1
3) 2  x  6  x  2  x6  x  8 Kết quả: x  2 4 1 3 4)   2 2 x x  x  x x  x  x 9 Kết quả: x  1  x  16 5) 2 2 2
3x  6x  7  5x 10x 14  4  2x  x Kết quả: x  1
Bài 2: Giải các bất phương trình sau 1) x  1  x  6  x  9 Kết quả: 9  x  10  2 2 x  16 7  x 2)  x  3  x  3 x  3 Kết quả: x  10  34 2 51  2x  x 3)  1 1  x 1   52  x  5  Kết quả:  x  1  4) 3 2  x  x 1  1
Kết quả: 1  x  2  x  10 5) 2 2 2
x  8x 15  x  2x 15  4x 18x 18 17 Kết quả: x  3
------------------------Hết---------------------- 26
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 5: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
I. Soá thöïc döông, soá thöïc aâm:
 Neáu x laø soá thöïc döông, ta kyù hieäu x > 0
 Neáu x laø soá thöïc aâm, ta kyù hieäu x < 0
 Neáu x laø soá thöïc döông hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng aâm, kyù hieäu x  0
 Neáu x laø soá thöïc aâm hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng döông, kyù hieäu x  0 Chuù yù:
 Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a > 0" laø meänh ñeà " a  0 "
 Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a < 0" laø meänh ñeà " a  0 "
II. Khaùi nieäm baát ñaúng thöùc:
1. Ñònh nghóa 1: Soá thöïc a goïi laø lôùn hôn soá thöïc b, kyù hieäu a > b neáu a-b laø moät soá döông, töùc
laø a-b > 0. Khi ñoù ta cuõng kyù hieäu b < a
Ta coù: a b a b  0
 Neáu a>b hoaëc a=b, ta vieát a b . Ta coù: a b  a - b  0 2. Ñònh nghóa 2:
Giaû söû A, B laø hai bieåu thöùc baèng soá
Meänh ñeà : " A lôùn hôn B ", kyù hieäu : A > B
" A nhoû hôn B ", kyù hieäu :A < B
" A lôùn hôn hay baèng B " kyù hieäu A B
" A nhoû hôn hay baèng B " kyù hieäu A B
ñöôïc goïi laø moät baát ñaúng thöùc Quy öôùc :
 Khi noùi veà moät baát ñaúng thöùc maø khoâng chæ roõ gì hôn thì ta hieåu raèng ñoù laø moät baát ñaúng thöùc ñuùng.
 Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc laø chöùng minh baát ñaúng thöùc ñoù ñuùng
III. Caùc tính chaát cô baûn cuûa baát ñaúng thöùc : a b 1. Tính chaát 1:   a c b c
2. Tính chaát 2: a b a c b c
Heä quaû 1: a b a c b c
Heä quaû 2: a c b a b c a b 3. Tính chaát 3: 
a c b d c d
ac bc neáu c > 0
4. Tính chaát 4: a b  
ac bc neáu c < 0 
Heä quaû 3: a b  a  b 27
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a b  neáu c > 0   c c
Heä quaû 4: a b   a b   neáu c < 0   c ca b  0 5. Tính chaát 5:   ac bd c d  0  1 1
6. Tính chaát 6: a b  0  0   a b 7. Tính chaát 7: * n n a b  ,
0 n N a b 8. Tính chaát 8: * n n a b  ,
0 n N a b
Heä quaû 5: Neáu a vaø b laø hai soá döông thì : 2 2
a b a b
Neáu a vaø b laø hai soá khoâng aâm thì : 2 2
a b a b
IV. Baát ñaúng thöùc lieân quan ñeán giaù trò tuyeät ñoái : x neáu x  0
1. Ñònh nghóa: x   ( x  R) x neáu x < 0  2. Tính chaát : 2 2
x  0 , x  x , x  x , -x  x
3. Vôùi moïi a,b R ta coù : 
a b a b
a b a b
a b a b  . a b  0 
a b a b  . a b  0
V. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc :
Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :
 a > 0, b > 0, c > 0 
b c a b c
c a b c a
a b c a b
a b c A B C
VI. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn :
a. Baát ñaúng thöùc Cauchy: a b
Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù :  ab 2
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b Toång quaùt :
Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù :
a a  ...  a 1 2 n n
a .a ...a 1 2 n n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an 28
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
b. Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :
Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù : 2 2 2 2 2
(ax by)  (a b )(x y )
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx Toång quaùt :
Cho hai boä soá (a , a ,...a ) vaø (b , b ,..., b ) ta coù : 1 2 n 1 2 n 2 2 2 2 2 2 2
(a b a b  ...  a b )  (a a  ...  a )(b b  ...  b ) 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a a a
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi 1 2   ... n
vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng b b b 1 2 n 1 1 1 1
c) Baát ñaúng thöùc cô baûn: Cho hai soá döông a,b ta luoân coù:  (  ) a b 4 a b
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b
Caùc phöông phaùp cô baûn chöùng minh baát ñaúng thöùc :
Ta thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp sau
1. Phöông phaùp 1: Phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông
Bieán ñoåi töông ñöông baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán moät baát ñaúng thöùc ñaõ bieát raèng ñuùng . Ví du1ï:
Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: 1. 2 2 2
a b c ab bc ca vôùi moïi soá thöïc a,b,c 2. 2 2
a b  1  ab a b vôùi moïi a,b Ví duï 2: 3 3 a b a b
Cho hai soá a,b thoûa ñieàu kieän a+b  0 , chöùng toû raèng: 3  ( ) 2 2 2 1 2
Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu x>0 thì (x  ) 1 (   ) 1  16 2 x x
2. Phöông phaùp 2: Phöông phaùp toång hôïp
Xuaát phaùt töø caùc baát ñaúng thöùc ñuùng ñaõ bieát duøng suy luaän toaùn hoïc ñeå suy ra ñieàu phaûi chöùng minh.
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh : 2 2 2
a b c  2(ab bc ca) 5
Ví duï 2: Cho x, y laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn ñieàu kieän x y  . Chöùng minh raèng: 4 4 1   5 x 4x
Ví duï 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông. Chöùng minh raèng: 3x  2 y  4z xy  3 yz  5 zx 2 2 1 1
Ví duï 4: Chöùng minh raèng vôùi moïi moïi x,y döông ta coù: x y    ( 2 x y ) x y 29
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Ví duï 5: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh :
ab(a b  2c)  bc(b c  2a)  ca(c a  2b)  0
Ví duï6: Cho x,y,z vaø xyz=1. Chöùng minh raèng : x3  y3  z3  x y z
Ví duï 7: Cho x, y, z > 0 vaø x+y+z=xyz. Chöùng minh raèng : xyx  3 3
a b c
a b c
a b c
Ví duï 8: Cho ba soá döông a, b, c . Chöùng minh raèng :    9 a b c
Ví duï 9: Cho ba soá döông x,y,z thoûa maõn x y z  1. Chöùng minh raèng : 1 1 1
x y z     10 x y z
Ví duï 10: Cho a,b,c >0 vaø abc=1. Chöùng minh raèng : b c c a a b   
a b c  3 a b c
3. Phöông phaùp 3: Söû duïng ñaïo haøm xeùt caùc tính chaát cuûa haøm soá
Ví duï 1: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: sinx < x vôùi moïi x > 0 2 x
Ví duï 2: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: cos x  1  vôùi moïi x > 0 2 
Ví duï 3: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: sin x tgx  2x vôùi moïi x  ( ; 0 ) 2 3  x 1 
Ví duï 4: Vôùi 0  x  , chöùng minh 2sin x tgx 2 2  2  2 2 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Baøi 1: Cho caùc soá döông x,y,z thoûa maõn xyz=1. Chöùng minh raèng 1 3 3  x y 1 3 3  y z 1 3 3  z x    3 3 xy yz zx Khi ñaúng thöùc xaûy ra? 1 1 1
Baøi 2: Cho x,y,z laø caùc soá döông thoûa maõn  
 4 . Chöùng minh raèng : x y z 1 1 1    1
2x y z
x  2 y z
x y  2z
Baøi 3: Vôùi a,b,c laø ba soá thöïc döông thoûa maõn ñaúng thöùc ab bc ca abc , chöùng minh raèng: 2 b  2 2 2 a c  2 2 2 b a  2 2 c    3 ab bc ca 30
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 6 ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TÓM TẮT GIÁO KHOA
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Ñôn vò ño goùc vaø cung: 1. Ñoä: o 180 0 1 . Goùc 1  beït goùc x 180 y O 2. Radian: (rad) 0 180   rad
3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng: Ñoä 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Radian 0     2 3 5   2 6 4 3 2 3 4 6
II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc: 1. Ñònh nghóa: y (tia ngọn) y (điểm ngọn)   Bt tM xx O A (điểm gốc) (tia gốc) O
(Ox, Oy)    k 2 (k  Z)
AB    k  2 31
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:
Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät:  AM    k2 y A   2k B   B   2  k 2 C     2k x C O A M  D  -  2  k 2  D A,C  k   B, D    k 2 y t
III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc: B u u' 1
1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:   A: ñieåm goác  1 R  1 1 x C O A
 x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) x'
 y'Oy : truïc sin ( truïc tung )  t'At : truïc tang   1 D  u'Bu : truïc cotang t' y'
2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc:
a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM= .
Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy
T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu Ta ñònh nghóa: y t t Trục sin Trục cotang u' B U u M  cos  OP Q T t   sin  OQ x x' O P tan  AT A  cot  BU Trục cosin  1 Trục tang y' t' 32
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn b. Caùc tính chaát :
 Vôùi moïi  ta coù : 1
  sin  1 hay sin  1 1
  cos  1 hay cos  1   tan xaùc ñinh     k 2  cot xaùc ñinh    k c. Tính tuaàn hoaøn sin  (  k  2 )  sin co  s(  k  2 )  cos (k Z ) tan  (   k )  tan co  t(   k )  cot 
IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät:
Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät y t 3 - 3 -1 - 3 /3 B /2 3 /3 1 3 u' 1 /3 u 2/3 3 /2 /4 3/4 2 /2 /6 5 3 /3 /6 1/2  x'  - 3/2 - 2/2 -1/2 1/2 2 /2 3 /2 1 A (Ñieåm goác) x -1 O -1/2  - 3 /3 -/6 - 2 /2 - 3 /2 -/4 -1 -/3 -1 -/2 - 3 y' t' 33
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Goùc 0     2 3 5   2 Hslg 6 4 3 2 3 4 6 sin 0 1 1 1 0 0 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 -1 1    2 2 2 2 2 2 tan 0 3 1 3 kxñ  3 -1 3 0 0  3 3 cot kxñ 3 1 3 0 3 -1  3 kxñ kxñ  3 3
V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät: Ñoù laø caùc cung :  
1. Cung ñoái nhau :  vaø - (toång baèng 0) (Vd: &  ,…) 6 6  5
2. Cung buø nhau :  vaø  - ( toång baèng  ) (Vd: & ,…) 6 6     3. Cung phuï nhau :  vaø  ( toång baèng ) (Vd: & ,…) 2 2 6 3    2 4. Cung hôn keùm :  vaø   (Vd: & ,…) 2 2 6 3  7
5. Cung hôn keùm  :  vaø   (Vd: & ,…) 6 6
1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau : cos(   )  cos
cos(  )   cos sin(   )   sin sin(  )  sin Ñoái cos Buø sin tan(   )   tan
tan(  )   tan cot(   )   cot 
cot(  )   cot 34
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm 2   cos(  )  sin cos(   )   sin 2  2  Hôn keùm  sin(  )  cos Phuï cheùo 2 sin(   )  cos 2 2 sin baèng cos   tan(  )  cot cos baèng tröø sin tan(  )  cot 2 2   cot(  )  tan cot(   )   tan 2 2 5. Cung hôn keùm  :
cos(   )   cos
sin(   )   sin Hôn keùm  tan(   )  tan tang , cotang cot(   )  cot 
VI. Coâng thöùc löôïng giaùc:
1. Caùc heä thöùc cô baûn: 2 1 2 2 1 tan  = cos   sin   1 2 cos  sin 1 tan = 2 1 cot  = cos 2 sin  cos tan . cot = 1 cot = sin 2. Coâng thöùc coäng :
cos(   )  cos.cos   sin.sin 
cos(   )  cos.cos   sin.sin 
sin(   )  sin.cos   sin .cos
sin(   )  sin.cos   sin  .cos tan +tan
tan( + ) = 1tan.tan tan  tan
tan(   ) = 1 tan.tan 35
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: 1  cos 2 2 cos   2 2 2
cos 2  cos   sin  2  2 cos  1 1  cos 2 2 2  1 2 sin  sin   2 4 4  cos   sin  sin 2  2 sin.cos 2 tan 1 tan 2  sin  cos  sin  2 2 1 tan  2 4 Coâng thöùc nhaân ba: cos 3  3cos cos3   3
cos 3  4 cos   3cos 4 3
sin 3  3sin   4sin  3sin   sin 3 sin 3   4
5. Coâng thöùc haï baäc: 1  cos 2 1  cos 2 1  cos 2 2 2 2 cos   ; sin   ; tan   2 2 1  cos 2 
6.Coâng thöùc tính sin,cos,tg theo t  tan 2 2 2t 1  t 2t sin   ; cos   ; tan   2 2 2 1  t 1  t 1  t
7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång : 1
cos.cos   cos(   )  cos(   ) 2 1
sin.sin   cos(   )  cos(   ) 2 1
sin.cos   sin(   )  sin(   ) 2 36
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích :       cos  cos   2 cos . cos 2 2       cos  cos   2sin .sin 2 2       sin  sin   2 sin .cos 2 2       sin  sin   2 cos .sin 2 2 sin(   )
tan  tan   cos cos sin(   )
tan  tan   cos cos
9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc:   3  cos 4
cos  sin  2 cos(  )  2 sin(  ) 4 4 cos   sin   4 4 4   5  3 cos 4 cos 6 6
  sin  2 cos(  )   2 sin(  ) cos   sin   4 4 8
B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù) Böôùc 4: Keát luaän
I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) u = v+k2
sinu=sinv  u = -v+k2  u = v+k2 cosu=cosv   u =  v + k2 u = -v+k2  
tanu=tanv  u = v+k (u;v   k ) 2
cotu=cogv  u = v+k (u;v  k )
( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø k Z ) 37
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn:
1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( m   R ) * Gpt : sinx = m (1)
 Neáu m  1 thì pt(1) voâ nghieäm
 Neáu m  1 thì ta ñaët m = sin vaø ta coù x =  +k2 (1)  sinx=sin   x = ( - )+k2  * Gpt : cosx = m (2)
 Neáu m  1 thì pt(2) voâ nghieäm
 Neáu m  1 thì ta ñaët m = cos  vaø ta coù x =  +k2 (2)  cosx=cos   x =   +k2 
* Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm m   R )  Ñaët m = tan thì
(3)  tanx = tan  x =  +k
* Gpt: cotx = m (4) ( pt luoân coù nghieäm m   R )  Ñaët m = cot  thì
(4)  cotx = cot  x =  +k
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: y
sin x  1  x =   k2 2 B  sinx = 0  x = k  sin x  1  x =  k2 x 2 C O A
cosx  1  x =   k2   cosx = 0  x = + k D 2
cos x  1  x = k2 38
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài tập rèn luyện 1) 2 3
cos10x  2 cos 4x  6 cos 3 .
x cos x  cos x  8 cos .
x cos 3x ( x k 2 ) 2  1) 3 3 cos 3 .
x cos x  s in3 . x sin x  ( x    k ) 4 8 3 2 
2) 2 tan x  cot x   ( x   k ) 3 s in2x 6 tan x  sin x x 2 3) 2 3  4 cos ( x    k 2 ) tan x  sin x 2 3 3 cos 2x  4)
 3  s in4x ( x    k )   2  12 cos x     4 
s in3x  cos 3x  5)
 3cos x  sin x ( x    k ) 1 2sin 2x 4 2. Daïng 2: 2
a sin x b sin x c  0 2
a cos x b cos x c  0 ( a  0 ) 2
a tan x b tan x c  0 2
a cot x b cot x c  0 Caùch giaûi:
Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta ñöôïc phöông trình : 2
at bt c  0 (1)
Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x
Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù) Bài tập rèn luyện
 s in3x  cos 3x   1) 5
 sin x  cos 2x  3   ( x    k 2 )  1 2 sin 2x  3 k  k 2 5 5 2
4 cos x sin x  4 sin x cos x  sin 4x ( x  , x   ) 4 8 2
cos 2x  3cot 2x  s in4x  7 3)  2 ( x    k , x   k )
cot 2x  cos 2x 12 12  x   2 2 sin
3 2 cos x  2 cos x 1  4)  1 ( x   k 2 ) 1 sin 2x 4 39
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Daïng 3:
a cos x b sin x c (1) ( a;b  0)
(Phương trình bậc nhất đối với cosx và sinx) Caùch giaûi:
 Chia hai veá cuûa phöông trình cho 2 2
a b thì pt a b c (1)  cos x  sin x  (2) 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b  Ñaët  cos vaø
 sin vôùi  0;2  thì : 2 2 2 2 a b a  b c
(2)  cosx.cos + sinx.sin = 2 2 a  b c  cos(x-) = (3) 2 2 a  b
Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x. Chuù yù : 2 2 2
Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm  a  b c Bài tập rèn luyện  k 7 k 1) 3
3sin 4x  3 cos12x  1 4 sin 4x ( x   ; x   ) 24 6 72 6 2 2)  x x 4 2 4 2 3 cos 3 sin
 sin x  4 cos x  cos x  4 sin x ( x
k 2 ; x k 2 ) 3 3 3  k  k 3) 4 6 6
sin x  cos x 
s in4x  1 ( x   ; x    ) 2 4 2 12 2 1 3   k 4) 
 8sin x ( x
k ; x    ) sin x cos x 6 12 2 3x x     7 5) 2 sin cos  2sin x   3  
cos 2x  cos x 1 ( x   k ; x   k ) 2 2  3  4 12 40
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn d. Daïng 4: 2 2
a sin x b sin x.cos x c cos x  0 (a;c  0) (1)
(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos) Caùch giaûi 1: 1 cos 2x 1  cos 2x
Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : 2 2 sin x  vaø cos x  2 2 1
vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : sin x. cos x  sin 2x thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3 2
Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang )
Chia hai veá cuûa pt (1) cho 2
cos x ta ñöôïc pt: 2
a tan x b tan x c  0
Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi. 
Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x 
 k coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? 2
Ví duï : Giaûi phöông trình: 3 sin 2 x  1 (  3) sin .
x cos x  cos2 x  1  3  0 Nói thêm:
Phương trình dạng đẳng cấp bậc ba: 3 2 2 3
a sin x b sin x cos x c sin x cos x d cos x  0 hoặc các đẳng cấp cao
hơn sẽ thực hiện theo cách giải 2. d. Daïng 5: (
a cos x  sin x)  b sin x.cos x c  0 (1) Caùch giaûi : 
 Ñaët t  cos x  sin x  2 cos(x
) vôùi - 2  t  2 4 2  Do 2 t 1
(cos x  sin x)  1 2 sin x.cos x  sinx.cosx= 2
 Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình : 2 t 1 at bc  0 (2) 2 
 Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: 2 cos(x  )  t tìm x. 4 41
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng : (
a cos x  sin x)  b sin x. cos x c  0
4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng :
a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng
giaùc cô baûn ñaõ bieát Ví duï 1: (B-2012)
Ví du 2ï: Giaûi phöông trình: 4 4 3
1) sin x  cos x  sin 2x   0 2
2) sin 3x  3 cos 3x  2 s in2x 1 3) tan x  3  cos x
b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá
Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây: A=0 A=0 . A B   0   hoaëc . A . B C  0  B=0 B=0   C=0  Ví du 1ï : (A-2012) Ví du 2 : (D-2012)
Ví du 3 : Giaûi caùc phöông trình : a. 2 2 2
sin x  sin 2x  sin 3x  2 b. 3
2 sin x  cos 2x  cos x  0
c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï
Moät soá daáu hieäu nhaän bieát :
 Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa)
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
a. cos 3x  cos 2x  cos x 1  0
b. 4 cos3 x  cos 2x  4 cos x  1  0
 Phöông trình coù chöùa (cos x  sin x) vaø sinx.cosx
Ví duï : Giaûi phöông trình :  3 x  3 3 1 sin cos x  sin 2x 2 42
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 1 1 7  1)   4 sin  x   sin x  3  4  sinx     2  
2) 2 sin x 1  cos 2x  sin 2x  1  2 cos x 3) 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sin x cos x  3 sin x cos x
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau 1)  2     2 1 sin x cos x
1  cos xsin x  1  s in2x 2) 2
2 sin 2x  sin 7x  1  sin x 2  x x 3) sin  cos     3 cos x  2 2 2   
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau  6 6
2 cos x  sin x  sin x cos x 1)  0 2  2 sin x  x 2) cot x  sin x 1   tan x tan     4 2   
3) cos 3x  cos 2x  cos x  1  0
Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau 1) 2 2 cos 3x cos 2x  cos x  0
2) 1  sin x  cos x  s in2x+cos2x=0     3 3) 4 4
cos x  sin x  sin3x    cosx        0 4 4      2
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau cos 2x 1 1) 2 cot x  1   sin x  s in2x 1  tan x 2 2)      2 5 sin x 2 3 1 sin x tan x 3) 2cosx  
1 2 sin x  cos x  s in2x  sin x
------------------------------------Hết---------------------------------- 43
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 7: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Caùc kyù hieäu:
 A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, C
 a, b, c : laø ñoä daøi caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc ñænh A, B, C
 ha, hb, hc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng cao haï töø caùc ñænh A, B, C
 ma, mb, mc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán keû töø A, B, C
 la, lb, lc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A, B, C
 R : laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC
 r : laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC 1  p =
(a+b+c) : laø nöõa chu vi tam giaùc ABC 2
 S : laø dieän tích tam giaùc ABC A c b h l m a a a a B H D M C
II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng :
Trong tam giaùc vuoâng ABC . Goïi b', c' laø ñoä daøi caùc hình chieáu caùc caïnh goùc vuoâng leân caïnh huyeàn ta coù caùc heä thöùc: . 1 b2  a b . ' c & 2  a c . ' . 2 a 2  b2  c2 . 3 h2  b' c . ' 1 1 1 . 4   h2 b2 c 2
b a.sin B a.cos Cb c tgB .  c.cot gC . 5 a h .  b c . . 6  . 7 
c a.sin C a.cos Bc b tgC .  b.cot gB 44
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn A c b h c' b' B H a C
II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc thöôøng
1. Ñònh lyù haøm soá COÂSIN:
Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :
a 2  b2  c2  bc 2 cos A
b2  c2  a 2  2ca cos B
c2  a 2  b2  2ab cos C A c b B a C
Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, bình phöông moãi caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh kia tröø ñi hai
laàn tích hai caïnh aáy vôùi coâsin cuûa goùc xen giöõa chuùng.
Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :
b2  c 2  a 2
a 2  c 2  b2
a 2  b2  c 2 cos A  , cos B  , cosC bc 2 2ac 2ab
2. Ñònh lyù haøm soá SIN:
Trong tam giaùc ABC ta coù : a b c    2R sin A sin B sin C
Heä quaû: Vôùi moïi tam giaùc ABC, ta coù:
a  2R sin A, b  2R sin B, c  2R sin C 45
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn A c b O C B a Ghi nhôù:
Trong moät tam giaùc, tyû soá giöõa moät caïnh cuûa tam giaùc vaø sin cuûa goùc ñoái dieän vôùi caïnh ñoù baèng ñöôøng kính
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.
3. Ñònh lyù veà ñöôøng trung tuyeán:
Trong tam giaùc ABC ta coù : 2 2 2 b c a 2 m   a 2 4 2 2 2 a c b 2 m   b 2 4 2 2 2 a b c 2 m   c 2 4 A c b ma a B M C
4. Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc:
Dieän tích tam giaùc ABC ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc sau: 1 1 1 1. S  ah  bh  ch a b c 2 2 2 1 1 1 2. S  ab sin C  acsin B  bcsin A 2 2 2 abc 3. S  4R 4. S  pr
5. S  p(p  a)(p  b)(p  c) 46
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn A c b ha B H a C
5. Ñònh lyù veà ñöôøng phaân giaùc: A B C bc 2 .cos 2ac.cos 2ab cos l  2 ;l  2 ;l  2 a b c b a c c a b CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN
Daïng 1: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC
Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A=B ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau
Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi veá naøy thaønh veá kia
Phöông phaùp 2: Xuaát phaùt töø moät moät heä thöùc ñuùng ñaõ bieát ñeå suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA:
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: A B C
a) sin A  sin B  sin C  4. cos . cos .cos 2 2 2 b) 2 2 2
sin A  sin B  sin C  2  2 cos A. cos B.cos C
Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau:
a) tgA  tgB  tgC  tgA.tgB.tgC (  ABC khoâng vuoâng) A B B C C A b) tg .tg  tg .tg  tg .tg  1 2 2 2 2 2 2
Daïng 2: CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC
I. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc :
Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :
 a > 0, b > 0, c > 0 
b c a b c
c a b c a
a b c a b
a b c A B C
II. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn :
1. Baát ñaúng thöùc Cauchy: 47
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a b
Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù :  ab 2
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b Toång quaùt :
Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù :
a a  ...  a 1 2 n n
a .a ...a 1 2 n n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an
2 . Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :
Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù : 2 2 2 2 2
(ax by)  (a b )(x y )
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx Toång quaùt :
Cho hai boä soá (a , a ,...a ) vaø (b , b ,..., b ) ta coù : 1 2 n 1 2 n 2 2 2 2 2 2 2
(a b a b  ...  a b )  (a a  ...  a )(b b  ...  b ) 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a a a
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi 1 2   ... n
vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng b b b 1 2 n
3) Baát ñaúng thöùc cô baûn: 1 1 1 1
a) Cho hai soá döông x, y ta luoân coù:  (  ) x y 4 x y
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y
b) Vôùi moïi soá thöïc x, y ta luoân coù: x2  y 2  2xy
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y
III. Baát ñaúng thöùc JENSEN :
1) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) < 0 x
  (a;b) (f laø haøm loài) thì
Vôùi moïi x , x ,..., x  ( ; a b) ta coù: 1 2 n
f (x )  f (x )  ...  f (x )
x x  ...x 1 2 nf ( 1 2 n ) (n  ) 2 n n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x x  ...  x 1 2 n
2) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) > 0 x
  (a;b) (f laø haøm loõm) thì 48
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Vôùi moïi x , x ,..., x  ( ; a b) ta coù: 1 2 n
f (x )  f (x )  ...  f (x )
x x  ...x 1 2 nf ( 1 2 n ) (n  ) 2 n n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x x  ...  x 1 2 n
Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A  B (>, ,  ) ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau:
Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng
Phöông phaùp 2: Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ si, BCS,...) ñeå suy ra baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA: A B C 1
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: sin .sin .sin  2 2 2 8
Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: A B C 3 3 a) cos  cos  cos  2 2 2 2 3 3
b) sin A  sin B  sin C  2 A B C c) tgtgtg  3 2 2 2
Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: A B C 3 3 a) cos .cos .cos  2 2 2 8
b) tgA tgB tgC  3 3 A B C 1 c) tg .tg .tg  2 2 2 3 3
Daïng 3: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 1:   vuoâng giaùc tam laø      caân vuoâng giaùc tam laø    tam Cho maõn thoûa ABC giaùc     ABC caân giaùc tam laø     " tröôùc" cho kieän Ñieàu THÌ       ñeàu giaùc tam laø        bieät.. ñaëc goùc coù giaùc tam laø .. KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 2: 49
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn   vuoâng giaùc tam laø      caân vuoâng giaùc tam laø    tam Cho maõn thoûa ABC giaùc     ABC caân giaùc tam laø     " tröôùc" cho kieän Ñieàu VAØ CAÀN ÑUÛ       ñeàu giaùc tam laø        bieät.. ñaëc goùc coù giaùc tam laø ..
"Ñieàu kieän cho tröôùc" coù theå laø:
 Ñaúng thöùc löôïng giaùc veà goùc
 Ñaúng thöùc löôïng giaùc + ñoä daøi (caïnh, trung tuyeán, phaân giaùc,...)
 Ñaúng thöùc ñoä daøi  Heä ñaúng thöùc
1) Nhaän daïng tam giaùc vuoâng
Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho
tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc
2) Nhaän daïng tam giaùc caân
Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho
tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc
3) Nhaän daïng tam giaùc ñeàu
Ngoaøi phöông phaùp ñaõ neâu treân ta coù theå giaûi quyeát baøi toaùn theo caùch sau
Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc: Goàm 2 böôùc (aùp duïng khi "Ñieàu kieän cho tröôùc" coù daïng ñaúng thöùc A = B
Böôùc 1: CM baát ñaúng thöùc A B hoaëc A B (1)
Böôùc 2: Laäp luaän ñeå ñaúng thöùc ôû (1) xaõy ra maø khi ñaúng thöùc (1) xaûy ra thì tam giaùc ABC ñeàu VÍ DUÏ MINH HOÏA: sin A  cos B
Ví duï 1: Tam giaùc ABC coù
tgA . Chöùng minh raèng  ABC vuoâng sin B  cos A
Ví duï 2: Chöùng minh raèng neáu ABC thoûa maõn ñieàu kieän cos 2 A  cos 2B  cos 2C  1  0 thì tam
giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng
Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc caân C sin A  sin B  sin C A C 1) tgA  tgB  2.cot g 2)  cot g .cot g 2 sin A  sin B  sin C 2 2
Ví duï 4: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc ñeàu A B C cos cos cos 1 1) cos A. cos B.cos C  2) 2 2 2    3 8
1 cos A 1  cos B 1 cos C A B C 1 1 1 1 1 1
3) cos A  cos B  cos C  sin  sin  sin 4)      2 2 2 cos A cos B cos C A B C sin sin sin 2 2 2
Ví duï 5: Xaùc ñònh daïng cuûa tam giaùc ABC bieát: C 1) a  b  tg (a.tgA  b.tgB) 2 b c a 2)   cos B cos C sin B.sin C 50
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn b  c 3) cos B  cos C  a
a.cos A  b.cos B  c. cos C 1 4)  a  b  c 2
Ví duï 6: Haõy tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC neáu trong tam giaùc ñoù ta coù : 9 2 2 2 2 sin A  sin B  sin C   3 cos C  cos C 4
Ví duï 7: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát raèng
4 p( p a)  bc   A B C 2 3  3 sin sin sin   2 2 2 8
a b c
trong ñoù BC = a, AB = c, p  2
--------------------------------Heát--------------------------- 51
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 8: HAØM SOÁ MUÕ - HAØM SOÁ LOÂGARÍT
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
COÙ CHÖÙA MUÕ VAØ LOGARÍT TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ MUÕ 1. Caùc ñònh nghóa:  n a  a.a...a 
 (n  Z , n  1, a  R) n thöøa soá  1 a  a a  0 a  1 a  0 1  n a  (n Z  , n  1, a  R /   0 ) n a m n  m n a  a ( a  0; m, n  N ) m  1 1  n a   m n m a n a 2. Caùc tính chaát :  m n m n a .a a   m a  mn  a n a  m n n m m.n (a )  (a )  a  n n n (a.b)  a .b n a a  n ( )  n b b 169
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Haøm soá muõ: Daïng : x
y  a ( a > 0 , a  1 )
 Taäp xaùc ñònh : D  R  Taäp giaù trò : T R  ( x a  0 x  R )  Tính ñôn ñieäu: * a > 1 : x
y  a ñoàng bieán treân R * 0 < a < 1 : x
y  a nghòch bieán treân R
 Ñoà thò haøm soá muõ : y y y=ax y=ax 1 1 x x a>1 0Minh hoïa: y f(x)=2^x x y f(x)=(1/2)^x 3.5 3.5 y y  1  3 3 y=2x y=   2.5 2.5  2  2 2 1.5 1.5 1 1 1 1 x 0.5 0.5 x x x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O O -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 -3 -3 -3.5 -3.5
 Đạo hàm của hàm số mũ:  x ' x e
e x ' x aa .ln a u ' u e
e .u ' (với u là một hàm số)  u ' u a
a . ln a . u ' (với u là một hàm số) 170
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
II. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ LOÂGARÍT
1. Ñònh nghóa: Vôùi a > 0 , a  1 vaø N > 0 dn M loga N  M  a  N a  0 
Ñieàu kieän coù nghóa: log N coù nghóa khi a  1 a   N  0 2. Caùc tính chaát :  loga 1  0  loga a  1  M loga a  M  log N a a  N 
loga(N1.N2 )  loga N1  loga N2 N  1 loga( )  loga N1  loga N2 N2  log  a N
 . loga N Ñaëc bieät : 2 loga N  2. loga N
3. Coâng thöùc ñoåi cô soá :  loga N  loga b. logb N log N  a logb N  loga b * Heä quaû: 1 1  loga b  vaø log N  log N log k a a b a k 171
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4. Haøm soá logarít: Daïng y  loga x ( a > 0 , a  1 )  Taäp xaùc ñònh :  D  R  Taäp giaù trò T  R  Tính ñôn ñieäu:
* a > 1 : y  loga x ñoàng bieán treân  R
* 0 < a < 1 : y  loga x nghòch bieán treân  R
 Ñoà thò cuûa haøm soá loâgarít: y y y=log ax y=logax 1 x x O O 1 a>1 0Minh hoïa: y 3.5 y f(x)=ln(x)/ln(2) y f(x)=ln(x)/ln(1/2) 3 y 3.5 3 2.5 2.5 2 y=log2x y  log x 2 1.5 1 1.5 1 2 1 0.5 xx 0.5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O 1 -0.5 O 1 x -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 -3 -3 -3.5
 Đạo hàm của hàm số lôgarit: 1
ln x '  và  x  1 ln '  x x u ' u ln u '  và  u  ' ln ' 
(với u là một hàm số) u u 1 log x  và  xa  1 log ' a ' xlna x ln a u ' u log u  và  u
(với u là một hàm số) a  ' log ' a ' u.lna u.ln a 172
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
5. CAÙC ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN:
1. Ñònh lyù 1: Vôùi 0 < a  1 thì : aM = aN  M = N
2. Ñònh lyù 2: Vôùi 0 < a <1 thì : aM < aN  M > N (nghòch bieán)
3. Ñònh lyù 3: Vôùi a > 1 thì : aM < aN  M < N (ñoàng bieán )
4. Ñònh lyù 4: Vôùi 0 < a  1 vaø M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N  M = N
5. Ñònh lyù 5: Vôùi 0 < a <1 thì : loga M < loga N  M >N (nghòch bieán)
6. Ñònh lyù 6: Vôùi a > 1 thì : loga M < loga N  M < N (ñoàng bieán)
III. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: Dạng cơ bản: x a  m (1) 
m  0 : phương trình (1) vô nghiệm  m  0 : x a  m  x  log m a
1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng : aM = aN
(Phương pháp đưa về cùng cơ số)
Ví du 1 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) x1 2x1 9  27 2 2) x 3x2 2  4 1   1 3) x x 2 x 1 x 1 3.4 .9 6.4 .9     3 2
Ví du 2ï : Giaûi caùc phöông trình sau x10 x5 1) x10 x15 16  0,125.8 x5 x 1  7 2) x7 x3 32  0,25.128
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 2x8 x5 3  4.3  27  0 2) x x x 6.9  13.6  6.4  0 3) x x x 5.2  7. 10  2.5 4) x x
( 2  3 )  ( 2  3 )  4 x x
5)  5 2 6   52 6  10 2 2
6) 2x x  22xx  3
7) 3.8x  4.12 x 18x  2.27 x  0
8) 2.22x  9.14 x  7.72x  0 173
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2 2 9) x x 2 x 1   x 2 4  5.2  6  0 10) 32cosx 1cosx 4  7.4  2  0 Baøi taäp reøn luyeän:
1) (2  3) x  (2  3) x  4 ( x  1) 2) x x x 8  18  2.27 (x=0) 3) x x 3x 1 125  50 2   (x=0) 4) x x 2 x 1 25  10 2   (x=0) 5) x x
( 3  8 )  ( 3  8 )  6 ( x  2) 6) x x x 27 12  8 . 2 (x=0)
3 Phöông phaùp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,..
Ví duï : Giaûi phöông trình sau : 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2 2
2) 2 x x  4 2
. x x  22x  4  0 3) 2x 1  x 1  x 5  7 175  35  0 4) 2 x 1  x3 6 2 x3 4 x 1 x .2 2 x .2 2     5) x x 1x   2 2 2 x 1 4  2  2  1
4. Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó
(Phương pháp lôgarít hóa)
Ví dụ : Giải phương trình 2 1) x 1  x x2 3 .2  8.4 x 1 
2) 5x.8 x  500
5. Phöông phaùp 5: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh
nghieäm duy nhaát (thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm)
* Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát sau:
 Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù
khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x0  (a;b) sao cho
f(x0) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C)
 Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong
khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) .
( do ñoù neáu toàn taïi x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x))
Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 3x + 4x = 5x x 2) 2x = 1+ 2 3 1 3) x ( )  2x  1 3 4) 3x 2 2  x  8x 14 5) x2     x2 3.25 3x 10 .5  3  x  0 Baøi taäp reøn luyeän:
1) 2.2x  3.3x  6x 1 (x=2) 2) x 2  3  x (x=1) 174
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
IV. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:
Dạng cơ bản: log x  m (1) a  m    : m log x  m  x  a a
1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng : log M  log N (ñoàng cô soá) a a
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1 1) 2 log  log (x  x 1) 2 1 x 2 2) log x(x 1)  1 2  
3) log x  log (x 1)  1 2 2
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) log (x  6)  3 x 2) x x1 log (4  4)  x  log (2  3) 2 1 2 1 3) log (x  ) 1 2  log (x  ) 4  log 3
(  x) ( x   ; 11 x  1   14 ) 2 2 1 2 2 1 1
4) log x  3  log x  8
1  log 4x x  3; x  3  2 3 4 2   2 2 4 3
5) log x  22  3  log 4  x3  log x  63 x  2; x  1 33 1 1 1 2 4 4 4
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá.
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 6 4 1)   3 2 log 2x log x 2 2
2) log2 x  log2 x  1  5  0 3 3
3) log log x  log log x  2 4 2 2 4 1
4) log 3  log x  log 3  log x  x 3 3 x 2 5) log 125x 2 .log x  1 x 25 6) log 2. log 2  log 2 x x x 16 64 5 7) 2 log  log x  1 5x 5 x log 9 x2 3
8) x  2 3    9x  2
3 Phöông phaùp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,..
Ví duï : Giaûi phöông trình sau : log x  2. log x  2  log x. log x 2 7 2 7 175
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4. Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát.
(thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm)
* Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát sau:
 Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù
khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x0  (a;b) sao cho
f(x0) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C)
 Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong
khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) .
( do ñoù neáu toàn taïi x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x))
Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 2
log (x  x  6)  x  log (x  2)  4 2 2 2) log  log6 x x  3  log x 2  6 3) log 1  x  log x 2   3
V. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:
1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : aM < aN ( ,  ,   )
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 36x 1) 2  1 4  x 1  1  1 2  x 6x8 2)  2  2   
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 2  1 1) x 2x x x1 3  ( ) 3 1 2) x1  2 2 x 2 x 2
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá.
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : x x 1) 9  2.3  3 2x 1  x 2) 5  5  4
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 2x x2 2  3.(2 )  32  0 2) x 3x 2  2  9 3) 2x4 x 2x2 3  45.6  9.2  0 2 1 1 1 1 4) x x ( )  3.( )  12 3 3
5) 8  21x  4x  21x  5 ( 0  x  2) 6) x 1  x x 1 2 . 15
 1  2  1  2  ( x  2 ) 176
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
VI. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:
1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : log M  log N ( ,  ,   ) a a
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) 2
log (x  x  2)  log (x  3) 2 2 2) 2
log (4x 11)  log (x  6x  8) 0,5 0,5 3) 2
log (x  6x  5)  2 log (2  x)  0 1 3 3 4) log x  2 log x 1  log 6  0 1 1   2 2 4 x 1 5) log log  0 1 3 x 1 2
Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) 2 log (5x  8x  3)  2 x 2) log log x  3  1 2 3 3 3) log (3  x)  1 2 3xx 4) x logx(log (3  9))  1 9 5) log log  x 9  72  1 x 3 
6) log (4x  144)  4 log 2  1  log (2x2  ) 1 5 5 5 7) log  x 4  4  log  2x 1 x 2  3.2 1 1  4 2
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá
Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau : 1) 2 log x  log x  2  0 2 2 log x4 2) 2 x  32 2 log x log x 3) 6 6 6  x  12 4) 2 log x  log x  2  0 3 1 4 2
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) x log (3  2)  2. log 2  3  0 x 2 3 2 2) log 64  log 16  3 2 2 x x (log x)2  3 1 1 3) 2  2 (  x  ) log x  3 8 2 2 177
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
VII. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH:
Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình   x y 1  x 2 y  x 1  2  y  1 ( 3)   ( ) 1)  6)  3 2 3 3  log (9x )  log y  3  9 3 
log (x y)  log (x y)  4 2 2  1  3 4  x
log ( y x)  log  1 y 1 4 (  x 1 1)3  2)  y 7) 4  x  2 2 
x y  25 y  log x  1  3  3x 2
 5 y 2  4 yx y   3 2 .  1152 3)  x 4  x 2 1 8)    y  log (x y)  2 5  x 2  2 x y  2 4 .  64 x  4 y  3  0 4)  9)   log x  log y  0  x y  3  4 2 log ( 2 x  2 y )  5 5) 2 
2 log x  log y  4 4 2 178
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
DAÏNG 1: Caùc baøi toaùn giaûi phöông trình vaø baát phöông trình
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình 3x x 1 12 1) 2  6 2 .    1 (x=1) 23(x ) 1 2 x 2) log (x  ) 1 2  2  log 4  x  log (4 3
x ) ( x  ; 2 x  2  2 6 ) 4 8 2
3) log x  log ( x  ) 2 (x=49) 7 3
4) log x  log (x  ) 2 (x=5) 5 7 5) 5.23 x 1   3.25 3
x  7  0 (x=1) 1 5 6) log
2x  3  2log 4  log ( x  ) 8 2 2 x 1  3 2 2 log x3 2 log  x 3  1 7) x 2 2  (x=1,x=2,x=4) x log xx 1 8) 2 8 log 3 2x  2x  5  0 ( x  , x  2 ) 2 1
9) log2 x  (x  )
1 log x  6  2x ( x  , x  2 ) 2 2 4 2 10) 1 2log 2.log 10 (  x)  (x=2,x=8) x 4 log x 4
Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình 1) 32x  3 .
8 xx4  9 . 9 x4  0 (x>5) 2 2 1
2) 9 x 2xx  3 . 7
x 2 x x 1   2 ( 
x  0  x  2 ) 4 x6 2 x31  1 x  1   1  3)      ( x  1
  0  x  1 x  1)  2   2  3x x 1   1   1  4 4)     
128  0 ( x   )  4   8  3 2 1 5) log 1 (  2x)  1 log (x  ) 1 (   x  ) 5 5 5 2 1
6) 2  log x  log x (  x  2 ) 2 2 4 7) log log 3 ( x  )
9  1 ( x  log 10 ) x 9 3 1 1 2 8)  (  x  1 ) log ( 2 x  3x) log 3 ( x  ) 1 3 4 2 log (x  ) 3 2  log (x  ) 3 3 1 1 9) 2 3  0 (-2 < x <-1) x  1
Baøi 3 : Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: 179
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2 3  2x x x  x  log (x 1) 1. y  log1 2. 3 8 0,3 y  2  x  2 2 2 x  2x  8
DAÏNG 2: Söû duïng coâng cuï ñaïi soá giaûi caùc baøi toaùn coù chöùa tham soá
Baøi 1: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù nghieäm: 4x  4 .( m 2x  )
1  0 ( m  0  m  1 )
Baøi 2: Cho phöông trình: 4x  . m 2x 1   2m  0
Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät x x sao cho x x  3 (m=4) 1 2 1 2
Baøi 3: Tìm m ñeå phöông trình sau coù hai nghieäm traùi daáu: (m  16 ). 3 x  (2m  )
1 4x m 1  0 3
( 1  m   ) 4 180
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
BÀI TẬP RÈN LUYỆN (GIẢI MẪU)
Bài 1: Giải phương trình: log x   1  log x  
1  log 7  x  1 (1) 1 1 1 2 2 2 Bài giải: x  1  0 x  1       Điều kiện: x
  1  0  x  1  1  x  7     7   x  0 x  7     Khi đó:   1  log x   1  log x   1  log 7  x  1 1 1 1 2 2 2    log  1 2
x  1  log  7  x  1   2 1 2  2 2  1 2
 x  1  7  x2 2 2 2
 2x  1  49  14x  x 2  x  14x  50  0 x  3   x  17 
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là x  3 3 2 3 3
Bài 2: Giải phương trình:
log x  2  3  log 4  x +log x  6 (1) 1   1   1   2 4 4 4 Bài giải: x   2  0 x  2       6  x  4    Điều kiện: 4
  x  0  x  4      x  2    x  6  0 x  6        Khi đó:  
1  3 log x  2  3  3 log 4  x  3 log x  6 1 1   1   4 4 4
 log x  2  1  log 4  x  log x  6 1 1   1   4 4 4  log 4 x  2  log 4  x x  6 1   1     4 4
 4 x  2  4  xx  6
4x  2  4  xx  6 2 x  6x 16  0 x  2  x  8      
4x  2  4  xx  6  2   x  2x  32  0 x  1  33   
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là x  2  x  1  33 181
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 3: Giải phương trình: log x  2  log x  2 5  log 8  0 (1) 2 4 1 2 Bài giải: x   2  0 x  2   Điều kiện:    x   5  0 x  5   Khi đó:  
1  log x  2  log x  5  log 8 2 2 2
 log x  2 x  5  log 8 2    2  x   2 x  5  8        x  5 x 5 x 5                         2 x 3 x 6 x 2 x 5  8  x  6   x  3x  18  0                2  x  5       2  x  5   2  x  5 3 17      x        2          2  3  17 x 2 5 x  8   x  3x  2  0     x      2 x  6 
Vậy nghiệm của phương trình (1) là  3  17 x   2
Bài 4: Giải phương trình: log x  2  log x  5  log 8  0 2 2 1 (1) 2 Bài giải: x   2  0 x  2   Điều kiện:    x   5  0 x  5   Khi đó:  
1  log x  2x   5  log 8 2 2  x  2x   5  8            2 x 3 x 6 x 2 x 5  8 x  3x 18  0              2    3  17 x 2 x 5 8  x  3x  2  0 x      2 x  3  x  6 
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là  3  17 x   2 182
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 1 1
Bài 5: Giải phương trình: log x   1    log x  2 4 2 (1) log 4 2 2x 1  Bài giải: x  1 x   1  0        1 2  x  1  0 x     Điều kiện:    2  x  1 2  x  1  1   x  0   x  2 0      x  2  Khi đó: 1 1 1 1   1  log x   1  log 2x   1   log x  2 2 2 2 2 2 2 2
 log x  1 2x  1  log 2 x  2 2    2     x   1 2x   1  2x  2 x  1  2
 2x  3x  5  0   5 x   2 5
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là x  2 2
Bài 6: Giải phương trình: log2 2x log2 6 log2 4x 4  x  2.3 (1) Bài giải: Điều kiện: x  0 2 log 2x log 6 log 4x 1log x log 6  2 1 log x 2 2 2 2 2 2  Khi đó: 4  x  2.3  4  x  2.3  Đặt t t  log x  x  2 2
, phương trình (2) trở thành: 183
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 1t 4   t 2 log 6 t 2  2 1  t t  2.3  4.4   log26 2  t  18.9 2 t t 3 3  t t t
 4.4  6  18.9  4       18        2 2    2 t t 3  3          18      4  0 2  2   t 3 4      2 9    t  2 t 3 1       (loai) 2  2 1
Với t  2 ta được nghiệm của phương trình (1) là : x  4 4
Bài 7: Giải phương trình: 2  log x . log 3   1 3  9x (1) 1  log x 3 Bài giải:   x  0 x   0        1 Điều kiện: 9  x  1  x    9   log  x  1   3 x  3   Khi đó: 2  log x 4 2  log x 4   3 3 1    1    1 (2) log 9x 1  log x 2  log x 1  log x 3 3 3 3
Đặt t  log x (t  2; t  1) 3
, phương trình (2) trở thành: t  1 2  t 4 2 1 t 3t 4 0         2  t 1  t t  4  1
 Với t  1 ta được pt : log x  1  x  3 3
 Với t  4 ta được pt : log x  4  x  81 3 1
So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là x  ; x  81 3
Bài 8: Giải phương trình: log  x 3 - 1.log  x+1 3 - 3 = 6 3 3  (1) Bài giải: Điều kiện: x    x 3 1 0 3  1  x  0 Khi đó: 1  log 3 - 1 . 1 log 3 1 6 3  x    3  x      184
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn t  2 Đặt: t  log 3 1 2 t t 1 6 t t 6 0 3  x 
 , pt trở thành:           t  3  1 28 28  Với t  3 : log 3 1 3 3 1 3 x log 3  x      x    x    3 27 27 27  Với t  2 : log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10 3  x 
   x    x    3
Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện. 28
Vậy pt(1) có hai nghiệm là x  log ; x  log 10 3 3 27
Bài 9: Giải phương trình: log 7x .log x  1 x 7 (1) Bài giải: x  0  Điều kiện:  x  1   1 1  1  Khi đó: 1  log 7x .log x 1 1 .log x 1 x       7   7 2 2  log x 7  t  0 t  0 1  1    Đặt t  log x 1 .t 1 1 1 t 1 7 , pt trở thành:        2      2 2  t  1 .t 1 t t 2 0           2  t 
 Với t  1 : log x  1  x  7 7 (thỏa điều kiện)
Vậy pt(1) có nghiệm là x  7 2 2
Bài 10: Giải phương trình: log 2x x 1 log 2x 1 4 2x 1      x 1     (1)   Bài giải:  1 x  1  x  2   2 2x  x  1  0   1 x  2x  1  0   1 2  x   
Điều kiện: 2x  1  1  x  1   2   x  1 x  1  0 x  1      x  1  1 x  0     Khi đó: 1  log 2x  1 x  1  2 log 2x  1  4 2x1     x 1    1  1  log x 1 2 4 2x 1       log x 1 2x 1     185
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn t  1 2 Đặt t  log x  1 2 t 3 t 3t 2 0 2x 1  , pt trở thành:          t t  2   Với t  1 : log x 1 1 x 1 2x 1 x 2 1           2x (thỏa điều kiện)  x  0 (loai) 2  Với t  2 : log x 1 2 x 1 2x 1 4x 5x 0 2x 1     2             5 x   4 5
Vậy pt(1) có tập nghiệm là S  2; 4 2 x  3x  2
Bài 11: Giải bất phương trình: log 0 1  (1) x 2 Bài giải: 2 3x 2 0  x  1 x   Điều kiện:  0   x x  2  Khi đó: 2 x  3x  2 1  log log 1 1  1 x 2 2 2 x  3x  2   1 x 2 x  4x  2   0 x x   0
 2  2  x  2   2  2  2  x  1
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là  2  x  2  2   2 x  x 
Bài 12: Giải bất phương trình: log log  0 0,7  6  (1) x   4  Bài giải:  2 x  x  2 x  x  0    0 2 2 x 4 x 4 x x x 4 4  x  2       Điều kiện:   1 0 2        x  2 x x  x x  4 x  4 x  2    log  0  1  6  x  4   x  4 Khi đó: 186
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  2 x  x  2 x  x 1  log log  log 1  log  1 0,7  6  0,7 6 x  4 x    4 2 x  2 x x  x  log  log 6   6 6 6 x  4 x  4 2 5x 24 4  x  3 x     0   x  4 x  8  4  x  3
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là  x  8 
Bài 13: Giải bất phương trình: 2 log 4x 3 log 2x 3 2 3     1     (1) 3 Bài giải:  3 x  4x  3  0   4 3 Điều kiện:     x  2x  3  0 3  4  x    2 Khi đó: 1 2  log 4x 3 2 log 2x 3 3      3    2  log 4x 3 log 9 2x 3 3     3     2
 4x  3  9 2x  3  2 16x  42x  18  0 3    x  3 8 3
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là  x  3 4 2x 2 x 2 1
Bài 14: Giải bất phương trình: x 2x   9  2    3 (1)  3  Bài giải: 2x 2 x 2 1 x 2x   2 2 Ta có:  x 2x x  9  2x 2    3  9  2.3  3  0  3  2 Đặt x   2x t 3
(t  0) , bpt trở thành: 2
t  2t  3  0  1  t  3
Do t  0 nên ta chỉ nhận 0  t  3 2 Với 0  t  3 : x   2x   2    2 0 3 3 x 2x 1
x  2x  1  0  1  2  x  1  2
Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S  1  2;1  2    187
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 15: Giải bất phương trình: log 4 144 4 log 2 1 log 2 1 5  x  5 5  x     2   (1) Bài giải: Ta có: 1  log 4 144 log 16 log 5 2 1 5  x      2 5  x2      log 4 144 log 80 2 1 5  x     5  x2      x 4  144  80  x2 2  1  x 4  x 20.2  64  0  4  x 2  16  2  x  4
Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S  2; 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải bất phương trình:  2x  3  log log 0 1  2   x 1 3   
Bài 2: Giải phương trình: 1  6  3   log 9x x    log x x 3  
Bài 3: Giải phương trình: 2 log 2x 2 log 9x 1 1 2     1     2
Bài 4: Giải bất phương trình: 2x1 2x  1  x 3 2 5.6  0
Bài 5: Giải bất phương trình: 2 2 2x 4x2 2xx   1 2 16.2  2  0
------------------------------Heát---------------------------------- 188
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 9: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I.KHAÙI NIEÄM VEÀ GIAI THÖØA:
1.Ñònh nghóa: Vôùi nN vaø n > 1
Tích cuûa n soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 ñeán n
ñöôïc goïi laø n - giai thöøa. Kyù hieäu : n! Ta coù : n! = 1.2...n (1)
* Quy öôùc : 0! = 1 vaø 1! = 1
2. Moät soá coâng thöùc: n! n! * n! = (n - 1)!.n * = (k+1)(k+2)...n (n  k) *
 (n  k 1)(n  k  2)...n k! (n  k)!
II. CAÙC QUY TAÉC CÔ BAÛN VEÀ PHEÙP ÑEÁM: 1. QUY TAÉC COÄNG: 52
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ĐỊNH NGHĨA (SGK NC) TỔNG QUÁT ĐỊNH NGHĨA (SGK CB) 2. QUY TAÉC NHAÂN:
Ví duï: An muoán ruû Bình ñeán chôi nhaø Cöôøng. Töø nhaø An ñeán nhaø Bình coù 4 con ñöôøng. Töø nhaø Bình ñeán
nhaø Cöôøng coù 6 con ñöôøng ñi. Hoûi An coù bao nhieâu caùch ñi ñeán nhaø Cöôøng 53
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ĐỊNH NGHĨA (SGK NC) TỔNG QUÁT ĐỊNH NGHĨA (SGK CB) III. HOAÙN VÒ:
Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau. 1.Ñònh nghóa :
Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n  1).
Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû cuûa taäp hôïp A
ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù Hoaùn vò  Nhoùm coù thöù töï n phaàn töû
 Ñuû maët n phaàn töû cuûa A ĐỊNH NGHĨA (SGK NC) ĐỊNH NGHĨA (SGK CB) 54
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2.Ñònh lyù :
Kyù hieän soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø Pn , ta coù coâng thöùc: P  n! (2) n IV.CHÆNH HÔÏP:
Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 2 chöõ soá khaùc nhau. 1.Ñònh nghóa:
Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû . Moãi boä goàm k (1  k n) phaàn töû saép thöù töï cuûa taäp hôïp A
ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû cuûa A. Chænh hôïp  Nhoùm coù thöù töï n phaàn töû  Goàm k phaàn töû ñöôïc laáy töø n phaàn töû cuûa A ĐỊNH NGHĨA (SGK NC) ĐỊNH NGHĨA (SGK CB) 2.Ñònh lyù:
Kyù hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø k A , ta coù coâng thöùc: n 55
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn n! k A  (3) n (n  k)! V. TOÅ HÔÏP:
Ví duï: Cho taäp hôïp A= , 1  3 , 2
.Vieát taát caû caùc taäp con cuûa A goàm 2 phaàn töû 1.Ñònh nghóa:
Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû .Moãi taäp con cuûa goàm k phaàn töû (1  k  n ) cuûa A
ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho. Toå hôïp  Nhoùm khoâng coù thöù töï n phaàn töû  Goàm k phaàn töû ñöôïc laáy töø n phaàn töû cuûa A ĐỊNH NGHĨA (SGK NC) ĐỊNH NGHĨA (SGK CB) 2. Ñònh lyù :
Kyù hieäu soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø k C , ta coù coâng thöùc: n n! k C  (4) n k!(n  k)! 56
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn LÖU YÙ QUAN TROÏNG:
Caùc baøi toaùn veà giaûi tích toå hôïp thöôøng laø nhöõng baøi toùan veà nhöõng haønh ñoäng nhö :
laäp caùc soá töø caùc soá ñaõ cho ,saép xeáp moät soá ngöôøi hay ñoà vaät vaøo nhöõng vò trí nhaát ñònh ,
laäp caùc nhoùm ngöôøi hay ñoà vaät thoûa maõn moät soá ñieàu kieän ñaõ cho v.v...
1. Neáu nhöõng haønh ñoäng naøy goàm nhieàu giai ñoïan thì caàn tìm soá caùch choïn cho moãi
giai ñoïan roài aùp duïng quy taéc nhaân.
2. Nhöõng baøi toaùn maø keát quaû thay ñoåi neáu ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû ,
thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn lieân quan ñeán hoaùn vò vaø chænh hôïp.
3. Ñoái vôùi nhöõng baøi toaùn maø keát quaû ñöôïc giöõ nguyeân khi ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû
thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn veà toå hôïp. 57
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
I. CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ PHEÙP ÑEÁM:
Baøi 1:Töø 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün , moåi soá goàm 5
chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi. KQ: 1260
Baøi 2: Moät toå goàm 8 nam vaø 6 nöõ . Caàn laáy moät nhoùm 5 ngöôøi trong ñoù coù 2 nöõ . Hoûi coù bao
nhieâu caùch choïn. KQ: 840
Baøi 3: Cho hai ñöôøng thaúng song song (d1) , (d2) . Treân (d1) laáy 17 ñieåm phaân bieät , treân (d2)
laáy 20 ñieåm phaân bieät . Tính soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 ñieåm trong soá 37 ñieåm ñaõ
choïn treân (d1) vaø (d2) . KQ:5950
Baøi 4: Töø moät taäp theå goàm 12 hoïc sinh öu tuù , ngöôøi ta caàn cöû moät ñoaøn ñi döï traïi heø quoác teá
trong ñoù coù moät tröôûng ñoaøn , 1 phoù ñoaøn vaø 3 ñoaøn vieân . Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû ? KQ: 15840
Baøi 5: Vôùi 6 chöõ soá phaân bieät 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù caùc chöõ soá phaân
bieät trong ñoù moãi soá ñieàu phaûi coù maët soá 6. KQ: 1630
Baøi 6: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi sao cho taát caû caùc chöû soá
ñeàu khaùc khoâng vaø coù maët ñoàng thôøi caùc chöõ soá 2, 4, 5. KQ: 1800
Baøi 7: Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû , 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng . Ngöôøi ta choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù .
Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra khoâng ñuû caû 3 maøu. KQ:645
Baøi 8: Cho 8 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7 .Töø 8 chöõ soá soá treân coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá , moãi soá
goàm 4 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau vaø moãi soá ñeàu khoâng chia heát cho 10. KQ: 1260
Baøi 9: Hoûi töø 10 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc
nhau sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 0 vaø soá 1. KQ:42000
Baøi 10: Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù chöõ soá ñaàu tieân laø soá leû? KQ: 42000
Baøi 11: Coù bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù ñuùng 3 chöõ soá leû vaø 3 chöõ soá chaün
( chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc khoâng ). KQ:64800
Baøi 12: Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam , 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lyù nam . Laäp moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn
coù caû nam vaø nöõ , caàn coù caû nhaø toaùn hoïc vaø nhaø vaät lyù . Hoûi coù bao nhieâu caùch. KQ:90
Baøi 13: Cho taäp hôïp A   ; 1 ; 3 ; 2  9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4
. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau
sao cho caùc soá naøy chia heát cho 5 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû?
Baøi 14: Cho taäp hôïp A   ; 1 ; 0 ; 3 ; 2  9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4
. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau
sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 0 vaø 3?
Baøi 15: Cho taäp hôïp A   ; 1 ; 3 ; 2  9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4
. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau
sao cho chöõ soá thöù ba chia heát cho 3 vaø chöõ soá cuoái chaün?
Baøi 16: Cho taäp hôïp A   ; 1 ; 3 ; 2  9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4
. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau
sao cho caùc soá naøy chia heát cho 2 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû?
Baøi 17: Moät tröôøng trung hoïc coù 8 thaày daïy toaùn, 5 thaày daïy vaät lyù, vaø ba thaày daïy hoùa hoïc. Choïn töø ñoù ra
moät ñoäi coù 4 thaày döï ñaïi hoäi. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå coù ñuû ba boä moân?
Baøi 18: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, chöõ soá 0 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng moät laàn,
hai chöõ soá coøn laïi phaân bieät
CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN 58
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví dụ: BÀI TẬP RÈN LUYỆN 59
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: 60
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyên đề 10: XÁC SUẤT KIẾN THỨC CƠ BẢN 61
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 62
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 63
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 64
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (B-2012) Bài 2: Bài 3:
Bài 4: Tung 2 con xúc xắc đồng chất.
1) Tìm xác xuất của biến cố có tổng số chấm là 8.
2) Tìm xác xuất của biến cố có tổng số chấm là số lẻ hoặc chia hết cho 3. 5 2 Kết quả: 1) 2) 36 3
Bài 5: Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ.
1) Tìm xác suất lấy ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có 1 nữ.
2) Tìm xác suất lấy ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có không quá 3 nữ. 10 65 Kết quả: 1) 2) 33 66
Bài 6: Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô, trong đó có 6 xe tốt. Điều một cách ngẫu nhiên 3 xe đi công tác. Tìm
xác suất để trong 3 xe đó có ít nhất một xe tốt. 29 Kết quả: 30
Bài 7: Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Cần chọn một nhóm 4 người để trực nhật.
1) Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau.
2) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một nhóm 4 người ta được nhóm có đúng 1 nữ. 28 Kết quả: 1) 495 2) 55
Bài 8: Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Cần chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người đi làm 3
công việc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ? Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên ta được
mỗi nhóm có đúng 1 nữ. 16 Kết quả: 55
Bài 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được: 1) 3 bóng tốt. 2) Ít nhất 2 bóng tốt. 3) Ít nhất 1 bóng tốt. 7 7 21 Kết quả: 1) 2) 3) 44 11 22 65
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 10: Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ. Giả thiết rằng kích thước và
trọng lượng của tất cả các quả các quả cầu nói trên là y hệt nhau. Lấy hú họa ra 5 quả cầu. Tìm xác suất của
biến cố: trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ. Kết quả: 5/17
Bài 11: Một hộp có 12 viên bi, trong đó có 4 viên màu đỏ và 8 viên màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tìm xác suất để:
1) Cả 3 viên bi đều màu xanh.
2) Cả ba viên bi đều màu đỏ.
3) Có đúng một viên bi màu xanh.
4) Có ít nhất một viên bi màu xanh. Kết quả: 1) 56/220 2) 4/220 3) 48/220 4) 216/220.
Bài 12: Hai xạ thủ cùng bắn một phát vào bia. Xác suất trúng đích của người thứ nhất là 0,9, của người thứ
hai là 0,7. Tính các xác suất sau đây:
1) Cả hai phát đều trúng.
2) Ít nhất một phát trúng. 3) Chỉ một phát trúng. Kết quả: 1) 0, 63 2) 0, 97 3) 0,34 .
……………………HẾT…………………… 66
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 11: ÔN TẬP HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG
PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG
TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM - TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN y
I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong maët phaúng :  j  x'Ox : truïc hoaønh   y'Oy : truïc tung i x x'  O : goác toaï ñoä O       
i, j : veùc tô ñôn vò ( i j  1 vaø i j ) y'
Quy öôùc : Maët phaúng maø treân ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxy ñöôïc goïi laø maët phaúng
Oxy vaø kyù hieäu laø : mp(Oxy)
II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô: 
1. Ñònh nghóa 1: Cho M  (
mp Oxy) . Khi ñoù veùc tô OM ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo      y
i, j bôûi heä thöùc coù daïng : OM xi y j vôùi x,y   . Q M j
Caëp soá (x;y) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M. i ' x x
Kyù hieäu: M(x;y) ( x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; y: tung ñoä cuûa ñieåm M ) O P ñ / n    ' y M( ;
x y)  OM xi y j  YÙ nghóa hình hoïc: y Q M y x ' x O x
x OP vaø y=OQ P  ' y
2. Ñònh nghóa 2: Cho a  (
mp Oxy) . Khi ñoù veùc tô a ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo     
i, j bôûi heä thöùc coù daïng : a a i a j vôùi a ,a   . 1 2 1 2   Caëp soá (a y
1;a2) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a .  a
Kyù hieäu: a  (a a e 1; 2 ) 2  e1 x ' xO P ñ/ n   
a=(a ;a )  a a i a j 1 2 1 2 ' y 67
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  YÙ nghóa hình hoïc: y B K B 2 A A a A B B 2 H 1 1 1 vaø a2 =A2 2 'x O x A B 1 1 ' y
III. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô :
Ñònh lyù 1: Neáu A(x ; y ) vaø B(x y B; ) A A B thì  B(x ; y ) B B
AB  (x x ; y y ) B A B A ( A x ; y ) A A  
Ñònh lyù 2: Neáu a  (a a b b b  1; 2 ) vaø ( 1; 2 ) thì a   a  b  * 1 1 a b   b a b  2 2  
* a b  (a b a b 1 1; 2 2 )  
* a b  (a b a b 1 1; 2 2 ) 
* k.a  (ka ka k 1; 2 ) (  )
IV. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô: Nhaéc laïi
 Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm treân hai ñöôøng thaúng song song .
 Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:    
Ñònh lyù 3 : Cho hai veùc tô a vaø b vôùi b  0      a
a cuøng phöông b  !
 k   sao cho a k.b    b
Neáu a  0 thì soá k trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:    b
k > 0 khi a cuøng höôùng b     
k < 0 khi a ngöôïc höôùng b a b aa k       b 2 5 C a   b , b  - a 5 2 B A 68
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  
Ñònh lyù 4 : A, B,C thaúng haøng  AB cuøng phöông AC
(Ñieàu kieän 3 ñieåm thaúng haøng )  
Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô a  (a a b b b 1; 2 ) vaø ( 1; 2 ) ta coù :  
a cuøng phöông bb a b 1 a . 2
2 . 1  0 (Ñieàu kieän cuøng phöông cuûa 2 veùc tô  
a  (a ; a ) a  ; 1 ( 2) 1 2  VD : 
b  (b ; b ) b  ( ; 2 4) 1 2
V. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô: Nhaéc laïi: y         B .
a b a . b .cos( , a b)  b b   b 2 2 a a O     x  ' x A   a a b  . a b  0 O a a  
Ñònh lyù 6: Cho hai veùc tô a  (a a b b b 1; 2 ) vaø ( 1; 2) ta coù : ' y   .
a b a b a b 1 1
2 2 (Coâng thöùc tính tích voâ höôùng theo toïa ñoä) 
Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô a  (a a 1; 2 ) ta coù :  2 2
a a a 1 2
(Coâng thöùc tính ñoä daøi veùc tô ) ( A x ; y ) B(x ; y ) A A B B
Ñònh lyù 8: Neáu A(x ; y ) vaø B(x y B; ) A A B thì 2 2
AB  (x x )  (y y ) B A B A
(Coâng thöùc tính khoaûng caùch 2 ñieåm)  
Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô a  (a a b b b 1; 2 ) vaø ( 1; 2 ) ta coù :   a bb a b 1 a 1
2 2  0 (Ñieàu kieän vuoâng goùc cuûa 2 veùc tô)  
Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô a  (a a b b b 1; 2 ) vaø ( 1; 2) ta coù 69
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn     . a b a b a b 1 1 2 2 cos( , a b)    
(Coâng thöùc tính goùc cuûa 2 veùc tô) 2 2 2 2 a . b a a b b 1  2 . 1  2
VI. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k:  
Ñònh nghóa: Ñieåm M ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo tyû soá k ( k  1 ) neáu nhö : MA k.MB A M B     
Ñònh lyù 11 : Neáu A(x ; y ) , B(x y MA k MB B; ) A A B vaø . ( k  1 ) thì  x k. A xB xM    1 ky k.  A yB yM    1 kxA xB xM   
Ñaëc bieät : M laø trung ñieåm cuûa AB  2  yA yB yM    2
VII. Moät soá ñieàu kieän xaùc ñònh ñieåm trong tam giaùc : A 
x x x x  A B C   G 3 G . 1 troïng laø G taâm tam  ABC giaùc GA
GB GC  0   
y y y C y A B C B   G 3     A  AH BC  AH.BC  0
2. H laø tröïc taâm tam giaùc ABC  
    H A BH AC  BH.AC  0  C   B  '  AA BC 3. '
A laø chaân ñöôøng cao keû töø A    C '
BA cuøng phöông BC B A'  A IA=IB
4. I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC   IA=IC    AB I
5. D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A cuûa ABC  DB   .DC B C AC   AB A 6. '   ' D B  '
D laø chaân ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc A cuûa ABC .D C AC  AB 
7. J laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ABC   JA   .JD A BD C B D J
VIII. Kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng khaùc: 70 C B D
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc theo toaï ñoä ba ñænh :  
Ñònh lyù 12: Cho tam giaùc ABC . Ñaët AB  (a a AC b b 1; 2 ) vaø ( 1; 2 ) ta coù : 1 S  . a b a b AABC 1 2 2 1 2 B C 71
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
I. Caùc ñònh nghóa veà VTCP vaø VTPT (PVT) cuûa ñöôøng thaúng:    ñn  a  0
a laø VTCP cuûa ñöôøng thaúng (  )  
a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi ()     ñn  n  0
n laø VTPT cuûa ñöôøng thaúng (  )  
n coù giaù vuoâng goùc vôùi ()   ana ( )  * Chuù yù: ()  
 Neáu ñöôøng thaúng (  ) coù VTCP a  (a ; a ) thì coù VTPT laø n  (a ; a ) 1 2 2 1  
 Neáu ñöôøng thaúng (  ) coù VTPT n  ( ;
A B) thì coù VTCP laø a  ( ; B A)   n a ( ) 
II. Phöông trình ñöôøng thaúng :
1. Phöông trình tham soá vaø phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng : 
a. Ñònh lyù : Trong maët phaúng (Oxy). Ñöôøng thaúng (  ) qua M0(x0;y0) vaø nhaän a  (a ; a ) laøm 1 2 VTCP seõ coù : y
x x t.a
Phöông trình tham soá laø : 0 1 () : a  (t  ) M ( x; y)
y y t.a  0 2 x O
M (x ; y ) 0 0 0 x x y y
Phöông trình chính taéc laø : 0 0 () :  a a 1 2
2. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng : 72
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
a. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm M0(x0;y0) vaø coù VTPT n  ( ; A B) laø: yn M ( x; y) x O M (x ; y 0 0 ) 0 () : (
A x x )  B(y y )  0 ( 2 2 A B  0 ) 0 0
b. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng :
Ñònh lyù :Trong maët phaúng (Oxy). Phöông trình ñöôøng thaúng (  ) coù daïng :  y n  ( ; A B) Ax + By +
M (x ; y ) C = 0 vôùi 2 2 A B  0 0 0 0 x O
a  (B; A) 
a  (B; A) Chuù yù:
Töø phöông trình (  ):Ax + By + C = 0 ta luoân suy ra ñöôïc : 
1. VTPT cuûa (  ) laø n  ( ; A B)  
2. VTCP cuûa (  ) laø a  ( ; B A) hay a  ( ; B A)
3. M (x ; y ) ()  Ax By C  0 0 0 0 0 0
Meänh ñeà (3) ñöôïc hieåu laø :
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät ñieåm naèm treân ñöôøng thaúng laø toïa ñoä ñieåm ñoù
nghieäm ñuùng phöông trình cuûa ñöôøng thaúng .
3. Caùc daïng khaùc cuûa phöông trình ñöôøng thaúng :
a. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(xA;yA) vaø B(xB;yB) : x x y y (AB) : A A
(AB) : x x (AB) : y y x x y y A A B A B A y y y A(x ; y ) B(x ; y ) A A B B M ( x; y) B(x ; y ) y A(x ; y ) B B A A A x x y y A B x A B x x O A(x ; y ) A A y B(x ; y ) B B B
b. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: 73
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng (  ) cắt trục hoàng tại điểm A(a;0) và trục tung tại x y
điểm B(0;b) với a, b  0 có dạng:   1 a b
c. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm M0(x0;y0) vaø coù heä soá goùc k:
Ñònh nghóa: Trong mp(Oxy) cho ñöôøng thaúng  . Goïi   (Ox, ) thì k tg ñöôïc goïi laø heä soá goùc y cuûa ñöôøng thaúng   x O
Ñònh lyù 1: Phöông trình ñöôøng thaúng  qua M x y
0 ( 0 ; 0 ) coù heä soá goùc k laø : y M ( x; y) y0 y - y0 = k(x - x0) (1) x O x0
Chuù yù 1: Phöông trình (1) khoâng coù chöùa phöông trình cuûa ñöôøng thaúng ñi qua M0 vaø vuoâng goùc
Ox neân khi söû duïng ta caàn ñeå yù xeùt theâm ñöôøng thaúng ñi qua M0 vaø vuoâng goùc Ox laø x = x0
Chuù yù 2: Neáu ñöôøng thaúng  coù phöông trình y ax b thì heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng laø k a
Ñònh lyù 2: Goïi k1, k2 laàn löôït laø heä soá goùc cuûa hai ñöôøng thaúng  ,  ta coù : 1 2 
 //   k  k 1 2 1 2 
    k .k  1  1 2 1 2
c. Phöông trình ñt ñi qua moät ñieåm vaø song song hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñt cho tröôùc:
i. Phöông trinh ñöôøng thaúng ( ) //(): Ax+By+C=0 coù daïng: Ax+By+m =0 1 1
ii. Phöông trinh ñöôøng thaúng ( )  (): Ax+By+C=0 coù daïng: Bx-Ay+m =0 1 2 Chuù yù: m m 1;
2 ñöôïc xaùc ñònh bôûi moät ñieåm coù toïa ñoä ñaõ bieát naèm treân 1  ; 2 y
 : Ax By m  0 1 1 y  :  BxAy m  0 1 2
 : Ax By C  0 1 x O x0 x M 1 O x0 M 1 :  AxBy C 0 1
III. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : 74
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn y y y 1  2  1 x x x O O O  1   2 2  //   caét     1 2 1 2 1 2
( ) : A x B y C  0
Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng : 1 1 1 1 (
A x B y C 2 ) : 2 2 2  0
Vò trí töông ñoái cuûa ( 1
 ) vaø (2 ) phuï thuoäc vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình :
A x B y C  0
A x B y C  1 1 1  hay 1 1 1  (1)
A x B y C
A x B y C 2 2 2  0 2 2   2
Chuù yù: Nghieäm duy nhaát (x;y) cuûa heä (1) chính laø toïa ñoä giao ñieåm M cuûa ( 1  ) vaø (2 ) Ñònh lyù 1: . H i eä (1) voâ nghieäm  ( 1  ) //(2 ) i . H i
eä (1) coù nghieäm duy nhaát  ( 1  ) caét (2 ) ii . H i
eä (1) coù voâ soá nghieäm  ( 1  )  (2 )
Ñònh lyù 2: Neáu A B C 2 ; 2 ; 2 khaùc 0 thì A B . ( i  ) caét ( )  1  1 1 2 A B 2 2 A B C i . ( i  ) // ( )  1  1  1 1 2 A B C 2 2 2 A B C ii . ( i  )  ( )  1  1  1 1 2 A B C 2 2 2
IV. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng 75
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất trong các số đo
của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai
đường thẳng a và b). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là a, b
Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 0 0
2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT  
a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u và v thì     u.v
cos a, b  cos u, v    u . v  
b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là n và n ' thì     n.n '
cos a, b  cos n, n '    n . n '
( ) : A x B y C  0
Ñònh lyù : Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng : 1 1 1 1 (
A x B y C 2 ) : 2 2 2  0 Goïi  ( 0 0
0    90 ) laø goùc giöõa ( 1  ) vaø (2 ) ta coù : y A A B B  1 2 1 2 cos  1 2 2 2 2 A B A B 1 1 . 2 2 x O Heä quaû:  ( 2     A B B 1) ( 2 ) 1 A 2 1 2  0
V. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng :
Ñònh lyù 1: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng () : Ax By C  0 vaø ñieåm M x y 0 ( 0 ; 0 )
Khoaûng caùch töø M0 ñeán ñöôøng thaúng () ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: M 0 y
Ax By C H 0 0 d(M0;)  2 2 A B x O ()
( ) : A x B y C  0
Ñònh lyù 2: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng : 1 1 1 1 (
A x B y Cy 2 ) : 2 2 2  0 1
Phöông trình phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi ( 1  ) vaø (2 ) laø : x
A x B y C
A x B y C O 1 1 1 2 2 2   2 2 2 2 A B A B 1 1 2 2  2
Ñònh lyù 3: Cho ñöôøng thaúng ( ) : Ax By C  0 vaø hai ñieåm M(x 1 M;yM), N(xN;yN) khoâng naèm 76
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
treân (  ). Khi ñoù: N M
 Hai ñieåm M , N naèm cuøng phía ñoái vôùi (  ) khi vaø chæ khi 
(Ax By C)( Ax By C)  0 M M N N N
 Hai ñieåm M , N naèm khaùc phía ñoái vôùi (  ) khi vaø chæ khi M
(Ax By C)( Ax By C)  0 M M N N N BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (D-2012) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: 77
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: Bài 18: Bài 19: 78
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
ÑÖÔØNG TROØN TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
I. Phöông trình ñöôøng troøn:
1. Phöông trình chính taéc:
Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) taâm I(a;b), baùn kính R laø : y I (a; b) b 2 2 2
(C) : (x a)  (y b)  R (1) R M ( x; y) x a O
Phöông trình (1) ñöôïc goïi laø phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng troøn
Ñaëc bieät: Khi I  O thì 2 2 2
(C) : x y R
2. Phöông trình toång quaùt:
Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình : 2 2
x y  2ax  2by c  0 vôùi 2 2
a b c  0
laø phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) coù taâm I(a;b), baùn kính 2 2
R a b c
II. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn:
Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn 2 2
(C) : x y  2ax  2by c  0 taïi ñieåm M(x y C 0 ; 0 ) ( ) laø :
M (x ; y ) 0 0 0
() : x x y y a x x b y y c 0 0 ( 0 ) ( 0 )  0 (C) I(a;b) ()
VI. Caùc vaán ñeà coù lieân quan:
1. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn: (C ) (C ) (C ) I I R I R H M R M H H M 79
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ñònh lyù:
()  (C)    d(I;) > R
() tieáp xuùc (C)  d(I;) = R
() caét (C)  d(I;) < R Lưu ý: Cho đường tròn 2 2
(C) : x y  2ax  2by c  0 và đường thẳng  : Ax By C  0 . Tọa độ giao
điềm (nếu có) của (C) và (  ) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2
x y  2ax  2by c  0 
Ax By C  0 
2. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn : C C 1 C 1 C C 1 1 2 C C 2 2 I R R 1 2 R R R 1 I I 1 2 I R I 2 1 1 1 2 I I 1 I 2 2 2 C2 (C   R
1 ) vaø (C2 ) khoâng caét nhau 1 I I2 > 1 R 2
(C ) vaø (C ) caét nhau  R  R < I I < R  R 1 2 1 2 1 2 1 2 (C   R
1 ) vaø (C2 ) tieáp xuùc ngoaøi nhau 1 I I2 = 1 R 2
(C ) vaø (C ) tieáp xuùc trong nhau  I I = R  R 1 2 1 2 1 2 Lưu ý: Cho đường tròn 2 2
(C) : x y  2ax  2by c  0
và đường tròn C  2 2
' : x y  2a ' x  2b ' y c '  0 .
Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 
x y  2ax  2by c  0  2 2
x y  2a ' x  2b ' y c '  0  80
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (B-2012) Bài 2: (D-2012) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: 81
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: 82
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
ÑÖÔØNG ELÍP TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I.Ñònh nghóa:
Elíp (E) laø taäp hôïp caùc ñieåm M coù toång khoaûng caùch ñeán hai ñieåm coá ñònh F1; F2 baèng haèng soá
* Hai ñieåm coá ñònh F1; F2 ñöôïc goïi laø caùc tieâu ñieåm * F (E)
1F2 = 2c ( c > 0 ) ñöôïc goïi laø tieâu cöï M F 2c 1 F2 (E)  M / M 1 F  M 2 F  2 
a ( a>0 : haèng soá vaø a>c )
II. Phöông trình chính taéc cuûa Elíp vaø caùc yeáu toá:
1. Phöông trình chính taéc: 2 2 x y (E) :   1 vôùi 2 2 2 b  a  c ( a > b) (1) 2 2 a b y (E) Q B2 P M r1 r2 -a -c c a x O A F F A 1 1 2 2 R S B 1
2. Caùc yeáu toá cuûa Elíp:
* Elíp xaùc ñònh bôûi phöông trình (1) coù caùc ñaëc ñieåm:
- Taâm ñoái xöùng O, truïc ñoái xöùng Ox; Oy
- Tieâu ñieåm F1(-c;0); F2(c;0) - Tieâu cöï F1F2 = 2c
- Truïc lôùn naèm treân Ox; ñoä daøi truïc lôùn 2a ( = A1A2 )
- Truïc nhoû naèm treân Oy; ñoä daøi truïc lôùn 2b ( = B1B2 )
- Ñænh treân truïc lôùn : A1(-a;0); A2(a;0)
- Ñænh treân truïc nhoû :B1(0;-b); B2(0;b) 83
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
- Baùn kính qua tieâu ñieåm:  c 1 r  M 1 F  a  x  a  ex   a
Vôùi M(x;y)  (E) thì  c  2r  M 2 F  a  x  a  ex   a c - Taâm sai : e  (0  e  1) a a
- Ñöôøng chuaån : x   e 84
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
ÑÖÔØNG HYPEBOL TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I. Ñònh nghóa: M (H)  M / M 1 F  M 2 F  2 
a ( a > 0 : haèng soá vaø a < c ) (1) 2c F1 F2
II. Phöông trình chính taéc cuûa Hypebol vaø caùc yeáu toá:
1. Phöông trình chính taéc: 2 2 x y (H) :   1 vôùi 2 2 2 b  c  a (1) 2 2 a b b y   x y b a y x a B2 M Fa x a F 1 2  c A O A c 1 2 B 1
2. Caùc yeáu toá cuûa Hypebol:
* Hypebol xaùc ñònh bôûi phöông trình (1) coù caùc ñaëc ñieåm:
- Taâm ñoái xöùng O, truïc ñoái xöùng Ox; Oy
- Tieâu ñieåm F1(-c;0); F2(c;0) - Tieâu cöï F1F2 = 2c
- Truïc thöïc naèm treân Ox; ñoä daøi truïc thöïc 2a ( = A1A2 )
- Truïc aûo naèm treân Oy; ñoä daøi truïc aûo 2b ( = B1B2 ) - Ñænh: A1(-a;0); A2(a;0) b
- Phöông trình tieäm caän : y   x a
- Baùn kính qua tieâu ñieåm: Vôùi M(x;y)  (H) thì : r  MF  a  ex Vôùi x > 0  1 1   2 r  M 2 F  a  ex 85
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn r  MF  (a  ex) Vôùi x < 0  1 1   2 r  M 2 F  (a  ex) c - Taâm sai : e  (e  1) a a
- Ñöôøng chuaån : x   e 86
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
ÑÖÔØNG PARABOL TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I. Ñònh nghóa :
(P)  M / MF  d(M,   M
* F laø ñieåm coá ñònh goïi laø tieâu ñieåm K
* (  ) laø ñöôøng thaúng coá ñònh goïi laø ñöôøng chuaån
* HF = p > 0 goïi laø tham soá tieâu H p F
II. Phöông trình chính taéc cuûa parabol:  1) Daïng 1: Ptct: y2 = 2px 2) Daïng 2: Ptct: y2 = -2px y y M -p/2 F(-p/2;0) p/2 x x O F(p/2;0) M
() : x p / 2 ( ): x=-p/2 3) Daïng 3: Ptct: x2 = 2py
4) Daïng 4: Ptct : x2 = -2py y y ( ) : y = p/2 p/2 O F(0;p/2) M x F(0;-p/2) x M O -p/2 :y = -p/2 87
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10:
----------------------------------Heát------------------------------- 88
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 12: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho A
BC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : 2 2 2
BC AB AC A b) BA2  BH BC . ; CA2  CH CB . c) AB. AC = BC. AH c b 1 1 1 d)   2 2 2 AH AB AC H M C B e) BC = 2AM a b c b c f) sin B  , o c sB  , tan B  , cot B a a c b b b
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =  , sin B cos C b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c * Định lý hàm số Sin:    2R sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích:
a/ Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 . a . b c
a b c S  a.h . a b sin C   . p r  .(
p p a)( p b)( p c) a = với p  2 2 4R 2 1
Đặc biệt : A
BC vuông ở A : S  . AB AC 2
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng 1
d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) 2 1
d/ Diện tích hình thang : S
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 2
f/ Diện tích hình tròn : S   .R 89
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4. Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều:
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt a phẳng gọi là song song a/ /(P) a(P)   với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung. (P) II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d d không nằm trên mp(P) và  d  (P ) song song với đường  a thẳng a nằm trên mp(P)  d / / a  d / /(P ) (P) thì đường thẳng d song  a  (P )  song với mp(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a a  / /(P) (Q) song song với mp(P) thì a 
mọi mp(Q) chứa a mà cắt a   (Q)  d / /a d mp(P) thì cắt theo giao (  P) (Q)  d  tuyến song song với a. (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song (  P)  (Q)  d d
với một đường thẳng thì (  P) / /a  d / /a giao tuyến của chúng a song song với đường (Q)  / /a  Q P thẳng đó. 90
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi
là song song với nhau nếu (P)/ /(Q) (P) (  Q)  P
chúng không có điểm nào chung. Q II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa a  , b  (P)
hai đường thẳng a, b cắt  a a   b  I  (P) / /(Q) nhau và cùng song song P I b  với mặt phẳng (Q) thì a / /(Q), b / /(Q)  (P) và (Q) song song với Q nhau. ĐL2: Nếu một đường a thẳng nằm một trong hai (  P) / /(Q) P mặt phẳng song song thì   a / /(Q) song song với mặt phẳng a  (P)  Q kia. ĐL3: Nếu hai mặt phẳng R (P) và (Q) song song thì
mọi mặt phẳng (R) đã cắt (  P) / /(Q)  a P (P) thì phải cắt (Q) và (
 R)  (P)  a  a / / b
các giao tuyến của chúng (  R) b  (Q)  b Q song song.  B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được a  mp(P)  a  b,b  (P) a
gọi là vuông góc với một Hệ quả:
mặt phẳng nếu nó vuông a  mp(P)
góc với mọi đường thẳng   a  b
nằm trên mặt phẳng đó. b   mp(P) P c II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường d d  a ,d  b thẳng cắt nhau a và b 
cùng nằm trong mp(P) thì a , b  mp(P)  d  mp(P)
đường thẳng d vuông góc a, b caét nhau b  P a với mp(P). 91
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với a mp(P ), b mp(P ) mp(P) và đường thẳng b   a nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b b  a  b  a ' vuông góc với a là b b a'
vuông góc với hình chiếu P a’ của a trên (P).
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. II. Các định lý: ĐL1:Nếu một mặt Q
phẳng chứa một đường a
thẳng vuông góc với một a   mp(P)
mặt phẳng khác thì hai   mp(Q)  mp(P) a  mp(Q)
mặt phẳng đó vuông góc  P với nhau. ĐL2:Nếu hai mặt phẳng P (P) và (Q) vuông góc với (P  )  (Q)
nhau thì bất cứ đường  a thẳng a nào nằm trong (P
 ) (Q)  d  a  (Q) (P), vuông góc với giao a   (P),a  d 
tuyến của (P) và (Q) đều d Q vuông góc với mặt phẳng (Q). ĐL3: Nếu hai mặt phẳng P (P) và (Q) vuông góc với (  P)  (Q) nhau và A là một điểm  a trong (P) thì đường A  (P) A   a  (P)
thẳng a đi qua điểm A và A  a  vuông góc với (Q) sẽ  Q a  (Q) nằm trong (P)  ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông Q (  P) P (Q)  a a
góc với mặt phẳng thứ  ba thì giao tuyến của (  P)  (R)  a  (R) chúng vuông góc với (  Q)  (R) R mặt phẳng thứ ba.  92
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn §3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường O
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là O
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M H H a P
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: a O
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng cách H
từ một điểm nào đó của a đến mp(P). P d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng O song song: P
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. H Q d((P);(Q)) = OH
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng A a chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. b d(a;b) = AB B
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng
song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 93
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn §4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b a a'
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’
cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng b' b phương với a và b.
2. Góc giữa đường thẳng a không a
vuông góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt a'
phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường P thẳng a và mp(P) là 900.
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm b a b a
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm P Q P Q
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện S
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là
diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì S'  Scos  C
trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng A  (P),(P’). B C. CÁC HÌNH ĐA DIỆN §1. Hình chóp 1. Hình chóp:
Cho đa giác A1A2...An và một điểm S
nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó.
Nối S với các đỉnh A1, A2,..,An đề được
n tam giác: SA1A2, SA2A3,...,SAnA1.
Hình gồm n tam giác đó và đa giác
A1A2...An gọi là hình chóp và được ký hiệu là S.A1A2...An. 94
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Hình chóp đều:
 Một hình chóp được gọi là hình
chóp đều nếu đáy của nó là đa
giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
 Một hình chóp được gọi là hình
chóp đều nếu đáy của nó là đa
giác đều và có chân đường cao
trùng với tâm của đa giác đáy.
Hình chóp tứ giác đều
+ Trong một hình chóp đều thì
- Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
- Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Hình chóp tam giác đều §2. Hình lăng trụ 1. Hình lăng trụ:
Hình hợp bởi các hình bình hành
A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2,...,AnA1A'1A'2
và hai đa giác A1A2...An, A'1A'2...A'n gọi
là hình lăng trụ hoặc lăng trụ, và ký hiệu là A1A2...An.A'1A'2...A'n.
+ Trong một hình lăng trụ thì
- Các cạnh bên bằng nhau;
- Các mặt bên là các hình bình hành;
- Hai đáy là hai đa giác bằng nhau.
2. Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
+ Trong một hình hộp thì
- Các mặt bên là các hình bình hành;
- Các đường chéo của hình hộp cắt nhau
tại trung điểm mỗi đường. 95
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3. Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ
có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
+ Trong hình lăng trụ đứng thì
- Độ dài cạnh bên là chiều cao;
- Các mặt bên là các hình chữ nhật.
4. Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ
đứng có đáy là đa giác đều.
+ Trong hình lăng trụ đều thì
- Độ dài cạnh bên là chiều cao;
- Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
5. Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng
có đáy là hình bình hành.
6. Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng
có đáy là hình chữ nhật. 96
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
7. Hình lập phương: là hình hộp chữ
nhật có tất cả các cạnh bằng nhau 97
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Thể tích của một khối đa diện hiểu theo nghĩa thông thường là số đo độ lớn phần không gian mà có chiếm
chổ. Từ xa xưa con người đã tìm cách đo thể tích của các khối vật chất trong tự nhiên. Đối với những vật thể
lỏng, như khối nước trong một bể chứa, người ta có thể dùng những cái thùng có kích thước nhỏ hơn để
đong. Đối với những vật rắn có kích thước nhỏ người ta có thể thả chúng vào một cái thùng đổ đầy nước rồi
đo lượng nước trào ra ...Tuy nhiên trong thực tế có thể có nhiều vật thể không thể đo được bằng những cách
trên. Chẳng hạn để đo thể tích của kim tự tháp Ai Cập ta không thể nhúng nó vào nước hay chia nhỏ nó ra
được. Vì vậy người ta tìm cách thiết lập các công thức tính thể tích của một số khối đa diện đơn giản khi biết
kích thước của chúng, rồi từ đó tìm cách tính thể tích của các khối đa diện phức tạp hơn. A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Thể tích của khối chóp
1) Công thức tính thể tích khối chóp:
 Định lý: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: 1 V  .B.h 3
 Một số vấn đề có liên quan đến thể tích khối chóp
Định lí 1: Thể tích khối chóp sẽ không thay đổi nếu đỉnh của nó di chuyển trên một
đường thẳng song song với mặt phẳng chứa đáy. 98
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Định lý 2: Cho khối chóp tam giác S.ABC . Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy
ba điểm A ', B ',C ' khác với S . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC
và S.A ' B 'C ' . Ta luôn có: V V SA SB SC S.ABC   . . V ' V
SA' SB ' SC '
S.A'B'C '
2) Các bài toán luyện tập đơn giản: Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5:
3) Các bài toán luyện tập nâng cao: Bài 1: (D-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (A-2012) 99
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: 100
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
II. Thể tích của khối lăng trụ
1) Công thức tính thể tích khối lăng trụ:
 Định lý: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V  B.h
1) Các bài toán luyện tập đơn giản: Bài 1 Bài 2 Bài 3
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A’B’C’)
trùng với trọng tâm G của  A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 0
60 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. Bài 4
Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’,có AA’ >AB và A’B = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) a 15 bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. 5
2) Các bài toán luyện tập nâng cao: Bài 1 Bài 2 101
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 3 Bài 4 Bài 5 102
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn MẶT CẦU
Trong đời sống hằng ngày chúng ta thường thấy hình ảnh của mặt cầu thông qua hình ảnh bề mặt của quả
bóng bàn, của viên bi, của mô hình quả địa cầu, của quả bóng chuyền... A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Mặt cầu và các khái niệm liên qua đến mặt cầu 1. Mặt cầu
 Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng R (R>0)
được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R. Ký hiệu: SO;R)
SO; R)  M | OM  R
 Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu SO; R) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.
 Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2R.
 Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu.
Cho mặt cầu tâm O bán kính R và A là một điểm bất kỳ trong không gian.
 Nếu OA  R thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu SO; R)
 Nếu OA  R thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu SO;R)
 Nếu OA  R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu SO; R) 103
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu SO;R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó
được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính R.
3. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
 Mặt cầu có bán kính R có diện tích là: 2 S  4 R 
 Khối cầu bán kính R có bán kính là: 4 3 V  R  3
4. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
và hình đa diện gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Một số kiến thức cơ bản có liên quan  0 AB AMB  90   MI  I la trung diem AB  2
M: điểm nhìn đoạn AB dưới một góc vuông 104
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn M    MA  MB
 : đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB. M    MA  MB
 : mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
M    MA  MB  MC
 : trục của tam giác ABC.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa
đa giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
được gọi là trục của đa giác. 105
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ chóp tam giác đều ? giác đều ?
II. Các bài toán luyện tập Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 Bài 6
------------Hết------------- 106
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 13: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM - TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ z
I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong khoâng gian x'  x'Ox : truïc hoaønh  y'Oy : truïc tung   z'Oz : truïc cao k y y'  O : goác toaï ñoä     O  j
i, j, k : veùc tô ñôn vò i    x
(hay i; j; k : veùc tô ñôn vò ) z'
Quy öôùc : Khoâng gian maø trong ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxyz ñöôïc goïi laø
khoâng gian Oxyz vaø kyù hieäu laø : kg(Oxyz)
II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô: 
1. Ñònh nghóa 1: Cho M kg(Oxyz) . Khi ñoù veùc tô OM ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo        z
i, j, k bôûi heä thöùc coù daïng : OM xi y j+ yk vôùi x,y,z   . M
Boä soá (x;y;z) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M. y Kyù hieäu: M(x;y;z)
( x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; O
y: tung ñoä cuûa ñieåm M, z: cao ñoä cuûa ñieåm M ) x ñ/ n     M( ; x ;
y z)  OM xi y j zk  YÙ nghóa hình hoïc: z M 2 R z M M 3 O y
x OP ; y= OQ ; z = OR y Q x p M x 1 107
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  
2. Ñònh nghóa 2: Cho a  (
kg Oxyz) . Khi ñoù veùc tô a ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo       
i, j, k bôûi heä thöùc coù daïng : a a i a j + a k vôùi a ,a ,a   . 1 2 3 1 2 3 
Boä soá (a1;a2;a3) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a . 
Kyù hieäu: a  (a ; a ; a ) 1 2 3  ñ /n    
a=(a ;a ;a )  a a i a j a k 1 2 3 1 2 3
II. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô :
Ñònh lyù 1: Neáu A(x ; y ; z ) vaø B(x y z B; ; ) A A A B B thì 
AB  (x x ; y y ; z z ) B A B A B A  
Ñònh lyù 2: Neáu a  (a a a b b b b 1; 2 ; 3 ) vaø ( 1; 2; 3) thì   b 1 a 1   
* a b  a b 2 2 a b  3 3  
* a b  (a b a b a b 1 1; 2 2; 3 3 )  
* a b  (a b a b a b 1 1; 2 2; 3 3 ) 
* k.a  (ka ka ka k 1; 2; 3 ) (  ) 108
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
III. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô: Nhaéc laïi
 Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm treân hai ñöôøng thaúng song song .
 Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:    
Ñònh lyù 3 : Cho hai veùc tô a vaø b vôùi b  0    
a cuøng phöông b  !
 k   sao cho a k.b  
Neáu a  0 thì soá k trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:  
k > 0 khi a cuøng höôùng b  
k < 0 khi a ngöôïc höôùng b a k   b  
Ñònh lyù 4 : A,B,C thaúng haøng  AB cuøng phöông AC  
Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô a  (a a a b b b b 1; 2; 3 ) vaø ( 1; 2; 3) ta coù :   kb 1 a 1   
a cuøng phöông b  a kb a a b b b 2 2 a1 : 2 : 3 1 : 2 : 3 a kb  3 3
IV. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô: Nhaéc laïi:       .
a b a . b .cos( , a b)   2 2 a a     a b  . a b  0  
Ñònh lyù 6: Cho hai veùc tô a  (a a a b b b b 1; 2; 2 ) vaø ( 1; 2; 3) ta coù :   .
a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 109
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô a  (a a a 1; 2; 3 ) ta coù :  2 2 2
a a a a 1 2 3
Ñònh lyù 8: Neáu A(x ; y ; z ) vaø B(x y z B; ; ) A A A B B thì 2 2 2
AB  (x x )  (y y )  (z z ) B A B A B A  
Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô a  (a a a b b b b 1; 2 ; 3 ) vaø ( 1; 2; 3) ta coù :   a b
b a b a b 1 a 1 2 2 3 3  0  
Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô a  (a a a b b b b 1; 2 ; 3 ) vaø ( 1; 2; 3) ta coù :     . a b
a b a b a b cos( , a b)     1 1 2 2 3 3 2 a . b a  2 a  2 2 a . b  2 b  2 b 1 2 3 1 2 3
V. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k:
Ñònh nghóa : Ñieåm M ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo tyû soá k ( k  1 ) neáu nhö :  
MA k.MB    A M B  
Ñònh lyù 11 : Neáu A(x ; y ; z ) , B(x y z MA k MB B; ; ) A A A B B vaø . ( k  1 ) thì  x k. A xB xM   1 k   y k.y A By M  1  k   z k. A B z M z    1 kxA xB xM   2   y y
Ñaëc bieät : M laø trung ñieåm cuûa AB  A ByM  2   zA B z M z    2 110
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A(x ; y ; z ) , B(x y z y z B; ; ), C(xC; ; ) A A A B B C C
x x x x A B CG 3  
y y y
G là trọng tâm tam giác ABC  A B Cy G 3  
z z z z A B CG  3
Ví duï 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Tìm ñieåm D sao cho töù giaùc ABCD laø hình bình haønh
Ví duï 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vuoâng .
b. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC
c. Tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán keû töø A
VI. Tích coù höôùng cuûa hai veùc tô:  
1. Ñònh nghóa: Tích coù höôùng cuûa hai veùc tô a  (a a a b b b b 1; 2 ; 3 ) vaø
( 1; 2; 3) laø moät veùc tô ñöôïc   kyù hieäu :  ;
a b coù toïa ñoä laø :   1 2 3     a a a a a a
a  (a ; a ; a ) 2 3 3 1 1 2  ; a b   ; ;  Caùch nhôù: 1 2 3    b b b b  2 3 3 1 b b 1 2  b  (b b b 1; 2; 3 ) 2. Tính chaát:         ;
a b  a vaø  ; a b  b     A 1    S  .  A ; B AC ABC 2   B C   D C D'  S   A ;   C' ABCD B AD   A ' A B'  B   D  ' V   A ; B AD .AA ' ' ' ' ABCD.A B C D   C D A B 1
    V  .  ; AB AC .AD ABCD 6   C A      B
a cuøng phöông b   ; a b  0          , a ,
b c ñoàng phaúng   , a b .c  0  
  
  
 A, B, C, D đồng phẳng  AB, AC, AD đồng phẳng  AB, AC .AD  0   111
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
BAØI TAÄP ÖÙNG DUÏNG:
Baøi 1: Cho boán ñieåm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chöùng minh raèng boán ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng
b. Tính dieän tích tam giaùc ABC
c. Tính theå tích töù dieän ABCD
Baøi 2: Tính theå tích töù dieän ABCD bieát A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6:
Bài 7: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 6), B(3; 1; 4
 ), C(5; 1; 0), D(1; 2;1) . Chứng minh tam giác ABC vuông.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD. 112
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN I. Caùc ñònh nghóa:
1. Veùc tô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng:    ñn  a  0
a laø VTCP cuûa ñöôøng thaúng (  )  
a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi ()  aa () Chuù yù:
 Moät ñöôøng thaúng coù voâ soá VTCP, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau.
 Moät ñöôøng thaúng (  ) hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät VTCP cuûa noù.
2. Caëp VTCP cuûa maët phaúng:  ab ab
Cho maët phaúng  xaùc ñònh bôûi hai ñöôøng thaúng caét nhau a vaø b . Goïi a laø VTCP cuûa ñöôøng 
thaúng a vaø b laø VTVP cuûa ñöôøng thaúng b. Khi ñoù :  Caëp ( ,
a b) ñöôïc goïi laø caëp VTCP cuûa maët phaúng  Chuù yù :
 Moät maët phaúng  hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTCP cuûa noù.
3. Veùc tô phaùp tuyeán ( VTPT) cuûa maët phaúng : n     ñn  n  0
n laø VTPT cuûa maët phaúng   
n coù giaù vuoâng goùc vôùi mp  Chuù y ù:
 Moät maët phaúng coù voâ soá VTPT, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau.
 Moät maët phaúng hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTPT cuûa noù. 113
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4. Caùch tìm toïa ñoä moät VTPT cuûa maët phaúng khi bieát caëp VTCP cuûa noù: 
a  (a ; a ; a ) 
Ñònh lyù: Giaû söû maët phaúng  coù caëp VTCP laø : 1 2 3 
thì mp coù moät VTPT laø : b  (b b b  1; 2 ; 3 )     a a a a a a  2 3 3 1 1 2 n   ; a b   ; ;    b b b b  2 3 3 1 b b 1 2    
n  [a, b ] ab
Ví duï: Tìm moät VTPT cuûa maët phaúng  bieát  ñi qua ba ñieåm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phöông trình cuûa maët phaúng :
Ñònh lyù 1: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình maët phaúng  ñi qua ñieåm M x y z
0 ( 0 ; 0 ; 0 ) vaø coù moät  VTPT n  ( ; A ; B C) laø:  n  ( ; A B; C )
M x;y;z  A(x x B y y C z z 0 )  (  0 )  (  0)  0
M (x ; y ; z )  0 0 0 0  n  ( ; A B; C ) z
Ñònh lyù 2: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình daïng :  M 0 y
Ax By Cz D  0 vôùi 2 2 2
A B C  0
laø phöông trình toång quaùt cuûa moät maët phaúng . x Chuù yù : 
 Neáu ( ) : Ax y
B Cz D  0 thì ( ) coù moät VTPT laø n  ( ; A ; B C) (Oyz) zM x y z  
Ax By Cz D  
By Cz D 0 ( 0 ; 0 ; 0 ) ( ) : 0 Ax0 0 0  0
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:
1. Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä: y  (Oxy):z = 0 O  (Oyz):x = 0 (Oxz) x  (Oxz):y = 0
2. Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén: A( ; a 0; 0) (Oxy) 
 Phöông trình maët phaúng caét caùc truïc Ox, Oy, Oz taïi B(0; ; b 0) (a,b,c  0) C  (0;0;c)  114
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn C x y z laø:    1 a b c c O b B a
Ví duï 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) A
Vieát phöông trình maët phaúng (ABC)
Ví duï 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3,B 2;3; 
1 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.
Ví duï 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng P : x  2y  3z  4  0 và R : 3x  2y z 1  0 . Viết phương
trình mặt phẳng R đi qua A 1;1; 
1 đồng thời vuông góc với cả P và Q .
Ví duï 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
III. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng :
1. Moät soá quy öôùc vaø kyù hieäu: a tb 1 1 a tb ( 2 2
a , a ,..., a )   Hai boä n soá : 1 2 n
ñöôïc goïi laø tyû leä vôùi nhau neáu coù soá t  0 sao cho .  (b b b  1, 2 ,..., ) n .     n a t n b a a a Kyù hieäu: a a a b b b 1 : 2 : ... : 1 : 2 : ... : n n hoaëc 1 2   ... nb b b 1 2 n
2. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng ,  xaùc ñònh bôûi phöông trình : 
() : A x B y C z D  0 coù VTPT n  (A ; B ;C ) 1 1 1 1 1 1 1 1 
( ) : A x B y C z D n A B C 2 2 2 2 0 coù VTPT 2 ( 2; 2; 2)   n1 n2   n  2 nn1 1  n2      115
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn B B C C A 1 A 1 1 1 1 1 () caét ( )  B C A B Choaëchoaëc 1 A : 1 : 1 2 : 2 : 2 (hay:  ) A B B C C A 2 2 2 2 2 2 A B C D 1 1 1 1 () // ( )     A B C D 2 2 2 2 B C D 1 A 1 1 1 ()  ( )     A B C D 2 2 2 2 Ñaëc bieät:    
A B B C C 1 A 2 1 2 1 2  0
ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
I. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng:
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng () ñi qua ñieåm M x y z 0 ( 0 ; 0 ; 0 ) 
vaø nhaän a  (a a a 1; 2 ; 3 ) laøm VTCP laø :  z a
x x ta 0 1  ()
() : y y ta  0 2 (t  )  M
z z ta 0  0 3
M (x, y, z) y O x
2. Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng () ñi qua ñieåm M x y z 0 ( 0 ; 0 ; 0 ) 
vaø nhaän a  (a a a 1; 2 ; 3 ) laøm VTCP laø : x x y y z z 0 0 0 () :   a a a 1 2 3 Ví du 1ï: Ví du 2ï: Ví du 3: 116
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn x  1  2t 
Cho ñieåm M(-2;1;1) vaø ñöôøng thaúng (d) : y  1 t . Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua ñieåm z  3  t 
M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d). x z z
Ví duï 4: Cho ñieåm M(1;2;3) vaø ñöôøng thaúng (d) :  
. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñieåm 1 1  1 M vaø ñöôøng thaúng (d)
II. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng :
1.Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng :  M a () ()   a n   n n M M  ()    a
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho : x x y y z z  ñöôøng thaúng 0 0 0 () :  
coù VTCP a  (a ; a ; a ) vaø qua M (x ; y ; z ) a a a 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 
vaø maët phaúng () : Ax By Cz D  0 coù VTPT n  ( ; A ; B C) Khi ñoù : () caét ()   Ba Ca 1 Aa 2 3  0
Aa  Ba Ca  0 1 2 3 () // ()  
Ax By Cz D  0 0 0  0   Ba Ca 1 Aa 2 3  0
()  ( )  Ax By Cz D  0 0 0  0 an
Ñaëc bieät: ()  ( )  a a A B C 1 a : 2 : 3 : :   pt()
Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa (  ) vaø ( ) ta giaûi heä phöông trình :  tìm x,y,z pt( )  Suy ra: M(x,y,z)
Ví duï 1: Cho hai ñieåm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) vaø maët phaúng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toaï ñoä giao ñieåm I cuûa ñöôøng thaúng AB vaø maët phaúng (P).
Ví duï 2: Cho ñieåm M(1;1;1) vaø maët phaúng (P) coù phöông trình: x  2y  3z 14  0 . Tìm toïa ñoä hình
chieáu vuoâng goùc cuûa M treân maët phaúng (P). 117
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn x 1 y  2 z  2
Ví duï 3: Cho ñöôøng thhaúng (d) :   vaø maët phaúng 2
(P) : x  3y  4m z  m  0 . Tìm m 1 5 4 
ñeå ñöôøng thaúng (d) naèm trong maët phaúng (P).
2. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng :   1  1 u ' M a MM 0 0 0 u   1   M ' b  0 M u u'  0    u'  1 2 u' 2 2 ' M M ' M 0  0 0 2
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng : x x y y z z  0 0 0 (   u a b c x y z 1) : coù VTCP ( ; ; ) vaø qua M0( 0; 0; 0 ) a b c  x x y y z z 0 0 0 ' ' ' ' ' ' ' ' (   u a b c x y z 2 ) : coù VTCP ( ; ; ) vaø qua M0( 0; 0; 0) ' ' ' a b c
    ' 
 ( ) vaø ( ) ñoàng phaúng  ' , u u .M M  1 2 0   0 0
    '  ' , u u .M M   0  0 0
 ( ) caét ( )    1 2 
a : b : c  ' ' '  a : b : c
 ( ) // ( )  a : b : c  ' ' ' ' ' ' a b c x x y y z z 1 2 : :  (  ) : (  ) : (  0 0 0 0 0 0 )
 ( )  ( )  a : b : c  ' ' '
a : b : c  ' (x  ' x ) : (y  '
y ) : (z z 1 2 )
  0 0 0 0 0 0   ' 
 ( ) vaø ( ) cheùo nhau  ' , u u .M M  1 2 0   0 0  pt( )
Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa ( 1
 ) vaø (2 ) ta giaûi heä phöông trình : 1  tìm x,y,z pt(  2 ) Suy ra: M(x,y,z)
III. Goùc trong khoâng gian:
1. Goùc giöõa hai maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng ,  xaùc ñònh bôûi phöông trình : 
() : A x B y C z D  0
n  ( A ; B ; C ) 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) : A x B y C z D  2 2 2 2  0
n  ( A ; B ; C ) 2 2 2 2
Goïi  laø goùc giöõa hai maët phaúng ( ) & ( ) ta coù coâng thöùc:
A A B B C C  1 2 1 2 1 2 cos  2 2 2 2 2 2
A B C . A B C 0 0 0    90 1 1 1 2 2 2 
Ví duï: Cho hai maët phaúng (P) : x  y  2  0 & (Q) : x  z  3  0 . Xaùc ñònh goùc giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q). 118
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: x x y y z z
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho ñöôøng thaúng  0  0  0 ( ) : a b c
vaø maët phaúng () : Ax By Cz D  0 ()
Goïi  laø goùc giöõa hai maët phaúng () & ( ) ta coù coâng thöùc:
a  (a;b;c) 
n  ( A; B; C )
Aa Bb Cc sin   2 2 2 2 2 2
A B C . a b c  0 0 0    90
3.Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng :
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng : x x y y z z ( 0 ) :  0  0 1 a b c x x y y z z ( 0 ) :  0  0 2 ' ' ' a b c
a  (a;b;c)
Goïi  laø goùc giöõa hai maët phaúng ( ) & ( ) ta coù coâng thöùc: 1 1 2 1 ' ' '
aa bb cc cos   2 2 2 '2 '2 '2 
a b c . a b c 2
a  (a'; b'; c' ) 2 IV. Khoaûng caùch: 0 0 0    90
1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng () : Ax By Cz D  0 vaø ñieåm M x y z 0 ( 0 ; 0 ; 0 )
Khoaûng caùch töø ñieåm M0 ñeán maët phaúng ( ) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc:
M ( x ; y ; z ) 0 0 0 0
Ax By Cz D 0 0 0 d(M0;)  2 2 2
A B C H
Ví duï: Cho hình töù dieän ABCD bieát toïa ñoä caùc ñænh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)
Tính ñoä daøi ñöôøng cao hình töù dieän xuaát phaùt töø D. 119
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho ñöôøng thaúng (  ) ñi qua ñieåm M x y z
0 ( 0 ; 0 ; 0 ) vaø coù VTCP  u  ( ; a ;
b c) . Khi ñoù khoaûng caùch töø ñieåm M1 ñeán () ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: M   1 M M u  0 1; u () d(M    1, )  u
M ( x ; y ; z ) H 0 0 0 0 x y 1 z  3
Ví duï: Cho ñöôøng thaúng : (d) :   vaø ñieåm A(1;2;1) 3 4 1
Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán ñöôøng thaúng (d).
3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau :  ( u a b c x y z 1) coù VTCP ( ; ; ) vaø qua M0( 0; 0; 0)  ' ' ' ' ' ' ' '
( ) coù VTCP u  (a ; b ; c ) vaø qua M (x ; y ; z ) 2 0 0 0 0
Khi ñoù khoaûng caùch giöõa ( 1
 ) vaø (2 ) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc  u 1 M 0    '  , u u ' .M M 0 0   d(  1  , 2 )    u '  ; u u ' ' M   0  2
Ví duï: Cho hai ñöôøng thaúng :
x  9  6t x  5 y  5 z 1  (d ) :  
vaø (d ) : y  2t 1 2 3 2 2 z  2  t
Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2). 120
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: 121
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: 122
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
MAËT CAÀU TRONG KHOÂNG GIAN
I. Phöông trình maët caàu:
1. Phöông trình chính taéc:
Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz). Phöông trình cuûa maët caàu (S) taâm I(a;b;c), baùn kính R laø : z (S) 2 2 2 2
(S) : (x a)  (y  ) b
 (z c)  R (1) I R
Phöông trình (1) ñöôïc goïi laø phöông trình M ( ; x ; y z)
chính taéc cuûa maët caàu O y Ñaëc bieät: Khi I 2 2 2 2
 O thì (C) : x y z R x
2. Phöông trình toång quaùt:
Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz). Phöông trình : 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0 vôùi 2 2 2
a b c d  0 laø phöông trình cuûa maët caàu (S) coù taâm I(a;b;c), baùn kính 2 2 2
R a b c d .
Ví duï: Cho 4 ñieåm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Vieát phöông trình maët caàu ñi qua boán ñieåm A, B, C, D. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu
II. Giao cuûa maët caàu vaø maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng ( ) vaø maët caàu (S) coù phöông trình : 
( ) : Ax By Cz D  0 2 2 2 2
(S) : (x a)  (y b)  (z c)  R
Goïi d(I; ) laø khoaûng caùch töø taâm maët caàu (S) ñeán maët phaúng  Ta coù : 1. 
( ) caét maët caàu (S)  d(I; ) < R 2. 
( ) tieáp xuùc maët caàu (S)  d(I; ) =R 3. 
( ) khoâng caét maët caàu (S)  d(I; ) > R (S ) (S ) I (S ) I R R (C) M I R H M r H M H    123
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuù yù:
Khi  cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:
Ax By Cz D  0   Phương trình là:  2 2 2  2
x a   y b   z c   R
 Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng  2 2  Bán kính r
R d (I, ) Ví duï: Cho maët caàu 2 2 2
(S) : x  y  z  4x  2y  2z  3  0 . Vieát phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu taïi ñieåm M(0;1;-2). BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: 124
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 9: 125
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyên đề 14: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM A. Giới hạn
1. Các giới hạn cơ bản:
1) lim C  C (C laø haèng soá) xx0 2) lim f(x)  f(x ) (f(x 0 0) phaûi xaùc ñònh) xx0 1 1 C 3) lim C  C , lim  0 , lim  0 , lim  0 x x x k x x k x x
Một vài giới hạn đặc biệt a) k
lim x   với k nguyên dương x b) k
lim x   với k là số lẻ x a) k
lim x   với k là số chẵn. x
2. Các quy tắc tính giới hạn:
1) lim f(x)  g(x)  lim f(x)  lim g(x) xx xx xx 0 0 0
2) lim f(x).g(x)  lim f(x). lim g(x) xx xx xx 0 0 0 lim f(x)  f(x)  3) x lim  x0   xx0  g(x)  lim g(x) xx0
Quy tắc 1: Nếu lim f (x)   và lim g(x)  L  0 thì lim f (x).g(x)  ? được cho trong bảng sau: xx0 xx0 xx0 lim f (x)   Dấu của L lim f (x).g(x) xx0 xx0  +      +    
(Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau: x x ; x x   ; x  ;  x   ) 0 0
Quy tắc 2: Nếu lim f (x)  L  0 và lim g(x)  0 và g(x)  0 hoặc g(x)  0 với mọi x  I\x , 0  xx0 xx0 f (x)
trong đó I là một khoảng nào đó chứa x0 thì lim
 ? được cho trong bảng sau: xx0 g(x) Dấu của L Dấu của g(x) f (x) lim xx0 g(x) + +  +    +     125
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
(Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau: x x ; x x   ; x  ;  x   ) 0 0 3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau a) lim  3 2 x  3x  4x  2 b) lim  3 2 x  3x  4 x x 4  x 3  c) lim  4 2 x  2x  3 d) 2 lim  x    x x 2 2  
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau 2x 1 2  x a) lim b) lim x x  2 x 2x 1 2x 1 2  x a) lim b) lim x 2  x  2   1  2x 1 x     2 
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau 2 2x  3x 1 2  2x  3x 1  a) lim b) lim  2x 2   x x  2x x x  2   2 x  2x  3 2 x  2x  3 a) lim b) lim x 2  x  2 x 2  x  2 B. Liên tục Các định nghĩa:
 Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng a; b và x  a; b . 0  
Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim f (x)  f (x ) 0 xx0
 Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng a; b .
Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng a; b nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng a; b
 Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn a; b .  lim f (x)  f (a) 
Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn a; b nếu nó liên tục trên khoảng a; b và xa  lim f (x)  f (b)  xb Định lý:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng
(tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
3) Các hàm lượng giác y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x liên tục trên tập xác định của chúng. C. Đạo hàm
1) Ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm:
Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x (a; b) . 0
Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x0, kyù hieäu laø f'(x0) hay y'(x0) laø giôùi haïn höõu haïn (neáu coù) f(x)  f(x ) cuûa 0 lim xx0 x  x0 126
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn f(x)  f(x ) 0 f '(x )  lim 0 xx0 x  x0
2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm:
 Cho haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 laø f'(x0) . (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá
M (x ; f(x )) (C) vaø  laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M 0 0 0 y (C): y=f(x) M 0  f(x ) 0 x x 0
a) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm:
 Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm M (x ; f(x )) 0 0 0
k  f '(x ) (k  tan  với   ox; ) 0
b) Phöông trình tieáp tuyeán:
 Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm M0(x0;f(x0)) laø:
y  f '(x )(x  x )  f(x ) 0 0 0 y  f(x ) 0 0  hay: y  y  k x  x 0 
0  trong đó : k  f '(x ) 0  
3. Caùc quy taéc tính ñaïo haøm:
Ñaïo haøm cuûa toång hieäu tích thöông caùc haøm soá
a. Ñaïo haøm cuûa toång ( hieäu ):   u  v  u  v b. Ñaïo haøm cuûa tích:    u v .   u v .  v .
u  Ñaëc bieät C.u  C.u Vôùi C laø haèng soá.
c. Ñaïo haøm cuûa thöông:     u  u v .  v . u   1  1   C  C.v '    Ñaëc bieät  và   2   2    v  v  v  v 2  v  v
d. Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp:
Cho hai haøm soá y  f u vaø u  gx khi ñoù y  f gx ñöôïc goïi laø haøm hôïp cuûa hai
haøm soá treân, khi ñoù: y  y u .  x u x
3. Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá cô baûn: 127
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn   Với u là một hàm số
C  0 ( C laø haèng soá )
x'  1 C.x'  C    n  n 1 x
 n.x  n  N, n  2  n  n 1 u  n.u  .u    1  1  1  u     (x  0)   2   2  x  x  u  u  1  u  x   x  0  u   2 x 2 u    sin x  cos x sin u  ucos u    cos x   sin x cos u  usin u  1  u tan x 2   1 tan x tan u 2   (1 tan u).u 2 cos x 2 cos u  1  u cot x      2 1 cot x cot u      2 1 cot u .u 2  2  sin x sin u    ax  b  a d .  b . c 2 2
ax bx c a a . x  2a b . x b b .  a c .    1 1 1 1   cx  d  cx  2 d  a x b   1 1  a x b 1 2 1
 Đạo hàm của hàm số mũ:  x ' x e
e x ' x aa .ln a u ' u e
e .u ' (với u là một hàm số)  u ' u a
a . ln a . u ' (với u là một hàm số)
 Đạo hàm của hàm số lôgarit: 1
ln x '  và  x  1 ln '  x x u ' u ln u '  và  u  ' ln ' 
(với u là một hàm số) u u 1 log x  và  xa  1 log ' a ' xlna x ln a u ' u log u  và  u
(với u là một hàm số) a  ' log ' a ' u.lna u.ln a RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Ví duï 1 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau 4 1 x 3 1) y   3 x  2 4x  5x 11 2) y   2 x  3 2 2 2x  2 1 3x  2x 1 3) y= 4) y  3x  2 2x  1
Ví duï 2 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 128
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
1) y  2 sin x  s in2x 2) y  3 cos 2x  2 cos x 4 x 3) y= 2sinx  3 sin x 4) y   2 sin x 3 2
Ví duï 3 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:  2       2 1) y x 2x 5 2) y x 1 4 x 2 x    2 3) y= 3 x x  1 4) y  2 x  1
Ví duï 4: Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: x  3
1) y x 4  x 2) y  2 x  1
3) y x  2  4  x 4) 2
y x  2  x
Ví dụ 5: Tính f '(x) và giải phương trình f '(x)  0 khi biết 1) 3 2
f (x)  2x  3x  36x 10 2) 4 2 f (x)  x  2x  3 2 x  2x  2 2 x  8x  7 3) f (x)  4) f (x)  x 1 2 x 1
Ví dụ 6: Tính f '(x) và lập bảng xét dấu của f '(x) khi biết 1 3 1) 3 2 f (x)  x  x  5 2) 4 2 f (x)  x  8x  6 4 2 3x 1 2 x  x 1 3) f (x)  4) f (x)  1 x x 1
Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 1) 3
y  x  3x  2 tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2. 2) 4 2
y  x  2x tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8. 2x  3 3) y 
tại giao điểm của (C) với trục tung. 2x 1
Ví dụ 8 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 1) 3
y  x  3x  2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. 2) 4 2
y  x  2x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  24x . 2x  3 1 3) y 
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x . 2x 1 2 C. VI PHÂN
Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích f '(x).x gọi là vi phân của hàm số y  f (x) , ký hiệu là df (x)  f '(x). x
 (1) . Đặc biệt với hàm số y  x ta có dx  x '. x   x
 nên (1) có thể viết thành: df (x)  f '(x).dx
--------------------Hết---------------------- 129
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 15: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Trong bài này chúng ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và nghịch biến) của
hàm số. Đồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính đơn điệu trong việc chứng minh bất đẳng thức, giải phương
trình, bất phương trình và hệ phương trình. A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác định trên K. I) ĐỊNH NGHĨA
 Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu x  , x  K, x  x  f x  f x 1 2 1 2  1   2 
 Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu x  , x  K, x  x  f x  f x 1 2 1 2  1  2  Minh họa: y 2.5 y=f(x)=x4-2x2+2 2 1.5 1 0.5 x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 K=(-1;0) K=(1/2;1) -0.5
 Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải
 Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải
 Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. II) CÁC ĐỊNH LÝ
1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K
b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K
 [ f(x) đồng biến trên K]  [ f '(x)  0 với mọi x  K ]
 [ f(x) nghịch biến trên K]  [ f '(x)  0 với mọi x  K ]
2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f 'x  0 với mọi x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K
b) Nếu f 'x  0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K
c) Nếu f 'x  0 với mọi x  K thì hàm số f (x) không đổi trên K
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) đồng biến trên K]
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) nghịch biến trên K]
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) không đổi trên K] 126
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chú ý quan trọng:
Khoảng K trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nữa khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết
"Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó". Cụ thể
 Nếu hàm số liên tục trên đọan a; b và có đạo hàm f '(x)  0 trên khoảng a; b thì hàm số f đồng biến
trên đoạn a; b
 Nếu hàm số liên tục trên đọan a; b và có đạo hàm f '(x)  0 trên khoảng a; b thì hàm số f nghịch
biến trên đoạn a; b
3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f 'x  0 với mọi x  K và f 'x  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f 'x  0 với mọi x  K và f 'x  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
Tính đơn điệu của hàm số bậc ba
4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba    3 2 y
f x  ax  bx  cx  d a  0 , ta có   2 f ' x  3ax  2bx  c . a) Hàm số    3 2 y
f x  ax  bx  cx  d a  0 đồng biến trên     2
f ' x  3ax  2bx  c  0 x    b) Hàm số    3 2 y
f x  ax  bx  cx  d a  0 nghịch biến trên     2
f ' x  3ax  2bx  c  0 x    B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
I. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
1.Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau a) y  f x 3 2
 x  x  x  3 b) y  f x 3 2  x  3x  9x 11 4 x c) y  f x 2 
 2x  6 d) y  f x 4 2  x  4x  3 4 2 3x 1 x  2x  2 e) y  f x  f ) y  f x  x 1 x 1
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau 2
a) y  x  2  x b) y  x 4  x 2 x  3 x c) y  d) y  2 2 x 1 x 1
2.Dạng 2: Định tham số để hàm số đơn điệu trên một miền K cho trước.
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1 a) 3 2 y 
x  mx  m  6 x  2m   1 đồng biến trên  3 1 b) 3 y   x  m   2
1 x  m  3 x  4 nghịch biến trên  3
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số   3      2     2 f x x m 1 x 2m 1 x  m  2 a) Đồng biến trên  131
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  3 
b) Đồng biến trên nữa khoảng ;     2  1 1
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số a sao cho hàm số f  x 3 2   x  ax   2 2a  3a   1 x  3a 3 2 a) Nghịch biến trên 
b) Nghịch biến trên mỗi nữa khoảng  ;    1 và 3; 
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số   3 2
f x  x  3x  3mx 1
nghịch biến trên khoảng 0;  (Khối A-2013)
II. CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO
1.Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức.
a) Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:   
i) sin x  x với mọi x  0;    2  2 x    ii) cos x  1 với mọi x  0;   2  2 
b) Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:   
i) 2 sin x  tan x  3x với mọi x  0;    2    
ii) sin x  tan x  2x với mọi x  0;    2 
2.Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Bổ sung các tính chất của tính đơn điệu
 Tính chất 1: Giả hàm số y  f x đồng biến (nghịch biến) trên khoảng a; b và u; v a; b ta có:
f u  f v  u  v
 Tính chất 2: Giả hàm số y  f x đồng biến trên khoảng a; b và u; v a; b ta có:
f u  f v  u  v
 Tính chất 3: Giả hàm số y  f x nghịch biến trên khoảng a; b và u; v a; b ta có:
f u  f v  u  v
 Tính chất 4: Nếu hàm số y  f x đồng biến trên a; b và y  g x làm hàm hằng hoặc là một hàm
số nghịch biến trên a; b thì phương trình f x  g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng a; b
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có x  a; b sao cho f x  g x
thì phương trình f x  g x có nghiệm duy nhất trên a; b 0   0  0  
a) Ví dụ 1: Giải phương trình x  9  2x  4  5  2
b) Ví dụ 2: Giải phương trình x  cos x    0 4 2
c) Ví dụ 3: Giải phương trình 2 2
x 15  3x  2  x  8
d) Ví dụ 4: Giải bất phương trình x  2  3  x  5  2x   
e) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình cot x cot y x y với x, y0; 5x  8y  2 132
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
 x  y  1 y  1 x  0
f) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  x  1 y  2  C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau a) y  f x 3 2
 x  3x  9x  5 b) y  f x 4 2  x  2x  3 2 2x 1 x  2x  3 c) y  f x  d) y  f x  x 1 x  2
Bài 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau 2 a) y  x  4  x b) y  x 1  9  x c) y 
x 1  8  x  x   1 8  x 1 Bài 3: Cho hàm số y  a   3 2
1 x  ax  3a  2 x  2 3
Tìm a để hàm số đồng biến trên 
Bài 4: Tùy theo m hãy xét sự biến thiên của hàm số 2 y  x m  x  m
Bài 5: Giải các phương trình sau: 2 a) 4x 1  4x 1  1
b) sin x  cos x  2x 1  0 3
c) 4x 12x  8  cos 3x  9 cos x  0
Bài 6: Giải bất phương trình 2 x  x  6 x  2  18 3 2 2x 1  y  y  y 
Bài 7: Giải hệ phương trình 3 2 2y 1  z  z  z 3 2 2z 1  x  x  x 
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng:
sin A  sin B  sin C  tan A  tan B  tan C  2
------------------------Hết----------------------- 133
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 134
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 135
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
CÁC BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC Bài 1: (B-2014) Bài 2: (B-2013) Bài 3: (A-2012) Bài 4: (B-2012) Bài 5: (D-2012) Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: 136
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 137
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
I) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y  f x xác định trên tập hợp D.
 Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f x trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn i  ) f x  M x   D ii  ) x  D : f x  M 0  0  
Ký hiệu: M  Max f x x D 
 Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f x trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn i  ) f x  m x   D ii  ) x D : f x  m 0  0  
Ký hiệu: m  min f x x D  Minh họa: y 8 7 6 M=6 5 4 y=f(x)=x3-3x+4 3 D=[-5/2;3/2] 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5/2 3/2 -1 -2 -3 -4 m=33/8 -5
 Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì ta hiểu
đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó.
 Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự. 138
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
II) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN:
1) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
(hay phương pháp dùng định nghĩa).
Một số kiến thức thường dùng: b  a) 2 2
f (x)  ax bx c  ( a x  )  2a 4a
b) Bất đẳng thức Cô-si: a  b
 Với hai số a, b không âm a, b  0 ta luôn có:  ab  a  b  2 ab 2
Dấu "=" xảy ra khi a  b a  b  c
 Với ba số a, b, c không âm a, b, c  0 ta luôn có: 3 3
 abc  a  b  c  3 abc 3
Dấu "=" xảy ra khi a  b  c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng 2 2 a b 1) 2 2
a b  2ab ab  2 2 (a b) 2) 2
(a b)  4ab ab  4 2 (a b) 3) 2 2 2 2 2
(a b)  2(a b )  a  b  2
2) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
(hay phương pháp miền giá trị).
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng y  f x
Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :
D  { x   | f(x) có nghĩa}
Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là :
T = { y   | Phương trình f(x) = y có nghiệm x  D }
Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và GTNN của hàm số đó.
Một số kiến thức thường dùng: a) Phương trình 2
ax  bx  c  0 a  0 có nghiệm    0
b) Phương trình a cos x  b sin x  c a, b  0 có nghiệm 2 2 2  a  b  c
3) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).
 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn a; b thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó. (Weierstrass 2)
 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y  f x trên miền D, ta lập BẢNG
BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả.  Phương pháp riêng:
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần lập
bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  ;
a b và có đạo hàm trên khoảng  ; a b ,
có thể trừ một số hữu hạn điểm . Nếu f '(x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  ; a b thì ta có quy
tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn  ; a b như sau: 139
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Quy tắc
1) Tìm các điểm x , x ,..., x thuộc  ;
a b mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có 1 2 m đạo hàm.
2) Tính f (x ), f (x ),..., f (x ), f (a), f (b) . 1 2 m
3) So sánh các giá trị tìm được.
 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn  ; a b
 Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  ; a b
 Chú ý: Phải kiểm tra tính liên tục của hàm số y  f x trên đoạn a;b , tránh áp dụng một cách hình thức. B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
1) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số   2 f x  2x  8x 1
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số   2 f x  2x  4x 12
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số sau 2 7 a) f x  x 
với x  1;  b) f (x)  x  3  x 1 x  3
2) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình 2 x  x  2
Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  2 x  x  2 1 sin x
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  2  cos x
3) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:  1  9  4  1) 2
y  16x  2x 12 trên đoạn 0;  2) 2 y x x trên đoạn 1; 4      4  3  3 x 3) 3 2
y  x  3x  9x  35 trên đoạn  4  , 4 4) 2 y
 2x  3x  4 trên đoạn  4  , 0 3 x  2 x  3 5) y 
trên đoạn 0; 2 6) y  trên đoạn  1  ; 2 x  2 x  2 2 2x  3x  3 2 2x  5x  4 7) y
trên đoạn 0; 2 8) y  trên đoạn  1  ;  1 x 1 x  2
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 4 1) 3 y  2sin x 
sin x trên đoạn 0;  2) 4 2 y  cos x  6 cos x  5 3
3) y x    x 3 6 2 4 1 trên đoạn  1  ;  1 4) 4 4
y  sin x  cos x  2
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) 2 y  4x x 2) 2 y
x  2x  8 3) y  2  x  4  x 4) 2
y  x  4  x 5) y   x   2 1 1 x 6) 2 2
y  1 x  1 x 1 7) 2 2 y
x x  4x x (TN THPT 2014) 4 8) 2 2 y
x  4x  21  x  3x 10 (Khối D-2010) 140
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
ỨNG DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG PT VÀ BPT A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ M  Max f  x
Giả sử f x là hàm số liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN trên miền ấy. Ký hiệu: x D   m  min f x   x D 
Khi đó ta có các kết luận sau:
1) Phương trình f x  a có nghiệm x  D  m  a  M
Ví dụ 1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 2  x  4  x  a
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 x  m  4  x  0
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm      2
x 3 x 1  4x  x  2m 1  0
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 3;0 2  2      2 x 2x
m 1 x  2x   m 1  0
2) Bất phương trình f x  a có nghiệm x  D  a  M
Bất phương trình f x  a có nghiệm x  D  a  m
Ví dụ : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x 1  4  x  a
3) Bất phương trình f x  a nghiệm đúng với mọi x  D  a  m
Bất phương trình f x  a nghiệm đúng với mọi x  D  a  M
Ví dụ : Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  2  ; 2 2 x  m  4  x  0 141
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
Bài 1: Cho phương trình 2  x  2  x  2  x2  x  m (1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
Bài 2: Cho phương trình 2  2  x  6  x   2  x6  x  3m 1  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
Bài 3: Cho phương trình   2 2 2 x
1  2x 2  x  3m  2  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 4: Cho phương trình 2 2
x  2  x  x 2  x  5m 1  0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 5: Cho phương trình  2 2      4 2 2 m 1 x 1 x
2  2 1 x  1 x  1 x (1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
Bài 6: Cho phương trình  4 4
2 sin x  cos x   cos 4x  2sin2x  m  0 (1)   
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  0;  2   
Bài 7: Cho bất phương trình      2 x 4 6 x  x  2x  m (1)
Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm nghiệm đúng với mọi 4  x  6
--------------------------Hết---------------------------- 142
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 4: CUNG LỒI - CUNG LÕM VÀ ĐIỂM UỐN TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Khái nhiệm về cung lồi, cung lõm và diểm uốn
 Tại mọi điểm của cung 
AC , tiếp tuyến luôn luôn ở phía trên của  AC . Ta nói  AC là một cung lồi.
 Tại mọi điểm của cung 
CB , tiếp tuyến luôn luôn ở phía dưới của  CB . Ta nói  CB là một cung lõm.
 Điểm C phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn của đồ thị. Tại điểm uốn tiếp tuyến đi xuyên qua đồ thị.
2. Dấu hiệu nhận biết lồi, lõm và điểm uốn
Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng a; b .
 Nếu f ' (x)  0 với mọi x  a; b thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
 Nếu f ' (x)  0 với mọi x  a; b thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.
Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng a; b và x  a; b 0  
 Nếu f "(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M
x ; f (x ) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. 0  0 0  3. Áp dụng
Ví dụ: Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau a) 3 2 y  x  3x  2 b) 4 2 y  x  2x  3
-------------------------Hết------------------------ 143
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 5: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang Định nghĩa 1 Định nghĩa 2 144
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2. Đường tiệm cận xiên Định nghĩa 3 145
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Áp dụng
Ví dụ : Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau 2x 1 1 2x a) y  b) y  x 1 x  2 2 x  2x  3 2 x  2x  2 c) y  d) y  x  2 x 1
-------------------------Hết------------------------- 146
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 6: KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Dựa vào chương trình SGK + đáp án của BGD để biên soạn
Chương trình Cơ bản + Nâng cao 1. Hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d a  0
1) Tập xác định: D   2) Sự biến thiên:  a) Chiều biến thiên: + y '  ? y '  0  x  ? + Xét dấu y': x  ?  y' ?
- Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số.
 b) Cực trị: kết luận về cực trị của hàm số.  c) Giới hạn: lim y  ? và lim y  ? x x
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)  d) Bảng biến thiên: x -  ? +  y' ? y ?
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) 3) Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:
+ Giao điểm với Oy: x  0  y  ?
+ Giao điểm với Ox (nếu có): y  0  x  ? y 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 147
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Hàm số 4 2
y  ax  bx  c a  0
1) Tập xác định: D   2) Sự biến thiên:  a) Chiều biến thiên: + y '  ? y '  0  x  ? + Xét dấu y' x  ?  y' ?
- Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số.
 b) Cực trị: kết luận về cực trị của hàm số.  c) Giới hạn: lim y  ? và lim y  ? x x
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)  d) Bảng biến thiên: x -  ? +  y' ? y ?
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) 3) Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:
+ Giao điểm với Oy: x  0  y  ?
+ Giao điểm với Ox (nếu có): y  0  x  ? y 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 148
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ
Dựa vào chương trình SGK + đáp án của BGD để biên soạn
Chương trình Cơ bản + Nâng cao ax  b 3. Hàm số y 
c  0, ad  bc  0 cx  d  d 
1) Tập xác định: D   \    c  2) Sự biến thiên:  a) Chiều biến thiên: ad  bc d + y ' 
; kết luận y '  0 hoặc y '  0 với mọi x   cx  d2 c
- Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số
 b) Cực trị: hàm số không có cực trị
 c) Giới hạn và tiệm cận: d
+ lim y  ? vaø lim y  ?  x   là tiệm cận đứng    d   d  c x  x       c   c  a a a + lim y  vaø lim y   y  là tiệm cận ngang x x c c c
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)  d) Bảng biến thiên: x d -   +  c y' ? ? y ? ?
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) 3) Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:
+ Giao điểm với Oy: x  0  y  ?
+ Giao điểm với Ox: y  0  x  ? y 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 149
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 1) 3 2 y  x  3x  4 2) 3 2 y  x  3x  4 3) 3 2
y  x  3x  4x  2 4) 3 2 y  x  3x  4x  2 5) 3 2
y  x  3x  3x  2 6) 3 2
y  x  3x  3x  2 2 7) 3 y
x  2x  2 8) 3
y  x  3x 1 3 9) 2 3
y  3x x 10) 3 2
y x  3x  3x  9
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 1) 4 2 y  x  2x  3 2) 4 2 y  x  2x  3 3) 4 2 y  x  2x  3 4) 4 2 y  x  2x  3 1 1 4 x 3 5) 4 2 y x x  3 6) 2 y   x  4 2 2 2
7) y   x  2 2 1 8) 2 4
y  8x x
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 2x 1 1 x 4x 1 1) y  2) y  3) y  x 1 x  2 2x  3 1 2xx  2 3  2x 4) y  5) y  6) y  x  2 2  x x 1 Bài 4: Cho hàm số 3      2   2 y x 2m 1 x m  3m  2 x  4
1) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
2) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung. 1 Bài 5: Cho hàm số 3 2 y 
x  mx  m  6 x  2m   1 3
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên  150
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 7: CAÙC BAØI TOAÙN CÔ BAÛN
COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
1.BAØI TOAÙN 1 : ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ
COÙ MANG DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA Phöông phaùp chung:
Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö sau:
Böôùc 1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái .
Böôùc 2: Söû duïng ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái
Phaân tích haøm soá ñaõ cho thaønh caùc phaàn khoâng coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái
( Daïng haøm soá cho bôûi nhieàu coâng thöùc)
Böôùc 3: Veõ ñoà thò töøng phaàn roài gheùp laïi( Veõ chung treân moät heä truïc toïa ñoä).
* Caùc kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng:
1. Ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái : A A neáu  0 A    A A neáu  0
3. Moät soá tính chaát veà ñoà thò:
a) Ñoà thò cuûa hai haøm soá y=f(x) vaø y=-f(x) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh
b) Ñoà thò haøm soá chaün nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng
c) Ñoà thò haøm soá leû nhaän goác toïa ñoä laøm taâm ñoái xöùng * Hai daïng cô baûn Baøi toaùn toång quaùt: (C ) : y  f (x)
Töø ñoà thò (C) :y=f(x), haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: 1  (C ) : y  f ( x )  2 Ví dụ: 3  (C ) : y  x  3x  2 Töø ñoà thò (C) : 3
y  x  3x  2 , haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: 1  3 (C ) : y  x  3 x  2  2  151
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Daïng 1: Töø ñoà thò (C) : y f (x)  (C ) : y f (x) 1 Caùch giaûi  f (x) f( neáu x)  (1) 0
B1. Ta coù : (C ) : y f (x)  1   f (x) f( neáu x)  (2) 0
B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C1) nhö sau:
 Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (1) )
 Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ( do (2) )
 Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C1) Minh hoïa y f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2) 8 8 6 y=x3-3x+2 6 y = x3-3x+2 4 4 3
(C ) : y x  3x  2 1 2 2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 (C): y = x3-3x+2 -2 y=x3-3x+2 -4 -4 -6 -6 -8 -8
Daïng 2: Töø ñoà thò (C) : y  f (x)  (C ) : y  f ( x ) ( ñaây laø haøm soá chaün) 2 Caùch giaûi B1. Ta coù : f (x) neáu x  0 (1) (C ) : y  f ( x )  2 f(x) neáu x 0 (2)
B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C2) nhö sau:
 Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do (1) )
 Laáy ñoái xöùng qua Oy phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy
( do do tính chaát haøm chaün )
 Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân traùi truïc Oy (neáu coù) ta seõ ñöôïc (C2) Minh hoïa: y f(x) =x ^3 -3* x+2 y f(x)=x^3-3* x+2 y y f(x) =abs(x^3) -abs(3*x )+2 x 8 8 6 y=x3-3x+2 6 y = x3-3x+2 4 3
(C ) : y x  3 x  2 4 2 2 x 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x x -2 x (C): y = x3-3x+2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 y=x3-3x+2 -2 -6 Minh ho -4 -8 -6 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 152
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Baøi 1: Cho haøm soá : y  x3  3x (1)
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)
2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: 3
a) y   x3  3x b) y   x  3 x x  1
Baøi 2: Cho haøm soá : y  (1) x  1
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)
2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: x  1 x  1 x  1 x  1 a) y  b) y  c) y  d) y x  1 x 1 x  1 x 1
2.BAØI TOAÙN 2 : SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ 153
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Baøi toaùn toång quaùt: (  C ) : y  f(x)
Trong mp(Oxy) . Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò hai haøm soá : 1  (C  2 ) : y  g(x) y y y (C ) (C ) (C ) 1 1 1 M y2 M 1 2 (C ) 2 y M 1 0 x x x O x x 1 O 2 O (C ) (C ) 2 2
(C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung (C1) vaø (C2) caét nhau (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau Phöông phaùp chung:
* Thieát laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá ñaõ cho: f(x) = g(x) (1)
* Tùy theo soá nghiệm cuûa phöông trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị (C1) vaø (C2) . Lưu ý:
Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2).
Ghi nhôù: Soá nghieäm cuûa pt (1) = soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2). Chuù yù 1 :
* (1) voâ nghieäm  (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung
* (1) coù n nghieäm  (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung Chuù yù 2 :
* Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C1) vaø (C2).
Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y0 = f(x0) hoaëc y0 = g(x0). y y 0 x x 0 O AÙp duïng:
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 1: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): 2
y  x  x  2 vaø ñöôøng thaúng y  x  2
Bài 2: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cong (C): 2 y  x  4 vaø (C'): 2 y  x  2x 1 5
Bài 3: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): 3 2
y  x  x vaø ñöôøng thaúng (d) : y  3x  3 3 2x  1
Bài 4: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): y
vaø ñöôøng thaúng (d ) : y  3x 1 x  1
Bài 5: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): y 
x vaø ñöôøng thaúng (d) : y  x  2
Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt 154
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2x 1 Baøi 1 : Cho hàm số y 
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  mx  2 cắt đồ thị x  2
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. 3  2x Baøi 2 : Cho hàm số y 
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  mx  2 cắt đồ thị x 1
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Baøi 3: Cho haøm soá 2
y  (x 1)(x mx m) (1)
Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät. Baøi 4: Cho haøm soá 3 2
y x  3x mx m  2 (1)
Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät. Baøi 5: Cho haøm soá 4 2
y x mx m 1 (1)
Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät.
Dành riêng cho chương trình nâng cao
Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haøm soá : (  C ) : y  f(x) Ñònh lyù : 1 Cho hai đồ thị  (C  2 ) : y  g(x) f(x)  g(x) 
(C1) tieáp xuùc vôùi (C1)  heä :  coù nghieäm ' ' f (x)  g (x)  y (C ) 1 M x O  (C ) 2 5
Bài 1: Chứng minh rằng hai đường cong 3 (C) : y  x  x  2 và 2
(C ') : y  x  x  2 tiếp xúc nhau.tại một 4 điểm nào đó.
Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y  kx tiếp xúc với đường cong 3 2 (C) : y  x  3x 1
Bài 3: Tìm k để đường thẳng (d) : y  k x  2  7 tiếp xúc với đường cong 3 2 (C) : y  x  3x  2 2x 1
Bài 4: Tìm k để đường thẳng (d) : y  k x  
1  3 tiếp xúc với đường cong (C) : y  x 1 2 x  x 1
Bài 5: Tìm k để đường thẳng (d) : y  k x  5 tiếp xúc với đường cong (C) : y  x 1
3.BAØI TOAÙN 3: TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG 155
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a. Daïng 1:
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm M0(x0;y0)(C) y (C): y=f(x) y M  0 0 x x0 Phöông phaùp:
Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng:
y - y0 = k ( x - x0 ) hay y  f '(x )(x  x )  f(x ) 0 0 0
Trong ñoù : x0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm
y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0 = f(x0)
k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k = f'(x0) AÙp duïng:
Bài 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá 3 2
y  x  3x 1 taïi điểm trên đồ thị có hoành độ x  1. (CĐ -2014)
Bài 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá 3
y x  3x  3 taïi điểm trên đồ thị có hoành độ x  2 . 2x  3
Bài 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y 
taïi điểm trên đồ thị có hoành độ x  3 . x 1 3x  2
Bài 4: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y 
taïi điểm trên đồ thị có tung độ y  2 . x 1 Bài 5: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại điểm
trên (C) có hoành x , biết rằng y ''(x )  0 0 0 Bài 6: Cho hàm số 4 2
y x  8x 12 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), khi biết tung độ tiếp điểm là y  12 . 2x  3
Bài 7: Cho hàm số y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường x 1
thẳng y x  3 (TN THPT 2014) b. Daïng 2: 156
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc y (C): y=f(x) y M  0 0 x x0
Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau
Böôùc 1: Goïi M(x y C 0 ; 0 )
( ) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C)
Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : ' f (xk y f x 0 ) , töø ñoù suy ra 0 ( 0) =?
Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.
Bài 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá 3
y  x  3x biết tiếp tuyến có hệ số góc k  9  2x 1
Bài 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y 
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5 x  2 Bài 3: Cho hàm số 3
y x  3x  2 , có đồ thị là (C) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M có hệ số góc bằng 9 . (Khối D-2014)
Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp
tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc . y (C): y=f(x) y (C): y=f(x) k a
y ax b x x O 1 k  1  / a 2
 : y ax b
Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau: 2
Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng (  ) coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa (  ) laø: k a
Ñònh lyù 2: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng ( 1
 ) vaø (2 ) . Khi ñoù: 1  // 2  k  k   1 2 1   2  k .k  1  1  2 AÙp duïng: 157
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 1 1 4
Bài 4: Cho ñöôøng cong (C): 3 2 y x x  2x  3 2 3
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): y = 4x+2. 2x  3
Bài 5: Cho ñöôøng cong (C): y  2x 1 1 3
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuông góc vôùi ñöôøng thaúng () : y  x  2 2 x  2
Bài 6: Cho ñöôøng cong (C): y  2  x
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuông góc vôùi ñöôøng thaúng () : y  4x  2011 c. Daïng 3:
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA) y
(C) : y f (x) ( A x ; y ) A A x O
 : y y k(x x )  y k(x x )  y A A A A
Phöông phaùp : Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau
Böôùc 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M0(x0;y0) (C)
(d ) : y f '(x )(x x )  f (x ) (*) 0 0 0
Böôùc 2: Ñònh x0 ñeå (d) đi qua điểm A(xA;yA). Ta coù:
(d) đi qua điểm A(xA;yA)  y f '(x )(x x )  f (x ) (1) A 0 A 0 0
Böôùc 3: Giaûi pt (1) tìm x0. Thay x0 tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. AÙp duïng:
Bài 7: Cho ñöôøng cong (C): 3 y x  3 2 x  4
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1) 2x  5
Bài 8: Cho ñöôøng cong (C): y x  2
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0).
Phương pháp dành cho chương trình nâng cao 158
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau
Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (  ) qua A vaø coù heä soá
goùc laø k bôûi coâng thöùc:
y y k(x x )  y k(x x ) A A A yA (*)
Böôùc 2: Ñònh k ñeå (  ) tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù: f(x)=k(x-x  y  A ) A
 tieáp xuùc (C)  heä  coù nghieäm (1) ' f (x)  k
Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. AÙp duïng:
Bài 9: Cho ñöôøng cong (C): 3 y x  3 2 x  4
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1) 2x  5
Bài 10: Cho ñöôøng cong (C): y x  2
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0).
4.BAØI TOAÙN 4: BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ 159
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Cô sôû cuûa phöông phaùp:
Xeùt phöông trình f(x) = g(x) (1)
Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1):y=f(x) vaø (C2):y=g(x) y (C ) 1 (C ) 2 x x 0
Bài toán : Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình dạng : f(x) = m (*) Phöông phaùp:
Böôùc 1: Xem (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò:
 (C) : y f (x) : (C) laø ñoà thi coá ñinh
 () : y m : () laø ñöôøng thaúng di ñoäng cuøng phöông Ox vaø caét Oy taïi M(0;m)
Böôùc 2: Veõ (C) vaø (  ) leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä
Böôùc 3: Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa (  ) vaø (C)
Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa phöông trình (*) y
(C ) : y f (x) Minh hoïa: m2 x O m1 y m  ( ; 0 m) AÙp duïng:
Bài 1: 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) của haøm soá 3 2 y  x  3x  4
2) Dựa vào đồ thị (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 3 2 x  3x  4  m
3) Tìm m ñeå phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät: 3 2 x  3x  2  m  0
Bài 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 y  2x  6x 1
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2x  6x 1 m  0
Bài 3: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số  3  2 y x 3x
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3  2 x 3x  m  0
Bài 4: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2 y  x  2x 160
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 4 2 x  2x  m  0
Bài 5: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  3  2 y x 3x  2
2) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 1 3  2 x 3x  2  3m
Bài 6: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  2  3 y 3x x
2) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 2  3 3x x  3m  0
Bài 7: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  2  4 y 8x x
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4  2 x 8x  m 2
Bài 8: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số   2 y x   1
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4  2   2 x x m x 1
-------------------Hết-----------------
5. BAØI TOAÙN 5: HOÏ ÑÖÔØNG CONG 161
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong (C ) : y f (x, m) ( m laø tham soá ) m
Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï (C ) ñi qua ñieåm M (x ; y ) cho tröôùc. m 0 0 0 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: Ta coù :
Hoï ñöôøng cong (C ) ñi qua ñieåm M (x ; y )  y f (x , m) (1) m 0 0 0 0 0
Xem (1) laø phöông trình theo aån m.
Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0 Cuï theå:
 Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0
 Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M0
 Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M0
Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M0 laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (C ) m
TÌM ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong (C ) : y f (x, m) ( m laø tham soá ) m
Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm) PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Böôùc 1: Goïi M (x ; y ) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) maø hoï (C 0 0 0
m) ñi qua. Khi ñoù phöông trình:
y f (x , m) nghieäm ñuùng  m (1) 0 0
Böôùc 2: Bieán ñoåi phöông trình (1) veà moät trong caùc daïng sau:
Daïng 1: Am B  0 m  Daïng 2: 2
Am Bm C  0 m  A  0
AÙp duïng ñònh lyù: Am B  0 m   (2) B  0 A  0 2 
Am Bm C  0 
m  B  0 (3)  C  0
Böôùc 3: Giaûi heä (2) hoaëc (3) ta seõ tìm ñöôïc (x ; y ) 0 0 Ví dụ:
6. BAØI TOAÙN 6: TÌM CAÙC ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ 162
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn x  2
Bài 1: Cho hàm số y
có đồ thị là (C) . x 1
Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y  x bằng 2 (Khối A-2014) 2 x  3x  6
Baøi 2: Cho haøm soá y x  2
Tìm treân ñoà thò haøm soá taát caû nhöõng ñieåm coù caùc toaï ñoä laø nguyeân . 2x 1
Baøi 3: Cho haøm soá y x 1
Tìm treân ñoà thò haøm soá nhöõng ñieåm coù toång khoaûng caùch ñeán hai tieäm caän nhoû nhaát Baøi 4: Cho hàm số 2 y  2x(1  x )
Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O). Tìm các điểm I thuộc (C)
sao cho tam giác IAB vuông tại I.
LUYỆN GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: 163
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: 164
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 16:
----------------------------------Heát----------------------------------- 165
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 16: NGUYEÂN HAØM -TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
I. ÑÒNH NGHÓA NGUYEÂN HAØM :
* Ñònh nghóa : Haøm soá F(x) goïi laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a , b) neáu : F’(x) = f(x) , x(a ; b)   F '(a )  f(a)
Neáu thay khoaûng (a , b) baèng ñoaïn [a , b] thì ta phaûi coù theâm :   F '(b )   f(b) * Ñònh lyù :
Cho F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a , b)
G(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a,b)  G(x) = F(x) + C (C : haèng soá )
. Nhaän xeùt : Neáu haøm soá f(x) coù 1 nguyeân haøm laø F(x) thì noù coù voâ soá nguyeân haøm, taát caû caùc nguyeân haøm
ñeàu coù daïng F(x) + C vaø coøn goïi laø hoï caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x), kyù hieäu :  f(x)dx
Vaäy : F(x) laø 1 nguyeân haøm cuûa f(x) thì :    f(x)dx F(x) C
II. SÖÏ TOÀN TAÏI NGUYEÂN HAØM :
Moïi haøm soá lieân tuïc treân [a,b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. III. CAÙC TÍNH CHAÁT : . ( f(x)dx)'   f(x) . a.f(x)dx   a f(x)dx (a  0)
. f(x)  g(x)dx  f(x)dx  g(x)dx    . f(t)dt  F(t)  C 
f[u(x)].u '(x)dx  F u(x)  C   (1)
Đặt u = u(x) thì du = u’(x)dx Vaäy (1) 
f(t)dt  F(t)  C  f(u)du  F(u)    C
* Tröôøng hôïp ñaëc bieät : u = ax +b 1
f(t)dx  F(t)  C  f(ax  b)dx  F(ax  b)    C a 164
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
IV. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn: Baûng 1 Baûng 2 Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C a ( haèng soá) ax + C  1 x  (ax b)  1  1 (ax b)    C C x  1 a  1 1 1 ln x C 1
ln ax b C x ax b a x a x a ax b A  1 axb AC .  C ln a A ln a x e x e C ax b e  1 axb eC a sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 
cos(ax b)  C a cosx sinx + C cos(ax+b)
1 sin(ax b)C a 1 tanx + C 1 1 2
tan(ax b)  C cos x 2 cos (ax b) a 1 -cotx + C 1 1 2 
cot(ax b)  C sin x 2 sin (ax b) a ' u (x) ln ( u x)  C 1 1 x a ln  C 2 2 ( u x) x a 2a x a tanx
 ln cos x C cotx ln sin x C 165
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Phöông phaùp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản
 Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân haøm cô baûn
 Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi
löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn. Ví dụ: Tính 1 2x  9 2 2x  5x  3 1) I  dx I  dx I  dx 1  2) 2 x  3)   4 2 2 x  3x  2 3 2 x  x  2x dx 4) I  4  x e  2
Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2x  5 1. 3 1
f (x)  cos x  2. f(x)  x 2  1  x x  4x  3
Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Định lí cơ bản:
Cách thực hiện: Tính f u(x)u'(x)dx  bằng pp đổi biến số
Bước 1: Đặt u  u(x)  du  u '(x)dx
Bước 2: Tính f u(x)u'(x)dx  f(u)du  F(u)  C  Fu(x)  C   Ví dụ: Tính    2 I x cos 3  x dx
Kỹ thuật: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân Ví duï: Tính tan x 1  ln x 1. 5 cos x sin xdx  2.  dx 3. dx cos x  4) 3sin x cos x.e dx x  ln x tan x e dx dx dx 5) dx  6) dx x  7) 2 cos x  8) x ln x  9) sin x  4 cos x
Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Định lí cơ bản: Ví dụ: Tính 1) I  x 1 sin xdx I  x  2 e dx I  x ln xdx 1    2)   2x 2  3) 3  4) I  ln xdx 2 I  x 1 ln xdx 6) x I  e cos xdx 4  5)   6  166
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN
1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân  ;
a b . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) thì: b b
f (x)dx  F(x)  F(b)  F(a) 
( Coâng thöùc NewTon - Leipniz) a a
2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: a
 Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : f (x)dx  0  a b a
 Tính chaát 2: f (x)dx   f (x)dx   a b b
 Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân  ;
a b thì: cdx c(b a)  a b
 Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân  ;
a b vaø f (x)  0 thì f (x)dx  0  a
 Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân  ;
a b vaø f (x)  ( g x) x  a;b thì b b
f (x)dx  ( g x)dx   a a
 Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân  ;
a b vaø m f (x)  M ( m,M laø hai haèng soá) thì b
m(b a)  f (x)dx M(b a)  a
 Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân  ; a b thì b b bf (x)  (
g x)dx f (x)dx  ( g x)dx    a a a
 Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân  ;
a b vaø k laø moät haèng soá thì b b
k. f (x)dx k. f (x)dx   a a
 Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân  ;
a b vaø c laø moät haèng soá thì b c b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx    a a c
 Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân  ;
a b cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa b b b
laø : f (x)dx f (t)dt f (u)du  ...    a a a 167
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 1 x 1 x 1 1 4x 11 1) dx  2) dx x 1 xdx dx 3 (2x  3)  4)   1) 2x 2  1 x  5x  6 0 0 0 0   1 2x  5 3 3 x 6 2 3 4 sin x 5) dx  6) dx 6 6 (sin x  cos x)dx dx 2 x  7)  8)   4x  4 2 x  2x 1 1  cos x 0 0 0 0    4 1 sin 2x 2 1 1 4 9) dx  10) 4 cos 2xdx dx (cos4  x  sin 4 x) 2 cos x  11) 12)  . 12) dx x e 1 0 0 0 0    4 cos 2x 2 sin 3x 2 cos x 0 4 13)  dx 14)  dx 15)  dx 16)  dx 2 0 1  2 sin 2 x 0 2 cos 3x  1 0 5  2 sin x 2 x  2x  3 Baøi 2: 3 4 5 1) 2 x 1dx  2) 2 x  3x  2 dx  3) ( x  2  x  2 )dx  3  1  3  2 1 3 2 4) 2 x   2dx  5) x 2  4 dx 2  x x 2 x  6) dx 1 0 0 2 Baøi 3:
1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá f(x)  A sin x
  B thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän 2 ' f (1)  2 vaø f(x)dx  4  0 2
2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc : 2 3
[a  (4  4a)x  4x ]dx  12  0
II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ : b 1) DAÏNG 1:Tính I = ' f[u(x)].u (x)dx 
baèng caùch ñaët t = u(x) a b u (b)
Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1:  f u(x).u'(x)dx   f (t)dt a u ( a) Caùch thöïc hieän:
Böôùc 1: Ñaët t u(x)  dt u '  (x)dx x b
t u(b) Böôùc 2: Ñoåi caän :  x a
t u(a)
Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc b u (b)
I   f u(x).u'(x)dx   f (t)dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) a u (a) Bài 1: (B-2012) 168
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 2: Tính caùc tích phaân sau:     2 2 2 4 1 1) 3 2 cos x sin xdx  2) 5 cos xdx  3) 2 3 sin 2x(1 sin x) dx  4) dx  4 cos x 0 0 0 0 e 1 ln x e 2 1  ln x 1 5) dx  6) dx 5 3 6 x (1 x ) dx x  7) x  1 1 0    2 sin 2x
2 sin 2x  sin x 2 e 1  3ln x ln x 8) sin  dx 9) 
dx 10)  (e x  cos x) cos xdx 11)  dx 2 2 0 cos x  4sin x 0 1  3cos x 0 1 x  4 1  2 2sin x 12)  dx 0 1  sin 2 x b 2) DAÏNG 2: Tính I = f(x)dx  baèng caùch ñaët x = (  t) a b
Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: I   f (x dx )
  f  t ( )' t ( )dt a  Caùch thöïc hieän:
Böôùc 1: Ñaët x   t ( )  dx '   t ( )dt x b t   Böôùc 2: Ñoåi caän :  x a t  
Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc b
I   f (x dx )
  f  t ( )' t
( )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) a  Tính caùc tích phaân sau: 1 1 1 1 1 1) 2 1 x dx  2) dx  3) dx 2 1   x 2 0 0 0 4  x 2 1 1 2 2 x 2 4) dx  5) dx 2 2 x 4  x dx 2 x  6)   x  1 2 0 0 1 x 1
II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: 169
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Tính caùc tích phaân sau: 7 8 1 7 3 x 3 x 1 1) dx  2) dx  3) dx  2 3 2 3 3x 1 3 x x 1 0 1 x 0 2 2 3 dx 1 dx 4) 2 3 x x 1dx  5)  6)  2 0 5 x x  4 0 1  1  3x
III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN:
Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn: b b bu(x v
). '(x)dx  u(x v
). (x)  v(x u ). '(x)dx aa a b b Hay: b
udv  u v .   vdu aa a Caùch thöïc hieän:
u u(x)
du u'(x)dx Böôùc 1: Ñaët 
dv v'(x)dx
v v(x) b b
Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : b
udv  u v .   vdu aa a b
Böôùc 3: Tính u v
. b vaø vdu aa Bài 1: (D-2012) Bài 2: (A-2012) Bài 3: Tính caùc tích phaân sau:   2 2 3 2 ln x 1) x   1 s in2xdx  2) 2x   2 1 cos xdx  3) ln   2 x  xdx 4) dx  3 x 0 0 2 1  2 ln x 2 e  5) dx  6) 2 x cos xdx 2 x ln xdx x sin x cos xdx 5 x  7)  8) 2  1 0 1 0  4 1 e 1 9) 2 x(2 cos x 1)dx  10) 2 2x (x 1) e dx  11) 2 (x ln x) dx  12) 2 x
 (x  2)e dx 0 0 1 0 170
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn  1 e ln x 2 2 13) 2 3  x 1
ln(  x )dx 14) 
dx 15)  (x  cos x)sin xdx 16)  (2x  7) ln(x  ) 1 dx 0 1 x 0 0 e
3 1  ln  x   1 17) 3 2 x ln xdx  18) I dx  2 x 1 1
IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG: Coâng thöùc: y
(C ) : x g( y) y 2
(C ) : x f ( y) x b 1 x ab y b
(C ) : x g ( y)
(C ) : y f (x) 2
(C ) : y f (x) 1 1 (H ) :    : y a
(C ) : y g (x) (H )  1 2 (H ) : 
(C ) : y g( ) x (H ) 2   : y b  : x a 2 1 a y a   : x b 2 x x a O b O
(C ) : x f ( y) 1 b b
S    f (x)  g(x)dx S    f ( y)  g( y)dy a a y y x x C C C C 1 2 1 2
Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau:  3x 1 y   x 1  2  2 y  x  y  x  2x 1) (H1): y  0 2) (H2):  3) (H3) :  2 2  x  y y  x  4x x  0    
(C) : y x
(C) : y e x  
4) (H4): (d) : y  2  x
5) (H5): (d) : y  2 (Ox) () : x  1  
V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY. Coâng thöùc: 171
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn y y x b x a b y b
(C) : y f (x) x  0
(C) : x f ( y) a y a x a x O y  0 b O b 2 b 2
V     f (x) dx V     f ( y) dy a a
Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox
Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y  x; y  2  x; y  0
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Oy
Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : 2 2
y  4  x ; y x  2 .
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox
------------------------------Heát------------------------------- 172
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyên đề 17: SỐ PHỨC
A. SOÁ PHÖÙC. COÄNG, TRÖØ, NHAÂN, CHIA SOÁ PHÖÙC. I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT.
1. Soá phöùc laø moät bieåu thöùc daïng a + bi, trong ñoù a, b laø caùc soá thöïc vaø soá i thoûa maõn 2 i  1  . Kí hieäu z  a  bi  i: ñôn vò aûo,  a: phaàn thöïc,  b: phaàn aûo. Chuù yù: 
z  a  0i  a ñöôïc goïi laø soá thöïc (a    ) 
z  0  bi  bi ñöôïc goïi laø soá aûo (hay số thuần ảo)
 0  0  0i vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo y
2. Bieåu dieãn hình hoïc cuûa soá phöùc: M b
 M(a;b) bieåu dieãn cho soá phöùc z  z = a + bi a O x
3. Hai soá phöùc baèng nhau. Cho hai soá phöùc z  a  bi vaø z '  a ' b 'i vôùi a, b, a ', b '  a  a ' z  z '   b  b ' 
4. Coäng vaø tröø soá phöùc. Cho hai soá phöùc z  a  bi vaø z '  a ' b 'i vôùi a, b, a ', b ' 
z  z '  a  a '  b  b 'i
z  z '  a  a '  b  b 'i
5. Nhaân hai soá phöùc. Cho hai soá phöùc z  a  bi vaø z '  a ' b 'i vôùi a, b, a ', b ' 
z.z '  aa ' bb '  ab ' a 'bi
6. Moâñun cuûa soá phöùc z = a + bi y M b   2 2 z  a  b  OM a O x
7. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z  a  bi  z z z z
z z  2a 2  2 2
z.z a b z 8. Chia hai soá phöùc. 173
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Cho hai soá phöùc z  a  bi vaø z '  a ' b 'i vôùi a, b, a ', b '  z ' z ' z z ' z ac bd ad bc
o Thöông cuûa z’ chia cho z (z  0) :     i 2 2 2 2 2 z z z z a b a b
B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI TREÂN TẬP SOÁ PHÖÙC
1. Caên baäc hai cuûa soá phöùc
o z  0 coù moät caên baäc hai laø 0
o z  a laø soá thöïc döông coù 2 caên baäc 2 laø  a
o z  a laø soá thöïc aâm coù 2 caên baäc hai laø  a .i
2. Phöông trình baäc nhất ax + b = 0 (a, b, c laø soá phức cho tröôùc, a  0 ).
Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực
3. Phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c laø soá thöïc cho tröôùc, a  0 ). Tính 2   b  4ac b  
o   0 : Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät thực x ,  1 2 2a b  i 
o   0 : Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät phức x ,  1 2 2a b
o   0 : Phöông trình coù 1 nghieäm keùp laø x   2a
II. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của của các số phức sau
1) z  2  4i3  5i  7 4  3i
2) z   i    i2 3 2 1
3) z   i    i3 1 4 1
4) z    i  i2 1 2 2 2 2
5) z  4  3i  2  i
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của của các số phức sau 2  i 3  i 1) z  2) z  3  2i
1 i2  i 1 5i 1 3i 3) z   2  i2 4) z   1 2i2 1 i 1 i 2  3i 2  3i 5) z  6) z  4  5i 1 i2
Bài 3: Tìm môđun của các số phức sau
1) z   i    i3 4 3 1 2) z    i2 1 2  3i 3  i
3) z   i    i2 1 3 1 2 4) z
1 i2  i 2 3
5) z  4  3i  1 2i Bài 4: 2
1) 2x  yi  3  2i  x  yi  2  4i
2) 1 i  2x 1 i  y  0 174
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3)  x yi2  5 12i
4)   i x yi    i2 1 1  2  3i
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) 2iz  3  5z  4i
2) 3  2iz 1 i  2  i z
3) (3  2i)z  4  5i  7  3i 4)  2  3i  5  2i 4  3i
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức 1) 2
3z z  2  0 2) 2
z  4z  7  0 3) 2
2z  5z  4  0 4) 2
z z  7  0
Bài 7: Giaûi phöông trình sau treân tập soá phöùc 1) z4 – 5z2 – 6 = 0 2) z4 +7z2 – 8 = 0
3) z4 – 8z2 – 9 = 0 4) z4 + 6z2 + 25 = 0
Bài 8: Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M treân maët phaúng phöùc bieåu dieãn cho soá phöùc z thoûa maõn:
1) z  i  z  2  3i ; 2) z  3  1
3) z  3  4i  2
4) z 1 i  1
5) z  2  3i  5
5  3i2  2  i2
Bài 9: Cho số phức z  . Hãy tính z 1 2i2
Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn  z i  23i  4  5i  6
ĐỀ THI TRONG CÁC NĂM QUA
Bài 1. Giải phương trình 2
2x  5x  4  0 trên tập số phức. 5 7 5 7 TN THPT – 2006 Đáp số: x   i ; x   i 1 2 4 4 4 4
Bài 2. Giải phương trình 2
x  4x  7  0 trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 1)
Đáp số: x 2 3i ; x 2 3i 1 2
Bài 3. Giải phương trình 2
x  6x  25  0 trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 2)
Đáp số: x 3 4i ; x 3 4i 1 2
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức: 2 2 P  (1 3i)  (1 3i)
TN THPT – 2008 (lần 1)
Đáp số: P  4
Bài 5. Giải phương trình 2
x  2x  2  0 trên tập số phức.
TN THPT – 2008 (lần 2)
Đáp số: x 1 i ; x 1 i 1 2
Bài 6. Giải phương trình 2
8z  4z  1  0 trên tập số phức. 1 1 1 1 TN THPT – 2009 (CB) Đáp số: x   i ; x   i 1 2 4 4 4 4
Bài 7. Giải phương trình 2
2z  6z  5  0 trên tập số phức. 3 1 3 1
TN THPT – 2010 (GDTX)
Đáp số: x    i x    i 1 ; 2 2 2 2 2
Bài 8. Cho hai số phức: z  1  2i , z  2  3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z  2z . 1 2 1 2 TN THPT – 2010 (CB)
Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
Bài 9. Cho hai số phức: z  2  5i , z  3  4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z .z . 1 2 1 2 TN THPT – 2010 (NC)
Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7 175
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 10. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z 10  0 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 A  | z |  | z | . 1 2
ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số: A = 20
Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 và . z z  25 .
ĐH Khối B – 2009 (CB)
Đáp số: z = 3 + 4i z = 5
Bài 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z  (3  4i) |  2 . ĐH Khối D – 2009
Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – 4 ), bán kính R = 2.
Bài 13. Cho số phức z thỏa mãn: 2
(1  i) (2  i)z  8  i  (1  2i)z . Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB)
Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 14. Tìm phần ảo của số phức z, biết: 2 z  ( 2  i) (1 2i) .
ĐH Khối A – 2010 (CB)
Đáp số: 2 3 (1  3i)
Bài 15. Cho số phức z thỏa mãn: z 
. Tìm môđun của z  iz . 1  i
ĐH Khối A – 2010 (NC) Đáp số: 8 2
Bài 16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z  i |  | (1  i)z | .
ĐH Khối B – 2010 (CB)
Đáp số: đường tròn 2 2
x ( y 1) 2
Bài 17. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | z | 
2 và z2 là số thuần ảo.
ĐH Khối D – 2010 Đáp số: z1 = 1 + i; z2 = 1 – i; z2 = –1 –i; z4 = –1+ i.
Bài 18. Cho số phức z thỏa mãn: 2
(2  3i)z  (4  i)z  (1  3i) . Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB)
Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 19. Cho số phức z thỏa mãn:   i2 1 2
z  z  4i  20 . Tính môđun của z.
CĐ Khối A – 2011 Đáp số: z  5 1
Bài 20. Cho số phức z thỏa mãn: 2
z  21 iz  2i  0 . Tìm phần thực và phần ảo của . z 1 1 CĐ Khối A – 2011
Đáp số: Phần thực ; Phần ảo . 2 2
Bài 21. Tìm số phức z, biết: z  2  3iz  1 9i
ĐH Khối D– 2011 (CB)
Đáp số: z 2 i 5  i 3
Bài 22. Tìm số phức z, biết: z  1  0 z
ĐH Khối B – 2011 (NC)
Đáp số: 1 i 3;2 i 3 3  1 i 3 
Bài 23. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z     1 i    
ĐH Khối B – 2011 (NC)
Đáp số: a 2;b 2 2
Bài 24. Tìm tất cả các số phức z, biết 2
z z z 1 1
ĐH Khối A – 2011 (CB)
Đáp số: z 0; z    i 2 2
Bài 25. Tính môđun cua số phức số z, biết 2z  
1 1 i   z  
1 1 i  2  2i 2
ĐH Khối A – 2011 (NC) Đáp số: z 3 176
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 26: (A-2012) Bài 27: (B-2012) Bài 28: (D-2012) Bài 29: (D-2012)
--------------------------Hết------------------------ 177