217 trang 5 lượt tải

Trắc nghiệm và tự luận chủ đề nguyên hàm

9

Tài liệu gồm 217 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trương Ngọc Vỹ, phân dạng và tuyển tập các bài tập trắc nghiệm và tự luận chủ đề nguyên hàm môn Toán 12 chương trình mới (Cánh Diều, Chân Trời Sáng Tạo, Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống).

Chủ đề: Tài liệu chung 176 tài liệu

Môn: Toán 12 4.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

3 tuần trước
Danh sách Quiz
/217
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 1
CHƯƠNG 4
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN
BÀI 1
NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số
f x
xác định trên
K
. Hàm số
F x
được gọi là nguyên hàm của hàm số
f x
nếu
'( ) ( )
F x f x
, với mọi
.
Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
K
. Khi đố:
Với mỗi hằng số
C
, hàm số
F x C
cũng là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
K
.
Nếu
G x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
K
thì tồn tại hằng số
C
sao cho
G x F x C
với mọi
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số
f x
trên
K
đều có dạng
F x C
, với
C
là hằng số. Ta gọi
,F x C C
là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
f x
trên
K
, kí hiệu
f ( x )dx
và viết:
f ( x )dx F( x ) C
Chú ý:
Biểu thức
f x dx
được gọi là vi phân của nguyên hàm
F x
của
f x
, kí hiệu là
dF x
Vậy,
'
dF x F dx f x dx
Mọi hàm số
f x
liên tục trên
K
đều có nguyên hàm trên
K
.
Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà khoogn chỉ rõ tập
K
thì ta hiểu là tìm nguyên hàm của
hàm số đó trên tập xác định của nó.
f '( x )dx f ( x ) C
2. Các tính chất của nguyên hàm
dx dx
kf x k f x
, với
k
là hằng số khác 0
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 2
3. Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
0
dx C
Cxdx
1
1
1
x
x dx C
Nguyên hàm của hàm số
1
y
x
0ln
xCx
x
dx
Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Cxxdx
sincos
Cxxdx
cossin
Cxdx
x
tan
cos
1
2
Cxdx
x
cot
sin
1
2
Nguyên hàm của hàm số mũ
Cedxe
xx
10
ln
aC
a
a
dxa
x
x
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 3
PHẦN A
TỰ LUẬN PHÂN DẠNG TOÁN
CHỦ ĐỀ 1
NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN
DẠNG 1
NGUYÊN HÀM HÀM LŨY THỪA
1. Bảng nguyên hàm hàm số lũy thừa
Chú ý : Dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh
1
1 1
1
n n
dx C
x n x
1
1
n
n
ax b
ax b dx C
a n
3. Công thức lũy thừa:
m
n m
n
x x
1
n
n
x
x
.
m n m n
x x x
m
m n
n
x
x
x
Nguyên hàm hàm số lũy thừa
0
dx C
Cxdx
1
1
1
x
x dx C
2
1 1
dx C
x x
1
2
dx x C
x
0ln
xCx
x
dx
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang
4
Bài 1. Tìm:
a)
3
3
d
x x
b)
5
2
d
x x
c)
4
2
d
x x
d)
3
d
x x x
e)
42 3
3
d
x x x
f)
35
4
2
d
x x x
Bài 2. Tìm:
a)
5
2024
d
x
x
b)
3 2
2
d
x
x
c)
3
4
2025
d
x
x x
d)
2
2
d
x
x
x
e)
3 2
3
d
x
x
x
f)
3 4
d
x x
x
x
Bài 3. Tìm:
a)
2
2025 d
x x
b)
3
4
2
2024 d
x x
x
c)
2
3
1 d
x x
x
d)
2
2024 2025
2026 d
x
x x
e)
2
3
3 2 d
x x x
x
f)
3
1
3 2024 d
x x
x
Bài 4. Tìm:
a)
3
2 1 3 d
x x x
b)
2
2
d
1
x x
x
c)
3
d
3
x x
d)
2
2
2
d
x x x
e)
3
1
d
x x x
f)
2
d
1 3
x x x
Bài 5. Tìm:
a)
4
2
2 3
d
x
x
x
b)
2
2
d
3x x
x
x
c)
2
1
d
3x x
x
x
d)
2
3 2
d
x
x
x
e)
2
3 1
d
x
x
x
f)
2
3 2
1
d
x
x
x
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 5
DẠNG 2
NGUYÊN HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC
1. Bảng nguyên hàm hàm số lượng giác
Chú ý: Cần thuộc các công thức lượng giác sau:
2 2
sin cos 1
x x
2
2
1
tan 1
cos
x
x
2
2
1
cot 1
sin
x
x
2
1 cos
sin
2 2
x x
2
1 cos
cos
2 2
x x
2 2 2
1 1
sin .cos sin sin .cos sin
2 2 2 2 2 4
x x x x
x x
2 2
cos cos sin
2 2
x x
x
2 2
cos 2cos 1 1 2sin
2 2
x x
x
Bài 1. Tìm:
a)
sin 3cos d
x x x
b)
2
cos d
2
x
x
c)
2
sin cos d
x x x
d)
2sin cos d
2 2
x x
x
e)
2 2
1
d
sin cos
x
x x
f)
2
sin cos d
2 2
x x
x
Bài 2. Tìm:
a)
4 3cos d
x x x
b)
2
1
2 d
sin
x x
x
c)
2
2025 2sin d
2
x
x x
Nguyên hàm hàm số lượng giác
Cxxdx
sincos
Cxxdx
cossin
Cxdx
x
tan
cos
1
2
Cxdx
x
cot
sin
1
2
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang
6
d)
2 2
1 1
2 tan
d
3 2
x
x
x x
e)
2
sin
2
d
1
x
x
x
x
f)
2
2
2
d
1 tan
1
x
x
x
x x
Bài 3. Tìm:
a)
2 2
1
sin .cos
2 2
d
x x
x
b)
3
1 si
4
d
n
202
x
x
x
x x
c)
2
3
3 2024
sin cos
1
2 2
2 d
x x
x x x
x x
d)
2
3 4
2 2 2
1 3 4
sin .cos
2 2
d
x
x
x
x
x x
x
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang
7
DẠNG 3
NGUYÊN HÀM HÀM MŨ
Chú ý : Dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh
1
ax b ax b
e dx e C
a
1
0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a
Bài 1. Tìm:
a)
2025 d
x
x
b)
e d
x
x
c)
1
d
3
x
x
d)
1
d
e
x
x
e)
3
1
d
e
x
x
f)
2 1
1
d
5
x
x
Bài 2. Tìm:
a)
2024
1 d
x
x
b)
2e 3 d
x x
x
c)
1
2.5 .7 d
3
x x
x
d)
2
2
1
e d
x
x
x
e)
1 2
8 2.
d
x x
x
f)
9 2 9 d
x x
x
Bài 3. Tìm:
a)
3 2
2 .3 d
x x
x
b)
1 1
2 5
d
10
x x
x
x
c)
2
e e 2024
d
e
x x
x
x
d)
2
2
e 1
d
e
x
x
x
e)
3
e 1
d
e 1
x
x
x
f)
5
2025e
e 2024 d
x
x
x
x
Bài 4. Tìm:
a)
2 3 d
x x
x
b)
3 2024
d
x
e x
c)
2 2 1
3 .2 d
x x
x
d)
2
3 5 d
x x
x
e)
2
d
x x
e e x
f)
2
1
d
1
x
x
e
x
e
Nguyên hàm hàm số mũ
Cedxe
xx
10
ln
aC
a
a
dxa
x
x
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 8
DẠNG 4
NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN
Bài 1. Cho
F x
là một nguyên hàm của
f x
. Tìm
F x
, biết:
a)
2
x
f x
và
( ) 1
F e
.
b)
2
e
x
f x và
(0) 2025
F
.
c)
( ) – 1
x x
f x e e và
(ln2) 2024
F
.
d)
3
( ) .3
x x
f x e và
(l) 0
F
.
Bài 2. Cho
F x
là một nguyên hàm của:
a)
3
4 2024
f x x x . Biết
(1) 0
F
, tính
0
F .
b)
3
2
1
x
f x
x
. Biết
( 2) 0
F
, tính
2
F .
c)
2
3 5
x
f x
x
. Biết
( ) 1
F e
, tính
2
F .
d)
2
1 2
x
f x
x
. Biết
1 3
F
, tính
1
F .
Bài 3. Cho
F x
là một nguyên hàm của:
a)
( ) 3 5cos
f x x
. Biết
( ) 2
F
, tính
2
F
.
b)
sin 1
f x x
. Biết
0
6
F
, tính
2
F
.
c)
2
( ) 2024 sin
2
x
f x . Biết
2 0
F
, tính
0
F .
d)
2 2
( ) sin .cos
4 4
x x
f x . Biết
( ) 1
F
, tính
2
F
.
Bài 4. Cho hàm số
2
2 1 khi 1
3 2 khi 1
x x
f x
x x
. Giả sử
F
là nguyên hàm của
f
trên
thỏa mãn
0 2
F
. Tính
1 2 2
F F
.
Bài 5. Cho
cos2
F x x
là một nguyên hàm của hàm số
tan
f x x
. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
tan
x
g x
f x
.
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 9
Bài 6. Tìm giá trị của tham số
m
biết
F x
là nguyên hàm của hàm số
1
1
2 1
f x m
x
thỏa
mãn
0 0
F
và
3 7
F
.
Bài 7. Hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn:
a)
2 5sin
f x x
và
0 10
f
. Tìm hàm
f x
.
b)
2
2e 1
x
f x
và
0 2
f
. Tìm hàm
f x
.
Bài 8. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
6 2,f x x x
và
0 1
f
. Biết
F x
là một
nguyên hàm của
f x
và
2 0
F
. Tính
4
F
.
Bài 9. Cho hàm số
f x
có đạo hàm
3
3 1
x
f x
x
. Khi đó hãy tính giá trị biểu thức
3 3
f f
biết
1 2, 1 3
f f
.
Bài 10. Tìm hàm số
y f x
biết
2
3 2 1
f x x x m
,
2 1
f
và đồ thị của hàm số
y f x
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
5
.
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 10
DẠNG 5
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN
I. Cần nhớ các công thức đạo hàm của hàm hợp
f '( x )dx f ( x ) C
'
'
ln
f x
f x
f x
'
2
'
1
f x
f x f x
'
1
1
'
1
nn
n f
f x
f x
x
'
. ' .
n
n f x f f xx
'
'
2 f
f
x
f x
x
'
' . . ' .
f x g x f x g x f x g x
'
2
' . . '
f x g x f x g x f x
g x g x
II. Các dạng hàm ẩn thường gặp
1. Hàm ẩn có dạng:
f x f x p x
Phương pháp giải:
f x f x p x
2
2
x
f x
p
2
2
d
p x x
f x
2. Hàm ẩn có dạng:
f x p x f x
Phương pháp giải:
Chia hai vế với
f x
ta đựơc
f x
p x
f x
Suy ra
d d ln | | d
f x
x p x x f x p x x
f x
Từ đây ta dễ dàng tính được
f x
3. Hàm ẩn có dạng:
n
f x p x f x
Phương pháp giải:
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 11
n
f x p x f x
Chia hai vế với
n
f x
ta được
n
f x
p x
f x
Suy ra
1
1
n
n
f x
f x
dx p x dx p x dx
n
f x
4. Hàm ẩn có dạng:
u x f x u x f x h x
Phương pháp giải:
Dễ dàng thấy rằng
u x f x u x f x u x f x
Do dó
u x f x u x f x h x u x f x h x
Suy ra
d
u x f x h x x
Từ đây ta dễ dàng tính được
f x
5. Hàm ẩn có dạng:
A x f x B x f x h x
1
Ý tưởng giải:
Ta cần nhân thêm một lượng
u x
vào
1
để tạo thành
' .
u x f x u x f x u x h x
và
lúc này:
'
'
' .
.
.
.
.
u x f x u x f x u x h x
u x f x u x h x
u x f x dx u x h x dx
u x f x u x h x dx
u x h x dx
f x
u x
Cách tìm
u x
u x
được chọn sao cho :
u A
u B
x x
x x
( )
.
( )
. . ln .
A x
dx
B x
u A
x
u A A
dx dx u dx u x e
u B u B
xx x x x
xBx x x x
Tóm lại phương pháp giải:
A x f x B x f x h x
1
như sau:
+ Bước 1: Tìm
u x
:
.
A
dx
B
x
x
u x e
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 12
+ Bước 2: Nhân
u x
vào
1
.
u x h x dx
f x
u x
Hai dạng đặc biệt của
1
f x f x h x
Phương pháp giải:
Nhân hai vế với
x
e
ta được
( )
x x x x x
e f x e f x e h x e f x e h x
Suy ra
d
x x
e f x e h x x
Từ đây ta dễ dàng tính được
( )
f x
( ) ( ) ( )
f x f x h x
Phương pháp giải:
Nhân hai vế với
x
e
ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x
e f x e f x e h x e f x e h x
Suy ra
( ) ( )d
x x
e f x e h x x
Từ đây ta dễ dàng tính được
( )
f x
Bài 1. Cho hàm số
f x
thỏa mãn:
2
.
f x f x x
với mọi
x và
0 2024
f . Tính
2
1
f .
Bài 2. Cho hàm số
( )
f x
thỏa mãn
ln2 0
f
và
x
e
f x
f x
với mọi
.
x
0
f x
. Tính
2
0
f .
Bài 3. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1
f e
và
2
xf x f x
với mọi
x . Tính
3
f e
.
Bài 4. Cho hàm số
y f x
đồng biến trên
0;

;
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn
4
3
9
f
và
2
' .
f x x f x
. Tính
1
f
.
Bài 5. Giả sử hàm số
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn
1 1
f
,
. 3
f x f x x
, với mọi
0
x
. Tính
4
f .
Bài 6. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
2
1 1 .
xf x x f x f x
với mọi
x
dương. Biết
1 1 1
f f
. Tính giá trị
2
4
f .
Bài 7. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
1
x f x f x x
,
x
và
0 2024
f . Tính
2
f .
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 13
PHẦN B
TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN TỔNG HỢP GỒM BỐN PHẦN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1. Cho hàm số
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào
sai.
A. ( ) ( )
f x dx F x C
. B.
( ) ( )
f x dx f x
.
C.
( ) ( )
f x dx f x
. D.
( ) ( )
f x dx F x
.
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2 6
f x x
là
A.
2
x C
. B.
2
6
x x C
. C.
2
2
x C
. D.
2
2 6
x x C
.
Câu 3.
2
x dx
bằng
A.
2
x C
. B.
3
1
3
x C
. C.
3
x C
. D.
3
3
x C
Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2 4
f x x
là
A.
2
2 4
x x C
. B.
2
4
x x C
. C.
2
x C
. D.
2
2
x C
.
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3 1
f x x
là
A.
3
x C
B.
3
3
x
x C
C.
6
x C
D.
3
x x C
Câu 6. Cho hàm số
2
( ) 4
f x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( ) 2
f x dx x C
. B.
2
( ) 4
f x dx x x C
.
C.
3
( ) 4
3
x
f x dx x C
. D.
3
( ) 4
f x dx x x C
.
Câu 7. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
2
f x x
là
A.
d 2
f x x x C
. B.
3
d 2
3
x
f x x x C
.
C.
2
d 2
f x x x x C
. D.
3
d 2
f x x x x C
.
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số
3
f x x x
là
A.
4 2
1 1
4 2
x x C
B.
2
3 1
x C
C.
3
x x C
D.
4 2
x x C
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số
3
4 2024
f x x
là
A.
4
2024
x x C
. B.
3
4 2024
x x C
. C.
3
12
x C
. D.
4
x C
.
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 14
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số
4 2
f x x x
là
A.
5 3
1 1
5 3
x x C
B.
4 2
x x C
C.
5 3
x x C
. D.
3
4 2
x x C
Câu 11. Cho hàm số
2
3 2
f x x x
. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của
f x
trên
?
A.
3 2
1
4
F x x x
. B.
3 2
2
3 2
x x
F x . C.
3 2
3
1
F x x x
. D.
3 2
4
3
F x x x
.
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số
)(xf
3 2
1
2 2024
3
x x x là
A.
C
x
xx
2
3
2
12
1
2
34
. B.
2
4 3
1 2
2024
9 3 2
x
x x x C
.
C.
2
4 3
1 2
2024
12 3 2
x
x x x C
. D.
2
4 3
1 2
2024
9 3 2
x
x x x C
.
Câu 13. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
4 3
5 8 6
f x x x x
là
A.
5 4 2
2 3 .
F x x x x C
B.
5 4 2
.
F x x x x C
C.
5 4 2
4 2 .
F x x x x C
D.
5 4 2
2 3 .
F x x x x C
Câu 14. Cho hàm số
1
f x x
x
. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của
f x
trên
0;

?
A.
2
1
2
x
F x x
. B.
2
2
2
x
F x x
.
C.
2
3
2
2
x
F x x
. D.
2
4
2
2
x
F x x
.
Câu 15. Cho hàm số
1
3f x
x
. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của
f x
trên
0;

?
A.
1
2
1
3F x x
x
. B.
2
3 ln
F x x x
. C.
3
2
1
3F x x
x
. D.
4
3 ln
F x x x
.
Câu 16.
Tìm nguyên hàm của hàm
số
2
3
2 d
x x x
x
.
A.
3
3
4
3ln
3 3
x
x x C
. B.
3
3
4
3ln
3 3
x
x x C
.
C.
3
3
4
3ln
3 3
x
x x
. D.
3
3
4
3ln
3 3
x
x x C
.
Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số
2024
3
f x x x
là
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 15
A.
2023
673
x
x C
. B.
2024
1
2025
x
C
x
.
C.
2025
3
2
2025
x
x C
. D.
2025
1
6054
2
x C
x
.
Câu 18. Biết
3
1
1
F x x
x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên miền
0;

. Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A.
4
1
ln
4
f x x x
. B.
2
2
1
3f x x
x
.
C.
2
2
1
3f x x
x
. D.
4
1
ln
4
f x x x x C
.
Câu 19. Biết
5 6
1
d ln
2
x x a x bx C
x
với
, ,a b C
. Tính
2
a b
?
A.
5
12
. B. 9. C.
7
13
. D.
7
6
.
Câu 20. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số
2022
y x
?
A.
2023
1
2023
x
. B.
2023
2023
x
. C.
2021
2022
y x
. D.
2023
1
2023
x
.
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số
1 2
f x x x
là
A.
2 3
x C
. B.
3
2
2
2
3 3
x
x x C
.
C.
3
2
2
2
3 3
x
x x C
. D.
3
2
3
2
3 2
x
x x C
.
Câu 22. Tìm nguyên
F x
của hàm số
1 2 3 ?
f x x x x
A.
4
3 2
11
6 6
4 2
x
F x x x x C
. B.
4 3 2
6 11 6
F x x x x x C
.
C.
4
3 2
11
2 6
4 2
x
F x x x x C
. D.
3 2 2
6 11 6
F x x x x x C
.
Câu 23. Họ các nguyên hàm của hàm số
5
1
y x x
là
A.
7 6
1 1
7 6
x x
C
. B.
5 4
6 1 5 1
x x C
.
C.
5 4
6 1 5 1
x x C
. D.
7 6
1 1
7 6
x x
C
.
Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số
5
5 3
f x x .
A.
6
(5 3)
x C
. B.
4
(5 3)
x C
. C.
6
(5 3)
30
x
C
. D.
4
(5 3)
30
x
C
.
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 16
Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
2
2
f x x
x
.
A.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. B.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
C.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. D.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
Câu 26. Trên khoảng
0;

, cho hàm số
3
2
f x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
2
3
2
f x dx x C
. B.
3
f x dx x dx
.
C.
5
2
2
5
f x dx x C
. D.
1
2
2
3
f x dx x C
.
Câu 27. Tìm nguyên hàm của hàm số
2024
f x x .
A.
2024 1
20
1
d
124
f x x x C
. B.
2 1024
d
f x x x C
.
C.
20 124
2024d
f x x x C
. D.
2024 1
20
1
d
124
f x x x C
.
Câu 28. Cho hàm số
4
2
2
x
f x
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
1
d
3
x
f x x C
x
. B.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
C.
2
2
2
d d
f x x x x
x
. D.
3
2
d
3
x
f x x C
x
.
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4
2
5 2
x
f x
x
.
A.
3
2 5
d
3
x
f x x C
x
. B.
3
2 5
d
3
x
f x x C
x
.
C.
3
2
2
d 5ln
3
x
f x x x C
. D.
3
5
d 2
f x x x C
x
.
Câu 30. Tính
dxxxx .
A.
15 7
4
15
x x C
. B.
15 7
8
15
x x C
. C.
15
8
15
x x C
. D.
15
4
15
x x C
.
Câu 31. Tính
dx
x
xx
4
3
2
12
.
A.
17 5 34
5
2
x x x x x C
. B.
17 5 34
5
4 24 4
5 17 3
x x x x x C
.
C.
17 5 34
5
24
17
x x x x x C
. D.
17 5 34
5
4 4
2
5 3
x x x x x C
.
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang
17
Câu 32. Khẳng định nào đây sai?
A.
sin d cos
x x x C
. B.
cos d sin
x x x C
.
C.
cos d sin
x x x C
. D.
cos d tan
x x x C
.
Câu 33. Cho
d cos
f x x x C
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
sin
f x x
. B.
cos
f x x
. C.
sin
f x x
. D.
cos
f x x
.
Câu 34. Hàm số
cot
F x x
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng
0;
2
A.
2
2
1
sin
f x
x
. B.
1
2
1
cos
f x
x
. C.
4
2
1
cos
f x
x
. D.
3
2
1
sin
f x
x
.
Câu 35. Cho hàm số
1 sin
f x x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
d cos
f x x x x C
. B.
d sin
f x x x x C
.
C.
d cos
f x x x x C
. D.
d cos
f x x x C
.
Câu 36. Cho hàm số
2
1
1
cos
f x
x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
d tan
f x x x x C
. B.
d cot
f x x x x C
.
C.
d tan
f x x x x C
. D.
d cot
f x x x x C
.
Câu 37. Nguyên hàm của hàm số
3cos 4sin
f x x x
là:
A.
3sin 4cos
x x C
. B.
3sin 4cos
x x C
.
C.
3sin 4cos
x x C
. D.
3sin 4cos
x x C
.
Câu 38. Nguyên hàm của hàm số
2
3
2sin
sin
f x x
x
là:
A.
2cos 3cot
x x C
. B.
2cos 3tan
x x C
.
C.
2cos 3cot
x x C
. D.
2cos 3cot
x x C
.
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số
cos 6
f x x x
là
A.
2
sin 3
x x C
. B.
2
sin 3
x x C
. C.
2
sin 6
x x C
. D.
sin
x C
.
Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số
2sin 3
f x x x
.
A.
2
3
2sin 3 2cos
2
x x dx x x C
B.
2
2sin 3 2cos 3
x x dx x x C
C.
2
3
2sin 3 sin
2
x x dx x x C
D.
2
3
2sin 3 sin 2
2
x x dx x x C
Câu 41. Tính
sin d
x x x
.
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 18
A.
2
sin
2
x
x C
. B.
2
cos
2
x
x C
. C.
2
sin
2
x
x C
. D.
2
cos
2
x
x C
.
Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số
2
3 sin
f x x x
là
A.
3
cos
x x C
. B. 6 cos
x x C
. C.
3
cos
x x C
. D. 6 cos
x x C
.
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số
1
sin
f x x
x
là
A.
ln cos
x x C
. B.
2
1
cos
x C
x
. C. ln cos
x x C
. D. ln cos
x x C
.
Câu 44. Cho hàm số
2
1 1
cos
f x
x x
. Chọn khẳng định đúng:
A.
d ln tan
f x x x x C
. B.
d ln tan
f x x x x C
.
C.
d ln tan
f x x x x C
. D.
d ln tan
f x x x x
.
Câu 45. Cho hàm số
cos sin
)
2
(
2
f
x
x
x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1
cos sin sin
2 2 2
x x
x C
. B.
1
cos sin cos
2 2 2
x x
x C
C.
1
cos sin sin
2 2 2
x x
x C
. D.
1
cos sin cos
2 2 2
x x
x C
Câu 46. Tìm nguyên hàm
F x
của hàm số
2
cos
2
x
f x
A.
2cos
2
x
C
F x
B.
sin
1
2
1
C
F x x
C.
2sin
2
x
C
F x
D.
sin
1
2
1
C
F x x
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số
2
2cos
2
x
f x
là:
A.
4cos
2
x
C
. B.
sin
x x C
. C.
2
2sin
2
x
C
. D.
3
2
cos
3 2
x
C
.
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số có
2 2
tan cot
f x x x
là:
A.
2tan 2cot
x x C
. B.
3 3
1 1
tan cot
3 3
x x C
.
C.
tan cot 2
x x x C
. D.
tan cot 2
x x x C
.
Câu 49. Nguyên hàm của hàm số
2
cos sin
2 2
x x
f x
là:
A.
sin cos
2 2
x x
C
. B.
cos
x x C
.
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 19
C.
2
sin cos
2 2
x x
C
. D.
sin cos
2 2
x x
C
.
Câu 50. Tìm
2 2
cos2
d
sin .cos
x
x
x x
A.
cos sin
x x C
. B.
cos sin
x x C
.
C.
cot tan
x x C
. D.
cot tan
x x C
.
Câu 51. Nguyên hàm của hàm số
2
tan
y x
là
A.
tan
x x C
. B.
tan
x x C
. C.
tan
x x C
. D.
tan
x x C
.
Câu 52. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A
d
x x
e x xe C
. B.
1
d
x x
e x e C
. C.
1
d
x x
e x e C
. D.
d
x x
e x e C
.
Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số
3
(x)
x
f e
là hàm số nào sau đây?
A.
3
x
e C
. B.
3
1
3
x
e C
. C.
1
3
x
e C
. D.
3
3
x
e C
.
Câu 54. Nguyên hàm của hàm số
2 1
e
x
y
là
A.
2 1
2e
x
C
. B.
2 1
e
x
C
. C.
2 1
1
e
2
x
C
. D.
1
e
2
x
C
.
Câu 55. Cho hàm số
1
x
f x e
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1
d
x
f x x x xe C
. B.
d 1
x
f x x e C
.
C.
d
x
f x x x e C
. D.
1
d 1
x
f x x xe C
.
Câu 56. Cho hàm số
( ) 2
x
f x e
. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A.
2
( )
x
f x dx e C
. B. ( ) 2
x
f x dx e x C
.
C. ( )
x
f x dx e C
. D. ( ) 2
x
f x dx e x C
.
Câu 57. Họ nguyên hàm của hàm số
2
x
f x e x
là.
A.
2x
e x C
. B.
2x
e x C
. C.
2
1
1
x
e x C
x
. D. 2
x
e C
.
Câu 58. Cho hàm số
2
x
f x e x
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
2
d
x
f x x e x C
. B.
d
x
f x x e C
.
C.
2
d
x
f x x e x C
. D.
2
d 2
x
f x x e x C
.
Câu 59. Cho hàm số
2
( ) 1
x
f x e
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1
( ) .
2
x
f x dx x e C
B.
2
( ) 2 .
x
f x dx x e C
C.
2
1
( ) .
2
x
f x dx x e C
D.
2
( ) .
x
f x dx x e C
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Trang 20
Câu 60. Hàm số
2 2
2024
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm số
A.
3
2
1
2024
3 2
x
x
f x e x
. B.
2
2 2 2024
x
f x x e
.
C.
2
2 2 2024
x
f x x e x
. D.
2
2 2
x
f x x e
.
Câu 61. Hàm số
3
3
x
x
F x e
là một nguyên hàm của hàm số
f x
nào sau đây?
A.
2
x
f x x e
. B.
2
3
x
f x x e
. C.
4
12
x
x
f x e
. D.
4
3
x
x
f x e
.
Câu 62. Một nguyên hàm của hàm số
3 1 2
e 2
x
f x x
là
A.
3 1
3
e
2
3
x
x
. B.
3 1
3
e
3
x
x
. C.
3 1 3
e 2
3
x
x
. D.
3 1 3
e
3
x
x
.
Câu 63. Kết quả
2020x
x e dx
bằng
A.
2 2020
2 2020
x
x e
C
. B.
2020
3
2020
x
e
x C
. C.
2020
2
2020
x
e
x C
. D.
2020
2020
x
e
x C
.
Câu 64. Tìm nguyên hàm của hàm số
5
2018
2017
x
x
e
f x e
x
.
A.
4
2018
d 2017
x
f x x e C
x
. B.
4
2018
d 2017
x
f x x e C
x
.
C.
4
504,5
d 2017
x
f x x e C
x
. D.
4
504,5
d 2017
x
f x x e C
x
.
Câu 65. Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
cos
x
x
e
y e
x
là
A. 2 tan
x
e x C
B. 2 tan
x
e x C
C.
1
2
cos
x
e C
x
D.
1
2
cos
x
e C
x
Câu 66. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
2
cos
x
x
e
f x e
x
.
A.
2
tan
x
F x x C
e
. B.
2 tan
x
F x e x C
.
C.
2
tan
x
F x x C
e
. D.
2 tan
x
F x e x C
.
Câu 67. Tìm nguyên hàm của hàm số
7
x
f x
.
A.
7
7 d
ln7
x
x
x C
B.
1
7 d 7
x x
x C
C.
1
7
7 d
1
x
x
x C
x
D. 7 d 7 ln7
x x
x C
Câu 68. Nguyên hàm của hàm số
2
x
y
là
A. 2 ln 2.2d
x x
x C
. B.
2 2d
x x
x C
. C.
2
2
d
2
ln
x
x
x C
. D.
2
1
d2
x
x
x C
x
.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách CHƯƠNG 4
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN BÀI 1 NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f x xác định trên K . Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x nếu
F '(x)  f (x) , với mọi x K .
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K . Khi đố:
 Với mỗi hằng số C , hàm số F x  C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên K .
 Nếu G x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì tồn tại hằng số C sao cho
G x  F x  C với mọi x K
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f x trên K đều có dạng F x  C , với C là hằng số. Ta gọi
F x  C,C   là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x trên K , kí hiệu f ( x )dx  và viết:
f ( x )dx F( x ) CChú ý:
 Biểu thức f xdx được gọi là vi phân của nguyên hàm F x của f x , kí hiệu là dF x
Vậy, dF x  F 'dx f xdx
 Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
 Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà khoogn chỉ rõ tập K thì ta hiểu là tìm nguyên hàm của
hàm số đó trên tập xác định của nó.
f '( x )dx f ( x ) C
2. Các tính chất của nguyên hàm
kf x dx  k f x dx  
, với k là hằng số khác 0
  f x  g x dx f xdx g xdx     
  f x  g x dx f xdx g xdx     
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
1 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
3. Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp 0dx C
dx x C
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa1  x x dx
C    1  1 1 dx
Nguyên hàm của hàm số y
 ln x C   0  x x x cos xdx x C  sin sin xdx   x C  cos
Nguyên hàm của hàm số lượng giác 1 dx x C  tan cos 2 x 1 dx   x C  cot sin 2 x
e x dx e x C
Nguyên hàm của hàm số mũ a x a x dx   C 0    1  a ln a
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
2 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách PHẦN A
TỰ LUẬN PHÂN DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ 1
NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN DẠNG 1
NGUYÊN HÀM HÀM LŨY THỪA
1. Bảng nguyên hàm hàm số lũy thừa 0dx C
dx x C 1  x x dx
C    1  1
Nguyên hàm hàm số lũy thừa 1 1 dx    C  2 x x
1 dx  2 x Cx
dx  ln x C   0  x x
Chú ý : Dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh 1 1  dx    Cn xn   n 1 1 x n n 1 ax b
 ax bdx   C a n 1
3. Công thức lũy thừa: mn m n x x 1  nx n xm. n m n x x x   m xmnx n x
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
3 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách Bài 1. Tìm: a) 3 3x dx  b) 5 2 x dx  c) 4 2 xdx  d) 3 x x dx  e) 2 3 4 3x x dx  f) 5 4 3 2x x dxBài 2. Tìm: 2024 2 2025 a) dx  b) dx c) dx 5   x 3 2 x 4 3 x x 2 x 3x x x d) dx  e) dx dx 2  f)  x 3 2 x 3 4 x Bài 3. Tìm:  2   3  a)  2
x  2025dx b) 4 x   2024 dx  c) 2 x  1 dx 3     x   x   2024 2025   3   1  d)   2026 dx  e) 2 3x   2 x dx f) 3 x   2024 dx 2       x x   x  3  xBài 4. Tìm: 2  1  a) x   3 2 1 3x dx b) x  dx 
c)  x  33 dx 2    x
d) x x  2 2 2 dx
e) x   x3 1 dx  f)  x  
1 3  x2 dxBài 5. Tìm: 4 2x  3 2 x  3x  2 2 x  3x 1 a) dx  b) dx c) dx 2   x x xx  2 3 2 2  3x 1  x  2 1 d) dx  e) dx   f) dxxx  3 2 x
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
4 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách DẠNG 2
NGUYÊN HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC
1. Bảng nguyên hàm hàm số lượng giác cos xdx x C  sin sin xdx   x C  cos
Nguyên hàm hàm số lượng giác 1 dx x C  tan 2 cos x 1 dx   x C  cot sin 2 x
Chú ý: Cần thuộc các công thức lượng giác sau:  2 2
sin x  cos x  1 1  2 tan x  1 2 cos x 1  2 cot x  1 2 sin x x 1 cosx  2 sin  2 2 x 1 cosx  2 cos  2 2 x x 1 x x 1  2 2 2 sin .cos  sinx  sin .cos  sin x 2 2 2 2 2 4 x x  2 2 cosx  cos  sin 2 2 x x  2 2 cosx  2cos 1  1 2sin 2 2 Bài 1. Tìm: x 2
a) sin x  3cos xdx  b) 2 cos dx
c) sin x  cos x dx  2 2 x x 1  x x  d) 2 sin cos dx  e) dx  f) sin  cos dx   2 2 2 2 sin x cos x  2 2  Bài 2. Tìm:  1   x
a) 4x  3cosx dx  b) 2x  dx  c) 2 2025x  2sin dx 2     sin x   2 
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
5 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách  2 x  sin  1 1    2  1 tan x  d) 2 2 x  2x  tan x dx  2 2   e) x  1  dx f) x 1  dx   2   3 2  x   x x     Bài 3. Tìm: 1  1 sin x  a) dx  b) x 20 4 2   dx x x   3  2 2  x x sin .cos  2 2 2  x x       sin  cos     2 2  1  1 3 4  c) 3 x  2x d    x  d) 2 x      dx 3 2024  x x  3 4 2 2 x 2 x x x     x sin .cos  2 2   
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
6 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách DẠNG 3 NGUYÊN HÀM HÀM MŨ
e x dx e x C
Nguyên hàm hàm số mũ x a a x dx   C 0    1  a ln a
Chú ý : Dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh axb 1  axb e dx eCa   a   x 1 xa dx
C 0  a   1  ln a Bài 1. Tìm: 1 a) 2025x dx  b) ex dx  c) dx  3x 1 1 1 d) dx  e) dx  f) dx  ex 3 e x 2 1 5 xBài 2. Tìm:  x 1  a) 2024x    1 dx
b) 2ex 3x dx c) 2.5  .7x dx    3   x 1  d) 2 e  dxxx xx  e) 1 2 8 .2 dx 9  2  9 dx 2   f)    x Bài 3. Tìm: x 1  x 1 2 5   2
e x  ex  2024 a) 3x 2 2 .3 x dx  b) dx  c) dx  10x x e 2 2  e x 1  3 e x 1    x 2025e x d) dx   e) dx  f) e 2024  dx    ex x 5   e 1 x   Bài 4. Tìm:
a) 2x  3x dx b) 3x2024 e dx  c) x2 2x 1 3 .2  dx  2x e 1 d)  x x   2 3 5 dx e)  xx
e e 2 dx f) dx  1 xe
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
7 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách DẠNG 4
NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN Bài 1.
Cho F x là một nguyên hàm của f x . Tìm F x , biết: a)   2x f x
và F (e)  1. b)   2 e x f x  và F (0)  2025 . c) ( ) x   x f x e e – 
1 và F (ln 2)  2024 . d) 3 ( ) x  .3x f x e và F (l)  0 . Bài 2.
Cho F x là một nguyên hàm của: a) f x 3
x  4x  2024 . Biết F (1)  0 , tính F 0 . 3 x 1
b) f x 
. Biết F (2)  0 , tính F 2 . 2 x 2 3  5x
c) f x 
. Biết F (e)  1, tính F 2 . x 2 1  2x
d) f x  . Biết F  
1  3 , tính F   1 . x Bài 3.
Cho F x là một nguyên hàm của: 
a) f (x)  3  5cos x . Biết F ()  2 , tính F   .  2    
b) f x  sin x 1 . Biết F  0   , tính F   .  6   2  x c) 2
f (x)  2024  sin
. Biết F 2  0 , tính F 0 . 2 x x d) 2 2 f (x)  sin .cos
. Biết F ()  1 , tính F   . 4 4  2  2x 1 khi x  1 Bài 4.
Cho hàm số f x  
. Giả sử F là nguyên hàm của f trên  thỏa mãn 2 3x  2 khi x  1 
F 0  2 . Tính F   1  2F 2 . Bài 5.
Cho F x  cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x tan x . Tìm họ nguyên hàm của hàm số tan x g x  . f  x
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
8 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách 1 Bài 6.
Tìm giá trị của tham số m biết F x là nguyên hàm của hàm số f x   m 1 thỏa 2 x  1
mãn F 0  0 và F 3  7 . Bài 7.
Hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn:
a) f  x  2  5sinx và f 0  10 . Tìm hàm f x . b)   2  2e x f x
 1 và f 0  2 . Tìm hàm f x . Bài 8.
Cho hàm số y f x có đạo hàm là f  x 2
 6x  2,x   và f 0  1. Biết F x là một
nguyên hàm của f x và F 2  0 . Tính F 4 . 3 3x 1 Bài 9.
Cho hàm số f x có đạo hàm f  x 
. Khi đó hãy tính giá trị biểu thức f  3    f 3 x biết f   1  2, f   1  3 .
Bài 10. Tìm hàm số y f x biết f  x 2
 3x  2x m  1, f 2  1 và đồ thị của hàm số y f x
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 .
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
9 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách DẠNG 5
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN
I. Cần nhớ các công thức đạo hàm của hàm hợp
f '( x )dx f ( x ) C f ' x 
 ln  f x ' f x   ' f ' x  1       2 f xf x   ' f ' x  1       n f x  
n    f xn 1 1       ' n  .
n f ' x. f x  f x     f x ' ' 
2 f x  f x  
f xg x  f xg x   f xg x ' ' . . ' .    '
f ' x.g x  f x.g ' x
f x     2 g xg x  
II. Các dạng hàm ẩn thường gặp
1. Hàm ẩn có dạng: f  x  f x  p x Phương pháp giải: 2 
f x  2 f x 
f x  f x  p x   p    x  
p x dx  2   2
2. Hàm ẩn có dạng: f  x  p x f x Phương pháp giải: f   x
Chia hai vế với f x ta đựơc  p xf xf   x Suy ra dx
p x dx  ln | f x | p x dx    f x
Từ đây ta dễ dàng tính được f x
3. Hàm ẩn có dạng:          n f x p x f x    Phương pháp giải:
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
10 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
        n f x p x f x    f   x
Chia hai vế với    n f x    ta được  p x n  
f x   n 1  f   x
f x   Suy ra dx p x dx   p x dxn        f x n 1   
4. Hàm ẩn có dạng: u xf  x  u xf x  h x Phương pháp giải:
Dễ dàng thấy rằng u xf  x  u xf x  u xf x   
Do dó u xf  x  u xf x  hx  u xf x  h x  
Suy ra u xf x  h xdx
Từ đây ta dễ dàng tính được f x
5. Hàm ẩn có dạng: A xf x  B xf  x  h x   1 Ý tưởng giải:
 Ta cần nhân thêm một lượng u x vào  
1 để tạo thành u ' xf x  u xf  x  u x.h x  và lúc này:
u ' xf x  u xf  x  u x.h x
 u xf x '
  u x.h x  
 u xf x '
dx u x.h xdx    
u xf x  u x.h xdx
u x.hxdx
f x  u x
 Cách tìm u xu  
  x  Ax
u x được chọn sao cho :  u
  x  B x  u xAxu xAxAxA( x).dx     dx dx u x 
dx u xB( x) . . ln .  e    u xB xu xB xB x
Tóm lại phương pháp giải: A xf x  B xf  x  h x   1 như sau:
Ax.dx
+ Bước 1: Tìm u x : u xBx  e
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
11 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
u x.hxdx
+ Bước 2: Nhân u x vào  
1  f x  u x
Hai dạng đặc biệt của   1
f  x  f x  h x Phương pháp giải:  Nhân hai vế với x
e ta được x    x     x     x      x e f x e f x e h x e
f x   e h(x)   Suy ra x    x e
f x e h x dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
f  (x)  f (x)  h(x) Phương pháp giải:  Nhân hai vế với x
e ta được x   ( )  x   ( )  x   ( )  x    ( )  x e f x e f x e h x e f x   eh(x)   Suy ra x  ( )  x e f x e  ( h x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x) Bài 1.
Cho hàm số f x thỏa mãn: f  xf x 2 .
x với mọi x   và f 0  2024 . Tính 2 f   1 . x e Bài 2.
Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ln 2  0 và f  x 
với mọi x  . f x  0 . Tính f x 2 f 0 . Bài 3.
Cho hàm số f x thỏa mãn f e  1 và       2 xf x f x  3 
 với mọi x   . Tính f e  . Bài 4.
Cho hàm số y f x đồng biến trên 0;  ; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 4 2
0; và thỏa mãn f 3  và  f ' x  . x f xf . 9   . Tính   1 Bài 5.
Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  và thỏa mãn f   1  1,
f x  f  x. 3x , với mọi x  0 . Tính f 4 . 2 Bài 6.
Cho hàm số f x thỏa mãn xf  x 2  1  x 1
  f x. f   x   
 với mọi x dương. Biết f   1  f   1  1 . Tính giá trị 2 f 4 . Bài 7.
Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn  x  
1 f  x  f x  x , x   và
f 0  2024 . Tính f 2 .
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
12 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách PHẦN B
TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN TỔNG HỢP GỒM BỐN PHẦN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A. f (x)dx F  (x)  C  .
B.f (x)dx    f (x).  
C.f (x)dx
  f (x) .
D.f (x)dx
  F (x) .
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x  6 là A. 2
x C . B. 2
x  6x C . C. 2
2x C . D. 2
2x  6x C . Câu 3. 2 x dx  bằng 1
A. 2x C . B. 3 x C . C. 3 x C . D. 3 3x C 3
Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x  4 là A. 2
2x  4x C . B. 2
x  4x C . C. 2 x C . D. 2 2x C .
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số 2 f ( )
x  3x 1 là 3 x A. 3 x C B.
x C
C. 6 x C D. 3
x x C 3 Câu 6. Cho hàm số 2
f (x)  x  4 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A.
f (x)dx  2x C  . B. 2
f (x)dx x  4x C  . 3 x C.
f (x)dx   4x C  . D. 3
f (x)dx x  4x C  . 3
Câu 7. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 2  x  2 là 3 x
A. f xdx  2x C  .
B. f xdx   2x C  . 3
C. f x 2
dx x  2x C  .
D. f x 3
dx x  2x C  .
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số   3
f x x x là 1 1 A. 4 2 x x C B. 2
3x 1 C C. 3
x x C D. 4 2
x x C 4 2
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3  4x  2024 là A. 4
x  2024x C . B. 3
4x  2024x C . C. 3 12x C . D. 4 x C .
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
13 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số   4 2
f x x x là 1 1 A. 5 3 x x C B. 4 2
x x C C. 5 3
x x C . D. 3
4x  2x C 5 3
Câu 11. Cho hàm số f x 2
 3x  2x . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của
f x trên  ? 3 2 x x
A. F x 3 2
x x  4 . B. F x   .
C. F x x x  1 .
D. F x  3x x . 4   3 2 3   3 2 2   1 3 2 1
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số f (x)  3 2
x  2x x  2024 là 3 1 2 4 2 3 x2 1 2 x A. x x   C . B. 4 3 x x
 2024x C . 12 3 2 9 3 2 2 1 2 x 2 1 2 x C. 4 3 x x
 2024x C . D. 4 3 x x
 2024x C . 12 3 2 9 3 2
Câu 13. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 4 3
 5x  8x  6x là
A. F x 5 4 2
x  2x  3x C.
B. F x 5 4 2
x x x C.
C. F x 5 4 2
x  4x  2x C.
D. F x 5 4 2
x  2x  3x C. 1
Câu 14. Cho hàm số f x  x
. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của x
f x trên 0; ? 2 x 2 x A. F x   x . B. F x   x . 2   1   2 2 2 x 2 x C. F x   2 x . D. F x   2 x . 4   3   2 2 1
Câu 15. Cho hàm số f x  3 
. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của x
f x trên 0; ? 1 1
A. F x  3x  .
B. F x  3x  ln x .
C. F x  3x  .
D. F x  3x  ln x . 4   3   2   1   2 x 2 x  3 
Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 x   2 x dx   . x  3 x 4 3 x 4 A. 3  3ln x
x C . B. 3  3ln x x C . 3 3 3 3 3 x 4 3 x 4 C. 3  3ln x x . D. 3  3ln x x C . 3 3 3 3
Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2024  3 x x là
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
14 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách 2023 x 2024 1 x A. x   C . B.   C . 673 x 2025 2025 x 1 C. 3 2 x   C . D. 2025  6054xC . 2025 2 x 1
Câu 18. Biết F x 3  x
 1 là một nguyên hàm của hàm số f x trên miền 0; . Khẳng định x nào sau đây là đúng? 1 1
A. f x 4  x  lnx .
B. f x 2  3x  . 4 2 x 1 1
C. f x 2  3x  .
D. f x 4 
x  lnx x C . 2 x 4  1  Câu 19. Biết 5 6  x dx  l
a n x bx C  
với a,b  ,C   . Tính 2 a b ?  2x  5 7 7 A. . B. 9. C. . D. . 12 13 6
Câu 20. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2022 y x ? 2023 x 2023 x 2023 x A. 1 . B. . C. 2021 y  2022x . D. 1. 2023 2023 2023
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f x   x   1  x  2 là 3 x 2
A. 2x  3  C . B. 2 
x  2x C . 3 3 3 x 2 3 x 3 C. 2 
x  2x C . D. 2 
x  2x C . 3 3 3 2
Câu 22. Tìm nguyên F x của hàm số f x    x  
1  x  2  x  3 ? 4 x 11
A. F x 3 2   6x
x  6x C .
B. F x 4 3 2
x  6x 11x  6x C . 4 2 4 x 11
C. F x 3 2   2x
x  6x C .
D. F x 3 2 2
x  6x 11x  6x C . 4 2
Câu 23. Họ các nguyên hàm của hàm số y xx  5 1 là
x  7  x  6 1 1 5 4 A.   C .
B. 6 x   1  5 x   1  C . 7 6 7 6 5 4  x   1  x   1
C. 6 x   1  5 x   1  C . D.   C . 7 6
Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f x   x  5 5 3 . 6 (5x  3) 4 (5x  3) A. 6
(5x  3)  C . B. 4
(5x  3)  C . C. C . D. C . 30 30
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
15 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách 2
Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2  x  . 2 x 3 x 1 3 x 2 A.
f x dx    C  . B.
f x dx    C  . 3 x 3 x 3 x 1 3 x 2 C.
f x dx    C  . D.
f x dx    C  . 3 x 3 x 3
Câu 26. Trên khoảng 0; , cho hàm số   2
f x x . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3 A. f x 2 dx x C  . B.   3 f x dx x dx   . 2 5 2 1 2 C. f x 2 dx x C  . D. f x 2 dx x C  . 5 3
Câu 27. Tìm nguyên hàm của hàm số   2024 f x x . 1 A. f x 2024 1 dx x    C  . B. f x 2024 1 dx x    C  . 2024 1 1 C. f x 2024 1 dx 2024x    C  . D. f x 2024 1 dx x    C  . 2024 1 4 x  2
Câu 28. Cho hàm số f x 
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 x 3 x 1 3 x 2 A.
f x dx    C  . B.
f x dx    C  . 3 x 3 x 3  2  x 2 C. f x 2 dx x  dx   . D.
f x dx    C 2   .  x  3 x 4 5  2x
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  . 2 x 3 2x 5 3 2x 5
A. f xdx    C  .
B. f xdx    C  . 3 x 3 x 3 2x 5
C. f x 2 dx   5lnx C  .
D. f x 3 dx  2x   C  . 3 x
Câu 30. Tính  x x x dx . 4 8 8 4 A. 15 7
x x C . B. 15 7
x x C . C. 15
x x C . D. 15 x x C . 15 15 15 15 x  3 2 x2 1 Câu 31. Tính  dx . 4 x 4 24 4 A. 5 17 5 4 3 x x  2x x
x C . B. 5 17 5 4 3 x x x x
x C . 5 17 3 24 4 4 C. 5 17 5 4 3 x x x x
x C . D. 5 17 5 4 3 x x  2x x x C . 17 5 3
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
16 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách
Câu 32. Khẳng định nào đây sai?
A. sinx dx  c  osx C  .
B. cosx dx  s  inx C  .
C. cosx dx  sinx C  .
D. cosx dx  tanx C  . Câu 33. Cho  d   cos   f x x
x C . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f x   sin x .
B. f x   cos x .
C. f x  sin x .
D. f x  cos x . 
Câu 34. Hàm số F x  cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng 0;    2  1 1 1 1 A. f x  . B. f x   . C. f x  . D. f x   . 3   4   1   2   2 sin x 2 cos x 2 cos x 2 sin x
Câu 35. Cho hàm số f x  1 sin x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f xdx x  cos x C  . B.
f xdx x  sin x C  .
C. f xdx x  cos x C  .
D. f xdx  cos x C  . 1
Câu 36. Cho hàm số f x  1
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 cos x A.
f x  dx x  tan x C  . B.
f x dx x  cot x C  . C.
f x dx x  tan x C  . D.
f x dx x  cot x C  .
Câu 37. Nguyên hàm của hàm số f x   3cos x  4sin x là:
A. 3sin x  4 cos x C . B. 3
 sin x  4 cos x C .
C. 3sin x  4 cos x C . D. 3
 sin x  4 cos x C . 3
Câu 38. Nguyên hàm của hàm số f x  2sin x  là: 2 sin x A. 2
 cos x  3cot x C .
B. 2 cos x  3 tan x C . C. 2
 cos x  3cot x C .
D. 2 cos x  3cot x C .
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số f x  cos x  6x là A. 2
sin x  3x C . B. 2
sin x  3x C . C. 2
sin x  6x C .
D.  sin x C .
Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2sin x  3x . 3
A. 2sin x  3x 2 dx  2  cos x x C B. x x 2 2 sin 3
dx  2 cos x  3x C 2 3 3
C. 2sin x  3x 2 dx  sin x x C
D. 2sin x  3x 2
dx  sin 2x x C  2 2
Câu 41. Tính  x  sin xdx  .
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
17 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách 2 x 2 x 2 x 2 x A.
 sin x C . B.
 cos x C . C.
 sin x C . D.
 cos x C . 2 2 2 2
Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2
 3x  sin x là A. 3
x  cos x C .
B. 6x  cos x C . C. 3
x  cos x C .
D. 6x  cos x C . 1
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f x   sin x là x 1
A. ln x  cos x C . B.
 cos x C .
C. ln x  cos x C .
D. ln x  cos x C . 2 x 1 1
Câu 44. Cho hàm số f x  
. Chọn khẳng định đúng: 2 x cos x
A. f xdx  ln x  tan x C  .
B. f xdx  ln x  tan x C.
C. f xdx  ln x  tan x C  .
D. f xdx  ln x  tan x  . x x
Câu 45. Cho hàm số f (x)  cos sin 
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 2 x x 1 x x 1 A. cos sin  sin x C  . B. cos sin  cos x C  2 2 2 2 2 2 x x 1 x x 1 C. cos sin
  sin x C  . D. cos sin   cos x C  2 2 2 2 2 2 x
Câu 46. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 2  cos 2 x 1
A. F x  2cos  C
B. F x  1 sin x  C 2 2 x 1
C. F x  2sin  C
D. F x  1 sin x  C 2 2 x
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số f x 2  2cos là: 2 x x 2 x A. 4cos  C .
B. x  sin x C . C. 2 2sin  C . D. 3 cos  C . 2 2 3 2
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số có f x 2 2
 tan x  cot x là: 1 1
A. 2 tan x  2 cot x C . B. 3 3
tan x  cot x C . 3 3
C. tan x  cot x  2x C .
D. tan x  cot x  2x C . 2  x x
Câu 49. Nguyên hàm của hàm số f x  cos  sin   là:  2 2  x x A. sin  cos  C .
B. x  cos x C . 2 2
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
18 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách 2  x x x x C. sin  cos  C   . D. sin  cos  C .  2 2  2 2 cos2x Câu 50. Tìm dx  2 2 sin . x cos x
A. cosx  sinx C .
B. cosx  sinx C .
C. cotx  tanx C .
D. cotx  tanx C .
Câu 51. Nguyên hàm của hàm số 2
y  tan x là
A. tanx x C .
B. tanx x C .
C. tanx x C .
D. tanx x C .
Câu 52. Khẳng định nào dưới đây đúng? x x x x 1  x x 1  x x
A e dx xe C  .
B. e dx eC  .
C. e dx e   C  .
D. e dx e C  .
Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số 3 (x)  x f
e là hàm số nào sau đây? 1 1 A. 3 x e C . B. 3 x eC . C. x e C . D. 3 3 x eC . 3 3
Câu 54. Nguyên hàm của hàm số 2 1 e x y   là 1 1 A. 2 1 2e x  C . B. 2 1 e x  C . C. 2 x 1 e   C . D. ex C . 2 2 Câu 55. Cho hàm số    1 x f x
e . Khẳng định nào dưới đây đúng? A.   1 d x f x x x xe     C  . B.  d 1 x f x xe C  . C.  d x f x
x x e C  . D.   1 d 1 x f x x xe     C  .
Câu 56. Cho hàm số ( ) x
f x e  2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? A. 2 ( ) x f x dx eC  . B. ( ) x
f x dx e  2x C  . C. ( ) x
f x dx e C  . D. ( ) x
f x dx e  2x C  .
Câu 57. Họ nguyên hàm của hàm số   x
f x e  2x là. 1 A. x 2
e x C . B. x 2
e x C . C. x 2
e x C . D. x e  2  C . x 1 Câu 58. Cho hàm số   x
f x e  2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A.   2 d     x f x x e x C . B.  d    x f x x e C . C.   2 d     x f x x e x C . D.   2 d   2   x f x x e x C . Câu 59. Cho hàm số 2 ( )  1 x f x
e . Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 A. ( ) x f x dx x e C. x
f x dx x eC B. 2 ( ) 2 .  2 1 C. 2 ( ) x f x dx x eC.  D. 2 ( ) x
f x dx x eC.  2
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
19 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093
Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách Câu 60. Hàm số   2 2 x F x x e  
 2024 là một nguyên hàm của hàm số 3 x 1
A. f x 2x   e  2024x . B.   2 2 2 x f x x e    2024 . 3 2 C.   2  2  2 x f x x e  2024x . D.   2 2 2 x f x x e   . 3 x
Câu 61. Hàm số F xx
e là một nguyên hàm của hàm số f x nào sau đây? 3 4 x 4 x A.   2 x
f x x e . B.   2  3 x f x
x e .
C. f xx   e .
D. f xx   e . 12 3
Câu 62. Một nguyên hàm của hàm số f x 3 x 1 2  e  2x là 3x 1 e 3x 1 e 3x 1 3 e  2x 3x 1 3 e  x A. 3  2x . B. 3  x . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 63. Kết quả  2020 x x edx bằng 2 2020 x x e 2020 x e 2020 x e 2020 x e A.   C . B. 3 x   C . C. 2 x   C . D. x   C . 2 2020 2020 2020 2020 e   x 2018 x
Câu 64. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  e 2017   . 5  x   2018 2018 A.  d  2017 x f x x e   C  . B.  d  2017 x f x x e   C 4  . x 4 x 504,5 504,5 C.  d  2017 x f x x e   C  . D.  d  2017 x f x x e   C 4  . x 4 xxe
Câu 65. Họ nguyên hàm của hàm số x y e 2   là 2  cos x   1 1 A. 2 x
e  tan x C B. 2 x
e  tan x C C. 2 x e   C D. 2 x e   C cos x cos x x    e
Câu 66. Tìm nguyên hàm của hàm số f xxe 2   . 2  cos x   2
A. F x  
 tan x C . B.    2 x F x
e  tan x C . x e 2
C. F x  
 tan x C . D.    2 x F x e
 tan x C . x e
Câu 67. Tìm nguyên hàm của hàm số   7x f x  . x 1  x 7 x 7x A. 7 dx   C B. x x 1 7 dx 7    C C. 7 dx   C
D. 7x d  7x x ln 7  C ln 7 x 1
Câu 68. Nguyên hàm của hàm số 2x y  là x 2x x 2x
A. 2x d  ln 2.2x xC
. B. 2x d  2x xC  . C. 2 dx   C  . D. 2 dx   C  . ln 2 x 1
https://www.facebook.com/truongngocvy8/ T r an g
20 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Tài liệu liên quan: