Trọng tâm của tứ diện là gì? Luyện tập trọng tâm tứ diện ?
1. Trọng tâm của tứ diện là gì?
Trọng tâm của tứ diện ABCD được định nghĩa là một điểm G trong không gian mà tổng vector từ
G đến mỗi đỉnh của tứ diện bằng vector không. Nói cách khác, nếu chúng ta ký hiệu vector từ
trọng tâm G đến đỉnh A là GA, vector từ trọng tâm G đến đỉnh B là GB , vector từ trọng tâm G
đến đỉnh C là GC và vector từ trọng tâm G đến đỉnh D là GD, thì tứ diện ABCD có trọng tâm G
khi và chỉ khi tổng của các vector này bằng vector không, tức là: GA + GB + GC + GD = 0
Điều này có nghĩa là trọng tâm G là giao điểm của các đường thẳng GA, GB, GC và GD.
Trọng tâm của tứ diện là một điểm đặc biệt, nó là trung điểm của các đoạn thẳng nối hai đỉnh đối
diện của tứ diện. Điều này có nghĩa là trọng tâm chia đôi mỗi đoạn nối hai đỉnh đối diện của tứ
diện. Ngoài ra, trọng tâm của tứ diện cũng là trọng điểm của toàn bộ tứ diện, tức là tổng khối lượng
của tứ diện được phân bố đồng đều trên các đường nối từ trọng tâm đến các đỉnh. Mỗi tứ diện chỉ
có duy nhất một trọng tâm, điều này cho phép xác định một cách duy nhất và rõ ràng vị trí của
trọng tâm trong không gian.
=> Trọng tâm của tứ diện có vai trò quan trọng trong hình học không gian và các lĩnh vực liên
quan. Nó giúp xác định vị trí trung tâm của một tứ diện và có ứng dụng trong các bài toán tính
toán và xác định tính chất của tứ diện.
2. Tính chất của trọng tâm tứ diện
Một số tính chất của trọng tâm tứ diện ABCD, với G là trọng tâm của tứ diện:
- Tính chất cơ bản: Tổng vector từ trọng tâm G đến mỗi đỉnh A, B, C, D của tứ diện là vector
không: GA + GB + GC + GD = 0. Điều này có nghĩa là tổng các vector từ trọng tâm G đến các
đỉnh của tứ diện bằng vector không, tức là vector hợp của các vector đó cùng hướng và cùng độ dài.
- Tính chất liên quan đến trung điểm cạnh: Trọng tâm G là trung điểm của đoạn nối 2 trung điểm
của hai cạnh đối nhau bất kì trong tứ diện. Điều này có nghĩa là nếu E và F lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD (hoặc BC và AD, AC và BD), thì trọng tâm G là trung điểm của đoạn EF.
- Tính chất liên quan đến đỉnh và trọng tâm tam giác đáy:
+ Trọng tâm G nằm trên đường nối một đỉnh của tứ diện với trọng tâm của tam giác đáy tương
ứng. Nghĩa là nếu H là trọng tâm của tam giác đáy ABC (hoặc BCD, CDA, DAB), thì đường thẳng
GH là đường thẳng nối từ đỉnh không nằm trên tam giác đáy đến trọng tâm của tam giác đáy đó.
+ Khoảng cách từ trọng tâm G đến đỉnh của tứ diện bằng ba lần khoảng cách từ G đến trọng tâm
của tam giác đáy tương ứng. Nghĩa là nếu H là trọng tâm của tam giác đáy ABC (hoặc BCD, CDA,
DAB), thì khoảng cách GH bằng ba lần khoảng cách GH.
=> Tất cả những tính chất trên đều đúng với trọng tâm của tứ diện ABCD. Các tính chất này được
sử dụng rộng rãi trong các bài toán hình học và tính toán liên quan đến tứ diện, giúp xác định vị
trí và tính chất của trọng tâm trong không gian.
3. Cách xác định trọng tâm tứ diện
Để vẽ trọng tâm của tứ diện ABCD, chúng ta có hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng trung điểm của các cặp cạnh chéo
- Cho tứ diện ABCD, ta cần xác định trọng tâm của nó.
- Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
- Theo định nghĩa trọng tâm, trọng tâm của tứ diện là điểm giao của ba đường thẳng nối trung điểm
của các cặp cạnh chéo. Do đó, ta cần nối đường thẳng MP, NQ và NR.
- Khi đó, ba đường thẳng MP, NQ và NR đồng quy tại một điểm duy nhất. Điểm đó chính là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Cách 2: Sử dụng trọng tâm của tam giác đáy và một đoạn thẳng có tỷ lệ
- Cho tứ diện ABCD, ta có tam giác BCD.
- Trọng tâm G của tam giác BCD là trung điểm của các đỉnh B, C và D.
- Để xác định trọng tâm của tứ diện ABCD, ta sử dụng một đoạn thẳng AG, với A là một đỉnh của
tứ diện và G là trọng tâm của tam giác BCD.
- Lấy điểm K trên đoạn thẳng AG sao cho AK = 3 x GK. Điểm K chính là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Cả hai cách trên đều dẫn đến việc xác định trọng tâm của tứ diện ABCD. Trọng tâm là một điểm
quan trọng trong tứ diện, nó có tọa độ trung bình của các đỉnh và được sử dụng trong các tính toán
và phân tích hình học của tứ diện. Việc biết vị trí trọng tâm giúp ta hiểu về sự phân bố khối lượng
của tứ diện và tương tác với các lực hoặc điểm cân bằng của nó.
4. Luyện tập trọng tâm tứ diện Dạng 1:
Giả sử tứ diện ABCD có trọng tâm G và tứ diện A'B'C'D' có trọng tâm G'.
Ta cần chứng minh rằng nếu vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0, thì G cũng là trọng
tâm của tứ diện A'B'C'D'.
=> Ta biểu diễn vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → bằng tổng các vector từ G đến các đỉnh:
AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = (AG' → + GG' →) + (BG' → + GG' →) + (CG' → + GG'
→) + (DG' → + GG' →) = AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4GG' →.
Vì vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0, ta có:
AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4GG' → = 0.
Suy ra: AG' → + BG' → + CG' → + DG' → = -4GG' →.
Nhưng theo định nghĩa, G là trọng tâm của tứ diện ABCD nghĩa là AG → + BG → + CG → + DG → = 0. Do đó, ta có:
AG' → + BG' → + CG' → + DG' → = AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4GG' → + 4(G → -
G →) = AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4(G → - G →) = (AG' → + BG' → + CG' → +
DG' → + 4G →) - 4G → = 0 - 4G → = -4G →.
Từ đó suy ra -4G → = -4GG' →, hay G → = GG' →.
Vậy, nếu vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0, thì G cũng là trọng tâm của tứ diện A'B'C'D'.
Điều ngược lại cũng tương tự, ta có thể chứng minh rằng nếu G cũng là trọng tâm của tứ diện
A'B'C'D', thì vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng G cũng là trọng tâm của tứ diện A'B'C'D' khi và chỉ khi vector
AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0. Dạng 2:
Tứ diện vuông là một dạng tứ diện đặc biệt, có một đỉnh mà ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó vuông
góc với nhau. Tứ diện vuông là một trường hợp đặc biệt của tứ diện trực tâm, trong đó các cạnh
đối đôi của tứ diện vuông cũng vuông góc với nhau.
Có một số bài toán liên quan đến trọng tâm của các tứ diện đặc biệt:
- Tứ diện đều: Đối với tứ diện đều, trọng tâm là một điểm duy nhất nằm ở trung điểm của các đỉnh.
Các cạnh và góc giữa các cạnh đối diện trong tứ diện đều đều nhau. Trọng tâm của tứ diện đều là
một điểm trọng yếu trong việc xác định phân bố khối lượng và tính chất hình học của tứ diện.
- Tứ diện gần đều: Trong tứ diện gần đều, các cặp cạnh đối bằng nhau. Trọng tâm của tứ diện gần
đều nằm ở giao điểm của các đường chéo nối giữa các đỉnh không kề nhau. Trọng tâm này cũng
là tâm của một tứ diện cắt đôi một bởi mặt phẳng đi qua trọng tâm.
- Tứ diện trực tâm: Trong tứ diện trực tâm, các cặp cạnh đối đôi vuông góc với nhau. Trọng tâm
của tứ diện trực tâm nằm ở giao điểm của các đường cao nối từ các đỉnh tới mặt phẳng đối diện.
Trọng tâm này cũng là tâm của một tứ diện cắt đôi một bởi mặt phẳng đi qua trọng tâm.
=> Trọng tâm của các tứ diện đặc biệt chính là điểm quan trọng để nghiên cứu tính chất và tính
toán hình học của tứ diện. Nó giúp xác định phân bố khối lượng và tương tác của tứ diện với các
lực và các điểm cân bằng.