Trung điểm của đoạn thẳng là gì? Các cách chứng minh trung điểm?
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm chính giữa cách đều hai đầu đoạn thẳng. Đây là một kiến thức căn
bản của chương trình toán học. Hãy cùng Luật Minh Khuê tìm hiểu về Trung điểm của đoạn thẳng và
cách chứng minh trung điểm quạ bài viết sau.
Mục lục bài viết
1. Trung điểm của đoạn thẳng là gì?
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm ở giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng thành 2 đoạn thẳng bằng
nhau. Trung điểm của đoạn thẳng còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Minh họa cụ thể: cho hai điểm A , C cùng năm trên một đường thẳng tạo thành đoạn thẳng AC. Điểm
B nằm giữa A và C nếu A , B và C là 3 điểm thẳng hàng theo đúng thứ tự đó.
Khi đó, B được gọi là điểm chính giữa hay trung điểm của đoạn thẳng AC nếu B chia đoạn thẳng AC
thành 2 đoạn thẳng AB và BC có độ dài bằng nhau.
Giả sử đoạn thẳng AC có độ dài 8 cm thì điểm B ở giữa A và C phải chia đoạn AC thành 2 đoạn thẳng
AB = BC = 4 cm mới được coi là trung điểm của đoạn thẳng AC.
2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng
Khi B là trung điểm của đoạn thẳng AC, ta có:
• B nằm giữa 2 điểm A và C
• Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài đoạn thẳng BC hay AB = BC và AB + BC = AC
Từ đó, ta suy ra cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng như sau: Trên đoạn thẳng AC lấy điểm B sao cho
AB = 1 / 2 AC . Khi đó, B là trung điểm của AC.
Ví dụ: Trên tia Ox vẽ 2 điểm A và B sao cho OC = 3 cm, OB = 6 cm.
a) Điểm A có nằm giữa 2 điểm O và B không? b) So sánh OA và AB.
c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? VÌ sao? Hướng dẫn giải:
a) Trên tia Ox có: OA = 3 cm, OB = 6 cm => OA < OB
Mà hai điểm A và B cùng thuộc tia Ox tức là 3 điểm O , A và B thẳng hàng.
Vậy điểm A nằm giữa O và B.
b) Vì điểm A nằm giữa O và B nên:
OB = OA + AB => AB = OB - OA = 6 - 3 = 3 cm => OA = AB = 3 cm c) Ta có: A nằm giữa O và B OA = AB = 3 cm
=> A là trung điểm của đoạn thẳng OB
3. Cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng?
3.1 Chứng minh dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng
Chứng mình trung điểm đoạn thẳng dựa vào khái niệm của nó. Do vậy, có thể trình bày theo 3 bước sau:
Giả sử cho 3 điểm A , B và C. Để chứng mình B là trung điểm của AC, ta có:
Bước 1: chứng minh điểm B nằm giữa 2 điểm A và C hay B thuộc đoạn thẳng AC
Bước 2: chứng minh độ dài hai đoạn thẳng AB và BC bằng nhau hay AB = BC và AB + BC = AC
Bước 3: kết luận B là trung điểm của AC dựa trên 2 đặc điểm: nằm giữa và tạp thành 2 đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB = 8 cm có M là trung điểm của AB. Trên AB lấy 2 điểm C và D sao cho AC = BD
= 3 cm. Chứng minh M là trung điểm CD. Hướng dẫn giải:
Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 4 cm
Vì M và C nằm cùng phía với A , mà AM > AC nên C nằm giữa A và M
=> MC = MA - CA = 1 cm
Chứng minh tương tự ta có: MD = 1 cm
Mặt khác : CD = AB - AC - BD = 8 - 3 - 3 = 2 cm Như vậy: MC = MD = 1 cm MC + MD = CD
=> M là trung điểm của CD ( điều phải chứng minh )
3.2. Chứng minh dựa vào các tính chất của tam giác ( cách chứng minh của lớp 7)
Để chứng minh theo cách này, trước hết cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.
Cho tam giác ABC với M , N và P lần lượt là trung điểm của BC , CA và AB.
Khi đó: AM , BN và CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC , CA và AB. 3 đường
trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm tam giác ABC. 3 đoạn thẳng MN , NP và PM
được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.
Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tam giác ABC thì AG , BG và CG lần lượt đi qua trung điểm của BC ,
CA và AB. Đồng thời : AG / AM = BG / BN = CG / CP = 2 / 3
Tính chất đường trung bình: Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng
12 cạnh đáy tương ứng.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông
gốc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G, K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm đoạn BC. Hướng dẫn giải:
Xét tam giác BCK có:
BF vừa là đường cao, vừa là phân giác nên tam giác BCK cân tại B
=> BC = BK và BF là trung tuyến => CF = FK
Xét tam giác CKA có: CF = FK , CD = DA
=> FD là đường trung bình
=> FD // AB <=> MD // AB
Mà CD = DA nên => CMCB = CDCA = 12
=> M là trung điểm BC.
3.3. Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt ( cách chứng minh của lớp 8 )
Tính chất đường trung bình hình thàn: Cho hình thang ABCD hai đấy AB , CD. Khi đó MN được gọi là
đường trung bình của hình thàng ABCD <=> MN // AB , MN = 1/2 (AB + CD) và M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
3.4. Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất của đường tròn ( cách chứng minh của lớp 9 )
Cách chứng minh này sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kỳ của đường tròn. Khi đó nếu AB
vuông góc MN thì AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại , nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB vuông góc MN.
Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ). Tiếp tuyến tại A và B của ( O ) cắt
nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của ( O ) ( P nằm giữa M và Q ) song song với BC cắt AC tại E. Chứng
minh rằng E là trung điểm của PQ. Hướng dẫn giải:
Vì MA , MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn ( O ) nên MA = MB
Xét tam giác MAO và tam giác MBO có:
MA = MB ( chứng minh trên ) MO chung OA = OB
=> tam giác MAO = tam giác MBO ( cạnh - cạnh - cạnh )
=> góc MOA = góc MOB
=> góc MOA = góc AOB / 2 (1)
Vì PQ // BC => góc MEA = góc BCA ( đồng vị )
Mà góc BCA = góc AOB / 2 => góc MEA = góc AOB / 2 (2)
Từ (1) và (2) => góc MEA = góc MOA
=> tứ giác MOEA nội tiếp
=> góc MEO = góc MAO = 90 độ ( do MA là tiếp tuyến )
=> EO vuông góc với dây cung PQ
=> E là trung điểm PQ ( điều phải chứng minh ).
3.5. Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng
Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB. Khi đó AB
vuông góc d và d đi qua trung điểm của AB.