10 trang 4 lượt tải

Ứng dụng tích phân | Lý thuyết giải tích

7

Ứng dụng tích phân | Lý thuyết giải tích. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Môn: Giải tích 1 127 tài liệu

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Ngô Văn Đạt 97.LT.

1 tháng trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/10
I. Tổng quan lý thuyết
1. Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng
Di
ệ
n tích mi
ề
n ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i:
-
-
-
2. Tính
đ
ộ
dài
đ
ư
ờ
ng cong
Đ
ư
ờ
ng cong
đ
ư
ợ
c cho b
ở
i:
-
-
-
3. Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
Cho là v
ậ
t th
ể
đ
ư
ợ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i m
ặ
t cong và các
đ
ư
ờ
ng là di
ệ
n
tích thi
ế
t di
ệ
n khi c
ắ
t b
ở
i m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i .
Đ
ặ
t bi
ệ
t v
ớ
i các kh
ố
i tròn xoay, ta có th
ể
tích v
ậ
t th
ể
khi:
- Quay quanh
- Quay quanh
- Quay quanh tr
ụ
c c
ự
c:
- Quay quanh (Công th
ứ
c
S
⇒
S
=
∫
b
a
|
f
(
x
) −
g
(
x
)|
dx
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
y
=
f
(
x
)
y
=
g
(
x
)
x
=
a
x
=
b
⇒
S
=
∫
t
2
t
1
|
y
(
t
).
x
′
(
t
)|
dt
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
t
1
≤
t
≤
t
2
⇒
S
=
1
2
∫
β
α
r
2
(
φ
)
dφ
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
r
=
r
(
φ
)
φ
=
α
φ
=
β
AB
{
⇒
L
=
ˆ
AB
=
∫
b
a
√
1 +
f
′
2
(
x
)
dx
y
=
f
(
x
)
a
≤
x
≤
b
⇒
L
=
AB
=
∫
t
2
t
1
√
x
′2
t
+
y
′2
t
dt
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
t
1
≤
t
≤
t
2
{
⇒
L
=
AB
=
∫
β
α
√
r
2
(
φ
) +
r
′
2
(
φ
)
dφ
r
=
r
(
φ
)
α
≤
φ
≤
β
V x
=
a
,
x
=
b
,
S
(
x
)
V Ox
⇒
V
=
∫
b
a
S
(
x
)
dx
y
=
f
(
x
),
a
≤
x
≤
b
Ox :
V
=
π
∫
b
a
f
2
(
x
)
dx
x
=
g
(
y
),
c
≤
y
≤
d
Oy :
V
=
π
∫
d
c
g
2
(
y
)
dy
r
=
r
(
φ
), 0 ≤
α
≤
φ
≤
β
≤
π V
=
2
π
3
∫
β
α
r
3
(
φ
) sin
φdφ
y
=
f
(
x
),
y
= 0, 0 ≤
a
≤
x
≤
b
Oy :
V
= 2
π
∫
b
a
x
|
f
(
x
)|
dx
th
ể
tích v
ỏ
)
4. Tính di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay
Di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay
đ
ư
ợ
c hình thành khi:
- Quay quanh Ox:
- Quay quanh Ox:
- Quay quanh tr
ụ
c c
ự
c:
II. Các ví dụ minh họa
VD1:
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i:
a)
b)
Đ
ư
ờ
ng cong ,
c)
Đ
ư
ờ
ng cong
L
ờ
i gi
ả
i
a) Ph
ươ
ng trình hoành
đ
ộ
giao
đ
i
ể
m
b)
(h
ạ
b
ậ
c tính tích phân)
c)
.
VD2:
Tính
đ
ộ
dài các
đ
ư
ờ
ng cong sau:
a)
b)
c)
L
ờ
i gi
ả
i
a)
y
=
f
(
x
),
a
≤
x
≤
b S
= 2
π
∫
b
a
|
f
(
x
)|
√
1 +
f
′
2
(
x
)
dx
x
=
x
(
t
),
y
=
y
(
t
),
t
1
≤
t
≤
t
2
S
= 2
π
∫
t
2
t
1
|
y
(
t
)|
√
x
′2
t
+
y
′2
t
dt
r
=
r
(
φ
),
α
≤
φ
≤
β
S
= 2
π
∫
β
α
|
r
(
φ
) sin
φ
|
√
r
2
(
φ
) +
r
′
2
(
φ
)
dφ
y
=
x
2
,
y
=
x
{
x
=
t
− sin
t
y
= 1 − cos
t
y
= 0, 0 ≤
t
≤ 2
π
r
= 1 + cos
φ
x
2
=
x
⇔
[
x
= 0
x
= 1
⇒
S
=
∫
1
0
x
2
−
x dx
∣ ∣
=
∫
1
0
(
x
−
x
2
)
dx
=
1
6
S
=
∫
2
π
0
|
y
(
t
) ⋅
x
′
(
t
)|
dt
=
∫
2
π
0
(1 − cos
t
)
2
dt
=
∫
2
π
0
(
cos
2
t
− 2 cos
t
+ 1
)
dt
= 3
π
S
=
1
2
∫
2
π
0
(1 + cos
φ
)
2
dφ
= 2 ⋅
1
2
∫
π
0
(1 + cos
φ
)
2
dφ
=
3
π
2
y
=
x
2
, 0 ≤
x
≤ 1
{
, 0 ≤
t
≤ 2
π
x
=
t
− sin
t
y
= 1 − cos
t
r
= 1 + cos
φ
L
=
∫
1
0
√
1 +
y
′2
dx
=
∫
1
0
√
4
x
2
+ 1
dx
=
1
2
∫
1
0
√
(2
x
)
2
+ 1
d
(2
x
)
=
1
2
(
2
x
2
√
1 + 4
x
2
+
1
2
ln 2
x
+
√
1 + 4
x
2
)
1
0
∣ ∣
∣
b)
c)
VD3:
Tính di
ệ
n tích các m
ặ
t tròn xoay khi quay:
a) quanh Ox
b) quanh Ox
c) quanh tr
ụ
c c
ự
c
L
ờ
i gi
ả
i
a)
b)
c)
.
III. Bài tập
Phần 1: Bài tập có video chữa chi tiết
=
√
5
2
+ ln
√
5+2
4
L
=
∫
2
π
0
√
x
′2
t
+
y
′2
t
dt
=
∫
2
π
0
√
(1 − cos
t
)
2
+ sin
2
tdt
=
∫
2
π
0
√
2 − 2 cos
tdt
=
∫
2
π
0
| sin
t
|
dt
= 8
L
=
∫
2
π
0
√
r
2
(
φ
) +
r
2
(
φ
)
dφ
=
∫
2
π
0
√
(1 + cos
φ
)
2
+ sin
2
φdφ
=
∫
2
π
0
√
2 + 2 cos
φdφ
=
∫
2
π
0
cos
φ
2
dφ
= 8
∣ ∣
y
=
1
3
x
3
, 0 ≤
x
≤ 1
{
, 0 ≤
t
≤ 2
π
x
=
t
− sin
t
y
= 1 − cos
t
r
= 1 + cos
φ
S
Ox
= 2
π
∫
1
0
1
3
x
3
√
1 +
x
4
dx
=
1
6
∫
1
0
√
1 +
x
4
d
(
x
4
)
=
2
3
⋅
1
6
(
1 +
x
4
)
3
2
1
0
=
2
√
2
9
∣
S
= 2
π
∫
2
π
0
|
y
(
t
)|
√
x
′2
t
+
y
′2
t
dt
= 2
π
∫
2
π
0
|1 − cos
t
|
√
(1 − cos
t
)
2
+ (sin
t
)
2
dt
= 2
π
∫
2
π
0
(1 − cos
t
)
√
2 − 2 cos
tdt
= 2
π
∫
2
π
0
(1 − cos
t
)2 sin
t
2
dt
= 2
π
∫
2
π
0
(
1 − 2 cos
2
t
2
+ 1
)
(−4)
d
(
cos
t
2
)
= −8
π
∫
2
π
0
(
2 − 2 cos
2
t
2
)
d
(
cos
t
2
)
= −8
π
(
2 cos
t
2
−
2
3
cos
3
t
2
)
2
π
0
=
64
π
3
∣
S
= 2
π
∫
π
0
|
r
(
φ
) + sin
φ
|
√
r
(
φ
)
2
+
r
′
(
φ
)
2
dφ
= 2
π
∫
π
0
(1 + cos
φ
) sin
φ
√
(1 + cos
φ
)
2
+ sin
2
φdφ
= 2
π
∫
π
0
(1 + cos
φ
) sin
φ
√
2 + 2 cos
φdφ
= −2
√
2
π
∫
π
0
(1 + cos
φ
)
3
2
d
(cos
φ
)
= −2
√
2
x
⋅
2
5
(1 + cos
φ
)
5
2
π
0
=
32
π
5
∣
Câu 1 [ID:8417].
Tính di
ệ
n tính hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
Câu 2 [ID:8418].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
Câu 3 [ID:8419].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
Câu 4 [ID:8421].
Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
thu
đ
ư
ợ
c khi quay
đ
ư
ờ
ng
quanh tr
ụ
c
Câu 5 [ID:8422].
Tính
đ
ộ
dài cung .
1,222
Câu 6 [ID:8423].
Tính
đ
ộ
dài
đ
ư
ờ
ng cong .
8
Câu 7 [ID:8424].
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay thu
đ
ư
ợ
c khi quay
quanh tr
ụ
c m
ộ
t vòng
3,8391
Câu 8 [ID:8425].
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay thu
đ
ư
ợ
c khi quay
quanh 1 vòng
Câu 9 [ID:8426].
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay thu
đ
ư
ợ
c khi quay
quanh tr
ụ
c c
ự
c 1 vòng
D
:
{
y
=
x
2
2
y
=
1
x
2
+1
π
2
−
1
3
D
:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
y
⩾
x
+ 1
y
= cos
x
y
⩾
0
1
2
D
:
{
, 0 ≤
t
≤ 2
π
, (
a
,
b
> 0)
x
=
a
cos
t
y
=
b
sin
t
abπ
y
=
e
x
− 1,
y
= 0,
x
= 0,
x
= 1
Oy
π
y
= ln
x
, 1 ≤
x
≤ 2
{
, 0 ≤
t
≤
π
x
= 2
t
− cos 2
t
.
y
= sin 2
t
.
y
= tan
x
, 0
⩽
x
⩽
π
4
Ox
y
=
√
4 −
x
2
, −1 ≤
x
≤ 1
Ox
8
π
r
= sin
φ
(0
⩽
φ
⩽
π
)
Câu 10 [ID:8429].
Tính
đ
ộ
dài cung
Câu 11 [ID:1038].
Tính di
ệ
n tích c
ủ
a mi
ề
n
Câu 12 [ID:1040].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i:
Đ
u
ờ
ng parabol
và
đ
u
ờ
ng th
ẳ
ng .
Câu 13 [ID:1041].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i: Parabol b
ậ
c ba và
đ
u
ờ
ng .
Câu 14 [ID:1043].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i:
Đ
u
ờ
ng
Câu 15 [ID:1044].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đ
u
ờ
ng hình tim
Câu 16 [ID:2503].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
Câu 17 [ID:2505].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đ
ư
ờ
ng cong trong t
ọ
a
đ
ộ
c
ự
c
sau
Câu 18 [ID:1045].
Tính
đ
ộ
dài
đ
u
ờ
ng cong khi bi
ế
n thiên t
ừ
1
đ
ế
n 2 .
π
2
y
=
∫
x
2
√
[
t
ln(
t
+ 1)]
2
− 1
dt
, 2
⩽
x
⩽
3
8
ln
2 −
3
2
ln
3 −
3
4
D
:
{
x
+
y
≥ 2
x
2
+
y
2
≤ 2
x
π
4
−
1
2
y
=
x
2
+ 4
x
−
y
+ 4 = 0
1
6
y
=
x
3
y
=
x
,
y
= 2
x
5
2
y
2
=
x
2
−
x
4
4
3
r
2
=
a
2
cos 2
φ
a
2
x
=
a
(2 cos
t
− cos 2
t
),
y
=
a
(2 sin
t
− sin 2
t
)
6
πa
2
r
= asin 3
φ
πa
2
4
y
= ln
e
x
+ 1
e
x
− 1
x
ln
e
2
+1
e
Câu 19 [ID:2847].
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay t
ạ
o nên khi quay các
đ
ư
ờ
ng sau
quay quanh tr
ụ
c
Câu 20 [ID:1052].
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay t
ạ
o nên khi quay
đ
u
ờ
ng sau
quanh truc
v
ớ
i
Câu 21 [ID:1053].
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay t
ạ
o nên khi quay
đ
u
ờ
ng sau
quanh truc .
Câu 22 [ID:1047].
Tính th
ể
tích c
ủ
a v
ậ
t th
ể
là ph
ầ
n chung c
ủ
a hai hình tr
ụ
và .
Câu 23 [ID:1049].
Tính th
ế
tích kh
ố
i tròn xoay t
ạ
o nên khi quay hình gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đ
u
ờ
ng và quanh tr
ụ
c m
ộ
t vòng
Câu 24 [ID:1050].
Tính th
ế
tích kh
ố
i tròn xoay t
ạ
o nên khi quay hình gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đ
u
ờ
ng và quanh tr
ụ
c m
ộ
t vòng.
Câu 25 [ID:2842].
Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i m
ặ
t cong , các m
ặ
t
ph
ẳ
ng t
ọ
a
đ
ộ
và m
ặ
t ph
ẳ
ng .
Phần 2: Bài tập tự luyện: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình
phẳng
Câu 26 [ID:1039].
Tính di
ệ
n tích c
ủ
a mi
ề
n
y
= sin
x
, 0 ≤
x
≤
π
2
0
x
π
+
π
.
ln
(1 +
√
(2))
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
Oy
(
a
>
b
)
4
aπ
.
1
√
(
t
)
. (
1
2
.
b
.
√
(
b
2
+
t
) +
t
2
.
ln
(
b
+
√
(
b
2
+
t
) −
t
2
.
ln
√
(
t
))
t
=
b
4
a
2
−
b
2
9
y
2
=
x
(3 −
x
)
2
, 0 ≤
x
≤ 3
Ox
3
π
x
2
+
y
2
=
a
2
y
2
+
z
2
=
a
2
(
a
> 0)
16
a
3
3
y
= 2
x
−
x
2
y
= 0
Ox
16
π
15
y
= 2
x
−
x
2
y
= 0
Oy
8
π
3
z
= 4 −
y
2
x
= 0,
z
= 0
x
=
a
(
a
≠ 0)
32
a
3
D
:
{
x
−
y
≥ 2
x
2
+
y
2
≤ 2
x
π
/4 − 1/2
Câu 27 [ID:1042].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i:
Đ
uòng tròn
và parabol
Câu 28 [ID:2490].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
1/6
Câu 29 [ID:2491].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
Câu 30 [ID:2492].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
0
Câu 31 [ID:2494].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
9/2
Câu 32 [ID:2495].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
9/2
Câu 33 [ID:2496].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
2 - 1/ln2
Câu 34 [ID:2499].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
4
Câu 35 [ID:2500].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
1/3
+
2/
Câu 36 [ID:2501].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
6,382
x
2
+
y
2
= 2
x
y
2
=
x
4/3 +
π
/2
y
=
x
2
+ 4,
x
−
y
+ 4 = 0
y
=
x
3
,
y
=
x
,
y
= 2
x
3/2
x
2
+
y
2
= 2
x
,
y
2
= 2
x
y
=
x
2
,
x
+
y
= 2
x
+
y
= 0,
y
= 2
x
−
x
2
y
= 2
x
,
y
= 2,
x
= 0
y
=
x
,
y
=
x
+ sin 2
x
(0 ≤
x
≤
π
)
y
= (
x
+ 1)
2
,
x
= sin
πy
, 0 ≤
y
≤ 1
π
y
= | lg
x
|;
y
= 0;
x
= 0, 1;
x
= 10
Câu 37 [ID:2506].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đ
ư
ờ
ng cong trong t
ọ
a
đ
ộ
c
ự
c
sau
Không t
ồ
n t
ạ
i
Câu 38 [ID:2838].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
Đ
ư
ờ
ng cong và các
đ
ư
ờ
ng
15/2
Câu 39 [ID:2840].
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
Đ
ư
ờ
ng
4/3
Câu 40 [ID:3115].
Find the area of the region enclosed by the parabolas
.
9
Câu 41 [ID:3117].
Find the area of the region enclosed by and
.
0,693
Câu 42 [ID:3118].
Find the number such that the line divides the region
bounded by the curves and into two regions with equal area.
b
=
Phần 3: Bài tập tự luyện: Ứng dụng tích phân tính độ dài cung
Câu 43 [ID:1046].
Tính
đ
ộ
dài
đ
u
ờ
ng cong khi t bi
ế
n
thiên t
ư
đ
ế
n .
|a|.ln
Câu 44 [ID:2845].
Tính
đ
ộ
dài
đ
ư
ờ
ng cong khi bi
ế
n thiên t
ừ
1 d
ế
n 2
1,127
r
=
p
1 − cos
φ
y
=
x
3
y
=
x
,
y
= 4
x
, (
x
≥ 0)
y
2
=
x
2
−
x
4
x
= 2
y
−
y
2
,
x
=
y
2
− 4
y
y
=
1
x
,
y
=
x
y
=
1
4
x
,
x
> 0
b y
=
b
y
=
x
2
y
= 4
16
1
3
{
x
=
a
(
cos
t
+ ln tan
t
2
)
y
=
a
sin
t
π
3
π
2
2
√
(3)
y
= ln
e
x
+ 1
e
x
− 1
x
Câu 45 [ID:3126].
Find the length of the curves .
6,693
Câu 46 [ID:3127].
Find the length of the curves .
7,6337
Câu 47 [ID:3128].
Find the length of the curves
.
10
Phần 4: Bài tập tự luyện: Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể
Câu 48 [ID:1048].
Tìm th
ể
tích v
ậ
t th
ể
gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i m
ặ
t paraboloit , m
ặ
t
ph
ẳ
ng to
ạ
đ
ộ
và m
ặ
t ph
ẳ
ng .
32a/3
Câu 49 [ID:2841].
Tính th
ể
tích c
ủ
a v
ậ
t th
ể
là ph
ầ
n chung c
ủ
a hai hình tr
ụ
và , .
Câu 50 [ID:2843].
Tính th
ể
tích kh
ố
i tròn xoay t
ạ
o nên khi quay hình gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đ
ư
ờ
ng và quanh tr
ụ
c m
ộ
t vòng
16 /15
Câu 51 [ID:2844].
Tính th
ể
tích kh
ố
i tròn xoay t
ạ
o nên khi quay hình gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đ
ư
ờ
ng và quanh tr
ụ
c m
ộ
t vòng
8 /3
Câu 52 [ID:3120].
Find the volume of the solid obtained by rotating the region
bounded by the given curves about the specified line. ;
about the -axis.
Câu 53 [ID:3121].
Find the volume of the solid obtained by rotating the region
bounded by the given curves about the specified line. ; about .
y
=
x
2
8
− ln
x
, 4 ≤
x
≤ 8
x
=
y
2/3
, 1 ≤
y
≤ 8
x
= 5 cos
t
− cos 5
t
,
y
= 5 sin
t
− sin 5
t
, 0 ≤
t
≤
π
/2
z
= 4 −
y
2
x
=
a
x
2
+
y
2
≤
a
2
y
2
+
z
2
≤
a
2
(
a
> 0)
16
a
3
3
y
= 2
x
−
x
2
y
= 0 0
x
π
y
= 2
x
−
x
2
y
= 0 0
y
π
y
= ln
x
,
y
= 1,
y
= 2,
x
= 0
y
π
2
. (
e
4
−
e
2
)
x
=
y
2
,
x
= 1
x
= 1
16 /15
Câu 54 [ID:3122].
Find the volume of the solid obtained by rotating the region
bounded by the given curves about the specified line. ; about .
29 /30
Câu 55 [ID:3124].
Find the volume of the solid generated by revolving the region
bounded on the left by the parabola and on the right by the line about
the -axis.
1088 /15
Câu 56 [ID:3125].
Find the volume of the solid generated by revolving the region
bounded on the left by the parabola and on the right by the line about
the line .
512 /15
Phần 5: Bài tập tự luyện: Ứng dụng tích phân tính diện tích mặt
tròn xoay
Câu 57 [ID:2848].
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t tròn xoay t
ạ
o nên khi quay các
đ
ư
ờ
ng sau
quay quanh truc
Câu 58 [ID:3129].
Find the area of the surface generated by revolving the curve
, about the -axis.
Câu 59 [ID:3130].
Find the area of the surface generated by revolving the curve
, about the -axis.
10 /3
π
y
=
x
2
,
x
=
y
2
y
= −1
π
x
=
y
2
+ 1
x
= 5
y
π
x
=
y
2
+ 1
x
= 5
x
= 5
π
y
=
1
3
(1 −
x
)
3
, 0 ≤
x
≤ 1 0
x
π
9
. (2
√
(2) − 1)
y
=
√
x
2
+ 2, 0 ≤
x
≤
√
2
x
π
. (2
√
(3) +
√
(2).
ln
(
√
(2) +
√
(3)))
y
=
1
4
x
2
−
1
2
ln
x
, 1 ≤
x
≤ 2
y
π

Tài liệu khác của Đại học Bách Khoa Hà Nội

Preview text:

⎪I. Tổng quan lý thuyết1. Tính diện tích hình phẳngDiện tích miền phẳng S giới hạn bởi:⎧y=f(x)y=g(x)- ⎨⇒S=∫ba|f(x)−g(x)|dxx=a⎩x=b⎧x=x(t)- ⎨y=y(t)⇒S=∫t2t|y(t).x′(t)|dt1⎩t1≤t≤t2⎧r=r(φ)- ⎨φ=α⇒S=12∫βαr2(φ)dφ⎩φ=β2. Tính độ dài đường congĐường cong AB được cho bởi:y=f(x)- {⇒L=ˆAB=∫b√a1+f′2(x)dxa≤x≤b⎧x=x(t)- ⎨y=y(t)⇒L=AB=∫t2√tx′21t+y′2tdt⎩t1≤t≤t2r=r(φ)- {⇒L=AB=∫β√αr2(φ)+r′2(φ)dφα≤φ≤β3. Tính thể tích vật thểCho V là vật thể được giới hạn bởi mặt cong và các đường x=a,x=b,S(x )là diệntích thiết diện khi cắt V bởi mặt phẳng vuông góc với O.x⇒V=∫baS(x)dxĐặt biệt với các khối tròn xoay, ta có thể tích vật thể khi:- Quay y=f(x),a≤x≤ bquanh Ox:V=π∫baf2(x)dx- Quay x=g(y),c≤y≤ dquanh Oy:V=π∫dcg2(y)dy- Quay r=r(φ),0≤α≤φ≤β≤ πquanh trục cực: V=2π3∫βαr3(φ)sinφdφ- Quay y=f(x),y=0,0≤a≤x≤ bquanh Oy:V=2π∫b (Công thứcax|f(x)|dx
∣=∫10(x−πS=12π2∫2y=x2,x=t−sint{y=1√1√x2)dx=16S=∫2π0|y(t)⋅0(1+0≤x,−costr=1+cosφL=∫1√′2√01+y(2x)2+1+4xthể tích vỏ)4. Tính diện tích mặt tròn xoayDiện tích mặt tròn xoay được hình thành khi:- Quay y=f(x),a≤x≤ bquanh Ox: S=2π∫ba|f(x)|√1+f′2(x)dx- Quay x=x(t),y=y(t),t1≤t≤t2 quanh Ox: S=2π∫t2t|y(t)|√x′21t+y′2tdt- Quay r=r(φ),α≤φ≤ βquanh trục cực:S=2π∫βα|r(φ)sinφ|√r2(φ)+r′2(φ)dφII. Các ví dụ minh họaVD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:a) y=x2,y=xx=t−sintb) Đường cong {, y=0,0≤t≤2πy=1−costc) Đường cong r=1+cosφLời giải x=0a) Phương trình hoành độ giao điểm x2=x⇔[x=1⇒S=∫10x2−xdxb) x′(t)|dt=∫2π0(1−cost)2dt=∫2π0(cos2t−2cost+1)dt=3 (hạ bậc tính tích phân)c) cosφ)2dφ=2⋅12∫π0(1+cosφ)2dφ=3π.VD2: Tính độ dài các đường cong sau:a) ≤1b) 0≤t≤2πc) Lời giảia) dx=∫104x2+1dx=12∫101d(2x)=122(2x2+12ln2x+√1+4x2)0
∣S=2π∫π√0|r(φ)+sinφ|π5(1+cosφ)52S=2π∫2π0|y(ty=x=t−sint{yr=S1Ox13x3,=1−1+co=2π√1=√52+ln√5+24b) L=∫2π√√0x′2t+y′2tdt=∫2π0(1−cost)2+sin2tdt=∫2π√02−2costdt=∫2π0|sint|dt=8c) L=∫2π√0r2(φ)+r2(φ)dφ=∫2π√0(1+cosφ)2+sin2φdφ=∫2π0√2+2cosφdφ=∫2π0cosφ2dφ=8VD3: Tính diện tích các mặt tròn xoay khi quay:a) 0≤x≤ 1quanh Oxb) ,0≤t≤2 πquanh Oxcostc) s φquanh trục cựcLời giải a) ∫103x3√1+x4dx=16∫10+x4d(x4)31=223⋅16(1+x4)=2√209b) )|√x′2t+y′2tdt=2π∫2π0|1−cost|√(1−cost)2+(sint)2dt=2π∫2π0(1−cost)√2−2costdt=2π∫2π0(1−cost)2sint2dt=2π∫2π0(1−2cos2t2+1)(−4)d(cost2)=−8π∫2π0(2−2cos2t2)d(cost2)=−8π(2cost2−23cos3t2)2π0=64π3c) r(φ)2+r′(φ)2dφ=2π∫π0(1+cosφ)sinφ√(1+cosφ)2+sin2φdφ=2π∫π0(1+cosφ)sinφ√2+2cosφdφ=−2√2π∫π0(1+cosφ)32d(cosφ)=−2√2x⋅2=32π.05III. Bài tậpPhần 1: Bài tập có video chữa chi tiết
x = a cos t D : {
, 0 ≤ t ≤ 2π, (a, b > 0)
y = b sin t abπ
y = ex − 1, y = 0, x = 0, x = 1 Oy π
y = ln x, 1 ≤ x ≤ 2
x = 2t − cos 2t. {y = sin2t. π
y = tan x, 0 ⩽ x ⩽ Ox 4
y = √4 − x2, −1 ≤ x ≤ 1 Ox 8π
r = sin φ (0 ⩽ φ ⩽ π)
⎪y=x2Câu 1 [ID:8417]. Tính diện tính hình phẳng giới hạn bởi D:{2y=1x2+1π2−13⎧y⩾x+1Câu 2 [ID:8418]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D:⎨y=cosx⎩y⩾012Câu 3 [ID:8419]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiCâu 4 [ID:8421]. Tính thể tích vật thể thu được khi quay đường quanh trục Câu 5 [ID:8422]. Tính độ dài cung .1,222Câu 6 [ID:8423]. Tính độ dài đường cong ,0≤t≤.π8Câu 7 [ID:8424]. Tính diện tích mặt tròn xoay thu được khi quay quanh trục một vòng3,8391Câu 8 [ID:8425]. Tính diện tích mặt tròn xoay thu được khi quay quanh 1 vòngCâu 9 [ID:8426]. Tính diện tích mặt tròn xoay thu được khi quay quanh trục cực 1 vòng π2 x
Câu 10 [ID:8429]. Tính độ dài cung y = ∫ √[t ln(t + 1)]2 − 1dt, 2 ⩽ x ⩽ 3 2
8ln2 − 32 ln3 − 34 x + y ≥ 2
Câu 11 [ID:1038]. Tính diện tích của miền D : {x2 + y2 ≤ 2x π4 − 12
Câu 12 [ID:1040]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đuờng parabol y = x2 + 4
và đuờng thẳng x − y + 4 = . 0 1 6
Câu 13 [ID:1041]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Parabol bậc ba y = x3 và
đuờng y = x, y = 2 . x 5 2
Câu 14 [ID:1043]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đuờng y2 = x2 − x4 4 3
Câu 15 [ID:1044]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đuờng hình tim
r2 = a2 cos 2φ a2
Câu 16 [ID:2503]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
x = a(2 cos t − cos 2t), y = a(2 sin t − sin 2t) 6πa2
Câu 17 [ID:2505]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong trong tọa độ cực sau r = asin 3φ πa2 4 Câu 18 [ID:1045]. ex + 1
Tính độ dài đuờng cong y = ln khi
x biến thiên từ 1 đến 2 . ex − 1 ln e2+1 e
Câu 19 [ID:2847]. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau π
y = sin x, 0 ≤ x ≤ quay quanh trục 0x 2
π + π. ln(1 + √(2))
Câu 20 [ID:1052]. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay đuờng sau x2 y2 + =
1 quanh truc Oy(a > b) a2 b2 4aπ. 1 . ( 1 với √(t)
2 . b. √(b2 + t) + t2 . ln(b + √(b2 + t) − t2 . ln√(t)) t = b4 a2−b2
Câu 21 [ID:1053]. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay đuờng sau
9y2 = x(3 − x)2, 0 ≤ x ≤ 3 quanh truc O . x 3π
Câu 22 [ID:1047]. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ
x2 + y2 = a2 và y2 + z2 = a2(a > 0 .) 16a3 3
Câu 23 [ID:1049]. Tính thế tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi
đuờng y = 2x − x2 và y = 0 quanh trục O x một vòng 16π 15
Câu 24 [ID:1050]. Tính thế tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi
đuờng y = 2x − x2 và y = 0 quanh trục O y một vòng. 8π 3
Câu 25 [ID:2842]. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt cong z = 4 − y2, các mặt
phẳng tọa độ x = 0, z =
0 và mặt phẳng x = a(a ≠ 0 .) 32a 3
Phần 2: Bài tập tự luyện: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng x − y ≥ 2
Câu 26 [ID:1039]. Tính diện tích của miền D : {x2 + y2 ≤ 2x π/4 − 1/2
Câu 27 [ID:1042]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đuòng tròn x2 + y2 = 2x
và parabol y2 = x 4/3 + π/2
Câu 28 [ID:2490]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 + 4, x − y + 4 = 0 1/6
Câu 29 [ID:2491]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3, y = x, y = 2x 3/2
Câu 30 [ID:2492]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi x2 + y2 = 2x, y2 = 2x 0
Câu 31 [ID:2494]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2, x + y = 2 9/2
Câu 32 [ID:2495]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi x + y = 0, y = 2x − x2 9/2
Câu 33 [ID:2496]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2x, y = 2, x = 0 2 - 1/ln2
Câu 34 [ID:2499]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = x, y = x + sin 2x(0 ≤ x ≤ π) 4
Câu 35 [ID:2500]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = (x + 1)2, x = sin πy, 0 ≤ y ≤ 1 1/3 + 2/π
Câu 36 [ID:2501]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = | lg x|; y = 0; x = 0, 1; x = 10 6,382
Câu 37 [ID:2506]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong trong tọa độ cực p
sau r = 1 − cosφ Không tồn tại
Câu 38 [ID:2838]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Đường cong y = x3 và các
đường y = x, y = 4x, (x ≥ 0) 15/2
Câu 39 [ID:2840]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Đường y2 = x2 − x4 4/3
Câu 40 [ID:3115]. Find the area of the region enclosed by the parabolas
x = 2y − y2, x = y2 − 4 . y 9 Câu 41 [ID:3117]. 1
Find the area of the region enclosed by y = , y = x and x 1
y = x, x > . 0 4 0,693
Câu 42 [ID:3118]. Find the number bsuch that the line y = bdivides the region
bounded by the curves y = x2 and y =
4 into two regions with equal area. b = 16 13
Phần 3: Bài tập tự luyện: Ứng dụng tích phân tính độ dài cung
x = a (cos t + ln tan t
Câu 43 [ID:1046]. Tính độ dài đuờng cong { 2 ) khi t biến
y = a sin t π π thiên tư đến . 3 2 |a|.ln 2 √(3) Câu 44 [ID:2845]. ex + 1
Tính độ dài đường cong y = ln khi
x biến thiên từ 1 dến 2 ex − 1 1,127 Câu 45 [ID:3126]. x2
Find the length of the curves y =
− ln x, 4 ≤ x ≤ . 8 8 6,693
Câu 46 [ID:3127]. Find the length of the curves x = y2/3, 1 ≤ y ≤ . 8 7,6337
Câu 47 [ID:3128]. Find the length of the curves
x = 5 cos t − cos 5t, y = 5 sin t − sin 5t, 0 ≤ t ≤ π/ . 2 10
Phần 4: Bài tập tự luyện: Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể
Câu 48 [ID:1048]. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 − y2, mặt
phẳng toạ độ và mặt phẳng x = . a 32a/3
Câu 49 [ID:2841]. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ
x2 + y2 ≤ a2 và y2 + z2 ≤ a2, (a > 0 .) 16a3 3
Câu 50 [ID:2843]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các
đường y = 2x − x2 và y = 0 quanh trục 0 x một vòng 16 / π 15
Câu 51 [ID:2844]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các
đường y = 2x − x2 và y = 0 quanh trục 0 y một vòng 8 / π 3
Câu 52 [ID:3120]. Find the volume of the solid obtained by rotating the region
bounded by the given curves about the specified line. y = ln x, y = 1, y = 2, x = ; 0 about the - y axis.
π2 . (e4 − e2)
Câu 53 [ID:3121]. Find the volume of the solid obtained by rotating the region
bounded by the given curves about the specified line. x = y2, x = ; 1 about x = . 1 16 / π 15
Câu 54 [ID:3122]. Find the volume of the solid obtained by rotating the region
bounded by the given curves about the specified line. y = x2, x = y2; about y = − . 1 29 / π 30
Câu 55 [ID:3124]. Find the volume of the solid generated by revolving the region
bounded on the left by the parabola x = y2 +
1 and on the right by the line x = 5 about the - y axis. 1088 / π 15
Câu 56 [ID:3125]. Find the volume of the solid generated by revolving the region
bounded on the left by the parabola x = y2 +
1 and on the right by the line x = 5 about the line x = . 5 512 / π 15
Phần 5: Bài tập tự luyện: Ứng dụng tích phân tính diện tích mặt tròn xoay
Câu 57 [ID:2848]. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau 1
y = (1 − x)3, 0 ≤ x ≤ 1 quay quanh truc 0x 3 π9 . (2√(2) − 1)
Câu 58 [ID:3129]. Find the area of the surface generated by revolving the curve
y = √x2 + 2, 0 ≤ x ≤ √ , 2 about the - x axis.
π. (2√(3) + √(2). ln(√(2) + √(3)))
Câu 59 [ID:3130]. Find the area of the surface generated by revolving the curve 1 1
y = x2 − ln x, 1 ≤ x ≤ , 2 about the - y axis. 4 2 10 / π 3

Tài liệu liên quan: