Ước chung lớn nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất Toán lớp 6
1. Ước chung lớn nhất là gì? 1.1. Ước là gì?
Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói b là ước của a
- Tập hợp ước của a là: Ư (a)
Ví dụ: Ư (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
1.2. Ước chung và ước chung lớn nhất
 Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
 Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
 Ta ký hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC (a; b)
Tập hợp các ước chung lớn nhất của a và b kí hiệu là: ƯCLN (a; b)
Ví dụ: ƯC (30; 48) = {1; 2; 3; 6} ƯCLN = (30; 48) = 6 * Lưu ý:
 Ước chung của hai số là ước chung lớn nhất của chúng.
 Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1
 Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau
2. Cách tìm ước chung lớn nhất
Bước 1. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Bước 2. Chọn ra các thừa số chung
Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn ra. Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
3. Bài tập về ước chung lớn nhất
3.1. Dạng 1. Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước Phương pháp giải:
- Cách 1: Để tìm ƯCLN của các số cho trước ta thực hiện quy tắc 3 bước phía trên. Chú ý:
 a chia hết cho b => ƯCLN (a; b)
 a chia b dư r thì ƯCLN (a; b) = ƯCLN (b; r)
- Cách 2: Sử dụng thuật toán Ơ-clit
Bước 1. Lấy số lớn chia số nhỏ. Giả sử a = bx + r
+ Nếu r # 0 ta thực hiện bước 2
+ Nếu r = 0 thì ƯCLN (a; b) = b
Bước 2: Lấy số chia, chia cho số dư
+ Nếu r1 # 0 ta thực hiện bước 3
+ Nếu r1 = 0 thì ƯCLN (a; b) = b
Bước 3. Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết
Bài 1. Tìm ước chung lớn nhất của các số a. ƯCLN (18; 30) b. ƯCLN (24; 48) c. ƯCLN (18; 30; 15) d. ƯCLN (24; 48; 36) Đáp án a. ƯCLN (18; 30)
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố 18 = 2 . 32 30 = 2 . 3 . 5
Từ đó ƯCLN (18; 30) = 2 . 3 = 6
b. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố 24 = 23 . 3 48 = 24 . 3
Từ đó ƯCLN (24; 48) = 23 . 3. = 24 c. 18 = 2 . 32 30 = 2 . 3 . 5 15 = 3 . 5 ƯCLN (18; 30; 15) = 3 d. 24 = 23 . 3 48 = 24 . 3 36 = 22 . 32
Từ đó ƯCLN (24; 48; 36) = 22 . 3 = 12
Bài 2. Sử dụng thuật toán Ơ-clit để tìm a. ƯCLN (174; 18) b. ƯCLN (124; 16) Đáp án
a. Ta thực hiện theo các bước:
Lấy 174 chia cho 18 ta được 174 = 9 . 18 + 12
Lấy 18 chia cho 12 ta được 18 = 1 . 12 + 6
Lấy 12 chia cho 6 ta được 12 = 2 . 6 + 0
Vậy ta được ƯCLN (174; 18) = 6
b. Ta thực hiện theo các bước:
Lấy 124 chia cho 16, ta được 124 = 7 .16 + 12
Lấy 16 chia cho 12, ta được 16 = 1 . 12 + 4
Lấy 12 chia cho 4 ta được 12 = 3 . 4 + 0 Vậy ƯCLN (124; 16) = 4
3.2. Dạng 2. Tìm ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số trước
Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này
Bước 3. Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho
* Lưu ý: Nếu không có điều kiện gì của bào toàn thì ước chung của hai hay nhiều số là ƯCLN của các số đó.
Cách tìm ước chung thông qua ƯCLN
Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước
Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này
Bài 1. Tìm các ước chung cua 24 và 180 thông qua tìm ƯCLN Đáp án
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố 24 = 23 . 3 180 = 22 . 32 . 5
Từ đó Ư CLN (24; 180) = 22 . 3 = 12
Mà Ư (12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Vậy ƯC (24; 180) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Bài 2. Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 90 chia hết cho x, 150 chia hết cho x và 5 < x < 30 Đáp án
Số tự nhiên x thỏa mãn 90 chia hết cho x, 150 chia hết cho x nên x € ƯCLN (90; 150)
Phân tích các số ra thừa sô nguyên tố 90 = 2 . 32 . 5 150 = 2 . 3 . 52
Từ đó ƯCLN (90; 150) = 2 . 3 . 5 = 30
Mà Ư (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Vì 5 < x < 30 nên x € {6; 10; 15}
Bài 3. Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN (a; b) = 3 và a . b = 891 Đáp án
Ta có ƯCLN (a,b) = 3 nên a = 3k, b = 3m và ƯCLN (k,m) = 1
Giả sử a> b => k > m. Ta có: a . b = 891 => 3k . 3m = 891 => k . m = 32 . 11
Trường hợp 1: k = 11, m = 9 => a = 33, b = 27
Trường hợp 2: k = 99, m = 1 => a = 297, b = 3
Bài 4. Tìm số tự nhiên x và y a. ( x + 1)( y - 5) = 6 b. (2x + 1 )(2y - 1) = 15 Đáp án
a. (x + 1)(y - 5) = 6 = 2 . 3 = 3 . 2 = 6 . 1 = 1 . 6 Ta có bảng sau: x + 1 2 3 6 1 y - 5 3 2 1 6 x 1 2 5 0 y 8 7 6 11
Vậy (x, y) = {(1; 8); (2; 7); (5; 6); (0; 11)}
b. (2x + 1)(2y - 1) = 15 = 1 . 15 = 3 . 5 = 5 . 3 = 15 . 1 Ta có bảng sau: 2x + 1 1 3 5 15 2y - 1 15 5 3 1 x 0 1 2 7 y 8 3 2 1
Vậy (x,y) = {(0; 8); (1;3); (2;2); (7;1)}
3.3. Dạng 3. Toán có lời văn Phương pháp giải:
Bước 1: Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hau hay nhiều số
Bước 2. Áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN đó
Bài 1. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 24 quyển vở, 48 bút bi và 36 gói bánh thành một số phần
thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học lỳ. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phân
thưởng? Khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyền vở, bút bi và gói bánh? Đáp án
Gọi a là số phần thương để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì (a € N*; a < 24)
Để số phần thưởng là nhiều nhất thì a phải là số lớn nhất sao cho 24 chia hết cho a, 48 chia hết cho a, 36 chia hết cho a
Tức là a = ƯC LN (24; 48; 36) Ta có: 24 = 23 . 3 48 = 24 . 3 36 = 22 . 32
ƯCLN (24; 48; 36) = 22 . 3 = 12 => a = 12
Vậy có thể chia được nhiều nhất thành 12 phần thưởng
Trong đó có 2 quyền vở, 4 bút bi và 3 gói bánh
Bài 2. Một hình chữ nhất có chiều dài 150m, chiều rộng 90m, được chia thành các hình vuông
có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh vuông lớn nhất trong cách chia trên? (số đo cạnh
là số tự nhiên với đơn vị là m) Đáp án
Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh hình vuông
phải là ước chung của 150 và 90
Do đó, độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN (90; 150) = 30
Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là 30m
Bài 3. Lớp 6A có 24 học sinh nam và 36 học sịnh nữ. Thầy giáo cần chia cả lớp thành các
hàng dọc để tập thể dục, sao cho số nam và số nữ ở mỗi hàng bằng nhau. Trong các cách sắp
xếp, cách nào thực hiện được? Điền vào chỗ trống những trường hợp chia được. Cách chia Số hàng dọc Số nam ở mỗi hàng Số nữ ở mỗi hàng Thứ nhất 4 ............... ............... Thứ hai 6 ............ ............. Thứ ba 8 .................. ......................... Thứ tư 12 ................ ................... Đáp án
Số hàng dọc chia được là ước chung của 24 và 36
Trong bốn số 4; 6; 8; 12 chỉ có 8 không là ước chung cua 12 nên cách thứ ba không thực hiện được. Cách thứ nhất:
- Số nam ở mỗi hàng là 24 : 4 = 6
- Số nữ ở mỗi hàng là: 36 : 4 = 9
Tương tự với cách thứ hai và thứ tư, ta có bảng: Cách chia Số hàng dọc Sô nam ở mỗi hàng Số nữ ở mỗi hàng Thứ nhất 4 6 9 Thứ hai 6 4 6 Thứ ba 8 ........ .......... Thứ tư 12 2 3
Bài 4. Một đội y tế gồm có 36 bác sĩ, 120 y tá. Có thể chia đội u tế đó thành nhiều nhất bao
nhiêu tổ để các bác sĩ và các y tá được chia đề vào mỗi tổ? Đáp án
Số đội nhiều nhất chia được la ước chung lớn nhất của 36 và 120 ta có: 36 = 22 . 32 120 = 23 . 3 . 5
=> Ư CLN (36; 120) = 22 . 3 = 12
Vậy đội y tế có thể chia được thành nhiều nhất 12 tổ
Bài 5. Đào và Mai mỗi người mua một số bút chì màu, trong mỗi hộp đều có nhiều hơn hai
bút và số bút ở mỗi hộp bằng nhau. Biết rằng Đào mua được 28 bút và Mai mua được 36
bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc? Đáp án
Gọi a là số bút chì màu trong mỗi hộp.
Ta phải có: 28 chia hết cho a và 36 chia hết cho a (a > 2)
Do đó, a € Ư CLN (28; 36) và a > 2
Ta tìm được Ư CLN (28; 36) = 4 => Ư CLN (28; 36) = {1; 2; 4} mà a > 2 nên a = 4. Vậy mỗi hộp có 4 bút.