Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{4}$ và mặt cầu (S): ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-1)}^2=2$. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M,N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + (z + √2)² = 3. Có tất cả bao nhiêu điểm A(a, b, c) (a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 16 và các điểm A(1; 0; 2), B(-1; 2; 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b + c.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3mx + 5$- m²)$y + 4mz + 20 = 0. Biết rằng khi m thay đổi trên đoạn [-1; 1] thì mặt phẳng (P) luôn tiếp xúc với một mặt cầu (S) cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; 1), B (2; -1; 3). Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA² – 2MB²:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C. Tính thể tích khối chóp O.ABC

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 4x - 6y + m = 0 và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + 2y - 2z - 4 = 0 và (β): 2x - 2y - z + 1 = 0. Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 8 khi:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; -4), B(-3; 5; 2). Tìm tọa độ điểm M sao cho MA² + 2MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x + y - 2z + 1 = 0, (Q): x - 2y + z + 1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục Oz, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 1; 1), B(0; 2; 2) đồng thời (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy theo thứ tự tại hai điểm M, N (M, N đều không trùng với gốc tọa độ) thỏa mãn OM = ON. Biết mặt phẳng (P) có hai phương trình là x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 và x + b₂y + c₂z + d₂ = 0. Tính đại lượng T = b₁ + b₂.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm S(0; 0; 1), P(1; 1; 1) và M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua P và tiếp xúc với mặt phẳng (SMN). Tính bán kính của mặt cầu đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 mặt phẳng (α): x + 4y + z - 11 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với (α), (P) song song với giá của  

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 16 và hai điểm A(1; 0; 2), B(-1; 2; 2). Mặt phẳng (P): ax + by + cz + 3 = 0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 4 và . Biết a, b, c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ điểm M(1; 1; -1) đến mặt phẳng (P).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; -2; 6), B(0; 1; 0) và mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 25. Mặt phẳng (P): ax + by + cz - 2 = 0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là hình tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tổng quát của mp(α) qua hai điểm A(2; -1; 4) B(3; 2; -1) và vuông góc với mp(β): x + y + 2z - 3 = 0 là: