Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{4}$ và mặt cầu (S): ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-1)}^2=2$. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M,N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + (z + √2)² = 3. Có tất cả bao nhiêu điểm A(a, b, c) (a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 16 và các điểm A(1; 0; 2), B(-1; 2; 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b + c.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3mx + 5$- m²)$y + 4mz + 20 = 0. Biết rằng khi m thay đổi trên đoạn [-1; 1] thì mặt phẳng (P) luôn tiếp xúc với một mặt cầu (S) cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 4x - 6y + m = 0 và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + 2y - 2z - 4 = 0 và (β): 2x - 2y - z + 1 = 0. Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 8 khi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C. Tính thể tích khối chóp O.ABC

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 16 và hai điểm A(1; 0; 2), B(-1; 2; 2). Mặt phẳng (P): ax + by + cz + 3 = 0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 mặt phẳng (α): x + 4y + z - 11 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với (α), (P) song song với giá của  

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; -4), B(-3; 5; 2). Tìm tọa độ điểm M sao cho MA² + 2MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 1 = 0, (Q): 2x - y + 2z + 1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục tung, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x + y - 2z + 1 = 0, (Q): x - 2y + z + 1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục Oz, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 1; 1), B(0; 2; 2) đồng thời (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy theo thứ tự tại hai điểm M, N (M, N đều không trùng với gốc tọa độ) thỏa mãn OM = ON. Biết mặt phẳng (P) có hai phương trình là x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 và x + b₂y + c₂z + d₂ = 0. Tính đại lượng T = b₁ + b₂.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 9, điểm A(0; 0; 2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có diện tích nhỏ nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 4 và . Biết a, b, c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ điểm M(1; 1; -1) đến mặt phẳng (P).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tổng quát của mp(α) qua hai điểm A(2; -1; 4) B(3; 2; -1) và vuông góc với mp(β): x + y + 2z - 3 = 0 là:

Xét tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = (3 + cot²α).(3 + cot²β).(3 + cot²γ) là: