10 Đề Thi HSG Toán 7 Cấp Trường Năm 2025-2026 Có Đáp Án
Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Đề thi Toán 7 268 tài liệu
Môn: Toán 7 2.4 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VĨNH YÊN NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giaođề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1. (4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 6 3 9 3 2 4 5 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 b) Tính 100 99 98 2 S 2
2 2 .... 2 2 c) Chứng tỏ: 1 2 3 2019 ... 0,75 2 3 2019 3 3 3 3
Câu 2. (4 điểm)
a b c
b c a
c a b
a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn : và a+b+c 0 c a b b a c
Hãy tính giá trị của biểu thức: B 1 1 1 . a c b
b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp
tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính
tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. x y z
c) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5. Tính 2017 2018 2019
P 2017x 2018y 2019z
Câu 3. (4 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 2x 2013 với x là số nguyên.
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz .
Câu 4. (6 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P,Q là
trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q.
a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. 1
c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE AD . 2
Câu 5. (2 điểm) Cho biết xyz=1 x y z Tính giá trị A = xy x 1 yz y 1 xz z 1
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:....................... Trang 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VĨNH YÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC
( Đáp án gồm có 03 trang) Câu Phần Nội dung Điểm a 12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2đ A 2 .36 8 .3 125.73 9 3 2 4 5 5 .14 Câu 1 (4 điểm) 10 12 5 12 4 10 3 4 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 0,5 12 4 2 .3 .3 10 3 1 5 .7 .1 7 12 5 2 .3 .3 9 3 1 5 .7 . 3 1 2 0,5 12 4 10 3 2 .3 .2 5 .7 . 6 1 1 0 7 12 5 9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2 1 b
S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+...+ (-3)2015. 0.5 2đ
-3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + ....+(-3)2015] 0.5
= (-3)1+ (-3)2+ ....+(-3)2016]
-3S – S = [(-3)1 + (-3)2+...+(-3)2016]-(3)0-(-3)1-...-(-3)2015. 0.5 -4S = (-3)2016 -1. 2016 ( 3 ) 1 2016 2016 3 1 1 3 0.5 S = 4 = 4 4 +Vì a+b+c 0 a
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 1,5 đ
a b c
b c a
c a b
= a b c b c a c a b = 1 0.5 c a b a b c Câu 2
a b c
b c a
c a b mà 1 1 1 = 2 ( 4 điểm ) c a b 0.5 => a b b c c a =2 c a b 0.5 Vậy B = b a c b a c a b c 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b b
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) 1,5 đ
Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c a b c
a b c x 5x 6x x 7x Ta có: a ;b ;c (1) 5 6 7 18 18 18 18 3 18 0.5
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: , , , , , , a b c
a b c x 4x 5x x 6x , , , a ;b ;c (2) 4 5 6 15 15 15 15 3 15
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu 0.5 Vây: c’ – 6x 7x x c = 4 hay 4 4 x 360 15 18 90 Trang 2
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói. 0.5 c 5z 6 y 6x 4z 4 y 5x Từ 1 đ 4 5 6 20z 24 y 30x 20z 24 y 30x => 0.5 16 25 36 =>10z = 12y = 15x x y z 3x 2 y 5z => => và 3x – 2y + 5z = 96 4 5 6 12 10 30
Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18 0.5 0.5
1) Ta có: A 2x 2 2x 2013 2x 2 2013 2x a 2đ
2x 2 2013 2x 2011 0.5 Câu 3 (4 điểm) Dấu “=” xảy ra khi 2013
(2x 2)(2013 2x) 0 1 x 0.5 2 KL:…….. 0.5 b
2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1 2đ x y z 0.25 1 1 1 1 1 1 3 0.5 Theo bài ra 1 = + + + + = yz yx zx 2 x 2 x 2 x 2 x => x 2 3 => x = 1
Thay vào đầu bài ta có 1 y z yz => y – yz + 1 + z = 0
=> y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0 => (y-1) (z - 1) = 2
TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3 0.5 0.25
TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2 0.25
Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) 0.25 A P C B 0,5 Câu 4 E (6 điểm ) D I Trang 3 a Ta có IB = IC, IA = ID 1 2đ Lại có AB = CD (gt) 0,5
Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,5 b CM: DAI = D 0,5
1,5đ ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra BAI = D 0,5 Do đó DAI = BAI. 0,5
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC c
Kẻ IE AB, ta có ∆AIE = ∆AIP 0,5 => AE = AP 0,5 2đ
Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) 0,5 1 Suy ra AE AD 0,5 2 Câu 5 𝑥 xz xyz z ( 2 điểm ) + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦+𝑥+1 𝑦𝑧+𝑦+1 𝑥𝑧+𝑧+1 2
xyz xz z
xyz xyz xz xz z 1 1 xz xyz z xyz xz 1 = 1 1 1 xz z z 1 xz xz z 1 xyz xz 1
Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG VÒNG 1 LIÊN TRƯỜNG THCS NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,5 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức: 2 3 4 5 4 3 5 1 1 1 a) : : ; b) . 6 .
3 1 : ( 1 7 11 11 7 11 11 3 3 3 2 2 1 1 0, 4 0,25 2022 c) 9 11 3 5 : 7 7 1 2023 1,4 1 0,875 0, 7 9 11 6
Câu 2. (4,0 điểm) x x a) Tìm x biết: 2 2 .3 3 99 ; 1+3y 1+5y 1+7y b) Tìm x, y biết: ; 12 5x 4x
c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2 2
7(x 2023) 23 y
Câu 3. (4,5 điểm)
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6. Trang 4 x 1
b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó: P 2x 2 .
c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 85 em, Nếu
chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ
thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Câu 4.(7,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC
lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: a) BM = CN. b) BC < MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và BC luôn luôn đi qua một
điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
2. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB
lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADB
--------------HẾT--------------
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...............................................................SBD:............. Trang 5
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC 2022-2023
( Hướng dẫn chấm này có 04 trang ) Câu Ý Nội dung Điểm 1 a
1. Tính giá trị biểu thức: 1,5 4,5 1,5 3 4 5 4 3 5 đ a) : : ; 7 11 11 7 11 11 3 4 5 4 3 5 3 4 4 3 5 0,5 : : ( ) : 7 11 11 7 11 11 7 11 7 11 11 3 4 4 3 5 1 5 0,5 ( ) : ( 1 ) : 7 7 11 11 11 11 11 1 0 11 0,5 . 2 11 5 b 2 1,5 1 1 1 1,5 b) . 6 .
3 1 : ( 1 3 3 3 2 1 1 1 1 4 0.5 6. 3. 1
: ( 1) 6. 11 : ( ) 3 3 3 9 3 1 4 2 3 0.5
6. 11 : ( ) ( 2).( ) 9 3 3 4 8 3 0.5 .( ) 2 3 4 c 2 2 1 1 1,5 0, 4 0,25 1,5 2022 c) 9 11 3 5 : 7 7 1 2023 1,4 1 0,875 0, 7 9 11 6 2 2 2 1 1 1 0,5 2022 5 9 11 3 4 5 : 7 7 7 7 7 7 2023 5 9 11 6 8 10 1 1 1 1 1 1 0,5 2 5 9 11 3 4 5 2022 :
1 1 1 7 1 1 1 2023 7
5 9 11 2 3 4 5 2 2 2022 0.5 : 0 7 7 2023 2 a x x 1,0 2. a) Tìm x biết: 2 2 .3 3 99 ; 4,0 1,0 x x2 x x2 0.25 2
.3 3 99 2.3 3 99 Trang 6 đ x 2 3 (2 3 ) 99 0.25
3 .x11 99 3x 9 x 2 0.5 b 1+3y 1+5y 1+7y 1,5 b) Tìm x, y biết: ; 1,5 12 5x 4x
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 0,5 2 y 2 y => x 5x 12
TH1: y = 0, thay vào=> không thỏa mãn 0,5
TH2: y 0 x 5x -12 x=2
Thay x = 2 vào trên ta được: 1 3y 2y y 12 2 1 =>1+ 3y = -12y=> y = 15
Vậy x = 2, y = 1 thoả mãn đề bài. 0,5 15 c
c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2 2
7(x 2023) 23 y 1,5
1,5 Vì x, y là các số tự nhiên nên 2
(x 2023) , y 2 là các số chính phương 0,5 nên không âm nên 2 23 y 23 2
0 7(x 2023) 23 2 0.5 Do đó (x 2023) 0 x 2023 2 (x 2023) 1 x 2024
+ Với x = 2023 thì không có giá trị của y tự nhiên thỏa mãn. 0.25 + Với x =2024 thì 2
y 16 y 4 . Vậy (x;y) =(2024;4) 0.25 3 a
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. 1,5 4,5
1,5 Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6. đ
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p + 1 chẵn 0,5 => (p + 1) 2 (1)
Cũng do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 0,25 (k N)
Nếu p = 3k + 1 thì p +2 = 3k +3 = 3(k + 1) 3 0,25
=> p + 2 không là số nguyên tố nên p = 3k + 1 không xảy ra.
Do đó p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 3 = 3(k +1) 3 (2) 0,25
Vì (2;3) = 1 nên từ (1) và (2) ta có (p + 1) 6 0,25 Trang 7 b
b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn 1.5 1,5 nhất đó x 1 : P . 2x 2 x 1 (x 1) 2 1 2 P 0.5 2x 2 2(x 1) 2 x 1 Để 2 P a m x a
m x x-1 >0 và nhỏ nhất (x nguyên) x 2 0.5 x-1 1 2 3 a Pm x x 2 0.5 2 2 1 2 b
c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là
85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học 1,5
sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có 1,5 bao nhiêu học sinh?
Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh) ( * ,
x y, z N , x 10 0,25
Theo bài ra ta có x y 85 (1) 0.25
Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba
lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có: 0,25 x 10 y z 10 (2) 7 8 9
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,25 x 10 y z 10 (x 10) y 85 10 5 7 8 9 7 8 15
Suy ra x 45, y 40, z 35 (Thỏa mãn điều kiện) 0.25
Vậy số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45, 40, 35 học sinh. 0,25 4
1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia 6,0 7,0
đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông đ
góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: a) BM = CN. b) BC < MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và
BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC Trang 8 a Xét ∆MDB và ∆NEC có: 0 2,0 MDB NEC( 90 ) 0.5 BD = CE (gt) 0.25
MBD NCE( AC ) B 0.75
=>∆MDB = ∆NEC (g.c.g)=> BM = CN (hai cạnh tương ứng) 0.5 b
Ta có BC=BD+DC; DE=DC+CE, mà BD=CE(gt) 1.0 => BC=DE
2.0 Gọi I là giao điểm của MN và BC ta có DE=DI+IE1.0
giữa đường vuông góc và đường xiên)=>BCc
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
=> AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác cân ABC. 2.0 0,25
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I. ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) 0,25
OBA OCA (cặp góc tương ứng) (*)
OC = OB (cặp cạnh tương ứng) (1) 0,25 ∆MDI = ∆NEI (g.c.g) 0,25
IM = IN (cặp cạnh tương ứng) (2) ∆OIM = ∆OIN (c.g.c) 0,25
OM = ON (cặp cạnh tương ứng) (3)
Từ (1), (2) và (3)=> ∆OBM = ∆OCN (c.c.c) 0,25
OBM OCN (cặp góc tương ứng) (**)
Từ (*) và (**) suy ra OCA OCN =900, do đó OC AC. 0,25
=> điểm O cố định. Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm
của MN và BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên 0,25 cạnh BC
2. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia
đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADB 1.0 Trang 9 2. A 1,0 đ H B C D
KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× 0 0
ACD 60 CDH 30 CD
Từ đó chứng minh được CH = CH = BC 2 0,5 Tam gi¸c BCH c©n t¹i C 0 0
CBH 30 ABH 15 Mµ 0
ABH 15 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H
Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H VËy 0 0 0
ADB 45 30 75 ADB = 450+300=750 0,5 Lưu ý:
- Nếu học sinh không vẽ hình bài 4 hoặc vẽ sai thì không chấm bài 4.
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần.
PHÒNG GD ĐT THÀNH PHỐ
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS TRẦN LÃM NĂM HỌC: 2021- 2022 MÔN : TOÁN 7
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể giao đề)
Bài 1(4,0 điểm) x - 3 Cho biểu thức: A = 7 8 với x¹ 2x - 3 2
1. Tính giá trị của biểu thức A biết 1 x + - 2 = -1 3
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 2 ( 4,0 điểm)
1. Tìm x ; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 6x - 4z 5z - 6y 4y - 5x = = và 3x – 2y + 5z = 96 5 4 6
2. Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2
học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2.
Tìm số học sinh của mỗi tổ.
Bài 3(4,0 điểm)
Cho hàm số y = m|x| + 2x ( Với m là hằng số cho trước).
1. Xác định m biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1 - ;1). 2
2. Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được. Trang 10
Bài 4(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC. Kẻ NH
vuông góc CM tại H, HE vuông góc AB tại E, AK vuông góc CM tại K, AQ vuông góc HN tại Q. · 1. Tính B K H ?
2. Chứng minh tam giác ABH cân.
3. Chứng minh HM là phân giác của · B HE .
Bài 5(2,0 điểm)
Từ một điểm I tùy ý trong tam giác ABC kẻ IM, IN, IP lần lượt vuông góc với BC, CA,
AB. Chứng minh rằng : AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ---------Hết---------
Họ và tên thí sinh.................................................. Số báo danh.......................
PHÒNG GD ĐT THÀNH PHỐ
BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN: TOÁN 7
TRƯỜNG THCS TRẦN LÃM HỌ C S I NH GI ỎI T HÀNH P HỐ
NĂM HỌC : 2021- 2022
Bài 1(4,0 điểm) x - 3 Cho biểu thức: A = 7 8 với x¹ 2x - 3 2
1. Tính giá trị của biểu thức A biết 1 x + - 2 = -1 3
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Câu Đáp án Điểm 1 1 x + - 2 = -1 => x + = 1 0,25 3 3 2 0,25 => x = hoặc x = 4 - 3 3 3 1
Với x = 2 thỏa mãn điều kiện x¹
thay vào biểu thức A tính 0,75 3 2 được A = 2 Với x = 4 3 - thỏa mãn điều kiện x¹
thay vào biểu thức A tính 3 2 0,75 được A = 52 17 Trang 11 7 21 5 (2x - 3) - 8 + 7x - 8 7 A= = 2 2 = + 2 0,5 2x - 3 2x - 3 2 2x - 3 5 A lớn nhất khi 2 lớn nhất 0,25 2x - 3 5 2 2
lớn nhất khi (2x – 3) là số nguyên dương nhỏ nhất 0,5 2x - 3 Vậy 2x – 0,25 3 = 1 => x= 2 5
Thay x=2 vào biểu thức A = 7 2 0,25 + = 6 2 2x - 3
KL : Với giá trị nguyên x= 2 giá trị lớn nhất của biểu thức A 0,25 bằng 6
Bài 2 ( 4,0 điểm)
1. Tìm x ; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 6x - 4z 5z - 6y 4y - 5x = = và 3x – 2y + 5z = 96 5 4 6
2. Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2
học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2.
Tìm số học sinh của mỗi tổ. Câu Đáp án Điểm 6x - 4z 5z - 6y 4y - 5x 5(6x - 4z) 4(5z - 6y) 6(4y - 5x) = = = = = 0,5 5 4 6 25 16 36 30x - 20z 20z - 24y 24y - 30x = = = 0,5 25 16 36
30x - 20z + 20z - 24y + 24y - 30x = = 0 0,25 1 25 + 16 + 36
=> 6x = 4z, 5z = 6y,4y = 5x 0,25 x y z 3x 2y 5z
3x - 2y + 5z 96 => = = = = = = = = 3 0,25 4 5 6 12 10 30 12 - 10 + 30 32 0,25 => x= 12; y= 15; z=18
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai ,tổ ba của lớp 7A lần lượt là x,y,z 0,5 (x,y,z Î N*; x,y,z < 52)
*Lớp 7A có 52 học sinh => x+y+z = 52 0,25
*Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh , tổ ba 0,25 2
thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một ,hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2.
Nên ta có 3.( x-1) = 4.(y-2) = 2.(z+3) 0,25 3(x - 1) 4(y - 2) 2(z + 3) x - 1 y - 2 z + 3 = = = = = 0,5 12 12 12 4 3 6 Trang 12 x + y + z 52 = = = 4 13 13
=> x = 17,y= 14, z= 21 (Thỏa mãn điều kiện) 0,25 KL ....
Bài 3(4,0 điểm)
Cho hàm số y = m|x| + 2x ( Với m là hằng số cho trước).
1. Xác định m biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1 - ;1). 2
2. Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được. Câu Đáp án Điểm
Xác định m biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1 - ; 1). 0,75 2
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1 1 - ; 1), thay x =- , y = 1 vào 0,25 1 2 2 công thức ta có: 1= m.| 1 1 - |+2.( - ) =>....=> m= 4 2 2 KL.... 0,25
Với m = 4 hàm số có dạng y = 4.|x| + 2x
=> y = 4x+2x = 6x với x³ 0 ; y = -4x+2x = - 2x với x£ 0 0,5
* Vẽ đồ thị hàm số y= 6x với x³ 0 0,5
- Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0;0)
- Cho x =1 => y = 6 => điểm B(1; 6) Î đồ thị hàm số
* Vẽ đồ thị hàm số y= - 2x với x£ 0 0,5
- Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0;0)
- Cho x = -1 => y = 2 => C( - 1; 2) Î đồ thị hàm số 2 1 Trang 13 y y = 6x ( x 0 ) 6 0,25 y = - 2x B ( x 0 ) C 2 O -1 1 x
KL: Vậy đths là tập hợp các điểm Î tia OB, OC như hình vẽ.
Bài 4(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC. Kẻ NH
vuông góc CM tại H, HE vuông góc AB tại E, AK vuông góc CM tại K, AQ vuông góc HN tại Q. · 1. Tính B K H ?
2. Chứng minh tam giác ABH cân.
3. Chứng minh HM là phân giác của · B HE . Câu Đáp án Điểm VÏ h×nh, ghi GT- KL ®óng A E Q I M N K H B C 1 0, 5
C/m D AKM = D AQN D (ch+ gn) => AQ = AK
D AQH = D HKA (gcg) => AQ = KH 0, 5 => AQ = KH · 0, 5
=> D AKH vuông cân tại K => ·
A HK = 450 =A K H · · C/m
D AHC = D BKA( gcg) => A HC = A K B = 900 + 450 = 1350 · · · 0,25
B K H = A KB => B K H = 3600 - 900 -1350 = 1350 0,25 2
C/m D BKA = D BKH (cgc) => BA = BH => D BAH cân tại B 2
Tam giác vuông AEI và tam giác vuông HKI có: · ·
A IE = KIH ( đđỉnh) 0,5 · · => 0,5 EA I = KHI 3 · ·
Mà BA K = BHK ( hai góc tương ứng) 0,5 · ·
=> BHK = KHI , tia HM nằm giữa hai tia HA và HB nên HM là tia phân giác của · A HB 0,5 Trang 14
Bài 5(2,0 điểm)
Từ một điểm I tùy ý trong tam giác ABC kẻ IM, IN, IP lần lượt vuông góc với BC, CA,
AB. Chứng minh rằng : AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 Bài 5 2,0điểm A N P I B C M
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông NIA và NIC ta có : 0,5
AN2 = AI2 - IN2; CN2 = IC2 - IN2 0,5
=> CN2 – AN2 = IC2 –AI2 (1) Tương tự ta có : AP2 0,25 – BP2 = AI2 – IB2 (2) MB2 –CM2= IB2 - IC2 (3) 0,25
Từ (1) (2) (3) => AN2 + BP2 +CM2 = AP2+ BM2+CN2 0,5
Lưu ý : Nếu học sinh có cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Phßng gi¸o dôc vµ ®µo
kú thi häc sinh giái cÊp tr-êng t¹o n¨m häc 2022 - 2023
M«n: to¸n – khèi 7 NGƯỜI RA ĐỀ
Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao TRỊNH ĐỊNH HÂN ®Ò) ®Ò BµI Câu 1: (4 điểm)
1.Tính bằng cách hợp lí: 1 1 1 1 1 1 A ..... 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 a c 2a 3b 2c 3d
2. Cho tỉ lệ thức: .Chứng minh rằng: b d 2a 3b 2c 3d
(giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa) Câu 2: (4 điểm) Trang 15 x 1 x 2 x 3 x 4 1. Tìm x biết 2022 2021 2020 2019
2. Cho đa thức Ax 2023 2022 2021 2020 x 2023x 2023x 2023x ... 2023x 1.
Tính giá trị của đa thức A x tại x 2022 . Câu 3: (4 điểm)
1. Tìm hai số nguyên tố a và b biết: 2a3 – b2 = 2.( 4a - b)
2. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a 9 và b 2011 chia hết cho 6. Chứng minh
rằng 4a a b chia hết cho 6. Câu 4: (1 điểm) Cho , a ,
b clà độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Câu 5: (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn
1.Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm BC,
trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI B .
C Chứng minh hai tam giác ABI và BEC
bằng nhau và BI CE
2.Phân giác của các góc ABC, BDC cắt AC, BC lần lượt tại D, M.Phân giác của góc BDA cắt 1
BC tại N. Chứng minh BD MN 2
Câu 6: (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để:
A = 2n + 3n + 4n là một số chính phương.
H-íng dÉn chÊm m«n to¸n khèi 7 Biểu Câu Đáp án điểm Trang 16
1.Tính bằng cách hợp lí: 1 1 1 1 1 1 1.1) A ..... 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 1 1 1 1 A ..... 0,5 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 1 1 1 1 A ..... 0,5 100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 1 A 1 ..... 100 2 2 3 97 98 98 99 99 100 (4 điểm) 0,5 1 1 49 A 1 100 100 50 a c a b 2a 3b
2. Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa, từ 0,5 b d c d 2c 3d
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2a 3b 2a 2c 2a 3b 2a 3b 2c 3d 1 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2a 3b 2c 3d a c 2a 3b 2c 3d 0,5 Vậy: nếu . thì b d 2a 3b 2c 3d 𝒙−𝟏 𝒙−𝟐 𝒙−𝟑 𝒙−𝟒 1. + = + 𝟐𝟎𝟐𝟐 𝟐𝟎𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟐𝟎 𝟐𝟎𝟏𝟗 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 - 1+ - 1 = - 1 + - 1 0,5 2022 2021 2020 2019 𝑥−2023 𝑥−2023 𝑥−2023 𝑥−2023 0,5 + = + 2022 2021 2020 2019 0,25 1 1 1 1 (x – 2023)( + - - ) = 0 2022 2021 2020 2019 1 1 1 1 0,5 Do + - - khác 0 2022 2021 2020 2019 nên x- 2023=0 =>x=2023 0,25 Vậy x = 2023 2
2. Cho đa thức Ax 2023 2022 2021 2020 x 2023x 2023x 2023x
... 2023x 1. (4
điểm) Tính giá trị của đa thức A x tại x 2022 . A x 2023 x 2022 x 2021 x 2020 2022 1 2022 1 2022 1 x ...2022 1 x 1 0,5
Thay x 2022 vào biểu thức trên có: 0,5 Ax 2023 x x 2022 x x 2021 x x 2020 1 1 1 x ... x 1 x 1 A x 2023 2023 2022 2022 2021 2021 2020 2 x x x x x x x
... x x 1 0,5 Thì
A x x 1
Tại x 2022 thì A2022 20221 2021 0,25 Vậy: A = 2021 0,25 Trang 17
1. Tìm số nguyên tố a và b biết:
2a3 – b2 = 2.( 4a - b)
Ta có VP = 2.( 4a - b) là số chẵn 0,25
Nên VT = 2a3 – b2 là số chẵn 0,25
Mà 2a2 là số chẵn nên b2 phải là số chẵn 0,5
Mà b là số nguyên tố nên b =2 Từ đó ta có: 2a3 0,5 – 8a = 0 Suy ra a = 0; a = -2, a = 2 0,25
Mà a là số nguyên tố nên a = 2 0,25 Vậy a=b=2 3 (4 điểm)
2. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a 9 và b 2011 chia hết cho 6. Chứng minh rằng
4a a b chia hết cho 6. 0,25
Ta có: a là số nguyên dương nên 4a chia cho 3 dư 1 4a
2 chia hết cho 3 0,25
Mà 4a 2 chia hết cho 2
Suy ra: 4a 2 chia hết cho 6 vì 2,3 1 0,25 0,5
Vì 4a 2 ; a 9 ; b 2011; 2022 chia hết cho 6 0,5
4a 4a a b
2 a 11 b 2009 2022 6
Vậy với a, b là số nguyên dương sao cho a 9 và b 2011 chia hết cho 6 thì 0,25
4a a b chia hết cho 6. 2. Cho , a ,
b clà độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Theo BĐT tam giác ta có: a + b > c Suy ra ac + bc > c2 0,25
Tương tự: b + c > a Suy ra ab + ac > a2
c + a > b Suy ra bc + ab > b2 0,5 4
Nên: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 0,25 (1 điểm) Trang 18 I A D E C F N M B H 1)
1 Xét hai tam giác AIB và BCE có: AI BC ; BE BA 0,5
Góc IAB là góc ngoài của ABH nên: 0
IAB ABH AHB ABH 90 0 0,5
Ta có: EBC EBA ABC ABC 90 IAB EBC 5 Do đó: A BI B EC( . c g.c) 0,5 (5 điểm) Do A BI B
EC AIB BCE 0,5
Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có: 0
AIB IBH 90 Do đó: 0,5 0
BCE IBH 90
Vậy CE vuông góc với BI 2)
2. Do tính chất của đường phân giác, ta có: DM DN 0,5
Gọi F là trung điểm của MN.Ta có: FM FD FN
Tam giác FDM cân tại F nên FMD MDF
FMD MBD BDM (góc ngoài của tam giác) 0,5
MBD CDM MBD CDF (1)
Ta có: MCD CDF CFD (2) 0,5
Do tam giác ABC cân tại A nên MCD 2MBD (3)
Từ (1), (2), (3) MBD DFC hay tam giác DBF cân tại D. 0,5 Do đó: 1 BD DF MN 0,5 2 Trang 19
Tìm tất cả các số nguyên dương n để:
A = 2n + 3n + 4n là một số chính phương.
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: Nếu n = 1 thì B = 9 thỏa mãn 0,5
TH2: xét n > 1 thì 2n > 2 nên 2n + 4n chia hết cho 4.
Mà 3n thì chia cho 4 có số dư là 1 hay (-1) tương ứng với n chẵn hoặc lẻ. 0,5 6
Mà một số chính phương chia cho 4 thì dư 0 hoặc 1 (2
Do (3,4) = 1 nên để A là số chính phương thì 3n phải chia 4 dư 1 điểm)
Nên n là số chẵn.
Với n là số chẵn thì n= 2k ( k là số nguyên dương) 0,5
Khi đó: 2n = 22k =4k sẽ chia cho 3 dư 1 Lại có 3n chia hết cho 3
Nên: A = 2n + 3n + 4n chia cho 4 dư 2 ( Vô lí) 0,5
Vì A là số chính phương thì chia cho 3 phải dư 0 hoặc 1
Vậy n = 1 Thì A là số chính phương 0,5 PHÒNG GD&ĐT SƠN TỊNH
ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS TỊNH BẮC MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2022-2023
(Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề) 4 2 10 .8116.15
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 4 4 .675 x y z
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và 2 2 x 2 2 y 3 2 z 100 . 3 4 5
Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 0 .
Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.
Câu 4. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy +2 y = 0.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M x 5 x 6 x 2020 27 2x
Câu 5. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
(với x là số nguyên). 12 x
Câu 6. (6,0 điểm)
Cho xOy nhọn. Trên tia Ox lấy A, trên tia Oy lấy B sao cho OA OB . Vẽ ra phía ngoài
xOy hai đoạn thẳng AM và BN sao cho AM BN , AM Ox và BN Oy . a) Chứng minh: OM = ON
b) Chứng minh AMB BNA Trang 20