19 Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 7 Có Lời Giải Rất Hay
Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó. Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương; Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm; Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Đề thi Toán 7 268 tài liệu
Môn: Toán 7 2.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
TOÁN 7 CÓ LỜI GIẢI Chương I
SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
Chuyên đề 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Số hữu tỉ • a
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với , a b Î , Z b ¹ 0. b
• Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số.
• Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số.
• Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
3. So sánh hai số hữu tỉ
• Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;
• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;
• Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm. • a
Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu, bằng 0 nếu b a = 0. B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có thể): 9 - 21 - 9 Î ; 2020Î ; Î ; Î 205 10 Giải
✓ Tìm cách giải. Khi điền vào ô trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp: • N = {0;1;2;3;.. } . .
• Z = {...;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;.. } . ìï ü • a
Q ïí x / x ; , a b , Z b 0ï = = Î ¹ ý ïî b ï ï ïþ ✓ Trình bày lời giải. • - 9Î ; Z - 9Î Q • 2020Î N;2020Î ; Z 2020Î Q • 9 Î Q 205 Trang 1 • 21 - Î Q 10
✓ Nhận xét. Chúng ta lưu ý rằng N Ì Z Ì Q, nếu không ý thứ nhất và ý thứ hai của ví dụ dễ bị sót. a- 10
Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ x =
. Với giá trị nào của a thì: 2020 a) x là số dương; b) x là số âm;
c) x không là số dương cũng không là số âm. Giải a
✓ Tìm cách giải. Khi xác định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là b
số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu. Chú ý rằng 2020> 0, ta có lời giải sau: ✓ Trình bày lời giải. a- 10 a) x =
> 0 Û a- 10 và 2020 cùng dấu. 2020
Mà 2020> 0 nên a- 10> 0 suy ra a > 10. Vậy với a> 10 thì x là số hữu tỉ dương. a- 10 b) x =
> 0 Û a- 10 và 2020 khác dấu. 2020
Mà 2020> 0 nên a- 10< 0 suy ra a < 10. Vậy với a < 10 thì x là số hữu tỉ âm. a- 10
c) x không là số dương cũng không là số âm tức là x = 0 hay = 0 suy ra a = 10 . 2020
Vậy với a = 10 thì x không là số dương cũng không là số âm.
Ví dụ 3. So sánh các số hữu tỉ sau: - 25 444 1 110 a) x = hay y = ;
b) x = - 2 và y = ; 35 - 777 5 - 50 17 c) x = và y = 0,75. 20 Giải
✓ Tìm cách giải. Trước khi so sánh hai số hữu tỉ, chúng ta thường thực hiện:
• Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản;
• Quy đồng mẫu số, chú ý để mẫu số dương;
• Sau đó so sánh hai phân số.
✓ Trình bày lời giải. Rút gọn ta có: - 25 - 5 444 - 4 a) x = = ;y = = nên x < y 35 7 - 777 7 1 - 11 110 - 11 b) x = - 2 = ;y = = nên x = y 5 5 - 50 5 Trang 2 17 75 15 17 c) x = và y = 0,75= = < nên x > y 20 100 20 20
Ví dụ 4. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên. 7 n- 2 a) ; b) n- 5 5 Giải a
✓ Tìm cách giải. Số hữu tỉ (với , a b Î ,
Z b ¹ 0) có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a chia hết cho b b
hay b Î Ư(a). Từ đó chúng ta có lời giải sau.
✓ Trình bày lời giải. 7 a)
Î Z Û n- 5Î Ư(7); mà Ư(7)= {1;7;- 1;- }
7 suy ra bảng giá trị sau: n- 5 n- 5 1 7 -1 -7 n 6 12 4 -2 7
Vậy với n Î {6;12;4;- } 2 thì
có giá trị là số nguyên. n- 5 n- 2 b) Î Z Û n- 2 5
M Û n- 2 = 5k (với k Î Z ) Û n = 5k + 2 . 5 n- 2
Vậy với n = 5k + 2 ( k Î Z ) thì
có giá trị là số nguyên. 5 n- 21
Ví dụ 5. Tìm các số nguyên n để số hữu tỉ
có giá trị là số nguyên. n+ 10 Giải
✓ Tìm cách giải. Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên. ✓ Trình bày lời giải.
n- 21 Î Z Û n- 21 n M + 10 Û (n+ 1 ) 0 - 31 n M + 10 n+ 10 Û 31 n
M + 10 Û n+ 10Î Ư(31) mà Ư(31) = {1;31;- 1;- 3 } 1 .
Suy ra ta có bảng giá trị sau: n+ 10 1 31 -1 -31 n -9 21 -11 -41 n- 21
Với n Î {- 9;21;- 11;- 4 } 1 thì số hữu tỉ
có giá trị là một số nguyên. n+ 10 3n+ 2
Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ x =
là phân số tối giản, với mọi n Î N . 4n+ 3 Giải a
✓ Tìm cách giải. Để chứng minh là phân số tối giản ( ;
a b Î Z) chúng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1 b Trang 3
✓ Trình bày lời giải.
Đặt ƯCLN(3n+ 2;4n+ )
3 = d (với d Î N ) suy ra: 3n+ 2 d M Þ 12n+ 8 d M 4n+ 3 d M Þ 12n+ 9 d M Þ (12n+ ) 9 - (12n+ ) 8 d M Þ 1 d M Þ d = 1
Suy ra: ƯCLN (3n+ 2;4n+ ) 3 = 1 3n+ 2 Vậy x =
là phân số tối giản, với mọi n Î N . 4n+ 3
Ví dụ 7. Tìm các số hữu tỉ. - 7 - 9
a) Có mẫu là 15, lớn hơn và nhỏ hơn ; 10 20 2 6
b) Có tử là 4, lớn hơn và nhỏ hơn . 5 7 Giải x
a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với x Î Z . 15 - 7 x - 9 - 42 4x - 27 Theo đề bài, ta có: < < Û < < 10 15 20 60 60 60
Û - 42 < 4x < - 27
Û 4x Î {- 40;- 36;- 32;- 2 }
8 Û x Î {- 10;- 9;- 8;- } 7 - 10 - 9 - 8 - 7
Vậy các số hữu tỉ cần tìm là: ; ; ; . 15 15 15 15 4
b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với y Î Z y 2 4 6 12 12 12 Theo đề bài ta có: < < Û < < 5 y 7 30 3y 14
Û 30> 3y> 14 Û 3y Î {15;18;21;24;2 } 7 Û y Î {5;6;7;8; } 9 4 4 4 4 4
Vậy các số hữu tỉ cần tìm là ; ; ; ; . 5 6 7 8 9
C. Bài tập vận dụng 2
1.1. Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? - 5 - 4 8 - 10 6 9 ; ; ; ; . 10 - 12 25 - 15 - 15
1.2. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số với mẫu số dương. 2 8 - 21 ; ; - 3 - 11 - 10 Trang 4 6 7 2
1.3. Cho ba số hữu tỉ ; ; 5 - 4 - 3
a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.
b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương bằng nhau. m+ 10
1.4. Cho số hữu tỉ x =
. Với giá trị nào của m thì: 21 a) x là số dương. b) x là số âm.
c) x không là số dương cũng không là số âm. 14m+ 10
1.5. Cho số hữu tỉ x =
. Với giá trị nào của m thì: - 2019 a) x là số dương. b) x là số âm.
1.6. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là một số nguyên. 5 n+ 6 a) ; b) n+ 1 3 - 2019
1.7. Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = là một số nguyên. a+ 6 3x- 8
1.8. Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t =
có giá trị là một số nguyên. x- 5 2n+ 9
1.9. Chứng tỏ số hữu tỉ x =
là phân số tối giản, với mọi n Î N . 7n+ 31 1.10. a c a c
a) Cho hai số hữu tỉ và (b> 0;d > ) 0 . Chứng minh rằng <
khi và chỉ khi ad < bc. b d b d 12 22 - 6 8
b) Áp dụng kết quả trên, so sánh các số hữu tỉ sau: và ; và . 13 25 11 - 15 1.11. a c a c a a+ c c
a) Cho hai số hữu tỉ và (b> 0;d > )
0 . Chứng minh rằng nếu < thì < < b d b d b b+ d d 2 3
b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữu tỉ và . 3 4
1.12. Cho a, b, m là các số nguyên và b > 0; m > 0. a a+ 1 a a+ m a) So sánh và . b) So sánh và . b b+ 1 b b+ m 2 3 - 9 - 7 c) So sánh và ; và . 7 8 11 9
1.13. Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn 1< a < b+ c < a+ 1 và b < c . Chứng minh rằng b < a.
1.14. Tìm các số hữu tỉ: - 5 - 3
a) Có mẫu số là 20, lớn hơn và nhỏ hơn ; 14 14 Trang 5 5 5
b) Có tử là 2, lớn hơn - và nhỏ hơn - 8 12
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 2 - 4 - 10 6
1.1. Những phân số biểu diễn số hữu tỉ là ; ; . - 5 10 25 - 15 2 - 2 8 - 8 - 21 21 1.2. = ; = ; = - 3 3 - 11 11 - 10 10 1.3.
a) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương. 6 12 18 24 7 - 7 - 14 - 21 2 - 2 - 4 - 6 = = = ; = = = ; = = = 5 10 15 20 - 4 4 8 12 - 3 3 6 9
b) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là các số dương bằng nhau. 6 72 7 - 105 2 - 40 = ; = ; = 5 60 - 4 60 - 3 60 1.4. m+ 10 a) x > 0 Û
> 0 Û m+ 10> 0 Û m> - 10 21
Vậy với m> - 10 thì số hữu tỉ x là số dương. m+ 10 b) x < 0 Û
< 0 Û m+ 10< 0 Û m< - 10 21
Vậy với m< - 10 thì số hữu tỉ x là số âm.
c) x không là số dương cũng không là số âm m- 10 Û x = 0 Û
= 0 Û m- 10= 0 Û m= 10 21
Vậy với m= 10 thì số hữu tỉ x không là số dương cũng không là số âm. 1.5. 14m+ 10 5 a) x > 0 Û
> 0 Û 14m+ 10< 0 Û 14m< - 10 Û m< - - 2019 7 5 Vậy với m< -
thì số hữu tỉ x là số dương. 7 14m+ 10 5 b) x < 0 Û
< 0 Û 14m+ 10> 0 Û 14m> - 10 Û m> - - 2019 7 5 Vậy với m> -
thì số hữu tỉ x là số âm. 7 1.6. 5 a) Ta có
Î Z Û n+ 1Î Ư(5) mà Ư(5)= {1;5;- 1;- } 5 n+ 1 Suy ra bảng giá trị sau: Trang 6 n+ 1 1 5 -1 -5 n 0 4 -2 -6 5
Vậy với n Î {0;4;- 2;- } 6 thì Î Z n+ 1 n+ 6 b) Ta có: Î Z Û n+ 6 3 M Û n 3
M Û n = 3k(k Î ) Z 3 n+ 6
Vậy với n = 3k(k Î Z) thì Î Z 3 - 2019 1.7.
Î Z Û a+ 6Î Ư(-2019) a+ 6
Mà Ư(-2019) = {1;3;673;2019;- 1;- 3;- 673;- 201 } 9 Suy ra bảng giá trị sau: a+ 6 1 3 673 2019 -1 -3 -673 -2019 a -5 -3 667 2013 -7 -9 -679 -2025 - 2019
Vậy với a Î {- 5;- 3;667;2013;- 7;- 9;- 679;- 202 } 5 thì là một số nguyên. a+ 6 3x- 8 1.8.
Î Z Û 3x- 8 x M - 5Û ( 3 x- ) 5 + 7 x M - 5 x- 5 Û 7 x
M - 5 Û x- 5Î Ư(7) mà Ư(7) = {1;7;- 1;- } 7 Suy ra bảng giá trị sau: x- 5 1 7 -1 -7 x 6 12 4 -2 3x- 8
Vậy với x Î {6;12;4;- } 2 thì t = Î Z x- 5
1.9. Đặt ƯCLN(2n+ 9;7n+ 3 )
1 = d(d Î N) Þ 2n+ 9 d M Þ 14n+ 63 d M Þ 7n+ 31 d M Þ 14n+ 62 d M Þ (14n+ 6 ) 3 - (14n+ 6 ) 2 d M Þ 1 d M Þ d = 1 2n+ 9
Suy ra: ƯCLN(2n+ 9;7n+ 3 ) 1 = 1. Vậy x =
là phân số tối giản với mọi n Î N . 7n+ 31 1.10. a ad c bc
a) Quy đồng mẫu hai phân số, ta có: = ; =
. Vì b> 0,d > 0 nên bd > 0, do đó: b bd d bd • a c ad bc Nếu < thì <
suy ra ad < bc b d bd bd Trang 7 • ad bc a c
Nếu ad < bc thì < suy ra < . bd bd b d 12 22 b) Ta có: > vì 12.25> 13.22 13 25 8 - 8 - 6 - 8 - 6 8 Ta có: = . Vì (- ) 6 .15< 11 ( . - ) 8 , suy ra: < Þ < - 15 15 11 15 11 - 15 1.11. a c
a) Theo bài , ta có: <
, suy ra ad < bc (1). b d a a+ c
Từ (1) ta có: ab+ ad < ab+ bc Þ (
a b+ d)< (a+ ) c b hay < (2) b b+ d a+ c c
Mặt khác, từ (1) ta lại có: ad + cd < bc+ cd Û d(a+ )
c < c(b+ d) hay < (3) b+ d d a a+ c c Từ (2) và (3) suy ra: < < . b b+ d d b) Theo câu a) ta có: 2 3 2 5 3 < suy ra < < ; 3 4 3 7 4 2 5 2 7 5 < suy ra < < ; 3 7 3 10 7 5 3 5 8 3 < suy ra < < ; 7 4 7 11 4 2 7 5 8 3 Vậy ta có: < < < < . 3 10 7 11 4 1.12.
a) Trường hợp 1. Xét a> b Þ ab+ a> ab+ b ( + Û a b+ )> ( b a+ ) a a 1 1 1 Û > b b+ 1
Trường hợp 2. Xét a < b Þ ab+ a < ab+ b ( + Û a b+ )< ( b a+ ) a a 1 1 1 Û < b b+ 1 a a+ 1
Vậy: Nếu a> b thì > b b+ 1 a a+ 1
Nếu a < b thì < b b+ 1
b) Trường hợp 1. Xét a> b Þ ab+ am> ab+ bm Û ( + )> ( + ) a a+ m a b m b a m Û > b b+ m
Trường hợp 2. Xét a < b Þ ab+ am< ab+ bm Trang 8 Û ( + )< ( + ) a a+ m a b m b a m Û < b b+ m 2 2+ 1 3
c) Áp dụng câu a), ta có 2 < 7 nên < = 7 7+ 1 8 7 7+ 2 7 9 - 7 - 9 Áp dụng câu b), 7< 9Þ < hay < suy ra < 9 9+ 2 9 11 9 11
1.13. Ta có b < c và b+ c < a+ 1Þ 2b < a+ 1
Vì 1< a nên a+ 1< 2a Þ 2b < 2a Þ b < a . 1.14. x
a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với x Î Z . 20 - 5 x - 3 - 50 7x - 30 Theo đầu bài, ta có: < < Û < < 14 20 14 140 140 140
Û - 50< 7x < - 30 Û x Î {- 7;- 6;- } 5 - 7 - 6 - 5
Vậy các số hữu tỉ cần tìm là: ; ; 20 20 20 2
b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là: với y Î , Z y ¹ 0. y - 5 2 - 5 - 5 - 2 - 5 Theo đầu bài, ta có: < < Û < < 8 y 12 8 - y 12 - 10 - 10 - 10 Û < <
Û 16< - 5y< 24 Û y = - 4 16 - 5y 24 2
Vậy số hữu tỉ cần tìm là: - 4
Chuyên đề 2. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ a b 1. Với x = , y = ( , a , b mÎ , Z m> ) 0 ta có: m m a b a+ b a b a- b x + y = + = ;x- y = - = . m m m m m m a c 2. Với x = ;y = ta có: b d a c ac a c . a d . x y = . = ;x : y = : = (với y ¹ 0). b d bd b d . b c Trang 9
3. Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với
phép cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập hợp Z. B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính: 1 æ 1 1 1ö 1 - 1 1 1 a) - ç ÷ - ç - - ÷; b) - + + ; 18 çè 9 6 3÷ ø 2 3 23 6 Giải ✓
Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực hiện trong
ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải. Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng
cách bỏ ngoặc. Ngoài ra có thể dùng tính chất giao hoán và kết hợp nhằm giải bài toán được nhanh hơn.
✓ Trình bày lời giải. 1 æ 1 1 1ö 1 1 1 1 1 2 3 6 12 2 a) - ç ÷ - ç - - = ÷ + + + = + + + = = ; 18 çè 9 6 3÷ ø 18 9 6 3 18 18 18 18 18 3 1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 æ 1 1ö 1 1 1 b) - + + = + + + = ç ÷ ç + + + ÷ = 1+ = 1 2 3 23 6 2 3 23 6 çè2 3 6÷ø 23 23 23
Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính 1 æ 13ö 5 æ 2 1ö 5 æ 3 5 ö 2 æ 1 8 ö 2 a) çç - : ÷ ÷ - ç- ç + : ÷ ÷ ; b) ç ÷ - ç + ÷ - ç ÷ ç : 2 ç - : ÷ è2 14÷ø 7 çè 21 7÷ø 7
çè 4 13÷ø 7 çè 4 13÷ø 7 Giải ✓
Tìm cách giải. Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên ta có thể
vận dụng tính chất phân phối:
a : m+ b : m= (a+ ) b : m
a: m- b: m= (a- ) b : m
✓ Trình bày lời giải 1 æ 13 2 1ö 5 10 7 - 2 a) çç - + - : ÷ ÷ = - . = çè2 14 21 7÷ø 7 21 5 3 æ 3 5 1 8 ö 2 7 b) ç- ç + - 2 + : ÷ ÷ = (- ) 2 . = - 7 ç è 4 13 4 13÷ ø 7 2
Ví dụ 3. Tìm x. 1 3 - 3 2 æ 4ö 1 æ - 4 ö a) x + x = ; b) ç x ÷ ç - ç ÷ç + : x÷= ÷ 0; 2 5 65 çè9 9÷ç øè3 7 ÷ ø x + 5 x + 6 x + 7 x + 8 x + 9 c) + + + + = - 5; 2015 2014 2013 2012 2011 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 360 d) + + + + = 0. 338 337 336 335 5 Trang 10 Giải
✓ Tìm cách giải. Khi tìm x ta có thể vận dụng các tính chất sau:
• ax + bx = (a+ ) b x æ ö • k 1 k k k 1 1 1 = . k nên + + = . k ç ÷ ç + + ÷ a a a b c çèa b c÷ø • .
A B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0
✓ Trình bày lời giải. 1 3 - 3 1 æ 3ö - 3 11 - 3 - 3 11 a) x + x = Û çç + . ÷ ÷ x = Þ .x = Þ x = : 2 5 65 çè2 5÷ø 65 10 65 65 10 - 6 Þ x = 143 2 æ 4ö 1 æ - 4 ö 2 4 1 - 4 b) ç x ÷ ç - ç ÷ç + : x÷= ÷ 0 Û x- = 0 hoặc suy ra ç + : x = 0 è9 9÷ç øè3 7 ÷ ø 9 9 3 7 2 4 - 4 - 1 12 x = hoặc : x =
Þ x = 2 hoặc x = . 9 9 7 3 7 ìï 12ü Vậy x ï 2; ï Î í ý ïî 7 ï ï ïþ x + 5 x + 6 x + 7 x + 8 x + 9 c) + 1+ + 1+ + 1+ + 1+ + 1= 0 2015 2014 2013 2012 2011 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 Û + + + + = 0 2015 2014 2013 2012 2011 æ ö Û (x+ ) 1 1 1 1 1 2020 .ç ÷ ç + + + + = ÷ 0
çè2015 2014 2013 2012 2011÷ø 1 1 1 1 1 Vì + + + +
> 0 nên x + 2020 = 0 2015 2014 2013 2012 2011 Þ x = - 2020 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 360 d) + 1+ + 1+ + 1+ + 1+ - 4 = 0 338 337 336 335 5 x + 340 x + 340 x + 340 x + 340 x + 340 Û + + + + = 0 338 337 336 335 5 æ ö Û (x+ ) 1 1 1 1 1 340 ç ÷ ç + + + + = ÷ 0 ç è338 337 336 335 5÷ø 1 1 1 1 1 Mà + + + +
¹ 0. Suy ra x = - 340 . 338 337 336 335 5 5 y 1
Ví dụ 4. Tìm số nguyên x, y biết: + = x 4 8 Giải
✓ Tìm cách giải. Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý ab = k( , a bÎ , Z b ¹ )
0 thì aÎ Ư(k), b Î Ư(k). Trang 11
Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế còn lại là một số nguyên.
✓ Trình bày lời giải. 5 y 1 5 1 y 5 1- 2y + = Û = - Û = Û (1- 2 ) y .x = 40 x 4 8 x 8 4 x 8 Vì ;
x y Î Z Þ 1- 2y là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị: 1- 2y 1 5 -1 -5 y 40 8 -40 -8 Từ đó suy ra ( ; x ) y Î ( { 40; ) 0 ( , 8;- ) 2 ( , - 40; ) 1 ( , - 8; ) 3 }
Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức: 5 5 5 6 6 6 5- + - + - a) 13 19 27 101 123 134 A = + ; 11 11 11 11 11 11 11- + - + - 3 19 27 101 123 134 1 1 1 - + b) 6 39 51 B= 1 1 1 - + 8 52 68 Giải ✓
Tìm cách giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể dẫn đến sai
lầm. Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân phối k k k 1 æ 1 1ö + + = . k ç ÷ ç + + ÷ để rút gọn. a b c çèa b c÷ø ✓
Trình bày lời giải. 5 5 5 6 6 6 5- + - + - a) Ta có: 13 19 27 101 123 134 A = + 11 11 11 11 11 11 11- + - + - 3 19 27 101 123 134 æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö 5 1 ç ÷ - + - ç ÷ 6ç ÷ + - ç ÷ çè 13 19 27÷ø 1 çè 01 123 134÷ø = + æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö 11 1 ç ÷ - + - ç ÷ 11ç ÷ + - ç ÷ çè 3 19 27÷ø 1 çè 01 123 134÷ø 5 6 Þ A= + = 1 11 11 1 1 1 1 1 æ 1 1 ö ç ÷ - + - + ç ÷ 6 39 51 3çè2 13 17÷ø 1 1 4 b) Ta có: B= = = : = 1 1 1 1 1 æ 1 1 ö 3 4 3 - + ç ÷ - + ç ÷ 8 52 68 4çè2 13 17÷ø
Ví dụ 6. Cho 2021 số nguyên dương a ;a ;...a thỏa mãn: 1 2 2021 Trang 12 1 1 1 + + ...+
= 1011. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho a a a 1 2 2021 bằng nhau. Giải ✓
Tìm cách giải. Dạng toán này chúng ta không chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai giá trị nào,
mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà thôi. Đối với dạng toán này
thông thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:
• Bước 1. Phủ định kết luận. Tức là giả sử không có hai số nguyên dương nào bằng nhau.
• Bước 2. Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển nhiên.
• Bước 3. Chứng tỏ giả sử là sai. Vậy kết luận của đề bài là đúng.
✓ Trình bày lời giải.
Giả sử trong 2021 số nguyên dương a ;a ;...a
thỏa mãn: không có hai số nào bằng nhau. 1 2 2021 1 1 1 1 1 1 Khi đó + + ...+ £ + + ...+ a a a 1 2 2021 1 2 2021 1 1 1 1 < 1+ + + ...+
= + 1010= 1011 mâu thuẫn với đề bài. 2 2 2 1
Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau ✓
Nhận xét. Trong lời giải bài toán trên, sau khi giả sử 2021 số nguyên dương khác nhau chúng ta
đã so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ nhất. Từ đó nhận thấy 2021 số nguyên dương nhỏ nhất
cũng không thỏa mãn đầu bài. Suy ra 2021 số nào đó cũng không thỏa mãn đề bài và dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết. 1 1 1 1
Ví dụ 7. Cho a+ b+ c = 2070 và + + = a+ b b+ c c+ a 90 a b c Tính giá trị: S= + + b+ c c+ a a+ b Giải ✓
Tìm cách giải. Với điều kiện đề bài, chúng ta không thể tính được giá trị của a, b, c. Do vậy 1 1 1
chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và + +
. Quan sát kỹ chúng ta thấy a+ b b+ c c+ a a b c phần kết luận + +
, mỗi phân số đều có tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng a+ b+ c . b+ c c+ a a+ b
Do đó chúng ta cộng mỗi phân số với 1, và có lời giải sau:
✓ Trình bày lời giải. a b c Ta có S= + 1+ + 1+ + 1- 3 b+ c c+ a a+ b Trang 13 a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c Û S= + + - 3 b+ c c+ a a+ b æ ö
Û S= (a+ b+ ) 1 1 1 c ç ÷ ç + + - ÷ 3
çèb+ c c+ a a+ b÷ø 1 Û S= 2070. - 3= 23- 3= 20 90
Ví dụ 8. Tìm x, biết: a) (x- ) 1 (x- ) 2 > 0 ; b) (2x- ) 4 (9- 3 ) x > 0 Giải
✓ Tìm cách giải. Đối với dạng toán này chúng ta chú ý kiến thức sau: • .
A B> 0 Û A và B cùng dấu. • .
A B< 0 Û A và B khác dấu.
✓ Trình bày lời giải a) (x- ) 1 (x- )
2 > 0 Û x- 1 và x- 2 cùng dấu.
mà x- 2 < x- 1 nên suy ra: x- 2> 0 hoặc x- 1< 0 Û x > 2 hoặc x < 1.
Vậy với x > 2 hoặc x < 1 thì (x- ) 1 (x- ) 2 > 0
b) 2x- 4 và 9- 3x cùng dấu, nên ta có trường hợp sau: ìï 2x- 4> 0 ìï 2x > 4 ìï x > 2
• Trường hợp 1: ï ï ï í Û í Û í ; ï 9- 3x > 0 ï 3x > 9 ï x < 3 ïî ïî ïî ìï 2x- 4< 0 ìï x < 2 ìï x < 2
• Trường hợp 2: ï ï ï í Û í Û í loại. ï 9- 3x < 0 ï 3x > 9 ï x > 3 ïî ïî ïî
Vậy với 2 < x < 3 thì (2x- ) 4 (9- 3 ) x > 0
✓ Nhận xét. Ngoài cách giải trên của câu b, chúng ta có thể lập luận theo cách sau: (2x- ) 4 (9- 3 ) x > 0 Û - ( 6 x- ) 2 (x- ) 3 > 0 Û (x- ) 2 (x- ) 3 < 0
Û x- 2 và x- 3 khác dấu.
Mà x- 3< x- 2 nên suy ra: x- 2> 0 và x- 3< 0 Û x > 2 và x < 3.
Vậy với 2 < x < 3 thì (2x- ) 4 (9- 3 ) x > 0
Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + ...+ - = + + ...+ + 2 3 4 199 200 101 102 199 200 Giải 1 1 1 1 1 Xét vế trái, ta có: 1- + - + ...+ - 2 3 4 199 200 1 1 1 1 1 1 æ 1 1 ö = 1+ + + + ...+ + - 2çç + + ... ÷ + ÷ 2 3 4 199 200 çè2 4 200÷ ø Trang 14 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + ...+ + - 1- - ...- 2 3 4 199 200 2 100 1 1 1 1 = + + ...+ + . 101 102 199 200
Vế trái bằng vế phải; Điều phải chứng minh.
✓ Nhận xét. Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + ...+ + > + + ...+ =
. Từ đó bạn có thể giải được bài toán sau: 101 102 199 200 200 200 200 2 Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 1 1- + - + ...+ - > 2 3 4 199 200 2
C. Bài tập vận dụng - 14
2.1. Viết số hữu tỉ thành: 45
a) tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
b) thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
2.2. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể). æ 1 2ö æ 1 3 5ö æ 2 1 ö a) 5 ç ÷ ç + - - ÷ 2 çç - - 2 ÷ + - ÷ 8 ç ÷ ç + - ÷; çè 5 9÷ ø çè 23 35 6÷ ø çè 7 18÷ ø 1 3 æ 3ö 1 2 1 1 b) - - ç ÷ - ç + ÷ - - + ; 3 4 çè 5÷ ø 64 9 36 15 5 æ 5 ö 13 1 æ 5ö 3 æ 2ö c) - - ç ÷ - ç + ÷ + + ç- ç 1 ÷+ ÷ 1 - ç ÷ - ç ÷; 7 çè 67÷ ø 30 2 çè 6÷ ø 14 çè 5÷ ø 3 æ- 1 1ö 3 æ- 1 1 ö d) :ç ÷ ç - + ÷ :çç - 1 ÷ ÷; 5 çè15 6÷ ø 5 çè 3 15÷ ø 7 5 5 æ 2 ö 5 18 e) . - .ç ÷ - ç - ÷ . . 13 9 9 çè 13÷ ø 9 13
2.3. Thực hiện các phép tính sau: é- 54 1 æ 8 ö - 1ù - 81 a) D = ê - çç : : ÷ ÷ : ú ; ê 64 çè9 27÷ø 3 ú 128 ë û 1 é 93 æ 2 3 ö 11ù éæ 7 11 1 ö 931 9ù b) E = ê ç ÷ ç - + ÷ : ú ç ê ÷ ç + ÷ + ú. ê- 17 1 çè 93 386÷ø 34ú ê1 çè 931 3862÷ø 25 2ú ë û ë û 3 æ 2 1 ö 3 æ 2 1 ö
2.4. Rút gọn: A= çç - + : ÷ ç ÷ ÷ ç - + ÷ ç . è2 5 10÷ø çè2 3 12÷ø
(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
2.5. Tìm x, biết: Trang 15 3 7 3 æ 5ö 8 a) + x = - ; b) - çx ÷ ç - = ÷ ; 5 13 2 çè 6÷ ø 9 æ - ö x + 5 x + 6 x + 7 x + 8 c) ( x- ) 7 4 9 2 çç ,5+ x÷= ÷ 0; d) ç + = + . è 3 ÷ ø 2015 2014 2013 2012 2.6. Tính: 1 P = + ( + ) 1 + ( + + ) 1 + ( + + + ) 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 + ...+ (1+ 2+ 3+ ...+ 1 ) 6 2 3 4 16 1 1 1
2.7. Tìm giá trị nguyên dương của x và y , sao cho: + = x y 5
2.8. Tìm số nguyên , x y biết: 1 1 y x 1 1 x 1 3 a) = + ; b) - = ; c) - = . x 6 3 6 y 2 4 y 4
2.9. Tính tổng M = x + y+ z, biết: 19 19 19 7x 7y 7z 133 + + = + + = x + y y+ z z+ x y+ z z+ x x + y 10 1 1 1
2.10. Tìm các số hữu tỉ , x ,
y z thỏa mãn: x + y =
;y+ z= ;z+ x = 2 3 6 1 1 1 1
2.11. Cho biểu thức A= + + + ...+ . Chứng minh rằng: 1.2 3.4 5.6 99.100 1 1 1 1 1 7 5 a) A= + + + ...+ + ; b) < A< 51 52 53 99 100 12 6
2.12. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó tích 3 số bất kì là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 100 số đó là một số dương.
b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Cho 20 số nguyên khác 0: a ,a ,a ,...,a có các tính chất sau: 1 2 3 20 + a là số dương. 1
+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.
+ Tổng của 20 số đó là số âm.
Chứng minh rằng: a .a + a a < a .a 1 14 14 12 1 12 1 æ 1 1 1 ö 2.14. Đặt A= . 1 çç + + + ... ÷ + ÷ và 1011 çè 3 5 2019÷ ø 1 1 æ 1 1 1 ö B= .çç + + + ... ÷ + ÷ 1010 çè2 4 6 2020÷ ø So sánh A và B. 1 1 1 101
2.15. Cho 100 số tự nhiên a ;a ;...;a thỏa mãn + + ...+ = . 1 2 100 a a a 2 1 2 100
Chứng minh rằng ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau. Trang 16
(Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013)
2.16. Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0£ a £ b+ 1£ c+ 2 và a+ b+ c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 2.1. - 17 - 1 - 1 - 1 - 7 - 1 - 1 a) = + = + = + 60 30 4 20 30 12 5 - 17
- 1 æ 1 ö - 11 æ 1ö - 1 æ - 13ö b) = - ç ÷ - ç = ÷ - ç ÷ - ç = ÷ - ç ÷ - ç ÷ 60 3
çè 20÷ø 30 çè 4÷ø 2 çè 60 ÷ø - 17 - 1 1 - 2 7 - 9 1 c) = + = + = + 60 3 20 15 60 20 6 - 17 - 1 7 - 2 1 - 1 1 d) = - = - = - 60 6 60 5 12 4 30 2.2. 1 2 1 3 5 2 1 a) 5+ - - 2+ + 2 - - 8- + 5 9 23 35 6 7 18 æ ö æ ö = ( - + - ) 1 3 2 1 2 5 1 5 2 2 8 + ç ÷ ç + - + ç ÷ ÷ ç - - + ÷ çè5 35 7÷ø 1 çè 8 9 6÷ø 23 1 22 = - 3+ 0- 1+ = - 3 23 23 1 3 3 1 2 1 1 b) - + + - - + 3 4 5 64 9 36 15 1 æ 3 1 ö 3 æ 2 1 ö 1 1 1 = ç ÷ ç + + - ç ÷ ÷ ç + + + ÷ = 1- 1+ =
çè3 5 15÷ø çè4 9 36÷ø 64 64 64 5 5 13 1 5 3 2 c) - + + + - 1 + 1 + 7 67 30 2 6 14 5 1 æ 3 1 5 2ö æ ö = ç ÷ ç + - + + ÷ ( - ) 3 5 5 1 1 + ç ÷ ç - + ÷ çè30 2 6 5÷ø 1 çè 4 7÷ø 67 1 æ 1ö 5 5 = + 0+ ç ÷ - ç + ÷ = 2 çè 2÷ø 67 67 3 - 7 3 - 7 3 - 30 3 - 5 3 æ- 30 - 5ö 3 d) : + : = . + . = .ç ÷ ç + = ÷ .(- 5) = - 3 5 30 5 5 5 7 5 7 5 çè 7 7 ÷ ø 5 5 7 æ 2 18ö 5 - 9 - 5 e) .ç ÷ ç + - = ÷ . = 9 1 çè 3 13 13÷ø 9 13 13 2.3. é 27 1 æ 27ö - 1ù - 81 a) D = ê- - çç . : ÷ ÷ : ú ê 32 çè9 8 ÷ø 3 ú 128 ë û é 27 3 3 ù 128 D = ê- - . . ú êë 32 8 - 1úû- 81 Trang 17 é- 27 9ù 128 D = ê + . ú êë 32 8úû - 81 é- 27+ 36 128 ù 9 128 - 4 D = ê . ú= . = êë 32 - 81úû 32 - 81 9 1 é 93 æ 2 3 ö 11ù éæ 7 11 1 ö 931 9ù b) E = ê ç ÷ ç - + ÷ : ú ç ê ÷ ç + ÷ + ú ê- 17 1 çè 93 386÷ø 34ú ê1 çè 931 3862÷ø 25 2ú ë û ë û é- 2 3 11ù é7 11 9ù E = ê + + : ú ê + + ú 1 ê 7 34 34ú 2 ê 5 50 2ú ë û ë û é- 2 7 ù 1 é 4 11 9ù E = ê + : ú ê + + ú 1 ê 7 17ú 5 ê 0 50 2ú ë û ë û 5 1 é 9ù 5 1 E = : ê + ú= : 5= 17 2 ê 2ú ë û 17 17 3 æ 2 1 ö 3 æ 2 1 ö 2.4. A= çç - + : ÷ ç ÷ ÷ ç - + ÷ çè2 5 10÷ø çè2 3 12÷ø 1 æ 5 4 1 ö 1 æ 8 8 1 ö 12 11 6 12 72 A= çç - + : ÷ ç ÷ ÷ ç - + = ÷ : = . = 1 çè 0 10 10÷ø 1 çè 2 12 12÷ø 10 12 5 11 55 2.5. - 7 3 - 35 39 - 74 a) x = - Û x = - = 13 5 65 65 65 3 5 8 3 5 8 27 15 16 26 13 b) - x + = Û + - = x Û x = + - = = 2 6 9 2 6 9 18 18 18 18 9 - 7
c) 4x- 9 = 0 hoặc 2,5+ = 0 3 - 7 suy ra 4x = 9 hoặc x = - 2,5 3 9 - 5 - 7 15 x = hoặc x = : = 4 2 3 14 ìï 9 15ü Vậy x ï ; ï Î í ý ïî 4 14ï ï ïþ x + 5 x + 6 x + 7 x + 8 d) + 1+ + 1= + 1+ + 1 2015 2014 2013 2012 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 Û + = + 2015 2014 2013 2012 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 Û + - - = 0 2015 2014 2013 2012 æ ö Û (x+ ) 1 1 1 1 2020 ç ÷ ç + - - = ÷ 0 ç è2015 2014 2013 2012÷ø Trang 18 1 1 1 1 Mà + - -
< 0 nên x + 2020 = 0 hay x = - 2020 2015 2014 2013 2012 ( n n+ ) 1
2.6. Theo công thức: 1+ 2+ 3+ ...+ n = 2 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 Suy ra: P = 1+ . + . + . + ...+ . 2 2 3 2 4 2 16 2 3 4 5 17 P = 1+ + + + ...+ 2 2 2 2 1 P = ( + + + + ) 1 1 2 3 ... 17 - 2 2 1 17.18 1 P = . - = 76 2 2 2
2.7. Vì x và y có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát, giả sử 1 1 1 1 1 2 x ³ y ³ 1Þ + £ + Û £ Û y£ 10 x y x y 5 y 1 1 1 1 1 Mặt khác + = Þ <
Û y> 5Þ 5< y £ 10Þ y Î {6;7;8;9;1 } 0 x y 5 y 5 1 1 1 1 1 1 1 + Với y = 6 Þ + = Þ = - = Þ x = 30 x 6 5 x 5 6 30 1 1 1 1 1 1 3 + Với y = 7Þ + = Þ = - = loại. x 7 5 x 5 7 35 1 1 1 1 1 1 3 + Với y = 8Þ + = Þ = - = loại. x 8 5 x 5 8 40 1 1 1 1 1 1 4 + Với y = 9Þ + = Þ = - = loại. x 9 5 x 5 9 45 1 1 1 1 1 1 + Với y = 10Þ + = Þ = - Þ x = 10 x 10 5 x 5 10 Vậy cặp ( ; x ) y là (30; ) 6 ( ; 6;3 ) 0 ( ; 10;1 ) 0 2.8. 1 1+ 2y a) = Û x(1+ 2 ) y = 6 x 6 vì ;
x y Î Z Þ 1+ 2y là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị 1+ 2y 1 3 -1 -3 x 6 2 -6 -2 Từ đó suy ra ( ; x ) y Î ( {6; ) 0 ( , 2; ) 1 ( , - 6;- ) 1 ( , - 2;- ) 2 } x 1 1 x 1 1 x- 3 1 b) - = Û - = Û = Û (x- ) 3 .y = 6 6 y 2 6 2 y 6 y Trang 19
Þ x- 3 và y là ước của 6, mà Ư(6)= {1;2;3;6;- 1;- 2;- 3;- } 6 Từ đó ta có bảng sau: x- 3 1 2 3 6 -1 -2 -3 -6 y 6 3 2 1 -6 -3 -2 -1 Từ đó suy ra ( ; x ) y Î ( { 4; ) 6 ( , 5; ) 3 ( , 6; ) 2 ( , 9; ) 1 ( , 2;- ) 6 ,(1;- ) 3 ,(0;- ) 2 ,(- 3;- ) 1 } x 3 1 x- 3 1 c) - = Û = Û (x- ) 3 y = 4 4 4 y 4 y
Þ x- 3 và y là ước của 4, mà Ư(4)= {1;2;4;- 1;- 2;- }
4 nên ta có bảng giá trị: x- 3 1 2 4 -1 -2 -4 y 4 2 1 -4 -2 -1 Từ đó suy ra ( ; x ) y Î ( { 4; ) 4 ( , 5; ) 2 ( , 7; ) 1 ( , 2;- ) 4 ( , 1;- ) 2 ( , - 1;- ) 1 } 1 1 1 133 17
2.9. Từ đề bài suy ra: + + = :19= x + y y+ z z+ x 10 10 x y z 133 Từ đề bài, ta có: + + = : 7 y+ z z+ x x + y 10 x y z 19 Þ + + = y+ z z+ x x + y 10 x y z 19 Þ + 1+ + 1+ + 1= + 3 y+ z z+ x x + y 10 x + y+ z x + y+ z x + y+ z 49 Þ + + = y+ z z+ x x + y 10 æ ö Þ (x+ y+ ) 1 1 1 49 z ç ÷ ç + + = ÷
çèy+ z z+ x x+ y÷ø 10 (x+ y+ ) 7 49 z . =
Þ x + y+ z= 7 hay M = 7 10 10 2.10. Ta có: (x+ ) y + (y+ ) z + (z+ ) 1 1 1 x = + + Û (x+ y+ ) 1 2
z = 1Û x + y+ z= 2 3 6 2 1 1 1 1 1 1 Suy ra: + z=
Þ z= 0 mà: y+ z=
Þ y = ;z+ x = Þ x = 2 2 3 3 6 6 æ ö Vậy (x y ) 1 1 ; ;z = çç ; ;0÷÷ ç . è6 3 ÷ø
2.11. a) Xét biểu thức ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A= + + + ...+ = 1- + - + - + ...+ - 1.2 3.4 5.6 99.100 2 3 4 5 6 99 100 Trang 20