Bài 1: Chuỗi số, chuỗi số dương | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội
Trong bài này ta giả thiết chỉ xét các chuỗi số dương. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH)
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUỖI
Bài 1. Chuỗi số, chuỗi số dương......................................................................1
Bài 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì .........................................................12
Bài 3. Chuỗi hàm số .....................................................................................17
Bài 4. Chuỗi luỹ thừa ....................................................................................22
Bài 5. Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier ..............................................................31
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 6. Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp một .....................................38
Bài 7. Phương trình vi phân cấp một ............................................................49
Bài 8. Phương trình vi phân cấp hai khuyết ..................................................61
Bài 9. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi .................................68
Bài 10. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số ...............................72
Bài 11. Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân ...................................77
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE
Bài 12. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược ................................83
Bài 13. Phép biến đổi của bài toán giá trị ban đầu ........................................90
Bài 14. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản ...............................................97
Bài 15. Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi ................................103
Tài liệu tham khảo ....................................................................................113
Đề thi giữa kỳ và cuối kỳ …………………………………… 114
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI
§ 1. Đại cương về chuỗi số Định nghĩa
Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
Các tính chất cơ bản 1 1 1 1
Đặt vấn đề: 1 2 2 4 8 2n
Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?
1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chuỗi số:
Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy
số kí hiệu là n a . Định nghĩa:
Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a a a 1 2 3
là chuỗi số, ký hiệu là n a , n 1
an là số hạng tổng quát.
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim S n
S thì ta bảo chuỗi n
hội tụ, có tổng S và viết: a n S . n1
Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi n a phân kỳ. n 1
Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính n q n0 n 2 n 1 1 q
S 1 q q q , q 1 n 1 q 1 lim S , q 1 n n 1 q Phân kỳ khi q 1 n 1 q , q 1. 1 q n0 1
Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính n n 1 n 1 1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n S 1 1.2 2.3 n n 1 1 2 2 3 n n 1 n 1 1 lim S lim 1 n 1 n n n 1 1 1 n n 1 n 1 1 1 1 1
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ (Chuỗi điều hoà) 1 n n S 2 3 n n 1 Lấy 1 2m n có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 1 1 n m1 m m1 2 3 2 2 3 4 5 8 2 1 2 1 1 1 m 1 1 2. 4. 2 . m 1 m1 2 4 8 2 2
Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim S n n Chuỗi đã cho phân kỳ 1
Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương: 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n S 2 2 2 2 3 n 2.2 3.3 . n n 1.2 2.3 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 4 n 1 n n Sn tăng và dương lim S n S n 1 S 2 n n 1 Nhận xét: n
a hội tụ thì lim a 0 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) n n n 1 Chứng minh:
Có a S S ; lim a lim S S 0 n n n n n n 1 1 n n Nếu lim a 0 n
hoặc không tồn tại thì chuỗi n a phân kỳ. n n 1
Thay đổi một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. 2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n Ví dụ 5. n 1 n 1 n lim 1 0 n n 1 n phân kỳ n 1 n 1 n Ví dụ 6. 1 1 1 1 1 n1 n
1 n =2k,k Có lim 1 n 1 n =2k+1. n
Không tồn tại lim 1 n n 1 phân kỳ. n 1 3 5 2n 1
Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau (ĐS: 2 4 36 n 2 n 1 1) n n n 1 n Ví dụ 8. a (K50) (PK) . b (K60) (PK) n 1 n 3 n 1 n 1
2. Tính chất. Giả sử a S , b 1 2 S , n n n1 n 1
( a b ) a
b S n n n n 1 2 S n 1 n1 n1
§2. Chuỗi số dương Định nghĩa Các định lí so sánh
Các tiêu chuẩn hội tụ 1. Định nghĩa: a , a 0 n n n 1
Nhận xét. n
a hội tụ khi và chỉ khi Sn bị chặn. n1
Trong bài này ta giả thiết chỉ xét các chuỗi số dương
2. Các định lí so sánh. 3
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Định lí 1. Cho hai chuỗi số dương, a n n
b , n tuỳ ý hoặc từ một lúc nào đó trở đi n
b hội tụ n a hội tụ n 1 n1 n
a phân kỳ n b phân kỳ n 1 n1 Chứng minh.
a a a b b 1 2 n 1 2 n b 0 S n n T Rút ra các khẳng định. 1 1 Ví dụ 1. Ví dụ 2. 3n 1 ln n n 1 n2 Chuỗi dương Chuỗi dương ln n n 3n 1 3n 1 1 1 1 0 n ln n 3n 1 3n 1 1 1 phân kỳ hội tụ n n 1 3 n2 n 1 1 3 1 phân kỳ
Chuỗi đã cho hội tụ lnn n2 a
Định lí 2. Cho hai chuỗi số dương, lim
n k 0 n a và n b cùng hội tụ n n b n 1 n 1 hoặc cùng phân kì.
Nhận xét. Đối với các chuỗi số dương n a và n b : n 1 n 1 a 1/ Nếu lim
n 0 và n
b hội tụ n a hội tụ n n b n 1 n 1 a 2/ Nếu lim
n và n
b phân kì n a phân kì n n b n 1 n 1 n 2 Ví dụ 4. 3 2n 3 n 1 Chuỗi dương 4
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 2 1 1 n 2 n 1 . n . n 3 n 3 2 3 3 2 3 2n 2 1 n 1 3 3 2n 2n n 2 1 lim : 1 3 2 n 2n 2n 1 hội tụ 2 2n n 1 n 2 hội tụ 3 2n 3 n 1 1 Ví dụ 5. , p 0 p n n1 p 1 1 1 1
Khi 0 p 1 có 0 n n , do phân kỳ nên phân kỳ. p n n n p n n 1 n1
Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m sao cho 2m n , có 1 1 1 1 1 1 S n S m 1 2 p p p p 1 2 3 4 7 p p m 1 m 2 2 1 m1 2 4 2 1 1 1 1 1 2p 4p p p m m 1 1 2 2 p 1 2 2 p 1 2 1 1 m a 1 1 , 0 a 1 p 1 a 1 1 a 2 1
Dãy Sn bị chặn trên hội tụ. p n n 1
KL: Chuỗi hội tụ với p > 1 và phân kì với 0 < p 1. 1 Ví dụ 6. 3 n 1 n 3 Chuỗi dương 1 1 1 n a ; n b 3 3/ 2 n 3/ 2 3 3 n n 1 3 n a lim n 1 n n b 5
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n b hội tụ n 1 1 hội tụ 3 n 1 n 3 Ví dụ 7 a(K49) 1)
ln1 n 2 n 1 (PK) 2)
sin n 1 n 1 (PK) n2 n2 1 1 2 n b(50) 1) 2 n sin (PK); 2) 1 (HT) 2 n n n 1 n 1 n cos n n sin n c(K51) 1) (HT) 2) (PK) 5 3 n1 n 1 n 1 n 1 n 1 n e d(K52) 1)
n 2 n 1 (PK) 2) 1 (PK) n2 n2 n 1 3) sin (HT) 3 7 3 n 1 n 2n 3
e(K54) Xét sự hội tụ ln n 1 1) (HT) 2) (PK) 4 5 1 n 1 n n 1 arcsin ln n n 3) n ln 1 2 arctan (HT) 3 n 1 2 n
f(K56) Xét sự hội tụ 1 lnn 1 1) (PK) 2) (HT) n 1 ln n 4 5 n1 n 1 n 1 1 3) sin (HT) n n n 1 ln n 1
g(K58) Xét sự hội tụ : 1) (HT) 3 n 1 (n 1)
h(K60) Xét sự hội tụ n 3 1) ln (PK) 2) (n e 1) (PK) n 2 n1 n 1 6
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
3) Các tiêu chuẩn hội tụ
a) Tiêu chuẩn D’Alembert a 1 lim n l n n a
Khi l 1 n a hội tụ n1
Khi l 1 n a phân kỳ. n1 Chứng minh a a l < 1: Từ 1 lim n
l , chọn > 0 đủ bé để l + < 1 n1 < l + , n n0. n n a n a n a a a 1 n n Mặt khác có n n a 1 . 0 . 0 n a
l a 0, n 0 n 0 n n a a a 1 n2 0 n Do đó lim a n l n a a l > 1: Từ 1 lim n
l , chọn đủ bé để l > 1 n1 l 1 an + 1 > an n n a n a phân kì
Nhận xét. Khi l = 1 không có kết luận gì 1 Ví dụ 1. n! n1 1 0 n a n! n a n 1 1 1 ! 1 lim lim : lim lim 0 1 n a n n n 1 ! n!
n n 1 ! n n 1 1 hội tụ n! n 1 3n Ví dụ 2. n! n 1 3n 0 n a n! n1 n n a 1 3 3 3 : n a n 1 ! n! n 1 7
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n a 1 lim 0 1 n n a Chuỗi đã cho hội tụ 1 1.3 1.3.5 1.3.52n 1
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi 2 2.5 2.5.8 2.5.83n 1 1.3.52n 1 a 0 n 2.5.83n 1 a
1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1 n 1 2n 1 : a 2.5.8 n 3n
1 3n 2 2.5.83n 1 3n 2 a 2 n 1 lim 1 n a 3 n Chuỗi đã cho hội tụ Ví dụ 4 n!3n n!2n a(K49) 1) (PK) 2) (HT) n n n n n 1 n 1 7n n!2 3) (HT) 2n n n 1 2n 1 3 2n1 2 b(K51) 1) (PK) 2) (HT)
4n lnn 1
5n lnn 1 n 1 n 1 2n 1 !! 2n!! 3) (HT) 4) (HT) n n n n n1 n 1 2 3n 2n 1 c(K52) (HT)
2n 3n 2 n 1 n!3n n! n d(K54) 1) (PK) 2) (PK) n n n n n 1 n 1 2 (n!) e(K60) (HT) 2n! n 1 b) Tiêu chuẩn Cauchy
Giả sử lim n a n l n
Nếu l 1 n a hội tụ n 1 8
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Nếu l 1 n a phân kỳ n1
Nhận xét. Nếu l = 1, không có kết luận gì n 2n 1 Ví dụ 5. 3n 2 n 1 2n 1 2n 1 a n n 0 , a n 3n 2 3n 2 2 lim n a 1 n n 3 Chuỗi đã cho hội tụ 2 n n 1
Ví dụ 6. Xét sự hội tụ, phân kì (PK) n n 1 Ví dụ 7. 2n ln n 3nlnn 2 3n n 1 2
2n n 1 a(K49) 1) (HT) 2) (HT) 2 4n cos n 2 3n sin n n 1 n 1 2 n n 5n 3) (HT) 2 n n
n 1 2 n 1 n n4 n n4 n 2 n 3 b(K52) 1) (HT) 2) (PK) n 3 n 2 n 1 n1 2 n n 5n c(K54 ) (HT) 2 n n
n 1 3 n 1 2 2 n n n
n n 1 d(K60) 1) (HT) 2) 2 (HT) n 2 n 2 n 1 n 1
c) Tiêu chuẩn tích phân
Có mối liên hệ hay không giữa: b
f (x)dx lim f x dx b ( ) a a k và a lim n n a k n 1 n1 n n Hình 14.4
f (x)dx a a a a 1 2 n 1
f(x)dx, 1 1 9
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Nếu f(x) là hàm liên tục, dương giảm với mọi x 1 và lim f (x) 0 , f(n) = an, khi đó x n
a và f(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. n 1 1 1 Ví dụ 8. n ln n n2 1 f (x)
dương, giảm với x 2 và có lim f (x) 0 x ln x x b d lnx b
f (x)dx lim
lim ln ln x lim lnlnb lnln2 b ln x b 2 n 2 2
f(x)dx phân kỳ 1 1 phân kỳ n ln n n2 1
Tổng quát có thể xét
hội tụ chỉ khi p > 1. p
n2 n ln n 1 1 1
Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 1 ln 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 1 1 2n 2 3 4 2n 1 2n 3 2n 1 2 4 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2n 2 4 2n 2 3 2n 2 3 n 1 1
ln 2n o(1) lnn o(1
) , voi lim 1 ln n n 2 n
ln 2 o(1) ln 2 khi n Mặt khác ta có 1 S S , lim S limS 2 ln 2 n1 2n 2n 2n 1 2 1 n n n 1 1 ln 2 n n1 1 1 1 1 1 3
Ví dụ 10. Tương tự nhận được 1 ln 2. 3 2 5 7 4 2
Ví dụ 11. Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số sau 10
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 ln ln1 n a(K51) 1) n (HT); 2) (HT) 2 n 3 n n 22 1 n 1 lnn b (K52) (HT) 2 3n n2 1 1 c(K60) 1) (PK); 2) (HT) n ln n 2 n ln n n2 n2
HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 11
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 2
§ 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi với số hạng có dấu bất kì Chuỗi đan dấu
Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối 1. Đặt vấn đề.
2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì
Định nghĩa: n
a được gọi là hội tụ tuyệt đối n
a hội tụ. Chuỗi n a được n 1 n1 n 1
gọi là bán hội tụ n
a phân kì và n a hội tụ. n1 n 1
Định lý. n
a hội tụ n a hội tụ. n 1 n 1
Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau 2 n n n a) 1 2 ; b) 2 sin n 2n n1 n1 n sin n c)
sin 2 3 (HTTĐ) d) (HTTĐ) 3 n1 n 1 n sin n n e (K60) 1) ( 1)n (HTTĐ) 2) ( 1)n (PK) 2 n 2 n 1 n2 2n 1 1 5 sin(n 1) 3) (1)n cos (PK) 4) n (HTTĐ) n 5 n2 n2 n 1 cos 3 (n 1) 5) (HTTĐ) 3 n2 n 1 Hướng dẫn. 2 n n n n a) 1 2 +) hội tụ 2n 2n n1 n1 2 n n n +) Xét n +) ( 2 1) hội tụ 2n n n1 2 n 1 a +) n1 1 lim 1 n a 2 b) 2 sin n n n1 12
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) 2 sin n
lim sin(2n 1) 0 lim sin(2n 3) 0 n n +) Không có 2 lim sin n 0
lim cos(2n 1) 0 n n
Thật vậy, phản chứng có 2 n 2 lim sin (2 1)
cos (2n 1) 0 (vô lí) 2 lim sin n 0 n n +) 2 sin n phân kì. n1 Nhận xét.
1/ Nếu n
a phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy n a phân n1 n 1 kì 2/ n
a phân kì n
a phân kì (đúng hay sai?) n 1 n 1 3. Chuỗi đan dấu n Định nghĩa. 1 a , a 1 0 n n
được gọi là chuỗi đan dấu n1 n Chú ý. 1 a , a 0 n n
cũng được gọi là chuỗi đan dấu. n 1 Định lí Leibnitz n Dãy n a giảm, 0 n a , lim a 0 n 1 1 n a hội tụ và có n n 1 n 1 1 n a 1 a n 1 Chứng minh: +) n 2m : Có S 2m a 1 2
a a 3 4 a 2 a m a S tăng 1
2m 2m S a 2m 1 a 2 3
a a 4 5 a 2 a m a a a 2 2m 1 2m 1 Từ đó lim S 2m
S và có S 1 a m
+) n 2m 1: S m S a 2 1 2m 2m1 Do lim a 0 m lim S S . 2 1 m 2 1 m m
Định lí được chứng minh. Ví dụ 2.
Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau 13
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n 1 n 1 1 1 a) (Bán HT) b) (Bán HT) 2n 1 n n1 n1 n 1 n 1 1 1 n c) (HTTĐ) d) (PK) 3 6n 5 n 1 2n 1 n1 n 3.5.72n 1 n 1 e) 1 1 (HTTĐ) g) 1 1 tan (HTTĐ) 2.5.83n 1 n n n 1 n 1 n 1.4.73n 2 n 1 sin2n f) 1 1 (PK) k(K52) 1) , 7.9.1 1 2n 5 3 7 3 n1 n 1 n 2n 3 2 n (HTTĐ) n1 2 h) 1 (PK) n n! 1 n 1 2) (Bán HT) n ln n n1 n n i (K50) 1) 1 (PK) l (K 55) Xét sự hội tụ 2 n1 2n 1 n ln n n 1) 1 ln 1 1 (HT)
n n 1 2) 1 n (PK) n1 n 2 n 1 n ln n 2) 1 ln 1 1 (HT) n n 1 3) n 1 2 1 ln (HTTĐ) n 1 n n1 n n 1 2 3 ) 1 1 n 1 1 (HT) 2 n ln n n n 2 n 4) 1 1 (Bán HT) 1) (n 11) (PK) 2) n n 2 n 1 n 1 n n1 1 4) 1 1 1 (HT) 4 2 n n n 1
n n 2 m (K57) 1) ( 1) (PK) n n1 n n 1.3.5...(2 1) 2) 1 ( 1 ) n n 3.5.8...(3 1) 1 n (K60) n 1 n 1) ( 1
) ( n 1 n) (HT) 2) ( 1 ) ln(1 ) (HT) n2 n2 n n 1 3) (1) ln(1 ) (HT) n2 n Hướng dẫn. 14
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n 1 n 1 1 1 n b) +) là chuỗi đan dấu d) +) là chuỗi đan dấu n 6n 5 n1 n1 1 1 n 1 n +) giảm và có lim 0 +) lim phân kì n n n n 6n 5 6 6n 5 n1 +) Hội tụ theo Leibnitz n 1 n +) lim 1 1 n 6n 5 +)
phân kì bán hội tụ n n1 n n +) 1 phân kì. 6n 5 n1
4. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối a) a
n S chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số n1
hạng và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S b) Cho a n S , n
a phân kì có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó n1 n 1
để chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kì.
Định nghĩa. Cho a , n n
b , khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi: n 1 n1 n a b n n
c , ở đó c a b n n k n 1 k n1 n1 n 1 k 1 c) a a b n 1 S , b n 2 S n S S n 1 2 n 1 n1 n1 n1 1 1
Ví dụ 3. a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau: và . n n 1 2n n 1 n 1 n k 1 n 2 k
b) Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 tan .ln 1 2 k k n 1 k n 1 k 1 n n 1 k cos(k ) ( 1 ) k
c (K57) Xét sự hội tụ của chuỗi số , 3 3 7 4 n 1 k 1 k k 1 2 (n 1 k) ln(n 1 k ) 15
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Hướng dẫn. 1 a) +) hội tụ tuyệt đối n n n 1 1 +) hội tụ tuyệt đối 1 2n n1 1 1 +) . hội tụ 1 n n 2n n1 n1
HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 16
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 3
§ 4. Chuỗi hàm số
Đặt vấn đề.
1. Chuỗi hàm số hội tụ
Định nghĩa: Cho dãy hàm số u x n
xác định trên X , ta định nghĩa chuỗi hàm số
u x u x u x 1 2 n (1) n1 u x n
hội tụ tại x0 chuỗi số un x0 hội tụ n 1 n 1 u x n
phân kì tại x0 chuỗi số un x0 phân kì n 1 n 1
Tập các điểm hội tụ của (1) gọi là tập hội tụ của nó. Tổng của chuỗi hàm số là
hàm số xác định trong tập hội tụ của nó.
Ví dụ 1. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau cos nx 1 n x a) n 1 x b) c) ( x 1) d) ( ) 2 n 2 x x n n! n1 n 1 n1 n1 sin 2 2n 4 x n e) ( ) f) 1 n cos 1 x e ( k 2 x k 2 ) 2 3n 2 2 1 1 n n 1 n 1 2 1 1 n n! 2n 1 g) ( x 3 ) h (K56) 1 x 1 ( 1 x 3 ) n n
n5 x 3 5 2n! n1 n0 Hướng dẫn. a) n 1 x n1 +) Xét chuỗi số n 1 x0 (2) n 1
+) (2) hội tụ với x 0 1 +) Tại x 0 1, (2) phân kì
+) Tập hội tụ: x 1 cos nx b) 2 n 2 x n 1 cos nx cos nx 1 +) Xét chuỗi số 0 (2) +) 0
(2) hội tụ với mọi x 2 0 n 2 x 2 n 2 2 x n n1 0 0 +) Tập hội tụ 17
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Ví dụ 2. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau n 1 2n3 1 x 1 a(K50) 1)
( 3 x 3 ) d (K55) 1) 2
3 n 2n 3 n 1 tan x n1 n 1 1 2)
( x 0 x 2 ) (
k x
k, k ) n 4 2 n n 1 x 1 1 1 1 2) 3)
( x 1 x 3 ) n 1 cot x 3 n n 1 n n 1 x 2 1 3 n ( k x
k , k ) n 4x 3 3 b(K51)1) 4 ( ; 1 ) 2 2 x 5 n 1 n 1 1 1 3) ( \ ; e ) n n n e 1 1 x n 1 ln x 1 2) (0 ; ) 2 1 x 1 n2 n 1 4) ( x 0) nx n 2 1 e x x 1 n 1 c (K52) ( 0 x 1) n 1 n 2 n0
2. Chuỗi hàm số hội tụ đều Định nghĩa. u x n
hội tụ đều đến S x trên tập X 0 bé tuỳ ý n1 0 n
: n n 0 , ta có
n S x S x , x X .
Ý nghĩa hình học. Với n đủ lớn,
S x ; S x n S x thuộc dải . Tiêu chuẩn Cauchy. u x n
hội tụ đều trên tập X 0 bé tuỳ ý n1 0 n
: p q n 0
, ta có S x S x , x p q X .
Tiêu chuẩn Weierstrass. Nếu có u x a , n , x n n X và n a hội tụ n 1 u x n
hội tụ tuyệt đối và đều trên X . n1
Tiêu chuẩn Dirichlet. n u v . n n w n , n
V đơn điệu không tăng và 0, w , c k
n Hội tụ đều. k 1 n 1 1
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm 2 x 2 n n 1 18
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n1 1 1 1 +) , x +) hội tụ 2 x 2 2 n n 2 n n1
+) Chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên
Ví dụ 4. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm sin nx n x a) , x (HTĐ) b) , x 2 ; 2 (HTĐ) 2 n 2 x n 3 2 n n n1 n 1 cosnx 2n n1 x c) , x (HTĐ) d) 1 , x 1; 1 (HTĐ) 3n n n 1 n 1 nx n x e) , x (HTĐ) f) , x 0 1 5 2 n x n! n 1 n 1 Hướng dẫn. n x 1 1 b) +) , x 2 +) hội tụ n 3 4/3 2 n n n 4/3 n n 1
+) Chuỗi đã cho hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên 2 ; 2 .
Ví dụ 5. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm 1 1 n n xdx xdx a (K49) 1) sinn , x x (HTĐ) 2) cosn , x x (HTĐ) 2 2 n1 1 0 x n1 1 0 x n
n 1 2x 1 b (K50) 1)
, x 1; 1 (HTĐ)
3n x 2 n 1 2 n n n 1 2x 1 2)
, x 1; 1 (HTĐ) n 2 x 2 n 1
c (K51) Chứng minh rằng chuỗi hàm 2 x nx e
hội tụ đều với x 0. n 1 n 1
d (K52) 1) Chứng minh rằng chuỗi
hội tụ đều trên . 2 x n 1 n0 n 1
2) Chứng minh rằng chuỗi
hội tụ đều trên . 2 x n 2 n0 1 n 3 t e (K58) ( dt) cos nx (HTKĐ) 4 2 n 1 0 1 sin t 19