Bài 4: Hạng ma trận | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

Với 2 hàng khác không, phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên đứng trước phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

42 21 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH)

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

25 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Na
1
BÀI 4
2
§4: Hạng ma trận
4.1. Định nghĩa.
- Cho A là một ma trận cỡ mxn và một số k ≤ min{m,n}. Ma
trận con cấp k của A là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ
đi (m-k) hàng và (n-k) cột. Định thức của ma trận con cấp k của A
gọi là định thức con cấp k của A.
1 2 3 4
2 4 6 8
3 5 7 9
A
12
12
A
24
12
A
234
123
A
2 4
4 8
2 3 4
4 6 8
5 7 9
3
§4: Hạng ma trận
4
§4: Hạng ma trận
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
O
2
1
0
A
24
13
0 0
0 0
A
5
§4: Hạng ma trận
a b c d
A
x y z t
6
§4: Hạng ma trận
a b c
A x y z
u v w
7
§4: Hạng ma trận
8
§4: Hạng ma trận
9
§4: Hạng ma trận
10
§4: Hạng ma trận
a. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) là ma trận thỏa mãn
hai tính chất:
(i) Các hàng khác không nằm trên các hàng không (hàng có tất
cả các phần tử là 0)
(ii) Với 2 hàng khác không, phần tử khác 0 đầu tiên của hàng
trên đứng trước phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới.
0 1 ... ... ... ...
0 0 0 2 ... ...
0 0 0 0 3 ...
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A
Ví dụ
11
§4: Hạng ma trận
b. Định lí: Nếu A là ma trận bậc thang thì hạng của A
bằng số hàng khác không của nó.
0 1 ... ... ... ...
0 0 0 2 ... ...
0 0 0 0 3 ...
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
rank
Ví dụ:
1 2 3 4
0 1 5 6
0 0 1 2
0 0 0 1
rank
12
§4: Hạng ma trận
11 12 1 1
22 2 2
... ...
0 ... ...
.. .. ... .. ... ..
0 0 ... ...
0 0 ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 ... 0
r n
r n
r r r n
a a a a
a a a
a a
A
11 12 1
22 2
12..
12..
..
0 ..
.. .. .. ..
0 0 ..
r
r
r
r
rr
a a a
a a
A
a
Chứng minh định lí:
13
§4: Hạng ma trận
A
B
Vấn đề: r(A) = r(B)
?
14
§4: Hạng ma trận
15
§4: Hạng ma trận
A
B
r(A) = r(B)
16
§4: Hạng ma trận
17
§4: Hạng ma trận
1 3 2 0 1 4
0 3 3 4 0 1
0 0 5 8 9 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A
( ) 3
r A
18
§4: Hạng ma trận
1 1 2 0
2 1 1 3
4 5 2 1
1 7 3 2
A
19
2 1
( 2)
1 1 2 0 1 1 2 0
2 1 1 3 0
4 5 2 1
1 7 3 2

h h
A
-5 3?-1
0
3 1
4h h
9 10 -1
0
4 1
1h h
8 5 2
§4: Hạng ma trận
20
§4: Hạng ma trận
2 1
3 1
4 1
( 2)
4
1
1 1 2 0 1 1 2 0
2 1 1 3 0 1 5 3
4 5 2 1 0 9 10 1
1 7 3 2 0 8 5 2
h h
h h
h h

1 1 2 0
0 1 5 3
0 0
0
3 2
9h h
4 2
8h h
4 3
( 1)
1 1 2 0
0 1 5 3
0 0 35 26
0 0 0 0
h h
r(A) 3
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI 4 1  §4: Hạng ma trận 4.1. Định nghĩa.
- Cho A là một ma trận cỡ mxn và một số k ≤ min{m,n}. Ma
trận con cấp k của A là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ
đi (m-k) hàng và (n-k) cột. Định thức của ma trận con cấp k của A
gọi là định thức con cấp k của A. Ví dụ: 1 2 3 4 12 A    12 A  2 4 6 8   2 4 24 3 5 7 9 A    12   4 8   2 3 4 234   A  4 6 8 123   2 5 7 9    §4: Hạng ma trận
-Đ/n: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các
định thức con khác 0 có trong A.
Kí hiệu: rank(A) hoặc r(A) 3  §4: Hạng ma trận 0 0 0 0 2 A  0 1     O  0 0 0 0   0 0 24 A     0 0 0 0 13   0 0   4  §4: Hạng ma trậna b c d A    x y z t   5  §4: Hạng ma trận Ví dụ:a b c
A có duy nhất 1 định   thức con cấp 3 và đó A x y z   là định thức con có u v w   cấp lớn nhất 6  §4: Hạng ma trận 7  §4: Hạng ma trận 8  §4: Hạng ma trận 9  §4: Hạng ma trận
4.2. Tính hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp a.
Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) là ma trận thỏa mãn hai tính chất:
(i) Các hàng khác không nằm trên các hàng không (hàng có tất cả các phần tử là 0)
(ii) Với 2 hàng khác không, phần tử khác 0 đầu tiên của hàng
trên đứng trước phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới. Ví dụ 0 1 ... ... ... ...   0 0 0 2 ... ...   A  0 0 0 0 3 ...   0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0    10  §4: Hạng ma trận
b. Định lí: Nếu A là ma trận bậc thang thì hạng của A
bằng số hàng khác không của nó. Ví dụ: 0 1 ... ... ... ...   0 0 0 2 ... ...   rank 0 0 0 0 3 ...  3   0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0    1 2 3 4    0 1 5 6 rank    4 0 0 1 2    0 0 0 1   11  §4: Hạng ma trận
Chứng minh định lí:a a ... a ... a  11 12 1r 1na a .. a  11 12 1r   0 a ... a ... a   22 2r 2n   0 a .. a 12..r 22 2r A     .. .. ... .. ... ..  12..r  .. .. .. ..      A  0 0 ... a a 0 0 .. a r r ... r n    rr   0 0 ... 0 ... 0    Các MT con cấp > r  ... ... ... ...
... ...  chứa ít nhất 1 hàng = 0   0 0 ... 0 ... 0   12  §4: Hạng ma trận
“Sử dụng các phép biến Chú ý:
đổi sơ cấp trên ma trận” A B (ma trận bậc thang) ? Vấn đề: r(A) = r(B) 13  §4: Hạng ma trận Chú ý:
Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm
thay đổi hạng của ma trận. 14  §4: Hạng ma trận “biến đổi sơ cấp A B (ma trận bậc thang) r(A) = r(B) 15  §4: Hạng ma trận 16  §4: Hạng ma trận
Ví dụ: Tìm hạng ma trận: 1 3 2  0 1 4    0 3 3 4 0 1   A  0 0 5 8 9 1    r( ) A  3   0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0    17  §4: Hạng ma trận
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận:  1 1 2 0    2 1 1  3   A  4 5 2 1     1  7 3 2   18  §4: Hạng ma trậnLời giải.  1 1 2 0  1 1 2 0     2 1 1  3 0 - ? 1 -5 3 2 h ( 2  ) 1   h   A    4 5 2 1   h  4h 3 1  0 9 10 -  1   h 1h 4 1   1  7 3 2    0 8 5  2 19  §4: Hạng ma trận  1 1 2 0  1 1 2 0      2 1 1 3 0 1  5  3 2 h ( 2  ) 1 h       3 h 4 1  4  5 2 1 h      h h 0 9 10 1 4 1 1     1 7 3 2 0 8 5 2     1 1 2 0 1 1 2 0    h  9h   3 2 0 1  5  3   0 1  5  3   h ( 1  )h 4 3     h  8h 0 0 0 0 35 26 4 2 -35 2  6     0  0 -35 2  6 0 0 0 0    r(A)  3 20