Bài 4: Phép biến đổi trực giao | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

Toán tử tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH)

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

50 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Na
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI
TRỰC GIAO
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
4.1 Định nghĩa. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide
E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu:
( ), ( ) , , ,f x f y x y x y E 
Tính chất.
( ) ( )
( ) ( ( ), ( )) ( , )
i f x x
ii f x f y x y
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
4.2.ĐL. Toán tử tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi
nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực
chuẩn.
4.3.Đ/n Ma trận A được gọi là ma trận trực giao nếu
A
= A
hay A
A=E
4.4. ĐL Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là phép
biến đổ trực giao nếu ma trận của nó theo một cơ sở
trực chuẩn nào đó là ma trận trực giao.
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
Hệ quả. Ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực
chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác là một ma trận
trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể
xem là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn này
sang cơ sở trực chuẩn khác.
VD.
cos sin
sin cos
A
§5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
§5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.1 Đn. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E gọi là
toán tử đối xứng nếu
( ), , ( )f x y x f y
5.2 ĐL. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là
toán tử đối xứng nếu ma trận của nó đối với một cơ
sở trực chuẩn là đối xứng.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.3 ĐL. Nếu A là ma trận đối xứng thì A có các tính
chất dưới đây.
(i) Mọi giá trị riêng của A đều là thực
(ii) Pt đặc trưng có đủ n nghiệm (kể cả bội)
(iii) Các vecto riêng ứng với các trị riêng khác nhau
trực giao với nhau.
(iv) A chéo hóa được.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.3 Đ/n. Mtr A gọi là chéo hóa trực giao được nếu
tồn tại mtr trực giao T sao cho T
AT là mtr chéo.
5.4 ĐL. Mtr A chéo hóa trực giao được khi và chỉ
khi A là mtr đối xứng.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.5. Thuật toán chéo hóa trực giao mtr đối xứng A
Bc 1. Tìm các trị riêng λ
, λ
,…, λ
của A tương ứng
có các bội d
, d
,…, d
với d
+d
+…+ d
=n.
Bc2. Với mỗi trị riêng λ
, ta tìm một cơ sở trực chuẩn
của kg riêng bằng thuật toán Gram-Smith.
Khi đó, ta sẽ có một cơ sở trực chuẩn là các vectơ
riêng của A.
Bc3. Lập mtr T có các cột là các vectơ trong các cơ
sở trực chuẩn, ta được T là mtr trực giao, làm chéo
hóa A.
( )
i
P A
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
VD 1. Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa các mtr sau
5 2
)
2 8
3 1 1
) A 1 3 1
1 1 3
a A
b
(Đề IV-K49)
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
VD 2. Cho ma trận
i) Tìm mtr trực giao P và ma trận chéo D sao cho
0 1 2
A 1 0 2
2 2 3
(Đề IV-K54)
1
P AP D
10
A
ii) Tính
Đ/s: Các GTR là -5, 1, 1
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.6. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
bằng phương pháp chéo hóa trực giao
G/s A, A’ tương ứng là mtr của dạng toàn
phương φ với cơ sở trực chuẩn E và B. Nếu T là
ma trận chuyển cơ sở từ E sang B thì T là ma trận
trực giao và A’=T
AT.
Nếu A’ có dạng chéo thì với cơ sở B, φ có
dạng chính tắc.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
Step 2: Chéo hóa trực giao ma trận A.
Step 3: Giả sử T là ma trận trực giao làm chéo hóa
A. Khi đó [y]=T[x], ta có
có dạng chéo.
Thuật toán:
Cho dạng toàn phương
Step 1: Xác định ma trận A của dạng toàn phương.
1 2 3
( ) ( , , ) x x x x
1 2 3
( ) ( , , ) y y y y
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
Đưa các dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng
phương pháp chéo hóa trực giao
2
3 1 2 1 3 2 3
5 4 6 6
q x x x x x x x
(Đề I-K55)
(i)
(Đề I-K55)
(ii)
2
3 1 2 1 3 2 3
4 2 6 6
q x x x x x x x
(Đề III-K56)
(iii)
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
3 3 6 4 2 2
q x x x x x x x x x
(Đề IV-K56)
(iv)
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 3 2 4 4
q x x x x x x x x x
§6: KHÔNG GIAN
HÌNH HỌC EUCLIDE
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
6.1 Định nghĩa.
G/s E là một kg Euclide n- chiều trên trường số thực.
Đ/n. Tập U được gọi là không gian hình học Euclide
n chiều tựa trên E nếu mỗi cặp (M, N)∈UxU tương
ứng với một véctơ của E, kí hiệu là thỏa mãn 2
tiên đề sau:
MN
, M,N,P U
MN NP MP
(i)
(ii)
Với mỗi M ∈U và tồn tại duy nhất N
∈U để
MN a
a E
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Khi U là không gian hình học Euclide thì các phần
tử của U được gọi là các điểm.
VD1.
- Mặt phẳng hình học thông thường là một
không gian hình học Euclide hai chiều.
- Không gian hình học thông thường là một
không gian hình học Euclide ba chiều.
VD2.
Với mỗi M(x
;x
;…;x
), N(y
;y
;…;y
) ∈R
ta
cho tương ứng với vectơ
Khi đó, R
là một kg hình học Euclide.
1 1 2 2
( , ,..., )
n
n n
MN y x y x y x
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Đ/n 2. U là một kg hình học Euclide tựa trên E, G là
một điểm của U; {f
, f
,…,f
} là một cơ sở trực chuẩn
của E thì bộ [G,(f
, f
,…,f
)] được gọi là hệ tọa độ
trực chuẩn của U với gốc tọa độ G.
Khi đó, với mỗi điểm M của U, tọa độ của véc
tơ đối với cơ sở trực chuẩn trên gọi là tọa độ của
M theo hệ tọa độ [G,(f
, f
,…,f
)] .
GM
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Ví dụ.
1.Hệ tọa độ Đề các Oxy trong mặt phẳng.
2. Hệ tọa độ Đề các Oxyz trong không gian.
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
6.2 Siêu phẳng và đường thẳng.
Đ/n 1. Cho kg Euclide U tựa trên E. Tập con
1 2 1 1 2 2
{ ( , ,..., ) | ... }
n n n
P M x x x U a x a x a x b
với gọi là một siêu phẳng
của U.
1 2
( , ,..., ) (0;0;...;0)
n
a a a
Khi đó, gọi là phương
trình của P.
1 1 2 2
...
n n
a x a x a x b
Ví dụ. Đường thẳng trong mặt phẳng, mặt phẳng
trong không gian.
| 1/50
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
4.1 Định nghĩa. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide
E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu:
f (x), f ( y)  x, y ,  x  , y E Tính chất.
(i) f (x)  x  
(ii) ( f (x), f ( y))  (x, y)
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
4.2.ĐL. Toán tử tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi
nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn.
4.3.Đ/n Ma trận A được gọi là ma trận trực giao nếu At = A-1 hay AtA=E
4.4. ĐL Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là phép
biến đổ trực giao nếu ma trận của nó theo một cơ sở
trực chuẩn nào đó là ma trận trực giao.
§4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
Hệ quả. Ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực
chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác là một ma trận
trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể
xem là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn này
sang cơ sở trực chuẩn khác.  cos  sin  
VD. A   sin cos       
§5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
§5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.1 Đn. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E gọi là
toán tử đối xứng nếu
f (x), y  x, f ( y) 
5.2 ĐL. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là
toán tử đối xứng nếu ma trận của nó đối với một cơ
sở trực chuẩn là đối xứng.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.3 ĐL. Nếu A là ma trận đối xứng thì A có các tính chất dưới đây.
(i) Mọi giá trị riêng của A đều là thực
(ii) Pt đặc trưng có đủ n nghiệm (kể cả bội)
(iii) Các vecto riêng ứng với các trị riêng khác nhau trực giao với nhau. (iv) A chéo hóa được.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.3 Đ/n. Mtr A gọi là chéo hóa trực giao được nếu
tồn tại mtr trực giao T sao cho TtAT là mtr chéo.
5.4 ĐL. Mtr A chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi A là mtr đối xứng.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.5. Thuật toán chéo hóa trực giao mtr đối xứng A
Bc 1. Tìm các trị riêng λ , λ ,…, λ của A tương ứng 1 2 k
có các bội d , d ,…, d với d +d +…+ d =n. 1 2 k 1 2 k
Bc2. Với mỗi trị riêng λ , ta tìm một cơ sở trực chuẩn i của kg riêng P (
A ) bằng thuật toán Gram-Smith. i
Khi đó, ta sẽ có một cơ sở trực chuẩn là các vectơ riêng của A.
Bc3. Lập mtr T có các cột là các vectơ trong các cơ
sở trực chuẩn, ta được T là mtr trực giao, làm chéo hóa A.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
VD 1. Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa các mtr sau  5 2  
a) A   2 8     3 1 1 b) A 1  3 1  (Đề IV-K49)   1  1 3  
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG   0 1  2  VD 2. Cho ma trận A  1 0 2       2 2 3  
i) Tìm mtr trực giao P và ma trận chéo D sao cho 1  P AP D 10 ii) Tính A (Đề IV-K54)
Đ/s: Các GTR là -5, 1, 1
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
5.6. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
bằng phương pháp chéo hóa trực giao
G/s A, A’ tương ứng là mtr của dạng toàn
phương φ với cơ sở trực chuẩn E và B. Nếu T là
ma trận chuyển cơ sở từ E sang B thì T là ma trận trực giao và A’=TtAT.
Nếu A’ có dạng chéo thì với cơ sở B, φ có dạng chính tắc.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNGThuật toán: Cho dạng toàn phương (  x)  (
x , x , x ) 1 2 3
Step 1: Xác định ma trận A của dạng toàn phương.
Step 2: Chéo hóa trực giao ma trận A.
Step 3: Giả sử T là ma trận trực giao làm chéo hóa A. Khi đó [y]=T[x], ta có (  y)  (
y , y , y ) 1 2 3 có dạng chéo.
§5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
Đưa các dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng
phương pháp chéo hóa trực giao 2
(i) q  5x  4x x  6x x  6x x 3 1 2 1 3 2 3 (Đề I-K55) 2
(ii) q  4x  2x x  6x x  6x x 3 1 2 1 3 2 3 (Đề I-K55) 2 2 2
(iii) q  3x  3x  6x  4x x  2x x  2x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (Đề III-K56) 2 2 2
(iv) q  2x  2x  3x  2x x  4x x  4x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (Đề IV-K56)  §6: KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 6.1 Định nghĩa.
G/s E là một kg Euclide n- chiều trên trường số thực.
Đ/n. Tập U được gọi là không gian hình học Euclide
n chiều tựa trên E nếu mỗi cặp (M, N)∈UxU tương 
ứng với một véctơ của E, kí hiệu là M N thỏa mãn 2 tiên đề sau:
  
(i) MN NP MP , M  ,N,P  U  (ii) Với mỗi M ∈U và  tồn tại duy nhất N   a E ∈U để M N a
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Khi U là không gian hình học Euclide thì các phần
tử của U được gọi là các điểm. VD1.
- Mặt phẳng hình học thông thường là một
không gian hình học Euclide hai chiều.
- Không gian hình học thông thường là một
không gian hình học Euclide ba chiều.
VD2. Với mỗi M(x ;x ;…;x ), N(y ;y ;…;y ) ∈Rn ta 1 2 n 1 2 n 
cho tương ứng với vectơ M N  (
y x , y x ,..., y x ) n  1 1 2 2 n n
Khi đó, Rn là một kg hình học Euclide.
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
Đ/n 2. U là một kg hình học Euclide tựa trên E, G là
một điểm của U; {f , f ,…,f } là một cơ sở trực chuẩn 1 2 n
của E thì bộ [G,(f , f ,…,f )] được gọi là hệ tọa độ 1 2 n
trực chuẩn của U với gốc tọa độ G.
Khi đó, với mỗi điểm M của U, tọa độ của véc  tơ G
M đối với cơ sở trực chuẩn trên gọi là tọa độ của
M theo hệ tọa độ [G,(f , f ,…,f )] . 1 2 n
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Ví dụ.
1. Hệ tọa độ Đề các Oxy trong mặt phẳng.
2. Hệ tọa độ Đề các Oxyz trong không gian.
§6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE
6.2 Siêu phẳng và đường thẳng.
Đ/n 1. Cho kg Euclide U tựa trên E. Tập con
P  {M (x , x ,..., x ) U | a x a x  ...  a x  } b 1 2 n 1 1 2 2 n n với ( a , a , . . . , a )  ( 0 ; 0 ; . . . ; 0
) gọi là một siêu phẳng 1 2 n của U. Khi đó, a x a x  . . .  a x b gọi là phương 1 1 2 2 n n trình của P.
Ví dụ. Đường thẳng trong mặt phẳng, mặt phẳng trong không gian.