Bài 4: Quy tắc đạo hàm của hàm hợp | Đại học Kinh tế Quốc dân

lOMoAR cPSD| 44919514 B i giảng
KHOA TO`N KINH T Ế
B Ộ MN TO`N C Ơ B Ả N lOMoAR cPSD| 44919514
TO`N CHO C`C NH KINH TẾ
Chương 2: PH P TO`N VI PH´N
B i 4: Quy tắc đạo h m của h m hợp
B i 6: Đạo h m của h m ẩn v cÆc tốc độ liŒn quan
M ụ ctiŒubih ọ c
❖ T m hiểu về quy tắc đạo h m của h m hợp.
❖ Sử dụng quy tắc đạo h m của h m hợp để t nh đạo h m v ứng dụng.
❖Sử dụng đạo h m của h m ẩn để t nh độ dốc v tốc độ thay đổi. lOMoAR cPSD| 44919514
❖ T m hiểu một số b i toÆn ứng dụng về cÆc tốc độ thay đổi liŒn quan. ❖ B i tập yŒu cầu:
➢ Mục 2.4: 9, 15, 19, 35, 37, 51, 59, 61, 67, 73.
➢Mục 2.6: 7, 13, 21, 23, 27, 33, 39, 41, 43, 45.
64, 66 (mục 2.4); 42 (mục 2.6). 2
1. Quy tắc ạo h m của h m hợp
❖ Nếu 𝑦 𝑓 𝑢 l một h m khả vi của 𝑢 v 𝑢 𝑔 𝑥 l một h m khả vi của 𝑥 th h m
hợp 𝑦 𝑓 𝑔 𝑥 l một h m khả vi của 𝑥 v c đạo h m được t nh theo c ng thức: lOMoAR cPSD| 44919514 .
hoặc 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔 𝑥
❖ Với mọi số thực 𝑛 v h m khả vi 𝑢, ta c : 𝑑𝑑 𝑢 𝑥 𝑛. 𝑢 𝑥 .𝑢 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 3 lOMoAR cPSD| 44919514
Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
V dụ: T nh tốc ộ thay ổi của chi ph sản xuất Biết rằng chi ph ể sản xuất 𝑥 𝑥 4 0.4𝑡 0.03
ơn vị một loại h ng h a l : 𝑡 4 th 𝑥 3.32 nŒn: 𝐶 𝑥 𝑥 4𝑥 53 la
v mức sản xuất 𝑡 giờ sau kể từ 10.13
khi bắt ầu vận h nh sản xuất l 𝑥 𝑡 ; . 0.2𝑡 0.03𝑡 ơn vị.
(tại thời điểm 4 giờ kể từ khi bắt đầu
T nh tốc ộ thay ổi của chi ph
theo thời gian tại thời iểm 4 giờ
sản xuất, chi ph tăng với tốc độ xấp xỉ
V dụ: T nh tốc ộ thay ổi của cầu
kể từ khi bắt ầu sản xuất.
10.13 đla mỗi giờ). . 5 Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
Quản l của một c ng ty sản xuất thiết 8,0000.09𝑡 /
bị xÆc ịnh ược rằng nếu mỗi thiết bị
ược bÆn với giÆ 𝑝 la mỗi chiếc th số 𝑝
lượng thiết bị bÆn ược mỗi thÆng l : 𝑡 25 th 𝑝 30 nŒn: 𝐷 𝑝 ,
Ước t nh rằng 𝑡 thÆng sau kể từ thời 4
iểm hiện tại, mỗi thiết bị sẽ bÆn ược ; với giÆ:
(sau 25 thÆng, cầu đối với sản phẩm 𝑝 𝑡 0.06𝑡 / 22.5 la.
Hỏi sau 25 thÆng t nh từ thời iểm hiện
của c ng ty giảm khoảng 4 đơn vị mỗi
tại th tốc ộ thay ổi của cầu h ng thÆng
𝐷 𝑝 ối với sản phẩm của c ng ty l bao thÆng).
nhiŒu? Cầu ang tăng hay giảm ở thời iểm ? 6
V dụ: T nh tốc ộ thay ổi của mức nhiễm kh ng kh .
Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
Một nghiŒn cứu cho thấy mức
0.5𝑝 0.5𝑝 17 / 0.2𝑡 𝑡 3 th
carbon monoxide trung b nh h ng ng y
trong kh ng kh ở một vøng ngoại khi d 𝑝 4 nŒn:
n số l 𝑝 ngh n người ược t nh theo c ng thức: 0.24 ppm 𝑐 𝑝 0.5𝑝 17 ppm ;
Ước t nh rằng 𝑡 năm sau kể từ thời
iểm hiện tại, d n số của khu vực n y
(ppm = parts per million)
sẽ l 𝑝 𝑡 3.1 0.1𝑡 ngh n người. Hªy t m
tốc ộ thay ổi của mức carbon
monoxide theo thời gian 3 năm sau kể 7
từ thời iểm hiện tại. . Downloaded by
Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
2. Đạohmc ủahm ẩn Định nghĩa:
Trong thực tế, ta gặp một phương tr nh chứa 𝑥 v 𝑦, trong đ 𝑦 l h m số của 𝑥
nhưng kh ng giải được 𝑦 theo 𝑥 một cÆch tường minh. Ta gọi h m số n y l một h m ẩn.
Quy tr nh t nh đạo h m của h m ẩn:
Giả sử một phương tr nh xÆc định 𝑦 l một h m ẩn khả vi của 𝑥. Để t m ta l m như sau:
Bước1: Lấy đạo h m hai vế của phương tr nh đtheo 𝑥. Lưu rằng 𝑦 l một h m của
𝑥 v sử dụng quy tắc lấy đạo h m của h m hợp khi t nh đạo h m của cÆc số hạng
chứa 𝑦 trong phương tr nh.
Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
Bước2: Biến đổi đại số phương tr nh sau khi lấy đạo h m để t m theo 𝑥 v 𝑦. 8 Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
Ứng dụng trong sản xuất
❖ Nếu 𝑄 𝑥, 𝑦 l mức sản xuất tương ứng với 𝑥 đơn vị đầu v o thứ nhất v 𝑦
đơn vị đầu v o thứ hai th phương tr nh dạng 𝑄 𝑥, 𝑦 𝐶, với 𝐶 l hằng số,
được gọi l đường đẳng lượng.
❖ CÆc phương tr nh như vậy được cÆc nh kinh tế sử dụng để ph n t ch về
sự kết hợp cÆc yếu tố đầu v o cho cøng một mức sản lượng đầu ra.
❖ Đạo h m , thường được t nh bằng quy tắc đạo h m của h m ẩn,
được gọi l tỷ lệ thay thế kỹ thuật cận biŒn. Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514 10
V dụ: Quản l lao ộng
Mức sản lượng hiện tại khi 𝑥 30
v 𝑦 20: 𝑄 80,000 (đơn vị). XØt
Daiyu quản l một nh mÆy c sản lượng
phương tr nh xÆc định h m ẩn: 2𝑥 𝑥
h ng ng y 𝑄 2𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 ơn vị, trong 𝑥 l số 𝑦 𝑦 80,000
giờ lao ộng c kỹ năng v 𝑦 l số giờ lao trong đ 𝑦 l h m của
ộng giản ơn ược sử dụng. Lực lượng 𝑥. Ta c :
lao ộng hiện sử dụng gồm 30 giờ lao 𝑑𝑦 6𝑥 2𝑥𝑦
ộng c kỹ năng v 20 giờ lao ộng giản 𝑑𝑥 𝑥 3𝑦
ơn. Daiyu muốn tăng thŒm 1 giờ lao 3.14 (giờ) ộng c kỹ năng v ;
giảm bớt một số giờ lao ộng giản ơn
m kh ng l m thay ổi sản lượng, hỏi số
(để giữ nguyŒn mức sản lượng 80,000
giờ lao ộng giản ơn cần thay ổi l bao
đơn vị sản phẩm, khi tăng 1 giờ lao nhiŒu?
Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
động c kỹ năng th Daiyu cần giảm
giảm bớt một số giờ lao ộng giản ơn m kh
khoảng 3.14 giờ lao động giản
ng l m thay ổi sản lượng, hỏi số giờ lao ộng đơn).
giản ơn cần thay ổi l bao nhiŒu? 11
Mở rộng: nếu Daiyu muốn giảm 1 giờ
V dụ: Quản l lao ộng
lao động giản đơn m kh ng l m thay đổi
sản lượng th cần tăng bao nhiŒu giờ
Daiyu quản l một nh mÆy c sản lượng lao động c kỹ năng?
h ng ng y 𝑄 2𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 ơn vị, trong 𝑥 l số 𝑑𝑥 𝑥 3𝑦
giờ lao ộng c kỹ năng v 𝑦 l số giờ lao
ộng giản ơn ược sử dụng. Lực lượng 𝑑𝑦 6𝑥 2𝑥𝑦
lao ộng hiện sử dụng gồm 30 giờ lao 0.32 (giờ)
ộng c kỹ năng v 20 giờ lao ộng giản ;
ơn. Daiyu muốn tăng thŒm 1 giờ lao
(để giữ nguyŒn mức sản lượng 80,000 ộng c kỹ năng v
đơn vị sản phẩm, khi giảm 1 giờ lao Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
động giản đơn th Daiyu cần tăng
khoảng 0.32 giờ lao động c kỹ năng). 12
Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
3. CÆctốc ộ liŒnquan B i toÆn:
Trong một số b i toÆn thực tế, 𝑥 v 𝑦 liŒn hệ với nhau bởi một phương tr nh,
trong đ 𝑥 v 𝑦 l cÆc h m số của biến thứ ba l 𝑡. Khi đ đạo h m của h m ẩn được sử
dụng để xÆc định mối liŒn hệ giữa v .
Quy tr nh giải b i toÆn cÆc tốc độ liŒn quan:
Bước1: Vẽ h nh (nếu c thể) v đặt k hiệu cho cÆc biến số.
Bước2: T m một c ng thức biểu diễn mối quan hệ giữa cÆc biến số.
Bước3: Sử dụng đạo h m của h m ẩn để xÆc định mối liŒn hệ giữa cÆc tốc độ.
Bước4: Thay cÆc th ng tin bằng số được cho v o phương tr nh t m được trong
bước 3 để t m tốc độ thay đổi mong muốn. Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514 13
V dụ: T nh tốc ộ liŒn quan của chi ph
Quản l của một nh mÆy xÆc ịnh
Bước 1: Đặt 𝑡 l thời gian (tuần), ta
rằng khi 𝑞 trăm ơn vị một loại h ng cần t nh 𝐶 𝑡 v . h a ược sản xuất th
tổng chi ph sản xuất l 𝐶 ngh n la,
Bước2: Ta c : 𝑞 15, 0.2. với:
Bước3: Đạo h m 2 vế phương tr nh 𝐶 3𝑞 4,275 Khi 1,500
theo 𝑡 (chœ rằng 𝐶 v 𝑞 đều l h m của
ơn vị h ng h a ược sản xuất, mức 𝑡): sản xuất ang tăng với tốc ộ 20 .
ơn vị mỗi tuần. Tổng chi ph v
tốc ộ thay ổi của chi ph tại
Bước4: Khi 𝑞 15 th 𝐶 120. thời iểm l bao nhiŒu? Thay 𝑞 15, 𝐶 120, 0.2:
Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514 1.6875 (ngh n đla/tuần) 14 Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514
B i tập thảo luận: Chất lượng sống
Một nghiŒn cứu nh n khẩu học cho thấy, d n số 𝑝 của một ịa phương ược m h
nh h a bởi h m số: 𝑝 𝑄 3𝑄 4𝑄 200, trong 𝑄 l chỉ số chất lượng cuộc sống (nhận
giÆ trị từ 0 - rất thấp ến 10 - rất tốt). Giả sử chỉ số n y thay ổi theo thời gian v 𝑡
năm sau kể từ thời iểm hiện tại, chỉ số n y l : 𝑄 𝑡 với 0 𝑡10
a) T nh chỉ số chất lượng cuộc sống của người d n ở ịa phương sau 4 năm kể
từ thời iểm hiện tại. T nh tổng d n số ở thời iểm n y.
b) T nh tốc ộ thay ổi d n số theo thời gian sau 4 năm kể từ thời iểm hiện tại. D
n số của ịa phương ang tăng hay giảm tại thời iểm n y?
Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com) lOMoAR cPSD| 44919514 16
B i tập thảo luận: Sản xuất
Mối quan hệ giữa sản lượng 𝑄 của một nh mÆy với cÆc đầu v o 𝑢 v 𝑣 được xÆc định bởi: 2𝑢 3𝑣 𝑄 3𝑢 𝑢 𝑣
Khi cÆc mức đầu v o hiện tại l 𝑢 10 v 𝑣 25, hªy ước t nh mức thay đổi của 𝑣 khi
𝑢 giảm 0.7 đơn vị để nh mÆy duy tr mức sản lượng hiện tại. Downloaded by Trang Thu (htttc1k21@gmail.com)