Bài giảng Chương 2. Các định lí cơ bản - Nhập môn Phương trình vi phân môn Giải tích | Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Nhập môn Phương trình vi phân
Chương 2. Các định lí cơ bản Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Nội dung 1 Sự tồn tại nghiệm 2 Bất đẳng thức Gronwall 3
Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện
2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương
Ta xét bài toán giá trị ban đầu x ′ = f (t, x ), (1)
với điều kiện ban đầu x (t0) = x0, (2) trong đó f : D → n n
R là hàm xác định, liên tục trong tập D ⊂ R × R chứa điểm (t0, x0). Một hàm x : I → n
R xác định trên một khoảng I chứa t0 gọi là một nghiệm của bài toán giá
trị ban đầu (1)-(2) nếu x (t0) = x0, (t, x(t)) ∈ D, x(t) là hàm khả vi và thỏa mãn phương
trình (1) với mọi t ∈ I .
Chú ý: x (t) là nghiệm của bài toán (1)-(2) khi và chỉ khi nó là nghiệm liên tục của phương trình tích phân Z t x (t) = x0 + f (s, x (s))ds, ∀t ∈ I . t0
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 2 / 63
2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương
Ta xét bài toán giá trị ban đầu x ′ = f (t, x ), (1)
với điều kiện ban đầu x (t0) = x0, (2) trong đó f : D → n n
R là hàm xác định, liên tục trong tập D ⊂ R × R chứa điểm (t0, x0). Một hàm x : I → n
R xác định trên một khoảng I chứa t0 gọi là một nghiệm của bài toán giá
trị ban đầu (1)-(2) nếu x (t0) = x0, (t, x(t)) ∈ D, x(t) là hàm khả vi và thỏa mãn phương
trình (1) với mọi t ∈ I .
Chú ý: x (t) là nghiệm của bài toán (1)-(2) khi và chỉ khi nó là nghiệm liên tục của phương trình tích phân Z t x (t) = x0 + f (s, x (s))ds, ∀t ∈ I . t0
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 2 / 63
2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương
Ta xét bài toán giá trị ban đầu x ′ = f (t, x ), (1)
với điều kiện ban đầu x (t0) = x0, (2) trong đó f : D → n n
R là hàm xác định, liên tục trong tập D ⊂ R × R chứa điểm (t0, x0). Một hàm x : I → n
R xác định trên một khoảng I chứa t0 gọi là một nghiệm của bài toán giá
trị ban đầu (1)-(2) nếu x (t0) = x0, (t, x(t)) ∈ D, x(t) là hàm khả vi và thỏa mãn phương
trình (1) với mọi t ∈ I .
Chú ý: x (t) là nghiệm của bài toán (1)-(2) khi và chỉ khi nó là nghiệm liên tục của phương trình tích phân Z t x (t) = x0 + f (s, x (s))ds, ∀t ∈ I . t0
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 2 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 3 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 4 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 5 / 63 Định lý Picard-Lindelof Giả sử hàm liên tục f : [t n
0 − a, t0 + a] × B (x0, b) → R
thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với biến x đều theo t, tức là
∥f (t, x) − f (t, y )∥ ≤ L ∥x − y ∥ ,
∀(t, x), (t, y ) ∈ [t0 − a, t0 + a] × B(x0, b), và giả sử ∥f (t, x)∥ ≤ M,
∀(t, x), (t, y ) ∈ [t0 − a, t0 + a] × B(x0, b).
Khi đó bài toán giá trị ban đầu (1)-(2) có duy nhất nghiệm x (t) xác định trên đoạn
[t0 − α, t0 + α], với α = min{a, b/M}.
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 6 / 63 Điều kiện Lipschitz Example 1
Hàm f (x , y ) = y 2/3 không thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong mọi miền chứa điểm y = 0. 2 2
Hàm f (x , y ) = x − y là hàm Lipschitz trên D = R với hằng số L = 1. 3
Hàm f (x , y ) = ey thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz L = ec trong miền D = {(x , y ) ∈ 2
R : x ∈ R, |y | ≤ c }, trong đó c là hằng số dương.
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 7 / 63 Điều kiện Lipschitz Lemma
Giả sử D là miền lồi trong n n
R và hàm f : D → R có các đạo hàm riêng liên tục và bị chặn
trên D. Khi đó f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên D.
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 8 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 9 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 10 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 11 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 12 / 63 Chú ý
Nếu bỏ giả thiết f Lipschitz đối với biến x , nghiệm của bài toán (1)-(2) có thể không duy nhất.
Example (Không duy nhất nghiệm)
Xét bài toán giá trị ban đầu (x′(t) = 3x2/3 x (0) = 0.
Gần điểm t = 0, bài toán có hai nghiệm x (t) = 0 và x (t) = t3.
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 13 / 63 Hệ quả ∂f
Giả sử f và các đạo hàm riêng
, i = 1, . . . , n là các hàm liên tục trên tập mở D ⊂ n R × R ∂xi
và (t0, x0) ∈ D. Khi đó bài toán giá trị ban đầu (1)-(2) có nghiệm duy nhất xác định trong một lân cận của t0. Chứng minh.
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 14 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 15 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 16 / 63
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin)
Chương 2. Các định lí cơ bản Math 425T 17 / 63