Bài giảng Chương 2. Không gian véc tơ môn Đại số tuyến tính | Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Chương 2. Không gian véc tơ (2 tuần) GV. Nguyễn Hữu Hiệp
Bộ môn toán Ứng dụng, Khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa TP. Hồ Chí Minh, 268 Lý Thường Kiệt, Quận 10, TP. Hồ Chí Minh.
E-mail: nguyenhuuhiep@hcmut.edu.vn
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) 5th July Chương 20 2 24 5th July 2024 1 / 82 Không gian véc tơ(KGVT) 1 Không gian véc tơ(KGVT) 2
Tổ hợp- Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính 3 Hạng của họ véc tơ 4
Tập sinh- Cơ sở - Số chiều 5 Không gian con 6 Toạ độ 7 Ma trận chuyển cơ sở 8 Tổng giao 2 không gian con
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 2 / 82 Không gian véc tơ(KGVT) Không gian véc tơ (KGVT)
Cho tập hợp X ̸= ∅ và trường véc tơ K (K là R hoặc C). Xét 2 phép toán cộng 2 véc
tơ và nhân véc tơ với một số (K) thỏa mãn 10 điều kiện: x + y ∈ X α(x + y ) = αx + αy αx ∈ X (α + β)x = αx + βx x + y = y + x ∃0 ∈ X : x + 0 = 0 (x + y ) + z = x + (y + z)
∃(−x) ∈ X : x + (−x) = 0 (α.β)x = α(βx ) 1.x = x. ∀x, y ∈ X ; α, β ∈ K .
Ta nói X là một không gian véc tơ hay không gian tuyến tính.
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 3 / 82 Không gian véc tơ(KGVT) Ghi chú
1/ Mục đích: nghiên cứu về Phương.
2/ Không: quan tâm đến góc và độ dài véc tơ.
3/ Mở rộng khái niệm phổ thông:
tập các véc tơ gốc O ở phổ thông là một không gian véc tơ.
4/ Mở rộng các tập hợp khác có cấu trúc tương tự véc tơ:
Như là: tập các đa thức, tập các ma trận cùng cỡ, tập các hàm số...
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 4 / 82 Không gian véc tơ(KGVT)
Điều kiện quan trọng của KGVT cho x, y ∈ X và α ∈ K .
1/ αx ∈ X : nếu x ∈ X thì cả đường thẳng {αx|α ∈ K } con X .
2/ x + y ∈ X : nếu X chứa 2 véc tơ x, y (không cùng phương) thì chứa cả mặt phẳng
nhận x, y làm véc tơ chỉ phương.
3/ 0 ∈ X : KGVT phải chứa véc tơ 0.
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 5 / 82 Không gian véc tơ(KGVT)
Các không gian véc tơ thường gặp 1/ R2 = {(a, b)|a, b ∈ R}
2/ Rn = {(a1, a2, .., an)|ai ∈ R, ∀i}
3/ Mm×n(R) : tập các ma trận cỡ m × n.
4/ P2[x] = {ax2 + bx + c|a, b, c ∈ R}
5/ C [a, b] = {f : [a, b] → K |f liên tục}. ...... Chú ý: n
R ký hiệu cho các véc tơ viết dọc (theo cột).
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 6 / 82 Không gian véc tơ(KGVT)
Các khái niệm cơ bản trong không gian véc tơ
Def1: Tổ hợp tuyến tính (THTT)
Nếu véc tơ z biểu diễn được qua 2 véc tơ x, y thì ta nói z là THTT của x và y , như là
x = (1, 2), y = (3, −2) : z = (8, −8) z = −1.x + 3.y
Véc tơ 0 là THTT của mọi tập: 0 = 0.x + 0.y .
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 7 / 82 Không gian véc tơ(KGVT) Ghi chú
1/ Cho x ̸= 0. Bất kỳ véc tơ nào thuộc đường thẳng {αx|x ∈ K } đều là tổ hợp tuyến
tính của x. Tập các véc tơ trên đường thẳng này gọi là bao tuyến tính của x
2/ Cho 2 véc tơ x, y không cùng phương sinh ra mặt phẳng
(P) = {αx + βy |α, β ∈ K }. Các véc tơ trên (P) là THTT của x , y .
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 8 / 82 Không gian véc tơ(KGVT)
Def2. Phụ thuộc tuyến tính (PTTT) và độc lập tuyến tính (ĐLTT)
1/ Trên một đường thẳng qua O (1 chiều), lấy 2 véc tơ x, y tuỳ ý. Khi đó, 2 véc tơ này PTTT
2/ Trên một mặt phẳng qua O (2 chiều), lấy 3 véc tơ x, y , z tuỳ ý. Khi đó, 3 véc tơ này PTTT
3/ Ta có thể tổng quát một cách hình thức là: nhiều véc tơ trong không gian ít chiều thì PTTT
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 9 / 82 Không gian véc tơ(KGVT) Def 3. Tập sinh
1/ Xét véc tơ x ̸= 0 trên đường thẳng d . Mọi véc tơ trên d luôn biểu diễn được qua x.
Ta nói x là một tập sinh của d .
x là đại diện cho d . Để xác định d , ta chỉ cần biết 1 véc tơ x là đủ.
2/ Trên một mặt phẳng (P), lấy 2 véc tơ không cùng phương x, y .
Mọi véc tơ trong mặt phẳng (P) luôn biểu diễn được qua x, y .
Ta nói x, y là một tập sinh của (P).
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 10 / 82 Không gian véc tơ(KGVT)
Def 4. Cơ sở, số chiều (dim)
1/ Có vô số tập sinh của một KGVT. Tập sinh có ít véc tơ nhất (ĐLTT) gọi là cơ sở.
Ví dụ: trên mặt phẳng (P) : ta có thể lấy 2 tập sinh là {x, y } và {x, y , z}.
Tập sinh {x, y } ĐLTT nên là 1 cơ sở
Tập sinh {x, y , z} PTTT nên không là cơ sở.
2/ Đường thẳng d có cơ sở gồm 1 véc tơ x nên ta nói d là KG 1 chiều: dim(d ) = 1
Mặt phẳng (P) có cơ sở gồm 2 véc tơ x, y nên ta nói (P) là KG 2 chiều: dim((P)) = 2
Tổng quát: số chiều của một không gian dim(X ) = số véc tơ cơ sở.
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 11 / 82 Không gian véc tơ(KGVT) Def5. Hạng (Rank, r)
1/ Cho 4 véc tơ nằm trên 1 đường thẳng. Ta cần một đường thẳng 1 chiều mới chứa
được 4 véc tơ này. Ta nói hạng của 4 véc tơ này bằng 1.
2/ Cho 3 véc tơ đồng phẳng. Để chứa được 3 véc tơ này, ta cần phải có một mặt phẳng
2 chiều. 3 véc tơ này có hạng bằng 2.
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 12 / 82 Không gian véc tơ(KGVT) Tổng kết THTT Biểu diễn được PTTT
Nhiều véc tơ trên KG ít chiều ĐLTT Ngược lại của PTTT M là tập sinh
Mọi véc luôn biểu diễn được qua M Cơ sở
Tập sinh có ít véc tơ nhất(ĐLTT) Số chiều Số véc tơ cơ sở Hạng
Số chiều của KG chứa được các véc tơ đó
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 13 / 82 THTT-ĐLTT-PTTT 1 Không gian véc tơ(KGVT) 2
Tổ hợp- Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính 3 Hạng của họ véc tơ 4
Tập sinh- Cơ sở - Số chiều 5 Không gian con 6 Toạ độ 7 Ma trận chuyển cơ sở 8 Tổng giao 2 không gian con
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 14 / 82 THTT-ĐLTT-PTTT THTT-ĐLTT-PTTT
Trong KGVT X , cho tập M = {x1; x2; ...; xm}
Véc tơ x gọi là THTT của M nếu ∃α1, α2, . . . , αm ∈ K thỏa
x = α1x1 + α2x2 + · · · + αmxm
M gọi là PTTT nếu ∃α1, α2, . . . , αm không đồng thời bằng 0 thỏa
α1x1 + α2x2 + · · · + αmxm = 0.
M gọi là ĐLTT nếu nó không PTTT. Tức là
α1x1 + α2x2 + · · · + αmxm = 0 ⇐⇒ α1 = α2 = · · · = αm = 0.
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 15 / 82 THTT-ĐLTT-PTTT Ví dụ 1.
Trong R2, cho M = {(1, 1), (1, 2); (1, 3)}.
a/ x = (3, 5) có là THTT của M ? b/ M ĐLTT hay PTTT?
a/ Xét x = (3, 5) = a1(1, 1) + a2(1, 2) + a3(−1, 3), ai ∈ R. (3 = a1 + a2 + a3 5 = a1 + 2a2 + 3a3
Vì hệ vô số nghiệm (có nghiệm) nên x là THTT của M.
b/ Xét a1(1, 1) + a2(1, 2) + a3(1, 3), ai ∈ R. (a1 + a2 + a3 = 0 a1 + 2a2 + 3a3 = 0
Vì hệ vô số nghiệm (có nghiệm khác 0) nên M PTTT.
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 16 / 82 THTT-ĐLTT-PTTT Ví dụ 2.
Trong R3, cho họ véc tơ M = {(1, 1, 1), (2, 1, 3), (1, 2, 0)}.
a/ x = (2, −1, 3) có là THTT của M hay không? b/M ĐLTT hay PTTT?  α + 2β + γ = 2  
a/ Xét x = α(1, 1, 1) + β(2, 1, 3) + γ(1, 2, 0) ⇐⇒ α + β + 2γ = −1   α + 3β = 3
Vì hệ vô nghiệm nên x không là THTT của M.  α + 2β + γ = 0  
b/ Xét α(1, 1, 1) + β(2, 1, 3) + γ(1, 2, 0) = 0 ⇐⇒ α + β + 2γ = 0 .   α + 3β = 0
Vì hệ vô số nghiệm nên M PTTT.
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 17 / 82 THTT-ĐLTT-PTTT Ví dụ 3.
Trong KGVT X , cho {x, y } ĐLTT. Hỏi M = {2x + y , x − 2y } ĐLTT hay PTTT?
Xét a(2x + y ) + b(x − 2y ) = 0 ⇐⇒ (2a + b)x + (a − 2b)y = 0. Vì x, y ĐLTT nên ( ( 2a + b = 0 a = 0 ⇐⇒ a − 2b = 0 b = 0 Vậy M ĐLTT.
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 18 / 82 THTT-ĐLTT-PTTT Tính chất Trong KGVT X , cho tập M
1/ M chứa véc tơ 0 thì PTTT
2/ M có hơn 1 véc tơ: M PTTT ⇐⇒ có 1vt là THTT của các vt khác
3/ Tập con của một tập ĐLTT là ĐLTT
4/ Cho M ĐLTT. Nếu {M, x} ĐLTT ⇐⇒ x không là THTT của M
5/ Bổ đề cơ bản. Cho M = {x1, x2, . . . , xm}, N = {y1, y2, . . . , yn}, m > n.
Nếu mỗi véc tơ M đều là THTT của N thì M PTTT.
(nhiều véc tơ biểu diễn được qua ít vt thì PTTT)
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 19 / 82 THTT-ĐLTT-PTTT Ví dụ 4.
Trong KGVT X , cho x, y , z, t ∈ X và {x, y } ĐLTT. Các tập sau đây ĐLTT hay PTTT? 1/ M = {0} 2/ M = {2x; 3y ; x + y }
3/ M = {2x − y ; 3x + 4y ; x − 2y }
4/ M = {x + y ; y + z; z − x} 5/ M = {x; y ; z} 6/ M = {x + y ; y + z; z + x}
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 2 5th July 2024 20 / 82