Bài giảng điện tử môn Giải tích | Trường đại học công nghệ thông tin và truyền thông việt hàn

GIẢI TÍCH
Bài giảng điện tử ĐÀ NẴNG - 2020
Chương 3: CHUỖI 3.1
Đại cương về chuỗi số 3.2 Chuỗi số dương 3.3
Chuỗi có số hạng với dấu bất kì 3.4 Chuỗi lũy thừa
3.1. ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ 3.1.1. Định nghĩa
Cho dãy số thực u , u , … , u , …Biểu thức 1 2 n 
u  u  u  ...  u  ...  u (1) 1 2 3 n n n 1  gọi là chuỗi số.
u gọi là số hạng tổng quát thứ n. n Tổng n số hạng đầu n
S  u  u  u  ...  u  u n 1 2 3 n k k 1 
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1).
Nếu lim 𝑆𝑛 = 𝑆 (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1) hội tụ về 𝑛→∞
S và S được gọi là tổng của chuỗi (1). Ta viết: 
S  u .n n 1 
Nếu lim 𝑆𝑛 = ∞ hoặc không tồn tại lim 𝑆𝑛 thì ta nói 𝑛→∞ 𝑛→∞ chuỗi số (1) phân kì. Ví dụ a. Chuỗi cấp số nhân  n 2
q  q  q .... n  q  ... n 1   u q Khi q  1: n 1 Chuỗi q   hội tụ.   q  q n 1 1 1  Khi q  1: n
Chuỗi  q phân kì. n 1  Chú ý:  u n 1 Khi q  1: 1 Chuỗi q     q  q n 1 1 0
b. Chuỗi số sau gọi là chuỗi điều hòa  1 1 1 1
 1  .... ...  n n n 2 3 1
Chuỗi điều hòa phân kì.  1 Chuỗi Rieman  ,     n n 1
hội tụ khi   1, phân kỳ khi   1.
(Chứng minh ở phần tiêu chuẩn xét sự hội tụ tích phân)
b. Điều kiện cần của chuỗi số hội tụ: Định lí 1: Nếu  
u hội tụ thì lim u  0. n n  n1 n
Hệ quả: Nếu limu  0 (hoặc không tồn tại) thì chuỗi n n  u phân kì. n n1
Chú ý: Nếu có lim u  0 thì chuỗi  
u chưa chắc hội tụ. n n n n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:   n  3  a.  b.  2 n   1 c. sin n  n  n 2 1 1 n 1  n 1  c. Tính chất  Tính chất 1: u Hai chuỗi số
và Cun cùng hội tụ n n1 n 1   
hoặc cùng phân kỳ; nếu chúng hội tụ thì Cu  Cu . n n n 1  n 1    Tính chất 2: Nếu   u và v u v n n  n n hội tụ thì n1 n 1  n 1    
cũng hội tụ và u  v   u  v . n n n n n 1  n 1  n 1  
Tính chất 3: Hai chuỗi số   u u (k 1) n và n cùng hội tụ n1 nk
hoặc cùng phân kỳ. (Nghĩa là tính hội tụ hay phân kỳ của
một chuỗi số không đổi khi ta bớt đi hoặc thêm vào chuỗi
số một số hữu hạn các số hạng đầu tiên).
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng
tổng quát sau. Tính tổng (nếu có): n  2  a. u  4 (n  1) n    3  1 1 b. u   (n  1) n 2n 5n
3.2. CHUỖI SỐ DƯƠNG 
3.2.1. Định nghĩa. Chuỗi số dương là chuỗi sốu , n n 1 
trong đó u > 0, n  1. n
3.2.2.Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương a. Tiêu chuẩn so sánh 1  
Cho 2 chuỗi số dương u , v , thỏa mãn n n n 1  n 1 
0 < u  v , n1. Khi đó: n n - Nếu   v hội tụ thì   u hội tụ. n n n1 n1 - Nếu  u phân kì thì phân kì. n vn n n1 1 Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau  n 1  3n a.  b.  2 n n  n  n 5 2 n 1 1  5  ( 1  )n.3 c.  n3 n 2 1 b. Tiêu chuẩn so sánh 2   u
Cho 2 chuỗi số dương u , v và lim n  k. n n n n 1  n 1  vn Khi đó:
 k = 0  0  u  v  Giống tiêu chuẩn so sánh 1. n n  
 0 < k < +: u ; v cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. n n n 1  n 1 
 k = +  0  v < u  Giống tiêu chuẩn so sánh 1. n n Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau     1  a. sin b. ln 1   2  3n n 1   n  n 1  1      c. n  2  e 1 2n n 1 d.  3 2 n 1     n  n  n 1 1 c. Quy tắc D’Alembert u Cho chuỗi số dương   u   D n . Nếu 1 lim n  n 1 n un thì   u
hội tụ khi D < 1, phân kì khi D > 1. n n 1 d. Quy tắc Cauchy Cho chuỗi số dương  
u . Nếu lim n u  l n n  n 1 n thì   u
hội tụ khi l < 1, phân kì khi l > 1. n n 1 Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau   n  2n 1 3 n! a.  b.  c. 3  n  3n  n n 1  n n 1 n 1 2 2 n   n 5n  1    2n 1  d.   e.     n   n 3 2 2   n   n 2 3 1 e. Quy tắc tích phân
Nếu hàm f(x) liên tục, dương, giảm trên [k, +∞), và
f(x)  0 khi x  +∞. Đặt u = f(n). Khi đó chuỗi n số dương:  
u   f (n) n nk nk  và tích phân suy rộng f (x)dx 
cùng hội tụ hoặc phân kỳ. k
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:  1 a. Chuỗi Rieman  ,     n n 1  1 b.  3  n n n ln 2
3.3. CHUỖI CÓ SỐ HẠNG VỚI DẤU BẤT KÌ 
Chuỗi u với u  được gọi là chuỗi có dấu bất kỳ. n n n 1 
3.3.1. Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ Định lý: Nếu   u hội tụ thì chuỗi   u hội tụ. n n n1 n1
Chú thích. Điều kiện   u
hội tụ là điều kiện đủ n n1 để chuỗi  
u hội tụ. Vì có thể   u hội tụ mà n n n1 n1  un phân kỳ. n1 Định nghĩa. Chuỗi   un được gọi là n1
Hội tụ tuyệt đối nếu   u hội tụ. n n1 
Bán hội tụ nếu  u hội tụ, nhưng   u n phân kỳ. n n 1  n1  u
Định lý. Cho chuỗi u . Đặt 1   lim n n n n 1  un
hay   lim n u . Khi đó n n
 Nếu  < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
 Nếu  > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.