Bài giảng môn lý thuyết xác suất và thống kê toán | Trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân

BẨI GI NG MÔN Lụ THUY T XÁC SU T VẨ TH NG Kể TOÁN Mai Cẩm Tú Bộ môn Toán kinh t 1 PH N TH NH T LÝ THUY T XÁC SU T CH NG 1
BI N C NG U NHIểN VẨ XÁC SU T
1. M Đ U - Nội dung ch ơng 1
• Các khái niệm nền t ng c a xác su t
• Các định nghĩa xác su t
• Hai nguyên lý cơ b n c a xác su t
• Các định lý XS dùng để tìm XS c a bi n c ph c hợp. 2
Ch ơng 1 2. Phép thử, biến cố
2. PHÉP TH VẨ CÁC LO I BI N C 2.1. Phép th vƠ bi n c
+ Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ b n để quan
sát hiện t ợng nào đó có x y ra hay không đ ợc gọi là thực hiện phép thử.
+ Hiện t ợng có thể x y ra (hoặc không x y ra) trong k t
qu c a phép thử gọi là bi n c .
Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc cân đ i, đồng ch t trên mặt phẳng c ng.
+ Phép thửμ tung 1 con xúc xắc + Điều kiện cơ b nμ ầ
+ Bi n c μ A = “xu t hiện 6 ch m”; 6
B = “xu t hiện lẻ ch m” 3
Ch ơng 1 2. Phép thử, biến cố
2. PHÉP TH VẨ CÁC LO I BI N C 2.2. Các lo i bi n c + Bi n c chắc chắn (U) + Bi n c không thể có (V)
+ Bi n c ngẫu nhiên (A, B, A , A ,ầ) 1 2
Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc
U = “xu t hiện s ch m nh hơn 7” V = “xu t hiện 7 ch m”
A = “xu t hiện 6 ch m” (b/c ngẫu nhiên) 6
B = “xu t hiện lẻ ch m” (-----------------) 4
Ch ơng 1 3.Xác suất của biến cố 3. XÁC SU T C A BI N C
Xác su t c a một bi n c là một con s đặc tr ng cho kh
năng khách quan xu t hiện bi n c đó khi thực hiện phép thử.
Kí hiệu xác su t c a bi n c A là P(A)
Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc
A = “xu t hiện 6 ch m” → P(A ) = 1/6 6 6
B = “xu t hiện lẻ ch m” → P(B) = 3/6 = 1/2 = 0,5
Theo kh năng tìm XS có thể chia bi n c thành 2 loạiμ + Bi n c đơn gi n + Bi n c ph c hợp 5
Ch ơng 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
4. Đ NH NGHƾA C ĐI N V XÁC SU T 4.1. Thí d
4.2. Đ nh nghƿa c đi n v xác su t
Xác su t xu t hiện bi n c A trong 1 phép thử là tỷ s giữa
s k t cục thuận lợi cho A (kí hiệuμ m) và tổng s các
k t cục duy nh t đồng kh năng có thể x y ra khi thực
hiện phép thử đó (kí hiệuμ n). m P( ) A  n
4.3. Các tính ch t c a xác su t
0 ≤ P(A) ≤ 1; P(U) = 1; P(V) = 0 6
Ch ơng 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
4. Đ NH NGHƾA C ĐI N V XÁC SU T
4.4. Các ph ng pháp tính xác su t b ng đ nh nghƿa c đi n.
a. Ph ơng pháp suy luận trực tiếp
Ví dụ 1.2. Hộp có 10 qu c u gồm 3 qu trắng và 7 qu
đen. L y ngẫu nhiên từ hộp 1 qu c u. Tìm xác su t l y đ ợc c u trắng.
b. Ph ơng pháp dùng sơ đồ
• Dùng sơ đồ cây
Ví dụ 1.3. Tung 1 đồng xu đ i x ng, đồng ch t trên mặt
phẳng c ng 3 l n. Tìm xác su t có đúng 1 l n xu t hiện mặt s p. 7
Ch ơng 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
b. Ph ơng pháp dùng sơ đồ
• Dùng sơ đồ dạng bảng
Ví dụ 1.4. Tung 1con xúc xắc cân đ i, đồng ch t trên mặt
phẳng c ng 2 l n. Tìm xác su t
a. Tổng s ch m xu t hiện là 8.
b. Tổng s ch m xu t hiện là 8 bi t rằng có (ít nh t 1) l n xu t hiện mặt 6 ch m
• Dùng sơ Venn
Ví dụ 1.5. Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 30 học sinh
gi i Toán, 20 học sinh gi i Văn, 15 học sinh gi i c
Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tìm xác
su t chọn đ ợc học sinh không gi i Toán và không
gi i Văn. (không gi i môn nào) 8
Ch ơng 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
c. Ph ơng pháp dùng công thức của giải tích tổ hợp
• Tổ hợp chập k c a n ph n tửμ C k (0≤ k ≤ n) n
• Chỉnh hợp chập k c a n ph n tửμ A k (0≤ k ≤ n) n
• Hoán vị c a k ph n tửμ Pk
• Chỉnh hợp lặp k c a n ph n tửμ k An (0≤ k ≤ n) Quy ớcμ 0! = 1
Ví dụ 1.6. Một hộp có 10 s n phẩm (6 chính phẩm và 4
ph phẩm). L y đồng th i 2 s n phẩm. Tìm xác su t
a. L y đ ợc 2 chính phẩm.
b. L y đ ợc đúng 1 chính phẩm 9
Ch ơng 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
c. Ph ơng pháp dùng công thức của giải tích tổ hợp
Ví dụ 1.7. Một hộp có 10 s n phẩm (2 s n phẩm xanh, 3
màu đ , 5 màu vàng). L y đồng th i 4 s n phẩm. Tìm xác su t
a. L y đ ợc 4 s n phẩm cùng màu. b. L y đ ợc đ 3 màu.
c. L y đồng th i 5 s n phẩm. Tìm XS l y đ ợc đ 3 màu.
4.5. u đi m vƠ h n ch c a đ nh nghƿa c đi n •
u điểm: Không c n thực hiện phép thử
• Hạn chế: + Đòi h i s k t cục hữu hạn.
+ Các k t cục ph i th a mưn tính duy nh t, đồng kh năng. 10
Ch ơng 1 5. Định nghĩa thống kê về XS
5. Đ NH NGHƾA TH NG Kể V XÁC SU T 5.1. Đ nh nghƿa t n su t
T n su t xu t hiện bi n c A trong n phép thử là tỷ s giữa
s phép thử trong đó bi n c xu t hiện (k) và tổng s
phép thử đ ợc thực hiệnμ k f ( ) A  n
5.2. Đ nh nghƿa th ng kê v xác su t
Xác su t xu t hiện bi n c A trong 1 phép thử là một s p
không đổi mà t n su t f xu t hiện bi n c đó trong n
phép thử s dao động r t ít xung quanh nó khi s phép thử tăng lên vô hạn. 11
Ch ơng 1 6. Định nghĩa khác về XS
6. M T S Đ NH NGHƾA KHÁC V XÁC SU T
6.1. Đ nh nghƿa hình học v xác su t
6.2. Đ nh nghƿa ch quan v xác su t
6.3. Đ nh nghƿa tiên đ v xác su t 12
Ch ơng 1 7. Nguyên lý xác suất
7. NGUYểN Lụ XÁC SU T
7.1. Nguyên lỦ xác su t nh
+ N u một bi n c có xác su t r t nh thực t có thể cho
rằng trong một phép thử bi n c đó s không x y ra.
+ M c xác su t đ ợc coi là nh tùy thuộc vào từng bài
toán và gọi là m c ý nghĩa.
+ Nguyên lý XS nh là cơ s c a ph ơng pháp kiểm định.
7.2. Nguyên lỦ xác su t l n
+ N u một bi n c có xác su t r t lớn thực t có thể cho
rằng trong một phép thử bi n c đó s x y ra.
+ M c xác su t đ lớn gọi là độ tin cậy.
+ Nguyên lý XS lớn là cơ s c a ph ơng pháp ớc l ợng bằng kho ng tin cậy. 13
Ch ơng 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
8. M I LIểN H GI A CÁC BI N C
Định nghĩa 1. Bi n c A gọi là thuận lợi cho bi n c B, kí hiệu A  , n B
u A x y ra thì B cũng x y ra.
Định nghĩa 2. Bi n c A gọi bằng bi n c B, kí hiệu A = B,
n u A x y ra thì B cũng x y ra và ng ợc lại.
Ví dụ 1.8. Tung 1 con xúc xắc
A = “xu t hiện i ch m” (i = 1,2,ầ, 6) i
A = “xu t hiện 1, 3 hoặc 5 ch m”
B = “xu t hiện lẻ ch m” → A  B 1 A = B 14
Ch ơng 1 8. Liên hệ giữa các biến cố 8.1. T ng các bi n c
Định nghĩa 3. Bi n c C đ ợc gọi là tổng c a 2 bi n c A
và B, kí hiệu C = A + B, n u C chỉ x y ra khi và chỉ khi
có ít nh t một trong hai bi n c A và B x y ra.
Ví dụ 1.λ. Mua l n l ợt 2 s n phẩm cùng loại
A = “l n th i mua đ ợc chính phẩm” (i=1,2) i
A = “mua đ ợc ít nh t 1 chính phẩm”
= “có mua đ ợc chính phẩm” → A = A + A 1 2 15
Ch ơng 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 4. Bi n c A đ ợc gọi là tổng c a các bi n c
A , A ,ầ, A n u A x y ra khi và chỉ khi có ít nh t một 1 2 n
trong n bi n c thành ph n x y ra. Kí hiệuμ n A  i i 1 
Ví dụ 1.10. Xạ th bắn 4 viên đạn độc lập.
A = “xạ th bắn trúng viên th i” (1 = 1, 2, 3, 4) i
A = “bia bị trúng đạn” → A = A + A + A + A 1 2 3 4 16
Ch ơng 1 8. Liên hệ giữa các biến cố 8.2. Tích các bi n c
Định nghĩa 5. Bi n c C đ ợc gọi là tích c a 2 bi n c A
và B, kí hiệu C = A.B, n u C x y ra khi và chỉ khi c 2 bi n c A và B cùng x y ra.
Ví dụ 1.11. Mua l n l ợt 2 s n phẩm cùng loại
A = “l n th i mua đ ợc chính phẩm” (i=1,2) i
B = “mua đ ợc 2 chính phẩm” → B = A .A 1 2 17
Ch ơng 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 6. Bi n c A đ ợc gọi là tích c a các bi n c
A , A ,ầ, A n u A x y ra khi và chỉ khi t t c n bi n c 1 2 n thành ph n x y ra. Kí hiệuμ n A  i i 1 
Ví dụ 1.12. Xạ th bắn 4 viên đạn độc lập.
A = “xạ th bắn trúng viên th i” (1 = 1, 2, 3, 4) i
B = “xạ th bắn trúng c 4 viên đạn” → B = A .A .A .A 1 2 3 4 18
Ch ơng 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
8.3. Tính xung kh c c a các bi n c
Định nghĩa 7. Hai bi n c A và B gọi là xung khắc với
nhau n u chúng không thể đồng th i x y ra trong k t qu c a một phép thử.
Tr ng hợp ng ợc lại gọi là không xung khắc.
Ví dụ 1.13. Hộp có 7 chính phẩm và 3 ph phẩm. L y 1 s n phẩm
A = “ l y đ ợc chính phẩm”; B = “l y đ ợc ph phẩm” → A và B xung khắc.
Ví dụ 1.14. Hộp có 7 chính phẩm và 3 ph phẩm. L y l n
l ợt 2 s n phẩm. A = “l n th i l y đ ợc chính phẩm” i
→ A và A không xung khắc. 1 2 19
Ch ơng 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 8. Nhóm n bi n c A , A ,ầ, A đ ợc gọi là 1 2 n
xung khắc từng đôi n u b t kì 2 bi n c nào trong nhóm
này cũng xung khắc với nhau.
Ví dụ 1.15. Xạ th bắn 4 viên đạn độc lập
A = “xạ th bắn trúng i viên” (i=0,1,ầ,4) i
A = “bia bị trúng đạn”
A ,A ,ầ,A μ xung khắc từng đôi 0 1 4
A, A , A μ không xung khắc từng đôi 0 1 20