Bài giảng toán cao cấp | Đại học bách khoa Hà Nội

Giảng viên: Ths.Bùi Thị Bích Phương
 Số tín chỉ: 2 (30 tiết)  Tài liệu bắt buộc:
[1]. Toán cao cấp 1, Trường Đại học Điện lực.  Tài liệu tham khảo:
[2]. Toán cao cấp 1, Nguyễn Đình Trí, NXB Giáo dục. Chương 1. Số phức
Chương 2. Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3. Không gian véctơ
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Chương 5. Dạng toàn phương
Ta biết rằng trên trường số thực pt bậc hai 2 ax  bx  c  0 nếu có biệt thức   2 b  4ac
 0 thì không có nghiệm. Chẳng hạn pt x 2  1  k 0
hông có nghiệm thực. Nhưng
trong thực tiễn của Khoa học kỹ thuật có nhiều bài toán dẫn
đến vấn đề tìm nghiệm của các pt như trên. Do đó, cần phải
mở rộng trường số thực để các pt đó có nghiệm.
 Mỗi cặp có thứ tự các số thực a
,b được gọi là một số phức.  Ký hiệu:  a ,b / a  , b là t  ập tất cả các số phức.
 Phép toán cộng, phép toán nhân các số phức được định nghĩa như sau:
i. Phép cộng số phức: a,b  c,d   a  b,c d ii. Phép nhân số phức: a ,b. c, d    ac  b d,a d  bc
Chú ý: Tập các số thực với các phép toán cộng và nhân
thông thường cũng như tập các số phức với hai phép
toán cộng và nhân nêu trên với những tính chất xác định
lập thành cấu trúc trường. Bởi vậy, ta sẽ gọi trường số
thực , trường số phức .  Đặt i  0, ,
1 số phức điược gọi là đơn vị ảo. Ta có 2
i  0,1.0,1   1  ,0  1   Với mỗi số phức z  a, b  a, 0  0, b  . a  bi Vậy ta có z  a ,b  a
 bi được gọi là dạng đại số của số phức . z  Với z  a  t bi hì
a đgl phần thực của , ký hiệu z a  Re z
b đgl phần ảo của ,
z ký hiệu: b  Imz  Số phức có dạng   là một số thực. z a 0i  Số phức có dạng g   ọi là số thuần ảo. z 0 bi
3.1. Dạng lượng giác của số phức
Ma,b
 Ta cho tương ứng mỗi số phức z  a
 bi là một điểm
thuộc mặt phẳng tọa độ Ox .
y Dễ thấy rằng tương ứng đó là
một song ánh. Khi đó, mặt phẳng Ox g
y ọi là mặt phẳng phức, trục g Ox
ọi là trục thực và trục g
Oy ọi là trục ảo của mặt phẳng phức. Điểm M a hoà ,b
n toàn xác định khi biết véctơ OM  Giả sử z  a  bi
 0 . Khi đó, véctơ xác định nếu biết độ dài    OM  và góc r  OM, Ox   2k với 0 2 . Ta có: y  M 2 2 a,b
r  a  b  1 r  a cos    r  i  x  b sin   r O 1
Độ dài của véctơ gọi là môđun của số phức , ký hiệu OM z là z Ta có   2 2 z r a  b 2  Góc   
 gọi là agumen của số phức , z ký hiệu 2k ,k Argz . Góc đgl giá tr 
ị chính của agumen của , ký z hiệu argz . Chú ý rằng   . b tg Từ công thức 1 và a  2  ta có: z  r  cos  i sin 
đgl dạng lượng giác của số phức .
Ví dụ1. Tìm dạng lượng giác của số phức z  1  i 3 Giải Ta có r  1  3  2,t g  3 . Vì điểm M 1, 3 nằm ở   
góc phần tư thứ nhất của mp Ox nên t y a có   . Số
phức đã cho có dạng lượng giác là 3 y     z  2 cos   i sin  (II) (I) x  3 3  O (III) (IV)
3.2. Tích, thương các số phức viết dưới dạng lượng giác
 Điều kiện bằng nhau của hai số phức dạng lượng giác Ta có z 
r cos  i sin
z  r cos  i sin 2 2  2 2  1 1  1 1  và bằng nhau
 r  r ,   2k k 1 2 1 2  
 Tích của hai số phức dạng lượng giác Giả sử , Khi đó
z .z  r .r cos    i sin    1 2 1 2   1 2  1 2 
Vậy tích hai số phức là một số phức có môđun bằng tích các
môđun, có agumen bằng tổng các agumen.
 Thương của hai số phức dạng lượng giác Giả sử z  0 2 , ta có z
r cos  i sin r 1 1  1 1  1 
 cos    isin      z
r cos  i sin r 2 2  2 2   1 2  1 2 2
Vậy thương hai số phức là một số phức có môđun bằng
thương các môđun, agumen bằng hiệu các agumen.
3.3. Lũy thừa của số phức. Công thức Moavơrơ. Giả sử z  r  cos  i sin  ta có 2 2 z  .
z z  r cos2  i sin2  3 2 3
z  z .z  r cos3  i sin3 
Bằng quy nạp ta có công thức sau: n n
z  r cosn  i sinn  đgl công thức Moavơrơ.
Ví dụ 2. Tính   8 1 i
Giải Ta tìm dạng lượng giác của số phức z  1 .  i Ta có b
r  1  1  2,tg   1  a Vì M 1,
1 nằm trong góc phần tư thứ tư của mp Ox y nên ta lấy 7   . 4  ( Có thể thực hiện r  1 1  2 )   r  2  a 1  cos       7 r 2      4  b 1 sin      r 2    V  ậy z  7   i 7 2 cos sin    Ta có 4 4 8 8   7 7  1  i  2 cos  isin  16  
cos14 isin14     16   4 4  Cách 2: Ta có:
 i   i 4 8 2    i4 1 1 2  16.   Chú ý:
Ta có thể sử dụng công thức Moavơrơ để chứng minh một
số đồng nhất thức lượng giác. Chẳng hạn: Ta có (1)
Mặt khác áp dụng công thức khai triển Nhị thức Newtơn ta
có   i 3 3 2       i 2 3 cos sin cos 3cos sin
3cos  sin  sin   (2) Từ (1) và (2) ta có
So sánh phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo ở hai vế ta được: 3 2 cos
 3  cos  3cossin   2 3 sin
 3  3cos  sin sin 
Ứng dụng: Biểu diễn cos nx, sin nx theo sin x và cos x thì ta xét  n cosx+i sin x 3.4. Khai căn số phức
Định nghĩa: Giả sử là m n
ột số nguyên dương. Ta gọi căn bậc của số phức z là số phức v sao cho n v  . z
Định lý:Với n  0 , căn bậc c n ủa số phức z  r  cos  i sin    0 có
n giá trị khác nhau là   2k  2k  n     z r cos i sin
,k 0,1,...,n 1 k  n n 
Ví dụ 3. Tìm căn bậc 5 của số phức z  2   2i
Giải Ta biểu diễn số phức đã cho ở dạng lượng giác  3 3  2   2i  8 cos   i sin   4 4 
Số phức có 5 căn bậc 5 là k  0,1,2,3,4  3 3  2k 2k    3  8k 3  8k  10 4 4 10 z  8 cos  isin   8 cos   isin k  5 5  20 20     
 Căn bậc n của đơn vị Ta có 1  cos 0  i sin có n căn b 0 ậc n là 2k 2k z  cos  isin
,k  0,1,...,n 1 k n n
Chẳng hạn, căn bậc 6 của 1 là z  1 o   y z  cos  isin 1 3 3 z z 2 1 2 2 z  cos  isin 2 3 3
z  cos  i sin  1  z3 O z 3 0 4 4 z  cos  isin x 4 3 3 5 5 z  cos  isin z z 5 5 3 3 4
Ta nhận thấy các điểm biểu diễn các số phức z ,z ,z ,z ,z ,z 0 1 2 3 4 5
là các đỉnh của hình lục giác đều nội tiếp trong đường
tròn đơn vị có đỉnh là z  1,0 0  . Tổng quát:
Các điểm biểu diễn các số phức
z ,z ,...,z 0 1 là n các đỉnh
của hình n giác đều nội tiếp trong đường tròn đơn vị có đỉnh là .
Bài 1. Tìm dạng lượng giác của số phức sau: a. i b. 1  c. 1  i d. 1   i e. 1  i f. 3 1   i 3
Bài 2. Tìm dạng lượng giác của số phức 1  i 3  z 3  i Tính ? 100 z 1  i 
Bài 3. Tính các căn bậc 6 của , căn bậc 8 của 1 i 3  i  3 i
Bài 4. Tìm căn bậc ba của số phức z  2  2i 3
Bài 5. Tìm môđun và agumen của số phức 2  z 1i 3 
Bài 6. Chuyển số phức  1 3i z về dạng lượng giác. 
Bài 7. Giải phương trình 1 i 3
z  3  i  0 1  3i Bài 8. Cho z  , tìm 3 z ? 1  i
Bài 9. Giải phương trình 3
z   i    i   i5 3 1 1 3 1
1 3i61i Bài 10. Cho
I  . Đưa I về dạng lượng 3 giác.  3i
1.1. Khái niệm ma trận
Khi ta có m x n số ta có thể xếp thành một bảng chữ
nhật chứa m hàng và n cột. Một bảng số như thế gọi là một ma trận.
Định nghĩa: Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột a a ... a  11 12 1n   a a ... a 21 22 2n A     ... ... ... ...    a a ... a m1 m2 mn 
gọi là ma trận cỡ m x n.
a là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của ij
hàng i, cột j. Để ký hiệu ma trận ngta dùng hai dấu ngoặc vuông như trên.
 Để nói ma trận A cỡ m x n có phần tử nằm ở hàng i và cột j là ta vi a ết ij A  a 
 ij mxn
 Khi m = n bảng số thành vuông, ta có ma trận vuông
với n hàng và n cột, ta gọi là ma trận cấp n. a a ... a  11 12 1n   a a ... a 21 22 2n    ... ... ... ...    a a ... a n1 n2 nn  Các phần tử a ,a ,...,a 11 22
nn gọi là các phần tử chéo.
Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính.