lOMoARcPSD|45315597
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ
Giảng viên: ThS. Nguyễn Xuân Quý Email: quynx2705@gmail.com
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP NỘI DUNG
• Không gian véc-tơ
• Không gian con và hệ sinh
• Cơ sở của không gian hữu hạn chiều
• Tọa độ của véc-tơ
• Không gian véc-tơ với Tích vô hướng 2
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP I. KHÔNG GIAN VÉC-TƠ
− Giả sử V là tập hợp các phần tử véc-tơ và trên V xác định 2 phép toán:
a) Cộng hai phần tử x, y của V được x + y ∈ V
b) Nhân số k ∈ R với phần tử x ∈ V được kx ∈ V.
VD 1. Tập V = R với phép cộng và phép nhân hai số thực thông thường:
x + y và k.x.
VD 2. Tập V = R2 = {u = (a, b) : a, b ∈ R} với phép cộng và phép nhân:
(a, b) + (a0, b0) = (a + a0, b + b0)
k(a, b) = (ka, kb). 3
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP
− Khi đó tập V với 2 phép toán này gọi là không gian véc-tơ nếu thoả
mãn 8 điều kiện (tiên đề):
(1) x + y = y + x
∀x, y ∈ V.
(2) (x + y) + z = x + (y + z)
∀x, y, z ∈ V.
(3) Tồn tại θ ∈ V sao cho x + θ = θ + x = x ∀x ∈ V.
(4) Với mọi x ∈ V, tồn tại −x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = θ.
(5) 1.x = x ∀x ∈ V.
(6) k(x + y) = kx + ky
∀x, y ∈ V; ∀k ∈ R.
(7) (p + q)x = px + qx
∀x ∈ V; ∀p, q ∈ R.
(8) p(qx) = (pq)x
∀x ∈ V; ∀p, q ∈ R. 4
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Chú ý
• Khi (V, +, ·) là một KGVT thì các phần tử của V gọi là các véc-tơ.
• Cùng một tập V với các cách định nghĩa phép toán (cộng và nhân)
khác nhau có thể tạo thành KGVT khác nhau hoặc không thể tạo thành KGVT.
VD 3. Xét tập V = R:
− Dễ thấy V cùng phép cộng và phép nhân thông thường lập thành một KGVT (Right?)
− Tuy nhiên V cùng phép cộng x + y := x và phép nhân thông thường
KHÔNG lập thành KGVT (Vì sao?) 5
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP    
(a, b) + (a0, b0) = (a + a0, b + b0) VD 4. Tập 
V = R2 với hai phép toán     
k(a, b) = (ka, kb)  là một KGVT.
Dễ dàng kiểm tra thấy hai phép toán trên thỏa mãn 8 điều kiện với phần
tử Không là θ = (0, 0).    
(a, b, c) + (a0, b0, c0) = (a + a0, b + b0, c + c0) VD 5. Tập  V = R3 với     
k(a, b, c) = (ka, kb, kc)  là một KGVT.
Dễ dàng kiểm tra thấy hai phép toán trên thỏa mãn 8 điều kiện với phần
tử Không là θ = (0, 0, 0). 6
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Tổng quát
Tập V = Rn với hai phép toán    
(a1, a2, . . . , a 
n) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn)      k(a 
1, a2, . . . , an) = (ka1, ka2, . . . , kan) là một KGVT.    
(a, b) + (c, d) = (a + d, b + c) VD 6. Xét 
V = R2 với 2 phép toán     
k(a, b) = (ka, kb)  KHÔNG là KGVT.
Điều kiện (1) bị vi phạm, ví dụ u = (1, 3), v = (2, 3) thì
u + v = (4, 5) , v + u = (5, 4). 7
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP    
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) VD 7. Xét 
V = R2 với 2 phép toán     
k(a, b) = (ka, 2kb)  KHÔNG là KGVT.
Điều kiện (5) bị vi phạm, ví dụ u = (1, 3) thì 1.u = (1, 6) , u.
VD 8. Xét xem V = R2 với 2 phép toán sau có lập thành KGVT không?    
(a, b) + (c, d) = (a + 2c, b + d) a)      
k(a, b) = (ka, kb)     
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) b)      
k(a, b) = (ka, b).  8
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Chú ý
Ngoài (V = Rn, +, ·) (phép cộng và nhân thông thường) là KGVT, ta còn
có các KGVT thường gặp sau:
F Tập V = Mat(m, n) với phép cộng 2 ma trận và phép nhân một số với
một ma trận thông thường:
aij + bij = aij + bij k aij = kaij .
F Tập V = Pn(x) gồm tất cả các đa thức có bậc ≤ n với phép cộng 2 đa
thức và nhân đa thức với một số đã biết. 9
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP
VD 9. Kiểm tra xem V = Mat(2) với hai phép toán sau có là KGVT không?                    a b   a0 b0 
 a + a0 b + b0                +   =                      c d   c0 d0   c d0               a b   ka kb  k           =   .              c d   kc kd  10
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Chú ý
i) Véc-tơ Không θ là duy nhất.
ii) ∀x ∈ V, véc-tơ đối −x là duy nhất.
iii) ∀x ∈ V thì 0x = θ.
iv) ∀k ∈ R thì kθ = θ.
v) ∀x ∈ V thì (−1)x = −x.
vi) kx = θ ⇔ k = 0 ∨ x = θ. 11
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP
II. KHÔNG GIAN CON VÀ HỆ SINH 1. Không gian con Định nghĩa
Tập con W , ∅ của KGVT V gọi là không gian véc-tơ con của V nếu W là
một không gian véc-tơ đối với 2 phép toán của V. Định lý
W là KGC của V khi và chỉ khi W đóng kín đối với 2 phép toán của V, tức là    
u + v ∈ W
∀u, v ∈ W       ku ∈ W
∀u ∈ W; k ∈ R.  12
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP
VD 10. Ta đã biết V = R2 là KGVT (với phép cộng và nhân thông thường).
Xét tập W = {u = (a, 0) : a ∈ R} ⊂ V. Hỏi W có là KGC của V hay không? Giải.
• Với ∀u = (a, 0), v = (b, 0) ∈ W thì
u + v = (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) ⇒ u + v ∈ W.
• Với ∀k ∈ R và với ∀u = (a, 0) ∈ W thì
k.u = k(a, 0) = (ka, 0) ⇒ ku ∈ W.
Vậy W đóng kín với hai phép toán trên V, hay: W là một KGC của V. 13
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Chú ý
1. Nếu W là KGC của V thì θ ∈ W.
Nếu θ < W thì W không là KGC của V.
2. Tập {θ} là một KGC của V - gọi là KGC Không.
Tập V cũng là một KGC của V.
3. Hai điều kiện trong Định lý trên tương đương với 1 điều kiện sau:
∀α, β ∈ R; ∀u, v ∈ W thì αu + βv ∈ W.
VD 11. Xét V = R3 và P = u = (x, y, z) : ax + by + cz = 0 với a, b, c ∈ R
cho trước. Hỏi P có là KGC của R3 hay không? 14
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Chú ý
P là một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ.
Vậy một mặt phẳng bất kỳ đi qua gốc tọa độ đều là KGC của R3 Câu hỏi
Liệu một mp Q không đi qua gốc O có là KGC của R3 không? Vì sao?             a b   VD 12.   Xét   V  
= Mat(2) và W = M =  
: a, b, c ∈ R               b c      
(tập các ma trận với các phần tử trên đường chéo phụ bằng nhau)
Hỏi W có là KGC của V hay không? 15
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP
VD 13. Giả sử hệ PTTT thuần nhất     a 
11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0       
a21x1 + a22x2 + · · · + a2  nxn = 0       · · ·         a 
m1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
có 2 nghiệm là X1, X2 thì X1 + X2 và kXi cũng là nghiệm của hệ. (Vì sao?)
Do đó tập các nghiệm của hệ thuần nhất là không gian con của Rn. 16
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP 2. Hệ sinh
Tổ hợp tuyến tính của một họ véc-tơ
Cho V là một KGVT, tập S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V. Khi đó biểu thức n X u =
ciui = c1u1 + c2u2 + · · · + cnun i=1
với ci ∈ R là một véc-tơ thuộc V và gọi là tổ hợp tuyến tính của họ S.
VD 14. Với V = R2 thì
− véc-tơ u = (x, y) là một tổ hợp tuyến tính của họ S = {u1 = (1, 0), u2 = (0, 1)}
vì (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xu1 + yu2.
− véc-tơ u = (x, y) là một tổ hợp tuyến tính của họ S0 = {v1 = (2, 0), v2 = (0, 3)} x y x y
vì (x, y) = (2, 0) + (0, 1) = v1 + v2. 2 3 2 3 17
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Bao tuyến tính
Cho S = {u1, u2, . . . , un} là một họ véc-tơ của KGVT V.
Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của họ S gọi là bao tuyến tính của họ S.  n    Ký hiệu  X  Span(S) = u = c .  iui : ci ∈ R    i  =1 Định lý
W = Span(S) là một KGC của V. Chứng minh ?
VD 15. Trong R3, xét họ S = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}.
Khi đó mọi u = (x, y, z) ∈ R3 đều là tổ hợp tuyến tính của 3 véc-tơ trong
họ: u = (x, y, z) = xe1 + ye2 + ze3, do đó Span(S) = . . . 18
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP           1 0  VD 16.   Trong  
Mat(2), xét họ S   = u 
. Khi đó bao tuyến tính của  1 =           0 1    
S cũng là một KGC của Mat(2):          x 0      Span(S)   = {xu   1 : x ∈ R} =   : x ∈ R .           0 x      Hệ sinh
Nếu Span(S) = V thì ta nói S sinh ra V, hay S là một hệ sinh của V.
VD 17. Trong V = R2, mọi véc-tơ đều biểu diễn được là tổ hợp tuyến tính
của hai véc-tơ u1 = (1, 0) và u2 = (0, 1). Do đó S = {u1, u2} là một hệ sinh của R2. 19
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com) lOMoARcPSD|45315597 ThS. Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP
VD 18. Xét V = P2(x) (tập các đa thức bậc ≤ 2). Mọi véc-tơ trong P2(x) đều
có dạng a.x2 + b.x + c.1, do đó S = 1, x, x2 là một hệ sinh của P2(x).
VD 19. Cho hệ 3 véc-tơ S = {u1, u2, u3} ⊂ R3 với
u1 = (1, 2, 0)
u2 = (1, 1, 1)
u3 = (1, 4, −2).
Hãy xác định KGC W = Span(S). 20
Downloaded by H?u mai (maihauhaumai@gmail.com)