Bài giảng tóm tắt môn Toán cho các nhà kinh tế | Trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân

Bài giảng tóm tắt môn
Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2025-2026
B ộ m ô n T o á n h ọ c – T r ư ờ n g Đ ạ i h ọ c T h ủ y L ợ i
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 Bài số 1 MA TRẬN
1. Các định nghĩa
Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và cột. Ma trận có m dòng và n cột
được gọi là ma trận cấp m  n .  a a ... a  11 12 1n a a ... a  21 22 2n A    .  ... ... ... ...    a a ... a  1 m m2 mn  Dùng những chữ cái ,
A B,C ,...để đặt tên cho ma trận. Kí hiệu A  (a ) . ij mn
a là phần tử nằm ở hàng i và cột j . ij
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu a. chúng cùng cấp
b. các phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau a   b   a  b  ij   ij  ij ij mn mn
Ma trận-không O là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.
Ma trận đối: là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử của nó là số đối của phần
tử tương ứng của ma trận A. Kí hiệu A.
2. Các dạng ma trận a) Ma trận vuông
Ma trận cỡ nn được gọi là ma trận vuông cấp n .
Các phần tử a (i 1,2,...,n ) lập nên đường chéo chính của nó. ii a a ... a  11 12 1n
 0 a ... a  b) 22 2n
Ma trận tam giác trên : A     ... ... ... ...    0 0 ... a  nn  1 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 a 0 ... 0  11 a a ... 0  c) 21 22
Ma trận tam giác dưới : A     ... ... ... ...    a a ... a  1 n n2 nn  a 0 ... 0  11  0 a ... 0  d) 22
Ma trận đường chéo: A     ... ... ... ...    0 0 ... a  nn  1 0 ... 0 0 1 ... 0
e) Ma trận đơn vị: A    .  .. ... ... ...   0 0 ... 1 
f) Ma trận chuyển vị
Chuyển các dòng của ma trận A thành các cột với thứ tự tương ứng ta được
ma trận chuyển vị. Kí hiệu T
A . A  (a ) T  A  (a ) ij mn ji nm
3. Các phép toán về ma trận
a) Phép nhân ma trận với một số
Cho ma trận A  (a )
, c  ℝ thì cA  (c a ) ij mn ij mn 1 3
Ví dụ A 2 4    Tính 2A. 0 0  
b) Phép cộng ma trận Nếu A  (a ) , B  (b )
, thì A  B  (a  b ) . ij mn ij mn ij ij mn 3 4 2  9 8 0 
Ví dụ A   ; B 
. Tính A  B . 5 6 1       12 1   4
c) Phép nhân 2 ma trận Định nghĩa 2 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025
Giả sử A là ma trận cấp m  n , B là ma trận cấp n  p . Khi đó ma trận tích
C  AB là một ma trận cấp m  p được tính bởi
C   Ab Ab ... Ab   1 2 p 
Trong đó b là cột thứ i của ma trận B . i 3 2    2  1 3
Ví dụ Cho ma trận A     , B  2
4 . Tính AB, BA. 4 1 6     1 3     Chú ý. 1)
Ma trận C  AB có phần tử hàng i cột j là
c  (hàng i của A).(cột j của B ) ij 1 2 2 3
Ví dụ: Cho A    
, B  4 5 . Tính AB, BA 1 4     3 6   2)
Điều kiện để ma trận A nhân được với ma trận B là số cột của A
bằng số dòng của B . p
Cho A , B ta có A B  C
với c  a b  m p pn  m p  p n  m n ij ik kj k 1  3)
Nói chung AB  BA. 4)
AB  O không suy ra A  O hoặc B  O .
Các tính chất cơ bản của phép nhân
Tính kết hợp (AB)C  ( A BC) . Tính phân phối (
A B  C)  AC  AC  (AB)  ( ) A B  ( A  B) .
Nhân với ma trận đơn vị AI  IA  A Chuyển vị: ( )T T T AB  B A Ví dụ: 3 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 1 2  1  2 1  2    Tính: a) 0 1   b)  3  1 c)   2 3 1 . 3 1 0           2   2 2 1     
Chú ý: AB  BA.
d) Những tính chất của phép toán ma trận
Với những ma trận bất kỳ ,
A B,C và những số thực bất kỳ x, y ta có 1.
A  B  B  A 2.
(A  B)  C  A  (B  C) 3.
A  O  A 4. A  ( ) A  O 5. 1.A  A 6.
x(A  B)  xA  xB 7.
(x y)A  xA  yA 8.
(xy)A  x( y ) A 9.
(A  B)C  AB  BC 10. ( )T T T AB  B A 11.
AI  A ; IB  B
Nếu A là ma trận vuông thì : AI  IA  A . n A  . A . A ..A . 4. Ma trận con Cho ma trận A
. Ma trận vuông cấp k lập từ các phần tử nằm trên giao mn
của k dòng, k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A.
Giả sử A là ma trận vuông cấp n có các phần tử là a . Bỏ đi hàng i và cột ij
j của A, được ma trận vuông cấp (n 1) , ký hiệu là M . ij
Bài tập về nhà: Tr: 59; 60 (Phần Đại số)
Đọc trước Mục $2 chuẩn bị cho Bài số 2 : Định thức 4 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 Bài số 2 ĐỊNH THỨC 1. Định nghĩa
Định thức của A là một số thực đại diện cho ma trận A, kí hiệu là det A
hoặc A , được xác định như sau:
 Với A cấp 1; A  a det A  a . 11  11 a a   Với A cấp 2: 11 12 A  
det A  a det M  a det M . a a  11 11 12 12  21 22   Với A cấp n: n 1 det A a det M a det M ... ( 1)       a det M 11 11 12 12 1n 1n
a ,a ,...,a là các phần tử trên dòng 1 của A. 11 12 1n
Ví dụ. Tính các định thức sau 0 1 2  1 2  a.   A   b. A  1 0 3 1 2       3 3  4   2. Các tính chất a) det  det T A A .
b) Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột hoặc hai hàng.
c) Nếu hai hàng (hai cột) của A giống nhau, thì det A  0. d) i j
Gọi A  (1)
det M là phần bù đại số của a khi đó: ij ij ij
Định thức của A được khai triển theo hàng i
det A  a A  a A  ...  a A 1 i 1 i i2 i2 in in
Định thức của A được khai triển theo cột j
det A  a A  a A  ...  a A . 1 j 1 j 2 j 2 j nj nj ' a  a a  a ' a a a ' a ' e) 11 11 12 12 11 12 11 12   . a a a a a a 21 22 21 22 21 22
f) Thừa số chung của 1 hàng (cột) có thể đưa ra ngoài: ca ca a a 11 12 11 12  c . a a a a 21 22 21 22 5 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025
Chú ý. Với ma trận vuông A cấp n thì det( ) n
tA  t det A .
g) A có 1 hàng (cột) gồm toàn số 0 thì det A  0.
h) A có 2 hàng (cột) tỉ lệ thì det A  0.
i) det A không đổi khi lấy một hàng của A cộng với bội của hàng khác của A.
j) Nếu A là ma trận tam giác thì det A = tích các phần tử trên đường chéo. det AB  det . A det B k) (với ,
A B là ma trận vuông cùng cấp.) det n A  (det )n A 1 1 2 2 3  1 5 1
Ví dụ Tính det A  2  5 0 0 2 1  3 1 
Chú ý: Khi tính toán chọn hàng nào có nhiều số nhất để khai triển. a x x
Ví dụ Tính det A  x a x x x a 0 1 2
Ví dụ Cho A 1 0 3  
 . Tính det A 3 3  4  
Bài tập về nhà: Tr: 59; 60 (Phần Đại số)
Đọc trước Mục $3 chuẩn bị cho Bài số 3: Ma trận nghịch đảo 6 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 Bài số 3
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1. Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B sao cho
AB  BA  I . Khi đó ta gọi B là ma trận nghịch đảo của A .
Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất. Ký hiệu ma
trận nghịch đảo của A là 1 A .
2. Ma trận phụ hợp
Định nghĩa Giả sử A là ma trận vuông cấp n, A  (a ) . Ký hiệu A là phần ij ij
phụ đại số của a . Ma trận phụ hợp của A là ij  A A ... A  11 21 1 n
 A A ... A  * 12 22 n2 A     ... ... ... ...    A ... ... A  1n nn   1
Định lí Nếu A khả nghịch thì 1 * A  A . det A
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: a b a. A   c d     2 1 4  b.   A  1 3 3     3  2 1     3. Tìm 1
A bằng phương pháp biến đổi ma trận.
Ý tưởng: sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận  A I    biến đổi
thành ma trận I B    , khi đó 1
B  A . 7 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 2 5 1 Ví dụ Tìm 1
A với A 1 0 2    . 1 3 4  
Chú ý: Để biến đổi   1 A I  I A   
 ta dùng đường chéo chính chia ma
trận A thành 2 phần
Phần dưới đường chéo khử “Từ trên xuống dưới, từ trái sang phải”.
Phần trên đường chéo khử “Từ dưới lên trên, từ phải sang trái”. 4.
Các tính chất của ma trận nghịch đảo a.    Nếu ,
A B là hai ma trận nn khả nghịch, thì 1 1 1 (AB)  B A b.  
Nếu A là ma trận nn khả nghịch, thì 1 1 (A )  A 1 1 det A  det A 0 1 3
Ví dụ Cho ma trận A 1 0 1    . Tính 1 det A . 2 1 0   5.
ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO.
Khi A khả nghịch, hệ AX  B có nghiệm duy nhất là 1 X  A B .
Khi A khả nghịch, hệ XA  B có nghiệm duy nhất là 1  X  BA .  3 2 2 0 4
Ví dụ: Giải hệ AX  B , với: A   , B  1 1      3 1   5 6.
GIỚI THIỆU MỘT SỐ MÔ HÌNH KINH TẾ CƠ BẢN
Bài tập về nhà: Tr: 60; 61 (Phần Đại số)
Đọc trước Chương 3 Mục $1+$3 chuẩn bị cho Bài số 3 : Hệ phương trình tuyến tính 8 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 Bài số 4
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. CÁC KHÁI NIỆM
1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng
a x  a x  ...  a x  b 11 1 12 2 1n n 1 
a x  a x  ...  a x  b 21 1 22 2 2n n 2  (1.1)
................................... 
a x  a x  ...  a x  b  1 m 1 m2 2 mn n m
Trong đó các a ,b là các số thực, x là các ẩn. ij i i
2. Ma trận hệ số và ma trận mở rộng  a a ... a  11 12 1n a a ... a  Đặt 21 22 2n A   
 (a ) gọi là ma trận hệ số của hệ phương  ... ... ... ... ij    a a ... a  1 m m2 mn  trình.  b   x  1 1 b  x  2 B   
gọi là ma trận hệ số tự do, 2 X   
là nghiệm của hệ phương  ⋮   ⋮      b  x m   n  trình.
Khi đó hệ phương trình có dạng AX  B .
Gọi A , A ,..., A là các cột của ma trận A. Khi đó hệ phương trình có dạng: 1 2 n
x A  x A  ...  x A  B 1 1 2 2 n n 9 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025  a a ... a b  11 12 1n 1   a a ... a b Đặt 21 22 2n 2 A A B        
. A được gọi là ma trận mở rộng  ... ... ... ... ...    a a ... a b  1 m m2 mn m  
của hệ phương trình tuyến tính (1.1). Ví dụ: 2x  x 1 1 3 
1. Cho hệ phương trình x  2x  3x  3 Xác định ma trận hệ số và 1 2 3
2x  x  x  4  1 2 3
ma trận mở rộng của hệ phương trình. 3 4  5 2 1
2. Cho ma trận mở rộng A    , khôi phục hệ. 2 1 3 2  0  
3. Hệ tương đương.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập
nghiệm. Phép biến đổi một hệ phương trình thành một hệ mới tương đương
gọi là phép biến đổi tương đương.
4. Các phép biến đổi sơ cấp
a) Đổi chỗ hai phương trình của hệ
b) Nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0.
c) Lấy một phương trình cộng (trừ) với bội của một phương trình khác trong hệ.
Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Hệ tam giác
Hệ phương trình dạng tam giác là hệ có dạng như sau: 10 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025
a x  a x  ...  a x  b 11 1 12 2 1n n 1 
 a x  ...  a x  b 22 2 2n n 2  (1.2)
...................................   a x  b  nn n n Trong đó a  0 . ii
Cách giải hệ dạng tam giác: Sử dụng phép thế ngược từ dưới lên. Hệ tam
giác có nghiệm duy nhất.
2x  x  x  5 1 2 3 
Ví dụ. Giải hệ   x  3x 1 . 2 3   7x  7  3
2. Hệ dạng bậc thang
Hệ dạng bậc thang là hệ phương trình tuyến tính có dạng
a x  a x  ...  a x  b 11 1 12 2 1n n 1 
 a x  ...  a x  b 22 2 2n n 2  (1.3)
................................... 
 a x  ... a x  b  mm m mn n m
m biến đầu là biến trụ. Những biến còn lại được gọi là biến tự do.
Hệ bậc thang có vô số nghiệm.
Ví dụ. Trong các hệ sau hệ nào là hệ dạng bậc thang, xác định biến trụ và
biến tự do ở các hệ dạng bậc thang
x  y  3z 1 
a. 2x  3y  2 
 y  5z 1 
x  y  3z 1 
b.   y  3z  2  5z 1 
x  y  2z  t 11 
c.  2y  3z  t  1 
 5z  3t  3  11 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 Cách giải:
Chuyển tất cả các hạng tử chứa biến tự do sang vế phải và coi các biến tự do
như các tham số, hệ bậc thang trở thành hệ tam giác
x  y  2z  t 11 
Ví dụ. Giải hệ  2y  3z  t  1 
 5z  3t  3 
3. Phương pháp Gauss:
Ý tưởng: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp chuyển hệ bất kỳ về hệ bậc thang .
Các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ được thao tác trên ma trận mở rộng tương ứng.
Biến đổi phương trình
Biến đổi ma trận Đổi chỗ 2 p/t. Đổi chỗ 2 dòng.
Nhân hai vế của pt với một số
Nhân dòng với 1 số khác 0. khác 0.
Lấy một p/t cộng (trừ) với bội
Lấy 1 dòng, cộng (trừ) với bội
của một p/t khác trong hệ. của 1 dòng khác.
Chú ý: Trong quá trình thực hiện nếu xuất hiện phương trình dạng 0  0 thì
ta loại khỏi hệ, còn nếu xuất hiện dạng 0  b với b  0 thì hệ vô nghiệm.
ax  y  z  3 
Ví dụ. Cho hệ phương trình sau: x  ay  z  a
x  y  az  a 
a. Giải hệ với a  3 .
b.Tìm a để hệ vô nghiệm.
Chú ý Trong quá trình biến đổi ma trận nếu xuất hiện a  0 thì dùng phép ii đổi chỗ hai dòng. 12 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025
 x  3x  x  2x  3 1 2 3 4 
Ví dụ: Giải hệ 2x  6x  2x  5x  8 . 1 2 3 4 3
 x  9x 8x  8x  1   1 2 3 4
Bài tập về nhà: Tr: 86; 87 (Phần Đại số)
Đọc trước Chương 3 Mục $2+ $5 chuẩn bị cho Bài số 5 : Hệ Cramer. Ứng dụng kinh tế 13 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 Bài số 5 HỆ PHƯƠNG CRAMER.
ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. HỆ CRAMER
1. Định nghĩa:
Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính thỏa mãn hai điều kiện
+ Số ẩn bằng số phương trình. + det( ) A  0.
2. Phương pháp giải hệ Cramer. a) 
Phương pháp ma trận nghịch đảo 1
AX  B  X  A B .
2x  y  z  1 
Ví dụ: Giải hệ phương trình y  3z  3
2x  y  z  1   b)
Phương pháp định thức D
Nghiệm duy nhất của hệ Cramer được xác định j x  , với D  det ; A D j D j
là định thức nhận được khi thay cột thứ j bởi cột B .
2x  y  z  1 
Ví dụ: Giải hệ phương trình y  3z  3
2x  y  z  1 
II. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
1. Mô hình cân bằng thị trường a.
Thị trường một loại hàng hóa
Hàm cung và hàm cầu biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá của hàng hóa.
Hàm cung Q  a  a p s 0 1
Hàm cầu Q  b  b p d 0 1 14 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025
trong đó Q , Q là lượng cung và lượng cầu. s d
p là giá hàng hóa, a ,b là các hằng số dương. i i
Mô hình cân bằng thị trường
Q  a  a p
Q  a  a p s 0 1 s 0 1  
Q  b  b p  Q  b  b p d 0 1 d 0 1 Q Q  
a  a p  b  b p  s d  0 1 0 1
Giải hệ phương trình ta thu được a  b Giá cân bằng: 0 0 p  a  b 1 1 a b  a b Lượng cân bằng: 1 0 0 1
Q  Q  Q  . s d a  b 1 1 b.
Thị trường nhiều hàng hóa
Gọi Q là lượng cung của hàng hóa i . si
Q là lượng cầu của hàng hóa i . di
p là giá hàng hóa i . i
Hàm cung của hàng hóa i : Q  a  a p ... a p si i0 1 i 1 in n
Hàm cầu đối với hàng hóa i : Q  b  b p  ...  b p . di i0 i1 1 in n
Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng như sau
Q  a  a p  ...  a p si i0 i1 1 in n 
Q  b  b p  ...  b p di i0 i1 1 in n Q  Q  si di
Đặt c  a  b ta thu được hệ phương trình ik ik ik 15 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025
c p  ...  a p  c 11 1 1n n 10 
c p  ...  c p  c 21 1 2n n 20  ......... 
c p  ... c p  c  1 n 1 nn n n0
Giải hệ phương trình ta thu được giá cân bằng của n hàng hóa, sau đó thu
được lượng cân bằng. Ví dụ:
1. Giả sử thị trường có hai loại hàng hóa , với hàm cung và cầu xác định như sau:
Loại 1: Q  2  3p ; Q  10  2 p  p . 1 s 1 d1 1 2
Loại 2: Q  1 2 p ; Q 15  p  p . s2 2 d 2 1 2
Tìm giá cân bằng và lượng cân bằng với mỗi mặt hàng.
2. Giả sử thị trường có ba mặt hàng, với hàm cung và cầu xác định như sau:
Loại 1: Q  10  2 p ; Q  100  5 p  3 p  p . 1 s 1 d1 1 2 3
Loại 2: Q  20  5 p ; Q  120  2 p  8 p  3 p . s 2 2 d 2 1 2 3
Loại 3:Q  13p ; Q  300 10 p  5 p  p . s3 3 d 3 1 2 3
Tìm giá cân bằng và lượng cân bằng với mỗi mặt hàng.
2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income).
E là tổng chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế
Trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình Y  E .
Trong nền kinh tế đóng thì tổng chi tiêu của toàn bộ nền kinh tế là
C : tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình
G : chi tiêu của chính phủ ( Government). 16 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025
I : chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất ( Investment).
Khi đó phương trình cân bằng cho nền kinh tế đóng là Y  C  G  I .
Giả sử đầu tư theo kế hoạch là cố định I  I . 0
Chính sách tài khóa của chính phủ là cố định G  G . 0
Tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng C  aY  ;
b 0  a 1, b  0.trong đó
i) 0  a 1 là xu hướng tiêu dùng cận biên biểu diễn lượng tiêu dùng gia
tăng khi thu nhập tăng thêm 1 đô.
ii) b  0 là mức tiêu dùng tối thiểu khi không có thu nhập.
Khi đó mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô là Y
  C  I  G
 Y  C  I  G 0 0 0 0   
C  aY  b aY  C    b
Giải hệ phương trình ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu
dùng cân bằng của nền kinh tế. 
b  I  G 0 0 Y   1 a 
b  a(I  G )  0 0 C   1 a
Nếu tính thuế thu nhập (T ) thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi.
C  a(Y  T )  b với T là thuế thu nhập.
Gọi t là tỉ lệ thuế thu nhập ta có T  tY . Khi đó C  a(Y  tY )  b .
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô là Y
  C  I  G 0 0 
C  a(1 t)Y   b
Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng là: 
b  I  G 0 0 Y   1 a(1 t) 
b  a(1 t)(I  G )  0 0 C   1 a(1 t) 17 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025
Ví dụ: Nếu tiêu dùng của các gia đình là C  200  0.75Y ,
I  300;G  400 (đơn vị triệu). Tính mức thu nhập cân bằng và mức tiêu 0 0
dùng cân bằng. Nếu nhà nước thu thuế thu nhập với mức 20% thì mức cân bằng là bao nhiêu?
Bài tập về nhà: Tr: 87; 88; 89 (Phần Đại số)
Đọc trước Chương 1 Mục $1 + Chương 2 Mục $1+$2 (Phần Giải tích) chuẩn bị cho
Bài số 6 : Đạo hàm vi phân của hàm số một biến 18 | P a g e
Bài giảng môn Toán cho các nhà kinh tế TS. Nguyễn Hữu Thọ 2024-2025 Bài số 6
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Định nghĩa hàm một biến Cho D ⊂ ,
ℝ D ≠ ∅ . Hàm f (x ) là một quy tắc cho tương ứng với mỗi x ∈ D
cho trước với duy nhất một số thực y ∈ ℝ , → Ký hiệu f : D ℝ
x ֏ y = f (x) Khi đó
 x được gọi là đối số hay biến độc lập
 D được gọi là tập xác định của f (x).
 Số f (x) được gọi là giá trị của f tại x .
 Tập f(X) = {y ∈ ℝ y = f(x),x ∈ X} được gọi là tập giá trị của f(x)
2. Một số phương pháp xác định hàm số
+ Hàm số cho bằng biểu thức giải tích
+ Hàm số xác định từng khoảng 2  > Ví dụ: x x 1  f (x) =  2
 x + 1 x ≤ 1 
+ Hàm ẩn: là hàm của x được xác định bởi phương trình F(x,y) = 0 . Khi
đó y được gọi là hàm ẩn của x .
3. Hàm số đơn điệu
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng I .
f (x ) được gọi là tăng trên I nếu: ∀a,b ∈ I mà a < b ⇒ f (a) < f (b) .
f (x ) được gọi là giảm trên I nếu : ∀a,b ∈ I mà a < b ⇒ f (a) > f (b) .
f (x ) được gọi là không tăng trên I nếu: ∀a,b ∈ I mà a < b ⇒ f (a) ≥ f (b). 19 | P a g e