Bài giảng trọng tâm Toán 12

Bài giảng trọng tâm Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

TÀILIUDÀNHRIÊNGHCSINHLPTOÁNTH
YCƯ‐TPHU
LPTOÁNTHYCƯ‐TPHUẾ
CS 1: P5, Dãy 14 tp th xã tc. Đường Ngô Thi Nhm
CS 2: Trun
g
Tâm Cao Thn
g
- 11 Đốn
g
Đa
(B
NFULLĐ
Á
PÁNCHITI
TDÀNHCHO
GIÁOVIÊN)
MCLC
NI DUNG
Trang
PHN 1: GII TÍCH
CHƯƠNG I. NG DNG CA ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT VÀ V ĐỒ TH HÀM S
1
BÀI 1. S ĐỒNG BIN, NGHCH BIN CA HÀM S
1
Dng 1: Cho hàm s

.yfx Tìm các khong đồng biến và nghc biến ca hàm s
4
Dng 2: Da vào bng biến thiên, tìm các khong đồng biến, nghch biến ca hàm s
6
Dng 3: Da vào đồ th hàm s
yfx hoc
yfx
. Tìm các khong đồng biến,
nghch biến ca hàm s
7
Dng 4: Tìm tham s m để hàm s đồng biến trên tp xác định
9
Dng 5: Tìm tham s m để hàm s đông biến và nghch biến trên tp con ca
BÀI 2. CC TR CA HÀM S
12
Dng 1: Cho hàm s

.yfx Tìm các đim cc đại, cc tiu, giá tr cc đại giá tr cc
tiu
13
Dng 2: Viết phương trình đường thng đi qua các đim cc tr
14
Dng 3: Da vào bng xét du ca
f
x
, bng biến thiên ca đồ th hàm s

f
x . Tìm các
đim cc tr ca hàm s
15
Dng 4: Tìm tham s m để hàm s có cc tr
20
Dng 5: Cho hàm s
f
x
hoc đồ th hàm s
f
x
. Tìm các đim cc tr ca hàm s
22
BÀI 3. GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT CA HÀM S
25
Dng 1: Tìm GTLN, GTNN ca hàm s trên
,ab
25
Dng 2: Da vào bng biến thiên ca đồ th hàm s
yfx . Tìm GTLN, GTNN
30
Dng 3: Tìm GTLN, GTNN trên khong hoc na khong
35
BÀI 4. ĐƯỜNG TIM CN CA ĐỒ TH HÀM S
39
Dng 1: Da vào định nghĩa tìm các đường tim cn ca đồ th hàm s
40
Dng 2: Da vào bng biến thiên ca đồ th hàm s tìm các đường tim cân
42
Dng 3: Cho hàm s
yfx . Tìm các đường tim cn ca đồ th hàm s
46
Dng 4: Bài toán tìm tham s m liên quan đến đường tim cn
50
BÀI 5. ĐỒ TH CA HÀM S
53
Dng 1 : Cho đồ th hàm s. Tìm hàm s
54
Dng 2: Cho bng biến thiên. Yeu cu tìm hàm s
61
Dng 3: Cho bng biến thiên, đồ th hàm s . Tìm các tham s thuc hàm s
yfx
64
BÀI 6. TƯƠNG GIAO CA HAI ĐỒ TH VÀ TIP TUYN VI ĐỒ TH
68
Dng 1: Tương giao ca hai đồ th
68
Dng 2: Da vào đồ th hoc bng biến thiên bin lun s nghim ca phương trình
71
Dng 3: Da vào bng biến thiên. Bin lun s nghim ca phương trình
72
Dng 4: Phương trình tiếp tuyến ti đim
76
Dng 5 : Tiếp tuyến có h s góc
77
Dng 6 : Phương trình tiếp tuyến đi qua
81
CHƯƠNG II. HÀM S LŨY THA. HÀM S MŨ VÀ HÀM S LÔGARIT
83
BÀI 1. LŨY THA
83
Dng 1: Tính, rút gn và biến đổi biu thc
84
Dng 2: So sánh đẳng thc và bt đẳng thc đơn gin
87
BÀI 2. HÀM S LŨY THA
91
Dng 1. Tìm tp xác định và tính đạo hàm ca hàm s
93
Dng 2: Tính đạo hàm
96
Dng 3. S biến thiên và nhn dng đồ th hàm s
98
BÀI 3. LOGARIT
105
Dng 1. Tính toán v logarit
107
Dng 2. So sánh hai s logarit
111
Dng 3 : Đẳng thc logarit
114
BÀI 4. HÀM S MŨ VÀ HÀM S LOGARIT
120
Dng 1. Tìm tp xác định, tp giá tr ca hàm s
121
Dng 2. Tính đạo hàm và gii hn
123
Dng 3. So sánh, Đẳng thc, bt đẳng thc
125
Dng 4. GTLN và Gtnn ca hàm s
129
Dng 5. Nhn dng đồ th
132
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
139
Dng 1. Phương pháp đưa v cùng cơ s
139
Dng 2. Phương pháp đặt n ph
142
Dng 3. Phương pháp logarit hóa, mũ hóa
146
Dng 4: S Dng Tính Đơn Điu Hàm S
148
BÀI 6: BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
148
Dng 1: Đưa v cùng cơ s
149
Dng 2: Phương pháp mũ hóa và logarit hóa
153
Dng 3: Phương Pháp Đặt n Ph
158
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ NG DNG
163
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
163
Dng 1: Nguyên Hàm Đa Thc
164
Dng 2: Nguyên Hàm Phân Thc
168
Dng 3: Nguyên Hàm Căn Thc
172
Dng 4: Nguyên Hàm hàm s lượng giác
176
Dng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga
178
Dng 6: Nguyên Hàm Tng Phn
179
BÀI 2.TÍCH PHÂN
183
Dng 1: Tích Phân Hu T
186
Dng 2. Tích phân vô t
190
Dng 3: Tích Phân Lượng Giác
195
Dng 4: Tích Phân Tng Phn
197
Dng 5: Tích Phân Cha Du Giá Tr Tuyt Đối
203
Dng 6: Tích Phân Hàm Hp Hàm n
205
BÀI 3. NG DNG HÌNH HC TÍCH PHÂN
208
Dng 1: Tính Din Tích Gii Hn Bi 1 Đồ Th
Dng 2: Tính Din Tích Gii Hn Bi 2 Hai Đồ Th
Dng 3: Tính Th Tích Vt Th Tròn Xoay Da Vào Định Nghĩa
Dng 4: Tính Th Tích Vt Th Tròn Xoay Khi Quay Hình Phng Gii Hn Bi 1 Đồ Th
Dng 5: ng Dng Tích Phân Trong Vt Lý
CHƯƠNG 4. S PHC
242
BÀI 1. S PHC
242
BÀI 2. CNG, TRÙ, NHÂN S PHC
242
BÀI 3. PHÉP CHIA S PHC
242
Dng 1. Phn Thc – Phn o & Các Phép Toán
243
Dng 2: Tìm s phc z tha mãn điu kin
247
Dng 3. Biu din s phc
248
Dng 4. Tp hp
254
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH BC HAI VI H S THC
262
Dng 1 : Phương trình bc hai h s thc
262
Dng 2 : Phương trình quy v phương trình bc hai
263
PHN 2: HÌNH HC
CHƯƠNG I. KHI ĐA DIN
267
BÀI 1. KHÁI NIM V KHI ĐA DIN
280
BÀI 2. KHÁI ĐA DIN LI VÀ KHI ĐA DIN ĐỀU
287
BÀI 3. KHÁI NIM VÀ TH TÍCH KHI ĐA DIN
288
Dng 1. Khi chóp có cnh bên vuông góc vi đáy
294
Dng 2 : Khi chóp có mt bên vuông góc vi đáy
296
Dng 3: Khi chóp đều
299
Dng 4: Khi chóp có hình chiếu lên mt phng đáy
300
Dng 5: Mt s dng khác
300
Dng 6. Th tích lăng tr đứng, lăng tr đều
301
Dng 7. Th tích lăng tr xiên
305
CHƯƠNG II. MT NÓN, MT TR VÀ KHI TR
BÀI 1. MT NÓN – HÌNH NÓN – KHI NÓN
308
BÀI 2. MT TR_HÌNH TR_ KHI TR
315
BÀI 3. MT CU – KHI CU
321
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. H TA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
328
BÀI 2. MT PHNG TRONG KHÔNG GIAN
344
BÀI 3. ĐƯỜNG THNG TRONG KHÔNG GIAN
356
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 1
BÀI 1. S ĐỒNG BIN, NGHCH BIN CA HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
Kí hiu
K
là khong hoc đon hoc na khong.
1) Điu kin cn đểm s đơn điu
Gi s hàm s
(
)
yfx=
đạo hàm trên khong K
Nếu hàm s
()
yfx=
đồng biến trên khong K thì
()
'0,K.fx x³"Î
Nếu hàm s
()
yfx=
nghch biến trên khong K thì
()
'0,K.fx x£"Î
2) Điu kin đủ để hàm s đơn điu
Gi s hàm s
(
)
yfx=
đạo hàm trên khong
K
Nếu
()
0fx
¢
>
vi mi
x
thuc
K
thì hàm s
()
f
x
đồng biến trên
K
.
Nếu
()
0fx
¢
<
vi mi
x
thuc
K
thì hàm s
()
f
x
nghch biến trên
K
.
Nếu
()
'0fx=
vi mi
x
thuc K thì hàm s
()
f
x
không đổi trên
K (hàm s
()
yfx=
còn gi
là hàm hng trên
K
).
3) Định lý m rng
Cho hàm s
()
yfx=
đạo hàm trên
K . Nếu
()
'0fx³
()
()
'0,fx£
Kx
()
'0fx=
ch ti mt
s hu hn đim thì hàm s đồng biến (nghch biến) trên
K .
Chú ý:
()
0fx
¢
=
ch ti mt s hu hn đim. Tuy nhiên mt s hàm s
()
'0fx=
ti vô hn
đim nhưng các đim ri rc thì hàm s vn đơn điu.
Ví d: Hàm s
2sin2.yx x=-
Ta có
()
' 2 2cos2 2 1 cos2 0, .yxxx=- = - ³ "Î
()
01cos2 0 yxxkkp
¢
=- == Î
có vô hn đim làm cho '0y = nhưng các đim đó ri rc nên
hàm s
2sin2yx x=-
đồng biến trên
.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng1:Chohàmsố
.yfx
Tìmcáckhongđồngbiếnnghcbiếncahàmsố
1. Phương pháp:
2. Các ví d
Câu 1: Cho hàm s
21
1
x
y
x
-
=
-
. Mnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm s đã cho đồng biến trên
.
B. Hàm s đã cho nghch biến trên
.
C. Hàm s đã cho đồng biến trên tng khong xác định.
D. Hàm s đã cho nghch biến trên tng khong xác định
Li gii
Chn D
Tp xác định:
{
}
D\1=
. Đạo hàm:
()
/
2
1
0, 1.
1
yx
x
-
=<"¹
-
Vy hàm s nghch biến trên các khong
()
;1
()
1;
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 2
Câu 2: Cho hàm s
3
2
3
x
yxx=-+
. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm s đã cho đồng biến trên
.
B. Hàm s đã cho nghch biến trên
()
;1
.
C. Hàm s đã cho đồng biến trên
()
1;
và nghch biến trên
()
;1
.
D. Hàm s đã cho đồng biến trên
()
;1
và nghch biến
()
1;
.
Li gii
Chn A
Đạo hàm:
()
2
/2
21 1 0,yx x x x=-+=-³"Î
/
01yx==.
Suy ra hàm s đã cho luôn đồng biến trên
.
Câu 3: Hàm s
32
39yx x xm=- -+ nghch biến trên khong nào được cho dưới đây?
A.
()
1; 3-
B.
()
;3 -
hoc
()
1;
.
C.
D.
()
;1 -
hoc
()
3;
.
Li gii
Chn A
Ta có:
/2
369.yxx=--
Ta có
/2
03 690 1 3yxx x£ - -£-££.
Vy hàm s đã cho nghch biến trên khong
()
1; 3-
.
Câu 4: Hàm s
4
21yx=+ đồng biến trên khong nào?
A.
1
;
2
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
B.
()
0;
C.
1
;
2
æö
÷
ç
-+¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
()
;0
Li gii
Chn B
Ta có
3
'8 0 0yx x=>>
.
Vy hàm s đã cho đồng biến trên khong
()
0;
.
Câu 5: Cho hàm s
42
24yx x=-
. Mnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm s đã cho nghch biến trên các khong
()
;1 -
()
0;1
.
B. Hàm s đã cho đồng biến trên các khong
()
;1 -
()
1;
.
C. Trên các khong
()
;1 -
()
0;1
,
'0y <
nên hàm s đã cho nghch biến.
D. Trên các khong
()
1; 0-
()
1;
,
'0y >
nên hàm s đã cho đồng biến.
Li gii
Chn B
Ta có
()
32
0
'8 8 8 1;'0
1
x
yxxxx y
x
é
=
ê
=-= - =
ê
=
ë
.
V phác ha bng biến thiên và kết lun được rng hàm s
Đồng biến trên các khong
()
1; 0-
()
1;
.
Nghch biến trên các khong
()
;1 -
()
0;1
.
Câu 7: Cho hàm s
21
2
x
y
x
-
=
+
. Mnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm s đã cho đồng biến trên
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 3
B. Hàm s đã cho đồng biến trên
{}
\2.-
C. Hàm s đã cho đồng biến trên
()
;0 .
D. Hàm s đã cho đồng biến trên
()
1; .
Li gii
Chn D
Tp xác định:
{
}
D\2.=-
Đạo hàm
()
2
5
0, 2.
2
yx
x
¢
=>"¹-
+
Vy hàm s đồng biến trên các khong
()
;2 -
()
2;-+¥
.
Suy ra hàm s đồng biến trên
()
1; .
Chn D
Bình lun: Hàm s đồng biến trên tt c các khong con ca các khong đồng biến ca
hàm s. C th trong bài toán trên:
Hàm s đồng biến trên
()
2;-+¥
;
()( )
1; 2; Ì -
.
Suy ra hàm s đồng biến trên
()
1; .
Câu 8: Cho hàm s
2
1
y
x=-
. Khng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm s đã cho đồng biến trên
[
]
0;1
.
B. Hàm s đã cho đồng biến trên toàn tp xác định.
C. Hàm s đã cho nghch biến trên
[
]
0;1
.
D. Hàm s đã cho nghch biến trên toàn tp xác định.
Li gii
Chn C
Tp xác định
[
]
D1;1=-
. Đạo hàm
2
';'00
1
x
yyx
x
-
===
-
.
V bng biến thiên, suy ra được hàm s nghch biến trên
[
]
0;1
.
Câu 9: Cho hàm s
14yx x=-+-
. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm s đã cho nghch biến trên
()
1; 4 .
B. Hàm s đã cho nghch biến trên
5
1; .
2
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
C. Hàm s đã cho nghch biến trên
5
;4 .
2
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
D. Hàm s đã cho nghch biến trên
.
Li gii
Chn C
Tp xác định:
[]
D1;4.=
Đạo hàm
11
'
2124
y
x
x
=-
--
.
Xét phương trình
()
()
1; 4
5
'0 1 4 1;4
2
14
x
yx x x
xx
ì
ïÎ
ï
= -= - ¾¾= Î
í
ï
-= -
ï
î
.
V bng biến thiên, suy ra được hàm s nghch biến trên khong
5
;4 .
2
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 4
Dng2:Davàobngbiếnthiên,tìmcáckhongđồngbiến,nghchbiếncahàm
s
1. Phương pháp:
2. Các ví d
Câu 1: Cho hàm s
()
yfx=
liên tc trên
và có bng biến thiên như sau:
Trong các mnh đề sau, có bao nhiêu mnh đề sai?
I. Hàm s đã cho đồng biến trên các khong
()
;5 -
()
3; 2--
.
II. Hàm s đã cho đồng biến trên khong
()
;5
.
III.Hàm s đã cho nghch biến trên khong
()
2;-+¥
.
IV.Hàm s đã cho đồng biến trên khong
()
;2 -
.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
Li gii
Chn A
Nhìn vào bng biến thiên ta thy đồ th hàm s đã cho đồng biến trên khong
()
;2 -
;
nghch biến trên khong
()
2;-+¥
.
Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.
Ta thy khong
()
;3 -
cha khong
()
;5 -
nên I Đúng.
Vy ch có II sai.
Câu 2: Cho hàm s
()
yfx=
có bng biến thiên như hình dưới đây. Mnh đề nào sau đây
đúng?
A. Hàm s đã cho đồng biến trên các khong
()
2;-+¥
()
;2. -
B. Hàm s đã cho đồng biến trên
()()
;1 1;2. - È -
C. Hàm s đã cho đồng biến trên khong
()
0;2 .
D. Hàm s đã cho đồng biến trên
()
2;2-
.
Li gii
Chn C
()( )
0;2 1;2Ì-
, mà hàm s đồng biến trên khong
()
1; 2-
nên suy ra C đúng.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 5
Câu 3: Cho hàm s
()
yfx=
có bng biến thiên như hình dưới đây. Mnh đề nào sau đây
đúng?
A. Hàm s đã cho đồng biến trên các khong
1
;
2
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
()
3; .
B. Hàm s đã cho đồng biến trên khong
1
;.
2
æö
÷
ç
-+¥
÷
ç
÷
ç
èø
C. Hàm s đã cho nghch biến trên khong
()
3; .
D. Hàm s đã cho đồng biến trên khong
()
;3
.
Li gii
Chn C
Da vào bng biến thiên ta thy hàm s
Đồng biến trên các khong
1
;
2
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
1
;3
2
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
.
Nghch biến trên khong
()
3;
.
Câu 4: Cho hàm s
()
yfx=
xác định liên tc trên
{}
\2-
bng biến thiên như hình dưới
đây
A. Hàm s đã cho nghch biến trên khong
()()
3; 2 2; 1 .-- È--
B. Hàm s đã cho có giá tr cc đại bng
3.-
C. Hàm s đã cho đồng biến trên khong
()
;3 -
()
1; .-+¥
D. Hàm s đã cho có đim cc tiu là
2.
Li gii
Chn C
Da vào bng biến thiên, ta có nhn xét sau
Hàm s nghch biến trên khong
()
3; 2--
()
2; 1--
A sai (sai ch du
È
).
Hàm s có giá tr cc đại
Đ
2
C
y =-
B sai.
Hàm s đồng biến khong
()
;3 -
()
1;-+¥
C đúng.
Hàm sđim cc tiu là
1-
D sai.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 6
Dng3:Davàođồthịhàmsố
()
yfx=
hoc
()
'yfx=
.Tìmcáckhongđồngbiến,
nghchbiếncahàms
Câu 1: Cho hàm s
()
yfx=
xác định, liên tc trên và có đồ th như hình v bên. Khng định
nào sau đây là sai?
A. Hàm s đồng biến trên
()
1; .
B. Hàm s đồng biến trên
()
;1 -
()
1; .
C. Hàm s nghch biến trên khong
(
)
1;1 .-
D. Hàm s đồng biến trên
()()
;1 1; . - È +¥
Li gii
Gii
Chn D
Da vào đồ th ta có kết qu: Hàm s đồng biến trên
()
;1 -
()
1;
, nghch biến
trên
()
1;1-
nên các khng định A, B, C đúng.
Theo định nghĩa hàm s đồng biến trên khong
()
;ab
thì khng định D sai.
Ví d: Ta ly
()()
1,1 ; 1 , 1, 1 1; : 1,1 1,1- Î - Î - <
nhưng
()()
1, 1 1, 1 .ff->
Câu 2: Cho hàm s
()
f
x
liên tc trên và có đồ th như hình v bên. Khng định nào sau đây
đúng?
A. Hàm s đồng biến trên
()
;0
()
0;
.
B. Hàm s đồng biến trên
()( )
1; 0 1; .+¥
C. Hàm s đồng biến trên
()
;1 -
()
1; .
D. Hàm s đồng biến trên
()
1; 0-
()
1; .
Li gii
Chn D
T dáng điu ca đồ th ta nhn thy trong khong
()( )
1; 0 ; 1;-+¥
dáng điu ca hàm s
đi lên nên hàm s đồng biến trên
()( )
1; 0 ; 1; .-+¥
Theo định nghĩa hàm s đồng biến trên khong
()
;ab
thì khng định B sai.
Câu 3 : Cho hàm s
()
f
x
đạo hàm
()
'
f
x
xác định, liên tc trên
()
'
f
x
đồ th như
hình v bên. Khng định nào sau đây là đúng?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 7
A. Hàm s đồng biến trên
()
1; .
B. Hàm s đồng biến trên
()
;1 -
()
3; .
C. Hàm s nghch biến trên
()
;1. -
D. Hàm s đồng biến trên
()()
;1 3; . - È
Li gii
Chn B
Da vào đồ th ca hàm s
()
'
f
x
, ta có nhn xét:
()
'
f
x
đổi du t
'' ''+
sang
'' ''-
khi qua đim 1.x =-
()
'
f
x
đổi du t
'' ''-
sang
'' ''+
khi qua đim
3.x =
Do đó ta có bng biến thiên
Da vào bng biến thiên ta thy B đúng.
Dng4:Tìmthamsốmđểhàmsốđồngbiếntrêntpxácđịnh
1. Phương pháp:
2. Các ví d
Câu 1: Tìm tt các các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
32
3yx x mxm=+ + +
đồng biến trên
tp xác định
A.
1.m £
B.
3.m ³
C.
13.m £
D.
3.m <
Li gii
Chn B
TXĐ:
D = . Đạo hàm
2
'3 6yxxm=++.
Ycbt
'0,yx³"Î
(
'0y =
có hu hn nghim)
030
3.
'0 93 0
a
m
m
ìì
>>
ïï
ïï
 ³
íí
ïï
- £
ïï
îî
Chn B
Cách gii trc nghim. Quan sát ta nhn thy các giá tr
m
cn th là:
3m =
thuc B & C nhưng không thuc A,D.
2m =
thuc C & D nhưng không thuc A,B.
Vi
()
2
32 2
3333'363310, myxxxyxx x x= = + + + = + += + ³ "Î
.
Do đó ta loi A và D.
x
y
O
-4
-1
3
1
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 8
Vi
32 2
2 3 22 '3 62myxxxyxx==+ ++= ++
.
Phương trình
2
'0 3 6 20yxx= + +=
0D>
nên
2m =
không tha nên loi C.
Câu 2: Cho hàm s
()
32
1
4 3 2017
3
yxmx mx=-+-+
. Tìm giá tr ln nht ca tham s thc
m
để
hàm s đã cho đồng biến trên
.
A. 1m = . B. 2m = . C. 4m = . D. 3m = .
Li gii
Chn D
Tp xác định
D = . Đạo hàm
2
'243yx mxm=- + -.
Để hàm s đồng biến trên
'0,yx³"Î
(
'0y =
có hu hn nghim)
2
'43013mm mD = - + £ £ £ .
Suy ra giá tr ln nht ca tham s
m
tha mãn ycbt là
3.m =
Câu 3: Cho hàm s
()
32
49 5yxmx m x=- - + + +
vi
m
là tham s. Có bao nhiêu giá tr nguyên
ca
m
để hàm s nghch biến trên khong
()
;? +¥
A.
4.
B.
6.
C.
7.
D.
5.
Li gii
Chn C
TXĐ:
D = . Đạo hàm
2
'32 49.yxmxm=- - + +
Để hàm s đã cho nghch biến trên khong
(
)
;
thì
'0,yx£"Î
(
'0y =
có hu
hn nghim)
()
2
'0 34 9 0 9 3mm mD £ + + £ - £ £-
{
}
9; 8;...; 3 .
m
m
Î
¾¾¾=-- -
Sai lm hay gp là
'' Đểm s đã cho nghch biến trên khong
(
)
;
thì
'0,yx<"Î
'' . Khi đó ra gii ra
93m-< <-
Chn D
Câu 4: Cho hàm s
()
32
23
3
m
yxxmxm=-+++
. Tìm giá tr nh nht ca tham s
m
để hàm s
đồng biến trên
A.
4m =-
B.
0m =
C.
2m =-
D.
1m =
Li gii
Chn D
TXĐ:
D = . Đạo hàm:
2
'43ymx xm=-++.
Yêu cu bài toán
'0, yx³"Î
(
'0y =
có hu hn nghim):
TH1.
0m =
thì
3
'430
4
yx x=- + ³ £
(không tha mãn).
TH2.
2
'
0
1.
'340
y
am
m
mm
ì
=>
ï
ï
³
í
ï
D=- - +£
ï
î
Suy ra giá tr
m
nh nht tha mãn bài toán là
1.m =
Câu 5: Cho hàm s
()()()
3
22
2281
3
x
ym m x m xm=+ -+ +- + -
. Tìm tt c các giá tr ca tham s
thc
m
để hàm s nghch biến trên
.
A.
2m <-
. B.
2m >-
. C.
2m £-
. D.
2m ³-
.
Li gii
Chn C
Ta có
() ()
2
'222 8ym x m xm=+ - + +-
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 9
Yêu cu bài toán
'0, yx£"Î ( '0y = có hu hn nghim):
TH1
20 2mm+= =-
, khi đó
'100, yx=- £ " Î
(tha mãn).
TH2
()()()
()
2
20
20
2
10 2 0
'2 280
am
m
m
m
mmm
ì
=+< ì
ï
+<
ï
ï
ï
<-
íí
ïï
D= + - + - £
ïï
î
î
.
Hp hai trường hp ta được
2.m £-
Dng5:Tìmthamsốmđểhàmsốđôngbiếnnghchbiếntrêntpconca
.
1. Phương pháp:
2. Các ví d
Câu 1: Cho hàm s
()
()
()
322
1232221yx m x m m x mm=-+ - - + + -
. Tìm tt c các giá tr thc ca
tham s
m
để hàm s đã cho đồng biến trên
)
2;
é
ë
A.
5m <
B.
3
2
2
m £
C.
2m >-
D.
3
2
m <
Li gii
Chn B
Ta có
()
()
/2 2
32 1 2 32.yx mxmm=- +- -+
Xét phương trình
/
0y =
()
()()
2
/22
132 327 10, .mmmmmmD= + + - + = - + > " Î
Suy ra phương trình
/
0y =
luôn có hai nghim
12
x
x< vi mi
m
.
Để hàm s đồng biến trên
)
2;
é
ë
phương trình
/
0y = có hai nghim
12
2xx
()()
()()
()
12 12
12 1 2
12
220 4
240
220
xx xx
xx x x
xx
ì
ì
ï
-+ -< + <
ï
ï
ï

íí
ïï
-++³
--³
ïï
î
î
()
()
()
2
21
4
3
232
21
2. 4 0
33
m
mm
m
ì
ï+
ï
<
ï
ï
ï
ï
í
ï
--+
+
ï
ï
-+³
ï
ï
ï
î
5
3
2
3
2
2
2
m
m
m
ì
<
ï
ï
ï
-££
í
ï
£
ï
ï
î
.
Câu 2: Tìm tt c các giá tr ca
m
để hàm s
() ( )
32
31 3 2yx m x mm x=- + + +
nghch biến trên
đon
[
]
0;1 .
A.
0.m £
B.
10.m-< <
C.
10.m £
D.
1.m ³-
Li gii
Chn C
Đạo hàm
() ( ) () ( )
22
36 13 23. 2 1 2.yx mxmm x mxmm
é
ù
¢
=- ++ += - ++ +
ê
ú
ë
û
Ta có
()( )
2
'1 210, mmm mD= + - + = > " Î
.
Do đó
0y
¢
= luôn có hai nghim phân bit
, 2.xmxm==+
Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên, để hàm s nghch biến trên
[
]
[
]
[
]
0;1 0;1 ; 2mm¬¾Ì +
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 10
0
10.
21
m
m
m
ì
£
ï
ï
-££
í
ï
ï
î
Câu 3: Biết rng hàm s
()
32
1
31 91
3
yx mxx=+-++
(vi
m
là tham s thc) nghch biến trên khong
()
12
;
x
x
đồng biến trên các khong giao vi
()
12
;
x
x
bng rng. Tìm tt c các giá tr ca
m
để
12
63.xx-=
?
A.
1m =-
B.
3m =
C.
3m =-
,
1m =
. D.
1m =-
,
3m =
Li gii
Chn D
Ta có
()
/2
619yx m x=+ - +
.
Yêu cu bài toán
'0y= có hai nghim phân bit
1
x
,
2
x
tha mãn
12
63xx-=
/
/
/
/
/
12
0
0
27
2
63
33
xx
a
ì
ï
D>
ï
ì
ï
D>
ï
ï
ï
ï
D=
íí
D
ïï
-= =
D=
ïï
ï
î
ï
ï
î
() ()
22
3
91927 14
1
m
mm
m
é
=
ê
--=-=
ê
=-
ë
.
Câu 4: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
32
3yx x mxm=+ + +
gim trên đon có
độ dài ln nht bng
1
?
A.
9
4
m =-
B.
3m =
C.
3m £
D.
9
4
m =
Li gii
Chn D
Ta có
2
'3 6yxxm=++.
Yêu cu bài toán
'0y = có hai nghim phân bit
12
,
x
x tha mãn
12
1xx-=
'93 0
3
3
9
'
9
93
21
4
2. 1
4
3
m
m
m
m
m
m
a
ì
D= - >
ì
ï
<
ì
ï
<
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
=
D
ííí
-
ïïï
=
=
=
ïïï
ïïï
î
ï
î
ï
î
.
Câu 5: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
1x
y
x
m
-
=
-
nghch biến trên khong
()
;2
?
A.
2m >
B.
1m ³
C.
2m ³
D.
1m >
Li gii
Chn C
Ta có
()
2
1
'
m
y
x
m
-+
=
-
.
Vi
10 1mm-+< >
thì
'0, yxm<"¹
hàm s đã cho nghch biến trên tng khong
()
;m
()
;m
.
Ycbt
()( )
;2 ; 2mm-¥ Ì-¥ ³
: (tha mãn).
Cách 2. Ta có
()
2
1
'
m
y
x
m
-+
=
-
.
Ycbt
() [)
10 10
'0, 2 1
2.
;2 2;
2
mm
yx m
m
mm
xm m
ìì
ì-+<-+<ì
ïï
<"< >
ïï
ïïïï
³
íííí
ïïïï
¹-¥ Î +¥
¹³
ïï
îïïî
îî
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 11
Câu 6: Cho hàm s
23mx m
y
xm
--
=
-
vi
m
là tham s thc. Gi
S
là tp hp tt c các giá tr
nguyên ca
m
để hàm s đồng biến trên các khong xác định. Tìm s phn t ca
S
A.
5
B.
4
C. Vô s. D.
3
Li gii
Chn D
Ta có
()
2
2
23
'
mm
y
xm
-+ +
=
-
.
Để hàm s đồng biến trên tng khong xác định thì
'0,yxm>"¹
{
}
2
230 1 3 0;1;2.
m
mm m m
Î
- + + > - < < ¾¾¾=
Sai lm hay gp là cho
{
}
' 0, 1 3 1;0;1;2;3 .
m
yxm m m
Î
³"¹ -££¾¾¾=-
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 12
BÀI 2. CC TR CA HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
Gi s hàm s
()
yfx=
xác định và liên tc trên khong
()
;ab
(
a
có th
,
b
có th )
()
0
;
x
abÎ
.
1. Định lí 1
Nếu tn ti s
h sao cho
() ( )
0
f
xfx<
vi mi
()
00
;
x
xhxhÎ- +
0
x
x¹ thì ta nói
hàm s
()
f
x
đạt cc đại ti đim
0
.
x
Khi đó:
0
x
được gi là mt đim cc đại ca hàm s
()
.
f
x
(
)
0
f
x
được gi là giá tr cc đại ca hàm s
()
.
f
x
Nếu tn ti s
h
sao cho
() ( )
0
f
xfx>
vi mi
()
00
;
x
xhxhÎ- +
0
x
x¹ thì ta nói
hàm s
()
f
x
đạt cc tiu ti đim
0
.
x
Khi đó:
0
x
được gi là mt đim cc tiu ca hàm s
()
.
f
x
(
)
0
f
x
được gi là giá tr cc tiu ca hàm s
()
.
f
x
Đim cc đại và đim cc tiu được gi chung là đim cc tr ca hàm sđim cc
tr phi là mt đim trong tp xác định K.
Giá tr cc đại và giá tr cc tiu được gi chung là giá tr cc tr (hay cc tr).
2. Chú ý
Giá tr cc đại (cc tiu)
(
)
0
f
x
ca hàm s
f
nói chung không phi là giá tr ln nht
(giá tr nh nht) ca hàm s
f
trên tp xác định K
(
)
0
f
x
ch là giá tr ln nht (giá
tr nh nht) ca hàm s
f
trên khong
()
,Kab Ì
()
,ab
cha
0
.
x
Nếu
()
f
x
¢
không đổi du trên tp xác định K ca hàm s
f
thì hàm s
f
không có cc tr.
Nếu
0
x
là mt đim cc tr ca hàm s
f
thì người ta nói rng hàm s
f
đạt cc tr ti
đim
0
x
đim có ta độ
(
)
(
)
00
;
x
fx
được gi là đim cc tr ca đồ th hàm s .
f
3. Định lý 2
()
()
0
0
0
'0
'' 0
fx
x
fx
ì
ï=
ï
¾¾
í
ï
<
ï
î
đim cc đại ca
()
f
x
.
()
()
0
0
0
'0
'' 0
fx
x
fx
ì
ï=
ï
¾¾
í
ï
>
ï
î
đim cc tiu ca
()
f
x
.
4. Phương trình đường thng ni hai đim cc đại, cc tiu ca đồ th hàm s bc ba
()
32
yfxaxbxcxd==+++
ymxn=+
, trong đó mx n+ là dư thc trong phép chia
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 13
()
f
x
cho
()
'
f
x
.
B.PHÂNLOIPHƯƠNGPHÁPGIIBÀITP
Dng1:Chohàmsố
.yfx
Tìmcácđimccđi,cctiu,giátrịccđigiátrịcc
tiu
1. Phương pháp
2. Các ví d
Câu 1: Giá tr cc đại
CD
y
ca hàm s =-+
3
32yx x là?
A.
CD
4y =
. B.
CD
1y =
. C.
CD
0y =
. D.
CD
1.y =-
Li gii.
Chn A
Ta có
2
14
'3 30 .
10
xy
yx
xy
é
=- =
ê
=-=
ê
= =
ë
Do đó giá tr cc đại ca hàm s
CD
4y =
.
Câu 2: Tìm đim cc tr
0
x
ca hàm s
32
531yx x x=- ++
.
A.
0
3x =-
hoc
0
1
3
x =-
. B.
0
0x =
hoc
0
10
3
x =
.
C.
0
0x = hoc
0
10
3
x =-
. D.
0
3x = hoc
0
1
3
x =
.
Li gii.
Chn D
Ta có
22
3
'3 10 3; '0 3 10 30 .
1
3
x
yx x y x x
x
é
=
ê
ê
=-+ =-+=
ê
=
ê
ë
.
Câu 3: Tìm đim cc đại
0
x
ca hàm s
3
31yx x=-+
.
A.
0
1x =- . B.
0
0x = . C.
0
1x = . D.
0
2x = .
Li gii.
Chn A
Ta có
()
()
()
22
113
'3 33 1;'0 .
111
xy
yx x y
xy
é
=- - =
ê
=-= - =
ê
= =-
ê
ë
Vy hàm s đạt cc đại ti
1x =-
.
Câu 4: Tìm các đim cc tr ca đồ th ca hàm s
32
3yx x=-
.
A.
()
0;0
hoc
()
1; 2-
. B.
()
0;0
hoc
()
2;4
.
C.
()
0;0
hoc
(
)
2; 4-
. D.
()
0;0
hoc
()
2; 4--
.
Li gii.
Chn C
Ta có
()
2
00
'3 6 3 2;'0 .
24
xy
yxxxx y
xy
é
==
ê
=-= - =
ê
==-
ë
.
Câu 5: Biết rng hàm s
32
437yx x x=+ -+
đạt cc tiu ti
CT
x
. Mnh đề nào sau đâyđúng?
A.
CT
1
3
x =
. B.
CT
3x =-
. C.
CT
1
3
x =-
. D.
CT
1x =
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 14
Li gii.
Chn A
Ta có
2
3
'3 8 3; '0 .
1
3
x
yxx y
x
é
=-
ê
ê
=+- =
ê
=
ê
ë
V bng biến thiên, ta kết lun được
CT
1
3
x =
.
Câu 6: Gi
CD CT
, yy ln lượt là giá tr cc đại và giá tr cc tiu ca hàm s
3
3yx x=-
. Mnh đề
nào sau đây là đúng?
A.
CT CD
2yy= . B.
CT CD
3
2
yy=
. C.
CT CD
yy= . D.
CT CD
yy=- .
Li gii.
Chn D
Ta có
()
()
2
112
'3 3; '0 .
112
xy
yx y
xy
é
= =-
ê
=- =
ê
=- - =
ê
ë
Do đó
CT CD
yy=-
.
Câu 7: Gi
12
,
y
y
ln lượt là giá tr cc đại và giá tr cc tiu ca hàm s
32
394yx x x=- -+
.
Tính
12
..Pyy=
A.
302P =-
. B.
82P =-
. C.
207P =-
. D.
25P =
.
Li gii.
Chn C
Ta có
()
()
2
3323
'3 6 9; '0 .
119
xy
yxx y
xy
é
= =-
ê
=-- =
ê
=- - =
ê
ë
Suy ra
()
12
.9.23207Pyy==-=-
.
Câu 8: Cho hàm s
42
23yx x=- + +
. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ th hàm s
1
đim cc đại và không có đim cc tiu.
B. Đồ th hàm s
1
đim cc tiu và không có đim cc đại.
C. Đồ th hàm s
1
đim cc đại và
2
đim cc tiu.
D. Đồ th hàm s
1
đim cc tiu và
2
đim cc đại.
Li gii.
Chn D
Ta có
()
32
0
'4 4 4 1; '0 1.
1
x
yxxxxy x
x
é
=
ê
ê
=- + =- - = =
ê
ê
=-
ë
V phát ha bng biến thiên ta thy đồ th hàm s
1
đim cc tiu và
2
đim cc đại.
Cách 2. Ta có
1
0
2
a
ab
b
ì
=-
ï
ï
¾¾<¾¾
í
ï
=
ï
î
đồ th hàm sba đim cc tr.
10a =- <
nên đồ th có dng ch M. T đó suy ra đồ th hàm s
1
đim cc tiu và
2
đim cc đại.
Dng2:Viếtphươngtrìnhđườngthngđiquacácđimcctrị
1. Phương pháp
2. Các ví d
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 15
Câu 1: Viết phương trình đường thng đi qua hai đim cc tr ca đồ th hàm s
32
231yxx=- + +
.
A.
1.yx=-
B.
1.yx=+
C.
1.yx=- +
D.
1.yx=- -
Li gii.
Chn B
Ta có
2
01
66; 0 .
12
xy
yxxy
xy
é
==
ê
¢¢
=- + =
ê
= =
ë
Suy ra đồ th hàm s đã hai đim cc tr
()
0;1A
()
1; 2B
.
Khi đó, đường thng đi qua hai đim cc tr chính là đường thng
A
B có phương trình
1.yx=+
Cách 2. Ly
y
chia cho
'y
, ta được
11
1
32
yxyx
æö
÷
ç
¢
= - ++
÷
ç
÷
ç
èø
.
Suy ra phương trình đường thng đi qua hai đim cc tr là phn dư trong phép chia, đó là
1yx=+
.
Câu 2: Cho hàm s
32
39yx x xm=- -+
. Viết phương trình đường thng đi qua hai đim cc tr
ca đồ th hàm s.
A. 8yxm=- + . B. 83yxm=- + - .
C.
83yxm=- + + . D. 83yxm=- - + .
Li gii.
Chn B
Ta có
2
15
'3 6 9; '0 .
327
x
ym
yxx y
x
ym
é
=- = +
ê
=-- =
ê
==- +
ë
Suy ra ta độ hai đim cc tr
()
1; 5
A
m-+
()
3; 27Bm-+
.
Suy ra đường thng đi qua hai đim
,
A
B
có phương trình 83yxm=- + - .
Câu 3: Tìm giá tr thc ca tham s
m
để đường thng
()
:213dy m x m=-++
vuông góc vi
đường thng đi qua hai đim cc tr ca đồ th hàm s
32
31yx x=- +
.
A.
1
.
2
m =-
B.
3
.
2
m =
C.
1
.
4
m =
D.
3
.
4
m =
Li gii.
Chn D
Xét hàm
32
31yx x=- +
, có
()
()
2
001
36 0 .
223
xy
yxx y
xy
é
= =
ê
¢¢
=-¾¾=
ê
= =-
ê
ë
Suy ra
()( )
0;1 , 2; 3AB-
là hai đim cc tr ca đồ th hàm s.
Suy ra đường thng
A
B có mt VTCP là
()
2; 4AB =-¾¾

VTPT
(
)
2;1 .
AB
n =

Đường thng
()
:213dy m x m=-++
có mt VTCP là
()
21;1.
d
nm=--
Ycbt
()
3
.02.2110 .
4
AB d
nn m m=--==

Dng3:Davàobngxétduca
'
f
x
,bngbiếnthiêncađồthịhàmsố
f
x
.Tìm
cácđimcctrịcahàms
1. Phương pháp
2. Các ví d
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 16
Câu 1: Cho hàm s
()
yfx=
liên tc trên vi bng xét du đạo hàm như sau:
Hi hàm s
()
yfx=
có bao nhiêu đim cc tr?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Li gii.
Chn A
Nhn thy
'y
đổi du khi qua
3x =-
2x =
nên hàm s có 2 đim cc tr. (
1x =
không phi
đim cc tr
'y
không đổi du khi qua
1x =
).
Câu 2: Cho hàm s
()
yfx=
xác định, liên tc trên và có bng biến thiên sau:
Khng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm s có ba giá tr cc tr. B. Hàm s có ba đim cc tr.
C. Hàm s có hai đim cc tr. D. Hàm s đạt cc đại ti đim
1.x =
Li gii.
Chn B
Da vào đồ th hàm s, ta có các nhn xét sau:
Hàm s có ba đim cc tr, gm các đim
1, 1, 0xxx=- = = đạo hàm
y
¢
đổi du đi
qua các đim đó.
Hàm s đạt cc đại ti
0x =
, đạt cc tiu ti
1.x =
(đáp án A sai vì hàm s ch có hai giá tr cc tr
CD
3y =-
CT
4y =-
. Nói đến đồ th
hàm s thì khi đó mi có ba đim cc tr
()()()
0; 3 , 1;4 , 1; 4 .ABC-- -
.
Câu 3: Cho hàm s
()
yfx=
liên tc ti
0
x
và có bng biến thiên sau:
Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm s có hai đim cc đại, mt đim cc tiu.
B. Hàm s có mt đim cc đại, không có đim cc tiu.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 17
C. Hàm s có mt đim cc đại, hai đim cc tiu.
D. Hàm s có mt đim cc đại, mt đim cc tiu.
Li gii.
Chn D
Ti
2
x
x= hàm s
()
yfx=
không xác định nên không đạt cc tr ti đim này.
Ti
1
x
x=
thì d thy hàm s đạt cc đại ti đim này.
Ti
0
x
x=
, hàm s không có đạo hàm ti
0
x
nhưng liên tc ti
0
x
thì hàm s vn đạt
cc tr
ti
0
x
và theo như bng biến thiên thì đó là cc tiu.
Vy hàm s có mt đim cc đại, mt đim cc tiu.
Câu 4: Cho hàm s
()
yfx=
xác định và liên tc trên
{
}
1
\
x
, có bng biến thiên như sau:
Khng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm s đã cho có mt đim cc tiu và khôngđim cc đại.
B. Hàm s đã cho không có cc tr.
C. Hàm s đã cho có mt đim cc đại và mt đim cc tiu.
D. Hàm s đã cho có mt đim cc đại và không có đim cc tiu.
Li gii.
Chn A
Da vào bng biến thiên, ta thy
()
f
x
¢
đổi du t
""+
sang
""-
khi đi qua đim
1
x
nhưng ti
1
x
hàm s
()
f
x
không
xác định nên
1
x
không phi là đim cc đại.
()
f
x
¢
đổi du t
""-
sang
""+
khi đi qua đim
2
x
suy ra
2
x
đim cc tiu ca hàm
s.
Câu 5: Cho hàm s
()
yfx=
có bng biến thiên sau:
Hàm s
()
y
fx=
có bao nhiêu đim cc tr?
A.
5.
. B.
3.
. C.
4.
. D.
2.
Li gii.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 18
Chn B
Da vào bng biến thiên, ta thy đồ th hàm s
()
yfx=
ct trc hoành ti mt đim duy
nht
đồ th hàm s
()
yfx=
có hai đim cc tr suy ra đồ th hàm s
()
y
fx=
3
đim
cc tr.
Câu 6: Cho hàm s
()
yfx=
liên tc trên và có đồ th như hình bên. Hi hàm s có bao nhiêu
đim cc tr?
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Li gii.
Chn D
D nhn thy hàm s có mt đim cc trđim cc tiu ti
1.x =
Xét hàm s
()
f
x
trên khong
11
;
22
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
, ta có
() ()
0fx f<
vi mi
11
;0 0;
22
x
æöæö
÷÷
çç
Î- È
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
. Suy
ra
0x = đim cc đại ca hàm s. Vy hàm s có 2 đim cc tr.
Câu 7: Hàm s
()
yfx=
liên tc trên
và có đồ th như hình bên. Hi hàm s có bao nhiêu
đim cc tr?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Li gii.
Chn A
D nhn thy đồ th hàm s có hai đim cc tr đối xng nhau qua
.Oy
Vn đề nm chđim có đồ th gp khúc có phi là đim cc tr ca đồ th hàm s
hay không? Câu tr li là có (tương t li gii thích nhưu 25).
Vy hàm s đã cho có 3 đim cc tr, gm 2 đim cc tiu và 1 đim cc đại.
Câu 8: Cho hàm s
()
yfx=
liên tc trên và có đồ th như hình bên. Hi hàm s có bao nhiêu
đim cc tr?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 19
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Li gii.
Chn D
Theo định nghĩa cc tr thì t đồ th ta nhn thy hàm s có 5 đim cc tr.
Câu 9: Cho hàm s
()
yfx=
liên tc trên và có đồ th như hình bên. Hi hàm s có bao nhiêu
đim cc tr?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Li gii.
Chn D
Theo định nghĩa cc tr thì t đồ th ta nhn thy hàm s có 5 đim cc tr.
Câu 10: Cho hàm s
()
yfx=
xác định, liên tc trên đon
[]
2;2-
và có đồ thđường cong trong
hình v bên. Hàm s
()
f
x
đạt cc đại ti đim nào dưới đây?
A.
2x =-
. B.
1x =-
. C.
1x =
. D.
2.x =
Li gii.
Chn B
x
y
2
1
O
1
x
y
-2
-1
1
O
1
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 20
Theo định nghĩa đim cc đại thì hàm s đạt cc đại ti
1x =-
.
Dng4:Tìmthamsốmđểhàmsốcctr
1. Phương pháp
2. Các ví d
Câu 1: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
32
36y x mx mx m=- + +
có hai đim cc
tr.
A.
()
0;2m Î
. B.
()()
;0 8;m Î-¥ È +¥
.
C.
(
)
(
)
;0 2;m Î-¥ È +¥
. D.
()
0;8m Î
.
Li gii.
Chn C
Ta có
()
22
'3 6 6 3 2 2
y
x mxm x mxm=- += - +
.
Để hàm s có hai đim cc tr
2
220xmxm- + =
có hai nghim phân bit
2
0
'20 .
2
m
mm
m
é
<
ê
D = - >
ê
>
ë
.
Câu 2: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
32
2017
3
m
yxxx=+++
có cc tr.
A.
(
]
;1m Î-¥
. B.
()()
;0 0;1m Î-¥ È
.
C.
()(
]
;0 0;1m Î-¥ È
. D.
()
;1m Î-¥
.
Li gii.
Chn D
Nếu
0m =
thì
2
2017yx x=++
: Hàm bc hai luôn có cc tr.
Khi
0m ¹
, ta có
2
'21ymx x=++
.
Để hàm s có cc tr khi và ch khi phương trình
2
210mx x++=
có hai nghim phân bit
0
01.
'1 0
m
m
m
ì
¹
ï
ï
¹<
í
ï
D= - >
ï
î
Hp hai trường hp ta được
1m <
.
Nhn xét. Sai lm thường gp là không xét trường hp
0m =
dn đến chn đáp án B.
Câu 3: Tìm các giá tr ca tham s
m
để hàm s
()
32
32 3ym x mx=- - +
không có cc tr.
A.
3m =
. B.
0m =
,
3m =
. C.
0m =
. D.
3m ¹
.
Li gii.
Chn C
Nếu
3m =
thì
2
63yx=- +
. Đây là mt Parabol nên luôn có mt cc tr.
Nếu
3m ¹
, ta có
()
2
'3 3 4ymxmx=- -
.
Để hàm s có không có cc tr khi
'0y =
có nghim kép hoc vô nghim
2
'4 0 0.mmD = £ =
Câu 4: Cho hàm s
()
()
322
11
32 2 31 4
32
yx mx mmx=- + + ++-
. Tìm giá tr thc ca tham s
m
để
hàm s có hai đim cc tr
3x =
5x =
.
A.
0m =
. B.
1m =
. C.
2m =
. D.
3m =
.
Li gii.
Chn C
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 21
Ta có
()
()
22
'32231yx m x m m=- + + + +
.
Yêu cu bài toán
'0y=
có hai nghim
3x =
hoc
5x =
()
()
()
()
2
2
2
2
933 2 2 3 1 0
2640
2
212160
25 5 3 2 2 3 1 0
mmm
mm
m
mm
mmm
ì
ï
-++++=
ì
ï
-+=
ï
ïï
=
íí
ïï
-+=
-++++=
ïï
î
ï
î
.
Câu 5: Biết rng hàm s
32
yax bx cx=++
()
0a ¹
nhn
1x =-
là mt đim cc tr. Mnh đề nào
sau đây là đúng?
A. acb+=. B. 20ab-= . C. 32ac b+= . D. 32 0abc++=.
Li gii.
Chn C
Ta có
2
'3 2yaxbxc=++
.
Hàm s nhn
1x =- mt đim cc tr nên suy ra
(
)
'1 0y -=
32 03 2abc ac b-+=+= .
Câu 6: Biết rng hàm s
32
33y x mx mx=- +-
có mt đim cc tr
1
1x =- . Tìm đim cc tr còn
li
2
x
ca hàm s.
A.
2
1
4
x =
. B.
2
1
3
x =
. C.
2
1
3
x =-
. D.
2
26.xm=- -
Li gii.
Chn B
Ta có
2
'9 2yxmxm=- +
.
Để hàm s có hai đim cc tr
'0y= có hai nghim phân bit
2
0
'90 .
9
m
mm
m
é
<
ê
D = - >
ê
>
ë
()
*
Theo gi thiết:
()
'1 0 93 0 3ymm-=+ = =-
(tha mãn
()
*
).
Vi
3m =-
thì
2
1
'9 6 3; '0 .
1
3
x
yxxy
x
é
=-
ê
ê
=+- =
ê
=
ê
ë
.
Câu 7: Cho hàm s
()
322
1
45
3
yxmxm x=-+-+
vi
m
là tham s thc. Tìm tt c các giá tr ca
m
để hàm s đạt cc tiu ti đim
1x =-
.
A.
1.m =
. B.
3m =-
. C.
1m =
,
3m =-
. D.
31.m £
Li gii.
Chn B
Ta có
()
22
'2 4yx mxm=- + -
.
1x =-
đim cc tiu ca hàm s
()
2
1
'1 0 2 30 .
3
m
ymm
m
é
=
ê
¾¾ -= + -=
ê
=-
ë
Th li ta thy ch có giá tr
3m =-
tha mãn
'y
đổi du t '' ''- sang
'' ''+
khi qua
1x =-
.
Câu 8: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
32
412yxmx x=+-
đạt cc tiu ti
đim
2.x =-
A.
9.m =-
B.
2.m =
C.
9.m =
D. Không có
.m
Li gii.
Chn D
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 22
Đạo hàm
()
2
'12212fx x mx=+-
()
'' 24 2
f
xxm=+
.
Riêng hàm bc ba, yêu cu bài toán tương đương vi
()
()
'2 0
'' 2 0
f
f
ì
ï-=
ï
í
ï
->
ï
î
12.4 4 12 0 9
48 2 0 24
mm
mm
ìì
--= =
ïï
ïï
««
íí
ïï
-+ > >
ïï
îî
: vô nghim.
Cách trc nghim. Thay ngược đáp án nhưng lâu hơn cách t lun.
Câu 9: Gi
12
,
x
x
là hai đim cc tr ca hàm s
()
322 3
331
y
xmx m xmm=- + - - +
. Tìm các giá
tr ca tham s
m
để
22
1212
7.xxxx+- =
A.
0m =
. B.
9
2
m =
. C.
1
2
m =
. D.
2m =
.
Li gii.
Chn D
Ta có
() ()
2222
'3 6 3 1 3 2 1yxmxm xmxm
é
ù
=- + -= - +-
ê
ú
ë
û
.
Do
22
'110, mm mD= - + = > " Î nên hàm s luôn có hai đim cc tr
12
,
x
x
.
Theo định lí Viet, ta có
12
2
12
2
1
x
xm
xx m
ì
+=
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
.
Yêu cu bài toán
()
()
2
22 2
12 12
374317 4 2xx xx m m m m+ - = - -===
.
Câu 10: m tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
()
32
23
f
xxxm=--
có các giá tr
cc tr trái du.
A.
1m =- , 0m = . B. 0m < , 1.m >-
C. 10m-< < . D. 01.m££
Li gii.
Chn C
Ta có
() ()
()
()
2
00
'66;'0 .
11 1
xfm
fx x xfx
xfm
é
= =-
ê
=- =
ê
= =--
ê
ë
Yêu cu bài toán
()
10 1 0+<-<<mm m
.
Câu 11: m tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
422
2yx mx m m=+ ++
có ba đim
cc tr.
A.
0.m =
. B.
0.m >
. C.
0.m <
. D.
0.m ¹
Li gii.
Chn C
Ta có
()
32
2
0
'4 4 4 ; '0 .
x
yxmxxxmy
x
m
é
=
ê
=+ = + =
ê
=-
ë
Để hàm s có ba đim cc tr
'0y =
có ba nghim phân bit
00.mm- > <
.
Dng5:Chomsố
'
f
x
hocđồthịhàmsố
'
f
x
.Tìmcácđimcctrịcahàmsố
1. Phương pháp
2. Các ví d
Câu 1: Biết rng hàm s
()
f
x
đạo hàm là
() ( )( )( )
235
'123fx xx x x=- - -
. Hi hàm s
()
f
x
bao nhiêu đim cc tr?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 23
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Li gii.
Chn B
Ta có
()
0, 1
'0
2, 3
xx
fx
xx
é
==
ê
=
ê
==
ë
. Tuy nhiên li xut hin nghim kép ti
1x =
(nghim kép
thì
'y
qua nghim không đổi du) nên hàm s đã cho có ba đim cc tr.
Câu 2: Cho hàm s
()
yfx=
đạo hàm liên tc trên
và hàm s
()
yfx
¢
=
đồ th như hình
v bên. Mnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm s
()
yfx=
đạt cc đại ti đim 1.x =- .
B. Hàm s
()
yfx=
đạt cc tiu ti đim 1.x = .
C. Hàm s
()
yfx=
đạt cc tiu ti đim 2.x =- .
D. Hàm s
()
yfx=
đạt cc đại ti đim 2x =- .
Li gii.
Chn C
Da vào đồ th hàm s
()
yfx
¢
=
, ta có các nhn xét sau:
()
f
x
¢
đổi du t
""-
sang
""+
khi đi qua đim
2x =-
suy ra
2x =-
đim cc tr
và là
đim cc tiu ca hàm s
()
.yfx=
()
f
x
¢
không đổi du khi đi qua đim
1, 1xx=- =
suy ra
1, 1xx=- =
không là các
đim
cc tr ca hàm s
()
.yfx=
Vy hàm s đã cho đạt cc tiu ti đim
2.x =-
.
Câu 3: Hàm s
f
x
đạo hàm
f
x
trên khong
K
. Hình v bên là đồ th ca hàm s
f
x
trên khong K . Hi hàm s
f
x
có bao nhiêu đim cc tr?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 24
A. 0.
.
B.
1.
.
C.
2.
.
D.
4.
Li gii.
Chn B
Da vào đồ th ta thy phương trình
()
'0fx=
ch có mt nghim đơn (ct trc hoành ti
mt
đim) và hai nghim kép (tiếp xúc vi trc hoành ti hai đim) nên
()
'
f
x
ch đổi du khi
qua
nghim đơn. Do đó suy ra hàm s
()
f
x
đúng mt cc tr.
Nhn xét. Đây là mt dng toán suy ngược đồ th.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 25
BÀI 3. GIÁ TR LN NHT, GIÁ TR NH NHT CA HÀM S
A.
KIN THC CƠ BN CN NM
1. Định nghĩa
Cho hàm s. xác định trên tp
D.
S
M
được gi là giá tr ln nht (GTLN) ca hàm s
()
yfx=
trên tp D , nếu
()
f
xM£
vi
Dx
và tn ti
[
]
1;1 .-
sao cho
(
)
0
f
xM=
. Kí hiu:
0.
S
m
được gi là giá tr nh nht (GTNN) ca hàm s
()
yfx=
trên tp
90
.
91
, nếu
()
f
xm³
vi
Dx
và tn ti
0
Dx Î
sao cho
()
0
f
xm=
. Kí hiu:
()
D
min .
x
mfx
Î
=
2. Định lý
Hàm s
()
yfx=
liên tc trên đon
[
]
;ab
tn ti
[]
()
;
max
ab
f
x
,
[]
()
;
min
ab
f
x
.
3. Cách tìm GTLN – GTNN trên mt đon
Bước 1: Tìm các đim
12
, ,...,
n
x
xx
trên
[
]
;ab
mà ti đó
()
'0fx=
hoc
()
'
f
x
không xác
định.
Bước 2: Tính
() ( ) ( ) ( ) ()
12
, , , ..., ,
n
f
afx fx fx fb
.
Bước 3: Tìm s ln nht
M
và s nh nht
m
trong các s trên thì
[]
()
[]
()
;
;
max
min
ab
ab
M
fx
mfx
ì
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
ï
î
.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Tìm GTLN, GTNN ca hàm s trên
,ab
Câu 1: Tìm giá tr ln nht ca hàm s
32
241
f
xx x x

trên đon

1; 3 .
A.
[]
()
1;3
67
max .
27
fx=
B.
[]
()
1;3
max 2.fx=-
C.
[]
()
1;3
max 7.fx=-
D.
[]
()
=
1;3
max 7.fx
Li gii.
Chn B
Đạo hàm
() ()
[
]
[]
2
21;3
'344'0 .
2
1; 3
3
x
fx x x fx
x
é
ê
ê
=-- =
ê
=- Ï
ê
ë
Ta có
()
()
()
[]
()
1;3
14
27max 2.
32
f
ffx
f
ì
ï=-
ï
ï
ï
=- =-
í
ï
ï
ï
=-
ï
î
Cách 2. S dng chc năng MODE 7 và nhp hàm
()
32
241fX X X X=- -+
vi thiết lp
Start 1, End
3,
Step
0, 2
.
Quan sát bng giá tr
()
FX
ta thy giá tr ln nht
()
FX
bng
2-
khi
3.X =
.
Câu 2: Gi
,
M
m
ln lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
()
32
231fx x x=+-
trên
đon
1
2;
2
éù
êú
--
êú
ëû
. Tính
PMm=-
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 26
A.
5P =-
. B.
1P =
. C.
4P =
. D.
5P =
.
Li gii.
Chn D
Đạo hàm
() ()
2
1
02;
2
'66 '0 .
1
12;
2
x
fx x x fx
x
é
é
ù
ê
ê
ú
--
ê
ê
ú
ë
û
ê
=+ =
ê
é
ù
ê
ê
ú
=- Î - -
ê
ê
ú
ë
û
ë
Ta có
()
()
()
()
1
2;
2
1
2;
2
min 5
25
10 5.
max 0
11
22
mfx
f
fPMm
Mfx
f
éù
êú
--
êú
ëû
éù
êú
--
êú
ëû
ì
ï
ï
ì
ï
ï
==-
ï
-=-
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
-= ¾¾= -=
íí
ïï
==
ïï
ïï
æö
ïï
÷
ç
-=-
ïï
÷
î
ç
ï÷
ç
èø
ï
ï
î
.
Câu 3: Biết rng hàm s
()
32
3928fx x x x=- -+
đạt giá tr nh nht trên đon
[
]
0;4
ti
0
x
. Tính
0
2018.Px=+
A.
3.P =
B.
2019.P =
C.
2021.P =
D.
2018.P =
Li gii.
Chn C
Đạo hàm
() ()
[
]
[]
2
10;4
'369'0 .
30;4
x
fx x x fx
x
é
=- Ï
ê
=-- =
ê
ê
ë
Ta có
()
()
()
[]
()
0;4
028
31 min 1
48
f
ffx
f
ì
ï=
ï
ï
ï
= =
í
ï
ï
ï
=
ï
î
khi
0
3 2021.xxP== =
.
Câu 4: Xét hàm s
()
32
4
23
3
fx x x x=- - - -
trên
[
]
1;1-
. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm s có giá tr nh nht ti
1x =-
và giá tr ln nht ti
1x =
.
B. Hàm s có giá tr nh nht ti
1x =
và giá tr ln nht ti
1x =-
.
C. Hàm s có giá tr nh nht ti
1x =-
nhưng không có giá tr ln nht.
D. Hàm s không có giá tr nh nht nhưng có giá tr ln nht ti
1x =
.
Li gii.
Chn B
Đạo hàm
() ( )
2
2
'441210, .fx x x x x=- - - =- + £ " Î
Suy ra hàm s
()
f
x
nghch biến trên đon
[
]
1;1-
nên có giá tr nh nht ti
1x =
và giá tr
ln nht ti
1x =-
.
Câu 5: Tìm giá tr ln nht ca hàm s
42
25fx x x

trên đon
2; 2 .
A.
[]
()
2;2
max 4.fx
-
=- . B.
[]
()
2;2
max 13.fx
-
= C.
[]
()
2;2
max 14.fx
-
= D.
[]
()
2;2
max 23.fx
-
=
Li gii.
Chn B
Đạo hàm
() ()
[
]
[]
[]
3
02;2
'44 '0 12;2.
12;2
x
fx x x fx x
x
é
-
ê
ê
=- ==Î-
ê
ê
ê
=- Î -
ë
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 27
Ta có
() ()
() ()
()
[]
()
2;2
2213
1 1 4 max 13.
05
ff
ff fx
f
-
ì
ï-= =
ï
ï
ï
-= = =
í
ï
ï
ï
=
ï
î
.
Câu 6: Cho hàm s
()
42
2410fx x x=- + +
. Tìm giá tr ln nht
M
và giá tr nh nht
m
ca
hàm s trên đon
[
]
0;2 .
A. 10; 6.Mm==- B. 12; 6.Mm==-
C.
10; 8.Mm==- D. 12; 8.Mm==-
Li gii.
Chn B
Đạo hàm
() ()
[
]
[]
[]
3
00;2
'88'010;2.
10;2
x
fx x x fx x
x
é
ê
ê
=- + = = Î
ê
ê
ê
=- Ï
ë
Ta có
()
()
()
[]
()
[]
()
0;2
0;2
010
112 max 12; min 6.
26
f
fMfxmfx
f
ì
ï=
ï
ï
ï
== = = =-
í
ï
ï
ï
=-
ï
î
.
Câu 7: Tìm giá tr nh nht ca hàm s
()
2
3
1
x
fx
x
+
=
-
trên đon
[
]
2;4
.
A.
[]
()
2;4
min 6fx=
. B.
[]
()
2;4
min 2fx=-
. C.
[]
()
2;4
min 3fx=-
. D.
[]
()
2;4
19
min
3
fx=
.
Li gii.
Chn A
Đạo hàm
()
()
()
[
]
[]
2
2
12;4
23
''0.
32;4
1
x
xx
fx fx
x
x
é
=- Ï
--
ê
==
ê
-
ê
ë
Ta có
()
()
()
[]
()
2;4
27
36 min 6.
19
4
3
f
ffx
f
ì
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
= =
í
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
Cách 2: S dng công c TABLE (MODE 7).
Bước 1: Bm t hp phím MODE 7.
Bước 2: Nhp
()
2
3
.
1
X
fX
X
+
=
-
Sau đó n phím
=
(nếu có
()
g
X
thì n tiếp phím
=
) sau đó nhp
Start 2
End 4 .
Step 0.2
ì
=
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
=
ï
î
(Chú ý: Thường ta chn
End Start
Step
10
-
=
)
Da vào bng giá tr trên, ta thy
[]
() ()
2;4
min 3 6.fx f==
.
Câu 8: Tp giá tr ca hàm s

9
fx x
x
vi
2; 4x
đon
;ab
. Tính
P
ba
.
A.
6P =
. B.
13
2
P =
. C.
25
4
P =
. D.
1
2
P =
.
Li gii.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 28
Chn D
Đạo hàm
() ()
[
]
[]
2
2
22
32;4
99
'1 '0 90 .
32;4
x
x
fx fx x
xx
x
é
-
ê
=- = = - =
ê
=- Ï
ê
ë
Ta có
()
()
()
[]
()
[]
()
2;4
2;4
13
2
2
13
3 6 min 6; max
2
25
4
4
f
ffxfx
f
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
=¾¾= =
í
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
[]
13 13 1
;6; 6.
222
ab P b a
éù
êú
= =-=-=
êú
ëû
.
Câu 9: Cho hàm s
()
2
21
1
xx
fx
x
++
=
+
. Tìm giá tr ln nht
M
và giá tr nh nht
m
ca hàm s
trên đon
[
]
0;1 .
A.
2; 1.Mm==
B. 2; 1.Mm==
C.
1; 2.Mm==-
D.
2; 2.Mm==
Li gii.
Chn B
Đạo hàm
()
()
2
2
24
'
1
x
x
fx
x
+
=
+
. Ta có
()
[
]
()
'0, 0;1
'0 0
fx x
fx x
ì
ï³"Î
ï
í
ï
==
ï
î
.
Suy ra hàm s
()
f
x
đồng biến trên đon
[
]
0;1
.
Vy
[]
() ()
[]
() ()
0;1
0;1
max 1 2
.
min 0 1
Mfxf
mfxf
ì
ï
===
ï
ï
ï
í
ï
===
ï
ï
ï
î
Câu 10: Cho hàm s
()
31
3
x
fx
x
-
=
-
. Tìm giá tr ln nht
M
và giá tr nh nht
m
ca hàm s trên
đon
[
]
0;2 .
A.
1
5; .
3
Mm==
B.
1
; 5.
3
Mm=- =-
C.
1
; 5.
3
Mm==-
D.
1
5; .
3
Mm==-
Li gii.
Chn C
Đạo hàm
()
()
2
8
'
3
fx
x
-
=
-
. Ta có
() ( )
'0,0;2fx x<"Î
.
Suy ra hàm s
()
f
x
nghch biến trên đon
[
]
0;2
.
Vy
[]
() ()
[]
() ()
0;2
0;2
1
max 0
3
.
min 2 5
Mfxf
mfxf
ì
ï
ï
===
ï
ï
í
ï
ï
===-
ï
ï
î
.
Câu 11: m tp giá tr T ca hàm s
()
2
2
fx x
x
=+
vi
[
]
3;5x Î
.
A.
38 526
;
315
T
éù
êú
=
êú
ëû
. B.
38 142
;
35
T
é
ù
ê
ú
=
ê
ú
ë
û
. C.
29 127
;.
35
T
é
ù
ê
ú
=
ê
ú
ë
û
D.
29 526
;
315
T
éù
êú
=
êú
ëû
.
Li gii.
Chn C
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 29
Đạo hàm
()
()
()
3
22
21
2
'2 0, 3;5
x
fx x x
xx
-
=-= >"Î
.
Suy ra hàm s đồng biến trên
[
]
3;5
nên
[]
() ()
[]
() ()
3;5
3;5
29 127
min 3 ; max 5
35
fx f fx f== ==
.
Vy tp giá tr ca hàm sđon
29 127
;.
35
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
Câu 12: m giá tr ln nht
M
ca hàm s
()
24.
f
xx x=-+-
A. 1.M = . B. 2.M = . C. 3.M = . D. 4.M =
Li gii.
Chn B
TXĐ:
[
]
D2;4=
.
Đạo hàm
() () [ ]
11
'0 32;4.
2224
fx f x x
xx
=-==Î
--
Ta có
()
()
()
22
32 2.
42
f
fM
f
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
==
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
.
Câu 13: Cho hàm s
()
214 5
f
xx x=++-
. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
Hàm s đạt giá tr ln nht ti
7.x =-
B. Hàm s đạt giá tr ln nht bng
26.
C. Hàm s đạt giá tr nh nht ti 1.x =
D. Hàm s đạt giá tr nh nht bng
23.
Li gii.
Chn D
TXĐ:
[
]
D7;5=-
.
Đạo hàm
() () [ ]
11
'0 17;5.
21425
fx f x x
xx
=-==Î-
+-
Ta có
()
()
()
[]
() ( )
7;5
723
526 min 723.
16
f
ffxf
f
-
ì
ï
-=
ï
ï
ï
ï
= =-=
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
.
Câu 14: m giá tr ln nht
M
và giá tr nh nht
m
ca hàm s
()
2
4
f
xx x=-
.
A.
2; 0.Mm==
B.
2; 2.Mm==-
C.
2; 2.Mm==-
D.
2; 0.Mm==
Li gii.
Chn C
TXĐ:
[
]
D2;2.=-
Đạo hàm
()
22
2
22
42
'4
44
x
x
fx x
x
x
-
=-- =
--
()
[
]
[]
2
22;2
'0420 .
22;2
x
fx x
x
é
-
ê
=-=
ê
ê
=- Î -
ë
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 30
Ta có
()
()
()
()
20
22
2; 2.
22
20
f
f
Mm
f
f
ì
ï-=
ï
ï
ï
ï
-=-
ï
ï
ï
= =-
í
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
.
Câu 15: m giá tr nh nht
m
ca hàm s
()
2
2
f
xx x=+ -
.
A. 2.m =- B.
1.m =-
C.
1.m =
D. 2.m =
Li gii.
Chn A
TXĐ:
D2;2.
éù
=-
êú
ëû
Đạo hàm
()
2
1
2
x
fx
x
¢
=-
-
()
2
22
2
0
012 12;2.
2
2
x
x
fx x x x
xx
x
ì
³
ï
ï
é
ù
¢
= =-= =Î-
í
ê
ú
ë
û
ï
-=
-
ï
î
Ta có
()
()
()
22
12 2.
22
f
fm
f
ì
ï
-=-
ï
ï
ï
ï
ï
==-
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
.
Dng2:Davàobngbiếnthiêncađồthịhàmsố
()
yfx=
.TìmGTLN,GTNN
Câu 1: Cho hàm s
()
yfx=
xác định, liên tc trên và có bng biến thiên sau:
Khng định nào sau đây là đúng?
A. Giá tr ln nht ca hàm s bng 2.
B. Giá tr nh nht ca hàm s bng
1.-
C. Giá tr nh nht ca hàm s bng 1.
D. Giá tr nh nht ca hàm s bng
1-
và 1.
Li gii.
Chn A
Da vào bng biến thiên nhn thy:
()
2, xfx£"Î
()
02f =
nên GTLN ca hàm s bng
2.
()
1, fx x³- " Î
và vì
()
lim 1
x
fx
-¥
=-
nên không tn ti
0
x Î
sao cho
()
0
1fx =
, do
đó hàm s không có GTNN.
Có th gii thích cách khác:
'y
đổi du qua
0x =
và tn ti
()
02y =
nên giá tr ln
nht ca hàm s bng
2
.
Câu 2: Cho hàm s
()
yfx=
xác định, liên tc trên và có bng biến thiên như sau:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 31
Khng định nào sau đây là đúng?
A.
Hàm sđúng mt cc tr.
B. Hàm s có giá tr cc tiu bng
1
.
C. Hàm s có giá tr ln nht bng 0 và giá tr nh nht bng
1-
.
D. Hàm s đạt cc đại ti
0x =
đạt cc tiu ti
1x =
.
Li gii.
Chn D
A sai vì hàm s có 2 đim cc tr.
B sai vì hàm s có giá tr cc tiu bng 1
.
C sai vì hàm s không có giá tr ln nht và giá tr nh nht trên .
D Đúng.
Câu 3: Cho hàm s
()
yfx=
có bng biến thiên sau:
Khng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm s có hai đim cc tr.
B. Hàm s đạt giá tr nh nht bng
4.-
.
C. Hàm s đạt giá tr ln nht bng
3.-
.
D. Hàm s có mt đim cc tiu.
Li gii
.
Chn B
A sai vì hàm s có ba đim cc tr
1; 0; 1.xxx=- = =
C sai vì hàm s không có giá tr ln nht.
D sai vì hàm s có hai đim cc tiu là
1x =-
1.x =
.
Câu 4: Cho hàm s
yfx
và có bng biến thiên trên
5; 7
như sau:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 32
Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
[
)
()
5;7
min 2fx
-
=
và hàm s không đạt giá tr ln nht trên
[
)
5;7-
.
B.
[)
()
5;7
max 6fx
-
=
[
)
()
5;7
min 2fx
-
=
.
C.
[
)
()
5;7
max 9fx
-
=
[
)
()
5;7
min 2fx
-
=
.
D.
[)
()
5;7
max 9fx
-
=
[
)
()
5;7
min 6fx
-
=
.
Li gii.
Chn A
Da vào bng biến thiên, ta nhn thy:
Hàm s có giá tr nh nht bng
2
, đạt ti
[
)
15;7x -
.
Ta có
(
)
[
)
()
7
lim
9, ;7
9
5
x
fx x
fx
-
ì
ï
£"Î-
ï
í
=
ï
ï
ï
ï
î
. Mà
[
)
75;7Î/-
nên không tn ti
[
)
0
5;7x Î-
sao cho
()
0
9fx =
. Do đó hàm s không đạt GTLN trên
[
)
5;7 .-
Vy
[
)
()
5;7
min 2fx
-
=
và hàm s không đạt giá tr ln nht trên
[
)
5;7-
.
Câu 5: Cho hàm s
()
yfx=
đồ th trên đon
[
]
2;4-
như hình v. Tìm giá tr ln nht
M
ca
hàm s
()
y
fx=
trên đon
[
]
2;4.-
A. 2.M = B.
()
0.Mf=
C. 3.M = D. 1.M =
Li gii.
Chn C
T đồ th hàm s
()
yfx=
trên đon
[
]
2;4-
ta suy ra đồ th hàm s
()
f
x
trên
[
]
2;4-
như
hình v.
Do đó
[]
()
2;4
max 3fx
-
=
ti
1.x =-
Câu 6: Cho hàm s
()
yfx=
đồ th như hình bên. Giá tr ln nht ca hàm s này trên đon
[
]
2;3-
bng:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 33
A.
2.
. B.
3.
. C.
4.
. D.
5.
Li gii.
Chn C
Nhn thy trên đon
[
]
2;3-
đồ th hàm sđim cao nht có ta độ
()
3;4 .
giá tr ln nht ca hàm s này trên đon
[
]
2;3-
bng
4.
Câu 7: Cho hàm s
(
)
yfx=
xác định và liên tc trên , có đồ th như hình v bên. Tìm giá tr
nh nht
m
và giá tr ln nht
M
ca hàm s
()
yfx=
trên đon
[
]
2;2-
.
A.
5, 0.mM=- =
B.
5, 1.mM=- =-
C.
1, 0.mM=- =
D.
2, 2.mM=- =
Li gii.
Chn B
Nhn thy trên đon
[
]
2;2-
Đồ th hàm sđim thp nht có ta độ
()
2; 5--
()
1; 5-
giá tr nh nht ca hàm s này trên đon
[
]
2;2-
bng
5.-
Đồ th hàm sđim cao nht có ta độ
()
1; 1--
()
2; 1-
giá tr ln nht ca hàm s này trên đon
[
]
2;2-
bng
1.-
Câu 8: Cho hàm s
()
yfx=
xác định, liên tc trên
3
1;
2
é
ù
ê
ú
-
ê
ú
ë
û
và có đồ thđường cong như hình
v bên. Giá tr ln nht
M
và giá tr nh nht
m
ca hàm s
()
f
x
trên
3
1;
2
éù
êú
-
êú
ëû
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 34
A.
4, 1.Mm==
B.
7
, 1.
2
Mm
==-
C.
4, 1.Mm==-
D.
7
, 1.
2
Mm==-
Li gii.
Chn C
Theo định nghĩa max min ca hàm s ta suy ra được điu này
Câu 9:
Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên và có đồ th như hình bên. Khng định nào sau đây
là sai?
A.
Hàm shai đim cc tr.
B. Hàm s có GTLN là 2 và GTNN là
2.-
C. Hàm s đồng biến trên
()
;0
()
2; .
D. Đồ th hàm s có hai đim cc tr
()
0;2
&
()
2; 2 .-
Li gii.
Chn B
Da vào đồ th suy ra hàm s không có giá tr ln nht và giá tr nh nht. Chú ý. Hc
sinh thường nhm tưởng giá tr cc đại là giá tr ln nht, giá tr cc tiu là giá tr nh
nht nên chn
B
Câu 10:
Cho hàm s
()
yfx=
liên tc trên và có đồ th như hình sau:
(I). Hàm s nghch biến trên khong
()
0;1
.
(II). Hàm s đồng biến trên khong
()
1; 2-
.
(III). Hàm s có ba đim cc tr.
(IV). Hàm s có giá tr ln nht bng
2.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 35
Trong các mnh đề đã cho có bao nhiêu mnh đề đúng?
A.
1
. B.
2
. C. 3 . D.
4
.
Li gii.
Chn B
Xét trên
()
0;1
ta thy đồ th đi xung (t trái sang phi) nên hàm s nghch biến. Do đó
(I) đúng
Xét trên
()
1; 2-
ta thy đồ th đi lên, ri đi xung, ri đi lên. Do đó (II) sai.
Da vào đồ th hàm s ta thy có ba đim cc tr. Do đó (III) đúng.
Hàm s không có giá tr ln nht trên
. Do đó (IV) sai.
Vy có
2
mnh đề đúng.
Dng3:TìmGTLN,GTNNtrênkhonghocnakhong
Câu 1: Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
()
1
fx x
x
=+
trên khong
()
0; .
A. 2.m = B.
0.m =
C.
2.m =
D.
1.m =
Li gii.
Chn A
Đạo hàm
() ()
()
()
2
2
2
1
1
10;
1
''0.
10;
11
22
x
x
x
fx fx
x
xxx
xx
-
é
=- Ï +¥
-
ê
== ¾¾=
ê
+¥
ê
ë
++
Bng biến thiên
T bng biến thiên ta tìm được giá tr nh nht ca hàm s
()
12f =
.
Câu 2: Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
()
2
2
fx x
x
=+
trên khong
()
0; .
A.
1.m =
B.
2.m =
C.
3.m =
D.
4.m =
Li gii.
Chn C
Đạo hàm
()
()
() ( )
3
22
21
2
2010;.
x
fx x fx x
xx
-
¢¢
=-= ==Î+¥
Lp bng biến thiên & da vào bng biến thiên ta thy
()
() ()
0;
min 1 3.fx f
==
.
Câu 3: Gi
CT
y là giá tr cc tiu ca hàm s
()
2
2
fx x
x
=+
trên
()
0;
. Mnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
()
CT
0;
min .yy
>
. B.
()
CT
0;
1min.yy
=+
. C.
()
CT
0;
min .yy
=
. D.
()
CT
0;
min .yy
<
Li gii.
Chn C
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 36
Đạo hàm
() () ( )
3
22
22 2
'2 '0 10;.
x
fx x fx x
xx
-
=-= ==Î+¥
Qua đim
1x =
thì hàm s đổi du t
'' ''-
sang
'' ''+
trong khong
()
0;
.
Suy ra trên khong
()
0;
hàm s ch có mt cc tr và là giá tr cc tiu nên đó cũng
chính là giá tr nh nht ca hàm s. Vy
()
CT
0;
min .yy
=
.
Câu 4: Tìm giá tr ln nht
M
ca hàm s
()
1
fx x
x
=-
trên
(]
0;3 .
A.
3.M =
. B.
8
3
M =
. C.
3
.
8
M =
. D.
0.m =
Li gii.
Chn B
Đạo hàm
() ()
2
1
10, 0;3.
fx x
x
¢
=+ > "Î
Suy ra hàm s
()
f
x
đồng biến trên
(
]
0;3
nên đạt giá tr ln nht ti
3x =
(
]
() ()
0;3
8
max 3 .
3
fx f==
.
Dng 4: Tìm tham s m để hàm s đạt giá tr ln nht, giá tr nh nht
Câu 1: Tìm giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
()
2
4
f
xxxm=- + -
có giá tr ln nht trên
đon
[
]
1; 3-
bng
10.
A.
3.m =
. B.
6m =-
. C.
7m =-
. D.
8m =-
.
Li gii.
Chn B
Đạo hàm
() ()
[
]
'24'021;3.fx x fx x=- + = = Î -
Ta có
()
()
()
[]
() ()
1;3
15
24 max 24
33
fm
f
mfxfm
fm
-
ì
ï-=--
ï
ï
ï
=- = =-
í
ï
ï
ï
=-
ï
î
.
Theo bài ra:
[]
()
1;3
max 10 4 10 6fx m m
-
=-==-
.
Câu 2: Giá tr ln nht ca hàm s
()
2
1
x
m
fx
x
-
=
+
trên đon
[
]
0;1
bng
A.
2
1
2
m+
. B.
2
m-
. C.
2
1
2
m-
. D.
2
.m
Li gii.
Chn C
Đạo hàm
()
()
[]
2
2
1
'0,0;1
1
m
fx x
x
+
=>"Î
+
.
Suy ra hàm s
()
f
x
đồng biến trên
[]
[]
() ()
2
0;1
1
0;1 max 1 .
2
m
fx f
-
¾¾==
.
Câu 3: Giá tr nh nht ca hàm s
2
1
x
m
y
x
+
=
-
trên đon
[
]
1; 0-
bng
A.
2
1
2
m -
. B.
2
m-
. C.
2
1
2
m-
. D.
2
.m
Li gii.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 37
Chn B
Đạo hàm
()
[]
2
2
1
'0,1;0
1
m
yx
x
--
=<"Î-
-
.
Suy ra hàm s
()
f
x
nghch biến trên
[
]
[]
() ()
2
1;0
1; 0 m in 0
f
xf m
-
- = =-
.
Câu 4: Tìm giá tr thc ca tham s
a
để hàm s
()
32
3
f
xxxa=- - +
có giá tr nh nht trên
đon
[
]
1;1-
bng 0.
A. 2.a = . B. 6a = . C. 0a = . D. 4a = .
Li gii.
Chn D
Đạo hàm
() ()
[
]
[]
2
01;1
'36'0 .
21;1
x
fx x x fx
x
é
-
ê
=- - =
ê
=- Ï -
ê
ë
Ta có
()
()
()
[]
() ()
1;1
12
0min14.
14
fa
fa fxfa
fa
-
ì
ï-=-
ï
ï
ï
= ==-
í
ï
ï
ï
=-
ï
î
Theo bài ra:
[]
()
1;1
min 0 4 0 4.fx a a
-
=-==
.
Câu 5: Cho hàm s
()
()
32 2
12fx x m x m=+ + +-
vi
m
là tham s thc. Tìm tt c các giá tr ca
m
để hàm s có giá tr nh nht trên đon
[
]
0;2
bng
7.
A. 1m = . B.
7m =
. C.
2m =
. D. 3m = .
Li gii.
Chn D
Đạo hàm
()
22
'3 10, fx x m x=++>"Î
.
Suy ra hàm s
()
f
x
đồng biến trên
[
]
[]
() ()
2
0;2
0;2 min 0 2.fx f m==-
Theo bài ra:
[]
()
2
0;2
min 7 2 7 3.fx m m= -= =
.
Câu 6: Cho hàm s
()
2
8
x
m
fx
x
-
=
+
vi
m
là tham s thc. Tìm giá tr ln nht ca
m
đểm s
có giá tr nh nht trên đon
[
]
0;3
bng 2.-
A.
4m =
. B.
5m =
. C.
4m =-
. D.
1m =
.
Li gii.
Chn A
Đạo hàm
()
[]
2
2
8
'0, 0;3
8
m
yx
x
+
=>"Î
+
.
Suy ra hàm s
()
f
x
đồng biến trên đon
[]
[]
() ()
2
0;3
0;3 min 0 .
8
m
fx f
==-
Thao bài ra:
[]
()
2
0;3
min 2 2 4
8
m
fx m
=- - =- =
giá tr
m
ln nht là
4.m =
.
Câu 7: Cho hàm s
1
x
m
y
x
+
=
+
(vi
m
là tham s thc) tha mãn
[]
[]
1;2
1;2
16
min max
3
yy+=
. Mnh đề
nào dưới đây là đúng?
A.
02m
. B.
24m
. C.
0m £
. D.
4m >
.
Li gii.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 38
Chn D
Đạo hàm
()
()
2
1
1
m
fx
x
-
¢
=
+
.
Suy ra hàm s
()
f
x
là hàm s đơn điu trên đon
[
]
1; 2
vi mi
1m ¹
.
Khi đó
[]
[]
() ( )
1;2
1;2
1216525
min max 1 2 5
23366
mm m
yyff m
++
+=+=+===
.
Vy
5m =
là giá tr cn tìm và tha mãn điu kin
4m >
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 39
BÀI 4. ĐƯỜNG TIM CN CA ĐỒ TH HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
1. Khái nim tim cn
Cho hàm s
()
yfx=
đồ th
(
)
C
. Đim
()
M
CÎ
,
M
H
là khong cách t
M
đến đường thng
d
.
Đường thng
d
gi là tim cn ca đồ th hàm s nếu khong cách
M
H dn v
0
khi
x +¥
hoc
0
.
x
x
2. Định nghĩa tim cn đứng (TCĐ), tim cn ngang (TCN)
a. Tim cn ngang
Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên mt khong vô hn (là khong dng
()()
;, ;ab
hoc
(
)
;
). Đường thng
0
yy= được gi là đường tim cn ngang (gi tt là tim cn ngang) ca
đồ th hàm s
()
yfx=
nếu ít nht mt trong các điu kin sau được tha mãn:
() ()
00
lim ; lim
xx
f
xy fxy
+¥ -¥
==
Chú ý :
Nếu
() ()
lim lim
xx
fx fx
+¥
==
thì ta viết chung là
()
lim .
x
fx
¥
=
Hàm s có TXĐ không phi các dng sau:
()()
;, ;ab
hoc
(
)
;
thì đồ th không
tim cn ngang.
b. Tim cn đứng
Đường thng
0
x
x= được gi là đường tim cn đứng (gi tt là tim cn đứng) ca đồ th hàm s
(
)
yfx=
nếu ít nht mt trong các điu kin sau được tha mãn:
() () () ()
0000
lim ; lim ; lim ; lim
xx xx xx xx
fx fx fx fx
-+-+

=+¥ =+¥ =-¥ =-¥
x
y
y
0
H
M
x
M
(C)
O
1
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 40
Chú ý: Vi đồ th hàm phân thc dng
()
0; 0
ax b
ycadbc
cx d
+
-¹
+
luôn có tim cn ngang là
a
y
c
=
và tim cn đứng
.
d
x
c
=-
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Da vào định nghĩa tìm các đường tim cn ca đồ th hàm s
Câu 1: Cho hàm s
()
yfx=
()
lim 1
x
fx
+¥
=
()
lim 1
x
fx
-¥
=-
. Khng định nào sau đây
khng định đúng?
A. Đồ th hàm s không có tim cn ngang.
B. Đồ th hàm sđúng mt tim cn ngang.
C. Đồ th hàm s có hai tim cn ngang là các đường thng
1y =
1y =-
D. Đồ th hàm s có hai tim cn ngang là các đường thng
1x =
1x =-
.
Li gii
Chn C
Theo định nghĩa v tim cn, ta có:
()
lim 1 1
x
fx y
+¥
¾=
là TCN,
()
lim 1 1
x
fx y
-¥
=- ¾¾=-
là TCN.
Câu 2: Cho hàm s
()
yfx=
()
lim 0
x
fx
+¥
=
()
lim
x
fx
-¥
=+¥
. Khng định nào sau đây là
khng định đúng?
A. Đồ th hàm s không có tim cn ngang.
B. Đồ th hàm snm phía trên trc hoành.
C. Đồ th hàm scó mt tim cn ngang là trc hoành.
D. Đồ th hàm scó mt tim cn đứng là đường thng
0.y =
Li gii
Chn C
Ta có
()
lim 0 0
x
fx y
+¥
¾=
là TCN.
Đáp án B sai vì chn hàm
1
;1
2
1
;1
2
x
x
x
y
x
æö
÷
ç
£-
÷
ç
÷
ç
èø
=
æö
÷
ç
÷
ç
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
÷
ç
èø
. Vy ta chđáp án C đúng.
x
y
x
M
(C)
x
0
M
H
O
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 41
Câu 3: Cho hàm s
()
yfx=
()
lim 0
x
fx
+¥
=
()
0
lim
x
fx
+
=+¥
. Khng định nào sau đây là
khng định đúng?
A. Đồ th hàm s đã cho không có tim cn đứng.
B. Trc hoành và trc tung là hai tim cn ca đồ th hàm s đã cho.
C. Đồ th hàm s đã cho có mt tim cn đứng là đường thng
0y =
.
D. Hàm s đã cho có tp xác định là
()
D0,=+¥
.
Li gii
Chn B
Theo định nghĩa v tim cn, ta có:
()
lim 0 0
x
fx y
+¥
¾=
là TCN,
()
0
lim 0
x
fx x
+
=+¥ ¾¾=
là TCĐ.
Câu 4: Cho hàm s
()
yfx=
()
lim 1
x
fx
-¥
=-
()
1
lim
x
fx
+
=+¥. Khng định nào sau đây là
khng định đúng?
A. Đồ th hàm s không có tim cn ngang.
B. Đồ th hàm s có hai tim cn ngang.
C. Đồ th hàm s có tim cn ngang
1y =-
và tim cn đứng
1.x =
D. Đồ th hàm s haitim cn ngang là các đường
1y =-
1.y =
Li gii
Chn C
Theo định nghĩa v tim cn, ta có:
()
lim 1 1
x
fx y
-¥
=- ¾¾=-
là TCN,
()
1
lim 1
x
fx x
+
=+¥ ¾¾=
là TCĐ.
Câu 5: Cho hàm s
(
)
yfx=
()
lim 1
x
fx
¥
=
() ()
22
lim lim 10.
xx
fx fx
-+

==
Khng định nào sau
đây là đúng?
A. Đồ th hàm s có mt tim cn ngang là 1y = đường thng
2x =
không phi là
tim cn đứng.
B. Đồ th hàm s có tim cn ngang
1y = và tim cn đứng
2.x =
C. Đồ th hàm s có tim cn ngang
1y = và tim cn đứng
10.x =
D. Đồ th hàm s không có tim cn ngang nhưng có mt tim cn đứng
2.x =
Li gii
Chn A
Theo định nghĩa v tim cn, ta có:
()
lim 1 1
x
fx y
¥
¾=
là TCN.
() ()
22
lim lim 10 0
xx
fx fx x
+-

==¾¾=
không phi là TCĐ.
Câu 6: Cho hàm s
()
f
x
có tp xác định là
()
{
}
D3;3\1;1=- -
, liên tc trên các khong ca tp
D và có
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 42
()
()
()
()
()
()
()
()
()
311
113
lim ; lim ; lim ;
lim ; lim ; lim .
xxx
xxx
fx fx fx
fx fx fx
+-+
-+-
- - -

=-¥ =-¥ =-¥
=+¥ =+¥ =+¥
Khng định nào sau đây là khng định đúng?
A. Đồ th hàm sđúng hai TCĐ là các đường thng
3x =-
3x =
.
B. Đồ th hàm sđúng hai TCĐ là các đường thng
1x =-
1x =
.
C. Đồ th hàm sđúng bn TCĐ là các đường thng
1x =
3x =
.
D. Đồ th hàm s có sáu TCĐ.
Li gii
Chn C
Câu 7: Chn khng định đúng trong các khng định sau:
A. Đồ th hàm s
()
yfx=
có tim cn ngang
1y =
khi và ch khi
()
lim 1
x
fx
+¥
=
()
lim 1
x
fx
-¥
=
B. Nếu hàm s
(
)
yfx=
không xác định ti
0
x
thì đồ th hàm s
()
yfx=
có tim cn
đứng
0
x
x=
C. Đồ th hàm s
()
yfx=
có tim cn đứng
2x =
khi và ch khi
()
2
lim
x
fx
+
=+¥
()
2
lim
x
fx
-
=+¥
.
D. Đồ th hàm s
()
yfx=
bt kì có nhiu nht hai đường tim cn ngang.
Li gii
Chn D
A saivì ch cn mt trong hai gii hn
()
lim 1
x
fx
-¥
=
hoc
()
lim 1
x
fx
+¥
=
tn ti thì đã suy ra
được tim cn ngang là
1y =
.
B sai,ví d hàm s
3
1yx=-
không xác định ti
2x =-
nhưng
()
()
2
lim
x
f
x
-
-
()
()
2
lim
x
f
x
+
-
không tiến đến vô cùng nên
2x =-
không phi là tim cn đứng ca đồ th hàm s.
C saivì ch cn tn ti mt trong bn gii hn sau:
() () () ()
2222
lim , lim , lim , lim
xxxx
fx fx fx fx
-- + +

=-¥ =+¥ =-¥ =+¥
.
D đúngvì ch có hai gii hn
() ()
lim , lim
xx
f
xfx
-¥ +¥
.
Dng 2: Da vào bng biến thiên ca đồ th hàm s tìm các đường tim cân
Câu 1: Cho hàm s
()
yfx=
xác định và liên tc trên
{
}
\1-
, có bng biến thiên như sau:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 43
Khng định nào sau đây là khng định đúng?
A. Đồ th hàm s có tim cn đứng
1y =- và tim cn ngang
2.x =-
B. Đồ th hàm s có duy nht mt tim cn.
C. Đồ th hàm s có ba tim cn.
D. Đồ th hàm s có tim cn đứng
1x =-
và tim cn ngang 2.y =-
Li gii
Chn D
T bng biến thiên, ta có:
()
()
()
()
1
1
lim
1
lim
x
x
fx
x
fx
-
+
-
-
ì
ï=+¥
ï
ï
ï
¾¾=-
í
ï
=-¥
ï
ï
ï
î
là TCĐ.
lim 2
2
lim 2
x
x
y
y
y
-¥
+¥
ì
=-
ï
ï
ï
¾¾=-
í
ï
=-
ï
ï
î
là TCN.
Câu 2: Cho hàm s
()
f
x
xác định và liên tc trên
{}
\1,-
có bng biến thiên như sau:
Khng định nào sau đây là khng định đúng?
A. Đồ th hàm s có mt đường tim cn.
B. Đồ th hàm s có hai đường tim cn.
C. Đồ th hàm s có hai TCN
2,y =
5y =
và mt TCĐ
1.x =-
D. Đồ th hàm s có bn đường tim cn.
Li gii
Chn C
T bng biến thiên, ta có:
()
()
()
()
1
1
lim
1
lim
x
x
fx
x
fx
+
-
-
-
ì
ï=+¥
ï
ï
ï
¾¾=-
í
ï
=-¥
ï
ï
ï
î
là TCĐ.
()
lim 5 5
x
fx y
-¥
¾=
là TCN và
()
lim 2 2
x
fx y
+¥
¾=
là TCN.
Câu 3: Cho hàm s
()
yfx=
có bng biến thiên như sau:
Kết lun nào sau đây đầy đủ v đường tim cn ca đồ th hàm s
()
yfx=
?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 44
A. Đồ th hàm sđường tim cn ngang 1y = .
B. Đồ th hàm sđường tim cn ngang
1y =
.
C. Đồ th hàm sđường tim cn ngang
1y = , tim cn đứng
1.x =-
D. Đồ th hàm sđường tim cn ngang
1y = , tim cn đứng
1.x =-
Li gii
Chn A
Ta có
()
1
lim 2
x
fx
-
¥
nên đồ th hàm s không có TCĐ.
Ta có
()
lim 1 1
x
fx y
-¥
=- ¾¾=-
là TCN;
()
lim 1 1
x
fx y
+¥
¾= là TCN.
Câu 4: Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên
{
}
\0
, liên tc trên mi khong xác định và có bng
biến thiên như sau:
Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ th hàm s có mt đường tim cn đứng.
B. Hàm s đạt cc tiu ti
0.x =
C. Giá tr ln nht ca hàm s
2.
D. Hàm s không có cc tr.
Li gii
Chn A
Da vào bng biến thiên, ta có nhn xét như sau:
A đúngvì
() ()
00
lim lim 0
xx
fx fx x
+-

==-¥¾¾=
là tim cn đứng ca đồ th hàm s.
B saivì ti
0x =
hàm s không xác định.
C saivì hàm s đạt giá tr ln nht bng
1 trên khong
()
0;
mà không đạt giá tr ln
nht trên khong
()
;0
.
D saivì đạo hàm
y
¢
đổi du t
""+
sang
""-
khi đi qua đim
11xx¾=
đim
cc đại ca hàm s.
Câu 5: Cho hàm s
()
yfx=
có bng biến thiên như sau:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 45
Mnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ th hàm s có tim cn đứng là
3.x =-
B. Đồ th hàm s có tim cn đứng là
3.x =
C. Đồ th hàm s có tim cn ngang là
0.y =
D. Đồ th hàm s có tt c hai đường tim cn.
Li gii
Chn D
T bng biến thiên, ta có:
lim 0 0
x
yy
¥
¾=
là TCN;
()
()
3
3
lim
3
lim
x
x
y
x
y
+
-
-
-
ì
=-¥
ï
ï
ï
ï
¾¾=-
í
ï
=+¥
ï
ï
ï
î
là TCĐ;
3
3
lim
3
lim
x
x
y
x
y
+
-
ì
=-¥
ï
ï
ï
¾¾=
í
ï
=+¥
ï
ï
î
là TCĐ.
Vy đồ th hàm s có tt c ba đường tim cn. Do đó D sai.
Câu 6: Cho hàm s
()
yfx=
có bng biến thiên như sau:
Hi đồ th hàm s đã cho có tt c bao nhiêu đường tim cn?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Li gii
Chn C
T bng biến thiên, ta có:
lim 0 0
x
yy
+¥
¾=
là TCN;
()
2
lim 2
x
yx
+
-
=-¥¾¾=-
là TCĐ;
0
lim 0
x
yx
-
=+¥¾¾=
là TCĐ.
Vy đồ th hàm s đã cho có đúng ba đường tim cn.
Câu 7: Cho hàm s
()
yfx=
có bng biến thiên như sau:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 46
Hi đồ th hàm s đã cho có tt c bao nhiêu đường tim cn?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Li gii
Chn B
T bng biến thiên, ta có:
lim
x
y
+¥
=+¥¾¾
đồ th hàm s không có tim cn ngang;
()
2
lim 2
x
yx
+
-
=+¥¾¾=-
là TCĐ;
1
lim 1
x
yx
+
=-¥¾¾=
là TCĐ.
Vy đồ th hàm s đã cho có đúng hai đường tim cn.
Dng 3: Cho hàm s
yfx
. Tìm các đường tim cn ca đồ th hàm s
Câu 1: Tìm ta độ giao đim ca đường tim cn đứng và tim cn ngang ca đồ th hàm s
2
.
2
x
y
x
-
=
+
A.
()
2;2-
. B.
()
2;1
. C.
()
2; 2--
. D.
()
2;1-
.
Li gii
Chn D
TXĐ
{}
D\2.=-
D thy đồ th hàm s có TCĐ:
2x =-
và TCN:
1y =
.
Suy ra giao đim ca hai đường tim cn là
()
2;1-
.
Câu 2: Tìm s tim cn đứng ca đồ th hàm s
2
2
34
16
xx
y
x
--
=
-
.
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Li gii
Chn D
Xét phương trình
2
16 0 4xx-==. Ta có:
()( )
()()
2
2
44 4 4
14
34 1
lim lim lim lim 4
44 4
16
xx x x
xx
xx x
yx
xx x
x
- - - -
+-
-- +
== ==¥=-
+- +
-
là TCĐ;
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 47
()( )
()()
2
2
44 4 4
14
34 15
lim lim lim lim 4
44 48
16
xx x x
xx
xx x
yx
xx x
x

+-
-- +
== ===
+- +
-
không là TCĐ.
Vy đồ th hàm s có duy nht mt tim cn đứng.
Câu 3: Đồ th hàm s
2
2
9
x
y
x
-
=
-
có tt c bao nhiêu đường tim cn?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Li gii
Chn C
TXĐ:
{}
D\3.=
Ta có:
22
33 33
22
lim lim ; lim lim 3
99
xx xx
xx
yyx
xx
-- ++

--
= = = = ¾¾=
--
là TCĐ;
22
33 33
22
lim lim ; lim lim 3
99
xx xx
xx
yyx
xx
-- ++
- - - -
--
==+¥==-¥¾¾=-
--
TCĐ;
22
22
12 12
lim lim 0; lim lim 0 0
99
11
xx xx
xxxx
yyy
xx
-¥ -¥ +¥
--
====¾¾=
--
là TCN.
Vy đồ th hàm sđúng ba tim cn.
Câu 4: Đồ th hàm s nào trong các hàm s dưới đây có tim cn đứng?
A.
1
.y
x
=
B.
4
1
.
1
y
x
=
+
C.
2
1
.
1
y
x
=
+
D.
2
1
.
1
y
xx
=
++
Li gii
Chn A
Nhn thy các đáp án B, C, D hàm s có TXĐ:
D = nên không có TCĐ.
Dùng phương pháp loi tr thì A đúng.
(Tht vy; hàm s
1
y
x
=
00
1
lim lim 0
xx
yx
x
++

==+¥¾¾=
là TCĐ)
Câu 5: Đồ th hàm s
2
1
khi 1
2
khi 1
1
x
x
x
y
x
x
x
+
³
=
<
ì
ï
ï
ï
ï
ï
í
-
ï
ï
ï
ï
ï
î
có tt c bao nhiêu đường tim cn?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Li gii
Chn A
Ta có:
11
2
lim lim 1
1
xx
x
yx
x
--

==-¥¾¾=
-
là TCĐ;
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 48
2
lim lim 2 2
1
xx
x
yy
x
-¥ -¥
==¾¾=
-
là TCN;
2
1
lim lim 1 1
xx
x
yy
x
+¥ +¥
+
==¾¾=
là TCN.
Vy đồ th hàm sđúng ba tim cn.
Câu 6: Tìm tt c các đường tim cn ca đồ th hàm s
()
32
.
1
x
yfx
x
+
==
+
A. Đồ th hàm s
()
f
x
đúng mt tim cn ngang là đường thng 3y = và không có
tim cn đứng.
B. Đồ th hàm s
()
f
x
không có tim cn ngang và có đúng mt tim cn đứng là đường
thng
1x =-
.
C. Đồ th hàm s
()
f
x
có tt c hai tim cn ngang là các đường thng 3y =- , 3y =
không có tim cn đứng.
D. Đồ th hàm s
()
f
x
không có tim cn ngang và có đúng hai tim cn đứng là các
đường thng
1x =-
,
1x =
.
Li gii
Chn C
TXĐ:
D ¾ đồ th không có tim cn đứng.
Ta có
32
lim 3 3
1
x
x
y
x
-¥
+
=- ¾¾=-
+
là TCN;
32
lim 3 3
1
x
x
y
x
+¥
+
¾=
+
là TCN.
Câu 7: Đồ th hàm s
2
2
1
2
x
y
xx
+
=
--
có tt c bao nhiêu đường tim cn?
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Li gii
Chn D
Ta có
2
2
1
lim lim 1 1
2
xx
x
yy
xx
¥ ¥
+
==¾¾=
--
là TCN.
Xét phương trình
2
2
20 .
2
x
xx
x
é
=
ê
--=
ê
=-
ë
2
2
22
2
2
22
1
lim lim
2
2
1
lim lim
2
xx
xx
x
y
xx
x
x
y
xx
++
--


ì
ï
+
ï
==+¥
ï
ï
--
ï
ï
¾¾=
í
ï
+
ï
ï
==-¥
ï
--
ï
ï
î
là TCĐ;
2
2
22
2
2
22
1
lim lim
2
2
1
lim lim
2
xx
xx
x
y
xx
x
x
y
xx
++
--
- -
- -
ì
ï
+
ï
==-¥
ï
ï
--
ï
ï
¾¾=-
í
ï
+
ï
ï
==+¥
ï
--
ï
ï
î
là TCĐ.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 49
Vy đồ th hàm s đã cho có ba đưng tim cn.
Câu 8: Cho hàm s
2
1
1
x
y
x
+
=
+
. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ th hàm sđúng mt tim cn đứng, không có tim cn ngang.
B. Đồ th hàm sđúng hai tim cn đứng, không có tim cn ngang.
C. Đồ th hàm sđúng hai tim cn ngang, không có tim cn đứng.
D. Đồ th hàm sđúng mt tim cn đứng và mt tim cn ngang.
Li gii
Chn C
TXĐ:
D ¾
đồ th hàm s không có tim cn đứng.
Ta có:
2
22
11
11
1
lim lim lim lim 1 1
11
1
11
xx x x
xx
x
xx
yy
x
xx
xx
+¥
æö æö
÷÷
çç
++
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
+
== = =¾¾=
+
++
là TCN;
2
22
11
11
1
lim lim lim lim 1 1
11
1
11
xx x x
xx
x
xx
yy
x
xx
xx
-¥ -¥ -¥ -¥
æö æö
÷÷
çç
++
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
+
== = =-¾¾=-
+
+-+
là TCN.
Vy đồ th hàm s không có tim cn đứng và có đúng hai tim cn ngang.
Câu 9: Đồ th hàm s
2
1
421
x
y
xx
+
=
++
có tt c bao nhiêu đường tim cn?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Li gii
Chn B
Ta có
2
4210,xx x++>"ξ¾ TXĐ ca hàm s D = . Do đó đồ th hàm s không
có tim cn đứng.
Xét
+¥
+
¾=
++
2
11 1
lim
22
421
x
x
y
xx
là TCN;
2
11 1
lim
22
421
x
x
y
xx
-¥
+
=- ¾¾=-
++
là TCN.
Vy đồ th hàm sđúng hai đường tim cn.
Câu 10: Đồ th hàm s
2
1
1
x
y
x
+
=
-
có tt c bao nhiêu đường tim cn?
A. 1. B. 2 . C.
3
. D.
0
.
Li gii
Chn C
TXĐ:
()( )
D1;11;=- È +¥
. Ta có:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 50
()()
()
()()
()
11 1
11 1
11
lim lim lim
11
11
1
11
lim lim lim
11
11
xx x
xx x
x
y
xx
xx
x
x
y
xx
xx
++ +
-- -


ì
ï
+
ï
===+¥
ï
ï
+-
+-
ï
ï
¾¾=
í
ï
+
ï
ï
===-¥
ï
ï
+-
+-
ï
î
là TCĐ;
() ()
()()
()
()
11 1
11
lim lim lim 1
11
11
xx x
x
yx
xx
xx
++ +
- - -
+
===-¥¾¾=-
+-
-+
là TCĐ;
34
2
2
11
1
lim lim lim 0 0
1
1
1
xx x
x
xx
yy
x
x
+¥ +¥ +¥
+
+
== =¾¾=
-
-
Là TCN.
Vy đồ th hàm sđúng ba đường tim cn.
Dng 4: Bài toán tìm tham s m liên quan đến đường tim cn
Câu 1: Tìm giá tr thc ca tham s m để đồ th hàm sô
1
2
mx
y
x
m
-
=
+
đường tim cn đứng đi
qua đim
()
1; 2 .M -
A.
2m =
. B.
0m =
. C.
1
.
2
m =
D.
2
2
m =
.
Li gii
Chn A
TXĐ:
D\
2
m
ìü
ïï
ïï
=-
íý
ïï
ïï
îþ
.
Ta có
22
22
1
lim lim
2
1
2
lim lim
2
mm
xx
mm
xx
mx
y
xm
m
x
mx
y
xm
--
++
æö æö
÷÷
çç
÷÷
- -
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
æö æö
÷÷
çç
÷÷
- -
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
ì
-
ï
ï
==+¥
ï
ï
+
ï
ï
ï
¾¾=-
í
ï
-
ï
==-¥
ï
ï
+
ï
ï
ï
î
là TCĐ.
Do đó ycbt
12
2
m
m- =- =
.
Câu 2: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m để đồ thm s
2
25
3
mx
y
x
-
=
+
nhn đường
thng
8y =
làm tim cn ngang.
A.
2.m =
B.
2.m =-
C.
2.m =
D.
0.m =
Li gii
Chn C
Ta có
2
22
25
lim lim 2 2
3
xx
mx
ymym
x
¥ ¥
-
==¾¾=
-
là TCN.
Do đó ycbt
2
28 2mm==
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 51
Câu 3: Biết rng đồ th hàm s
()
23 5mn x
y
xmn
-- +
=
--
nhn hai trc ta độ làm hai đường tim cn.
Tính tng
22
2.Sm n=+-
A.
2.S =
B.
0.S =
C.
1.S =-
D.
1.S =-
Li gii
Chn B
Ta có:
()
23 5
lim lim 23 23
xx
mn x
ymnymn
xmn
¥ ¥
-- +
==--¾¾= - -
--
là TCN;
()
lim
xnm
yxmn
+
+
=+¥¾¾= +
là TCĐ.
T gi thiết, ta có
22
01
20.
230 1
mn m
Sm n
mn n
ìì
+= =
ïï
ïï
¾¾= + -=
íí
ïï
--= =-
ïï
îî
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 53
BÀI 5. ĐỒ TH CA HÀM S
A. KIN THC CƠ BN CN NM
1. Hàm s
2
0yax bxca
- Tp xác định:
.
Trường
hp
Bng biến thiên Đồ th
0a
0a
* Kết lun: Đồ th hàm s
2
yax bxc
là 1 parabol có đỉnh
;
24
b
I
aa



; trc đối xng là
đường thng
2
b
x
a
 .
+ B lõm hướng lên trên nếu
0a
; b lõm hướng xung dưới nếu
0a
.
2. Hàm s
32
0yax bx cxda
- Tp xác định:
.
- Tính
y
tính
ca phương trình 0y
.
Trường
hp
0a
0a
0
0y
có 2
nghim
phân bit
12
,
x
x
.
Bng biến thiên
Đồ th
Bng biến thiên
Đồ th
0
Bng biến thiên Bng biến thiên
4a
+
+
b
2a
+
‐∞
y
x
b
2a
4a
O
y
x
I
x
y
‐∞
+
b
2a
‐∞
‐∞
4a
b
2a
4a
O
y
x
I
+
+0
0
yʹ
CT
x
2
x
y
‐∞
+
x
1
+
‐∞
CĐ
O
y
x
CĐ
‐∞
+
x
1
+
‐∞
y
x
x
2
CT
yʹ
0
0
+
O
y
x
x
y
‐∞
+
+
‐∞
‐∞
+
+
‐∞
y
x
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 54
Đồ th
Đồ th
3. Hàm s
ax b
y
cx d
( 0c 0ad bc
)
- Tp xác định:
\
d
c



- Ta có:

2
ad bc
y
cx d
- Tim cn đứng:
d
x
c

- Tim cn ngang:
a
y
c
- Đồ th nhn giao đim
;
da
I
cc



ca hai đường tim cn làm tâm đối xng.
0ad bc
0ad bc
Bng biến thiên
Đồ th
Bng biến thiên
Đồ th
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1 : Cho đồ th hàm s. Tìm hàm s
Câu 1: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
O
y
x
O
y
x
+
+
a
c
yʹ
d/c
x
y
‐∞
+
a
c
+
‐∞
O
y
x
-d
/
c
a
/
c
I
‐∞
+
a
c
+
‐∞
y
x
d/c
yʹ
a
c
O
y
x
-d
/
c
a
/
c
I
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 55
x
2
-2
y
1
O
-1
A.
3
3yx x=-. B.
3
3yxx=- + . C.
42
2yx x=- + . D.
42
2yx x=- .
Li gii
Chn A
Đặc trưng ca đồ th là hàm bc ba nên loi C,D.
Hình dáng đồ th th hin
0a>
nên ch có A phù hp.
Câu 2: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
x
y
O
A.
2
1yxx=- + - . B.
3
31yxx=- + + . C.
42
1yx x=-+. D.
3
31yx x=-+.
Li gii
Chn D
Đặc trưng ca đồ th là hàm bc ba. Loi đáp án A và C.
Hình dáng đồ th th hin
0a>
.
Câu 3: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
x
y
-2
-2
-1
O
2
A.
32
32yxx=- - - . B.
32
32yx x=+ -.
C.
32
32yx x=- -. D.
32
32yxx=- + - .
Li gii
Chn B
Hình dáng đồ th th hin
0a>
. Loi đáp án A,D.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 56
Thy đồ th ct trc hoành ti đim
1x=-
nên thay
1
0
x
y
ì
=-
ï
ï
í
ï
=
ï
î
vào hai đáp án B và C, ch
B tha mãn.
Câu 4: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
x
y
1
2
-1
2
O
A.
()()
2
11
y
xx=+ -
. B.
(
)
(
)
2
11
y
xx=+ +
.
C.
()()
2
12
y
xx=+ -
. D.
()( )
2
12
y
xx=+ +
.
Li gii
Chn C
Hình dáng đồ th th hin
0a<
. Loi đáp án B,D.
Để ý thy khi
0x=
thì
2y =
. Do đó chđáp án C phù hp.
Câu 5: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
x
y
1
2
1
O
2
x
=
A.
3
1yx=- + . B.
3
32yxx=- + + .
C.
32
332yxxx=- + - + . D.
3
2yx=- + .
Li gii
Chn D
Để ý thy khi
0x=
thì
2y =
nên ta loi đáp án A.
Da vào đồ th, suy ra hàm s không có cc tr nên ta loi đáp án B vì
2
'3 3yx=- +
hai nghim.
Đồ th hàm s đi qua đim có ta độ
(
)
1;1
, kim tra thy C & D đều tha mãn.
Xét phương trình hoành độ giao đim:
32 CASIO
3320 2.xxx x-+ - +=¾¾¾=
Xét phương trình hoành độ giao đim:
()
3
3
20 2 1;2xx-+=¾¾= Î
. Do đó ch có D tha
mãn.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 57
Câu 6: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
x
y
O
2
1
1
-1
A.
42
22yx x=- + + . B.
42
22yx x=- +.
C.
42
42yx x=- +. D.
42
23yx x=- +.
Li gii
Chn B
Hình dáng đồ th th hin
0a>
. Loi đáp án A.
Để ý thy khi
0x=
thì
2y =
nên ta loi đáp án D.
Đồ th hàm s đi qua đim có ta độ
(
)
1;1
nên ch có B tha mãn.
Câu 7: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
x
-1
O
y
1
-1
1
A.
42
21yx x=- -. B.
42
241yxx=- + - .
C.
42
21yx x=- + - . D.
42
21yx x=- + + .
Li gii
Chn B
Hình dáng đồ th th hin
0a<
. Loi A.
Đồ th ct trc tung ti đim có tung độ bng
1-
nên th hin
1c=-
. Loi D.
Đồ th hàm s đi qua đim có ta độ
(
)
1;1
nên ch có B tha mãn.
Câu 8: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 58
x
-1
O
y
1
3
A.
42
23yx x=- - + . B.
42
23yxx=- - - .
C.
42
23yx x=- + + . D.
42
23yx x=+ +.
Li gii
Chn A
Hình dáng đồ th th hin
0a<
. Loi D.
Da vào đồ th thy khi
0x=
thì
3y =
. Loi B.
Hàm s có mt cc tr nên
, ab
cùng du.
Câu 9: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
x
O
y
1
A.
42
2yx x=++. B.
42
2yx x=-+.
C.
42
1yx x=-+. D.
42
1yx x=++.
Li gii
Chn D
Da vào đồ th ta thy khi
0x=
thì
1y =
. Loi A, B.
Hàm s có mt cc tr nên
, ab
cùng du.
Câu 10: Đường cong trong hình bên là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm s được lit kê bn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là hàm s nào?
x
1
2
-
1
2
y
O
A.
1
.
21
x
y
x
+
=
+
B.
3
.
21
x
y
x
+
=
+
C.
.
21
x
y
x
=
+
D.
1
.
21
x
y
x
-
=
+
Li gii
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 59
Chn C
Các chi tiết đồ th hàm s có TCĐ:
1
2
x =-
và TCN:
1
2
y =
đều ging nhau.
Ch có chi tiết đồ th hàm s đi qua gc ta độ là phù hp cho đáp án C.
Cách 2. Da vào đồ thm s ta thy hàm s đồng biến trên tng khong xác định tc
'0y >
. Kim tra ta thy ch có C & D tha mãn.
Đồ th hàm s đi qua gc ta độ
()
0;0O
nên đáp án C tha mãn.
Câu 11: Cho hàm s
(
)
32
yfx axbxcxd==+++
có bng biến thiên sau:
Đồ th nào trong các phương án A, B, C, D th hin hàm s
(
)
yfx=
?
x
y
1
2
-
1
O
-2
A
x
y
1
2
-
1
O
4
B
x
y
1
-4
-
1
O
-2
C
x
y
1
2
-
1
O
-2
D
Li gii
Chn A
Da vào bng biến thiên, ta thy:
Khi
x
+¥thì
y
+¥
. Loi C và D.
Ta độ các đim cc tr
()
1; 2-
(
)
1; 2-
nên đáp án A là phù hp.
Câu 12: Cho hàm s
32
yax bx cxd=+++đồ th như hình bên. Mnh đề nào sau đâyđúng?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 60
x
y
1
2
-
1
O
-2
A. Hàm s có h s
0a<
.
B. Hàm s đồng biến trên các khong
()
2; 1--
(
)
1; 2
.
C. Hàm s không có cc tr.
D. H s t do ca hàm s khác
0
.
Li gii
Chn B
Hình dáng đồ th th hin
0a>
. Do đó A sai.
Hàm s đồng biến trên các khong
(
)
;1 -
()
1;
. Do đó B đúng.
Hàm s có hai cc tr. Do đó C sai.
Đồ th hàm s đi qua gc ta độ nên h s t do ca hàm s phi bng
0
. Do đó D sai.
Câu 13: Cho các dng đồ th (I), (II), (III), (IV) như hình dưới đây:
x
y
x
y
x
y
x
y
Lit kê tt c các dng có th biu din đồ th hàm s
32
yx bx cxd=+ ++.
A. (I). B. (I) và (III). C. (II) và (IV). D. (III) và (IV).
Li gii
Chn B
Hàm s
32
yx bx cxd=+ ++ có h s ca
3
x
dương nên loi (II) và (IV).
Xét
2
'3 2yxbxc=++
2
'
'3
y
bcD=-
. Ta chưa xác định được
'
'
y
D mang du gì nên có th
xy ra trường hp (I) và cũng có th xy ra trường hp (III).
Câu 14: Cho các dng đồ th (I), (II), (III) như hình dưới đây:
x
y
x
y
x
y
(I) (II) (III)
Lit kê tt c các dng có th biu din đồ th hàm s
32
yx bx xd=+ -+.
A. (I). B. (I) và (II). C. (III). D. (I) và (IIII).
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 61
Li gii
Chn A
Hàm s
32
yx bx xd=+ -+
có h s ca
3
x
dương nên loi (II).
Xét
2
'3 2 1yxbx=+-
2
'
'30,
y
bbD= +>"Î
. Do đó hàm s có hai cc tr.
Câu 15: Biết rng hàm s
()
32
0yax bx cxda=++ =/+
đồ th là mt trong các dng dưới đây:
x
y
x
y
x
y
x
y
(I) (II) (III) (IV)
Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ th (I) xy ra khi
0a<
()
'0fx=
có hai nghim pn bit.
B. Đồ th (II) xy ra khi
0a>
()
'0fx=
có hai nghim phân bit.
C. Đồ th (III) xy ra khi
0a>
()
'0fx=
vô nghim hoc có nghim kép.
D. Đồ th (IV) xy ra khi
0a>
()
'0fx=
có có nghim kép.
Li gii
Chn C
Dng 2: Cho bng biến thiên. Yeu cu tìm hàm s
Câu 1: Cho hàm s
(
)
yfx=
có bng biến thiên như sau:
Mnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm s đồng biến trên khong
()
0;
và nghch biến trên khong
()
;0
.
B. Hàm s có ba đim cc tr.
C. Hàm s có giá tr ln nht bng
3-
và giá tr nh nht bng
4.-
D. Hàm s có ba giá tr cc tr.
Li gii
Chn B
Da vào bng biến thiên, ta có nhn xét:
Hàm s đồng biến trên các khong
()
1; 0-
,
()
1;
; nghch biến trên các khong
(
)
;1 -
,
(
)
0;1
. Do đó A sai.
Hàm s có ba đim cc tr
1, 0, 1.xxx=- = =
Do đó B đúng.
Hàm s có GTNN bng
4-
và không có GTLN. Do đó C sai.
Hàm sđúng hai giá tr cc tr
CD
3y =-
CT
4y =-
. (nếu nói đồ th hàm s thì
ba đim cc tr). Do đó D sai.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 62
Câu 2: Trong bn hàm s được lit kê bn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm s nào có
bng biến thiên như sau?
A.
32
392yxx x=- + + - . B.
32
12
3
33
yxxx=---
.
C.
32
392yx x x=- --
. D.
32
12
3
33
yxxx=- + + +
.
Li gii
Chn B
Da vào BBT và các phương án la chn, ta thy:
Đây dng hàm s bc
3
có h s
0a>
. Loi A và D.
Mt khác, đồ th hàm s đi qua đim
(
)
1;1-
nên loi C.
Câu 3: Trong bn hàm s được lit kê bn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm s nào có
bng biến thiên như sau?
A.
3
26.yx x=- B.
3
268.yxx=- + -
C.
3
26.yxx=- + D.
3
268.yx x=-+
Li gii
Chn A
Da vào dáng điu ca bng biến thiên suy ra
0a>
. Loi B & C.
Th ti
14xy= =-
. Thay vào 2 đáp án còn li ch có A tha.
Câu 4: Trong bn hàm s được lit kê bn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm s nào có
bng biến thiên như sau sau?
A.
32
331yxxx=- + - + . B.
32
2yx x x=-+ .`
C.
32
332yx x x=- ++. D.
32
332yxxx=- + - + .
Li gii
Chn D
Da vào dáng điu ca bng biến thiên suy ra
0a<
. Loi B & C.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 63
Th ti
11xy= =
. Thay vào 2 đáp án còn li ch có D tha.
Câu 5: Trong bn hàm s được lit kê bn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm s nào có
bng biến thiên như sau?
A.
42
21yx x=- +
. B.
42
21yx x=- + +
.
C.
42
22yx x=- +. D.
42
22yx x=- + + .
Li gii
Chn D
Da vào BBT và các phương án la chn, ta thy:
Đây dng hàm s trùng phương có h s
0a<
. Loi A và C.
Mt khác, đồ th hàm s đi qua đim
(
)
0;2
nên loi B.
Câu 6: Trong bn hàm s được lit kê bn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm s nào có
bng biến thiên như sau?
A.
2
.
1
x
y
x
-+
=
+
B.
2
.
1
x
y
x
--
=
+
C.
2
.
1
x
y
x
--
=
-
D.
2
.
1
x
y
x
-+
=
-
Li gii
Chn B
Da vào bng biến thiên, ta có các nhn xét sau:
Hàm s có TCĐ
1x=-
; TCN
1y =-
. Do đo ta loi phương án C & D.
Hàm s đồng biến trên tng khong xác định. Th đáp án A, ta có
()
2
3
'0
1
y
x
-
=<
+
không tha mãn.
Câu 7: Trong bn hàm s được lit kê bn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm s nào có
bng biến thiên sau?
A.
1
1
x
y
x
-
=
-
. B.
2
1
x
y
x
-
=
-
. C.
12
1
x
y
x
-
=
+
. D.
21
1
x
y
x
-
=
+
.
Li gii
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 64
Chn C
Da vào BBT và các phương án la chn, ta thy
Đây dng hàm phân thc hu t, có tim cn đứng là
1x=-
. Loi A và B.
Do đồ th hàm s có tim cn ngang là
2y =-
.
Dng 3: Cho bng biến thiên, đồ th hàm s . Tìm các tham s thuc hàm s
yfx
Câu 1: Cho hàm s
()
42
yfx ax bx==+
có bng biến thiên như hình v sau:
Tính giá tr ca
a
.b
A.
1a =
2.b =-
B.
2a =
3.b =-
C.
1
2
a =
3
.
2
b =-
D.
3
2
a =
5
.
2
b =-
Li gii
Chn A
Đạo hàm
()
()
32
'4222 .
f
xaxbxxaxb=+= +
T bng biến thiên ta có
(
)
() ( )
11
1
2
'1 22 0
fab
a
b
fab
ì
ï=+=-
ì
=
ï
ï
ï
íí
ïï
=-
=+=
ï
ïî
î
.
Câu 2: Hàm s
32
yax bx cxd=+++đồ th như hình v bên. Mnh đề nào sau đâyđúng?
x
y
1
2
-
1
O
A.
0, 0, 0, 0abcd>><>
. B.
0, 0, 0, 0abcd<<<<
.
C.
0, 0, 0, 0abcd><<>
. D.
0, 0, 0, 0abcd>>><
.
Li gii
Chn C
Đồ th hàm s th hin
0a>
; ct trc tung ti đim có tung độ dương nên
0d>
.
Hàm s
CD CT
CD CT
CD CT
0
10, 1
.0
xx
xx
xx
ì
+>
ï
ï
-< < > ¾¾
í
ï
<
ï
î
.
()
*
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 65
Ta có
2
32 0.yaxbxc
¢
=++=
Do đó
()
0
0
2
00 0
3
*.
00 0
3
a
a
bb
b
aa
cc
c
aa
>
>
ì
ï
ï
->¾¾<¾¾¾<
ï
ï
ï
«
í
ï
ï
¾<¾¾¾<
ï
ï
ï
î
Vy
0, 0, 0, 0.abcd><<>
Câu 3: Hàm s
32
yax bx cxd=+++đồ th như hình v bên. Mnh đề nào sau đâyđúng?
x
y
1
-
1
O
A.
0, 0, 0, 0.abcd<>>>
B.
0, 0, 0, 0.abcd<<<>
C.
0, 0, 0, 0.abcd<<>>
D.
0, 0, 0, 0.abcd<><>
Li gii
Chn A
Đồ th hàm s th hin
0a<
; ct trc tung ti đim có tung độ dương nên
0d>
.
Hàm s
CD CT
CD CT
CD CT
0
1, 1 0
.0
xx
xx
xx
ì
+>
ï
ï
>-< <¾¾
í
ï
<
ï
î
.
()
*
Ta có
2
32 0.yaxbxc
¢
=++= Do đó
()
0
0
2
00 0
3
*.
00 0
3
a
a
bb
b
aa
cc
c
aa
<
<
ì
ï
ï
->¾¾<¾¾¾>
ï
ï
ï
«
í
ï
ï
¾<¾¾¾>
ï
ï
ï
î
Vy
0, 0, 0, 0.abcd<>>>
Câu 4: Hàm s
42
yax bx c=++đồ th như hình v bên. Mnh đềo sau đây là đúng?
x
y
O
A.
0, 0, 0.abc>><
B.
0, 0, 0.abc><<
C.
0, 0, 0.abc><>
D.
0, 0, 0.abc<><
Li gii
Chn C
Đồ th hàm s th hin
0.a>
Đồ th hàm s có ba đim cc tr nên
0
00.
a
ab b
>
¾¾<
Đồ th hàm s ct trc tung ti đim có tung độ dương nên
0.c>
Vy
0, 0, 0.abc><>
Câu 5: Hàm s
42
yax bx c=++đồ th như hình v bên. Mnh đề nào sau đây là đúng?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 66
x
y
O
A.
0, 0, 0.abc<>>
B.
0, 0, 0.abc<><
C.
0, 0, 0.abc<<>
D.
0, 0, 0.abc<<<
Li gii
Chn B
Đồ th hàm s th hin
0.a<
Đồ th hàm s có ba đim cc tr nên
00.ab b¾>
Đồ th hàm s ct trc tung ti đim có tung độ âm nên
0.c<
Vy
0, 0, 0abc<><
.
Câu 6: Hàm s
(
)
42
0yax bx ca=++ ¹
đồ th như hình v bên. Mnh đề nào sau đây là đúng?
x
y
O
A.
0, 0, 0.abc<
B.
0, 0, 0.abc><£
C.
0, 0, 0.abc>
D.
0, 0, 0.abc<<<
Li gii
Chn A
Da vào dáng điu đồ th suy ra
0a>
.
Hàm s có 1 đim cc tr nên
0
00.
a
ab b
>
³¾¾¾³
Đồ th hàm s ct trc tung ti đim có tung độ âm nên
0.c<
Vy
0, 0, 0.abc<
Câu 7: Hàm s
ax b
y
cx d
+
=
+
vi
0a>
đồ th như hình v bên. Mnh đề nào sau đây là đúng?
x
y
O
A.
0, 0, 0.bcd>><
B.
0, 0, 0.bcd><<
C.
0, 0, 0.bcd<<<
D.
0, 0, 0.bcd<> <
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 67
Li gii
Chn A
T đồ th hàm s, ta thy
Khi
0
000.
a
b
yx b
a
>
¾=-<¾¾¾>
Khi
0
000
b
b
xy d
d
>
¾= <¾¾¾<
.
Đồ th hàm s có tim cn đứng
0
00.
d
d
xc
c
<
=- > ¾¾¾>
Vy
0, 0, 0.bcd>><
Câu 8: Hàm s
bx c
y
x
a
-
=
-
(
0;a ¹
)
, , abcÎ
đồ th như hình vn.Mnh đề nào sau đây là
đúng?
x
y
O
A.
0, 0, 0.abcab>>-<
B.
0, 0, 0.abcab>>->
C.
0, 0, 0.abcab>>-=
D.
0, 0, 0.abcab><-<
Li gii
Chn A
Đồ th hàm s có tim cn đứng
0xa=>
; tim cn ngang
0.yb=>
Mt khác, ta thy dng đồ thđường cong đi xung t trái sang phi trên các khong
xác định ca nó nên
()
2
0, 0.
cab
yxacab
xa
-
¢
=<"¹¾¾- <
-
Vy
0, 0, 0.abcab>>-<
Câu 9: Đường cong hình bên đồ th hàm s
ax b
y
cx d
+
=
+
vi
, , , abcd
là các s thc. Mnh đề
nào sau đây là đúng?
x
2
1
y
O
A. 0, 1.yx
¢
<"¹ B. 0, 2.yx
¢
<"¹ C. 0, 1.yx
¢
>"¹ D. 0, 2.yx
¢
>"¹
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 68
Da vào hình v, ta thy hàm s
ax b
y
cx d
+
=
+
nghch biến trên mi khong xác định và
đường thng
2x=
là tim cn đứng ca đồ th hàm s suy ra 0, 2yx
¢
<"¹.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 68
BÀI 6. TƯƠNG GIAO CA HAI ĐỒ TH VÀ TIP TUYN VI ĐỒ TH
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. TƯƠNG GIAO
Xét hai đồ th
(
)
(
)
:Cy fx=
(
)
(
)
:Dy gx=
.
Phương trình hoành độ giao đim gia
()
C
()
D
là:
() ()
f
xgx=
.
(
)
1
S đim chung gia
()
C
()
D
đúng bng s nghim ca phương trình
()
1
.
()
C
()
D
được gi là tiếp xúc vi nhau khi và ch khi h phương trình sau có nghim
(
)
(
)
() ()
.
''
f
xgx
f
xgx
ì
ï
=
ï
í
ï
=
ï
î
II. TIP TUYN
Trên mt phng ta độ Ox cho đường cong
,C
Gi s
C
đồ th ca hàm s
yfx


00
; .()
M
xfx C
Kí hiu

;
M
xf x
là mt đim di chuyn trên
.C
Đường thng
0
M
M
mt cát tuyến ca

.C
Nhn xét rng khi
0
x
x
thì

;
M
xf x
di chuyn trên
C
ti đim
00
();
M
xfx C
ngược li. Gi s cát tuyến
0
M
M
ó v trí gii hn, kí hiu là
0
M
T
thì
0
M
T
được gi là tiếp tuyến
ca
C
ti
0
.
M
Đim
0
M
được gi là tiếp đim.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Tương giao ca hai đồ th
Câu 1: Biết rng đường thng
22yx=- +
ct đồ th hàm s
3
2yx x=++ ti đim duy nht có
ta độ
()
00
;
x
y
. Tìm
0
y
.
A.
0
4y =
. B.
0
0y =
. C.
0
2y =
. D.
0
1y =-
.
Li gii
Chn C
Phương trình hoành độ giao đim:
3
22 2xxx-+=++
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 69
3
30 0 2xx x y+==¾¾=
.
Câu 2: Cho hàm s
()
()
2
21yx x=- +
đồ th
()
.C
Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
()
C
không ct trc hoành. B.
()
C
ct trc hoành ti mt đim.
C.
()
C
ct trc hoành ti hai đim. D.
(
)
C
ct trc hoành ti ba đim.
Li gii
Chn B
Phương trình hoành độ giao đim ca
(
)
C
vi trc hoành:
()
()
2
210 20 2.xx x x-+=-==
Vy đồ th hàm s ct trc hoành ti mt đim.
Câu 3: Biết rng đồ th hàm s
32
321yx x x=- +- ct đồ th hàm s
2
31yx x=-+ ti hai đim
phân bit
A
B
. Tính độ dài đon thng
.
A
B
A.
3.AB=
B.
22.AB =
C.
2.AB =
D.
1.AB=
Li gii
Chn D
Phương trình hoành độ giao đim:
32 2
321 31xxx xx-+-=-+
()( )
2
32
11
4520 1 20 .
21
xy
xxx x x
xy
é
= =-
ê
- + -= - - =
ê
==-
ë
Suy ra
()( )
1; 1 , 2; 1 1.AB AB--¾¾=
Câu 4: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để đồ th hàm s
(
)
(
)
2
1=- + +
y
xxmxm
ct trc
hoành ti ba đim phân bit.
A.
()
4; .m Î+¥
B.
11
;;0.
22
m
æöæö
÷÷
çç
Î-¥- È-
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
C.
(
)
0;4 .m Î
D.
()
11
;;04;.
22
m
æöæö
÷÷
çç
Î-¥- È- È +¥
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Li gii
Chn D
Phương trình hoành độ giao đim:
()
()
(
)
2
2
1
10 .
01
x
xxmxm
xmxm
é
=
ê
-++=
ê
++=
ê
ë
Ycbt
Phương trình
(
)
1
có hai nghim phân bit khác
2
2
1.1 0
1
40
mm
mm
ì
ï
++¹
ï
í
ï
D= - >
ï
î
()
41
210
2
1
4
40
2
00
m
m
m
m
m
mm
mm
ìé
>
ï
ï
ê
¹-
ï
ì
ê
ï
ï
ì
ï
ï
ï
ê
ï

¹-
íí
ï
é
ê
>
ïï
->
í
ïï
î
ê
ê
ï
ï
ï
ï
ê
ê
<<
ï
ï
ëî
îë
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 70
Câu 5: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để đồ th hàm s
32
3yx x=-
ct đưng thng
y
m=
ti ba đim phân bit.
A.
(
)
4;0 .m Î-
B.
()
0; .m Î+¥
C.
(
)
;4.m Î-¥-
D.
()()
;4 0; .m Î-¥- È +¥
Li gii
Chn A
Xét hàm bc ba
32
3yx x=-
, có
CD
2
CT
00
'3 6 '0 .
24
xy
yxx y
xy
é
¾=
ê
=-¾¾=
ê
¾=-
ê
ë
Da vào dáng điu ca đồ th hàm bc ba, ta có ycbt
CT CD
40.ymy m<<-<<
Câu 6: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để phương trình
32
3310xxm-+-=
có ba nghim
phân bit trong đó có đúng hai nghim ln hơn
1
.
A.
15
33
m<<
. B.
5
1
3
m<<
. C.
7
2
3
m<<
. D.
4
2
3
m-< <
.
Li gii
Chn B
Phương trình
32
313
x
xm- =-
.
Kho sát và v đồ th hàm s
32
3yx x=-
, ta được
x
-4
-2
y
1
O
23
13ym=-
Da vào đồ th, ta có ycbt
5
413 2 1
3
mm-<- <-< <
.
Chú ý: Sai lm hay gp là cho
413 0m-<- <
.
Câu 7: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình
32
23 21xx m-=+
đúng hai
nghim phân bit:
A.
1
2
m =-
,
1m=-
. B.
1
2
m =-
,
5
2
m =-
. C.
1
2
m =
,
5
2
m =
. D.
1m=
,
5
2
m =-
.
Li gii
Chn A
Xét hàm s
(
)
32
23
f
xxx=-
, có
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 71
() ()
CD
2
CT
00
'66 '0 .
11
xy
fx x x fx
xy
é
¾=
ê
=-¾¾=
ê
¾=-
ê
ë
Da vào dng đặc trưng ca đồ th hàm bc ba, phương trình đã cho có đúng hai nghim
phân bit khi
CD
CT
1
21
210
2
21 211
1
my
m
m
my m
m
é
é
é
+=
+=
ê
=-
ê
ê
ê

ê
ê
ê
+= +=-
ë
ë
=-
ê
ë
.
Dng 2: Da vào đồ th hoc bng biến thiên bin lun s nghim ca phương trình
Câu 1: Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên
và có đồ th như hình v bên. Tìm tt c các giá tr
thc ca tham s
m
để phương trình
(
)
2018 0fx m+- =
có duy nht mt nghim.
x
-1
-1
y
1
O
3
A.
2015, 2019.mm==
B.
2015 2019.m<<
C.
2015, 2019.mm<>
D.
2015, 2019.mm£³
Li gii
Chn C
Phương trình
() ()
2018 0 2018 .
f
xm fx m+- =¬¾=-
Đây là phương trình hoành độ giao
đim ca đồ th hàm s
()
yfx=
đường thng
2018ym=-
(có phương song song
hoc trùng vi trc hoành).
Da vào đồ th, ta có ycbt
2018 3 2015
.
2018 1 2019
mm
mm
é
é
-> <
êê

êê
-<- >
ë
ë
Câu 2: Cho hàm s
42
2yx x=- + đồ th như hình v bên. Tìm tt c các giá tr thc ca tham
s
m
để phương trình
42
2
x
xm-+ =
có bn nghim phân bit.
x
2
-1
O
y
1
1
ym=
A.
01.m££
B.
01.m<<
C.
1.m<
D.
0.m>
Li gii
Chn B
Phương trình
42
2
x
xm-+ =
là phương trình hoành độ giao đim ca đồ th hàm s
42
2yx x=- + đường thng
y
m=
(cùng phương vi trc hoành).
Da vào đồ th ta thy để phương trình đã cho có bn nghim phân bit
01.m< <
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 72
Câu 3: Cho hàm s
()
=yfx
xác định trên
và có đồ th như hình bên. Tìm tt c các giá tr
thc ca tham s
m
để phương trình
()
=
f
xm
có sáu nghim phân bit.
x
-1
O
y
1
-4
-3
A.
04m<<
. B.
03m<<
. C.
34m<<
. D.
43.m-< <-
Li gii
Chn C
Trước tiên t đồ th hàm s
()
=yfx
, ta suy ra đồ th hàm s
(
)
y
fx=
như hình sau:
x
-1
O
y
1
4
3
y
m=
Da vào đồ th, để phương trình
()
=
f
xm
có sáu nghim phân bit
34.m< <
Dng 3: Da vào bng biến thiên. Bin lun s nghim ca phương trình
Câu 1: Cho hàm s
()
yfx=
xác định, liên tc trên
và có bng biến thiên sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình
()
1
f
xm-=
đúng hai
nghim.
A.
21.m-< <-
B.
0, 1.mm>=-
C.
2, 1.mm=- >-
D.
2, 1.mm=- ³-
Li gii
Chn C
Phương trình
() ()
11fx m fx m-= ¬¾=+
. Đây là phương trình hoành độ giao đim ca
đồ th hàm s
()
yfx=
đường thng
1ym=+
(cùng phương vi trc hoành).
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 73
Da vào bng biến thiên, ta thy để phương trình đã cho có đúng hai nghim khi và ch
khi
10 1
.
11 2
mm
mm
éé
+> >-
êê
êê
+=- =-
ëë
Câu 2: Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên
{
}
\1
và liên tc trên tng khong xác định, có bng
biến thiên như sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để đồ th hàm s
()
yfx=
ct đường thng
21ym=-
ti hai đim phân bit.
A.
3
1.
2
m£<
B.
12.m<<
C.
3
1.
2
m££
D.
3
1.
2
m<<
Li gii
Chn D
Da vào bng biến thiên, ta thy để đồ th hàm s
()
yfx=
ct đường thng
21ym=-
ti
hai đim phân bit
3
12 12 1 .
2
mm< -< < <
Sai lm hay gp là cho
3
12 12 1
2
mm£-£££¾¾
Đáp án C thường được chn Lí do
là giá tr ca hàm s không bng
2
mà ch tn ti
lim 2
x
y
-¥
=
và giá tr ca hàm s không
bng
1
mà ch tn ti
1
lim 1
x
y
+
=
.
Câu 3: Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên
{}
\0
, liên tc trên mi khong xác định và có bng
biến thiên như sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho phương trình
()
f
xm=
đúng hai
nghim.
A.
2.m<
B.
1m<-
,
2.m=
C.
2.m£
D.
1m£-
,
2.m=
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 74
Da vào bng biến thiên, phương trình
()
f
xm=
đúng hai nghim khi và ch khi
1
.
2
m
m
é
<-
ê
ê
=
ë
Câu 4: Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên
{}
\0
, liên tc trên mi khong xác định và có bng
biến thiên như sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho phương trình
()
f
xm=
có ba nghim
phân bit.
A.
12.m £
B.
12.m-< <
C.
12.m-< £
D.
2.m£
Li gii
Chn B
Da vào bng biến thiên, phương trình
()
f
xm=
có ba nghim phân bit khi và ch khi
12m-< <
.
Câu 5: Cho hàm s
()
yfx=
, xác định trên
{}
\1;1-
, liên tc trên mi khong xác định và có
bng biến thiên sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho đường thng
21ym=+
ct đồ th hàm
s đã cho ti hai đim phân bit.
A.
2.m £-
B.
1.m³
C.
2m £-
,
1.m³
D.
2m <-
,
1.m>
Li gii
Chn D
Da vào bng biến thiên, ta thy đường thng
21ym=+
ct đồ th hàm s
()
yfx=
ti
hai đim phân bit khi và ch khi
213 1
.
213 2
mm
mm
é
é
+> >
êê
êê
+<- <-
ë
ë
Nếu yêu cu bài toán có duy nht mt nghim thc
32 13.m- £ + £
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 75
Câu 6: Gi s tn ti hàm s
()
yfx=
xác định trên
{}
\1
, liên tc trên mi khong xác định
và có bng biến thiên như sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình
()
f
xm=
có bn nghim.
A.
20.m £
B.
20m-< <
,
1.m=
C.
20.m-< £
D.
20.m-< <
Li gii
Chn C
Da vào bng biến thiên, phương trình
()
f
xm=
có bn nghim khi và ch khi
20.m-< £
Nhn xét. Hc sinh rt d sai lm vì cho rng
20.m-< <
Nếu bài toán yêu cu có hai
nghim
1
2
m
m
é
>
ê
ê
<-
ë
, có ba nghim
1
2
m
m
é
=
ê
ê
=-
ë
, có năm nghim
01.m<<
Câu 7: Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên
{}
\2
, liên tc trên mi khong xác định và có bng
biến thiên sau:
Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình
()
0fx m+=
có nhiu nghim
thc nht.
A.
(]
[
)
;1 15; .m Î-¥- È +¥
B.
(
)
(
)
;15 1; .m Î-¥- È +¥
C.
(
)
(
)
;1 15; .m Î-¥- È +¥
D.
(]
[
)
;15 1; .m Î-¥- È +¥
Li gii
Chn C
Phương trình
() ()
0
f
xm fx m+=¬¾=-
. Đây là phương trình hoành độ giao đim ca
đồ th hàm s
()
yfx=
đường thng
y
m=-
(cùng phương vi trc hoành).
Da vào bng biến thiên, ta thy để phương trình đã cho có nhiu nghim thc nht khi
và ch khi
11
.
15 15
mm
mm
éé
-> <-
êê
êê
-<- >
ëë
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 76
Câu 8: Cho hàm s
()
yfx=
xác định trên
{}
\1-
, liên tc trên mi khong xác định và có
bng biến thiên như sau:
Khng định nào dưới đây là sai?
A. Phương trình
()
f
xm=
có nghim duy nht khi và ch khi
1
.
34
m
m
é
£-
ê
ê
<<
ë
B. Hàm s đạt cc đại ti
1.x=
C. Hàm s đồng biến trên khong
()
;1 .
D. Đồ th hàm s
()
yfx=
có ba đường tim cn.
Li gii
Chn C
Da vào bng biến thiên nhn thy hàm s đồng biến trên các khong
()
;1 -
()
1;1-
.
Vì vy khng đinh C là sai.
Dng 4: Phương trình tiếp tuyến ti đim
Câu 1: Cho hàm s

yfx đạo hàm liên tc trên khong
K
và có đồ th đường cong

C . Viết phương trình tiếp tuyến ca
C ti đim
;
M
af a ,
aK .
A.
yfaxa fa
. B.
yfaxa fa
.
C.
yfaxa fa
. D.
yfaxa fa
.
Li gii
Chn A
Phương trình tiếp tuyến ca
C ti đim
;
M
af a có dng
yfa faxa

yfaxa fa
 .
Câu 2: hàm s
3
32yxx
đồ th
C . Viết phương trình tiếp tuyến ca

C ti giao
đim ca

C vi trc tung.
A. 32yx . B. 32yx
. C. 21yx
. D. 21yx .
Li gii
Chn B
Ta có:
0; 2COyA ;
03y
.
Tiếp tuyến ti
0; 2A có dng:
30232yx x
 .
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 77
Câu 3: Gi
M
là giao đim ca trc tung vi đồ th hàm s

2
:1C
y
xx

. Tiếp tuyến ca

C ti
M
có phương trình là
A.
1
1
2
yx
. B.
1
1
2
yx

. C.
1yx

. D.
1yx
.
Li gii
Chn A
Ta có
2
21
21
x
y
x
x

.
0
0x

0
1
0
2
1
y
y
Phương trình tiếp tuyến ca
C ti đim
0;1M dng

1
01
2
yx
1
1
2
yx
.
Dng 5 : Tiếp tuyến có h s góc
Câu 1: Biết tiếp tuyến ca đồ th hàm s
42
2yax bx

ti đim
1; 1A
vuông góc vi
đường thng 230xy. Tính
22
ab
.
A.
22
10ab. B.
22
13ab
. C.
22
2ab
 . D.
22
5ab.
Li gii
Chn D
Ta có
32
4222yaxbxxaxb

.
Đường thng 230xy có h s góc
1
2
k
.
Suy ra

12f

22 2 2 1ab ab .
1; 1A thuc đồ th hàm s nên 21 1ab ab

Ta có h phương trình:
22
21 2
5
13
ab a
ab
ab b






.
Câu 2: Cho hàm s
32
365yx x x
. Tiếp tuyến ca đồ th hàm s có h s góc nh nht có
phương trình là
A. 39yx. B. 33yx
. C. 312yx
. D. 36yx.
Li gii
Chn D
Ta có:
2
366yxx


2
3133x
. Du
""
xy ra khi
1
x
9y.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 78
Do đó, tiếp tuyến ca đồ th có h s góc nh nht bng 3 và là tiếp tuyến ti đim

1; 9M .
Phương trình tiếp tuyến là:
319yx
 36yx
.
Câu 3: Tiếp tuyến ca đồ th hàm s
3
2
231
3
x
yxx

song song vi đường thng 31yx
có phương trình là
A.
29
3
3
yx
. B.
29
3
3
yx
, 31yx.
C.
29
3
3
yx
. D.
31yx
.
Hướng dn gii
Chn A
Tiếp tuyến song song vi đường thng
31yx
nên có h s góc
3k
.
Ta có
2
43yx x

nên có phương trình
2
433xx

0
4
x
x
.
+ Vi
0x
1y
0;1A nên phương trình tiếp tuyến là 31yx
(loi).
+ Vi
4x
7
3
y
7
4;
3
B



nên có phương trình tiếp tuyến là
29
3
3
yx
(tha
mãn).
Câu 4: Cho hàm s
3
2
2
42
3
x
y
xx
, gi đồ th ca hàm s
C . Viết phương trình tiếp
tuyến ca

C có h s góc ln nht.
A.
925
212
yx
. B.
25
5
12
yx
. C.
925
412
yx
. D.
75
212
yx
.
Li gii
Chn D
Gi
d là tiếp tuyến cn tìm phương trình và
0
x
là hoành độ tiếp đim ca
d vi
C
thì h s góc ca
d :
2
2
000 0
919
'( ) 2 2 4
222
kyx x x x




;
0
91
22
kx
.
Vy
9
max
2
k
đạt được khi và ch khi
0
1
2
x
.
Suy ra phương trình tiếp tuyến
d :
91 1925
22 2212
yx y x




.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 79
Câu 5: Gi
C đồ th ca hàm s
2
2
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C vuông góc
vi đường thng
4
1
3
yx
.
A.

37 31
:,
42 42
dy x y x 
. B.

33
:, 1
44
dy xy x

.
C.

39 31
:,
42 42
dy x y x 
. D.

39 31
:,
42 42
dy x y x
 
.
Li gii
Chn D
Tiếp tuyến
d ca

C vuông góc đường thng
4
1
3
yx
suy ra phương trình
d
dng:
3
4
yxm
.
d tiếp xúc

C ti đim có hoành độ
0
x
khi h
2
0
0
0
2
00
2
0
3
24
4
3
(2 ) 4
x
x
m
x
xx
x



có nghim
0
x
2
00
2
0
4
3
(2 ) 4
xx
x


00
62xx

39 31
:,
42 42
dy x y x
.
Câu 6: Gi
m
C đồ th ca hàm s
32
23(1) 1yx mxmxm

d là tiếp tuyến ca
m
C ti đim có hoành độ
1x
. Tìm
m
để
d đi qua đim
0;8A .
A.
0m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
3m
.
Li gii
Chn A
Ta có
2
66(1)yx mxm

, suy ra phương trình tiếp tuyến
d là:
'( 1)( 1) ( 1) 12 7 1 3 4 12 7 4 8yy x y mx m y mx m .
(0;8) ( ) 8 4 8 0Ad mm.
Câu 7: Cho hàm s
2
1
1
x
x
y
x

đồ th
C . Viết phương trình tiếp tuyến ca
C , biết tiếp
tuyến song song vi đường thng
:3 4 1 0xy

.
A.
33
44
yx
;
3
1
4
yx
. B.
3
3
4
yx
;
35
44
yx
.
C.
3
9
4
yx
;
3
7
4
yx
. D.
33
44
yx
;
35
44
yx
.
Li gii
Chn D
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 80
Ta có
2
2
2
(1)
x
x
y
x
. Gi
00
(; )
M
xy
là ta độ tiếp đim ca tiếp tuyến d vi

C
22
00 00
0
2
00
21
:()
(1) 1
xx xx
dy x x
xx



d
song song vi đường thng
31
:
44
yx

, nên ta có:
2
2
00
00 0 0
2
0
2
3
230 1, 3
(1)4
xx
xx x x
x

.
0
1x 
phương trình tiếp tuyến:
33
44
yx
.
0
3x 
phương trình tiếp tuyến:
35
44
yx
.
Câu 8: Phương trình các tiếp tuyến ca đồ th hàm s
42
31yx x

ti các đim có tung độ
bng 5
A.
20 35yx
. B.
20 35yx

20 35yx
.
C.
20 35yx
20 35yx
. D.
20 35yx

.
Li gii
Chn C
Ta có 5y
42
340xx
2x


220
220
f
f

.
Vy phương trình tiếp tuyến cn tìm là
20 2 5 20 35yx x  ,

20 2 5 20 35yx x.
Câu 9: Có bao nhiêu đim thuc đồ th hàm s
21
1
x
y
x
tha mãn tiếp tuyến vi đồ th có h
s góc bng
2018
?
A.
1
. B.
0
. C. Vô s. D.
2
.
Li gii
Chn B
Tp xác định
\1D
.

2
1
0, 1
1
y
x
x

.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU. SĐT: 0834 332 133 81
H s góc tiếp tuyến ti đim
0
x
trên đồ th bng
0
2018yx

2
1
2018
1x

nghim.
Vy không có tiếp tuyến nào ca đồ thm s có h s góc bng
2018
.
Dng 6 : Phương trình tiếp tuyến đi qua
Câu 1: Cho hàm s
3
2
2
42
3
x
y
xx
, gi đồ th ca hàm s
C . Viết phương trình tiếp
tuyến ca

C đi qua đim
2; 2A
.
A.
31
42
yx
. B.
31
42
yx

. C.
37
42
yx

. D.
35
42
yx
.
Li gii
Chn A
Phương trình tiếp tuyến
d
ca
C
đi qua
2; 2A
có dng:

22ykx

.
d
tiếp xúc

C
ti đim có hoành độ
0
x
khi h
2
0
0
0
2
00
2
0
(2)2(1)
2
4
(2 )
x
kx
x
xx
k
x


có nghim
0
x
.
22
000
0
2
00
4
(2)2
2(2)
xxx
x
xx



0
31
2
42
xyx
 
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 83
BÀI 1. LŨY THA
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. Khái nin lũy tha
1. Lũy tha vi s mũ nguyên
Cho
n mt s nguyên dương, a là mt s thc tùy ý. Lũy tha bc n ca a là tích ca n tha
s
a .
1
thöøa soá
. ... ;
n
na
aaaaaa==
 
Trong biu thc
n
a
, a được gi là cơ s, s nguyên n s mũ
Vi
0a ¹
,
0n =
hoc n là mt s nguyên âm, lũy tha bc n ca s a là s
n
a
xác định bi:
0
1
1;
n
n
aa
a
-
==
.
Chú ý:
 Kí hiu
0
0,0
n
( n nguyên âm) không có nghĩa.
 Vi
0a ¹
và n nguyên, ta có
1
n
n
a
a
-
=
2. Phương trình
n
x
b
a) Trường hp
n l: Vi mi s thc b, phương trình có nghim duy nht
b) Trường hp n chn
Vi
0b
, phương trình vô nghim
Vi
0b
, phương trình có mt nghim
0x
Vi
0b , phương trình có hai nghim đối nhau
3. Căn bc n
a)Khái nim: Vi n nguyên dương, căn bc n ca s thc
a là s thc b sao cho
n
ba=
.
Ta tha nhn hai khng định sau:
 Khi n là s l, mi s thc
a ch có mt căn bc n. Căn đó được kí hiu là
n
a
 Khi n là s chn, mi s thc dương a có đúng hai căn bc n là hai s đối nhau là
n
a
( còn gi là
căn bc s hc ca
a
) và
n
a-
.
b) Tính cht căn bc n: Vi a, b
0, m, n
N*, p, q
Z ta có:
.
nnn
ab a b=
;
(0)
n
n
n
aa
b
b
b
=>
;
()
(0)
p
n
p
n
aaa=>
;
m
nmn
aa=
Nếu
(0)
nm
pq
pq
thì a a a
nm
==>
; Đặc bit
mn
m
n
aa=


,
,
nn
anle
a
a n chan
4. Lũy tha vi s mũ hu t
Cho s thc
a
dương và
r
là mt s hu t. Gi s
m
r
n
=
, trong đó
m
là mt s nguyên, còn n là
mt s nguyên dương. Khi đó, lũy tha ca a vi s mũ r là s
r
a
xác định bi
m
n
rm
n
aa a== .
4. Lũy tha vi s mũ hu t: ( SGK)
II. TÍNH CHT CA LŨY THA VI S MŨ THC
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 84
Cho
,ab
là nhng s dương;
,
.aa a

;
a
a
b
;
aa

;
aa
bb



Nếu
1a thì
aa


Nếu
1a thì
aa


B. CÂU HI TRC NGHIM
Dng 1: Tính, rút gn và biến đổi biu thc
Câu 1: Cho
,a
b
là các s thc dương tha
2
5
b
a
. Tính.
6
2a 4
b
K
.
A.
226K
. B.
202K
. C.
246K
. D. 242
K
.
Li gii
Chn C

3
62
242 42504246
bb
Ka a
.
Câu 2: Cho biu thc
4
5
Px
, vi
0x
. Mnh đề nào dưới đây là mnh đề đúng?
A.
4
5
P
x . B.
9
Px
. C.
20
Px
. D.
5
4
P
x .
Li gii
Chn D
Ta có
4
5
Px
5
4
x
.
Câu 3: Rút gn biu thc
1
6
3
.Px x= vi
0
x
>
.
A.
2
Px
. B. Px . C.
1
8
P
x
. D.
2
9
P
x .
Li gii
Chn B
Ta có
1
6
3
.
P
xx
11
36
.
x
x
11
36
x
1
2
x
x
.
Câu 4: Cho
a là mt s dương, biu thc
2
3
aa viết dưới dng lũy tha vi s mũ hu t là?
A.
5
6
a
. B.
7
6
a
. C.
4
3
a
. D.
6
7
a
.
Li gii
Chn B
Vi
0a
, ta có
22217
1
33326
2
.aaaa a a
.
Câu 5: Viết biu thc
3
4
.
P
xx
(
0x
) dưới dng lu tha vi s mũ hu t.
A.
5
4
Px . B.
5
12
Px . C.
1
7
Px
. D.
1
12
Px .
Li gii
Chn B
Ta có
11
155
33
4412
.Pxx x x




.
Câu 6: Biu thc
6
5
3
..Qxxx
vi
0x
viết dưới dng lũy tha vi s mũ hu t
A.
2
3
Qx
. B.
5
3
Qx
. C.
5
2
Qx
. D.
7
3
Qx
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 85
Li gii
Chn B
Ta có
15 5
1
36 3
2
..Qxxx x
.
Câu 7: Cho biu thc

71 2 7
22
22
.aa
P
a

vi
0a
. Rút gn biu thc
P
được kết qu
A.
5
Pa
. B.
4
Pa
. C.
3
Pa
. D.
P
a
.
Li gii
Chn A
Ta có

71 2 7 3
5
2
22
22
.aa a
Pa
a
a


.
Câu 8: Viết biu thc
5
3
24
2
6
5
aa a
P
a
,
0a
dưới dng lũy tha vi s mũ hu t.
A.
P
a
. B.
5
Pa
. C.
4
Pa
. D.
2
Pa .
Li gii
Chn B
Ta có
5
3
24
2
6
5
aa a
P
a
4
5
2
3
2
5
6
aaa
a
545
2
5
236
aa

.
Câu 9: Cho
0x
,
0y
. Viết biu thc
4
65
5
.
x
xx
v dng
m
x
và biu thc
4
5
6
5
:yyy
v dng
n
y . Tính
mn
.
A.
11
6
. B.
8
5
. C.
11
6
. D.
8
5
.
Li gii
Chn A
Vi
0x
,
0y
, ta có
4
65
5
.
x
xx
1
445451
11
6
5
5565612
212
45 1
.. ..
5612
xxx xxx x m





.
4
4451
5
5
6
55612
5
1
6
12
45 1
:
5612
.
y
yyn
yy
yy


.
Do đó
11
6
mn
.
Câu 10: Cho s thc dương
0a
và khác
1
. Hãy rút gn biu thc
1
15
3
22
17 19
412 12
aa a
P
aa a






.
A.
1
P
a
. B. 1
P
. C.
P
a
. D.
1
P
a
.
Li gii
Chn A
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 86
Ta có:



1
15
1
1
5
3
22
2
3
2
6
17 5
17 19
412 6
412 12
1
1
1
1
aa a
aa a
aa
Pa
aa a
a
aa a









.
Câu 11: Cho biu thc
3
23
k
Pxxx
0x
. Xác định
k
sao cho biu thc
23
24
P
x
.
A.
2k
. B.
6k
. C.
4k
. D. Không tn ti
k
.
Li gii
Chn C
Ta có:
32353
21
3
3
23
6
kk
k
kkk
Pxxx xx x x


.
Yêu cu bài toán xy ra khi :
5323
4
624
k
k
k

.
Câu 12: Cho
0x
,
0,yxy
1
2
11
22
12
yy
Kxy
x
x








. Xác định mnh đề đúng.
A.
2
K
x
. B.
1
K
x
. C.
1
K
x
. D.
K
x
.
Li gii
Chn D
Ta có:
2
11
1
22
11 11
22
22 22
1
2
12
yy x y
K
xy xy x
xx
x


 

 

 

 



.
Câu 13: Rút gn biu thc
11
3
7
3
7
45
.
.
aa
A
aa
vi 0a ta được kết qu
m
n
A
a , trong đó
m
, *n
m
n
là phân s ti gin. Khng định nào sau đâyđúng?
A.
22
312mn
. B.
22
312mn
. C.
22
543mn
. D.
22
409mn
.
Li gii
Chn B
Ta có:
11
3
7
3
7
45
.
.
aa
A
aa
711
33
5
4
7
.
.
aa
aa
19
7
a
.
Suy ra
19m
,
7n
22
312mn
.
Câu 14: Rút gn biu thc
7
3
5
3
7
42
.
.
aa
A
aa
vi
0a
ta được kết qu
m
n
A
a
, trong đó m ,
*
n
m
n
là phân s ti gin. Khng định nào sau đây đúng?
A.
22
25mn
. B.
22
43mn
. C.
2
322mn
. D.
2
215mn
.
Li gii
Chn D
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 87
Ta có:
7
3
5
3
7
42
.
.
aa
A
aa
57
33
2
4
7
.
.
aa
aa
57 2
4
33 7
a

2
7
a
2
7
m
n
2
215mn
.
Dng 2: So sánh đẳng thc và bt đẳng thc đơn gin
Câu 1: Cho s thc
1a
và các s thc
,
. Kết lun nào sau đây đúng?
A.
1,a

. B.
aa


. C.
1
0,
a

. D.
1,a

.
Li gii
Chn B
Câu 2: Cho
0a
,
0b
x
,
y
là các s thc bt k. Đẳng thc nào sau đúng?
A.

x
x
x
ab a b
. B. .
x
x
x
a
ab
b



. C.
x
yxy
aaa
. D.

x
y
xy
ab ab
.
Li gii
Chn B
Ta có
x
a
b



x
x
a
b
.
x
x
ab
.
Câu 3: Cho các s thc
,, ,abmn vi
,0ab
. Tìm mnh đề sai?
A.
2
aa
. B.
.
m
mm
a
ab
b



. C.
n
mmn
aa
. D.

.
m
mm
ab a b
.
Li gii
Chn C
Câu 4: Cho các s dương
1a
và các s thc
,
. Đẳng thc nào sau đây là sai?
A. .aa a

. B. .aa a

. C.
a
a
a
. D.
aa

.
Li gii
Chn B
Câu 5: Cho các s thc
a
,
m
,
n
a
dương. Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
mn m
aan

. B.
m
mn
n
a
a
a
. C.
mn m n
aaa
. D.
m
mn
a
a
n
.
Li gii
Chn B
Ta có:
m
mn
n
a
a
a
.
Câu 6: Cho
,ab
là các s thc dương và
,mn
là hai s thc tùy ý. Đẳng thc nào sau đây là sai?
A.

.
n
nn
x
yxy
. B.
.
mn mn
x
xx
. C.
.
n
mmn
x
x . D.

.
mn
mn
xy xy
.
Li gii
Chn D
Ta có

..
mn
mn mn
xy x y

Câu 7: Cho
,ab
là các s thc dương,
,mn
là các s thc tùy ý. Trong các mnh đề sau, mnh đề
nào đúng?
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 88
A.

2
.
m
mm
ab ab
. B. .
mn mn
aa a . C.
.
mn
mn
ab ab
. D.
m
mm
b
ab
a



.
Li gii:
Chn D
Câu 8: Mnh đềo dưới đây đúng?
A.
56
33
44
 
 
 
. B.
76
44
33
 
 
 
. C.
67
33
22
 
 
 
. D.
65
22
33

 
 
 
.
Li gii
Chn D
Câu 9: Cho

21 21
ab

. Kết lun nào sau đây đúng?
A.
ab
. B.
ab
. C.
ab
. D.
ab
.
Li gii
Chn B
Câu 10: Cho
3
0;x



m , n là các s thc tùy ý. Khng định nào sau đây sai?
A.
mn
x
x
mn. B.
mn
x
x
mn
. C.
.
n
mmn
x
x
. D.
.
mn m m
x
xx
.
Li gii
Chn B
Do
3
1
nên vi
3
0;x



thì
mn
x
x
mn
.
Câu 11: Cho
a thuc khong
2
0;
e



,
là nhng s thc tu ý. Khng định nào sau đây là
sai?
A.

.
b
aa

. B. aa a

. C.
.aa a

. D.
aa

.
Li gii
Chn D
Câu 12: Cho
. Kết lun nào sau đây đúng?
A.
.1
. B.
. C.
. D.
0

.
Li gii
Chn B
3,14 0

nên .



Câu 13: Vi
là s thc bt k, mnh đề nào sau đây sai?
A.

2
10 100
. B.
10 10
. C.
2
10 10
. D.

2
2
10 10
.
Li gii
Chn D
Đáp án D sai do vi mi
0a
, mn
ta có:
.
nm
mnmn
aaa.
Khi đó

2
22
10 10 10

.
Câu 14: Cho các s thc

,, 0, 1ab a b


. Mnh đề nào sau đây đúng?
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 89
A.

.ab a b
. B.

ab a b

. C.
aa
b
b



. D.

ab a b

.
Li gii
Chn A
Câu 15: Cho
,ab là các s thc tha điu kin
34
45
aa
 
 
 
4
5
3
4
bb
. Chn khng định đúng
trong các khng định sau?
A.
0a
1b
. B.
0a
01b
. C.
0a
01b
. D.
0a
1b
.
Li gii
Chn C
34
0
45
aa
a
 

 
 
.
4
5
3
4
01.bb b
Câu 16: Cho
1a
. Mnh đề nào dưới đây là đúng.
A.
3
2
1
a
a
B.
2017 2018
11
aa
C.
3
5
1
a
a
D.
1
3
aa
Li gii
Chn C
Ta có :
3
5
1
a
a
35
11
aa

35
aa luôn đúng vi
1a
.
Câu 17: t
a
, b là các s thc tha mãn 0ab . Khng định nào sau đây sai?
A.
3
6
ab ab
. B.

8
8
ab ab
. C.
666
.ab a b . D.

1
5
5
ab ab
.
Li gii
Chn C
00
0
00
aa
ab
bb






.
Vi
0a
,
0b
thì
6
a ,
6
b vô nghĩa. Nên khng định
666
.ab a b là sai.
Câu 18: Trong các khng định sau khng định nào sai?
A.
30 20
23
. B. 0, 99 0, 99
e
. C.
3
23
. D.
3
4
2
4
.
Li gii
Chn B
Ta có:
e
0,999 1
nên
0,99 0,99
e
, do đó đáp án B sai.
Câu 19: Cho
,ab là các s thc tha điu kin
34
45
aa
 
 
 
4
5
3
4
bb . Chn khng định đúng
trong các khng định sau?
A.
0a
1b
. B.
0a
01b
.
C.
0a
01b
. D.
0a
1b
.
Li gii
Chn C
34
0
45
aa
a
 

 
 
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 90
4
5
3
4
01.bb b
Câu 20: Nếu
1
743 743
a

thì
A.
1a
. B.
1a
. C.
0a
. D.
0a
.
Li gii
Chn D
Ta có:

743743 1
nên
111
743 743 743 743
aa


11 0aa
(do 7431).
Câu 21: Trong các khng định sau, khng định nào sai?
A.

2017 2018
21 21
. B.
2018 2017
31 31
.
C.
21 3
22
. D.
2018 2017
22
11
22





.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
0311
2018 2017


2018 2017
31 31 
nên B sai.
Câu 22: Tìm khng định đúng?
A.

2016 2017
23 23
. B.
2016 2017
23 23
.
C.
 
2016 2017
23 23

 
. D.
2016 2017
23 23


.
Li gii
Chn A
Ta có

2016 2017
0231 23 23
.
Câu 23: Tìm tp tt c các giá tr ca
a
để
572
21
aa
?
A.
0a
. B.
01a
.
C.
1a
. D.
52
21 7
a
.
Li gii
Chn B
Ta có
7
21
26
aa
.
Ta có
7
21 21 21
52 5 6
aa aa
56
vy
01a
.
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 91

BÀI 2. HÀM S LŨY THA
A. KIN THC GIÁO KHOA CN NM
1.Khái nim hàm lũy tha
Hàm s lũy tha là hàm s có dng
,yx
.
Chú ý: Tp xác định ca hàm s lũy tha ph thuc vào giá tr ca
- Vi
nguyên dương thì tp xác định là R
- Vi
nguyên âm hoc bng 0, tp xác định là
\0
- Vi
không nguyên thì tp xác định là
0;
Theo định nghĩa, đẳng thc
1
n
n
x
x= ch xy ra nếu
0.x >
Do đó, hàm s
1
n
yx=
không đồng nht
vi hàm s
()
*
n
yxn
. Ví d
3
yx=
là hàm s căn bc 3, xác định vi mi
x Î
; còn hàm s
lũy tha
1
3
yx=
ch xác định khi
0x >
2.Đạo hàm ca hàm s lũy tha
() ()
()
()
'
1
'
1
vôùi 0; . ',ùi 0
1
, vôùi moïi 0 neáu chaün, vôùi moïi 0 neáu leû
'
, vôùi moïi u 0 neáu chaün, vôùi moïi u 0 neáu leû
11
'. '.
n
n
n
n
n
n
xuu
x
xn xn
nx
u
unn
nu
xx uu
aa aa
aa
-
-
>>
=> ¹
=> ¹
--
==
3.Kho sát hàm s lũy tha
Tp xác định ca hàm s lũy tha
yx
luôn cha khong
0;
vi mi
. Trong trường
hp tng quát ta kho sát hàm s
yx
trên khong này.
*
*
2,nn

21,nn

T
p xác định:
D
.
S biến thiên:
221
2.
nn
yx y nx

.
00yx
.
B
ng biến thiên
Hàm s đồng biến trên

0;  .
Hàm s nghch biến trên

;0 .
T
p xác định:
D
.
S biến thiên:
21 2
21. 0
nn
yx y n x y xD


.
Hàm s đồng biến trên
D
.
B
ng biến thiên
Đ
th:
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 92

Đ
th:
\

2, \kk

21, \kk

T
p xác định:
0\D
.
S biến thiên:
221
2.
nn
yx y nx

.
G
ii hn:
lim 0 0
x
yy


là TCN.
0
0
lim
0
lim
x
x
y
x
y



là TCĐ.
B
ng biến thiên
Hàm s đồng biến trên

;0 .
Hàm s nghch biến trên

0;  .
Đ
th:
T
p xác định:
0\D
.
S biến thiên:
21 2
21. 0
kk
yx y k x y xD


.
Hàm s nghch biến trên
D
.
G
ii hn:
lim 0 0
x
yy


là TCN.
0
0
lim
0
lim
x
x
y
x
y



là TCĐ.
B
ng biến thiên
Đ
th:
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 93

Trong gii hn chương trình ta ch kho sát trên
0;
.
0
0
T
p kho sát:
0;D 
.
S biến thiên:
1
.0yx

hàm s đồng biến trên

0; 
.
G
ii hn:
0
lim 0; lim
x
x
xx



.
Hàm s không có tim cn.
B
ng biến thiên
T
p kho sát:
0;
D
.
S biến thiên:
1
.0
yx
m s nghch biến trên
0;
.
G
ii hn:
0
lim

x
x TCĐ:
0
x
.
lim 0

x
x
TCN:
0
y
B
ng biến thiên
Đồ th hàm s luôn đi qua đim
1;1A
.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. Tìm tp xác định và tính đạo hàm ca hàm s
1. Phương pháp
Cn nh li: Xét hàm s

a
yfx


 Nếu a nguyên dương thì hàm s xác định khi và ch khi
f
x xác định.
 Nếu a nguyên âm hoc bng
0
thì hàm s xác định khi và ch khi
0fx
.
 Nếu
a
không nguyên thì hàm s xác định khi và ch khi
0fx .
2. Các ví d
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 94

Câu 1: Tìm tp xác định ca hàm s

1
2
3
32
yx x
A.

;1 2; 
. B.
\1;2
. C.

2
2
'
2ln5
x
y
x
. D. .
Li gii
Chn A
Hàm s lũy tha có s mũ không nguyên thì điu kin là cơ s phi dương, nên suy ra

1
2
3
32
yx x điu kin là

2
2
320 ;1 2;
1
 
x
xx x
x
Vy tp xác định ca hàm s
;1 2;
 D
.
Câu 2: Tìm tp xác định
D
ca hàm s

1
3
2yx
.
A.
;2D
. B.
2;
D
. C.
;2D
. D.

;D
.
Li gii
Chn C
ĐKXĐ:
20 2xx
. Suy ra TXĐ:
;2D
.
Câu 3: Tp xác định ca hàm s
3
2
1
yx
A.

;1
. B.
1;
. C.
0;
. D.
\1
.
Li gii
Chn D
Điu kin xác định ca hàm s
3
2
1
yx
là:
2
10 1.
xx
Vy tp xác định ca hàm s
\1
.
Câu 4: Tìm tp xác định ca hàm s

2019
2
2yxx
.
A.
;0 0;
. B.
0; 2
. C. . D.

;0 2;
.
Li gii
Chn B
Điu kin xác định ca hàm s
2
2002
xx x .
Suy ra tp xác định ca hàm s
đã cho là
0; 2
.
Câu 5: Tp xác định ca hàm s

2019
2
2020
4yx x là:
A.
;0 4; 
. B.
;0 4;

. C.
0; 4
. D.
\0;4R
.
Li gii
Chn B
Hàm s

2019
2
2020
4yx x xác định

2
4
40 ;0 4;
0

x
xx x
x
.
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 95

Câu 6: Hàm s nào dưới đây có tp xác định không phi là khong
0;
?
A.
5
yx
. B.
2
yx
. C.
1
3
yx
. D.
1,7
yx
.
Li gii
Chn A
Xét hàm s



yfx
thì tp xác định ph thuc vào giá tr ca
.
C th:
+ Nếu
nguyên dương thì hàm s xác định khi và ch khi
f
x
xác định.
+ Nếu
0
hoc
nguyên âm thì hàm s xác định khi và ch khi

0fx
.
+ Nếu
không nguyên thì hàm s xác định khi và ch khi
0fx
.
5
là s nguyên âm nên tp xác định ca hàm s
5
yx
\0
.
Câu 7: Tp xác định ca hàm s


3
2
2
5
32 3yx x x

A.

;1 2; \ 3 D
. B.
;\1;2D
.
C.

;\3D
. D.
;1 2;
 D
.
Li gii
Chn A
Hàm s


3
2
2
5
32 3
yx x x
xác định khi
2
320
30


xx
x
1
2
3
x
x
x
.
Vy

;1 2; \ 3 . D
Câu 8: Tp xác định ca hàm s
2
21yx

A.
1
;2
2



. B.
1
\
2

. C.
1
;
2
. D.
1
;
2




.
Li gii
Chn B
Hàm s lũy tha vi s mũ nguyên âm nên điu kin là
1
210
2
xx
Vy tp xác định là
1
\
2



.
Câu 9: Tp xác định
D
ca hàm s
3
(3 5)
yx
A.
5
\
3



. B.
5
;
3



. C.
5
;
3
. D.
3
;
5




.
Li gii
Chn B
Hàm s
3
(3 5)
yx
xác định khi:
350
x
5
3
x
nên tp xác định
5
;.
3




D
Câu 10: Tp xác định ca hàm s
2019
2
43
yxx
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 96

A.
\4;1.
B.
.
C.
4;1 .
D.
4;1 .
Ligii
Chn A

2019
2
43
yxx
là hàm s lũy tha có s mũ nguyên âm nên điu kin xác định là
2
1
43 0 .
4


x
xx
x
Vy tp xác định ca hàm s
\4;1.D
Câu 11:
Tp xác định ca hàm s
21
2
23

e
yxx
A.
3
\;1
2



. B.

3
;1;
2




. C.
3
;1
2



. D.
.
Li gii
Chn C
+ Vì
21e
không là s nguyên nên điu kin là
2
3
230 ;1
2




xx x
Dng 2: Tính đạo hàm
Câu 1: Tìm đạo hàm ca hàm s

2
2
1
e
yx trên .
A.

1
2
2
21

e
yxx . B.

2
2
1

e
yexx
.
C.

1
2
2
1
2

e
e
yx
. D.

22
2
1ln 1

e
yx x
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có:
   
11 2
2222
222
1.21 1 1
2


  


eee
e
e
yx xx exx exx
.
Câu 2: Hàm s

2
2
5
1yx
đạo hàm là.
A.

2
2
5
4
1
y
x
. B.
2
21
yxx
. C.
5
2
41
yxx
. D.

3
2
5
4
51
x
y
x
.
Hướng dn gii
Chn D
Vì Áp dng công thc

1
..
nn
unuu
.
Câu 3: Cho

23 2
.
f
xxx
Giá tr ca
1f
bng:
A. 2 . B.
8
3
.
C. 4 . D.
3
8
.
Hướng dn gii
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 97

Chn B
Vi
0x
thì
 
28 5
2
33 3
8
3

f
xx x fx x
nên

8
1
3
f
.
Câu 4: Tính đạo hàm ca hàm s

6
1cos3 .yx
A.

5
'18sin3cos3 1yxx
. B.

5
'18sin31cos3yxx
.
C.

5
'6sin31cos3yxx
. D.

5
'6sin3cos3 1
yxx
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có
 
65
1 cos3 6 1 cos3 . 1 cos3 ' yxy x x.
 
55
6 1 cos3 .3sin3 18sin3 1 cos3 .
x
xxx
.
Câu 5: Đạo hàm ca hàm s

1
2
3
1yxx
A.

2
2
3
21
31

x
y
xx
. B.

2
2
3
1
1
3
yxx
. C.

8
2
3
1
1
3
yxx
. D.
3
2
21
21

x
y
xx
.
Li gii
Chn A
Ta có


1
1
22
3
2
2
3
121
11
3
31


x
yxx xx
xx
.
Câu 6: Tính đạo hàm ca hàm s

1
2
3
3yx .
A.

2
2
3
2
3
3
yxx
. B.

2
2
3
1
3
3
yx
.
C.

1
22
3
3ln 3
 yx x . D.

1
22
3
23ln3
yxx x .
Li gii
Chn A
Ta có:

2
22
3
1
33
3
 yx x

2
2
3
2
3
3
xx
.
Câu 7: Cho hàm s
2
4
3yx, phương trình 0y
có my nghim thc:
A.
0
. B.
3
. C. 1. D. 2 .
Li gii
Chn A
Xét hàm s
4
2
3yx
.
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 98

Ta có:

1
2
4
3




yx

3
2
4
1
3.2
4

x
x

3
2
4
1
23
x
vi

;3 3;
 x .
Ta thy
0
y vi

;3 3; x
do đó phương trình 0
y vô nghim.
Câu 8: Tính đạo hàm ca hàm s

2
3
sinyxx
.
A.

1
3
2
sin
3
yxx
. B.

1
3
2
sin . sin cos
3
yxx xxx
.
C.
3
2sin cos
3
sin

x
xx
y
x
x
. D.

1
3
2
sin .cos
3
yxx x
.
Li gii.
Chn B

21
1
33
22
sin . sin sin . sin cos
33

yxxxx xx xxx
.
Dng 3. S biến thiên và nhn dng đồ th hàm s
1. Phương pháp
Lưu ý: Trong dng bài toán này lưu ý nhng đặc đim sau ca đồ th hàm s
yx
:
Đồ th luôn đi qua đim
Khi
0
hàm s luôn đồng biến, khi
0
hàm s luôn nghch biến
Đồ th hàm s không có tim cn khi
0
. khi
0
đồ th hàm s có tim cn ngang là trc
Ox
, tim cn đứng là trc Oy .
2. Các ví d
Câu 1:
Trong các mnh đề sau, mnh đề nào là mnh đề sai?
A.
Hàm s
yx
có tp xác định tùy theo
.
B. Đồ th hàm s
yx
vi
0
có tim cn.
C. Hàm s
yx
vi
0
nghch biến trên khong
(0; )
.
D. Đồ th hàm s
yx
vi
0
có hai tim cn.
Li gii
Chn B
Đồ th hàm s
yx
vi
0
không có tim cn.
Câu 2: Đồ th nào dưới đây KHÔNG là đồ th ca hàm s
yx
?
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 99

A. . B. .
C. . D.
Li gii
Chn C
Đồ th hàm s
yx
không đi qua đim
(0;1)
.
Câu 3: Đường cong trong hình dưới đây là đồ th hàm s nào?
A.
1
2
yx
.
B.
1
2
yx
.
C.
2
x
y
.
D.
1
2
x
y
Li gii
Chn B
Nhn thy đồ th hàm s đi qua gc ta độ nên loi đáp án C và D
Nhn thy đồ th hàm s đi qua đim
(4;2)
nên loi đáp án A
Câu 4:
Hình bên là đồ th ca mt trong bn hàm s dưới đây.
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 100

A.
2
yx
. B.
2
x
y
. C.
1
2
yx
. D.
2
logyx
.
Li gii
Chn C
Đồ th hàm s đi qua đim nhn Ox,Oy làm tim cn ngang và tim cn đứng loi C,D
Dùng máy tính kim tra đáp án thy đồ th đi qua chn đáp án
C.
Câu 5:
Cho hàm s
2
yx
. Mnh đề nào sau đây là SAI?
A.
Đồ th hàm s không ct trc hoành.
B. Hàm s nghch biến trên khong
0;
.
C. Hàm s có tp xác định là
0;
.
D. Đồ th hàm s không có tim cn.
Li gii
Chn D
Tp xác định:

0;D
, suy ra C đúng.
Do
0x
nên
2
0
x
, suy ra A đúng.
Ta có:
21
2. 0; 0

 yx x
, suy ra B đúng.
Ta có
2
0
lim

x
x
nên đồ th hàm s nhn
Oy
làm tim cn đứng, đáp án D đúng.
Câu 6: Cho hàm s
2
,yx
có các khng định sau
I. Tp xác định ca hàm s
0;
D
.
II. Hàm s luôn đồng biến vi mi x thuc tp xác định ca nó.
III. Hàm s luôn đi qua đim
1; 1M
.
IV. Đồ th hàm s không có tim cn.
Hi có bao nhiêu khng định đúng?
A. 2 . B.
3
. C. 4 . D. 1 .
Li gii
Chn C
Do 2
nên hàm s xác định vi mi
0.x
Vy khng định I đúng.
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 101

Do
21
2. 0
yx
vi mi
0x
nên hàm s đồng biến trên tp xác định. Khng định II
đúng.
Do

2
11 1y
nên khng định III đúng.
Do
2
lim


x
x
2
0
lim 0
x
x
nên đồ thì hàm s không có đường tim cn. Vy IV đúng.
Câu 7: Cho hàm s
2
yx
đồ th. Phương trình tiếp tuyến ca ti đim M
0
có hoành độ
0
1
x
là:
A.
1
2
yx
. B.
1
22

yx
. C.
1
yx
. D.
1
22

 yx
Li gii
Chn B
T lun:
Ta có:
1
2
2
yx

1
2
y
Vi
0
1x thì
0
1y
Vy phương trình tiếp tuyến cn tìm là:
1
22

yx
Trc nghim:
Vi
0
1x
thì
0
1y
. Thay vào các đáp án thy A, D không tha mãn nên loi A và D
1
2
2
yx

1
2
y
Nên h s góc ca tiếp tuyến bng
2
nên loi đáp án C.
Lưu ý:
Có th dùng CASIO h tr tính đạo hàm ti
0
1
x như sau:
Và có kết qu
Thy kết qu không bng
3,141..
nên loi đáp án C.
Câu 8:
Cho các hàm s
;;

yxyxyx
đồ th trên cùng mt h trc ta độ như hình v
bên. Mnh đềo dưới đây đúng.
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 102

A.


. B.


. C.


. D.


.
Li gii
Chn D
T hình v ta thy hàm s
yx
nghch biến trên

0;
nên
0
.
T hình v ta thy hàm s
yx
đồng biến trên

1;
và nm dưới đường thng
yx
nên
01

.
T hình v ta thy hàm s
yx
đồng biến trên

1; 
và nm trên đường thng
yx
nên
1
.
Vy


.
Câu 9: Cho hàm s
3
yx
khng định nào sau đây đúng?
A. Đồ th hàm s ct trc
Ox
.
B. Đồ th hàm s không có tim cn.
C. Đồ th hàm s có mt tim cn đứng và không có tim cn ngang.
D. Đồ th hàm s có mt tim cn đứng và mt tim cn ngang.
Li gii
Chn D
* TXĐ:

0;D
.
* Đồ th hàm s:
T đồ th hàm s ta thy đồ th hàm s có mt tim cn đứng là trc
Oy
và mt tim cn
ngang là trc
Ox
.
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 103

Đáp án đúng là D.
Câu 10:
Cho hàm s

yfx
đồ th như hình bên, biết
f
x
là mt trong
4
hàm s dưới đây.
Tìm

f
x
.
A.

1
3
f
xx
. B.
3
f
xx
. C.

1
3
f
xx
. D.

3
f
xx
.
Li gii.
Chn A
Hàm s có tp xác định là
0;
D
, loi đáp án B,D.
Hàm s tăng trên
D
, loi C.
Câu 11:
Cho hàm s
yfx
đồ th như hình bên, biết
f
x
là mt trong 4 hàm s dưới đây.
Tìm

f
x
.
A.

1
3
f
xx
. B.
3
f
xx
. C.

1
3
f
xx
. D.

3
f
xx
.
Li gii.
Chn C
Hàm s có tp xác định là
0;
D
, loi đáp án B,D.
Hàm s gim trên

2
2
3
3
bx
y
abx
, loi A.
Câu 12:
Cho hàm s
22019
() (1 )fx x
. Khng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm s đồng biến trên R . B. Hàm s đồng biến trên
(;0)
.
C.
Hàm s nghch biến trên
(;0)
. D. Hàm s nghch biến trên R .
Li gii
Chn B
Đạo hàm:

 

2018 2018
22 2
2019. 1 . 1 2019. 1 . 2
 
f
xxx xx
LPTOANTHYCƯ_TPHU
.SĐT:0834332133 104

Nhn thy ngay:

2018
2
2019. 1 0x
. Nên ta có th nhn thy ngay du ca đạo hàm cùng
du vi

x
. Ta có bng biến thiên:
Vy hàm s đồng biến trên
;0
.
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 105
BÀI 3. LOGARIT
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. KHÁI NIM LOGARIT
1. Định nghĩa: Cho 2 s
,0ab dương vi a khác 1. S
tha mãn đẳnng thc
ab
được gi là
logarit cơ s a ca b và ký hiu
log
a
b
a
a ==log ba b
a
Chú ý
 Không có logarit ca s 0 và s âm vì
a
luông dương vi mi
 Cơ s ca logarit phi dương và khác 1
 Theo đinh nghĩa logarit ta có các tính cht sau
2. Tính cht
Cho hai s dương a b , 0a . Ta có các tính cht sau

log
log 1 0; log 1; , , 0; log ,
b
a
aabbb a
aa a

 
Ví d. Tính
a)
log 3
2
4
; b)
log 4
3
3
; c)
log 3
2
2
; d)
2
log 4 e)
3
1
log
3
f)
2
1
log
16
g)
3
(2
log 1
)
a
a
vi 01a h)
+
log 3
log 5
749
49
II. CÁC QUY TC TÍNH LOGARIT
1. Logarit ca mt tích
: Vi
01;,0abc
ta có
log log logbc b c
aaa
Logarit ca mt tích bng tng các logarit
Ví d 3:
Tính
a)
12 12
log 6 log 2 b)
11 1
22 2
4
log 6 log 24 log
9

Chú ý: Công thc trên có th m rng cho tích ca n s dương:

12 1 2
12
log . ... log log ... log
, , ,..., 0, 1
anaa an
n
bb b b b b
ab b b a


2. Logarit ca mt thương
: a > 0; b
1
> 0; b
2
> 0, a
1
2
1
log log log
12
b
b
bb
aaa




Logarit ca mt thương bng hiu các logarit

1
01,0
log log , ab
b
b
aa




Ví d. Tính
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 106
a)
log 100 log 4
25 25
; b)
222
log 20 log 6 log 15
.
c)
22 2
log 5 log 10 log 25. d) 14log6 log7 log
333

3. Logarit ca mt lũy tha: a > 0; b> 0, a
1
log logbb
aa
Logarit ca mt lũy tha bng tích ca s mũ vi logarit ca cơ s
1
log log
n
b
n
b
aa
Ví d 5. Cho log 2;log 3bc
aa
. Hãy tính log
x
a
, biết
a)
23
4
ab
x
c
b)
2
3
ab
x
c
c)
22
3
x
abc
III. ĐỔI CƠ S:
Cho a > 0; b > 0; c>0, a 1 , c 1
1
;,1;
log
1
log log log log , 0
log log
b
b
c
bb bb
aa a
a
aa
c
b

Ví d. a) Tính
36 1
6
1
log 2 log 3
2
; b)Cho log3 ;log5 ;log2
7
23
abc
. Tính 50log
63
V. LOGARIT THP PHÂN. LOGARIT T NHIÊN
1. Lôgarit thp phân
Lôgarit thp phân
là logarit cơ s 10 ca mt s dương
x
được gi là logarit thp phân ca
x
được kí hiu là
log
x
hoc lg .
Mt ng dng quan trong ca logarit thp phân trong các bài toán Casio
Rõ ràng khi 10
n
x thì log
x
n . Còn vi s 1x tùy ý, viết
x
trong h thp phân thì s các ch s
đứng trước du phy ca
x
1n , trong đó n là phn nguyên ca log
x
, kí hiu
lognx .
Tht vy, vì
10
n
là s t nhiên bé nht có 1n
ch s nên s các ch s đứng trước du phy ca
x
bng
1n khi và ch khi
1
10 10
nn
x
 , tc là log 1nxn
; điu này chng t
lognx .
Ví d: Để tìm s các ch s ca
2008
2 khi viết trong h thp phân người ta ly giá tr gn đúng ca
log 2
0,3010 và ta được
2008.log 2 1 2008.0,3010 1 605  . Vy s
2008
2 có 605 ch s.
2. Lôgarit t nhiên: Lôgarit t nhiên là lôgarit cơ s e. Kí hiu log ln
e
bb
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 107
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. Tính toán v logarit
Câu 1: Cho các s thc dương
a
, b tha mãn
2
log ax
,
2
log by
. Tính

23
2
logPab
.
A.
23
Pxy B.
23
Px y
C. 6Pxy
D. 23Pxy
Li gii
Chn D

23
2
logPab
23
22
log logab
22
2log 3logab 23
x
y
.
Câu 2: Cho
,0ab
,1ab
, biu thc
34
log .log
b
a
Pba
có giá tr bng bao nhiêu?
A.
18
. B. 24 . C. 12 . D.
6
.
Li gii
Chn B
34
log .log
b
a
Pba
6log . 4log 24
ab
ba
.
Câu 3: Cho b là s thc dương khác
1
. Tính
1
2
2
log .
b
Pbb



.
A.
3
2
P . B. 1
P
. C.
5
2
P
. D.
1
4
P .
Li gii
Chn C
Ta có
1
2
2
log .
b
Pbb



5
2
log
b
b
5
log
2
b
b
5
2
.
Câu 4: Cho
0a
,
1a
. Biu thc
2
log
a
a
a
bng
A.
2a .
B. 2 . C.
2
a
. D.
2
a .
Li gii
Chn D
Ta có
2
log
a
a
a
2log
a
a
a
2
a .
Câu 5:
Giá tr biu thc
42
log 9 log 5
2A
là:
A.
8A . B. 15A
. C. 405A
. D. 86A .
Li gii
Chn B
Ta có
42 4 2 2 2
log 9 log 5 log 9 log 5 log 3 log 5
2 2 .2 2 .2 3.5 15A
 .
Câu 6: Cho 0, 1aa. Tính giá tr ca biu thc
3
3
1
log
a
P
a



A.
9P  . B. 1
P
. C. 1
P
. D. 9P
Li gii
Chn A
Ta có: Thay s bt k chng hn
3a
có ngay 9P
.
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 108
Câu 7:
Cho
0, 1aa
. Tính giá tr ca biu thc
3
3
1
log
a
P
a



A.
9P 
. B.
1P
. C.
1P
. D.
9P
.
Li gii
Chn A
T lun :
1
3
3
3
3
1
log log 9 log 9
a
a
a
Paa
a




Trc nghim : S dng máy tính, thay
2a
ri nhp biu thc
3
3
1
log
a
a



vào máy
bm = ta được kết qu
9P 
.
Câu 8: Cho a là s thc dương khác 2 . Tính
2
2
log
4
a
a
I



.
A.
1
2
I
. B.
1
2
I
. C.
2
I
. D.
2
I

.
Li gii
Chn C
2
2
22 2
log log 2 log 2
42 2
aa a
aa a
I

 


 
 

.
Câu 9: Cho
a
là s thc dương và b là s thc khác 0 . Mnh đề nào sau đây là mnh đề đúng?
A.
3
333
2
31
log 1 log 2log
3
a
ab
b




. B.
3
333
2
3
log 1 3log 2 log
a
ab
b




.
C.
3
333
2
3
log 1 3log 2 log
a
ab
b




. D.
3
333
2
3
log 1 3log 2 log
a
ab
b




.
Li gii
Chn C
Ta có

3
32
333
2
3
log log 3 log
a
ab
b




3
33 3
log 3 log logab .
3
33 3
log 3 log logab
33
1 3log 2logab
.
Câu 10: Cho log 3 a . Tính log9000 theo a .
A. 6a . B.
2
3a
. C.
2
3a . D. 23a .
Li gii
Chn D
Cách 1: log 9000 log 9 log1000 2 log 3 3 2 3a .
Cách 2: Gán
log 3 a
. Tính
log 9000 2 3 0a

.
Câu 11: Cho
6
log 9 .a
Tính
3
log 2
theo a
A. .
2
a
a
B.
2
.
a
a
C.
2
.
a
a
D.
2
.
a
a
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 109
Li gii
Chn D
Ta có:
62.3
log 9 2 log 3
3
2
log 2.3
a
3
2
log 2 1
a

3
2
log 2 .
a
a

Câu 12: Cho
,0ab
. Rút gn biu thc
2
24
log log
a
a
bb
A.
2log
a
b
B.
0
C.
log
a
b
D.
4log
a
b
Li gii
Chn D
Ta có
2
24
log log
a
a
bb
1
2log .4.log
2
aa
bb 4log
a
b .
Câu 13: Cho log 2
a
x , log 3
b
x vi a , b là các s thc ln hơn 1. Tính
2
log
a
b
Px .
A.
6
. B.
6
. C.
1
6
. D.
1
6
.
Li gii
Chn B
a ,
b
là các s thc ln hơn 1 nên ta có:
2
3
23 3
2
3
log 2
log 3
a
b
x
xa
ab a b ab
x
xb


.
31
22
2
2
log log log 2 log 6
ab
bb
b
b
Pxx x x
 .
Câu 14: Đặt
2
log 3a
5
log 3b . Hãy biu din
6
log 45 theo a b .
A.
6
2
log 45
aab
ab b
. B.
2
6
22
log 45
aab
ab
. C.
6
2
log 45
aab
ab
. D.
2
6
22
log 45
aab
ab b
.
Li gii
Chn A


2
3
6
3
log 5.3
log 45
log 2.3
3
3
log 5 2
log 2 1
1
2
1
1
b
a
2aab
ab b
.
Câu 15: Cho 2 s thc dương a , b tha mãn ab
, 1a
,
log 2
a
b
. Tính
3
log
a
b
Tba
.
A.
2
5
T 
. B.
2
5
T
. C.
2
3
T
. D.
2
3
T 
.
Li gii
Chn D
Ta có:
1
log 2 log
2
ab
ba .
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 110
333
log log log
aaa
bbb
Tbaba
33
11
log log
ba
aa
bb

.
3333
11
log log log log
bbaa
ab ab


11
33
log 3 3log
22
ba
ab


.
112
31 3
3
.3 3.2
22 2


.
Câu 16: Vi
2
log 5a
3
log 5b , giá tr ca
6
log 5 bng
A.
ab
ab
.
B.
ab
ab
. C.
1
ab
. D. ab .
Li gii
Chn A
Ta có
6
5
1
log 5
log 6
55
11
11
log 2 log 3
ab

55
11
11
log 2 log 3
ab

ab
ab
.
Câu 17: Biết

3
log 1xy

2
log 1xy
, tìm
log
x
y ?
A.

5
log
3
xy
. B.

1
log
2
xy
. C.

3
log
5
xy
. D.

log 1xy
.
Li gii
Chn A
Ta có


3
log 1 log 2log 1xy xy y ,
2
log 1 log log 1
x
yxyx

Vy
2
log 2log
x
yxy
Xét

1
323
5
log 1 log 1 5log 1 10xy y y y y  
Vy


3
3
5
3
log log log 10
5
xy y




Câu 18: Tính giá tr ca biu thc

2
3
10 2 2
log log log
ab
a
a
Pab b
b




( vi
01;01ab
).
A. 2
P
. B. 1
P
. C. 3P . D. 2P .
Li gii
Chn B
S dng các quy tc biến đổi logarit
.



2
3
10 2 2
10 2
log log log
1
log log 2 log log 3. 2 log
2
11
10 2 log 2 1 log 6 1.
22
ab
a
aa aa b
aa
a
Pab b
b
ab ab b
bb













.
Câu 19: Biết
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3abc thì
12
log 35 tính theo , , abc bng:
A.

3
.
2
bac
c
B.
32
.
1
bac
c
C.
32
.
2
bac
c
D.

3
.
1
bac
c
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 111
Li gii
Chn A
Ta có:
27 3 3
1
log 5 log 5 log 5 3
3
aa
,
82 2
1
log 7 log 7 log 7 3
3
bb

.



2
223
22
12
2
22
2
log 7.5 3
log 7 log 3.log 5
log 7 log 5 3 .3
log 35 .
log 3 2 log 3 2 2 2
log 3.2
bac
bca
cc



Câu 20: Cho
,0ab
, nếu
2
84
log log 5ab
2
48
log log 7ab
thì giá tr ca ab bng
A.
9
2 . B. 8 . C.
18
2 . D. 2 .
Li gii
Chn A
Ta có:
2
6
22
84
2
2 3
2
48
22
1
log log 5
log log 5
log 6
2
3
1log3
log log 7 2
log log 7
3
ab
ab
a
a
b
ab b
ab








.
Vy
9
2ab .
Dng 2. So sánh hai s logarit
Câu 1: S nào trong các s sau ln hơn
1
A.
0,5
1
log
8
. B.
0,2
log 125
. C.
1
6
log 36
. D.
0,5
1
log
2
.
Li gii
Chn A
Ta có:
1
3
0,5
2
1
log log 2
8
31
,
1
3
0,2
5
log 125 log 5
31
.
1
2
1
6
6
log 36 log 6
21 ,
0,5 0,5
1
log log 0,5
2
1
.
Câu 2: Cho a ,
b
là các s thc, tha mãn
01ab

, khng định nào sau đây đúng?
A. log log 0
ba
ab. B. log 1
b
a . C. log 0
a
b . D.
log log 2
ab
ba.
Hướng dn gii
Chn A
01ab nên log log 1 log 0
bb b
aa log log 1 log 0
aa a
bb
.
Suy ra :
log log 0
ba
ab.
Câu 3: Cho các s thc dương
,ab
tha mãn
1, 1ab
. Điu kin nào sau đây cho biết
log 0
a
b
?
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 112
A. 1ab B.
110ab

C. 1b
D. 1ab
Li gii
Chn C
,0ab hoc
22
14ab ab
. nVy
22
2
log 4 log logab a b .
Câu 4: Cho các s thc
a
, b tha mãn 1 ab
. Khng định nào sau đây đúng?
A.
11
1
log log
ab
ba

. B.
11
1
log log
ba
ab

.
C.
11
1
log log
ab
ba

. D.
11
1
log log
ab
ba
.
Li gii
Chn A
1 ab nên ta có log log
bb
ab log 1
b
a
log log
aa
ab 1log
a
b .
Do đó
log 1 log
ba
ab
11
1
log log
ab
ba

.
Câu 5: Cho
01ab
, mnh đề nào dưới đây đúng?
A. log log
ba
ab . B. log log
ba
ab . C. log 1
a
b . D. log 0
a
b
.
Li gii
Chn A
Do 01a nên hàm s log
a
yx nghch biến trên
0;
.
Đáp án B sai, vì: Vi
log log 11log0
aa a
bbb .
Đáp án D sai, vì: Vi
log log log 1
aa a
abbba  .
Vi
01ab ta có 0log 1
a
b.
Đáp án C sai, vì: Nếu

2
1
log log log log 1
log
ba a a
a
ab b b
b

(vô lí).
Đáp án A đúng, vì: Nếu

2
1
log log log log 1
log
ba a a
a
ab b b
b

(luôn đúng).
Câu 6: Trong các khng định sau, khng định nào sai?
A.
3
log 5 0 . B.
22
22
log 2016 log 2017
xx
.
C.
0,3
log 0,8 0
. D.
34
1
log 4 log
3



.
Li gii
Chn C
Ta có:
0,3
log 0,8 0
0
0,8 0, 3 0,8 1
(sai)
Câu 7: Cho các s thc dương
a
, b vi 1a
log 0
a
b . Khng định nào sau đâyđúng?
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 113
A.
0,1
01
ab
ab


. B.
0,1
1,
ab
ab
. C.
01
1,
ba
ab

. D.
0,1
01
ab
ba


.
Li gii
Chn B
Ta có:
0
0
1
1
log 0
01
01
a
a
ba
b
a
ba





.
Câu 8: K
hng định nào sau đây là khng định đúng?
A.
3
log 1
. B.
3
ln 3 log e
. C.
37
log 5 log 4
. D.
1
2
log 2 0
.
Li gii
Chn C
Ta có:
33 3
log 5 log 3 log 5 1
77 7
log4 log7 log4 1
Vy:
37
log 5 log 4 .
Câu 9: Cho a , b là các s thc tha mãn 01ab
. Mnh đề nào sau đây đúng ?
A. log 0
b
a . B. 3m
. C. 2m
. D. log 1
a
b .
Li gii
Chn B
01ab nên
log log 1
bb
ab
A sai.
2550xyz log log
ba
ab B đúng, C sai.
log log
aa
ab log 1
a
b D sai.
Câu 10: Cho hai s thc ,ab tha mãn điu kin 01ab
. Khng định nào sau đây đúng?
A. 1log log
ab
ba. B. log 1 log
ab
ba . C. 1log log
ba
ab. D.
log 1 log
ba
ab .
Li gii
Chn B
Do 01a nên vi ab ta có: 1log log log 1
aa a
ab b
.
Tương t do
01b nên vi ab
ta có: log log 1
bb
ab.
Vy
log 1 log
ab
ba .
Câu 11: Mnh đề nào dưới đây sai?
A. Nếu 0 ab thì
ee
22
log logab . B. Nếu 0 ab
thì log logab .
C. Nếu 0 ab thì ln lnab . D. Nếu 0 ab
thì
44
log logab

.
Li gii
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 114
Chn D
Nếu 0 ab thì
ππ
44
log logab do
π
1
4
.
Câu 12: Gi
0,5 0,5
log 4 log 13
3;b3a 
, khng định nào sau đây là khng định đúng?
A. 1ab. B. 1ba
. C. 1ab
. D. 1ba .
Li gii
Chn C
Ta có
0,5 0,5
log 4 log 1
331a ,
0,5 0,5
log 13 log 1
331b

(1)
Li có
0,5 0,5
log 13 log 4
33 (2)
T
(1) (2)
1ba
Dng 3 : Đẳng thc logarit
Câu 1: Gi s
,
x
y
là các s thc dương. Mnh đề nào sau đây sai?
A.
222
log log log
x
yxy B.

222
1
log log log
2
x
yxy
C.
222
log log log
x
x
y
y
 D.
222
log log log
x
yxy
Li gii
Chn D
Do
22 2
log log log
x
yxy
.
Câu 2: Cho hai s thc dương
a
,b
vi
1.a
Khng định nào dưới đâykhng định đúng?
A.

2
log 2 2log
a
a
ab b . B.

2
1
log log
2
a
a
ab b .
C.

2
11
log log
22
a
a
ab b
. D.

2
1
log log
4
a
a
ab b
.
Li gii
Chn C
Vi , 0ab 1,a ta có
 

2
11 1 11
log log log log 1 log log .
22 2 22
aaa a a
a
ab ab a b b b
.
Câu 3: Vi các s thc dương a , b bt kì. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.

ln ln lnab a b. B.
ln ln ln
a
ba
b

. C.
ln ln .lnab a b . D.
ln
ln
ln
aa
bb
.
Li gii
Chn A
Câu 4:
Cho các s thc dương a , b , c khác 1 . Chn mnh đề sai trong các mnh đề sau đây.
A. log log log
aaa
b
bc
c

. B.
log
log
log
c
a
c
a
b
b
.
C.

log log log
aaa
bc b c
. D.
log
log
log
c
a
c
b
b
a
.
Li gii
Chn B
Vi các s thc dương a , b , c khác
1
, ta có
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 115
log log log
aaa
b
bc
c

nên A đúng.
log
log
log
c
a
c
b
b
a
nên B sai và D đúng.

log log log
aaa
bc b c nên C đúng.
Câu 5: Gi s ta có h thc
22
7ab ab
,0ab
. H thc nào sau đây là đúng?
A.

222
2 log log log .ab a b B.
222
2 log log log .
3
ab
ab

C.

222
log 2 log log .
3
ab
ab

D.
222
4 log log log .
6
ab
ab

Li gii
Chn B
+)
  
22
22
2222 2
2 log log log log logab a b ab ab ab ab a b ab .
+)

2
2
22
222
2log log log 9 7
33
ab ab
a b ab a b ab a b ab





.
Câu 6: Cho
, ab
là các s thc dương tho mãn
22
14ab ab . Khng định nào sau đây là sai?
A.
ln ln
ln
42
ab a b
. B.
222
2 log 4 log logab a b
.
C.

422
2 log 4 log logab a b . D. 2 log log log
4
ab
ab
.
Li gii
Chn C
Ta có

2
22
14 16
4
ab
a b ab a b ab ab

 


Nên ta
ln ln
ln ln
42
ab a b
ab


vy A
đúng
  
2
22 2 22
2 log log log 16 4 log logab ab ab a b
vy B đúng
  
2
44 4 44
2 log log log 16 2 log logab ab ab a b vy C sai
22
2log log log
4
ab
ab

vy D đúng
Cách 2:.
Câu này ý
C sai vì
 
2
444444
2 log 4 log log log 4 log 4 logab a b ab ab
 
22
4
4444
log log 4 log log 64a 64aab ab b ab b
.
Câu 7: Cho các s thc dương
a
,
b
tha mãn 3log 2 log 1ab
. Mnh đề nào sau đây đúng.
A.
32
1ab. B. 3210ab
. C.
32
10ab
. D.
32
10ab.
Li gii
Chn C
Ta có:
3log 2log 1ab
32
log log 1ab
32
log 1ab
32
10ab
.
Câu 8: Vi các s thc dương a , b bt k. Mnh đề nào dưới đây sai?
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 116
A.
2
222
3
9
log 2 2log 3log
a
ab
b

. B.
2
3
9
ln 2ln3 2ln 3ln
a
ab
b

.
C.
2
3
9
log 2 log 3 2 log 3log
a
ab
b

. D.
2
333
3
9
log 2 2log 3log
a
ab
b

.
Hướngdngii
Chn A.
Nhn thy

2
23
22 2
3
9
log log 9 log
a
ab
b

23
22 2 222
log 9 log log 2 log 2 log 33logab ab
Vy B, C, D đúng.
Câu 9: Vi các s thc dương
a
, b bt kì. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.

ln ln lnab a b
. B.
ln ln ln
a
ba
b

. C.
ln ln .lnab a b
. D.
ln
ln
ln
aa
bb
.
Li gii
Chn A
Câu 10:
Cho các s thc dương a , b , c khác 1. Chn mnh đề sai trong các mnh đề sau đây.
A.
log log log
aaa
b
bc
c

. B.
log
log
log
c
a
c
a
b
b
.
C.

log log log
aaa
bc b c. D.
log
log
log
c
a
c
b
b
a
.
Li gii
Chn B
Vi các s thc dương a , b , c khác 1 , ta có
log log log
aaa
b
bc
c

nên A đúng.
log
log
log
c
a
c
b
b
a
nên B sai và D đúng.

log log log
aaa
bc b c
nên C đúng.
Câu 11: Cho
4
2
log
a
Pb vi 01a 0b
. Mnh đề nào dưới đây là đúng?
A.

2log
a
P
b . B.
2log
a
P
b
. C.

1
log
2
a
P
b
. D.

1
log
2
a
P
b.
Li gii
Chn D
Ta có

4
2
11
log 2. log log
42
a
a
a
Pb b b (Do 01a
0b
).
Câu 12: Cho 0a , 0b
22
7ab ab
. Chn mnh đề đúng.
A.

2ln ln ln7ab ab . B.

1
3ln ln ln
2
ab a b .
C.

1
ln ln ln
32
ab
ab




. D.

3
ln ln ln
2
ab a b .
Li gii
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 117
Chn C
Vi 0a , 0b , ta có

2
22
79a b ab a b ab 

22
ln ln
33
ab ab
ab ab

 

 
 

1
2ln lnln ln lnln
332
ab ab
ab ab

 

 
 
.
Câu 13: Cho các s
,0ab
tha mãn
22
14ab ab
. Chn mnh đề đúng trong các mnh đề sau.
A.

22
2
log 4 log logab a b . B.

2
222
log 4 log logab a b .
C.

222
log 2 log log
4
ab
ab




. D.

222
1
log log log
16 2
ab
ab




.
Li gii
Chn A
Ta có

2
2
22 22
14 2 16 16
4
ab
a b ab a b ab ab a b ab ab

  


.

2
222222
log log 2log 2log 4 log log
4
ab
ab a b a b




.

22
2
log 4 log logab a b.
Câu 14: Cho

14
4
1
log log 1
yx
y

, vi
0,yyx
. Chn khng định đúng trong các khng định
sau?
A. 34
x
y . B. 3
x
y
. C.
3
4
x
y . D.
3
4
yx .
Li gii
Chn C
Ta có

14
4
1
log log 1
yx
y

44
log log 1yx y
44
log 1 logyyx

44
log log 4.yyx

4yyx
3
4
x
y
.
Câu 15: Vi mi s thc dương
a
b tha mãn
22
8ab ab , mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
log( ) (log log )
2
ab a b . B. log( ) 1 log logab a b
 .
C.
1
log( ) (1 log log )
2
ab a b . D.
1
log( ) log log
2
ab a b .
Li gii
Chn C
Ta có
22
8ab ab

2
28abab ab

2
10ab ab .
Hay ta có

2
log log10ab ab
2log 1 log logab a b

1
log 1 log log
2
ab a b.
Câu 16: Cho

22
22
log 1 log
x
yxy
, vi 0xy . Chn khng định đúng trong các khng định sau?
A.
x
y . B.
x
y
. C.
x
y
. D.
2
x
y .
Li gii
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 118
Chn C
Ta có

22
22
log 1 log
x
yxy
22
22
log log 2
x
yxy
22
2
x
yxy

2
0xy
x
y
.
Câu 17: Cho log 2
a
x , log 3
b
x vi
a
, b là các s thc ln hơn 1. Tính
2
log
a
b
Px .
A.
6P 
. B.
1
6
P
. C.
1
6
P
. D.
6P
.
Li gii
Chn A
Cách 1:
log 2
a
x , log 3
b
x
3
31
2
23
22
22
ab
x
ab ab b
bb
  .
Do đó
1
2
2
log log 2 log 2.3 6
ab
b
b
Px x x
   .
Cách 2:
2
log 2 1
a
xxa . log 2
a
x
, log 3
b
x
1
log
2
x
a
,
1
log
3
x
b
.
Khi đó
2
2
111
log 6
11
log 2 log
log 2.
23
a
xx
b
x
Px
a
ab
b

.
Câu 18:
Vi các s thc a , 0b bt kì, rút gn biu thc
2
21
2
2log logPab ta được
A.

2
2
log 2Pab
. B.

2
2
logPab . C.
2
2
log
a
P
b



. D.
2
2
2
log
a
P
b



.
Li gii
Chn B
Ta có:
2
21
2
2log logPab
22
22
log logab

2
2
log ab .
2014P .
Câu 19: Vi các s thc dương a , b bt kì, đặt
0,3
10
35
a
M
b



. Mnh đềo dưới đây đúng?
A.
1
log 3log log
2
M
ab . B.
1
log 3log log
2
M
ab .
C. log 3log 2 log
M
ab . D. log 3log 2 log
M
ab
.
Hướngdngii
Chn A.
0,3
10
35
a
M
b



0,3
10
5
3
a
b




3
0,5
a
b
3
30,5
0,5
1
log log log log 3log log
2
a
M
ab ab
b





Câu 20: Cho ,0, 1, 1ba baa . Khng định nào sau đây là khng định sai.
LƠP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 119
A.
1
log
1log
ab
a
a
b
. B.
1
log (1 log )
2
aa
ab b .
C.

2
1
log 1 log
4
a
a
a
b
b

. D.
2
log ( ) 4(1 log )
a
a
ab b .
Li gii
Chn C
11 1
log
log log log 1 log
ab
aaa a
a
ab a b b


.

11
log log (1 log )
22
aa a
ab ab b
.

2
1
2
11 1
log log log log 1 log
24 4
aaaa
a
aa
ab b
bb




Câu 21:
Cho các s thc dương ,,axy;
a
khác 1 . Đẳng thc nào sau đây đúng?
A.
log
log
log 10
a
a
x
x
. B.
log
log
log e
a
a
x
x
. C.
log
log
ln10
a
x
x . D.
log
log
log
x
a
x
a
.
Li gii
Chn A
Ta có
log
log
log 10
a
a
x
x
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 120
BÀI 4. HÀM S MŨ VÀ HÀM S LOGARIT
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. HÀM S MŨ
1. Định nghĩa: Cho
a0,a1. Hàm s
x
ya được gi là m s mũ cơ s
a
2. Đạo hàm ca hàm s mũ:
Vôùi moïi x ,0 a 1

xx
e'e
uu
e'u'e

xx
a'a.lna
uu
a'u'a.lna
Ví d: Tính đạo hàm các hàm sau:


x
222
4x x x x 2x
x
e
1)y e ; 2)y cos 2x.e ; 3)y 3 ; 4)y
2
3. Kho sát hàm s mũ

0, 1
x
yaa a


x
ya,a1

x
ya,0a1
Tp xác định D = R

x
y' a .lna 0, x

x
y' a .lna 0, x

 
xx
lima 0; lim a ;
xx

 
xx
lima ; lim a 0
xx
Tim cn ngang: trc Ox
BBT BBT
II. HÀM S LÔGARIT
1. Định nghĩa: Cho
0, 1aa
. Hàm s
a
ylogx
được gi là hàm s logarit cơ s
a
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 121
2. Đạo hàm ca hàm s logarit: Vi mi
0a1


1
log x '
a
x.lna
u'
log u '
a
u.ln a


1
lnx '
x
1
lnu ' .u'
u
Ví d: Tính đạo hàm các hàm sau




x
2
24
lnx e 1
1)y ln x x ; 2)y ; 3)y log ; 4)y log ln(cosx)
2x x
4. S biến thiên và đồ th hàm s logarit
ylogx,a1
a
y log x,0 a 1
a
Tp xác định D =
0;

1
y' 0, x 0
x.lna
Hàm s đồng biến trên D

1
y' 0, x 0
x.lna
Hàm nghch biến trên D
 

lim y ; limy ;
x
x0
 

lim y ; limy ;
x
x0
Tim cn đứng: trc Oy
BBT
BBT
B. CÂU HI TRC NGHIM
Dng 1. Tìm tp xác định, tp giá tr ca hàm s
Câu 1: Tp xác định ca hàm s
2
log 10 2yx
A.
;2
B.
5;
C.
;10
D.
;5
Li gii
Chn D
Hàm s xác định
10 2x 0 x 5 D ;5
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 122
Câu 2: Tp xác định ca hàm s
2
log 2
y
xx
A.

2; 0D B.
\0 D C.

;2 0;
 D D.
D
Li gii
Chn C
Hàm s đã cho xác định
2
0
20
2

x
xx
x
. Vy

;2 0;
 D
Câu 3: Hàm s
x1
ylog
x. xác định khi và ch khi:
A.
x1
x2
B.
x1
C.
x0
D.
x2
Li gii
Chn A
Hàm s
x1
ylog x
xác định khi
x0 x0
x1
x10 x 1
x2
x11 x 2








Câu 4: Cho
0a1.
Tìm mnh đề đúng trong các mnh đề sau
A. Tp giá tr ca hàm s
x
ya
B. Tp xác định ca hàm s
a
ylogx
C. Tp xác định ca hàm s
x
ya
D. Tp giá tr ca hàm s
a
ylogx
Li gii
Chn D
Hàm s
a
ylogx
có tp giá tr
Câu 5: Tp xác định ca hàm s
A. B. C. D.
Li gii
Chn D
Hàm s đã cho xác định Vy .
Câu 6: Hàm s
xx
2
ylog4 2 m
có tp xác định là
thì
A.
1
m
4
B.
m0
C.
1
m
4
D.
1
m
4
Li gii
Chn D
Hàm s có tp xác định là
xx xx
42m0,x m24 x 
Đặt

x2
t0
1
t2 0 mtt t0 mmaxft m .
4

Câu 7: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m để hàm s
2
ylnx 2mx4

xác định vi mi
x.
A.

m;22; B.
m2;2
C.
m2;22; D.
m2;2
Li gii
2
2
ylog32xx
D1;3
D0;1
D1;1

D3;1
2
32xx 0 3 x1.
D3;1
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 123
Chn D
Hàm s xác định vi mi
22
xx2mx40,x 'm402m2 
Dng 2. Tính đạo hàm và gii hn
Câu 1: Hàm s

2
1
863ln2


xx
yx
đạo hàm ca hàm s nào sau đây?
A.
2
1
8

x
x
y
B.
2
1
2
x
x
y
C.
2
331
2
x
x
y
D.
2
331
8
x
x
y
Li gii
Chn A
Câu 2: Đạo hàm ca hàm s
1
2
x
x
y
A.
x
1x1ln2
y'
4

B.
x
1x1ln2
y'
2

C.
x
x
y'
4
D.
x
x
y'
2

Li gii
Chn B

xx
xx
2 x 1 2 ln 2 1 x 1 ln 2
y'
42
 

Câu 3: Đạo hàm ca hàm s
1
9
x
x
y
A.

2
12 1ln3
'.
3
x
x
y

B.
2
11ln3
'.
3
x
x
y

C.
12 1ln9
'.
3
x
x
y

D.
12 1ln3
'.
3
x
x
y

Li gii
Chn A



 
222
1'.9 9 '. 1
99 1ln912 1ln3
'.
993
xx
xx
xxx
xx
xx
y



Câu 4: Tính đạo hàm ca hàm s
3
log 2 2 .yx
A.

1
y'
2x 2 ln3
B.
1
y'
x1
C.

1
y'
x1ln3
D.
1
y'
2x 2
Li gii
Chn C
Ta có

2x 2 '
1
y' .
2x 2 ln 3 x 1 ln 3


Câu 5: Cho hàm s
3
log (2 1)yx
, ta có:
A.
1
21
y
x
. B.
1
(2 1)ln 3
y
x
. C.
2
(2 1)ln 3
y
x
. D.
2
21
y
x
.
Li gii
Chn C
Câu 6: Đạo hàm ca hàm s
2
1
log
y
x
là:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 124
A.
'
2
ln 2
.
ln
y
x
x

B.
'
2
ln 2
.
ln
y
x
x
C.
'
2
2
ln 2
.
log
x
y
x

D.
'
2
2
ln 2
.
log
x
y
x
Li gii
Chn A

'
2
'
22
log
ln 2
ln ln
x
y
x
xx

Câu 7: Kết qu tính đạo hàm nào sau đây sai?
A.

33ln3
xx
B.

10 10 ln10
xx
C.

3
1
log
ln 3
x
x
D.

22
x
x
ee
Li gii
Chn D
Ta có

22
2
x
x
ee
, suy ra D sai.
Câu 8: Cho hàm s
2
.
x
f
xxe
Bt phương trình
0fx
có tp nghim là:
A.

2; 2 B.
;2 0;
 C.
;0 2;
 D.
0; 2
Li gii
Chn D

2
2
2
'02002

x
xx
fx xx x
e
Câu 9: Đạo hàm ca hàm s

2
ln 2
1
x
yx
x

là:
A.

2
3ln 2
.
1
x
x
B.

2
13ln 2
.
1
xx
x

C.

1
ln 2 .
1
x
x
D.


2
3ln 2 ln 2
.
1
1
xx
x
x

Li gii
Chn B



'
22
3ln 2
321 1
ln 2 .
12 1
11
x
x
yx
x
xx
xx





Câu 10: Đạo hàm ca hàm s
21ln1yx x là.
A.

21
2ln 1
1
x
x
x

. B.
2ln 1xx
. C.
21
2
1
x
x
x
. D.

21
2ln 1
1
x
x
x

.
Li gii
Chn A





121
21.ln1 21.ln1 2.ln1 21. 2ln1
11
x
yx xx x xx x
x
x



Câu 11: Đạo hàm ca hàm s
2
1
log
ln
x
y
x



là:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 125
A.

ln 1
.
1ln2
x
xx
xx

B.

ln 1
.
1ln ln2
x
xx
xx
C.

ln 1
.
1ln2
x
xx
x
D.

ln 1
.
1ln2.ln
x
xx
x
xx

Li gii
Chn D
Ta có:

'
'
1
ln 1
ln
.
1
1ln2.ln
ln 2
ln
x
x
xx
x
y
x
x
xx
x





Câu 12: Cho hàm s

2
xa
fx 2 và f'1 2ln2.

Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
2a0
B.
0a1
C.
a1
D.
a2
Li gii
Chn A
Ta có

2
xa a1 a1
f' x 2x.2 ln2 f'1 2ln2.2 2ln2 2 1 a 1


Câu 13: Cho hàm s
1
lny
x
. H thc nào sau đây đúng?
A.
'0
y
ey
B.
'0
y
ey
C.
.' 0
y
ey
D.
2
1
.'
y
ey
x
Li gii
Chn A
Ta có
/
2
11 1 1
'.
1
yx
x
xx
x




,
1
1
ln ' 0
yy
x
ee ye
x

Dng 3. Sonh, Đẳng thc, bt đẳng thc
Câu 1: Khng định nào sau đây là khng định sai?
A.
2,3 2,3
10 12
.
11 11
 
 
 
B.
22
78
.
99




C.

3,1 3,1
2,5 2,6 .

D.

7,3 7,3
3,1 4, 3 .
Li gii
Chn A
Dùng tính cht:
,1
0
xx
ab
ab ab
x

Câu 2: Nếu
1
743 743
a

thì
A.
1a
B.
1a
C.
0a
D.
0a
Li gii
Chn D
BPT
11
743 743 1 1 0


a
aa
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 126
Câu 3: Cho


vi
,.
Mnh đề nào dưới đâyđúng?
A.  B.
 C.
 D. 
Li gii
Chn A
Câu 4: Cho
0,3 3
log 0,07; log 0, 2.MN
Khng định nào sau đây là khng định đúng?
A.
0.NM
B.
0.
M
N
C.
0.NM
D.
0.MN
Li gii
Chn B
+ Ta có:
0,3
00,31
log 0, 07 0
00,071
M



3
31
log 0, 2 0
00,21
N


+ Suy ra:
0
M
N
Câu 5: Mnh đềo dưới đây sai?
A.
2017 2018
21 21
. B.
2019 2018
22
11
22





.
C.

2018 2017
31 31
. D.
21 3
22
.
Li gii
Chn C
Do
2018 2017
311

nên
2018 2017
31 31
.
Câu 6: Cho Trong các mnh đề sau, mnh đề nào đúng?
A. B. C. D.
Li gii
Chn D
Câu 7: Có kết lun gì v a nếu

31
21 21aa

1
A.

1
;1 ;0
2
a




B.

1
;1 0;
2
a




C.

1
;1 ;0
6
a




D.
;2 1;0a 
Li gii
Chn A
Điu kin xác định:
1
210 .
2
aa
Ta có:






2
333
12 1 1
11
100
21
21 21 21
aaa
a
aaa

 

0a1; , .
a
a
a

a
aaa0
aa

aa
aa
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 127
Lp bng xét du ta được:
1
0
2
1
a
a


.
Câu 8: Trong các bt đẳng thc sau, bt đẳng thc nào sai?
A.
22
log 5 log
B.
21
21
log log e
C.
31
31
log log 7
D.
7
log 5 1
Li gii
Chn C
Ta có:
311 do đó
31
31
7log log7.
 
Câu 9: Cho
01a
,
1b
log 2
a
M
,
2
logNb
. Khi đó khng định nào sau đây đúng?
A.
0M
0N
. B.
0M
0N
. C.
0M
0N
. D.
0M
0N
.
Li gii
Chn D
Câu 10: Vi nhng giá tr nào ca
a
thì

21
33
11aa

?
A.
12a
. B.
2a
. C.
1a
. D.
01a
.
Li gii
Chn A

21
33
21
33
11aa



0111 2aa
.
Câu 11: Nếu
19 15
57
aa<
()()
log 2 7 log 2 5
bb
+> +
thì:
A. 1, 0 1ab B. 01,1
ab C. 01,01
ab D. 1, 1ab
Li gii
Chn B
19 15
57
aa
vì mũ không là s nguyên nên
0a
. Mt khác
19 15
57
nên
10 1
aa
log27log25
bb
để có nghĩa thì
10
b
27 25
nên
1b
Câu 12: Cho các s thc a,b tha mãn
1.ab
Chn khng định sai trong các khng định sau:
A.
log log
ab
ba
B.
log log
ab
ba
C.
ln lnab
D.
1
2
log 0
ab
Li gii
Chn A
Cho
4; 2abta có:
1
log ; log 2
2
ab
ba
nên A sai.
Câu 13: Cho a, b là các s thc dương, tha mãn
4
3
3
4
aa
bb
12
log log .
23
Mnh đềo dưới đây đúng?
A. a1,0b1 B. 0a1,b1
 C. 0a1,0b1
 D. a1,b1
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 128
Ta có
4
3
3
4
34
aa 0a1do
43




Mt khác
bb
12 21
log log b 1 do
23 32




Câu 14: Cho hai s thc ab sao cho vi
54
aa
34
log log
45
bb
 
 
 
. Trong các mnh đề sau mnh đề
nào là đúng?
A. 1; 1 .ab B. 1; 0 1ab. C. 01;1.ab
 D.
01;01.ab
Li gii
Chn C
Ta có
54
54
01a
aa



34
45
1
34
log log
45
bb
b

 
 
 
.
Vy
01;1.ab
Câu 15: Cho
21 21
ab

. Kết lun nào sau đây đúng?
A. ab . B. ab
. C. ab
. D. ab .
Li gii
Chn B
Do
0211
nên hàm s mũ
21
x
y
nghch biến trên
và ta có:
21 21
ab

ab
Câu 16: Tìm tp tt c các giá tr ca a để
752
21
aa
A.
0a1
B.
52
a
21 7
C.
a1
D.
a0
Li gii
Chn A
2
5
752
21
7
21
aaaa0a1
Câu 17: Cho p, q là các s thc tha mãn
2p q
p2q
1
m,ne,
e




biết mn. So sánh
p và q
A.
pq
B.
p
q
C.
pq
D.
p
q
Li gii
Chn D
Ta có
2p q
q2p p2q
1
me,ne.
e





mn
nên
q2p p2q q p.

Câu 18: Cho
a1.
Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
32
a
1
a
B.
3
5
1
a
a
C.
1
3
aa D.
2016 2017
11
aa
Li gii
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 129
Chn B
Do
a1
vưới mn thì
mn
aa
Do
3
5
5
11
35a
a
a

Câu 19: Cho
0a1.
Khng định nào đúng?
A.
2
3
1
a
a
B.
32
a
1
a
C.
1
3
aa D.
2017 2018
11
aa
Li gii
Chn A
Phương pháp: Xét hàm s có dng
x
ya,a0,a1:

+ Nếu
0a1
hàm s nghch biến trên
;

+ Nếu
a1
: hàm s đồng biến trên
;

Cách gii: Vi
0a1:
223
323
111
aaa0a1
aaa

(luôn đúng). Vy phương án A đúng.
3
32
a
1a1a1
a
 
(Loi). Vy phương án B sai.
11
1
33
2
aaaaa1 (Loi). Vy phương án C sai.
2017 2018
2017 2018
11
aa a1
aa

(Loi). Vy phương án D sai.
Câu 20: Chn mnh đề sai trong các mnh đề sau:
A. Khi
0x
thì
2
22
log 2 log .
x
x
B. Khi
01a
bc
thì .
bc
aa
C. Vi
ab
thì
log log 1.
ab
ba
D. Điu kin để
2
x
có nghĩa là
0.x
Li gii
Chn C
Đáp án C sai vì vi
1log
log 1 log
log 1
a
ba
b
b
ab a b
a

Câu 21: Cho a là s thc dương khác 1. Xét hai s thc
12
,
x
x
. Phát biu nào sau đây đúng?
A. Nếu
12
x
x
aa thì
12
.
x
x
B. Nếu
12
x
x
aa thì
12
.
x
x
C. Nếu
12
x
x
aa thì

12
10.axx D. Nếu
12
x
x
aa thì

12
10.axx
Li gii
Chn C

12
12
xx
12
12
xx
12
a1:a a x x
a1x x 0.
a1:a a x x



Dng 4. GTLN và Gtnn ca hàm s
Câu 1: Tìm giá tr nh nht ca hàm s
2
x
yx e trên
0; 4 .
A.

0;3
min y e.
B.

0;3
min y 0.
C.

2
0;3
min y 2e .
D.

4
0;3
min y 2e .
Li gii
Chn A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 130
Em có
x
yex1,y0 x10;4.


Khi đó
4
y0 2,y1 e,y3 2e. 
Vy

0;3
min y y 1 e.
Câu 2: Tìm giá tr ln nht ca hàm s trên đon
A. B. C. D.
Li gii
Chn B
Xét hàm s trên đon , ta có Suy ra hàm s đã cho là
hàm s đồng biến trên . Khi đó
Câu 3: Giá tr ln nht ca hàm s
2
2e
x
yx
trên
1; 3
A. e . B.
0
. C.
3
e . D.
4
e .
Li gii
Chn C

2
2
22e 2ee 2
xxx
y
xx xx

.
0
0
2
x
y
x

. Ta có:
3
13;3e;20yy y
.
Vy GTLN ca hàm s

2
2e
x
yx
trên
1; 3
3
e .
Câu 4: Giá tr ln nht M và giá tr nh nht m ca hàm s
ln
yxx trên đon
1
;
2
e
e
ln lượt là
A.

1
,ln2
2

M
em e
e
B.
1
,
2
Mem
e
C.

1
1
ln 2 ,
2
 
M
em e
e
D.
1
,
Mem
e
Li gii
Chn D
111
'1.ln . ln 10 ln 1 ;
2

yxxx x x e
xee
Ta có

1ln21 11 1
;; ; min
22

  


yyeeyMMaxyemy
ee ee e
Câu 5: Giá tr nh nht, giá tr ln nht ca hàm s
lnyx x
trên đon
1
;
2
e
ln lượt là
A. 1 và
1e
B. 1 và e C.
1
ln 2
2
1e
D.
1
1
ln 2
2
Li gii
Chn A
Ta có:
11
'1 0 0 1
x
yx
xx
 
. Ta

11
ln 2; 1 1; 1
22
yyy
ee




1; 1Maxy e Miny
2x
yxe
0;1 .

x0;1
max y 2e

2
x0;1
max y e 1

2
x0;1
max y e

x0;1
max y 1
2x
yxe
0;1
2x
y ' 1 2e 0 x 0;1 .
0;1

2
0;1
max y y 1 1 e .

LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 131
Câu 6: Giá tr ln nht ca hàm s
2lnyx x
trên đon
2; 3
A.

2;3
max 4 2 ln 2y
B.

2;3
max 1
y
C.

2;3
max
ye
D.

2;3
max 2 2 ln 2 y
Li gii
Chn C
Xét hàm s:

2lnyx xtrên
2;3

' 2 ln 1 1 ln yx x x

'01ln0ln1 2;3  yx x x xe
(2) 4 2ln 2; ( ) ; (3) 6 3ln3yyeey 
Vy

2;3
max yye e
Câu 7: Giá tr ln nht
M
và giá tr nh nht m ca hàm s
2
2lnyx x
trên
1
e;e
A.
2
e2M 
,
2
e2m

. B.
2
e2M
, 1m .
C.
2
e1M
,
1m
. D.
2
e2M
,
1m
.
Li gii
Chn D
ĐKXĐ:
0x
2
2ln
y
xx
2
2yx
x

2
22x
x
0y
2
22
0
x
x

2
220x
1x
 1
x
1
e;e
Ta có:
11y ,
2
ee2y ,
-1 2
ee2y
2
e2M,
1m
.
Câu 8: M là giá tr ln nht, m là giá tr nh nht ca hàm s
2
yx 4ln1x

trên đon

2; 0 Tích M.m
A. 0. B.
14ln2.
C.
4ln2 1.
D.
4ln2.
Li gii
Chn A
2
42x2x4
y2x
1x 1x



Cho

2
x1 2;0
y 0 2x 2x 4 0
x2 2;0

 

f114ln2
;
f2 44ln3
;
f0 0
Trong các kết qu trên, s nh nht là: 1 – 4ln2, s ln nht là: 0
Vy,

2;0
mminy14ln2

khi x = –1;

2;0
Mmaxy0
khi x = 0
Suy ra M.m = 0
Câu 9: Gi
M
,
N
ln lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
2
.
x
yxe
trên đon

1;1 . Tính
tng
M
N
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 132
A.
3MN e
. B.
M
Ne
. C.
21
MN e
. D.
21MN e .
Li gii
Chn B
Ta có
2
22


xxx
yxexexe x.
Cho


0
020
2
 
x
x
N
yxex
x
L
.
Khi đó
1ye;

1
1 y
e
;
00
y .
Do đó

1;1
Min 0
my
ti
0x

1;1
Max
M
ye
ti
1
x
.
Vy

M
me
.
Dng 5. Nhn dng đồ th
Câu 1: Cho a là s thc dương khác 1. Hình nào sau đây là đồ th ca hàm s mũ
A. B.
C. D.
Li gii
Chn C
Hàm stp xác định là và tp giá tr
Câu 2: Biết (C
1
), (C
2
) hình bên là hai trong bn đồ th ca các hàm s

11
3, , 5,
3
2







x
x
x
x
yy yy
. Hi (C
2
)đồ th ca hàm s nào sau đây?
x
ya?
x
ya
0;
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 133
A.

3
x
y
B.
1
2



x
y
C.
5
x
y
D.
1
3



x
y
Li gii
Chn A
- Ta thy (C
1
), (C
2
) đều có hướng đi lên khi x tăng
(C
1
), (C
2
) đồng biến
x
.
- Mà hàm
x
ya
đồng biến khi
1a
, nghch biến khi
01a
. Do đó ta loi hàm
1
2



x
y
1
3



x
y
.
- Xét khi
0x
thì (C
1
) trên (C
2
)

12
yC yC
. Mà



2
53 : 3.
xx
x
Cy
Câu 3: Đối xng qua đường thng
yx
ca đồ th hàm s
x
2
y5
đồ th nào trong các đồ th có phương trình
sau đây?
A.
5
ylogx
B.
2
5
ylogx
C.
5
ylogx
D.
5
1
ylogx
2
Li gii
Chn A
Ta đưa hàm s v dng:

x
x
2
y5 5.
Da vào lý thuyết “Hai hàm s
x
a
ya,ylogx
đồ th đối xng nhau qua đường phân giác ca góc
phn tư th nht y = x”
Hoc thay x = y và y = x ta có

y
5
x5 ylogx

Câu 4: Đường cong trong hình bên dưới là đồ th ca mt hàm s trong bn hàm
s được lit kê bn phương án A, B, C, D dưới đây. Hi hàm s đó là
hàm s nào?
A.
x
1
y
2



B.
2
yx
C.
2
ylogx
D.
x
y2
Li gii
Chn D
Da vào đồ th hàm s ta thy hàm s có tp xác định là
đồng biến trên
Do đó chđáp án D tha mãn
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 134
Câu 5: Tìm a để hàm s
log 0 1
a
xa
đồ th là hình bên
A.
2a
B. 2a
C.
1
2
a
D.
1
2
a 
Li gii
Chn A
Đồ th hàm s đi qua đim
2
2; 2 log 2 2 2 2
a
aa
Câu 6: Nếu gi
1
G đồ th hàm s
x
ya
2
G đồ th hàm s
a
ylogx
vi 0a1. Mnh đề nào
dưới đây đúng?
A.

1
G

2
G
đối xng vi nhau qua trc hoành.
B.

1
G

2
G đối xng vi nhau qua trc tung.
C.

1
G

2
G
đối xng vi nhau qua đưng thng
yx
D.

1
G

2
G đối xng vi nhau qua đường thng
yx
Li gii
Chn C
Mi đim
m
1a2
A m;n G a n m log n B n;m G
Hai đim A và B đối xng nhau qua đường thng
yx
Do đó

1
G

2
G đối xng nhau qua đường thng
yx
Câu 7: Cho hai hàm s
,
xx
y
a
y
b
vi
,ab
là hai s thc dương khác 1, ln lượt có đồ th
1
()C
2
()C
như hình bên. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
01ab
B.
01ba

C.
01ab

D.
01ba
Li gii
Chn B
- Đồ th hàm s
1
()C
đồng biến nên
'ln0 1
x
ya a a

- Đồ th hàm s
2
()C
nghch biến nên
'ln00 1
x
yb b b

. Do đó
01ba
Câu 8: Cho hai hàm s
log , log
ab
yxyx
đồ th
12
,,CCđược v trên cùng mt phng ta độ. Mnh
đề nào sau đây đúng?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 135
A.
01.ba
B.
01.ba

C.
01.ab

D.
01.ab
Li gii
Chn B
Ta thy đồ th hàm s
log
b
x
nghch biến nên
01b
Ta thy đồ th hàm s
log
a
x
đồng biến nên 1a
Câu 9: Cho
0, 0, 1.abb Đồ th các hàm s
x
ya
log
b
yx
cho nhưnh v bên. Mnh đề nào sau
đây là đúng?
A.
1; 0 1.ab
B.
10;1.ab
C.
01;01.ab

D.
1; 1.ab
Li gii
Chn A
Quan sát đồ th ta thy. Hàm s
x
ya
đồng biến 0a. Hàm s
log
b
yx
nghch biến
01b
Câu 10: Cho đồ th hàm s
x
ya
log
b
yx
như hình v:
Khng định nào sau đây đúng?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 136
A.
1
0
2
ab
B.
01ab
C.
01ba
D.
1
01,0
2
ab
Li gii
Chn B
+ Xét hàm s
x
ya
đi qua

0;1
suy ra đồ th hàm s (1) là đường nghch biến, suy ra
01a
.
+ Xét hàm s
log
b
yx
đi qua (1;0) suy ra đồ th hàm s (2) là đường đồng biến suy ra b>1.
Suy ra
01.ab
Câu 11: Cho 3 s
, , 0, 1, 1, 1.abc a b c
Đồ th các hàm s
,,
xxx
yayayc
được cho trong hình
v dưới.
Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
bca
B.
acb
C.
abc
D.
cab
Li gii
Chn B
Ta có hàm s
;
xx
ybyc
đồng biến, hàm s
x
ya
nghch biến nên
1; , 1abc
. Thay
10x
, ta
10 10
bc bc
Câu 12: Cho các hàm s
x
ya
,
log , log
bc
yxyx
đồ th như hình v.
Chn khng định đúng.
A.
cba
. B.
bac
. C.
abc
. D.
bca
.
Li gii:
Chn A
Hàm s
x
ya
đồ th có dáng đi xung t trái sang phi nên nghch biến trên
do đó
01a
(1).
Hai hàm s
log
b
yx
log
c
yx
đồ th có dáng đi lên t trái sang phi nên đồng biến trên khong

0; 
do đó
1, 1baca 
(2).
Quan sát đồ th ta thy vi
01x
thì
log log
bc
xx
, suy ra
cb
.
Quan sát đồ th ta thy vi
1x
thì
log log
bc
xx
, suy ra
cb
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 137
Suy ra
1 bc
(3)
T (1), (2), (3) suy ra
cba
.
Cách khác:
D thy
1a
,
1b
,
1c
. Nên
a
là s nh nht.
Xét đường thng
1y
ct đồ th hai hàm s
log
b
yx
log
c
yx
ln lượt ti các đim

;1Bb

;1Cc
(hình v). D thy
cb
vy
cba
.
Câu 13: Hình v dưới đây v đồ th ca
3
hàm s mũ.
Khng định nào dưới đây đúng?
A.
abc
. B.
1ac b
. C.
1bc a
. D.
bac
.
Li gii
Chn B
Da vào đồ th hình
5
ta thy đồ th ca hàm s
x
yb
là nghch biến nên
01b
.
V đường thng
1x
ta có đường thng
1x
ct đồ th hàm s
x
ya
ti đim có tung độ
ya
ct đồ th hàm s
x
yc
ti đim có tung độ
yc
. Khi đó đim giao vi
x
ya
nm trên đim giao
vi
x
yc
nên
1ac
. Vy
1ac b
.
Câu 14: Trên hình 2.13, đồ th ca ba hàm s
xxx
ya,yb,yc
(a, b, c là ba s dương khác 1 cho trước) được
v trong cùng mt mt phng ta độ. Da vào đồ th và các tính cht ca lũy tha, hãy so sánh ba s a, b và
c
A.
cba
B.
bca
C.
acb
D.
abc
Li gii
Chn C
Da vào hình v, ta thy rng: Hàm s
x
ya
là hàm s đồng biến; hàm s
xx
yb,yc
là hàm s
nghch biến.
Suy ra
a1

0b1
ab;c.
0c1



Gi

B
B1;y
thuc đồ th hàm s
x
B
1
yb y ;
b

LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 138

C
C1;y
thuc đồ th hàm s
x
C
1
yc y .
c

Da vào đồ th, ta có
BC
11
yy cb.
bc

Câu 15: Cho a, b, c là ba s thc dương và khác 1. Đồ th các hàm s
abc
ylogx,ylogx,ylogx
được
cho trong hình v bên. Mnh đề nào dưới đây là mnh đề đúng?
A.
abc
B.
cab
C.
cba
D.
bca
Li gii
Chn B
Hàm s
c
ylogx
nghch biến
0c1,
các hàm
ab
y log x, y log x
đồng biến nên
a;b 1
Chn
ab
x 100 log 100 log 100 a b c a b.
Câu 16: Cho ba s thc dương a, b, c khác 1. Đồ th các hàm s
xx
a
ylogx,yb,yc
được cho trong hình
v bên. Mnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
bca
B.
abc
C.
cab
D.
cba
Li gii
Chn D
Hàm s
x
yc
là hàm nghch biến nên
01c
.
Hàm s
x
yb
là hàm đồng biến nên
1b
Hàm s
log
a
yx
là hàm đồng biến nên
1a
. Ly đối xng đồ th hàm
log
a
yx
qua đường phân
giác th nht ca mt phng to độ ta có đồ th hàm s
x
ya
tăng nhanh hơn đồ th hàm s
x
yb
nên
ab
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 139
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bn
Phương trình mũ cơ bn là phương trình có dng
0; 1
x
aba a

- Nếu
0b
thì phương trình có duy nht mt nghim
log
a
x
b
;
- Nếu
0b
hoc
0b
thì phương trình vô nghim.
2. Cách gii mt s phương trình mũ cơ bn
a) Đưa v cùng cơ s
 
 
,0,1
Ax Bx
aa AxBxaa
b) Phương pháp đặt n ph
2
.0
xx
aa


. Đặt
,0
x
tat
c) Logarit hóa
Nếu phương trình cho dng
()
01
0
() log
fx
a
a
abb
f
xb
ì
ï
ï
ï
ï
= >
í
ï
ï
ï=
ï
î
.
II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bn: là phương trình có dng
log
a
x
b
vi
01a
log
b
a
x
bxa
2. Cách gii mt s phương trình mũ cơ bn
a) Đưa v cùng cơ s
 
 
0, 1
() 0( () 0)
log log
aa
aa
f x hoac g x
fx gx
fx gx



b) Phương pháp đặt n ph
2
log .log 0
aa
xx


. Đặt
log , 0
a
txx
c) Mũ hóa


() 0
log
a
b
fx
fx b
f
xa

B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. Phương pháp đưa v cùng cơ s
Câu 1: Phương trình
21
232
x
có nghim là
A.
5
2
x
. B.
2x
. C.
3
2
x
. D.
3x
.
Li gii
Chn B
Ta có
21
232
x
215x 
2x
.
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 140
Câu 2:
Phương trình
2
23
1
1
7
7
xx
x




có bao nhiêu nghim?
A.
0
. B. 1 . C. 2 . D.
3
.
Li gii
Chn C
2
23
1
1
7
7
xx
x




2
23 1
11
77
x
xx
 
 
 
2
23 1
x
xx

2
40xx

117
2
x

Câu 3:
Phương trình

2
2
log log 2xx
có bao nhiêu nghim?
A.
0
. B. 2 . C.
3
. D. 1 .
Li gii
Chn A

2
2
log log 2xx
2
22
log log 2
0
xx
x
2
2
0
xx
x

2
20
0
xx
x

1
2
1
2
2
0
x
x
x
x


.
Vy phương trình đã cho có
1
nghim.
Câu 4:
S nghim ca phương trình
2
31
3
log 4 log 2 3 0xx x

A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Li gii
Chn C
Điu kin
2
0
40
4
0
230
3
2
x
xx
x
x
x
x






.
Phương trình đã cho
2
33
log 4 log 2 3xx x
2
423xxx
2
2x 3 0x
1
3
x
x
.
Kết hp điu kin ta được
1x
.
Câu 5:
Tp nghim
S
ca phương trình
31
47 16
0
74 49
xx



A.
1
2
S




. B.
2S
. C.
11
;
22

. D.
1
;2
2
S




.
Li gii
Chn A
Ta có
31
47 16
0
74 49
xx




21 2
44
77
x
 

 
 
212x

1
2
x

.
Câu 6:
Cho phương trình

2
12
743 2 3
x
xx


. Mnh đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình có hai nghim không dương.
B. Phương trình có hai nghim dương phân bit.
C. Phương trình có hai nghim trái du.
D. Phương trình có hai nghim âm phân bit.
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 141
Li gii
Chn A
Do

2
743 2 3
nên phương trình ban đầu tương đương vi



2
21 2
23 23
xx x

2
222 2xx x
2
20xx

0
1
2
x
x
.
Vy phương trình đã cho có hai nghim không dương.
Câu 7:
Nghim ca phương trình
22
log 1 1 log 3 1xx

A.
3x
. B.
2x
. C.
1x
. D.
1x
.
Li gii
Chn A
Điu kin xác định
1
10
1
1
310
3
3
x
x
x
x
x





.
Khi đó phương trình tr thành

22
log2 2 log31 2 231 3 3xxxxxx
.
Vy phương trình có nghim
3x
.
Câu 8:
S nghim thc ca phương trình
 
3
31
3
3log 1 log 5 3xx

A.
3
B. 1 C. 2 D.
0
Li gii
Chn B
Điu kin:
5x
 
3
31
3
3log 1 log 5 3xx
33
3log 1 3log 5 3xx


33
log 1 log 5 1xx


3
log 1 5 1xx


153xx
2
620 3 7xx x
Đối chiếu điu kin suy ra phương trình có
1
nghim
37x 
Câu 9:
Nghim ca phương trình
11
1
1
2.4. 16
8
x
xx
x

A.
3.x
B.
1.x
C.
4.x
D.
2.x
Li gii
Chn D
 
2131
11 1 4
1
1
2.4. 16 2.2 .2 2
8
xx
x
xxx x
x




12 1 3 1 4 2.xx xxx
Câu 10:
Tng tt c các nghim ca phương trình
22
21 2
2.3 18
xx xx
bng
A. 1 . B. 1
. C. 2 . D. 2 .
Li gii
Chn C
Ta có
2
22 2
21 2 2 2
2.3 186 36 22 220
xx
xx xx
xx xx

 .
Phương trình
2
220xx
có hai nghim pn bit.
Theo định lí vi-et tng hai nghim ca phương trình là:
12
2xx
.
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 142
Câu 11:
Tng các nghim ca phương trình
 
2
3
3
log 2 log 4 0xx

2Sab
. Giá tr ca biu
thc
.Qab bng
A. 0. B. 3. C. 9. D. 6.
Li gii
Chn D
Điu kin:
24x
.
Vi điu kin trên, phương trình đã cho tương đương

33 3
2log 2 2 log 4 0 log 2 4 0 2 4 1x x xx xx   


2
2
241
670
32
241
3
690
xx
xx
x
xx
x
xx






So li điu kin, ta nhn hai nghim
12
32; 3xx

Ta được:
12
62 6;1Sxx a b
. Vy .6Qab
.
Dng 2. Phương pháp đặt n ph
Câu 1: Cho phương trình
1
42 30
xx

. Khi đặt
2
x
t
, ta được phương trình nào dưới đây?
A.
2
230t 
. B.
2
30tt

. C.
430t
. D.
2
230tt
.
Li gii
Chn D
2
1
4 2 30 2 2.2 30
xx x x

Đặt

20
x
tt
. Phương trình tr thành
2
230tt

Câu 2:
Gi
1
x
,
2
x
là hai nghim ca phương trình
2
22
log 3log 2 0xx

. Tính
12
P
xx
.
A.
6
. B.
3
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Chn A
2
22
log 3log 2 0xx
21
22
log 1 2
log 2 4
xx
xx




.
Vy
12
24 6Pxx
.
Câu 3:
Tng bình phương tt c các nghim ca phương trình
2
232
log 3log .log 3 2 0xx

A.
20
B.
18
C.
6
D.
25
Li gii
Chn A
22
232 22
log 3log .log 3 2 0 log 3log 2 0xx xx
21
22
12
22
log 1 2
20
log 2 4
xx
xx
xx






Câu 4:
Phương trình
21 1
65.610
xx
 có hai nghim
1
x
,
2
x
. Khi đó tng hai nghim
12
x
x
là.
A. 5. B. 3. C. 2. D. 1.
Li gii
Chn D
1
2
2
21 1 2
62
65.6
6 5.6 1 0 1 0 6 5.6 6 0
66
63
x
x
x
xx xx
x

  
.
12 12
12
6.6 3.2 6 6 1
xx xx
xx
.
Câu 5:
Tng tt c các nghim ca phương trình
22
32.3 270
xx

bng
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 143
A. 18. B. 27. C. 9. D. 3.
Li gii
Chn D
Ta có:
22 2
3 2.3 27 0 3 18.3 27 0
xx x x

.
Đặt

3 0
x
tt
. Phương trình tr thành:
2
18 27 0.tt

Nhn thy phương trình có hai nghim phân bit
12
; 0tt
.
Khi đó,
12
.27tt
suy ra
12 12
12
3.3 27 3 27 3
xx xx
xx
.
Câu 6:
Gi
T
là tng các nghim ca phương trình
2
13
3
log 5 log 4 0xx

. Tính
T
.
A.
4T
. B.
5T
. C.
84T
. D.
4T 
.
Li gii
Chn C
Phương trình
3
22
13 33
3
3
log 1
3
log 5 log 4 0 log 5 log 4 0
log 4 81
x
x
xx xx
xx

.
Vy
38184T 
.
Câu 7:
Phương trình
21
96 2
x
xx

có bao nhiêu nghim âm?
A.
3
B.
0
C. 1 D. 2
Li gii
Chn B
Ta có:
21
96 2
x
xx

2
33
96 2.4 20
22
xx
xx x
 

 
 

3
1
2
3
2
2
x
x
L







3
2
log 2x
.
Vy phương trình đã cho không có nghim âm.
Câu 8:
Gi
12
,
x
x
là nghim ca phương trình
23 23 4
xx

. Khi đó
22
12
2
x
x
bng
A. 2. B.
3
. C. 5. D. 4.
Li gii
Chn B
Ta có:

23.23 1
xx

. Đặt
 
1
23,0 23
xx
tt
t

.
Phương trình tr thành:
2
1
441023tttt
t
 
.
Vi

23 23 23 1
x
tx 
.
Vi
1
23 23 23 23 23 1
xx
tx
 
.
Vy
22
12
23xx.
Câu 9:
Biết rng phương trình
2
22
log log 2018 2019 0xx

có hai nghim thc
12
,
x
x .Tích
12
x
x bng
A.
2
log 2018
B. 0,5 C. 1 D. 2
Li gii
Chn D
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 144

2
22
log log 2018 2019 0xx
.
1
Điu kin
0.x
Đặt
2
logtx . Phương trình tr thành
2
2
log 2018 2019 0.tt

2
Do
0ac
nên phương trình
2
có hai nghim
12
,.tt
Khi đó phương trình

1
có 2 nghim
12
,
x
x
tha mãn
121222
log ; logtxtx
.
Theo Vi-et ta có
12
1tt hay
212 12
log 1 2xx xx

.
Câu 10:
Tìm s nghim thc ca phương trình
22 2
24
log log 4 5 0xx

.
A.
2
B.
4
C.
1
D.
3
Li gii
Chn B
Điu kin
0x
.
Phương trình
22 2
24
log log 4 5 0xx
22 2
22
1
log log 6 0
2
xx

2
2
197
log
4
x

2
2
197
log
4
x
. Vy phương trình đã cho có
4
nghim.
Câu 11:
Cho phương trình
1
525
log 5 1 .log 5 5 1
xx

. Khi đặt
5
log 5 1
x
t
, ta được phương trình nào
dưới đây?
A.
2
10t 
B.
2
20tt

C.
2
20t
D.
2
2210tt
Li gii
Chn B
1
525
log 5 1 .log 5 5 1
xx

1
TXĐ:

0;D 
.
Ta có
 

2
1
25 5
5
1
log 5 5 log 5.5 5 log 5 1 1
2
xxx
 
.
Đặt
5
log 5 1
x
t 

0t
.
Phương trình

1
tr thành

1
.11
2
tt
2
20tt
 .
Câu 12:
Tích tt c các nghim ca phương trình
4
33 30
xx
 bng
A.
3
. B.
1
. C.
9
. D.
27
.
Li gii
Chn A
4
81
33 30 3 30
3
xx x
x

.
Đặt

30
x
tt
, phương trình đã cho tr thành:
2
81
30 30 81 0
27 3 27 3
333 1
x
x
ttt
t
tx
tx



Vy tích tt c các nghim ca phương trình là
1.3 3
.
Câu 13:
Biết phương trình
2
2log 3log 2 7
x
x 
có hai nghim thc
12
x
x
. Tính giá tr ca biu thc

2
1
x
Tx
A.
64T
. B.
32T
. C.
8T
. D.
16T
.
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 145
Li gii
Chn D
Điu kin:
0
1
x
x
.
Ta có:
2
2log 3log 2 7
x
x 
2
2
3
2log 7
log
x
x

2
22
2log 7 log 3 0xx
2
2
log 3
1
log
2
x
x
8
2
x
x
.
1
2x
;
2
8x

2
1
x
Tx
8
2
16
.
Câu 14:
Phương trình
22
11
3.9 10.3 3 0
xx xx 
 có tng các nghim thc là:
A. 2 . B.
0
. C. 1 . D. 2 .
Li gii
Chn D
Đặt
2
1
3
x
x
t

, điu kin
0t
.
Khi đó phương trình đã cho có dng:
2
31030tt

3
1
3
t
t
Vi
2
12 2
1
33 3 11 20
2
xx
x
txxxx
x

 
Vi
2
12 2
0
11
3110
1
33
xx
x
txxxx
x


Tp nghim ca phương trình là
2; 1; 0;1S 
nên tng tt c các nghim thc là 2
.
Câu 15:
Gi
S
là tp hp tt c giá tr nguyên ca tham s m sao cho phương trình
12
16 .4 5 45 0
xx
mm

có hai nghim phân bit. Hi
S
có bao nhiêu phn t?
A.
13
B.
3
C.
6
D. 4
Li gii
Chn B
Đặt

4, 0
x
tt
. Phương trình tr thành:
22
45 450tmtm

.
Phương trình đã cho có hai nghim phân bit khi và ch khi phương trình có hai nghim
phân bit
0t
.
'0
0
0
P
S


2
2
45 0
5450
40
m
m
m


35 35
33
0
m
mm
m


335m .
m nguyên nên
4;5; 6m
. Vy
S
3
phn t.
Câu 16:
Có bao nhiêu s nguyên m để phương trình
1
4.220
xx
mm
 có hai nghim
1
x
,
2
x
tha
mãn
12
3xx
?
A. 2
.
B.
0
. C. 1 . D.
3
.
Li gii
Chn C
Phương trình
42.22 0 1
xx
mm
Đặt
2
x
t
,
0t
phương trình tr thành
2
2. 2 0 2tmtm
.
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 146
Để phương trình

1
có hai nghim
1
x
,
2
x
tha mãn
12
3xx
điu kin là phương trình

2
có hai nghim
12
, 0tt
tha mãn
12 12
12
.2.22 8
xx xx
tt

suy ra
28 4mm
.
Câu 17:
Tìm giá tr thc ca
m
để phương trình
2
33
log log 2 7 0xm x m

có hai nghim thc
12
,
x
x
tha mãn
12
81.xx
A.
4m 
B.
44m
C.
81m
D.
4m
Li gii
Chn D
Đặt
3
logtx
ta được
2
270tmtm
, tìm điu kin để phương trình có hai nghim
12
,tt

12 31 32 312 3
log log log log 81 4tt x x xx
Theo vi-et suy ra
12
4tt m m
Dng 3. Phương pháp logarit hóa, mũ hóa
Câu 1: S nghim ca phương trình

2
0,5
2log 5 6 1 0xxx



A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Li gii
Chn D
ĐKXĐ:
2
3
560
2
x
xx
x

.
Kết hp ĐKXĐ ta có:


22
0,5 0,5
2log 5 6 1 0 log 5 6 1xxx xx



212
1
560,5 540 .
4
x
xx xx
x
 
Đối chiếu vi ĐKXĐ ta thy phương trình đã cho có 2 nghim.
Vy tng các nghim ca phương trình là
97 2
Câu 2:
Tp nghim ca phương trình
2
2
log 2 1xx

A.
0
. B.
0;1
. C.
1; 0
. D.
1
.
Li gii
Chn B
Ta có:
2
2
log 2 1xx
2
22xx
0
1
x
x
.
Câu 3:
Nghim ca phương trình
log 1 2x
A.
5
. B. 21. C.
101
. D.
1025
.
Li gii
Chn C
Điu kin ca phương trình là
1x
.

2
log 1 2 1 10 101xx x
.
Vy
101x
tha mãn điu kin nên phương trình đã cho có nghim là
101x
.
Câu 4:
Tp nghim ca phương trình
2416
log log log 7xx x

là:
A.
16 .
B.
2. C.
4.
D.
22.
Li gii
Chn A
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 147
Điu kin:
0x
.
2416 2 2 2 2
11 7
log log log 7 log log log 7 log 7.
24 4
xxx xxx x  
4
2
log 4 2 16xx x  
.
Câu 5:
Tích các nghim ca phương trình
2
123
23
x
x
bng
A.
2
3log 3
. B.
2
log 54
. C. 4
. D.
2
1log3
.
Li gii
Chn B
Ta có:

2
123 2 2
222
2 3 1 2 3 log 3 2log 3. 1 3log 3 0
xx
xx x x


.
0ac 
phương trình có hai nghim phân bit
12
,
x
x
12 2 2 2 2
1 3log 3 log 2 log 27 log 54xx   
.
Câu 6:
Gi
1
,
x
2
x
là hai nghim ca phương trình
2
2
2.5 1.
xx x
Khi đó tng
12
x
x
bng
A.
5
2log2
. B.
5
2log2
. C.
5
2log2 . D.
2
2log5
.
Li gii


22
22 2
55 5
1
25
2.5 1 log 2.5 0 log 2 2 0 log 2 2 0
0
.
2log2
xx x xx x
xxxx x
x
x

 

.
Câu 7:
Phương trình
1
27 .2 72
x
x
x
có mt nghim viết dưới dng
log
a
x
b
, vi a ,
b
là các s
nguyên dương. Tính tng
Sab
.
A.
4S
. B.
5S
. C.
6S
. D.
8S
.
Li gii
Chn B
Điu kin
0x
.
Phương trình
1
27 .2 72
x
x
x
1
3
23
3.23.2
x
x
x




33
3
2
32
32
x
x
x

33
2
3
32
x
x
x

3
3
32
x
x
x

3
3
3
log 2
x
x
x


3
3
3log2
x
x
x


3
1
3log20x
x




3
3
1
log 2
x
x



2
3
log 3
xN
x
N

.
Suy ra
2
3
a
b
. Vy tng
5Sab

.
Câu 8:
Tính tng tt c các nghim thc ca phương trình
4
log 3.2 1 1
x
x

A. 2 . B. 1 . C.
5
. D.
6
.
Li gii
Chn A

1
4
log 3.2 1 1 3.2 1 4 4 12.2 4 0
xxxxx
x
 
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 148
Đặt

20
x
tt
. Phương trình tr thành:
2
12 4 0 6 4 2tt t
Vi
2
642 2 642 log642
x
tx  .
Vi
2
642 2 642 log642
x
tx  .
Tng các nghim là

22 2
log 6 4 2 log 6 4 2 log 4 2

.
Câu 9:
Phương trình
2
log 5 2 2
x
x

có hai ngim
1
x
,
2
x
. Tính
1212
P
xxxx

.
A. 11 . B.
9
. C.
3
. D. 2 .
Li gii
Chn D
Điu kin:
25
x
2
log 5 2 2
x
x

2
52 2
x
x

4
52
2
x
x

21
24
x
x
0
2
x
x
1212
2Pxx xx
Câu 10:
Tng tt c các nghim thc ca phương trình
6
log 3.4 2.9 1
xx
x

bng
A. 4 B. 1 C.
0
D.
3
Li gii
Chn B
Phương trình đã cho tương đương
2
1
22
3.4 2.9 6 3. 6. 2 0
33
xx
xxx
 

 
 
Đặt

2
,0.
3
x
tt




Khi đó ta có phương trình
2
3620tt

Hin nhiên phương trình có
2 nghim phân bit
12
,tt
dương và tha mãn
12
12 1 2
222 2
.. 1.
333 3
xx
tt x x

 


Dng 4: S Dng Tính Đơn Điu Hàm S
Câu 1: Hi phương trình
3.2 4.3 5.4 6.5
x
xx x

có tt c bao nhiêu nghim thc?
A.
0
. B. 1 . C.
3
. D. 2 .
Li gii
Chn B
Ta có:
3.2 4.3 5.4 6.5
x
xx x

234
34560
555
xxx
  

  
  
.
Xét hàm s

234
3456
555
xxx
fx
  

  
  
,
x
.

223344
3ln4ln5ln0
555555
xxx
fx
 

 
 
,
x
nên hàm s

f
x
nghch biến trên
suy ra phương trình

0fx
có nhiu nht mt nghim
1
.
Mt khác

8 22 176
1. 2 . 0
525 125
ff




nên phương trình có ít nht mt nghim thuc
khong

1;2
.

2
.
LP TOÁN THÀY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 149
T

1

2
suy ra phương trình đã cho có nghim duy nht.
Câu 2:
S nghim ca phương trình
5
log 3
2
x
x
là:
A.
3
. B. 2 . C. 1 . D.
0
.
Li gii
Chn C
Điu kin:
3x 
Đặt

5
log 3tx
53
t
x
, phương trình đã cho tr thành
253
tt
 235
tt

21
3. 1
55
tt




D thy hàm s

21
3.
55
tt
ft




nghch biến trên
11f
nên phương trình có
nghim duy nht
1t
.
Vi
1t
, ta có
5
log 3 1x 
2x
Vy phương trình có nghim duy nht
2x
.
Câu 3: Tích tt c các nghim phương trình
53 5 3
log log log log
x
xxx
bng
A.
15
. B.
20
. C.
25
. D.
30
.
Li gii
Chn A
Điu kin
0.x
Phương trình
53 5 3
log log log log
x
xxx
53 3
log log 1 log
x
xx
5
3
1
log 1 , ( 3).
log 1
xx
x

Hàm s
5
logyx
đồng biến trên
0;
, hàm s
3
1
1
log 1
y
x

nghch biến trên các
khong

0;3

3; 
. Do đó phương trình trên có ti đa hai nghim, mi khong có ti
đa mt nghim.
Vy phương trình đã cho có hai nghim là 1 và 15.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 148
BÀI 6: BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Bt phương trình mũ cơ bn
2. Cách giai bt phương trình mũ đơn gin
a) Đưa v cùng cơ s
 
 
 
01
1
fx gx
a
f
xgx
aa
a
f
xgx


b) Đặt n ph
 
2
0
fx fx
aa


.Đặt

,0
fx
ta t
c) Phương pháp logarit hóa


()
01
log
1
log
a
a
fx
a
a
f
xb
a
f
xb
b


() ()
1
() ().log
01
() ().log
b
a
fx gx
b
a
a
fx gx
ab
a
fx gx


II. BT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Bt phương pháp logarit cơ bn
2. Cách gii mt s bt phương trình logarit đơn gin
a) Đưa v cùng cơ s
 
 
 
0
log log
1
1
aa
a
fx
a
g
x
fx gx
g
xfx


b) Phương pháp mũ hóa
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 149
1
()
01
0()
log ( )



b
b
a
fx a
a
a
f
xa
fx b
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Đưa v cùng cơ s
Câu 1: Nghim ca bt phương trình
2
1
3
9
x
A.
4x
. B.
0x
. C.
0x
. D.
4x
.
Li gii.
Chn A
222
1
333224
9
xx
xx

 .
Câu 2: Tp nghim
S
ca bt phương trình
2
4
1
8
2
xx



là:
A.
;3S  . B.
1;S
 .
C.
;1 3;S 
. D.
1; 3S
.
Li gii
Chn C
Ta có
2
4
1
8
2
xx



2
43
11
22
xx
 

 
 
2
43xx

2
430xx

13xx
.
Vy

;1 3;S  .
Câu 3: Gii bt phương trình
2
4
3
1
4
x



ta được tp nghim
T
. Tìm
T
.
A.

2; 2T  . B.
2;T
 .
C.
;2T  . D.

;2 2;T
 
Li gii
Chn A
Bt phương trình

2
4
2
3
140 2;2
4
x
xx




Vy tp nghim

2; 2T .
Câu 4: Bt phương trình
24
x
có tp nghim là:
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 150
A.
2;T . B.
0; 2T . C.
;2T  . D. T .
Li gii
Chn A
2
2422 2
xx
x
.
Vy tp nghim ca bt phương trình là:
2;T
 .
Câu 5: Tìm tp nghim S ca bt phương trình
11
22
log 3 log 4x 
.
A.
3; 7S . B.
3; 7S . C.
;7S  . D.
7;S .
Li gii
Chn A
Ta có:

11
22
log 3 log 4x 
034x
 37x
.
Vy tp nghim ca bt phương trình là
3; 7S .
Câu 6:
Tìm tp nghim
S
ca bt phương trình
2
3
24
xx
A.
12S; ; . B.
1S;
 . C.
12S\; . D.

2S;.
Li gii
Chn A
Bt phương trình tương đương vi
2
32 2 2
2
22 32 320
1
xx
x
xx xx
x


.
Câu 7: Tp nghim S ca bt phương trình
2
1
5
25
x
x



A.

;2S  . B.
;1S
 . C.
1;S
 . D.

2;S .
Li gii
Chn D

2
22
1
5552
25
x
x
xx
x





.
Câu 8: Tp nghim ca bt phương trình
24
22
x
x
A.

0; 4
. B.
;4
. C.
0;16
. D.

4; 
.
Li gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 151
Chn B
Ta có
24
22 2 4
xx
xx

4x
.
Câu 9: Tp nghim ca bt phương trình
2
ln 2 ln 4 4xx
là:
A.
4
;
5




. B.
1; \ 0 . C.

4
;\0
5




. D.

4
;\0
3




.
Li gii
Chn C
Đk: 10x ;
2
ln 2 ln 4 4xx

2
2
44xx
2
15 32 16 0xx

4
3
4
5
x
x

.
Kết hp vi điu kin ta được tp nghim

4
;\0
5
S




.
Câu 9:
Tp nghim ca bt phương trình
22
log log 12 3
x
x là:
A.

0; 6 . B.
3;
. C.
;3 . D.
0;3 .
Li gii
Chn D
Ta có
22
log log 12 3
x
x
0
12 3 0
12 3
x
x
x
x

03x

.
Câu 11: Gi
S
là tp nghim ca bt phương trình
22
log 2 5 log 1xx
. Hi trong tp
S
bao nhiêu phn t là s nguyên dương bé hơn
10
?
A.
9
. B.
15
. C.
8
. D.
10
.
Li gii
Chn C
Điu kin:
250
10
x
x


1
x

.
22
log 2 5 log 1xx
25 1
x
x

6x
.
Kết hp vi điu kin ta có tp nghim ca bt phương trình:
1;S
 .
Vy trong tp
S
8
phn t là s nguyên dương bé hơn
10
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 152
Câu 12: Bt phương trình
42
log 7 log 1xx có bao nhiêu nghim nguyên?
A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 .
Li gii
Chn D
Điu kin
1x 
.

2
42
log 7 log 1 7 2 1
x
xxxx
2
60 3 2xx x.
Do điu kin nên tp nghim ca bt phương trình là
0,1S .
Câu 13: Tp nghim ca bt phương trình
ee
33
log 2 log 9
x
x
A.

3;  . B.
3; 9 . C.
;3 . D.

0; 3 .
Li gii
Chn C
ee
33
log 2 log 9
x
x
20
90
29
x
x
x
x


0
9
3
x
x
x
39x

.
Vy tp nghim ca bt phương trình là
3; 9S .
Câu 14: Tp nghim ca bt phương trình
43 43
log 9 5 log 3 1xx


A.
1;  . B.
5
;1
9



. C.
1
;1
3



. D.
15
;
39



.
Li gii
Chn B
Điu kin:
950
310
x
x


5
9
1
3
x
x

5
9
x
.
Ta có:
43 43
log 9 5 log 3 1xx


9531
x
x
 1
x
.
Kết hp vi điu kin, ta có tp nghim ca phương trình là:
5
;1
9
S



.
Câu 15: Tp nghim ca bt phương trình:
22
log 3 log 2xx

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 153
A.
3;  . B.
4;
. C.
;1 4;
 . D.
3; 4 .
Li gii
Chn B
Điu kin xác định:
3x
.
22
log 3 log 2xx
2
34xx
4
1
x
x
. Vy tp nghim ca bpt là
4;S 
.
Câu 16: Bt phương trình
2
210
34
1
2
2
x
xx




có bao nhiêu nghim nguyên dương?
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
3
.
Li gii
Chn D
Bt phương trình tương đương vi
2
34 102
22
xx x
2
34102
x
xx

2
60xx
23x
. Do
0x
nên
03x
.
x
nên
1; 2; 3x .Vy có 3 giá tr nguyên dương tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 17: Tp nghim ca bt phương trình
1
3
3
55
x
x
là:
A.
;5 . B.
;0 . C.
5;
 . D.
0;  .
Li gii
Chn C
Ta có:

1
3
3
55
x
x
1
3
3
55
x
x

1
3
3
x
x

13 9
x
x
 5x
.
Câu 18: Tp nghim ca bt phương trình
11
52 52
xx

A.
;1S  . B.
1;S
 . C.
;1S
 . D.

1;S .
Li gii
Chn A
11
52 52
xx

11
52 52
xx


11
x
x

1
x

.
Vy
;1S 
.
Dng 2: Phương pháp mũ hóa và logarit hóa
Câu 1: Tp nghim ca bt phương trình
1
23
x
x
là:
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 154
A.
. B.
2
3
;log 3




. C.
2
;log 3 . D.
2
3
log 3;



.
Li gii
Chn B
Cách 1:
11
2222
2 3 log 3 1 log 3 1 log 3 log 3
xx x
xxxx


2
22 2
3
2
log 32
log log 3 log 3
2
3
log
3
xxx  
.
Cách 2:
1
2
3
2
23 3 log3
3
x
xx
x




.
Câu 2: Gii bt phương trình
2
32
xx
A.

0;x. B.
2
0; log 3x . C.
3
0; log 2x . D.
0;1x .
Li gii
Chn C
Ta có:
2
32
x
x
2
33
log 3 log 2
x
x

2
3
log 2 0xx

3
0log2x

.
Câu 3: Tp nghim ca bt phương trinh
1
23
x
x
A. . B.
2
3
;log 3




. C.
2
;log 3
. D.
2
3
log 3;



.
Li gii
Chn B
Cách 1:
11
2222
2 3 log 3 1 log 3 1 log 3 log 3
xx x
xxxx


2
22 2
3
2
log 32
log log 3 log 3
2
3
log
3
xxx  
.
Cách 2:
1
2
3
2
23 3 log3
3
x
xx
x




.
Câu 4: Cho hàm s

2
1
.5
2
x
x
fx



. Khng định nào sau đây là sai?
A.
2
2
1log50fx x x
. B.
2
2
1log50fx x x
.
C.
2
5
1log20fx x x . D.
2
1ln2ln50fx x x .
Li gii
Chn A
Ta có:
1fx
2
1
.5 1
2
x
x




2
2
1
log .5 0
2
x
x







LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 155
2
22
1
log log 5 0
2
x
x




2
2
log 5 0xx

nên phương án A sai.
Câu 5: Gii bt phương trình
3
log 2 1 3x
A.
4x
. B.
14x
C.
2x
. D.
214x
.
Li gii
Chn B

3
log 2 1 3x 
3
213x 
14x
.
Câu 6: Gii bt phương trình
3
log 2 1 2x
ta được nghim là
A.
1
5
2
x
.
B.
1
5
x
.
C.
5x
. D.
5x
.
Li gii
Chn A

3
log 2 1 2x 
210
219
x
x


1
2
5
x
x
.
Câu 7: Gii bt phương trình
1
2
log 1 0x
?
A.
0x
. B.
0x
. C.
0x
. D.
10x
.
Li gii
Chn B
1
2
log 1 0x
10
11
x
x


0x
.
Câu 8: Các giá tr
x
tha mãn bt phương trình
2
log 3 1 3x
:
A.
3x
. B.
1
3
3
x
. C.
3
x
. D.
10
3
x .
Li gii
Chn A
Ta có
2
log 3 1 3 3 1 8 3xxx .
Câu 9: Bt phương trình

0,5
log 2 1 0x
có tp nghim là?
A.
1
;
2



B.
1
;
2



C.
1;
D.
1
;1
2


LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 156
Li gii
Chn D
Điu kin: 210x 
1
2
x
.

0,5
log 2 1 0x 
0
210,5x 22x
1
x
.
So sánh vi điu kin ta có tp nghip ca bt phương trình là
1
;1
2
S


.
Câu 10: m s nghim nguyên ca bt phương trình
2
log 9 3x
.
A.
7
. B.
6
. C.
8
. D.
9
.
Li gii
Chn C
Ta có:
2
log 9 3x
09 8x 19x

. Vì
x
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;8x .
Vy có
8
nghim nguyên.
Câu 11: Tp nghim ca bt phương trình
2
log 1 3x
là:
A.
;10 . B.
1;9 . C.
1;10 . D.
;9 .
Li gii
Chn B
Điu kin: 10 1
x
x .
Ta có:

2
log 1 3 1 8 9xxx.
Kết hp điu kin ta có tp nghim ca bt phương trình đã cho là
1;9 .
Câu 12: Tp nghim ca bt phương trình
2
3
log 2 3x
là:
A.
;5 5;S  . B.
S
.
C.
S
. D.
5; 5P  .
Li gii
Chn D
Ta có:

2
3
log 2 3x 
2
227x
2
25x
55x

.
Câu 13: S nghim thc nguyên ca bt phương trình
2
log 2 11 15 1xx

A.
3.
B.
4
. C.
5.
D.
6.
Li gii
Chn B
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 157
ĐK:
2
5
211150
2
xx x
hoc
3x .
2
log 2 11 15 1xx
2
2111510xx

2
21150xx

1
5
2
x.
Kết hp điu kin ta có:
15
22
x
hoc
35x
. Vy BPT có 4 nghim nguyên là:
1; 2; 4; 5x
.
Câu 14: m tp nghim S ca bt phương trình:
1
2
2
log 2
1x
.
A.
1; 1 2S 
. B.
1; 9S . C.
12;S

. D.
9;S .
Li gii
Chn B
1
2
2
log 2
1x
10
21
14
x
x

1
18
x
x
1
9
x
x
.
Câu 15:
Bt phương trình
31
2
max log , log 3xx



có tp nghim là
A.

;27 .
B.
8; 27 .
C.
1
;27
8



. D.

27; .
Li gii
Chn C
Điu kin:
0x
.
31
2
max log ,log 3xx



3
1
2
27
log 3
1
27
1
log 3
8
8
x
x
x
x
x




.
Vy tp nghim ca BPT là:
1
;27
8



.
Câu 16:
Tp nghim ca bt phương trình
2
12
2
log log 1 1x

là:
A.
1; 5S


. B.
;5 5;S

 

.
C.
5; 5S



. D.
5; 1 1; 5S

.
Li gii
Chn B
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 158
* ĐKXĐ:

2
2
2
2
log 1 0
11 ; 2 2;
10
x
xx
x



.
Bt phương trình
2
12
2
log log 1 1x


1
2
2
1
log 1 2
2
x




2
14x
2
5x
;5 5;x



.
* Kết hp điu kin ta được:
;5 5;x



.
Dng 3: Phương Pháp Đặt n Ph
Câu 1: Cho phương trình
210 4
36.3201
xx
. Nếu đặt
5
30
x
tt
thì

1 tr thành
phương trình nào?
A.
2
9620.tt B.
2
220.tt
 C.
2
18 2 0.tt
 D.
2
9220.tt
Li gii.
Chn B

25
210 4 5
3 6.3 2 0 3 2.3 2 0
x
xx x


Vy khi đặt
5
30
x
tt
 thì
1 tr thành phương trình
2
220.tt

Câu 2: Cho phương trình
1
25 26.5 1 0
xx
. Đặt 5
x
t
,
0t
thì phương trình tr thành
A.
2
26 1 0tt
. B.
2
25 26 0tt
. C.
2
25 26 1 0tt

. D.
2
26 0tt
.
Li gii
Chn C
Ta có
1
25 26.5 1 0
xx

2
25.5 26.5 1 0
xx
.
Vy nếu đặt
5
x
t
,
0t
thì phương trình trên tr thành
2
25 26 1 0tt
.
Câu 3: Xét bt phương trình
22
53.5 320
xx
. Nếu đặt 5
x
t
thì bt phương trình tr thành
bt phương trình nào sau đây?
A.
2
3320tt . B.
2
16 32 0tt
. C.
2
6320tt
. D.
2
75 32 0tt.
Li gii
Chn D
22
53.5 320
xx

22
5 3.5 .5 32 0
xx

2
575.5320
xx
.
Nếu đặt
50
x
t  thì bt phương trình tr thành bt phương trình
2
75 32 0tt.
Câu 4: Cho phương trình
22
223
42 30
xx xx

. Khi đặt
2
2
2
x
x
t
, ta được phương trình nào
dưới đây?
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 159
A.
2
830tt
. B.
2
230t
. C.
2
230tt

. D. 430t .
Li gii
Chn A
Phương trình
22
223
42 30
xx xx

22
2
232
22.230
xx xx

.
Kho đó, đặt
2
2
2
x
x
t
, ta được phương trình
2
830tt
.
Câu 5: Khi đặt
5
logtx
thì bt phương trình
2
5
5
log 5 3log 5 0xx
 tr thành bt phương
trình nào sau đây?
A.

2
640tt
. B.

2
650tt
. C.

2
440tt
. D.

2
350tt
.
Li gii
Chn C

2
5
3
log 5 3log 5 0xx

2
55
log 1 6log 5 0xx

2
55
log 4log 4 0xx
.
Vi
5
logtx
bt phương trình tr thành:

2
440tt
.
Câu 6:
Bt phương trình
2
log 2019 log 2018 0xx
có tp nghim là
A.
2018
10;10S


. B.
2018
10;10S
. C.
1; 2018S . D.
2018
10;10S
.
Li gii
Chn A
Điu kin:
0x
.
Ta có
2 2018
log 2019 log 2018 0 1 log 2018 10 10xx x x
.
Kết hp vi điu kin, ta có tp nghim ca bt phương trình là
2018
10;10S


.
Câu 7:
Tìm s nghim nguyên ca bt phương trình
2
22
log 8 log 3 0xx

A.
5
. B.
1
. C.
7
. D.
4
.
Li gii
Chn A
Điu kin:
0x
.
2
22
log 8 log 3 0xx
1
2
2
22
log 8 log 3 0xx
2
22
log 4 log 3 0xx

2
1log 3x 28x
. So vi điu kin ta được
28x
.
Câu 8: Tìm tp nghim
S
ca phương trình
2
22
log 5 log 4 0xx

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 160
A.
;2 16;S  . B.
0; 2 16;S
.
C.
;1 4;S 
. D.
2;16S
.
Li gii
Chn B
ĐK: 0x
Đặt
2
logtx
,
t
.
Bt phương trình tương đương
2
1
540
4
t
tt
t

.
2
log 1
x
02x.
2
log 4 16xx
.
Vy tp nghim ca bt phương trình
0; 2 16;S

.
Câu 9: S nghim nguyên ca bt phương trình 39.3 10
xx
A. Vô s. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Li gii
Chn D
Đặt 3
x
t
0t , bt phương trình có dng
9
10t
t
2
10 9 0tt

19t
.
Khi đó
13 9
x

02x
. Vy nghim nguyên ca phương trình là
1
x
.
Câu 10: Tp nghim ca bt phương trình 16 5.4 4 0
xx
 là:
A.
;1 4;T  . B.
;1 4;T
 .
C.
;0 1;T  . D.
;0 1;T
 .
Li gii
Chn D
Đặt 4
x
t ,
0t
.
16 5.4 4 0
xx
 tr thành
2
5. 4 0tt

4
1
t
t
4
01
t
t
44
04 1
x
x

1
0
x
x
.
Vy
;0 1;T  .
Câu 11: Biết

;Sab
là tp nghim ca bt phương trình 3.9 10.3 3 0
xx
. Tìm
Tba
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 161
A.
8
3
T
. B. 1T
. C.
10
3
T
. D. 2T .
Li gii
Chn D
Ta có 3.9 10.3 3 0
xx

2
3. 3 10.3 3 0
xx

1
33
3
x

33
1
log log 3
3
x

11
x

. Khi đó bt phương trình có tp nghim là

1;1S  , do vy
112T  .
Câu 12: Nghim ca bt phương trình
21
555 5
x
xx

là.
A.
01
x

. B.
01
x
. C.
01
x
. D.
01
x

.
Li gii
Chn B
Ta có:
21
555 5
x
xx

.

2
55 1
56.550
0
51
x
xx
x
x
x


Câu 13: Bt phương trình 64.9 84.12 27.16 0
xxx
 có nghim là:
A.
12x
. B.
93
16 4
x
. C.
1
x
hoc
2x
. D. Vô nghim.
Li gii
Chn A
2
44
64.9 84.12 27.16 0 27. 84. 64 0 1 2
33
xx
xxx
x
 
 
 
 
.
Câu 14: m tt c giá tr ca m để bt phương trình
92 1332 0
xx
mm
 nghim đúng
vi mi s thc
x
.
A.
523;523m
. B.
3
2
m
.
C.
3
2
m
 . D.
2m
.
Li gii
Chn C
Đặt 3
x
t ,
0t
. Khi đó, bt phương trình tr thành:
2
21320tmt m
132 0tt m

32 0tm
 32tm
1
(Do
0t
).
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 162
Để bt phương trình đã cho nghim đúng vi mi x
thì
1 phi nghim đúng vi
mi
0;t 
.
Điu này tương đương vi
32 0m
3
2
m
 .
Vy giá tr cn tìm ca
m
3
2
m
.
Câu 15: Cho Hàm s

2
2
4
3
7
x
x
fx
. Hi mnh đề nào sau đây sai?
A.
2
12log34log70fx x x
.
B.
2
0,3 0,3
12log34log70fx x x
.
C.

2
1 2 ln 3 4 ln 7 0fx x x .
D.
2
3
12 4log70fx x x
.
Li gii
Chn B

2
2
4
3
11
7
x
x
fx

2
2
0.3 0,3
4
3
log log 1
7
x
x

2
0,3 0,3
2log 3 4log 7 0xx

.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 163
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
A. KIN THC SÁCH GIÁO KHOA CN NM
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm s

f
x
xác định trên
K
(
K
là khong hoc đon hoc na đon ca
). Hàm s
Fx
được gi là nguyên hàm ca hàm s
f
x
trên K nếu
 
'Fx fx
vi mi
.
x
K
Định lý 1: Nếu
F
x
là mt nguyên hàm ca hàm s
f
x
trên
K
thì vi mi hng s C, hàm s
Gx Fx C
cũng là mt nguyên hàm ca
f
x
trên
.
K
Định lý 2:
Nếu
F
x
là mt nguyên hàm ca hàm s
f
x
trên
K
thì mi nguyên hàm ca
f
x
đều có dng
,
F
xC
vi C là mt hng s.
Hai định lý trên cho thy:
Nếu
F
x
là mt nguyên hàm ca hàm s
f
x
trên
K
thì
,CFx C
là h tt c các
nguyên hàm ca
f
x
trên .
K
Kí hiu
 
.
f
xdx F x C
Chú ý: Biu thc

f
xdx
chính là vi phân ca nguyên hàm
F
x
ca
,
f
x
  
'
.dF x F x dx f x dx
2. Tính cht ca nguyên hàm
Tính cht 1
 
'
f
xdx f x C
Tính cht 2
 
kf x dx k f x dx

, k là hng s khác 0.
Tính cht 3
  
.
f
xgxdx fxdx gxdx 


3. S tn ti ca nguyên hàm
Định lý 3:
Mi hàm s f liên tc trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bng nguyên hàm
0dx C
dx x C
1
1
x
x
dx C

1
1( )
()
1
ax b
ax b dx C
a

1
lndx x C
x

11
ln
()
dx ax b C
ax b a

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 164
xx
edx e C
1
ax b ax b
edx e C
a

cos sin
x
dx x C
 
1
cos a sin
x
bdx ax b C
a

sin cos
x
dx x C
 
1
sin cosax b dx ax b C
a

ln
x
x
a
adx C
a

ln
x
x
a
adx C
aa


2
1
tan
cos
dx x C
x



2
11
tan
cos
dx ax b C
ax b a

2
1
cot
sin
dx x C
x


2
11
cot
sin
dx x C
ax b a


22
1
ln , 0
2
dx x a
Ca
xa axa



22
1
ln , 0
2
dx x a
Ca
ax axa


2
3
x
dx x x C

21
.
3
ax b dx ax b ax b C
a

1
2dx x C
x

11
2.dx ax b C
a
ax b

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến s
Định lý 1: Nếu ( ) ( )
f
udu Fu C
()uux
đạo hàm liên tc thì:
().'() ()
f
ux u xdx Fux C
H qu: Vi

0uaxba
ta có
 
1
.
f
ax b dx F ax b C
a

2. Phương pháp tính nguyên hàm tng phn:
Định lý 2: Nếu hai hàm s
uux
vvx
đạo hàm liên tc trên K thì:
  
''.uxv xdx uxvx u xvxdx

B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1: Nguyên Hàm Đa Thc
Câu 1: Khng định nào sau đây sai?
A. 0d
x
C
. B.
5
4
d
5
x
x
xC
. C.
1
dln
x
xC
x
. D.
ed e
xx
x
C
.
Li gii
Chn C
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 165
Ta có:
1
dln
x
xC
x

C sai.
Câu 2: Tìm nguyên hàm
2
dFx x
.
A.
2
Fx x C

. B.
2Fx x C
. C.

3
3
Fx C
. D.

22
2
x
F
xC

.
Li gii
Chn A
Ta có

22
dFx x x C


.
Câu 3: Cho
 
d
f
xxFx C
. Khi đó vi
0a
,
a
,
b
là hng s ta có

d
f
ax b x
bng
A.
 
1
d
f
ax b x F ax b C
a

. B.
 
1
d
f
ax b x F ax b C
ab

.
C.
 
d
f
ax b x F ax b C
. D.

d
f
ax b x aF ax b C

.
Li gii
Chn A
Theo công thc nguyên hàm m rng ta có:
 
1
d
f
ax b x F ax b C
a

.
Câu 4: H nguyên hàm ca hàm s
2
31fx x
A.
3
x
C . B.
3
3
x
x
C
. C. 6
x
C
. D.
3
x
xC .
Li gii
Chn D
Ta có
2
31d
x
x
3
3.
3
x
x
C
3
x
xC
 .
Câu 5: H nguyên hàm ca hàm s
2
325
f
xxx

A.

32
5Fx x x
. B.
3
F
xxxC

.
C.
32
5
F
xxx xC
. D.
32
F
xxxC

.
Li gii
Chn C
Nguyên hàm ca hàm s
2
325
f
xxx

32
5Fx x x x C
.
Câu 6: H nguyên hàm ca hàm s

2
2
11
3
fx x
x

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 166
A.
42
3
3
xx
C
x

. B.
2
2
2
x
C
x
.
C.
42
3
3
xx
C
x

. D.
3
1
33
xx
C
x

.
Li gii
Chn D
Ta có
2
2
11
d
3
x
x
x




22
1
d
3
x
xx




3
1
33
xx
C
x

.
Câu 7: H nguyên hàm ca hàm s
e
e. 4fx x
A.
101376
. B.
2e1
e.
x
C
. C.
e1
4
e1
x
x
C
. D.
e1
e.
4
e1
x
x
C

.
Li gii
Chn D
Ta có


e1
e
e.
de.4d 4
e1
x
f
xx x x xC


.
Câu 8: Hàm s nào sau đây không phi là mt nguyên hàm ca hàm s

5
() 3 1fx x
?
A.


6
31
8
18
x
Fx
.
B.


6
31
2
18
x
Fx
.
C.


6
31
18
x
Fx
.
D.


6
31
6
x
Fx
.
Li gii
Chn D
Áp dng


1
1
d
1
ax b
ax b x C
a

vi 1
C là hng s.
Vy hàm s phương án D tha yêu cu đề.
Câu 9: H các nguyên hàm ca hàm s
42
561fx x x

A.
3
20 12
x
xC. B.
53
2
x
xxC
 . C.
53
20 12
x
xxC
 . D.
4
2
22
4
x
x
xC
.
Li gii
Chn B
Ta có

42 53
561d 2
x
xxxxxC 
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 167
Câu 10: Nguyên hàm ca hàm s
2018
f
xx
, ()x
là hàm s nào trong các hàm s dưới
đây?
A.
2018
2017.Fx x C
, ()C
. B.

2019
2019
x
F
xC
, ()C .
C.
2019
F
xx C
,
()C
. D.
2017
2018.
F
xxC
,
()C
.
Li gii
Chn B
Ta có:
2019
2018
d
2019
x
x
xC
.
Câu 11:
Cho
F
x
là mt nguyên hàm ca hàm s
2
23
f
xx x

tha mãn
02F
, giá tr
ca
1F
bng
A.
4
. B.
13
3
. C.
2
. D.
11
3
.
Li gii
Chn B
Ta có:
3
22
23d 3
3
x
x
xx xxC
.
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
f
x
02F
2C
.
Vy

3
2
32
3
x
Fx x x

13
1
3
F.
Câu 12: Xét

5
34
43dIxx x
. Bng cách đặt:
4
43ux
, khng định nào sau đây đúng?
A.
5
1
d
16
Iuu
. B.
5
1
d
12
Iuu
. C.
5
dIuu
. D.
5
1
d
4
Iuu
.
Li gii
Chn A
433
1
43d16d d d
16
ux u xx uxx .
5
1
d
16
Iuu
.
Câu 13: Cho
 
687
232d 32 32
x
xxAx Bx C
vi
A
,
B
C . Giá tr ca
biu thc 12 7
A
B bng
A.
23
252
.
B.
241
252
.
C.
52
9
.
D.
7
9
.
Li gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 168
Chn D
Đặt
32tx
2
3
t
x

1
dd
3
tx
.
Ta có:
6
22
.d
33
t
tt

76
2
+2 d
9
ttt
87
24
..
98 97
tt
C

 
87
14
.3 2 .3 2
36 63
x
xC

.
Suy ra
1
36
A ,
4
63
B ,
147
12. 7.
36 63 9
.
Dng 2: Nguyên Hàm Phân Thc
Câu 1: H nguyên hàm ca hàm s

6
2
11
72fx x
x
x

A.
7
1
ln 2
x
xx
x
. B.
7
1
ln 2
x
xxC
x
 .
C.
7
1
ln 2
x
xxC
x

.
D.
7
1
ln 2
x
xxC
x

.
Li gii
Chn D
d
f
xx
7
1
ln 2
x
xxC
x

.
Câu 2: Nguyên hàm ca hàm s

1
2
fx
x
là:
A.
ln 2
x
C
. B.
1
ln 2
2
x
C
. C.
ln 2
x
C
. D.

1
ln 2
2
x
C
.
Li gii
Chn A
Câu 3:
Nguyên hàm ca hàm s

1
12
fx
x
A.
d2ln12
f
xx xC
. B.
d2ln12
f
xx xC

.
C.

1
dln12
2
f
xx xC
. D.
dln12
f
xx xC

.
Li gii
Chn C
Ta có
11
dln12
12 2
x
xC
x

.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 169
Câu 4: Tìm h nguyên hàm ca hàm s

2
1
1
y
x
.
A.
 
23
12
d
11
x
C
xx


. B.

2
11
d
1
1
x
C
x
x

.
C.

2
11
d
1
1
x
C
x
x

. D.
 
23
12
d
11
x
C
xx

.
Li gii
Chn B

2
1
d
1
x
x

2
1d
x
x


1
1
x
C

1
1
C
x
.
Câu 5: Mt nguyên hàm ca hàm s

1
x
fx
x
.
A.

dln11fx x x x
. B.
dln 1 1
f
xx x x

.
C.

dln1fx x x x
. D.
ln 1xx
.
Li gii
Chn A
d
1
x
x
x
11
d
1
x
x
x

1
1d
1
x
x




ln 1
x
xC

Vy

dln11fx x x x
là mt nguyên hàm ca
f
x
.
Câu 6: Biết
F
x
là mt nguyên hàm ca

1
1
fx
x
02F
thì
1F
bng.
A. ln 2 . B. 2ln2
. C.
3
. D. 4 .
Li gii
Chn B

1
dln 1
1
Fx x x C
x

02F
nên
ln 1 2Fx x
.
Do đó
12ln2F 
.
Câu 7: Nguyên hàm
Fx
ca hàm s

1
21
fx
x
, biết
e1 3
22
F



là:
A.

1
2ln 2 1
2
Fx x
.
B.
2ln 2 1 1Fx x
.
C.

1
ln 2 1 1
2
Fx x.
D.

1
ln 2 1
2
Fx x
 .
Hướng dn gii
Chn C
Áp dng công thc nguyên hàm m rng
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 170

1
d
21
Fx x
x
1
ln 2 1
2
x
C.
e1 3
22
F



1e1 3
ln 2 1
22 2
C




1C
.
Câu 8: Cho

Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s

1
21
fx
x
; biết
12F
. Tính
2F
.
A.

1
2ln32
2
F .
B.

1
2ln32
2
F
. C.
2ln32F
. D.
22ln32F 
.
Li gii
Chn B
Ta có

1
ln 2 1
2
Fx x C
;
12 2FC


1
ln 2 1 2
2
Fx x

1
2ln32
2
F
.
Câu 9: Tìm h nguyên hàm ca hàm s

2
1
1
x
x
fx
x
.
A.
1
1
x
C
x

. B.

2
1
1
1
C
x
. C.
2
ln 1
2
x
x
C

. D.
2
ln 1
x
xC
.
Li gii:
Chn C
Ta có

2
11
11
xx
fx x
x
x




2
dln1
2
x
f
xx x C
.
Câu 10: Tính nguyên hàm
2
275
d
3
xx
Ix
x

.
A.
2
2ln 3 .Ix x x C B.
2
2ln 3 .Ix x x C

C.
2
22ln3.Ixx x C
D.
2
22ln3.Ixx x C

Li gii
Chn A
Ta có:
2
275
d
3
xx
Ix
x

2
21 d
2
x
x
x




2
2ln 2
x
xxC

.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 171
Câu 11: Cho biết
213
dln1ln2
(1)(2)
x
x
ax bx C
xx


. Mnh đề nào sau đây đúng?
A.
28ab
. B.
8ab
. C.
28ab
. D.
8ab
.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có
213
d
(1)(2)
x
x
xx

53
d
12
x
xx





11
5d3d
11
x
x
x
x


5ln 1 3ln 2
x
xC
.
Vy
5
3
a
b

8ab.
Câu 12:
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s

2
1
3
21
fx x
x

. Biết
00F
,

1ln3
b
Fa
c
 trong đó
a
,
b
,
c
là các s nguyên dương và
b
c
là phân s ti gin. Khi
đó giá tr biu thc
abc
bng.
A.
4
. B.
9
. C.
3
. D.
12
.
Li gii
Chn A
Ta có

2
1
3d
21
F
xx x
x




3
1
ln 2 1
2
x
xC

.
Do
00F
0C

3
1
ln 2 1
2
Fx x x
.
Vy

1
11 ln3
2
F 
1;a
1;b
2c
4abc
.
Câu 13: Cho hàm s
f
x
xác định trên
1
\
2

tha mãn

2
21
fx
x
01f
. Giá tr
ca biu thc

13ff
bng
A.
4ln15
. B.
3ln15
. C.
2ln15
. D.
ln15
.
Li gii
Chn C
Ta có
 

1
2. 2 1
2
2
ln 2 1
21 21
dx
f
xfxdx dx xc
x
x


.
01f
1c

ln 2 1 1fx x
.


1ln31
3ln51
f
f



132ln15ff .
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 172
Dng 3: Nguyên Hàm Căn Thc
Câu 1: Hàm s nào dưới đây là mt nguyên hàm ca hàm s
1
f
xx
trên
0; 
.
A.

3
2
2
1
3
Fx x x
. B.

3
2
2
3
Fx x x
.
C.

1
2
Fx
x
. D.

1
2
Fx x
x
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có :
3
2
1d
3
x
xxxC
.
Câu 2: H nguyên hàm ca hàm s
2018
3
f
xxx
A.
2019
673
x
x
C
. B.
2019
3
2
2019
x
x
C
.
C.
2019
1
673
x
C
x
.
D.
2017
1
6054
2
x
C
x
.
Hướng dn gii
Chn B
Ta có:
2018
3d
x
xx
1
2018
2
3d
x
xx




3
2019
2
3.
3
2019
2
xx
C

2019
3
2
2019
x
x
C

.
Câu 3: Tìm h nguyên hàm ca hàm s
23
f
xx
A.

2
d23
3
f
xx x x C
. B.
 
1
d2323
3
f
xx x x C

.
C.
 
2
d2323
3
f
xx x x C
. D.
d23
f
xx x C

.
Li gii
Chn B
Xét
23dIxx
.
Đặt
23
x
t
2
23tx 2d 2dtt x
.
2
.d t dIttt t

3
1
3
tC
3
1
23
3
x
C

 
1
d2323
3
f
xx x x C

.
Câu 4: Mt nguyên hàm ca hàm s
12
f
xx là:
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 173
A.

3
2112
2
x
x. B.

3
12 12
2
x
x
. C.

3
2112
4
x
x
. D.

1
12 12
3
x
x
.
Hướng dn gii
Chn D
Ta có
d12d
f
xx xx


1
12d12
2
x
x
, vi
1
2
x
.
d
f
xx

3
12
.12
23
x
C

1
12 12
3
x
xC

Câu 5: Hàm s
F
x
nào dưới đây là nguyên hàm ca hàm s
3
1
y
x
?
A.
 
4
3
3
1
8
Fx x C
.
B.
 
4
3
4
1
3
Fx x C

.
C.
 
3
3
11
4
Fx x x C
.
D.
 
3
4
3
1
4
Fx x C

.
Li gii
Chn C
Ta có:
3
1dIxx
.
Đặt:
3
1tx
3
1tx
2
3d dtt x.
2
.3 dIttt
3
3dtt
4
3
4
tC

4
3
3
1
4
x
C


3
3
11
4
x
xC

.
Vy
 
3
3
11
4
Fx x x C
.
Câu 6: m hàm s
F
x
biết
F
x
là mt nguyên hàm ca hàm s
f
xx
11F
.
A.

2
3
Fx xx
.
B.

21
33
Fx xx
.
C.

11
2
22
Fx
x

. D.

25
33
Fx xx
.
Li gii
Chn B
Ta có:

dFx xx
Đặt
tx suy ra
2
tx d 2d
x
t
. Khi đó
3
2
.2 d
3
IttttC

2
3
IxxC
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 174
11F
nên
1
3
C
.Vy

21
33
Fx xx
.
Câu 7: m hàm s
f
x
, biết rng
4
f
xxx
40f
.
A.

2
840
323
xx x
fx
. B.

2
1fx
x
.
C.

2
888
323
xx x
fx
. D.

2
2
1
2
x
fx
x

.
Hướng dn gii
Chn A
Ta có:
d
f
xfxx
2
8
32
xx x
C
.
40f
2
8.4 4 4
0
32
C
40
4d
3
Cxxx
.
Vy

2
840
323
xx x
fx
.
Câu 8: Tìm mt nguyên hàm ca hàm s

2
1
fx
x
.
A.

1
1
Fx
x
. B.
41
F
xx
. C.
21
F
xx
. D.

1Fx x.
Li gii
Chn B
Đặt
1tx
2
1tx
2d dtt x
.
Ta có:

d
f
xx
2
d
1
x
x
4
d
t
t
t

4
'2
49
h 
4tC
41
x
C
 .
Vy mt nguyên hàm ca hàm s

2
1
fx
x
41
F
xx
.
Câu 9: Biết

Fx là nguyên hàm ca hàm s

1
1
21
fx m
x

tha mãn
00F
37F
. Khi đó, giá tr ca tham s
m
bng
A. 2 . B.
3
. C.
3
. D. 2 .
Hướng dn gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 175
Chn B
Ta có

F
x
1
1d
21
mx
x




11
x
mxC

.
Theo gi thiết, ta có

00
37
F
F
10
38
C
Cm

1
3
C
m
.
Vy

F
x
12 1
x
x.
Câu 10: H nguyên hàm ca hàm s

23
4
f
xx x
A.

3
3
2
4
9
x
C
.
B.
3
24
x
C
. C.

3
3
1
4
9
x
C
.
D.

3
3
24
x
C
.
Li gii
Chn A
Ta có
23
4d
x
xx

33
1
4d4
3
x
x

1
33
2
1
4d4
3
x
x

3
3
2
12
.4
33
x
C

3
3
2
4
9
x
C.
Chú ý: Trong li gii viết du “
” thay cho du “
” vì

1
33
2
44
x
x
nhưng ta
mượn tm công thc nguyên hàm ca

1
3
2
4
x
để tính nguyên hàm ca
3
4
x
.
Câu 11: m h nguyên hàm ca hàm s

1
22 1
fx
x
.
A.

1
d21
2
f
xx x C
. B.
d21
f
xx x C

.
C.

d221
f
xx x C
. D.


1
d
2121
f
xx C
xx

.
Hướng dn gii
Chn A
Đặt
21
x
t
2
21
x
t
ddt
x
t
.
Khi đó ta có
1
21d
2
x
x
1dt
2
t
t
1
dt
2
1
2
tC
1
21
2
x
C

.
Câu 12: Vi cách đổi biến
13lnux
thì tích phân
1
ln
d
13ln
e
x
x
x
x
tr thành
A.

2
2
1
2
1d
3
uu
. B.

2
2
1
2
1d
9
uu
. C.

2
2
1
21duu
. D.
2
2
1
21
d
9
u
u
u
.
Li gii
Chn B
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 176
13lnux
2
13lnux
2
1
ln
3
u
x

d2
d
3
x
u
u
x

.
Khi đó
1
ln
d
13ln
e
x
x
x
x
2
2
1
1
2
3
d
3
u
u
u
u

2
2
1
2
1d
9
uu
.
Câu 13: Khi tính nguyên hàm
3
d
1
x
x
x
, bng cách đặt
1ux
ta được nguyên hàm nào?
A.
2
24duu u
. B.
2
4duu
. C.
2
24duu
. D.
2
3duu
.
Li gii
Chn C
Đặt
1ux,
0u
nên
2
1ux
2
d2d
1
x
uu
xu
.
Khi đó
3
d
1
x
x
x
2
13
.2 d
u
uu
u

2
24duu
.
Câu 14: m nguyên hàm
F
x
ca hàm s

2
21
fx
x
tha mãn
57F
.
A.

22 1Fx x
.
B.
22 11Fx x

.
C.
214Fx x
. D.
2110Fx x

.
Li gii
Chn B
Ta có
d2 1
2
d2
21 221
x
x
xx


22 1
x
C

;
Do
57F nên
67C 1C
.
Dng 4. Nguyên hàm ca hàm s lượng giác
Câu 1: Khng định nào sau đây là đúng.
A.

tan ln cos .xdx x C
B.
sin 2 cos .
22
xx
dx C
C.

cot ln sin .xdx x C D.

cos 2 sin .
22
xx
dx C
Li gii
Chn A
Xét

cos '
sin
ln cos ' tan .
cos cos
x
x
x
Cx
xx

Suy ra khng định A đúng.
Câu 2: Tính tích phân
4
2
0
os
Icxdx
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 177
A.
2
8
I
B.
2
4
I
C.
1
3
I
D.
2
3
I
Li gii
Chn A
Cách gii:







44
4
2
00
0
1112
cos 1 cos 2 sin 2
2228
Ixdx xdxxx
Câu 3: Tìm nguyên hàm ca hàm s
3
2
1sinx
f(x)
sin x
.
A.
f (x)dx cot x cos x C
. B.
f(x)dx tanx cosx C

.
C.
f (x)dx cot x cos x C
. D.
f(x)dx tanx cosx C

.
Li gii
Chn A
3
22
1sin 1
sin x cot osx+C
sin sin
x
dx dx dx x c
x
x


Câu 4: Cho hàm s
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
3
sin cos
f
xxx
. Tính

0
2
IF F




A.
.
2
I
B.
1
.
4
I
C.
3
.
2
I
D.
3
.
4
I
Li gii
Chn B
Ta có
1
2
33
00
1
sin cos
4
Ixxdxtdt


Câu 5: Tìm nguyên hàm ca hàm s
2
() (sin os )
f
xxcx
A.
1
() cos2 .
2
f
xdx x x C
B.
1
() cos2 .
2
f
xdx x C
C.
1
() cos2 .
2
f
xdx x C

D.
1
() cos2 .
2
f
xdx x x C

Li gii
Chn D



2
22
1
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2 cos2
2
x
xdx x x x xdx xdx x xC

Câu 6: Cp hàm s nào sau đây có tính cht: Có mt hàm s là nguyên hàm ca hàm s còn li?
A.
sin 2
f
xx
2
cos
g
xx . B.
2
tan
f
xx

22
1
cos
gx
x
.
C.
x
f
xe
x
g
xe
. D.
sin 2
f
xx
2
sin
g
xx .
Li gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 178
Chn D

/
2
sin 2sin cos sin 2
x
xx x
Dng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga
Câu 1: Tìm nguyên hàm ca hàm s
2x
fx e
A.
2x 2x
1
edx e C.
2

B.
2x 2x
1
edx e C.
2
C.
2x 2x
edx 2e C.
D.
2x 2x
edx 2e C.

Li gii
Chn B
Theo công thc nguyên hàm cơ bn
ax b ax b
1
edx e C
a

. Suy ra
2x 2x
1
edx e C
2

.
Câu 2: Tìm nguyên hàm ca hàm s
12x
y12.
A.
2x 12 4x
12 dx 12 ln12 C

B.
2x 12x
12 dx 12 ln12 C
C.
12x
2x
12
12 dx C
ln12

D.
12x 1
2x
12
12 dx C
ln12
Li gii
Chn D
Ta có

12x 12x 1
12x 12x 12x
112 12
12 dx 12 d 12x C 12 dx C
12 12.ln12 ln12


Câu 3: Cho
()
F
x
là nguyên hàm ca hàm s
ln
()
x
fx
x
. Tính
() (1)
F
eF
A.
I
e
. B.
1
I
e
. C.
1
2
I
. D.
1I
.
Li gii
Chn C

 
2
() (1)
ln
1
ln ln ln( )
2
1
2
x
e
x
Fdxxdxx
x
FF



Câu 4: Biết F làm mt nguyên hàm ca hàm s
2016
2016
x
fx e
0 2018F . Giá tr ca
F
A.
F1 2016. B.
2016
F 1 2016e .
C.
2016
F 1 2016e 2.
D.
2016
F 1 e 2017.
Li gii
Chn D

2016x 2016x
F x 2016e dx e C F 0 1 C 2018 C 2017

2016x 2016
F x e 2017 F 1 e 2017.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 179
Câu 5: Tìm nguyên hàm

2
2
ln 1
1
xx
Idx
x
A.

2
ln 1
I
xC
B.

22
1
ln 1
4

I
xC
C.

2
1
ln 1
2

I
xC
D.
22
ln 1

I
xC
Li gii
Chn B
Áp dng công thc nguyên hàm hp


2
2
2
ln 1
1

x
dx dx
x



22 22
11
ln 1 ln 1 .ln 1
24

I
xdx x C
Câu 6: Kí hiu
Fx là mt nguyên hàm ca hàm s

1
1
x
fx
e
, biết
0ln2F  . Tìm tp
nghim S ca phương trình
ln 1 3
x
Fx e

.
A.
3; 3S 
B.
3S
C. S
D.
3S 
Li gii
Chn B

1
ln 1
11
x
x
xx
e
dx dx dx x e C
ee



0ln2 0 ln 1
x
FCFxxe
Xét phương trình
ln 1 3 3
x
Fx e x
Dng 6: Nguyên Hàm Tng Phn
Câu 1: Biết
.
x
Fx ax be
là nguyên hàm ca hàm s
23..
x
yxe
Khi đó
ab
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Li gii
Chn A
23 23
xx
yxeFx xedx
23 2




x
x
u x du dx
dv e dx v e
 
23 23 2 23 2 21
x
xx xx x
Fx xedxxeedxxee xe

Khi đó
3ab
.
Câu 2: Cho tích phân

4
0
1sin2d.
Ix xx Tìm đẳng thc đúng
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 180
A.

4
4
0
0
1 cos2 cos2 d
Ix x xx
. B.

4
0
1 cos2 cos2 d
Ix x xx.
C.

4
4
0
0
11
1 cos2 cos2 d
22

Ix x xx
. D.

4
4
0
0
11
1 cos2 cos 2 d
22

Ix x xx
.
Li gii
Chn C
Đặt
1
1
sin 2
cos 2
2



du dx
ux
dv xdx
vx
ta có

4
0
11
1 cos2 cos2
4
22
0

Ix x xdx
Câu 3: Biết rng
22
333
xx
e cos xdx e acos x bsin x c
, trong đó a, b, c là các hng s, khi đó
tng
a + b có giá tr
A.
1
13
B.
5
13
C.
5
13
D.
1
13
Li gii
Chn C
Đặt

2
33
x
fx e acosx bsinx c. Ta có
 
2222
22
23332333
23 3 23 3

 
xxxx
xx
f ' x ae cos x ae sin x be sin x be cos x
a b e cos x b a e sin x
Để f là mt nguyên hàm ca hàm s
2
3
x
ecosx
, điu kin là

2
2
231
5
13
3
13
230 3
13
x
a
ab
f' x e cos x a b .
ba
b




Câu 4: Tính nguyên hàm


2cos3
2sin3xdx sin3
xx
Ix bxC
a
. Tính
27Ma b
. Chn đáp án đúng:
A. 6 B. 14 C. 34 D. 22
Li gii
Chn A
Đặt
2
.
sin 3xdx
ux
dv

Ta được
cos 3
3
du dx
x
v

Do đó:
2cos3x 2cos3
111
cos 3 sin 3 3; 6
33 39 9
xxx
IxdxxCabM

 
Câu 5: H nguyên hàm ca hàm s
() sin2
f
xx x
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 181
A.
11
() cos2 sin2
24
Fx x x x C
. B.
11
() cos2 sin2
24
Fx x x x C

.
C.
() cos2 sin2
F
xx x xC
. D.
() cos2 sin2
F
xx x xC

.
Li gii
Chn A
Đặt
1
cos 2 cos 2 cos 2 sin 2
cos 2
22 24
sin 2
2
ux u
xx x xx x
IdxC
x
vxv



Câu 6: Cho
Fx là mt nguyên hàm ca hàm s
51
x
f
xxe

03.F Tính
1.F
A.

1113.Fe
B.
13.Fe
C.
17.Fe
D.

12.Fe
Li gii
Chn C
1
0
1
0
(5 1)
51 5,
11
(5 1) 5 (5 1) 5 4 (1) (0) (1) 7
00
x
xx
xx xx
Ixedx
u x du dx dv e dx v e
Ixe edxxee e FF Fe



Câu 7: Tìm x cos 2xdx.
A.
11
x.sin 2x cos2x C.
24

B.
x.sin 2x cos2x C.
C.
11
x.sin 2x cos2x C.
22

D.
11
x.sin 2x cos2x C.
24
Li gii
Chn D
Đặt
du dx
ux
11
x cos 2xdx x sin x2x sin 2xdx
1
dv cos2xdx
22
v sin 2x
2



11
xsin2x cos2x C.
24

Câu 8:

cos3
1
2 sin 3 sin3
xm x
x
xdx x C
np

. Tính giá tr ca
mnp
.
A. 14 B.
2.
C. 9 D. 10
Li gii
Chn A
Đặt
2
.
cos3
sin 3
3
du dx
ux
x
dv xdx
v



LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 182
Khi đó

2cos3
1
2 sin 3 sin3 .
39
xx
x
xdx x C

Suy ra
2, 3, 9mnp
Vy
14.mnp
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 183
BÀI 2.TÍCH PHÂN
A. KIN THC SÁCH GIÁO KHOA CN NM
I. TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho hàm s
y
fx
liên tc trên
;.ab
Gi s
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm
fx trên


;.ab
   

d
b
b
a
a
fx x Fx Fb Fa
Quy ước:
+ Nếu
ab
thì

d0
a
a
fx x
+ Nếu
ab thì
 


dd
ba
ab
fx x fx x
 


ddd...
bbb
aaa
fx x ft t fu u
2. Tính cht:
 


dd
bb
aa
kfxxkfxx k
   




ddd
bbb
aaa
fx gx x fx x gx x
  


ddd
bcb
aac
fx x fx x fx x a c b
Mt s tính cht m rng:
Nếu



0;fx x ab thì:


0;
b
a
fxdx x ab
Nếu:
   




;:
bb
aa
xabfxgx fxdx gxdx
.
Nếu:



;xab
và vi hai s M, N ta luôn có:
Mfx N
thì:


b
a
Mb a f xdx Nb a
.
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN.
1. Phương pháp đổi biến s
1.1. Phương pháp đổi biến s dng 1.
Cho hàm s
()fx liên tc trên đon [;].ab Gi s hàm s
()uux
đạo hàm liên tc trên đon [; ]ab
() .ux Gi s có th viết () (())ʹ(), [;],fx gux u x x ab vi
g
liên tc trên đon
[;].
Khi đó, ta có:


()
()
() () .
ub
b
aua
Ifxdx gudu
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 184
Bài toán: Tính tích phân


(). ()
b
a
Iguxuxdx
Cách gii: Đặt
()tux dtuxdx
Đổi cn:


()
()
xa tua
xb tub
. Khi đó
()
()
() .
ub
ua
Igtdt
Chú ý: Khi đổi biến ta phi đổi c cn
Du hiu chung:
Nếu hàm s cha căn
đặt t căn
Nếu hàm s cha mu
đặt t mu
Nếu hàm s cha lũy tha bc cao
đặt
t biu thc cha lũy tha bc cao
Du hiu c th:
Du hiu nhn biết và cách tính tính phân
Du hiu Có th đặt Ví d
1
()fx
()tfx
2
3
0
d
1
xx
I
x
. Đặt
1tx
2
()
n
ax b
taxb

0
2018
1
(1)dIxx x. Đặt 1tx
3
()fx
a
()tfx
tan 3
4
2
0
cos
x
e
Idx
x
. Đặt
tan 3tx
4
ln
dx
x
x
lntx
hoc biu thc cha
ln x
1
13ln.ln
.d
e
xx
Ix
x
. Đặt 13lntx
5
x
edx
x
tehoc biu thc cha
x
e

ln 3
2
0
43.d
xx
Ieex. Đặt 43
x
te
6
sin xdx
costx
3
3
0
sin
d
2cos 1
x
Ix
x
Đặt
2cos 1tx
7
cos xdx
sint xdx
3
2
0
sin cos dIxxx. Đặt sintx
8
2
cos
dx
x
tantx



2
44
42
00
11
d(1tan) d
cos cos
Ix xx
xx
Đặt
tantx
9
2
sin
dx
x
cottx




cot cot
44
2
66
dd
1cos2
2sin
xx
ee
Ixx
x
x
. Đặt cottx
1.2. Phương pháp đổi biến s dng 2.
Đặt
xut
Bài toán 1: Tính
f(x)d
b
a
Ix
Phương pháp: Đặt
d ʹ dtxut xut
Đổi cn:
xa u
xb u
Suy ra


f()ʹ()dt
b
a
Iutut
Du hiu Đặt
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 185
Nếu hàm
fx
có cha
22
ax thì
đặt
sinxa t


22 222
sin cos
sin cos
dx d a t a t dt
ax aa ta t
Nếu hàm
fx có cha
22
ax thì
đặt
tanxa t



2
22 22 2
tan
cos
tan
cos
adt
dx d a t
t
a
ax aa t
t
Nếu hàm

fx
có cha
22
xa thì
đặt
sin
a
x
t

2
2
22 2
2
cos
sin
cos
sin
atdt
dx
t
t
xa a
t
Nếu hàm
fx có cha
ax
ax
thì
đặt
cos 2xa t




2
2
cos 2 2 sin 2
1 cos 2 t cos
1cos2t
sin
dx d a t a tdt
ax t
ax
t
Bài toán 2.
Cho hàm s
fx
liên tc trên đon


;ab
. Khi đó ta có



dd
bb
aa
fx x fa b x x
.
Chng minh:
Đặt
dd tabx x t
.
Khi đó



dddd
ba b b
ab a a
fx x fa b t t fa b t t fa b x x
.
Bài toán 3: Cho hàm s
fx
liên tc và là hàm s l trên
;aa
. Chng minh rng:

d0
a
a
fx x
.
Chng minh:
Ta có:
  



0
0
ddd
aa
aa
I fxx fxx fxx
.
Xét tích phân:

0
d
a
Jfxx
, Đặt
 ddxt x t
.
Đổi cn:
 xata; 00xt.
Mt khác vì
fx
là hàm s l nên
ft ft
.
Khi đó:



0
00
dd d
aa
a
Jfttfttfxx
.
Thay vào ta được:
 


00
dd0
aa
Ifxxfxx
.
2. Phương pháp tích phân tng phn
Công thc:


bb
b
a
aa
udv uv vdu .
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 186
B. CÂU HI TRC NGHIM
Dng 1: Tích Phân Hu T
Câu 1: Tích phân
2
0
2
21
dx
x +
ò
bng
A.
2ln5
. B.
1
ln 5
2
. C.
ln 5
. D.
4ln5
Li gii
Chn C
()
22
2
0
00
22
21ln21 ln5
21 21
|
dx d x x
xx
=+=+=
++
òò
.
Câu 2: Nguyên hàm
2
3
?
32
x
dx
xx
+
++
ò
A.
2
3
2ln 1 ln 2
32
x
dx x x C
xx
+
=+-++
++
ò
.
B.
2
3
ln 1 2 ln 2
32
x
dx x x C
xx
+
=- + + + +
++
ò
.
C.
2
3
2ln 1 ln 2
32
x
dx x x C
xx
+
=++++
++
ò
.
D.
2
3
ln 1 2 ln 2
32
x
dx x x C
xx
+
=++ ++
++
ò
Li gii
Chn A
(
)
(
)
(
)
(
)
2
22 1
321
2
32 1 2 1 2 1 2
xx
x
dx dx
Idx dx dx
xx x x x x x x
æö
+-+
+
÷
ç
== =-=-
÷
ç
÷
ç
èø
++ + + + + + +
òò ò òò
2ln 1 ln 2
x
xC=+-++.
Câu 3: Cho hàm
()
()
2
3
2x
fx
x
+
= nguyên hàm là hàm
()
Fx
. Biết
()
16F =
. Khi đó
()
Fx
dng:
A.
2
42
ln 6x
xx
-- +
.
B.
2
42
ln 4x
xx
+- +
. C.
2
42
ln 6x
xx
+- +
.
D.
2
42
ln 12
x
xx
-- +
Li gii
Chn D
Ta có:
()
(
)
2
2
33 23
2
44144
x
xx
fx
x
xxxx
+
++
== =++
(
)
0x ¹
() ()
23 2
42
44ln
dx dx dx
F
xfxdx x C
xx x xx
= =+ + =--+
ò òòò
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 187
() ( )
2
42
1 6 12 ln 12
FCFxx
xx
= = = -- +
.
Câu 4: m hàm s
()
f
x
biết
()
2
443
'
21
xx
fx
x
++
=
+
(
)
01.f =
Biết
()
f
x
có dng:
(
)
2
ln 2 1 .
f
xaxbx x c=++ ++
Tìm t l ca
: : abc
A.
: : 1 : 2 :1 abc=
. B.
: : 1 :1 :1 abc=
. C.
: : 2 : 2 :1 abc=
. D.
: : 1 : 2 : 2abc=
Li gii
Chn B
Ta có
)(xf
12
344
2
x
xx
dx=
cxxxdx
x
x
12ln
12
2
12
2
()
01f = 112ln)(1
2
xxxxfc
.
Câu 5: Cho
3
1
4
0
1
ln
1
xdx
Ib
xa

Chn phát biu đúng
A. : 2 :1 ab= . B. 3ab+=. C. –1ab= . D. Tt c đều
đúng
Li gii
Chn A
1
3
4
0
1
x
dx
I
x
. Đặt:
43
14ux du xdx
Đổi cn:
01;12xuxu
2
2
1
1
11
ln ln 2
44 4
du
Iu
u

.
Câu 6: Mt hc sinh làm tích phân
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
ò
theo các bước
Bước 1: Đặt tan ,
x
t= suy ra
Bước 2: Đổi
1,00
4
xtx t
p
== = =
Bước 3:
44
2
4
2
0
00
1tan
0
1tan 4 4
t
Idtdtt
t
pp
p
pp+
====-=-
+
òò
Các bước làm trên, bước nào b sai
A. Bước 3. B. Bước 2. C. Bước 1 D. Không bước
nào sai
Li gii
Chn A
44
2
4
2
0
00
1tan
0
1tan 4 4
t
Idtdtt
t
pp
p
pp+
====-=
+
òò
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 188
Câu 7: Tích phân
1
0
25
dx
dx
x +
ò
bng
A.
17
log
25
. B.
17
ln
25
. C.
15
ln
27
. D.
4
35
-
Li gii
Chn B
Câu 8:
Tính tích phân
()
2
2
1
1
ln
1
Idtab
xx
==+
+
ò
. Khi đó 2Sa b=+ bng:
A.
2
3
. B.
2
3
-
. C. 1. D.
1-
Li gii
Chn C
(
)
(
)
()
(
)
2222
22 2
1111
1111
1
11 1
xx
Idxdxdxdx
xx
xx xx x
+-
===-
+
++ +
òòòò
Suy ra
()() ()
22
21
11
22
11 41
11ln 1ln
11
1136
x
Idxxdxx x
xx x
--
æö
÷
ç
=- -+ += ++=-
÷
ç
÷
ç
èø
++
òò
41
,1
36
ab S= =-=
.
Câu 9: Biết
3
2
1
1
ln ,
12
x
xb
dx a
x
++
=+
+
ò
vi
, ab
là các s nguyên. Tính
2.Sa b=-
A.
2S =-
. B.
5S =
. C.
2S =
. D.
10S =
Li gii
Chn C
()
55
2
25 5
33
33
111 3
ln 1 8 ln
112 2
xx
dx x dx x x
xx
æö
++
÷
ç
=+ = ++=+
÷
ç
÷
ç
èø
++
òò
Câu 10: Giá tr tích phân
1
0
1
dx
I
x
=
+
ò
bng
A.
0. B. 1. C. ln 2 . D.
3
ln
2
Li gii
Chn C.
Câu 11: Biết
1
1
2
5
ln
22
x
dx a b
x
-
=+
+
ò
vi
, ab
là các s thc. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
9
30
ab+=
. B.
9
8
ab =
. C.
8
81
ab =
. D.
7
24
ab+=
Li gii
Chn C
Phương pháp: Chia t cho mu.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 189
Cách gii:
1
11 1
1
11 1
3
33 3
516131
3ln 1
22 22 2 1 2
xx
dx dx dx x x
xx x
æöæ ö
-+-
÷÷
çç
==-=-+
÷÷
çç
÷÷
çç
èøè ø
++ +
òò ò
1
1 1 41 21 8 8
3
3ln2 3ln 3ln ln
8
2 6 33 33 27 81
27
a
ab
b
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
=- -+ =+ =+ =
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
Câu 12: Cho
2
2
1
1
xln2ln3ln5
5x 6
da b c
x
=++
++
ò
vi
, , abc
là các s nguyên. Mnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
4abc++=. B. 3abc++=-. C. 2abc++=. D. 6abc++=
Li gii
Chn C
Ta có
2
22
2
1
11
1112
xxln
5x 6 2 3 3
x
dd
xxxx
æö
+
÷
ç
=-=
÷
ç
÷
ç
èø
++ + + +
òò
43
ln ln 4 ln 2 ln 3 ln 5 2
54
abc=-= --++=
Câu 13: Cho
1
2
0
1
dln2ln3
32
xa b
xx





vi
,ab
là các s nguyên. Mnh đềo đúng?
A.
20ab
. B.
20
ab
. C.
2
ab
. D.
2ab
.
Li gii
Chn A
Ta có:



2
21 2
11
32 12 1 2 12 12


  
A
xBx ABxAB
AB
xx xx x x xx xx
Đồng nht thc ta có h phương trình:

2
01
21 1
111
32 1 2




AB A
AB B
x
xxx


1
11
2
00
0
111
d d ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ln1 ln 2
32 1 2
2ln2 ln3
2, 1








xxxx
xx x x
ab
Vy
20ab
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 190
Câu 14: Tích phân

2
1
2
0
1
dln
1
x
Ixabc
x

, trong đó
a
;
b
;
c
là các s nguyên. Tính giá tr
ca biu thc
abc
.
A. 2 . B. 1. C.
3
. D.
0
.
Li gii
Chn A


2
11 1 11
2
2
22 2 2
00 0 00
1
12 2 1
dd1ddd1
11 1 1
x
xx x
Ix x xxx
xx x x







1
2
0
1ln 1 1ln2x
.
1a 
,
2b
,
1c
nên
2abc

.
Câu 15: Gi s tích phân
2
2
1
dln3ln2
(1)
x
xab c
x

trong đó
a
,
b
,
c
là các s hu t. Tính
tng
222
Sa b c
.
A.
77
36
. B.
73
36
. C.
67
36
. D.
1
64
.
Li gii
Chn B
Ta có
22222
222 2
11111
11 1 1
ddddd
(1) (1) (1) (1) (1)
xx
x
xxx x
xxxxx



22
11
ln 1 ln 3 ln 2
11
16
x
x

.
Suy ra
1
6
a 
;
1b
;
1c 
.
Vy

2
2
22 2
173
11
636
Sa b c




.
Dng 2. Tích phân vô t
Câu 1: Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
2
dx
x
C
x
=+
ò
. B.
2
1dx
C
x
x
=+
ò
. C.
ln
1
dx
x
C
x
=+
+
ò
.D.
22
xx
dx C=+
ò
Li gii
Chn A
Ta có
dx dx
22xC
x2x


nên A đúng.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 191
Câu 2:
3
2
3
1
x
dx
x-
ò
bng:
A.
(
)
22
21
x
xC-+ -+
. B.
(
)
22
11
x
xC+-+
.
C.
(
)
22
11
x
xC-- -+
. D.
()
22
21
x
xC+-+
Li gii
Chn A
222
2
1;1
1
x
t x dt dx x t
x
=-=- =-
-
() ( )
(
)
()()
3
233
2
3
222222
3
31 3 3 3
1
131113 21
x
dx t dt t dt t t C
x
x
xxx x x
=- - = - =-+
-
---=---=-+ -
òò ò
.
Câu 3: Cho hàm s
(
)
2
1.Fx x x dx=+
ò
Biết
()
4
0,
3
F =
khi đó
()
22F
bng
A.
3
. B.
85
4
. C.
19
. D.
10
Li gii
Chn D
()()
(
)
()
(
)
22 22
22
3
2222
0
00
1126
1111
233
26
22 0 22 10
3
xx dx x dx x
FF F
+= + += + =
-==
òò
.
Câu 4: H nguyên hàm ca hàm s
(
)
23
4
f
xx x=+
A.
3
24
x
C++
. B.
(
)
3
3
2
4
9
x
C++
. C.
()
3
3
24
x
C++
. D.
(
)
3
3
1
4
9
x
C++
Li gii
Chn B
()
()
()
3
3
2
3
23 33 3
4
112
44.4 4
3
339
2
x
x
xdx x d x C x C
+
+= + += += ++
òò
.
Câu 5: Tính tích phân
5
1
31
dx
I
xx
=
+
ò
ta được kết qu
ln 3 ln 5.Ia b=+
Giá tr
22
3Sa ab b=++
A. 0. B. 4. C. 1. D. 5
Li gii
Chn D
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 192
Đặt
2
12
31 312 3,
54
xt
tx tx tdtdx
xt
ì
==
ï
ï
=+=+=
í
ï
==
ï
î
Suy ra
4
44
2
2
22
11 1
2ln
11 1
1
2
31
ln ln 2 ln 3 ln 5 5
1
53
dt t
Idt
tt t
t
a
S
b
æö
-
÷
ç
==-=
÷
ç
÷
ç
èø
-+ +
-
ì
=
ï
ï
=-= - =
í
ï
=-
ï
î
òò
Câu 6: Cho
1
2
1
3
2,
391
x
dx a b
xx
=+
+-
ò
vi
, ab
là các s hu t. Khi đó giá tr ca
a
A.
26
27
-
. B.
26
27
. C.
27
26
-
. D.
25
27
-
Li gii
Chn B
Ta có:
()
()
2
11 1
22
22
2
11 1
33 3
391
391
991
391
xx x
x
dx dx x x x dx
xx
xx
--
==--
-+
+-
òò ò
() ()
1
11
3
22232
1
11
3
33
1122616
39191.91 2
18 18 3 27 27
xdx x d x x x
æö
÷
ç
=- --=- -=-
÷
ç
÷
ç
èø
òò
Suy ra
26 16
;
27 27
ab
-
==
.
Câu 7: Tích phân
1
0
31
dx
dx
x +
ò
bng
A.
3
2
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.
4
3
Li gii
Chn B
Đặt
2
31 312 3
x
t t x tdt dx+= = + =
Đổi cn:
2
122
011
1
01
12 2 2 2
.
12
333 3
31
xt
dx t
dt dt t
xt
t
x
ì
==
ï
ï
= ==
í
ï
==
+
ï
î
òòò
.
Câu 8: Cho
4
0
1
12
2
Ixxdx=+
ò
21.ux=+ Mnh đề nào dưới đây sai?
A.
()
3
22
1
1
1
2
Ixxdx=-
ò
. B.
()
3
22
1
1Iuudu=-
ò
.
C.
3
53
1
1
25 3
uu
I
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
D.
()
3
22
1
1
1
2
Iuudu=-
ò
Li gii
Chn B
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 193
u= 2x+1 u du=x dx
Đổi cn ta có:
u=1 khi x=0
u=3 khi x=4
()
2
3
53
23
1
1
u1
1u u
uu=
2253
Id
-
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
.
Câu 9: Cho tích phân
7
3
2
3
0
,
1
x
dx m
n
x
=
+
ò
vi
m
n
là mt phân s ti gin. Tính
7.mn-
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
91
Li gii
Chn B
Đặt
2
23 2 2
3
3
1123
2
t
t x t x xdx t dt xdx dt=+=+ = =
01
72
xt
xt
ì
==
ï
ï
í
ï
==
ï
î
Khi đó
()
77 2 2
3232
4
22
33
00 1 1
1 3 3 141
..
22 20
11
xdx x t t
xdx dt t t dt
t
xx
-
===-=
++
òò ò ò
Vy
7
3
2
3
0
141
7 141 7.20 1
20
1
m
xdx m
mn
n
n
x
ì
=
ï
ï
= == - =
í
ï
=
+
ï
î
ò
.
Câu 10: Tích phân
4
0
1
x
2x 1
d
+
ò
bng
A.
2
. B. 3. C. 2. D. 5
Li gii
Chn C
Ta có
4
4
0
0
1
x2x12
2x 1
d =+=
+
ò
.
Câu 11: Biết
1
0
3
,
9
31 21
xab
Idx
xx
+
==
++ +
ò
vi , ab là các s thc. Tính tng
.Tab=+
A.
10.T =-
. B.
4.T =-
. C.
15.T =
. D.
8.T =
Li gii
Chn D
Phương pháp gii: Nhân liên hp vi biu thc mu s, đưa v tính tích phân cơ bn
Li gii:
Ta có
(
)
(
)
(
)
11
22
00
31 21
31 21
31 21
xx x
x
Idx dx
xx
xx
++ +
==
++ +
+- +
òò
()
()
11
00
31 21
31 21.
3121
xx x
x
xdx
xx
+- +
=+-+
+- -
òò
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 194
() ()
() ()
1
33
1
33
0
0
31 21
11 21
.. .31.21
33
32 93
22
xx
xx
æö
÷
ç
÷
ç
++
æö
÷
ç
÷
÷
ç
ç
=- =+-+
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
èø
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
èø
()()
()
1
33
0
17
111793
23 1 32 1 16931 .
9
999
a
xx
b
ì
=
ï
-
éù
ï
=+-+=-+=
íêú
êú ï
=-
ëû
ï
î
Vy
17 8 8.Tab=+= -=
.
Câu 12: Biết
()
1
0
2
3
1
dx
ab
xx
=-
++
ò
vi
, ab
là các s nguyên dương. Tính
Tab=+
A.
7T =
. B.
10T =
. C.
6T =
. D.
8T =
Li gii
Chn B
Nhân liên hp, b mu s đưa v tìm nguyên hàm ca hàm cha căn thc cơ bn
Ta có
()()
()
()
(
)
1
11 1
3
3
22
0
00 0
124
1121
33
1
1
dx x x
dx x x dx x x
xx
xx
+-
éù
==+-=+-=-
êú
êú
ëû
++
+-
òò ò
mt khác
()()()
8
242
21 82
2
333
a
ab
b
ì
=
ï
ï
-= -= -
í
ï
=
ï
î
Vy
8210Tab=+=+=
.
Câu 13: Biết
1
2
0
54
x
dx a
b
x
=
+
ò
vi
, ab
. là các s nguyên dương và phân thc
a
b
là ti gin. Tính
giá tr ca biu
22
Ta b=+
A.
13T =
. B.
26T =
. C.
29T =
. D.
34T =
Li gii
Chn B
Dùng máy tính b túi tính
1
22
2
0
1
15 26
5
54
xdx
T
x
==+ =
+
ò
.
Câu 14: Tích phân
4
0
1
x
2x 1
d
+
ò
bng
A.
2
. B. 3. C. 2. D. 5
Li gii
Chn C
Ta có
4
4
0
0
1
x2x12
2x 1
d =+=
+
ò
Câu 15: Biết
1
2
0
1d
x
xx
21a
b
vi
a ,
b
là s t nhiên. Giá tr
22
ab
A.
5
. B. 5. C. 2. D. 7.
Li gii
Chn A
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 195
Cách 1:
1
2
0
1d
x
xx

1
1
22
2
0
1
1d 1
2
xx

1
22
0
1
11
3
xx

22 1
3
.
2a
,
3b
. Vy
22
5ab.
Cách 2: Đặt
2
1
x
t
22
1
x
t dd
x
xtt
.
Ta có
0x 1t, 1
x
2t .
Khi đó:
1
2
0
1d
x
xx
2
2
1
dtt
2
3
1
3
t
22 1
3
2a, 3b
.
Cách 3: dùng MTCT
Bước 1: Tính tích phân ri lưu li là A.
Bước 2: Rút
21
A
a
b
.
Bước 3: MODE 7 nhp

21
A
x
fx
vi Start:
0
,
End:
18
, Step: 1.
Được cp s
2x
,
3fx
tha mãn. Suy ra
2a
,
3b
.
Dng 3: Tích Phân Lượng Giác
Câu 1: Tính tích phân
4
2
0
osIcxdx
p
=
ò
A.
2
8
I
p +
=
. B.
2
4
I
p +
=
. C.
1
3
I =
. D.
2
3
I =
Li gii
Chn A
Phương pháp: Biu thc trong tích phân là hàm lượng giác bc chn, ta thường s dng
công thc biến đổi lượng giác h bc ri mi tính tích phân.
Cách gii:
()
44
4
2
0
00
1112
cos 1 cos 2 sin 2
2228
Ixdx xdxxx
pp
p
p
æö
+
÷
ç
==+=+=
÷
ç
÷
ç
èø
òò
.
Câu 2: Cho tích phân
2
cos 2
1cos
x
dx a b
x
p
p
p=+
-
ò
vi
,.ab QÎ
Giá tri ca
32
1Pab=- -
A. P = 9. B.
29P =-
. C.
7P =-
. D.
27P =-
.
Li gii
Chn C
()
()
2
22 2
22
2
2
22
cos 2 2cos 2 1 1
21 cos
1cos 1cos 1cos
2
2sin 2cot 23.
2
2sin sin
22
xx
dx dx x dx
xxx
x
d
dx x
xx
xx
pp p
pp p
p
pp
p
p
p
pp
ppp
é
ù
-+
êú
==-+
êú
---
ëû
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
= - + = -+=- -+=-
òò ò
òò
Do đó
(
)
3
2
1; 3 1 1 3 7 .ab P=- = = - - - =-
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 196
Câu 3: H nguyên hàm ca hàm s
()
sin2
f
xx x-=
A.
2
cos2
2
x
x
C++
. B.
2
1
s2x
22
x
co C
++
. C.
2
1
s2x
2
x
co C++
. D.
2
1
s2x
22
x
co C
-+
Li gii
Chn B
Ta có
()
2
1
xs22x x
22
x
xd cosin C
-=++
ò
.
Câu 4: Cho
()
Fx
là nguyên hàm ca hàm s
(
)
sin 2
f
xx=
1.
4
F
p
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
Tính
6
F
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
A.
1
62
F
p
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
. B.
0
6
F
p
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
. C.
5
64
F
p
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
. D.
3
64
F
p
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
Li gii
Chn D
4
4
6
6
11 13
sin 2 2 1
2446644
xdx cos x F F F
p
p
p
p
pp p
æö æö æö
÷÷ ÷
çç ç
===-=-=
÷÷ ÷
çç ç
÷÷ ÷
çç ç
èø èø èø
ò
.
Câu 5: Biết
2
3
cos 3,xdx a b
p
p
=+
ò
vi
, ab
là các s hu t. Tính
26.Tab=+
A.
3.T =
. B.
1.T =-
. C.
4.T =-
. D.
2.T =
Li gii
Chn B
Ta có
2
2
3
3
1
1
cos s inx 1 3 1.
1
2
2
a
xdx T
b
p
p
p
p
ì
=
ï
ï
ï
==- =-
í
ï
=-
ï
ï
î
ò
.
Câu 6: Tính tích phân
4
2
0
tanIxdx
p
=
ò
.
A.
1
4
I
p
=-
. B.
2I =
. C.
ln 2I =
. D.
12
I
p
=
Li gii
Chn A
Ta có
()
44
2
4
0
2
0
1
tan 1 tanx-x 1
4
os
I xdx dx
cx
pp
p
p
æö
÷
ç
==-==-
÷
ç
÷
ç
èø
òò
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 197
Câu 7: Kết qu ca tích phân
()
2
0
21sin
x
xdx
p
--
ò
được viết dng
1
1.
ab
p
p
æö
÷
ç
--
÷
ç
÷
ç
èø
Khng định
nào sau đây là sai?
A.
28ab+=
. B.
5ab+=
. C.
23 2ab-=
. D.
2ab-=
Li gii
Chn B
()
()
2
2
2
2
0
0
1
21sind cos 1 1
42 42
xxxxxx
p
p
pp p
p
æö
÷
ç
-- = - + = - -= - -
÷
ç
÷
ç
èø
ò
4; 2 6ab ab= =+=
khng định B sai.
Câu 8: Tính tích phân
2
0
sin
4
Ixdx
p
p
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
èø
ò
A.
1I =-
. B.
1I =
. C. 0I = . D.
4
I
p
=
Li gii
Chn C
Phương pháp:
() ()
1
sin osax b dx c ax b C
a
+=- ++
ò
Cách gii:
2
2
0
0
22
sin os 0
4422
Ixdxcx
p
p
pp
æö æö
÷÷
çç
=-= =-=
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
ò
.
Câu 9: Cho
f
là hàm s liên tc tha
()
1
0
x7.fxd=
ò
Tính
()
2
0
cos . sin xIxfxd
p
=
ò
A. 1. B. 9. C. 3. D. 7
Li gii
Chn D
Đặt
sin costxdt xdx==
00
1
2
xt
tt
p
ì
==
ï
ï
ï
í
ï
==
ï
ï
î
Khi đó
() () ( )
11
2
000
cos . sin 7I x f x dx f t dt f x dx
p
====
òòò
.
Dng 4: Tích Phân Tng Phn
Câu 1: Giá tr ca
1
2
0
.
x
xe dx
bng:
A.
2
1
2
e
B.
2
1
2
e
C.
2
1
4
e
D.
2
1
4
e
Li gii:
Chn C
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 198
Đặt


2
2
2
x
x
du dx
ux
e
dv e dx
v
. Do đó

1
22222
0
11
1
20 2 2 40 4
xx x
xe e e e e
Idx
Câu 2: Giá tr ca
2
0
cosx xdx
bng:
A.
1
2
B.
1
2
C.
1
2
D.
1
2
Li gii:
Chn B
Đặt




cos sin
ux dudx
dv xdx v x
. Do đó



2
0
sin sin cos 1
22
22
00
Ix x xdx x
Câu 3: Giá tr ca

2
2
1
1lnxxdx
bng:
A.
2ln2 6
9
B.
6ln2 2
9
C.
2ln2 6
9
D.
6ln2 2
9
Li gii:
Chn B
Đặt






2
3
ln
1
3
3
dx
du
ux
x
dv x dx
xx
v
.
Do đó





3
2
23
1
3ln
22
32ln2
313 391
xxx
xx
Idxx
2ln2 2
39
Câu 4: Biết

1
2
1
2ln
d.
e
x
xabe
x
, vi
,
ab . Chn khng định đúng trong các khng định sau:
A. 3ab . B.
3ab . C.
6ab . D. 6ab .
Li gii
Chn D
Đặt
22
11
1
2
1
1
ln
dd
2ln 1 1 1 1 2
d2 ln 2 d 2 ln 21
1
1
dd
e
e
ee
ux
ux
x
x
xx x x
x
xxxxe
vx
v
x
x









Sau khi nhân thêm 2 ta được
2, 4 6ab ab
Câu 5: Giá tr ca
1
ln
e
xdx
bng:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Li gii:
Chn A
Đặt


ln
dx
ux
du
x
dv dx
vx
. Do đó

1
ln 1
11
e
ee
Ixx dxex
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 199
Câu 6: Tích phân




1
1
ln
e
Ixxdx
x
có giá tr là:
A.
2
1
4
e
I
B.
2
3
4
e
I
C.
2
5
4
e
I
D.
2
7
4
e
I
Li gii:
Chn C
Ta có:









1
222
2
1110 1
1
1
11 1 15
ln ln ln ln ln 1
22 24 4
e
e
eee e
xee
I x xdx xdx x xdx d x x xdx x
xx
.
Câu 7: Tính tích phân
π
2
0
cos 2 dIx xx
bng cách đặt
2
dcos2d
ux
vxx
. Mnh đề nào dưới đây
đúng?
A.

π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
Ix x x xx
. B.

π
2 π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
Ix x x xx
.
C.

π
2 π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
Ix x x xx
. D.

π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
Ix x x xx
.
Li gii
Chn A
Ta có:
2
dcos2d
ux
vxx

d2d
1
sin 2
2
uxx
vx
.
Khi đó:
π
2
0
cos 2 dIx xx
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
xxxxx
.
Câu 8: Tính tích phân
2
0
cos dIxxx
.
A.
1
2
. B.
1
2
. C. 1 . D.
2
.
Li gii
Chn A
Đặt:

cos
ux
dv x dx

sin
du dx
vx
.

2
2
0
0
sin sin dIx x xx


2
0
sin cosxx x
1
2
.
Câu 9: Tính
e
1
ln dIxxx
.
A.
1
2
I . B.

2
1
2
2
Ie
. C.
2I . D.


2
1
1
4
Ie.
Li gii
Chn D
Đặt

2
1
dd
ln
dd
2
ux
ux
x
vxx
x
v
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 200
Khi đó
e
1
ln dIxxx




e
e
2
1
1
ln d
22
xx
xx
e
22
1
e
24
x
2
e1
4
.
Câu 10: Cho biết tích phân


1
0
7
2ln 1d ln2Ix x xa
b
trong đó a , b là các s nguyên
dương. Tìm mnh đề đúng trong các mnh đề sau:
A.
ab
. B.
ab
. C.
ab
. D.
3ab
.
Li gii.
Chn A
Đặt








2
1
dd
ln 1
1
d2d
2
2
ux
ux
x
x
vx x
vx
.









1
1
22
0
0
14
2ln 1 d
221
xxx
Ixx x
x




1
0
51 3
ln 2 3 d
22 1
xx
x





2
0
1
51
ln 2 3 3 ln 1
222
x
xx

7
4ln2
4
.
Suy ra
4a , 4b .
Vy
ab.
Câu 11: Tích phân

4
0
dln2
1 cos 2
x
xa b
x
, vi
a
,
b
là các s thc. Tính
16 8ab
A. 4. B. 5. C. 2. D. 3.
Li gii
Chn A
Đặt





dd
d
1
d
tan
1cos2
2
ux
ux
x
v
vx
x
. Ta có


  
4
0
11 1 11111
tan tan d ln cos ln ln 2 ,
44
2 2 82 82 84 8 4
2
00
Ixx xx x a b
Do đó,
16 8 4ab .
Câu 12: Biết


4
0
ln 2 1 d ln 3 ,
a
Ix x x c
b
trong đó
,
, abc là các s nguyên dương
b
c
là phân s
ti gin. Tính
.Sabc
A.
60.S
B.
70.S
C.
72.S
D.
68.S
Li gii
Chn B
Ta có


4
0
ln 2 1 dIx x x.
Đặt




2
2
dd
ln 2 1
21
dd
2
ux
ux
x
x
vxx
v
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 201




4
2
44
2
00
0
ln 2 1
ln 2 1 d d
221
xx
x
Ix x x x
x






4
0
11
8ln9 d
24
42 1
x
x
x




4
2
0
11
16 ln 3 ln 2 1
44 8
x
xx
63
ln 3 3
4
.

63
ln 3 ln 3 3
4
a
c
b

63
4
3
a
b
c
70S
.
Câu 13: Biết


4
2
0
ln 9 d ln 5 ln 3xx xa b c
, trong đó a , b , c là các s nguyên. Giá tr ca biu
thc
Tabc
A. 10T . B.
9T . C.
8T . D. 11T .
Li gii
Chn C
Đặt





2
2
2
2
dd
ln 9
9
dd
9
2
x
ux
ux
x
vxx
x
v
Suy ra
 



4
44
22
22
2
00
0
992
ln 9 d ln 9 . d
22
9
xxx
xx x x x
x
25 ln 5 9 ln 3 8 .
Do đó
25a , 9b , 8c nên
8T .
Câu 14: Cho hàm s ()
y
fx tha mãn 


1
0
(3 1). ʹ( ) 1& 4 (1) (0) 2017.xfxdx f f Tính
1
0
() .Ifxdx
A. 2016.I B.
672.I C.
2016.I D. 672.I
Hướng dn
Chn B
Ta có 



11 1
1
0
00 0
(3 1). ʹ() (3 1) () ()(3 1) 3 ()xfxdx xdfxfxx fxdx


111
000
4 (1) (0) 3 ( ) 2017 3 ( ) 1 ( ) 672.f f fxdx fxdx fxdx
Câu 15: Cho

1
0
ʹ cos . 1fx xdx
1 .cos 1 0 2018ff. Tính

1
0
sin .Ifx xdx
.
A. 2017I . B.
2019I . C.
2019I . D. 2017I .
Hướng dn gii
Chn A
+
Tính

1
0
ʹ cos .fx xdx
theo tng phn, đặt
 








cos sin .
ʹ
ux duxdx
dv f x dx v f x
suy ra
  




11
00
1
0
1
1 ʹ cos . cos . sin .
0
sin . 1 .co s 1 0 1 2017
fx xdx xfx fx xdx
fx xdx f f
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 202
Câu 16: Gi
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
fx
tha mãn
21 0 1FF

1
0
10Fxdx
.
Tính


1
0
1Ixfxdx
.
A. 11I . B.
9I . C.
9I . D. 11I .
Hướng dn gii
Chn C
Đặt
 






11ux du
dv f x v F x
Khi đó:
  


11
00
1
11. 210101109
0
IxfxdxxFx FxdxF F
Câu 17: Gi
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s ()fx vi
11F
,


1
0
d1Fx x
. Tính

1
0
dIxfxx
.
A.
0I
. B.
1I
. C.
2I
. D.
2I
.
Hướng dn gii
Chn D
Đặt
 







dd
dd
ux u x
vfxx vFx
.
 

1
1
0
0
dI xFx Fx x


1
0
1d2FFxx
Câu 18: Cho hàm s
fx
đạo hàm liên tc trên đon
0; 1
tha mãn
10f

1
2
0
1
d
3
xf x x
. Tích phân

1
3
0
dxf x x
bng
A. 3. B. 1. C.
3 . D. 1 .
Hướng dn gii
Chn D
Đặt
 


32
d3d
dd
ux u xx
vfxx vfx
  


11
1
33 2
0
00
d3dIxfxxxfx xfxx


1
13. 1
3
If .
Câu 19: Cho hàm s
fx liên tc trên
216f ,

2
0
d4fx x . Tính tích phân

1
0
.2dIxfxx
.
A. 13I . B.
12I . C.
20I . D. 7I .
Li gii
Chn D
Đặt






dd
1
d2d
2
2
ux
ux
vf xx
vfx
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 203
Khi đó,
    


1
111
000
0
11 11 1
. 2 2d 2 2d 8 2d
22 22 2
Ixfx fxx f fxx fxx
.
Đặt
2d2dtx t x
.
Vi
00xt
;
12xt
.
Suy ra

 
2
0
1
8d817
4
Iftt
.
Dng 5: Tích Phân Chưa Du Giá Tr Tuyt Đối
Câu 1: Cho hàm s
y
fx liên tc trên đon
;ab
ab
0fx , 


;xab. Mnh đề nào
sau đây sai?
A.
 


dd
bb
aa
fx x fx x
. B.
 

dd
bb
aa
fx x fx x.
C.
 

dd
ba
ab
fx x fx x
. D.
 

dd
bb
aa
fx x fx x
.
Hướng dn gii
Chn D
Do
0fx , 


;xab nên
fx fx, 
;
xab.
Vy
 


dd
bb
aa
fx x fx x
.
Câu 2: Tích phân
2
1
2Ixdx
bng
A. 5 B. 2 C. 8 D. 4
Li gii
Chn A



20202
110 10
222225I x dx x dx x dx xdx xdx
Câu 3: Tích phân
4
0
2xdx
bng:
A.
0
B. 2 C.
8
D. 4
Li gii
Chn D



42 4
00 2
22 24xdx xdxxdx
Câu 4: Tích phân

2
1
11
dx
x
bng
A. 2ln3 B. ln3 C. ln2 D. ln6
Li gii
Chn D
Ta có





212
1
2
1
1
111
111
ln 2 ln ln 3 ln 2 ln 6
2
11
dx dx dx x x
xx
x
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 204
Câu 5: Vy
 


dd
bb
aa
fx x fx x
.Tích phân

2
2
1
Ixxdx
có giá tr là:
A.
3
2
I
B.
1
6
I
C.
3
2
I
D. 
1
6
I
Li gii
Chn A
Ta có:


2
002
fx
xx x x .
Bng xét du:



 



02
20 2
22 2 3232
11 0
10
11 11 3
32 32 2
Ixxdx xxdx xxdx x x x x
.
Câu 6: Tích phân

1
32
1
1Ixxxdx
có giá tr là:
A.
4
3
I
B.
1
2
I
C.
4
3
I
D. 
1
2
I
Li gii
Chn A
Ta có:




2
32
10 1 1 0 1 1
fx
xxx x x x x
Bng xét du:







1
11
32 32 4 3 2
11
1
111 4
11
432 3
Ixxxdx xxxdx x x xx
.
Câu 7: Biết


5
1
221
d4ln2ln5
x
Ixab
x
vi
,
ab . Tính
Sab.
A. 9S . B.
11S . C.
3S . D. 5S .
Li gii
Chn D
Ta có



2khi 2
2
2 khi 2
xx
x
xx
.
Do đó
 


25
12
221 221
d d
xx
Ixx
xx
.
 


25
12
22 1 2 2 1
d d
xx
xx
xx
 

 
 

25
12
53
2 d2dxx
xx


25
5ln 2 2 3ln
12
xx x x
48ln23ln5
.


8
3
a
b
5Sab .
Câu 8: Tích phân


2
1
1Ixxdx có giá tr bng
A.
2I
. B.
0I . C.
1I
. D.
1I
.
Li gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 205
Chn B
Ta có





2012
1101
111210Ixxdx dx xdx dx
Dng 6: Tích Phân Hàm Hp Hàm n
Câu 1: Biết
fx là hàm liên tc trên

9
0
d9fx x
. Khi đó giá tr ca

4
1
33dfx x
A. 27 . B. 3 . C. 24 . D. 0 .
Li gii
Chn B
Gi


4
1
33dIfx x
.
Đặt
33tx
d3dtx

1
dd
3
xt
. Đổi cn:
10;xt
49xt
.
Khi đó:

9
0
1
d
3
Iftt
1
.9
3
3 .
Câu 2: Cho


4
0
d1fx x
. Khi đó

1
0
4dIfxx
bng:
A.
1
4
I
B.
2I
C.
1
4
I
D.
1
2
I
Li gii.
Chn C
Cách
1: Đặt 44txdtdx
Đổi cn:
 00;14xtxt
. Khi đó:


4
0
11
44
Iftdt
.
Cách 2: Gi
Fx
là 1 nguyên hàm ca
fx
. Ta có:
 

4
0
d1 4 01fx x F F
  



1
1
0
0
11 1
4d 4 4 0
44 4
IfxxFx F F
Câu 3: Biết rng hàm s ()
y
fxliên tc trên R và
9
0
() 9fxdx
. Tính
3
0
(3 )fxdx
.
A.
3
0
(3 ) 9fxdx
B.
3
0
(3 ) 3fxdx
C.
3
0
(3 ) 3fxdx
D.
3
0
(3 ) 9fxdx
Hướng dn gii:
Chn B
Đặt 3xt3dx dt . Ta có
9
0
1
()
3
Iftdt
1
.9 3
3
Câu 4: Cho hàm s
y
fx
liên tc trên

1
0
1fxdx
. Tính

1
0
1fxdx
.
A.


1
0
10fxdx. B.

1
0
12fxdx. C.


1
0
11fxdx . D.


1
0
11fxdx.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 206
Li gii
Chn D
Đặt 1txdx dt .
Đổi cn:
x
01
t
10
Vy



10
01
1fxdx ftdt

1
0
1ftdt
.
Câu 5: Gi s hàm s
y
fx liên tc trên

5
3
dfx x a,
a . Tích phân


2
1
21dIfx x
có giá tr
A. 
1
1
2
Ia. B.
21Ia. C.
2Ia. D.
1
2
Ia
.
Li gii
Chn D
Đặt
21d2dtx t x
.
Đổi cn:
13xt
;
25xt
.
 


55
33
11 1
dd
22 2
Ifttfxxa
.
Câu 6: Cho

4
1
d5fx x
. Tính
16
1
1
.dIfxx
x
A. 5I . B.
10I . C.
5
2
I
. D. 3I .
Li gii
Chn B
Đặt xt
2
xtd2dxtt.
Vi
11xt 16 4xt.
Khi đó

4
1
1
.2dIfttt
t

4
1
2dft t

4
1
2d10fx x .
Câu 7: Cho hàm s ()
y
fx liên tc trên và có


93
00
() 1, ( 6) 2fxdx fx dx . Tính
2
0
(3 )fxdx
A.
2
0
1
(3 )
3
fxdx
. B.
2
0
1
(3 )
3
fxdx
.
C.
2
0
(3 ) 1fxdx
. D.
2
0
(3 ) 1fxdx
.
Li gii
Chn B
Ta có: 

33 9
00 6
2 ( 6) ( 6) ( 6) ( )fx dx fx dx fxdx


699
006
() () () 1 2 1fxdx fxdx fxdx
Khi đó:


22 6
00 0
111
(3 ) (3 ) (3 ) ( )
333
fxdx fxdx fxdx
Câu 8: Biết

11
1
d18fx x
. Tính



2
2
0
231dIx fx x
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 207
A. 5I . B.
7I . C.
8I D. 10I .
Li gii
Chn B
Đặt 
2
31tx , d6dtxx. Đổi cn
01xt,
211xt



2
2
0
231dIx fx x
2
0
2dxx

2
2
0
31dxf x x


11
1
1
4d
6
ft t

1
4.187
6
.
Câu 9: Cho hàm s ()
y
fx liên tc trên và có

2
1
() 1
2
fxdx x x
. Tính
2
2
1
()fx dx
.
A.

2
2
1
4
()
3
fx dx
. B.
2
2
1
4
()
3
fx dx
. C.
2
2
1
2
()
3
fx dx
. D.
2
2
1
2
()
3
fx dx
Li gii
Chn B

222
1
() 1 () 1 ( ) 1
2
fxdx x x fx x fx x




2
2
3
2
1
1
4
()
33
x
fx dx x
.
Câu 10: Cho


8
3
1d 10fx x
. Tính


1
0
54dJfx x
A.
4J
. B.
10J
. C.
32J
. D.
2J
.
Li gii
Chn B
Đặt
1tx
. Đổi cn:
34xt
;
89xt
. Khi đó ta có

9
4
d10ft t
.
Đặt
54ux
. Đổi cn
04xu
;
19xu
. Khi đó ta có


1
0
54dJfx x

9
4
dfu u
10 .
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
208
BÀI 3. NG DNG HÌNH HC TÍCH PHÂN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. DIN TÍCH HÌNH PHNG
1. Định lý 1: Cho hàm s
()yfx liên tc, không âm trên
;ab
. Khi đó din tích S ca hình thang
cong gii hn bi đồ th hàm s
()yfx , trc hoành và 2 đường thng
,
x
ax b
là:
()
b
a
Sfxdx
2. Bài toán liên quan
Bài toán 1: Din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
()yfx
liên tc trên đon
;ab
, trc
hoành và hai đường thng
x
a ,
x
b
được xác định: ()
b
a
Sfxdx
Bài toán 2: Din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
()yfx
, ()ygx
liên tc trên đon
;ab
và hai đường thng
x
a
,
x
b
được xác định:
() ()
b
a
Sfxgxdx
Chú ý:
- Nếu trên đon
[;]ab , hàm s ()
f
x không đổi du thì:
() ()
bb
aa
f
xdx fxdx

- Nm vng cách tính tích phân ca hàm s có cha giá tr tuyt đối
Bài toán 3: Din tích ca hình phng gii hn bi các đường ()
x
gy , ()
x
hy và hai đường thng
yc
, yd được xác định:
() ()
d
c
Sgyhydy
Bài toán 4: Din tích hình phng gii hn bi 2 đồ th
11
():()Cfx,
22
():()Cfxlà:
1
() ()
n
x
x
Sfxgxdx
.
Trong đó:
1
,
n
x
x tương ng là nghim nh nht ca phương trình () ()
f
xgx
11
22
(): ()
(): ()
()
Cyfx
Cyfx
H
xa
xb
1
()C
2
()C

b
a
Sfxfxdx
12
() ()
a
1
c
y
Ob
x
2
c
()
()
y
fx
y0
H
x
a
x
b
a
1
c
2
c
()
y
fx
y
O
x
3
c
b
b
a
Sfxdx()
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
209
II. TH TÍCH CA KHI TRÒN XOAY
1. Th tích vt th
Gi
B là phn vt th gii hn bi hai mt phng vuông góc vi trc Ox ti các đim ab;
()Sx
là din tích thiết din ca vt th b ct bi mt phng vuông góc vi trc Ox ti đim
x
,
()axb
. Gi s
()Sx
là hàm s liên tc trên đon
[;]ab
.
2. Th tích khi tròn xoay
Bài toán 1: Th tích khi tròn xoay đưc sinh ra khi quay hình phng gii hn bi các đường
()yfx , trc hoành và hai đường thng
x
a
,
x
b
quanh trc Ox:
Bài toán 2: Th tích khi tròn xoay đưc sinh ra khi quay hình phng gii hn bi các đường
()
x
gy , trc hoành và hai đường thng
y
c
, yd
quanh trc Oy:
Bài toán 3: Th tích khi tròn xoay đưc sinh ra khi quay hình phng gii hn bi các đường
()yfx , ()ygx và hai đường thng
x
a
,
x
b
quanh trc Ox:
22
() ()
b
a
Vfxgxdx

.
c
y
O
d
x
(): ()
():
Cxgy
Oy x 0
yc
yd

2
()
d
y
c
V
gy
d
y

(): ()
():
Cy fx
Ox y 0
xa
xb

2
()
b
x
a
V
f
xdx
a
()
y
fx
y
O
b
x
b
a
SxdxV ()
x
O
a
b
()
V
S
(x)
x
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
210
B. CÂU HI TRC NGHIM
Dng 1: Tính Din Tích Gii Hn Bi 1 Đồ Th
Câu 1: Gi
S
là din tích hình phng gii hn bi các đường
3
x
y
,
0y
,
0x
,
2x
. Mnh đề
nào dưới đây đúng?
A.
2
0
3d
x
Sx
. B.
2
2
0
3d
x
Sx
. C.
2
0
3d
x
Sx
. D.
2
2
0
3d
x
Sx
.
Li gii
Chn A
Hình phng gii hn bi các đường
3
x
y
,
0y
,
0x
,
2x
có din tích là
22
00
3d 3d
xx
Sxx

Vy
2
0
3d
x
Sx
.
Câu 2: Cho hàm s
f
x
liên tc trên , din tích
S
ca hình phng gii hn bi đồ th hàm s
yfx
, trc hoành và hai đường thng
,
x
ax ba b

được tính theo công thc
A.

d
b
a
Sfxx
. B.

d
b
a
Sfxx
. C.

d
b
a
Sfxx
. D.

2
d
b
a
Sfxx
.
Li gii
Chn B
Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đồ th hàm s
yfx
, trc hoành và hai đường
thng

,
x
ax ba b
được tính theo công thc

d
b
a
Sfxx
.
Câu 3: Cho hàm s

f
x
liên tc và không âm trên đon
;ab
, din tích hình phng gii hn bi
đồ th hàm s
f
x
, các đường thng
,
x
ax b
và trc
Ox
A.

d
b
a
f
xx
. B.

d
b
a
f
xx
. C.

2
d
b
a
f
xx


. D.

d
b
a
f
xx
.
Li gii
Chn B
Tng quát
Cho hai hàm s
yfx
ygx
liên tc trên
D
;ab D
.
Din tích gii hn bi các đồ thm s
yfx
,
ygx
và các đường thng ,
x
ax b
 
d
b
a
Sfxgxx
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
211
Phương trình trc
Ox
0y
. Do đó áp dng cho bài toán trên ta có din tích cn tìm là:

0d
b
a
Sfx x

d
b
a
f
xx

d
b
a
f
xx
.
Câu 4: Ký hiu
S
là din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s

yfx
, trc hoành, đường
,
x
ax b
. Khng định nào sau đây là đúng?
A.

d
b
a
Sfxx
. B.
 
dd
cb
ac
Sfxxfxx

.
C.
 
dd
cb
ac
Sfxxfxx

. D.
 
dd
cb
ac
Sfxxfxx

.
Li gii
Chn C
Ta có din tích hình phng được tính
  
ddd
bcb
aac
S fxx fxx fxx

.
Do
0, ;
f
xxac
;
0, ;
f
xxcb
nên ta có:
 
dd
cb
ac
Sfxxfxx

.
Câu 5: Cho hàm s

f
x
liên tc trên đon
;ab
và tha mãn

0
d
a
f
xxm
,

0
d
b
f
xxn
. Din
tích hình phng trong hình v bên bng
A.
.mn
. B.
mn
. C. mn
. D.
nm
.
Li gii
Chn B
Ta có:
 
0
0
dd
b
a
Sfxxfxxmn

.
Câu 6: Cho hàm s

yfx
đồ th như hình dưới đây.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
212
Din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
yfx
và trc
Ox
A.
S
 
20
01
dd
f
xx fxx

. B.

2
1
dSfxx
.
C.

2
1
dSfxx

. D.
 
02
10
ddSfxxfxx


.
Li gii
Chn D
T hình v ta có:
   
0202
10 10
dddd.Sfxxfxxfxxfxx



Câu 7: Gi
S
là din tích ca hình phng gii hn bi đồ th
C
ca hàm s
2
1
y
xx
, trc
hoành, trc tung và đường thng
1x
. Biết
2Sa b
,ab
. Tính
ab
.
A.
1
6
ab
. B.
1
2
ab
. C.
1
3
ab
. D.
0ab
.
Li gii
Chn C
Phương trình hoành độ giao đim:
2
10xx
0x
.
Ta có
1
2
0
1dSxxx
1
2
0
1d
x
xx
.
Đặt
2
1tx
22
1tx
.d .dtt xx
.
Đổi cn
01
x
t
12xt .
Khi đó
2
2
1
.dStt
3
2
1
3
t
21
2
33

.
Suy ra
2
3
a
,
1
3
b 
nên
1
3
ab
.
Câu 8: Cho hàm s
yfx
liên tc trên
và có đồ th
C
đường cong như hình bên dưới.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
213
Din tích hình phng gii hn bi đồ th
C
, trc hoành và hai đường thng
0x
,
2x
A.
 
12
01
dd
f
xx fxx

. B.

2
0
d
f
xx
.
C.
 
12
01
dd
f
xx fxx

. D.

2
0
d
f
xx
.
Li gii
Chn A
Din tích hình phng gii hn bi đồ th
C
, trc hoành và hai đường thng
0x
,
2x
  
212
001
dddSfxxfxxfxx

.
Câu 9: Cho hàm s
()yfx
liên tc trên
và có đồ thđường cong như hình bên. Din tích
hình phng gii hn bi đồ th, trc hoành và hai đường thng
0, 2xx
A.
12
01
()d ()dSfxxfxx

. B.
12
01
()d ()dSfxxfxx

.
C.
2
0
()dSfxx
. D.
2
0
()dSfxx
.
Li gii
Chn B
Din tích
S
ca hình phng cn tìm là:

2
0
dSfxx
.
Da vào đồ th ta thy phương trình
0, 0; 2fx x
có nghim duy nht là
1x
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
214
Do đó
 
12
01
ddSfxxfxx

.
Da vào đồ th ta thy

0, 0;1fx x
0, 1; 2fx x
.
Vy
 
12
01
ddSfxxfxx

.
Câu 10: Din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
2
28
y
xx

và trc hoành được xác
định theo công thc nào dưới đây
A.

2
2
4
28dSxxx

. B.

4
2
2
28dSxxx

.
C.

2
2
4
28dSxxx

. D.

4
2
2
82 dSxxx

.
Li gii
Chn D
Ta có:
2
4
280
2
x
xx
x


. Do đó:
4
2
2
28dSxxx

.
Mt khác, vì
2
280, 2;4xx x
nên

44
22
22
28d 82 dSxxx xxx

 

.
Câu 11: Cho đồ th hàm s

yfx
như hình v.
Din tích
S
ca hình phng được gii hn bi đồ thm s
yfx
và trc
Ox
được
tính bi công thc
A.

3
3
dxSfx
. B.

3
3
dxSfx
.
C.
 
13
31
dx dxSfx fx


. D.
 
13
31
dx dxSfx fx


.
Li gii
Chn C
T đồ th hàm s ta thy
0fx
vi
3;1x 
,
0fx
vi
1; 3x
.
Do đó
    
31313
331 31
dx dx dx dx dxSfx fx fx fx fx



.
Câu 12: Din tích hình phng gii hn bi
2
0; 1; 2;yxy x x
bng
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
215
A.
4
3
. B.
7
3
. C.
8
3
. D.
1
.
Li gii
Chn B
Ta có
2
1
22
2
1
7
.
3
Sxdxxdx

Dng 2: Tính Din Tích Gii Hn Bi 2 Hai Đồ Th
Câu 1: Din tích phn hình phng gch chéo trong hình v bên dưới được tính theo công thc
nào sau đây?
A.
2
42
1
13
4d
22
xx x x




. B.
2
42
1
13
1d
22
xx x x




.
C.
2
42
1
13
1d
22
xx x x




. D.
2
42
1
13
4d
22
xx x x




.
Li gii
Chn B
T hình v ta thy phn din tích hình phng cn tính là hình phng gii hn bi đồ th
hai hàm s:

33
22
yfx x
;

42
15
22
ygx x x
và hai đường thng
1; 2xx
.
Ngoài ra ta thy đường

yfx
nm trên đường

ygx
trên đon

1;2
nên ta có din
tích phn gch chéo trên hình v là:
2
42
1
33 1 5
d
22 2 2
Sx xxx







2
42
1
13
1d
22
xx x x




.
Câu 2: Din tích hình phng gii hn bi đồ th các hàm s
2
21yxx
2
3yx
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
216
A.
9
.
2
B.
5
.
2
C. 4. D. 2.
Li gii
Chn A
Phương trình hoành độ giao đim ca các đồ th:
222
1
213 20
2
x
xx x xx
x
  
Din tích hình phng gii hn bi đồ th các hàm s là:
1
111
32
22 2 2
222
2
9
|2 1 3 | | 2 | ( 2) ( 2 )
32 2
xx
xx x dx xx dx xx dx x

 

Câu 3: Cho hình phng

H
gii hn bi các đường
yx
;
yx
;
5x
.
Th tích khi tròn xoay được to thành khi quay hình phng
H
xung quanh trc
Ox
A.

5
2
0
dVxxx

B.

15
22
01
ddVxxxxxx


C.

5
2
0
dVxxx

D.

5
2
1
dVxxx

Li gii
Chn B
Bước 1: Tìm cn.
Xét phương trình:


0
010.
1
x
xxx xx
x

Bước 2: V hình.
Hình phng
H
gi hn bi các đường
yx
;
yx
;
5x
như hình v.
Bước 3: T hình v ta thy khi cho hình phng
H
quay xung quanh trc
Ox
ta được
khi tròn xoay vi th tích là
   
15 15
22 22
01 01
dd dd.V xxx xxx xxx xxx



Câu 4: Din tích hình mt phng gch sc trong hình v bên bng
y
x
5
4
3
5
4
y
=
x
y
= x
2
1
3
1
2
O
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
217
A.
3
1
2d
x
x
. B.

3
1
22d
x
x
.
C.

3
1
22d
x
x
. D.

3
1
22d
x
x
.
Li gii
Chn C
Ta thy din tích phn gch sc gii hn bi các đường
2, 2, 1, 3
x
yyxx

và trên
1; 3
đồ th hàm s
2
x
y
nm phía trên đồ th hàm s
2y
nên din tích phn gch sc bng

3
1
22d
x
x
Câu 5: Cho hàm s bc hai

yfx
và hàm s bc ba
ygx
đồ th như hình v. Din tích
phn gch chéo được tính bng công thc nào sau đây?
A.
   
12
31
ddSfxgxxgxfxx





. B.
 
2
3
dSfxgxx

.
C.
   
12
31
ddSgxfxxfxgxx

 


. D.
   
12
31
ddSgxfxxgxfxx





.
Li gii
Chn C
Da vào đồ th ta thy hoành độ giao đim ca 2 đồ th là:
3; 1; 2xxx

.
Mt khác, trên khong
3; 1
, đồ th hàm
ygx
nm phía trên đồ th hàm s
yfx
;
trên khong
1;2
, đồ th hàm
yfx
nm phía trên đồ th hàm s

ygx
nên din
tích cn tìm là:
     
212
331
dddSgxfxxgxfxxfxgxx

 


.
Câu 6: Cho hàm s

yfx
ygx
đồ th giao nhau ti hai đim phân bit có hoành độ
a
b
. Gi
H
là hình phng đưc gii hn bi đồ th hai hàm s này.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
218
Din tích ca

H
được tính theo công thc
A.
 
d
b
a
Sfxgxx

. B.
 
d
b
a
Sgxfxx

.
C.
 
d
b
a
Sfxgxx

. D.
 
d
b
a
Sfxgxx 

.
Li gii
Chn B
Áp dng công thc
 
d
b
a
Sfxgxx
. Quan sát hình v ta thy
 
gx f x
trên

,ab
nên
   

dd
bb
aa
Sfxgxxgxfxx

.
Câu 7: Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th hai hàm s
2
4yx
2yx
?
A.
5
7
. B.
8
3
. C.
9
2
. D.
9
.
Li gii
Chn C
Phương trình hoành độ giao đim ca hai đồ th hàm s là:
22
1
42 20
2
x
xxxx
x


.
Khi đó din tích hình phng gii hn bi đồ th hai hàm s
2
4yx
2yx
là:



2
22
32
22
11
1
9
42d 2d 2
32 2
xx
Sx xxxxx x






.
Câu 8: Tính din tích hình phng gii hn bi đồ th hàm s
2
1yx
đường thng
3yx
.
A.
9
2
. B.
13
3
. C.
11
3
. D.
7
2
.
Li gii
Chn A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
219
Xét phương trình:
2
13xx
2
20xx

1
2
x
x
.
Din tích hình phng là:
2
2
1
2dSxx x


2
2
1
2d
x
xx

9
2
.
Câu 9: Cho hình phng

H
gii hn bi đường cong
2
20yyx

đường thng
20xy
.
Tính din tích
S
ca hình
H
.
A.
6S
. B.
14S
. C.
17
6
S
. D.
1
6
S
.
Li gii
Chn D
Ta có
22
20 2
y
yx x y y
;
20 2xy x y

.
Phương trình tung độ giao đim ca đường cong
2
20yyx

đường thng
20xy
là:
2
22yyy
2
320yy
1
2
y
y
.
Din tích
S
ca hình
H


2
2
1
1
22dy
6
Syyy

.
Câu 10: Tính din tích hình phng gii hn bi hai đồ th hàm s
yx
;
6yx
và trc hoành.
A.
22
3
. B.
16
3
. C. 2 . D.
23
3
.
Li gii
Chn A
Ta độ giao đim ca đồ th hàm s
yxC
vi trc hoành là nghim ca h
0
yx
y
0
0
x
y
0;0COxO
.
Ta độ giao đim ca đường thng
6yx

vi trc hoành là:
6;6Ox A
.
Ta độ giao đim ca đồ th hàm s
yxC
đường thng
6yx

là nghim ca
h
6yx
yx

6
x
x
yx

4
2
x
y
4; 2CB
.
Din tích hình phng cn tìm là
46
04
d6dSxx xx

22
3
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
220
Câu 11: Din tích hình phng gii hn bi các đồ th hàm s
3
y
xx
;
2yx
và các đường
1x
;
1x 
được xác định bi công thc:
A.

01
33
10
3d 3 dSxxx xxx


. B.

01
33
10
3d 3dSxxxxxx


.
C.

1
3
1
3dSxxx

. D.

1
3
1
3dSxxx

.
Li gii
Chn A
Ta có din tích hình phng gii hn bi các đồ th hàm s
3
y
xx
;
2yx
và các đường
1x
;
1x 


1
3
1
2Sxxx

d
x
1
3
1
3
x
x

d
x
.
Bng xét du
3
3
x
x
Do đó da vào bng ta có:

01
33
10
3d 3 dSxxx xxx


.
Câu 12: Din tích hình phng gii hn bi parabol
2
y
x
đường thng
2yx
bng
A.
9
2
. B.
5
2
. C.
11
2
. D.
1
2
2
.
Li gii
Chn A
Ta có
22
220xx xx
1
2
x
x
.
Vy din tích hình phng là

22
22
11
2d 2 dSxxx xxx

 

2
32
1
99
2
32 22
xx
x




.
Câu 13: Cho
H
là hình phng gii hn bi parabol
2yx
, cung tròn có phương trình
2
8
y
x
và trc hoành. Tính din tích
H
tính bi công thc nào
x
-1 0 1
3
3
x
x
0
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
221
A.
2
2
0
28dxxx
. B.
222
2
02
2d 8 dxx x x

.
C.
22
2
0
(2 8 )dxxx
. D.
2
2
0
(2 8 )dxxx
.
Li gii
Chn B
Gi
S
là din tích hình

H
cn tìm.
Phương trình hoành độ giao đim ca parabol
2yx
và cung tròn
2
8yx
2
2
022
022
28 2
2
280
4
x
x
xx x
x
xx
x






.
Khi đó:
S
=
222
2
02
2d 8 dxx x x

.
Câu 14: Cho đồ th hai hàm s
32
33yx x x
2
21yx x
như hình sau
Din tích phn hình phng được gch sc tính theo công thc nào dưới đây?
A.

12
32 32
11
22d 22dxxx x xxx x
 

.
B.

2
32
1
22 dxxx x

.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
222
C.

12
32 32
11
22d 22d
x
xx x x xx x


.
D.

2
32
1
22d
x
xx x

.
Li gii
Chn A
Chia phn din tích
S
cn tính thành 2 phn
1
S
2
S
như hình v sau
+ Phn
1
S : phn din tích hình phng gii hn bi các đồ th hàm s

32
33
f
xx xx
,
2
21
g
xxx
và các đường thng
1x
,
1x
.
Da vào đồ th ta có
 
1
1
1
dSfxgxx


1
32
1
22d
x
xx x

.
+ Phn
2
S
: phn din tích hình phng gii hn bi các đồ th hàm s
32
33
f
xx xx
,

2
21
g
xxx
và các đường thng
1x
,
2x
.
Da vào đồ th ta có
 
2
2
1
dSgxfxx

2
32
1
22d
x
xx x
.
Vy

1
32
12
1
22dSS S x x x x


2
32
1
22d
x
xx x
.
Câu 15: Din tích phn hình phng gch chéo trong hình v được tính theo công thc nào dưới
đây?
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
223
A.

2
2
1
224d
x
xx

. B.

2
1
22d
x
x

.
C.

2
1
22d
x
x
. D.

2
2
1
224d
x
xx

.
Li gii
Chn D
Gi
S
là din tích cn tìm

2
22
1
321dSx xxx


2
2
1
224d
x
xx

.
Câu 16: Din tích hình phng gii hn bi parabol
2
(2),yx
đường cong
3
y
x
và trc hoành
bng
A.
11
.
2
B.
73
.
12
C.
7
.
12
D.
5
.
2
Li gii
Chn C
Xét phương trình hoành độ giao đim là:

2
3
2 1xxx

.
Gi
1
S là din tích gii hn bi các đường:
3
0
0; 1
yx
y
xx
;
2
S là din tích gii hn bi các
đường:

2
2
0
1; 2
yx
y
xx


.
D thy:
3
0 , 0;1xx


2
20 , 1;2xx
.
Khi đó din tích phn tô đậm trong hình là

12
2
3
12
01
11 7
d2d .
4312
SSS xx x x

Câu 17: Din tích hình phng gii hn bi hai parabol
2
1
2
yx
2
6
y
x
bng
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
224
A.
2
2
2
3
6
2
x
dx



. B.
23
2
23
6
2
x
dx



.
C.
2
2
2
3
6
2
x
dx




. D.
23
2
23
6
2
x
dx




.
Li gii
Chn C
Phương trình hoành độ giao đim ca hai parabol
2
1
2
yx
2
6
y
x
là:
2
22
2
13
660
2
22
x
x
xx
x
 
.
Li có

2
3
60, 2;2
2
x
x
.
Suy ra din tích hình phng cn tìm là:

222
22
22
222
133
6d 6d 6d
222
xx
Sx xx x x






.
Câu 18: Din tích phn tô đậm trong hình bên được tính theo công thc nào trong các công thc
sau?
A.

1
32
0
32d
x
xxx
. B.

1
32
0
32d
x
xxx
. B.

2
32
0
32d
x
xxx
. D.

2
32
0
32d
x
xxx
.
Li gii
Chn B
Ta có công thc tính din tích hình phng gii hn bi các đường:
,,,yfxygxxaxb
; các hàm s
,yfxygx
liên tc trên
;ab
là:
 
d
b
a
Sfxgxx
. Áp dng công thc, din tích phn tô đậm là:

1
232
0
22dSxxxxx
. Vi
0,1x
thì
322
22
x
xx x


232
220xxxx
nên

1
322
0
22dSxxxxx

1
32
0
32d
x
xxx
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
225
Câu 19: Gi

H
là phn hình phng gch chéo trong hình v dưới đây được gii hn bi đồ th
ca các hàm s
2
3yx
,
4yx
và trc hoành. Din tích ca

H
là bng bao nhiêu?
A.
11
2
. B.
9
2
. C.
13
2
. D.
7
2
.
Li gii
Chn A

2
3
:4
0
yx
Hy x
y

Xét phương trình hoành độ giao đim:
40 4
xx
2
30 0xx

2
1( / )
34
4
3
xtm
xx
x Loai

Din tích hình phng


4
14
2
1
23
0
01
1
11
3d 4 d 4
22
H
x
Sxxxxxx





.
Câu 20: Din tích min phng gii hn bi parabol
2
2
x
y
đường tròn có tâm ti gc ta độ,
bán kính
22 thuc khong nào sau đây.
A.

5; 6
. B. (4;5) . C. (7;8) . D. (6;7) .
Li gii
Chn C
Phương trình đường tròn tâm
(0;0)O , bán kính
22
là :
22
8xy
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
226
Phương trình hoành độ giao đim ca parabol và đường tròn :
4
2
82
4
x
xx

.
Vy din tích hình phng là :
2
2
2
2
8 7,616518641
2
x
Sxdx




.
Câu 21: Din tích hình phng gii hn bi đồ th các hàm s
ln ,yx
1y
đường thng
1x
bng
A.
2
e . B.
2e
. C.
2e
. D.
2e
.
Li gii
Chn D
Ta có
ln 1 0
x
xe
.
Din tích hình phng gii hn bi đồ th các hàm s
ln ,yx
1y
đường thng
1x
là:
  
1
1
11 1
ln 1 ln 1 ln 1 1 1 1 2 2
ee e
e
e
Sxdx xdxxx dxx e ee

Câu 22: Cho hình thang cong
H
gii hn bi các đường
e
x
y
,
0y
,
0x
,
ln 4x
. Đường
thng
x
k
0ln4k
chia
H
thành hai phn có din tích là
1
S
2
S như hình v bên.
Tìm
k
để
12
2SS .
A.
4
ln 2
3
k
. B.
8
ln
3
k
. C.
ln 2k
. D.
ln 3k
.
Li gii
Chn D
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
227
Din tích hình thang cong
H
gii hn bi các đường
e
x
y
,
0y
,
0x
,
ln 4x
ln 4
ln 4
0
0
ed e
xx
Sx
ln 4 0
ee413
.
Ta có
12 1 1 1
13
22
SSS S S S 
. Suy ra
1
22.3
2
33
S
S

.
1
S là phn din tích được gii hn bi các đường
e
x
y
,
0y
,
0x
,
x
k
nên
1
0
0
2ede
k
k
xx
Sx
0
eee1
kk

.
Do đó
e3 ln3
k
k
.
Câu 23: Din tích hình phng gii hn bi hai đồ th hàm s
3
y
x
,
2
44yx x

và trc
Ox
được
tính theo công thc nào dưới đây?
A.

2
32
0
44d
x
xx x
. B.

12
32
01
d44d
x
xxx x

.
C.

12
32
01
d44d
x
xxx x

. D.

12
32
01
d44d
x
xxx x

.
Li gii
Chn D
Da vào hình v ta thy hình phng cn tính din tích gm 2 phn:
Phn 1: Hình phng gii hn bi đồ th hàm s
3
y
x
, trc
Ox
,
0x
,
1x
.
Phn 2: Hình phng gii hn bi đồ th hàm s
2
44yx x

, trc
Ox
,
1x
,
2x
.
Do đó din tích cn tính là

12 12
32 32
01 01
d44dd 44dSxxxx xxxxx x  

.
Câu 24: Cho hình phng
D
gii hn bi đường cong
1
e
x
y
, các trc ta độ và phn đường thng
2yx
vi
1
x
. Tính th tích khi tròn xoay to thành khi quay quanh trc hoành.
2
2
1e 1
32e
V

. B.
2
2
5e 3
6e
V
. C.
1e1
2e
V

. D.
2
2
1e 1
22e
V

.
D
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
228
Li gii
Chn B
Phương trình hoành độ giao đim ca đưng cong
1
e
x
y
đường thng
2yx
:
1
e2 1
x
xx

.
Đường thng
2yx
ct trc hoành ti
2x
.


12
2
2
1
01
ed 2 d
x
Vxxx



2
2
3
1
22
2
0
1
5e 1
e24
3
6e
x
x
x





Dng 3: Tính Th Tích Vt Th Tròn Xoay Da Vào Định Nghĩa
Câu 1: Trong không gian , cho vt th được gii hn bi hai mt phng , vuông
góc vi trc ln lượt ti , . Mt mt phng tùy ý vuông góc vi
ti đim có hoành độ , ct vt th theo thiết din có din tích là
vi là hàm s liên tc trên . Th tích ca th tích đó được tính theo
công thc
A. . B. . C. . D.
.
Li gii
Chn D
Theo định nghĩa ta có:

d
b
a
VSxx
Câu 2: Cho phn vt th
gii hn bi hai mt phng
có phương trình
0x
2x
. Ct
phn vt th
bi mt phng vuông góc vi trc
Ox
ti đim có hoành độ
x
Oxyz
P
Q
Ox
x
a
x
b
ab
Ox
x
axb
Sx
y
Sx
;ab V
O
y
x
z
S
(
x
)
a
x
b

2
d
b
a
VSxx

2
π d
b
a
VSxx

π d
b
a
VSxx

d
b
a
VSxx
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
229
02x
, ta được thiết din là mt tam giác đều có độ dài cnh bng
2
x
x
. Tính th
tích
V
ca phn vt th
.
A.
4
.
3
V
B.
3
.
3
V
C. 43.V D. 3.V
Li gii
Chn B
Din tích thiết din:
2
23
4
xx
S
.
2
2
0
23
d
4
xx
Vx

2
2
0
3
2d
4
x
xx

2
2
0
3
2d
4
x
xx
2
34
0
32 1 3
43 4 3
xx




.
Câu 3: Tính th tích ca vt th gii hn bi hai mt phng
1
x
3x
, biết rng khi ct vt
th bi mt phng tùy ý vuông góc vi trc
Ox ti đim có hoành độ
x
13x
thì
được thiết din là hình ch nht có hai cnh là
3
x
2
32x
.
A.
32 2 15 . B.
124
3
. C.
124
3
. D.
32 2 15
.
Li gii
Chn C
Th tích vt th cn tìm
3
2
1
33 2dVxxx
5
1
.dttt
5
3
1
3
t
124
3
.
Câu 4: Cho vt th gii hn bi hai mt phng
0x
,
2
x
, biết rng thiết din ca vt th vi
mt phng vuông góc vi trc Ox ti đim có hoành độ
0
2
xx




là mt đường tròn
có bán kính
cosRx . Th tích ca vt th đó là
A.
2
. B.
2
. C.
. D. 1.
Li gii
Chn C
Din tích ca đường tròn là
2
cosSx r x

 .
Vy th tích ca vt th

22
00
cosVSxdx xdx



.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
230
Câu 5: Cho phn vt th
T
gii hn bi hai mt phng có phương trình
0x
2.x
. Ct
phn vt th
T
bi mt phng vuông góc vi trc Ox ti đim có hnh độ
02,xx
, ta được thiết din là mt tam giác đều có đội cnh bng
2
x
x
. Tính
th tích V ca phn vt th
T
.
A.
4
.
3
V
B.
3
.
3
V
C.
43.V
D.
3.V
Li gii
Chn B
22
2
00
13 3 3
.. 2 . .. 2 (2 )
22 4 3
Vxxxxdx xxdx

Câu 6: Tính th tích V ca phn vt th gii hn bi hai mt phng x = 1 và x = 3, biết rng khi
ct vt th bi mt phng tùy ý vuông góc vi trc Ox ti đim có hoành độ x
13
x
thì được thiết din là mt hình ch nht có độ dài hai cnh là 3x và
2
32x
A.
32 2 15V
B.
124
3
π
V
C.
124
3
V
D.
(32 2 15)V π
Li gii
Chn C

3
3
22
2
1
3
1124
33 2 3 2 .
1
33
Vxxdx x




Câu 7: Mt vt th nm gia hai mt phng
1; 1
x
x

và thiết din ca vt th b ct bi mt
phng vuông góc vi trc hoành ti đim có hoành độ
(1 1)xx

là mt hình tròn có
din tích bng 3π. Th tích ca vt th
A.
2
3.
B.
6.
C. 6. D.
2.
Li gii
Chn B
11
11
() 3 6.VSxdx dx



Dng 4: Tính Th Tích Vt Th Tròn Xoay Khi Quay Hình Phng Gii Hn Bi 1 Đồ Th
Câu 1: Cho hình
H
gii hn bi các đường
2
2
y
xx

, trc hoành. Quay hình phng
H
quanh trc
Ox
ta được khi tròn xoay có th tích là:
A.
496
15
. B.
32
15
. C.
4
3
. D.
16
15
.
Li gii
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
231
Chn D
Phương trình hoành độ giao đim ca
H
và trc hoành
2
0
20
2
x
xx
x

.
Th tích khi tròn xoay cn tìm là

2
22
5
2
243243
00
0
416
2d 4 4d
53 15
x
Vxxxxxxx xx






.
Câu 2: Cho hình phng
H
được gii hn bi elip có phương trình
22
1
25 16
xy

. Tính th tích
ca khi tròn xoay thu được khi quay hình phng
H
quanh trc
Ox
.
A.
160
3
. B.
320
3
. C.
160
3
. D.
320
3
.
Li gii
Chn B
Elip ct trc hoành ti hai đim có ta độ
5; 0
5; 0
.
Do đó:
2
5
5
16 320
16 d
25 3
x
Vx




.
Câu 3: Gi
D
là hình phng gii hn bi đồ th hàm s
2
43yfx x x

, trc hoành và
hai đường thng
1; 3xx
. Th tích khi tròn xoay to thành khi quay
D
quanh trc
hoành bng
A.
16
15
. B.
16
15
. C.
4
3
. D.
4
3
.
Li gii
Chn A
* Th tích khi tròn xoay to thành khi quay
D
quanh trc hoành là:
33
2
2432
11
16
43 5 19 129
15
Vxxdxxxxxdx





.
Câu 4: Cho hình phng
()
H
gii hn bi đồ th hàm s
3
32
y
xx

, trc hoành và hai
đường thng
1, 2xx
. Quay
()
H
xung quanh trc hoành ta được khi nói tròn xoay
có th tích là:
A.
2
2
1
32Vxxdx

B.
2
2
1
32Vxxdx
C.
2
2
2
1
32Vxxdx
D.

2
2
2
1
32Vxxdx

LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
232
Li gii
Chn D
Th tích khi tròn xoay khi hình phng gii hn bi
3
32
0
1
2
yx x
y
x
x


2
2
2
1
32Vxxdx

=

2
2
2
1
32Vxxdx

Chn đáp án D
Câu 5: Cho hình phng
D
được gii hn bi các đường
0x
,
1
x
,
0y
21yx
.
Th tích
V
ca khi tròn xoay to thành khi quay
D
xung quanh trc
Ox
được tính
theo công thc?
A.
1
0
21dVxx
. B.

1
0
21dVxx
. C.

1
0
21dVxx
. D.
1
0
21dVxx
.
Li gii
Chn B
Ta có

1
2
0
21dVxx

1
0
21d
x
x
.
Câu 6: Cho hình phng
H
gii hn bi các đường
yx
,
0x
,
1
x
và trc hoành. Tính
th tích
V
ca khi tròn xoay sinh bi hình
H
quay quanh trc
Ox
.
A.
π
3
. B.
π
2
. C.
π
. D. π .
Li gii
Chn B
Th tích khi tròn xoay là
1
0
dVxx
1
2
0
π
2
x
π
2
.
Câu 7: Th tích ca khi tròn xoay to thành khi quay hình phng gii hn bi đồ th hàm s
tanyx
, trc hoành và các đường thng
0x
,
π
4
x
quanh trc hoành là
A.
π
4
V
. B.
πln 2
2
V
. C.
2
π
4
V
. D.
π
4
V
.
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
233
Th tích khi tròn xoay cn tính là
π
4
0
π tan dVxx
π
4
0
sin
π d
cos
x
x
x
π
4
0
π ln cos
x

πln 2
2
.
Câu 8: Cho hàm s
yf
x
liên tc và có đồ th như hình bên. Gi
D
là hình phng gii hn
bi đồ thm s đã cho và trc
Ox . Quay hình phng
D
quanh trc Ox ta được khi
tròn xoay có th tích
V được xác định theo công thc
A.

3
2
1
dVfxx


. B.

3
2
1
1
d
3
Vfxx

.
C.

3
2
2
1
dVfxx


. D.

3
2
1
dVfxx


.
Li gii
Chn A
Đồ th hàm s
yf
x
ct trc
Ox
ti hai đim có hoành độ ln lượt là
1
x
,
3x
nên th tích khi tròn xoay khi quay hình phng
D
quanh trc
Ox
được tính theo công
thc

3
2
1
dVfxx


.
Câu 9: Th tích khi tròn xoay to thành khi quay hình phng gii hn bi các đường
e
x
y
x
,
0y
, 0x , 1
x
xung quanh trc Ox
A.
1
22
0
ed
x
Vx x
. B.
1
0
ed
x
Vxx
. C.
1
22
0
ed
x
Vxx
. D.
1
2
0
ed
x
Vxx
.
Li gii
Chn C
Th tích khi tròn xoay gii hn bi
yf
x
,
0y
,
x
a
,
x
b
xác định bi:

2
d
b
a
Vfxx
.
Vy,
1
22
0
ed
x
Vxx
.
Câu 10: Cho hình phng
D
được gii hn bi các đường
0x
,
x
,
0y
sinyx
.
Th tích
V
ca khi tròn xoay to thành khi quay
D
xung quanh trc
Ox
được tính
theo công thc
O
x
y
1
3
3
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
234
A.
0
sin dVxx
. B.
2
0
sin dVxx
.
C.

0
sin dVxx

. D.
2
0
sin dVxx
.
Li gii
Chn B
Ta có th tích ca khi tròn xoay cn tính là
2
0
sin dVxx
.
Câu 11: Cho hình phng
H
gii hn bi đồ th hàm s
.lnyx x
, trc hoành và hai đưng
thng
1
x
;
2x
. Th tích vt th tròn xoay sinh bi
H
khi nó quay quanh trc hoành
có th tích
V
được xác định bi
A.

2
2
1
.ln dVxxx
. B.

2
1
.ln dVxxx
.
B.

2
2
1
.ln dVxxx
. D.

2
1
.ln dVxxx
.
Li gii
Chn A
Th tích vt th tròn xoay sinh bi

.ln
:0
1; 2
yx x
Hy
xx
khi nó quay quanh trc hoành có th
tích
V
được xác định bi

2
2
1
.ln dVxxx
.
Câu 12: Tính thch khi tròn xoay được to thành khi quay hình phng gii hn bi đồ th hàm
s
2
3yxx
và trc hoành, quanh trc hoành.
A.
81
10
. B.
85
10
. C.
41
7
. D.
8
7
.
Li gii
Chn A
Ta có
2
0
30
3

x
xx
x
.
Th tích khi tròn xoay cn tìm là:

3
33
45
2
22343
00
0
381
3963
25 10






xx
Vxxdxxxxdxx
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
235
Câu 13: Cho hình phng
D
gii hn bi đường cong
2cosyx
, trc hoành và các đường
thng
0x
,
2
x
. Khi tròn xoay to thành khi quay
D
quanh trc hoành có th tích
V
bng bao nhiêu?
A.
1V

. B.
1V
. C.
1V

. D.
1V


.
Li gii
Chn D
Th tích khi tròn xoay khi quay
D
quanh trc hoành có th tích là:
2
2
0
dVyx

2
0
2cos d
x
x


2
0
2sin
x
x

1

.
Câu 14: Gi V là th tích ca khi tròn xoay thu được khi quay xung quanh trc Ox hình phng
gii hn bi các đường
1
y
x
,
y0
,
x1
,
xa
,
a1
. Tìm a để V = 2.
A.
π
a
π 2
. B.
π
a
π 2
. C.
π 2
a
π
. D.
2
a
π
.
Li gii
Chn A
2
1
11
() 2
1
2
a
a
Vdx a
xxa


Câu 15: Kí hiu là hình phng gii hn bi đồ th hàm s
1
, 0, 0, .
cos 3
yyxx
x

Th tích
V ca khi tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trc Ox là.
A.
V
B.
2V
C.
3V
D.
2V
Li gii
Chn C

2
33
3
2
0
00
11
0 tan=3 .
cos cos
Vdxdxx
xx







Câu 16: Gi V là th tích khi tròn xoay to thành do quay xung quanh trc hoành mt elip có
phương trình
22
1
25 16
xy

. V có giá tr gn nht vi giá tr nào sau đây?
A. 550. B. 400. C. 670. D. 335.
Li gii
Chn A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
236
Ta có
22
2
4
125
25 16 5
xy
y
x
.
Do elip nhn Ox, Oy làm các trc đối xng nên th tích V cn tính bng 4 ln th tích
hình sinh bi hình phng gii hn bi các đồ th hàm s
2
4
25 , 0
5
yxy

và các
đường thng
0x , 5x quay xung quanh Ox .
Ta có
2
5
2
0
4640
425 670,2
53
Vxdx




.
Câu 17: Th tích vt th tròn xoay khi quay hình phng gii hn bi
2
1
y
x
,
0y
quanh trc
Ox
πa
V
b
vi
a
,
b
là s nguyên. Khi đó
ab
bng
A.
11
. B.
17
. C.
31
. D.
25
.
Li gii
Chn C
Phương trình hoành độ giao đim
2
10x
1x

.
Ta có

1
2
2
1
π 1dVxx

16π
15
16a
,
15b
.
Vy
31ab
.
Dng 5: ng Dng Tích Phân Trong Vt Lý
Câu 1: Mt ô tô đang chy vi vn tc 10m/s thì người lái đạp phanh; t thi đim đó, ô tô
chuyn động chm dn đều vi vn tc
()
510vt t=- +
, trong đó
t
là khong thi gian
tính bng giây, k t lúc bt đầu đạp phanh. Hi t lúc đạp phanh đến khi dng hn, ô tô
còn di chuyn bao nhiêu mét?
A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m
Li gii
Chn D
Xét phương trình
5100 2.tt-+ ==
Do vy, k t lúc người lái đạp phanh thì sau
2s ô tô dng hn.
Quãng đường ô tô đi được k t lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dng hn là
()
2
2
0
2
5
510 10 10.
0
2
stdtttm
æö
÷
ç
÷
=-+ =- + =
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
Câu 2: Mt vt chuyn động trong 4 gi vi vn tc
v
ph thuc thi gian
t
đồ th ca vn
tc như hình bên. Trong khong thi gian
3
gi k t khi bt đầu chuyn động, đồ th đó
là mt phn ca đường parabol có đỉnh
()
2; 9I
vi trc đối xng song song vi trc
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
237
tung, khong thi gian còn li đồ th mt đon thng song song vi trc hoành. Tính
quãng đường
s
mà vt di chuyn được trong
4
gi đó.
A.
26, 5s =
B.
24s =
C.
28,5s =
D.
27s =
Li gii
Chn C
Gi
()
2
:Py ax bxc=++
.
(
)
P
qua
(
)
0; 0O
và có đỉnh
(
)
2; 9I
nên d tìm được phương trình là
2
9
9
4
yxx
-
=+
.
Ngoài ra ti
3x =
ta có
27
4
y =
Vy quãng đung cn tìm là:
34
2
03
927
9d d 27( )
44
Sxxxxkm
æö
-
÷
ç
÷
=++=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
òò
.
Câu 3: Mt vt chuyn động trong
3
gi vi vn tc
()
km/hv
ph thuc thi gian
(
)
ht
đồ
th là mt phn ca đường parabol có đỉnh
(
)
2; 9I
và trc đối xng song song vi trc
tung như hình bên. Tính quãng đường
s
mà vt di chuyn được trong
3
gi đó.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
238
A.
()
26,75 kms =
B.
()
25,25 kms =
C.
()
24,25 kms =
D.
()
24, 75 kms =
Li gii
Chn D
Tìm được phương trình ca vn tc là
()
2
3
36
4
vt t t=- + +
Vy
3
2
0
3
(36)
4
Sttdt=- ++ =
ò
24,75
Câu 4: Mt vt chuyn động trong 3 gi vi vn tc
(/)vkm h
ph thuc vào thi gian
()th
đồ th vn tc như hình bên. Trong thi gian 1 gi k t khi bt đầu chuyn động, đồ th
đó là mt phn ca đường parabol có đỉnh
(2; 9)I
và trc đối xng song song vi trc
tung, khong thi gian còn li đồ th là mt đon thng song song vi trc hoành. Tính
quãng đường
s
mà vt chuyn động được trong 3 gi đó.
A.
15, 50( )skm=
B.
23,25( )skm=
C.
13, 83( )skm=
D.
21,58( )skm=
Li gii
Chn D
Gi phương trình ca parabol
2
vat btc=++
ta có h như sau:
45
42 9 4
5
2
24
cb
abc c
b
a
a
ìì
ïï
ïï
ïï
==
ïï
ïï
ïï
++==
íí
ïï
ïï
ïï
ïï
-= =-
ïï
ïï
îî
Vi
1t =
ta có
31
4
v =
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
239
Vy quãng đường vt chuyn động được là
13
2
01
5 31 259
54
441
3
2
21,58sttdtdt
æö
÷
ç
÷
=- ++ + = »
ç
÷
ç
÷
ç
èø
òò
Câu 5: Mt người chy trong thi gian 1 gi, vn tc
v
ph thuc vào thi gian t đồ th
mt phn parabol vi đỉnh
1
; 8
2
I
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
và trc đối xng song song vi trc tung như hình
bên. Tính qung đường
s
người đó chy được trong khong thi gian 45 phút, k t khi
chy?
A.
4s =
B.
2, 3s =
C.
4, 5s =
D.
5, 3s =
Li gii
Chn C
Gi parabol là
(
)
2
:.Py ax bxc=++ T hình v ta có
(
)
P đi qua
()
0; 0O ,
()
1; 0A
đim
1
; 8
2
I
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Suy ra
032
032.
0
8
42
ca
abc b
ab c
c
ì
ï
ï
ì
ï
ï
==-
ï
ï
ï
ï
ï
ï
++= =
íí
ïï
ïï
=
ïï
ïï
î
++=
ï
ï
î
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
240
Vy
(
)
2
:3232Py x x=- +
. Qung đường người đó đi được là
()
3
4
2
0
32 32 d 4,5sxxx=- + =
ò
Câu 6: Mt cht đim
A
xut phát t
O
, chuyn động thng vi vn tc biến thiên theo thi
gian bi quy lut
 
2
113
m/s
100 30
vt t t
, trong đó
t
là khong thi gian tính t lúc
A
bt đầu chuyn động. T trng thái ngh, mt cht đim
B
cũng xut phát t
O
, chuyn
động thng cùng hướng vi
A
nhưng chm hơn
10
giây so vi
A
và có gia tc bng
2
m/sa
. Sau khi
B
xut phát được 15 giây thì đui kp
A
. Vn tc ca
B
ti thi đim
đui kp
A
bng
A.
25 m/s
. B.
9m/s
. C.
42 m/s
. D.

15 m/s
.
Li gii
Chn A
Ta có
.dt
B
vt a atC
,
00 0
B
vC

B
vt at
.
Quãng đường cht đim
A
đi được trong
25
giây là
25
2
0
113
dt
100 30
A
Stt




25
32
0
1 13 375
300 60 2
tt




.
Quãng đường cht đim
B
đi được trong
15
giây là :
15
0
.dt
B
Sat
2
15
0
225
22
at a
.
Ta có
375 225 5
22 3
a
a
.
Vn tc ca
B
ti thi đim đui kp
A
 
5
15 .15 25 m/s
3
B
v 
.
Câu 7:
Mt cht đim
A
xut phát t
O
, chuyn động thng vi vn tc biến thiên theo thi
gian bi quy lut
() ()
2
158
/
120 45
vt t tm s=+
, trong đó
t
là khong thi gian tính t lúc
A
bt đầu chuyn động. T trng thái ngh, mt cht đim
B
cũng xut phát t
O
,
chuyn động thng cùng hướng vi
A
nhưng chm hơn
3
giây so vi
A
và có gia tc
bng
()
2
/am s
. Sau khi
B
xut phát được
15
giây thì đui kp
A
. Vn tc ca
B
ti
thi đim đui kp
A
bng
A.
()
25 /ms
B.
()
36 /ms
C.
()
30 /ms
D.
()
21 /ms
Li gii
Chn C
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
241
Thi đim cht đim
B
đui kp cht đim
A
thì cht đim
B
đi được
15
giây, cht
đim
A
đi được
18
giây.
Biu thc vn tc ca cht đim
B
có dng
(
)
d
B
vt at at C==+
ò
()
00
B
v =
nên
(
)
B
vt at=
.
Do t lúc cht đim
A
bt đầu chuyn động cho đến khi cht đim
B
đui kp thì quãng
đường hai cht đim đi được bng nhau.
Do đó:
18 15
2
00
1 58 225
dd225. 2
120 45 2
ttatt aa
æö
÷
ç
÷
+= ==
ç
÷
ç
÷
ç
èø
òò
Vy, vn tc ca cht đim
B
ti thi đim đui kp
A
bng
() ( )
2.15 30 /
B
vt ms==
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
242
CHƯƠNG 4. S PHC
BÀI 1. S PHC
1. S i

22
10 1xx
. Vi

2
1 i
vi i là đơn v o
2. Định nghĩa s phc: S phc là s có dng
(, )zabiab , i là đơn v o, tc là
2
1i 
a gi là phn thc ca z
b gi là phn o ca z
Tp hp các s phc kí hiu là
3. S phc bng nhau
Hai s phc được gi là bng nhau nếu phn thc và phn o ca chúng tương ng bng nhau
1112 22
12
12
12
,zabizabi
aa
zz
bb


4. Biu din hình hc s phc
Đim

,
M
ab
trong h trc ta độ vuông góc ca mt phng được gi là đim biu din s phc
zabi
5. Mô đun ca s phc
Cho s phc
zabi
. Khi đó đại lượng
22
ab
gi là môđun ca z. Kí hiu
22
zab
6. S phc lien hp
Cho s phc
zabi
. Khi đó s phc
zabi gi là s phc liên hp ca z.
BÀI 2. CNG, TRÙ, NHÂN S PHC
1. Phép cng và phép tr
Cho
,
1112 22
zabiz abi . Khi đó
12 12 12
zz aa bbi
12 12 12
zz aa bbi
2. Phép nhân
2
..
1 2 1 1 2 2 12 12 21 12
z z a bi a b i aa ab i a bi bb i 
()
12 12 12 21
aa bb ab ab i
BÀI 3. PHÉP CHIA S PHC
1. Tng và tích ca hai s phc liên hip
Cho

 ,,zabiab
. Lúc đó
 ,,zabiab

22
2, .zz azza b
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 243
2. Phép chia s phc
Cho
,
1112 22
zabiz abi . Khi đó


()
12 12 21 12
11 11 2 2
1
22
2
22 22 22
22
aa bb a b ab i
abi abia bi
z
z
abi abiabi
ab




Dng 1. Phn Thc – Phn o & Các Phép Toán
Câu 1: Phn thc và phn o ca các s phc
(4 ) (2 3 ) (5 )iii

là:
A. 1 và 1 B. 1 và 2 C. 2 và 1 D. 2 và 3
Li gii.
Chn A
(4 ) (2 3 ) (5 ) 4 2 5 1 3 1 1iii ii 
Câu 2: Phn thc và phn o ca các s phc

25
23
34
ii




là:
A.
8
3
3
4
B.
12
3
1
6
C.
4
3
7
4
D.
1
8
9
2
Li gii.
Chn C

252547
23 2 3
34 3 4 34




ii ii
Câu 3: Phn thc và phn o ca các s phc
ii(2 3 )(3 )
là:
A. -1 và 2 B. 9 và
7
C. 2
3
D. 4 và -1
Li gii.
Chn B

2
(23)(3 )62 9 3 63 29 97ii iii i i
Câu 4: Phn thc và phn o ca các s phc
i21
3
là:
A.
3
5
6
5
B.
1
5
2
5
C.
7
5
6
5
D.
1
2
và 3
Li gii.
Chn A
2
31 2i
336i36
i
12i 14i 5 5 5


Câu 5: Phn thc và phn o ca các s phc
i
i
1
1
là:
A. 1 và 0 B. 2 và 0 C. 0 và 2 D. 0 và 1
Li gii.
Chn D
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
244
2
1i1i
1i 2i
i
1i 1i 2



Câu 6: Phn thc và phn o ca các s phc
ai
bia
là:
A.
b
a
a
B.
2a
b
a
C.
b
a
a
D.
2
a
b
a
Li gii.
Chn A
2
aib ia
aib iaa ab b
ia
ia a a
ia



Câu 7: Kết qu ca phép tính
ii
22
(1 ) (1 ) là:
A. 1-2i B. 2+i C. 4i D. 5i
Li gii.
Chn C

22 2 2
(1 ) (1 ) 1 2 1 2 4 i i ii ii i
Câu 8: Kết qu ca phép tính
ii
33
(2 ) (3 ) là:
A.
633 i
B.
527
i
C.
724
i
D.
16 37i
Li gii.
Chn D
33 23 23
(2 ) (3 ) 8 12 6 27 27 9 ii iii iii
211 1826 1637 ii i
Câu 9: Kết qu ca phép tính
i
6
(2 ) là:
A.
144 i
B.
117 44
i
C.
17 24
i
D.
112 25i
Li gii.
Chn B

2
32
6
(2 ) 2 2 11 117 44ii i i


Câu 10: Kết qu ca phép tính
100
(1 )i
là:
A.
25
2
B.
50
2
C.
50
2
D.
25
2
Li gii.
Chn B

50
250
100 50
(1 ) 1 2 2iii 


LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 245
Chú ý:
2*
1,
n
in
Câu 11: Cho s phc
zxyi
, xy
. Phn thc và phn o ca s phc
2
24zzi là:
A.
22
22
x
yy
323xy y
B.
22
22
x
yx
224xy y
C.
22
5
x
yx
221
x
yx
D.
22
42
x
yx
24xy y
Li gii.
Chn B

2
222
24 2 4 2 22 4z z i x yi x yi i x xyi y x yi i

22
2224
x
yx xyyi
Câu 12: Phân tích
2
1a tành nhân t. Chn đáp án đúng:
A.

22 aiai
B.
22aiai
C.
aiai
D.

 aiai
Li gii.
Chn C


222
10 0 0aaiaiai
Câu 13:
Phân tích
2
23a
tành nhân t. Chn đáp án đúng:
A.
2323aiai
B.
2
2323ai ai
C.
22
23 23ai ai
D.
22
2323aiai
Li gii.
Chn A
22
2
230 2 3 0 23230aaiaiai
Câu 14:
Phân tích
42
49ab tành nhân t. Chn đáp án đúng:
A.
22 22
29 29abiabi
B.
22 22
29 29abiabi
C.
22
2929abiabi
D.
22
2929abiabi
Li gii.
Chn D

2
2
42 2 2 2
49 2 9 2929 0ab a bi abiabi
Câu 15:
Phân tích
4
16a tành nhân t. Chn đáp án đúng:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
246
A.
22
44aiai
B.
22
16 16aiai
C.

22
44aiai
D.
44
44aiai
Li gii.
Chn A

2
2
42 22
16 4 4 4aaiaiai
Câu 16: Nếu zxyi và a là s thc thì
22
za
bng:
A.
x
ai y ai
B.
zaizai
C.
yaiyai
D.

x
yzi
Li gii.
Chn B
Ta có

2
222
zaz ai zaiaai
Câu 17: S phc liên hp ca
abi
A.
abi B.
abi
C.
abi
D.
abi
Li gii.
Chn B
S phc liên hip ca
abi
abiabi

Câu 18:
Cho s phc z tha mãn:
2(1 2 )
(2 ) 7 8 (1).
1
i
iz i
i

Tìm môđun ca s phc
1zi

A.
5
B.
5
C.
3
D.
3
Li gii.
Chn B
Gi s zabi
2(1 2 )
(1) (2 )( ) 7 8
1
i
ia bi i
i

2(1 2 )(1 )
2
22 78
2
1
ii
abiaibi i
i


2
22 1 22 78abiaibi iii i
237 3
218 2
ab a
ba b






Do đó
32 1 43ii i

16 9 5

.
Câu 19:
Tìm phn o ca s phc z, biết

2
212zi i
A. 7 B. 5
C.
2
D.
2
Li gii.
Chn C
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 247
Ta có:

2
2121221252 52zi i ii izi
Phn o ca s phc z là 2
Dng 2: Tìm s phc z tha mãn điu kin
Câu 1: Tính môđun ca s phc z biết: (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 (1)zizii
A.
2
2
B.
2
3
C.
2
3
D.
22
3
Li gii.
Chn C
(1) (2 2 1))(1 ) ( 1)(1 ) 2 2abi i abi i i
22
22 2 2 1 1 22aaibibi iaaibibi i i
33 222abaaibii i
1
332
3
22 1
3
a
ab
ab
b




Suy ra
11 2
99 3
z 
.
Câu 2:
Tìm s phc z biết:
2
3322(1)zz i i
A.
11 19
22
zi
B.
11 19
22
zi
C.
11 19
22
zi
D.
11 19
22
zi
Li gii.
Chn D
Gi s z=a+bi, ta có:

2
(1) 3 3 9 12 4 2 5 12 . 2abi a bi i i i i i
2
42 1024512 2219abi ii i i
11 19
;
12 2
ab

. Vy
11 19
22
zi
Câu 3:
Tìm phn o ca z biết:

3
32 2(1)zz i i
A. -5 B. -10 C. -15 D. 10
Li gii.
Chn B
Gi s z=a+bi

23
(1) 3 3 8 12 6 2 2 11 . 2abi a bi i i i i i i
2
4 2 4 2 22 11 20 15abi i i i i
15
;10
4
ab

.
Vy phn o ca z bng -10
Câu 4:
Cho s phc z tha mãn
()
-++=
2
21 2 0zizi. Tìm phn thc và phn o ca
1
z
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
248
A. -
1
2
1
2
B.
1
2
1
2
C.
1
2
1
2
D. -
1
2
1
2
Li gii.
Chn B
Ta có:

11
2
2
21 2 0 1 0 1
22
i
zizizi zi
z

Vy phn thc ca
1
z
1
2
và phn o là
1
2
Câu 5: Có bao nhiêu s phc z tha mãn 2z z
2
là s thun o
A. 1 B. 4 C. 3 D. 5
Li gii.
Chn B
Đặt
zabi
(vi
,ab
)
222
2zab abi
T gi thiết ta có h phương trình
22 2
22 2
01
21
ab a
ab b







Vy:
12 3 4
1, 1, 1, 1ziziz iz i 
Câu 6:
Cho s phc z tha mãn điu kin

2
23 4 13iz iz i
. Tìm phn thc và phn
o ca z.
A. -2 và -5 B. -2 và 5 C. 2 và 5 D. 2 và -5.
Li gii.
Chn B
Gi zxyi (vi
,xy
)
Ta có

2
23 4 13iz iz i

23 4 86
64 22 86
64 8
2
5
22 6
ixyi ixyi i
xy xyi i
xy
x
y
xy







Vy phn thc ca z là -2 và phn o ca z là 5
Dng 3. Biu din s phc
Câu 1: Cho s phc z tha mãn

2
112
ziz i

. Đim M biu din s phc
z
trong h
ta độ Oxy có ta độ là:
A.
;10 3
M
B.
;10 3
M
C.
;310
M
D.
;310
M

Li gii.
Chn A
Gi
;, .
zxyixy

T gi thiết cho ta:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 249


;
 





134234
310
10 3
243
abi i abi i b bai i
ba
M
ba b

Câu 2:
Cho s phc z tha mãn


2
32 23 1 8
ziii
. Đim M biu din s phc
z
trong h ta độ Oxy có ta độ là:
A.
;43
M
B.
;43
M
C.
;43
M
D.
;43
M

\
Li gii.
Chn A
Ta có

;.
22
69 4 6 2 18 43 43
ziiiti iM
Câu 3:
Cho s phc z tha mãn
1326
iz iz i
 . Đim M biu din s phc
w2 1
z

trong h ta độ Oxy có ta độ là:
A.
;23
M
B.
;23
M
C.
;56
M
D.
;46
M

Li gii.
Chn C
Gi
;, .
zxyixy

T gi thiết cho ta:


;


132642226
2
w56 56
3
iabi iabi i a b bi i
a
iM
b

Câu 4:
Cho s phc z tha mãn


1
132
3
zii
i
. Đim M biu din s phc
z
trong h
ta độ Oxy có ta độ là:
A.
;



53 9
10 10
M
B.
;



53 9
10 10
M
C.
;



53 9
10 10
M
D.
;



53 9
10 10
M
Li gii.
Chn C
Ta có
;.




3539 539
2
32 3 2
2
10 10 10 10
31
i
z iii iM
Câu 5:
Cho s phc z tha mãn

 1130
iz i
. Đim M biu din s phc
z
trong h ta độ
Oxy có ta độ là:
A.
;21
M
B.
;21
M
C.
;12
M
D.
;21
M

Li gii.
Chn B
Ta có:

;

13
2221
1
i
zziziM
i

LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
250
Câu 6: Cho s phc z tha mãn


1
3
12
z
zi
i
. Đim M biu din s phc
z
trong h ta độ
Oxy có ta độ là:
A.
;41
M
B.
;41
M
C.
;41
M
D.

;41
M
Li gii.
Chn D
Gi
;, .
zabiab

T gi thiết cho ta:

;


1
4
3232141
12 1
abi
a
abi i ab abi a b i M
ib

Câu 7: Cho s phc z tha mãn
 12 23 22
iz iz i
. Đim M biu din s phc
z
trong
h ta độ Oxy có ta độ là:
A.
;11
M
B.
;11
M
C.
;11
M
D.
;11
M

Li gii.
Chn B
Gi
;, .
zxyixy
T gi thiết cho ta:

;.

12 23 22 3 5 22
1
11
1
ixyi ixyi i x y xyi i
x
M
y

Câu 8:
Cho s phc z tha mãn
243
iz i
. Đim M biu din s phc
z
trong h ta độ
Oxy có ta độ là:
A.

;12
M
B.
;12
M
C.
;12
M
D.
;12
M

Li gii.
Chn A
Ta có

;

43
12 12
2
i
ziM
i
Câu 9: Cho s phc z tha mãn
183
ziz i
. Đim M biu din s phc
z
trong h ta độ
Oxy có ta độ là:
A.
;32
M
B.
;32
M
C.
;32
M
D.
;32
M

Li gii.
Chn C
Gi
;, .
zabiab
T gi thiết cho ta:

;






28 3
183 32
32
ab a
abi i abi i M
ab

Câu 10:
Cho s phc z tha mãn
12 8
ziii
. Đim M biu din s phc
z
trong h
ta độ Oxy có ta độ là:
A.

;52
M
B.
;52
M
C.
;52
M
D.
;52
M
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 251
Li gii.
Chn A
Ta có

; 
2
22 8 52 52
ziii i iM
Câu 11:
Cho s phc z tha mãn

 1130
iz i
. Đim M biu din s phc
z
trong h ta độ
Oxy có ta độ là:
A.
;21
M
B.
;
21 2
55
M



C.
;
21
M
D.
;
21 2
55
M




Li gii.
Chn C
Ta có:

;.

13
2221
1
i
ziziM
i

Câu 12:
Cho s phc z tha mãn
12 43 28
ziii
. Đim M biu din s phc
z
trong h
ta độ Oxy có ta độ là:
A.
;43
M
B.
;43
M
C.
;43
M
D.
;43
M

Li gii.
Chn D
Ta có

;
2
43 8 6 28 43 43
z iii i iM
Câu 13:
Cho s phc z tha mãn
 1214
iz iz i
. Đim M biu din s phc
z
trong h
ta độ Oxy có ta độ là:
A.
;43
M
B.
;34
M
C.
;34
M
D.
;43
M

Li gii.
Chn C
Gi
;, .
zabiab
T gi thiết cho ta:
 
;

3
1214 34
4
a
iabi iabi i M
b

Câu 14: Cho s phc z tha mãn

 1326
iz iz i
. Đim M biu din s phc
z
trong h
ta độ Oxy có ta độ là:
A.
;23
M
B.
;23
M
C.
;23
M
D.
;23
M

Li gii.
Chn A
Gi
;, .
zabiab
T gi thiết cho ta:


13 2611 3 2642226
42 2 2
23 2;3
26 3
 






i z i z i i bi i a bi i a b bi i
ab a
ziM
bb
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
252
Câu 15: Cho s phc z tha mãn
213 5

zzii
. Đim M biu din s phc
z
trong h ta
độ Oxy có ta độ là:
A.

1; 1
M
B.
1;1
M
C.
1; 1
M
D.
1; 1
M

Li gii.
Chn B
Gi
;, .
zabiab
T gi thiết cho ta:
2( 1) 3 (5 ) 2( 1) 3( ) 1 5 
zziiabi abii
15(1 ) 0

abi

1
1; 1
1
a
M
b
Câu 16: Cho s phc z tha mãn
232

zz i
. Đim M biu din s phc
z
trong h ta độ Oxy
có ta độ là:
A.

1; 2
M
B.
1; 2
M
C.
1; 2
M
D.
1; 2
M

Li gii.
Chn C
Gi
;, .
zabiab
T gi thiết cho ta:

1
232332 1;2
2


a
abi abi i abi i M
b

Câu 17:
Cho s phc z tha mãn
23 1 54

iz iz i
. Đim M biu din s phc
z
trong
h ta độ Oxy có ta độ là:
A.
12;
M
B.
12;
M
C.
12;
M
D.
12;
M

Li gii.
Chn A
Gi
;, .
zxyixy
T gi thiết cho ta:
(2 3 ). (1 ). 5 4
iz iz i
(2 3 ).(x yi) (1 ).(x yi) 5 4

ii i
34 (2 ). 54
xy xyi i

34 5 1
12 1;2
24 2



xy x
ziM
xy y
.
Câu 18: Trên mt phng phc, nếu A(1;2) thì đim B đối xng qua trc tung ca A là đim biu
din ca s phc:
A.
2 i
B.
2 i
C.
12i
D.
2 i
Li gii.
Chn C
Câu 19: Trên mt phng phc, tp hp các s zxyi
sao cho
2
z là s thc được biu din
bi:
A. Đường có phương trình
0xy
B. Đường có phương trình
0x
C. Đường có phương trình
0y
D. Na mt phng b Ox.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 253
Li gii.
Chn A
Ta có

2
222
2z x yi x y xyi
.
Như thế,
2
z là s thc khi và ch khi
0xy
Câu 20:
Cho các s phc
12 3
1; 2 2 , 1 3zz iz i được biu din trong mt phng ta độ Oxy
,,
M
NP
, các đim này ln lượt là trung đim ca ba cnh tam giác EFH. Ta độ trng
tâm G ca tam giác EFH là:
A.
2;3
B.
3; 2
C.
22
;
33



D.
25
;
33



Li gii.
Chn D
1; 0 , 2; 2 , 1; 3MNP
đim biu din các s phc trên.
Hai tam giác EFH và MNP có 3 trung tuyến trùng nhau tng đôi mt nên có cùng trng
tâm G.
121 2
25
33
;
33
023 5
33
x
G
G
y
G








Câu 21: Cho 2 s phc
1
34zi
2
72zi
được biu din trong mt phng ta độ Oxy là
hai đim
M
N
. Đường tròn đường kính MN có phương trình là:
A.

340xx yy B.
340xx yy

C.

22
2326xy
D.

22
2316xy

Li gii.
Chn C
Trong mt phng oxy 2 đim
3; 4 , 7; 2MN
Tâm
2;3I
Bán kính

104
22
26 : 2 3 26
22
MN
RCxy
Câu 22: Trong mt phng ta độ Oxy, cho đim
M
đim biu din ca s phc
42zi
.
Phương trình đường trung trc ca đon OM là:
A.
250xy
B.
250xy

C.
250xy

D.
250xy
Li gii.
Chn B
Gi

là trung trc ca đon OM

qua trung đim I ca
2;1OM I
và có vectơ pháp tuyến

4; 2nOM

:4 2 2 1 0 4 2 10 0 2 5 0xy xy xy
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
254
Câu 23: Trong mt phng ta độ Oxy, cho ba đim
,,
M
NP
đim biu din ca 3 s phc:
123
83; 14; 5zizizxi 
. Vi giá tr nào ca x thì tam giác MNP vuông ti P?
A. 1 và 2 B. 0 và 7 C. -1 và -7 D. 3 và 5
Li gii.
Chn B
Ta có 3 đim

8; 3 , 1; 4 , P 5;
M
Nx

3; 3 ; 4; 4MP x NP x

Để
M
NP
vuông ti
.0PMPNP

12 3 4 0 0; 7xx xx

Câu 24: Trong mt phng Oxy cho tam giác MNP có
, N,PM
đim biu din ca s phc
12 3
12; 3 ;ziz izxyi và O là trng tâm. Ta độ đỉnh P là:
A.
3; 2
B.
2; 3
C.
2;1
D.
1; 3
Li gii.
Chn B

1; 2 , 3; 1 , ;
M
NPxy
p
p
O là trng tâm tam giác MNP
13 0 2
3
3210 3
xx
xxx x
pp
MNP
O
yyy y y y
pp
MNP
O







. Vy
2; 3P
Câu 25: Trong mt phng Oxy cho hai đim
, NM
. là đim biu din ca s phc
12
2; 4 2zmiz i Nếu
5MN
thì tt c các giá tr ca m là:
A. 1 và 7 B.
7
C. -1 và -7 D.
1; 3
Li gii.
Chn A

;2 , 4; 2Mm N
2
525MN MN

2
2
41625168 25mmm 
2
870 1, 7mm mm
Dng 4. Tp hp
Câu 1: Cho các s phc
z
tha mãn
11

zi
. Biết rng tp hp các đim biu din các s
phc
z
là mt đường tròn. Tâm
I
ca đường tròn đó có ta độ là:
A.
1;1
I
B.
0;1
I
C.
1; 1
I
D.

1; 0
I
Li gii.
Chn C
Gi s phc
;, .zxyixy=+ Î
T gi thiết ta có:
 
22
11 1 11 1 111;1  
zi x yi x y I

LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 255
Câu 2: Cho các s phc
z
tha mãn
11

zi
. Biết rng tp hp các đim biu din các s
phc
z
là mt đường tròn. Bán kính R ca đường tròn đó là
A.
1
R
B.
2
R
C.
4
R
D.
8
R
Li gii.
Chn A
Gi s phc
;, .zxyixy T gi thiết ta có:
 
 
22
11 1 11 1 11 1zi x yi x y R.
Câu 3:
Cho các s phc z tha mãn
22zi i . Biết rng tp hp các đim biu din các s
phc
z
là mt đường tròn. Tâm I ca đường tròn đó là:
A. I

1; 2
B.
1; 2I
C.
1; 2I
D.

1; 2I 
Li gii.
Chn A
Gi s phc
;, .zxyixy T gi thiết ta có:
  
  
22
22 212 1 241;2zi i y x i x y I
Câu 4:
Cho các s phc
z
tha mãn
215

iz
. Biết rng tp hp các đim biu din các
s phc
z
là mt đường tròn. Tâm
I
ca đường tròn đó là:
A. I

1; 2
B.
1; 2
I
C.
1; 2
I
D.

1; 2
I

Li gii.
Chn A
Gi s phc
;, .
zxyixy

T gi thiết ta có:
  
22
215 2151 2251;2
ix yi y x i x y

Câu 5: Cho các s phc
z
tha mãn 34
zz
. Tp hp các đim biu din các s phc
z
trong mt phng Oxy là:
A. Đường thng B. Đường tròn
C. E – líp D. Mt đim xác định.
Li gii.
Chn A
Gi s phc
;, .
zxyixy

T gi thiết ta có:

2
1
34 3 4
5

x
xyixyi x
x
.
Câu 6: Cho các s phc
z
tha mãn 12
zz i
 .
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
256
A. Đường thng B. Đường tròn C. E – líp D. Mt đim xác
định.
Li gii.
Chn A
Gi s phc
;, .
zxyixy

T gi thiết ta có:
 
13
2
2
1 2 12 1 2 12 1 2
13
2

y
xyi xyi i y i y
y

Câu 7: Cho các s phc
z
tha mãn
84 6
zi

. Tp hp các đim biu din các s phc
z
là:
A. Đường thng B. Đường tròn C. E – líp D. Mt đim xác
định.
Li gii.
Chn B
Gi s phc
;, .
zxyixy

T gi thiết ta có:
 
22
84 6 8 4 6 8 4 36
xyi i x y i x y

Câu 8: Cho các s phc
z
tha mãn phn thc thuc đon
2;1
. Tp hp các đim biu din
các s phc
z
là:
A. Đường thng 2
x
 .
B. Đường thng
1
x
C. Phn mt phng gii hn bi hai đường thng 2
x
1
x
.
D. Phn mt phng không gii hn bi hai đường thng 2
x
1
x
.
Li gii.
Chn C
Câu 9:
Cho các s phc
z
tha mãn phn thc thuc
0;3
và phn o thuc đon

2; 4
. Biết
rng tp hp các đim biu din các s phc
z
là mt đường tròn.
A. Phn mt phng gii hn bi đường thng
3
x
0
x
B. Phn mt phng gii hn bi đường thng
2
y
4
y
C. Min ngoài ca hình ch nht có bn đỉnh là giao ca
0, 3, 2, 4.
xxy y

D. Min trong ca hình ch nht có bn đỉnh là giao ca
0, 3, 2, 4.
xxy y

Li gii.
Chn D
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 257
Gi
,, .
zxyizy
T gi thiết ta có
03
24


x
y
nên suy ra tp hp các đim biu
din s phc z là min trong ca hình ch nht có bn đỉnh là giao ca
0, 3, 2, 4.
xxy y
Câu 10: Cho các s phc
z
tha mãn
12 2.
zi

Tp hp các đim biu din các s phc
z
là:
A. Đường tròn

22
124
xy

.
B. Nhng đim nm trong đường tròn

22
124
xy

C. Nhng đim nm trong và nm trên đường tròn

22
124
xy

D. Nhng đim nm ngoài đường tròn

22
124
xy

Li gii.
Chn C
Gi
,, .
zxyizy
Ta có

22
12 2 1 2 4 
abi i x y
Câu 11: Cho các s phc
z
tha mãn
23
z

. Tp hp các đim biu din các s phc
z
là:
A. Hình tròn. B. Hình qut C. E – líp D. Hình vành
khăn.
Li gii.
Chn D
Gi
;, .
zxyixy

. T gi thiết ta có:
22 22
249
xy xy
3
Tp hp các đim biu din s phc z là hình
vành khăn gii hn bi hai đường tròn đồng tâm O có bán kính ln lượt là 2 và 3.
Câu 12: Cho các s phc
z
tha mãn
112.
zz

Biết rng tp hp các đim biu din các
s phc
z
là mt đường tròn. Tâm ca đường tròn đó là:
A.

1; 0
I
B.
1; 0
I
C.
0;1
I
D.

0; 1
I
Li gii.
Chn B
Gi
;, .
zxyixy
T gi thiết ta có: 112
 
xyi xyi
  
22 2
22 2
112111;0  
xyxy xy I

Câu 13: Cho các s phc
z
tha mãn
3
z
zi
. Biết rng tp hp các đim biu din các s
phc
z
là mt đường tròn. Tâm I ca đường tròn đó là:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
258
A.
9
0;
8
I



B.
9
0;
8
I



C.
9
;0
8
I



D.
9
;0
8
I



Li gii.
Chn A
Gi
;, .
zabiab

Ta có:

2
22
99 9 9 9
22 2
30 0;.
2
2488648
1





zab
ab b a b
zi
ab
I
Câu 14:
Cho các s phc
z
tha mãn
444
zizi

. Tp hp các đim biu din s phc z
là:
A. Đường cong

2
2
:44
Cx y
B. Đường cong
 
22
22
:4 44 
Cx y x y
C. Đường tròn

2
2
416
xy
D. Đường tròn

2
2
416.
xy
Li gii.
Chn B
Gi
;, .
zabiab

Ta có:
 
22
22
444 4 44
xyi i xyi i x y x y
Câu 15: Quĩch các đim M biu din s phc
(1 3 ) 2iz

biết s phc z tha mãn:
12(1)z 
.
A. đường tròn có bán kính 16 B. Là hình tròn tâm I(1,2)
C. đường tâm I (1,2) D. Là hình tròn bán kính 4
Li gii.
Chn D
Gi s
abi

Ta có
23(3)
(1 3) 2 1
13 13
abi a bi
abi i z z z
ii



3( 3)
(1) 2
13
abi
i


22
3( 3)
(3)( 3)
22
2
13
abi
ab
i



22
(3)( 3) 16ab
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 259
Vy quĩ tích các đim M biu din s phc là hình tròn
22
(3)( 3) 16xy

(k c
nhng đim nm trên biên).
Câu 16:
Tp hp các đim biu din s phc z sao cho
23zi
u
zi
là mt s thun o. Là mt
đường tròn tâm
;
I
ab
. Tính tng a + b
A. 2 B. 1 C. -2 D. 3
Li gii.
Chn C
Gi s

,zxyixy đim
;
M
xy biu din z trên mt phng (Oxy).
Khi đó


23 1
23 2 3
2
2
1
1
x
yixyi
zixyii
u
zi x y i
xy

 





T s bng:
22
22322 1
x
yxy xyi
; u là s thun o khi và ch khi:



22
22
2230
115
2
2
2
2
10
10
xy xy
xy
xy
xy







Kết lun: Vy tp hp các đim biu din ca z là mt đường tròn tâm
1; 1I 
, bán
kính
5R , loi đi đim
0;1
.
Câu 17:
Trên mt phng phc, tích phân hp đim biu din các s phc z tha mãn
3z
A. Hình tròn tâm O, bán kính
3R
B. Hình tròn tâm O, bán kính 3R
C. Hình tròn tâm
0;1I
, bán kính
3R
D. Hình tròn tâm
1; 0I
, bán kính
3R
Li gii.
Chn A
Đặt
,zxiyxy
, M(x,y) là đim biu din z trên mt phng phc.
Gi thiết
22 22
339zxyxy 
Câu 18: Tp hp các đim trong mt phng phc biu din các s phc tha mãn
21zi
A. Hình tròn tâm

0; 2I
, bán kính 1
R
B. Hình tròn tâm
0; 2I
, bán kính
1
R
C. Hình tròn tâm
2;0I
, bán kính 1
R
D. Đường tròn tâm
0; 2I
, bán kính 1
R
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
260
Li gii.
Chn B
Đặt

,zxiyxy
;
M
xy
đim biu din s phc z trên mt phng phc
 
2
2
222 2zixyi zi x y 
Theo gi thiết

2
2
21 2 1zi x y 
Câu 19: Tp hp các đim trong mt phng phc biu din các s phc z tha mãn
22zi zz i là:
A. Đường tròn tâm
0;1I , bán kính
1
R
B. Đường tròn tâm
3;0I
, bán kính
3R
C. Parabol
2
4
x
y
D. Parabol
2
4
y
x
Li gii.
Chn C
Đặt

,zxiyxy
;
M
xy
đim biu din s phc z trên mt phng phc
Ta có:
222121zi zz i x y i y i
 
22
22222
11 21214
x
yyxyyyyxy
Câu 20:
Gi
,, zxyixy
. Hãy xác định tp hp các đim M biu din s phc
12zz i
. Chn đáp án đúng:
A. Tp hp các đim M biu din s phc z là hai đường thng song song vi trc hoành
13
2
y
B. Tp hp các đim M biu din các s phc z là mt đường parabol
2
442yx x
C. Tp hp các đim M biu din các s phc z là mt đường tròn tâm
1; 2 , 4IR
D. Tp hp các đim M biu din các s phc z là mt hình tròn tâm
1; 2 , 4IR
Li gii.
Chn A
12 121212zz i xyixyi i y i 
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 261

13
2
22
2
121 24 420
13
2
y
yyy
y

Kết lun:
Tp hp các đim M biu din s phc z là hai đường thng song song vi trc
hoành
13
2
y
Câu 21: Gi
,, zxyixy
. Hãy xác định tp hp các đim M biu din s phc
2. 1 2 3 iz z
. Chn đáp án đúng:
A. Tp hp các đim M biu din các s phc z là mt đường tròn tâm
1; 4 , 4IR
B. Tp hp các đim M biu din các s phc z là mt hình tròn tâm
1; 4 , 4IR
C. Tp hp các đim M biu din các s phc z là mt đường parapol
2
35
6
4
yx
D. Tp hp các đim M biu din các s phc z là mt đường đường thng
35
6
4
yx
Li gii.
Chn D

  2. 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 3iz z i x yi x yi y xi x yi
  




2222
35
22 22
21 4 2 3 21 4 4 3 6
4
yxxyyxxyyx
Kết lun: Tp hp các đim M biu din các s phc z là mt đường đường thng
35
6
4
yx
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
262
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH BC HAI VI H S THC
Phương trình bc hai vi h s thc là phương trình có dng
2
0, 0ax bx c a

Cách gii:
Tính
2
4bac
Nếu:
0 gii ging lp 9
Nếu
0 :. khi đó (1) có nghim
2
2
bi
x
a
bi
x
a


Dng 1 : Phương trình bc hai h s thc
Câu 1. Phương trình
2
10xx
có nghim là
A.
13
2
i
B.
13
2
i
C. C A và B D. Tt c đều sai
Li gii
Chn C
2
13
2
10
13
2
i
x
xx
i
x



Câu 2.
Nghim ca phương trình:
2
470zz

A. 23i B. 23i C. 33i D. 23i
Li gii
Chn A
22
'2 7 33i
các căn bc hai ca '
3i
Vy nghim ca phương trình là: 23, 23zizi 
Câu 3. Tìm phương trình bc hai cha các nghim
12
34; 34
x
xi
. Chn đáp án đúng:
A.
2
6250xx B.
2
6250xx

C.
2
6250xx D.
2
6250xx

Li gii
Chn D
12
2
12
25
6250
6
xx
xx
xx


Câu 4. Tìm phương trình bc hai cha các nghim
12
73; 73
x
ix i  . Chn đáp án
đúng:
A.
2
27 10 0xx B.
2
27 10 0xx

LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
263
C.
2
10 2 7 0xx
D.
2
27 10 0xx

Li gii
Chn A
2
12
12
27
27 10 0
.10
xx
xx
xx

 
Câu 5. Tìm tham s m để phương trình s phc
2
10zmzm
 có 2 nghim
12
,zz thõa mãn
22
1212
1zzzz . Chn đáp án đúng:
A. 1; 4mm  B. 4m
C. 1; 4mm
 D. 1m 
Li gii
Chn C
2
10zmzm



12
12
2
22 2
1 2 12 1 2 12 12
1
4
1213110
1
zzm
zz m
mN
z z zz z z zz zz m m
mN




Câu 6.
Tìm tham s m để phương trình
2
920zmzmi

có 2 nghim
12
,zz
thõa mãn
33
12
36 8zz mi
.
Chn đáp án đúng:
A.
2
3
mi
B. 2mi
C.
2
3
mi
D. 2mi
Li gii
Chn C
 
  
12
12
33
33
12 12 1212
32 23 3
9
2
36 8 3 18 3 3. 2 9 36 8
2
3 3. 3 .2 3.3 . 2 2 0 3 2 0
3
zz m
zz mi
zz mi zz zzzz m mim mi
mmimii mi mi



Dng 2 : Phương trình quy v phương trình bc hai
Câu 1. Phương trình
2
44
560
zi zi
zi zi






có tp nghim là:
A.
3
;4
2
Sii




B.
3
;4
2
Sii

C.
3
;4
2
Sii

D.
3
;4
2
Sii



Li gii
Chn A
2
4
3
2
44 3
560 ;4
2
4
2
4
3
zi
zi
zi zi
zi
Sii
zi
zi zi
zi
zi







LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
264
Câu 2. Phương trình

2
2 20ziz z
có bao nhiêu nghim phc phân bit
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Li gii
Chn D


2
2 2 0 1
1
zi
ziz z z i
zi

Câu 3. Câu phương trình:
222 2
(36)2(36)30zz zzz z  Có bao nhiêu nghim thc
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
Li gii
Chn B
222 2
(36)2(36)30  zz zzz z
22
22
36 260 1 5
36 3 660
33
zz z zz z i
zz z zz
z







Câu 4. Cho phương trình
2
10xx
. Tính tng phn thc ca 2 s phc
A. 1 B. 2
C. 2 D. 1
Li gii
Chn A
Phương trình có bit thc
2
33i
Phương trình có hai nghim phc phân bit:
1313 1313
;
222 222
ii
x
ix i
 

Câu 5. Gi zxyi
,xy . Câu phương trình
2
(3)( 25)0ziz z
. Giá tr x và y là:
A.
; 0;3, 1;2, 1;2xy  
B.
; 0;3 , 1;2 , 1;2xy 
C.
; 0; 3,1;2,1; 2xy  D.
; 0;3,1; 2,1; 2xy

Li gii
Chn C

2
2
3
3
( 3)( 2 5) 0 1 2 ; 0; 3,1;2,1; 2
250
12
zi
zi
ziz z z i xy
zz
zi


 


Câu 6. Gi
zxyi
,xy . Câu phương trình
22
(9)( 1)0zzz

. Giá tr x và y là:
A.

31
;0;,;2
22
xy




B.
; 0;1,2;1xy

C.

3
;0;1,2;
2
xy





D.

13
;0;3,;
22
xy





Li gii
Chn D
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
265

2
22
2
3
90
13 1 3
(9)( 1)0 ; 0;3,;
22 2 2
10
13
22
zi
z
zzz z ixy
zz
zi









Câu 7. Cho phương trình
3
801z 
.Hi có bao nhiêu nghim thun o
A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
Li gii
Chn B



2
2
2
12240
240*
z
zzz
zz

 

Câu phương trình (*):
2
12 12i
Phương trình (*) có 2 nghim phc
223 223
13; 13
22
ii
x
ix i


Vy phương trình (1) có các nghim là
2; x 1 3 ; 1 3zixi  
Câu 8. Cho phương trình
42
60zz
.Có bao nhiêu nghim thun thc
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Li gii
Chn A
Đặt
2
tz . Phương trình tr thành:
2
2
60
3
t
tt
t

+ Vi
2
2
2: 2
2
z
tz
z


+ Vi
2
3
3: 3
3
zi
tz
zi
 

Vy phương trình có các nghim là:
2; 2; 3; 3zz zizi
Câu 9. Cho phương trình
4
101z 
.Tng các nghim thun o
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Li gii
Chn B


2
22
2
1
1110
1
z
zz
z

+) Vi
2
1
1
1
z
z
z


+) Vi
2
1
zi
z
zi


LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
266
Vy phương trình có các nghim là 1; 1; ;zz zizi
 
Câu 10. Cho phương trình
3
0zi
. Tính tng các phn o nghim phc ca phương trình trên
A. 2 B. 0 C.
3
2
D.
1
2
Li gii
Chn B
Phương trình



33 2
2
010
10*
zi
zi ziziz
ziz


Câu phương trình
2
*: 4 3i
Phương trình (*) có 2 nghim phc
331 3 31
;
222 2 22
ii
ziz i
 

Vy phương trình (1) có các nghim là:
31 31
;;
22 22
ziz iz i

LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
267
CHƯƠNG I. KHI ĐA DIN
BÀI 1. KHÁI NIM V KHI ĐA DIN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I – KHI LĂNG TR VÀ KHI CHÓP
Khi lăng tr là phn không gian được gii hn bi mt hình lăng tr k c hình lăng tr y.
Khi chóp là phn không gian được gii hn bi mt hình chóp k c hình chóp y.
Kh
i chóp ct là phn không gian được gii hn bi mt hình chóp ct k c hình chóp ct y.
II – KHÁI NIM V HÌNH ĐA DIN VÀ KHI ĐA DIN
1. Khái nim v hình đa din
Hình đa din là hình được to bi mt s hu hn các đa giác tha mãn hai tính cht:
Hai đa giác phân bit ch có th hoc không có đim chung, hoc chmt đỉnh chung, hoc
ch
có mt cnh chung.
Mi cnh ca đa giác nào cũng là cnh chung ca đúng hai đa giác.
Mi đa giác như trên được gi là mt mt ca hình đa din.
Các đỉnh, các cnh ca đa giác y theo th t gi là các đỉnh, các cnh ca hình đa din.
2. Khái nim v khi đa din
Khi đa din là phn không gian được gii hn b
i mt hình đa din, k c hình đa din đó.
Nhng đim không thuc khi đa din đưc gi là đim ngoài ca khi đa din. Tp hp các đim
ngoài được gi là min ngoài ca khi đa din. Nhng đim thuc khi đa din nhưng không thuc
hình đa din ng vi đa di
n y được gi là đim trong ca khi đa din. Tp hp các đim trong
được gi là min trong ca khi đa din.
Mi khi đa din được xác định bi mt hình đa din ng vi nó. Ta cũng gi đỉnh, cnh, mt, đim
trong, đim ngoài… ca mt khi đa din theo th tđỉnh, c
nh, mt, đim trong, đim ngoài…
ca hình đa din tương ng.
Ví d
- Các hình dưới đây là nhng khi đa din:
- Các hình dưới đây không phi là nhng khi đa din:
Đ
i
m ngoài
Đ
i
m trong
M
i
n ngoài
d
M
N
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
268
Hình a
Hình b
Hình c
Gii thích: Hình a không phi là hình đa din vì tn ti cnh không phi là cnh chung ca hai mt;
Hình b không phi là hình đa din vì có mt đim đặc bit trong hình, đim đó không phi là đỉnh
chung ca hai đa giác; Hình c không phi là hình đa din vì tn ti mt cnh là cnh chung ca bn
đa giác.
III – HAI ĐA DIN BNG NHAU
1. Phép di hình trong không gian
Trong không gian, quy tc đặt tương
ng mi đim
M
vi đim
M
¢
xác định duy nht được gi là
mt phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gi là phép di hình nếu nó bo toàn khong cách gia hai
đim tùy ý.
a) Phép tnh tiến theo vectơ
v
, là phép biến hình biến mi đim
M
thành đim
M
¢
sao cho
M
Mv
¢
=

. Kí hiu là
v
T
.
b) Phép đối xng qua mt phng
()
P
là phép biến hình biến mi đim thuc
()
P
thành chính nó,
biến mi đim
M
không thuc
()
P
thành đim
M
¢
sao cho
()
P
là mt phng trung trc ca
M
M
¢
.
Nếu phép đối xng qua mt phng
()
P
biến hình
()
H
thành chính nó thì
()
P
được gi là mt phng
đối xng ca
()
H
.
c) Phép đối xng tâm
O
là phép biến hình biến đim
O
thành chính nó, biến mi đim
M
khác
O
thành đim
M
¢
sao cho
O
là trung đim ca
M
M
¢
.
Nếu phép đối xng tâm
O
biến hình
()
H
thành chính nó thì
O
được gi là tâm đối xng ca
()
H
.
d) Phép đối xng qua đường thng
D là là phép biến hình biến mi đim thuc đường thng D
thành chính nó, biến mi đim
M
không thuc D thành đim
M
¢
sao cho D đường trung trc
ca
M
M
¢
.
Nếu phép đối xng qua đường thng
D
biến hình
()
H
thành chính nó thì
D
được gi là trc đối
xng ca
()
H
.
Nhn xét
Thc hin liên tiếp các phép di hình s được mt phép di hình.
Phép di hình biến đa din
()
H
thành đa din
()
¢
H
, biến đỉnh, cnh, mt ca
()
H
thành đỉnh,
cnh, mt tương ng ca
()
¢
H
.
Ví d:Cho hình lp phương
.
A
BCD A B C D
¢¢¢¢
. Khi đó:
Các hình chóp
.
A
ABCD
¢¢¢¢
.CABCD
¢
bng nhau (vì qua phép đối xng tâm O hình chóp
.
A
ABCD
¢¢¢¢
biến thành hình chóp
.CABCD
¢
).
Các hình lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
.
A
AD BBC
¢¢ ¢¢
bng nhau (vì qua phép đối xng qua mt phng
()
A
BCD
¢¢
thì hình lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
biến thành hình lăng tr
.
A
AD BBC
¢¢ ¢¢
).
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
269
2. Hai hình bng nhau
Hai hình được gi là nếu có mt phép di hình biến hình này thành hình kia.
Đặc bit, hai đa din được gi là bng nhau nếu có mt phép di hình biến đa din này đa din kia.
IV – PHÂN CHIA VÀ LP GHÉP CÁC KHI ĐA DIN
Nếu khi đa din
()
H
là hp ca hai khi đa din
()
1
H
()
2
H
sao cho
(
)
1
H
()
2
H
không có
chung đim trong nào thì ta nói có th phân chia được khi đa din
()
H
thành hai khi đa din
()
1
H
()
2
H
. Khi đó ta cũng nói có th ghép hai khi đa din
(
)
1
H
()
2
H
để được khi đa din
()
H
.
Ví d 1. Vi khi chóp t giác
.SABCD
, xét hai khi chóp tam giác
.SABC
.SACD
.
Ta thy rng:
Hai khi chóp
.SABC
.SACD
không có đim trong chung (tc là không tn ti đim trong ca
khi chóp này là đim trong ca khi chóp kia và ngược li).
Hp ca hai khi chóp
.SABC
.SACD
chính là khi chóp
..SABCD
Vy khi chóp
.SABCD
được phân chia thành hai khi chóp
.SABC
.SACD
hay hai khi chóp
.SABC
.SACD
được
ghép li thành khi chóp
..SABCD
Ví d 2. Ct khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
bi mt phng
()
A
BC
¢
.
D
'
C'
B
'
A
'
D
C
B
A
O
A
B
C
D
A
'
B
'
C'
D
'
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
270
Khi đó, khi lăng tr được phân chia thành hai khi đa din
A
ABC
¢
A
BCC B
¢¢¢
.
Nếu ta ct khi chóp
A
BCC B
¢¢¢
bi mt phng
()
A
BC
¢¢
thì ta chia khi chóp
A
BCC B
¢¢¢
thành hai khi
chóp
A
BCB
¢¢
A
CC B
¢¢¢
.
Vy khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
được chia thành ba khi t din là
A
ABC
¢
,
A
BCB
¢¢
A
CC B
¢¢¢
.
MT SÔ KT QU QUAN TRNG
Kết qu 1: Mt khi đa din bt kì có ít nht 4 mt.
Kết qu 2: Mi hình đa din có ít nht 4 đỉnh.
Kết qu 3: Mi hình đa din có ít nht 6 cnh.
Kết qu 4: Mi đỉnh ca mt hình đa din là đỉnh chung ca ít nht 3 cnh.
Kết qu 5: Không tn ti hình đ
a din có 7 cnh.
Kết qu 6: Cho
()
H
đa din mà các mt ca nó là nhng đa giác có
p
cnh. Nếu s mt ca
()
H
là l thì
p
phi là s chn.
Chng minh:Gi
M
là s các mt ca khi đa din
()
H
. Vì mi mt ca
()
H
p
cnh nên
M
mt s
.
p
M
cnh. Nhưng do mi cnh là cnh chung ca đúng hai đa giác nên s cnh ca
()
H
bng
2
p
M
C =
. Vì
M
l nên
p
phi là s chn.
Kết qu 7 (Suy ra t chng minh kết qu 6): Cho
()
H
đa din có
M
mt, mà các mt ca nó
là nhng đa giác có
p
cnh. Khi đó s cnh ca
()
H
2
p
M
C =
.
Kết qu 8: Mi khi đa din có các mt là các tam giác thì tng s các mt ca nó phi là mt s
chn.
Chng minh:Gi s cnh và s mt ca khi đa din ln lượt là
C
.
M
Vì mi mt có ba cnh và mi cnh là cnh chung ca đúng hai mt nên ta có s cnh ca đa din là
3
2
C
M
CM
Î
¾¾
chn.
Kết qu 9: Mi khi đa din bt kì luôn có th được phân chia được thành nhng khi t din.
Kết qu 10: Nếu khi đa din có mi đỉnh là đỉnh chung ca ba cnh thì s đỉnh phi là s chn.
(Tng quát: Mt đa din mà mi đỉnh ca nó đều là đỉnh chung ca mt s l mt thì tng s đỉ
nh là
mt s chn).
B.BÀI TP TRC NGHIM
Câu 1: Cho các hình sau:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
271
Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mi hình trên gm mt s hu hn đa giác phng (k c các đim trong ca nó), hình đa
din là:
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Hướng dn gii
Chn A
Câu 2: Cho các hình sau:
Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mi hình trên gm mt s hu hn đa giác phng (k c các đim trong ca nó), hình
không phi đa din là:
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Hướng dn gii
Chn D
Câu 3: Cho các hình sau:
Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mi hình trên gm mt s hu hn đa giác phng (k c các đim trong ca nó), s hình
đa din là:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
272
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii
Chn C
Các hình đa din là: Hình 1; Hình 3; Hình 4.
Câu 4: Vt th nào trong các vt th sau không phi là khi đa din?
A. B. C. D.
Hướng dn gii
Chn C
Vì hình C vi phm tính cht
'' Mi cnh ca min đa giác nào cũng là cnh chung ca
đúng hai min đa giác
''
.
Câu 5: Hình đa din trong hình v bên có bao nhiêu mt?
A.
6.
B.
10.
C.
11.
D.
12.
Hướng dn gii
Chn C
Câu 6: Hình đa din trong hình v bên có bao nhiêu mt?
A.
8.
B.
10.
C.
11.
D.
12.
Hướng dn gii
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
273
Chn B
Câu 7: Hình đa din trong hình v bên có bao nhiêu mt?
A.
11.
B.
12.
C.
13.
D.
14.
Hướng dn gii
Chn B
Câu 8: Khi đa din nào sau đây có s mt nh nht?
A. Khi t din đều. B. Khi chóp t giác.
C. Khi lp phương. D. Khi 12 mt đều.
Hướng dn gii
Chn A
Câu 9: Hình đa din trong hình v bên có bao nhiêu cnh?
A.
8.
B.
9.
C.
12.
D.
16.
Hướng dn gii
Chn D
Câu 10: Cho mt hình đa din. Trong các khng định sau, khng định nào sai?
A. Mi đỉnh là đỉnh chung ca ít nht ba cnh.
B. Mi mt có ít nht ba cnh.
C. Mi cnh là cnh chung ca ít nht ba mt.
D. Mi đỉnh là đỉnh chung ca ít nht ba mt.
Hướng dn gii
Chn C
Ta thy các đáp án A, B, D đều đúng da vào khái nim hình đa din.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
274
Câu 11: Gi Đ là s các đỉnh,
M
là s các mt,
C
là s các cnh ca mt hình đa din bt k.
mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
4, 4, 6.MC>>>Đ
B.
5, 5, 7.MC>>>Đ
C.
4, 4, 6.MC³³³Đ
D. 5, 5, 7.MC³³³Đ
Hướng dn gii
Chn C
Xét hình đa din là hình t din thì kết qu v quan h s đỉnh và s mt tha mãn đáp án
C
Câu 12: Mt hình đa din có các mt là nhng tam giác. Gi
M
là tng s mt và
C
là tng s
cnh
C
ca đa din đó. Mnh đề nào sau đây đúng.
A.
32CM=
. B.
2CM=+
. C.
M
C³
. D.
32
M
C=
.
Hướng dn gii
Chn D
Vì mi mt là nhng tam giác nên có tng s cnh là
3.
M
Mi cnh là cnh chung ca
đúng hai mt nên ta có h thc
32.
M
C=
Câu 13: Hình đa din nào dưới đây không có tâm đối xng?
A. T din đều. B. Bát din đều.
C. Hình lp phương. D. Lăng tr lc giác đều.
Hướng dn gii
Chn A
Câu 14: Gi
123
, , nnn
ln lượt là s trc đối xng ca khi t din đều, khi chóp t giác đều và
khi lp phương. Mnh đề nào sau đây là đúng?
A.
123
0, 0, 6.nnn===
B.
123
0, 1, 9.nnn===
C.
123
3, 1, 9.nnn===
D.
123
0, 1, 3.nnn===
Hướng dn gii
Chn C
Khi t din đều có 3 trc đối xng (đi qua trung đim ca các cp cnh đối din). Khi
chóp t giác đều có 1 trc đối xng (đi qua đỉnh và tâm ca mt t giác). Khi lp
phương có 9 trc đối xng (Loi 1: đi qua tâm ca các mt đối din ; Loi 2: đi qua trung
đim các cp cnh đối din).
Câu 15: Hình chóp t giác đều có bao nhiêu mt phng đối xng?
A.
4
mt phng. B.
1
mt phng. C.
2
mt phng. D.
3
mt phng.
Hướng dn gii
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
275
Chn A
Hình chóp t giác đều có 4 mt phng đối xng bao gm:
2 mt phng đi qua đỉnh hình chóp và cha đường trung bình ca đáy.
2 mt phng đi qua đỉnh hình chóp và cha đường chéo ca đáy.
Câu 16: S mt phng đối xng ca hình t din đều là:
A. 4 mt phng. B.
6
mt phng. C.
8
mt phng. D.
10
mt
phng.
Hướng dn gii
Chn B
Các mt phng đối xng ca hình t din đều là các mt phng cha mt cnh và qua
trung đim cnh đối din.
Vy hình t din đều có 6 mt phng đối xng.
Câu 17: Hình lăng tr tam giác đều có bao nhiêu mt phng đối xng?
A.
4
mt phng. B.
1
mt phng. C.
2
mt phng. D.
3
mt phng.
Hướng dn gii
Chn A
Hình lăng tr tam giác đều có
4
mt phng đối xng (hình v bên dưới).
Câu 18: Hình hp ch nht có ba kích thước đôi mt khác nhau có bao nhiêu mt phng đối
xng?
A.
4
mt phng. B.
6
mt phng. C.
9
mt phng. D.
3
mt phng.
Hướng dn gii
Chn D
Hình hp ch nht (không là hình lp phương) có các mt phng đối xng là các mt các
mt phng trung trc ca các cp cnh đối.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
276
Câu 19: Mt hình hp đứng có đáy là hình thoi (không phi là hình vuông) có bao nhiêu mt
phng đối xng?
A.
4
mt phng. B.
1
mt phng. C.
2
mt phng. D. 3 mt phng.
Hướng dn gii
Chn D
Hình hp đứng có đáy là hình thoi (không phi là hình ch nht) có 3 mt phng đối
xng bao gm:
2 mt phng cha đường chéo ca đáy và vuông góc vi đáy.
Mt mt phng là mt phng trung trc ca cnh bên.
Câu 20: Hình lp phương có tt c bao nhiêu mt phng đối xng?
A.
8
mt phng. B.
9
mt phng.
C.
10
mt phng. D.
12
mt phng.
Hướng dn gii
Chn B
Có 9 mt đối xng (như hình v sau).
Câu 21: S mt phng đối xng ca hình bát din đều là:
A. 4 mt phng. B.
9
mt phng.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
277
C.
6
mt phng. D.
12
mt phng.
Hướng dn gii
Chn B
Gi bát din đều
A
BCDEF
. Có 9 mt phng đối xng, bao gm: 3 mt phng
(
)
A
BCD
,
()
BEDF
,
()
A
ECF
và 6 mt phng mà mi mt phng là mt phng trung trc ca hai cnh
song song (chng hn
A
B
CD
).
Câu 22: Có tt c bao nhiêu mt phng cách đều bn đỉnh ca mt t din?
A.
1
mt phng. B.
4
mt phng.
C.
7
mt phng. D. Có vô s mt phng.
Hướng dn gii
Chn C
2
loi mt phng tha mãn đề bài là:
Loi 1: Mt phng qua trung đim ca
3
cnh bên có chung đỉnh. Có 4 mt phng tha
mãn loi này (vì có 4 đỉnh)
Nhn xét. Loi này ta thy có 1 đim nm khác phía vi 3 đim còn li.
Loi 2: Mt phng qua trung đim ca
4
cnh (
4
cnh này thuc
2
cp cnh, mi cp
cnh là chéo nhau). Có
3
mt phng như thế.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
278
Nhn xét. Loi này ta thy có 2 đim nm khác phía vi 2 đim còn li.
Câu 23: Mt phng
(
)
A
BC
¢¢
chia khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
thành các khi đa din nào?
A. Mt khi chóp tam giác và mt khi chóp t giác.
B. Hai khi chóp tam giác.
C. Mt khi chóp tam giác và mt khi chóp ngũ giác.
D. Hai khi chóp t giác.
Hướng dn gii
Chn A
Da vào hình v, ta thy mt phng
()
A
BC
¢¢
chia khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
thành khi
chóp tam giác
.
A
ABC
¢¢¢
và khi chóp t giác
..
A
BCC B
¢¢
Câu 24: Lp ghép hai khi đa din
()()
12
,
H
H
để to thành khi đa din
()
H
, trong đó
()
1
H
khi chóp t giác đều có tt c các cnh bng
a ,
()
2
H
là khi t din đều cnh a sao cho
mt mt ca
()
1
H
trùng vi mt mt ca
()
2
H
như hình v. Hi khi da din
()
H
có tt
c bao nhiêu mt?
A.
5.
B.
7.
C.
8.
D.
9.
Hướng dn gii
Chn A
Khi đa din
()
H
đúng 5 mt.
Sai lm hay gp: Khi chóp t giác đều có 5 mt. Khi t din đều có 4 mt.
C
C'
B
'
A
'
B
A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
279
Ghép hai hình li như hình v ta được khi đa din
()
H
có 8 mt.
Câu 25: Có th chia mt hình lp phương thành bao nhiêu khi t din bng nhau?
A.
2.
B.
4.
C.
6.
D.
8.
Hướng dn gii
Chn C
Ln lượt dùng mt phng
(
)
B
DD B
¢¢
ta chia thành hai khi lp phương thành hai khi lăng
tr
.
A
BD A B D
¢¢¢
.
B
CD B C D
¢¢¢
.
Vi khi
.
A
BD A B D
¢¢¢
ta ln lượt dùng các mt phng
(
)
A
BD
¢¢
()
A
BD
¢
chia thành ba
khi t din bng nhau.
Tương t vi khi
.
B
CD B C D
¢¢¢
.
Vy có tt c 6 khi t din bng nhau.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 280
BÀI 2. KHÁI ĐA DIN LI VÀ KHI ĐA DIN ĐỀU
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I – KHI ĐA DIN LI
Khi đa din
()
H
được gi là khi đa din li nếu đon thng ni hai đim bt kì ca
()
H
luôn
thuc
()
H
. Khi đó đa din gii hn
()
H
được gi là đa din li.
Khi đa din li Khi đa din không li
Mt khi đa din là khi đa din li khi và ch khi min trong ca nó luôn nm v mt phía đối vi
mi mt phng đi qua mt mt ca nó.
II – KHI ĐA DIN ĐỀU
Định nghĩa
Khi đa din
đều là mt khi đa din li có hai tính cht sau đây:
Các mt là nhng đa giác đều n cnh.
Mi đỉnh là đỉnh chung ca đúng
p
cnh.
Khi đa din đều như vy gi là khi đa din đều loi
{}
,np
.
Định lí
Ch có năm khi đa din đều. Đó là:
 Loi
{
}
3;3
: khi t din đều.
 Loi
{
}
4;3
: khi lp phương.
 Loi
{
}
3;4
: khi bát din đều.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 281
 Loi
{}
5;3
: khi 12 mt đều.
 Loi
{}
3;5
: khi 20 mt đều.
Khi t din đều Khi lp phương Bát din đều Hình 12 mt đều Hình 20 mt đều
Khi đa din đều S đỉnh S cnh S mt Loi
T din đều
4
6
4
{}
3;3
Khi lp phương
8
12
6
{}
4;3
Bát din đều
6
12
8
{}
3;4
Mười hai mt đều
20
30
12
{}
5;3
Hai mươi mt đều
12
30
20
{}
3;5
Chú ý.Gi
Đ
là tng s đỉnh,
C
là tng s cnh và
M
là tng các mt ca khi đa din đều loi
{}
;np
. Ta có
2pCnM==Đ
Xét t din đều
{}
2
3, 3
3;3 6 & 4.
4
2
pCnM
np
nM nM
C
M
p
==
ì
==
ï
ï
¾¾¾¾¾= = = =
í
ï
=
ï
î
Đ
Đ
Xét khi lp phương
{}
2
4, 3
4;3 12 & 8.
6
2
pCnM
np
nM nM
C
M
p
==
ì
==
ï
ï
¾¾¾¾¾= = = =
í
ï
=
ï
î
Đ
Đ
Xét bát din đều
{}
2
3, 4
3;4 12 & 6.
8
2
pCnM
np
nM nM
C
M
p
==
ì
==
ï
ï
« ¾¾¾¾¾= = = =
í
ï
=
ï
î
Đ
Đ
Xét khi mười hai mt đều
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 282
{}
2
5, 3
5;3 30 & 20.
12
2
pCnM
np
nM nM
C
M
p
==
ì
==
ï
ï
¾¾¾¾¾= = = =
í
ï
=
ï
î
Đ
Đ
Xét khi hai mươi mt đều
{}
2
3, 5
3;5 30 & 12.
20
2
pCnM
np
nM nM
C
M
p
==
ì
==
ï
ï
¾¾¾¾¾= = = =
í
ï
=
ï
î
Đ
Đ
B. CÂU HI TRC NGHIM
Câu 1: Cho các hình khi sau:
Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mi hình trên gm mt s hu hn đa giác phng (k c các đim trong ca nó), hình
không phi đa din li là
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Hướng dn gii
Chn B
Áp dng các tính cht ca khi đa din li
()
H
:
''
Đon thng ni hai đim bt kì ca
()
H
luôn thuc
()
''H
.
Câu 2: Cho các hình khi sau:
Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mi hình trên gm mt s hu hn đa giác phng (k c các đim trong ca nó), s đa din
li là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Hướng dn gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 283
Chn B
Có hai khi đa din li là: Hình 1 & Hình 4.
Câu 3: Tâm tt c các mt ca mt hình lp phương là các đỉnh ca hình nào trong các hình sau
đây?
A. Bát din đều. B. T din đều. C. Lc giác đều. D. Ngũ giác đều.
Hướng dn gii
Chn A
Câu 4: Chn khng định đúng trong các khng định sau:
A. Tâm tt c các mt ca mt hình lp phương là các đỉnh ca mt hình lp phương.
B. Tâm tt c các mt ca mt hình t din đều là các đỉnh ca mt hình t din đều.
C. Tâm tt c các mt ca mt hình t din đều là các đỉnh ca mt hình lp phương.
D. Tâm tt c các mt ca mt hình lp phương là các đỉnh ca mt hình t din đều.
Hướng dn gii
Chn B
Câu 5: Trung đim các cnh ca mt t din đều to thành
A. các đỉnh ca mt hình t din đều.
B. các đỉnh ca mt hình bát din đều.
C. các đỉnh ca mt hình mười hai mt đều.
D. các đỉnh ca mt hình hai mươi mt đều.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 284
Hướng dn gii
Chn B
Câu 6: Trong các mnh đề sau, mnh đềo sai?
A. Tn ti khi t din là khi đa din đều.
B. Tn ti khi lng tr đều là khi đa din đều.
C. Tn ti khi hp là khi đa din đều.
D. Tn ti khi chóp t giác đều là khi đa din đều.
Hướng dn gii
Chn D
Trong 5 loi khi đa din đều không tn ti khi chóp có đáy là t giác.
Câu 7: Trong không gian ch có 5 loi khi đa din đều như hình v
Khi t din
đều
Khi lp
phương
Bát din đều Hình 12 mt
đều
Hình 20 mt đều
Mnh đề nào sau đây đúng?
A. Mi khi đa din đều có s mt là nhng s chia hết cho 4.
B. Khi lp phương và khi bát din đều có cùng s cnh.
C. Khi t din đều và khi bát din đều có 1 tâm đối xng.
D. Khi mười hai mt đều và khi hai mươi mt đều có cùng s đỉnh.
Hướng dn gii
Chn B
Khi lp phương có 6 mt. Do đó A sai.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 285
Khi lp phương và khi bát din đều có cùng s cnh là 12.
Khi t din đều không có tâm đối xng. Do đó C sai.
Khi 12 mt đều có 20 đỉnh. Khi 20 mt đều có 12 đỉnh. Do đó D sai.
Câu 8: Mi khi đa din đều mà mi đỉnh ca nó đều là đỉnh chung ca ba mt thì s đỉnh Đ
s cnh
C
ca các khi đa din đó luôn tha mãn:
A.
2C=-Đ
.
B.
C³Đ
. C.
32C=Đ
. D.
32C = Đ
.
Hướng dn gii
Chn C
Do mi đỉnh là đỉnh chung ca đúng ba mt nên suy ra s cnh ca khi đa din là
3.Đ
Mi cnh là cnh chung ca đúng hai mt nên ta có h thc
32.C=Đ
Câu 9: Tng các góc đỉnh ca tt c các mt ca khi đa din đều loi
{
}
4;3
là:
A.
4p
. B. 8p . C.
12p
. D. 10p .
Hướng dn gii
Chn C
Khi đa din đều loi
{
}
4;3
là khi lp phương, gm 6 mt là các hình vuông nên tng
các góc bng
6.2 12 .pp=
Câu 10: Tng các góc đỉnh ca tt c các mt ca khi đa din đều loi
{
}
3;5
là:
A. 12p . B.
16p
. C.
20p
. D. 24p .
Hướng dn gii
Chn C
Khi đa din đều loi
{
}
3;5
là khi hai mươi mt đều, gm 20 mt là các tam giác đều
nên tng các góc bng
20. 20 .pp=
Câu 11: Tng độ dài
ca tt c các cnh ca mt t din đều cnh a .
A.
4a=
. B.
6a=
. C.
6=
. D. 4= .
Hướng dn gii
Chn B
T din đều có tt c
6
cnh nên có tng độ dài các cnh là
6a
.
Câu 12: Tng độ dài
ca tt c các cnh ca khi mười hai mt đều cnh bng
2.
A.
8.=
B.
16.=
C.
24.=
D.
60.=
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU
_
SĐT:0834332133 286
Hướng dn gii
Chn D
Khi mười hai mt đều có
30
cnh nên có tng độ dài tt c các cnh bng
30.2 60==
.
Câu 13: Cho hình đa din đều loi
{
}
4;3
cnh .a Gi
S
là tng din tích tt c các mt ca hình đa
din đó. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
4.Sa= B.
2
6.Sa= C.
2
8.Sa= D.
2
10 .Sa=
Hướng dn gii
Chn B
Đa din đều loi
{
}
4;3
là khi lp phương nên có 6 mt là các hình vuông cnh a . Vy
hình lp phương có tng din tích tt c các mt là
2
6.Sa=
Câu 14: Cho hình bát din đều cnh
.a Gi
S
là tng din tích tt c các mt ca hình bát din
đó. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
43 .Sa=
B.
2
3.Sa=
C.
2
23 .Sa=
D.
2
8.Sa=
Hướng dn gii
Chn C
Hình bát din đều là hình có tám mt bng nhau và mi mt là mt tam giác đều. Gi
0
S
là din tích tam giác đều cnh
2
0
3
.
4
a
aS¾¾=
Vy din tích
S
cn tính là
2
2
0
3
8. 8. 2 3 .
4
a
SS a== =
Câu 15: Cho hình 20 mt đều có cnh bng
2.
Gi
S
là tng din tích tt c các mt ca hình đa
din đó. Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
10 3.S =
B.
20 3.S =
C.
20.S =
D.
10.S =
Hướng dn gii
Chn B
Hình 20 đều là hình có 20 mt bng nhau và mi mt là mt tam giác đều.
Gi
0
S
là din tích tam giác đều cnh bng
2
0
2. 3
23.
4
S¾¾= =
Vy din tích
S
cn tính là
0
20. 20 3.SS==
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 287
BÀI 3. KHÁI NIM VÀ TH TÍCH KHI ĐA DIN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I – NHC LI MT S ĐỊNH NGHĨA
Hình lăng tr là hình có hai đáy là hai đa giác bng nhau nm trên hai mt
phng song song vi nhau và các mt bên đều là các hình bình hành.
1. Hình lăng tr đứng
Định nghĩa. Hình lăng tr đứng là hình lăng tr có cnh bên vuông góc vi mt đáy.
Tính cht. Các mt bên ca hình lăng tr đứng là các hình ch nht và vuông góc vi mt đáy.
2. Hình lăng tr đều
Định nghĩa. Hình lăng tr đều là hình lăng tr đứng có đáy là đa giác đều.
Tính cht. Các mt bên ca hình lăng tr đều là các hình ch nh
t bng nhau và vuông góc vi mt
đáy.
Hình hp là hình lăng trđáy là hình bình hành.
1. Hình hp đứng
Định nghĩa. Hình hp đứng là hình hp có cnh bên vuông góc vi mt đáy.
Tính cht. Hình hp đứng có
2
đáy là hình bình hành,
4
mt xung quanh là
4
hình ch nht.
2. Hình hp ch nht
Định nghĩa. Hình hp ch nht là hình hp đứng có đáy là hình ch nht.
Tính cht. Hình hp ch nht có
6
mt là
6
hình ch nht.
3. Hình lp phương
Định nghĩa. Hình lp phương là hình hp ch nht
2
đáy và
4
mt bên đều là hình vuông
Tính cht. Hình lp phương có
6
mt đều là hình vuông.
Hình chóp là hình có đáy là mt đa giác và các mt bên là các tam giác có
chung mt đỉnh.
I – THEÅ TÍCH
1. Công thc tính th tích khi chóp
1
.
3
VSh=
Trong đó:
S
là din tích đáy,
h
là chiu cao khi chóp.
2. Công thc tính th tích khi lăng tr
.VBh=
Trong đó:
B là din tích đáy,
h
là hiu cao khi lăng tr
Th tích khi hp ch nht:
..Vabc=
Trong đó:
, , abc
là ba kích thước ca khi hp ch nht.
Th tích khi lp phương:
3
Va=
Trong đó
a độ dài cnh ca hình lp phương.
III – T S TH TÍCH
Cho khi chóp
.SABC
'
A
,
'B
,
'C
là các đim tùy ý ln lượt thuc
SA
,
SB
,
SC
ta có
.'''
.
'''
..
SABC
SABC
V
SA SB SC
VSASBSC
=
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 288
Phương pháp này được áp dng khi khi chóp không xác đinh được chiu cao mt cách d dàng
hoc khi chóp cn tính là mt phn nh trong khi chóp ln và cn chú ý đến mt s điu kin sau
·
Hai khi chóp phi cùng chung đỉnh.
· Đáy hai khi chóp phi là tam giác.
·
Các đim tương ng nm trên các cnh tương ng.
B. PHÂN DNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GII BÀI TP
Dng 1. Khi chóp có cnh bên vuông góc vi đáy
Câu 1: Cho hình chóp .SABCDđáy
A
BCDlà hình vuông cnh
a
, cnh bên SAvuông góc
vi mt phng đáy và
2.SA a
Tính th tích
V
ca khi chóp
..S ABCD
A.
3
2
.
6
a
V =
B.
3
2
.
4
a
V =
C.
3
2.Va= D.
3
2
.
3
a
V =
Li gii
Chn D
Din tích hình vuông
A
BCD
2
ABCD
Sa=
.
Chiu cao khi chóp là
2.SA a=
Vy th tích khi chóp
3
.
12
..
33
S ABCD ABCD
a
VSSA==
Câu 2: Cho khi chóp
.SABC
SA
vuông góc vi đáy,
4, 6, 10SA AB BC===
8CA =
. Tính
th tích
V
ca khi chóp
.SABC
.
A.
40.V =
B.
192.V =
C.
32.V =
D.
24.V =
Li gii
Chn C
Tam giác
A
BC
, có
222222
6810
A
BAC BC+=+==
¾
¾
tam giác
A
BC
vuông ti
A
1
.24.
2
ABC
SABAC
D
¾¾= =
Vy th tích khi chóp
.
1
. 32.
3
SABC ABC
VSSA
D
==
Câu 3: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình ch nht có cnh
A
Ba=
,
2
B
Ca=
. Hai mt
bên
(
)
SAB
()
SAD
cùng vuông góc vi mt phng đáy
(
)
A
BC D
, cnh
15SA a=
. Tính
theo
a
th tích
V
ca khi chóp
..SABCD
A.
3
215
6
a
V =
. B.
3
215
3
a
V =
. C.
3
215Va=
. D.
3
15
3
a
V =
.
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 289
Vì hai mt bên
(
)
SAB
()
SAD
cùng vuông góc vi
(
)
A
BC D
, suy ra
()
SA A BCD^
. Do đó
chiu cao khi chóp là
15SA a= .
Din tích hình ch nht
A
BCD
2
.2.
ABCD
SABBCa==
Vy th tích khi chóp
3
.
1215
..
33
SABCD ABCD
a
VSSA==
Câu 4: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông cnh
a
. Cnh bên
SA
vuông góc vi
đáy
(
)
ABCD
5SC a=
. Tính theo
a
th tích
V
khi chóp
..SABCD
A.
3
3
3
a
V =
. B.
3
3
6
a
V =
. C.
3
3Va= . D.
3
15
3
a
V =
.
Li gii
Chn A
Đường chéo hình vuông
2.AC a=
Xét tam giác
SAC
, ta có
22
3SA SC A C a=-=
.
Chiu cao khi chóp là
3SA a=
.
Din tích hình vuông
A
BCD
2
.
ABCD
Sa=
Vy th tích khi chop
3
.
13
..
33
SABCD ABCD
a
VSSA==
Câu 5: Cho hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác vuông ti
B
BA BC a==
. Cnh bên
2SA a=
và vuông góc vi mt phng đáy. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABC
.
A.
3
Va=
. B.
3
3
2
a
V =
. C.
3
3
a
V =
. D.
3
2
3
a
V =
.
Li gii
Chn C
Din tích tam giác vuông
2
1
..
22
ABC
a
SBABC
D
==
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 290
Chiu cao khi chóp là
2SA a=
.
Vy th tích khi chóp
3
.
1
..
33
SABC ABC
a
VSSA==
Câu 6: Cho hình chóp
.SABCD
đáy là hình thang vuông ti
A
B
,
1AB BC==
,
2
A
D =
.
Cnh bên
2SA =
và vuông góc vi đáy. Tính th tích khi chóp
.SABCD
.
A.
1V =
. B.
3
2
V =
. C.
1
3
V =
. D.
2V =
.
Li gii
Chn A
Din tích hình thang
A
BCD
3
..
22
ABCD
AD BC
SAB
æö
+
÷
ç
==
÷
ç
÷
ç
èø
Chiu cao khi chóp là
2SA =
.
Vy th tích khi chóp
.
1
.1.
3
S ABCD ABCD
VSSA==
Câu 7: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông tâm
O
, cnh
a
. Cnh bên
SA
vuông góc vi đáy, góc
0
60SBD =
. Tính th tích
V
ca khi chóp
.SABCD
.
A.
3
Va=
. B.
3
3
2
a
V =
. C.
3
3
a
V =
. D.
3
2
3
a
V =
.
Li gii
Chn C
Ta có
.SAB SAD SB SDD=D ¾¾=
Hơn na, theo gi thiết
0
60SBD =
.
Do đó
SBDD
đều cnh 2SB SD BD a== = .
Tam giác vuông
SAB
, ta có
22
SA SB AB a=-=
.
Din tích hình vuông
A
BCD
2
.
ABCD
Sa=
Vy
3
.
1
.
33
SABCD ABCD
a
VSSA==
(đvtt).
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 291
Câu 8: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình ch nht vi
A
Ba=
,
5
A
Ca=
. Đường
thng
SA
vuông góc vi mt đáy, cnh bên
SB
to vi mt đáy mt góc
0
60
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABCD
.
A.
3
62Va=
. B.
3
42Va=
. C.
3
22Va=
. D.
3
2Va=
.
Li gii
Chn C
Trong tam giác vuông
A
BC
, ta có
22
26BC AC AB a=-=
.
()
SA A BCD^
nên hình chiếu vuông góc ca
SB
trên mt phng
()
A
BCD
A
B
.
Do đó
()
0
60 , ,SB ABCD SB A B SBA===.
Tam giác vuông
SAB
, có
.tan 3SA AB SBA a==
.
Din tích hình ch nht
2
.26.
ABCD
SABBCa==
Vy
3
.
1
.22.
3
SABCD ABCD
VSSAa==
Câu 9: Cho hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác đều cnh
a
,
SA
vuông góc vi mt phng
(
)
A
BC
; góc gia đường thng
SB
và mt phng
()
A
BC
bng
0
60
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABC
.
A.
3
4
a
V =
. B.
3
3
4
a
V =
. C.
3
2
a
V =
. D.
3
Va=
.
Li gii
Chn A
Do
()
SA A BCD^
nên ta có
()
0
60 , , .SB ABC SB A B S BA===
Tam giác vuông
SAB
, có
.tan 3.SA AB SBA a==
Din tích tam giác đều
A
BC
2
3
4
ABC
a
S
D
=
.
C
B
A
S
D
C
B
A
S
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 292
Vy
3
.
1
..
34
SABC ABC
a
VSSA
D
==
Câu 10: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình thoi cnh
a
, góc
0
120BAD =
. Cnh bên
SA
vuông góc vi đáy
(
)
A
BCD
SD
to vi đáy
(
)
A
BCD
mt góc
0
60
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABCD
.
A.
3
4
a
V =
. B.
3
3
4
a
V =
. C.
3
2
a
V =
. D.
3
Va=
.
Li gii
Chn C
Do
()
SA A BCD^
nên ta có
()
0
60 , , .SD ABCD SD AD SDA===
Tam giác vuông
SAD
, có
.tan 3.SA A D SDA a==
Din tích hình thoi
2
3
2..sin .
2
ABCD BAD
a
S S AB AD BAD
D
== =
Vy th tích khi chop
3
.
1
..
32
SABCD ABCD
a
VSSA==
Câu 11: Cho hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác vuông cân ti
A
,
A
BACa==
. Cnh bên
SA
vuông góc vi đáy
()
A
BC
. Gi
I
là trung đim ca
BC
,
SI
to vi mt phng
()
A
BC
góc
0
60 .
Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABC
.
A.
3
6
4
V
a
=
. B.
3
6
6
V
a
=
. C.
3
2
V
a
=
. D.
3
6
12
V
a
=
.
Li gii
Chn D
()
SA A BC^
nên hình chiếu vuông góc ca
SI
trên mt phng
()
A
BC
A
I
. Do đó
()
60 , ,
o
SI A BC SI AI SIA===.
Tam giác
A
BC
vuông ti
A
, suy ra trung tuyến
12
22
a
AI BC==
.
B
S
A
C
D
I
C
B
A
S
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 293
Tam giác vuông
SAI
, có
6
.tan
2
a
SA A I SIA==
.
Din tích tam giác vuông
2
1
.
2
.
2
ABC
a
SABAC
D
==
Vy
.
3
1
.
3
6
.
12
SA C CBAB
a
SVSA
D
==
Câu 12: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông cnh
a
,
SA
vuông góc vi mt đáy,
SD
to vi mt phng
(
)
SAB
mt góc bng
0
30
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABCD
.
A.
3
6
.
18
a
V =
B.
3
3.Va=
C.
3
6
.
3
a
V =
D.
3
3
.
3
a
V =
Li gii
Chn D
A
BCD
là hình vuông suy ra
A
BAD^
.
()
1
()
.SA ABCD SA AD¾^
()
2
T
()
1
(
)
2
, suy ra
()
A
DSAB^
.
Khi đó
SA
là hình chiếu ca
SD
trên mt phng
(
)
SAB
.
Do đó
()
()
0
30 ; ; .SD SAB SD SA DSA===
Tam giác
SAD
vuông ti
A
, có
3.
tan
AD
SA a
DSA
==
Vy th tích khi chóp
3
.
13
..
33
SABCD ABCD
a
VSSA==
Câu 13: Cho khi chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông cnh
a
,
SA
vuông góc vi đáy
khong cách t
A
đến mt phng
(
)
SBC
bng
2
2
a
. Tính th tích
V
ca khi chóp đã
cho.
A.
3
.
2
a
V =
B.
3
.Va=
C.
3
3
.
9
a
V =
D.
3
.
3
a
V =
Li gii
Chn D
Gi
H
là hình chiếu ca
A
trên
SB
.
A
HSB^
Ta có
()
()
SA A BCD SA BC
BC SAB AH B
C
AB BC
ì
ï^ ^
ï
^ ^
í
ï
^
ï
î
Suy ra
() ()
2
,.
2
a
AH SBC d A SBC AH
éù
^ ==
ëû
Tam giác
SAB
vuông ti
A
, có
H
D
S
A
B
C
A
B
C
D
S
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 294
222
111
.
SA a
AH SA AB
=+ =
Vy
3
1
.. .
33
ABCD
a
VSAS==
Dng 2 : Khi chóp có mt bên vuông góc vi đáy
Câu 1: Chohìnhchóp
.S ABC
đáy
A
BC
tamgiácvuôngti
A
A
Ba
,
3BC a
.Mtbên
SAB tamgiácđềunmtrongmtphngvuôngcvimtphng
A
BC .Tínhtheo a
thểch
V
cakhichóp
.S ABC
.
A.
3
6
12
a
V =
. B.
3
6
4
a
V =
. C.
3
26
12
a
V =
. D.
3
6
6
a
V =
.
Li gii
Chn A
Gi
H
là trung đim ca
A
B
, suy ra
SH AB^
.
Do
()( )
SAB A BC^
theo giao tuyến
A
B
nên
()
SH A BC^
.
Tam giác
SAB
đều cnh
A
Ba=
nên
3
2
a
SH =
.
Tam giác vuông
A
BC
, có
22
2AC BC AB a=-=
.
Din tích tam giác vuông
2
12
.
22
ABC
a
SABAC
D
==
.
Vy
3
.
16
..
312
SABC ABC
a
VSSH
D
==
Câu 2: Cho khi chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông cnh
a
, tam giác
SAB
cân ti
S
nm trong mt phng vuông góc vi mt đáy,
2SA a=
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi
chóp
.SABCD
.
A.
3
15
12
a
V =
. B.
3
15
6
a
V =
. C.
3
2Va=
. D.
3
2
3
a
V =
.
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 295
Gi
I
là trung đim ca
A
B
. Tam giác
SAB
cân ti
S
và có
I
là trung đim
A
B
nên
SI AB^
. Do
()( )
SAB ABCD^
theo giao tuyến
A
B
nên
()
SI ABCD^
.
Tam giác vuông
SIA
, có
2
22 2
15
22
AB a
SI SA IA SA
æö
÷
ç
=-=- =
÷
ç
÷
ç
èø
.
Din tích hình vuông
A
BCD
2
.
ABCD
Sa=
Vy
3
.
115
..
36
SABCD ABCD
a
VSSI==
Câu 3: Cho hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác vuông ti
B
,
2
A
Ca=
,
A
BSAa==
. Tam
giác
SAC
vuông ti
S
và nm trong mt phng vuông góc vi đáy
(
)
A
BC
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABC
.
A.
3
4
a
V =
. B.
3
3
4
a
V =
. C.
3
Va=
. D.
3
2
3
a
V =
.
Li gii
Chn A
K
SH A C^
. Do
()( )
SAC ABC^
theo giao tuyến
A
C
nên
()
SH ABC^
.
Trong tam giác vuông
SAC
, ta có
22
3SC AC SA a=-=
,
.3
2
SA SC a
SH
AC
==
.
Tam giác vuông
A
BC
, có
22
3BC AC AB a=-=
.
Din tích tam giác
A
BC
2
13
.
22
ABC
a
SABBC
D
==
.
Vy
3
.
1
..
34
SABC ABC
a
VSSH
D
==
Câu 4: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông cnh
a
. Tam giác
SAB
vuông ti
S
nm trong mt phng vuông góc vi đáy. Hình chiếu vuông góc ca
S
trên
A
B
đim
H
tha
2
A
HBH=
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABCD
.
A.
3
2
6
a
V =
. B.
3
2
3
a
V =
. C.
3
3
9
a
V =
. D.
3
2
9
a
V =
.
Li gii
Chn C
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 296
Trong tam giác vuông
SAB
, ta có
22
22
..;
33
SA AH AB AB AB a== =
22
2
.
3
a
SH SA A H=-=
Din tích hình vuông
A
BCD
2
.
ABCD
Sa=
Vy
3
.
12
..
39
SABCD ABCD
a
VSSH==
Câu 5: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông cnh bng
3
, tam giác
SBC
vuông
ti
S
và nm trong mt phng vuông góc vi đáy, đường thng
SD
to vi mt phng
(
)
SBC
mt góc
0
60
. Tính th tích
V
ca khi chóp
.SABCD
.
A.
1
6
V
=
. B. 6V = . C.
6
3
V =
. D. 3V = .
Li gii
Chn C
K
SH BC^
. Vì
(
)
(
)
SBC ABCD^
theo giao tuyến
BC
nên
()
.SH ABCD^
Ta có
()
DC BC
DC SBC
DC SH
ì
^
ï
ï
^
í
ï
^
ï
î
. Do đó
()
0
60 , ,SD SBC SD SC DSC===.
T
()
.
D
CSBC DCSC¾^
Tam giác vuông
,SCD
1
tan
DC
SC
DSC
==
.
Tam giác vuông
SBC
, có
22
6..
3
SB SC BC SC SC
SH
BC BC
-
== =
.
Din tích hình vuông
A
BCD
3.
ABCD
S =
Vy
.
61
..
33
S ABCD ABCD
VSSH==
Dng 3: Khi chóp đều
Câu 1: Cho hình chóp đều
.SABC
có cnh đáy bng
a
, cnh bên gp hai ln cnh đáy. Tính th tích
V
ca khi chóp đã cho.
A.
3
13
.
12
a
V
=
B.
3
11
.
12
a
V
=
C.
3
11
.
6
a
V =
D.
3
11
.
4
a
V
=
Li gii
H
S
D
C
B
A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 297
Chn B
Gi
I
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
.
A
BC
.SABC
là khi chóp đều nên suy ra
()
.SI ABC^
Gi
M
là trung đim ca
23
.
33
a
BC AI AM= =
Tam giác
SAI
vuông ti
I
, có
()
2
2
22
333
2.
33
aa
SI SA SI a
æö
÷
ç
÷
ç
=-= - =
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Din tích tam giác
A
BC
2
3
.
4
ABC
a
S
D
=
Vy th tích khi chóp
3
.
111
..
312
SABCD ABC
a
VSSI
D
==
Câu 2: Cho hình chóp đều
.SABC
có cnh đáy bng
a
, cnh bên bng
21
6
a
. Tính theo
a
th
tích
V
ca khi chóp đã cho.
A.
3
3
8
a
V =
. B.
3
3
12
a
V
=
. C.
3
3
24
a
V
=
. D.
3
3
6
a
V =
.
Li gii
Chn C
Gi
I
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
.
A
BC
.SABC
là khi chóp đều nên suy ra
()
.SI ABC^
Gi
M
là trung đim ca
23
.
33
a
BC AI AM= =
Tam giác
SAI
vuông ti
I
, có
22
22
21 3
.
632
aaa
SI SA A I
æöæö
÷÷
çç
÷÷
çç
=- - =
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èøèø
Din tích tam giác
A
BC
2
3
.
4
ABC
a
S
D
=
Vy th tích khi chóp
3
.
13
.
324
SABC ABC
a
VSSI
D
==
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 298
Câu 3: Cho hình chóp đều
.SABCD
có cnh đáy bng
a
, cnh bên hp vi mt đáy mt góc
0
60
.
Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABCD
.
A.
3
6
6
a
V =
. B.
3
6
2
a
V
=
. C.
3
6
3
a
V =
. D.
3
3
a
V
=
.
Li gii
Chn A
Gi
.OACBD
Do
.SABCD
là hình chóp đều nên
(
)
SO ABCD^
.
Suy ra
OB
là hình chiếu ca
SB
trên
(
)
A
BCD
.
Khi đó
()
0
60 = , ,SB ABCD SB OB SBO==.
Tam giác vuông
SOB
, có
6
.tan .
2
a
SO OB SBO
==
Din tích hình vuông
A
BC
22
.
ABCD
SABa==
Vy
3
.
16
..
36
S ABCD ABCD
a
VSSO==
Câu 4: Cho hình chóp đều
.SABC
có cnh đáy bng
a
, góc gia mt bên vi mt đáy bng
0
60
.
Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABC
.
A.
3
3
24
a
V =
. B.
3
3
8
a
V =
. C.
3
8
a
V
=
. D.
3
3
12
a
V =
.
Li gii
Chn A
Gi
, EF
ln lượt là trung đim
, BC BA
OAECF
.
Do
.SABC
là hình chóp đều nên
()
SO ABC^
.
Khi đó
()( )
0
60 , ,SBC A BC SE OE SEO===.
Tam giác vuông
SOE
, có
0
3
.tan .tan60 . 3
36
AE a
SO OE SEO===
=
.
Din tích tam giác đều
A
BC
2
3
4
ABC
a
S
D
=
.
Vy
3
.
13
..
324
SABC ABC
a
VSSO
D
==
A
B
C
S
O
E
F
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 299
Dng 4: Khi chóp có hình chiếu lên mt phng đáy
Câu 1: Cho hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác vuông cân ti
B
,
A
Ba=
. Cnh bên
2SA a=
, hình chiếu ca đim
S
lên mt phng đáy trùng vi trung đim ca cnh
huyn
A
C
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
..SABC
A.
3
6
12
a
V
=
. B.
3
6
4
a
V
=
. C.
3
26
12
a
V
=
. D.
3
6
6
a
V =
.
Li gii
Chn A
Gi
M
là trung đim
A
C
. Theo gi thiết, ta có
()
.SM ABC SM AC^^
Tam giác vuông
A
BC
, có 22.AC AB a==
Tam giác vuông
SMA
, có
2
22 2
6
.
22
AC a
SM SA A M SA
æö
÷
ç
=-=- =
÷
ç
÷
ç
èø
Din tích tam giác vuông cân
A
BC
2
.
2
ABC
a
S
D
=
Vy
3
.
16
..
312
SABC ABC
a
VSSM
D
==
Câu 2: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BCD
là hình vuông cnh bng
1
. Hình chiếu vuông góc
ca
S
trên mt phng
(
)
A
BCD
là trung đim
H
ca cnh
A
B
, góc gia
SC
và mt đáy
bng
0
30
. Tính th tích
V
ca khi chóp
.SABCD
.
A.
15
6
V =
. B.
15
18
V =
. C.
1
3
V =
. D.
5
6
V =
.
Li gii
Chn B
()
SH ABCD^
nên hình chiếu vuông góc ca
SC
trên mt phng đáy
(
)
A
BCD
H
C
.
Do đó
()
0
30 , ,SC ABCD SC HC SCH===.
H
B
D
C
A
S
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 300
Tam giác vuông
BC H
, có
22
5
.
2
HC BC BH
=+=
Tam giác vuông
SHC
, có
15
.tan .
6
SH HC SCH==
Din tích hình vuông
A
BCD
1
ABCD
S =
.
Vy
.
115
..
318
S ABCD ABCD
VSSH==
Câu 3: Cho hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác đều cnh
a
, hình chiếu vuông góc ca
đỉnh
S
trên mt phng
(
)
A
BC
là trung đim
H
ca cnh
BC
. Góc gia đường thng
SA
và mt phng
(
)
A
BC
bng
0
60
. Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
.SABC
.
A.
3
3
8
V
a
=
. B.
3
33
8
V
a
=
. C.
3
3
4
V
a
=
. D.
3
3
3
V
a
=
.
Li gii
Chn A
()
SH ABC^
nên hình chiếu vuông góc ca
SA
trên mt đáy
(
)
A
BC
H
A
. Do đó
()
0
60 , ,SA ABC SA HA SAH===.
Tam giác
A
BC
đều cnh
a
nên
3
2
a
AH
=
.
Tam giác vuông
SHA
, có
3
.tan
2
a
SH A H SA H==
.
Din tích tam giác đều
A
BC
2
3
4
ABC
a
S
D
=
.
Vy
3
.
13
..
38
SABC ABC
a
VSSH
D
==
Dng 5: Mt s dng khác
Câu 1: Cho hình chóp
.SABC
có tam giác
SBC
là tam giác vuông cân ti
S
,
2SB a=
và khong
cách t
A
đến mt phng
(
)
SB C
bng
3.a
Tính theo
a
th tích
V
ca khi chóp
..SABC
A.
3
2Va=
. B.
3
4Va=
. C.
3
6Va=
D.
3
12Va=
.
Li gii
Chn A
Ta chn
(
)
SBC
làm mt đáy
¾
¾
chiu cao khi chóp là
()
,3.dA SBC a
é
ù
=
ë
û
Tam giác
SBC
vuông cân ti
S
nên
22
1
2.
2
SBC
SSBa
D
==
H
C
B
A
S
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 301
Vy th tích khi chóp
()
3
1
., 2.
3
SBC
VSdASBC a
D
éù
==
ëû
Câu 2: Cho hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác đều cnh
2a
và th tích bng
3
a
. Tính
chiu cao
h
ca hình chóp đã cho.
A.
3
.
6
a
h =
B.
3
.
2
a
h
=
C.
3
.
3
a
h =
D.
3.ha=
Li gii
Chn D
Xét hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác đều cnh
2a
2
3
ABC
Sa
D
=
.
Th tích khi chóp
3
.
.
2
3.
13
.3.
3
3
SABC
SABC ABC
ABC
V
a
VShh a
S
a
D
D
¾= = =
Câu 3: Cho t din
A
BCD
có các cnh
,
A
BAC
A
D
đôi mt vuông góc vi nhau;
6, 7AB a AC a==
4.
A
Da=
Gi
, ,
M
NP
tương ng là trung đim các cnh
, , .
B
CCDBD
Tính th tích
V
ca t din
.
A
MNP
A.
3
7
.
2
Va=
B.
3
14 .Va=
C.
3
28
.
3
Va=
D.
3
7.Va=
Li gii
Chn D
Do
,
A
BAC
A
D
đôi mt vuông góc vi nhau nên
3
11
. . .6 .7 .4 28 .
66
ABCD
VABACADaaaa===
D thy
1
4
M
NP BCD
SS
DD
=
.
Suy ra
3
1
7
4
AMNP ABCD
VVa==
.
Câu 4: Cho t din
A
BCD
có th tích bng
12
G
là trng tâm ca tam giác
BCD
. Tính th
tích
V
ca khi chóp
.
A
GBC
.
A.
3.V =
B.
4.V =
C.
6.V =
D.
5.V =
Li gii
Chn B
G
là trng tâm ca tam giác
BCD
nên
1
3
GBC DBC
SS
DD
=
.
Suy ra
.
11
.12 4.
33
AGBC ABCD
VV===
Dng 6. Th tích lăng tr đứng, lăng tr đều
Câu 1: Tính th tích
V
ca khi lăng tr tam giác đều có tt c các cnh bng
.a
A.
3
3
.
6
a
V =
B.
3
3
.
12
a
V
=
C.
3
3
.
2
a
V
=
D.
3
3
.
4
a
V
=
Li gii
P
N
M
D
A
B
C
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 302
Chn C
Xét khi lăng tr tam giác đều
.ABC A B C
¢¢¢
có tt c các cnh bng
.a
Din tích tam giác đều cnh
a
2
3
.
4
a
S
=
Chiu cao ca lăng tr
'.hAA a==
Vy th tích khi lăng tr
3
.
3
..
4
ABC A B C
a
VSh
¢¢¢
==
Câu 2: Tính th tích
V
ca khi lăng tr tam giác đều có cnh đáy bng
a
và tng din tích các
mt bên bng
2
3.a
A.
3
3
.
6
a
V =
B.
3
3
.
12
a
V
=
C.
3
2
.
3
a
V =
D.
3
3
.
4
a
V
=
Li gii
Chn D
Xét khi lăng tr
.ABC A B C
¢¢¢
đáy
ABC
là tam giác đều và
(
)
.
A
AABC
¢
^
Din tích xung quanh lăng tr
3.
xq
ABB A
SS
¢¢
=
() ()
22
33.. 33.. .aAAABaAAaAAa
¢¢¢
= = =
Din tích tam giác
ABC
2
3
.
4
ABC
a
S
D
=
Vy th tích khi lăng tr
3
.
3
..
4
ABC
ABC A B C
a
VSAA
¢¢¢
D
¢
==
Câu 3: Cho khi lăng tr đứng
.ABC A B C
¢¢¢
B
Ba
¢
=
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân ti B
2AC a=
. Tính th tích
V
ca khi lăng tr đã cho.
A.
3
.
6
a
V =
B.
3
.
3
a
V =
C.
3
.
2
a
V
=
D.
3
.Va=
Li gii
Chn C
Tam giác
ABC
vuông cân ti B ,
suy ra
2
.
2
2
ABC
AC a
BA BC a S
D
== = =
Vy th tích khi lăng tr
3
..
2
ABC
a
VS BB
D
¢
==
Câu 4: Cho lăng tr đứng
.'''ABC A B C
đáy
ABC
là tam giác vi
AB a=
,
2
A
Ca=
,
0
120BAC =
,
'25AA a=
. Tính th tích
V
ca khi lăng tr đã cho.
C'
B
'
A
'
C
B
A
C'
B
'
A
'
C
B
A
A
B
C
A
'
B
'
C'
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 303
A.
3
45Va=
. B.
3
15Va=
. C.
3
15
3
a
V =
. D.
3
45
3
a
V =
.
Li gii
Chn B
Din tích tam giác
ABC
2
13
..sin
22
ABC
a
SABACBAC
D
==
.
Vy th tích khi lăng tr
3
.'''
. ' 15.
ABC A B C ABC
VSAAa
D
==
Câu 5: Tính th tích
V
ca khi lp phương
.''' ',
A
BCD A B C D
biết
'3.AC a=
A.
3
.Va=
B.
3
36
.
4
a
V
=
C.
3
33 .Va= D.
3
1
.
3
Va=
Li gii
Chn A
Đặt cnh ca khi lp phương là
()
0.xx>
Suy ra
'; 2CC x AC x==
.
Tam giác vuông
'ACC
, có
22
''33.
A
CACCCx a xa=+==
Vy th tích khi lp phương
3
.Va=
Câu 6: Cho hình lăng tr đứng
.''' 'ABCD A B C D
đáy là hình vuông cnh
2a
. Tính th tích
V
ca khi lăng tr đã cho theo
a
, biết
'3
A
Ba=
.
A.
3
45
3
a
V =
. B.
3
45Va= . C.
3
25Va= . D.
3
12Va=
.
Li gii
Chn B
Do
.''' 'ABCD A B C D
là lăng tr đứng nên '
A
AAB^
.
Xét tam giác vuông
'
A
AB , ta có
22
'' 5
A
AABABa=-=
.
Din tích hình vuông
ABCD
22
4
ABCD
SABa==
.
Vy
3
.''''
.' 45.
ABCD A B C D ABCD
VSAAa==
Câu 7: Cho hình hp ch nht
.''' 'ABCD A B C D
AB a=
,
2AD a=
,
'5AB a=
. Tính theo
a
th tích khi hp đã cho.
A.
3
10Va=
. B.
3
22
3
a
V =
. C.
3
2Va=
. D.
3
22Va=
.
Li gii
Chn D
Trong tam giác vuông
'
A
BB , có
22
'' 2BB AB AB a=-=
.
Din tích hình ch nht
ABCD
2
.2
ABCD
SABADa==
.
A
B
C
D
A
'
B
'
C'
D
'
D
'
C'
B
'
A
'
D
C
B
A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 304
Vy
3
.''' '
.'2 2.
ABCD A B C D ABCD
VSBBa==
Câu 8: Cho hình hp ch nht có din tích ba mt cùng xut phát t cùng mt đỉnh là
222
10cm , 20cm , 32cm .
Tính th tích
V
ca hình hp ch nht đã cho.
A.
3
80cm .V =
B.
3
160cm .V =
C.
3
40cm .V =
D.
3
64cm .V =
Li gii
Chn A
Xét hình hp ch nht
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
đáy
ABCD
là hình ch nht.
Theo bài ra, ta có
2
2
2
10cm
.10
20cm . 20 .
.32
30cm
ABCD
ABB A
ADD A
S
AB AD
SABAA
AA AD
S
¢¢
¢¢
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
¢
= =
íí
ïï
ïï
¢
ïï
=
=
ï
î
ï
ï
î
Nhân vế theo vế, ta được
()
2
.. 6400 .. 80.AA AB AD AA AB AD
¢¢
= =
Vy
3
.''' '
.. 80cm.
ABCD A B C D
VAAABAD
¢
==
Câu 9: Cho lăng tr đứng
.'''ABC A B C
đáy
ABC
là tam giác vuông ti B
1BA BC==
.
Cnh
'
A
B to vi mt đáy
(
)
A
BC
góc
0
60
. Tính th tích
V
ca khi lăng tr đã cho.
A.
3V =
. B.
3
6
V =
. C.
3
2
V
=
. D.
1
2
V
=
.
Li gii
Chn C
.'''ABC A B C
là lăng tr đứng nên
()
'
A
AABC^
, suy ra hình chiếu vuông góc ca '
A
B
trên mt đáy
()
A
BC
A
B .
Do đó
()
0
60 ' , ' , 'AB ABC ABAB ABA===
.
Tam giác vuông
'
A
AB , ta có
'.tan' 3.AA AB A BA==
Din tích tam giác
ABC
11
..
22
ABC
SBABC
D
==
Vy
3
.' .
2
ABC
VS AA
D
==
C'
B
'
A
'
C
B
A
A
B
C
D
A
'
B
'
C'
D
'
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 305
Dng 7. Th tích lăng tr xiên
Câu 1: Cho hình hp
.''' 'ABCD A B C D
có tt c các cnh đều bng
2a
, đáy
ABCD
là hình vuông.
Hình chiếu vuông góc ca đỉnh '
A
trên mt phng đáy trùng vi tâm ca đáy. Tính theo
a
th tích
V
ca khi hp đã cho.
A.
3
42
3
a
V =
. B.
3
8
3
a
V
=
. C.
3
8Va=
. D.
3
42Va= .
Li gii
Chn D
Gi
O
là tâm ca hình vuông
ABCD
,
suy ra
()
'
A
OABCD^
.
Tam giác vuông
'AOA
, có
22 22
'' 422
A
OAAAO aaa=-=-=
.
Din tích hình vuông
2
4
ABCD
Sa=
.
Vy
3
.''' '
.' 4 2.
ABCD A B C D ABCD
VSAOa
D
==
Câu 2: Cho lăng tr
.''' 'ABCD A B C D
đáy
ABCD
là hình vuông cnh
a
, cnh bên
'AA a=
,
hình chiếu vuông góc ca
'
A
trên mt phng
()
A
BC D
trùng vi trung đim
H
ca
A
B .
Tính theo
a
th tích
V
ca khi lăng tr đã cho.
A.
3
3
6
a
V =
. B.
3
3
2
a
V
=
. C.
3
Va=
. D.
3
3
a
V =
.
Li gii
Chn B
Theo gi thiết, ta có
'
A
HAB^ .
Tam giác vuông
'
A
HA , có
22
3
''
2
a
AH AA AH
=-=
.
Din tích hình vuông
2
ABCD
Sa=
.
Vy
3
.''''
3
.' .
2
ABCD A B C D ABCD
a
VSAH
==
Câu 3: Cho hình lăng tr
.'''ABC A B C
đáy
ABC
là tam giác vuông cân ti B
2
A
Ca=
.
Hình chiếu vuông góc ca
'
A
trên mt phng
()
A
BC
là trung đim
H
ca cnh
A
B
'2AA a=
. Tính th tích
V
ca khi lăng tr đã cho.
A.
3
3Va= . B.
3
6
6
a
V =
. C.
3
6
2
a
V =
. D.
3
22Va= .
Li gii
Chn C
A
B
C
D
A
'
B
'
C'
D
'
O
H
D
'
C'
B
'
A
'
D
C
B
A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 306
T gi thiết suy ra
2.BA BC a==
Tam giác vuông
'
A
HA
, có
22
6
'' .
2
a
A H AA AH
=-=
Din tích tam giác
ABC
2
1
..
2
ABC
SBABCa
D
==
Vy
3
6
.' .
2
ABC
a
VS AH
D
==
Câu 4: Cho lăng tr
.'''ABC A B C
đáy
ABC
là tam giác đều cnh
a
. Hình chiếu vuông góc ca
đim
'
A
lên mt phng
(
)
A
BC
trùng vi tâm
O
ca đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
,
biết
'AO a=
. Tính th tích
V
ca khi lăng tr đã cho.
A.
3
3
12
a
V
=
. B.
3
3
4
a
V
=
. C.
3
4
a
V =
. D.
3
6
a
V
=
.
Li gii
Chn A
Din tích tam giác đều
2
3
4
ABC
a
S
D
=
. Chiu cao khi lăng tr
'AO a=
.
Vy th tích khi lăng tr
3
3
.' .
4
ABC
a
VS AO
D
==
Câu 5: Tính th tích
V
ca khi lăng tr
.
A
BC A B C
¢¢¢
biết th tích khi chóp
.
A
BCB C
¢¢
bng
3
2.a
A.
3
6.Va=
B.
3
5
.
2
a
V =
C.
3
4.Va=
D.
3
3.Va=
Li gii
Chn D
Ta có th tích khi chóp
..
1
.
3
AABC ABCABC
VV
¢¢¢ ¢¢¢
=
Suy ra
33
.. ..
233
.2 3 .
322
ABCBC ABCABC ABCABC ABCBC
VV V V aa
¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢
¾= ==
Câu 6: Cho hình lăng tr
.'''ABC A B C
đáy là tam gc đều cnh có độ dài bng
2
. Hình chiếu
vuông góc ca
'
A
lên mt phng
(
)
A
BC
trùng vi trung đim
H
ca
B
C
. Góc to bi cnh
bên
'
A
A vi mt đáy là
0
45
. Tính th tích khi tr
.'''ABC A B C
.
A.
3V =
. B.
1V =
. C.
6
8
V =
. D.
6
24
V
=
.
Li gii
Chn A
H
C'
B
'
A
'
C
B
A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 307
Tam giác
ABC
đều cnh bng
2
nên
3AH = . Vì
()
'
A
HABC^
nên hình
chiếu vuông góc ca
'
A
A trên mt
đáy
()
A
BC
.AH
Do đó
()
0
45 ', ', 'AA ABC AA AH A AH===.
Suy ra tam giác
'
A
HA
vuông cân ti
H
nên '3AH HA==.
Din tích tam giác đều
ABC
3
ABC
S
D
=
.
Vy
.' 3.
ABC
VS AH
D
==
Câu 7: Tính th tích
V
ca mt khi lăng tr biết đáy có din tích
2
10cm ,S =
cnh bên to vi
mt phng đáy mt góc
0
60
độ dài cnh bên bng
10cm.
A.
3
100cm .V =
B.
3
50 3cm .V = C.
3
50cm .V =
D.
3
100 3cm .V =
Li gii
Chn B
Xét khi lăng tr
.ABC A B C
¢¢¢
đáy là tam giác
.ABC
Gi
H
là hình chiếu ca
A
¢
trên
mt phng
(
)
A
BC
()
.
A
HABC
¢
^
Suy ra
A
H là hình chiếu ca
A
A
¢
trên mt phng
()
.
A
BC
Do đó
()
()
0
60 , , .AA ABC AA AH A AH
¢¢¢
===
Tam giác
A
AH
¢
vuông ti
H
, có
.sin 5 3.AH AA AAH
¢¢¢
==
Vy
3
.503cm.
ABC
VS AH
D
¢
==
A
B
C
A
'
B
'
C'
H
A
C
B
C'
B
'
A
'
H
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 308
CHƯƠNG II. MT NÓN, MT TR KHI TR
BÀI 1. MT NÓN – HÌNH NÓN – KHI NÓN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. ĐỊNH NGHĨA MT NÓN
Cho đường thng
D
. Xét mt đường thng
d
ct
D
ti
O
to thành mt góc
a
vi
0
2
p
a<<
. Mt
tròn xoay sinh bi đường thng
d
như thế khi quay quanh
D
gi là mt nón tròn xoay (hay đơn
gin hơn là mt nón).
D
gi là trc ca mt nón.
d
gi là đưng sinh ca mt nón.
O
gi là đỉnh ca mt nón.
Góc
2a gi là góc đỉnh ca mt nón.
II. HÌNH NÓN VÀ KHI NÓN
1. Hình nón
Cho mt nón
N
vi trc
D
, đỉnh
O
, góc đỉnh
2a
. Gi
()
P
là mt phng vuông góc vi
D
ti
đim
I
khác
O
. Mt phng
()
P
ct mt nón theo mt đường tròn
(
)
C
có tâm
I
. Li gi
()
'
P
mt phng vuông góc vi
D ti
O
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 309
Phn ca mt nón
N
gii hn bi hai mt phng
()
P
()
'
P
cùng vi hình tròn xác định bi
()
C
được gi là hình nón.
O
gi là đỉnh ca hình nón.
Đường tròn
(
)
C
gi là đường tròn đáy ca hình nón.
Vi mi đim
M
nm trên đường tròn
(
)
C
, đon thng
OM
gi là đường sinh ca hình nón.
Đon thng
OI
gi là trc ca hình nón, độ dài
OI
gi là chiu cao ca hình nón (đó chính là
khong cách t đỉnh
O
đến mt đáy.)
2. Khi nón
Mt hình nón chia không gian thành hai phn: phn bên trong và phn bên ngoài ca nó. Hình nón
cùng vi phn bên trong ca nó gi là khi nón.
III. KHÁI NIM V DIN TÍCH HÌNH NÓN VÀ TH TÍCH KHI NÓN
Mt hình chóp gi là ni tiếp mt hình nón nếu:
Đáy ca hình chóp là đa giác ni tiếp đáy ca hình nón.
Đỉnh ca hình chóp là đỉnh ca hình nón.
1. Định nghĩa
Din tích xung quanh ca hình nón là gii hn ca din tích xung quanh c
a mt hình chóp đều ni
tiếp hình nón đó khi s cnh đáy tăng lên vô hn.
Th tích ca khi nón là gii hn ca th tích ca khi chóp đều ni tiếp khi nón đó khi s cnh
tăng lên vô hn.
2. Định lí 1
Din tích xung quanh ca hình nón có bán kính đáy
R
đường sinh
xq
SRp=
.
3. Định lí 2
Th tích ca khi nón có bán kính đáy
R
và chiu cao
h
2
1
3
VRhp=
.
B. CÂU HI TRC NGHIM
Câu 1: Hình nón có đường sinh
2a=
và hp vi đáy góc
0
60a =
. Din tích toàn phn ca hình
nón bng:
A.
2
4.ap
B.
2
3.ap
C.
2
2.ap
D.
2
.ap
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 310
Theo gi thiết, ta có
2SA a==
0
60SAO=
.
Suy ra
0
.cos60ROASA a== =
.
Vy din tích toàn phn ca hình nón bng:
22
3SRlR app p=+=
(đvdt).
Câu 2: Cho hình nón đỉnh
S
có bán kính đáy
2Ra=
, góc đỉnh bng
0
60
. Din tích xung
quanh ca hình nón bng:
A.
2
4.ap
B.
2
3.ap
C.
2
2.ap
D.
2
.ap
Li gii
Chn A
Theo gi thiết, ta có
2OA a=
0
30OSA =
.
Suy ra độ dài đường sinh:
0
22.
sin 30
OA
SA a== =
Vy din tích xung quanh bng:
2
4
xq
SR app==
(đvdt).
Câu 3: Trong không gian, cho tam giác
A
BC
vuông ti
A
,
A
Ba=
3
A
Ca=
. Độ dài đường
sinh
ca hình nón nhn được khi quay tam giác
A
BC
xung quanh trc
A
B
bng:
A.
.a=
B.
2.a=
C.
3.a=
D.
2.a=
Li gii
Chn D
T gi thiết suy ra hình nón có đỉnh là
B
, tâm đường tròn đáy là
A
, bán kính đáy là
3
A
Ca=
và chiu cao hình nón là
A
Ba=
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 311
Vy độ dài đường sinh ca hình nón là:
22
2.
B
CABAC a== + =
Câu 4: Thiết din qua trc hình nón là mt tam giác vuông cân có cnh góc vuông bng
.a
Din
tích toàn phn và th tích hình nón có giá tr ln lượt là:
A.
(
)
2
12
2
ap+
3
2
.
12
ap
B.
2
2
2
ap
3
2
.
4
ap
C.
(
)
2
12
2
ap+
3
2
.
4
ap
D.
2
2
2
ap
3
2
.
12
ap
Li gii
Chn A
Gi
, SO
đỉnh và tâm đường tròn đáy ca hình nón, thiết din qua đỉnh là tam giác
SAB
.
Theo bài ra ta có tam giác
SAB
vuông cân ti
S
nên
22
A
BSB a==
,
22
.
22
SB a
SO ==
Suy ra
2
2
a
hSO
==
,
lSAa==
22
22 .
22
SB a
SB R R
== =
Din tích toàn phn ca hình nón:
()
2
2
12
2
tp
a
SRR
p
pp
+
=+=
(đvdt).
Th tích khi nón là:
3
2
12
312
a
VRh
p
p==
(đvtt).
Câu 5: Cnh bên ca mt hình nón bng
2a
. Thiết din qua trc ca nó là mt tam giác cân có
góc đỉnh bng
120
. Din tích toàn phn ca hình nón là:
A.
(
)
2
33p +
. B.
()
2
233ap +
. C.
2
6 ap
. D.
()
2
323ap +
.
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 312
Gi
S
đỉnh,
O
là tâm ca đáy, thiết din qua trc là
SAB
.
Theo gi thiết, ta có
2SA a=
60ASO=
.
Trong tam giác
SAO
vuông ti
O
, ta có
.sin60 3.OA SA a==
Vy din tích toàn phn:
()
()
2
22
.. 323
tp
SRROASAOAapp p p p=+= + = +
(đvdt).
Câu 6: Cho mt cu tâm
O
, bán kính
Ra=
. Mt hình nón có đỉnh là
S
trên mt cu và đáy là
đường tròn tương giao ca mt cu đó vi mt phng vuông góc vi đường thng
SO
ti
H
sao cho
3
2
a
SH =
. Độ dài đường sinh
ca hình nón bng:
A.
.a=
B.
2.a=
C.
3.a=
D.
2.a=
Li gii
Chn C
Gi
'S
đim đối xng ca
S
qua tâm
O
A
là mt đim trên đường tròn đáy ca
hình nón.
Tam giác
'SA S
vuông ti
A
và có đường cao
A
H
nên
2
.' 3.SA SH SS SA a==
Câu 7: Cho hình nón có đỉnh
S
, đường cao
SO h=
, đường sinh
SA
. Ni tiếp hình nón là mt
hình chóp đỉnh
S
, đáy là hình vuông
A
BCD
cnh
a
. Na góc đỉnh ca hình nón có tan
bng:
A.
2
.
2
h
a
B.
2
.
2
a
h
C.
2
.
a
h
D.
2
.
h
a
Li gii
Chn C
Na góc đỉnh ca hình nón là góc
A
SO
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 313
Hình vuông
A
BCD
cnh
a
nên suy ra
2
.
2
a
OA
=
Trong tam giác vuông
SOA
, ta có
2
tan .
2
OA a
ASO
SO h
==
Câu 8: Cho hình tr có hai đáy là hai hình tròn
()
O
()
'O
, chiu cao
3R
và bán kính đáy
R
.
Mt hình nón có đỉnh là
'O
đáy là hình tròn
(
)
;OR
. T s din tích xung quanh ca
hình tr và hình nón bng:
A. 2 . B.
2
. C.
3
. D.
3
.
Li gii
Chn C
Din tích xung quanh ca hình tr:
()
2
xq T
2. 2.323SRhRR Rpp p== =
(đvdt).
K đường sinh
'OM
ca hình nón, suy ra
22 22
'' 3 2O M OO OM R R R== +=+=
.
Din tích xung quanh ca hình nón:
()
2
xq N
.2 2SRRRRpp p== =
(đvdt).
Vy
()
()
xq T
xq N
3.
S
S
=
Câu 9: Mt hình nón có đường cao bng
9cm
ni tiếp trong mt hình cu bán kính bng
5cm
. T s
gia th tích khi nón và khi cu là:
A.
27
500
. B.
81
500
. C.
27
125
. D.
81
125
.
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 314
Hình v kết hp vi gi thiết, ta có
9cmSH =
,
5cmOS OA==
.
Suy ra
4cmOH =
22
3cm.AH OA OH=-=
Th tích khi nón
2
1
.27
3
n
VAHSHpp==
(đvtt).
Th tích khi cu
3
4500
.
33
c
VSO
p
p==
(đvtt).
Suy ra
81
.
500
n
c
V
V
=
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 315
BÀI 2. MT TR_HÌNH TR_ KHI TR
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. MT TR TRÒN XOAY
Cho hai đường thng
D
sao cho
song song vi
D
[
]
,dRD=
. Khi ta quay
quanh trc
D
mt góc
0
360 thì
to thành mt mt tr tròn xoay
()
T
(hoc đơn gin hơn là mt tr).
D
gi là trc ca mt tr
()
T
.
gi là đường sinh ca mt tr
()
T
.
R
gi là bán kính ca mt tr
()
T
.
II. HÌNH TR VÀ KHI TR TRÒN XOAY
1. Định nghĩa hình tr
Ct mt tr
()
T
trc
D
, bán kính R bi hai mt phng
()
P
(
)
'
P
cùng vuông góc vi
D
, ta được
giao tuyến là hai đường tròn
(
)
C
(
)
'C
.
Phn ca mt tr
(
)
T
nm gia
()
P
(
)
'
P
cùng vi hai hình tròn xác định bi
()
C
(
)
'C
gi là
hình tr.
Hai đường tròn
(
)
C
(
)
'C
gi là hai đường tròn đáy ca hình tr.
'OO
gi là trc ca hình tr.
Độ dài
'OO
gi là chiu cao ca hình tr.
Phn gia hai đáy gi là mt xung quanh ca hình tr.
Vi mi đim
()
M
CÎ
, có mt đim
()
''
M
CÎ
sao cho
''
M
MOO
.
Các đon thng như
'
M
M gi là đường sinh ca hình tr.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 316
2. Nhn xét
Các đung sinh ca hình tr đều bng nhau và bng vi trc ca hình tr.
Các thiết din qua trc ca hình tr là các hình ch nht bng nhau.
Thiết din vuông góc vơi trc ca hình trmt hình tròn bng hình tròn đáy.
Nếu mt đim
M
di động trong không gian có hình chiếu vuông góc '
M
lên mt mt phng
(
)
a
'
M
di động trên môt đường tròn
(
)
C
c định thì
M
thuc mt mt tr c định
()
T
cha
(
)
C
và có
trc vuông góc
(
)
a
.
3. Khi tr
Định nghĩa. Hình tr cùng vi phn bên trong nó được gi là khi tr.
III. DIN TÍCH HÌNH TR VÀ TH TÍCH KHI TR
Din tích xung quanh ca hình tr có bán kính
R và chiu cao
h
là:
2
xq
SRhp=
.
Din tích toàn phn ca hình tr bng tng din tích xung quanh hình tr vi din tích hai đáy ca
nó.
Th tích ca khi tr có bán kính
R
và chiu cao h là:
2
VRhp= .
B. CÂU HI TRC NGHIM
Câu 1: Xét các mnh đề
(I) Tp hp các đường thng
d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thng
D
c định mt khong không đổi là mt mt tr.
(II) Hai đim
, AB
c định. Tp hp các đim
M
trong không gian mà din tích tam giác
M
AB không đổi là mt mt tr.
Trong các mnh đề trên, mnh đề nào đúng?
A. Ch (I). B. Ch (II).
C. C (I) và (II). D. Không có mnh đề đúng.
Li gii
Chn C
Hin nhiên (I) đúng.
Din tích tam giác
M
AB không đổi khi và ch khi khong cách t
M
đến đường thng
A
B không đổi (gi s bng R ).
Vy tp hp các đim
M
là mt tr bán kính R và trc là
A
B .
Vì vy Mnh đề (II) cũng đúng.
Câu 2: Mt phng đi qua trc hình tr, ct hình tr theo thiết din là hình vuông cnh bng
a
.
Th tích khi tr bng:
A.
3
.ap
B.
3
.
2
ap
C.
3
.
3
ap
D.
3
.
4
ap
Li gii
Chn D
Do thiết din đi qua trc hình tr nên ta có
ha=
.
Bán kính đáy
.
2
a
R =
Do đó th tích khi tr
3
2
.
4
a
VRh
p
p==
(đvtt).
Câu 3: Cho mt hình tr có bán kính đáy bng
R và có chiu cao bng 3.R Din tích xung
quanh và din tích toàn phn ca hình ln lượt có giá tr là:
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 317
A.
()
2
231Rp+
2
23Rp
. B.
2
23Rp
()
2
231Rp+
.
C.
2
23Rp
2
2
R
p
. D.
2
23Rp
22
23RRp +
.
Li gii
Chn B
Din tích xung quanh ca hình tr:
2
2.323
xq
SRR Rpp==
(đvdt).
Din tích toàn phn ca hình tr:
()
()
22 2
day
2. 2 3 2 2 3 1
tp xq
SS S R R Rpp p=+ = + = +
(đvdt).
Câu 4: Mt phng đi qua trc hình tr, ct hình tr theo thiết din là hình vuông cnh có cnh
bn
2R
. Din tích toàn phn ca khi tr bng:
A.
2
4.
R
p B.
2
6.
R
p C.
2
8.
R
p D.
2
2.
R
p
Li gii
Chn B
Do thiết din đi qua trc hình tr nên ta có
2hR=
.
Din tích toàn phn là:
()
2
26
tp
SRRhRpp=+=
(đvdt).
Câu 5: Mt hình tr có bán kính đáy
70cmR =
, chiu cao hình tr
20cmh =
. Mt hình vuông có
các đỉnh nm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nht mt cnh không song song và
không vuông góc vi trc hình tr. Khi đó cnh ca hình vuông bng bao nhiêu?
A.
80cm.
B.
100cm.
C. 100 2cm. D.
140cm.
Li gii
Chn B
Xét hình vuông
ABCD
A
D không song song và không vuông góc vi trc
'OO
ca
hình tr.
Dng đường sinh
'
A
A , ta có
()
'
''
CD AA
CD AA D CD A D
CD AD
ì
^
ï
ï
^ ^
í
ï
^
ï
î
.
Suy ra
'
A
C
đường kính đáy nên
'2140cm.AC R==
Xét tam giác vuông
'AA C
, ta có
22
'' 1002cm.AC AA A C=+=
Suy ra cnh hình vuông bng
100cm.
Câu 6: Bán kính đáy hình tr bng
4cm
, chiu cao bng
6cm
. Độ dài đường chéo ca thiết din
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 318
qua trc bng:
A. 10cm. B. 6cm. C.
5cm.
D. 8cm.
Li gii
Chn A
Thiết din qua trc ca mt hình trmt hình ch nht có hai cnh ln lượt bng
đường kính đáy và chiu cao ca hình tr.
Vy hai cnh ca hình ch nht là
8cm
6cm
.
Do đó độ đài đường chéo:
22
86 10cm.+=
Câu 7: Trong không gian, cho hình ch nht
A
BC D
1
A
B =
2
A
D =
. Gi
,
M
N
ln lượt là
trung đim ca
A
D
BC
. Quay hình ch nht đó xung quanh trc
M
N
, ta được mt
hình tr. Din tích toàn phn ca hình tr bng:
A.
2p
. B.
3p
. C.
4p
. D.
8p
.
Li gii
Chn C
Theo gi thiết ta được hình tr có chiu cao
1hAB==
, bán kính đáy
1
2
AD
R ==
.
Do đó din tích toàn phn:
2
224.
tp
SRhRpp p=+=
Câu 8: Mt tm nhôm hình ch nht có hai kích thước là
a
2a
(
a
độ dài có sn). Người ta
cun tm nm đó thành mt hình tr. Nếu hình tr được to thành có chu vi đáy bng
2a
thì th tích ca nó bng:
A.
3
a
p
. B.
3
ap
. C.
3
2
a
p
. D.
3
2 ap
.
Li gii
Chn A
Gi bán kính đáy là
R .
Hình tr có chu vi đáy bng
2a
nên ta có
22
a
RaRp
p
==
.
Suy ra hình tr này có đường cao
.ha=
Vy thê tích khi tr
2
3
2
aa
VRh app
pp
æö
÷
ç
== =
÷
ç
÷
ç
èø
(đvtt).
Câu 9: Mt tm nhôm hình ch nht có hai kích thước là
a
2a
(
a
độ dài có sn). Người ta
cun tm nm đó thành mt hình tr. Nếu hình tr đưc to thành có chiu dài đường
sinh bng
2a
thì bán kính đáy bng:
A.
a
p
. B.
2
a
. C.
2
a
p
. D.
2 ap
.
Li gii
N
M
D
C
B
A
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 319
Chn C
Gi bán kính đáy là
R
.
T gi thiết suy ra
2ha=
và chu vi đáy bng
a
.
Do đó
2.
2
a
Ra Rp
p
= =
Câu 10: T mt tm tôn hình ch nht kích thước
50cm 240cm´
, người ta làm các thùng đựng
nước hình tr có chiu cao bng
50cm , theo hai cách sau (xem hình minh ha sau đây):
Cách 1: Gò tm tôn ban đầu thành mt xung quanh ca thùng.
Cách 2. Ct tm tôn ban đầu thành hai tm tôn bng nhau, ri gò mi tm đó thành mt
xung quanh ca mt thùng.
Kí hiu
1
V là th tích ca thùng gò được theo cách 1 và
2
V là th tích ca thùng gò được
theo cách 2. Khi đó t s
1
2
V
V
bng:
A.
1
2
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Li gii
Chn C
Công thc th tích khi tr
2
VRhp=
.
cách 1, suy ra
50cmh =
11
120
2240 .RR
p
p
==
Do đó
2
1
120
..50V p
p
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
(đvtt).
cách 2, suy ra mi thùng có
50cmh =
22
60
2 120 .RRp
p
==
Do đó
2
2
60
2. .50V p
p
éù
æö
êú
÷
ç
÷
ç
êú
÷
ç
èø
êú
ëû
(đvtt).
Suy ra
1
2
2.
V
V
=
Câu 11: Mt hp sa hình tr có th tích
V
(không đổi) được làm t mt tm tôn có din tích đủ
ln. Nếu hp sa ch kín mt đáy thì để tn ít vt liu nht, h thc gia bán kính đáy
R
đường cao
h
bng:
A.
hR=
. B. 2hR= . C. 3hR= . D.
2hR=
.
Li gii
Chn A
Công thc tính th tích
2
VRhp=
, suy ra
2
.
V
h
R
p
=
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133 320
Hp sa ch kín mt đáy nên din tích tôn cn dùng là:
22
day
2
2.
tp xq
V
SSS RhR R
R
pp p=+ = + = +
Xét hàm
()
2
2V
f
RR
R
p=+
trên
()
0;
, ta được
()
()
0;
min
f
R
đạt ti
.
R
h=
Câu 12: Cho hình tr có hai đáy là hai hình tròn
()
O
(
)
'O
, chiu cao
2R
và bán kính đáy R .
Mt mt phng
(
)
a
đi qua trung đim ca
'OO
và ta vi
'OO
mt góc
30
. Hi
(
)
a
ct
đường tròn đáy theo mt dây cung có độ dài bng bao nhiêu?
A.
2
3
R
. B.
4
33
R
. C.
22
3
R
. D.
2
3
R
.
Li gii
Chn C
Hình v, kết hp vi gi thiết ta có:
OA OB R==
,
'2OO R=
0
30IM O = .
Trong tam giác vuông
M
OI
, ta có
0
.tan30
3
R
OI MO==
.
Trong tam giác vuông
AIO
, ta có
2
22 2
2
.
33
RR
IA OA OI R
æö
÷
ç
÷=-=- =
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Suy ra
22
2.
3
R
AB IA
==
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
321
BÀI 3. MT CU – KHI CU
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. ĐỊNH NGHĨA
1. Mt cu
Tp hp các đim trong không gian cách đim
O
c định mt khong R không đổi gi là mt cu
có tâm
O
và bán kính bng R .
Kí hiu:
()
{}
;SOR MOM R==
.
2. Khi cu
Mt cu
(
)
;SOR
cùng vi các đim nm bên trong nó được gi là mt khi cu tâm
O
, bán kính R .
Kí hiu:
()
{
}
;.BOR MOM R
Nếu
, OA OB
là hai bán kính ca mt cu sao cho
, ,
A
OB
thng hàng thì đon thng
A
B gi là
đường kính ca mt cu.
Định lí. Cho hai đim c định ,
A
B . Tp hp các đim
M
trong không gian sao cho
0
90AMB =
mt cu đường kính
A
B
.
()
;.
A
SOR OA RÎ=
11
OA R A< nm trong mt cu.
22
OA R A>
nm ngoài mt cu.
II. MT CU NGOI TIP KHI ĐA DIN
Định nghĩa: Mt cu đi qua mi đỉnh ca mt hình đa din
(
)
H
gi là mt cu ngoi tiếp hình đa
din
(
)
H
và khi đó
(
)
H
được gi là ni tiếp mt cu đó.
Điu kin cn và đủ để mt hình chóp có mt cu ngoi tiếp là đáy ca nó là mt đa giác ni tiếp
mt đường tròn.
Mi t din đều có mt cu ngoi tiếp.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
322
III. MT CU NI TIP HÌNH CHÓP
1. Mt cu ni tiếp hình chóp là mt cu nm bên trong hình chóp và tiếp xúc vi vi tt các mt
ca hình chóp.
2. Tâm mt cu ni tiếp hình chóp cách đều tt c các mt ca hình chóp.
IV. V TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIA MT CU VÀ MT PHNG
Cho mt cu
()
;SOR
và mt phng
()
P
, gi
d
là khong cách t
O
đến
()
P
H
là hình chiếu
vuông góc ca
O
trên
()
P
. Khi đó
Nếu
dR< thì mt phng
()
P
ct mt cu
()
;SOR
theo giao tuyến là đường tròn nm trên mt
phng
()
P
có tâm
H
và có bán kính
22
rRd=-
.
Khi
0d =
thì mt phng
()
P
đi qua tâm
O
ca mt cu, mt phng đó gi là mt phng kính; giao
tuyến ca mt phng kính vi mt cu là đường tròn có tâm
O
và bán kính R, đường tròn đó gi là
đường tròn ln ca mt cu.
Nếu
dR= thì mt phng
()
P
và mt cu
(
)
;SOR
có mt đim chung duy nht
H
.
Khi đó ta nói
()
P
tiếp xúc vi
(
)
;SOR
ti
H
()
P
gi là tiếp din ca mt cu,
H
gi là tiếp
đim.
Chú ý. Cho
H
là mt đim thuc mt cu
()
;SOR
và mt phng
()
P
qua
H
. Thế thì:
()
P
tiếp xúc vi
() ()
;.SOR OH P^
Nếu
dR>
thì mt phng
()
P
và mt cu
(
)
;SOR
không có đim chung.
V. V TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIA MT CU VÀ ĐƯỜNG THNG
Cho mt cu
(
)
;SOR
đường thng
D
. Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
O
trên
D
dOH=
là khong cách t
O
đến
D
. Khi đó
Nếu
dR<
thì
D
ct
(
)
;SOR
ti hai đim
,
A
B
H
là trung đim ca
A
B .
Nếu
dR=
thì
D
(
)
;SOR
ch có mt đim chung
H
, trong trường hp này
D
gi là tiếp tuyến
ca mt cu
(
)
;SOR
hay
D
tiếp xúc vi
(
)
;SOR
H
là tiếp đim.
Nếu
dR>
thì
D
(
)
;SOR
không có đim chung.
VI. DIN TÍCH MT CU VÀ TH TÍCH KHI CU
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
323
Gi R là bán kính ca mt cu thì
Din tích mt cu:
2
4SRp=
.
Th tích khi cu:
3
4
3
VRp=
.
B. CÂU HI TRC NGHIM
Câu 1: Cho mt cu
(
)
;SOR
và mt đim
A
, biết 2OA R= . Qua
A
k mt tiếp tuyến tiếp xúc
vi
(
)
S
ti
B
. Khi đó độ dài đon
A
B
bng:
A. R . B.
2
R
. C. 2R . D. 3R .
Li gii
Chn D
A
B tiếp xúc vi
()
S
ti B nên
AB OB^
.
Suy ra
22 22
43.AB OA OB R R R=-=-=
Câu 2: Cho mt cu
(
)
;SOR
và mt đim
A
, biết
2OA R=
. Qua
A
k mt cát tuyến ct
()
S
ti
B
C
sao cho 3BC R= . Khi đó khong cách t
O
đến
BC
bng:
A.
R
. B.
2
R
. C. 2R . D. 3R .
Li gii
Chn B
Gi
H
là hình chiếu ca
O
lên
BC
.
Ta có
OB OC R==
, suy ra
H
là trung đim ca
BC
nên
3
22
CD R
HC ==
.
Suy ra
22
.
2
R
OH OC HC=-=
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
324
Câu 3: Cho mt cu
(
)
;SOR
và mt phng
()
a
. Biết khong cách t
O
đến
(
)
a
bng
2
R
. Khi đó
thiết din to bi mt phng
(
)
a
vi
(
)
;SOR
là mt đường tròn có đường kính bng:
A. R . B. 3R . C.
2
R
. D.
3
2
R
.
Li gii
Chn B
Gi
H
là hình chiếu ca
O
xung
(
)
a
.
Ta có
()
,
2
R
dO OH Ra
éù
==<
ëû
nên
(
)
a
ct
()
;SOR
theo đường tròn
()
;CHr
.
Bán kính đường tròn
()
;CHr
22
3
.
2
R
rROH=- =
Suy ra đường kính bng
3.R
Câu 4: Cho mt cu tâm
I
bán kính
2, 6cmR =
. Mt mt phng ct mt cu và cách tâm
I
mt
khong bng
2, 4cm
. Thế thì bán kính ca đường tròn do mt phng ct mt cu to nên
là:
A.
1, 2 cm
. B.
1, 3cm
. C.
1cm
. D.
1, 4 cm
.
Li gii
Chn C
Mt phng ct mt cu
()
;2,6cmSI
theo mt đường tròn
()
;
H
r
.
Vy
()()
22
22
2, 6 2, 4 1cmrRIH=-= - =
.
Câu 5: Din tích hình tròn ln ca mt hình cu là
p
. Mt mt phng
()
a
ct hình cu theo mt hình
tròn có din tích là
2
p
. Khong cách t tâm mt cu đến mt phng
(
)
a
bng:
A.
p
p
. B.
1
p
. C.
2
p
p
. D.
2
p
p
.
Li gii
Chn D
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
325
Hình tròn ln ca hình cu
S
là hình tròn to bi mt phng ct hình cu và đi qua tâm ca
hình cu. Gi
R là bán kính hình cu thì hình tròn ln cũng có bán kính là R .
Theo gi thiết, ta có
2
p
RpRp
p
= =
2
.
22
p
p
rr
p
p
==
Suy ra
22
2
p
dRr
p
=-=
.
Câu 6: Mt hình cu có bán kính là
2m
, mt mt phng ct hình cu theo mt hình tròn có độ
dài là
2, 4 mp . Khong cách t tâm mt cu đến mt phng là:
A. 1, 6 m . B. 1, 5m . C. 1, 4 m . D. 1, 7 m .
Li gii
Chn A
Gi khong cách t tâm cu đến mt phng là
d
, ta có
222
dRr=-
.
Theo gi thiết
2mR =
2, 4
22,4 1,2m
2
rmr
p
pp
p
===
.
Vy
22
1, 6 mdRr=-=
.
Câu 7: Cho mt cu
()
;SOR
,
A
là mt đim trên mt cu
(
)
S
(
)
P
là mt phng qua
A
sao
cho góc gia
OA
(
)
P
bng
0
60 .
Din tích ca đường tròn giao tuyến bng:
A.
2
.
R
p
B.
2
.
2
R
p
C.
2
.
4
R
p
D.
2
.
8
R
p
Li gii
Chn C
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
O
trên
(
)
P
thì
H
là tâm ca đường tròn giao tuyến ca
(
)
P
(
)
S
.
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
326
()
()
0
,,60.OA P OA AH==
Bán kính ca đường tròn giao tuyến:
0
.cos60
2
R
rHAOA== =
.
Suy ra din tích đường tròn giao tuyến:
2
2
2
.
24
RR
r
p
pp
æö
÷
ç
==
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 8: Cho hình chóp
.SABC
đáy
A
BC
là tam giác vuông ti
B
BA BC a==
. Cnh bên
2SA a= và vuông góc vi mt phng đáy. Bán kính mt cu ngoi tiếp hình chóp
.SABC
là:
A.
2
.
2
a
B.
3.a
C.
6
.
2
a
D. 6.a
Li gii
Chn C
Gi
M
là trung đim
AC
, suy ra
M
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
.
Gi
I
là trung đim
SC
, suy ra
IM S A nên
()
I
MABC^
.
Do đó
I
M là trc ca
A
BCD
, suy ra
.
I
AIBIC==
()
1
Hơn na, tam giác
SAC
vuông ti
A
I
là trung đim
SC
nên
I
SICIA==
.
()
2
T
()
1
(
)
2
, ta có
I
SIAIBIC===
hay
I
là tâm ca mt cu ngoi tiếp hình chóp
.SABC
.
Vy bán kính
22
6
22 2
SC SA AC a
RIS
+
== = =
.
Câu 9: Cho hình chóp
.SABCD
đáy
A
BC D
là hình vuông cnh
a
. Cnh bên
6SA a=
vuông góc vi đáy
()
A
BCD
. Tính theo
a
din tích mt cu ngoi tiếp hình chóp
.SABCD
ta được:
A.
2
2.a B.
2
8.ap
C.
2
2.a
D.
2
2.ap
Li gii
Chn B
LP TOÁN THY CƯ_TP HU_SĐT: 0834 332 133
327
Gi
OACBD
, suy ra
O
là tâm đường tròn ngoi tiếp hình vuông
A
BC D
.
Gi
I
là trung đim
SC
, suy ra
()
.
I
OSA IO ABCD^
Do đó
I
O
là trc ca hình vuông
ABCD
, suy ra
.
I
AIBICID===
()
1
Tam giác
SAC
vuông ti
A
I
là trung đim cnh huyn
SC
nên
I
SICIA==
.
(
)
2
T
()
1
(
)
2
, ta có:
2.
2
SC
RIAIBICIDIS a====== =
Vy din tích mt cu
22
48SR app==
(đvdt).
Câu 10: Cho t din
OABC
có các cnh
, , OA OB OC
đôi mt vuông góc và
OA a=
,
2OB a=
,
3OC a=
. Bán kính mt cu ngoi tiếp t din
.OABC
là:
A. 3a B.
3
.
2
a
C.
6
.
2
a
D.
14
.
2
a
Li gii
Chn D
Gi
M
là trung đim
BC
,
suy ra
M
là tâm đường tròn ngoi tiếp
.OBCD
K
()
M
xOBC^
(như hình v).
Suy ra
M
x
là trc ca
OBCD
.
Trong mt phng
()
,OA Mx
, k trung trc
d
ca đon thng
OA
ct
M
x
ti
I
.
Khi đó
I
chính làm mt cu ngoi tiếp t din.
Bán kính mt cu:
22
14
.
2
a
RIO IM OM
== + =
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 328
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. H TA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
I. Vecto trong không gian:
1. Định nghĩa
Trong không gian, vecto là mt đon thng có định hướng tc là đon thng có quy định th t ca
hai đầu.
Chú ý: Các định nghĩa v hai vecto bng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong
không gian được xác định tương t như trong mt phng.
2. Vecto đồng phng
a. Định nghĩa: Ba vecto
,
,abc

khác 0
gi là đồng
phng khi giá ca chúng cùng song song vi
mt mt phng.
 Chú ý:
 n vecto khác
0
gi là đồng phng khi giá
ca chúng cùng song song vi mt mt
phng.
 Các giá ca các vecto đồng phng có th
là các đường thng chéo nhau.
b. Điu kin để ba vecto khác
0
đồng phng:
Định lý 1:
,
,abc

đồng phng
c. Phân tích mt vecto theo ba vecto không đồng phng:
Định lý 2: Cho ba vecto
123
,,eee
 
không đồng phng. Bt k mt vecto
a
nào trong không gian
cũng có th phân tích theo ba vecto đó, nghĩa là có mt b ba s thc
123
,,xxx
duy nht sao cho:
11 22 33
axe xe xe
 
 Chú ý: Cho ba vecto
,
,abc

khác
0
:
,
,abc

đồng phng nếu có ba s thc
,
,mnp
không đồng thi bng 0 sao cho:
0ma nb pc


,:mn R a mb nc

(D
1
)
(D
2
)
(D
3
)
a
b
c
P
(Δ
1
)
(Δ
3
)
(Δ
2
)
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 329
,
,abc

không đồng phng nếu t
00ma nb pc m n p


II. Ta độ ca vecto:
Trong không gian xét h trc
Oxyz , có trc
Ox
vuông góc vi trc Oy ti O, và trc
Oz
vuông
góc vi mt phng
Oxyz
ti O. Các vectơ đơn v trên tng trc
Ox, ,Oy Oz
ln lượt là
i;;, 100
j;;, 001

k;; 001
.
1. Nếu
aaiajak
12 3

thì
a a ;a ;a
123
.
2.
MMM M M M
M( x ;y ; z ) OM x i y j z k

3.Cho
A
AA
Ax ;y ;z
BBB
Bx;y;z
tacó:
BABABA
AB (x x ; y y ;z z )

BA BA BA
AB (x x ) (y y ) (z z )
222
.
4. M là trung đim AB thì M
A
BA BA B
xxyyzz
;;




222
.
III. Ta độ ca véctơ
Trong không gian vi h ta độ
Oxyz .
1.
a(a;a;a)
123
aaiajak
12 3

2. Cho
a(a;a;a)
123
b(b;b;b)
123
ta có
ab
ab a b
ab

11
22
33

ab(a b;a b;a b)
112 233

k .a (ka ; ka ; ka )
123
a.b a . b cos(a;b) a b a b a b
11 2 2 3 3

a aaa
222
123
a.b a.b a.b
cos cos(a,b)
aaa.bbb


 
11 2 2 33
222222
123123

a
b
vuông góc
a.b a .b a .b a .b
11 2 2 33
00

a
b
cùngphương
akb
kR:akb a kb
akb

11
22
33

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 330
III. Tích có hướng ca hai vectơ ng dng:
Tích có hướng ca
a(a;a;a)
123
b(b;b;b)
123
là:
23 31
12
23 31 12
aa aa
aa
a,b ; ; (a b a b ; a b a b ; a b a b )
bb bb bb







23 32 31 13 12 21

1. Tính cht:
a,b a



,
a,b b



a,b a b sin(a,b)


 
a
b
cùng phương
a,b


0

a
,
b
,
c
đồng phng
a,b .c


0

2. Các ng dng tích có hướng:
Din tích tam giác:
ABC
S[AB,AC]
1
2
 
Thtích t dinV
ABCD=
[AB,AC].AD
1
6
  
Th tích khi hp:
V
ABCDA’B’C’D’
=
[AB,AD].AAʹ
 
IV. Phương trình mt cu
1. Mt cu (S) tâm
I a;b;c
bán kính
R
có phưong trình là:

xa yb zc R
222
2
.
2. Phương trình:
xyz axbyczd
222
222 0
vi abcd

222
0
là phương trình mt cu tâm
I a;b;c
, bán kính
RABCD

222
.
B. PHÂN LOI VÀ PHƯƠNG PHÁP GII TOÁN
Dng 1: Các dng toán m đầu v h ta độ oxyz
Câu 1: Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz , cho ba vecto

1; 2;3 ; 2; 2; 1 ; 4;0; 4ab c
.
Ta độ ca vecto
2dab c


A.
7;0; 4d 
B.
7;0;4d
C.
7;0; 4d
D.

7;0;4d
Li gii
Chn B
Ta có:
2 1 2 2.4;2 2 2.0;3 1 2.( 4) 7;0; 4dab c  


.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 331
Câu 2: Trong không gian
,Oxyz
cho hai đim
1;1; 1A
2;3; 2B
. Vectơ
A
B

có ta độ
A.

1; 2; 3
B.
1; 2; 3
C.
3;5;1
D.
3; 4;1
Li gii
Chn A

;; 1;2;3
BABABA
AB x x y y z z 

Câu 3: Trong mt phng vi h trc ta độ
Oxy , cho hai đim
3; 4A

5; 6B . Trung đim
ca đon thng
A
B
có ta độ
A.

1; 5 . B.
4;1 . C.
5;1 . D.

8; 2 .
Li gii
Chn A
Gi
I
là trung đim ca đon thng
A
B . Khi đó ta có:
35
1
22
46
5
22
AB
I
AB
I
xx
x
yy
y



1; 5I .
Câu 4: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, cho hai vectơ
2;1; 2a 
và vectơ
1; 0; 2b
. Tìm ta độ vectơ
c
là tích có hướng ca
a
b
.
A.
2;6; 1c 
. B.
4;6; 1c
.
C.

4; 6; 1c 
. D.
2; 6; 1c

.
Li gii
Chn D
Áp dng công thc tính tích có hướng trong h trc ta độ
Oxyz
ta được:
,2;6;1cab




Vy chn đáp án
D
Câu 5:
Trong không gian vi trc h ta độ Oxyz , cho
23.aijk

Ta độ ca vectơ
a
là:
A.
1; 2; 3a 
. B.
2; 3; 1a
. C.
3; 2; 1a
. D.
2; 1; 3a 
.
Li gii
Chn A
+) Ta có
;;axiyjzk axyz

nên
1; 2; 3 .a
Do đó Chn A
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 332
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, cho hai đim
2; 4;3A
2; 2;9B . Trung đim ca đon
A
B
có ta độ
A.

0;3;3
. B.
4; 2;12
. C.
2; 1;6
. D.
33
0; ;
22



.
Li gii
Chn C
Gi
I
là trung đim ca đon
A
B
. Ta có
22
2
22
42
1
22
39
6
22
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
yy
y
zz
z





2; 1; 6I
.
Câu 7: Cho
(2;1;3), (4; 3;5), ( 2;4;6)ab c

. Ta độ ca vectơ
2ua bc


A. (10;9;6) B. (12; 9;7)
C. (10; 9;6)
D. (12; 9;6)
Li gii
Chn B
Ta có:
2 2 8 2;1 6 4;3 10 6 12; 9;7ua bc

.
Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho hai đim
2;1; 3
A
1; 0; 2
B . Độ dài đon thng
A
B
.
A.
33
B.
11
C.
11
D.
27
Li gii
Chn C

22
2
31111AB AB

Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho
1; 2; 3a
,
2; 4;6b 
. Khng định nào sau đây
đúng?
A.
2ab

. B.
2ba
. C.
2ab
. D.
2ba

.
Li gii
Chn B
Ta có
22.1;42.2;62.3    suy ra
2ba
.
Câu 10: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
cho ba đim
0; 2; 1 , 5; 4; 2 , 1; 0;5ABC
.
Ta độ trng tâm tam giác
A
BC
là:
A.
1;1;1
. B.
6;6;6
. C.
3; 3; 3
. D.
2; 2; 2
.
Li gii
Chn D
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 333
Ta có ta độ trng tâm tam giác
A
BC
051
3
240
( 2;2;2)
3
125
3
G
G
G
x
yG
z




.
Câu 11: Trong không gian vi h ta độ Oxyz , cho hai vectơ
3; 2;1a
,
2;0;1b 
. Độ dài
ca vectơ
ab

bng
A.
2
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Chn D
Ta có
1; 2; 2ab

144 3ab

.
Câu 12: Trong không gian h ta độ Ox yz , cho hai đim
1; 2; 1A
,
B
vectơ
1; 3; 1AB

. Xác
định ta độ
B
.
A.
2; 5; 0B . B.
0; 1; 2B
. C.
0;1;2B . D.

2; 5; 0B 
Li gii.
Chn A
Câu 13:
Trong không gian Oxyz cho đim
213
A
;;
. Hình chiếu vuông góc ca
A
lên trc
Ox
có ta độ là:
A.
0;1;0
. B.
2;0;0
. C.
0;0;3
. D.
0;1;3
.
Ligii
Chn B
Chiếu vuông góc mt đim bt k lên trc
Ox
khi đó gi nguyên hoành độ còn tung độ
và cao độ bng
0
.
Vy hình chiếu vuông góc ca
A
lên trc
Ox
có ta độ là:
2;0;0
.
Câu 14:
Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz , cho
23aijk


. Tìm ta độ ca
a
.
A.

2; 1; 3 B.
3;2; 1
C.
2; 3; 1
D.
1;2; 3
Li gii
Chn D
23aijk


1; 2; 3a
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho đim
3;2; 1M
. Hình chiếu vuông góc ca đim
M
lên
trc
Oz
đim:
A.

3
3;0;0M
. B.
4
0;2;0M
. C.
1
0;0; 1M
. D.

2
3;2;0M
.
Li gii
Chn C
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 334
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
, cho hai đim
1; 2; 1A
1; 4; 3B . Độ dài đon thng
A
B
A.
213. B. 6 . C. 3 . D. 23
Li gii
Chn A
Ta có:

0;6; 4AB

Suy ra
222
064 213AB 
.
Câu 17: Trong không gian
Oxyz
, cho hai đim
0;1; 1A
,
2;3; 2B . Vectơ
A
B

có ta độ
A.
2; 2;3 . B.
1; 2; 3 . C.
3; 5;1 . D.
3; 4;1 .
Li gii
Chn A
Hai đim

0;1; 1A ,

2;3; 2B . Vectơ
A
B

có ta độ
2; 2;3
.
Câu 18: Trong không gian vi h trc Oxyz cho ba đim
(
)
(
)
(
)
1; 2; 3 , 1; 0; 2 , ; ; 2ABCxy-- -
thng hàng. Khi đó
x
y+
bng
A. 1xy+=. B. 17xy+= . C.
11
5
xy+=-
.
D.
11
5
xy+=
.
Li gii
Chn A
(
)
(
)
2; 2;5 , 1; 2;1AB AC x y
 
=- =+ -
.
, ,
A
BC thng hàng
, AB AC

cùng phương
3
121
5
1
8
225
5
x
xy
xy
y
ì
ï
ï
=-
ï
+-
ï
ï
= = +=
í
ï
-
ï
=
ï
ï
ï
î
.
Câu 19: m ta độ véctơ
u
biết rng
0ua

1; 2;1a 
.
A.

3; 8;2u 
. B.
1; 2;8u 
.
C.
1;2; 1u 
. D.
6; 4; 6u

.
Li gii
Chn C
Ta có
01;2;1ua u a

.
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ
;1;0 ,
am
2; 1;1
bm
,
1; 1;1
cm .
Tìm m để ba vectơ
a
,
b
,
c
đồng phng
A.
2.m
B.
3
.
2
m C.
1.
m
D.
1
.
2
m
Li gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 335
Chn D
Ta có:
2
;1;; 2



ab mm m ;. 2 1



ab c m
Ba véctơ
a
,
b
,
,,

abc
đồng phng
;. 0


ab c
210
m
1
2
m .
Câu 21:
Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, cho các vectơ
2; 1;3am
,

1; 2; 2bn
. Tìm
,mn
để các vectơ
a
,
b
cùng hướng.
A.
7m
;
3
4
n 
. B.
1m
;
0n
.
C.
7m
;
4
3
n 
. D.
4m
;
3n
.
Li gii
Chn A
Hai vectơ a
, b
cùng hướng
a
, b
cùng phương akb
2
13
32.
k
mk
kn


2
7
3
4
k
m
n


.
Câu 22: Cho đim
1; 2; 3 ,M hình chiếu vuông góc ca đim
M
trên mt phng
Oxy đim
A.

'1;2;0.M B.
'1;0; 3.M
C.
'0;2; 3.M
D.

'1;2;3.M
Li gii
Chn A
Ta độ hình chiếu vuông góc
'
M
ca
1; 2; 3M
lên mt phng
Oxy có dng

'1;2;0.M
Câu 23:
Trong không gian vi h trc to độ Oxyz , hình chiếu ca đim

1; 3; 5M trên mt
phng

Oyz có to độ
A.
0; 3;5 . B.
0; 3;0 . C.
1; 3; 0 D.

0; 3; 5 .
Li gii
Chn D
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
M
trên
Oyz .

Oyz
có phương trình:
0
x
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 336
Đường thng d qua

1; 3; 5
M
và vuông góc vi
Oyz
có phương trình:
1
3
5



x
t
y
z
Ta có
Oyz d H nên to độ
H
tho mãn h:
1
3
5
0



x
t
y
z
x
3
5
0

y
z
x
035H;; .
Câu 24: Trong không gian Oxyz cho tam giác
A
BC
biết
2,4, 3 ; 3, 1, 1 ; 2, 6,6AAB AC
 
. Tìm ta độ vector trung tuyến AM

A.
1,7 , 7
. B.
1, 7,7
. C.
17 7
,,
22 2



.
D.
177
,,
222




.
Li gii
Chn D

1177
,,
2222
AM AB AC AM




   
Câu 25: Trong không gian Oxyz cho tam giác
A
BC
: biết
2,4, 3 ; 3, 1, 1 ; 2, 6,6AAB AC
 
. Tìm ta độ vector trung tuyến
AM

A.
552
,,
333




.
B.
55 2
,,
33 3



.
C.
712
,,
333



.
D.
8
1, 3,
3




.
Li gii
Chn B




32
11;3;2; 64;2;3
16
15
214
33
15
432
33
12
323
33
AA
AA
AA
xx xx
AB y y B AC y y C
zz zz
x
Gy
z
 

 


 




 
Câu 26: Trong không gian Oxyz cho tam giác
A
BC
biết
2,4, 3 ; 3, 1, 1 ; 2, 6, 6AAB AC
 
. Tìm ta độ đim D sao cho ABCD là
hình bình hành
A.

7,1, 2
. B.
1, 3, 4
. C.
7,1,2
. D.

1, 3, 4
.
Li gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 337
Chn C
ABCD là hình bình hành AD BC AC AB
   

23
61 7;1;2
61
A
A
A
xx
yy D
zz



Câu 27: Cho ba đim
3,1, 0 ; 2,1, 1 ; , , 1AB Cxy
. Tìm ta độ ca
C
để
A
BC
là tam
giác đều:
A.
3,2, 1
. B.
3,0 , 1
.
C.

3, 2 , 1 ; 3,0 , 1
. D.
3,2, 1 ; 3, 0 , 1
.
Li gii
Chn D
Tam giác ABC đều


22
22
2
6290 1
4230 2
21:260 3 20 2 0
xy xy
AC AB
BC AB
xy xy
xxyyyy






Hai đim
3; 2; 1 ; ʹ 3; 0; 1CC
Câu 28: Cho ba đim
3,1, 0 ; 2,1, 1 ; , , 1AB Cxy
. Tìm ta độ ca
C
để tam giác
A
BC
là tam giác vuông cân ti
A
A.
4,1 2 ; 4,1 2. B.
4,1
.
C.
2,1
. D.
2, 1
.
Li gii
Chn B
Tam giác ABC vuông cân ti A
22
.0AB AC
AB AC
AB AC
AC AB



 
 



2
22
22
1, 0,1 1 2; 3, 1, 1
130110
4
6290
3112
4
4;1
1
AB AB AC x y
xy
x
xy xy
xy
x
C
y









 
Câu 29: Cho ba đim
3,1, 0 ; 2,1, 1 ; , , 1AB Cxy
. Tính x
y
để
,,
A
BC
thng hàng:
A.
2, 1xy
. B.
2, 1xy

. C.
2, 1xy

. D.
1, 2xy
.
Li gii
Chn A
,,
A
BCthng thàng
AB

cùng phương vi
AC

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 338


12 21
23 32
31 13
11030
0
2
001 1 10
1
0
13 110
yx
ab ab
x
ab ab y
y
ab ab
x








Câu 30:
Cho ba đim
3,1, 0 ; 2,1, 1 ; , , 1AB Cxy
. Tính
,
xy
để
2
2, 1,
3
G




là trng
tâm tam giác
A
BC
A.
2, 1xy
. B.
2, 1xy

.
C.
2, 1xy

. D.
1, 5xy
.
Li gii
Chn D

32 3.2 6
1
11 3 1 3
5
2
011 3 2
3
x
x
y
y








Câu 31: Cho ba đim

2, 1,1 ; 3, 2, 1 ; 1,3, 4AB C
. Tìm đim N trên
'Oxx
cách đều
A
B
.
A.
4, 0, 0
. B.
4, 0,0
.
C.
1,0, 0
. D.
2, 0, 0
.
Li gii
Chn A
Gi

,0,0Nx
trên ʹ .xOx Ta có
22
AN BN
22 2 2 2
2
21 1 321 4 4,0,0xxxN 
Câu 32: Cho ba đim

2, 1,1 ; 3, 2, 1 ; 1, 3, 4AB C . Tìm đim
E
trên mt phng
x
Oy
cách đều , ,
A
BC.
A.
14 26
,,0
33



. B.
713
,,0
33



. C.
26 14
,,0
33



. D.
26 14
,,0
33



.
Li gii
Chn D
Gi
,,0Exy
trên mt phng
xOy
. Ta có:
EA EB EC


222 2 2
2
22
22 2 2 2 2 2 2
211321
211134
26
4
3
14 26 14
410
,,0
333
xy xy
AE BE
AE CE
xy xy
x
xy
xy
yE













LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 339
Câu 33: Tính góc ca hai vectơ


4,2 , 4 ; 2 2, 2 2, 0ab
A.
0
60
. B.
0
135
. C.
0
30
. D.
0
120
.
Li gii
Chn B
0
82 42 0 2
cos ; ; 135
2
36. 16
ab ab

 

 
 
 
Câu 34: Cho hai vectơ
2Vma b

Wmb a

vi
2,1, 1a

1, 2,1b 
. Định m
để
V

W

vuông góc.
A. 37 . B. 37 . C.
979
. D.
979
.
Li gii
Chn D
V

vuông góc

201Wmabmba

Vi
22
6; 6; . 1abab

2
11820979mm m
Dng 2: Các bài toán cơ bn v phương trình mt cu
Câu 1: Trong không gian vi h ta độ O xyz , cho mt cu ()S có phương trình
222
4240xyz xy
.Tính bán kính
R
ca ().S
A.
1
. B.
9
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Chn D
Gi s phương trình mt cu
222 222
(): 2 2 2 0 ( 0)S x y z ax by cz d a b c d
Ta có:
2, 1, 0, 4abcd  Bán kính
222
3Rabcd
.
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho mt cu
()( ) ( ) ( )
222
:3 1 14Sx y z-+++-=
. Tâm ca
()
S
có ta độ
A.
()
3;1; 1--. B.
()
3; 1;1- . C.
()
3; 1; 1-- . D.
()
3;1; 1- .
Li gii
Chn B
Tâm ca
()
S có ta độ
()
3; 1;1- .
Câu 3: Trong không gian vi h ta độ Oxyz, hi trong các phương trình sau phương trình nào là
phương trình ca mt cu?
A.
222
2410xyz xz
B.
22
32410xz xyz

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 340
C.
222
24410xyz xyyz 
D.
222
22480xyz xyz

Li gii
Chn A
Đáp án B vì không có s hng
2
y
. Đáp án C loi vì có s hng 2
x
y . Đáp án D loi vì
222
1148 2 0abcd.
Đáp án A tha mãn vì
222
10416 0abcd
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, có tt c bao nhiêu giá nguyên ca
m
để
222 2
2221350 xyz m x m zm là phương trình mt mt cu?
A.
4
B.
6
C.
5
D.
7
Li gii
Chn D
Phương trình đã cho là phương trình mt cu khi và ch khi

22
2
2
21350
2100
111 111



mmm
mm
m
Theo bài ra
2; 1; 0;1; 2;3;4 mm
7
giá tr ca m nguyên tha mãn bài
toán.
Câu 5: Trong không gian Oxyz , mt cu có tâm
1; 2; 1I
và tiếp xúc vi mt phng
:x 2y 2z 8 0P  có phương trình là :
A.

222
1213xyz
B.
 
222
1213xy z

C.
 
222
1219xy z
D.

222
1219xyz

Li gii
Chn C
Khong cách t tâm
1; 2; 1I
đến mt phng
P
có phương trình là :


22
2
1 2.2 2 8
(; ) 3
12 2
dI P


 
Đây là bán kính mt cu. Vy chn C
 
222
1219xy z
Câu 6: Trong không gian vi h trc t độ
Oxyz
, cho hai đim
1; 2; 3 , 5; 4; 1AB
. Phương
trình mt cu đường kính
A
B
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 341
A.

222
33136xyz
. B.

222
3319xyz

.
C.

222
3316xyz
. D.

222
3319xyz

.
Li gii.
Chn B
Ta độ tâm mt cu là
3; 3;1I
, bán kính
3RIA
.
Câu 7: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, viết phương trình mt cu có tâm
1; 4;3I
đi qua đim
5; 3;2A
.
A.

222
14318xy z
. B.

222
14316xy z

.
C.

222
14316xy z
. D.

222
14318xy z

.
Li gii
Chn D
Mt cu có tâm
1; 4;3I
đi qua đim
5; 3;2A
nên có bán kính
32RIA
Vy phương trình mt cu cn tìm là:

222
14318xy z

.
Câu 8: Vi giá tr nào ca m thì mt phng
:2 5 0Pxyz

tiếp xúc vi mt cu

222 2
:2224510?S x y z mx m y mz m
A.
3m 
. B.
13mm

. C.
1m
. D.

1
3
m
m
Li gii
Chn A
2
;2;2;51.ambm c md m
Tâm
,
2, 2Imm m
2
22 2 2 2
24 5 1 430Rm m m m m m
13.mmP
tiếp xúc
S
khi:

2
33
,
43
6
m
dIP R m m

2
230 3 1mm m m
(loi)
3m
.
Câu 9: Vi giá tro ca m thì mt phng
:30Qxyz

ct mt cu
22
:Sx y

22
2122290z m xmymzm
?
A.
45m
. B.
45mm

. C.
5m
. D.

4
5
m
m
.
Li gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 342
Chn D
2
1; ; ; 2 9.am b mcmd m
Tâm
1, ,Im mm
2
22222
129280Rm mmm mm
42.mm

P
ct
S
khi:

2
4
,
28 4 5
3
m
dIP R m m m m

.
Câu 10: Mt phng
:2 4 4 5 0Pxyz
và mt cu
222
:24Sx y z x y
 2z
30
.
A. Tiếp xúc. B. Không ct nhau.
C. Ct nhau. D.
P
qua tâm
S
Li gii
Chn C
1; 2; 1; 3 3.ab c d R
Tâm
1, 2, 1I


11
,
3
6
dIP R

P
ct
S
.
Câu 11: Xét v trí tương đối ca mt cu
222
:648130Sx y z x y z
 và mt phng

:2250.Qx y z
A. Ct nhau. B. Tiếp xúc.
C.
Q
là mt phng đối xng ca
S
. D. Không ct nhau
Li gii
Chn B
3; 2; 4; 13 4.abcd R
Tâm
3,2,4I
 
12
,4
3
dIP R P

tiếp xúc
S
.
Câu 12: Vi giá tr nào ca
m
thì mt cu
222 2
:4244Sx y z x my mz m

320m
tiếp xúc trc
ʹzOz
.
A. -2. B. 2. C.
2
3
. D.
2
3
Li gii
Chn D

S
có tâm

2, , 2Imm
, bán kính
2
32, 1 2Rm m m m

Hình chiếu A ca I trên z’Oz là tiếp đim ca
S
và z’Oz
0, 0, 2Am
Ta có:
22
,
ʹ 432dIzOz AI m R m m 
22
2
432
3
mm m m
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 343
Câu 13: Tính bán kính ca đường tròn giao tuyến ca mt phng
:2230Px y z

và mt
cu

222
:42620Sxyz xyz
A.
5
. B. 1. C. 7. D.
7
Li gii

S
có tâm

2,1, 3I
, bán kính
4,3,R d I P IH IH P
22 2
16 9 7 7rRIH r
.
Câu 14: Viết phương trình mt cu
S tâm
2,1, 1I
qua
4,3, 2A
.
A.
222
422350xyz xyz
. B.
222
422350xyz xyz

.
C.
222
422350xyz xyz
. D.
222
422350xyz xyz

Li gii
Chn B
 
22
222 22 2
22
,,
211423121
422350
Mxyz S IM IA
xyz
xy xyz



.
Câu 15: Viết phương trình mt cu
S
tâm
1, 2, 4E
qua gc
O
.
A.
222
248420xyz xyz
. B.
222
248210xyz xyz

.
C.
222
248420xyz xyz
. D.
222
2480xyz xyz

Li gii
Chn D

22
222
222
,,
1241416
2480
Mxyz S EM OE
xyz
xyz xyz



.
Câu 16: Viết phương trình mt cu
S
tâm
1, 2, 3I
tiếp xúc vi mt phng
:4 2 4 3 0Pxyz.
A.
222
31
246 0
4
xyz xyz

. B.
222
246310xyz xyz

.
C.
222
25
246 0
4
xyz xyz

. D.
222
246250xyz xyz

Li gii
Chn A
Bán kính
 
222
525
,:123
24
RdIP S x y y  
222
31
246 0
4
xyz xyz

.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 344
BÀI 2. MT PHNG TRONG KHÔNG GIAN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
Định nghĩa:
Trong không gian Oxyz phương trình dng Ax + By + Cz + D = 0
vi A
2
+B
2
+C
2
> 0 đuc gi là phương trình tng quát ca mt phng
Phương trình mt phng (P): Ax + By + Cz + D = 0 vi A
2
+B
2
+C
2
> 0. Có véctơ pháp tuyến là
n(A;B;C)
Mt phng (P) đi qua đim M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhn vectơ
n(A;B;C)
,
n
0
làm vectơ pháp tuyến
có dng (P): A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0.
Nếu (P) có cp vectơ
a(a;a;a)b(b;b;b)
123 123

không cùng phương,có giá song song hoc nm
trên (P).Thì vectơ pháp tuyến ca (P) được xác định
na,b

1. Các trường hp riêng ca mt phng:
Trong không gian Oxyz cho mp(
)
: Ax + By + Cz + D = 0, vi A
2
+B
2
+C
2
> 0 Khi đó:
D = 0 khi và ch khi (
)
đi qua gc ta độ.
A=0, B
0
, C
0
, D
0
Khi và ch khi
()
song song vi trc Ox
A=0, B = 0, C
0
, D
0
Khi và ch khi
()
song song mp (Oxy )
A, B, C, D
0
. Đặt
DDD
a,b,c
ABC
  
Khi đó
y
xz
():
abc
1
2. V trí tương đối ca hai mt phng
Trong không gian Oxyz cho (
): Ax+By+Cz+D=0 và (
’):A’x+B’y+C’z+D’=0
(
) ct (
’)
ABʹ Aʹ B
BCʹ Bʹ C
CBʹ Cʹ B
(
) // (
’)
ABʹ Aʹ B
BCʹ BʹC
CBʹ Cʹ B
ADʹ Aʹ D
(
) (
’)
ABʹ Aʹ B
BCʹ BʹC
CBʹ Cʹ B
ADʹ Aʹ D
Đặc bit
(
)
(
’)
n.n A.Aʹ B.Bʹ C.Cʹ
12
00

3. Góc gia hai mt phng:
Gi
là góc gia hai mt phng

00
090

.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 345
P:Ax By Cz D0
Q:Aʹ xBʹ yCʹ zDʹ
0
PQ
PQ
PQ
n.n
A.Aʹ B.Bʹ C.Cʹ
cos = cos(n ,n )
n.n
ABC.Aʹ Bʹ Cʹ



222 2 2 2

 
 
B. CÂU HI TRC NGHIM
Câu 1: Phương trình tng quát ca mt phng
qua đim
3, 4, 5B
và có cp vectơ ch
phương
3,1, 1a 
,
1, 2, 1b 
là:.
A.
47160xyz. B. 47160xyz
.
C. 47160xyz. D. 47160xyz
.
Li gii
Chn C
Vectơ pháp tuyến ca


,b 1, 4, 7na




có th thay thế bi
1, 4, 7n
Phương trình

có dng 47 0.xyzD

31635 0 16BDD


: 47160xyz.
Câu 2: Phương trình tng quát ca mt phng qua
3, 1, 2A
,
4, 2, 1B
,
2, 0, 2C
là:
A. 20xy. B. 20xy
. C. 20xy
. D. 20xy.
Li gii
Chn A

1, 1, 3 , 1, 1, 0 ; , 3, 3, 0 :AB AC AB AC



   
Chn
1,1, 0n
làm vectơ pháp
tuyến:phương trình

A
BC
có dng 0xyD

Qua A
31 0 2DD
Phương trình

A
BC
: 20xy.
Câu 3: Phương trình tng quát ca mt phng đi qua
2, 1, 3A
,
3,1, 2B
và song song vi
vectơ
3, 1, 4a 
là:
A. 97400xy z . B. 97400xy z
.
C.
97400xy z . D. 97400xy z
.
Li gii
Chn B

1, 2, 1 ; , a 9,1, 7AB AB n




.Chn
9, 1, 7n 
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mt phng phi tìm có dng:
97 0xy zD

Qua A nên
9.2 ( 1) 7.3 0 40DD
Phương trình cn tìm là:
97400xy z
.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 346
Câu 4: Phương trình tng quát ca mt phng đi qua
4, 1,1A
,
3,1, 1B
và song song vi trc
Ox là:
A.
20yz
. B.
20yz

. C.
0yz
. D.
0yz
.
Li gii
Chn C
1, 2, 2 :AB 

vectơ ch phương ca trc Ox:
1, 0, 0i
.

,0,2,2AB i




:Chn
0,1,1n
làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mt phng
cn tìm có dng
0,yzD
qua A nên: 11 0 0DD

Câu 5: Viết phương trình ca mt phng
P
qua đim
2, 2, 2H
và nhn
OH

làm vectơ
pháp tuyến.
A.
P:x y z6
. B.
P:x y
4
.
C.
P:y z4
. D. Ba câu A, B và C đúng.
Li gii
Chn A

OH 2; 2; 2

suy ra phương trình mt phng

P: x y z P:x y z  2222220 6
.
Câu 6: Cho t din
A
BCD
3, 2,1A
,
4, 0, 3 , 1, 4, 3 , 2, 3,5BCD
. Phương trình tng
quát ca mt phng cha
A
C
và song song vi
BD
là:
A. 12 10 21 35 0xyz. B. 12 10 21 35 0xyz
.
C. 12 10 21 35 0xyz. D. 12 10 21 35 0xyz
.
Li gii
Chn C

2, 6, 4 ; 6, 3, 2 ; , 24, 20, 42 .AC BD AC BD



   
Có th chn
12, 10, 21n 
làm vectơ pháp tuyến cho mt phng.
Phương trình mt phng này có dng
12 10 21 0xyzD
.Đim A thuc mt phng
nên:
12.3 10( 2) 21.1 0 35DD
Phương trình cn tìm:
12 10 21 35 0xyz,
Câu 7: Cho vectơ ch phương đim
4, 3, 2 , 1, 2,1 , 2, 2, 1AB C

. Phương trình tng quát
ca mt phng qua
A
và vuông góc vi
BC
là:
A. 4240xyz. B. 4240xyz
.
C. 4240xyz. D. 4240xyz
.
Li gii
Chn C

1, 4, 2 .BC 

Chn
1, 4, 2n 
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mt phng cha A và vuông góc vi BC có dng
42 0xyzD

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 347
Cha A nên
44.32.2 0 4DD
Vy:
4240xyz.
Câu 8: Cho hai mt phng đim
1, 4, 4 , 3, 2, 6AB
. Phương trình tng quát ca mt phng
trung trc ca đon
A
B
là:
A.
340xyz
. B.
340xyz

.
C.
340xyz
. D.
340xyz

.
Li gii
Chn D
Gi I là trung đim ca AB:
2, 1, 5I
.
2, 6, 2AB

.Chn

1, 3,1n
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mt phng trung trc ca đon AB có dng
30xyzD

I thuc mt phng này:
23(1)5 0 4DD .
Phương trình cn tìm:
340xyz.
Câu 9: Phương trình tng quát ca mt phng qua đim
3, 0, 1M
và vuông góc vi hai mt
phng
210xyz 220xyz
 là:
A. 3580xyz. B. 3580xyz
.
C.
3580xyz D. 3580xyz
.
Li gii
Chn A

1, 2, 1 ; 2, 1,1ab

là hai vectơ pháp tuyến ca hai mt phng cho trước.
Chn

,b 1, 3, 5na




làm vectơ pháp tuyến,ta có mt phng có dng
35 0xyzD.
Qua M nên:
33.05.(1) 0 8DD
Phương trình mt phng cn tìm là:
3580xyz

Câu 10: Phương trình tng quát ca mt phng đi qua hai đim
2, 1,1A
,
2,1, 1B 
và vuông
góc vi mt phng
32 50xyz
là:
A.
5710xyz
. B.
5710xyz

.
C.
570xyz
. D.
570xyz

.
Li gii
Chn C
4, 2, 2 ;AB 

vectơ pháp tuyến
n
ca mt phng
32 50xyz

:

3, 2, 1 ; , 2, 10, 14nABnn




.chn
1, 5, 7b

làm vectơ pháp tuyến.có
mt phng
57 0xyzD
A thuc mt phng này:
25.91)7.1 0D

0D
Vy
570xyzmt phng cn tìm.
Câu 11: Cho hai mt phng
:5 10, :2 40xyz xyz


.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 348
Gi
là góc nhn to bi
thì giá tr đúng ca
cos
là:
A.
5
6
. B.
5
6
. C.
6
5
. D.
5
5
.
Li gii
Chn B

có vectơ pháp tuyến
1, 5, 2a

có vectơ pháp tuyến
2, 1,1b 

 
22
22 2 2
1.2 5 1 2 .1
5
cos
6
15 2.2 1 1



Câu 12: Ba mt phng 260,23130,323160xyz xyz xyz  ct nhau ti
đim
A
. Ta độ ca
A
là:
A.
1, 2, 3A
. B.
1, 2, 3A
. C.
1, 2, 3A 
. D.
1, 2, 3A 
.
Li gii
Chn D
Ta độ giao đim ca ba mt phng là nghim ca h phương trình:


2601
231302
3231603
xyz
xy z
xyz



Gii (1),(2) tính x,y theo z được
4; 5.xz yz

Thế vào phương trình (3) được
3,z 
t đó có
1, 2xy
Vy
1, 2, 3A 
.
Câu 13: Cho hai đim

1, 4, 5 , 2, 3, 4AB
và vectơ
2, 3, 1a

. Mt phng

cha hai
đim
,
A
B
và song song vi vectơ
a
có phương trình:
A.
34 21 5 25 0xyz
. B.
34 21 5 25 0xyz

.
C.
34 21 5 25 0xyz
. D.
34 21 5 25 0xyz

.
Li gii
Chn C
1, 4, 5 ; 2, 3, 4 3, 7, 9 ; 2, 3, 1AB AB a

A
B

a
s là cp vectơ ch phương ca
,
A
Ba




34, 21, 5
Chn
34,21,5n
làm vectơ pháp tuyến ca
Phương trình mt phng

có dng 34 21 5 0xyzD

Đim A
34 84 25 0 25DD
Phương trình

: 34 21 5 25 0xyz
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 349
Câu 14: Cho hai đim

1, 4, 2C 
,
2, 5,1D
.Mt phng cha đường thng CD và song song
vi
Oz có phương trình:
A.
310xy
. B.
310xy

. C.
310xy

. D.
310xy
.
Li gii
Chn B
1, 4, 2 ; 2, 5, 1CD

3, 9, 3CD

cùng phương vi vectơ
1, 3, 1a 
Trc Oz có vectơ ch phương
0, 0,1k

,3,1,0ak




cùng phương vi vectơ
3,1, 0n
Chn
3,1, 0n
làm vectơ pháp tuyến cho mt phng cha CD và song song vi trc
Oz.
Phương trình mt phng này có dng:
30xyD

Mt phng qua C
34 0 1DD 
Phương trình mt phng cn tìm:
310xy

Câu 15: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
qua
2, 3, 1M
và vuông góc vi
đường thng
D
qua hai đim
3, 4, 5 ; 1, 2, 6 .AB
A.
46 110xyz
. B.
46 110xyz

.
C.
46 250xyz
. D.
46 250xyz

.
Li gii
Chn D
Pháp vecto ca

:4,6,1PAB

:24 36 1046 250Px y z xyz
Câu 16: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
qua hai đim
( 2, 3, 5); 4, 2, 3AB
và có mt vectơ ch phương
2, 3, 4a 
.
A.
93 40xyz
. B.
93 40xyz

.
C.
13 2 8 72 0xyz
. D.
13 2 8 72 0xyz

.
Li gii
Chn C
Pháp vecto ca (P):
2, 5, 2 , 2 13, 2, 8AB n a AB



 
0.

:213 32 5801328720Px y z xyz
Câu 17: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
qua
2, 1, 3M
và song song vi mt
phng
Q
:
25370.xyz
A.
25380xyz
. B.
25370xyz

.
C.
253180xyz
. D.
25380xyz

.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 350
Li gii
Chn D
:2 5 3 0PxyzD
qua
2,1, 3 8MD


:25380Pxyz
Câu 18: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
qua hai đim
3, 2, 4 ; 1, 3, 6EF
và song song vi trc
ʹyOy
A.
70xyz
. B.
70xz

. C.
70xyz

. D.
70xz
.
Li gii
Chn B
// ʹPyOy
ecto ch phương ca
P
là:
2
0,1,0e
Vecto ch phương th hai
2
2, 5, 2 , 2 1, 0,1EF n e EF





: 3 .1 2 .0 4 .1 7 0Px y z xz
Câu 19: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
qua
3, 5, 2M
và vuông góc vi
ʹxOx
A.
30x 
. B.
30x
.
C.
30xy
. D.
30xy

.
Li gii
Chn B
ʹPxOx
ti

1
3,0,0 1,0 ,0Ane

 
3,0 ,0 : 3 .1 .0 .0 0 3 0APPxyzx
Câu 20: Cho t din
A
BCD
5, 1, 3 , 1, 6, 2 , 5, 0, 4 , 4, 0, 6ABC D
. Mt phng cha
BC
và song song vi
A
D
có phương trình:
A. 875600xyz. B. 875600xyz
.
C.
875600xyz. D. 875600xyz
.
Li gii
Chn B
5, 1, 3 , 1, 6, 2 , 5, 0, 4 , 4, 0, 6ABC D
4, 6, 2 ; 1, 1, 3BC AD
 

,16,14,10BC AD



 
cùng phương vi
8, 7, 5n
Chn
n
làm vectơ pháp tuyến cho mt phng cha BC và song song vi AD.
Phương trình
P
có dng:875 0xyzD

Đim

84210 0 60BP D D
Phương trình
P
:875600xyz
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 351
Câu 21: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
qua hai đim
2, 4, 1 ; 3, 2, 4MN
và vuông góc vi mt phng (Q):
34250.xyz
A.
16 13 2 82 0xyz
. B.
16 13 2 82 0xyz

.
C.
16 13 2 82 0xyz
. D.
16 13 2 82 0xyz

.
Li gii
Chn C
Cp vecto ch phương ca
: 1,2, 5 ; 3,4, 2
Q
PMN n

 
Pháp vecto ca

:,16,13,2
Q
Pn MNn




: 2 16 4 13 1 2 0 16 13 2 82 0Px y z x yz
Câu 22: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
qua
4, 1, 2E
và vuông góc vi hai
mt phng (Q):
23540;xyz
(R):
4230.xyz

A.
14 9 11 43 0xy z
. B.
14 9 11 43 0xy z

.
C.
14 9 11 43 0xy z
. D.
14911430xy z

.
Li gii
Chn D
Cp vecto ch phương ca
: 2, 3,5 ; 1,4,2Pa b
Pháp vecto ca
:, 14,9,11Pn ab




: 4 14 1 9 2 11 0 14 9 11 43 0Px y z xy z
Câu 23: Cho t giác
A
BCD
0,1, 1 ; 1,1, 2 ; 1, 1,0 ; 0,0,1ABC
. Gi ,,HIK ln
lượt là hình chiếu vuông góc ca
,,
B
CD trên ba trc Ox, ,Oy Oz . Viết phương trình tng
quát ca mt phng
H
IK
.
A.
10xyz
. B.
10xyz

.
C.
10xyz
. D.
10xyz

.
Li gii
Chn B
1, 0,0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0,1HI K

:1 10
111
y
xz
HIK x y z
Câu 24: Cho mt phng
:3 4 2 5 0Pxyz
. Viết phương trình tng quát ca mt phng

đối xng ca

P
qua trc 'yOy:
A.
34250xyz
. B.
34250xyz

.
C.
34250xyz
. D.
34250xyz

.
Li gii
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 352
Chn D
Gi

,,Exyz
đim đối xng ca
,,
MMM
Mxyz P
qua trc

ʹ :;;
34250 :34250
MMM
yOy x xy yz z
xy z xyz
 
 
Câu 25: Cho đim
1, 4, 2M 
và mt phng
:5140Pxy z

. Tính khong cách t
M
đến
()P
.
A.
23
. B.
43
. C.
63
. D.
33
.
Li gii
Chn D

145 2 14
27
,
33
1125 33
dMP



Câu 26: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
song song vi mt phng
:2 4 4 3 0Qxyz
và cách đim
2, 3, 4A
mt khong bng
3
:
A.
244140xyz
.
B.
244500xyz
.
C.
244140;244500xyz xyz 
.
D.
244140;244500xy xyz 
.
Li gii
Chn C


// :2 4 4 3 0 :2 4 4 0
32
41216
,3 3 14 50
6
41616
:2 4 4 14 0; ʹ :2 4 4 50 0
PQxyz PxyzD
D
D
dAP D D
Pxyz P xyz
 

 

 
Câu 27: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
cách mt phng
:3 2 6 5 0Qxyz
mt khong bng
4
:
A.
326230;326330xyz xyz 
.
B.
326230;326330xyz xyz 
.
C.
326230;326330xyz xyz 
.
D.
326230;326330xyz xyz 
.
Li gii
Chn A
// :3 2 6 5 0; , , , 4
3265
3326528
9436
326230;326330
PQxyz MxyzPdMQ
xyz
xyz
xyz xyz




 
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 353
Câu 28: Vi giá tr nào ca m thì hai mt phng sau song song:
:( 2) 3 6 6 0; :( 1) 2 (3 ) 5 0Pm xmyz Qm x y mz
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Li gii
Chn D



AB AB m m m m m m m
BC BC m m m m m m
CA CA m m m m m m m



2
12 21
2
12 21
2
12 11
4
22 13 3 4 0 1,
3
33 2.63 9 120 1, 4
613 2 0 1,0
Vi
1m  tho c 3 điu trên
//PQ
Câu 29:
Giá tr
m
tha mãn điu kin nào để hai mt phng

:22120Pmx m y mz
;
:231 30Qm xy mz

ct nhau?
A.
1m
. B.
1m
4m
. C.
4m
. D.
4m
.
Li gii
Chn B
(P) ct (Q)


3220
21 61 0
21 2 1 0
mmm
mmm
mm m





2
340
1401&4
140
mm
mm m m
mm



Câu 30: Vi giá tr nào ca m n thì hai mt phng sau song song:

:20;:2430Pxmyz Q xy nz
A.
11
;
22
mn
. B.
11
;
22
mn

.
C.
11
;
44
mn
. D.
11
;
22
mn

.
Li gii
Chn D
Để hai mt phng song song chc chn
n
0
nên:

11211
// ;
21 4 3 2 2
m
PQ m n
n

Câu 31: Hai mt phng
:4 2 4 5 0Pxyz
:3 320Qx y

to vi nhau mt
góc bng:
A.
45
o
. B.
30
o
. C.
60
o
. D.
90
o
.
Li gii
Chn A
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 354
43 23
2
cos 45
2
66
o


Câu 32: Cho hai mt phng

:130Pmx m yz

:1 50Qm xmyz

. Vi
giá tr nào ca m thì

P
Q
vuông góc?
A.
13
. B.
13
. C.
1
13
2
. D.
13
.
Li gii
Chn C
2
1110
13
2210
2
PQmm mm
mm m


Câu 33: Cho hai mt phng

:130Pmx m yz

:1 50Qm xmyz

. Vi
giá tr nào ca m thì

P
Q
to vi nhau mt góc
60
o
?
A. -1. B. 2. C. 1 và 2. D. -1 và 2.
Li gii
Chn D
 
2
22
22
222
221
1
cos60
2
11. 1 1
432222 20
12
o
mm
mm m m
mm mm mm
mm



  

Câu 34: m tp hp các đim
,,M xyz
sao cho
22
4MA MB
vi
2, 1,3A
;
4, 3,1B
A.
32 40xyz
. B.
32 40xyz

.
C.
32 50xyz
. D.
32 50xyz

.
Li gii
Chn B


222
22
222
43 13
4314
32 40
MA MB x y z
xyz
xyz

 

Câu 35: m tp hp các đim
M
cách đều hai mt phng:

:2 2 9 0; :4 2 4 3 0Pxyz Qxyz 
A.
2220xy z
. B.
2220xy z

.
C.
63650xyz
. D.
848150xyz

.
Li gii
Chn D
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SDDT:0834332133 355

2294243
,,
36
848150
xy z x y z
dMP dMQ
xyz
 
 

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 356
BÀI 3. ĐƯỜNG THNG TRONG KHÔNG GIAN
A. KIN THC CƠ BN CN NM
Định nghĩa:
Phương trình ttham s ca đường thng
đi qua đim M
0
và có vectơ ch phương
a(a;a;a)
123
,
a 0

xx at
y
yat(tR)
zz at



01
02
03
Nếu a
1
, a
2
, a
3
đều khác không.Phương trình đường thng
viết dưới dng chính tc như sau:
xx yy zz
aaa


000
123
1. V Trí tương đối ca hai đường thng:
Chương trình cơ bn Chương trình nâng cao
1)V trí tương đối ca hai đường thng.
Trong Kg Oxyz cho hai đường thng
ʹʹ
o
o
ʹʹ
oo
ʹʹ
o
xx atʹ
xx at
d: y y a t dʹ :y y atʹ
zz at
zz atʹ


 




1
1
22
03
3
vtcp
u
đi
qua M
o
và d’có vtcp
uʹ

đi qua M
o
u
,
uʹ

cùng phương
 d // d’
ukuʹ
M
dʹ
0

 d d’
ukuʹ
M
dʹ
0

u
,
uʹ

Không cùng phương
ʹʹ
oo
ʹʹ
oo
ʹʹ
o
xatxatʹ
y
at y atʹ
zatzatʹ



11
22
03 3
 d chéo d’H Ptrình vô nghim
 d ct d’ H Ptrình có mt nghim
1)V trí tương đối ca hai đường thng.
Trong Kg Oxyz cho hai đường thng
ʹʹ
o
o
ʹʹ
oo
ʹʹ
o
xx atʹ
xx at
d: y y a t dʹ :y y atʹ
zz at
zz atʹ


 




1
1
22
03
3
vtcp
u
đi qua
M
o
và d’có vtcp
uʹ
đi qua M
o
/ /
o
[u, uʹ]=0
M
dʹ

[u, uʹ]=0
M
dʹ
0

ct
ʹ
o
u,uʹ
u,uʹ .M M




0
0
0



chéo
ʹ
u,uʹ .M M


00
0


2. V trí tương đối ca đường thng và mt phng
Phương pháp 1 Phương pháp 2
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 357
Trong Kg Oxyz cho
:Ax By Cz D
0
o
o
xx at
d: y y a t
zz at



1
2
03
Phương trình
Ax at By at Cz at D
01 02 03
0
P.trình vô nghim thì d //
P.trình có mt nghim thì d ct
P. trình cóvôsnghim thìd thuc
Đặc bit :
(
d
)
(
)
a,n

cùng phưong
Trong không gian Oxyz cho đường thng
d qua M có vtcp
a(a;a;a)
123
:Ax By Cz D
0
có vtpt
n(A;B;C)
ct
a.n
0
//
a.n
M
()
0
nm tn mp
a.n
M
()
0
3. Khong cách :
Khong cách t M
0
đến mt phng : Ax+By+Cz+D=0 cho bi côngthc
0
Ax By Cz D
d(M , )
ABC


00
0
222
Khong cách t M đến đung thng
Phương pháp 1:
 Lp ptmp(
) đi qua M và vuông góc vi d.
 Tìm ta độ giao đim H ca mp(
) và d
 d =MH
Khong cách gia hai đường chéo nhau
Phương pháp 1:
d đi qua M; cóvtcp
a(a;a;a)
123
d’qua M’; vtcp
aʹ (aʹ ;aʹ ;aʹ )
123

 Lp ptmp(
) cha d và song song vi d’
 d= d)
Khong cách t M đến đung thng
Phương pháp 2:
0
[M M,u]
d(M, )
u

Khong cách gia hai đường chéo nhau
Phương pháp 2:
d đi qua M; cóvtcp
a(a;a;a)
123
d’qua M’; vtcp
aʹ (aʹ ;aʹ ;aʹ )
123
hop
day
[a,aʹ].MMʹ
V
d( , ʹ)
S
[a,aʹ]




4. Góc gia hai đường thng:
Góc gia hai đường thng
đi qua M có VTCP
a(a;a;a)
123
đi qua M’ có VTCP
aʹ (aʹ ;aʹ ;aʹ )
123

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 358
a.aʹ
a.aʹ a.aʹ a.aʹ
cos cos(a,aʹ)
a.aʹ
aaa.aʹ aʹ aʹ



11 2 2 3 3
222 222
123 1 2 3



5. Góc gia đường thng và mt phng:
Góc gia đường thng và mt phng
đi qua M
0
có VTCP a
, mp có VTPT
n(A;B;C)
Gi
j
là góc hp bi và mp
12 3
2
Aa +Ba +Ca
sin cos(a,n)
ABC.aaa


2 2222
123
B. CÂU HI TRC NGHIM
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
, cho -(1;0;2)E -(2;1; 5)F . Phương trình đường thng
E
F
A.
12
31 7
xyz

B.
12
31 7
xyz

C.
12
11 3
xyz

D.
12
113
xyz

Li gii
Chn B
Ta có:
(3;1; 7)EF 

. Đường thng
E
F
đi qua đim (1;0;2)E
và có VTCP
(3;1; 7)uEF

có phương trình:
12
31 7
xyz

.
Câu 2:
Trong không gian O xyz , cho đường thng
đi qua đim
2; 0; 1M
và có mt vectơ
ch phương
4; 6; 2a 
.Phương trình tham s ca
A.
24
6
12
x
t
yt
zt


.
B.
22
3
1
x
t
yt
zt


.
C.
42
6
2
x
t
y
zt

.
D.
22
3
1
x
t
yt
zt


.
Li gii
Chn B
4; 6; 2 2 2; 3;1a 
\
Do đó đường thng
có mt vectơ ch phương là
2; 3;1u 
. Vy phương trình tham
s ca
đi qua
2; 0; 1M
và có mt vectơ ch phương là
2; 3;1u 
là:
22
3
1
x
t
yt
zt



.
Câu 3: Trong không gian vi h ta độ Oxyz , cho hai đim
1; 2; 1M
,
0; 1; 3N
. Phương
trình đường thng qua hai đim
M
,
N
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 359
A.
121
13 2
x
yz

.
B.
132
121
xyz


.
C.
13
13 2
xy z

. D.
13
121
x
yz

.
Li gii
Chn C

1; 3; 2MN 

.
Đường thng
M
N qua N nhn
1; 3; 2MN 

làm vectơ ch phương có phương trình
13
13 2
xy z

.
Câu 4: Trong không gian vi h trc ta độ O xyz , phương trình tham s trc
Oz
A.
0z . B.
0
0
x
yt
z
.
C. 0
0
x
t
y
z
.
D.
0
0
x
y
zt
.
Li gii
Chn D
Trc
Oz
đi qua gc ta độ
0; 0; 0O
và nhn vectơ đơn v

0; 0;1k
làm vectơ ch
phương nên có phương trình tham s
0
0
x
y
zt
.
Câu 5:
Trong không gian Oxyz, phương trình tham s ca đường thng đi qua đim
2; 0; 1M
và có véctơ ch phương
2; 3;1a 
A.
42
6.
2
x
t
y
zt



B.
22
3.
1
x
t
yt
zt



C.
24
6.
12
x
t
yt
zt



D.
22
3.
1
x
t
yt
zt



Li gii
Chn D
Theo lý thuyết v dường thng trong không gian
Oxyz, ta có phương trình tham s ca
đường thng đi qua đim
000
;;
M
xyz
và có véctơ ch phương

123
;;aaaa

01
02
03
,.
xx at
yyat t
zz at



Do đó, đáp án D đúng.
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho ba đim
1;2;3 , 3;4;1 , 5;2; 4ABC
. Đường thng
di qua
A
và song song vi đường thng
B
C
có phương trình
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 360
A.
213
825
xyz


.
B.
213
825
xyz



.
C.
213
825
xyz


.
D.
213
825
xyz



.
Li gii
Chn A
8; 2; 5BC 

là vectơ ch phương ca đường thng qua
A
và song song vi đường
thng
B
C
.
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho đường thng d có phương trình tham s
22
3;
35



xt
ytt
zt
. Khi đó, phương trình chính tc ca d là
A.
23
235


xyz
. B.
23
235

xyz
.
C. 23 
x
yz . D. 23

x
yz .
Li gii
Chn A
Ta có phương trình đường thng d:
22
3
35



x
t
yt
zt
đi qua đim (2;0; 3)A và có vectơ ch
phương
(2; 3;5)
u
nên có phương trình chính tc là
23
235

xyz
.
Câu 8: Trong không gian ta độ
Oxyz
, đường thng
d
đi qua đim
1; 2; 3I
và nhn

4; 5; 6u 
là vectơ ch phương có phương trình tham s
A.
14
25
36
x
t
yt
zt



. B.
4
52
63
x
t
yt
zt
. C.
4
52
63
x
t
yt
zt



. D.
14
25
36
x
t
yt
zt



.
Li gii
Chn D
Đường thng
d
đi qua đim
1; 2; 3I
và nhn
4; 5; 6u 
là vectơ ch phương có
phương trình tham s
14
25
36
x
t
yt
zt



.
Câu 9: Trong h to độ Oxyz , cho đường thng
122
:
123


xyz
d
. Phương trình nào sau
đây là phương là phương trình tham s ca
d
?
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 361
A.
1
2
23


x
yt
zt
. B.
1
22
13


x
t
yt
zt
. C.
1
22
23



x
t
yt
zt
. D.
1
2
1


x
yt
zt
.
Li gii
Chn C
Đường thng
d
có mt VTCP

1; 2; 3
u
đi qua
1; 2; 2
M
.
Vy đưng thng
d
có phương trình tham s
1
22
23



x
t
yt
zt
.
Câu 10: Trong không gian ta độ
Oxyz
, phương trình nào sau đây là phương trình chính tc ca
đường thng đi qua hai đim
1; 2; 5A
3;1;1B
?
A.
311
125
x
yz

.
B.
125
125
x
yz


.
C.
125
23 4
x
yz

.
D.
125
23 4
x
yz


.
Li gii
Chn C
+ Ta có
2; 3; 4AB


là mt vectơ ch phương ca đường thng
A
B
, t đáp án ta loi
đáp án
A đáp án B.
+ Đáp án C tha mãn đi qua đim
1; 2; 5A
nên đáp án Cđáp án đúng.
+ Thay ta độ đim

1; 2; 5A
vào đáp án D:
11 2 2 55
23 4


nên loi đáp án D.
Câu 11:
Viết phương trình tham s ca đường thng qua đim
2, 4, 3E
và song song vi
đường thng MN vi

3,2 ,5 ; 1, 1,2 .MN
A.
32
23 ;
53
xm
ymm
zm



. B.
12
13;
23
xt
ytt
zt



.
C.
22
43;
33
xn
ynn
zn



. D. Hai câu A và B
Li gii
Chn C
Mt vectơ ch phương ca
: 2,3,3 2,3,3dMN

LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 362

22
34;
33
xn
dy n n
zn



Câu 12: Phương trình tham s đường thng qua
1, 5, 2I
và song song vi trc
ʹxOx
A.
1
5;
2
xt
yt
z


. B.
5;
2
xm
ymm
zm

. C.
2
10 ;
4
xt
ytt
zt

. D. C A và C
Li gii
Chn A
// ʹDxOx
Vectơ ch phương ca
1
:1,0,0De

1
5;
2
xt
Dy t
z


Câu 13: Viết phương trình tham s ca đường thng
D
qua
2, 1, 3E
và vuông góc vi hai
đường thng
 
12
3
12
:1;: 2.
3224
y
xz x
Dy D z


A.
27
1;
310
xt
yt t
zt



. B.
27
1;
310
xt
ytt
zt



.
C.
28
71;
310
xt
yt t
zt



. D.
29
71;
10 3
xm
ym m
zm



.
Li gii
Chn D
Hai vectơ ch phương ca
1
D
2
:3,1,2;2,4,1Da b

Mt vectơ ch phương ca
:, 9,7,10Dc ab





:29;71;101;Dx ty t z t t
Câu 14: Cho tam giác ABC có
1, 2, 3 ; 2, 1, 4 ; 3, 2, 5 .AB C
Viết phương trình tham s
ca trung tuyến AM:
A.
13
27;
15 3
xt
ytt
zt



. B.
13
27 ;
315
xm
ymm
zm



.
C.
13cos
27cos;
15cos 3
xt
ytt
zt



. D. Hai câu A và B.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 363
Li gii
Chn A
Trung đim M ca BC:
539
,
,
222
M



Mt vecto ch phương ca AM:

3715 1
,
,3,7,15
222 2
AM





:13; 27;153;AM x t y t z t t
Câu 15: Cho tam giác ABC có
1, 2, 3 ; 2, 1, 4 ; 3, 2, 5 .AB C
Viết phương trình chính tc
ca cnh A
B.
A.
2
3
1
37
y
z
x

. B.
1
4
2
37
y
z
x

.
C.
2
3
1
37
y
z
x

. D. Ba câu A, B và C đúng.
Li gii
Chn D
Mt vecto ch phương ca AB:

1, 3,7
21
34
:1 hay 2
37 37
2
3
hay 1
37
AB
yy
zz
AB x x
y
z
x







Câu 16: Hai đường thng
 
1
122 4
:3;:
23324
y
xzx z
Dy d


.
A. Song Song. B. Trùng nhau. C. Chéo nhau. D. Ct nhau.
Li gii
Chn C
1, 3, 2AD
D
có vecto ch phương
2,1,3a

2,1, 4Bd

d
có vecto ch phương
3,2 ,4b
3,4, 6 , . 2,1,1 . 3, 4, 6 4 0AB a b AB

 

 

D

d
chéo nhau.
Câu 17: Hai dường thng
:23; 1;32; :41; 25;61;Dx t yt z t dx t y t z t t    
A. Song song. B. Chéo nhau. C. Ct nhau. D. Trùng nhau.
Li gii
Chn A
D
qua
3, 1, 2M
và có vecto ch phương
2,1,3a

d
qua
1, 5,1M 
và có vecto ch phương
4,2,6 2 2, 1,3b 
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 364
a
b
cùng phương
D
d
cùng phương.

4, 6,3MN 

không cùng phương vi
/
/aD d
Câu 18: Đường thng

12
:1
23
xz
Dy


và mt phng
:24230Px y z

:
A. Song song. B. Vuông góc. C. Ct nhau. D. cha .
Li gii
Chn C
D
có vecto ch phương
2, 1,3a 

P
có pháp vecto:

1, 2, 4n 
.2.11.234 120an D

P
ct nhau.
Chú ý: nếu đòi hi hính ta độ giao đim thì viết phương trình tham s ca

:21;1;32dx t y tz t 
. Thay
,
,xyz
vào phương trình

P
ta có
1t

Ta độ giao đim
1, 2, 5M 
.
Câu 19: Vi giá tr nào ca m thì hai đường thng sau song song?
 
31
11 2
:;:3
22 32
yy
xz z
Ddx
mm



A. 0. B. 2. C.
0, 2mm
. D. 6.
Li gii
Chn D
D
qua

1,3,1
và có vecto ch phương
2, , 2 ; 0ammm

2m

d
qua
3, 1,2B
và có vecto ch phương
1, 3, 2b

2
// 2
32
mm
Dd

6Ad m

Câu 20: Vi giá tr nào ca m và n thì đường thng

xt
Dy t
zt

34
:14
3
t
song song vi mt
phng
:124 90?Pm xyzn
A.
4; 14mn
. B.
4; 10mn

. C.
3; 11mn

. D.
4; 14mn
.
Li gii
Chn D
D qua

3,1, 3A và có vecto ch phương
4, 4,1a 
Vecto pháp tuyến ca
:1,2,4Pm


44.0
32 14
mman
DP
mn n
AP
 


 


LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 365
Câu 21: Vi giá tr nào ca m thì đường thng

y
xz
D
mm

3
11
:
22
vuông góc vi mt
phng

Px y z:322
A.
1
. B.
5
. C.
6
. D.
7
.
Li gii
Chn C
Vecto ch phương ca
:2,,2Da mm
Vecto pháp tuyến ca
: 1,3,2Pn
DPa
n
cùng phương:
2
26
32
mm
m

Câu 22: Tính góc ca hai đường thng

3
12
:
244
y
xz
D

:32; 24;2dx ty t z t
.
A.
0
75
. B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
45
.
Li gii
Chn D
D
d
có vec-tơ ch phương
2,4,4 ; 2, 2,0ab
0
2.2 4.2 4.0
2
cos 45
2
6.2 2



.
Câu 23: Hai đương thng
1
()d
:
23
32
46
x
t
y
t
zt
2
()d
:
5'
14'
20 '
x
t
y
t
zt



ct nhau ti
C
.
Ta độ đim C là:
A. (3, 7,18)C . B. (3,7,18)C . C. (3, 7, 18)C
. D. (3,7,18)C .
Li gii
Chn B
H phương trình
235 '
32 14'
4620'
tt
tt
tt



có nghim 3, ' 2tt
 .
T đó có
(3, 7,18)C .
Câu 24: Cho hai đường thng:

1
739
:
12 1
xyz
d



2
311
:
12 3
x
yz
d


.
Chn câu tr li đúng:
A.
1
d
2
d
ct nhau. B.
1
d
2
d
vuông góc nhau.
C.
1
d

2
d
trùng nhau. D.
1
d
2
d
chéo nhau.
Li gii
Chn D
Phương trình
1
d
1
d
cho
7,3, 7A
và vectơ ch phương ca
1
d
:
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 366
1, 2, 1a 
.
Phương trình
2
d
cho
3,1,1B
2
d
và vectơ ch phương ca
2
d
:
7, 2,3b 
.

,8,4,16ab



;
4, 2, 8AB 

.
, . 32 8 128 0ab AB




1
d
2
d
chéo nhau.
Câu 25: Cho đim
3, 2,1A
đương thng

:3
24
xy
dz

.Mt phng

cha đim A và
d
có phương trình tng quát là:
A.
14 15 8 24 0.xyz. B. 14 5 8 24 0.xyz
.
C. 14 5 8 24 0.xyz. D. 14 5 8 24 0xyz
.
Li gii
Chn D
Phương trình
d
cho
0, 0, 3B
d
và vectơ ch phương ca
d
:
2, 4,1a
.
3, 2, 4AB 

;

,14,5,8AB a




Gi
,y,zMx
,
,, 3BM x y z

.
,. 0 14 5 8 240AB a BM x y z



 
là phương trình ca
.
Câu 26: Cho đường thng

12
:2
3
x
t
d
y
t
zt
đim
2, 1, 3I
.Đim K đối xng vi đim I qua
đường thng
d
có ta độ:
A.
4, 3, 3 .K 
. B.
4,3, 3 .K
. C.
4, 3,3 .K
. D.
4,3,3 .K
Li gii
Chn D
d
có vectơ ch phương
2, 1, 3a 
.Xét mt phng
:2 3 0xy zD

.
I
nên
14
D


:2 3 14 0.xy z

Thế
,,
x
yz
theo
t
vào phương trình
được
1t 
d
ct
ti
3,1, 3M
.
M là trung đim ca IK nên
4,3, 3K
Câu 27: Cho ba đim
1, 2,3 , 2,1,1 , 5, 0, 0ABC
.Gi H là hình chiếu vuông góc ca C lên
A
B. Ta độ đim H:
A.
45 7
,, .
33 3
H



B.
457
,, .
332
H




C.
457
,,.
333
H




D.
457
,,
333
H



.
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 367
Li gii
Chn D
Đương thng
A
B
có phương trình tham s
1
2
32
x
t
y
t
zt

Gi

là mt phng cha C và vuông góc vi AB. Phương trình

có dng:
22 0xyzD.
5CD

.
Phương trình
:
250xy z
.
Thế
,,
x
yz
theo
t
t phương trình tham s ca AB được
1
3
t
H
có ta độ:
457
,,
333
H



.
.
Câu 28: Cho đim
2,3, 5A
và mt phng
:2 3 17 0.Pxyz

Gi A’ là đim đối xng ca
A qua
P
.Ta độ đim A’ là:
A.
12 18 34
',,.
777
A



B.
12 18 34
', ,
777
A



.
C.
12 18 34
', , .
777
A




D.
12 18 34
',,.
77 7
A




Li gii
Chn A
Phương trình tham s ca đường thng
d
qua A vuông góc vi

P
:
22
33
5
x
t
y
t
zt



.Thế
,,z
x
y
theo
t
vào phương trình ca
P
được
1
14
t
.
Thế
1
14
t 
vào phương trình ca
d
được guao đim I ca
d

P
:
26 39 69
,,
14 14 14
I



.
I là trung đim ca
A
A
nên:.
12 18 34
',,
777
A



.
Câu 29: Cho ba đim
4, 4, 0 , B 2, 0, 4 , 1, 2, 1AC
.Khong cách t C đến đường thng AB là
A.
13
. B.
17
.
C.
26
. D.
19
Li gii
Chn A
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 368
5, 2,1CA 

;
1, 2, 5CB 

;
6, 4, 4AB 

.
Khong cách cn tìm bng:
,
236 169 16
13.
2944
CA CB
AB







.
Câu 30: Cho hai đường thng:
12
311 7 39
(): ,(d):
72 3 1 2 1
xyz xyz
d


và mt phng
(): 3 0xyz
. Hình chiếu ca
2
()d
theo phương ca
1
()d
lên mt
phng
()
có phương trình tng quát:
A.
24530
.
30
xy z
xyz


. B.
24530
.
30
xy z
xyz


.
C.
24530
.
30
xy z
xyz


. D.
24530
.
30
xy z
xyz


Li gii
Chn C
Vectơ ch phương ca
1
(): (7,2,3).da
Vectơ ch phương ca
2
(): (1,2,1).db
Phương trình ca mt phng cha
2
()d
và có phương ca
1
()d
có dng:
24 0xy zD .
Đim
(7,3,9)A thuc mt phng này
53D
.
Giao tuyến ca mt phng này vi mt phng
()
là hình chiếu ca
2
()d
theo phương
ca
1
()d
lên
24530
():
30
xy z
xyz


Câu 31: Hai đường thng
1
d
:
517
236
xyz


2
321
:
14 5 2
x
yz
d


ct nhau tiA.
Ta độ ca A là:
A.
3, 2,1 .A
. B.
3, 2,1 .A
. C.
3, 2, 1 .A
. D.
3, 2,1A
.
Li gii
Chn B
1
d
có dng tham s:
52
13
76
x
t
y
t
zt
;
2
d
có dng tham s:
314'
25'
12'
x
t
y
t
zt



H phương trình:
52 314'
13 25'
76 12'
tt
tt
tt



có nghim
1t
,
'0t

1
d
ct

2
d
ti
3, 2,1A
.
Câu 32: Cho hai đường thng
12
122
x
yz

và d2
2
32
():
14 4 4
x
yz
d

ct nhau tiA.
Ta độ ca A là:
A. (3, 2,1).A . B. (3, 2,1).A
. C. (3, 2, 1).A
. D. (3,2,1).A
Li gii
Chn C
LPTOÁNTHYCƯ_TPHU_SĐT:0834332133 369
D thy
12
//dd
.

1, 2, 0A
1
d
;

2
2, 2, 0
B
d
.
1, 2, 2a 
là vectơ ch phương ca
1
d
;
1, 0, 0AB

, (0, 2, 2)AB a



0,1,1n

.
Phương trình mt phng cha
1
d
2
d
có dng
0yzD

,cho qua A được
2
D

.
Vy
20yz.
| 1/376