Bài giảng: Ứng dụng tích phân xác định | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài giảng: Ứng dụng tích phân xác định | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

62 31 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

4 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
44
GII TÍCH I
BÀI 11
§4. NG D NG TÍCH PHÂN XÁC NH (TT)
II. ng d ng hình h c
1. Tính di n tích hình ph ng
a) ng cong cho trong to  Descarter
+) = y f
1
(x), = y f
2
(x), = , = x a x b
( ) ( )
= −
1 2
b
a
S f x f x dx
+)
x
=
g
1
(
y
),
x
=
g
2
(
y
),
y
=
c
,
y
=
d
( ) ( )
= −
1 2
d
c
S g y g y dy
Ví d 1. Tính di n tích gi i h n b i các ng: 
a)
y
=
x
(
x
− 1)(
x
− 2) và tr c
Ox
b)
y
=
x
2
và
=
3
3
x
y
c)
x = y
2
(y − 1) và tr
c Oy
d)
y = x
2
,
=
2
2
x
y , y = 2x
e)
x
2
+ y
2
≤ 8, y ≥
2
x
f)
= =
+
2
2
1
,
1 2
x
y y
x
b) ng cong cho d i d ng tham s 
+)
(
)
( )
=
=
x x t
y y t
,
α
≤
t
≤
β
, không kín. Khi
ó
( ) ( )
′
=
S y t x t dt
β
α
+)
(
)
( )
=
=
x x t
y y t
, 0
≤
t
≤
T
, kín, gi
i h
n mi
n n
m bên trái. Khi
ó
( ) ( ) ( ) ( )
′ ′= − =
0 0
T T
S y t x t dt x t y t dt
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
′ ′= −
0
1
2
T
x t y t x t y t dt
Ví d 2.
Tính di
n tích gi
i h
n b
i

ng cong:
a)
x y = a cost, = b t sin , 0 ≤ t ≤ π 2
b)
Cycloide: = sin ), = (1 cos ), 0 2 , 0 x a(t − t y a − t ≤ t ≤ π y ≥
c)
Astroide: = cosx a
3
t, y = b sin
3
t
d)
Cardioide: = cos2 ), = sin2 ) x a(2cost − t y a(2sint − t
e)
x = 3t
2
, = 3 y t − t
3
f)
x = t
2
− 1, = y t
3
− t
g)
Lá Descarter: =
+
3
3
1
at
x
t
, =
+
2
3
3
1
at
y
t
PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
45
c) ng cong trong to c c: = (  r r
ϕ
ϕϕ
ϕ
),
ϕ
ϕϕ
ϕ
=
α
αα
α
,
ϕ
ϕϕ
ϕ
=
β
ββ
β
Khi
ó có
( )
=
2
1
2
S r d
β
α
ϕ ϕ
Ví d 3.
Tính di
n tích gi
i h
n b
i

ng cong:
a)
r = R
b)
r = a cos2
ϕ
(hoa h
ng 4 cánh)
c)
r a = sin3
ϕ
(hoa h
ng 3 cánh)
d)
r = a(1 + cos
ϕ
) (cardioide)
e)
r
2
= a
2
sin4
ϕ
f)
r a = cos
ϕ
, = r a(cos
ϕ
+ sin
ϕ
), mi
n ch
a
i
m
; 0
2
a
g)
r = 2a cos3
ϕ
, r ≥ a
2. Tính th tích
a)
Th
tích v
t th
có ti
t di
n th
ng góc v
i vOx
i di
n tích ) là hàm liên tS(x
c,
a ≤ x ≤ b là
( )
=
b
a
V S x dx
T
ơ
ng t
n
u v
t th
có ti
t di
n th
ng góc v
i
Oy
v
i di
n tích
S
(
y
),
c
≤
y
≤
d
thì ta
có
( )
=
y
d
c
V S dy
b) V t th tròn xoay c t o ra khi quay hình = ), = 0, = , = quanh tr c  y f(x y x a x b
Ox có th tích là
( )
=
2
b
a
V y x dx
π
Tơng t khi quay hình = ), = 0, = , = quanh tr c có th tích là x x(y x y c y d Oy
( )
2
d
c
V x y dy
π
=
− Khi quay = ), = 0, = , = quanh try f(x y x a x b c t o nên v tròn xoay có th Oy t th
tích là
( )
2
b
a
V xy x dx
π
=
c) Khi quay = (r r
ϕ
), 0 ≤
α
≤
ϕ
≤
β
≤ π quanh tr o nên vc c c t t th tròn xoay có
th tích là
( )
=
3
2
sin
3
V r d
β
α
π
ϕ ϕ ϕ
Ví d 4. Tính th tích v t th
a) x
2
+ y
2
+ z
2
≤ R
2
b)
+ + ≤
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
c) Quay = sin , = 0, 0 y x y ≤ x ≤ π quanh trc Ox d) = +
2 2
4 2
x y
z , z = 1
e)
+ − =
2 2
2
1
4 9
x y
z , z z = 1, − = 2 f) x
2
+ z
2
= a
2
, y
2
+ z
2
= a
2
g) z = x
2
+ 2y
2
, x
2
+ 2y
2
+ z
2
= 6
PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
46
h) Quay m t nh p c a ng xicloide: = sin ), = (1 cos ) quanh tr c ;  x a(t − t y a − t Oy
Ox và y = 2a.
i) Khi quay hình
=
arccot
y x x
, = 0, = 0, = 1 quanh try x x
c Ox
(
π π π
− +
2 3
ln 2
4 16 2
)
k)
Khi quay hình
=
arctan
y x x
, = 0, = 0, = 1 quanh try x x
c Ox
(
π π π
− +
3 2
ln 2
16 4 2
)
3. Tính dài cung 
a)
AB
: = ), , y y(x a ≤ x ≤ b y’(x) liên t
c trên [ ; ], khi a b
ó có
( )
′
= +
2
1
b
a
s y x dx
b)
AB
: = ), = ), x x(t y y(t
α
≤ t ≤
β
, khi
ó có
( ) ( )
′ ′
= +
2 2
s x t y t dt
β
α
c)
AB
: = (r r
ϕ
),
α
≤
ϕ
≤
β
, khi
ó có
( ) ( )
′
= +
2 2
s r r d
β
α
ϕ ϕ ϕ
Ví d 5.
Tính

dài

ng cong
a)
x
2
+ y
2
= R
2
b)
y
2
= x
3
t
(0 ; 0)

n
i
m có hoành

= 4. x
c)
r = a(1 + cos
ϕ
)
d)
( )
−
= +
/ /
2
x a x a
a
y e e
e)
−
=
/ 2
cos
x
y tdt
π
f)
Tìm chu vi c
a tam giác cong gi
i h
n b
i , = ln cos và = ln sin Ox y x y x
g)
x = t + cost, = sin , 0 y t ≤ t ≤ π (
8 4 2
− )
h)
y
= arcsin
e
−x
, 0 ≤
x
≤ ln2 (
(
)
+
ln 2 3
)
i)
=
= −
6
4
1
3
1
4
2
x t
y t
, ≤ ≤
4
0 8
t
(
26
)
k)
2 cos 2
, 0
sin 2
x t t
t
y t
π
= −
≤ ≤
=
(8)
l)
sin 2
, 0
2 cos 2
x t
t
y t t
π
=
≤ ≤
= +
(8)
4. Tính di n tích m t tròn xoay
a)
y = f(x), a ≤ x ≤ b quay quanh tr
c , ) liên tOx f’(x
c:
′
= +
2
2 1
b
a
y y dx
σ π
+) T
ơ
ng t
, = ), x x(y c ≤ y ≤ d quay quanh tr
c , Oy x’(y) liên t
c:
PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
47
′
= +
2
2 1
d
c
x x dy
σ π
b)
(
)
( )
=
=
x x t
y y t
,
α
≤ t ≤
β
quay quanh tr
c Ox
( ) ( ) ( )
′ ′
= +
2 2
2
y t x t y t dt
β
α
σ π
T
ơ
ng t
, n
u quay quanh tr
c Oy
( ) ( ) ( )
′ ′
= +
2 2
2
x t x t y t dt
β
α
σ π
c)
r = (r
ϕ
),
α
≤
ϕ
≤
β
quay quanh tr
c c
c
( ) ( ) ( )
β
α
σ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
′
= +
2 2
2 sin
r r r d
Ví d 6.
Tính di
n tích tròn xoay
a)
y = tan , 0 x ≤ x ≤ /4 quay quanh trπ
c Ox
b)
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
c)
r = 2 sinR
ϕ
quay quanh tr
c c
c
d)
r = (1 + cosa
ϕ
) quay quanh tr
c c
c
e)
x = a(t − sint), = (1 cosy a − t), 0 2 quay quanh tr≤ t ≤ π
c ; Ox Oy
f)
(
)
−
= +
2
x x
a a
a
y e e , 0 ≤ x a ≤ quay quanh tr
c Ox
g)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b b
+ + =
h)
+ =
2 / 3 2 / 3 2 / 3
x y a quay quanh ; quay quanh Oy y = x
i)
Tính di
n tích m
t tròn xoay t
o b
i

ng tròn (x + 3)
2
+ y
2
= 1 quay quanh tr
c Oy
(12π
2
)

| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GII TÍCH I BÀI 11
§4. NG DNG TÍCH PHÂN XÁC NH (TT)
II. ng dng hình hc
1. Tính din tích hình phng
a) ng cong cho trong to  Descarter
+) y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b b S =
f ( x ) − f ( x )  1 2 dx a
+) x = g 1(y), x = g2(y), y = c, y = d d S = g ( y ) −  1
g2 ( y ) dy c
Ví d 1. Tính din tích gii hn bi các ng: 3 a) x
y = x(x − 1)(x − 2) và trc Ox
b) y = x2 và y = 3 2 c) x
x = y2(y − 1) và trc Oy
d) y = x2, y = , y = 2x 2 2 2 e) x 1 x
x2 + y2 ≤ 8, y ≥ f) y = , y = 2 1 + 2 x 2
b) ng cong cho di dng tham s  β
x = x ( t ) +) 
, α ≤ t ≤ β, không kín. Khi ó S =
y ( t ) x′ ( t )  dt
y = y ( t) α
x = x ( t ) +) 
, 0 ≤ t ≤ T, kín, gii hn mi n nm bên trái. Khi ó
y = y (t ) T T T 1
S = − y ( t ) x′ (t ) dt =
x ( t ) y′ ( t )   dt =
 [x (t) y′(t) − x′(t) y ( t)]dt 2 0 0 0
Ví d 2. Tính din tích gii hn bi ng cong:
a) x = a cost, y = b sint, 0 ≤ t ≤ 2π
b) Cycloide: x = a(t − sint), y = a(1 − cost), 0 ≤ t ≤ 2π, y ≥ 0
c) Astroide: x = a cos3t, y = b sin3t
d) Cardioide: x = a(2cost − cos2t), y = a(2sint − sin2t)
e) x = 3t2, y = 3t − t3
f) x = t2 − 1, y = t3 − t 2 g) 3at 3at Lá Descarter: x = , y = 1 + 3 t 1 + 3 t 44
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
c) ng cong trong to  cc: r = r(ϕ), ϕ = α, ϕ = β β 1 Khi ó có S = r (ϕ )  2 dϕ 2 α
Ví d 3. Tính din tích gii hn bi ng cong: a) r = R
b) r = a cos2ϕ (hoa hng 4 cánh)
c) r = a sin3ϕ (hoa hng 3 cánh)
d) r = a(1 + cosϕ) (cardioide)
e) r2 = a2 sin4ϕ  a
f) r = a cosϕ, r = a(cosϕ + sinϕ), min cha im  ; 0  2 
g) r = 2a cos3ϕ, r ≥ a
2. Tính th tích
a) Th tích vt th có tit din thng góc vi Ox vi din tích S(x) là hàm liên tc, b
a ≤ x ≤ b là V = S ( x )  dx a
Tơng t nu v t th có tit di n thng góc v i Oy vi din tích S(y), c ≤ y ≤ d thì ta d
có V =  S (y )dy c
b) Vt th tròn xoay c to ra khi quay hình y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trc b
Ox có th tích là V = π y (x )  2 dx a
Tơng t khi quay hình x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trc Oy có th tích là d 2
V = π x ( y ) dyc
− Khi quay y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trc Oy to nên vt th tròn xoay có th b
tích là V = 2π xy ( x ) dxa
c) Khi quay r = r(ϕ), 0 ≤ α ≤ ϕ ≤ β ≤ π quanh trc cc to nên vt th tròn xoay có β 2π th tích là V = r (ϕ )  3 sin d ϕ ϕ 3 α
Ví d 4. Tính th tích vt th 2 2 2 a) x y z
x2 + y2 + z2 ≤ R2 b) + + ≤ 1 2 2 2 a b c 2 2 c) x y
Quay y = sinx, y = 0, 0 ≤ x ≤ π quanh trc Ox d) z = + , z = 1 4 2 2 2 e) x y + − 2
z = 1, z = −1, z = 2
f) x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2 4 9
g) z = x2 + 2y 2, x2 + 2y2 + z2 = 6 45
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
h) Quay mt nhp ca ng xicloide: x = a(t − sint), y = a(1 − cost) quanh trc Oy;
Ox và y = 2a.
i) Khi quay hình y = x arccot x , y = 0, x = 0, x = 1 quanh trc Ox π 2 π 3 π ln 2 ( − + ) 4 16 2
k) Khi quay hình y = x arctan x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trc Ox π 3 π 2 π ln 2 ( − + ) 16 4 2
3. Tính  dài cung b a)
AB : y = y(x), a ≤ x ≤ b, y’(x) liên tc trên [a ; b], khi ó có s = + y ′ ( )  2 1 x dx a β b)
AB : x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, khi ó có = ′ ( ) + ′ ( )  2 2 s x t y t dt α β c)
AB : r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β, khi ó có = (ϕ ) + ′ (ϕ )  2 2 s r r dϕ α
Ví d 5. Tính  dài ng cong
a) x2 + y2 = R2
b) y2 = x 3 t (0 ; 0) n im có hoành  x = 4. x c) a
r = a(1 + cosϕ) d) y ( x / a − = e + x / a e ) e) y =  cos tdt 2 −π / 2
f) Tìm chu vi ca tam giác cong gii hn bi Ox, y = ln cosx và y = ln sinx
g) x = t + cost, y = sint, 0 ≤ t ≤ π ( 8 − 4 2 )
h) y = arcsin e−x, 0 ≤ x ≤ ln2 ( ln( 2 + 3 ) )  1 x =  6 ti) 3 26  , ≤ t ≤ 4 0 8 ( )  1 3 y = 4 − 4  t  2
x = 2t − cos 2t k)
, 0 ≤ t ≤ π (8) y = sin 2tx = sin 2t l)
, 0 ≤ t ≤ π (8)
y = 2t + cos 2t
4. Tính din tích mt tròn xoay
a) y = f(x), a ≤ x ≤ b quay quanh trc Ox, f’(x) liên tc: b σ = π y + y ′  2 2 1 dx a
+) Tơng t, x = x(y), c ≤ y ≤ d quay quanh trc Oy, x’(y) liên t c: 46
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn d σ = π x + x ′  2 2 1 dy c
x = x (t ) b)
, α ≤ t ≤ β quay quanh trc Ox
y = y (t ) β σ = π ( ) ′ ( ) + ′ ( )  2 2 2 y t x t y t dt α
Tơng t, nu quay quanh trc Oy β σ = π ( ) ′ ( ) + ′ ( )  2 2 2 x t x t y t dt α
c) r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β quay quanh trc cc β σ = π r (ϕ ) ϕ 2 r (ϕ ) + r ′2 2 sin (ϕ )dϕ α
Ví d 6. Tính din tích tròn xoay
a) y = tanx, 0 ≤ x ≤ π/4 quay quanh trc Ox
b) x2 + y2 + z2 = R2
c) r = 2R sinϕ quay quanh trc cc
d) r = a(1 + cosϕ) quay quanh trc cc
e) x = a(t − sint), y = a(1 − cost), 0 ≤ t ≤ 2π quay quanh trc Ox ; Oy x x f) a y ( − = a e + a e
), 0 ≤ x ≤ a quay quanh trc Ox 2 2 2 2 g) x y z + + = 1 2 2 2 a b b
h) 2 / 3 + 2 / 3 = 2 / 3 x y a
quay quanh Oy; quay quanh y = x
i) Tính din tích mt tròn xoay to bi ng tròn (x + 3)2 + y2 = 1 quay quanh trc Oy (12π2)                           47