Bài giảng: Ứng dụng tích phân xác định | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GII TÍCH I BÀI 11
§4. NG DNG TÍCH PHÂN XÁC NH (TT)
II. ng dng hình hc
1. Tính din tích hình phng
a) ng cong cho trong to  Descarter
+) y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b b S =
f ( x ) − f ( x )  1 2 dx a
+) x = g 1(y), x = g2(y), y = c, y = d d S = g ( y ) −  1
g2 ( y ) dy c
Ví d 1. Tính din tích gii hn bi các ng: 3 a) x
y = x(x − 1)(x − 2) và trc Ox
b) y = x2 và y = 3 2 c) x
x = y2(y − 1) và trc Oy
d) y = x2, y = , y = 2x 2 2 2 e) x 1 x
x2 + y2 ≤ 8, y ≥ f) y = , y = 2 1 + 2 x 2
b) ng cong cho di dng tham s  β
x = x ( t ) +) 
, α ≤ t ≤ β, không kín. Khi ó S =
y ( t ) x′ ( t )  dt
 y = y ( t) α
 x = x ( t ) +) 
, 0 ≤ t ≤ T, kín, gii hn mi n nm bên trái. Khi ó
 y = y (t ) T T T 1
S = − y ( t ) x′ (t ) dt =
x ( t ) y′ ( t )   dt =
 [x (t) y′(t) − x′(t) y ( t)]dt 2 0 0 0
Ví d 2. Tính din tích gii hn bi ng cong:
a) x = a cost, y = b sint, 0 ≤ t ≤ 2π
b) Cycloide: x = a(t − sint), y = a(1 − cost), 0 ≤ t ≤ 2π, y ≥ 0
c) Astroide: x = a cos3t, y = b sin3t
d) Cardioide: x = a(2cost − cos2t), y = a(2sint − sin2t)
e) x = 3t2, y = 3t − t3
f) x = t2 − 1, y = t3 − t 2 g) 3at 3at Lá Descarter: x = , y = 1 + 3 t 1 + 3 t 44
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
c) ng cong trong to  cc: r = r(ϕ), ϕ = α, ϕ = β β 1 Khi ó có S = r (ϕ )  2 dϕ 2 α
Ví d 3. Tính din tích gii hn bi ng cong: a) r = R
b) r = a cos2ϕ (hoa hng 4 cánh)
c) r = a sin3ϕ (hoa hng 3 cánh)
d) r = a(1 + cosϕ) (cardioide)
e) r2 = a2 sin4ϕ  a 
f) r = a cosϕ, r = a(cosϕ + sinϕ), min cha im  ; 0  2 
g) r = 2a cos3ϕ, r ≥ a
2. Tính th tích
a) Th tích vt th có tit din thng góc vi Ox vi din tích S(x) là hàm liên tc, b
a ≤ x ≤ b là V = S ( x )  dx a
Tơng t nu v t th có tit di n thng góc v i Oy vi din tích S(y), c ≤ y ≤ d thì ta d
có V =  S (y )dy c
b) Vt th tròn xoay c to ra khi quay hình y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trc b
Ox có th tích là V = π y (x )  2 dx a
Tơng t khi quay hình x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trc Oy có th tích là d 2
V = π x ( y ) dy  c
− Khi quay y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trc Oy to nên vt th tròn xoay có th b
tích là V = 2π xy ( x ) dx  a
c) Khi quay r = r(ϕ), 0 ≤ α ≤ ϕ ≤ β ≤ π quanh trc cc to nên vt th tròn xoay có β 2π th tích là V = r (ϕ )  3 sin d ϕ ϕ 3 α
Ví d 4. Tính th tích vt th 2 2 2 a) x y z
x2 + y2 + z2 ≤ R2 b) + + ≤ 1 2 2 2 a b c 2 2 c) x y
Quay y = sinx, y = 0, 0 ≤ x ≤ π quanh trc Ox d) z = + , z = 1 4 2 2 2 e) x y + − 2
z = 1, z = −1, z = 2
f) x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2 4 9
g) z = x2 + 2y 2, x2 + 2y2 + z2 = 6 45
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
h) Quay mt nhp ca ng xicloide: x = a(t − sint), y = a(1 − cost) quanh trc Oy;
Ox và y = 2a.
i) Khi quay hình y = x arccot x , y = 0, x = 0, x = 1 quanh trc Ox π 2 π 3 π ln 2 ( − + ) 4 16 2
k) Khi quay hình y = x arctan x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trc Ox π 3 π 2 π ln 2 ( − + ) 16 4 2
3. Tính  dài cung b a) 
AB : y = y(x), a ≤ x ≤ b, y’(x) liên tc trên [a ; b], khi ó có s = + y ′ ( )  2 1 x dx a β b) 
AB : x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, khi ó có = ′ ( ) + ′ ( )  2 2 s x t y t dt α β c) 
AB : r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β, khi ó có = (ϕ ) + ′ (ϕ )  2 2 s r r dϕ α
Ví d 5. Tính  dài ng cong
a) x2 + y2 = R2
b) y2 = x 3 t (0 ; 0) n im có hoành  x = 4. x c) a
r = a(1 + cosϕ) d) y ( x / a − = e + x / a e ) e) y =  cos tdt 2 −π / 2
f) Tìm chu vi ca tam giác cong gii hn bi Ox, y = ln cosx và y = ln sinx
g) x = t + cost, y = sint, 0 ≤ t ≤ π ( 8 − 4 2 )
h) y = arcsin e−x, 0 ≤ x ≤ ln2 ( ln( 2 + 3 ) )  1 x =  6 t  i) 3 26  , ≤ t ≤ 4 0 8 ( )  1 3 y = 4 − 4  t  2
 x = 2t − cos 2t k) 
, 0 ≤ t ≤ π (8)  y = sin 2t  x = sin 2t l) 
, 0 ≤ t ≤ π (8)
 y = 2t + cos 2t
4. Tính din tích mt tròn xoay
a) y = f(x), a ≤ x ≤ b quay quanh trc Ox, f’(x) liên tc: b σ = π y + y ′  2 2 1 dx a
+) Tơng t, x = x(y), c ≤ y ≤ d quay quanh trc Oy, x’(y) liên t c: 46
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn d σ = π x + x ′  2 2 1 dy c
 x = x (t ) b) 
, α ≤ t ≤ β quay quanh trc Ox
 y = y (t ) β σ = π ( ) ′ ( ) + ′ ( )  2 2 2 y t x t y t dt α
Tơng t, nu quay quanh trc Oy β σ = π ( ) ′ ( ) + ′ ( )  2 2 2 x t x t y t dt α
c) r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β quay quanh trc cc β σ = π r (ϕ ) ϕ 2 r (ϕ ) + r ′2 2 sin (ϕ )dϕ α
Ví d 6. Tính din tích tròn xoay
a) y = tanx, 0 ≤ x ≤ π/4 quay quanh trc Ox
b) x2 + y2 + z2 = R2
c) r = 2R sinϕ quay quanh trc cc
d) r = a(1 + cosϕ) quay quanh trc cc
e) x = a(t − sint), y = a(1 − cost), 0 ≤ t ≤ 2π quay quanh trc Ox ; Oy x x f) a y ( − = a e + a e
), 0 ≤ x ≤ a quay quanh trc Ox 2 2 2 2 g) x y z + + = 1 2 2 2 a b b
h) 2 / 3 + 2 / 3 = 2 / 3 x y a
quay quanh Oy; quay quanh y = x
i) Tính din tích mt tròn xoay to bi ng tròn (x + 3)2 + y2 = 1 quay quanh trc Oy (12π2)                           47