Bài giảng về toán học lớp 12 - Chương 1 Đại số và giải tích

Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất
I. Lí thuyết tổng hợp.
- Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng. a + b ab  a  ,b  0 2 + Đẳ a b ng thức ab =
xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2 - Các hệ quả:
+ Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. 1 a +  2 , a   0 a
+ Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích (xy) lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
+ Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. II. Các công thức. a + b ab  a  ,b  0 2 a + b ab =  a = b a  ,b  0 2 n
a + a + ... + a  n a a ...a ( a là số dương với i = 1, 2,…,n) 1 2 n 1 2 n i 1 a +  2 , a   0 a x
 , y  0 , nếu(x + y) không đổi thì (x.y)  x = y . max x
 , y  0 , nếu(x.y) không đổi thì (x + y)  x = y. min
III. Ví dụ minh họa.
Bài 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn 2 2
a + b = 2 . Chứng minh rằng:  a b  a b  + +  4    . 2 2  b a  b a  Lời giải: b a b Khi a, b là số dương a   0 ,  0,  0,  0 b a 2 b 2 a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a b a b +  2. . = 2 b a b a a b a b 2 +  2. . = 2 2 2 2 b a b a ab  a b  a b  4  + +     (1) 2 2  b a  b a  ab Mặt khác ta có: 2 2 2 2 2 = a + b  2 a b = 2ab  ab 1 (2)  a b  a b  Từ (1) và (2) ta có: + +  4   
(điều cần phải chứng minh) 2 2  b a  b a 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Bài 2: Cho a, b, c, d là số dương. Chứng minh rằng:  a b c d  + + + a + b c + d  16   . 3 3 3 3 ( )( )  b c d a  Lời giải: a b c d
Vì a, b, c, d là số dương nên ta có:  0 ,  0 ,  0 ,  0 3 b 3 c 3 d 3 a
Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: a b c d a b c d 4 + + +  4. . . . 3 3 3 3 3 3 3 3 b c d a b c d a a b c d 4  + + +  3 3 3 3 b c d a abcd
Lại có, do a, b, c, d dương nên: a + b  2 ab c + d  2 cd  a b c d  4 + + + a + b c + d  .2 ab.2 cd   3 3 3 3 ( )( )  b c d a  abcd  a b c d   + + + a + b c + d  16  
(điều cần phải chứng minh). 3 3 3 3 ( )( )  b c d a 
Bài 3: Cho hai số dương c, d. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các
biểu thức trong các trường hợp sau:
a) c + d = 6 luôn không đổi, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (c + d).cd ; + b) c.d = 5 luôn không đổ c d
i, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = . 2 2 c d Lời giải: a)
Ta có: A = (c + d).cd = 6cd vì (c + d) = 6 luôn không đổi.
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có: A  cd  c = d max ( )max c = d Khi đó:   c = d = 3 c + d = 6  A = 6.3.3 = 54 max
Vậy giá trị lớn nhất của A là 54 khi c = d = 3. b) c + d c + d c + d Ta có: B = = =
vì c.d = 5 luôn không đổi. 2 2 2 c d 5 25
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có: B  (c + d)  c = d min min c = d Khi đó:   c = d = 5 cd = 5 5 + 5 2 5  B = = min 25 25 2 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là khi c = d = 5 . 25
IV. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn 2 2 2
a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: 2 2 2 a b + b c + c a  3. ab bc ac
Bài 2: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng + + . c a b