Bài giảng về Ứng dụng hình học của Tích phân xác định | Đại học Bách khoa Hà Nội

lOMoARcPSD|36442750
Ứng dụng tích phân xác định
I. Tính diện tích hình phẳng
1. Đường cong cho trong hệ tọa độ Descarter Sơ đồ Tổng Tích phân:
i. Chia [a; b] thành n phần a ≡ x0 < x1 < ⋯ < xn ≡ b
ii. Khi đó diện tích S bằng tổng n hình thang cong Si
iii. Lấy xấp xỉ Sk ≈ Shình chữ nhật = dài ∗ rộng = |f(ck) − g(ck)|. ∆x 끫뢞
iv. 끫뢌 = ∫ |끫뢦(끫룊) − 끫뢨(끫룊)|끫뢢끫룊 끫뢜
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
• 끫료 = 끫뢦(끫룊), 끫료 = 끫뢨(끫룊), 끫뢜 ≤ 끫룊 ≤ b: 끫뢞
� |끫뢦(끫룊) − 끫뢨(끫룊)| 끫뢢끫룊 끫뢜
• 끫룊 = 끫뢦(끫료), 끫룊 = 끫뢨(끫료), 끫뢠 ≤ 끫료 ≤ 끫뢢: 끫뢢
� |끫뢦(끫료) − 끫뢨(끫료)| 끫뢢끫료 끫뢠 2. Đường cong tham số  �끫룊 = 끫룊(끫룂) 끫료
, 끫뢜 ≤ 끫룂 ≤ 끫뢞: = 끫료(끫룂)끫뢞 끫뢞
� |끫료(끫룂)끫룊′(끫룂)| 끫뢢끫룂 = � |끫룊(끫룂)끫료′(끫룂)| 끫뢢끫룂 끫뢜 끫뢜
 Trường hợp đường cong kín, không có khoảng chặn t,
ta tìm t=a, t=b sao cho (x(a),y(a))=(x(b),y(b))
3. Đường cong trong hệ tọa độ cực Sơ đồ Tổng Tích phân:
i. Chia [α; β] thành n phần α ≡ φ ≡
0 < φ1< φ2<…< φn β
ii. Khi đó S bằng diện tích của n hình quạt gần tròn Si 1
iii. Lấy xấp xỉ Sk ≈ Squạt tròn = r2(φ 2 k)∆φ 1 끫뷺
iv. 끫뢌 = ∫ 끫뢾2(φ)dφ 2 끫뷸
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 r=r(φ), α ≤ φ ≤ β 1 끫뷸
� 끫뢾2(끫븢)끫뢢끫븢 2 끫뷺 II. Tính thể tích
1. Thể tích vật thể với mặt cắt ngang đã biết Sơ đồ Tổng tích phân
i. Chia [a;b] thành n phần x ≡ ≡
0 aii. Khi đó A bằng tổng thể tích của n lát cắt Ai iii. Lấy xấp xỉ A ≈V ).∆x k
trụ=Diện tích đáy.Chiều cao= A(xk k 끫뢞
iv. A=∫ 끫롨(끫룊)끫뢢끫룊 끫뢜
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 b � A(x)dx a
trong đó hàm liên tục A(x) là diện tích của thiết diện thẳng
góc với trục Ox của vật thể
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
2. Thể tích vật thể tròn xoay a) Disk/Washer Method Sơ đồ Tổng Tích phân
i. Chia [a;b] thành n phần x ≡ ≡
0 aii. V bằng tổng thể tích của n lát cắt Vi iii. Lấy xấp xỉ V ≈V )∆x k trụ=πr2h=πr2(ck k 끫뢞
iv. V=끫븖 ∫ 끫뢊2(끫룊)끫뢢끫룊 끫뢜
, R(x) là khoảng cách từ vỏ hình trụ đến trục quay
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
• 끫료 = 끫뢦(끫룊), 끫료 = 0 , 끫뢜 ≤ 끫룊 ≤ 끫뢞, 끫뢼끫뢼끫뢜끫료 끫뢼끫뢼끫뢜끫뢼ℎ 끫뢄끫룊 끫뢞
끫븖 � 끫뢦2(끫룊)끫뢢끫룊 끫뢜
• 끫룊 = 끫뢨(끫료), 끫룊 = 0, 끫뢠 ≤ 끫료 ≤ 끫뢢, 끫뢼끫뢼끫뢜끫료 끫뢼끫뢼끫뢜끫뢼ℎ 끫뢄끫료 끫뢢
끫븖 � 끫뢨2(끫료)끫뢢끫료 끫뢠 b) Shell Method
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Sơ đồ Tổng Tích phân:
i. Chia [a;b] thành n phần x ≡ ≡ 0 a
ii. Khi đó V bằng tổng thể tích n lớp vỏ hình trụ
iii. Thể tích của vỏ hình trụ gấp 2πrh lần độ dày nên
끫롨끫뢰 ≈ 2끫븖끫뢊(끫뢠끫뢰)ℎ(끫뢠끫뢰)∆끫룊끫뢰 끫뢞
iv. 끫롨 = 2끫븖 ∫ 끫뢊(끫룊)ℎ(끫룊)끫뢢끫룊 끫뢜
trong đó: R(x) là khoảng cách từ trục quay đến vỏ hình trụ
h(x) là chiều cao của hình trụ
• 끫료 = 끫뢦(끫룊), 끫료 = 0, 끫뢜 ≤ 끫룊 ≤ 끫뢞, 끫뢼끫뢼끫뢜끫료 끫뢼끫뢼끫뢜끫뢼ℎ 끫뢄끫료 끫뢞
2끫븖 � 끫룊끫뢦(끫룊)끫뢢끫룊 끫뢜
• 끫룊 = 끫뢨(끫료), 끫룊 = 0, 끫뢠 ≤ 끫료 ≤ 끫뢢, 끫뢼끫뢼끫뢜끫료 끫뢼끫뢼끫뢜끫뢼ℎ 끫뢄끫룊 끫뢢
2끫븖 � 끫료끫뢨(끫료)끫뢢끫료 끫뢠
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 c) Đường cong tham số • �끫룊 = 끫룊(끫룂) 끫료
, 끫뢜 ≤ 끫룂 ≤ 끫뢞 끫뢼끫뢼끫뢜끫료 끫뢼끫뢼끫뢜끫뢼ℎ 끫뢄끫룊 = 끫료(끫룂) 끫뢞
� |끫료2(끫룂)끫룊′(끫룂)| 끫뢢끫룂 끫뢜 • �끫룊 = 끫룊(끫룂) 끫료
, 끫뢜 ≤ 끫룂 ≤ 끫뢞 끫뢼끫뢼끫뢜끫료 끫뢼끫뢼끫뢜끫뢼ℎ 끫뢄끫료 = 끫료(끫룂) 끫뢞
� |끫룊2(끫룂)끫료′(끫룂)| 끫뢢끫룂 끫뢜
d) Đường cong trong hệ tọa độ cực Sơ đồ Tổng Tích phân:
 xét cố định trên ∆φk sử dụng Shell Mothod ta có ∆끫뢒 2
끫뢰 = 2끫븖끫뢾2 sin(끫븢끫뢰) ∆끫뢾∆끫븢 => 끫뢒끫뢰 = 끫븖끫뢾3sin (끫븢 3 끫뢰)∆끫븢 끫뢞
=> 끫뢒 = ∫ 2 끫븖끫뢾3 sin(끫븢) 끫뢢끫븢 끫뢜 3
• 끫뢾 = 끫뢾(끫븢), 끫뷸 ≤ 끫븢 ≤ 끫뷺 끫뢼끫뢼끫뢜끫료 끫뢼끫뢼끫뢜끫뢼ℎ 끫룂끫뢾ụ끫뢠 끫뢠ự끫뢠 2끫븖 끫뷺
� 끫뢾3(끫븢)끫룀끫룀끫뢼끫븢끫뢢끫븢 3 끫뷸 • 끫뢾 끫븖
= 끫뢾(끫븢), 끫뷸 ≤ 끫븢 ≤ 끫뷺 끫뢼끫뢼끫뢜끫료 끫뢼끫뢼끫뢜끫뢼ℎ 끫븢 = 2 2끫븖 끫뷺
� 끫뢾3(끫븢)끫뢠끫뢠끫룀끫븢끫뢢끫븢 3 끫뷸
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
III. Tính độ dài cung phẳng
1. Đường cong trong hệ tọa độ Descartes Sơ đồ Vi phân i. Lấy x∈[a;b] lấy x+dx ii. dy=y(x+dx)-y(x) 2
iii. dL=�(끫뢢끫룊)2 + (끫뢢끫료)2=�1 + �끫뢢끫뢢� 끫뢢끫룊 끫뢢끫뢢 끫뢞
iv. L=∫ �1 + �끫료′(끫룊)�2끫뢢끫룊 끫뢜
• 끫료 = 끫료(끫룊), 끫뢜 ≤ 끫룊 ≤ 끫뢞, 끫료′(끫룊) 끫뢲끫룀ê끫뢼 끫룂ụ끫뢠 끫뢞
� �1 + �끫료′(끫룊)�2끫뢢끫룊 끫뢜
• 끫룊 = 끫뢨(끫료), 끫뢠 ≤ 끫료 ≤ 끫뢢, 끫룊′(끫료) 끫뢲끫룀ê끫뢼 끫룂ụ끫뢠 끫뢞
� �1 + �끫룊′(끫료)�2끫뢢끫료 끫뢜
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 2. �끫룊 = 끫룊(끫룂) 끫료 , a ≤ t ≤ b = 끫료(끫룂) 끫뢞
� �[끫룊′(끫룂)]2 + [끫료′(끫룂)]2 끫뢢끫룂 끫뢜
3. r=r(φ), a ≤ φ ≤ b 끫뢞
� �r2(φ) + [r′(φ)]2 끫뢢φ 끫뢜
IV. Tính diện tích mặt tròn xoay
1. Đường cong trong hệ tọa độ Descartes Sơ đồ Vi phân i. Lấy x∈[a;b] lấy x+dx 2
ii. ds = 2π. r(ck). dL = 2πr(ck)�1 + �끫뢢끫뢢� 끫뢢끫룊 끫뢢끫뢢 끫뢞
iii. 끫룀 = ∫ 2끫븖끫뢾(끫룊)�1 + �끫료′(끫룊)�2끫뢢끫룊 끫뢜
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
• y=y(x), a ≤ x ≤ b, y’(x) liên tục, quay quanh Ox 끫뢞
2끫븖 � 끫료(끫룊)�1 + [끫료′(끫룊)]2 끫뢢끫룊 끫뢜
• y=y(x), a ≤ x ≤ b, y’(x) liên tục, quay quanh Oy 끫뢞
2끫븖 � 끫룊�1 + [끫료′(끫룊)]2 끫뢢끫룊 끫뢜
• x=x(y), c ≤ y ≤ d, x’(y) liên tục, quay quanh Oy 끫뢞
2끫븖 � 끫룊(끫료)�1 + [끫룊′(끫료)]2 끫뢢끫료 끫뢜
• x=x(y), c ≤ y ≤ d, x’(y) liên tục, quay quanh Ox 끫뢞
2끫븖 � 끫료�1 + [끫룊′(끫료)]2 끫뢢끫료 끫뢜 2. �끫룊 = 끫룊(끫룂) 끫료 , a ≤ t ≤ b = 끫료(끫룂) • Quay quanh Ox 끫뢞
2끫븖 � 끫료(끫룂)�[끫룊′(끫룂)]2 + [끫료′(끫룂)]2 끫뢢끫룂 끫뢜 • Quay quanh Oy 끫뢞
2끫븖 � 끫룊(끫룂)�[끫룊′(끫룂)]2 + [끫료′(끫룂)]2 끫뢢끫룂 끫뢜
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
3. Đường cong trong hệ tọa độ cực
• r=r(φ)≥0, sinφ≥0, a≤φ≤b, quay quanh trục cực 끫뢞
2끫븖 � 끫뢾(끫븢)끫룀끫룀끫뢼끫븢�r2(φ) + [r′(φ)]2 끫뢢φ 끫뢜
• r=r(φ)≥0, sinφ≥0, a≤φ≤b, quay quanh 끫븢 끫븖 = 2 끫뢞
2끫븖 � 끫뢾(끫븢)끫뢠끫뢠끫룀끫븢�r2(φ) + [r′(φ)]2 끫뢢φ 끫뢜
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)