Bài tập Chương 1 môn Xác suất thống kê | Trường Đại học Kinh tế Quốc dân

Bài mẫu: Ví d ụ 1. Một h p ộ g m
ồ 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. y
Lấ ngẫu nhiên 2 quả. Tìm xác suất các biến c ố sau đây: - Lấy được 2 quả đen
- Lấy được 2 quả khác màu
- Lấy được ít nhất 1 quả đen Ví d
ụ 2. Có 3 khách hàng không quen biết nhau cùng đi mua hàng ở một trung tâm thương
mại có 5 cửa hàng lớn. Giả sử khách hàng chọn cửa hàng 1 cách ngẫu nhiên và chỉ chọn 1 cửa
hàng để mua sắm. Tính xác suất các biến cố sau đây:
- Cả ba người cùng vào 1 cửa hàng
- Ba khách vào ba cửa hàng khác nhau
- Có 2 người vào cửa hàng 1
- Có 2 người cùng vào 1 cửa hàng Ví d 3. ụ Cu c chi ộ ến tivi
Điều tra sở thích xem tivi của các cặp vợ chồng cho thấy có 30% các bà vợ thườ ng xem
chương trình thể thao, 50% các ông chồng thường xem chương trình thể thao. Tuy nhiên nếu vợ
xem cùng thì sẽ có 60% các ông ch ng ồ
cùng xem. Lấy ngẫu nhiên m t ộ cặp vợ ch ng.Tính ồ xác suất: - Cả hai cùng xem
- Có ít nhất một người xem - Không có ai xem - Nếu ch ng xem thì v ồ ợ xem cùng
- Nếu ch ng không xem thì v ồ ợ vẫn xem Ví d 4 ụ . Hai thùng hàng
Hai thùng hàng cơ cấu các quả cầu như sau: T1 (6 trắng, 4 đỏ), T2 (5 trắng, 5 đỏ). Người ta
lấy ngẫu nhiên 2 quả từ thùng 1 b sang thùng 2 r ỏ i t
ồ ừ đó lấy ra 1 quả ở thùng 2.
- Tìm xác suất để lấy được quả . đỏ
- Giả sử lấy được quả đỏ Tìm xác .
suất quả đó thuộc thùng 1?
- Giả sử lấy được quả trắng. Tính xác suất hai quả b
ỏ sang thùng 2 đều là hai quả đỏ? Bài tập tính xác su
ất theo định nghĩa cổ điển Bài 1: M t
ộ lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% h c ọ tiếng Pháp, 30% h c ọ tiếng Đức, 20% h c
ọ tiếng Anh và tiếng Pháp, 15% h c
ọ tiếng Anh và tiếng Đức, 10% h c ọ tiếng Pháp và
tiếng Đức, 5% học cả 3 ngoại ngữ. Lấy ngẫu nhiên một sinh viên để hỏi, tính xác suất:
- Sinh viên đó học ít nhất 1 trong 3 ngoại ngữ trên. - Chỉ h c ti ọ ếng Anh và tiếng Đức - Chỉ h c ti ọ ếng Pháp Bài 2: S
ố lượng nhân viên của công ty A được phân loại theo độ tu i và gi ổ ới tính như sau: Giới tính Độ tuổi Nam Nữ Dưới 30 120 170 30-40 260 420 Trên 40 400 230 Tìm xác suất để ph ng v ỏ
ấn một nhận viên của công ty đó thì được:
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Page 1
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Nhân viên từ 40 tu i tr ổ ở xu ng ố
- Nhân viên nam trên 40 tu i ổ - Nữ nhân viên
Bài 3: Trong bữa tiệc ở xứ sở thần tiên, 5 nàng công chúa n i
ổ tiếng Snow white, Cinderela,
Rapulzen, Merida, Tiana ng i ng ồ ẫu nhiên vào m t chi ộ
ếc ghế dài. Tính xác suất để: - Rapulzen ng i chính gi ồ ữa
- Snow white và Tiana ngồi ở 2 đầu ghế Bài 4: Ba chị em L
ọ Lem thay nhau rửa bát. Giả sử 3 người này đều “khéo léo” như nhau.
Trong 1 tháng bà mẹ kiểm tra lại thấy có 4 cái bát bị vỡ. Tính xác suất: - L
ọ Lem đánh vỡ 1 cái, chị cả 3 cái đánh vỡ
- 1 trong 3 người đánh vỡ 3 chén
- 1 trong 3 người đánh vỡ 4 chén
Bài 5: Cho hai thùng ký hiệu T1 có 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen và T2 có 5 quả cầu trắng,
5 quả cầu đen. Kích thước các quả cầu đều như nhau. Từ T1 lấy ra 2 quả và từ T2 lấy ra 1 quả.
Tìm xác suất các biến cố sau đây:
- Cả 3 quả lấy ra đều là đen
- Trong 3 quả lấy ra có đúng 2 quả đen
- Trong 3 quả lấy ra có ít nhất 1 quả đen
Bài 6: Chia đôi số quả cần có trong thùng T(8T,6Đ) thành 2 phần đều nhau. Tìm xác suất: - Cả hai phần có s qu ố ả Đ như nhau - Có m t ph ộ
ần tất cả đều là quả Đ
Bài 7: Chiếc hộp có các viên bi như sau: 6T, 4D, 10X. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất: - Lấy được 1 viên bi D
- Lấy được ít nhất 2 bi cùng màu
Bài 8: Chiếc hộp có các viên bi như sau: 6T, 4D, 10X. Lấy ngẫu nhiên ra 4 viên bi. Tính xác suất:
- Lấy được 2 bi D và 2 bi T
- Lấy được đủ cả ba màu
Bài 9: Chiếc hộp có các viên bi như sau: 6T, 4D, 5X. y
Lấ ngẫu nhiên ra 7 viên bi. Tính xác suất: - Lấy được 2 màu
- Lấy được m i màu có ít nh ỗ ất m t bi=l ộ ấy được 3 màu
Bài 10: Tung 2 con xúc xắc đồng thời. Tính các xác suất sau: - T ng s ổ
ố chấm 2 mặt xúc xắc bằng 7 - T ng s ổ ố chấm không nh ỏ hơn 10 - T ng s ổ ố chấm lẻ
- Có nhiều nhất 1 mặt 6 chấm
- Được xuất ngựa (có 1 mặt 6 chấm)
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Page 2
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài tập kẻ bảng loại 1 (định lí c ng, nhân) ộ
Bài 1. Một người làm hai bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,6. Nếu làm
đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là
0,9 nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả
năng đúng bài thứ hai còn 0,3. Tính xác suất: - t m Làm đúng ít nhấ t bài ộ - Làm đúng chỉ 1 bài
- Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2
- Làm đúng cả hai, biết rằng có làm đúng ít nhất m t bài ộ
Bài 2. Một người đấu thầu hai dự án. Xác suất trúng thầu dự án thứ nhất và thứ hai lần lượt
là 0,5 và 0,4; xác suất trúng thầu cả hai là 0,1. Viết biến c , l
ố ập bảng, và tính xác suất:
- Trúng thầu ở ít nhất m t d ộ ự án
- Trúng thầu ở đúng một dự án
- Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng trúng thầu dự án thứ nhất
- Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng không trúng thầu ở dự án thứ nhất
Bài 3: Hai công ty A và B cùng kinh doanh m t
ộ mặt hàng. Xác suất để công ty A thua l ỗ là
0,2 còn công ty B có xác suất thua l
ỗ là 0,4. Tuy nhiên trên thực tế khả năng hai công ty cùng
thua lỗ chỉ là 0,1. Tìm xác suất các biến c ố sau: chỉ có m t ộ công ty thua l , ỗ có ít nhất 1 công ty làm ăn không thua lỗ.
Bài 4: Hai người cùng bắn vào m t
ộ mục tiêu, khả năng chỉ có một người bắn trúng là 0,38.
Tìm xác suất bắn trúng của người 1 biết rằng xác suất bắn trúng của người 2 là 0,8. Bài 5: Tại m t
ộ siêu thị, hệ thống phun nước chữa cháy được lắp với hệ thống báo đ ng ộ hỏa
hoạn. Khả năng hệ thống phun nước bị hỏng là 0,1; hệ thống báo động hỏng với xác suất 0,1;
còn khả năng cả hai cùng hỏng chỉ là 0,04. Tình xác suất:
- Có ít nhất 1 hệ th ng ho ố ạt động bình thường - Cả hai hệ th ng ho ố ạt động bình thường - Hệ th ng phun ố nước h ng trong khi h ỏ ệ thống báo độ ạt động bình thườ ng ho ng
- Chỉ hệ thống báo động hỏng
Bài tập kẻ bảng loại 2 (CT Xác suất đầy đủ và Bayes)
Bài 1: Cho hai thùng T1(6 trắng, 4 đỏ) và T2( 5 trắng, 5 đỏ). Lấy ngẫu nhiên 2 quả từ T1 và 1
quả từ T2. Sau đó chọn ngẫu nhiên 1 quả từ 3 quả trên. Tìm xác suất chọn được quả đỏ.
- Giả sử chọn được quả r đỏ i.
ồ Tìm xác suất cả ba quả lấy ra đều là quả . đỏ
- Giả sử chọn được quả r đỏ i.
ồ Tìm xác suất quả lấy ra được là từ thùng 1. Bài 2: T
ỷ lệ người bị bệnh Ebola ở Nigeria là 5%. Việc chẩn đoán được tiến hành qua hai
bước là chẩn đoán lâm sàng và xét nghiệm toàn bộ. Nếu chẩn đoán lâm sàng kết luận có bệnh thì
mới xét nghiệm toàn bộ. Khả năng chẩn đoán lâm sàng đúng với người bị bệnh là 80% và sai với người không bị ệ
b nh là 3%. Khả năng kết luận này sai là bao nhiêu? (Rủi ro khi bị chẩn đoán nhầm là bao nhiêu?) Bài 3: Chuyện Tấm Cám
Để không cho Tấm tham ự d lễ ộ
h i nhà vua tổ chức, mẹ con nhà Cám bèn nghĩ ra cách trộn các
hạt thóc lép và các hạt thóc chắc với nhau. Sau đó bắt Tấm phân loại 2 loại ra riêng nhau. Bao
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Page 3
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai 30kg và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép. Tr n c ộ
ả ba bao lúa vào bao thứ tư rồi b c ra 1 h ố ạt.
- Tính xác suất hạt lúa b c ra ố là hạt lép.
- Giả sử hạt lúa b c ra không lép, tính xác su ố
ất hạt lúa này là c a ba ủ o thứ 2.
(Lưu ý không được dùng nước để phân loại vì hạt lép sẽ ổi lên trên, cũng n
không được nhờ vả ai,
cũng không được khóc lóc để Bụt hiện lên giúp nhá. Thế này thì có mà tập xác định mút chỉ mới được dự lễ ộ h i.)
Bài 4: Công chúa và m phù th ụ ủ y
Trên chiếc bàn giữa căn phòng, mụ phù thủy đã chuẩn bị sẵn 2 gi
ỏ rất lớn những hạt dẻ mà nàng
công chúa yêu thích. Giỏ thứ nhất có 30% là những hạt dẻ màu đỏ, 20% màu vàng và 50 % màu đen; trong số đó mụ phù thuỷ đã
tẩm thuốc độc 50% hạt dẻ màu
đỏ, 70% hạt dẻ màu vàng và
40% hạt dẻ màu đen. Đối với giỏ thứ hai các t
ỷ lệ tương ứng là 40%, 30%, 30% và 20%, 50%, 60%.
Công chúa rất mừng rỡ khi lại gần chiếc bàn và nàng bắt đầu ch n nh ọ ững hạt dẻ.
1) Giả sử công chúa ch n ọ tùy ý m t
ộ hạt dẻ ở giỏ thứ hai. Tính khả năng hạt dẻ đó bị nhiễm đ c? ộ không bị nhiễm độc? 2) Công chúa ch n
ọ một hạt dẻ ở giỏ thứ hai và biết rằng hạt đó đã bị nhiễm c. độ Khả năng cao nhất hạt dẻ có màu gì? đó
3) Giả sử công chúa ch n tùy ý ọ
ở mỗi giỏ một hạt dẻ. Tính xác suất:
- cả hai hạt dẻ cùng không bị nhiễm độc?
- chỉ có một hạt dẻ bị nhiễm độc? 4) Nếu công chúa ch n ng ọ ẫu nhiên m t h
ộ ạt dẻ ở m t trong hai gi ộ trên. ỏ
Tính xác suất hạt dẻ đó bị
nhiễm độc? không bị nhiễm độc?
Bài 5: Ba kiện hàng đều có 20 sản phẩm với s
ố sản phẩm tốt tương ứng là 15, 12 và 10. Lấy
ngẫu nhiên 1 kiện hàng (khả năng như nhau), rồi từ kiện hàng đó chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm.
- Tính xác suất sản phẩm ch n ra là t ọ t. ố
- Giả sử sản phẩm ch n ra không t ọ t, tính xác su ố
ất sản phẩm này thu c ki ộ ện hàng thứ ba.
Bài 6: Một vườn lan tr ng ồ
hai loại lan Ngọc điểm chưa nở hoa, loại I có hoa màu trắng điểm
hoa cà và loại II có màu trắng điểm tím . đỏ Biết s
ố cây lan loại I bằng 7/3 s
ố cây lan loại II và tỉ
lệ nở hoa tương ứng là 95%, 97%. Người mua vào vườn lan này và ch n
ọ ngẫu nhiên 1 cây Ngọc điểm.
- Tính xác suất để cây lan này nở hoa.
- Giả sử cây lan này không nở hoa, tính xác suất cây lan này có hoa màu trắng điểm tím đỏ.
Bài 7: Một người buôn bán bất động sản đang cố gắng bán m t
ộ mảnh đất lớn. Ông ta tin rằng
nếu nền kinh tế tiếp t c
ụ phát triển, khả năng mảnh đất được mua là 80%; ngược lại nếu nền kinh
tế ngừng phát triển, ông ta chỉ có thể bán được mảnh đất đó với xác suất 40%. Theo dự báo của
một chuyên gia kinh tế, xác suất nền kinh tế tiếp tục tăng trưởng là 65%. Tính xác suất để người
đó bán được mảnh đất. Bài 8: Th ng ố
kê cho thấy tỉ lệ cặp trẻ sinh đôi khác trứng có cùng giới tính là 50%, cặp trẻ
sinh đôi cùng trứng thì luôn có cùng giới tính. Biết rằng tỉ lệ cặp trẻ sinh đôi cùng trứ ng là p (tính trên t ng ổ s
ố các cặp trẻ sinh đôi). Nếu biết 1 cặp trẻ sinh đôi có cùng giới tính thì xác suất chúng
được sinh đôi cùng trứng là 1/3, hãy tính p?
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Page 4
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài 9: Có 30 thùng hàng gi ng ố nhau g m
ồ 3 loại: 18 thùng loại I, 7 thùng loại II và 5 thùng
loại III. Mỗi thùng hàng có 15 sản ẩ ph m và số sản ẩ
ph m tốt tương ứng cho mỗi loại lần lượt là 11, 9 và 7. Ch n ng ọ
ẫu nhiên 1 thùng hàng và từ thùng đó lấy ra 5 sản phẩm.
- Tính xác suất có 2 sản phẩm lấy ra là tốt.
- Tính xác suất có 2 sản phẩm lấy ra là tốt và của thùng hàng loại III.
- Giả sử có 2 sản phẩm lấy ra là t t, tính xác su ố
ất 2 sản phẩm này là c a thùng hàng lo ủ ại III.
Bài tập khác (dùng các Công thức xác suất)
Bài 1: Trong trận không kích ở Trân Châu Cảng, mỗi chiếc máy bay có nhiệm v ụ lần lượt phá
hủy các cứ điểm của quân Đồng minh. Mỗi lần thả chỉ được một quả bom xuống các cứ điểm,
biết rằng cứ trúng bom đều phá hủy hoàn toàn các cứ điểm. Tìm xác suất máy bay phá hủy được một cứ điểm mà t n
ố không quá 2 quả bom. Biết xác suất ném bom trúng m c ụ tiêu các lần đều như nhau và bằng 0,7.
Bài 2: Một chi tiết được lấy ngẫu nhiên có thể là chi tiết loại 1 (ký hiệu là A) hoặc chi tiết loại
2 (ký hiệu là B) hoặc chi tiết loại 3 (ký hiệu là C). Mô tả các biến cố sau đây: a. A + B b. AB + C c. A B + d. AC
Bài 3: Bắn một viên đạn vào hai m c tiêu, xác su ụ
ất trúng đạn m c tiêu 1 là 0,5, m ụ c tiêu 2 là ụ
0,3. Sau khi bắn đài quan sát báo có mục tiêu trúng đạn. Tính xác suất mục tiêu 1 trúng đạn (giả
thiết là đạn không thể trúng cùng một lúc cả hai mục tiêu).
Bài 4: Gieo 1 đồng xu 6 lần Tìm xác suất để s l
ố ần được mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa, xác suất
để số lần mặt sấp và ngửa như nhau.
Bài 5: Xác suất để động cơ thứ nhất c a máy b ủ
ay bị trúng đạn là 0,2; động cơ thứ hai là 0,3 và
phi công trúng đạn là 0,1. Tìm xác suất để máy
bay rơi biết rằng 2 bộ ận ph động cơ hoạt động độc lập với nhau. Bài 6: Trong quân i
độ khi truyền tin người ta sử dụng ký hiệu Mooc – xơ (mật mã) và để đảm
bảo thông tin được truyền đến nơi thì một tín hiệu được phát 3 lần với xác suất thu được của mỗi
lần đều là 0,4. Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin sau 3 lần phát?
Nếu muốn xác suất thu được thông tin lên đến 0,99 thì phát ít nhất bao nhiêu lần hoặc phải cải
tiến thiết bị thu tín hiệu lên xác suất là bao nhiêu lần mà chỉ cần 3 lần phát vẫn truyền được tin?
Bài 7: Bắn liên tiếp vào m t
ộ mục tiêu đến khi nào viên đạn đầu tiên trúng đích thì dừng. Tìm
xác suất phải bắn đến 6 viên biết xác suất trúng đích của các lần độc lập nhau và bằng 0,2. Bài 8: M t
ộ nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi với xác suất bán được hàng
ở mỗi nơi đều là 0,2. Tìm xác suất để trong một ngày người đó bán được hàng ở 2 nơi, bán được
hàng ở ít nhất 5 nơi, không bán được hàng. Bài 9:T ỷ lệ phế phẩm c a
ủ 1 nhà máy là 5%. Tìm xác suất để trong 12 sản phẩm do nhà máy
sản xuất ra có 2 phế phẩm, có không quá 2 phế phẩm. Bài 10. M t
ộ dự án cần qua hai vòng thẩm định c
độ lập và liên tiếp nhau (qua vòng 1 mới
được sang vòng 2), xác suất dự án bị trượ
t ở hai vòng lần lượt là 0,3 và 0,4.
- Tính xác suất dự án bị loại
- Xác suất dự án được thông qua bằng bao nhiêu?
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Page 5