Bài tập Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính (có lời giải)

Ngân hàng bài tập Chương 2 môn Đại số tuyến tính về: Hệ phương trình tuyến tính có lời giải chi tiết của trường Đại học Bách khoa Hà Nội giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao cuối học kỳ. Mời bạn đọc đón xem!

1
Baøi taäp
1. Giaûi caùc heä phöông trình tuyeán tính sau baèng coâng thöùc Cramer
a)
123
12 3
123
xxx 2
2x x 2x 6
x2x3x2
−+=
+−=
++=
b)
12
123
12
x2x 8
3x x x 2
2x x 1
−+ =
++=
−− =
c)
1234
1234
1234
12 34
xxxx2
x 2x3x4x2
2x 3x 5x 9x 2
xx2x7x2
+++=
++−=
+++=
+++=
ÑS: a)
D18= ;
1
D18=
;
2
D36=
;
3
D18
=
;
1
1
D
x1
D
=
= ;
2
2
D
x2
D
==
;
3
3
D
x1
D
==
.
b)
D5=−
;
1
D10= ;
2
D15=− ;
3
D25
=
;
1
1
D
x2
D
=
=− ;
2
2
D
x3
D
=
= ;
3
3
D
x5
D
==
.
c)
D6=− ;
1
D36=−
;
2
D34=
;
3
D12
=
;
4
D2
=
;
1
1
D
x6
D
=
= ;
2
2
D
17
x
D3
==
;
3
3
D
x2
D
==
;
4
4
D
1
x
D3
==
.
2. Giaûi caùc heä phöông trình tuyeán tính sau baèng phöông phaùp Gauss
a)
1234
12 3 4
123
x3x2xx2
4x x 3x2x1
2x 7x x 1
−+−=
++−=
+− =
b)
1234
134
1234
12 3
xxxx2
xx2x0
x2x2x7x 7
2x x x 3
−+−=
−+=
−+ + =
−− =
c)
123 4
12 3 4
123 4
12 3 4
x2x3x 5x 1
x 3x 13x 22x 1
3x 5x x 2x 5
2x 3x 4x 7x 4
+− + =
+− + =
++ =
++ =
2
d)
1 234
12 3 4
123 4
1234
x2x3x2x6
2x x 2x 3x 8
3x 2x x 2x 4
2x 3x 2x x 8
++−=
−−−=
+−+=
−++=
e)
123 4
1234
1234
123 4
3x x x 2x 1
xx2x4x5
xx3x6x9
12x 2x x 2x 10
−−+=
−−+=
++−=
−+−=
f)
123
12 3
12 3
123
xxx1
2x x x 3
xx2x5
3x 6x 5x 6
++=
−+=
−+=
−+=
g)
123
123
123
12 3
x4x3x 22
2x 3x 5x 12
x7x2x34
3x x 2x 0
−+=
++=
++=
−−=
h)
1234
12 3 4
12 34
12 34
x5x4x3x1
2x x 2x x 0
5x 3x 8x x 1
4x 9x 10x 5x 2
++ +=
−+ −=
++ +=
++ +=
ÑS: a) Bieán ñoåi
() () ()
() () ()
() ()()
2: 2 41 3: 3 2
3: 3 21
132 12 132 12
41 3 21 013 527
27 101 013 523
132 12
013 5 2 7
00 0 04
=− =−
=−
⎛⎞
−− −−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Heä phöông trình voâ nghieäm.
b) Bieán ñoåi
3
() ()()
() ()()
() () ()
() ()()
() ()()
2: 2 1
3: 3 1 3: 3 2
4: 4 21 4: 4 2
11112 11112
10 120 01 232
12 277 01 165
21103 01321
111 12
01 232
00 1 33
00022
=−
=+ =−
=− =−
⎛⎞
−− −−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Heä coù nghieäm duy nhaát
1234
x2;x3;x0;x 1.====
c) Bieán ñoåi
() ()()
() () ()
() () ()
() ()()
() ()()
2: 2 1
3: 3 31 3: 3 2
4: 4 21 4: 4 2
12 3 51 1 2 3 5 1
13 13221 0 1 10 17 2
35 1 25 0 1 10 172
23 4 74 0 1 10 172
12 3 51
01 10172
00 0 00
00 0 00
=−
=− =+
=− =+
⎛⎞
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Heä coù voâ soá nghieäm. Choïn aån töï do
3
xm
=
hay
4
xm
=
, vôùi m , vaø tính
12
x,x
theo
m .
d) Bieán ñoåi
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
() ()
()
() () ()
4
5
7
5
2: 2 21
3: 3 2
3: 3 31
4: 4 21
4: 4 2
4: 4 22
18 36 54
55 5
36 18 72
555
12 3 26 12 3 26
21238 05 814
32 124 0 4 10814
23218 07 4520
12 3 26
05 8 1 4
00
00
=−
=−
=−
=−
=−
=+
⎛⎞
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
18 36 54
55 5
12 3 26
05 814
00
00 0 1836
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Heä coù nghieäm duy nhaát
1
x3= ;
2
x10
=
;
3
x7
=
;
4
x2
=
.
e) Bieán ñoåi
4
()()
() () ()
() ()()
() () ()
() ()()
() () ()
2: 2 31
12 3:31
4: 4 121
3: 3 2
4: 4 52
31121 11245
11245 31121
113 69 113 69
12 2 1 2 10 12 2 1 2 10
11245 11
02 5 1014
02 5 1014
01025 5070
=−
=−
=−
=−
=−
⎛⎞⎛⎞
−− −−
⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟⎜⎟
⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟⎜⎟
−− −−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−− −−
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
245
02 5 1014
00 0 0 0
00 0 0 0
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Heä coù voâ soá nghieäm. Choïn 2 trong 3 aån
234
x,x,x
laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi
theo caùc aån töï do.
f) Bieán ñoåi
() () ()
() ()()
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
2
3
2: 2 21
3: 3 2
3: 3 1
510
4: 4 31 4: 4 32
33
4: 4 33
510
33
11 11
1111 11 11
0311
2113 0311
00
1125 0214
3656 0923
00 50
11 11
0311
00
00 010
=−
=−
=−
=− =−
=−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−−
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
⎝⎠
Heä voâ nghieäm.
g) Bieán ñoåi
() () ()
() ()()
() () ()
() ()()
() ()()
()()
2: 2 21
3: 3 1 3: 3 2
4: 4 31 4: 4 2
34
14322 14322
23 512 011 156
17 234 011 156
3110 0111066
14322 14322
011 156 011 156
00 00 00 910
00 910 00 00
=−
=− =−
=− =−
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
−− −−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
Heä coù nghieäm duy nhaát
128
1
99
x = ;
494
2
99
x = ;
10
3
9
x
=
.
h) Bieán ñoåi
5
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
() ()()
2: 2 21
3: 3 51 3: 3 22
4: 4 41 4: 4 2
15 4 31 1 5 4 31
212 10 011 6 72
5 3 8 1 1 0 22 12 14 4
491052 0 11 6 72
15 431
011672
00 000
00 000
=−
=− =−
=− =−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Heä coù voâ soá nghieäm. Choïn 2 trong 3 aån
234
x,x,x
laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi
theo caùc aån töï do.
3) Giaûi caùc heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát sau
a)
12 3 4
12 3 4
12 3 4
123 4
x x 2x 6x 0
xx4x2x0
2x x 5x 8x 0
3x 2x 7x 14x 0
+−− =
−−+ =
+−− =
+−− =
b)
123 4
12 3 4
12 3 4
1234
2x 3x x 5x 0
3x x 2x 7x 0
4x x 3x 6x 0
x2x4x7x0
+−+=
−+=
+−+=
−+=
c)
123 4
12 3 4
12 3 4
12 3 4
x2x4x 3x0
3x 5x 6x 4x 0
4x 5x 2x 3x 0
3x 8x 24x 19x 0
++ =
++ =
+− + =
++ =
d)
123
12 3
123
123
x3x2x0
2x x 3x 0
3x 5x 4x 0
x17x4x0
++=
−+=
−+=
++=
e)
12345
12345
1234 5
1234 5
x3x3x2x4x0
x4x5x3x7x0
2x 5x 4x x 5x 0
x5x7x6x10x0
++++ =
++++ =
++++ =
++++ =
ÑS: a) Bieán ñoåi
6
() ()()
() () ()
() () ()
() ()
()
() ()
()
1
2
1
2
2: 2 1
3: 3 2
3: 3 21
4: 4 31
4: 4 2
11 2 6 11 2 6
1142 0228
21 5 8 0114
32 714 0114
11 2 6
0228
0000
0000
=−
=−
=−
=−
=−
⎛⎞
−−
⎜⎟
−− −−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−− −−
⎝⎠
⎛⎞
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Choïn 2 trong 3 aån
234
x,x,x laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi theo caùc aån töï do.
b) Bieán ñoåi
()()
() () ()
() () ()
() () ()
() ()
()
() ()
()
9
5
7
5
2: 2 31
14 3:341
4: 4 21
3: 3 2
44
4: 4 2
5
3
5
23 15 1 24 7 1 2 4 7
3127 3127 051014
41 36 41 36 09 1934
1 24 7 23 15 07 919
124 7
0 5 10 14
00 1
00 5
=−
=−
=−
=−
=−
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
−− −−
⎜⎟⎜⎟
⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠
−−
⎯⎯⎯⎯⎯
() () ()
4: 4 53
44
5
217
5
124 7
05 1014
00 1
00 0
=+
⎞⎛
−−
⎟⎜
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎠⎝
Heä chæ coù nghieäm taàm thöôøng.
c) Bieán ñoåi
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
2: 2 31
3: 3 41 3: 3 32
4: 4 31 4: 4 22
12 4 3 1 2 4 3
35 6 4 0 1 6 5
4523 031815
3 8 24 19 0 2 12 10
12 4 3
0165
0000
0000
=−
=− =−
=− =+
⎛⎞
−−
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Choïn 2 trong 3 aån
234
x,x,x
laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi theo caùc aån töï do.
d) Bieán ñoåi
() () ()
() () ()
() ()()
() () ()
() () ()
2: 2 21
3: 3 31 3: 3 22
4: 4 1 4: 4 22
132 1 3 2 13 2
213 0 7 1 071
354 0142 000
1174 0 14 2 0 0 0
=−
=− =−
=− =+
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Choïn 1 trong 2 aån
23
x,x laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi theo aån töï do.
e) Bieán ñoåi
7
() ()()
() () ()
() ()()
() ()()
() () ()
() ()()
2: 2 1
3: 3 21 3: 3 2
4: 4 1 4: 4 22
4: 4 3
1332 4 1 3 3 2 4
1453 7 0 1 2 1 3
2541 5 0 1 2 3 3
157610 0 2 4 4 6
133 2 4 133 2 4
012 1 3 012 1 3
000 20 000 20
000 2 0 000 0 0
=−
=− =+
=− =−
=+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−−−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎯⎯⎯⎯
⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Choïn
5
x vaø 1 trong 2 aån
23
x,x laøm caùc aån töï do vaø tính ba aån coøn laïi theo caùc aån töï do.
4) Giaûi vaø bieän luaän caùc heä phöông trình tuyeán tính sau
a)
12 3
123
2
12 3
mx x x 1
xmxx m
xxmxm
++=
++=
++=
b)
12 4
123 4
123 4
1234
1234
x2x 3x7
2x 5x x 5x 16
3x 7x x 8x 23
5x 12x 2x 13x m
6x 14x 3x 16x 46
++=
+++=
+++=
+++=
+++=
c)
123
123
123
x2xx 1
2x 4x x 3
4x 8x 3x m
++=
++=
++=
ÑS: a) Bieán ñoåi
()
()() () () ()
() ()()
()()
() ()( )()
()
12 2:2m1
3: 3 1
22
23
22 2
222
3: 3 1 m 2
m1 11 1m1m
AAB 1m1m m111
11m 11m
mm
1m 1 m m
1m 1
01 m 1 m1 m 0 1 m m 1m m
11mm1
mm 01m1m1m
1m 1
01 m m 1
001m1m
=−
=−
=−+
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
= = ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎝⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→−
−−+
()
()
()()
()
()()
2
22
2
m
mm
m1
1m 1mm m
1m 1 m
01 m m 1 mm 1
00 1mm2
1m1m
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎡⎤
⎜⎟
−−+
⎣⎦
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜−+
⎜⎟
−+
⎝⎠
8
m2=− : Rank A 2 Rank A 3=< =. Heä voâ nghieäm.
m1= : Rank A 1 Rank A 3== < (soá aån). Heä coù voâ soá nghieäm.
m1,2≠− : Rank A Rank A 3== (soá aån). Heä coù nghieäm duy nhaát.
b) Bieán ñoåi
()
() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
() ()()
() () ()
() () ()
2: 2 21
3: 3 31
4: 4 51
5: 5 61
3: 3 2
4: 4 22
5: 5 22
12037 1203 7
251516 011 1 2
AAB
371823 011 1 2
5 12 2 13 m 0 2 2 2 m 35
61431646 023 2 4
120 3 7
011 1 2
000 0 0
000 0m 39
001 0 0
=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
= = ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎯⎯⎯⎯⎯
()()
35
120 3 7
011 1 2
001 0 0
000 0m 39
000 0 0
⎛⎞
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎯⎯
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎝⎠
m39
: Rank A 3 Rank A 4=< =. Heä voâ nghieäm.
m39= : Rank A 3 Rank A 4== < (soá aån). Heä coù voâ soá nghieäm.
c) Bieán ñoåi
()
() () ()
() () ()
() ()()
2: 2 21
3: 3 41
3: 3 2
1211 12 1 1
AAB 2413 0011
4 8 3m 0 0 1m 4
12 1 1
00 1 1
00 0m 5
=−
=−
=−
⎛⎞
⎜⎟
= = ⎯⎯⎯⎯⎯→−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎯⎯⎯⎯⎯→−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
m5 :
Rank A 2 Rank A 3=< =
. Heä voâ nghieäm.
m5= : Rank A 2 Rank A 3== < (soá aån). Heä coù voâ soá nghieäm.
5) Cho heä phöông trình
123
123
123
xxx1
2x 3x kx 3
xkx3x2
+−=
++=
++=
Xaùc ñònh trò soá k sao cho
a) Heä coù moät nghieäm duy nhaát
b) Heä khoâng coù nghieäm
c) Heä coù voâ soá nghieäm.
ÑS: Bieán ñoåi
9
()
() () ()
() ()()
() ()( )()
()()() ()()
2: 2 21 3: 3 k 1 2
3: 3 1
11 11 1 1 11
AAB 23k3 01k21
1k 32 0k1 4 1
11 1 1 11 1 1
01 k 2 1 01 k 2 1
004 k 1k 21 k1 00 2 kk 32 k
=− =
=−
⎛⎞
−−
⎜⎟
= = ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−−
⎜⎟
+=+
⎜⎟
⎜⎟
−− + −− +
⎝⎠
ta suy ra
k3=−
: Rank A 2 Rank A 3=< =;
k2
= : Rank A 2 Rank A 3== <;
k2,3≠− : Rank A Rank A 3==.
Vaäy a) Heä coù moät nghieäm duy nhaát khi
k2,3
.
b) Heä khoâng coù nghieäm khi
k3=− .
c) Heä coù voâ soá nghieäm khi
k2=
.
6) Cho heä phöông trình
12 3
123
12 3
kx x x 1
xkxx1
xxkx1
++=
++=
++=
Xaùc ñònh trò soá k sao cho
a) Heä coù moät nghieäm duy nhaát
b) Heä khoâng coù nghieäm
c) Heä coù voâ soá nghieäm.
ÑS: Bieán ñoåi
()() () () ()
() ()()
()() () ()( )()
()()
12 2:2k1
2
3: 3 1
23 3:31k2
2
1k 1
k111 1k11 1
1k11 k111 01k 1k1k
11k1 11k1 01k k10
1k 11
01k k10
1k
01 k 1 k
1k 1 1
01 k k 1 0
0 0 1k 1kk11k
=−
=−
=−+
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
−−
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
−−
−− +
⎝⎠
()()
1k 1 1
01 k k 1 0
0 0 1k2k1k
⎛⎞
⎟⎜
=−
⎟⎜
⎟⎜
−+
⎝⎠
ta suy ra
k2
=− : Rank A 2 Rank A 3=< =;
k1= : Rank A 1 Rank A 3== <;
k1,2
≠− : Rank A Rank A 3==.
Vaäy a) Heä coù moät nghieäm duy nhaát khi k 1, 2
.
b) Heä khoâng coù nghieäm khi
k2=− .
c) Heä coù voâ soá nghieäm khi
k1= .
| 1/9

Preview text:

Baøi taäp
1. Giaûi caùc heä phöông trình tuyeán tính sau baèng coâng thöùc Cramer ⎧ x − x + x = −2 1 2 3 ⎪ a) ⎨2x + x − 2x = 6 1 2 3 ⎪ x + 2x + 3x = 2 ⎩ 1 2 3 ⎧ −x + 2x = 8 1 2 ⎪ b) ⎨ 3x + x + x = 2 1 2 3 ⎪−2x − x = 1 ⎩ 1 2 ⎧ x + x + x + x = 2 1 2 3 4 ⎪ ⎪ x + 2x + 3x − 4x = 2 c) 1 2 3 4 ⎨ 2x + 3x + 5x + 9x = 2 ⎪ 1 2 3 4 ⎪ x + x + 2x + 7x = 2 ⎩ 1 2 3 4 D D ÑS: a) D = 18 ; D = 18 D = 36 D = 1 − 8 x = = 1 x = = 2 1 ; 2 ; 3 ; 1 1 ; 2 ; D 2 D D3 x = = 1 − 3 . D D D D b) D = −5; D = 10 D = 1 − 5 D = −25 x = = 2 − x = = 3 x = = 5 1 ; 2 ; 3 ; 1 1 ; 2 ; 3 . D 2 D 3 D D D 17 c) D = −6; D = 3 − 6 D = 34 D = 1 − 2 D = 2 x = = 6 x = = − 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 1 1 ; 2 ; D 2 D 3 D D 3 x 1 = = 2 x = = − 3 ; 4 . D 4 D 3
2. Giaûi caùc heä phöông trình tuyeán tính sau baèng phöông phaùp Gauss ⎧ x − 3x + 2x − x = 2 1 2 3 4 ⎪ a) ⎨4x + x + 3x − 2x = 1 1 2 3 4 ⎪2x + 7x − x = 1 ⎩ 1 2 3 ⎧ x − x + x − x = 2 1 2 3 4 ⎪ ⎪ x − x + 2x = 0 b) 1 3 4 ⎨ −x + 2x − 2x + 7x = −7 ⎪ 1 2 3 4 ⎪2x − x − x = 3 ⎩ 1 2 3 ⎧ x + 2x − 3x + 5x = 1 1 2 3 4 ⎪ ⎪ x + 3x − 13x + 22x = −1 c) 1 2 3 4 ⎨ 3x + 5x + x − 2x = 5 ⎪ 1 2 3 4 ⎪2x + 3x + 4x − 7x = 4 ⎩ 1 2 3 4 1 ⎧ x + 2x + 3x − 2x = 6 1 2 3 4 ⎪ ⎪2x − x − 2x − 3x = 8 d) 1 2 3 4 ⎨ 3x + 2x − x + 2x = 4 ⎪ 1 2 3 4 ⎪2x − 3x + 2x + x = −8 ⎩ 1 2 3 4 ⎧ 3x − x − x + 2x = 1 1 2 3 4 ⎪ ⎪ x − x − 2x + 4x = 5 e) 1 2 3 4 ⎨ x + x + 3x − 6x = −9 ⎪ 1 2 3 4 12 ⎪ x − 2x + x − 2x = −10 ⎩ 1 2 3 4 ⎧ x + x + x = 1 1 2 3 ⎪ ⎪2x − x + x = 3 f) 1 2 3 ⎨ x − x + 2x = 5 ⎪ 1 2 3 ⎪3x − 6x + 5x = 6 ⎩ 1 2 3 ⎧ x − 4x + 3x = 2 − 2 1 2 3 ⎪ ⎪2x + 3x + 5x = 12 g) 1 2 3 ⎨ x + 7x + 2x = 34 ⎪ 1 2 3 ⎪3x − x − 2x = 0 ⎩ 1 2 3 ⎧ x + 5x + 4x + 3x = 1 1 2 3 4 ⎪ ⎪2x − x + 2x − x = 0 h) 1 2 3 4 ⎨ 5x + 3x + 8x + x = 1 ⎪ 1 2 3 4 ⎪4x + 9x + 10x + 5x = 2 ⎩ 1 2 3 4 ÑS: a) Bieán ñoåi ⎛1 −3 2 −1 2⎞ ⎛1 3 − 2 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−4(1) ⎜ ⎟ (3):=(3)−(2) 4 1 3 2
− 1 ⎯ (⎯⎯⎯⎯⎯→⎜0 13 5 − 2 7 − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ ⎟ 3):=(3)−2(1) ⎟ ⎜ 2 7 1 0 1⎟ ⎜ 0 13 5 2 3⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 3 − 2 1 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ 0 13 −5 2 7 − ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 4 ⎟ ⎝ ⎠
Heä phöông trình voâ nghieäm. b) Bieán ñoåi 2 ⎛ 1 −1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 −1 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−(1) ⎜ ⎟ 1 0 1 − 2 0 (3):=(3)+(1) 0 1 2 − 3 − ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ (3):=(3)−(2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 1 2 2 7 7⎟ (4):=(4)−2(1) ⎜ 0 1 1 6 5⎟ − − − − − (4):=(4)−(2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 1 1 0 3 ⎟ ⎜ 0 1 3 2 1⎟ − − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1 − 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 2 − 3 − ⎜ 2⎟ ⎜0 0 1 3 3⎟ − ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 2 2⎟ − ⎝ ⎠
Heä coù nghieäm duy nhaát x = 2; x = 3; x = 0; x = −1. 1 2 3 4 c) Bieán ñoåi ⎛1 2 3 − 5 1 ⎞ ⎛1 2 3 − 5 1 ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−(1) ⎜ ⎟ 1 3 1 − 3 22 1 − (3):=(3)−3(1) 0 1 1 − 0 17 2 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3):=(3)+(2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 3 5 1 2 5 ⎟ (4):=(4)−2(1) ⎜ 0 1 10 17 2 ⎟ − − − (4):=(4)+(2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 3 4 7 4 ⎟ ⎜ 0 1 10 17 2 ⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 3 − 5 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 1 − 0 17 − ⎜ 2⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
Heä coù voâ soá nghieäm. Choïn aån töï do x = m x = m x , x 3 hay 4
, vôùi m ∈ , vaø tính 1 2 theo m . d) Bieán ñoåi ⎛1 2 3 2 − 6 ⎞ ⎛1 2 3 2 − 6 ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−2(1) ⎜ ⎟ 2 1 − −2 3 − 8 (3):=(3)−3(1) 0 −5 −8 1 − ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ (3):=(3) 4 − (2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 3 2 1 2 4 ⎟ (4):=(4)−2(1) 5 ⎜ 0 4 10 8 14⎟ − − − − (4):=(4) 7 − (2) 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 3 2 1 8⎟ ⎜ 0 7 4 5 20⎟ − − − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2 3 2 − 6 ⎞ ⎛1 2 3 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ 0 5 − 8 − 1 − ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ (4):=(4)+2(2) 0 5 − 8 − 1 4 − ⎜ ⎟ ⎜ 18 36 54 0 0 ⎟ − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 18 36 54 0 0 ⎟ − − 5 5 5 ⎜ ⎟ 5 5 5 ⎜ ⎟ 36 18 72 ⎜0 0 − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 18 36 5 5 5 ⎠ ⎝ ⎠
Heä coù nghieäm duy nhaát x = 3 x = −10 x = 7 x = 2 1 ; 2 ; 3 ; 4 . e) Bieán ñoåi 3 ⎛ 3 1 − −1 2 1 ⎞ ⎛ 1 −1 −2 4 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (2):=(2)−3(1) 1 1 − −2 4 5 (1)∼(2) 3 −1 1 − ⎜ ⎟ ⎜ 2 1 ⎟ (3):=(3)−(1) ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 1 1 3 6 9 ⎟ ⎜ 1 1 3 6 9 ⎟ − − − − (4):=(4)−12(1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜12 2 1 2 10⎟ ⎜12 2 1 2 10⎟ − − − − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1 − −2 4 5 ⎞ ⎛1 1 − −2 4 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 2 5 1 − 0 − ⎜ 14⎟ (3):=(3)−(2) 0 2 5 1 − 0 − ⎜ 14 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎟ ⎜0 2 5 10 14⎟ − − (4):=(4)−5(2) ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 0 10 25 50 70⎟ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 0 ⎝ ⎠
Heä coù voâ soá nghieäm. Choïn 2 trong 3 aån x , x , x 2 3
4 laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi theo caùc aån töï do. f) Bieán ñoåi ⎛1 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−2(1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 1 − 1 3⎟ (3):=(3)−(1) ⎜ 0 3 − 1 − 1⎟ (3):=(3) 2 − (2) ⎜0 3 − −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜1 1 2 5⎟ (4):=(4)− (31) ⎜0 2 1 4⎟ − − (4):=(4) 3 − ( 3 2) ⎜ 5 10 0 0 ⎟ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 6 − 5 6⎟ ⎜ 0 −9 2 3⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 5 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ (4):=(4)−3(3) 0 3 − − ⎜ 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 5 10 0 0 ⎟ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 −10⎟ ⎝ ⎠ Heä voâ nghieäm. g) Bieán ñoåi ⎛1 4 − 3 2 − 2⎞ ⎛1 −4 3 2 − 2⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−2(1) ⎜ ⎟ 2 3 5 12 (3):=(3)−(1) 0 11 1 − ⎜ ⎟ ⎜ 56 ⎟ (3):=(3)−(2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜1 7 2 34 ⎟ (4):=(4)−3(1) ⎜0 11 1 56 ⎟ − (4):=(4)−(2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 1 1 0 ⎟ ⎜ 0 11 10 66 ⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 4 − 3 2 − 2⎞ ⎛1 4 − 3 2 − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 11 1 − 56 (3)∼(4) 0 11 1 − ⎜ ⎟ ⎜ 56 ⎯⎯⎯⎯→ ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 −9 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 0 0 9 10 ⎟ − ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Heä coù nghieäm duy nhaát 128 x = x = x = − 1 ; 494 ; 10 . 99 2 99 3 9 h) Bieán ñoåi 4 ⎛1 5 4 3 1⎞ ⎛1 5 4 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−2(1) ⎜ ⎟ 2 −1 2 1 − 0 (3):=(3)−5(1) 0 −11 6 − −7 − ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ (3):=(3)−2(2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ 5 3 8 1 1⎟ (4):=(4)−4(1) ⎜0 22 12 14 4⎟ − − − − (4):=(4)−(2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜4 9 10 5 2⎟ ⎜ 0 11 6 7 2⎟ − − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 5 4 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 − 1 6 − 7 − − ⎜ 2⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
Heä coù voâ soá nghieäm. Choïn 2 trong 3 aån x , x , x 2 3
4 laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi theo caùc aån töï do.
3) Giaûi caùc heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát sau ⎧ x + x − 2x − 6x = 0 1 2 3 4 ⎪ ⎪ x − x − 4x + 2x = 0 a) 1 2 3 4 ⎨ 2x + x − 5x − 8x = 0 ⎪ 1 2 3 4 ⎪3x + 2x − 7x − 14x = 0 ⎩ 1 2 3 4 ⎧2x + 3x − x + 5x = 0 1 2 3 4 ⎪ ⎪3x − x + 2x − 7x = 0 b) 1 2 3 4 ⎨ 4x + x − 3x + 6x = 0 ⎪ 1 2 3 4 ⎪ x − 2x + 4x − 7x = 0 ⎩ 1 2 3 4 ⎧ x + 2x + 4x − 3x = 0 1 2 3 4 ⎪ ⎪3x + 5x + 6x − 4x = 0 c) 1 2 3 4 ⎨ 4x + 5x − 2x + 3x = 0 ⎪ 1 2 3 4 ⎪3x + 8x + 24x − 19x = 0 ⎩ 1 2 3 4 ⎧ x + 3x + 2x = 0 1 2 3 ⎪ ⎪2x − x + 3x = 0 d) 1 2 3 ⎨ 3x − 5x + 4x = 0 ⎪ 1 2 3 ⎪ x + 17x + 4x = 0 ⎩ 1 2 3 ⎧ x + 3x + 3x + 2x + 4x = 0 1 2 3 4 5 ⎪ ⎪ x + 4x + 5x + 3x + 7x = 0 e) 1 2 3 4 5 ⎨ 2x + 5x + 4x + x + 5x = 0 ⎪ 1 2 3 4 5 ⎪ x + 5x + 7x + 6x + 10x = 0 ⎩ 1 2 3 4 5 ÑS: a) Bieán ñoåi 5 ⎛1 1 2 − −6 ⎞ ⎛1 1 2 − 6 − ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−(1) 1 1 4 2 ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ (3):=(3)−2(1) 0 2 − 2 − 8 ⎜ ⎟ (3):=(3) 1 − (2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜2 1 5 − 8 − ⎟ (4):=(4)−3(1) 2 ⎜ 0 1 − −1 4 ⎟ (4):=(4) 1 − (2) 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 3 2 7 14⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0 1 1 4 ⎟ − − − − ⎠ ⎛1 1 2 − −6⎞ ⎜0 2 2 8 ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
Choïn 2 trong 3 aån x , x , x 2 3
4 laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi theo caùc aån töï do. b) Bieán ñoåi ⎛ 2 3 −1 5 ⎞ ⎛1 2 − 4 −7⎞ ⎛1 −2 4 −7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (2):=(2)−3(1) 3 1 2 7 ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ (1)∼(4) 3 −1 2 −7 ⎜ ⎟ (3):=(3)−4(1) 0 5 −10 14 ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜4 1 3 − 6 ⎟ ⎜4 1 3 − 6 ⎟ (4):=(4)−2(1) ⎜ 0 9 −19 34⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝1 2 4 7⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 2 3 1 5 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0 7 9 19⎟ − − − − ⎠ ⎛1 −2 4 7 − ⎞ ⎛1 −2 4 7 − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3):=(3) 9 − (2) 0 5 −10 14 ⎜ ⎟ (4):=(4)+5(3) 0 5 −10 14 ⎜ ⎟ 5 ⎯ ( ) ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ =( ) 7 − ( ) ⎜ 44 4 : 4 2 0 0 −1 ⎟ ⎜ 44 0 0 −1 ⎟ 5 5 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜0 0 5 − 217 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
Heä chæ coù nghieäm taàm thöôøng. c) Bieán ñoåi ⎛1 2 4 −3 ⎞ ⎛1 2 4 3 − ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)− (31) 3 5 6 4 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ (3):=(3)−4(1) 0 −1 6 − 5 ⎜ ⎟ (3):=(3)−3(2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜4 5 2 − 3 ⎟ (4):=(4)− (31) ⎜ 0 −3 −18 15 ⎟ (4):=(4)+2(2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 3 8 24 19⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0 2 12 10⎟ − − ⎠ ⎛1 2 4 −3⎞ ⎜0 1 6 5 ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
Choïn 2 trong 3 aån x , x , x laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi theo caùc aån töï do. 2 3 4 d) Bieán ñoåi ⎛1 3 2⎞ ⎛1 3 2 ⎞ ⎛1 3 2 ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−2(1) 2 1 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ (3):=(3)−3(1) 0 −7 −1 ⎜ ⎟ (3):=(3)−2(2) 0 7 − −1 ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 3 5 − 4⎟ (4):=(4)−(1) ⎜ 0 1 − 4 2 − ⎟ (4):=(4)+2(2) ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 17 4⎟ ⎜ 0 14 2 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Choïn 1 trong 2 aån x , x laøm aån töï do vaø tính hai aån coøn laïi theo aån töï do. 2 3 e) Bieán ñoåi 6 ⎛1 3 3 2 4 ⎞ ⎛1 3 3 2 4 ⎞ ⎜ ⎟ (2):=(2)−(1) 1 4 5 3 7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3):=(3)−2(1) 0 1 2 1 3 ⎜ ⎟ (3):=(3)+(2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜2 5 4 1 5 ⎟ (4):=(4)−(1) ⎜ 0 −1 −2 −3 3 − ⎟ (4):=(4)−2(2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 5 7 6 10⎟ ⎜ 0 2 4 4 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 3 3 2 4⎞ ⎛1 3 3 2 4⎞ ⎜0 1 2 1 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (4):=(4)+(3) 0 1 2 1 3 ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜0 0 0 2 − 0⎟ ⎜0 0 0 −2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 0 0 0 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝0 0 0 0 0⎠
Choïn x vaø 1 trong 2 aån x , x laøm caùc aån töï do vaø tính ba aån coøn laïi theo caùc aån töï do. 5 2 3
4) Giaûi vaø bieän luaän caùc heä phöông trình tuyeán tính sau ⎧mx + x + x = 1 1 2 3 ⎪⎪ a) ⎨ x + mx + x = m 1 2 3 ⎪ 2 ⎪ x + x + mx = m ⎩ 1 2 3 ⎧ x + 2x + 3x = 7 1 2 4 ⎪2x + 5x + x + 5x = ⎪ 16 1 2 3 4 ⎪ b) ⎨3x + 7x + x + 8x = 23 1 2 3 4 ⎪5x + 12x + 2x + 13x = m ⎪ 1 2 3 4 ⎪6x + 14x + 3x + 16x = 46 ⎩ 1 2 3 4 ⎧ x + 2x + x = 1 1 2 3 ⎪ c) ⎨2x + 4x + x = 3 1 2 3 ⎪4x + 8x + 3x = m ⎩ 1 2 3 ÑS: a) Bieán ñoåi ⎛ m 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 m 1 m ⎞ ⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ A = (A B) (1) (2) (2):=(2)−m(1) = 1 m 1 m ⎯⎯⎯⎯→ m 1 1 1 ⎯ (⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3):=(3)−(1) ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 1 1 m m 1 1 m m ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 m 1 m ⎞ ⎛1 m 1 m ⎞ ⎜ ⎟ (2)∼(3 ⎜ ⎟ 2 2 ) 2 ⎜0 1 − m
1 − m 1 − m ⎟ ⎯⎯⎯⎯→⎜0 1 − m m − 1 m − m⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎜1 1 m m 1 m − m⎟ 0 1 − m 1 − m 1 − m ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 m 1 m ⎞ ( ⎜ ⎟ 3):=(3)−(1+m)(2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ 0 1 − m m − 1 2 m − m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1 − m − (1 + m)(m − 1) 2 1 − m − (1 + m) 2 ⎡m − m⎤⎟ ⎝ ⎣ ⎦ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜1 m 1 m ⎟ ⎜0 1 m m 1 m (m 1) ⎟ = − − − ⎜ ⎟ ⎜0 0 (1 − m)(m + 2) ⎝ ( ⎟ ⎜ 1 − m)(1 + m)2 ⎟⎠ 7 m = 2
− : Rank A = 2 < Rank A = 3. Heä voâ nghieäm.
m = 1 : Rank A = 1 = Rank A < 3 (soá aån). Heä coù voâ soá nghieäm.
m ≠ 1, −2 : Rank A = Rank A = 3 (soá aån). Heä coù nghieäm duy nhaát. b) Bieán ñoåi ⎛1 2 0 3 7 ⎞ ⎛1 2 0 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 5 1 5 16 (2):=(2)−2(1) 0 1 1 1 − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ A = (A B) (3):=(3)−3(1)
= ⎜ 3 7 1 8 23⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( 0 1 1 1 − 2 4):=(4)−5(1) ⎜ ⎟ ⎜5 12 2 13 m ⎟ (5):=(5)−6(1) ⎜ 0 2 2 2 − m − 35⎟ ⎜6 14 3 16 46⎟ ⎜ 0 2 3 2 4 ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 0 3 7 ⎞ ⎛1 2 0 3 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 1 1 − ⎜ 2 0 1 1 1 − ⎟ ⎜ 2 ( ⎟ 3):=(3)−(2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ (3)∼(5) ⎟ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ( 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 4):=(4)−2(2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (5):=(5)−2(2) ⎜0 0 0 0 m − 39⎟ ⎜ 0 0 0 0 m − 39⎟ ⎜0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ ⎝ ⎠
m ≠ 39 : Rank A = 3 < Rank A = 4 . Heä voâ nghieäm.
m = 39 : Rank A = 3 = Rank A < 4 (soá aån). Heä coù voâ soá nghieäm. c) Bieán ñoåi ⎛1 2 1 1 ⎞ ⎛1 2 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = (A B) (2):=(2)−2(1)
= 2 4 1 3 ⎯ (⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 0 − ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 3):=(3)−4(1) ⎟ ⎜4 8 3 m⎟ ⎜ 0 0 1 m 4⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 1 1 ⎞ (3):=(3)−(2) ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 0 0 − ⎜ 1 1 ⎟ ⎜0 0 0 m 5⎟ − ⎝ ⎠
m ≠ 5 : Rank A = 2 < Rank A = 3. Heä voâ nghieäm.
m = 5 : Rank A = 2 = Rank A < 3 (soá aån). Heä coù voâ soá nghieäm. 5) Cho heä phöông trình ⎧ x + x − x = 1 1 2 3 ⎪ ⎨2x + 3x + kx = 3 1 2 3 ⎪ x + kx + 3x = 2 ⎩ 1 2 3
Xaùc ñònh trò soá k sao cho
a) Heä coù moät nghieäm duy nhaát b) Heä khoâng coù nghieäm
c) Heä coù voâ soá nghieäm. ÑS: Bieán ñoåi 8 ⎛1 1 −1 1⎞ ⎛1 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = (A B) (2):=(2)−2(1) (3):=(3)−(k−1)(2)
= 2 3 k 3 ⎯ (⎯⎯⎯⎯⎯→⎜0 1 k + 2 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟ 3):=(3)−(1) ⎟ ⎜1 k 3 2⎟ ⎜ 0 k 1 4 1⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1 1 − 1 ⎞ ⎛1 1 1 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 k + 2 1 ⎟ = ⎜ 0 1 k + 2 1 ⎟
⎜ 0 0 4 (k 1)(k 2) 1 (k 1)⎟ ⎜0 0 (2 k)(k 3) 2 k⎟ − − + − − − + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ta suy ra
k = −3 : Rank A = 2 < Rank A = 3;
k = 2 : Rank A = 2 = Rank A < 3; k ≠ 2, 3 − : Rank A = Rank A = 3.
Vaäy a) Heä coù moät nghieäm duy nhaát khi k ≠ 2, 3 − .
b) Heä khoâng coù nghieäm khi k = 3 − .
c) Heä coù voâ soá nghieäm khi k = 2 . 6) Cho heä phöông trình ⎧kx + x + x = 1 1 2 3 ⎪ ⎨ x + kx + x = 1 1 2 3 ⎪ x + x + kx = 1 ⎩ 1 2 3
Xaùc ñònh trò soá k sao cho
a) Heä coù moät nghieäm duy nhaát b) Heä khoâng coù nghieäm
c) Heä coù voâ soá nghieäm. ÑS: Bieán ñoåi ⎛ k 1 1 1⎞ ⎛ 1 k 1 1⎞ ⎛1 k 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ (1)∼(2) ⎜ ⎟ (2):=(2)−k(1) ⎜ ⎟ 2 ⎜ 1 k 1 1 ⎯⎯⎯⎯→ ⎟ ⎜ k 1 1 1 ⎯ ⎟ (
⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜0 1 − k 1 − k 1 − k ⎟ 3):=(3)−(1) ⎜ 1 1 k 1⎟ ⎜ 1 1 k 1⎟
⎜⎜0 1 − k k − 1 0 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 k 1 1 ⎞ (2)∼(3) ⎜ ⎟ (3):=(3)−(1+k)(2)
⎯⎯⎯⎯→ ⎜0 1 − k k − 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 2 0 1 − k 1 − k 1 k ⎟ − ⎝ ⎠ ⎛1 k 1 1 ⎞ ⎛1 k 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 − k k − 1 0 ⎟ = ⎜0 1 − k k − 1 0 ⎟ ⎜0 0
1 − k − (1 + k)(k − 1) 1 − k⎟ ⎜0 0 (1 − k)(2 + k) ⎟ ⎝ ⎠ 1 − k ⎝ ⎠ ta suy ra k = 2
− : Rank A = 2 < Rank A = 3;
k = 1 : Rank A = 1 = Rank A < 3 ; k ≠ 1, 2 − : Rank A = Rank A = 3.
Vaäy a) Heä coù moät nghieäm duy nhaát khi k ≠ 1, 2 − .
b) Heä khoâng coù nghieäm khi k = 2 − .
c) Heä coù voâ soá nghieäm khi k = 1. 9