Bài tập Hàm liên tục | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I
CHƯƠNG III: GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ HÀM LIÊN TỤC
Xét tính liên tục của các hàm số sau  π   −   −  1) =  − 7) =  −  =   =    πx  +    2) =  8) =   =   −      −    3) =  − 9) =   =   =  + 4) =   −  = − + 10)   =  −     5) =  −  +   = 11) =    =   − +    6) =  −  +  =  12)  =   =  Hướng dẫn giải 1)
xác định   nên liên tục   . π Tại x = 1, − = =
(Có (1) theo nguyên lý kẹp, các bạn tự chứng minh) nên → − liên tục tại x = 1. Vậy liên tục trên . 2)
xác định   nên liên tục   . Tại x = 0, + = =  
không liên tục tại x = 0. → 3) Đáp án: liên tục trên . 4)
xác định   nên liên tục   .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ + + Tại x = 2, = = và = =    không liên tục tại + → − + − → → → − + − + x = 2. 5) Đáp án: liên tục trên . 6) Đáp án: liên tục trên . 7) Đáp án: liên tục trên ợ ử ụ ẹ Đáp án: liên tục trên ợi ý: 2 điể ầ 9) Đáp án: liên tục trên . 10) Đáp án:
không liên tục tại x = 0. 11) Đáp án: liên tục trên . 12) Đáp án:
không liên tục tại x = 0.
Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau   1) = 13) =     − 2) = 14) = +  3) =  −  + 15) = −    − 4) =  + − 16) = 5) = − − 17) = 6) = − 18) = + 7) = − + − − 19) = − 8) = + 20) = − 9) = −   21) = 10) =   −   22) = 11) = 23) = + 12) = +
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Hướng dẫn giải 1) =
=  x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được   → →
2) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được 3) = = + + Tại x = 0: = =
=  x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được.    → + → + → + Tại x = -1: = = + và = = − . Vậy x = -1 là + + →− + →− + − − →− + →− +
điểm gián đoạn loại 2.
4) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được
5) Đáp án: x = 3/2 là điểm gián đoạn loại 1.
6) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được, x = 1 là điểm gián đoạn loại 2
7) Đáp án: x = 2 là điểm gián đoạn loại 2 (Gợi ý: = = ) − + − − +   π   π 8) Tại x = 0: + = +   và + = −     x = 0 là điểm + →   − + → →   gián đoạn loại 1.
9) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn loại 1.
10) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn loại 1.
11) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn loại 1.
12) Đáp án: x = -1 là điểm gián đoạn loại 1.
13) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn loại 1.
14) Đáp án: x = 0 và x = -3 là điểm gián đoạn loại 2. 15)
=  x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được  → − = + và
= − nên x = -9 là điểm gián đoạn loại 2. + →− − − →− −
Tương tự: x = 9 là điểm gián đoạn loại 2.
16) x= 0 là điểm gián đoạn bỏ được vì: = = + − → → − − −
17) x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được vì: = = − = + + − → → → 18) Hàm số = =
có 2 điểm gián đoạn là: x = 0 và x = -1 + + Tại x = 0, =
=  x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được   → + → +
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Tại x = -1, = − và
= +  x = -1 là điểm gián đoạn loại 2. + →− + − →− +
19) Đáp án: x = 3/2 là điểm gián đoạn loại 1. 20) Hàm số =
có 2 điểm gián đoạn là: x = 0 và x = 1 − Tại x = 0, =
= −  x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được.   → − → − Tại x = 1, = + và
= −  x = 1 là điểm gián đoạn loại 2. + → − − → −
21) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn loại 1.
22) Đáp án: x = 0 là điểm gián đoạn loại 1.
23) Đáp án: x = 0 và x = -3 là điểm gián đoạn loại 2.
Xét sự liên tục, gián đoạn và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau    5) = 1) =   =   π   6) =      −  2) =    =   −   7) =  3) =  =  − + − πx 4) = − Hướng dẫn giải    1) Ta có: = 
là các hàm sơ cấp nên f(x) liên tục   −    Tại x = 0, xét: = = và = = − + + → → − − → → −  
 x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số với bước nhảy + − → → = − = − − = + − → → 2) Với  , =
là hàm sơ cấp nên nó liên tục Tại x = 0, xét: = = =
(Có (1) theo nguyên lý kẹp, các bạn tự chứng minh) → →
Nên hàm số liên tục tại x = 0.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Vậy f(x) liên tục   . 3) Với  , =
là hàm sơ cấp nên nó liên tục − + Tại x = 1: Xét = = và = =  + + → → − − + → → → − + − +
Vậy x = 1 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số với bước nhảy h = 1. − πx 4) Với −   , =
xác định và là hàm sơ cấp nên nó liên tục −
Tại =  , f(x) không xác định πt − − π 2− t πx  0  Xét = = = = =   (Với 2 – x = t) + + − − →− →− − → − → −   Tương tự: = − →
Vậy hàm số không liên tục trái tại x = 2 và phải tại x = -2 ( =  là điểm gián đoạn loại 2). 5)   , =
xác định và là hàm sơ cấp nên nó liên tục Tại x = 0, =
không tồn tại nên x = 0 là điểm gián đoạn loại 2. (Gợi ý: để chứng → → minh
không tồn tại chúng ta sử dụng 2 dãy con sau đây: = và = ) → π + π  π   6) =   −  
Với   , f(x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục. π Tại x = 1, có = − = = và = = = nên hàm số liên tục + + → → − − → → tại x = 1. π Tại x = -1, có = = = − và = − =  + + →− →− − − + →− →− →−
 x = -1 là điểm gián đoạn loại 1.  −   7) =   =   −     ,
xác định và là hàm sơ cấp nên nó liên tục.   − − Tại x = 0, = = = − = =
 f(x) liên tục tại x = 0     → → → →
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________  − 
Vậy f(x) liên tục trong    
Chứng minh các hàm sau đây liên tục trong miền cho tương ứng 1) =  3) = −   + 2) =  + 4) = −   + (*) → + Hướng dẫn giải
Trước khi giải bài tập này chúng ta ôn lại một chút kiến thức: Hàm f(x) được gọi là liên tục tại  nếu = hay  =  = +  − . →  →  1) Xét  = +  − =  − − − +  + +   + + + Nên  = . Tại x = 0,  =  → khi  → .  →
Vậy hàm số liên tục      2) Với x > 0,  = +  − = + = =    →  →  →  
Vậy hàm số liên tục    3)  = +  − = =  →  →  → + + 
Vậy hàm số liên tục     +  4) Ta có: = =  = → +    Với x > 0,  = +  − =  +  +  =  →  →  → Với x < 0,  = +  − =  →  → Tại x = 0, = = = và = = = + + → → − − → →
Vậy hàm số liên tục  
Tìm k để hàm số sau liên tục trong khoảng (-1,1)  + − −    =   =  Hướng dẫn giải xác định   − nên liên tục   − .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Do đó, để hàm số liên tục trong khoảng (-1,1) thì
phải liên tục tại x = 0  = → + − −    −   = − = =     → → + −     Vậy k = 2 thì
liên tục trong khoảng (-1,1). π Tìm a, b để hàm liên tục tại =  với  π −  −    π π =  + −     π +   Hướng dẫn giải π Tại = − , ta có: = − = và = + = − + − − + + π π π π →− →− →− →− π   Tại = , ta có: = + = + và = + =   + + π − π − π π → → → →   − + = π   = − Để hàm liên tục tại =  thì:    + =  =  
Tìm m để hàm số sau liên tục   − −  +    1) =  5) =  −  =   =    −   −   2) =  − 6) =   =   − =      3) =   −  +    7) =  −   = − +    4) =  −  − +  =  8)  =  − +   Hướng dẫn giải
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1)
xác định   nên liên tục trong khoảng này. Tại x = 0, − = + = = và = → → Vậy = thì liên tục trên . 2) Đáp án: m = 0 ợ ử ụ ẹ 3) Đáp án: m = -1 4)
xác định   nên liên tục trong khoảng này − + − + − − Tại x = 1, = = = = − và + + + + → → − → − → − − + − + − − = = = = − − + + → → − → − → − =  
nên không tồn tại m để hàm số liên tục tại x = 1. + − → → 5) Đáp án: m = 4ln2 6) Đáp án: =  7) Đáp án: m = 0 π Đáp án: = +
Xác định a, b để các hàm số sau liên tục trong miền xác định của chúng  +    −  1) =  +  −π 3π      π = −          =  =  6) 2) =   −  = π      +   3) =   −        −    − =  7)  − 4) =  +    −        + −  −π / 2    8) = + −  − 5) =  + π − / 2  x  π / 2  =    π / 2     9) =  +  = 
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ H c online t ọ
ại: https://mapstudy.vn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________   −  +    11) =   10) =  =  =      Hướng dẫn giải
1) Với   − , f(x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục. Để liên tục  
thì nó phải liên tục tại x = -1 + + = = = = = − = . Vậy = . →− →− →− →− + + − + − + 2) Để liên tục  
thì nó phải liên tục tại x = 0 = = − = − và = = + + → → − − → → Để hàm
liên tục tại x = 0 thì = − .
3) Tương tự ý 2). Đáp án: = . 4) Với  
, f(x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục. Để liên tục  
thì nó phải liên tục tại x = 0 và tại x = 1 = − = = − = − và = + = − − → → + + → → = + = + và = = − − → → + + → → Để hàm
liên tục tại x = 0 và x = 1 thì = = − .
5) Tương tự ý 4). Đáp án: = − =
6) Tương tự ý 4). Đáp án: = = π / 2
7) Với   , f(x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục. Để liên tục  
thì nó phải liên tục tại x = 0 = = = và + + + → → − → − − − − − = = = = − − − − → → → → Để hàm
liên tục tại x = 0 thì = − . 8) Đáp án: = 9) Đáp án: Hàm
liên tục phải tại x = 0 khi = và liên tục trái tại x = 0 khi = 10) Đáp án: = = 11) Đáp án: =
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ầ ạ ọc Lam Trườ