Bài tập lớn môn Giải tích đề tài "Mô tả các mô hình tăng trưởng dân số bằng phương trình vi phân"
Bài tập lớn môn Giải tích đề tài "Mô tả các mô hình tăng trưởng dân số bằng phương trình vi phân" giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng ôn tập và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Giải tích
Trường: Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
lOMoARcPSD| 36782889 PHỤ LỤC
Phần I : Đặt vấn đề ................................................................................................... 2
1.1: Vấn đề gia tăng dân số ..................................................................................... 2
1.2: việc tính toán, thống kê giúp ích gì trong việc kiểm soát dân số ? ...... 2
1.3 : các mô hình tăng trưởng dân số ...................................................................... 2
Phần II : Sơ lược về vi phân (Differential Equations) ........................................... 2
Phần III : Các mô hình tăng trưởng dân số phổ biến ............................................ 3
3.1 : Mô hình phát triển Malthus ............................................................................................. 3
3.2 Mô hình logistic ( Logistic model ) .................................................................................................... 4 lOMoARcPSD| 36782889
Phần I : Đặt vấn đề
1.1: Vấn đề gia tăng dân số
Gia tăng dân số luôn là một vấn đề nhức nhối của nhân loại từ rất lâu về
trước đến nay, điển hình là một bài toán cổ về “ Hạt gạo và Bàn cờ ’’
“ Năm 2005, nữ ca sĩ nhạc blues-jazz người Anh Katie Melua phát hành một bản
tình ca vô cùng ăn khách mang tên “Nine million bicycles”, trong đó có câu: “Có 6
tỷ người trên thế gian, áng chừng như vậy, điều đó khiến em cảm thấy mình nhỏ
bé, nhưng giữa tất thảy những người này, anh là người em yêu nhất”. Những tâm
hồn hoài cổ khi nghe lại ca khúc của Katie Melua hẳn sẽ bật cười “
17 năm trôi qua và con số 6 tỷ người mà Katie Melua áng chừng ngày nào giờ
cũng trở thành sai số nghiêm trọng. Thế giới đã có 8 tỷ người và dự đoán khoảng
15 năm nữa, con số này sẽ cán mốc 9 tỷ.
1.2: việc tính toán, thống kê giúp ích gì trong việc kiểm soát dân số ?
Với tốc độ gia tăng dân số chóng mặt và các hệ lụy mà việc tăng dân số có thể
mang lại thì việc tính toán, thống kê sẽ giúp chúng ta dự đoán trước được
số lượng dân số trong trương lai dựa vào tốc độ tăng trưởng của hiện tại
từ đó đưa ra kế hoạch hóa dân số cụ thể và chính xác.
1.3 : các mô hình tăng trưởng dân số
Để phục vụ vụ mục đích trên một số mô hình tăng trưởng dân số đã được tạo ra
tiêu biểu nhất là hai mô hình : mô hình Malthus ( hàm mũ) và mô hình Logistic.
Hai mô hình trên đều dựa vào phép toán vi phân, bài báo cáo này sẽ nêu rõ
thông tin về hai mô hình trên.
Phần II : Sơ lược về vi phân
Trong toán học, vi phân là một nhánh con của vi tích phân [1] liên quan đến nghiên
cứu về tốc độ thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi. Đây là một trong hai
nhánh truyền thống của vi tích phân, cái còn lại là tích phân, nghiên cứu về diện
tích nằm bên dưới một đường cong.[2]
Các đối tượng nghiên cứu chính trong vi phân là đạo hàm của hàm số, các khái
niệm liên quan như vi phân hàm số và các ứng dụng của chúng. Đạo hàm của hàm
tại một giá trị đầu vào được chọn mô tả tốc độ thay đổi của hàm gần giá trị đầu
vào đó. Về mặt hình học, đạo hàm tại một điểm là độ dốc của đường tiếp tuyến
với đồ thị của hàm tại điểm đó, với điều kiện là đạo hàm tồn tại và được xác định
tại điểm đó. Đối với hàm có giá trị thực của một biến thực duy nhất, đạo hàm của
hàm tại một điểm thường xác định xấp xỉ tuyến tính tốt nhất cho hàm tại điểm đó.
Phép tính vi phân và phép tính tích phân được kết nối bởi định lý cơ bản của vi
tích phân, trong đó nêu rõ vi phân là quá trình ngược lại với tích phân. lOMoARcPSD| 36782889
Các đạo hàm thường được sử dụng để tìm cực đại và cực tiểu của hàm. Các trình vi phân
và là cơ bản trong việc mô tả các hiện tượng tự
nhiên . Các dẫn xuất và khái quát hóa của chúng xuất hiện trong
nhiều lĩnh vực toán học, chẳng hạn như giải tích phức , giải tích
phương trình liên quan đến đạo hàm được gọi là phương hàm, hình học vi phân,
lý thuyết đo lường và đại số trừu tượng.
Phần III : Các mô hình tăng trưởng dân số phổ biến
3.1 : Mô hình phát triển Malthus ( Malthus model) -
Mô hình phát triển Malthus là một mô hình mô tả sự tăng trưởng dân số
dựa trên giả định rằng dân số sẽ tăng trưởng vô hạn nếu không có giới hạn về
nguồn lực. Mô hình này được phát triển bởi Thomas Malthus, một nhà kinh tế
học người Anh, vào thế kỷ 18. -
Mô hình Malthus dựa trên hai giả định chính:
+Tỷ lệ sinh sẽ luôn cao hơn tỷ lệ tử vong.
+Nguồn lực sẽ tăng trưởng theo cấp số cộng. -
Hai giả định này dẫn đến kết luận rằng dân số sẽ tăng trưởng theo cấp số
nhân. Điều này có nghĩa là dân số sẽ tăng nhanh hơn và nhanh hơn theo thời gian.
Mô hình Malthus đã bị chỉ trích vì không tính đến các yếu tố như sự tiến bộ công
nghệ và thay đổi hành vi sinh sản. Tuy nhiên, mô hình này vẫn là một mô hình hữu
ích để hiểu các nguyên tắc cơ bản của sự tăng trưởng dân số. - Công thức Pt=P0ert Trong đó:
Pt: là dân số tại thời điểm t P0 : là dân số
ban đầu r : là tốc độ tăng trưởng của dân số t : là thời gian
+ Ví dụ, giả sử chúng ta biết dân số của một quốc gia là 100 triệu người vào năm
2023 và tốc độ tăng trưởng dân số là 2% mỗi năm. Chúng ta có thể sử dụng hàm
mũ đơn giản để dự đoán dân số của quốc gia vào năm 2025 như sau: lOMoARcPSD| 36782889
P2025=P2023ert ¿100e0.02∗2 ¿104,04(triệu)
=> Chúng ta có thể dự đoán dân số thế giới vào năm 2025 sẽ là 104,04 triệu người.
3.2 Mô hình logistic ( Logistic model ) -
Mô hình tăng trưởng logistic là một mô hình mô tả sự tăng trưởng của một
hệ thống dựa trên giả định rằng hệ thống có một giới hạn trên về kích thước. Mô
hình này được đặt theo tên của nhà toán học người Hà Lan Pierre François
Verhulst, người đã phát triển nó vào thế kỷ 19. -
Mô hình tăng trưởng logistic thường được biểu diễn bằng một đường cong
. Đường cong bắt đầu ở giá trị thấp, sau đó tăng nhanh chóng trong một thời gian,
sau đó tăng chậm lại và cuối cùng đạt đến giá trị giới hạn trên.
Công thức cho mô hình tăng trưởng logistic là: dPdt =rP¿)
+ dP/dt : là tốc độ thay đổi của dân số theo thời gian
+ r : là tốc độ tăng trưởng của dân số
+ P : là dân số tại thời điểm t
+ K : là giới hạn trên về kích thước của hệ thống -
Phương trình vi phân trên có thể được giải bằng cách sử dụng phương
pháp phân tích toán học suy ta t có hàm Logistic sau K
P (t)= 1+e−rt
P(t): dân số tại thời điểm t
K: giới hạn trên về kích thước của hệ thống r: tốc độ
tăng trưởng của hệ thống t: thời gian
Sau đây là một ví dụ về ứng dụng mô hình logistic để tính toán dân số:
Giả sử dân số ban đầu của một quốc gia là 100 tngười và tốc độ tăng trưởng mỗi năm là 2% lOMoARcPSD| 36782889
Nguồn tham khảo :
https://www.duhoctrungquoc.vn
Wikipedia, bách khoa toàn thư mở
GitHub: Let’s build from here · GitHub (1) Bro Code - YouTube