Bài tập minh họa chương 3 - Môn Xác suất và thống kê

Bài tập minh họa chương 3 - Môn Xác suất và thống kê gồm 22 ví dụ có lời giải chi tiết, giúp sinh viên dễ dàng tham khảo, nắm chắc các dạng bài tập trong chương 3, củng cố kiến thức cho các bài kiểm tra giữa kỳ và cuối kỳ đạt kết quả cao!

255 128 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất và thống kê - TTK (TN440E)

Trường: Đại học Cần Thơ

Thông tin:

16 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thu Hoàn
P
(
X 2
)
=
Σ
C
0,1 .0, 9 = 0,1117
VÍ DỤ CHƯƠNG 3:
Ví dụ 1. Một khách hàng mua xe tại một đại lý, nếu xe có sự cố kỹ thuật thì được quyền trả
xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và được lấy lại nguyên số tiền mua xe. Mỗi chiếc xe bị
trả lại như thế làm thiệt hại cho đại lý 250 ngàn VNĐ. Có 50 xe được bán ra. Xác suất để
một xe bị trả lại là 0,1.
a)
Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả. Tính xác xuất để có nhiều nhất 2 xe
bị trả lại.
b)
Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà tổng đại lý phải chịu do việc
trả lại xe.
Giải.
Gọi X là BNN chỉ số xe bị trả lại trong số 50 xe vừa được bán ra.
Ta có
X ~ B
(
n, p
)
, n = 50, p = 0,1 .
a)
Kỳ vọng số xe bị trả lại (Số xe trung bình bị trả lại):
EX
=
np
=
50.0,1
=
5
Phương sai của số xe bị trả lại:
DX
=
npq
=
50.0,1.0,9
=
4, 5
Xác suất có nhiều nhất 2 xe bị trả lại:
2
x
x
50
—
x
50
x
=
0
b)
Gọi
Y
là BNN chỉ thiệt hại của đại lý do việc trả lại xe.
Ta có
Y
=
250X
Kỳ vọng của
Y
:
EY = E
(
250X
)
= 250.EX = 250.5 = 1250
(ngàn đồng)
Phương sai của
Y
:
DY = D
(
250X
)
= 250
2
DX = 250
2
.4, 5
Độ lệch chuẩn củaY :
σ
=
250σ
=
250
=
530, 3301
Y
X
Ví dụ 2: Một thí sinh tên M tham dự một kỳ thi môn XSTK. M phải làm một đề thi trắc
nghiệm khách quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời đáp án khác nhau, trong đó chỉ có một
lời đáp án đúng. M sẽ được chấm đậu nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu.
a)
Giả sử M không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời đáp án trong cả 10 câu. Tính
xác suất để M thi đậu.
P
(
X 6
)
=
Σ
C
0,25 .0,75 = 0, 0197
P
(
Y 3
)
=
Σ
C
0,25 .0, 75 = 0, 8862
Giải.
b)
Giả sử M chắc chắn trả lời đúng được 2 câu; còn các câu khác, M chọn ngẫu nhiên một
trong 4 lời đáp án của mỗi câu. Tính xác suất để M thi rớt.
a)
Gọi X là BNN chỉ số câu thí sinh M chọn đúng trong 10 câu.
Ta có
X
~
B
(
n
,
p
)
, n
=
10 và p
=
0,25 .
Xs thí sinh M thi đậu:
10
x
x
10
—
x
10
x
=
6
b)
Gọi
Y
là BNN chỉ số câu trả lời đúng trong 8 câu còn lại:
Ta có
Y
~
B
(
n
,
p
)
,
n
=
8, p
=
0,25
.
Xác suất thí sinh thi rớt:
3
x x
8
—
x
8
x =0
Ví dụ 3: Nhà máy dệt muốn tuyển dụng người biết rành về một loại sợi. Nhà máy thử thách
người dự tuyển 7 lần. Mỗi lần nhà máy đem ra 4 sợi giống nhau, trong đó chỉ có một sợi
thật và yêu cầu người này chọn ra sợi thật. Nếu chọn đúng ít nhất 6 lần thì được tuyển
dụng. Một người đến xin tuyển dụng nói: "Chỉ cần nhìn qua là có thể phân biệt sợi thật hay
giả với xác suất 80% ".
a)
Nếu người này nói đúng khả năng của mình thì xác suất được tuyển dụng là bao
nhiêu?
b)
Tính xác suất để được tuyển dụng trong trường hợp, thật ra, người này không biết
gì về sợi cả.
Tự làm
HD:
a)
Gọi X là BNN chỉ số lần chọn đúng sợi thật của người dự tuyển.
Ta có
X
~
B
(
n
,
p
)
,
n
=
7, p
=
0, 8
Xác suất được tuyển dụng:
P
(
X
6
)
=
b)
Gọi X là BNN chỉ số lần chọn đúng sợi thật của người dự tuyển.
3
Ta có
X ~ B
(
n, p
)
,
n
=
7, p
=
0,25
Xác suất được tuyển dụng:
P
(
X 6
)
= ?
Ví dụ 4: Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là
P
A
=
0,1 ở lô B là P
B
=
0,08
và ở lô C là P
C
= 0,15 .
Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc.
a)
Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong 3 chai.
Tính xác suất để có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.
b)
Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô C rồi để
lẫn lộn. Một người đến mua 1 chai về dùng. Tính xác suất để được chai tốt.
Giải:
a)
Gọi
X
là BNN chỉ số chai hỏng trong 3 chai lấy ra ở lô A.
Ta có:
X ~ B
(
n, p
)
,n
=
3, p
=
0,1
P
(
X = x
)
= C
x
0,1
x
.0, 9
3
—
x
,x = 0,1,2, 3
Bảng phân phối xs:
x
0
2
3
P
(
X = x
)
0,729
0,027
0,001
Xs có 2 chai hỏng:
P
(
X = 2
)
= 0, 027
Xs có ít nhất một chai hỏng:
P
(
X 1
)
= 1 — P
(
X = 0
)
= 0,271
b)
Gọi
T
: “Lấy được chai tốt”
Gọi A : “Chai lấy được thuộc lô A”
Gọi B : “Chai lấy được thuộc lô B”
Gọi C : “Chai lấy được thuộc lô C”
Ta có, A,B,C
là hệ đầy đủ các biến cố.
P
(
A
)
=
500
= 0, 5;P
(
B
)
=
300
=
0, 3
và
1000
1000
P
(
C
)
=
200
1000
=
0,2
.
Các
xs
điều
kiện: P
(
T / A
)
= 0, 9;
P
(
T
/
B
)
= 0, 92 và
P
(
T
/C
)
= 0, 85.
Theo công thức xs đầy đủ ta được:
P
(
T
)
= P
(
A
)
P
(
T
/
A
)
+ P
(
B
)
P
(
T
/
B
)
+ P
(
C
)
P
(
T
/C
)
= 0, 5.0, 9 + 0, 3.0, 92 + 0,2.0, 85 = 0, 8960
2
Ví dụ 5. Giả sử ngày sinh của người dân trong một thành phố lớn có thể rơi ngẫu nhiên
vào một ngày bất kỳ trong năm (365 ngày). Chọn ngẫu nhiên 1095 người trong thành phố
đó. Tính xác suất để :
a)
Có hai người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho.
b)
Có không quá 7 người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho.
Giải.
Gọi X
là BNN chỉ số người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho.
Ta có
X ~ B
(
n, p
)
,
n
=
1095,
p
=
1
365
Vì
n
khá lớn và
np
=
1095.
bằng phân phối Poisson:
1
365
=
3
5
nên có thể tính gần đúng phân phối nhị thức
a)
Xác suất có hai người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho:
P
(
X = 2
)
(
np
)
2
.
e
—
np
=
3
.
e
—
3
=
0,2240
2 ! 2 !
b)
Xác suất có không quá 7 người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho.
P
(
X 7
)
=
Σ
x =0
(
np
)
x
x !
e
—
np
= 0, 9881
Ví dụ 6: Một công nhân quản lý 12 máy dệt. Các máy dệt hoạt động độc lập nhau, và xác
suất để mỗi máy, trong ca làm việc, cần sự chăm sóc của công nhân (viết tắt là CCN) là
0,3.
a)
Tính xác suất để, trong ca làm việc, có
1)
4 máy CCN
2)
từ 3 đến 7 máy CCN
b)
Trung bình, trong ca làm việc, có bao nhiêu máy CCN? Trong ca làm việc, tìm số
máy CCN nhiều khả năng nhất; tính xác suất tương ứng.
Giải.
Gọi X
là BNN chỉ số máy CCN trong ca làm việc.
Ta có
X ~ B
(
n, p
)
,
n
=
12, p
=
0, 3
a)
Xs trong ca làm việc
1)
Có 4 máy CCN
7
P
(
3
X
7
)
=
Σ
C .0, 3 .0, 7
=
?
12
0,8
P
(
X = 4
)
= C
4
.0, 3
4
.0, 7
8
=
2)
Có từ 3 đến 7 máy CCN
7
x x
12
—
x
12
x =3
b)
Số máy CCN trung bình trong ca làm việc:
EX
=
np
=
12.0, 3
=
3, 6
Số máy CCN nhiều khả năng nhất:
mod X =
F
(
n + 1
)
p
l
=
F
I
13.0, 3
l
l
= 3
I
L
l
L
Xác suất tương ứng:
P
(
X = 3
)
= ?
Ví dụ 7: Người ta muốn lấy một số hạt lúa từ một kho lúa có tỉ lệ hạt lép là 0,2 để kiểm
tra. Biết rằng kho lúa có rất nhiều hạt.
a)
Phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt lúa để xác suất có ít nhất một hạt lép không bé hơn
95%?
b)
Lấy ngẫu nhiên 100 hạt lúa, tính xác suất để trong đó có 25 hạt lép; có từ 10 đến
40 hạt lép.
Giải.
a)
Gọi n số hạt lúa cần lấy và X
là BNN chỉ số hạt lép trong n hạt lấy ra. Ta có
X ~ B
(
n, p
)
,
n
chưa biết,
Xs có ít nhất một hạt lép:
p
=
0,2
.
P
(
X 1
)
= 1 — P
(
X = 0
)
= 1 —
(
1 — p
)
n
= 1 —
(
1 — 0, 2
)
n
= 1 — 0, 8
n
Theo đề bài, ta có:
1 — 0, 8
n
0, 95
e
0, 8
n
0, 05
e
n log 0, 05 = 13, 4251
n
=
14
Vậy, phải lấy ít nhất 14 hạt lúa.
b)
Gọi X
là BNN chỉ số hạt lép trong 100 hạt lấy ra. Ta có
X ~ B
(
n, p
)
, n = 100 ,
p
=
0,2
.
Xác suất để trong đó có 25 hạt lép
20.0, 8
20.0, 8
100
C
P
(
X
=
k
)
=
8
2
,
k
=
0,1,2
P
(
X = 25
)
= C
25
.0,2
25
.0, 8
75
=
Xác suất có từ 10 đến 40 hạt lép:
Do n khá lớn, np = 100.0,2 = 20 5 , n
(
1 — p
)
= 100.0, 8 = 80 5
Nên xs cần tính:
l
40
—
20
h
ı
l
10
—
20
h
ı
P
(
10
X
40
)
Ф
—
Ф = 1 — 0, 0062 = 0, 9938
Ví dụ 8: (Câu 65) Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm loại A. Lấy
ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Đặt X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong các sản
phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X . Tính E
(
X
)
, D
(
X
)
.
Giải.
Ta có
X ~ H
(
N,T,n
)
,
N
=
10,
T
=
8,
n
=
2
,
Im X
=
(
0,1,2
}
,
C
k
C
2—k
2
10
Bảng phân phối xác suất:
x
0
1
2
P
(
X = x
)
1
45
16
45
28
45
EX
=
np
=
2.
8
=
8
10
5
DX
=
npq
N
—
n
=
2.
8
.
2
.
8
=
64
.
N
—
1 10 10 9 225
Ví dụ 9. Một trạm bưu điện chuyển điện trong khoảng thời gian 10
-5
giây. Trong quá trình
truyền điện có các tiếng ồn ngẫu nhiên. Số tín hiệu ồn ngẫu nhiên trong 1 giây là 10
4
. nếu
trong thời gian truyền tín hiệu có dù chỉ một tín hiệu ồn ngẫu nhiên thì trạm sẽ ngừng làm
việc. Tính xác suất để cho việc truyền tín hiệu bị gián đoạn. Biết rằng số tín hiệu ồn ngẫu
nhiên rơi vào máy trong khoảng thời gian truyền tín hiệu là biến ngẫu nhiên tuân theo luật
phân phối Poisson.
Giải.
Gọi X là BNN chỉ số tín hiệu ồn ngẫu nhiên rơi vào máy trong khoảng thời gian tryền tin.
Theo đề bài, ta có
X ~ Poisson
(
λ
)
. Ở đây, EX = λ
là số tín hiệu ồn trung bình rơi vào
máy trong khoảng thời gian truyền tin.
Suy ra λ = 10
4
.10
—
5
= 0,1 .
Xác suất việc truyền tin bị gián đoạn: (Việc truyền tin bị gián đoạn khi có ít nhất 1 tín hiệu
ồn rơi vào máy trong trói gian truyền tin, nghĩa là X nhận giá trị từ 1 trở lên)
P
(
X 1
)
= 1 — P
(
X = 0
)
= 1 —e
—
0,1
= 0, 0952
Ví dụ 10. Số lỗi trên 1 mét vuông vải là một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
Poisson. Kiểm tra lô vải, người ta thấy 98% có lỗi. Vậy trung bình mỗi mét vuông vải có
bao nhiêu lỗi?
Giải.
Gọi X là BNN chỉ số lỗi trên mỗi mét vuông vải.
Theo đề bài X ~ Poisson
(
λ
)
, λ = ?
P
(
X 1
)
= 0, 98
e
1 —
P
(
X = 0
)
= 0, 98
e
1
—
e
—
λ
=
0, 98
e
e
—
λ
=
0, 02
e
λ
= —
ln 0, 02
=
3,9120
Vậy, trung bình mỗi mét vuông vải có khoảng 3,9120 lỗi.
Ví dụ 11. (Câu 81). Tại một trạm kiểm soát giao thông trung bình một phút có hai xe ô tô
đi qua. Biết rằng số xe qua trạm trong một phút là biến ngẫu nhiên có luật phân phối
Poisson.
a)
Tính xác suất để có đúng 6 xe đi qua trong vòng 3 phút.
b)
Tính xác suất để trong khoảng thời gian t phút, có ít nhất 1 xe ô tô đi qua. Xác định t để
xác suất này là 0,99.
Giải.
a)
Gọi X là BNN chỉ số xe qua trạm trong vòng 3 phút. Ta có
λ = 2.3 = 6 .
Xác suất cần tính:
P
(
X = 6
)
=
X ~ Poisson
(
λ
)
với
k !
k !
b)
Gọi
Y
là BNN chỉ số xe qua trạm trong
t
phút. Ta có
Y
~ Poisson
(
2t
)
.
Xs có ít nhất một ô tô đi qua:
P
(
Y 1
)
= 1 — P
(
Y
Theo đề bài, ta có
=
0
)
=
1
—
e
—
2t
1 —e
—
2t
= 0,99
e
t
=
2, 3026
(phút)
Ví dụ 12 (câu 82) Tại một nhà máy trung bình một tháng có hai tai nạn lao động. Biết rằng
số tai nạn lao động trong một tháng là BNN có phân phối Poisson.
a)
Tính xác suất để trong khoảng thời gian ba tháng liên tiếp xảy ra nhiều nhất 3 tai nạn.
b)
Tính xác suất để trong 3 tháng liên tiếp, mỗi tháng xảy ra nhiều nhất một tai nạn.
Giải.
a)
Gọi X là BNN chỉ số tai nạn lao động trong ba tháng liên tiếp. Ta có
với λ = 6 .
Xác suất cần tính:
X ~ Poisson
(
λ
)
3
6
k
6
P
(
X 3
)
=
Σ
e
k =0
=
0,1512
b)
Gọi
X
i
là BNN chỉ số tai nạn trong tháng thứ i , i = 1,2, 3
Ta có X
i
~ Poisson
(
2
)
Xác suất có nhiều nhất một tai nạn trong một tháng bất kỳ:
1
2
k
2
P
(
X
i
1
)
=
Σ
e
k =0
= 0, 406
Xác suất trong 3 tháng liên tiếp mỗi tháng có nhiều nhất một tai nạn.
P
(
X 1; X 1; X 1
)
= P
(
X 1
)
P
(
X 1
)
P
(
X 1
)
= 0, 406
3
1 2 3 1 2 3
Ví dụ 13 (Câu 83) Một trạm cho thuê xe taxi có 3 chiếc xe. Hằng ngày trạm phải nộp thuế
8USD cho 1 chiếc xe (dù xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc xe cho thuê với giá
20USD.
Giả sử số yêu cầu thuê xe của trạm trong một ngày là biến ngẫu nhiên X có phân phối
Poisson với tham số λ = 2,8.
a)
Gọi
Y
là số tiền thu được trong 1 ngày của trạm. Lập bảng phân phối xác suất của
Y
.
Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b)
Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe.
c)
Để thu được nhiều tiền nhất trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?
Giải.
a)
Ta có ImY =
(
—24;—4;16; 36
}
, X ~ Poisson
(
2, 8
)
P
(
Y = —24
)
= P
(
X = 0
)
= e
—
2,8
= 0, 0608
P
(
Y = —4
)
= P
(
X = 1
)
=
2, 8
1
1!
.e
—2,8
=
0,1703
P
(
Y
= 16
)
= P
(
X = 2
)
=
2, 8
2
2!
.e
—2,8
=
0,2384
P
(
Y = 36
)
= P
(
X 3
)
= 1 — P
(
X < 3
)
= 0, 5305
Bảng phân phối xác suất của Y :
y
—
24
—
4
16
36
P
(
Y = y
)
0,0608
0,1703
0,2384
0,5305
Số tiền trung bình trạm thu được:
EY
=
20, 7720
USD
b)
Giả sử trạm có 4 chiếc xe:
ImY =
(
—32;—12; 8;28; 48
}
P
(
Y = —32
)
= P
(
X = 0
)
= 0, 0608
P
(
Y = —12
)
= P
(
X = 1
)
= 0,1703
P
(
Y
= 8
)
= P
(
X = 2
)
= 0,2384
2, 8
3
—
2,8
P
(
Y
= 28
)
= P
(
X = 3
)
= .e
3!
=
0,2225
P
(
Y = 48
)
= P
(
X 4
)
= 1 — P
(
X < 4
)
= 0, 3080
Bảng ppxs của
Y
:
y
—
32
—
12
8
28
48
P
(
Y = y
)
0,0608
0,1703
0,2384
0,2225
0,3080
Số tiền trung bình trạm thu được:
EY
=
18, 9320
USD.
c)
Số tiền trung bình thu được khi có trạm có 3 chiếc xe lớn hơn khi trạm có 4 chiếc xe.
Vậy, trạm nên có 3 chiếc xe.
Ví dụ 14 (Câu 86). Một cửa hàng có 4 chiếc xe ô tô cho thuê ; số khách có nhu cầu thuê
trong một ngày là một biến ngẫu nhiên
X
có phân bố Poisson. Biết rằng E X
2 .
a)
Hãy tính số ô tô trung bình mà cửa hàng cho thuê trong một ngày.
1
3
b)
Cửa hàng cần ít nhất bao nhiêu ô tô để xác suất không nhỏ hơn 0,98 cửa hàng đáp ứng
nhu cầu khách trong ngày?
Giải.
a)
Gọi
Y
là BNN chỉ số ô tô cửa hàng cho thuê trong 1 ngày,
X ~ Poisson
(
2
)
ImY =
(
0;1;2; 3; 4
}
.
P
(
Y = 0
)
= P
(
X = 0
)
= e
—
2
= 0,1353
P
(
Y = 1
)
= P
(
X = 1
)
=
2
.e
—
2
1!
2
2
—
2
=
0,2707
P
(
Y = 2
)
= P
(
X = 2
)
=
P
(
Y = 3
)
= P
(
X = 3
)
=
.e
2!
2
.e
—2
3!
=
0,2707
=
0,1804
P
(
Y = 4
)
= P
(
X 4
)
= 1 — P
(
X < 4
)
= 0,1429
Suy ra, số ô tô cho thuê trung bình trong một ngày là:
EY
=
1, 9249
b)
Gọi n là số ô tô cửa hàng cần có. Cửa hàng đáp ứng nhu cầu của khách khi X n .
Theo đề bài ta có
P
(
X n
)
> 0, 98
Thử với n = 4 , ta có P
(
X 4
)
= 0,9473 < 0, 98
Thử với n = 5 , ta có
Vậy, chọn n = 5 .
P
(
X 5
)
= 0,9834 > 0, 98
Ví dụ 15 (Câu 87) Số hoa mọc trong một chậu cây cảnh là một biến ngẫu nhiên có phân bố
Poisson với tham số
hoa?
3 . Người ta chỉ đem bán các chậu cây với số hoa là 2, 3, 4 và 5
a)
Tính xác suất để một chậu trong các chậu đem bán có 2 hoa? 3 hoa? 4 hoa và 5 hoa?
b)
Tính số hoa trung bình và độ lệch tiêu chuẩn số hoa của các chậu hoa đem bán.
Giải.
a)
Gọi X
là BNN chỉ số hoa trên một chậu cây. Ta có X ~ Poisson
(
3
)
.
Gọi Y là BNN chỉ số hoa trên một chậu trong các chậu đem bán,
Gọi
A
:
“Một chậu được đem bán”
ImY =
(
2; 3; 4;5
}
k !
2
2!
3
3 !
4
4 !
5
5 !
5
3
k
3
P
(
A
)
=
P
(
2
X
5
)
=
Σ
.e
k =2
= 0, 7169
Xác suất một chậu đem bán có 2 hoa:
P
(
X = 2
)
3
.e
P
(
X
=
2 / A
)
=
=
=
0, 3125
P
(
A
)
0, 7169
Xác suất một chậu đem bán có 3 hoa:
P
(
X = 3
)
3
.e
P
(
X
=
3 / A
)
=
=
=
0, 3125
P
(
A
)
0, 7169
Xác suất một chậu đem bán có 4 hoa:
P
(
X = 4
)
3
.e
P
(
X
=
4 / A
)
=
=
=
0,2344
P
(
A
)
0, 7169
Xác suất một chậu đem bán có 5 hoa:
P
(
X = 5
)
3
.e
P
(
X
=
5 / A
)
=
=
=
0,1406
P
(
A
)
0, 7169
b)
Bảng phân phối xác suất của Y:
y
2
3
4
5
P
(
Y = y
)
0,3125
0,3125
0,2344
0,1406
Số hoa trung bình:
EY
=
3, 2031
Độ lệch chuẩn của số hoa trong các chậu đem bán:
Y
= 1, 0335 .
Ví dụ 16: Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A là một BNN tuân theo luật phân phối
chuẩn với các tham số = 10 và σ = 1 (đơn vị là phút)
a)
Tính xác suất để một sản phẩm loại A nào đó được sản xuất trong khoảng thời gian
từ 9 phút đến 12 phút.
b)
Tính khoảng thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ.
Giải.
Giải.
σ
—
3
—
3
—
3
—
3
t
µ = 10
Gọi X là BNN chỉ thời gian để sản xuất ra một sản phẩm A bất kì, X ~ N
(
µ,σ
2
)
với
và σ = 1
a)
Xác suất cần tính:
l
12
—
10
ı
h
l
9
—
10
ı
h
P
(
9
X
12
)
= Ф
ı
—
Ф
ı
y
1
ı
y
1
ı
= Ф
(
2
)
— Ф
(
—
1
)
= Ф
(
2
)
—
(
1
— Ф
(
1
)
)
= Ф
(
1
)
+ Ф
(
2
)
—
1
= 0, 8413 + 0, 9772 — 1 = 0, 8186
b)
Thời gian cần thiết để sản xuất ra một sản phẩm bất kì:
Theo quy tắc 3 σ , thời gian cần thiết để sản xuất ra một sản phẩm A bất kỳ thuộc vào
khoảng:
(
µ — 3σ; µ + 3σ
)
=
(
7;13
)
Vậy, khoảng thời gian cần thiết để sản xuất ra một sp A bất kỳ là từ 7 phút đến 13
phút.
Ví dụ: (tự câu 90) Chiều cao của người là BNN X ~ N
(
µ,σ
2
)
với µ = 165
cm và
σ = 5 cm.
a)
Tính xs để một người được gặp ngẫu nhiên có chiều cao trên 175 cm.
b)
Tính xs để một người được gặp ngẫu nhiên có chiều cao dưới 150 cm.
c)
Hầu như chắc chắn, một người được gặp ngẫu nhiên có chiều cao rơi vào khoảng
nào?
Ví dụ 17: Cho biến ngẫu nhiên X
tuân theo luật phân phối N (µ,σ
2
) . Biết rằng
X lấy giá trị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác
suất 0,0516, hãy tính
và .
Giải.
Theo đề bài ta có:
P
(
X
<
60
)
=
0,1003
(
P
(
X
>
90
)
=
0, 0516
l
60
—
µ
ı
h
Ф
ı
=
0,1003
e
y
σ
ı
(
l
90 — µ
ı
h
1
— Ф
ı
= 0, 0516
t
y
σ
ı
t
t
ı
l
60 — µ
ı
h
l
60
—
µ
ı
h
l
60
—
µ
ı
h
1
— Ф
ı
= 1 — 0,1003
Ф —
ı
=
0,
8997
Ф —
ı
= Ф
(
1,28
)
e
y
σ
ı
e
y
σ
ı
e
y
σ
ı
(
l
90
—
µ
ı
h
(
l
90 — µ
ı
h
(
l
90 — µ
ı
h
Ф
ı
= 1 — 0, 0516
Ф
ı
=
0,
9484
Ф
ı
= Ф
(
1, 63
)
t
y
σ
ı
t
y
σ
ı
t
y
σ
ı
60
—
µ
— = 1,28
µ
—
1,28σ
=
60
µ
=
73,1959
e
σ
(
e
(
.
(
90
— µ
= 1, 63
µ
+
1, 63σ
=
90
σ
=
10, 3093
t
σ
Vậy,
µ
=
73,1959
và
σ
=
10, 3093
.
Ví dụ 18. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn,
kỳ vọng 20mm, phương sai
(
0,2
)
2
mm
2
. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết
a)
Có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm.
b)
Có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3mm.
HD:
Gọi X là BNN chỉ đường kính của một chi tiết máy, X ~ N
(
µ,σ
2
)
, µ = 20 mm, σ = 0,2 mm
a)
Xs cần tính: P
(
19, 9 < X < 20, 3
)
b)
Xs cần tình P
(
X — µ 0, 3
)
Ví dụ 19. Ở thành phố A có 54% dân số nữ.
a)
Chọn ngẫu nhiên 450 người. Tính xác suất để trong số đó số nữ ít hơn số nam.
b)
Giả sử chọn ngẫu nhiên n người. Xác định n để với xác suất 0,99 có thể khẳng định
rằng số nữ là nhiều hơn số nam.
Giải.
a)
Gọi X
là BNN chỉ số nữ có trong 450 người được chọn,
p
=
0, 54
.
X ~ B
(
n, p
)
với
n
=
450
và
Vì n
=
450
>
100 ,
np
=
450.0, 54
=
243
>
5
và
n
(
1
—
p
)
=
450
(
1
—
0,54
)
5
Ta có thể xem X ~ N
(
µ,σ
2
)
với µ = np
Xs nữ ít hơn nam:
và σ
2
= np
(
1 — p
)
P
(
X
<
450
—
X
)
=
P
(
2
X
<
450
)
=
P
l
X
<
450
ı
h
=
P
(
X
<
225
)
y
2
ı
450.0, 54.0, 46
npq
ı
(
)
(
)
= Ф
=
l
225 —
µ
h
ı
l
225
—
243
ı
h
=
Ф
y
σ
ı
=
Ф
= 0, 0443
b)
Gọi
n là số người được chọn,
n được chọn khá lớn
n
(
1
—
p
)
>
5 .
Khi đó Xs nữ nhiều hơn nam:
n 0 sao cho
np
>
5
và
l
h
l
h
ı
P
(
X > n —
X
)
= P X >
n
ı
= 1 —
Ф
n
/
2 — np
ı
= 0,99
2
ı
y
l
n
/
2
—
np
h
ı
Suy ra Ф — = 0, 99 = Ф 2, 3263
n
/
2
—
np
n
(
0, 5 — 0, 54
)
Suy ra
—
=
2, 3263
e
—
=
2, 3263
e
n
=
840,1620
Vậy, n = 840 người.
Ví dụ 20. Một trường đại học có chỉ tiêu tuyển sinh là 300.
a)
Giả sử có 325 người dự thi và xác suất thi đậu của mỗi người là 90%. Tính xác suất để
số người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu.
b)
Cần cho phép tối đa bao nhiêu người dự thi (xác suất thi đậu vẫn là 90%) để biến cố: “Số
người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu” có xác suất nhỏ hơn 99%.
Giải.
a)
Gọi X là số người trúng tuyển trong số 325 người dự tuyển,
X ~ B
(
n,
p
)
với
n
=
322
và
p
=
0, 9
Vì n = 325 > 100 và np = 325.0, 9 = 292, 5 > 5 , n
(
1 — p
)
= 325.0,1 = 32, 5 > 5
Có thể xem X ~ N
(
µ,σ
2
)
với µ = np
và σ = , q = 1 — p
Xs số người trúng tuyển không ượt quá chỉ tiêu:
l
300
—
np
h
ı
P
X 300 0, 9172
b)
Gọi n là sốn người dự thi. X là BNN chỉ số người trúng tuyển trong số n người dự
thi.
Giả sử n khá lớn và np
>
5,npq
>
5 .
Xs số người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu là:
npq
300
—
np
ı
X
Y
l
h
P
(
X
300
)
= Ф
0, 99
= Ф
(
2, 3263
)
Suy ra
300 — np
2, 3263
Suy ra
np + 2, 3263
—
300
0
17, 8738 n 319, 4727
Suy ra n = 320
Vậy, chọn n = 320 người.
Ví dụ 21. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập
X
~N
(
10; 1, 2
2
)
và
Y
~N
(
9;
0, 5
2
)
.
a)
Tính P
(
10, 5 ≤ X ≤ 12
)
và P
(
Y > 10
)
.
b)
Tính
P
(
X
>
Y
)
và
P
(
X
+
Y
<
18
)
.
Giải.
b)
P
(
X
>
Y
)
= P
(
X —
Y
> 0
)
Ta có X —
Y
~ N
(
µ,σ
2
)
với µ = µ — µ
= 10 — 9 = 1
σ
2
= 1,2
2
+ 0, 5
2
= 1, 3
2
l
0
—
µ
ı
h
Do đó,
P
(
X
>
Y
)
=
P
(
X
—
Y
>
0
)
=
1
—
Ф
y
σ
ı
ı
Tương tư X
+
Y ~ N
(
µ,σ
2
)
với µ
=
µ
+
µ
=
19
và σ
2
= 1,2
2
+ 0, 5
2
= 1, 3
2
X
Y
P
(
X +Y < 18
)
= Ф
(
18 – 19
⎞
|
1,
3
|
⎝
⎠
Ví dụ 22. (Câu 66) Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%.
a)
Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất để có nhiều nhất 2 sản
phẩm giả.
b)
Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một để kiểm tra cho đến khi nào gặp sản
phẩm giả thì dừng. Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm
thật đã kiểm tra.
HD:
a)
Gọi X là BNN chỉ số sp giả trong 10 sp lấy ra,
Xs cần tính P
(
X 2
)
b)
Gọi
Y
là BNN chỉ số sp thật đã kiểm tra.
ImY
=
(
0;1;2;...
}
P
(
Y = 0
)
= 0, 3
P
(
Y = 1
)
= 0, 7.0, 3
P
(
Y = 2
)
= 0,7
2
.0, 3
…..
P
(
Y = k
)
= 0, 7
k
.0, 3
Kỳ vọng của
Y
:
X ~ B
(
n, p
)
với
n
=
10
và
p
=
0, 3
EY
=
Σ
kP
(
X
=
k
)
k =0
1 7
=
k
k
—
1
Σ
k.0, 7 .0, 3
=
0,21
Σ
k 0, 7
=
0,21
=
2
3
k =1 k =0
(
1
—
0, 7
)
| 1/16
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

VÍ DỤ CHƯƠNG 3:
Ví dụ 1. Một khách hàng mua xe tại một đại lý, nếu xe có sự cố kỹ thuật thì được quyền trả
xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và được lấy lại nguyên số tiền mua xe. Mỗi chiếc xe bị
trả lại như thế làm thiệt hại cho đại lý 250 ngàn VNĐ. Có 50 xe được bán ra. Xác suất để
một xe bị trả lại là 0,1.
a) Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả. Tính xác xuất để có nhiều nhất 2 xe bị trả lại.
b) Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà tổng đại lý phải chịu do việc trả lại xe. Giải.
Gọi X là BNN chỉ số xe bị trả lại trong số 50 xe vừa được bán ra.
Ta có X ~ B (n, p ), n = 50, p = 0,1 .
a) Kỳ vọng số xe bị trả lại (Số xe trung bình bị trả lại):
EX = np = 50.0,1 = 5
Phương sai của số xe bị trả lại:
DX = npq = 50.0,1.0,9 = 4, 5
Xác suất có nhiều nhất 2 xe bị trả lại: 2 x x 50—x P (X 2) = ΣC 500,1 .0, 9 = 0,1117 x =0
b) Gọi Y là BNN chỉ thiệt hại của đại lý do việc trả lại xe. Ta có Y = 250X
Kỳ vọng của Y :
EY = E (250X ) = 250.EX = 250.5 = 1250 (ngàn đồng) Phương sai của Y :
DY = D (250X ) = 2502DX = 2502.4, 5
Độ lệch chuẩn củaY :
σ = 250σ = 250 = 530, 3301 Y X
Ví dụ 2: Một thí sinh tên M tham dự một kỳ thi môn XSTK. M phải làm một đề thi trắc
nghiệm khách quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời đáp án khác nhau, trong đó chỉ có một
lời đáp án đúng. M sẽ được chấm đậu nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu.
a) Giả sử M không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời đáp án trong cả 10 câu. Tính
xác suất để M thi đậu.
b) Giả sử M chắc chắn trả lời đúng được 2 câu; còn các câu khác, M chọn ngẫu nhiên một
trong 4 lời đáp án của mỗi câu. Tính xác suất để M thi rớt. Giải.
a) Gọi X là BNN chỉ số câu thí sinh M chọn đúng trong 10 câu.
Ta có X ~ B (n, p ), n = 10 và p = 0,25 . Xs thí sinh M thi đậu: 10 x x 10—x P (X 6) = ΣC 100,25 .0,75 = 0, 0197 x =6
b) Gọi Y là BNN chỉ số câu trả lời đúng trong 8 câu còn lại:
Ta có Y ~ B (n, p), n = 8, p = 0,25 .
Xác suất thí sinh thi rớt: 3 x x 8—x P (Y
3) = ΣC 8 0,25 .0, 75 = 0, 8862 x =0
Ví dụ 3: Nhà máy dệt muốn tuyển dụng người biết rành về một loại sợi. Nhà máy thử thách
người dự tuyển 7 lần. Mỗi lần nhà máy đem ra 4 sợi giống nhau, trong đó chỉ có một sợi
thật và yêu cầu người này chọn ra sợi thật. Nếu chọn đúng ít nhất 6 lần thì được tuyển
dụng. Một người đến xin tuyển dụng nói: "Chỉ cần nhìn qua là có thể phân biệt sợi thật hay
giả với xác suất 80% ".
a) Nếu người này nói đúng khả năng của mình thì xác suất được tuyển dụng là bao nhiêu?
b) Tính xác suất để được tuyển dụng trong trường hợp, thật ra, người này không biết gì về sợi cả. Tự làm HD:
a) Gọi X là BNN chỉ số lần chọn đúng sợi thật của người dự tuyển.
Ta có X ~ B (n, p), n = 7, p = 0, 8
Xác suất được tuyển dụng: P (X 6) =
b) Gọi X là BNN chỉ số lần chọn đúng sợi thật của người dự tuyển.
Ta có X ~ B (n, p), n = 7, p = 0,25
Xác suất được tuyển dụng: P (X 6) = ?
Ví dụ 4: Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là P = 0,1 ở lô B là P = 0,08 và ở lô C là P = 0,15 . A B C
Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc.
a) Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong 3 chai.
Tính xác suất để có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.
b) Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô C rồi để
lẫn lộn. Một người đến mua 1 chai về dùng. Tính xác suất để được chai tốt. Giải:
a) Gọi X là BNN chỉ số chai hỏng trong 3 chai lấy ra ở lô A.
Ta có: X ~ B (n, p),n = 3, p = 0,1
P (X = x ) = C x 0,1x.0, 93—x ,x = 0,1,2, 3 3 Bảng phân phối xs: x 0 1 2 3
P (X = x ) 0,729 0,243 0,027 0,001 Xs có 2 chai hỏng:
P (X = 2) = 0, 027
Xs có ít nhất một chai hỏng:
P (X 1) = 1 — P (X = 0) = 0,271
b) Gọi T : “Lấy được chai tốt”
Gọi A : “Chai lấy được thuộc lô A”
Gọi B : “Chai lấy được thuộc lô B”
Gọi C : “Chai lấy được thuộc lô C”
Ta có, A,B,C là hệ đầy đủ các biến cố. P (A) = 500 = 0, 5;P (B) = 300 = 0, 3 và 1000 1000 P (C ) = 200 =
0,2 . Các xs điều kiện: P (T / A) = 0, 9; P (T / B) = 0, 92 và 1000
P (T /C ) = 0, 85.
Theo công thức xs đầy đủ ta được:
P (T ) = P (A)P (T / A) + P (B)P (T / B) + P (C )P (T /C )
= 0, 5.0, 9 + 0, 3.0, 92 + 0,2.0, 85 = 0, 8960
Ví dụ 5. Giả sử ngày sinh của người dân trong một thành phố lớn có thể rơi ngẫu nhiên
vào một ngày bất kỳ trong năm (365 ngày). Chọn ngẫu nhiên 1095 người trong thành phố
đó. Tính xác suất để :
a) Có hai người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho.
b) Có không quá 7 người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho. Giải.
Gọi X là BNN chỉ số người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho.
Ta có X ~ B (n, p), n = 1095, p = 1 365 1
Vì n khá lớn và np = 1095. = 3
5 nên có thể tính gần đúng phân phối nhị thức 365 bằng phân phối Poisson:
a) Xác suất có hai người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho: 2
P (X = 2) (np)2 .e—np = 3 .e—3 = 0,2240 2 ! 2 !
b) Xác suất có không quá 7 người có cùng ngày sinh với một ngày đã cho. 7 (np)x P (X 7) = Σ
e—np = 0, 9881 x ! x =0
Ví dụ 6: Một công nhân quản lý 12 máy dệt. Các máy dệt hoạt động độc lập nhau, và xác
suất để mỗi máy, trong ca làm việc, cần sự chăm sóc của công nhân (viết tắt là CCN) là 0,3.
a) Tính xác suất để, trong ca làm việc, có 1) 4 máy CCN 2) từ 3 đến 7 máy CCN
b) Trung bình, trong ca làm việc, có bao nhiêu máy CCN? Trong ca làm việc, tìm số
máy CCN nhiều khả năng nhất; tính xác suất tương ứng. Giải.
Gọi X là BNN chỉ số máy CCN trong ca làm việc.
Ta có X ~ B (n, p), n = 12, p = 0, 3 a) Xs trong ca làm việc 1) Có 4 máy CCN
P (X = 4) = C 4 .0, 34.0, 78 = 12
2) Có từ 3 đến 7 máy CCN 7 x x 12—x
P (3 X 7) = ΣC . 12 0 , 3 .0, 7 = ? x =3
b) Số máy CCN trung bình trong ca làm việc:
EX = np = 12.0, 3 = 3, 6
Số máy CCN nhiều khả năng nhất: l
mod X = F(n + 1)p = FI13.0, 3ll = 3 IL l L Xác suất tương ứng: P (X = 3) = ?
Ví dụ 7: Người ta muốn lấy một số hạt lúa từ một kho lúa có tỉ lệ hạt lép là 0,2 để kiểm
tra. Biết rằng kho lúa có rất nhiều hạt.
a) Phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt lúa để xác suất có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95%?
b) Lấy ngẫu nhiên 100 hạt lúa, tính xác suất để trong đó có 25 hạt lép; có từ 10 đến 40 hạt lép. Giải.
a) Gọi n số hạt lúa cần lấy và X là BNN chỉ số hạt lép trong n hạt lấy ra. Ta có
X ~ B (n, p), n chưa biết, p = 0,2 .
Xs có ít nhất một hạt lép:
P (X 1) = 1 — P (X = 0) = 1 — (1 — p)n = 1 — (1 — 0, 2)n = 1 — 0, 8n Theo đề bài, ta có: 1 — 0, 8n 0, 95 e 0, 8n 0, 05
e n log 0, 05 = 13, 4251 0,8 n = 14
Vậy, phải lấy ít nhất 14 hạt lúa.
b) Gọi X là BNN chỉ số hạt lép trong 100 hạt lấy ra. Ta có
X ~ B (n, p), n = 100 , p = 0,2 .
Xác suất để trong đó có 25 hạt lép
P (X = 25) = C 25 .0,225.0, 875 = 100
Xác suất có từ 10 đến 40 hạt lép:
Do n khá lớn, np = 100.0,2 = 20 5 , n (1 — p) = 100.0, 8 = 80 5 Nên xs cần tính: l h h 40 — 20 ı l 10 — 20 ı P (10 X 40) Ф — Ф = 1 — 0, 0062 = 0, 9938 20.0, 8 20.0, 8
Ví dụ 8: (Câu 65) Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm loại A. Lấy
ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Đặt X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong các sản
phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X . Tính E (X ), D (X ) . Giải.
Ta có X ~ H (N,T,n), N = 10,T = 8,n = 2 , Im X = (0,1,2}, CkC 2—k
P (X = k ) = 8 2 ,k = 0,1,2 C 2 10
Bảng phân phối xác suất: x 0 1 2 16 28
P (X = x ) 1 45 45 45 8 EX = np = 2. = 8 10 5 N — n 8 2 8 DX = npq = 2. . . = 64 . N — 1 10 10 9 225
Ví dụ 9. Một trạm bưu điện chuyển điện trong khoảng thời gian 10-5 giây. Trong quá trình
truyền điện có các tiếng ồn ngẫu nhiên. Số tín hiệu ồn ngẫu nhiên trong 1 giây là 104. nếu
trong thời gian truyền tín hiệu có dù chỉ một tín hiệu ồn ngẫu nhiên thì trạm sẽ ngừng làm
việc. Tính xác suất để cho việc truyền tín hiệu bị gián đoạn. Biết rằng số tín hiệu ồn ngẫu
nhiên rơi vào máy trong khoảng thời gian truyền tín hiệu là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson. Giải.
Gọi X là BNN chỉ số tín hiệu ồn ngẫu nhiên rơi vào máy trong khoảng thời gian tryền tin.
Theo đề bài, ta có X ~ Poisson (λ) . Ở đây, EX = λ là số tín hiệu ồn trung bình rơi vào
máy trong khoảng thời gian truyền tin.
Suy ra λ = 104.10—5 = 0,1 .
Xác suất việc truyền tin bị gián đoạn: (Việc truyền tin bị gián đoạn khi có ít nhất 1 tín hiệu
ồn rơi vào máy trong trói gian truyền tin, nghĩa là X nhận giá trị từ 1 trở lên)
P (X 1) = 1 — P (X = 0) = 1 —e—0,1 = 0, 0952
Ví dụ 10. Số lỗi trên 1 mét vuông vải là một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
Poisson. Kiểm tra lô vải, người ta thấy 98% có lỗi. Vậy trung bình mỗi mét vuông vải có bao nhiêu lỗi? Giải.
Gọi X là BNN chỉ số lỗi trên mỗi mét vuông vải.
Theo đề bài X ~ Poisson (λ), λ = ?
P (X 1) = 0, 98 e 1 — P (X = 0) = 0, 98
e 1 —e—λ = 0, 98 e e—λ = 0, 02 e λ = —ln 0, 02 = 3,9120
Vậy, trung bình mỗi mét vuông vải có khoảng 3,9120 lỗi.
Ví dụ 11. (Câu 81). Tại một trạm kiểm soát giao thông trung bình một phút có hai xe ô tô
đi qua. Biết rằng số xe qua trạm trong một phút là biến ngẫu nhiên có luật phân phối Poisson.
a) Tính xác suất để có đúng 6 xe đi qua trong vòng 3 phút.
b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian t phút, có ít nhất 1 xe ô tô đi qua. Xác định t để xác suất này là 0,99. Giải.
a) Gọi X là BNN chỉ số xe qua trạm trong vòng 3 phút. Ta có X ~ Poisson (λ) với λ = 2.3 = 6 . Xác suất cần tính: P (X = 6) =
b) Gọi Y là BNN chỉ số xe qua trạm trong t phút. Ta có Y ~ Poisson (2t).
Xs có ít nhất một ô tô đi qua:
P (Y 1) = 1 — P (Y = 0) = 1 —e—2t Theo đề bài, ta có
1 —e—2t = 0,99 e t = 2, 3026 (phút)
Ví dụ 12 (câu 82) Tại một nhà máy trung bình một tháng có hai tai nạn lao động. Biết rằng
số tai nạn lao động trong một tháng là BNN có phân phối Poisson.
a) Tính xác suất để trong khoảng thời gian ba tháng liên tiếp xảy ra nhiều nhất 3 tai nạn.
b) Tính xác suất để trong 3 tháng liên tiếp, mỗi tháng xảy ra nhiều nhất một tai nạn. Giải.
a) Gọi X là BNN chỉ số tai nạn lao động trong ba tháng liên tiếp. Ta có X ~ Poisson (λ) với λ = 6 . Xác suất cần tính: 3 6k 6 P (X 3) = Σ e = 0,1512 k ! k =0
b) Gọi X là BNN chỉ số tai nạn trong tháng thứ i , i = 1,2, 3 i
Ta có X ~ Poisson (2) i
Xác suất có nhiều nhất một tai nạn trong một tháng bất kỳ: 1 2k 2 P (X 1) = Σ e = 0, 406 i k ! k =0
Xác suất trong 3 tháng liên tiếp mỗi tháng có nhiều nhất một tai nạn. P (X
1; X 1; X 1) = P (X 1)P (X 1)P (X 1) = 0, 4063 1 2 3 1 2 3
Ví dụ 13 (Câu 83) Một trạm cho thuê xe taxi có 3 chiếc xe. Hằng ngày trạm phải nộp thuế
8USD cho 1 chiếc xe (dù xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc xe cho thuê với giá 20USD.
Giả sử số yêu cầu thuê xe của trạm trong một ngày là biến ngẫu nhiên X có phân phối
Poisson với tham số λ = 2,8.
a) Gọi Y là số tiền thu được trong 1 ngày của trạm. Lập bảng phân phối xác suất của Y .
Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b) Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe.
c) Để thu được nhiều tiền nhất trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe? Giải. a)
Ta có ImY = (—24;—4;16; 36} , X ~ Poisson (2, 8)
P (Y = —24) = P (X = 0) = e—2,8 = 0, 0608
P (Y = —4) = P (X = 1) = 2, 81 = .e—2,8 0,1703 1!
P (Y = 16) = P (X = 2) = 2, 82 .e—2,8 = 0,2384 2!
P (Y = 36) = P (X 3) = 1 — P (X < 3) = 0, 5305
Bảng phân phối xác suất của Y : y —24 —4 16 36
P (Y = y) 0,0608 0,1703 0,2384 0,5305
Số tiền trung bình trạm thu được: EY = 20, 7720 USD
b) Giả sử trạm có 4 chiếc xe:
ImY = (—32;—12; 8;28; 48}
P (Y = —32) = P (X = 0) = 0, 0608
P (Y = —12) = P (X = 1) = 0,1703
P (Y = 8) = P (X = 2) = 0,2384 2, 83 —2,8
P (Y = 28) = P (X = 3) = .e = 0,2225 3!
P (Y = 48) = P (X 4) = 1 — P (X < 4) = 0, 3080 Bảng ppxs của Y : y —32 —12 8 28 48
P (Y = y) 0,0608 0,1703 0,2384 0,2225 0,3080
Số tiền trung bình trạm thu được: EY = 18, 9320 USD.
c) Số tiền trung bình thu được khi có trạm có 3 chiếc xe lớn hơn khi trạm có 4 chiếc xe.
Vậy, trạm nên có 3 chiếc xe.
Ví dụ 14 (Câu 86). Một cửa hàng có 4 chiếc xe ô tô cho thuê ; số khách có nhu cầu thuê
trong một ngày là một biến ngẫu nhiên X có phân bố Poisson. Biết rằng E X 2 .
a) Hãy tính số ô tô trung bình mà cửa hàng cho thuê trong một ngày.
b) Cửa hàng cần ít nhất bao nhiêu ô tô để xác suất không nhỏ hơn 0,98 cửa hàng đáp ứng nhu cầu khách trong ngày? Giải.
a) Gọi Y là BNN chỉ số ô tô cửa hàng cho thuê trong 1 ngày, ImY = (0;1;2; 3; 4} . X ~ Poisson (2)
P (Y = 0) = P (X = 0) = e—2 = 0,1353 1 2
P (Y = 1) = P (X = 1) = .e—2 = 0,2707 1! 22 —2
P (Y = 2) = P (X = 2) = .e = 0,2707 2! 3 2
P (Y = 3) = P (X = 3) = .e—2 = 0,1804 3!
P (Y = 4) = P (X 4) = 1 — P (X < 4) = 0,1429
Suy ra, số ô tô cho thuê trung bình trong một ngày là: EY = 1, 9249
b) Gọi n là số ô tô cửa hàng cần có. Cửa hàng đáp ứng nhu cầu của khách khi X n . Theo đề bài ta có
P (X n) > 0, 98
Thử với n = 4 , ta có P (X 4) = 0,9473 < 0, 98
Thử với n = 5 , ta có P (X 5) = 0,9834 > 0, 98 Vậy, chọn n = 5 .
Ví dụ 15 (Câu 87) Số hoa mọc trong một chậu cây cảnh là một biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson với tham số
3 . Người ta chỉ đem bán các chậu cây với số hoa là 2, 3, 4 và 5 hoa?
a) Tính xác suất để một chậu trong các chậu đem bán có 2 hoa? 3 hoa? 4 hoa và 5 hoa?
b) Tính số hoa trung bình và độ lệch tiêu chuẩn số hoa của các chậu hoa đem bán. Giải.
a) Gọi X là BNN chỉ số hoa trên một chậu cây. Ta có X ~ Poisson (3).
Gọi Y là BNN chỉ số hoa trên một chậu trong các chậu đem bán, ImY = (2; 3; 4;5}
Gọi A : “Một chậu được đem bán” 5 3k 3
P (A) = P (2 X 5) = Σ .e = 0, 7169 k ! k =2
Xác suất một chậu đem bán có 2 hoa: 2
P (X = 2) 3 .e —3
P (X = 2 / A) = = 2! = 0, 3125 P (A) 0, 7169
Xác suất một chậu đem bán có 3 hoa: 3
P (X = 3) 3 .e —3
P (X = 3 / A) = = 3 ! = 0, 3125 P (A) 0, 7169
Xác suất một chậu đem bán có 4 hoa: 4
P (X = 4) 3 .e —3
P (X = 4 / A) = = 4 ! = 0,2344 P (A) 0, 7169
Xác suất một chậu đem bán có 5 hoa: 5
P (X = 5) 3 .e —3
P (X = 5 / A) = = 5 ! = 0,1406 P (A) 0, 7169
b) Bảng phân phối xác suất của Y: y 2 3 4 5
P (Y = y) 0,3125 0,3125 0,2344 0,1406 Số hoa trung bình: EY = 3, 2031
Độ lệch chuẩn của số hoa trong các chậu đem bán: σ = 1, 0335 . Y
Ví dụ 16: Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A là một BNN tuân theo luật phân phối
chuẩn với các tham số = 10 và σ = 1 (đơn vị là phút)
a) Tính xác suất để một sản phẩm loại A nào đó được sản xuất trong khoảng thời gian từ 9 phút đến 12 phút.
b) Tính khoảng thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ. Giải. Giải.
Gọi X là BNN chỉ thời gian để sản xuất ra một sản phẩm A bất kì, X ~ N (µ,σ2) với
µ = 10 và σ = 1 a) Xác suất cần tính: l12 — 10ıh l9 — 10ıh
P (9 X 12) = Ф ı— Ф ı y 1 ı y 1 ı
= Ф(2)— Ф(—1) = Ф(2)—(1 — Ф(1)) = Ф(1) + Ф(2)— 1
= 0, 8413 + 0, 9772 — 1 = 0, 8186
b) Thời gian cần thiết để sản xuất ra một sản phẩm bất kì:
Theo quy tắc 3 σ , thời gian cần thiết để sản xuất ra một sản phẩm A bất kỳ thuộc vào
khoảng: (µ — 3σ; µ + 3σ) = (7;13)
Vậy, khoảng thời gian cần thiết để sản xuất ra một sp A bất kỳ là từ 7 phút đến 13 phút.
Ví dụ: (tự câu 90) Chiều cao của người là BNN X ~ N (µ,σ2) với µ = 165 cm và σ = 5 cm.
a) Tính xs để một người được gặp ngẫu nhiên có chiều cao trên 175 cm.
b) Tính xs để một người được gặp ngẫu nhiên có chiều cao dưới 150 cm.
c) Hầu như chắc chắn, một người được gặp ngẫu nhiên có chiều cao rơi vào khoảng nào?
Ví dụ 17: Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối N (µ,σ2 ) . Biết rằng
X lấy giá trị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác
suất 0,0516, hãy tính và . Giải. Theo đề bài ta có:
P (X < 60) = 0,1003
(t P (X > 90) = 0, 0516 l60 — µ ıh Ф ı = 0,1003 e y σ ı ( l 90 — µ ıh 1 — Ф ı = 0, 0516 t y σ ı l60 — µ ıh l 60 — µ ıh l 60 — µ ıh 1 — Ф ı = 1 — 0,1003 Ф — ı = 0, 8997 Ф — ı = Ф(1,28) e y σ ı ( ( e y σ ı l e y σ ı ( l90 — µ ıh 90 — µ ıh l 90 — µ ıh Ф ı = 1 — 0, 0516 Ф ı = 0, 9484 Ф ı = Ф(1, 63) t y σ ı t y σ ı t y σ ı 60 — µ — = 1,28
µ — 1,28σ = 60 µ = 73,1959 e σ ( e ( . ( 90 — µ = 1, 63
t µ + 1, 63σ = 90 t σ = 10, 3093 t σ
Vậy, µ = 73,1959 và σ = 10, 3093 .
Ví dụ 18. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn,
kỳ vọng 20mm, phương sai (0,2)2 mm 2 . Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết
a) Có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm.
b) Có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3mm. HD:
Gọi X là BNN chỉ đường kính của một chi tiết máy, X ~ N (µ,σ2), µ = 20 mm, σ = 0,2 mm
a) Xs cần tính: P (19, 9 < X < 20, 3)
b) Xs cần tình P ( X — µ 0, 3)
Ví dụ 19. Ở thành phố A có 54% dân số nữ.
a) Chọn ngẫu nhiên 450 người. Tính xác suất để trong số đó số nữ ít hơn số nam.
b) Giả sử chọn ngẫu nhiên n người. Xác định n để với xác suất 0,99 có thể khẳng định
rằng số nữ là nhiều hơn số nam. Giải.
a) Gọi X là BNN chỉ số nữ có trong 450 người được chọn, X ~ B (n, p) với n = 450 và p = 0, 54 .
Vì n = 450 > 100 , np = 450.0, 54 = 243 > 5 và n (1 — p) = 450(1 — 0,54) 5
Ta có thể xem X ~ N (µ,σ2) với µ = np và σ2 = np (1 — p) Xs nữ ít hơn nam: l
P (X < 450 — X ) = P (2X < 450) = P
X < 450 ıh = P (X < 225) ı y 2 ı l l 225 — µ hı 225 — 243 ıh = Ф y σ ı = Ф = 0, 0443 450.0, 54.0, 46
b) Gọi n là số người được chọn, n được chọn khá lớn n
0 sao cho np > 5 và
n (1 — p) > 5 .
Khi đó Xs nữ nhiều hơn nam: l h l hı
P (X > n — X ) = P X > n ı = 1 — Ф n / 2 — np ı = 0,99 2 ı y l hı n / 2 — np ı Suy ra Ф — = 0, 99 = Ф ( 2, 3263) n / 2 — np n (0, 5 — 0, 54) Suy ra — = 2, 3263 e — = 2, 3263 e n = 840,1620
Vậy, n = 840 người.
Ví dụ 20. Một trường đại học có chỉ tiêu tuyển sinh là 300.
a) Giả sử có 325 người dự thi và xác suất thi đậu của mỗi người là 90%. Tính xác suất để
số người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu.
b) Cần cho phép tối đa bao nhiêu người dự thi (xác suất thi đậu vẫn là 90%) để biến cố: “Số
người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu” có xác suất nhỏ hơn 99%. Giải.
a) Gọi X là số người trúng tuyển trong số 325 người dự tuyển, X ~ B (n, p) với
n = 322 và p = 0, 9
Vì n = 325 > 100 và np = 325.0, 9 = 292, 5 > 5 , n (1 — p) = 325.0,1 = 32, 5 > 5
Có thể xem X ~ N (µ,σ2) với µ = np và σ = npq , q = 1 — p
Xs số người trúng tuyển không ượt quá chỉ tiêu: l hı P ( 300 — np X 300) = Ф = 0, 9172
b) Gọi n là sốn người dự thi. X là BNN chỉ số người trúng tuyển trong số n người dự thi.
Giả sử n khá lớn và np > 5,npq > 5 .
Xs số người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu là: l h 300 — np ı P (X 300) = Ф 0, 99 = Ф(2, 3263) 300 — np Suy ra 2, 3263 npq Suy ra np + 2, 3263 — 300 0 17, 8738 n 319, 4727 Suy ra n = 320
Vậy, chọn n = 320 người.
Ví dụ 21. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X ~N (10; 1, 22 ) và Y ~N (9; 0, 52 ). a)
Tính P (10, 5 ≤ X ≤ 12) và P (Y > 10) . b)
Tính P (X > Y ) và P (X +Y < 18) . Giải.
b) P (X >Y ) = P (X —Y > 0)
Ta có X —Y ~ N (µ,σ2) với µ = µ — µ = 10 — 9 = 1 X Y
σ2 = 1,22 + 0, 52 = 1, 32 l 0 — µ ıh
Do đó, P (X >Y ) = P (X —Y > 0) = 1 — Ф y σ ıı
Tương tư X +Y ~ N (µ,σ2) với µ = µ + µ = 19 và σ2 = 1,22 + 0, 52 = 1, 32 X Y ( 18 – 19 ⎞
P (X +Y < 18) = Ф | | 1, 3 ⎝ ⎠
Ví dụ 22. (Câu 66) Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%.
a) Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất để có nhiều nhất 2 sản phẩm giả.
b) Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một để kiểm tra cho đến khi nào gặp sản
phẩm giả thì dừng. Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm thật đã kiểm tra. HD:
a) Gọi X là BNN chỉ số sp giả trong 10 sp lấy ra, X ~ B (n, p) với n = 10 và p = 0, 3
Xs cần tính P (X 2)
b) Gọi Y là BNN chỉ số sp thật đã kiểm tra. ImY = (0;1;2;...}
P (Y = 0) = 0, 3
P (Y = 1) = 0, 7.0, 3
P (Y = 2) = 0,72.0, 3 …..
P (Y = k ) = 0, 7k.0, 3 Kỳ vọng của Y :
EY = ΣkP (X = k ) k =0 1 7 = k k —1
Σk.0, 7 .0, 3 = 0,21Σk 0, 7 = 0,21 = 2 3 k =1 k =0 (1 — 0, 7)