Bài tập môn toán cao cấp | Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Hệ phương trình tuyến tính 34 2.1 Bài tập có hướng dẫn. Không gian vectơ 55 3.1 Bài tập có hướng dẫn .Giới hạn và liên tục của hàm một biến 73 4.1 Bài tập có hướng
dẫn. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến 86 5.1 Bài tập có hướng dẫn. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

11 6 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)

Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

85 trang 1 tuần trước

Tác giả:

Profile Ma Thu Hương
lOMoARcPSD| 47207194
TOÁN CAO CẤP
Biên Soạn
ThS. LÊ TRƯỜNG GIANG
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14, tháng 02, năm 2016
Mục lục
Trang
Chương 1 Ma trận - Định thức 1 1.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1 1.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 25
lOMoARcPSD| 47207194
Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính 34 2.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Chương 3 Không gian vectơ 55 3.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 55 3.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Chương 4 Giới hạn và liên tục của hàm một biến 73 4.1 Bài tập có hướng dẫn . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 82
Chương 5 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến 86 5.1 Bài tập có hướng dẫn . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2 Bài tập đề
nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Chương 6 Tích phân 101 6.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 101 6.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Chương 7 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 116 7.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 128
i
Chương 8 Phương trình vi phân 132 8.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 132 8.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
ii
Chương 1
Ma trận - Định thức 1.1
Bài tập có hướng dẫn
1. Cho A = −3 0 1
và B = 1 −2 3
4 1 5
lOMoARcPSD| 47207194
−3 0 1 4 y + 1 5 . Tìm x, y để A
1 −2 x − 1
= B?
A = B
⇔
x − 1 = 3 1 = y
⇔
Hướng dẫn giảix = 4
+ 1 y = 0
2. Cho A = 1 1 0
và B = 1 3 1
1 3 9
1 4 0 . Tính A + B; A
2 1 4
4 3 2 − B?
Hướng dẫn giải
A + B = 2 5 0 −3 0 7
; A − B = 1 1 −2 3
3 4 5 5 6 11 0 −3 0
3. Cho A =
2 1 4 4 1 0 3 0 1
1 1 2 2 4 3 . Tính AB? và B =
lOMoARcPSD| 47207194
AB =
Hướng dẫn giải = 13 18 17
7 4 9
1 1 2
3 0 1
2 4 3
2 1 4 4 1 0
4. Cho A = 1 3
và B =
2 −1 2 1
Hướng dẫn giải Đặt X =
a
b AX = B
⇔
2 −1 2 1
⇔
2a − b =
a = 1 Vậy X = b = 1 1
⇔
.
thỏa AX = B?
. Tìm ma trận X
, ta có
a b
=
1 3
1
2a + b
⇔
3
2a − b = 1 2a
+ b = 3
1
5. Cho A =
2 1 1 2
và B =
2 0 1
3 1 2 0 −1 0
. Tính
a) f(A) = 2A
2
− 4A + 3I
2
2
b) f(B) = B
2
− 5B + 3I
3
lOMoARcPSD| 47207194
Hướng dẫn giải
10 8 8 10
=
3 0 0 3
b) Ta có B2 = 2 0 1
3 1 2 0 −1 0
2 0 1
3 1 2 0 −1 0
=
4 −1 2
9 −1 5
−3 −1 −2
;
−5B = −5
=
−10 0 −5
2 0 1
3 1 2
0 −1 0
−15 −5 −10
0 5 0
0 1 0
0 0 1
; =
3 0 0
0 3 0
3I
3
= 3
0 0 3
1 0 0
;
⇒
f (B) = B
2
− 5B + 3I
3
=
−3 −1 −3
−6 −3 −5 −3 4 1
6. Cho A là ma trận vuông cấp 2 thực thỏa A
2
− 2A + I
2
= 0. Với mỗi n
∈
N, đặt B =
I
2
+ A + A
2
+ ... + A
2015
. Tính B?
Hướng dẫn giải
lOMoARcPSD| 47207194
3
A
2
− 2A + I
2
= 0
⇔
(A − I
2
)
2
= 0
⇔
A = I2 = 1 0 0 1
;
B = I
2
+ A + A
2
+ ... + A
n
= I
2
+ I
2
+ ... + I
2
= (n + 1) I
2
7. Cho D = 1 2 −1 2 2 −1 Hướng dẫn giải
2 1 −1 . Tính D2015?
D = 1 1 −1 2 2 −2 0 0 1
+ 1 0 0
0 1 0
1 1 −1 = A + E; A2 = 0;
D2015 = (A + E)2015 = C0
2015
E2015 + C1
2015
E2014A
= E + 2015A =
2015 2016 −2015 4030 4030
2016 2015 −2015
lOMoARcPSD| 47207194
−4031
8. Tính các định thức của các ma trận sau
4
A =
3 −2
2 −1
;
E = Hướng dẫn giải 5
2014 0 2019 a
2015 0 b 0 2016 c 2017 2018 d
0 0 0 |A| =
2 −1 3 −2
= 2 (−2) −
(−1) 3 =
−1;
1 0 −3
2 1 1
− 1
2 0
1 0 −3 1
−2 1 1 0 1
2 −1 3
. = 0 + 0 + (−12) − 3 − 2
− 0 − 17
|B| = |C| =
B =
1 0 −3 2 1 1
;
−1 2 0
C =
1 0 −3 1
−2 1 1 0 1 2 −1 3
;
−3 1 1 0
D =
1 2 3 4
2 3 4 1 3 4 1 2
;
4 1 2 3
lOMoARcPSD| 47207194
−3 1
d
3 3 1
1 0
:=d +(−3)d =
−2 1 1 0
−2 2 8 0
−3 1 1 0
−3 1 1 0
= (−1)
1+4
.1. = 6.
−2 1 1
−2 2 8
|D| =
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 1 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
= 160.
|E| =
= d(−1)4+1
−3 1 1
= 10 10 10 10
0 −3 −2 −1
= 10 1 1 1 1
= 10 = 10
= 10 1 1 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 1 1 1
0 1 2 −1 0 0 −4 0 0 0 4 −4 0 1 2 −1
0 1 2 −1 0 0 −4 0
lOMoARcPSD| 47207194
0 1 −2 −1 0 0 0 −4
6
2014 0 2019 a
2015 0 b 0 2016 c 2017 2018 d 0 0 0
= abcd. 9. Tính định thức sau
0 2019 a 3+1
0 b 0 c 2017 2018 − dc(−1) 2019 a b 0
D = x1x2 x22 + 1 x2x3 x2x4 x1x3 x2x3 x23 + 1 x3x4 x1x4 x
2
1 + 1 x
1
x2
x
1
x
3
x
1
x
4
2 + 1
x2x4 x3x4 x 4
Trong đó x
1
, x
2
, x
3
, x
4
lần lượt là 4 nghiệm của đa thức
f (x) = x
4
− 2x
3
− 1005x
2
+ 1
.
Hướng dẫn giải
7
lOMoARcPSD| 47207194
D = (x1x2x3x4) =x21x22x23x24
x1 +1x1x2 x3 x4 1 +1x
2
11 1 1
1 1 1
x1 x2 + x2x3 x4 x1 x2 x3 + x3x4 x1 x2 x3 x4 + x4
1 1 + x
2
1
2
1 1 = x21x22x23x 24
1
2
1 1 0 0 0 0
1 1 1 + x
3
1
2
1 1 +1x
2
1
1 1 1 1 1 1 +
1
x
2
2
1 1 1 1 1 1 +
1
x
2
3
1 1 1
1 1 1 1 + x 4 1
2
1 1 1 + x 4
=
x
21
x
22
x
23
x
24
11x
2
1
0 0 0 1 01x
2
2
0 0 1 0 01x
2
3
0 1 0 0 01x
2
4
1 −1 −1 −1 −1
=x21x22x23x24
1 + x
21
+ x
22
+ x
23
+ x
24
−1 −1 −1 −1
1
2
0 0 0
0 x
1
1
2
0 0 0 0 x
2
1
2
0
0 0 0 x
3
1x
2
4
1 0 0 0
8
= 1 + x21 + x22 + x23 + x24
lOMoARcPSD| 47207194
= 1 + (x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
)
2
− 2 (x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
1
x
4
+ x
2
x
3
+ x
2
x
4
+ x
3
x
4
) = 1 + σ
2
1
−
2σ
2
= 1 + 4 − 2 (−1005) = 2015
10. Tính định thức của các ma trận sau
B =
a
1
x x . . . x
x a
2
x . . . x
.. .. .. .. ..
x x a
3
. . . x . . . . .
; x1 a2 a3 . . . an
a1 x2 a3 . . . an x x x . . . a
n
.. .. .. .. ..
a
1
a
2
x
3
. . . a
n
. . . . .
a1 a2 a3 . . . xn
.
C =
det A = =
1 2 3 4 . . . 2015
2 2 3 4 . . . 2015
Hướng dẫn
giải 9
1 2 3 4 . . . 2015
1 0 0 0 . . . 0
.. .. .. .. .. ..
2 1 0 0 . . . 0 . . . . . .
.. .. .. .. .. ..
3 3 3 4 . . . 2015 . . . . . .
A =
1 2 3 4 . . . 2015
2 2 3 4 . . . 2015
.. .. .. .. .. ..
3 3 3 4 . . . 2015 . . . . . .
2015 2015 2015 2015 . . . 2015
;
lOMoARcPSD| 47207194
2015 2015 2015 2015 . . . 2015
2014 2013 2012 2011 . . . 0
= 2015 = 2015.
1 0 0 0 . . . 0
2 1 0 0 . . . 0
.. .. .. .. .. ..
3 2 1 0 . . . 0 . . . . . .
2014 2013 2012 2011 . . . 1 10
det B =
a
1
x x . . . x
x a
2
x . . . x x
x a
3
. . . x
.. .. .. .. ..
. . . . .
x x x . . . an
1 1 1 1 . . . 1
lOMoARcPSD| 47207194
0 a
1
x x . . . x
0 x a
2
x . . . x =
0 x x a
3
. . . x
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
0 x x x . . . an
1 1 1 1 . . . 1
−x a
1
− x 0 0 . . . 0
−x 0 a
2
− x 0 . . . 0
=
−x 0 0 a
3
− x . . . 0
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
−x 0 0 0 . . . an − x
P
n
i=1 (a
i
− x) 1 1 1 . . . 1
1 + x
= P
n
0 0 0 0 . . . a
n
− x
Q
n
1 + x
0 a
1
− x 0 0 . . . 0 0 0 a
2
− x 0
. . . 0
0 0 0 a3 − x . . . 0 ..................
= i=1 11
i=1 (ai − x);
(a
i
− x)
det
C = a1 a2 a3 . . . xn
x1 a2 a3 . . . an
a1 x2 a3 . . . an
.. .. .. .. ..
lOMoARcPSD| 47207194
a
1
a
2
x
3
. . . a
n
. . . . .
1 0 0 1 . . . 0
1 x1 a2 a3 . . . an
1 a1 x2 a3 . . . an =
1 a1 a2 x3 . . . an
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
1 a1 a2 a3 . . . xn
1 −a
1
−a
2
−a
3
. . . −a
n
1 x
1
− a
1
0 0 . . . 0 1 0 x
2
− a
2
0 . . . 0
=
.. .. .. .. .. ..
1 0 0 x
3
− a
3
. . . 0 . . . . . .
1 0 0 0 . . . x
n
− a
n
n
1 + P i=1
a
i
x
i
−a
i
−a
1
−a
2
−a
3
. . . −a
n
=
0 x
1
− a
1
0 0 . . . 0 0 0 x
2
− a
2
0 . . . 0
.. .. .. .. .. ..
0 0 0 x
3
− a
3
. . . 0 . . . . . .
0 0 0 0 . . . x
n
− a
n
= 1 + Pn i=1 xa
i
i− a
i
Qn i=1 (x
i
− a
i
).
11. Cho dãy số thực {a
0
, a
1
, ..., a
n
} lập thành một cấp số cộng có công sai là d. 12
Tính định thức sau D = Hướng dẫn giải
lOMoARcPSD| 47207194
a0 a1 a2 . . . an−1 an
a1 a0 a1 . . . an−2 an−1 .. .. .. .. .. ..
a2 a1 a0 . . . an−3 an−2 . . . . . . an−1 an−2 an−3 . . .
a0 a1 an an−1 an−2 . . . a1 a0
D = =
a
0
d d . . . d d
a
1
−d d . . . d d
.. .. .. .. d −2d 0 . . . 0 0 a2 −d −d . . . d d . . . . d d
d 0 −2d . . . 0 0 ............ d d
a
n−
1
−d −d . . . −d d a
n
−d −d . . . −d −d a
0
d d . . . d d d 0 0 . . . −2d 0 d
0 0 . . . 0 −2d
a0 +
n
2d d d . . . d d
0 −2d 0 . . . 0 0
0 0 −2d . . . 0 0
=
.. .. .. ..
. . . . d d
0 0 0 . . . −2d 0 0
0 0 . . . 0 −2d
=a
0
+
n
2
d
(−2d)
n
= (−1)
n
(2a
0
+ nd) 2
n−1
d
n
. 13
12. Tính định thức sau
D
n
=
a1 a2 a3 . . . an
−x
1
x
2
0 . . . 0
.. .. .. .. ..
0 −x
2
x
3
. . . 0 . . . . .
0 0 0 . . . x
n
Hướng dẫn giải
+ Ta có
D
n
=
a1 a2 a3 . . . an−1 an
lOMoARcPSD| 47207194
−x
1
x
2
0 . . . 0 0
0 −x
2
x
3
. . . 0 0
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
0 0 0 . . . x
n−
1
0
0 0 0 . . . −x
n−
1
x
n
= an(−1)n+1 +xn(−1)2n
−x
1
x
2
0 . . . 0
.. .. .. .. ..
0 −x
2
x
3
. . . 0 . . . . .
0 0 0 . . . x
n−
1
0 0 0 . . . −x
n−
1
a1 a2 a3 . . . an−1
−x
1
x
2
0 . . . 0
0 −x
2
x
3
. . . 0
.. .. .. .. ... 0 0 0 . . . x
n−
1
. . . .
xi + xnDn−1.
14
= a
n
nQ−1
i=1
+ Ta có
D
2
= = a
1
x
2
+ x
1
a
2
;
a1 a2 −x1 x2 = a1x2x3 + x1a2x3 + x1x2a3;
D3 = −x1 x2 0 0 −x2 x3
a1 a2 a3
....................... nạp • Với n = 1, 2, 3 thì đúng đến n, tức là D
n
• Với n > 3, giả sử (1)
n
đúng đến n−1, khi đó =P j=1 D
n
= a
1
x
2
x
3
...x
n
+ (1) hiển nhiên đúng. ta
có Dn−1 =nP−1 j=1
x
1
a
2
x
3
...x
n
+ .... + a
j
n
Q
−1
i=1 (i6=j) ajQn
x
1
x
2
x
3
...a
n
=P
n
j=1 x
i
i=1 (i6=j) x
i
+ Ta chứng minh (1) ai=1jQ (i6n =j) !. ! xi .
theo phương pháp quy !
• Ta đi chứng minh (1)
(1)
lOMoARcPSD| 47207194
Thật vậy, ta có D
n
xi +nQ x−nD1 in−=1 1 = x i + xnnP−1 j=1 ai=1jn Q(i6−=j1) !
= a
n
n
Q
−1
i=1 an x
i
= x1x2x3...an + xn (a1x2x3...xn−1 + x1a2x3...xn−1 + .... + x1x2x3...an−1)
=P
n
j=1 a
j
Q
n
i=1 (i6=j) x!
i
.
13. Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1 1 1 m
A = Hướng dẫn giải 15
1 1 m 1 1 m 1 1 m 1 1 1
det
A =
1 1 1 m = (m + 3)
=
(m + 3)
1 1 1 1
1 1 m 1 1 m 1 1 m 1 1 1 1 1 1 1 0 m − 1 0 0 0 0 m − 1 0 0 0 0
1 1 m 1 1 m 1 1 m 1 1 1
m − 1
= m + 3 m + 3 m = (m + 3) 1 1 1 1 = (m + 3) (m − 1)
3
.
+ 3 m + 3
1 1 m 1
Để ma trận A khả nghịch
⇔
det
1 m 1 1
0 0
m −
1 0
A 6= 0
⇔
(m + 3) (m − 1)
3
6= 0
m 1 1 1 0 m − 1 0 0
⇔
m 6= −3 m 6= 1
m − 1 0 0 0
.
lOMoARcPSD| 47207194
14. Cho A = 2 −3 −4 Hướng dẫn giải
. Tìm X thỏa XA = B?
−3 4 6
0 1 1 ; B = 1 −1 2 0 1 2
XA = B
⇔
X = BA
−1
= = 2 −3 −4
7 4 11 2 2 3 −3 4 6
1 −1 2 0 1 2 0 1 1
−1
15. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận
16
a)
4 −6 2 1 ;
X = 2 5 1 3
lOMoARcPSD| 47207194
b) X 2 −1 3 4 1 8 = 1
−2 −1 2 1 3 .
1 0 2
Hướng dẫn giải
a)
4 −6 X = 2 5
b)
−1 1 3
2 1
4 −6 2 1 2 5 1/2 23/16 0
1/8
⇔
X = 1 3 =
X 2 −1 3 4 1 8
1 0 2 = 1 −2 −1 2 1 3
1 2
−9 3 1 −8
16. Tìm hạng của các
ma trận sau
A =
1 1 0 −2
A =
1 1 0 −2 d3:=→d3+d2
⇔
X =
1 −2 −1 2
1 3
8
1 0 2
2 −1 3 4 1
−1
=
lOMoARcPSD| 47207194
B =
2 −1 0 1
1 −2 −1 0 −2 1 1 ; B =
3 1 −1 0 −2 1 2
−1
2
2 −1 0 1
Hướng dẫn
giải 17
1 −2 −1 0
−2 1 1 2
d
2
:=d
2
−d1 d3
→d3+2d2
:=
1 1 0 −2
0 −3 −1 2 0 3 1
−2
1 1 0 −2 0
−3 −1 2
⇒
rankA = 2;
0 0 0 0
3 1 −1 0 −2 1 2
d
2
:=2d2−3d1 2 −1 0 1
⇒
rankB = 3.
−1
3
0 5 −2 −3 0 0 2 0
d3:=
d
→
+d1
A = 0 0 0 0 m − 7
1 2 3 4
1 2 3 4 0 −1 −2 −3 0 −2
2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 −4 −6 0 −3 −6 →
6 m →
m − 16 1 2 3 4
1 2 3 4
→ 0 −1 −2 −3 0 0 0
Vậy nếu m = 7
⇒
rank (A) = 2; nếu m 6= 7
⇒
rank (A) = 3.
18
0 −1 −2 −3 0 0 0 m − 7 0 0 0 0
17. Biện luận theo m hạng của ma trận sau
1 2 3 4
A = 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 m
Hướng dẫn giải
| 1/85
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁN CAO CẤP Biên Soạn ThS. LÊ TRƯỜNG GIANG
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14, tháng 02, năm 2016 Mục lục Trang
Chương 1 Ma trận - Định thức 1 1.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1 1.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 lOMoAR cPSD| 47207194
Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính 34 2.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Chương 3 Không gian vectơ 55 3.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 55 3.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Chương 4 Giới hạn và liên tục của hàm một biến 73 4.1 Bài tập có hướng dẫn . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 82
Chương 5 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến 86 5.1 Bài tập có hướng dẫn . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2 Bài tập đề
nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Chương 6 Tích phân 101 6.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 101 6.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Chương 7 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 116 7.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 i
Chương 8 Phương trình vi phân 132 8.1 Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 132 8.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 ii Chương 1
Ma trận - Định thức 1.1 Bài tập có hướng dẫn 1. Cho A = −3 0 1 và B = 1 −2 3 4 1 5 lOMoAR cPSD| 47207194
−3 0 1 4 y + 1 5
. Tìm x, y để A 1 −2 x − 1 = B?
A = B ⇔
x − 1 = 3 1 = y ⇔
Hướng dẫn giảix = 4 + 1 y = 0 2. Cho A = 1 1 0 và B = 1 3 1 1 3 9 1 4 0
. Tính A + B; A 2 1 4 4 3 2 − B? Hướng dẫn giải A + B = 2 5 0 −3 0 7 ; A − B = 1 1 −2 3 3 4 5 5 6 11 0 −3 0 3. Cho A = 2 1 4 4 1 0 3 0 1 1 1 2 2 4 3
. Tính AB? và B = lOMoAR cPSD| 47207194 AB = Hướng dẫn giải = 13 18 17 7 4 9 1 1 2 3 0 1 2 4 3 2 1 4 4 1 0 4. Cho A = 1 3 và B = thỏa AX = B? 2 −1 2 1 . Tìm ma trận X Hướng dẫn giải Đặt X = a b , ta có
AX = B ⇔ 2 −1 2 1 a b 1 3 = 1 ⇔ 2a − b = 2a + b ⇔ 3
a = 1 Vậy X = b = 1 1
2a − b = 1 2a + b = 3 ⇔ . 1 5. Cho A = 2 1 1 2 2 0 1 và B = . Tính 3 1 2 0 −1 0
a) f(A) = 2A2 − 4A + 3I2 2
b) f(B) = B2 − 5B + 3I3 lOMoAR cPSD| 47207194 Hướng dẫn giải a) Ta có 2 1 1 2 10 8 8 10 2 1 1 2 5 4 4 5 2A2 = = 2 =
−4A = −4 3I3 = 3
−8 −4 −4 −8 = 2 1 1 2 = 1 0 0 1 3 0 0 3 ⇒ f (A) = 5 4 4 5 b) Ta có B2 = 2 0 1 3 1 2 0 −1 0 9 −1 5 = ; 3 1 2 0 −1 0
−3 −1 −2 2 0 1 4 −1 2 0 1 0
−5B = −5 ; = 0 0 1 ; = −10 0 −5 2 0 1 3 0 0 3 1 2 0 3 0 0 −1 0 3I3 = 3 0 0 3
−15 −5 −10 0 5 0 1 0 0
⇒ f (B) = B2 − 5B + 3I3 =
−6 −3 −5 −3 4 1
−3 −1 −3
6. Cho A là ma trận vuông cấp 2 thực thỏa A2 − 2A + I2 = 0. Với mỗi n ∈ N, đặt B =
I2 + A + A2 + ... + A2015. Tính B? Hướng dẫn giải lOMoAR cPSD| 47207194 3
A2 − 2A + I2 = 0 ⇔ (A − I2)2 = 0 ⇔ A = I2 = 1 0 0 1 ;
B = I2 + A + A2 + ... + An = I2 + I2 + ... + I2 = (n + 1) I2 7. Cho D =
1 2 −1 2 2 −1 Hướng dẫn giải 2 1 −1 . Tính D2015? D =
1 1 −1 2 2 −2 0 0 1 + 1 0 0 0 1 0 1 1 −1
= A + E; A2 = 0;
D2015 = (A + E)2015 = C02015E2015 + C12015E2014A = E + 2015A =
2015 2016 −2015 4030 4030 2016 2015 −2015 lOMoAR cPSD| 47207194 −4031
8. Tính các định thức của các ma trận sau 4 A = 3 −2 2 ; −1 E = Hướng dẫn giải 5 = 2 (−2) − B = (−1) 3 = 1 0 −3 2 1 1 ; −1; −1 2 0 1 0 −3 2 1 1 C =
−2 1 1 0 1 2 −1 3 − 1 ; 1 0 −3 1 2 0 1 0 −3 1 1 0 −3 1 −2 1 1 0 1 2 −1 3 D = 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 ; 2014 0 2019 a
2015 0 b 0 2016 c 2017 2018 d 0 0 0 |A| = 2 −1 3 −2 .
= 0 + 0 + (−12) − 3 − 2 − 0 − 17 |B| = |C| = lOMoAR cPSD| 47207194 −3 1 −2 1 1 0 −2 2 8 0 d3 3 1 1 0
:=d +(−3)d = −3 1 1 0 |E| = −3 1 1 0 = d(−1)4+1 −3 1 1
= (−1)1+4.1. = 6. −2 1 1 −2 2 8 |D| = 1 2 3 4 2 3 4 1 = 10 10 10 10 3 4 1 2 4
0 −3 −2 −1 1 2 3 1 1 1 1 = 10 1 1 1 1 = 10 = 10 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 = 10 1 1 1 1 2 3 4 1 = 160. 3 4 1 2 4 1 2 3 1 1 1 1
0 1 2 −1 0 0 −4 0 0 0 4 −4 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 0 −4 0 lOMoAR cPSD| 47207194
0 1 −2 −1 0 0 0 −4 2014 0 2019 a 6
2015 0 b 0 2016 c 2017 2018 d 0 0 0 = abcd. 9. Tính định thức sau 0 2019 a 3+1
0 b 0 c 2017 2018 − dc(−1) 2019 a b 0
D = x1x2 x22 + 1 x2x3 x2x4 x1x3 x2x3 x23 + 1 x3x4 x1x4 x21 + 1 x1x2 x1x3 x1x4 2 + 1
x2x4 x3x4 x 4
Trong đó x1, x2, x3, x4 lần lượt là 4 nghiệm của đa thức
f (x) = x4 − 2x3 − 1005x2 + 1 . Hướng dẫn giải 7 lOMoAR cPSD| 47207194
D = (x1x2x3x4)
=x21x22x23x24
x1 +1x1x2 x3 x4 1 +1x211 1 1 1 1 1
x1 x2 + x2x3 x4 x1 x2 x3 + x3x4 x1 x2 x3 x4 + x4 1 1 + x 2 1 2 1 1
= x21x22x23x 24 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 1 + x 3 1 2
1 1 +1x211 1 1 1 1 1 +1x221 1 1 1 1 1 +1x231 1 1 1 1 1 1 + x 4 1 2 1 1 1 + x 4
= x21x22x23x24
11x210 0 0 1 01x220 0 1 0 01x230 1 0 0 01x24
1 −1 −1 −1 −1
=x21x22x23x24
1 + x21 + x22 + x23 + x24 −1 −1 −1 −1 1 2 0 0 0 0 x 1 1 2 0 0 0 0 x 2 1 2 0 0 0 0 x 3 1x24 1 0 0 0 8
= 1 + x21 + x22 + x23 + x24 lOMoAR cPSD| 47207194
= 1 + (x1 + x2 + x3 + x4)2 − 2 (x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4) = 1 + σ21 −
2σ2 = 1 + 4 − 2 (−1005) = 2015
10. Tính định thức của các ma trận sau A = 2 2 3 4 . . . 2015
2015 2015 2015 2015 . . . 2015 .. .. .. .. .. ..
3 3 3 4 . . . 2015 . . . . . . 1 2 3 4 . . . 2015 ; B = ;
x1 a2 a3 . . . an
a1 x2 a3 . . . an x x x . . . a a n .. .. .. .. .. 1 x x . . . x
a1 a2 x3 . . . an . . . . . x a2 x . . . x .. .. .. .. ..
a1 a2 a3 . . . xn
x x a3 . . . x . . . . . . C = det A = = giải 9 1 2 3 4 . . . 2015 1 0 0 0 . . . 0 1 2 3 4 . . . 2015 .. .. .. .. .. .. 2 2 3 4 . . . 2015
2 1 0 0 . . . 0 . . . . . . Hướng dẫn .. .. .. .. .. ..
3 3 3 4 . . . 2015 . . . . . . lOMoAR cPSD| 47207194
2015 2015 2015 2015 . . . 2015
2014 2013 2012 2011 . . . 0 = 2015 = 2015. 1 0 0 0 . . . 0 2 1 0 0 . . . 0 .. .. .. .. .. ..
3 2 1 0 . . . 0 . . . . . .
2014 2013 2012 2011 . . . 1 10 det B =
a1 x x . . . x
x a2 x . . . x x x a3 . . . x .. .. .. .. .. . . . . . x x x . . . an 1 1 1 1 . . . 1 lOMoAR cPSD| 47207194
0 a1 x x . . . x
0 x a2 x . . . x =
0 x x a3 . . . x .. .. .. .. .. .. . . . . . . 0 x x x . . . an 1 1 1 1 . . . 1
−x a1 − x 0 0 . . . 0
−x 0 a2 − x 0 . . . 0 =
−x 0 0 a3 − x . . . 0 .. .. .. .. .. .. . . . . . .
−x 0 0 0 . . . an − x Pn i=1
(ai − x) 1 1 1 . . . 1 1 + x = Pn
0 0 0 0 . . . an − x Qn 1 + x
0 a1 − x 0 0 . . . 0 0 0 a2 − x 0 . . . 0
0 0 0 a3 − x . . . 0 .................. = i=1 11 i=1 (ai − x); (ai − x) det C =
a1 a2 a3 . . . xn
x1 a2 a3 . . . an
a1 x2 a3 . . . an .. .. .. .. .. lOMoAR cPSD| 47207194
a1 a2 x3 . . . an . . . . . 1 0 0 1 . . . 0
1 x1 a2 a3 . . . an
1 a1 x2 a3 . . . an =
1 a1 a2 x3 . . . an .. .. .. .. .. .. . . . . . .
1 a1 a2 a3 . . . xn
1 −a1 −a2 −a3 . . . −an
1 x1 − a1 0 0 . . . 0 1 0 x2 − a2 0 . . . 0 = .. .. .. .. .. ..
1 0 0 x3 − a3 . . . 0 . . . . . .
1 0 0 0 . . . xn − an n 1 + P i=1
0 x1 − a1 0 0 . . . 0 0 0 x2 − a2 0 . . . 0 .. .. .. .. .. ..
0 0 0 x3 − a3 . . . 0 . . . . . . ai x 0 0 0 0 . . . x
i−ai−a1 −a2 −a3 . . . −an n − an = = 1 + Pn i=1 xai − ai Q n i=1 (xi − ai).
11. Cho dãy số thực {a0, a1, ..., an} lập thành một cấp số cộng có công sai là d. 12
Tính định thức sau D = Hướng dẫn giải lOMoAR cPSD| 47207194
a0 a1 a2 . . . an−1 an
a1 a0 a1 . . . an−2 an−1 .. .. .. .. .. ..
a2 a1 a0 . . . an−3 an−2 . . . . . . an−1 an−2 an−3 . . .
a0 a1 an an−1 an−2 . . . a1 a0 D = =
a0 d d . . . d d
a1 −d d . . . d d
.. .. .. .. d −2d 0 . . . 0 0 a2 −d −d . . . d d . . . . d d
d 0 −2d . . . 0 0 ............ d d
an−1 −d −d . . . −d d an −d −d . . . −d −d a0 d d . . . d d d 0 0 . . . −2d 0 d
0 0 . . . 0 −2d
a0 +n2d d d . . . d d
0 −2d 0 . . . 0 0
0 0 −2d . . . 0 0 = .. .. .. .. . . . . d d
0 0 0 . . . −2d 0 0
0 0 . . . 0 −2d
=a0 +n2d (−2d)n = (−1)n(2a0 + nd) 2n−1dn. 13 12. Tính định thức sau .. .. .. .. ..
0 −x2 x3 . . . 0 . . . . .
0 0 0 . . . xn Hướng dẫn giải + Ta có D n = Dn = a
1 a2 a3 . . . an
a1 a2 a3 . . . an−1 an
−x1 x2 0 . . . 0 lOMoAR cPSD| 47207194
−x1 x2 0 . . . 0 0 0 0 0 . . . xn−1 0
0 −x2 x3 . . . 0 0
0 0 0 . . . −xn−1 xn .. .. .. .. .. .. . . . . . .
= an(−1)n+1 +xn(−1)2n .. .. .. .. ..
0 −x2 x3 . . . 0 . . . . .
0 0 0 . . . xn−1 0 0 0 . . . −xn−1
a1 a2 a3 . . . a n−1
−x1 x2 0 . . . 0
−x1 x2 0 . . . 0 0 −x 2 x3 . . . 0 .. .. .. .. ... 0 0 0 . . . xn−1 . . . . x 14
i + xnDn−1.
= annQ−1 i=1 + Ta có
D2 = = a1x2 + x1a2;
a1 a2 −x1 x2
= a1x2x3 + x1a2x3 + x1x2a3; D3 =
−x1 x2 0 0 −x2 x3
a1 a2 a3
.......................
nạp • Với n = 1, 2, 3 thì
đúng đến n, tức là Dn •
Với n > 3, giả sử (1)
n đúng đến n−1, khi đó =P j=1 Dn = a1x2x3...xn + (1) hiển nhiên đúng. ta
có Dn−1 =nP−1 j=1 x n
1a2x3...xn + .... +
aj Q−1 i=1 (i6=j) ajQn
x1x2x3...an =Pn j=1
xi i=1 (i6=j) xi
+ Ta chứng minh (1) ai=1jQ (i6n =j) !. ! xi . theo phương pháp quy ! • Ta đi chứng minh (1) (1) lOMoAR cPSD| 47207194
Thật vậy, ta có Dn xi +nQ x−nD1 in−=1 1 = x i + xnnP−1 j=1
ai=1jn Q(i6−=j1) ! = a n
n Q−1 i=1 an xi
= x1x2x3...an + xn (a1x2x3...xn−1 + x1a2x3...xn−1 + .... + x1x2x3...an−1) =Pn j=1 ajQn
i=1 (i6=j) x! i .
13. Tìm m để ma trận sau khả nghịch 1 1 1 m A = Hướng dẫn giải 15
1 1 m 1 1 m 1 1 m 1 1 1 det A = 1 1 1 m = (m + 3) = (m + 3) 1 1 1 1
1 1 m 1 1 m 1 1 m 1 1 1 1 1 1 1
0 m − 1 0 0 0 0 m − 1 0 0 0 0
1 1 m 1 1 m 1 1 m 1 1 1 m − 1
= m + 3 m + 3 m = (m + 3) 1 1 1 1 = (m + 3) (m − 1)3. + 3 m + 3 1 1 m 1
Để ma trận A khả nghịch ⇔ det 1 m 1 1 0 0 m − 1 0
A 6= 0 ⇔ (m + 3) (m − 1)36= 0 m 1 1 1 0 m − 1 0 0 ⇔
m 6= −3 m 6= 1 m − 1 0 0 0 . lOMoAR cPSD| 47207194 14. Cho A = 2 −3 −4 Hướng dẫn giải
. Tìm X thỏa XA = B? −3 4 6 0 1 1
; B = 1 −1 2 0 1 2
XA = B ⇔ X = BA−1 = = 2 −3 −4 7 4 11 2 2 3 −3 4 6 1 −1 2 0 1 2 0 1 1 −1
15. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận 16 a) 4 −6 2 1 ; X = 2 5 1 3 lOMoAR cPSD| 47207194 b) X 2 −1 3 4 1 8 = 1 −2 −1 2 1 3 . 1 0 2 Hướng dẫn giải a) 4 −6 X = 2 5 b) −1 1 3 2 1 4 −6 2 1 2 5 1/2 23/16 0 1/8 ⇔ X = 1 3 = X 2 −1 3 4 1 8 1 0 2
= 1 −2 −1 2 1 3 ⇔ X = 8 −1 1 2 1 −2 −1 2 1 0 2 1 3 = −9 3 1 −8 2 −1 3 4 1 16. Tìm hạng của các ma trận sau A = A = 1 1 0 −2
1 1 0 −2 d3:=→d3+d2 lOMoAR cPSD| 47207194 0 0 0 0 B =
3 1 −1 0 −2 1 2 2
d :=2d2−3d1 2 −1 0 1 ⇒ rankB = 3. 2 −1 0 1 −1 3
0 5 −2 −3 0 0 2 0
17. Biện luận theo m hạng của ma trận sau 1 2 3 4 A =
2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 m Hướng dẫn giải
d3:=d→ +d1 A = 3 1
−1 0 −2 1 2 0 0 0 0 m − 7
1 −2 −1 0 −2 1 1 ; B = −1 2 2 1 2 3 4 −1 0 1 1 2 3 4
0 −1 −2 −3 0 −2
2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 −4 −6 0 −3 −6 → Hướng dẫn 6 m → giải 17 m − 16 1 2 3 4 d2 −2 1 −2 −1 0 :=d 1 2 3 4 2−d1 d3 −2 1 1 2 1 1 0 → −2 d3+2d2 →
0 −1 −2 −3 0 0 0
0 −3 −1 2 0 3 1 :=
Vậy nếu m = 7 ⇒ rank (A) = 2; nếu m 6= 7 ⇒ rank (A) = 3. 18
0 −1 −2 −3 0 0 0 m − 7 0 0 0 0 1 1 0 −2 0
−3 −1 2 ⇒ rankA = 2;