Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2, hãy tìm hạng của hệ vectơ sau:
(U )={U =[1 2];U =[1 1];U =[1 −2];U =[3 1]} 1 3 4 2 1 1 3 4 3 4 8 8
Câu 2. Trong R - không gian vectơ R3 cho hệ vectơ
(e)={e =(1,1,2) ,e =(2,−3,−6) ,e =(5,1,a )} 1 2 3 a. Tìm để hệ ( a
e) là một cơ sở của R3 .
b. Tìm tọa độ của x= (1,3,6) đối với (e) trong trường hợp (e) là cơ sở của R3 .
Câu 3 .Gọi M là 2
R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau
f : M → M [a b]↦f ([a b ])=[a+b+d 2a−b+c−d]. 2 2 c d c d a−2 b c−2 d
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm Ker ( f ¿.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở
(E)={E1=[1 0],E2=[0 1],E3=[ 0 0],E4=[0 0]} của M2. 0 0 0 0 1 0 0 1
Câu 4. Cho phép biến đổi tuyển tính f : R3 → R3 xác định bởi
f ( x , x , x )=( x + 4 x +2 x , x +2 x , x −x +3 x 1 2 3 1 2 1 2 3) 1 2 3
Tìm một cở sở của R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 .Trong R - không gian vectơ R3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở
(e) = {e ,e ,e } như sau: 1 2 3
ω ( x) = x2+ 2− 2− + − 1 4 x 5 x 6 x x 4 x x x x 2 3 1 2 1 3 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đề 2
Câu 1 Trong R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2, hãy tìm hạng của hệ vectơ sau:
(U )={U =[ 1 −1];U =[2 2 ] ;U =[ 1 2];U =[4 3]} 1 −1 2 2 6 −4 3 −4 3 4 1 1
Câu 2. Trong R - không gian vectơ R3 cho hệ vectơ
(e )= {e =(−1,−1 ,−2) ,e =(−2,3,6),e =(−5,−1,−a)} 1 2 3 a. Tìm để hệ ( a
e) là một cơ sở của R3 .
b. Tìm tọa độ của x= (−1 ,−3 ,−6 ) đối với (e) trong trường hợp (e) là cơ sở của R3.
Câu 3. Gọi M là R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau 2 − f 2
: M → M [a b]↦f ([a b ])=[ a+c−2d a b]. 2 2 c d c d
4 a−b+ c−2 d 2 a+ b
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm Ker ( f ¿.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở (E)={[1 0],[0 1],[0 0],[0 0]} của M2. 0 0 0 0 1 0 0 1
Câu 4 .Cho phép biến đổi tuyển tính f : R3 → R3 xác định bởi f (x , x
)=(−x +2 x −2 x , x +x + x , x −3 x +5 x . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) 2 , x 1 3
Tìm một cở sở của R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 Trong R - không gian vectơ R3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở
(e) = {e ,e ,e } như sau: 1 2 3 2 2 2
ω( x) = x +2 x −5 x +8 x x + 4 x x −x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đề 3:
Câu 1 ( 1.5 điểm). Trong R - không gian vectơ R4 , hãy tìm hạng của hệ vectơ sau:
(u)={u =(1,2,2,−1) ;u =(−1,3,1,1) ;u =(2,−1,1,−2 );u =(3,1,3 ,−3)} 1 2 3 4
Câu 2 ( 2 điểm). Gọi M là R -không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2, cho tập con 2
W ={[a b]∈M ∨2a−3b+c−d=0} c d 2
a. Chứng minh rằng W là một không gian vectơ con của M . 2
b. Tìm một cơ sở và số chiều của W.
Câu 3 ( 2 điểm). Gọi M là R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau 2 + f 2 b+c−
: M → M [a b]↦f ([a b ])=[ a a d] 2 2 c d c d a+c c
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm Ker ( f ¿.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở (E)={[1 0],[0 1] ,[0 0],[0 0]} của M2. 0 0 0 0 1 0 0 1
Câu 4 ( 2.5 điểm). Cho phép biến đổi tuyển tính f : R3 →R3 xác định bởi
f ( x , x , x )=( x + 4 x ,−2
− , 2 x − x ) 3 x 1 2 3 1 2 x3 1 3
Tìm một cở sở của R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong R - không gian vectơ R3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) = {e ,e , e } như sau: 1 2 3
ω ( x) = x2+8 x2−15 x2+2 x x −8 x x +12 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đề 4 :
Câu 1 ( 1.5 điểm). Trong R - không gian vectơ R4 , hãy tìm hạng của hệ vectơ sau
(x)={x = (1,−2,3,1) ; x =( 2,3,1 ,−4); x =( −1,2,−3 ,−1);x =( 4,−1,7 ,−2)} 1 2 3 4
Câu 2 ( 2 điểm). Gọi M là R -không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2, cho tập con 2
W ={[a b]∈M ∨3a−2b+c−d=0} c d 2
a. Chứng minh rằng W là một không gian vectơ con của M . 2
b. Tìm một cơ sở và số chiều của W.
Câu 3 ( 2 điểm). Gọi M là R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau 2
f : M → M [a b]↦f ([a b ])=[a+2b+c−d 2b+c]. 2 2 c d c d b c
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm Ker ( f ¿.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở ( E)={[1 0],[0 1] ,[0 0],[0 0]} của M2. 0 0 0 0 1 0 0 1
Câu 4 ( 2.5 điểm). Cho phép biến đổi tuyển tính f : R3 →R3 xác định bởi f ( x , x
)=(2 x +4 x ,−x + , 3 −2 ) 2 x3 x 2 , x 1 3 1 3 1 x3
Tìm một cở sở của R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong R - không gian vectơ R3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) = {e ,e , e } như sau: 1 2 3
ω ( x) = x2+4 x 2+11 x2−6 x x + 8 x x +10 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đề 5
Câu 1 ( 1.5 điểm). Trong R -không gian vectơ R4cho các vectơ:
x=(5,8,14,20) ; x =( 1,2,3,4); x =( 1,1,1,1) ; x =(−2,3,9, m ). 1 2 3
Tìm m để vectơ x biểu thị tuyến tính được qua các vectơ x x x . 1 , 2 , 3
Câu 2 ( 2 điểm). Gọi M là R -không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2, cho tập con 2
W ={[a b]∈M ∨3a−2b+c−d=0} c d 2
a. Chứng minh rằng W là một không gian vectơ con của M . 2
b. Tìm một cơ sở và số chiều của W.
Câu 3 ( 2 điểm). Gọi M là 2
R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau f : M → M
a+b+ 2c 2 d b+c 2 d
[a b]↦f ([a b])=[− − − ]. 2 2 c d c d −a+2 d c−2 d
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm Ker ( f ¿.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở ( E)={[1 0],[0 1] ,[0 0],[0 0]} của M2. 0 0 0 0 1 0 0 1
Câu 4 ( 2.5 điểm). Cho phép biến đổi tuyển tính f : R3 → R3 xác định bởi f (x , x
)=(x + x +x , x +2 x −3 x ,− +x +6 ) 2 3 1 2 3 x1 2 x 2 , x 1 3 1 3
Tìm một cở sở của R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong R -không gian vectơ R3, cho không gian vectơ con
và v=(1,2,3)∈R3.
Tìm vectơ w¿∈W sao cho ¿∨v−w¿∨¿ ≤∨¿ v−w∨¿, ∀ w ∈ W . Đề 6:
Câu 1 ( 1.5 điểm). Trong R -không gian vectơ R4 cho các vectơ:
x= (5 ,−2,1,−4) ; x =(1 ,−2,0,1 ); x =(2,3 ,−1 ,−4 ) ; x =(−2,3,1 ,m ) . 1 2 3
Tìm m để vectơ x biểu thị tuyến tính được qua các vectơ x x x . 1 , 2 , 3
Câu 2 ( 2 điểm). Gọi M là R -không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2, cho tập con 2
W ={[a b]∈M ∨a−2b+c−2d=0} c d 2
a. Chứng minh rằng W là một không gian vectơ con của M . 2
b. Tìm một cơ sở và số chiều của W.
Câu 3 ( 2 điểm). Gọi M là R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau 2 +
f : M → M [a b]↦f ([a b ])=[2a+b+4c+d c d ]. 2 2 c d c d a+ b a+3 c
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm Ker ( f ¿.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở (E)={[1 0],[0 1] ,[0 0],[0 0]} của M2. 0 0 0 0 1 0 0 1
Câu 4 ( 2.5 điểm). Cho phép biến đổi tuyển tính f : R3 →R3 xác định bởi
f ( x , x , x )=( x −x −x , x +2 x −3 ,− + +6 ). 2 x3 x 1 2 3 1 2 3 1 1 x2 x3
Tìm một cở sở của R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong R -không gian vectơ R3, cho không gian vectơ con:
và v=(1,0,−1)∈ R3.
Tìm vectơ w¿∈W sao cho ¿∨v−w¿∨¿ ≤∨¿ v−w∨¿, ∀ w ∈ W . Đề 7
Câu 1 (2 điểm). Cho {e , e , e } 1 2
3 là một cơ sở của R - không gian vectơ R3 và hệ vectơ
(v)={v =e +e , v =e +2e +e ,v =e +3e +a e } 1 1 2 2 1 2 3 3 1 2 3 Tìm để hệ ( a
v) là một cơ sở của R3 .
Câu 2 (2 điểm). Gọi P [ x] là R - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi 3
W = {t +t x+ x2+t x3 ∈ P [ x]∨ +t −2 +t =0 } 1 t 0 2 3 3 t 0 1 t 2 3
Chứng minh W là không gian vectơ con của P [ x]. Tính dim(W). 3
Câu 3 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyển tính f : R3 →R3 xác định bởi
f ( x , x , x )=( x + x +2 x , x + 2 x , x −3 x 1 2 3 1 2 1 3) 1 2 3
a) Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở {e =(1,−1,0); e =(2 ,−1,1); e =(1,2,4)}của 1 2 3 R3.
Câu 4 (2 điểm). Tìm các giá trị riêng và các véctơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 với A=( ¿0101
¿ 11−1) là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R3. ¿ 2 4−3
Câu 5 (2 điểm): Trong R - không gian vectơ R3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) = {e ,e , e } như sau: 1 2 3
ω ( x) = −x 2+3 x2−2 x2−4 x x +4 x x +2 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đề 8
Câu 1 (2 điểm). Trong R - không gian vectơ R3, tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở
{e =(1,2,3);e =(0,− );e =(2,1,8) } sang cơ sở {v =(−1,1,1) ;v ( −1,2,3) ; v =(0,2,1)}. 2 1,1 1 3 1 2 3
Câu 2 (2 điểm). Gọi M là R - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Gọi 2
W ={(a b)∈ M ∨a−b+c+3d=0} c d 2
Chứng minh W là không gian vectơ con của M . Tính dim( 2 W).
Câu 3 (2 điểm). Gọi P [ x] là 2
R - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 2. Xét ánh xạ sau
f : R3 → P [x ] ( )↦ f ( )= + + + ) 2 t ,t t ,t t 3 t 2 t x+(t
t ¿¿ 2+3 t x2¿. 2 , t 2 , t 1 3 1 3 1 3 2 1 3
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker ( f ¿.
Câu 4 (2 điểm). Tìm các giá trị riêng và các véctơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 với A=( ¿041
¿ 11−1) là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R3. ¿ 2 4−3
Câu 5 (2 điểm): Trong R - không gian vectơ R3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) = {e ,e , e } như sau: 1 2 3
ω ( x) = −x2+ 2 x2−3 x 2−6 x x +2 x x −5 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.