Đề cương ôn tập đại số tuyến tính môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Đề cương ôn tập đại số tuyến tính môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI S TUY N TÍNH
I. Không gian vector
1. Chứng minh kgvt con, tëm cơ sở và s chiu ca kgvt
con.(III.4,5,12,13,14+vd)
2. Chng minh m t h vector là cơ sở ca 1 kgvt, tìm t ca độ a m t
vector đố ột cơ sởi vi m .(III.15,16,17)
3. Tëm điều ki n c a tham s để mt h c l p tuy n tính hay vector độ ế
ph c tuythu ến tình hay là cơ sở ủa 1 kgvt hay để c 1 vector là t h p
tuyến tính c a 1 h vector.(III.6,7,8,9)
4. Tìm hay bi n lu n theo tham s h ng c a m t h vector.(III.10,11+vd)
II. Ánh x n tính(xem vd trong v ) tuyế
1. Chng minh 1 ánh x là ánh x tuy n tính. ế
2. Tìm ma tr n c ủa axtt đối vi cặp cơ sở.
3. Ma tr n chuy , công th i t . ển cơ sở ức đổ ọa độ
4. Ma tr n c ủa axtt khi đổi cơ sở.
5. Tìm Imf, kerf, dimImf, dimkerf.
6. Tr riêng vector riêng, chéo hóa ma tr n.
III.
Dạng toàn phương trên R
n
1. Hng c a d ạng toàn phương.
2. Đưa dạng toàn phương về dng chính tc bng pp Largrange và ch ra
cơ sở tương ứ ng vi d ng chính t c.
BÀI TP ÔN TP
Câu 1 Trong R-. kgvt các đa thức bc không quá 3, cho các vector:
p
1
=x
3
+2x
2
+3x+6, p
2
=2x -x +1
3 2
x+2, p
3
=3x
3
+2x
2
+5x+10, p
4
=4x -
3
3x
2
+1x+2 và
p=x
3
+6x +7x+a
2
.
Tëm a để p là mt t h p tuy n tính c a các vector p , p ế
1
, p , p
2 3 4.
Câu 2. Trong R- Kgvt R :
3
cho 2 cơ sở
(e) ={e =(1,0,3), e
1 2
=(4,-1,1), e
3
=(3,1,8) }
(e’) ={e’ =(1,2,2), e’ =(2,1,1), e’
1 2 3
=(0,1,-1) }
Và x=3e
1
-8e
2 3
-6e .
a) Tìm ma trn chuy t n cơ sở (e) sang (e’).
b) Tìm tọa độ ủa vector x đố c i vi c s (e’).
Câu 3. Trong R-kgvt các đa thức b c không quá 3, cho các vector:
p
1
=x
3
+2x
2
+3x+6, p
2
=2x -x +1x+2 =3x +2x +5x+ =4x -
3 2
, p
3
3 2
10, p
4
3
3x
2
+1x+2 và
p
5
=x
3
+6x
2
+7x+a.
Hãy bi n lu n theo a h ng c a h vector trên.
Câu 4. Trong R- Kgvt R cho h vector
3
(e) ={e =(1,2,3), e
1 2
=(2,-1,1), e
3
=(3,1,a) }.
a. h (e) là m c a R
Tëm a để ột cơ sở
3
.
b. Cho x=(1,-1,5). Tìm t cọa độ ủa x đố ới (e) trong trườ ợp (e) là cơ sởi v ng h ca
R
3
.
Câu 5.
Trong R- Kgvt R cho h vector
3
(e) ={e =(1,2,3), e
1 2
=(2,-1,1), e
3
=(3,1,7) }.
a. ng minh r
Ch ng h vector (e) là m c a R . ột cơ sở
3
b. Cho x=(1,-1,5). Tìm t cọa độ ủa x đối vi (e).
Câu 6. Trong -không gian vector V (e)={e , e , e } và các vector: , cho cơ sở
1 2 3
.
a. Chng minh rng h vector
c V. cũng là một cơ sở a
b. Tìm tọa độ c ủa vector y đối với cơ sở
.
c. Cho phép bi i tuy n tính ến đổ ế V có ma tr trên ận đối với cơ sở (e)
là:
Tìm ma tr n c ủa f đối với cơ sở (e’).
Câu 7. Trong R- kgvt các đa thức b c không quá 3 R [x] cho t p con
3
a. Ch ng minh r ng E là m t không gian con c a R [x].
3
b. Tìm một cơ sở và dimE.
Câu 8 Trong R- kgvt R cho t p con
.
4
c.
Ch ng minh r ng E là m t không gian con c a R
4
d. Tìm một cơ sở và dimE.
Câu 9. Trong -không gian vector các ma trn vuông cp 2 , cho t p con
e. Chng minh rng E là m t không gian con c a .
f. Tìm một cơ sở và s chiu ca E.
Câu 10. Trong -không gian vector các ma tr n vuông c p 2 , cho t p con
a. Chng minh rng E là m t không gian con c a .
b. Tìm một cơ sở và s chiu ca E.
Câu 11. Trong R- kgvt các đa thức bc không quá 3 R [x]
3
cho t p con
Ch ng minh r ng E là m không gian con c a Rt
3
[x].
Tìm dimE.
g. Cho ánh x
i) Chng minh r ng f là m t phép bi i tuy n tính. ến đổ ế
ii) Tìm Im(f), Ker(f), dim Im(f), dim Ker(f).
Câu . Trong R- kgvt R cho t p con
12
4
a.
Ch ng minh r ng E là m t không gian con c a R . Tìm dimE.
4
b. Cho ánh x
i. Chng minh r ng f là m t phép bi i tuy n tính. ến đổ ế
ii. Tìm Im(f), Ker(f), dim Im(f), dim Ker(f).
Câu 13. Cho phép bi i tuy n tính ến đổ nh bxác đị i
.
a. Tìm ma trn A của f đố ới cơ sởi v chính tc ca .
b. Tìm t t c c tr c a không gian con riêng và cơ sở riêng tương ứng ca f.
c. Tìm m t c s c a sao cho ma tr n c ủa f đố ới cơ sởi v này có d ng chéo.
Ma trận A có chéo hóa được không? Nếu có hãy ch ra ma tr n P làm chéo
ma tr n A.
Câu . Cho phép bi i tuy n tính 14 ến đổ nh bxác đị i
.
a. Tìm ma trn A của f đố ới cơ sởi v chính tc ca .
b. Tìm t t c c tr c riêng và cơ sở ủa không gian con riêng tương ứng ca
f.
c. Tìm m t c s c a sao cho ma tr n c ủa f đố ới cơ sởi v này có dng
chéo. Ma trận A có chéo hóa được không? N u có hãy ch ra ma tr n P ế
làm chéo ma tr n A.
Câu 15. Cho phép bi i tuy n tính ến đổ nh bxác đị i
.
d. Tìm ma tr n A c i v ủa f đố ới cơ sở chính tc ca .
e. Tìm t t c các tr criêng và cơ sở ủa không gian con riêng tương ứng ca
f.
Câu . Cho d16 ạng toàn phương 3 biến thc có biu thc tọa độ ới cơ đối v s
chính tc ca là:
.
a. Tìm h ng c a d ng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dng chính t c và ch c ra cơ sở a ng v i
dng chính tắc đó.
Câu . Cho d17 ạng toàn phương 3 biến thc có bi u th c t ọa độ đối v ới cơ sở
(e)={e
1
=(1,1,0), e =(1,0,1), e =(0,1,1)} c
2 3
a là:
.
a. Tìm h ng c a d ạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dng chính t c và ch c ra cơ sở a ng v i
dng chính tắc đó.
Câu 18. Cho dạng toàn phương 3 biến thc có bi u th c t ọa độ đối v chính ới cơ sở
tc ca là:
.
a. Tìm h ng c a d ạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dng chính t c và ch c ra cơ sở a ng v i
dng chính tắc đó.
Câu 19. Cho dạng toàn phương 3 biến thc có bi u th c t ọa độ đối v chính ới cơ sở
tc ca là:
.
a. Tìm h ng c a d ạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dng chính t c và ch c ra cơ sở a ng v i
dng chính tắc đó.
Câu . Cho d20 ạng toàn phương 3 biến thc có bi u th c t ọa độ đối v chính ới cơ sở
tc ca là:
.
a. Tìm h ng c a d ạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dng chính t c và ch c ra cơ sở a ng v i
dng chính tắc đó.
| 1/6

Preview text:

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I. Không gian vector
1. Chứng minh kgvt con, tëm cơ sở và số chiều của kgvt con.(III.4,5,12,13,14+vd)
2. Chứng minh một hệ vector là cơ sở của 1 kgvt, tìm tọa độ của một
vector đối với một cơ sở.(III.15,16,17) ở ộ ệ
3. Tëm điều kiện của tham số để một hệ vector độc lập tuyến tính hay
phụ thuộc tuyến tình hay là cơ sở của 1 kgvt hay để 1 vector là tổ hợp
tuyến tính của 1 hệ vector.(III.6,7,8,9)
4. Tìm hay biện luận theo tham số hạng của một hệ vector.(III.10,11+vd) II.
Ánh xạ tuyến tính(xem vd trong vở)
1. Chứng minh 1 ánh xạ là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm ma trận của axtt đối với cặp cơ sở.
3. Ma trận chuyển cơ sở, công thức đổi tọa độ.
4. Ma trận của axtt khi đổi cơ sở.
5. Tìm Imf, kerf, dimImf, dimkerf.
6. Trị riêng vector riêng, chéo hóa ma trận. III.
Dạng toàn phương trên Rn
1. Hạng của dạng toàn phương.
2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng pp Largrange và chỉ ra
cơ sở tương ứng với dạng chính tắc. BÀI TẬP ÔN TẬP
Câu 1. Trong R-kgvt các đa thức bậc không quá 3, cho các vector: p 3 2 3
1=x3+2x2+3x+6, p2=2x -x +1x+2, p3=3x3+2x2+5x+10, p4=4x -3x2+1x+2 và p=x3+6x2+7x+a.
Tëm a để p là một tổ hợp tuyến tính của các vector p1, p2, p3, p4.
Câu 2. Trong R- Kgvt R3 cho 2 cơ sở:
(e) ={e1=(1,0,3), e2=(4,-1,1), e3=(3,1,8) }
(e’) ={e’1=(1,2,2), e’2=(2,1,1), e’3=(0,1,-1) } Và x=3e1-8e2-6e3.
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (e) sang (e’).
b) Tìm tọa độ của vector x đối với cở sở (e’).
Câu 3. Trong R-kgvt các đa thức bậc không quá 3, cho các vector: p 3 2 3 2 3
1=x3+2x2+3x+6, p2=2x -x +1x+2, p3=3x +2x +5x+10, p4=4x -3x2+1x+2 và p5=x3+6x2+7x+a.
Hãy biện luận theo a hạng của hệ vector trên.
Câu 4. Trong R- Kgvt R3 cho hệ vector
(e) ={e1=(1,2,3), e2=(2,-1,1), e3=(3,1,a) }.
a. Tëm a để hệ (e) là một cơ sở của R3.
b. Cho x=(1,-1,5). Tìm tọa độ của x đối với (e) trong trường hợp (e) là cơ sở của R3.
Câu 5. Trong R- Kgvt R3 cho hệ vector
(e) ={e1=(1,2,3), e2=(2,-1,1), e3=(3,1,7) }.
a. Chứng minh rằng hệ vector (e) là một cơ sở của R3.
b. Cho x=(1,-1,5). Tìm tọa độ của x đối với (e).
Câu 6. Trong -không gian vector V , cho cơ sở (e)={e1, e2, e3} và các vector:             .
a. Chứng minh rằng hệ vector 
cũng là một cơ sở của V.
b. Tìm tọa độ của vector y đối với cơ sở  .
c. Cho phép biến đổi tuyến tính trên V
có ma trận đối với cơ sở (e) là:            
Tìm ma trận của f đối với cơ sở (e’).
Câu 7. Trong R- kgvt các đa thức bậc không quá 3 R3[x] cho tập con 
a. Chứng minh rằng E là một không gian con của R3[x].
b. Tìm một cơ sở và dimE. Câu 8. Tr ong R- kgvt R4 cho tập con 
c. Chứng minh rằng E là một không gian con của R4
d. Tìm một cơ sở và dimE.
Câu 9. Trong -không gian vector các ma trận vuông cấp 2 , cho tập con          
e. Chứng minh rằng E là một không gian con của .
f. Tìm một cơ sở và số chiều của E.
Câu 10. Trong -không gian vector các ma trận vuông cấp 2 , cho tập con                  
a. Chứng minh rằng E là một không gian con của .
b. Tìm một cơ sở và số chiều của E.
Câu 11. Trong R- kgvt các đa thức bậc không quá 3 R3[x] cho tập con  
Chứng minh rằng E là một không gian con của R3[x]. Tìm dimE. g. Cho ánh xạ            i)
Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính. ii)
Tìm Im(f), Ker(f), dim Im(f), dim Ker(f).
Câu 12. Trong R- kgvt R4 cho tập con  
a. Chứng minh rằng E là một không gian con của R4. Tìm dimE. b. Cho ánh xạ     
i. Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính. ii.
Tìm Im(f), Ker(f), dim Im(f), dim Ker(f).
Câu 13. Cho phép biến đổi tuyển tính xác định bởi       .
a. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của .
b. Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của không gian con riêng tương ứng của f.
c. Tìm một cở sở của sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Ma trận A có chéo hóa được không? Nếu có hãy chỉ ra ma trận P làm chéo ma trận A.
Câu 14. Cho phép biến đổi tuyển tính xác định bởi     .
a. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của .
b. Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của không gian con riêng tương ứng của f.
c. Tìm một cở sở của sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng
chéo. Ma trận A có chéo hóa được không? Nếu có hãy chỉ ra ma trận P làm chéo ma trận A.
Câu 15. Cho phép biến đổi tuyển tính xác định bởi     .
d. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của .
e. Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của không gian con riêng tương ứng của f.
Câu 16. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở chính tắc của là:        .
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.
Câu 17. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở
(e)={e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1)} của là:        .
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.
Câu 18. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở chính tắc của là:     .
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.
Câu 19. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở chính tắc của là:     .
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.
Câu 20. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở chính tắc của là:        .
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.