Bài tập ôn tập về Chuỗi số - Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội
Bài tập ôn tập về Chuỗi số - Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống
Môn: Đại số tuyến tính( MATH 231A)
Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Nguyễn Đức Tài
CHUỖI SỐ I. Định nghĩa
Tổng vô hạn của dãy số thực: S ∞ ỗ ố
n = u1+ u2 +….+ un = ∑𝑛=1 𝑈𝑛 là 1 chu i s Nếu lim 𝑆 ằ ố ữ ạ ỗ ộ ụ ề ổ
𝑛→∞ 𝑛 = S là 1 h ng s h u h n thì chu i h i t v S và có t ng là S Nếu lim 𝑆 ỗ
𝑛→∞ 𝑛 = ±∞ thì chu i phân kì Lưu ý:
∑∞𝑛=1 𝑞𝑛 hội tụ khi |𝑞| <1 và phân kỳ khi |𝑞| ≥ 1 ∑∞𝑛=1 1 ụ 𝛼 ỳ 𝛼 ≤
𝑛𝛼 , hội t khi > 1 và phân k khì 1 chuỗi ∑∞ 𝑛=1 𝑢𝑛 Nếu lim 𝑢 ặ ồ ạ ∑∞𝑛=1𝑢 phân kỳ
𝑛→∞ 𝑛 ≠ 0 ho c không t n t i thì thì 𝑛 Ví dụ: 6
xét sự hội tụ của chuỗi số 5 : 1 + 8 +12 + …..
Số hạng tổng quát của chuỗ 𝑛+3 i là : 4𝑛 𝑛+3 1 Ta có lim ≠ 𝑛→∞ 4𝑛 = 4 0 => ∑∞ 𝑛+3 𝑛=1 ỳ 4𝑛 phân k .
II. Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
A, Tiêu chuẩn so sánh
0≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ∀ n > 1 ∑∞ ∞
1 𝑏𝑛 hội tụ thì ∑1 𝑎𝑛 hội tụ ∑∞ ∞
1 𝑎𝑛 phân kì => ∑1 𝑏𝑛 phân kì Ví dụ: 1 Nguyễn Đức Tài
Xét sự hội tụ của chuỗi số: ∑ 𝑠𝑖𝑛2( 𝜋 ∞ 2𝑛) 𝑛=1 𝑛.2𝑛 𝑠𝑖𝑛2( 𝜋 1 1 Ta có: 0< 2𝑛)
𝑛.2𝑛 < 𝑛.2𝑛 < 2𝑛 ∀n ∈ [1;∞) mà : ∑ 1 ∞ ∞ 𝑛=1 ộ ụ 2𝑛 h i t => ∑ 𝑠𝑖𝑛2( 𝜋2𝑛)
𝑛=1 𝑛.2𝑛 cũng hội tụ.
B. Tương đương ∑∞ ∞
𝑛=1 𝑈𝑛 và ∑𝑛=1 𝑉𝑛 là 2 chuỗi số dương 𝑈
Và lim 𝑛 = K nếu K thuộc ( 0; +∞) thì 2 chuỗi cùng hội tụ hoặc phân kỳ 𝑛→∞ 𝑉𝑛 Ví dụ:
xét sự hội tụ của chuỗi: ∑∞ 2𝑛+2 𝑛=1 𝑛3+2 Ta thấy : ∑∞ 2𝑛+2 ∞ 𝑛=1
là chuỗi số dương và chuỗi ∑ 1 ỗi dương 𝑛3+2 𝑛=1 𝑛2 là chu 2𝑛+2 1 2𝑛3+2𝑛2 2𝑛3 và : lim ( ∈ +∞
𝑛→∞ 𝑛3+2 : 𝑛2 ) = lim 𝑛→∞ 𝑛3+2 = lim 𝑛→∞ 𝑛3 = 2 ( 0; ) Mà chuỗi ∑∞ 1 ∞
𝑛=1 hội tụ => chuỗi ∑ 2𝑛+2 𝑛2
𝑛=1 𝑛3+2 cũng hội tụ. Bài tập: 𝑛
1. Xét tính hội tụ của chuỗi : ∑∞
𝑛=1( √2 − 1)(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ) √𝑛 1 1 √
𝑛 2 = 𝑒𝑙𝑛2 𝑛 = 𝑒𝑛𝑙𝑛2 𝜋 1 - cos ) √𝑛 = 2si𝑛2 ( 𝜋 2√𝑛
khi n → ∞ thì : 2si𝑛2 ( 𝜋 ) ~ . 𝜋 2 2. 𝜋 √𝑛 2√𝑛 2√𝑛 1
𝑒𝑛𝑙𝑛2 − 1 ~ 1 . 𝑙𝑛2 𝑛 𝑛 𝜋 ( √2 -1 )(1-cos . 𝜋 . 𝑙𝑛2 √𝑛) ~ 2. 𝜋 2√𝑛 2√𝑛. 1𝑛 2 Nguyễn Đức Tài 𝑛 mà ∑∞ 𝜋.𝜋.𝑙𝑛2 ∞ 𝑛=1 hội tụ => ∑𝑛= (
1 √2 − 1)(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ) hội tụ 2𝑛2 √𝑛
C. Tiêu chuẩn D’Alembert 𝑈 Xét chuỗi dương ∑ 𝑈 𝑛+1 𝑛 . Tính lim = D 𝑛→∞ 𝑈𝑛
Nếu D > 1 chuỗi phân kì
Nếu D < 1 chuỗi hội tụ Ví dụ:
Xét tính hội tụ của chuỗi : ∑∞ 𝑛 𝑛=1 2𝑛
Ta thấy chuỗi đã cho là chuỗi số dương 𝑛+1 1
Xét : lim ( 𝑛+1 : 𝑛 ) = lim 𝑛→∞ 2𝑛+1 2𝑛 𝑛→∞ 2𝑛 = 2 <1
vậy chuỗi đã cho hội tụ
D. Tiêu chuẩn Cauchy
Lý thuyết: Xét chuỗi dương ∑ 𝑈 𝑛 𝑛 . Tính lim √𝑢 = D 𝑛→∞ 𝑛
Nếu D < 1 thì chuỗi hội tụ
Nếu D > 1 thì chuỗi phân kì Bài tập:
1, Xét tính hội tụ của chuỗi : ∑∞ (𝑛4+2𝑛2+1)𝑛 𝑛=1 (2𝑛4+3𝑛3+5)𝑛
Chuỗi đã cho là chuỗi số dương 𝑛 𝑛4+2𝑛2+1 1
Ta có : lim √ (𝑛4+2𝑛2+1)𝑛 = lim = 𝑛→∞ (2𝑛4+3𝑛3+5)𝑛 𝑛→∞ 2𝑛4+3𝑛3+5 2 <1
=> chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ.
E. Tiêu chuẩn tích phân 3 Nguyễn Đức Tài
f(x) dương, liên tục, giảm trên [a;∞) ∞ thì ∫ 𝑓(𝑥) ∞ 𝑎
và ∑𝑛=𝑎 𝑓(𝑛) cùng hội tụ hoặc cùng phân kì
VD: xét sự hội tụ của chuỗi ∑ 1 ∞ 𝑛=2 𝑛𝑙𝑛𝑛 1 xét f(x) = ∞ 𝑥𝑙𝑛𝑥 trên [2; ) f’(x) = 𝑙𝑛𝑥+1 - ∈ ∞
(𝑥𝑙𝑛𝑙𝑥)2 < 0 ∀ x [2; )
f(x) dương, liên tục trên [2;∞) ∞ 𝐴 Mà ta lại có: ∫ 1 2 𝑑𝑥 = lim ∫ 1 ∞ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝐴→∞ 2 dx = 𝑥𝑙𝑛𝑥 ∞ Vậy ∫ 1 ∞ 2 𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑥 phân kì = > ∑ 1
𝑛=2 𝑛𝑙𝑛𝑛 phân kì
IV. Chuỗi có dấu bất kì
Lý thuyết : Chuỗi số có dấu bất kì ∑ 𝑈𝑛
Nếu ∑|𝑈𝑛| hội tụ thì => ∑ 𝑈𝑛 cũng hội tụ ( hội tụ tuyệt đối) Ví dụ: :
1, Xét sự hội tụ của chuỗi: ∑∞ 𝑛 𝑛=1 . (−1)𝑛 2𝑛 Ta xét chuỗi ∑∞ ∞ 𝑛=1 | 𝑛 . (−1)𝑛| 2𝑛 = ∑ 𝑛 𝑛=1 2𝑛 Ta thấy chuỗi ∑ 𝑛 ∞ 𝑛=1 ỗ ố 2𝑛 là chu i s dương 𝑛+1 1
Xét : lim ( 𝑛+1 : 𝑛 ) = lim 𝑛→∞ 2𝑛+1 2𝑛 𝑛→∞ 2𝑛 = 2 <1 vậy chuỗi ∑∞ 𝑛 ∞
𝑛=1 hội tụ => chuỗi ∑ 𝑛 ụ ệt đố 2𝑛 𝑛=1 . (−1)𝑛 hội t tuy i 2𝑛
V. chuỗi đan dấu có dạng: ∑∞ 𝑛=1(−1)𝑛.𝑎𝑛
hội tụ khi chuỗi giảm và giới hạn = 0 4 Nguyễn Đức Tài
0≤ 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 và lim 𝑎 𝑛→∞ 𝑛 = 0
VD: xét sự hội tụ của chuỗi
∑∞𝑛=1(−1)𝑛. 𝑛−2 𝑛2+2 𝑛−2 un = 𝑛2+2 𝑛−2 ta có lim 𝑛→∞ 𝑛2+2 = 0 𝑛−2 𝑛−1 mà un > un+1 : 𝑛2+2 > (𝑛+1)2+2 <=> n2 -3n -4 > 0 <=> n>4
vậy chuỗi giảm khi n>4 => chuỗi hội tụ
VI. Chuỗi lũy thừa
chuỗi lũy thừa có dạng: ∑∞𝑛=1 𝑎 𝑛 𝑛. 𝑥
tổng quát : ∑∞𝑛=1 𝑎 𝑛 𝑛. (𝑥 − 𝑥0) |𝑎 𝑛 Nếu lim 𝑛+1| √|𝑎 = p 𝑛→∞ |𝑎 𝑛| 𝑛| = p hoặc lim 𝑛→∞ thì bán kính hội tụ 1 R = 𝑝
khoảng hội tụ là (-R ; R ), xét x = ± R
VD: tìm miền hội tụ của chuỗi hàm sau đây: ∑ 2𝑛 ∞ 𝑛=1 (x-1)𝑛 (𝑛+1)2
đặt y = x – 1 ta đc ∑∞ 2𝑛 𝑛=1 𝑦𝑛 (𝑛+1)2 5 Nguyễn Đức Tài 𝑎 2𝑛 2𝑛+1
𝑛 = (𝑛+1)2 ; 𝑎𝑛+1 = (𝑛+2)2 | 2𝑛+1 lim |𝑎𝑛+1| (𝑛+2)2| = lim ( 2.2𝑛 (2.(𝑛+1)2 𝑛→∞ |𝑎𝑛| = lim 𝑛→∞ | 2𝑛 𝑛→∞ (𝑛+2)2 : 2𝑛 (𝑛+1)2) = lim 𝑛→∞ (𝑛+2)2 ) (𝑛+1)2|
ta có : (𝑛 + 1)2 ~ 𝑛2 khi n → ∞
(𝑛 + 2)2 ~ 𝑛2 khi n → ∞
=> lim (2.(𝑛+1)2 ) = lim (2.𝑛2 ) = 2 𝑛→∞ (𝑛+2)2 𝑛→∞ 𝑛2 1 => Bán kính hội tụ 1 R = ả ộ ụ 1
2 => kho ng h i t là (-2;2) −1 (−1)𝑛 xét y = ∞ . 2 ta có: ∑ 2𝑛 𝑛=1 (𝑛+1)2 2𝑛
chuỗi giảm và giới hạn = 0 => chuỗi hội tụ 1 1 xét y = ∞ . 2 ta có: ∑ 2𝑛 𝑛=1 (𝑛+1)2 2𝑛 1 1 ta có → ∞ (𝑛+1)2 ~ 𝑛2 khi n 1 mà ∑ 1 ∞ ∞ 𝑛=1 ộ ụ ộ ụ 𝑛2 h i t => ∑ 2𝑛 𝑛=1 ( . 𝑛+1)2 2𝑛 h i t 1 1
Từ đó ta có miền hội tụ: - ≤ 2 y ≤ 2 1 1 <=> - ≤ ≤ 1
2 x-1 2 <=> 2 ≤ 𝑥 ≤ 32
VD2 : tìm miền hội tụ của chuỗi sau: ∑ 3𝑛.𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 √2𝑛 3𝑛 ta có: an = √2𝑛 lim √𝑛𝑎 𝑛 3 √2 = lim √ 3𝑛 = 𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ √2𝑛 √2 => R = 3 6 Nguyễn Đức Tài
khoảng hội tụ của chuỗi đã cho là: √2 (- 3 ; √23 ) tại x = - √2 ∞ ỗ
3 ta có chuỗi ∑𝑛=1(−1)𝑛 . chu i này phân kì vì lim # 0 tại x = √2 ∞
3 ta có chuỗi ∑𝑛=1 1𝑛 . chuỗi này phân kì vì lim # 0
vậy miền hội tụ của chuỗ √2 i là (- 3 ; √23 )
VD3: tìm miền hội tụ của chuỗi ∑∞ 𝑛=1 𝑛! 𝑥𝑛 an = n! 𝑛+1 !
=> lim |𝑎𝑛+1| = lim |( ) | = lim(n+1) = ∞ 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛→∞ 𝑛! 𝑛→∞ 1 => R = ậ ỗi đã cho hộ ụ ạ ∞ = 0 v y chu i t t i x = 0
VD4: tìm miền hội tụ của chuỗi ∑∞ 𝑛=1 (−1)𝑛. 𝑥𝑛 𝑛! an = (−1)𝑛. 1𝑛! −1𝑛+1 lim |𝑎𝑛+1 | (𝑛+1) 𝑛! 1 = lim | ! | = lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛→∞ −1𝑛. 1 (𝑛+1)! = lim 𝑛+1 = 0 𝑛! 𝑛→∞ 𝑛→∞ 1 => R = 0 = ∞
vậy miền hội tụ của chuỗi là(- ∞; +∞) 7