Bài tập ôn tập về Chuỗi số - Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Nguyễn Đức Tài
CHUỖI SỐ I. Định nghĩa
Tổng vô hạn của dãy số thực: S ∞ ỗ ố
n = u1+ u2 +….+ un = ∑𝑛=1 𝑈𝑛 là 1 chu i s Nếu lim 𝑆 ằ ố ữ ạ ỗ ộ ụ ề ổ
𝑛→∞ 𝑛 = S là 1 h ng s h u h n thì chu i h i t v S và có t ng là S Nếu lim 𝑆 ỗ
𝑛→∞ 𝑛 = ±∞ thì chu i phân kì Lưu ý:
∑∞𝑛=1 𝑞𝑛 hội tụ khi |𝑞| <1 và phân kỳ khi |𝑞| ≥ 1 ∑∞𝑛=1 1 ụ 𝛼 ỳ 𝛼 ≤
𝑛𝛼 , hội t khi > 1 và phân k khì 1 chuỗi ∑∞ 𝑛=1 𝑢𝑛 Nếu lim 𝑢 ặ ồ ạ ∑∞𝑛=1𝑢 phân kỳ
𝑛→∞ 𝑛 ≠ 0 ho c không t n t i thì thì 𝑛 Ví dụ: 6
xét sự hội tụ của chuỗi số 5 : 1 + 8 +12 + …..
Số hạng tổng quát của chuỗ 𝑛+3 i là : 4𝑛 𝑛+3 1 Ta có lim ≠ 𝑛→∞ 4𝑛 = 4 0 => ∑∞ 𝑛+3 𝑛=1 ỳ 4𝑛 phân k .
II. Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
A, Tiêu chuẩn so sánh
0≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ∀ n > 1 ∑∞ ∞
1 𝑏𝑛 hội tụ thì ∑1 𝑎𝑛 hội tụ ∑∞ ∞
1 𝑎𝑛 phân kì => ∑1 𝑏𝑛 phân kì Ví dụ: 1 Nguyễn Đức Tài
Xét sự hội tụ của chuỗi số: ∑ 𝑠𝑖𝑛2( 𝜋 ∞ 2𝑛) 𝑛=1 𝑛.2𝑛 𝑠𝑖𝑛2( 𝜋 1 1 Ta có: 0< 2𝑛)
𝑛.2𝑛 < 𝑛.2𝑛 < 2𝑛 ∀n ∈ [1;∞) mà : ∑ 1 ∞ ∞ 𝑛=1 ộ ụ 2𝑛 h i t => ∑ 𝑠𝑖𝑛2( 𝜋2𝑛)
𝑛=1 𝑛.2𝑛 cũng hội tụ.
B. Tương đương ∑∞ ∞
𝑛=1 𝑈𝑛 và ∑𝑛=1 𝑉𝑛 là 2 chuỗi số dương 𝑈
Và lim 𝑛 = K nếu K thuộc ( 0; +∞) thì 2 chuỗi cùng hội tụ hoặc phân kỳ 𝑛→∞ 𝑉𝑛 Ví dụ:
xét sự hội tụ của chuỗi: ∑∞ 2𝑛+2 𝑛=1 𝑛3+2 Ta thấy : ∑∞ 2𝑛+2 ∞ 𝑛=1
là chuỗi số dương và chuỗi ∑ 1 ỗi dương 𝑛3+2 𝑛=1 𝑛2 là chu 2𝑛+2 1 2𝑛3+2𝑛2 2𝑛3 và : lim ( ∈ +∞
𝑛→∞ 𝑛3+2 : 𝑛2 ) = lim 𝑛→∞ 𝑛3+2 = lim 𝑛→∞ 𝑛3 = 2 ( 0; ) Mà chuỗi ∑∞ 1 ∞
𝑛=1 hội tụ => chuỗi ∑ 2𝑛+2 𝑛2
𝑛=1 𝑛3+2 cũng hội tụ. Bài tập: 𝑛
1. Xét tính hội tụ của chuỗi : ∑∞
𝑛=1( √2 − 1)(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ) √𝑛 1 1 √
𝑛 2 = 𝑒𝑙𝑛2 𝑛 = 𝑒𝑛𝑙𝑛2 𝜋 1 - cos ) √𝑛 = 2si𝑛2 ( 𝜋 2√𝑛
khi n → ∞ thì : 2si𝑛2 ( 𝜋 ) ~ . 𝜋 2 2. 𝜋 √𝑛 2√𝑛 2√𝑛 1
𝑒𝑛𝑙𝑛2 − 1 ~ 1 . 𝑙𝑛2 𝑛 𝑛 𝜋 ( √2 -1 )(1-cos . 𝜋 . 𝑙𝑛2 √𝑛) ~ 2. 𝜋 2√𝑛 2√𝑛. 1𝑛 2 Nguyễn Đức Tài 𝑛 mà ∑∞ 𝜋.𝜋.𝑙𝑛2 ∞ 𝑛=1 hội tụ => ∑𝑛= (
1 √2 − 1)(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ) hội tụ 2𝑛2 √𝑛
C. Tiêu chuẩn D’Alembert 𝑈 Xét chuỗi dương ∑ 𝑈 𝑛+1 𝑛 . Tính lim = D 𝑛→∞ 𝑈𝑛
Nếu D > 1 chuỗi phân kì
Nếu D < 1 chuỗi hội tụ Ví dụ:
Xét tính hội tụ của chuỗi : ∑∞ 𝑛 𝑛=1 2𝑛
Ta thấy chuỗi đã cho là chuỗi số dương 𝑛+1 1
Xét : lim ( 𝑛+1 : 𝑛 ) = lim 𝑛→∞ 2𝑛+1 2𝑛 𝑛→∞ 2𝑛 = 2 <1
vậy chuỗi đã cho hội tụ
D. Tiêu chuẩn Cauchy
Lý thuyết: Xét chuỗi dương ∑ 𝑈 𝑛 𝑛 . Tính lim √𝑢 = D 𝑛→∞ 𝑛
Nếu D < 1 thì chuỗi hội tụ
Nếu D > 1 thì chuỗi phân kì Bài tập:
1, Xét tính hội tụ của chuỗi : ∑∞ (𝑛4+2𝑛2+1)𝑛 𝑛=1 (2𝑛4+3𝑛3+5)𝑛
Chuỗi đã cho là chuỗi số dương 𝑛 𝑛4+2𝑛2+1 1
Ta có : lim √ (𝑛4+2𝑛2+1)𝑛 = lim = 𝑛→∞ (2𝑛4+3𝑛3+5)𝑛 𝑛→∞ 2𝑛4+3𝑛3+5 2 <1
=> chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ.
E. Tiêu chuẩn tích phân 3 Nguyễn Đức Tài
f(x) dương, liên tục, giảm trên [a;∞) ∞ thì ∫ 𝑓(𝑥) ∞ 𝑎
và ∑𝑛=𝑎 𝑓(𝑛) cùng hội tụ hoặc cùng phân kì
VD: xét sự hội tụ của chuỗi ∑ 1 ∞ 𝑛=2 𝑛𝑙𝑛𝑛 1 xét f(x) = ∞ 𝑥𝑙𝑛𝑥 trên [2; ) f’(x) = 𝑙𝑛𝑥+1 - ∈ ∞
(𝑥𝑙𝑛𝑙𝑥)2 < 0 ∀ x [2; )
f(x) dương, liên tục trên [2;∞) ∞ 𝐴 Mà ta lại có: ∫ 1 2 𝑑𝑥 = lim ∫ 1 ∞ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝐴→∞ 2 dx = 𝑥𝑙𝑛𝑥 ∞ Vậy ∫ 1 ∞ 2 𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑥 phân kì = > ∑ 1
𝑛=2 𝑛𝑙𝑛𝑛 phân kì
IV. Chuỗi có dấu bất kì
Lý thuyết : Chuỗi số có dấu bất kì ∑ 𝑈𝑛
Nếu ∑|𝑈𝑛| hội tụ thì => ∑ 𝑈𝑛 cũng hội tụ ( hội tụ tuyệt đối) Ví dụ: :
1, Xét sự hội tụ của chuỗi: ∑∞ 𝑛 𝑛=1 . (−1)𝑛 2𝑛 Ta xét chuỗi ∑∞ ∞ 𝑛=1 | 𝑛 . (−1)𝑛| 2𝑛 = ∑ 𝑛 𝑛=1 2𝑛 Ta thấy chuỗi ∑ 𝑛 ∞ 𝑛=1 ỗ ố 2𝑛 là chu i s dương 𝑛+1 1
Xét : lim ( 𝑛+1 : 𝑛 ) = lim 𝑛→∞ 2𝑛+1 2𝑛 𝑛→∞ 2𝑛 = 2 <1 vậy chuỗi ∑∞ 𝑛 ∞
𝑛=1 hội tụ => chuỗi ∑ 𝑛 ụ ệt đố 2𝑛 𝑛=1 . (−1)𝑛 hội t tuy i 2𝑛
V. chuỗi đan dấu có dạng: ∑∞ 𝑛=1(−1)𝑛.𝑎𝑛
hội tụ khi chuỗi giảm và giới hạn = 0 4 Nguyễn Đức Tài
0≤ 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 và lim 𝑎 𝑛→∞ 𝑛 = 0
VD: xét sự hội tụ của chuỗi
∑∞𝑛=1(−1)𝑛. 𝑛−2 𝑛2+2 𝑛−2 un = 𝑛2+2 𝑛−2 ta có lim 𝑛→∞ 𝑛2+2 = 0 𝑛−2 𝑛−1 mà un > un+1 : 𝑛2+2 > (𝑛+1)2+2 <=> n2 -3n -4 > 0 <=> n>4
vậy chuỗi giảm khi n>4 => chuỗi hội tụ
VI. Chuỗi lũy thừa
chuỗi lũy thừa có dạng: ∑∞𝑛=1 𝑎 𝑛 𝑛. 𝑥
tổng quát : ∑∞𝑛=1 𝑎 𝑛 𝑛. (𝑥 − 𝑥0) |𝑎 𝑛 Nếu lim 𝑛+1| √|𝑎 = p 𝑛→∞ |𝑎 𝑛| 𝑛| = p hoặc lim 𝑛→∞ thì bán kính hội tụ 1 R = 𝑝
khoảng hội tụ là (-R ; R ), xét x = ± R
VD: tìm miền hội tụ của chuỗi hàm sau đây: ∑ 2𝑛 ∞ 𝑛=1 (x-1)𝑛 (𝑛+1)2
đặt y = x – 1 ta đc ∑∞ 2𝑛 𝑛=1 𝑦𝑛 (𝑛+1)2 5 Nguyễn Đức Tài 𝑎 2𝑛 2𝑛+1
𝑛 = (𝑛+1)2 ; 𝑎𝑛+1 = (𝑛+2)2 | 2𝑛+1 lim |𝑎𝑛+1| (𝑛+2)2| = lim ( 2.2𝑛 (2.(𝑛+1)2 𝑛→∞ |𝑎𝑛| = lim 𝑛→∞ | 2𝑛 𝑛→∞ (𝑛+2)2 : 2𝑛 (𝑛+1)2) = lim 𝑛→∞ (𝑛+2)2 ) (𝑛+1)2|
ta có : (𝑛 + 1)2 ~ 𝑛2 khi n → ∞
(𝑛 + 2)2 ~ 𝑛2 khi n → ∞
=> lim (2.(𝑛+1)2 ) = lim (2.𝑛2 ) = 2 𝑛→∞ (𝑛+2)2 𝑛→∞ 𝑛2 1 => Bán kính hội tụ 1 R = ả ộ ụ 1
2 => kho ng h i t là (-2;2) −1 (−1)𝑛 xét y = ∞ . 2 ta có: ∑ 2𝑛 𝑛=1 (𝑛+1)2 2𝑛
chuỗi giảm và giới hạn = 0 => chuỗi hội tụ 1 1 xét y = ∞ . 2 ta có: ∑ 2𝑛 𝑛=1 (𝑛+1)2 2𝑛 1 1 ta có → ∞ (𝑛+1)2 ~ 𝑛2 khi n 1 mà ∑ 1 ∞ ∞ 𝑛=1 ộ ụ ộ ụ 𝑛2 h i t => ∑ 2𝑛 𝑛=1 ( . 𝑛+1)2 2𝑛 h i t 1 1
Từ đó ta có miền hội tụ: - ≤ 2 y ≤ 2 1 1 <=> - ≤ ≤ 1
2 x-1 2 <=> 2 ≤ 𝑥 ≤ 32
VD2 : tìm miền hội tụ của chuỗi sau: ∑ 3𝑛.𝑥𝑛 ∞ 𝑛=1 √2𝑛 3𝑛 ta có: an = √2𝑛 lim √𝑛𝑎 𝑛 3 √2 = lim √ 3𝑛 = 𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ √2𝑛 √2 => R = 3 6 Nguyễn Đức Tài
khoảng hội tụ của chuỗi đã cho là: √2 (- 3 ; √23 ) tại x = - √2 ∞ ỗ
3 ta có chuỗi ∑𝑛=1(−1)𝑛 . chu i này phân kì vì lim # 0 tại x = √2 ∞
3 ta có chuỗi ∑𝑛=1 1𝑛 . chuỗi này phân kì vì lim # 0
vậy miền hội tụ của chuỗ √2 i là (- 3 ; √23 )
VD3: tìm miền hội tụ của chuỗi ∑∞ 𝑛=1 𝑛! 𝑥𝑛 an = n! 𝑛+1 !
=> lim |𝑎𝑛+1| = lim |( ) | = lim(n+1) = ∞ 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛→∞ 𝑛! 𝑛→∞ 1 => R = ậ ỗi đã cho hộ ụ ạ ∞ = 0 v y chu i t t i x = 0
VD4: tìm miền hội tụ của chuỗi ∑∞ 𝑛=1 (−1)𝑛. 𝑥𝑛 𝑛! an = (−1)𝑛. 1𝑛! −1𝑛+1 lim |𝑎𝑛+1 | (𝑛+1) 𝑛! 1 = lim | ! | = lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛→∞ −1𝑛. 1 (𝑛+1)! = lim 𝑛+1 = 0 𝑛! 𝑛→∞ 𝑛→∞ 1 => R = 0 = ∞
vậy miền hội tụ của chuỗi là(- ∞; +∞) 7