Bài tập phương pháp quy nạp toán học – Lê Bá Bảo

Tài liệu gồm 10 trang hướng dẫn cách giải và tuyển chọn các bài tập phương pháp quy nạp toán học có lời giải chi tiết.

I – Lý thuyết

88 44 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

10 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Chuyên :
DÃY S - CP S CNG – CP S NHÂN
-----------------
Ch  1:
PHNG PHÁP QUY NP TOÁN HC
I- LÝ THUYT:
 chng minh mt mnh  úng vi mi
*
n
∈
b
ng ph

ng pháp quy n
p toán h
c,
ta th
c hi
n các b

c sau:
Bc 1: Kim tra mnh  úng vi
1
n
=
.
Bc 2: Gi s mnh  úng vi
1
n k
= ≥
(gi
thi
t quy n
p)
Bc 3
: C
n ch
ng minh m
nh

úng v
i
n k
= +
.
Chú ý:
Trong TH ph
i ch
ng minh m
t m
nh

úng v
i m
i s
t
nhiên
n p
≥
(
p
là s
t
nhiên) thì thu
t toán là:
Bc 1
: Ki
m tra m
nh

úng v
i
n p
=
.
Bc 2
: Gi
s
m
nh

úng v
i
1
n p
= ≥
(
gi
thi
t quy n
p)
Bc 3
: C
n ch
ng minh m
nh

úng v
i
n k
= +
.
II- BÀI TP MINH HA:
Dng toán 1: CHNG MINH NG THC- BT NG THC
Bài tp 1
: Ch
ng minh r
ng v
i
*
n N
∈
thì
(
)
2
1 3 5 ... 2 1
n n
+ + + + − =
(1)
Bài gii:
Ki
m tra khi
1
n
=
: m
nh

(1) tr
thành:
2
1 1 1
= =
(
úng)
Gi
s
m
nh

(1) dúng khi
1
n k
= ≥
, t
c là:
(
)
2
1 3 5 ... 2 1
k
S k k
= + + + + − =
(gi
thi
t quy n
p)
C
n ch
ng minh m
nh

(1)
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
(
)
(
)
(
)
2
1
1 3 5 ... 2 1 2 2 1 1 1
k
S k k k
+
= + + + + − + + − = +
Th
t v
y:
(
)
(
)
2
2
1
2 1 1 2 1 1
k k
S S k k k k
+
= + + − = + + = +
V
y m
nh

(1)
úng v
i m
i
*
n
∈
.
Bài tp 1
: Ch
ng minh r
ng v
i
*
n
∈
thì
( )
(
)
3 1
2 5 8 ... 3 1
2
n n
n
+
+ + + + − =
(2)
Bài gii:
Ki
m tra khi
1
n
=
: m
nh

(2) tr
thành
2 2
=
(
úng)
Gi
s
m
nh

(2) dúng khi
1
n k
= ≥
, t
c là:
( )
(3 1)
2 5 8 ... 3 1
2
k
k k
S k
+
= + + + + − = (gi
thi
t quy n
p)
C
n ch
ng minh m
nh

(2)
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
( ) ( )
(
)
(
)
1
1 3 1 1
2 5 8 ... 3 1 3 1 1
2
k
k k
S k k
+
+ + +
= + + + + − + + − =
Th
t v
y:
( )
(
)
( )
2
1
3 1
3 7 4
3 1 1 3 1 1
2 2
k k
k k
k k
S S k k
+
+
+ +
= + + − = + + − =
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
( )
( ) ( )
4
3 1
1 3 1 1
3
2 2
k k
k k
+ +
+ + +
= =
Vy mnh  (1) úng vi mi
*
n
∈
.
Bài tp 5: Chng minh rng vi mi s t nhiên
2
n
≥
thì:
3 3 1
n
n
> +
Bài gii:
Ki
m tra v
i
2 : 9 7
n
= >
(
úng)
Gi
s
b
t

ng th
c
úng v
i
(
)
2
n k k
= ≥
, t
c là:
3 3 1
k
k
> +
Ch
ng minh b
t

ng th
c
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh b
t

ng th
c:
(
)
1
3 3 1 1
k
k
+
> + +
Th
t v
y:
1 1
3 3 1 3 9 3 3 3 3 6 1 1
k k k
k k k k
+ +
> + ⇔ > + ⇔ > + + + −
(
)
1
3 3 1 1 6 1
k
k k
+
⇔ > + + + −
V
i
2
k
≥
, khi
ó
6 1 0
k
− >
nên:
(
)
1
3 3 1 1
k
k
+
> + +
.
V
y
3 3 1
n
n
> +
v
i m
i
*
2,
n n N
≥ ∈ .
Bài tp 5:
Ch
ng minh r
ng v
i m
i s
t
nhiên
3
n
≥
ta có:
2
3 4 5
n
n n
> + +
Bài gii:
Ki
m tra v
i
3 : 27 26
n
= >
(
úng)
Gi
s
b
t

ng th
c
úng v
i
3
n k
= ≥
, ngh
a là:
2
3 4 5
k
k k
> + +
(gi
thi
t quy n
p)
C
n ch
ng minh b
t

ng th
c
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
(
)
(
)
2
1
3 1 4 1 5
k
k k
+
> + + + +
Th
t v
y:
(
)
(
)
( ) ( )
2 1 2 1 2 2
2
1 2
3 4 5 3 3 12 15 3 2 1 4 4 2 6 5 5
3 1 4 1 5 2 6 5

k k k
k
k k k k k k k k k
k k k k
+ +
+
> + + ⇔ > + + ⇔ > + + + + + + + +
⇔ > + + + + + + +
V
i
3
k
≥
, khi
ó
2
2 6 5
k k
+ +
nên:
(
)
(
)
2
1
3 1 4 1 5
k
k k
+
> + + + +
V
y:
2
3 4 5
n
n n
> + +
v
i
3
n
≥
Bài tp 5:
V
i giá tr
nào c
a s
nguyên d

ng
n

ta có:
n n
n
> +
Bài gii:
d)
n n
n
> +
Ta th
v
i
1: 3 2 7
n
= > +
(Sai),
2 : 9 4 14
n
= > +
(Sai),
3 : 27 8 21
n
= > +
(Sai)
4 : 81 16 28
n
= > +
(
úng),
5 : 243 32 35
n
= > +
(
úng)
D
oán:
n n
n n
> + ∀ ≥
. Ch
ng minh b
ng qui n
p toán h
c.
Ki
m tra v
i
4 : 81 16 28
n
= > +
(
úng)
Gi
s
b
t

ng th
c
úng v
i
4
n k
= ≥
, ngh
a là:
k k
k
> +
(gi
thi
t quy n
p)
C
n ch
ng minh b
t

ng th
c
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
(
)
k k
k
+ +
> + +
Th
t v
y:
(
)
1
3 2 7 3 3 2 7 3.2 21

k k k k k
k k k
+
> + ⇔ > + = +
Xét
(
)
1
3.2 21 2 7 1 2 14 7 0 4
k k k
k k k k
+
+ > + + ⇔ + − > ∀ ≥
(2)
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
T
(1) và (2) suy ra:
(
)
k k
k
+ +
> + +
V
y:
n n
n n
> + ∀ ≥
Bài tp 5:
Ch
ng minh r
ng v
i m
i s
t
nhiên
1
n
>
, ta có:
1 1 1 13
...
1 2 2 24
n n n
+ + + >
+ +
(1)
Bài gii:
Ki
m tra (1) v
i
2
n
=
:
1 1 7 13
3 4 12 24
+ = > (
úng)
Gi
s
(1)
úng v
i
1
n k
= >
, t
c là:
1 1 1 13
...
1 2 2 24
k
S
k k k
= + + + >
+ +
(gi
thi
t quy n
p)
C
n c/m (1)
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n c/m:
( )
1
1 1 1 1 1 13
...
2 3 2 2 1 2 1 24
k
S
k k k k k
+
= + + + + + >
+ + + +
Th
t v
y:
( )
1
1 1 1 1 1
...
2 3 2 2 1 2 1
k
S
k k k k k
+
= + + + + +
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 3 2 2 1 2 2 1
k k k k k k k
+ + + + + + −
+ + + + + +
= S
k
+
1 1 1
2 1 2 2 1
k k k
+ −
+ + +
>
13
24
+
1 1 1
2 1 2 2 1
k k k
+ −
+ + +
(
)
(
)
( )( )
2 1 2 1 2 2 1
13
24 2 1 2 1
k k k
k k
+ + + − +
> +
+ +
( )( )
13 1
24 2 1 2 1
k k
> +
+ +
>
13
24
(
)
1
k
>
.
V
y
1 1 1 13
...
1 2 2 24
n n n
+ + + >
+ +
úng v
i m
i
1.
n
>
Dng toán 2: BÀI TOÁN CHIA HT
Bài tp 5:
Ch
ng minh r
ng v
i
*
n
∈
thì
3
n n
−
chia h
t cho 3.
Bài gii:

t
3
n
A n n
= −
Ki
m tra v
i
1
n
=
,
1
0 3
A
=
(
úng)
Gi
s
m
nh

n
A
úng khi
1
n k
= ≥
, t
c là:
3
3
k
A k k
= −
(gi
thi
t quy n
p)
C
n ch
ng minh m
nh

A
n
úng v
i n = k + 1, t
c là c
n ch
ng minh m
nh

:
(
)
(
)
3
1
1 1 3
k
A k k
+
= + − +
Th
t v
y:
(
)
(
)
3
3 2
1
1 1 3 3 1 1
k
A k k k k k k
+
= + − + = + + + − −
(
)
(
)
(
)
3 2 2
3 3 3
k
k k k k A k k
= − + + = + +
V
y
3
3
n n
−
v
i m
i
*
n
∈
.
Bài tp 5:
Ch
ng minh r
ng v
i
*
n
∈
thì
7
n n
−
chia h
t cho 7.
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Bài gii:

t
7
n
A n n
= −
B
1
: Ki
m tra v
i
1
1: 0 7
n A
= =
(
úng)
B
2
: Gi
s
m
nh

k
A
úng khi
1
n k
= ≥
, t
c là:
7
7
k
A k k
= −
(gi
thi
t quy n
p)
B
3
: C
n ch
ng minh m
nh

n
A
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh m
nh

:
(
)
(
)
7
1
1 1 7
k
A k k
+
= + − +
Th
t v
y:
(
)
(
)
( ) ( )
7
7 6 5 4 3 2
1
7 6 5 4 3 2
1 1 7 21 35 21 21 7 1 1
7 3 5 5 3 7
k
A k k k k k k k k k k
k k k k k k k k
+
= + − + = + + + + + + + − −
= − + + + + + +
V
y
7
7
n n
−
v
i m
i
*
n
∈
.
Bài tp 5:
Ch
ng minh r
ng v
i
*
n
∈
thì
7 1
n
−
chia h
t cho 6.
Bài gii:

t
7 1
n
n
A
= −
Ki
m tra v
i
1
1: 6 6
n A
= =
(
úng)
Gi
s
m
nh

k
A
úng khi
1
n k
= ≥
, t
c là:
7 1 6
k
k
A = −
(gi
thi
t quy n
p)
C
n ch
ng minh m
nh

n
A
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
1
1
7 1 6
k
k
A
+
+
= −
Th
t v
y:
(
)
1
1
7 1 7 7 1 6 6
k k
k
A
+
+
= − = − +
V
y
7 1 6
n
−
v
i m
i
*
n
∈
.
MT S BÀI TOÁN
Bài tp 5:
Cho t
ng
( )( )
1 1 1 1
...
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1
n
S
n n
= + + + +
− +
a) Tính
1 2 3 4
, , , .
S S S S
b) Hãy d
oán công th
c tính
n
S
và ch
ng minh b
ng ph

ng pháp quy n
p.
Bài gii:
a)
1 2 3 4
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4
, , ,
1.3 3 3 3.5 5 5 5.7 7 7 7.9 9
S S S S
= = = + = = + = = + =
.
b) T
k
t qu
câu a) ta d
oán:
2 1
n
n
S
n
=
+
(1) . Ta ch
ng minh công th
c (1) b
ng ph

ng
pháp quy n
p.
Ki
m tra v
i
1:
n
=
1
1
3
S
=
(
úng)
Gi
s
bi
u th
c (1)
úng v
i
1
n k
= ≥
, t
c là:
2 1
k
k
S
k
=
+
C
n ch
ng minh bi
u th
c (1)
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
( )
1
1
2 1 1
k
k
S
k
+
+
=
+ +
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Th
t v
y:
( ) ( ) ( )( )
1
1 1
2 1 1 2 1 1 2 1 2 3
k k k
S S S
k k k k
+
= + = +
+ − + + + +
( )( ) ( )( )
(
)
(
)
( )( )
2
1 2 1
1 2 3 1
2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
k k
k k k
k k k k k k k
+ +
+ +
= + = =
+ + + + + + +
( )
1
2 1 1
k
k
+
=
+ +
V
y
2 1
n
n
S
n
=
+
(
)
*
n∀ ∈
.
Bài tp 5:
Gi
s
1 2
, ,...
n
x x x R
+
∈ và
1 2
. .... 1
n
x x x
=
. Ch
ng minh
1 2
...
n
x x x n
+ + + ≥
Bài gii:
V
i
1
1: 1
n x
= =
. M
nh

úng .
Gi
s
m
nh

úng v
i
(
)
1
n k k
= ≥
(
)
1 2 3 1 2 3
.... .. 1 *
k k
x x x x k x x x x
⇔ + + + + ≥ ∨ =
N
u v
i m
i
1
k
x
=
thì hi
n nhiên :
1 2 1
.. 1
k k
x x x x k
+
+ + + + ≥ +
.
N
u trong
1
k
+
s
có ít nh
t m
t s
l
n h
n 1, thì
t ph
i có s
nh
h
n 1.
Không gi
m tính t
ng quát , gi
s
1
k
x
>
và
1
1
k
x
+
<
, khi
ó ta có:
(
)
(
)
(
)
1 1 1
1 1 0 1 1
k k k k k k
x x x x x x
+ + +
− − > ⇔ + > +
Do
ó:
(
)
1 2 1 1 2 1 1
... ... 1 2
k k k k k
x x x x x x x x x
+ − +
+ + + + > + + + + +
Theo gi
thi
t quy n
p , ta suy ra t
k s
v
ph
i:
(
)
(
)
1 2 1 1
... 3
k k k
x x x x x k
− +
+ + + + ≥
T
(2) và (3) suy ra :
1 2 1
... 1
k k
x x x x k
+
+ + + + > +
.
Bài tp 5:
Ch
ng minh :
2 2
n
n n
a b a b
+ +
≥
v
i :
*
0, 0, a b n
≥ ≥ ∈
Bài gii:
V
i
1
n
=
. M
nh

úng
Gi
s
m
nh

úng v
i
(
)
1
n k k
= ≥
:
( )
1
2 2
k
k k
a b a b+ +
⇔ ≥
Ta ph
i ch
ng minh :
1
1 1
2 2
k
k k
a b a b
+
+ +
+ +
≥
Th
t v
y, ta nhân hai v
c
a (1) v
i
2
a b
+
, ta có :
1
. .
2 2 2 2 2
k k
k k
a b a b a b a b a b
+
+ + + + +
⇔ ≥ =
( )
1
1 1
2
4 2
k
k k k k
a a b ab b a b
+
+ +
+ + + +
⇔ ≥
Nh
ng v
i
0, 0
a b
> >
thì :
(
)
(
)
1 1
0
k k k k k k
a b a b a b a b ab
+ +
− − ≥ ⇔ + ≥ +
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Suy ra:
( )
1 1 1 1
3
4 2
k k k k k k
a a b ab b a b
+ + + +
+ + + +
≤
So sánh (2) và (3) ta

c
i
u ph
i ch
ng minh .
Bài tp 1:
Cho s
th
c
1
a
> −
. Ch
ng minh r
ng:
(
)
(
)
*
1 1
n
a na n+ ≥ + ∀ ∈
Bài gii:
Vi
(
)
1
1: 1 1
n a a
= + ≥ +
(úng)
Gi s mnh  úng vi
(
)
1
n k k
= ≥
:
(
)
(
)
1 1 1
k
a ka⇔ + ≥ +
Ta cn chng minh BT úng vi
n k
= +
, tc là cn chng minh:
(
)
(
)
1
1 1 1
k
a k a
+
+ ≥ + +
Tht vy, ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
k k
a ka a a ka k a ka k a
+
+ ≥ + ⇔ + ≥ + + = + + + ≥ + +
Vy
(
)
(
)
*
1 1
n
a na n+ ≥ + ∀ ∈
(.p.c.m)
Bài tp 1: Cho
n
s thc
(
)
1 2 3
, , ,..., 0;1
n
x x x x
∈
. Chng minh rng
(
)
2
n
∀ ≥
:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 ...
n n
x x x x x x
− − − > − − − −
Bài gii:
Vi
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
2 : 1 1 1 1
n x x x x x x x x
= − − = − − + > − −
(úng)
Gi s mnh  úng vi
(
)
2
n k k
= ≥
:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 ... 1
k k
x x x x x x
⇔ − − − > − − − −
Ta cn chng minh BT úng vi
n k
= +
, tc là cn chng minh:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 1
1 1 ... 1 1 1 ...
k k k k
x x x x x x x x
+ +
⇔ − − − − > − − − − −
Tht vy, ta có:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 ...
k k
x x x x x x
− − − > − − − −
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2
1 2
1 1 ... 1 1 1 ... 1
1 ... 1 ...
1 ...


k k k k
k k k
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
+ +
+
⇔ − − − − > − − − − −
= − − − − − − − − −
= − − − −
(
)
1 1 1 2 1 1
1 2 1
...
1 ...
k k k k k
k
x x x x x x x
x x x
+ + + +
+
+ + + +
> − − − −
Vy
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 ...
n n
x x x x x x
− − − > − − − −
(
)
2
n
∀ ≥
(.p.c.m)
Bài tp 1: Xác nh công thc tng quát
n
u
ca các dãy
(
)
n
u
sau:
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
5
1
4
: :
2 1 1 1
1
2
 

n n
n n n
n
u
u
u u
u u n u
u n
+
+
=
= −
= + ≥ +
= ≥
Bài gii:
a)
( )
( )
1
1
1
:
2 1 1
n
n n
u
u
u u n
+
= −
= + ≥
. Ta có:
2 3 4
1, 1, 1
u u u
= − = − = −
. D
oán:
(
)
1 1
n
u n
= − ∀ ≥
.
Ch
ng minh b
ng qui n
p toán h
c.
V
i
1
1: 1
n u
= = −
(
úng)
Gi
s
m
nh

úng v
i
(
)
1
n k k
= ≥
:
1
k
u
= −
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
Ta c
n ch
ng minh B
T
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
1
1
k
u
+
= −
Th
t v
y, ta có:
(
)
1
2 1 2. 1 1 1
k k
u u
+
= + = − + = −
V
y
(
)
1 1
n
u n
= − ∀ ≥
. (y.c.b.t)
b)
( )
( )
1
1
5
4
:
1
1
2
n
n
n
u
u
u
u n
+
=
+
= ≥
.
Ta có:
3 4 5
2 3 4
3 4 5
9 2 1 2 1 33 2 1
, , ,...
8 2 2 32 2
u u u
+ + +
= = = = = . D
oán:
( )
1
1
2 1
1
2
n
n
n
u n
+
+
+
= ∀ ≥
.
Ch
ng minh b
ng qui n
p toán h
c.
V
i
1
5
1:
4
n u
= =
(
úng)
Gi
s
m
nh

úng v
i
(
)
1
n k k
= ≥
:
1
1
2 1
2
k
k
k
u
+
+
+
=
Ta c
n ch
ng minh B
T
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
2
1
2
2 1
2
k
k
k
u
+
+
+
+
=
Th
t v
y, ta có:
1 2
1
1 2
1
2 1 1 2 1
1 .
2 2 2 2
k k
k
k
k k
u
u
+ +
+
+ +
+
+ +
= = + =
V
y
( )
1
1
2 1
1
2
n
n
n
u n
+
+
+
= ∀ ≥
. (y.c.b.t)
Bài tp 1:
Xác

nh công th
c t
ng quát
n
u
c
a các dãy
(
)
n
u
sau:
( )
2 2 2 ... 2 1

n
n
u n
= + + + + ≥
Bài gii:
Ta có:
2
1 2
2 2 cos , 2 2 2 2cos 2 1 cos 2 2cos 2cos
4 4 4 8 8
u u= = = + = + = + = = .
D
oán:
( )
1
2cos 1
2
n
n
u n
+
= ∀ ≥
.
Ch
ng minh b
ng qui n
p toán h
c.
V
i
1
1: 2cos 2
4
n u= = = (
úng)
Gi
s
m
nh

úng v
i
(
)
1
n k k
= ≥
:
1
2cos
2
k
k
u
+
=
Ta c
n ch
ng minh B
T
úng v
i
n k
= +
, t
c là c
n ch
ng minh:
1
2
2cos
2
k
k
u
+
+
=
Th
t v
y, ta có:
1
1
2 2 2 ... 2 2 2 2 2 ... 2
 
k
u
+
+
= + + + + = + + + + +
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
2
1 1 2
2 2 2cos 2 2cos 2cos
2 2 2
k
k k k
u
+ + +
= + = + = =
V
y
( )
1
2cos 1
2
n
n
u n
+
= ∀ ≥
. (y.c.b.t)
III- BÀI TP T LUYN:
Bài tp 1:
Ch
ng minh r
ng v
i
*
n
∈
, ta có các

ng th
c:
1)
1 1 1 1 2 1
...
2 4 8 2 2
n
n n
−
+ + + + = 2)
( )
(
)
2
2
2 2 2
4 1
1 3 5 ... 2 1
3
n n
n
−
+ + + + − =
3)
(
)
(
)
2
1.2 2.5 ... 3 1 1
n n n n
+ + + − = +
4)
( )
(
)
3 1
1 4 7 ... 3 2
2
n n
n
−
+ + + + − =
5)
(
)
(
)
2
1.4 2.7 3.10... 3 1 1
n n n n
+ + + + = +
6)
(
)
2
1 3 5 ... 2 1
n n
+ + + + − =
7)
( )
( )
2
1 1 1 1 2
1 1 1 ... 1
4 9 16 2 1
1
n
n
n
+
− − − − =
+
+
8)
1
3 1
1 3 9 ... 3
2
n
n−
−
+ + + + =
9)
( )( )
1 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 3 2 3 1 3 1
n
n n n
+ + + + =
− + +
10)
( )
(
)
(
)
1 2
1.2 2.3 3.4 ... 1
3
n n n
n n
+ +
+ + + + + = .
Bài tp 2:
Ch
ng minh r
ng: V
i m
i n ∈ N*:
1)
( 1)
1 2 3 ...
2
n n
n
+
+ + + + =
2)
(
)
2
2
3 3 3 3
1
1 2 3
4
n n
n
+
+ + + + =
3)
(
)
2 4 6 2 1
n n n
+ + + + = +
4)
(
)
2
1 3 5 ... 2 1
n n
+ + + + − =
5)
( )
1 1 1
1.2 2.3 1 1
n
n n n
+ + + =
+ +
6)
2 3
1 1 1 1 1 3 1
.
3 3 3 3 2 3
−
+ + + + =
n
n n
7)
2
1 2 3 2 3
...
3 3 3 4 4.3
n n
n n
+
+ + + = − 8)
...

n
n
+
−
+ + + + =
9)
( )
(
)
3 1
1 4 7 3 2
2
n n
n
−
+ + + + − = 10)
( )
(
)
3 1
2 5 8 ... 3 1
2
n n
n
+
+ + + + − =
11)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2 1
1 2 3
6
n n n
n
+ +
+ + + + = 12)
2 2 2 2
2 ( 1)(2 1)
2 4 6 (2 )
3
n n n
n
+ +
+ + + + =
Bài tp 3:
Ch
ng minh r
ng: V
i m
i
*
n N
∈
:
(
)
( )
!
sin cos
   

   

  
n
n n n
n n n
n n n
n n n n n n n
n n n n n n n
n n n n
−
− +
−
≥ + ∀ ≥ > ∀ ≥ ≥ + ∀ ≥
> + + ∀ ≥ > ∀ ≥ > + ∀ >
+ ≤ ∀ ≥ > + ∀ ≥
Bài tp 4:
Ch
ng minh r
ng n
u ∆ABC vuông t
i A, có s
o các c
nh là
, ,
a b c
thì v
i
m
i s
t
nhiên
n
≥
, ta có b
t

ng th
c :
n n n
b c a
+ ≤
.
Bài tp 5:
V
i giá tr
nào c
a s
nguyên d

ng
n
, ta có:
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
 

 
n n
n n n
n n n
n n n
+
> + > +
> + + > +
Bài tp 6:
Ch
ng minh r
ng s
!
ng chéo c
a m
t
a giác l
"
i n c
nh là
(
)
3
2
n n
−
.
Bài tp 7:
Cho t
ng
( )
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 1
n
S
n n
= + + + +
+
, v
i
*
n N
∈
.
a) Tính
1 2 3 4
, , , .
S S S S
b) Hãy d
oán công th
c tính
n
S
và ch
ng minh b
ng ph

ng pháp quy n
p.
Bài tp 8:
Cho t
ng
( )( )
1 1 1 1
1.5 5.9 9.13 4 3 4 1
n
S
n n
= + + + +
− +
, v
i
*
n
∈
.
a) Tính
1 2 3 4
, , , .
S S S S
b) Hãy d
oán công th
c tính
n
S
và ch
ng minh b
ng ph

ng pháp quy n
p.
Bài tp 9:
Cho n s
th
c
, , ,...,
n
a a a a
th
a
(
)
,
i
a i n
− < ≤ =
.
Ch
ng minh r
ng:
*
n
∀ ∈
ta có:
(
)
(
)
(
)
... ...
n n
a a a a a a
+ + + ≥ + + + +
Bi tp 10:
Ch
ng minh r
ng v
i các s
th
c
, , ,...,
n
a a a a
(
*
n
∀ ∈
), ta có:
... ...
n n
a a a a a a
+ + + ≤ + + +
Bài tp 11:
Chng minh rng
*
n N
∀ ∈
:
    

   
 
n n n n n
n n n n n n
n
+
− + +
+ − + + −
.
    

   
n n
n n n n
n n n
n n n
− +
+ − − −
+ − +
+ − + +
Bài tp 12:
V
i giá tr
nào c
a s
nguyên d

ng
n

ta có:
  

n n n
n n n n n
+
> + > + > + +
Bài tp 13:
Cmr s
!
ng chéo c
a m
t
a giác l
"
i n c
nh (
4
n
≥
) là
(
)
3
2
n n
−
.
Bài tp 14:
Xác

nh công th
c t
ng quát
n
u
c
a các dãy
(
)
n
u
sau:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1
1
1 1
1 2 1
2 1 2 1
1
1 1
: : :
1
5 1 5 1
1
1, 3 1
: :
5 6 3 5 1
  
 
n n n
n
n
n n n n
n
n n
n n n n n
u
u u
u u u
u
u n
u u n u u n
u
u u u
u u
u u u n u u n
+
+ +
+ + − +
=
= =
= ≥
= + ≥ = ≥
+
= − = =
= − ≥ = + ≥
áp s:
Chuyên : DÃY S- CP S CNG- CP S NHÂN i s và Gii tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
( )
1 1
1
5 4 5 5.3 6.2 2 .2
    
n n n n
n n n n n
u n u u u u n
n
− −
= − = = = − = +
| 1/10
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11
Chuyên : DÃY S - C P S C NG – C P S NHÂN ----------------- Ch 1: PH NG PHÁP QUY N P TOÁN H C I- LÝ THUY T: ch ng minh m t m nh úng v i m i * n ∈ b ng ph ng pháp quy n p toán h c, ta th c hi n các b c sau: B
c 1: Ki m tra m nh úng v i n = 1. B
c 2: Gi s m nh úng v i n = k ≥ 1(gi thi t quy n p) B
c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n = k +1.
Chú ý: Trong TH ph i ch ng minh m t m nh úng v i m i s t nhiên n ≥ p ( p là s t nhiên) thì thu t toán là: B
c 1: Ki m tra m nh úng v i n = p . B
c 2: Gi s m nh úng v i n = p ≥ 1(gi thi t quy n p) B
c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n = k +1. II- BÀI T P MINH H A: D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i * n ∈ N thì + + + + ( n − ) 2 1 3 5 ... 2 1 = n (1) Bài gi i: Ki m tra khi n = 1 : m nh (1) tr thành: 2 1 = 1 = 1 ( úng) Gi s m nh
(1) dúng khi n = k ≥ 1 , t c là: S = + + + + ( k − ) 2 1 3 5 ... 2 1 = k (gi thi t quy n p) k C n ch ng minh m nh
(1) úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: S = 1 + 3 + 5 + ... + (2k − ) 1 + 2 2(k + ) 1 −1 = (k + + )2 1 k 1 Th t v y: S = S + 2 k + − = k + k + = k + + k ( ) 1 1 2 1 ( )2 2 1 k 1 V y m nh (1) úng v i m i * n ∈ . n (3n + ) 1
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i * n ∈
thì 2 + 5 + 8 + ... + (3n − ) 1 = (2) 2 Bài gi i: Ki m tra khi n = 1 : m nh (2) tr thành 2 = 2 ( úng) Gi s m nh
(2) dúng khi n = k ≥ 1 , t c là: k(3k +1) S = 2 + 5 + 8 + ... + k − = (gi thi t quy n p) k (3 ) 1 2 C n ch ng minh m nh
(2) úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: (k + ) 1 3(k + ) 1 +1 S
= 2 + 5 + 8 + ... + 3k −1 + 3 k +1 −1 = k 1 + ( ) ( ) 2 k (3k + ) 2 1 3k + 7k + 4 Th t v y: S = S + 3 k +1 −1 = + 3 k +1 −1 = k 1 + k ( ) ( ) 2 2
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 4 3(k + ) 1 k + (k + ) 1 3(k + ) 1 +1 3 = = 2 2 V y m nh (1) úng v i m i * n ∈ .
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ 2 thì: 3n > 3n +1 Bài gi i:
Ki m tra v i n = 2 : 9 > 7 ( úng) Gi s b t
ng th c úng v i n = k (k ≥ 2) , t c là: 3k > 3k +1 Ch ng minh b t
ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh b t ng th c: k 1 3 + > 3(k + ) 1 +1 Th t v y: k k 1 + k 1 3 3k 1 3 9k 3 3 + > + ⇔ > + ⇔ > 3k + 3 + 6k +1 −1 k 1 3 + ⇔ > 3(k + ) 1 +1 + 6k −1
V i k ≥ 2 , khi ó 6k −1 > 0 nên: k 1 3 + > 3(k + ) 1 +1. V y 3n > 3n +1 v i m i * n ≥ 2, n ∈ N .
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ 3ta có: n 2 3 > n + 4n + 5 Bài gi i:
Ki m tra v i n = 3 : 27 > 26 ( úng) Gi s b t
ng th c úng v i n = k ≥ 3 , ngh a là: k 2
3 > k + 4k + 5 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t
ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: 2 k 1 3 + > (k + ) 1 + 4(k + ) 1 + 5 Th t v y: k 2 k 1 + 2 k 1 3 > k + 4k + 5 ⇔ 3
> 3k +12k +15 ⇔ 3 + > ( 2 k + 2k + ) 1 + (4k + 4) 2 + 2k + 6k + 5 + 5 ⇔ 3k+ > (k + )2 1 1 + 4(k + ) 2 1 + 5 + 2k + 6k + 5 2 V i k ≥ 3 , khi ó 2 2k + 6k + 5 nên: k 1 3 + > (k + ) 1 + 4(k + ) 1 + 5 V y: n 2 3 > n + 4n + 5 v i n ≥ 3
Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n ta có: n n > + n Bài gi i: d) n n > + n
Ta th v i n = 1: 3 > 2 + 7 (Sai), n = 2 : 9 > 4 + 14 (Sai), n = 3 : 27 > 8 + 21 (Sai)
n = 4 : 81 > 16 + 28 ( úng), n = 5 : 243 > 32 + 35 ( úng) D oán: n n > + n n ∀ ≥
. Ch ng minh b ng qui n p toán h c.
Ki m tra v i n = 4 : 81 > 16 + 28 ( úng) Gi s b t
ng th c úng v i n = k ≥ 4 , ngh a là: k k > + k (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t
ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: k + k + > + (k + ) Th t v y: k k k 1 3 2 7 3 + > + ⇔ > 3(2k + 7 ) = 3.2k k k + 21k Xét k k 1 3.2 21 2 + + > + 7 ( + ) 1 ⇔ 2k k k + 14k − 7 > 0 k ∀ ≥ 4 (2)
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 T (1) và (2) suy ra: k+ k + > + (k + ) V y: n n > + n n ∀ ≥ Bài t p 5: 1 1 1 13
Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n > 1 , ta có: + + ... + > (1) n +1 n + 2 2n 24 Bài gi i: 1 1 7 13 Ki m tra (1) v i n = 2 : + = > ( úng) 3 4 12 24 1 1 1 13
Gi s (1) úng v i n = k > 1, t c là: S = + + ... + > (gi thi t quy n p) k k + 1 k + 2 2k 24
C n c/m (1) úng v i n = k +1, t c là c n c/m: 1 1 1 1 1 13 S = + + ... + + + > k 1 + k + 2 k + 3 2k 2k + 1 2(k + ) 1 24 1 1 1 1 1 Th t v y: S = + + ... + + + k 1 + k + 2 k + 3 2k 2k +1 2(k + ) 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + ... + + + − k + 1 k + 2 k + 3 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1 1 1 1 13 1 1 1 = Sk + + − > + + − 2k +1 2k + 2 k +1 24 2k +1 2k + 2 k +1 13 2(k + ) 1 + 2k +1 − 2(2k + ) 1 > + 24 2(k + ) 1 (2k + ) 1 13 1 13 > + > (k > ) 1 . 24 2(k + ) 1 (2k + ) 1 24 1 1 1 13 V y + + ... + > úng v i m i n > 1. n +1 n + 2 2n 24 D ng toán 2: BÀI TOÁN CHIA H T
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i * n ∈ thì 3 n − n chia h t cho 3. Bài gi i: t 3 A = n − n n
Ki m tra v i n = 1 , A = 0 3 ( úng) 1 Gi s m nh
A úng khi n = k ≥ 1 , t c là: 3
A = k − k 3 (gi thi t quy n p) n k C n ch ng minh m nh
An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh m nh : 3 A = k + 1 − k + 1 3 k 1 + ( ) ( ) 3 Th t v y: A = + − + = + + + − − + (k ) 1 (k ) 3 2 1 k 3k 3k 1 k 1 k 1 = ( 3 k − k ) + ( 2 k + k ) = A + ( 2 3 3 k + k ) 3 k V y 3 n − n 3 v i m i * n ∈ .
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i * n ∈ thì 7 n − n chia h t cho 7.
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 Bài gi i: t 7 A = n − n n
B1: Ki m tra v i n = 1: A = 0 7 ( úng) 1
B2: Gi s m nh A úng khi n = k ≥ 1 , t c là: 7
A = k − k 7 (gi thi t quy n p) k k
B3: C n ch ng minh m nh A úng v i n = k +1, t c là c n ch ng minh m nh : n 7 A = k +1 − k +1 7 k 1 + ( ) ( ) Th t v y: A = k + − k + = k + k + k + k + k + k + k + − k − k + ( )7 1 ( ) 7 6 5 4 3 2 1 7 21 35 21 21 7 1 1 1 = ( 7 k − k ) + 7( 6 5 4 3 2 k + 3k + 5k + 5k + 3k + k ) 7 V y 7 n − n 7 v i m i * n ∈ .
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i * n ∈ thì 7n −1 chia h t cho 6. Bài gi i: t A = 7n −1 n
Ki m tra v i n = 1: A = 6 6 ( úng) 1 Gi s m nh
A úng khi n = k ≥ 1 , t c là: A = 7k −1 6 (gi thi t quy n p) k k C n ch ng minh m nh
A úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: k 1 A = 7 + −1 6 n k 1 + Th t v y: k 1 A = 7 + −1 = 7 7k −1 + 6 6 k 1 + ( ) V y 7n −1 6 v i m i * n ∈ . M T S BÀI TOÁN Bài t p 5: 1 1 1 1 Cho t ng S = + + + ... + n 1.3 3.5 5.7 (2n − ) 1 (2n + ) 1 a) Tính S , S , S , S . 1 2 3 4
b) Hãy d oán công th c tính S và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p. n Bài gi i: 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 a) S = = , S = + = , S = + = , S = + = . 1 2 3 4 1.3 3 3 3.5 5 5 5.7 7 7 7.9 9 n
b) T k t qu câu a) ta d oán: S =
(1) . Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng n 2n +1 pháp quy n p. 1 Ki m tra v i n = 1: S = ( úng) 1 3 k
Gi s bi u th c (1) úng v i n = k ≥ 1 , t c là: S = k 2k +1 k + 1
C n ch ng minh bi u th c (1) úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: S = k 1 + 2(k + ) 1 +1
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 1 1 Th t v y: S = S + = S + k 1 + k 2(k + ) 1 −1 2(k + ) 1 +1 k (2k + ) 1 (2k + 3) 2 k 1 2k + 3k +1 (k + ) 1 (2k + ) 1 = + = = 2k +1 (2k + ) 1 (2k + 3) (2k + ) 1 (2k + 3) (2k + ) 1 (2k + 3) k + 1 = 2(k + ) 1 +1 n V y S = ( * n ∀ ∈ ) . n 2n +1 Bài t p 5: Gi s x , x ,...x R+ ∈
và x .x ....x = 1. Ch ng minh x + x + ... + x ≥ n 1 2 n 1 2 n 1 2 n Bài gi i: V i n = 1: x = 1 . M nh úng . 1 Gi s m nh úng v i n = k (k ≥ ) 1 ⇔ x + x + x + .... + x ≥ k ∨ x x x ..x = 1 * 1 2 3 k 1 2 3 k ( )
N u v i m i x = 1 thì hi n nhiên : x + x + .. + x + x ≥ k +1. k 1 2 k k 1 +
N u trong k +1 s có ít nh t m t s l n h n 1, thì t ph i có s nh h n 1.
Không gi m tính t ng quát , gi s x > 1 và x < 1 , khi ó ta có: k k 1 + (1− x x −1 > 0 ⇔ x + x > 1 + x x 1 k 1 + ) ( k ) k k 1 + k k 1 + ( ) Do ó: x + x + ... + x + x > x + x + ... + x + x x + 1 2 1 2 k k 1 + 1 2 k 1 − k k 1 + ( )
Theo gi thi t quy n p , ta suy ra t k s v ph i: x + x + ... + x + x x ≥ k 3 1 2 k 1 − ( k k 1+) ( )
T (2) và (3) suy ra : x + x + ... + x + x > k +1. 1 2 k k 1 + n n n Bài t p 5: a + b a + b Ch ng minh : ≥ v i : * a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ 2 2 Bài gi i: V i n = 1 . M nh úng k k k a + b a + b Gi s m nh úng v i n = k (k ≥ ) 1 : ⇔ ≥ ( ) 1 2 2 k 1 k 1 + k 1 + a b + + a + b Ta ph i ch ng minh : ≥ 2 2 a + b
Th t v y, ta nhân hai v c a (1) v i , ta có : 2 k k 1 k k + a + b a + b a + b a + b a + b ⇔ . ≥ . = 2 2 2 2 2 k 1 k 1 + k k k 1 + a a b ab b + + + + a + b ⇔ ≥ (2) 4 2
Nh ng v i a > 0, b > 0 thì : ( k k − )( − ) k 1 + k 1 ≥ 0 + k k a b a b ⇔ a + b ≥ a b + ab
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 k 1 + k k k 1 + k 1 + k 1 a a b ab b a b + + + + + Suy ra: ≤ (3) 4 2 So sánh (2) và (3) ta c i u ph i ch ng minh . Bài t p 1: n Cho s th c a > 1
− . Ch ng minh r ng: ( + a) ≥ + na ( * 1 1 n ∀ ∈ ) Bài gi i: V i n = ( + a)1 1: 1 ≥ 1 + a ( úng) k Gi s m nh úng v i n = k (k ≥ ) 1 : ⇔ (1+ a) ≥ 1+ ka ( ) 1 k 1 +
Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: (1+ a) ≥ 1 + (k + ) 1 a k k 1 +
Th t v y, ta có: ( + a) ≥ + ka ⇔ ( + a) ≥ ( + a)( + ka) = + (k + ) 2 1 1 1 1 1 1 1 a + ka ≥ 1 + (k + ) 1 a n V y ( + a) ≥ + na ( * 1 1 n ∀ ∈ ) ( .p.c.m)
Bài t p 1: Cho n s th c x , x , x ,..., x ∈ 0;1 . Ch ng minh r ng ( n ∀ ≥ 2) : 1 2 3 n ( )
(1− x 1− x ... 1− x > 1− x − x − ... − x 1 ) ( 2 ) ( n ) 1 2 n Bài gi i: V i n = 2 : (1− x 1 − x
= 1 − x − x + x x > 1 − x − x ( úng) 1 ) ( 2 ) 1 2 1 2 1 2 Gi s m nh
úng v i n = k (k ≥ 2) : ⇔ (1− x 1 − x ... 1 − x
> 1 − x − x − ... − x 1 1 ) ( 2 ) ( k ) 1 2 k ( )
Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: ⇔ (1− x 1 − x ... 1 − x 1 − x
> 1 − x − x − ... − x − x 1 ) ( 2 ) ( k ) ( k 1 + ) 1 2 k k 1 + Th t v y, ta có: (1− x 1 − x ... 1 − x
> 1 − x − x − ... − x 1 ) ( 2 ) ( k ) 1 2 k ⇔ (1− x 1 − x ... 1 − x 1 − x
> 1 − x − x − ... − x 1 − x 1 ) ( 2 ) ( k ) ( k 1 + ) ( 1 2 k ) ( k 1 + )
= (1− x − x − ... − x − x 1 − x − x − ... − x 1 2 k ) k 1 + ( 1 2 k ) = 1 − x − x − ... − x + x x + x x + ... + x x k 1 + ( 1 k 1+ 2 k 1 + k k 1 + ) 1 2
> 1 − x − x − ... − x 1 2 k 1 + V y (1− x 1 − x ... 1 − x
> 1 − x − x − ... − x ( n ∀ ≥ 2) ( .p.c.m) 1 ) ( 2 ) ( n ) 1 2 n
Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát u c a các dãy (u sau: n ) n 5 u = 1 u = 1 − (u u n ) 1 ( n ) 4 : : u = 2u +1 n ≥ 1 u +1 n 1 + n ( ) n u = n ≥ 1 n 1 + ( ) 2 Bài gi i: u = −1 1 a) (u . Ta có: u = 1 − , u = 1 − , u = 1 − . D oán: u = 1 − n ∀ ≥ . n ( ) 1 n ) : u = 2u +1 n ≥ 1 2 3 4 n 1 + n ( )
Ch ng minh b ng qui n p toán h c. V i n = 1: u = 1 − ( úng) 1 Gi s m nh úng v i n = k (k ≥ ) 1 : u = 1 − k
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11
Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: u = 1 − k 1 + Th t v y, ta có: u = 2u +1 = 2. 1 − + 1 = 1 − k 1 + k ( ) V y u = 1 − ( n ∀ ≥ ) 1 . (y.c.b.t) n 5 u = 1 4 b) (u . n ) : u +1 n u = n ≥ 1 n 1 + ( ) 2 3 4 5 9 2 +1 2 +1 33 2 +1 n 1 2 + +1 Ta có: u = = , u = , u = = ,.... D oán: u = n ∀ ≥ . n ( ) 1 2 3 3 4 4 5 8 2 2 32 2 n 1 2 +
Ch ng minh b ng qui n p toán h c. 5 V i n = 1: u = ( úng) 1 4 k 1 2 + +1 Gi s m nh úng v i n = k (k ≥ ) 1 : u = k k 1 2 + k +2 2 + 1
Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: u = k 1 + k +2 2 k 1 + k +2 u +1 2 + 1 1 2 + 1 Th t v y, ta có: k u = = + 1 . = k 1 + k 1 + k +2 2 2 2 2 n 1 2 + +1 V y u = n ∀ ≥ . (y.c.b.t) n ( ) 1 n 1 2 +
Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát u c a các dãy (u sau: n ) n u = 2 + 2 + 2 + ... + 2 (n ≥ ) 1 n n Bài gi i: Ta có: 2 u = 2 = 2 cos , u = 2 + 2 = 2 + 2 cos = 2 1 + cos = 2 2 cos = 2 cos . 1 2 4 4 4 8 8 D oán: u = 2 cos n ∀ ≥ . n ( ) 1 n 1 2 +
Ch ng minh b ng qui n p toán h c. V i n = 1: u = 2 cos = 2 ( úng) 1 4 Gi s m nh úng v i n = k (k ≥ ) 1 : u = 2 cos k k 1 2 +
Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: u = 2 cos k 1 + k +2 2 Th t v y, ta có: u = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 k 1 + 1 +
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 2 = 2 + u = 2 + 2 cos = 2 2 cos = 2 cos k k 1 + k 1 + k +2 2 2 2 V y u = 2 cos n ∀ ≥ . (y.c.b.t) n ( ) 1 n 1 2 + III- BÀI T P T LUY N:
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i * n ∈ , ta có các ng th c: 2 1 1 1 1 2n −1 n 4n −1 2 ( ) 1) + + + ... + = 2) 2 2 2 1 + 3 + 5 + ... + (2n − ) 1 = 2 4 8 2n 2n 3 n (3n − ) 1 3) + + + n ( n − ) 2 1.2 2.5 ... 3 1 = n (n + ) 1
4) 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) = 2 5) + + + n ( n + ) = n (n + )2 1.4 2.7 3.10... 3 1 1 6) + + + + ( n − ) 2 1 3 5 ... 2 1 = n 1 1 1 1 n + 2 3n − n− 1 7) 1 − 1 − 1 − ... 1 − = 8) 1 1 + 3 + 9 + ... + 3 = 4 9 16 (n + )2 1 2(n + ) 1 2 1 1 1 1 n 9) + + + ... + = 1.4 4.7 7.10 (3n − 2)(3n + ) 1 3n +1 n (n + ) 1 (n + 2)
10) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n (n + ) 1 = . 3
Bài t p 2: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N*: n(n +1) n n +1 3 3 3 3 ( )2 2 1) 1+ 2 + 3 + ... + n = 2) 1 + 2 + 3 + + n = 2 4 3) 2 + 4 + 6 + + 2n = n (n + ) 1 4) + + + + ( n − ) 2 1 3 5 ... 2 1 = n 1 1 1 n 1 1 1 1 1 3n −1 5) + + + = 6) + + + + = . 1.2 2.3 n (n + ) 1 n +1 2 3 3 3 3 3n 2 3n 1 2 n 3 2n + 3 n+ − 7) + + ... + = − 8) + + + ... n + = 2 3 3 3n 4 4.3n n (3n − ) 1 n (3n + ) 1 9) 1+ 4 + 7 + + (3n − 2) =
10) 2 + 5 + 8 + ... + (3n − ) 1 = 2 2 n n +1 2n +1 2n(n +1)(2n +1) 2 2 2 2 ( )( ) 11) 1 + 2 + 3 + + n = 12) 2 2 2 2 2 + 4 + 6 + + (2n) = 6 3
Bài t p 3: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N *: − ≥ n + n ∀ ≥ > n n ∀ ≥ n ≥ (n + )n n n n n ∀ ≥ n > n + n + n ∀ ≥ n! n− n > n + ∀ ≥ > n + n ∀ > sin n + cos n n ≤ n − ∀ ≥ > n (n + ) n ∀ ≥
Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u ∆ABC vuông t i A, có s o các c nh là a, , b c thì v i
m i s t nhiên n ≥ , ta có b t ng th c : n n n b + c ≤ a .
Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n , ta có:
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 n+ n > n + n > n + n n n > n + n + > + n n (n − 3)
Bài t p 6: Ch ng minh r ng s !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh là . 2 Bài t p 7: 1 1 1 1 Cho t ng S = + + + + , v i n ∈ N * . n 1.2 2.3 3.4 n (n + ) 1 a) Tính S , S , S , S . 1 2 3 4
b) Hãy d oán công th c tính S và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p. n Bài t p 8: 1 1 1 1 Cho t ng S = + + + + , v i n ∈ * . n 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + ) 1 a) Tính S , S , S , S . 1 2 3 4
b) Hãy d oán công th c tính S và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p. n
Bài t p 9: Cho n s th c a , a , a ,..., a th a − < a ≤ (i = ,n . i ) n Ch ng minh r ng: n ∀ ∈ * ta có:
( + a )( + a )...( + a ) ≥ + a + a + ... + a n n
Bi t p 10: Ch ng minh r ng v i các s th c a , a , a ,..., a ( n ∀ ∈ * ), ta có: n
a + a + ... + a ≤ a + a + ... + a n n Bài t p 11: Ch ng minh r ng n ∀ ∈ N * : n − n n + n n + n n n n n n + n + − + + − n− n+ + n − n n + n+ n− + n − n + n . n− n− +
Bài t p 12: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n ta có: n+ n n > n + n > n + > n + n + n (n − 3)
Bài t p 13: Cmr s !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh ( n ≥ 4 ) là . 2
Bài t p 14: Xác nh công th c t ng quát u c a các dãy (u sau: n ) n u = 1 1 u = 1 u = 1 (u u u u n ) 1 : ( n ) : ( n n ) 1 : u = u + 5 n ≥ 1 u = n ≥ 1 = ≥ + + u u n n n n 5 1 1 ( ) 1 ( ) n 1 + n ( ) u +1 n u = 1 − , u = 3 u = 1 (u u n ) 1 2 : ( n ) 1 : u = 5u − 6u n ≥ 3 u = u + 5 n ≥ 1 n+2 n 1 + n−2 ( ) n 1 + n ( ) áp s :
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n
Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 1 n 1 u 5n 4 u u 5 − u 5.3n 6.2n u n − = − = = = − = + n n n n n ( 2) n 1 .2 n
Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n