Bài tập phương trình 3 mô men
Cho dầm liên tục chịu tải trọng như hình vẽ, độ cứng EI toàn dầm như nhau, với
mô đun 𝐸 = 2 ∙ 10𝑘𝑁/𝑚. Chọn kích thước tiết diện theo độ bền với [𝜎] = 160 ∙
10𝑘𝑁/𝑚 và độ cứng với 󰇣󰇤 ≤  , cho 1 loại tiết diện:   - thép hình chữ I
- Thép hình chữ nhật ℎ = 𝑘𝑏
- và hình hộp ℎ = 𝑘𝑏 và độ dày 𝑡 = 𝛽𝑏
1𝑎. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 80𝑘𝑁; 𝑃 = 20𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 B C A D
1𝑏. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 60𝑘𝑁; 𝑃 = 20𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 B C A D
1𝑐. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 20𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 B C A D
1𝑑. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 50𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 D A B C
1𝑒. 𝑞 = 10𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 30𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 D B A C
1𝑓. 𝑞 = 10𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 30𝑘𝑁; 𝑃 = 50𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 B A C D 1.5𝑙
1𝑔. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 50𝑘𝑁; 𝑃 = 60𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 B A C D
2𝑎. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 60𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 D A B C
2𝑏. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 50𝑘𝑁; 𝑃 = 80𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 q B C D A l
2𝑐. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 80𝑘𝑁; 𝑃 = 60𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 q B D C A l l
2𝑑. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 60𝑘𝑁; 𝑃 = 50𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 A B C D
2𝑒. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 30𝑘𝑁; 𝑃 = 60𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 B A D C
2𝑓. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 80𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 D A B C
2𝑔. 𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚; 𝑃 = 30𝑘𝑁; 𝑙 = 2𝑚 D A B C E Hướng dẫn
Bước 1. Vẽ biểu đồ mô men 
Đưa dầm về hệ tĩnh định để dùng ptr 3 mô men: 
Thêm ở các gối trung gian khớp 
Ngàm thay bằng gối di động, thêm 1 dầm có độ dài l=0 
Khi có phần dầm côn xon ở đầu thì tính mo men cho gối gắn với phần dầm côn xon 
Thiết lập phương trình 3 mô men cho từng gối nơi cần tính mo men 
Chuyển vị Di được tính như sau
Các góc  là góc xoay do các tải trọng đã cho gây ra được tìm từ bảng phụ lục (Dịch
chuyển của các phần tử tha nh thẳng như hình dưới) l /2 l/ 2 l / 2 l / 2 x b P x l l  fx f f r x l  / 2 fx x  l / 2 𝑞𝑙 𝑞𝑙 𝑃𝑏 𝑃𝑏
𝜃 = 24𝐸𝐼; 𝜃 = 24𝐸𝐼 𝜃 = 6𝑙𝐸𝐼(𝑙 − 𝑏); 𝜃 = 6𝑙𝐸𝐼(2𝑙 − 3𝑙𝑏 + 𝑏) 
Giải hệ phương trình tìm các mô men Mi.  Vẽ biểu đồ mô men
Tại các gối đặt giá trị mô men, M<0 đặt ở trên (ở dướí khi M>0). Nối tạm các
điểm đã đặt ở trên với nhau cho từng thanh. Tùy theo từng trường hợp đặt tải sẽ vẽ biểu đô mô men như sau 
Khi có lực tập trung P tác dụng vào điểm cách đầu trái một đoạn là b hạ tại điểm
đặt lực của đường nối tạm xuống (theo phương tác dụng của lực) một đoạn bằng
𝑃𝑏(𝑙 − 𝑏)/𝑙. Sau đó nối hai điểm đầu với điểm đã hạ bằng những đường thẳng 
Khi có lực phân bố đều q tác dụng lên thanh(độ dài l) hạ điểm giữa của đường nối
tạm xuống (theo phương tác dụng của lực) một đoạn bằng 0.125𝑞𝑙. Sau đó nối
hai điểm đầu với điểm đã hạ ở giữa bằng đường cong parabol 
Khi không có lực tác dụng trên thanh dùng luôn đường tạm
Bước 2. Kiểm tra theo tiêu chuẩn bền Dùng điều kiện bền | [ 𝑀| 𝜎] ≥  𝑊 
Chọn mô men chống uốn W kích thước hay chọn thép hình từ mô men chống
uốn W và tính mô men quán tính Ib của dầm |𝑀| 𝑊   ≥ [𝜎]
Đối với thép chữ I tra bảng
Đối với hình chữ nhật : 𝑏ℎ 𝑘𝑏 𝐼 𝑏ℎ 𝑘𝑏  𝑘𝑏 𝐼 = ; 𝐼
12 = 12 ; 𝑊 = ℎ/2 = 6 = 6 → 𝑏 = 6𝑊 𝑘  = 𝑊 2 Đối với hình hộp: 𝑏ℎ 𝑡 𝑡  𝑏ℎ 𝛽  𝑏ℎ
𝐼 = 12 󰇩1 − 1 − 2𝑏1 − 2ℎ 󰇪 = 12 󰇩1 − (1 − 2𝛽)1 − 2 𝑘 󰇪 = 12 𝐴; 
Đặt 𝐴 = 1 − (1 − 2𝛽) 󰇡1 − 2 󰇢   𝐼 𝑏ℎ   𝑘𝑏 𝑊 = 𝛽 𝑘𝑏 ℎ = ; 𝐼
6 󰇩1 − (1 − 2𝛽) 1 − 2 𝑘 󰇪 = 6 𝐴 → 𝑏 = 6𝑊 𝐴𝑘  = 𝑊 2 2
Bước 3. Kiểm tra điều kiện cứng 󰇣󰇤 ≤    
Từ điều kiên cứng về tính độ võng lớn nhất cho từng nhịp 𝑙 𝑦   ≤ 𝑛 
Điểm có độ võng max phụ thuộc vào tải trọng, Tính độ võng lớn nhất cho từng
nhịp thứ i theo nguyên lý cộng tác dụng 
Dầm chịu lực phân bố q: 𝑙 5𝑞𝑙
𝐸𝐼𝑦 = 16󰇩 24 + 𝑀 + 𝑀󰇪 
Dầm chịu 1 lực tập trung P đặt tại 𝑥 = 𝑏 𝑏(𝑙 − 𝑏) 𝑀 𝐸𝐼𝑦
(2𝑙 − 𝑏) + 𝑀(𝑙 + 𝑏)  = 3𝑙 󰇩𝑃(𝑙 − 𝑏)𝑏 + 2 󰇪
Ở đây Mtr và M ph là các mô men nội lực tại các gối (được tinh từ phương trình 3 mô men)
Chọn kích thước mặt cắt, tính mô men quán tính cho nhịp thứ i. Thay 𝑙 𝑦   = 𝑛
Tính mô men quán tính cho nhịp thứ i 
Dầm chịu lực phân bố q: 𝑛𝑙 5𝑞𝑙 𝐼  
 = 16𝐸 󰇩 24 + 𝑀 + 𝑀󰇪 
Dầm chịu 1 lực tập trung P đặt tại 𝑥 = 𝑏 𝑛(𝑙 ) 𝑀 ) 𝐼  − 𝑏 𝑏
(2𝑙 − 𝑏 + 𝑀(𝑙 + 𝑏)  =
3𝐸𝑙 󰇩𝑃(𝑙 − 𝑏)𝑏 +  2 󰇪
Tính cho tất cả các nhịp.
Bước 4 Chọn mô men quán tính từ điều kiện I max(Ib,Ii ) ,
- Nếu I=Ib lấy kích thước (hoặc thép hình) đã tính ở bước 2
- Nếu I=Iinhip thì chọn thép hình tương ứng tính lại hoặc kích thước theo
- Đối với hình chữ nhật : 𝑏ℎ 𝑘𝑏  2𝐼
𝐼 = 12 = 12 → 𝑏 = 12𝐼 ;𝑊 𝑘  = 𝑘𝑏 - Đối với hình hộp: 𝑏ℎ 𝑡 𝑡  𝑘𝑏  2𝐼
𝐼 = 12 󰇩1 − 1 − 2 𝑏1 − 2ℎ 󰇪 = 12 𝐴 → 𝑏 = 12𝐼 ;𝑊 𝑘𝐴  = 𝑘𝑏 
ở đây 𝐴 = 1 − (1 − 2𝛽) 󰇡1 − 2 󰇢  