Bài tập tham khảo môn Giải tích III | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin
BÀI TẬP THAM KHẢO MÔN GIẢI TÍCH III Nhóm ngành 2 Mã học phần: MI1132 Chương 1 Chuỗi 1.1 Chuỗi số
Bài 1. Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có của các chuỗi số sau: ∞ 1 ∞ n a) P c) P sin n=1 n(n + 1) n=1 n + 1 ∞ 9 9 9 1 P b) + + · · · + + · · · d) ln 1 + 10 102 10n n=1 n
Bài 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau: ∞ 2n + 3 ∞ ln n ∞ n2 a) P f) P 1 1 k) P 1 − n=1 4n + 5 n=2 n2 n=2 5n n ∞ n + 1 n ∞ 1 1 ∞ n2 b) P g) P − sin n + 1 P n n l) n=1 n + 2 n=2 n=1 n + 2 ∞ 1 ∞ n10 P n3 c) P sin h) ∞ 1 2n m) P cos n=1 n2 n=1 n=2 n ∞ √ ∞ (3n + 1)! P ∞ 1 d) P ( n e − 1) i) P n28n n) n=1 n=1 n=2 nln2n ∞ 2 ∞ 3n(n!)2 ∞ enn! e) P j) P o) P n=2 ln n n=1 (2n)! n=2 nn
Bài 3. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau: ∞ sin n ∞ (−1)n ∞ 1 πn2 a) P c) P √ e) P cos n=1 n2 n=2 n + (−1)n n=2 ln2n n + 1 ∞ (−1)nn ∞ √ ∞ (−1)n−1 b) P d) P sin π n2 + 1 f) P n=2 n2 + 1 n=1 n=1 np 1
Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin √ ∞ (−1)n n ∞ (−1)n ∞ (−1)n g) P i) P √ k) P ln 1 + √ n n=1 n + 100 n=1 n n=2 n ∞ 2n + 100 n ∞ (−1)n ln n ∞ 1 πn h) P (−1)n j) P l) P sin n=1 3n + 1 n=1 n n=1 n 2 ∞ ∞ Bài 4. Cho chuỗi P u P
n hội tụ, liệu có thể suy ra chuỗi
u2 cũng hội tụ? Vẫn câu hỏi này, n n=1 n=1 ∞
nếu thêm giả thiết chuỗi P un hội tụ tuyệt đối. n=1 1.2 Chuỗi hàm số
Bài 5. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau: ∞ x ∞ xn ∞ n a) P e) P i) P n=1 (x2 + 1)n n=1 x2n + 1 n=1 xn ∞ sin(nx) ∞ nx + (−1)n ∞ x(x + n) n b) P f) P j) P n=1 enx n=1 n n=1 n ∞ (−1)n ∞ 1 n ∞ c) P g) P x + k) P ne−nx n n=1 nx n=1 n=1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ (n + x)n d) P h) P xn + l) P n=1 xn + 1 n=1 2nxn n=1 nn+x
Bài 6. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau: ∞ (n + 2)xn ∞ xn ∞ a) P d) P g) P (sin n)xn n! n=1 n2 + 1 n=1 n=1 ∞ 1 x − 1 n ∞ xn ∞ 3n + (−2)n P b) P e) h) P (x + 1)n 2n + 3n n n=1 n2 x + 1 n=1 n=1 ∞ n + 1 n ∞ (n!)3 ∞ 33n(n!)3 c) P xn f) P xn i) P tannx n=1 2n + 3 n=1 (3n)! n=1 (3n)!
Bài 7. Tính tổng của các chuỗi sau: ∞ ∞ xn+1 a) P nxn, x ∈ (−1; 1) c) P , x ∈ (−1; 1) n=1 n=1 n(n + 1) ∞ (−1)n+1 ∞ x4n−3 b) P d) P , x ∈ (−1; 1) n=1 (2n − 1)3n n=1 4n − 3 2
Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin
Bài 8. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Maclaurin 2x + 4 1 a) y = c) y = √ e) y = ln(1 + x − 2x2) x2 − 3x + 2 4 − x2 1 b) y = xsin2x d) y = x2 + x + 1 f) y = arcsin x
Bài 9. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Taylor (trong lân cận điểm x0 tương ứng): 1 πx √ a) y = , x , x x, x0 = 4 0 = 4 b) y = sin 0 = 1 c) y = 2x + 3 3
Bài 10. Khai triển các hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π sau thành chuỗi Fourier a) y = x, x ∈ (−π, π) b) y = |x| , x ∈ (−π, π) ( 0, nếu − π ≤ x < 0, Bài 11. Cho hàm số f (x) =
tuần hoàn chu kì 2π. Tìm giá trị x + 1, nếu 0 ≤ x < π,
của chuỗi Fourier S(x) tại các điểm x = 10π và x = 12. 3
Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin Chương 2 Phương trình vi phân 2.1
Phương trình vi phân cấp một
Bài 12. Giải các phương trình vi phân cấp một sau.
1) Các phương trình khuyết (SV tự học): 1 a) y′ = (y2 − 1), y(0) = 2 c) x = (y′)2 − y′ + 2 2 b) y′ + y = 1 d) y2 + (y′)2 = 4
2) Các phương trình phân ly: a) y′ = x2y c) y′ + ey+x = 0 b) 2y(x2 + 4)dy = (y2 + 1)dx d) 1 + x + xy′y = 0
3) Các phương trình thuần nhất: y x y 2 a) y′ = + + 1 c) 2y′ + = −1 x y x y b) xy′ = x sin + y d) (x + 2y)dx − xdy = 0 x
4) Các phương trình tuyến tính: 4 a) y′ − y = 4x7 c) y′ = x − y x √ b) xy′ + y = x d) (2xy + 3)dy − y2dx = 0
5) Các phương trình Bernoulli: y a) y′ + = x2y4, y(1) = 2 c) xy′ + y = −xy2 x 2 y3 b) y′ + y = d) ydx + (x + x2y2)dy = 0 x x2
6) Các phương trình vi phân toàn phần: a) (x2 + y)dx = (2y − x)dy c) eydx = (xey − 2y)dy b) (2xy + 3)dy = −y2dx 4
Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin
7) Các phương trình cần đổi biến và/hoặc nhận dạng: a) y′ = (x + y)2 d) (x2 + 1)y′ + xy = 1 b) y′ = 1 + x + y + xy
e) 3xy2y′ − y3 = x, y(1) = 3
f) xy′ = y + x3 sin x, y(π) = 0 x + y − 2 c) y′ = x − y + 4 g) (x2y2 − x)dy = ydx 2.2
Phương trình vi phân cấp hai
Giải các phương trình vi phân cấp hai sau.
Bài 13. Các phương trình khuyết (SV tự học): a) xy′′ + 2y′ = 12x2 c) 2yy′′ = (y′)2 + 1 ( (
(1 − x2)y′′ − xy′ = 2,
(1 + x)y′′ + x(y′)2 = y′, b) d) y(0) = 0, y′(0) = 0 y(0) = 1, y′(0) = 2
Bài 14. Các phương trình tuyến tính hệ số hằng với vế phải có dạng đặc biệt: a) y′′ − 3y′ + 2y = 0
h) y′′ + y′ − 2y = x + sin 2x b) y′′ − 2y′ + y = 0
i) y′′ + 3y′ − 4y = 200 sin2 x
c) y′′ − 4y′ + 3y = (15x + 37)e−2x
j) y′′ − y′ − 2y = xex cos x d) y′′ − y = 4(x + 1)ex
k) y′′ + 2y′ + 10y = x2e−x cos 3x
e) y′′ − 2y′ + y = (12x + 4)ex
f) y′′ + y = 2 cos x cos 2x
l) y′′ − 3y′ + 2y = ex + sin x
g) y′′ + 2y′ + 2y = 8 cos x − sin x
m) y′′ + 4y = e3x + x sin 2x
Bài 15. Các phương trình tuyến tính hệ số hằng giải bằng phương pháp biến thiên hằng số: ex ex a) y′′ − 2y′ + y = c) y′′ − y = x ex + 1 1
b) y′′ − 3y′ + 2y = 1 + e−x
Bài 16. Các phương trình tuyến tính có hệ số hàm số:
a) (2x − x2)y′′ + 2(x − 1)y′ − 2y = −2 biết nó có hai nghiệm riêng y1 = 1, y2 = x 2xy′ 2y b) y′′ − +
= 0 biết nó có một nghiệm riêng y1 = x x2 + 1 x2 + 1 y′ y 2 c) y′′ − + = x x2 x y′′ 2 d) +
− x + y = ey cos y (Gợi ý: coi x = x(y)) (y′)3 y′ 5
Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin 2.3
Hệ phương trình vi phân cấp một
Bài 17. Giải các hệ phương trình vi phân sau  dy  dx y  =  = 5y + 4z   a) dx dt x − y dz c) dy x  = 4y + 5z   = dx  dt x − y  dy  dx    = y + 5z  = y b) dx dt dz d) dy 1  = −y − 3z  = −x +  dx  dt cos t 6
Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin Chương 3
Phương pháp toán tử Laplace 3.1
Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược
Bài 18. Sử dụng định nghĩa, tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a) f (t) = t b) f (t) = e3t+1 c) f (t) = sinh kt d) f (t) = sin2 t
Bài 19. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: √ a) f (t) = t + 3t d) f (t) = cos2(2t) g) f (t) = 2 sin 3t cos 5t b) f (t) = t − 2e3t e) f (t) = (t + 1)3 π c) f (t) = 1 + cosh(5t) f) f (t) = 2 sin t + h) f (t) = sinh2(3t) 3
Bài 20. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau: 3 3 10s − 3 a) F (s) = c) F (s) = e) F (s) = s4 s − 4 25 − s2 1 2 5 − 3s b) F (s) = − d) F (s) = s 5 s 2 s2 + 9 3.2
Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu
Bài 21. Giải các bài toán giá trị ban đầu ( (
x(3) − x′′ − x′ + x = e2t x(4) − 16x = 240 cos t a) c)
x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0
x(0) = x′(0) = x′′(0) = x(3) = 0 ( (
x(3) − 6x′′ + 11x′ − 6x = 0 x(4) + 8x′′ + 16x = 0 b) d)
x(0) = x′(0) = 0, x′′(0) = 2
x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0, x(3)(0) = 1 7
Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin
Bài 22. Giải các bài toán giá trị ban đầu  x′ = 2x + y
 x′′ + x′ + y′ + 2x − y = 0     a) y′ = 6x + 3y 
 y′′ + x′ + y′ + 4x − 2y = 0 c)   x(0) = 2, y(0) = 3 x(0) = y(0) = 1,     x′(0) = y′(0) = 3  x′′ + 2x − 4y = 0    x′ + 2y′ + x = 0   y′′ − x + 2y = 0   d) b) x′ − y′ + y = 0 x(0) = y(0) = 0      x(0) = 1, y(0) = 3
 x′(0) = 1, y′(0) = −1 3.3
Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản
Bài 23. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: π a) f (t) = t4eπt b) f (t) = e−2t sin 3t c) f (t) = et sin t + 4
Bài 24. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau: 1 3 1 a) F (s) = f) F (s) = k) F (s) = s2 − 3s 2s − 4 s3 − 5s2 1 1 1 b) F (s) = g) F (s) = l) F (s) = s(s2 + 4) s2 + 4s + 4 s3 − 1 1 3s + 5 1 c) F (s) = h) F (s) = m) F (s) = s2(s2 + 1) s2 − 6s + 25 s4 − 16 1 1 s2 − 2s d) F (s) = i) F (s) = n) F (s) = s2(s2 − 1) s2 − 4 s4 + 5s2 + 4 1 5 − 2s s2 + 3 e) F (s) = j) F (s) = o) F (s) = s(s + 1)(s + 2) s2 + 7s + 10 (s2 + 2s + 2)2 3.4
Đạo hàm, tích phân và tích của các phép biến đổi
Bài 25. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a) f (t) = t cos2 t sin t cosh t − 1 e) f (t) = h) f (t) = t t b) f (t) = t2 sin kt e2t − 1 1 − cos 2t f) f (t) = i) f (t) = c) f (t) = te2t sin 3t t t sinh t d) f (t) = (t − e2t)2 g) f (t) = t 8
Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Toán - Tin
Bài 26. Tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 s − 2 1 a) F (s) = arctan c) F (s) = ln e) F (s) = ln 1 + s s + 2 s2 s2 + 1 s2 + 1 b) F (s) = ln d) F (s) = ln s2 + 4 (s + 2)(s − 3)
Bài 27. Sử dụng tích chập để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm sau. 1 s2 − 2s 1 a) F (s) = b) F (s) = c) F (s) = s(s2 + 16) s4 + 5s2 + 4 s3 + s2 + s + 1 Khoa Toán - Tin 9
Document Outline

• Chuỗi
  • Chuỗi số
  • Chuỗi hàm số
• Phương trình vi phân
  • Phương trình vi phân cấp một
  • Phương trình vi phân cấp hai
  • Hệ phương trình vi phân cấp một
• Phương pháp toán tử Laplace
  • Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược
  • Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu
  • Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản
  • Đạo hàm, tích phân và tích của các phép biến đổi