. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa:
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x , kí hiệu n
x , là tích của n thừa số x ( n là số tự nhiên lớn hơn 1 ). n x  . x .
x ..x (x  ,n ,n  1) n - Quy ước: 1
x  x với x   ; 0 x  1 với x   0. n a n  a  a
- Khi số hữu tỉ x  (a,b ,b  0) ta có:    . b n  b  b - Chú ý: 2n x  0 với x   ; 2n 1
x  cùng dấu với dấu của x; 2 2 ( ) n n x  x và 2 1 2 1 ( ) n n x  x
2. Các phép toán về lũy thừa
- Tích hai lũy thừa cùng cơ số: m . n m n x x x  
(x  ,m,n )
- Thương hai lũy thừa cùng cơ số: m : n m n x x x  
(x  *,m,n ,m  ) n
- Lũy thừa của lũy thừa: m n m. ( ) n x
 x (x ,m,n )
- Lũy thừa của một tích: ( . )n n  . n x y
x y (x, y  ,n ) n n  x  x
- Lũy thừa của một thương:   
(x, y  ,n ) n  y  y n 1
- Lũy thừa số mũ nguyên âm:
Với x  , x  0; n * ta có: x  . n x
- Hai lũy thừa bằng nhau: Nếu m n
x  x thì m  n với (x  0; x  1  ). Nếu n n
x  y thì x  y nếu n lẻ, x  y nếu n chẵn. Trang 1 II. BÀI TẬP Bài 1: Tính
Bài 2: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa
= ………………………....
= ……………………….. = ……………………..
= ………………………..
= ………………………..
= ………………………..
= ……………………….
= ………………………. Bài 3: Tính 2 3
a) (- 0, 4) - (- 0, 4) .(- ) 3 = 3 2 æ ö æ ö 0 3 ç ÷ 3 ç ÷ b) 1 ç ÷ - 1 ç ÷ + ç ÷ = ç ÷ ç ÷ (- 1, 03 ) 1 è 4ø çè 4÷ø 3 2 3 2 æ ö æ 3ö æ 2ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ c) ç ÷ - 4. - ç 1 ÷ + - ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ 3 è 4ø çè 3÷ø 7 6 æ ö æ ö 5 3 17 ç ÷ 17 ç ÷ d) (- 0, ) 5 : (- 0, 5) - ç ÷ : ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è 2 ø çè 2 ÷ø Trang 2
Bài 4: Tính ( điền kết quả vào bảng bên)  3 3 2 3 5 æ ö ç ÷ 4 æ ö 1 æ ö ç ÷ 1 æ ö a) ç ÷ ç ÷ ç ÷ .ç ÷ ; ç ÷ b) ç ÷ : ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è2ø çè5÷ø è9ø çè3÷ø a b 10 5 5 5 ( 3  ) .15  9   27  c) d)   :   3 7 25 .( 9  )  5   20  17 11 2 11 3 .81 9 .2 c d e) f) 10 15 27 .9 2 3 16 .6 Bài 5: Tìm x   10   8 8 8 5 5  5   9  a) : x      b) x :      e f  9   9   9   5  c) 3 x = - 8 Û
Vậy x = ..... 3 3 2 4
d) x  5  27
e) 2x  3  64
f) 2x  3  25
g) 2x  5  4096 Bài 6. So sánh a) 300 5 và 500 3 b) 24 2 và 16 3 Trang 3 11 9
c) 16 và 32 d)  3 2 2 và 32 2
Bài 7: Chứng minh rằng: a) 6  5  4 7 7 7 55 b) 7  9  29 81 27 3 33 c) 12  33  30 8 2 2 55 d) 9  8  7 10 10 10 555 f) 7  9  13 81 27 9 45
Bài 8: Cho A   2  3   100 2 2 2 ... 2 B   2  3   96 5 5 5 ... 5 100 99 98 97 2 C = 2 - 2 + 2 - 2 + ... + 2 - 2
a) Chứng tỏ rằng A chia hết cho 6; 30
b) Chứng tỏ rằng B chia hết cho 6; 31; 26;126
c) Tính giá trị của A,B,C
Bài 9: Tìm x y  * , để: a) 27  3x  3.81 b) x x    2 3 8 2 32 2 2 .2 x c) 15 15  x x  16 16 4 .9 2 .3 18 .2 d) x1 2 .3y  12x  x 6 3 .3 e) x 2000 6 : 2  3y f)  3 27.9x Trang 4 HDG Bài 1:   4 3 2 2  1   5   16 1 144 16   ;      ; 1    ; ( 4 0, 4)   3  81  3  27  7  49 625 Bài 2:  6 2 6 2 4 8 3 9 27  3  . .    ; . .    ;  6 49.7.343 7 ;  6 25.5.125 5 3 9 27  3  4 16 64  4  Bài 3: 2 3 æ ö æ ö 2 3 4 ç ÷ 4 ç ÷ 4 8 - 4
a)(- 0, 4) - (- 0, 4) .(- 3) = - ç ÷ - - ç ÷ . ç ÷ ç ÷ ç ÷ (- 3) = - .3 = è 10ø çè 10÷ø 25 125 125 3 2 2 2 æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö 0 3 ç ÷ 3 ç ÷ 3 ç ÷ 3 ç ÷ 7 ç ÷ 7 ç ÷ 49 3 211 b) 1 ç ÷ - 1 ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç ÷ (- 1, 03 ) 1 = 1 ç ÷ 1 ç - 1÷+ 1 = ç ÷ ç - 1÷+ 1 = . + 1 = è ø ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ 4 4 4 4 è4ø çè4 ÷ø 16 4 64 3 2 3 3 3 2 2 æ ö æ 3ö æ 2ö 2 æ ö 2 æ ö æ 7ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 49 49 c) ç ÷ - 4. - ç 1 ÷ + - ç ÷ = ç ÷ - ç ÷ - 4 - ç ÷ = - 4. = - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ ç ÷ 3 4 3 3 è3ø çè 4÷ø 16 4 7 6 æ ö æ ö 5 3 2 17 ç ÷ 17 ç ÷ 17 1 17 33 d) (- 0, ) 5 : (- 0, 5) - ç ÷ : ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ (- 0, 5) - = - = - è 2 ø çè 2 ÷ø 2 4 2 4 Bài 4: 5 1 3  4  a) 8; b) ; c)  ; d)    ; 3 5  3   3  3 3 81 11 17 4 17 11 17 44 61 3 3 3 e)     3 10 15 27 9  10  15 30 30 60 3 2 3  3 3 3 3  3 2 2 11 2 11 4 11  2 9 2 3  2 f)    3 2 3 16  6  2 11 3 4 3 3 2  3 2  2 3 Bài 5: 10 8 10 8 2  5    5    5    5    5   25 a) : x   x  :  x   x             9   9   9   9   9  81 Trang 5 8 5 5 8  5    9    9    5   b) x :   x    x  1          9   5   5   9  c) 3 3 3
x  8  x  (2)  x  2 d) 3 3 3 (x  5)  27   (x  5)  ( 3  )  x  5  3   x  8 1 e) 3 3 3 (2x  3)  6
 4  (2x  3)  ( 4
 )  2x  3  4   2x  1   x   2 f) 2 2 2
(2x  3)  25  (2x  3)  5  2x  3  5  2x  8  x  4 hoặc 2x  3  5   2x  2   x  1  3 g) 4 4 4
(2x  5)  4096  (2x  5)  8  2x  5  8  2x  3  x  2 13  hoặc 2x  5  8   2x  1  3  x  2 Bài 6: a) 300 5 và 500 3 100 100 Ta có: 300   3  100 500    5  100 5 5 125 ;3 3  243 . Mà 1 100 125  243  125  243 . Vậy 300 500 5  3 . 8 3 b) 24 2 và 16 3 . Ta có: 24 = ( 3) 5 16 = = ( 2) 5 2 2 8 ; 3 3 = 9 . Mà 5 5 8  9  8  9 . Vậy 24 16 2  3 . c) 11 ( 16  ) và 9 ( 32  ) . Ta có:    11 11 4 44 ( 16) 2  (2) ;    9 9 5 45 ( 32) 2  (  2) Mà 44 45 (2)  (2) Vậy 11 9 ( 16)   ( 32)  . 3 3 3 d)  3 2 2 và 2 2 . Ta có :  3 2 6 2  2  64 và 2 8 2
 2  256 . Mà 64 < 256 . Vậy  2  3 2 2  2 Bài 7: a) 6 5 4 7  7  7 55 Ta có 6 5 4 4    . 2    4 4 7 7 7 7 7
7 1  7 .(49  7 1)  7 .55 55 . Vậy 6 5 4 7  7  7 55 b) 7 9 29 81  27  3 33 - + = ( )7 - ( )9 7 9 29 4 3 29 28 27 29 26 + = - + = ( 2 3 × - + ) 26 81 27 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 3 .33 33 M Vậy 7 9 29 81  27  3 33 c) 12 33 30 8  2  2 : 55 Trang 6 12 Ta có 12 33 30 - - = ( 3) 33 30 36 33 30 30 - - = - - = ( 6 3 × - - ) 30 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = 2 .55 55 M Vậy 12 33 30 8  2  2 55 d) 9 8 7 10 10 10 : 555 Ta có 9 8 7 6 10 10 10  10 . 3 2 10 10 10 6 6 10 .1110 10 5 . 55.2 5 5 5 Vậy 9 8 7 10 10 10 555 e) 7 9 13 81  27  9 45 7 9 13 Ta có 7 9 13  
  4   3  2  28 27 26 24     3 . 4 3 2    24 81 27 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3 .45 5 4 Vậy 7 9 13 81  27  9 45 Bài 9: a) x 3 x 4 3 x 5
27  3  3.81  3  3  3.3  3  3  3 . Mà * x   x  4 2 x 5 x x  x x 2 2 b) 2 3 3 2 5 5 x 5 32  2  2  2  2  2    2  2  2 . Mà * x   x  5 3 2 2 2 x 15 15 c) 15 15 x x 16 16       2   2  x 16 30 x 32 4 9 2 3 18 .2 2 3
 (2.3)  32  (2.3)  6  (2.3) 30 x 32  6  6  6 . Mà * x   x  31 x x 1  2x    d) x 1 y x x 1 2
3 12  2 3y   2 2 3 x 1 y 2
 2 3  2 x 3x  
 x  y 1 x  y x  2000 e) x 2000 y x y 2000 x x 2000 6 : 2  3  6  3 2  2 3  2 3y  
 x  y  2000 x  y x 6 ( 3  ) 3 x f) x 6  3   ( 3  ) 3  3             x  33  23 x 6 4 2 x x 2 3 4 2 ( 3) 3 3 3 ( 3) 3 3 3 3 x 27  .9 x 2 2 ( 3) ( 3) ( 3) x       x2 2  ( 3  )  ( 3
 ) x  x  2  2x  x  2 x  9 g) x y x y 9 8
2  2  256  2  2  2  2   y  8 Trang 7