Bài Tập Toán 8 Bài Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Có Lời Giải

5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng ax + b < 0 (hay
ax + b > 0; ax + b £ 0, ax + b ³ 0 ) trong đó a và b là hai số đã cho và a ¹ 0
 Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia thì ta phải đối dấu hạng tử đó.
Ví dụ: ax + b > c Û ax > (- b)+ c
 Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0 ta phải:
- Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương
- Đổi chiếu của bất phương trình nếu số đó âm
Ví dụ: a > b Û a.c > .
bc với c > 0 và a > b Û a.c < .
bc với c < 0 III. BÀI TẬP
Bài 1:Hãy xét xem các bất phương trình sau có là bất phương trình bậc nhất một ẩn hay không? 1 2 x a) 0x + 8  0; b) x − 6  0; c) x  0; d) + 4  0. 3 5 x 5 1 7 − x − 2 e) 3 − x + 3  0; f) − = 0; g) + 2  0; h)  0. 4 2 x 3
Bài 2: Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m: a) 2
(m + 3)x +1  0; b) − ( 2
m + m + 4) x  2 − m + 3
Bài 3: Giải các bất phương trình sau: 1 3x + 5 x + 2 a) 2x − 8  0; b) 9 − 3x  0; c) 5 − x  1; d) − x 1+ 3 2 3
Bài 4: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. x − 2 x −17
2x +1 x − 4 3x +1 x − 4 a) − x − 2  b) −  − 3 2 3 4 6 12
Bài 5: Giải các bất phương trình a) 2
x − 3x +1  2(x −1) − x(3 − x) b) x − + x  x + + (x + )2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 c) 2 3
(x +1)(x − 6)  (x − 2)
Bài 6: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Trang 1 x - 1 7x + 3 2x + 1 3 - 2x a) - £ + 2 15 3 5 2 x + + (5 - 3 2 1 2 3 x x x ) 4x + 1 b) - > - - 3 - 4 - 6 - 5 4x - 2 1 - 5x c) - x + 3 £ 3 4 x + 4 x + 3 x - 2 d) - x - 5 ³ - 5 3 2 2 x (2x x x + - - ) 3 5 3 3 1 e) + < - 5 5 4 2 2 x - - (1- 3 5 2 2 x x x x ) 5x f) - > - - 3 - 2 - 3 - 4 2x + 1 1 g) 2x + > 3x - 2 5 5x x x h) x - - 3 > - 6 3 6 x + a x + c x + e x + g
Bất phương trình dạng đặc biệt +  + b d f h Phương pháp giải:
- Nếu a + b = c + d = e + f = g + h = k . Ta cộng mỗi phân thức thêm 1.
- Nếu a − b = c − d = e − f = g − h = k .Ta cộng mỗi phân thức thêm -1.
- Sau đó quy đồng từng phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung đưa về dạng (  
x − k ) 1 1 1 1 + − −  0.    b d f h   1 1 1 1 
Chú ý 1: Cần xét xem + − − 
 là số âm hay dương để đưa ra đánh giá về dấu của  b d f h  (x − k) .
Chú ý 2: Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích hợp.
Bài 7: Giải các bất phương trình sau: x + 2 x + 5 x + 3 x + 6 x − 2 x −1 2x −1 2x − 3 a) +  + b) +  + . 6 3 5 2 1007 1008 2017 2015
Bài 8: Giải các bất phương trình ẩn x sau: Trang 2 x + 2004 x + 2005 x + 2006 x + 2007 a) + < + 2005 2006 2007 2008 x - 2 x - 4 x - 3 x - 5 b) + < + 2002 2000 2001 1999 x - ab x - bc x - ac c) + + > a + b + , c (a, b, c > 0) a + b b + c a + c
Bài 9: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. x +1 x − 2 2x −1 a) 1 −  − 1` b) x −1  −1 2x + 4 6 2 3  1 2
5 − x  1− 2x
Bài 10: Cho biểu thức A = + − :  2  2
1− x x +1 1− x  x −1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A
b) Tìm x để A > 0
Bài 11: Một người có số tiền không quá 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh
giá: loại 2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại 5000 đồng?
Bài 12: Một người đi bộ một quãng đường dài 18 km trong khoảng thời gian không nhiều
hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5 km/h, về sau đi với vận tốc 4 km/h. Xác định
độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5 km/h. Tự luyện.
Bài 13: Giải các bất phương trình sau: a) 2
− − 7x  (3 + 2x) − (5 − 6x) b) 2
(x + 2)  2x(x + 2) + 4 2 − x 3 − 2x x −1 x +1 c)  d) −1 + 8 3 5 4 3 2x +15 x −1 x
x +1 x + 4 x + 5 e)  + f) + +  3 − 9 5 3 99 96 95 g) 2
2x + 5x + 7  0 KQ: a) S= {x | x< 0}
b) x > 0 hoặc x < - 2
c)S = {x | x < - 1}
d) S = {x | x £ - 115}
e) S = {x | x £ 6}
f) S = {x | x ³ - 100}
g) Vậy bất phương trình vô nghiệm. Trang 3
Bài 14: Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình sau 2x 3 − 2x 3x + 2 − − +  x 3 2x 3x 5 và +  KQ: x  0 5 3 2 2 5 6 2  1 3   x 1 
Bài 15: Cho biểu thức B = + :    + 2 2 
 3 x − 3x  27 − 3x x + 3  
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn B
b) Tìm x để B < - 1 - (3 + x) KQ: B = , b) x> 0 x
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Giải bất phương trình : x - 3 < 5 ta được t ập nghiệm là ?
A. S = x | x   5
B. S = x | x   8
C. S = x | x   5
D. S = x | x   8
Câu 2: 3x > 7  3 3 7 7 A. x  B. x  C. x  D. x  7 7 3 3
Câu 3: - 2x < 4  A. x £ 2 B. x ³ 2 C. x £ - 2 D. x ³ - 2
Câu 4: Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào ? ( 0 3 A. 2x – 6 < 0 B. 2x – 6 > 0 C. 2x – 6 £ 0 D. 2x - 6 ³ 0
Câu 5: 3.x < - 6 Û - 4x > 8 A. Đúng B. Sai
Câu 6: x + 75 < 7 Û x - 1 < 2 A. Đúng B. Sai
Câu 7: Ghép mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được kết quả đúng ? A B
a) S = x | x  
2 Là tập nghiệm của BPT 1) 2x + 4 < 0 Trang 4
b) S = {x | x < 1} Là tập nghiệm của BPT 2) - 3x + 3 ³ 0
c) S = S = x | x  − 
2 Là tập nghiệm của BPT 3) 3x – 3 < 0 4) 6 – 3x £ 0
Câu 8: Điền vào chỗ ….để được kết quả đúng ?
5x + 3 > 2x + 6 Û 5x - ¼ > 6 - ¼ Û 3x > ¼ Û 3x : ¼ > ¼ Û x > ¼ L
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1:a) Không, vì hệ số của ẩn x là 0 b) Có c) Có.
d) Không, vì x2 là ẩn bậc hai chữ không phải bậc một.
e) Không, vì ẩn x nằm trong dấu giá trị tuyệt đối.
f) Không, vì dấu "=" thể hiện đó là phương trình.
h) Không, vì ẩn x nằm ở mẫu số. h) Có.
Bài 2: ta chỉ ra hệ số a ¹ 0 2 é ù æ 1ö êç ÷ 15ú a) 2
m + 3 > 0 " m Î ¡ b) - ( 2
m + m + 4) = - m ç ê + ÷ + < ç ÷ ú 0 " m Î ¡ çèê 2÷ ø 4 ú ë û
Bài 3: a) 2x − 8  0  2x  8  x  4 . b) 9 − 3x  0  3 − x  9 −  x  3 . 1 1
c) 5 − x  1  − x  4 −  x 12 . 3 3 3x + 5 x + 2 x 5 − d) − x 1+    x  5 − . 2 3 6 6 x − 2 x −17
2( x − 2) − 6x − 6.2 3( x −17) Bài 4: a) − x − 2   
 2x − 4 − 6x −12  3x − 51 3 2 6 6
 −4x −16  3x − 51  −4x − 3x  51
− +16  −7x  −35  x  5.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = x | x  
5 và được biểu diễn trên trục số như sau: Trang 5
2x +1 x − 4 3x +1 x − 4 4(2x + )
1 − 3(x − 4) 2(3x + ) 1 − (x − 4) b) −  −   3 4 6 12 12 12
 8x + 4 − 3x +12  6x + 2 − x + 4  5x +16  5x + 6  5x − 5x  6 −16  0x  −10  x 
Vậy bất phương trình vô nghiệm và được biểu diễn trên trục số như sau: Bài 5: a) 2 2 2
x - 3x + 1 > 2(x - 1) - x(3 - x) Û x - 3x + 1 > 2x - 2 - 3x + x 3  3 
Û - 2x > - 3 Û x <
. Tập nghiệm của BPT là S = x | x   2  2  1 b) x - + x £ x + + (x + )2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1)
2 Û 2x - 2x + 1 £ 2x + 6x + 5 Û - 8x £ 4 Û x ³ - 2  1 
Tập nghiệm của BPT là S = x | x  −   2 c) 2 3 3 2 3 2
(x + 1)(x - 6) £ (x - 2) Û x - 6x + x - 6 £ x - 6x + 12x - 8 2
Û - 11x £ - 2 Û x ³ 11  2 
Tập nghiệm của BPT là S = x | x    11 Bài 6:
x −1 7x + 3 2x +1 3 − 2x a) −  + 2 15 3 5 15.(x - ) 1
2.(7x + 3) 10.(2x + ) 1 6.(3 - 2x ) Û - £ + 30 30 30 30
Û 15x - 15 - 14x - 6 £ 20x + 10 + 18 - 12x
Û x - 21 £ 8x + 28 Û 7x ³ - 49 Û x ³ - 7 . Vậy S = x x  −  7 . 2 2x +1 2x + 3
x(5 − 3x) 4x +1 b) −  − 3 − 4 − 6 − 5 − 2 - x - - + (5 - 3 2 1 2 3 x x x ) 4x + 1 Û + > + 3 4 6 5 (- x - )+ ( 2 20. 2 1 15. 2x + ) 3
- 10x.(5 - 3x)+ 12.(4x + ) 1 Û > 60 60 2 2
- 40x - 20 + 30x + 45
- 50x + 30x + 48x + 12 Û > 60 60 Trang 6 13  13  2 2
Û 30x - 40x + 25 > 30x - 2x + 12 Û - 38x > - 13 Û x <
. Vậy S = x x   38  38 4x - 2 1 - 5x 4.(4x - ) 2 + 12.(- x + ) 3 3.(1 - 5x) c) - x + 3 £ Û £ 3 4 12 12 - 25
Û 16x - 8 - 12x + 36 £ 3 - 15x Û 4x + 28 £ 3 - 15x Û 19x £ - 25 Û x £ 19  25 − 
Vậy S = x x    19  x + 4 x + 3 x - 2
6.(x + 4)- 30.(x + ) 5 10.(x + ) 3 - 15.(x - 2) d) - x - 5 ³ - Û ³ 5 3 2 30 30
Û 6x + 24 - 30x - 150 ³ 10x + 30 - 15x + 30 - 186  186 − 
Û - 24x - 126 ³ - 5x + 60 Û - 19x ³ 186 Û x £
. Vậy S = x x   19  19  2 x (2x x x + - - ) 3 5 3 3 1 e) + < - 5 5 4 2 ( 2 4. 5x - ) 3 + 5(3x - ) 1 10x.(2x + ) 3 - 5.20 Û < 20 20 2 2
20x - 12 + 15x - 5 20x + 30x - 100 Û < 20 20 83 2 2
Û 20x + 15x - 17 < 20x + 30x - 100 Û - 15x < - 83 Û 15x > 83 Û x > 15  83
Vậy S = x x    15  2 x - - (1- 3 5 2 2 x x x x ) 5x 2 2 - 5x + 2 2x - x - x + 3x 5x f) - > - Û + > + - 3 - 2 - 3 - 4 3 2 3 4 (- x + )+ ( 2 x - x ) ( 2 4 5 2 6 2
4 - x + 3x )+ 3.5x Û > 12 12 2 2
Û - 20x + 8 + 12x - 6x > - 4x + 12x + 15x 8  8 
Û - 26x + 8 > 11x Û - 37x > - 8 Û 37x < 8 Û x <
. Vậy S = x x   37  37  2x + 1 1 10.2x + 5(2x + ) 1 3x.10 - 2 g) 2x + > 3x - Û >
Û 20x + 10x + 5 > 30x - 2 2 5 10 10
 0x  −7 ( vô lý)  x  .  Vậy S = .  5x x x h) x - - 3 > - 6 3 6 6x - 5x - 18 2x - x Û >
Û x - 18 > x Û 0x < - 18  x  . Vậy S = .  6 6 Bài 7: Trang 7 x + 8 x + 8 x + 8 x + 8
a) Cộng thêm 1 mỗi phân thức, ta có: +  + 6 3 5 2
Từ đó tìm được x  −8 .
2x − 4 2x − 2 2x −1 2x − 3 b) BPT tương đương: +  + 2014 2016 2017 2015  1 1 1 1 
Cộng thêm - 1 mỗi phân thức, ta được: (2x − 2018) + − −  0   .  2014 2016 2017 2015 
Từ đó tìm được x < 1009 .
Bài 8: a) x + 2004 x + 2005 x + 2006 x + 2007 + < + 2005 2006 2007 2008 x + 2004 x + 2005 x + 2006 x + 2007 Û - 1 + - 1 < - 1 + - 1 2005 2006 2007 2008 x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 Û + - - < 0 2005 2006 2007 2008 æ 1 1 1 1 ö Û (x - 1)ç ÷ ç + - - ÷< 0 2 çè 005 2006 2007 2008÷÷ø 1 1 1 1 Û x - 1 < 0(do + - - > 0) 2005 2006 2007 2008 Û x < 1.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x < 1 . b) x - 2 x - 4 x - 3 x - 5 + < + 2002 2000 2001 1999 x - 2 x - 4 x - 3 x - 5 Û - 1 + - 1 < - 1 + - 1 2002 2000 2001 1999 x - 2004 x - 2004 x - 2004 x - 2004 Û + < + 2002 2000 2001 1999 æ ö Û (x - ) 1 1 1 1 2004 ç ÷ ç + - - ÷< 0 2 çè 002 2000 2001 1999÷÷ø 1 1 1 1
Û x - 2004 > 0 ( do + - - < 0) Û x > 2004 2002 2000 2001 1999
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x > 2004. c) x - ab x - bc x - ac c) + + > a + b + , c (a, b, c > 0) a + b b + c a + c Trang 8 x - ab x - bc x - ac Û - c + - a + - b > 0 a + b b + c a + c
x - ab - ac - bc
x - bc - ab - ac
x - ac - bc - ab Û + + > 0 a + b b + c a + c æ 1 1 1 ö
Û (x - ab - ac - bc)ç ÷ ç + + ÷> 0 a
çè + b b + c a + c÷÷ø 1 1 1
Û x - ab - ac - bc > 0,(do a, b, c > 0 Þ + + > 0) a + b b + c a + c Û x > ab+ ac+ bc.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x > ab + ac + bc. x +1 x − 2 3(x x - + ) 2 1 Bài 9: a) 1 −  − 1 Û - 1 < -
< 1 Û - 6 < x + 1 - 3x + 6 < 6 6 2 6 6
Û - 6 < - 2x + 7 < 6 Û - 6 - 7 < - 2x < 6 - 7 1 13  1 13
Û - 13 < - 2x < - 1 Û 13 > 2x > 1 Û < x < . Vậy S = x  x   2 2  2 2  2x - 1 b) x - 1 < - 1 < 2x + 4 3 2x - 1 3( x − ) 1 2x −1− 3 TH: x - 1 < - 1  
 3x − 3  2x − 4  x  1 − 3 3 3 2x - 1 3 x - - (2x + 4 2 1 3 ) TH 2: - 1 < 2x + 4 Û < 3 3 3
Û 2x - 4 < 6x + 12 Û 4x > - 16 Û x > - 4
Vậy - 4 < x < - 1. Tập nghiệm S = x 4 −  x  −  1 Bài 10: 1  − x  0 x  1 a) Điều kiện    1+ x  0  x  1 −  1 2
5 − x  1− 2x Ta có A = + − :  2  2
1− x x +1 1− x  x −1  1 2 5 − x  2x −1 A = + − :   2
1− x x +1 (1− x)(x +1)  1− x Trang 9  x +1 2(1− x) 5 − x  2x −1 A = + − :  
 (1− x)(1+ x) (x +1)(1− x) (1− x)(x +1)  (1− x)(1+ x)
 x +1+ 2 − 2x − 5 + x  (1− x)(1+ x) A =     (1− x)(1+ x)  2x −1  2 −
 (1− x)(1+ x) 2 − A =  =  
 (1− x)(1+ x)  2x −1 2x −1 2 − 1 b) Để A > 0 
 0  2x −1  0 vì - 2 < 0  x  (nhận) 2x −1 2 1 Vậy x  thì A > 0 2
Bài 11: Gọi số tờ giấy bạc loại 5000 đồng là x. ĐK : *
x Î ¥ , x < 15.
Theo bài ra ta có bất phương trình:
(15 - x). 2000 + x. 5000 £ 70000 Û ( 40
15 - x ). 2 + x. 5 £ 70 Û x £ . 3 Mà *
x Î ¥ , x < 15 Þ x là các số nguyên từ 1 đến 13.
Vậy số tờ giấy bạc loại 5000 đồng là các số nguyên từ 1 đến 13.
Bài 12: Gọi quãng đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h là x (km) . ĐK : 0  x  18
Theo bài ra ta có bất phương trình : x 18 - x +
£ 4 Û 4x + 90 - 5x £ 80 Û x ³ 10 5 4
Mà 0 < x < 18 Þ 10 £ x < 18.
Vậy quãng đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h là x (km) thỏa mãn 10 £ x < 18.
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trang 10