Bài tập toán cao cấp A1 | Đại học bách khoa Hà Nội

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A1
Chương : Hàm liên tục, khả vi
I. Xét tính liên tục của các hàm số  4.3x, x < 0 1. f (x) = . 2a + x, x ≥ 0  1 + x   , x 6= −1 2. f (x) = 1 + x3 .  a, x = −1  cos x, x ≤ 0 3. f (x) = . a(x − 1), x > 0  e2x − 1   , x 6= 0 4. f (x) = sin 3x .  a, x = 0  ln(1 + sin 3x)   , x 6= 0 5. f (x) = x .  a, x = 0  1 − cos 2x   , x 6= 0 6. f (x) = x2 . a, x = 0   sin(ln(1 + 2x))   , x 6= 0 7. f (x) = x .  a, x = 0
II. Xét tính liên tục, khả vi   ex, x ≤ 0 1. f (x) =  x2 + ax + b, x > 0
Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = 0.   x3, x ≤ x0 2. f (x) =  ax + b, x > x0
Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = x0.   ax + b, x ≤ 1 3. f (x) =  x3, x > 1
Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = 1.   x2 + ax + b, x ≤ 0 4. f (x) =  ex, x > 0
Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = 0. 5. Cho hàm số  xn sin 1 nếu x 6= 0 f (x) = x 0 nếu x = 0.
Hãy tìm điều kiện đối với n để cho hàm số f (x): a. Liên tục tại x = 0
b. Có đạo hàm hữu hạn tại x = 0.
c. Có đạo hàm liên tục tại x = 0.
6. Cho hàm số f (x) = |x − a|ϕ(x) trong đó ϕ(x) là hàm liên tục tại điểm
x = a và ϕ(a) 6= 0. Chứng minh rằng f (x) không có đạo hàm tại x = a.
Tìm các tiệm cận của các hàm số sau  3at x =  1. 1 + t3 3at2  y = 1 + t3 x2 2. y = x − 3 + √x2 + 4 x4 + 8 3. y = x3 + 1 III Khai triển Taylor
1. Khai triển hàm f (x) = ex cos x theo công thức Maclaurin đến số hạng chứa x3.
2. Khai triển hàm f (x) = ln cos x theo công thức Maclaurin đến số hạng chứa x3. 2
3. Khai triển các hàm theo công thức Maclaurin 1 a. f (x) = 3x + 4 b. f (x) = ln(2 + x − x2)
4. Khai triển các hàm theo công thức Taylor trong lân cận điểm x0 tương ứng.
a. f (x) = ln(x2 − 7x + 12) tại x0 = 1 (x − 1)x−2 b. f (x) = ln tại x 3 − x 0 = 2.
c. f (x) = ln(2x − x2 + 3) tại x0 = 2.
IV. Dùng quy tắc L’Hospital khử dạng vô định 0 ∞ , , 1∞, 0.∞. 0 ∞ ln(1 + x2) x2 − 1 + ln x 1. lim 2. lim (sin x)tan x 3. lim x→0 cos 3x − e−x x→ π x→1 ex − e 2 xm − am 1 − cos ax 4. lim 5. lim 5 lim (tan x)tan 2x x→a xn − an x→0 1 − cos bx x→ π4 e2x − 1 ex − e−x − 2x 6. lim 7. lim(2 − x)tan πx2 8. lim x→0 sin x x→1 x→0 x − sin x ln sin x 9.lim(1+tan x)cot x 10. lim 11. lim (a1/x−1)x, a > 0 x→0 x→+0 ln sin 5x x→∞ 12. lim(2−x)tan πx2 13. lim(1+sin2 x)1/ tan2 x 14. lim (sin x)tan x x→1 x→0 x→π/2 e−x − 1 + x4 15. lim x→0 sin 2x Chương : Tích phân
I. Tính các tích phân suy rộng +∞ +∞ dx +∞ 6 dx 1. R xe−x2dx 2. R √ 3. R 4. R 3p 0 0 x x2 − 1 0 2 (4 − x)2 e dx 2 dx 2 dx 5. R 6. R 7. R 1 x ln x 0 x2 − 4x + 3 0 (x − 1)2 0 e1/xdx 1 2 x3dx 8. R 9. R x ln xdx 10. R √ . −1 x3 0 0 4 − x2
II. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân suy rộng 3 +∞ 2x2 + 1 +∞ xdx +∞ xdx 1. R dx 2. R √ 3. R 0 x3 + 3x + 4 0 x5 + 2 0 x3 + 2 +∞ (e1/x − 1)dx +∞ sin2 3xdx +∞ arctan x 4. R √ 5. R √ 6. R dx, α ≥ 0 3 0 x 1 x4 + 1 0 xα √ √ +∞ e−x 1 ln(1 + 3 x2) 1 ln(1 + 3 x) 7. R dx, (α ≥ 0) 8. R √ √ dx 9. R dx 0 xα 0 x sin x 0 esin x − 1 √ √ 1 xdx 1 ln xdx 1 ex − 1 10. R dx 11. R √ dx 12. R dx 0 esin x − 1 0 x 0 sin x +∞ +∞ dx +∞ x2 + 5x + 6 13. R xp−1e−xdx 14. R 15. R dx 0 0 xp + xq 1 x4 + 4x + 70 +∞ ln(1 + 1 ) 1 ln(1 + sin x) 1 tan x 16. R x dx 17. R dx. 18. R dx 1 xα 0 x3 0 x3 1 ex − 1 1 arctan x 1 sin(ln(1 + x) 19.R dx 20. R dx 21. R dx 0 x3 0 x3 0 x3 2 x5 1 e2x − 1 1 22. R dx 23.R dx 24. R xa−1(1 − x)b−1dx 0 4 − x2 0 x2 0 +∞ xm +∞ xa−1 25. R dx 26. R dx 0 1 + xn 0 1 + x Chương Lý thuyết chuỗi
I. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số ∞ 1 ∞ n + 3 ∞ 1 1. P 2. P 3. P 1 − cos p n=1 n(n + 1) n=1 n(n + 2) n=1 n ∞ n ∞ 2n2 + 2n − 1n ∞ n + 1n(n+1) 4. P 5. P 6. P n=1 2n n=1 5n2 − 2n + 1 n=1 n − 1 ∞ n2 + 3nn2 ∞ 3n2 − n + 12n 7. P 8. P n=1 n2 + n n=1 4n2 + 3n ∞ 2n−1 ∞ 1 n ∞ 3n n n + 2n2 9. P 10. P arcsin 11. P n=1 (n − 1)! n=1 n n=1 n + 5 n + 3 4 ∞ n2 + 3n3+1 ∞ an n 12. P 13. P , a > 0. n=1 n2 + 4 n=1 n + 2 ∞ 2n−1 ∞ π ∞ 1 14. P 15. P n2 sin 16. P √3 n=1 (n − 1)! n=1 2n n=1 n + 1 ∞ 1 ∞ π p 17. P . 18 P sin , p > 0 p n=1 (n + 2)(n2 + 1) n=1 n ∞ 1 ∞ π ∞ n(n + 1) 19. P 1 − cos , p > 0 20. P n2 sin 21. P n=1 np n=1 2n n=1 3n π ∞ n!an ∞ nn sin 22. P , a 6= e, a > 0 23. P 2n . n=1 nn n=1 n!
II. Xác định bán kính hội tụ và khoảng hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau ∞ (x − 4)n ∞ (5x)n ∞ (2x − 3)2n 1. P √ 2. P 3. P n=1 n n=1 n! n=1 4n + 3 ∞ (x − 3)2n ∞ (x − 3)n ∞ (x − 3)2n 4. P 5. P 6. P n=1 4n(2n + 1) n=1 6n n=1 n2 + 3 ∞ (x − 2)2n ∞ (2x − 1)2n ∞ (x − 2)2n 7. P 8. P 9. P n=1 5n(2n − 1) n=1 2n + 1 n=1 n2 + 6 ∞ ∞ xn ∞ 2nn! 10. P (2n + 3n)xn 11. P √ , a > 0 12. P x2n n n=1 n=1 a n=1 nn ∞ xn ∞ 1 13. P 14. P tan .xn n=1 nα n=1 n Chương: Hàm nhiều biến
I. Tìm đạo hàm riêng của các hàm số sau 1. f (x, y) = tan(x + y)ex/y x 2. f (x, y) = arcsin px2 + y2 3. f (x, y) = ln(x + px2 + y2)
II. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 x y 1. z = y2 sin 2. z = arctan 3. z = x2ey 4. z = xe2y y x 5
5. z = ex sin 2y. Chứng minh 4z′′xx + z′′yy = 0.
6. z = ex cos 2y. Tính A = 4z′′ . xx + z′′ yy
7. z = arctan(xy). Tính A = x2z′′ . xx − y2z′′ yy x
8. z = arctan . Tính A = z′′ . y xx + z′′ yy
9. z = ln px2 + y2. Chứng minh z′′xx + z′′yy = 0.
10. z = yx. Chứng minh z′′ 11. . xy = z′′ yx
z = x ln(x + y). Tính A = z′′xx + z′′yy
III. Tìm cực trị địa phương
1. z = 4(x − y) − x2 − y2.
2. z = 1 + 6x − x2 − xy − y2
3. z = x2 − 4x + 4y2 − 8y + 3 4. z = 2x2 − 6xy + 5y2 + 4 5. z = x2 + y2 − 10x + 8y
6. z = 6x − x2 − xy − y2 + 1 7. z = x3 + y3 − 15xy
8. z = x2 + xy + y2 − 5x − 10y 9. z = (x − 1)2 + 2y2
10. z = x2 + xy + y2 − 2x − y
IV. Tìm cực trị có điều kiện
1. z = xy với điều kiện x + y = 1.
2. z = x + 2y với điều kiện x2 + y2 = 5.
3. z = xy với điều kiện 2x + 3y = 5.
4. z = exy với điều kiện x + y = 1.
5. z = x2 + y2 − 6x + 8y với điều kiện x2 + y2 = 1.
6. z = 6 − 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1.
V. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số
1. f (x, y) = x2y(2 − x − y), D là tam giác giới hạn bởi các đoạn thẳng x = 0, y = 0, x + y = 6. 2. f (x, y) = x + y, D = {x2 + y2 ≤ 1} 6