Bài tập toán cao cấp năm 2021: Hàm số, giới hạn, đạo hàm, cực trị | Môn Toán cao cấp - Đại học Ngoại Thương

lOMoAR cPSD| 58562220
Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1. Hãy điền thuật ngữ thích hợp vào chỗ dấu ba chấm trong các câu dưới đây:
a) Hàm số biểu diễn lượng cung của nhà sản xuất tùy theo giá sản phẩm, khi các yếu tố khác
không thay đổi, được gọi là …
b) Hàm số biểu diễn lượng cầu của người tiêu dùng tùy theo giá sản phẩm, khi các yếu tố khác
không thay đổi, được gọi là …
c) Hàm số biểu diễn tổng chi phí của nhà sản xuất tương ứng với mỗi mức sản lượng đầu ra được gọi là …
d) Hàm số biểu diễn tổng doanh thu của nhà sản xuất tương ứng với mỗi mức sản lượng đầu ra được gọi là …
e) Hàm số biểu diễn lượng sản phẩm đầu ra của nhà sản xuất tùy theo lượng sử dụng lao động,
khi các yếu tố khác không thay đổi, được goi là …
f) Hàm số biểu diễn lượng ảnh hưởng của thu nhập đối với lượng tiêu dùng được gọi là … 2.
Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường một hàng hóa như sau: Qs = 4p – 1; Qd = 159 – 2p2.
a) Hãy so sánh lượng cung với lượng cầu ở các mức giá p=7, p=8,1.
b) Xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của thị trường.
3. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: Q=1003 L2 trong đó L là lượng sử dụng lao động
và Q là lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần.
a) Hãy cho biết lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần khi doanh nghiệp sử dụng 64 đơn vị lao
động mỗi tuần và giữ nguyên mức sử dụng các yếu tố đầu vào khác
b) Tại mức sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần, nếu doanh nghiệp thêm 1 đơn vị lao
động mỗi tuần thì sản lượng
4. Một nhà sản xuất có hàm chi phí như sau: TC = −Q3 5Q2 +20Q+9
a) Hãy tính tổng chi phí sản xuất tại các mức sản lượng Q = 1, Q = 2 và Q = 10
b) Cho biết chi phí cố định và hàm chi phí khả biến
5. Với hàm chi phí cho ở bài tập 4, hãy lập hàm lợi nhuận của nhà sản xuất trong các trường hợp sau:
a) Nhà sản xuất hoạt động trong môi trường cạnh tranh và giá thị trường của sản phẩm là p=28.
b) Nhà sản xuất hoạt động trong môi trường độc quyền và lượng cầu đối với sản phẩm ở
mỗi mức giá p là : Q=190−0,5p. 2n
6. Hãy chứng minh rằng dãy số x = n
hội tụ đến 2 bằng cách chỉ ra số tự nhiên n0 tương ứng n+ 2 với mỗi số 0 sao cho: x − n 2 , n n0
7. Sử dụng định nghĩa, hãy chứng minh: n 1 n lim lim a) n
→+ 3n+ 2 = 3 b) n →+ 2 1 = 0 5n +
8. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết:
a) Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm; lOMoAR cPSD| 58562220
b) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm
9. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu $6000 và sẽ đem lại $10000 sau 5 năm. Trong điều kiện
lãi suất tiền gửi ngân hàng là 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó.
10. Một công ty đề nghị bạn góp vốn $3500 và đảm bảo sẽ trả bạn $750 mỗi năm liên tiếp trong 7
năm. Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn cơ hội đầu tư tiền vào chỗ khác với lãi suất 9% một năm.
11. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu là 40 triệu đồng và sẽ đem lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu sau
2 năm, 30 triệu sau 3 năm. Dự án có lợi về mặt kinh tế hay không nếu lãi suất hiện hành là 10%.
12. Mỗi tháng gửi vào ngân hàng số tiền 2 triệu, đều đặn trong 5 năm, sau đó rút cả gốc và lãi. Lãi
suất 2 năm đầu 6%/năm, lãi suất 3 năm sau giảm còn 5%/năm. Tính số tiền thu về cả gốc và lãi.
13. Một dự án nhà chung cư có chính sách bán căn hộ với 2 phương án lựa chọn thanh toán. PA1 là
thanh toán 5 lần mỗi lần 200 triệu, cách nhau 6 tháng. Lần 1 ngay khi ký hợp đồng, lần cuối khi
nhận nhà. PA2 là trả hết tiền ngay khi ký hợp đồng số tiền 920 triệu. Giả sử lãi suất 12%/năm.
a. Phương án nào có lợi hơn cho khách hàng?
b. Nếu nhận nhà bán được ngay với giá tối thiểu 1,2 tỷ thì có nên đầu tư không?
14. Mỗi tháng gửi vào ngân hàng số tiền 1 triệu thì bao nhiêu lâu sau sẽ nhận về số tiền cả gốc và lãi là 1 tỷ đồng?
a. Giả sử lãi suất 12%/năm.
b. Giả sử lãi suất 2 năm đầu là 12%/năm và năm cuối là 10%/năm.
15. Mỗi tháng gửi vào ngân hàng số tiền bao nhiêu thì sau 3 năm sẽ nhận về số tiền cả gốc và lãi là
100 triệu đồng? Giả sử lãi suất 12%/năm.
16. Sử dụng định nghĩa, hãy tính các giới hạn sau: lim(3𝑥2 − 2𝑥 + 1) 𝑥3 𝑥→1 lim 𝑥→−2 𝑥 + 1
17. Chứng minh rằng các hàm số sin , cos ,tan , cotxx x x
không có giới hạn khi x→
18. Tính các giới hạn sau
x2 + + −3x 15x b) lim
a) lim→− x→+ x 3 2x+1 1
5x2 + +x 1 x d)lim(x−2)cos x c) lim x→2 x2 − +5x 6
x→+ 4x2 − +x 1
19. Tính các giới hạn sau
x3 +8 3 2x+ −1 1
a) xlim→−2 x2 − −3x 10
b)limx→0 x+ −1 1 lim 5 c) ( ) →
x2 + − −4x 1 x2 + −x x lOMoAR cPSD| 58562220 −m x x+ +2 xm
d) limx→1 x x+ +2 xn −n (m và n là các số nguyên dương) sinu
20. Tính các giới hạn sau bằng cách sử dụng công thức lim =1 u→0 u a) lim→ tan2tan3xx b) lim→
sinx3 1x x 0 x 1 − lim − x lim c) x→0 cosx x2cos3 d) x→0
sin5sinx−sin3x x lim ( ) lim ( )
21. Chứng minh quy tắc sau đây đối với giới hạn dạng 1 : Nếu → u x =1, x a→ v x = và x a
lim ( )v x u x ( ) 1− = k thì lim u x( ) v
x( ) =ek x a→ x→a
22.Tính các giới hạn sau bằng cách sử đụng quy tắc ở bài tập 35: 1 x2 a) lim (cosx) b) 2 xlim→+
33xx2 + +− +xx 11 x → 0 ( 2) cot2 x
d) lim(1 sinx→1 + x)cot( x) c) lim 1+x x→0
23. Tính các giới hạn: ( a) lim 1+x) → loga
(a 0và a 1) b) limx a→
ln xx a−−lna(a 0) x 0 x
→ ax −1 (1+ −x)a 1 a 0) c) lim (a 0và a 1 ) d) lim ( x 0 x x→0 x lOMoAR cPSD| 58562220
24. Tính các giới hạn sau: 3 cos x cos x − tg x3( −1) a) limx→0 sin2 x b) limx→1 2xx++93 x−1
c) lim→+ x ln(x+ −1)ln x d) lim log2 x x→1 x−1 ( e) lim sin→+ x+ −1 sin x) f) lim x x→1/2 g) lim sin→ (
x+cosx)cotgx h) lim x 0 x→0 ln cos5( x)
25. Chứng minh rằng nếu lim f(x) = và lim g(x) = k 0(k )thì lim f(x)g(x) = x a→ x a→x a→
26. Chứng minh rằng khi x→0:
a) 1−cosax= 0(sin x). b) 1−cosax a x ( x 2 a 0) 2
c) sinax+sin2 bx ax a ( 0 .)
d) ax −1 x aln (1 a 0)
e) ln 1( +ax) ax a( 0 .)
f) (1+kx) −1 k x k ( 0) g) ax +ax +1 +n 1 + +... a xn ax ( 0,a 0)
27. Bằng cách thay VCB tương đương, hayx tính các gió hạn sau: a) limx→0
2x12−+cos3x33−xx4 b) limx→0 5 c) limx→0
d) limx→0 sinx(1 3 )++2xsin2 −21x
28. Xét tính liên tục của hàm số sau: 𝑥2−5𝑥+6 a) f(x) = 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 3 b) f(x) = 𝜋𝑥 lOMoAR cPSD| 58562220 cos 𝑘ℎ𝑖 |𝑥| ≤ 1 c) f(x) = { 2
|𝑥 − 1|𝑘ℎ𝑖 |𝑥| > 1
29. Tìm k để hàm số sau liên tục trong khoảng (-1;1)
ln(1+ −x)ln(1− x) khi0 x 1 f x( ) = x k khix,= 0
30. Có thể nói gì về giá trị của hàm số f(x) + g(x) tại điểm x0 trong các trường hợp sau: f(x) liên
tục tại x0 nhưng g(x) gián đoạn tại điểm đó.
Cả hai hàm số f(x) và g(x) đều gián đoạn tại.
31. Tìm k để hàm số sau liên tục trên khoảng (−1,1)
ln(1+ −x) ln(1− x) f x( ) = x khi 0< x 1 khi x=0k
32. Có thể nói gì về tính liên tục của hàm số f x( )+ g x( ) tại điểm xo trong các trường hợp sau
a. f x( ) liên tục tại x0 nhưng g x( ) gián đoạn tại điểm đó.
b.Cả hai hàm số f x( ) và g x( ) đều gián đoạn tại xo
33.Chứng mình các phương trình sau có nghiệm a)3x = sin x
b)2x = + +x2 x 3
34. Chứng minh phương trình x6 − − =9x 8
0 có ít nhất 2 nghiệm thực.
35. Chứng minh rằng phương trình x5 + − + =x2
8x 1 0 có ít nhất 3 nghiệm thực.
Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1. Sử dụng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số f x( ) = 2x+1 tại điểm x= 4
2. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x=1 x2 − +5x 4 f x( ) = x−1 khi x 1 lOMoAR cPSD| 58562220 −3 khi x=1
3. Sử dụng định nghĩa, hãy lập hàm số đạo hàm của các hàm số:
a) f x( ) = cosx
b) f x( ) = ln( )x 4. Hãy chứng minh:
a) Đạo hàm của một hàm số chẵn là một hàm số lẻ.
b)Đạo hàm của một hàm số kẻ là một hàm số chẵn.
c) Đạo hàm của một hàm số tuần hoàn với chu kì T là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
10. Tính đạo hàm của hàm số y = x + x − 2 .
11. Chứng minh rằng hàm số 2 1
x sin 𝑘ℎ𝑖 x y= { x 0 𝑘ℎ𝑖 x=0
có đạo hàm tại mọi điểm x và tính đạo hàm f '(x) . 12. Cho hàm số:
f x( ) = { x2 𝑘ℎ𝑖 x
2ax b+ 𝑘ℎ𝑖 x 1 Hãy xác
định a và b để hàm số liên tục và có đạo hàm tại điểm x=1.
23. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: kx 2x+3 = a) y e b) y= x+1
24. Chứng minh rằng hàm số y =sin ln( x)+cos ln( x) thỏa mãn hệ thức:
x 2y '''+ + =xy y'0
25. Chứng minh rằng hàm số y= sin(n.arcsin x) thỏa mãn hệ thức: ( 1− x y xy n y2 ) − + 2 = 0
26. Chứng minh rằng hàm số y e= +x 2e2x thỏa mãn hệ thức:
y '''− 6y ''+11y '− =6y 0
27. Lập biểu thức vi phân cấp 2 của hàm số y= ln(x+ x2 +4)
28. Lập biểu thức vi phân cấp 3 của hàm số y= arctgx lOMoAR cPSD| 58562220
32. Khai triển đa thức f x( ) = + −x5 x3
3x2 +1 theo lũy từa của x−1 1 2
33. Khai triển hàm số f x( ) = 1+x theo công thức Maclaurin đến x , với phần dư dạng lagrange.
34. Khai triển hàm số f x( ) = 3 x theo công thức Taylor đến lũy thừa bậc 5 của x−1, với phần dư dạng Peano.
35. Khai triển hàm số f x( ) =esinx theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 3 của x, với phần dư dạng Peano.
36. Tính các giới hạn sau: a) lim→ ax e 0
ax −e−ax b) limx→01−xcossinx
x ln(1+x)
π− 2arctgx lim lnx lim c) → +0 x→+ ln(1+ 1) d) x ln(sin )x x x
→ − ln(1−x)
f) xlim→+ amx (a 1,m N )
e) xlim1 cotg xπ
37. Tính các giới hạn sau: a) 1 lim cot→ gx − x
b) xlim→π /2 x tanx − π 2cos x
x 0 π π d) xlimln .ln(1→−1 x −x) c) 2 .
xlim→4tg xtg 4 −x
38. Tính các giới hạn sau: 1 cosπx
a) lim ln(→ e x+ ) x b) lim(1→ − −x) 2 x 0 x 1 1 1 c) limx→0 tgxx x2
d) lim(x→0 e xx + )x 1 2 x lOMoAR cPSD| 58562220
e) lim(2→+ x +x)x f) xlim(→+ π arctan )x x
39. Xác định các khoảng tăng, giảm của các hàm số:
a) y = 2x2 −lnx
b) y x= +sinx =
c) y x x( −1) (2 x −2)3
d) y=ex x ln(1 ) e)
y= 2x2. 63 x−7 f) y x= − +x 3
g) y =xln2 x
h) y =x e2 −x
40. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
3, − 2;3 b f x) ( )= +x 1,x
0,01;100 a f x) ( )= −3x x x x
c y) = x2ln ,x x
1;e d y x) = 1−x x2, − 1;1
42. Chứng minh rằng nếu hàm số f x( ) liên tục trong khoảng (a;b) và trong khoảng đó nó chỉ có
một điểm cực trị duy nhất x0 thì điểm cực trị địa phương x0 đồng thời là điểm cực trị toàn cục
của nó, tức là f x( 0) là GTLN (GTNN) của f x( ) trong toàn bộ khoảng (a;b) nếu x0 là điểm cực đại (cực tiểu) 4 9
43. Chọn x để hàm số y = +
đạt giá trị nhỏ nhất trong khoảng (0;1). x 1− x
44. Xác định các khoảng lồi lõm và điểm uốn của hàm số: a y) = −x4 12x3 + 48x2 + 50 b y) = ln(1+ x2)
45. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q =15.3 L . Hãy tính MPPL khi L=8 và khi L=1000 và giải
thích ý nghĩa kết quả tìm được.
46. Lập hàm chi phí cận biên và hàm chi phí bình quân, cho biết hàm chi phí:
a TC) = 3Q2 + +7Q 12 b TC) = 2Q3 −3Q2 + +4Q 10 lOMoAR cPSD| 58562220
47. Cho biết hàm doanh thu: TC = 200Q −3Q2
Hãy lập hàm doanh thu cận biên và hàm cầu với sản phẩm.
48. Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất độc quyền, với giá p tính bằng USD:
Q= 500−0,2p . Hãy tính MR tại mức sản lượng Q=90và giải thích ý nghĩa.
49. Cho biết hàm cầu đối với một lượng hàng hóa như sau:
Q = 3200 − 0,5p2
a Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mức giá p 80
b Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá p= 20, p= 50và giải thích ý nghĩa. 50.
Cho hàm cầu tuyến tính: Q a bpab= − ( , 0)Gọi ε là hệ số co dãn của cầu theo giá. Hãy
chứng minh rằng ε=−1 khi p= 2ab , ε −1 khi 0 p 2ab , −1 ε 0 khi 2ab p ab .
51. Cho biết tổng doanh thu củ một nhà sản xuất độc quyền tại mỗi mức sản lượng Q là
TR=500Q −4Q2 . Hãy tính hệ số co dãn theo giá của cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất đó
tại mức giá p=300 và giải thích ý nghĩa.
52. Tính hệ số co dãn của cung theo giá tại mỗi mức giá p trong trường hợp hàm cung tuyến tính: Q a bp a b= + ( , 0). −1 3 2
53. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau: π =
Q +14Q +60Q−54. 3
Hãy chọn mức sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận đố tối đa).
54. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau: ,
a) TR= 4000Q −33Q2 TC = 2Q3 −3Q2 = 400Q =5000. ,
b) TR= 4350Q −13Q2 TC = Q3 −5,5Q2 +150Q +675.
55. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu cận biên và hàm
chi phí cận biên như sau: MR=5900−20Q ; MC =6Q2 − +8 140Q
56. Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược p=1400−7,5Q
a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mỗi mức giá p;
b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên
MC =3Q2 −12 140Q+ . lOMoAR cPSD| 58562220
57. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh với giá $20. Cho biết hàm sản
xuất Q L= 3 2 và giá thuê lao động là $40. Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa.
58. Một nhà sản xuất độc quyền tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm cầu D p( )= 750 −p .
Cho biết hàm sản xuất Q = 6 L và giá thuê lao động là $14. Hãy xác định mức sử dụng lao
động cho lợi nhuận tối đa. lOMoAR cPSD| 58562220
Chương 3: HÀM SỐ CÓ NHIỀU BIẾN SỐ 1. Cho hàm số:
f x y( , )= +x 32y 3 + 2xy 2
Hãy tính các giá trị f(0,1), f(1,2), f(a,b), f(b,a), f(a,2a). 2 2 + y
3. Hãy viết phương trình đường mức đi qua điểm A(0,1)của hàm số: u= x 2x+ 6y
4. Hãy viết mặt phẳng mức đi qua điểm A(1,1,1) của hàm số: u x y z= + +
5. Lập hàm hợp của các hàm số sau: w= +u v2 2 ,u= sinx+siny+sinz,v= cosx+ cosy+ cosz
6. Tìm biểu thức hàm số f x y( , ), cho biết: f x( + y x, − y)= x2 + xy + 2y 2
7. Một công ty cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất Q= 3 K L. với K, Q,
L được tính hằng ngày.
a) Hãy viết phương trình đồng lượng ứng với mức sản lượng Q=200
b) Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng này của công ty theo K
và L, cho biết giá sản phẩm trên thị trường là $4, giá tư bản là$15, giá lao động là $8 và
mỗi ngày công ty phải trả $50 chi phí khác. 1 5
8. Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất Q = 40K L3 6 và tiêu thị sản phẩm trên thị trường
có hàm cầu D p( )= 350 −3p. Hẫy lập hàm số biểu diễn tổng doanh thu theo K và L.
9. Một công ty độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp (Q là lượng sản phẩm i): TC Q=3 2 − + 2 1 2QQ1 2 4Q2
a) Lượng chi phí mà công ty phải bỏ ra để sản xuất 4 đơn vị sản phẩm 1 và 2 đơn vị sản phẩ 2 là bao nhiêu?
b) Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm 1 là D ( )= 1 p1
320 −5p1 , hàm cầu đối với sản phẩm 2 là D ( )= 2
p2 150 − 2p2 . Hãy lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của cong ty theo Q1, Q2.
10. Giả sử người tiêu dung có hàm lợi ích như sau: U xy= + 4y , trong đó x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B.
a) Viết phương trình dường bàng quang, cho biết một trong những túi hàng thuộc đường bang
quang đó là (x = 4, y = 3).
b) Hãy cho biết hai túi hàng (x = 4, y = 3)và (x = 5, y = 2), túi nào được ưa chuộng hơn?
c) Giả sử người tiêu dung đang có 8 hàng hóa A, 3 hàng háo B và có người đè nghị đổi cho
chị ta một số hàng hóa A để lấy hàng hóa B. Hỏi người đó dổi ít nhất bao nhiêu hàng hóa A
thì chị ta mới bằng lòng đổi? lOMoAR cPSD| 58562220
11. Tìm giới hạn của các dãy điểm: a) Mn n n3 2, n+−11 b) Mn
nn+1,sinn n nn, 12 −+ +3n2 1
14. Sử dụng định nghĩa, hãy tính giới hạn:
2x y3 2 + +x 3y lim xy→→−21 3x+ 2y lOMoAR cPSD| 58562220
15. Chứng minh rằng hàm số 2 2 2 x y f x y, 3 xy
không có gi ớ i h ạ n khi x 0 , y 0. 2 2 , 0 16. Cho hàm s ố : , 3 4 0 , 0
Hãy tính gi ớ i h ạ n: lim fxy , x 0 y 0 17. lim lim 1sin 1 Tính a. x y2 2( ( x→→ x y2 2 x y 2 b.
→→0 x y+ )sinx y y 0 + − ) yx 0 0
18. Xét tính liên tục của hàm số f(x,y) tại điểm (0,0 ):
𝑥22𝑦22 𝑘ℎ𝑖 𝑥2 + 𝑦2 ≠ 0
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 +𝑦 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑦 = 0
2𝑥𝑦 2 𝑘ℎ𝑖 𝑥2 + 𝑦2 ≠ 0
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 +𝑦 0
𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑦 = 0 19. Cho hàm số: 𝑥
2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦2 𝑘ℎ𝑖 𝑥2 + 𝑦2 > 0 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑦 = 0 Hãy tính f ' ( ' ( x 0,0), fy 0,0).
20. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
a) u x y y x= 2 − 2 b) u=(5x y y2 − +2 7)3 c) u = +x
y d) u e= − xy y x
21. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
a) u xy yz zx= + + b) u = +x3 yz2 + 3xy − +x z
c) u= x2 + +y2 z2
d) u e= x x( 2+ +y2 z2) lOMoAR cPSD| 58562220
22.Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và lập biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số: a) u = + −x4 y44x y2 2
b) u= ln(x y+ 2) c) u =
2x −3y d) u=arctan y x + 2y x 23.Cho hàm số: xy x( ) 2 2 − 2y2 khi x2 + y #02 f x, y( )= x + y 0 khi x = =y 0 Hãy tính f '' ( ' ( xy 0,0), fyx 0,0) .
24. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: Q=12 3 K L2 . .
a. Hãy tính MPPK và MPPL tại điểm (K = 125, L=100) và giải thích ý nghĩa
b. Chứng tỏ rằng MPPK giảm khi K tăng và L không đổi
c. Chứng tỏ rằng MPPL giảm khi L tăng và K không đổi
25. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng U x y= 0,4 0,7 , trong đó x là lượng hàng hóa A và y là lượng hàng hóa B
a. Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa. Hàm lợi ích này có phù hợp
với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
b. Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B không đổi thì lợi ích cận biên tăng bao nhiêu %?
26. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như sau: TC = +45 125Q 2 2 3 3 1 +84Q2 −6QQ1 + + 2 0,8Q1 1,2Q2
Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm
27. Cho biết hàm cầu đối với 1 mặt hàng như sau:
Q = −35 0,4p+0,15m +0,12ps
Trong đó Q, p là lượng cầu và giá của hàng hóa đó; m là thu nhập; ps là giá cả hàng hóa thay thế.
Hãy lập hàm số biểu diễn:
a. Hệ số co dãn của cầu theo giá p
b. Hệ số co dãn của cầu theo thu nhập
c. Hệ số co dãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế
28. Hãy chứng tỏ các hàm số sau là hàm thuần nhất và cho biết bậc thuần nhất của chúng: lOMoAR cPSD| 58562220
a. f x y( , )= 3 2x +3y
b. f x y( , )= 2x y +3y x
c. f x y z( , , )= +x 3 x y2 +y z2 +z 3
29. Hãy kiểm tra công thức Ơle đối với các hàm thuẩn nhất sau:
a. u = 2x 2 +3xy −5y2 b. u= x 2 2 2 x + +y z
30. Chứng minh rằng nếu hàm khả vi f(x,y) là hàm thuần nhất bậc s thì các hàm số f x y ' ( , ) và x f
x y ' ( , ) là hàm thuần nhất bậc s-1. y
31. Hãy đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản xuất
a. Q = 20K L0,4 0,3
b. Q =5K L0,6 0,8 c. Q=12 K L3 2
32. Hãy tính đạo hàm y x' ( ) của hàm số y = y(x) cho dưới dạng hàm ẩn: a. xy yx a3 − 3 = 4
b. (x y2 + 2 )2 −a x y2 ( 2 − =2) 0 c. xe + − = y yex exy 0
d. x y2 + 2 =aearctgyx (a > 0)
33. Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số y= y(x) xác định bởi phương trình: a. y2 = 2px
b. x 2 − + =xy y2 0
c. x 2 + 2lny =x 4
d. x y2 2 − − =x 4 y4 a4
34. Tính đạo hàm riêng của hàm số z = z(x, y) xác định bởi phương trình:
a. x22 + + =y22 z22 1
b. x 2 −2y2 + − + − =z 2 4x 2z 5 0 a3 b c 3
c. x +3xyz =a d. e xyzz − =0
35. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm ẩn z = z(x, y) , xác định bởi phương trình:
a. x 2 + + =y2 z 2 a2 b) x + + =y z ez
36. Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình: x2 +2y2 + + − − =3z2 xy z 9 0
Hãy tính z ' , '' , '' khi x = 1, y = -2, z = 1. xx zxy zyy
37. Lập các biểu thức dz, d2z của hàm số z = z(x, y) xác định bởi phương trình: xyz x y z= + + lOMoAR cPSD| 58562220
CHƯƠNG 4: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
1. Tìm các điểm cực trị của hàm số: a) b) u=10x y2 + −2
6xy−24x u= 4xy x− −2 7y2 +36y c) d)
u=13x y2 + −2 5xy x− −2 10y+1
u x= +3 3xy2 −15x−12y
e) u=18xy x− −8 3 27y3
2. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau với x>0, y>0: 2 2 50 20
a) u =x y (6− −x y) b) u = + +xy x y
3. Tìm các điểm cực trị của các hàm số: a) b)
u = +x 2 2y2 +3z 2 −2xy−10y−12z
u = 6xz −3x 2 −2y2 −9z 2 + +8x 12y c) d) u = +x 2
5y2 +10z 2 −4xy−6yz −10z +1 u=3lnx+2lny+5lnz+ln(22− − −x y z) 4
4. Tìm các điểm cực trị của hàm số z=z(x,y) xác định bởi phương trình: 2 2 4
x 2 + + − + − − =y2 z 2 x y z 10 0
5. Chọn (x,y) đê hàm số:u = 2x 2 −4xy+5y2 − −8x 16y+125 đạt giá trị nhỏ nhất trong toàn bộ R2. 6
6. Chọn (x,y,z) để hàm số: u = 4xy x− −2
y2 −3z 2 +12y+36z +1 đạt giá trị lớn nhất trong toàn bộ R3.
7. Tìm các điểm cực trị của hàm số u =3x 2 +5xy với điều kiện: x y+ = 16
8. Tìm các điểm cực trị của hàm số u= +x y (a 0,b 0) với điều kiện: x 2 + =y2 1 a b
9. Tìm các điểm cực trị của hàm số 9
u = + +2x y 1 với điều kiện:x 2 +3y2 =31
10. Tìm các điểm cực trị của hàm số u =x y0,3
0,7 với điều kiện: 5x + =4y 200
11. Tìm các điểm cực trị của hàm số u = 2x y0,9 0,6 với điều kiện: 3x+ =5y 600
12. Tìm các điểm cực trị của hàm số 2
u x= − +2y z với điều kiện: x 2 + + =y2 z 2 1 lOMoAR cPSD| 58562220
13.Tìm các điểm cực trị của hàm số 4 3
u = + +5x y z với điều kiện: x 2 +2y2 +3z 2 =36
14. Tìm các điểm cực trị của hàm số u =xy z2
3 với điều kiện: x+ + =2y 3z 18 (x 0,y 0,z
0) 15. Cho biết hàm lợi ích:U = +(x1 3)x2 trong đó x1 là lượng hàng hóa A, x2 là lượng hàng hóa
B. Hãy chọn túi hàng lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là $5, giá hàng hóa B là $20,
ngân sách tiêu dùng là $185.
16. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U xx x= + + 1 2 1 2x2
Trong điều kiện hàng hóa thứ nhất được bán với giá $2, hàng hóa thứ hai được bán với giá $5 và
thu nhập dành cho người tiêu dùng là $51, hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người
tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
17. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U x x= 0,6 0,25 1 x
Trong điều kiện hàng hóa thứ nhất được bán với giá $8, hàng hóa thứ hai được bán với giá $5 và
thu nhập dành cho người tiêu dùng là $680, hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu
người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
18. Lập các hàm cầu Marshall của người tiêu dùng, cho biết hàm lợi ích: U xx= +3 1 2 x1
19. Lập các hàm cầu Marshall của người tiêu dùng, cho biết hàm lợi ích: U x x= 0,7 0,3 1 2
20. Với hàm lợi ich và giá của hai hàng hóa cho ở bài tập 15, hãy xác định túi hàng chi phí tối
thiểu đảm bảo mức lợi ích U=196
21. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q K L= 2 0,3 0,5
a) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất
b) Giả sử giá thuê tư bản là $6, giá thuê lao động là $2 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất
ngân sách cố định $4800. Hãy cho biết đơn vị đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao
nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?
22. Hãy trả lời các câu hỏi ở bài tập 21, với hàm sản xuất: Q K L=10 0,8 0,6
Giá thuê tư bản là $30, gia thuê lao động là $10 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất ngân sách cố định là $2100.
23. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: Q K L= ( +5)
Công ty này nhận được hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử dụng các
yếu tố K, L sao cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn ít chi phí nhất, trong điều
kiện giá thuê tư bản wK=70 và giá thuê lao động wL=20
24. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí như
sau (Qi là lượng sản phẩm i): TC =3Q 2 2 1 +2QQ1 + + 2 2Q2 10 lOMoAR cPSD| 58562220
Hãy chọn mức sản lượng kết hợp (Q1, Q2) đẻ doanh nghiệp có được lợi nhuận tối đa khi giá sản
phẩm 1 là $160 và giá sản phẩm 2 là $120.
25. Hãy trả lời các câu hỏi ở bài tập 24 khi: Hàm chi phí: TC Q= −12 2QQ1 2 +2Q22 +7
Giá sản phẩm 1: p1=$32, giá sản phẩm 2 p2=$16
26. Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí (Q1 là lượng sản phẩm i): TC =3Q 2 2 1 +2QQ1 + + 2 2Q2 55
Hãy chọn mức sản lượng kết hợp (Q1, Q2) và giá bán các snar phẩm đẻ doanh nghiệp có được lợi
nhuận tối đa, khi cầu của thị trường đối với các sản phẩm của công ty như sau: Sản phẩm 1:
Q1=50-0,5p1; Sản phẩm 2: Q2 = −76 p2.
27. Hãy trả lời các câu hỏi ở bài tập 26 khi:
Hàm chi phí: TC Q= + 2 + + 2 1 2QQ Q12 2 20
Cầu đối với sản phẩm 1: Q1 = −25 0,5p1, cầu đối với sản phẩm 2: Q2 = −30 p2
28. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai nhà máy với hàm chi phí cận biên
như sau (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở ở nhà máy i, MCi là chi phí cận biên của nhà máy i; i=1, 2): ;
MC1 = +2 0,1Q1 MC 2 = +4 0,08Q2 05
Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với biểu cầu p= −58 0, Q . Nếu công ty đó muốn tối đa
hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu?
29. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại bốn nhà máy với hàm chi phí cận biên
như sau (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở nhà máy i, MCi là chi phí cận biên của nhà máy i; i=1,2):
MC1 = 20+Q MC1, = = = 2
40+0,5QMC2, 3 40+Q MC3, 4 60+0,5Q4 u 3
Công ty đó bán sản phẩm trên thị trường với biểu cầ p= 580−0, Q . Nếu công ty đó muốn tối đa
hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu?
30. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó tại hai thị trường khác
nhau, cho biết hàm chi phí: TC = +35 40Q Q Q Q ( = +1 2)
Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm của công ty: 2 05
Thị trường 1: Q1 = −24 0, p1 ; Thị trường 2: Q2 = −10 0, p2 lOMoAR cPSD| 58562220
Hãy xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa. 31.
Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó tại hai thị trường khác
nhau, cho biết hàm chi phí cận biên: MC =1,75+0,05 Q Q Q Q( = +1 2)
Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm của công ty:
Thị trường 1: p1 = −12 0,15Q1 ; Thị trường 2: p2 = −9 0,075Q2
Hãy xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa. 32.
Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bãn sản phẩm đó cho hai loại
khách hàng. Cho biết hàm chi phí: TC = +90 20Q
Nếu nhà sản xuất đưa Q1 sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ nhất các hàng này bằng lòng trả
giá p1=50-5Q1 USD cho mỗi sản phẩm. Nếu nhà sản xuất đưa Q2 sản phẩm ra bán cho loại khách
hàng thứ hai thì các khách hàng này bằng lòng trả giá p2=100-10Q2 USD cho mỗi sản phẩm. Hãy
cho biết lượng cung tối ưu và giá tối ưu cho mỗi loại khách hàng.
Chương 5: PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN
1. Sử dụng bảng tích phân cơ bản và phương pháp khai triển hãy tính các tích phân sau: a) x+1dx b) 1− 12 x xdx. x x c) (1− ) 3 x)3dx d) (2 + x
3x 2dx x x 2 − x 5x e) +1 −1 f) 10x dx x2 1 +x2 g) cotg2 xdx. dx 2.
Sử dụng tính bất biến
cos2x.dx của biểu thức tích phân hãy tính các tích phân sau: h) sin2xcos2x a) (2x −1)9dx b) 3 1−3 .xdx lOMoAR cPSD| 58562220 c) 2dx− 5x
d) x x( 2 +1 .)9 dx ) e) ee2 x x ++11dx f) (1xdx+x 2 2 +
g) 2 −x3x 2 dx
h) x 2 3 1 x dx3
3. Sử dụng phương pháp đổi biến hãy tính các tích phân sau: a) x2 3 1−xdx. b) 1+dx3 x +1 c) xdx+ 3 x d) edxx +1 e) ex −1.dx f) 16 −x dx2 .
4. Tính các tích phân sau: dx dx a) b) 2 x x −1 x 1−x2 c) x5 2dx
d) x 2 . 4 −x dx2 . 1−x e)
x. 1ln .xdx+ lnx
f) 1−1x 2 ln11+−xx .dx
g) sin3x.cos2 xdx.
h) sin2 x.cos5 xdx.
6.Sử dụng phương pháp tích phân từng phần hãy tính các tích phân sau: a) x sin2x.dx b) x cos2x.dx2 c) xsin x.dx2 d) x cos3x.dx2 e) xe−2x.dx f) x e .dx2 3x
17. Tính các tích phân: