Bài tập trắc nghiệm xác định số hạng thứ n của dãy số – Nguyễn Chiến

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO PHẦN DÃY SỐ
XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ n TRONG DÃY SỐ
Nguyễn Chiến 0973.514.674 u   2018  1
Câu 1. Cho dãy số xác định bởi: 
. Số hạng thứ 21 trong dãy 2 2 u 
 u  n  2018;n  1  n1 n
số có giá trị gần nhất là A. 201. B. 207. C. 213. D. 219. u  2
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 2017 trong dãy số u
 u  2n  3,n    1 n 1 n có giá trị là A. 4060226. B. 4064257. C. 4060229. D. 4064 260. 1 1 1 1
Câu 3. Cho dãy số xác định bởi: u     ... . Số hạng thứ n 1.3 3.5 5.7
2n 12n 1
100 trong dãy số có giá trị là 1 100 50 50 A. . B. . C. . D. . 39999 201 201 67 u   1.2.3 1 
Câu 4. Cho dãy số u xác định bởi: u   2.3.4 n  2 u  n 
n1n 2 n 
Đặt S  a  a  ...  a . Giá trị của S là n 1 2 n 30 A. 28184. B. 245520. C. 215760. D. 278256.  u  1 1 
Câu 5. Cho dãy số xác định bởi:  u
. Số hạng thứ 50 trong dãy n u  ; n  1  n1 1  3n 2un
số có giá trị là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3775 3926 3625 3774 u   1
Câu 6. Cho dãy số xác định bởi: 1 
. Số hạng thứ 2017 trong dãy số có u
 u  7;n  1  n1 n giá trị là A. 2024 B. 2025. C. 14114. D. 14113. u   2
Câu 7. Cho dãy số xác định bởi: 1 
. Số hạng thứ 6 trong dãy số có giá u  5u  6;n  2  n n1 trị là A. 2187,5. B. 10937,5. C. 10936. D. 2186. u   2 0 
Câu 8. Cho dãy số xác định bởi: u   5
. Số hạng thứ 15 trong dãy số 1
u  5u  6u ;n  2  n n1 n2 có giá trị là A. 4733113. B. 4799353. C. 14381675. D. 14381673
Câu 9. Cho dãy số xác định bởi: 1 1 1 1 u     ... . n 2 1  2 3 2  2 3 4 3  3 4
n1 n n n1
Số hạng thứ 99 trong dãy số có giá trị là 9 10 A. . B. . C. 1. D. 2. 10 9 u   1 Câu 10.
Cho dãy số xác định bởi: 1  n
  1. Số hạng thứ 32 trong 3 u    u  n n1 n
dãy số có giá trị là
A. 246016. B. 246017. C. 216226. D. 216225. u   5 Câu 11.
Cho dãy số xác định bởi: 1 
. Số hạng thứ 2017 trong dãy u
 u  3n  2.  n1 n
số có giá trị là
A. 6089330. B. 6089335. C. 6095376. D. 6095381. u   1 Câu 12.
Cho dãy số xác định bởi: 1  . u   
u  3n  1 2.5n ; n  1 n1 n
Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là A. 4882683.  B. 4882683. C. 4
 882687,5. D. 4882687,5. u   8 1  Câu 13.
Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 15 trong dãy số có u  u ;n   1 n1  2 n giá trị là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 2 15 2 11 2 16 2 u   1 1  Câu 14.
Cho dãy số xác định bởi: u   2 . Số hạng thứ 5525 2
u  2u u 1;n  2  n1 n n1
trong dãy số có giá trị là 1 1 A. 2 5525  5523. B. 2 5525  5524 C.  2
5525  5523 D.  2 5525  5524. 2 2 u   1 1  Câu 15.
Cho dãy số xác định bởi:  u
; n  1 . Số hạng thứ 100 trong dãy n u   n1 1u  n
số có giá trị là 1 1 A. 100. B. . C. 99 D. . 100 99 u  1 Câu 16.
Cho dãy số xác định bởi:  1 . u
 2u  5,n    1 n 1 n
Số hạng thứ 2018 trong dãy số có giá trị là A. 2017 3.2  5. B. 2017 3.2 1. C. 2018 3.2  5. D. 2018 3.2 1. u  2 Câu 17.
Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 5000 trong u
 u  2n  1,n    1 n 1 n
dãy số có giá trị là A. 2
5000  3.5000  1. B. 2 5000  1. C. 2
5000  2.5000  1. D. 2 5000  2.5000. u   5 Câu 18.
Cho dãy số xác định bởi: 1  . Số hạng thứ 7 2 u   
9u  8n  14n  1; n  1 n1 n
trong dãy số có giá trị là A. 4517185. B. 501868. C. 4517180. D. 501863.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO PHẦN DÃY SỐ
XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ n TRONG DÃY SỐ
Nguyễn Chiến 0973.514.674 u   2018  1
Câu 1. Cho dãy số xác định bởi: 
. Số hạng thứ 21 trong dãy 2 2 u 
 u  n  2018;n  1  n1 n
số có giá trị gần nhất là A. 201. B. 207. C. 213. D. 219. Lời giải Ta có 2 2 u
 u  n  2018 2 2 2
 u  u  n  2018;n  1 n1 n n1 n 2 u  2018 1 2 2 2
u  u  1  2018 2 1 2 2 2
u  u  2  2018 3 2 2 2 2
u  u  3  2018 4 3 … … u  u  n   2 2 2 1 2018 n n 1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được u      n 2 2 2 2 2 1 2 3 ... 1  2018n n
n n  1 2n  1 2 2 2 2   
Mà 1  2  3  ...  n  6 n  n n 
1  2  3  ...  n  2 1 2 1 2 2 2     1  6
n  1 n 2n  1 2     1 u 
 2018n  n n  n  n  2 2 3 12109 6 6 1  u  6n n  n 
 u  8 707  213 Đáp án C. n  2 2 3 12109 6 21 u  2
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 2017 trong dãy số u
 u  2n  3,n    1 n 1 n có giá trị là A. 4060226. B. 4064257. C. 4060229. D. 4064 260. Lời giải Ta có : u  2 1
u  u  2.1 3 2 1
u  u  2.2  3 3 2 … … u  u  2 n1   3 n n 1  
Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được:
u  2  2 1 2  ...  n   1   3n    1 n
 u   n n n   2 2 1 3 1 n  4n  5 n  u  2
2017  4.2017  5  4060226  Đáp án A. 2017 1 1 1 1
Câu 3. Cho dãy số xác định bởi: u     ... . Số hạng thứ n 1.3 3.5 5.7
2n 12n 1
100 trong dãy số có giá trị là 1 100 50 50 A. . B. . C. . D. . 39999 201 201 67 Lời giải 1 1 2k   1  2k   1   * 1 1 1 k   ta có       2k   1 2k   . 1
2 2k 12k  1
2 2k 1 2k  1 1 1 1 1  Khi k  1      1.3 2 1 3 1 1  1 1  Khi k  2      3.5 2 3 5 1 1  1 1  Khi k  3      5.7 2 5 7  … … 1 1  1 1 
Khi k  n       2n  
1 2n  1 2 2n 1 2n  1
Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được 1  1  n 100 u  1  u   u 
 Đáp án B. n   2  2n  1 n  2n  1 100 201 30 1 100
Cách khác: Sử dụng máy tính:     1  2X 12X 1 201 u   1.2.3 1 
Câu 4. Cho dãy số u xác định bởi: u   2.3.4 n  2 u  n 
n1n 2 n 
Đặt S  a  a  ...  a . Giá trị của S là n 1 2 n 30 A. 28184. B. 245520. C. 215760. D. 278256. Lời giải
S  a  1.2.3 1 1
S  a  a  1.2.3  2.3.4  2.3.5 2 1 2
S  a  a  a  2.3.5  3.4.5  3.5.6 3 1 2 3 1 1 1
 S  .1.2.3.4 , S  .2.3.4.5, S  .3.4.5.6 1 2 3 4 4 4 1
Nhận thấy quy luật nên giả sử S  . . k k  k  k 
k  (giả thiết quy nạp) k  1 2 3, 3 4 1 Ta sẽ chứng minh S
 . k 1 k  2 k  3 k  4 k1      4
Thật vậy, theo đề bài  S
 S  a  S  k 1 k  2 k  3 k1 k k1 k     1
Theo giả thiết quy nạp  S
 .k k 1 k  2 k  3  k 1 k  2 k  3 k1         4 1  S 
k  1 k  2 k  3 k  4 k1      4 1
Theo nguyên tắc quy nạp suy ra S  .n n  n  n 
 S  245520  Đáp án B. n  1 2 3 4 30 30
Sử dụng máy tính: XX  
1 X  2  245520 1  u  1 1 
Câu 5. Cho dãy số xác định bởi:  u
. Số hạng thứ 50 trong dãy n u  ; n  1  n1 1  3n 2un
số có giá trị là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3775 3926 3625 3774 Lời giải u 1 1 Ta có n u   
 3n  2;n  1 n1
1 3n  2u u u n n1 n 1  1 u1 1 1   3.1 2 u u 2 1 1 1   3.2  2 u u 3 2 1 1   3.3  2 u u 4 3 … … 1 1   3n  1  2 u u n n1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được 1 1 n n    3n n 2 1 3 1   2 ...  n12 
n1  13  2n  2 1 1  u u 2 2 n n 2 1  u   u 
 Đáp án D. n 2 50 3n  n  2 3774 u   1
Câu 6. Cho dãy số xác định bởi: 1 
. Số hạng thứ 2017 trong dãy số có u
 u  7;n  1  n1 n giá trị là A. 2024 B. 2025. C. 14114. D. 14113. Lời giải
Ta có: u  u  7  1 7  8  7.2  6. 2 1        u u 7 8 7 15 7.3 6. 3 2        u u 7 15 7 22 7.4 6. 4 3       u u 7 22 7 7.5 6. 5 4
Nhận thấy quy luật nên giả sử u  7n  6  
1 Với n  1, ta có: u  7.1 6  1 (đúng). n 1
Vậy 1 đúng với n  1.
Giả sử 1 đúng với n k k N  
 . Có nghĩa là ta có: u 7k6. k
Ta phải chứng minh 1 đúng với n  k 1 . Có nghĩa ta phải chứng minh: u  7 k 1  6. k1  
Từ hệ thức xác định dãy số u và giả thiết quy nạp ta có: n  u
 u  7  7k  6  7  7 k 1  6 (đúng). k1 k    
u  7n  6  u
 14113  Đáp án D. n 2017 u   2
Câu 7. Cho dãy số xác định bởi: 1 
. Số hạng thứ 6 trong dãy số có giá u  5u  6;n  2  n n1 trị là A. 2187,5. B. 10937,5. C. 10936. D. 2186. Lời giải
Ta xét u  a  5u  a  u  5u  4a n n 1   n n 1  3
Kết hợp với đề bài  4a  6  a  2 3  3  Vậy u  5u
 6  u   5u  n n1 n n1  2  2  3 3 7
Đặt v  u 
 v  u   và v  5v n n 1 1 2 2 2 n n 1  7
Suy ra dãy số v là cấp số nhân có v  , công bội q  5 n  1 2 n1 7 n1 3 7 n1 3
 v  v .q  v  .5  u  v   .5   u  10936 Đáp án C. n 1 n 2 n n 2 2 2 6 u   2 0 
Câu 8. Cho dãy số xác định bởi: u   5
. Số hạng thứ 15 trong dãy số 1
u  5u  6u ;n  2  n n1 n2 có giá trị là A. 4733113. B. 4799353. C. 14381675. D. 14381673 Lời giải Xét n n
u  a x  a x với x , x là nghiệm của phương trình 2
x  5x  6  0 n 1 1 2 2 1 2
x  2, x  3  u  a 2n  a 3n 1 2 n 1 2
Với: n=0 u  a  a  2 0 1 2
Với: n=1 u  2a  3a  5 1 1 2 a  1 1 
 u  2n  3n  u  14381675  Ta được Đáp án C. n 15 a   1 2
Câu 9. Cho dãy số xác định bởi: 1 1 1 1 u     ... . n 2 1  2 3 2  2 3 4 3  3 4
n1 n n n1
Số hạng thứ 99 trong dãy số có giá trị là 9 10 A. . B. . C. 1. D. 2. 10 9   * 1 1 k 1 k k   ta có    k   1 k  k k  1
k k  1  k 1  k  k k  1 1 1 1     k   1 k  k k  1 k k  1 1 1 1 Khi k  1    2  2 1 2 1 1 1 Khi k  2    3 2  2 3 2 3 1 1 1 Khi k  3    4 3  3 4 3 4 … … 1 1 1
Khi k  n     n   1 n  n n  1 n n  1
Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được 1 n  1  1 9 u  1  u   u 
 Đáp án A. n n 99 n  1 n  1 10 u   1 Câu 10.
Cho dãy số xác định bởi: 1  n
  1. Số hạng thứ 32 trong 3 u    u  n n1 n
dãy số có giá trị là
A. 246016. B. 246017. C. 216226. D. 216225. Lời giải Ta có: 3 3 u
 u  n  u u  n . n1 n n1 n u  1 1 3 u  u  1 2 1 3 u  u  2 3 2 3 u  u  3 4 3 .............. u u     n 2 n n 3 1 2 u  u  n  3 1 n n 1
Cộng từng vế của n đẳng thức trên:
u  u  u  u  u  ...  u
u  u u  11  2  3 ... n  n n n n n  23  3 3 3 3 1 1 2 1 3 2 1 2 1
 u       n 3 n 3 3 3 3 1 1 2 3 ... 2 1 . n n  1 .n
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: 1  2  3  ...  n    2 2 3 3 3 3 1  4 n n  2 2 1 2 2 32 .31 Vậy u  1   u  1
 246017  Đáp án B. n 4 32 4 u   5 Câu 11.
Cho dãy số xác định bởi: 1 
. Số hạng thứ 2017 trong dãy u
 u  3n  2.  n1 n
số có giá trị là A. 6089330. B. 6089335. C. 6095376. D. 6095381. Lời giải Ta có: u
 u  3n 2  u u  3n 2. n1 n n1 n u  5. 1
u  u  3.1 2. 2 1
u  u  3.2  2. 3 2
u  u  3.3  2. 4 3 ............ u u  3 n  2  2. n 1  n2   u  u  3 n 1  2. n n 1   
Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được: u  5  3 1
  2  3 ... n  1   2n    1. n 3n   1 .n n  n  n   u  5   2 n    n   3 1. 4 1 1 5 2 2
n 13n4  u  5   u
 6095381 Đáp án D. n 2017 2 u   1 Câu 12.
Cho dãy số xác định bởi: 1  . u   
u  3n  1 2.5n ; n  1 n1 n
Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là A. 4882683.  B. 4882683. C. 4  882687,5. D. 4882687,5. Lời giải Ta có u  1 1 1
u  u  3.11 2.5 2 1 2
u  u  3.2 1 2.5 3 2 ... ... u  u  3.     n  1 1 1 2.5n n n 1
Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra
u         n   n  1 2 3 1 1 3 1 2 3 ... 1
1  2 5  5  5  ...  5n   n   n  n
Trong đó     n    1 1 2 3 ... 1  2 Và tổng 1 2 1 5 5 ... 5n A     
là tổng n  1 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ
nhất a  5 , công bội q  5 1 n1 n1 1 q 1 5 5 5n
 A  S  a  A  5.    n1 1 1 q 4  4 4
n 1n  5 5n  1
u  2  n  3  2      2
3n  5n  9  5n n  2  4 4  2 1 u   2
3n  5n  9  5n  u  
 Đáp án A. n  4882683 10 2 u   8 1  Câu 13.
Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 15 trong dãy số có u  u ;n   1 n1  2 n giá trị là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 2 15 2 11 2 16 2 Lời giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra u là một cấp số nhân có u  8 và công n  1 n1 1   n 1 bội q 
nên số hạng tổng quát là 1 4
u  u .q  u  8.    2 n 2 n 1 n  2  415 1  u  2 
 Đáp án C. 15 11 2 u   1 1  Câu 14.
Cho dãy số xác định bởi: u   2 . Số hạng thứ 5525 2
u  2u u 1;n  2  n1 n n1
trong dãy số có giá trị là 1 1 A. 2 5525  5523. B. 2 5525  5524 C.  2
5525  5523 D.  2 5525  5524. 2 2 Lời giải Ta có u  1 1 u  2 2
u  2u  u  1 3 2 1
u  2u  u  1 4 3 2 ... ... u  2u u 1 n n 1  n2
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
u  u  u  2  n1 1 n n 1 
 u  u  n (*) n n 1 
Từ đề bài và (*) ta lại suy ra u  1 1 u  u  1 2 1 u  u  2 3 2 u  u  3 4 3 … … u  u  n 1 n n 1 
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được n  n
u       n     n  n  n    1 1 1 1 2 3 ... 1 1  2 2 2 2 1 u  n  n   u  
 Đáp án C. n  2  1 2  2 5525 5523 5525  2 2 u   1 1  Câu 15.
Cho dãy số xác định bởi:  u
; n  1 . Số hạng thứ 100 trong dãy n u   n1 1u  n
số có giá trị là 1 1 A. 100. B. . C. 99 D. . 100 99 Lời giải Ta có: 1 u 1 1 u 1 1 u    . 2 2 u    . 2 1  u 1  1 2 3 1  u 1 3 1 2 1  2 1 1 u 1 u 1 3 3 u    . 4 4 u    . 4 1  u 1 4 5 1  u 1 5 3 1  4 1  3 4 1
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát u có dạng: u  , n   1.  n   n n
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức 
Đã có:  đúng với n  1 1
Giả sử  đúng khi n  .
k Nghĩa là ta có: u  k k 1
Ta chứng minh  đúng khi n  k 1. Nghĩa là ta phải chứng minh: u  . k1 k  1
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có: 1 1 u 1 k k k u     . k1 1  u 1 k  1 k  1 k 1  k k
Vậy :  đúng khi n  k 1 ,suy ra  đúng với mọi số nguyên dương n. 1 1 u  , n   1 u 
 Đáp án B. n 100 n 100 u  1 Câu 16.
Cho dãy số xác định bởi:  1 . u
 2u  5,n    1 n 1 n
Số hạng thứ 2018 trong dãy số có giá trị là A. 2017 3.2  5. B. 2017 3.2 1. C. 2018 3.2  5. D. 2018 3.2 1. Lời giải  5  Theo đề bài u
 2u  5  u  2 u  n1 n n1  n   2 
Ta tìm số a thỏa mãn u
 a  2 u  a  u  2u  a n1  n  n1 n Mà u  2u  
5 nên ta phải có a  5 n 1 n
Đặt v  u  5  v  u  5  6 và v  2v n n 1 1 n1 n
 v là cấp số nhân có công bội q  2 n  n1 n
 v  v .q  1 6.2
 3.2n  u  v  5  3.2n  5 n 1 n n
Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là u  3.2n  5  u  2018 3.2
 5  Đáp án C. n 2018 u  2 Câu 17.
Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 5000 trong u
 u  2n  1,n    1 n 1 n
dãy số có giá trị là A. 2
5000  3.5000  1. B. 2 5000  1. C. 2
5000  2.5000  1. D. 2 5000  2.5000. Ta có : u  2 1
u  u  2.1 1 2 1
u  u  2.2  1 3 2
u  u  2.3  1 4 3 … … u  u  2. n1   1 n n 1  
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
u  2  21 2 ... n   1   n 1 n n  1 n
Mà 1 2  ...  n     1  2
 u  n  n n  2 1 1 n  1 n
Số hạng thứ 5000 trong dãy số có giá trị là u  2
5000  1  Đáp án B. 500 u   5 Câu 18.
Cho dãy số xác định bởi: 1  . Số hạng thứ 7 2 u   
9u  8n  14n  1; n  1 n1 n
trong dãy số có giá trị là A. 4517185. B. 501868. C. 4517180. D. 501863. Lời giải
Từ đề bài suy ra f n 2
 8n 14n 1 là đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa thức   2
g n  an  bn  c sao cho u
 g n 1  9 u   g n  n1    n    u  a            n 2 1 bn  2 1 c 9 u an bn c n 1  n  2
 u  9u  8an  8b  2a n 8c  b  a n1 n   Mà 2 u
 9u  8n 14n1 nên ta phải có n1 n 2
an   b  a 2 8 8
2 n  8c  b  a  8n  14n  1 8a  8  2
8an  8b  2a 2
n  8c  b  a  8n  14n  1  8
 b  2a  14
8c ba  1  1
 a  1;b  2;c  suy ra gn 2 1
 n  2n  2 2 2 1  1  Do đó  u  n 
 n    u  n  n n  1 2  2 1 9 2 1   2 n  2  1 7 17 Đặt 2
v  u  n  2n 
 v  u   và v  9v n n 1 1 2 2 2 n1 n 17
Suy ra v là cấp số nhân có v  , công bội q  9 n  1 2 n1 17 n1 17 2n2
 v  v .q  v  .9  .3 mà n 1 n 2 2   2 1 2 1 17 2n2 2 1
v  u  n  2n 
 u  v  n  2n   .3  n  2n n n 2 n n  2  2 2 17 2n2 2 1 u  .3
 n  2n   u  4517185 Đáp án A. n 2 2 7