Bài tập ứng dụng Hệ phương trình tuyến tính môn Đại số tuyến tính | Đại học kinh tế Quốc dân

lOMoAR cPSD| 58511332 1
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Câu 1. CÁC KHOẢN VAY Để có được số tiền cần thiết cho việc mở rộng theo kế hoạch, một công ty nhỏ đã
vay ba khoản với tổng trị giá 25,000 đô la. Chủ sở hữu công ty có phải chịu mức lãi suất cho các khoản vay
này lần lượt là 8%, 9% và 10%. Họ đã vay $1,000 nhiều hơn ở mức lãi suất 9% so với mức lãi suất 10%. Tổng
lãi hàng năm của các khoản vay là $2,190. a) Họ đã vay bao nhiêu ở mỗi mức lãi suất?
b) Giả sử chúng ta bỏ điều kiện rằng họ vay thêm $1000 ở mức 9% so với mức 10%. Bạn có thể
nói gì về số tiền được vay ở mức 10%? Lời giải thế nào nếu số tiền vay ở mức 10% là $5,000?
c) Giả sử, ngân hàng đặt tối đa $10,000 với lãi suất thấp nhất 8%. Có thể có một lời giải mà vẫn đáp ứng
tất cả các điều kiện ban đầu hay không? Giải thích tại sao vay $10,000 ở mức lãi suất 8%, $8,000 ở
mức lãi suất 9% và $7,000 ở mức lãi suất 10% không phải là lời giải khả thi cho phần c).
Câu 2. SẢN XUẤT Bread Box Bakery bán ba loại bánh, mỗi loại yêu cầu số lượng nguyên liệu cơ bản được
hiển thị trong ma trận sau. Loại bánh I II III Bột mỳ (cốc) 2 4 2 Nguyên liệu Đường (cốc) Trứng (quả)
Để đáp ứng đơn hàng hàng ngày cho ba loại bánh này, tiệm bánh sử dụng 72 cốc bột mì, 48 cốc đường và 60 quả trứng.
a) Viết ma trận 3 × 1 thể hiện số lượng sử dụng hàng ngày.
b) Gọi số lượng đơn đặt hàng bánh ngọt hàng ngày là ma trận X cấp 3 × 1 với các phần tử là x1, x2 và x3.
Viết phương trình ma trận để xác định X, sử dụng ma trận đã cho và ma trận ở phần a).
c) Giải phương trình phần b để tìm số lượng đặt hàng mỗi ngày của từng loại bánh.
Câu 3. ĐỒ CHƠI Một trăm đồ chơi sẽ được phát cho một nhóm trẻ em. Một quả bóng có giá 2 đô la, một
con búp bê có giá 3 đô la và một chiếc ô tô có giá 4 đô la. Tổng cộng 295 đô la đã được chi cho đồ chơi. lOMoAR cPSD| 58511332 2 a)
Một quả bóng nặng 12 oz, một con búp bê 16 oz và một chiếc ô tô nặng 18 oz. Tổng trọng lượng
của tất cả đồ chơi là 1542 oz. Tìm xem mỗi loại có bao nhiêu món đồ chơi. b)
Giả sử trọng lượng của một quả bóng, búp bê và ô tô lần lượt là 11, 15 và 19 oz. Nếu tổng khối
lượng vẫn là 1542 oz thì lúc đó có bao nhiêu đáp án? c)
Giữ khối lương các đồ chơi như trong phần b), nhưng thay đổi tổng khối lượng thành 1,480 oz.
Lúc này có bao nhiêu đáp án? d)
Đưa ra lời giải cho phần c) có số ô tô nhỏ nhất và lời giải phần c) có số ô tô lớn nhất.
Câu 4. THUÊ LỀU L.L. Bean sản xuất ba kích cỡ lều Ultra Dome: mô hình dành cho hai người, bốn người và
sáu người, có giá lần lượt là 129 đô la, 179 đô la và 229 đô la. Lều dành cho hai người cung cấp không gian
sàn 40 ft2, trong khi mô hình bốn người và sáu người cung cấp không gian sàn lần lượt là 64 ft2 và 88 ft2.
Một đơn đặt hàng gần đây của một tổ chức đưa trẻ em đi cắm trại đã đặt hàng đủ số lều để chứa 200
người và cung cấp 3200 ft2 diện tích sàn. Tổng chi phí của đơn hàng là 8950 đô la và chúng ta muốn biết có
bao nhiêu chiếc lều với kích thước mỗi loại đã được đặt hàng. a) Có bao nhiêu lời giải cho bài toán này?
b) Lời giải với nhiều lều bốn người nhất là gì?
c) Lời giải với những chiếc lều dành cho hai người nhiều nhất là gì?
Câu 5. TRÒ CHƠI LIGHTS OUT CỦA TIGER ELECTRONICS Lights Out bao gồm năm hàng, mỗi hàng có năm nút
đèn đang bật. Khi một nút được nhấn, nó sẽ thay đổi trạng thái bật/tắt của nút đó và trạng thái của tất cả
các nút sát cạnh theo chiều dọc và chiều ngang của nó. Đối với tình huống nhất định, trong đó, một số đèn
sáng và một số đèn tắt, mục tiêu của trò chơi là nhấn các nút cho đến khi tất cả đèn tắt. Người ta chỉ ra
được rằng, đối với bất kỳ dãy đèn nhất định nào, việc giải một hệ phương trình có thể được sử dụng để xác
định một chiến lược tắt đèn.
Hệ phương trình sau đây có thể được sử dụng để giải bài toán cho một phiên bản đơn giản của trò chơi với
2 hàng mỗi hàng gồm 2 nút trong đó lúc đầu tất cả các đèn đều bật: x11 + x12 + x21 = 1 x11 + x12 + x22 = 1 x11 + x21 + x22 = 1 x12 + x21 + x22 = 1
trong đó xij = 1 nếu đèn ở hàng i, cột j đang bật và xij = 0 khi đèn đó đang tắt. Thứ tự các nút được nhấn
không quan trọng, vì vậy chúng ta chỉ tìm kiếm nút nào nên được nhấn. a) Giải hệ phương trình này và xác
định chiến lược để tắt đèn. lOMoAR cPSD| 58511332 3
(Gợi ý: Trong khi thực hiện các phép toán hàng, nếu tìm thấy số lẻ, hãy thay ngay giá trị này bằng số 1;
nếu tìm thấy số chẵn thì ngay lập tức thay số đó bằng số 0. Đây được gọi là số học modulo 2, và điều này là
cần thiết trong các bài toán xử lý công tắc bật/tắt.)
b) Giải phương trình với vế phải được đổi thành (0,1,1,0).
Câu 6. CÂU CHUYỆN CHIA SỮA Bảy chú lùn đang ăn sáng và Bạch Tuyết vừa rót cho mỗi người họ một ít sữa.
Trước khi uống, các chú lùn thực hiện một trò chơi. Đầu tiên, chú lùn số 1 chia đều sữa của mình vào các
cốc của các anh em trai mình (không để lại gì cho mình). Sau đó, chú lùn số 2 cũng làm tương tự với sữa của
mình. Quá trình tiếp tục diễn ra quanh bàn cho đến khi chú lùn số 7 chia sữa của mình theo cách này. (Lưu
ý rằng, chú lùn số 7 được đặt tên là Ngốc nghếch!) Cuối cùng, mỗi chú lùn có lượng sữa chính xác như lúc
ban đầu! Nếu tổng lượng sữa là 21 ounce thì lúc đầu mỗi chú lùn được Bạch Tuyết rót cho bao nhiêu sữa?
Đây có phải là cách phân phối sữa duy nhất có thể xảy ra hay bài toán này có nhiều lời giải?
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: MA TRẬN VÀ PHÉP TOÁN
Câu 7. Khi bắt đầu một thí nghiệm trong phòng thí nghiệm, năm con chuột con có chiều dài lần lượt là 5.6,
6.4, 6.9, 7.6 và 6.1 cm và nặng lần lượt là 144, 138, 149, 152 và 146 g. a) Viết một ma trận bằng cách sử dụng thông tin này. b)
Vào cuối hai tuần, độ dài của chúng (tính bằng cm) là 10.2, 11.4, 11.4, 12.7 và 10.8 và trọng lượng
(tính bằng gam) của chúng là 196, 196, 225, 250 và 230. Viết ma trận với giá trị thông tin này. c)
Sử dụng phép trừ ma trận và các ma trận tìm được trong phần a và b để viết một ma trận đưa
ra lượng thay đổi về chiều dài và trọng lượng cho mỗi con chuột. d)
Trong tuần thứ ba, những con chuột phát triển theo số lượng được hiển thị trong ma trận sau: Chiều dài "1.8 1.5 2.3 1.8 2.0# Cân nặng 25 22 29 33 20
Chiều dài và trọng lượng của chúng vào cuối tuần này là bao nhiêu? lOMoAR cPSD| 58511332 4
Câu 8. Kerry ngồi làm bài kiểm tra trắc nghiệm gồm sáu câu hỏi. Mỗi câu hỏi có bốn đáp án chọn: A, B, C
hoặc D. Anh ta đã chọn D cho câu trả lời của mình cho câu hỏi đầu tiên. Sau đó, anh ta xác định câu trả lời
cho các câu hỏi còn lại bằng cách theo ma trận chuyển tiếp Câu hỏi hiện tại A B C D A 1 0 1 0 Câu hỏi tiếp theo B C D 0 0 0 0
Tìm câu trả lời mà anh ta đưa ra cho sáu câu hỏi kiểm tra, bắt đầu bằng D.
Câu 9. Có ba cửa hàng tiện lợi ở Folsom. Tuần này, cửa hàng I đã bán 88 ổ bánh mì, 48 lít sữa, 16 lọ bơ đậu
phộng và 112 lb thịt nguội. Cửa hàng II đã bán 105 ổ bánh mì, 72 lít sữa, 21 lọ bơ đậu phộng và 147 lb thịt
nguội. Cửa hàng III đã bán 60 ổ bánh mì, 40 lít sữa, không có bơ đậu phộng và 50 lb thịt nguội.
a. Sử dụng ma trận để thể hiện thông tin bán hàng của ba cửa hàng.
b. Trong tuần tiếp theo, lượng bán các sản phẩm này tại cửa hàng I tăng 25%; doanh số bán hàng ở
cửa hàng II tăng 1/3 và lượng bán hàng ở cửa hàng III tăng 10%. Viết ma trận số lượng bán cho tuần đó.
c. Viết ma trận biểu thị tổng lượng bán hàng trong khoảng thời gian hai tuần.
d. Viết một ma trận gồm các số mà theo đó lượng bán hàng ở mỗi cửa hàng sẽ được nhân lênđể phản
ánh thực tế là lượng bán hàng tăng trong tuần tiếp theo lần lượt là 25%, 1/3 và 10% ở các cửa hàng I, II và
III, như được mô tả ở phần b.
e. Nhân ma trận biểu thị thông tin bán hàng ở phần a với ma trận tìm được ở phần d để tìm
được doanh thu của cả ba cửa hàng trong tuần thứ hai (phần b).
Câu 10. Giả sử một nhà máy được yêu cầu sản xuất ba loại sản phẩm, chúng ta sẽ gọi chúng là
P1,P2,P3. Giả sử đơn đặt hàng mua sau đã được nhận: P1 = 7, P2 = 12 và P3 = 5. Biểu diễn đơn đặt hàng này
bằng một ma trận hàng và gọi nó là P: lOMoAR cPSD| 58511332 5 P = h 7 12 5 i
Để sản xuất mỗi sản phẩm, cần sử dụng nguyên liệu thô của bốn loại. Gọi các nguyên liệu thô này là M1,M2,M3
và M4. Ma trận Q dưới đây cho biết lượng nguyên liệu cần thiết cho mỗi sản phẩm:
Giả sử chi phí cho mỗi loại nguyên liệu M1,M2,M3 và M4 lần lượt là $10, $12, $15 và $20. Ký hiệu ma trận chi phí C là: 10 C = 12 15 20
Tính toán và giải thích mỗi kết quả sau đây: (a) PQ (b) QC (c) PQC
Câu 11. Một nhà thầu xây dựng ba loại nhà, mô hình A, B và C, với sự lựa chọn của hai phong cách: Tây Ban
Nha và hiện đại. Ma trận P cho biết số lượng từng loại nhà được quy hoạch cho một phân khu 100 ngôi nhà
mới. Số tiền cho mỗi vật liệu ngoại thất phụ thuộc chủ yếu vào phong cách của ngôi nhà. Những số tiền này
được thể hiện trong ma trận Q. Bê tông tính bằng mét khối, gỗ tính bằng đơn vị 1,000 feet ván, gạch tính
bằng đơn vị nghìn và ván lợp tính bằng đơn vị feet vuông.
Ma trận R đưa ra chi phí tính bằng đô la cho mỗi loại vật liệu. Tây Ban Nha Hiện đại 0 30 Mô hình AMô = P 10 20 hình B Mô 20 20 hình C Giá cho mỗi đơn vị lOMoAR cPSD| 58511332 6 Bê tông Gỗ Gạch Ván lợp Bê tông Tây Ban Nha; Gỗ = R Hiện đạiGạch Ván lợp a) Tổng chi phí
của các vật liệu này cho mỗi mô hình là bao nhiêu?
b) Số lượng mỗi loại trong bốn loại nguyên liệu phải được đặt hàng là bao nhiêu?
c) Tổng chi phí cho vật liệu ngoại thất là bao nhiêu?
d) Giả sử nhà thầu xây dựng một số lượng nhà như nhau trong năm phân khu. Tính tổng số tiền
của mỗi vật liệu ngoại thất của mỗi mô hình cho cả năm phân khu?
Câu 12. ĐIỂM TỔNG KẾT Hai bài thi giữa kỳ và bài thi cuối kỳ quyết định điểm tổng kết của một khóa học tại
một trường cao đẳng nghệ thuật. Các ma trận dưới đây thể hiện điểm của sáu sinh viên và hai hệ thống điểm có thể áp dụng. Midterm 1 Midterm 2 Final Exam 78 82 80 Sinh viên 1 Hệ thống 1 Hệ thống 2 84 88 85 Sinh viên 2 25 0.20 Midterm 1 A = 92 93 90 Sinh viên 3 ; 25 0 Midterm 2 88 86 90 Sinh viên 4 50 0Final Exam 74 78 80 Sinh viên 5 96 95 98 Sinh viên 6
a. Mô tả các hệ thống điểm trong ma trận B. lOMoAR cPSD| 58511332 7
b. Tính điểm số của sáu học sinh (đến số nguyên gần nhất) bằng hai hệ thống điểm.
c. Có bao nhiêu học sinh nhận được điểm “A” trong mỗi hệ thống điểm? (Giả sử điểm 90 hoặc cao hơn là “A”)
Câu 13. PHÂN TÍCH CHI PHÍ Công ty kẹo Mundo sản xuất ba loại kẹo sô cô la: Cheery
Cherry, Mucho Mocha và Almond Delight. Công ty sản xuất sản phẩm của mình tại San Diego, Mexico City
và Managua bằng hai nguyên liệu chính: sô cô la và đường. a)
Mỗi kg Cheery Cherry cần 0,5 kg đường và 0,2 kg sô cô la; mỗi kg Mucho Mocha cần 0,4 kg đường
và 0,3 kg sô cô la; và mỗi kg Almond Delight cần 0,3 kg đường và 0,3 kg sô cô la. Biểu diễn thông tin này bởi
một ma trận, đặt tên là A, gắn ý nghĩa cho các dòng và cột. b)
Giá 1 kg đường là 4 USD ở San Diego, 2 USD ở Mexico City và 1 USD ở Managua. Giá 1 kg sôcôla là
3 USD ở San Diego, 5 USD ở Mexico City và 7 USD ở Managua. Biểu diễn thông tin này bởi một ma trận, đặt
tên là C, sao cho khi bạn nhân nó với ma trận ở phần a, bạn sẽ có được một ma trận biểu thị chi phí nguyên
liệu để sản xuất từng loại kẹo ở mỗi thành phố. c)
Chỉ một trong hai tích AC và CA là có ý nghĩa. Xác định đó là ma trận nào, tính tích và mô
tả ý nghĩa của các phần tử. d)
Từ câu trả lời của bạn cho phần c, chi phí kết hợp giữa đường và sô cô la để sản xuất 1 kg Mucho
Mocha ở Managua là bao nhiêu? e)
Mundo Candy cần sản xuất ngay một lô hàng đặc biệt gồm 100 kg Cheery Cherry, 200 kg Mucho
Mocha và 500 kg Almond Delight và quyết định chọn một nhà máy để đáp ứng toàn bộ đơn hàng.
Sử dụng phép nhân ma trận để xác định ở thành phố nào tổng chi phí đường và sô-cô-la để sản xuất đơn hàng là nhỏ nhất?
Câu 14. DỊCH CHUYỂN ĐIỂM TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC Trong hệ trục tọa độ Đề
các, ta có thể sử dụng phép nhân ma trận để tìm vị trí mới của điểm M(x,y) khi dịch ngang h đơn vị và dịch
dọc k đơn vị như sau (h > 0: dịch sang phải, h < 0: dịch sang trái; k > 0 dịch lên trên, k < 0: dịch xuống dưới): • Sử dụng ma trận: 0 hk A = 10 1 0 1 0
• Biểu diễn điểm M(x,y) bởi ma trận cột: x lOMoAR cPSD| 58511332 8 M = y 1
• Tìm ma trận cột biểu diễn điểm M0(x0,y0) bằng cách tính tích: M0 = AM. y h M x k M 0 a)
Lập ma trận tìm vị trí mới của điểm M khi dịch ngang sang phải 3 đơn vị, dịch dọc xuống dưới 2 đơn vị. b)
Biết rằng sau khi sử dụng ma trận lập được ở ý a) vị trí mới của điểm M(x,y) sau khi dịch chuyển là
M0(5,−3). Hãy sử dụng ma trận nghịch đảo tìm vị trí ban đầu của điểm M(x,y) (tìm
M = A−1M0).
c) Tìm ma trận biến đổi một điểm thành điểm đối xứng của nó qua đường thẳng y = x.