Bài tập Vật lý thống kê | Môn Vật lý thống kê | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài tập Vật lý thống kê | Môn Vật lý thống kê | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu gồm 15 trang giúp bạn tham khảo ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.

42 21 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển

Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của

phân bố Maxwell) :

Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng :

( , ),( , ),( , )

x x y y z z

v v dx v v dy v v dz

Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng

( , )v v dv

Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng

( , )d

Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau :

( ) ( )

8kT

3( ) ( )

2 2 2 2

( ) ( )m v v kT

e) Vận tốc có xác suất lớn nhất :

Hướng dẫn

 Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là :

( ) ( , , )

dW v e dv i x y z

 Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là :

()

dW v e v dv

 Xác suất để động năng của hạt nằm trong khoảng đã cho là :

()

dW e d

a) Ta có

()

n n n

v v dW v v e dv

Đặt

mv n

mv kT kT

x v e dv x e dx

kT m m

. Từ đó ta được :

kT kT

v x e dx

2 2 2 2

Trong đó :

()

a x e dx

là hàm Gamma.

b) Sử dụng kết quả câu a) khi

n 1

, ta có :

()

kT kT

2 2 8

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

c) Ta có

( ) . ( ) ( )v v v v v v v v

2 2 2 2 2

. Theo câu b) ta đã có

Áp dụng kết quả câu a) khi

n 2

, ta có

()

kT kT kT

m m m

2 2 5 2 2 3

. Từ

đó ta tìm được :

()

kT kT kT

m m m

3 8 8

d) Ta có

.v v v v v v v v

2 2 2

2 2 4 2 2 2 4 2

. Áp dụng kết quả câu a) với

n 2

và

n 4

ta có :

()

kT kT

2 2 5 3

và

()

kT kT

. Từ đó ta tìm được :

kT kT

m v v kT

2 2 2

1 3 3

e) Từ biểu thức của xác suất

()

dW v v e dv

, ta thấy để xác xuất

()dW v

cực đại thì hàm

()

f v v e

phải đạt cực đại.

Ta có :

()

mv mv

m mv m mv

kT kT

kT kT kT kT

f v v e ve

2 4 2

. Từ đó

suy ra :

( ) ,

f v v v

. Lập bảng biến thiên của

()fv

0 0 0

()fv

max

0 0

Từ đó ta thấy rằng

()fv

đạt cực đại khi

, nói cách khác vận tốc có xác suất lớn

nhất là

Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm

Gamma :

( ) ( ) ( ), ( ) ! ( )a a a a n n n1 1 1

và

( )=

. Khi

đó ta có :

( ) ! , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 3 3 3 3 1 3 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

2 1 1 1 1

và

( ) ( ) ( )=

7 15

5 5 5

2 2 2 2 4

.Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ

sử dụng công thức sau :

()

m ax

x e dx

Bài 2. Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị

trung bình của năng lượng của nó .

Hướng dẫn :

Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng

( , )

H p q

p q Ae

. Đối với dao động tử điều

hòa tuyến tính

và

( , )

H x p E

là năng lượng của dao động tử , do

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

đó phân bố Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng :

()

E Ae

. Từ điều

kiện chuẩn hóa

()E dE

, ta có :

()

kT kT

A e dE A kT e

.AkT 1

, hay

. Do đó :

()

. Năng lượng trung bình :

()

E E E dE Ee dE

. Lấy tích phân từng phần ta được :

( . | ) . |

E E E E

kT kT kT kT

E kT Ee kT e dE e d kT e kT

Bài 3. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm

nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ

thức :

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :

H cp

. Tích phân trạng thái của hệ :

()

!( ) !( )

kT kT

Z e d dr e dp

(1)

Mặt khác :

()

dr V

là thể tích của hệ

kT kT

e dp e p dp

, sử dụng công thức

n ax

x e d x

ta tìm được :

e dp

. Thay vào (1) ta được :

!( ) !( )

N N N

kT kT

Z V V V T

Trong đó :

!( )

Gọi

là áp suất của hệ, ta có :

ln ln ln

NkT

V V V

P kT NkT V T3

Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là :

PV NkT

Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng

nhiệt động khác như : năng lượng tự do

, entropy

, nội năng

, nhiệt dung đẳng tích

, thế Gibbs , enthalpy

, nhiệt dung đẳng áp

. Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức

liên hệ giữa tích phân trạng thái

và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với

bài tập trên ta có :

ln ln ln lnF kT Z NkT V T3

ln ln ln ln .

T T T

S k Z kT Nk V T NkT

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

Hay

ln lnS S Nk V Nk T

với

lnS Nk Nk

ln ln ln

U F TS kT NkT V T NkT

C Nk3

ln ln lnF PV NkT V T NkT3

H U PV NkT NkT NkT34

C Nk4

Bài 4. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn

nguyên tử gồm

nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ

với nhau bởi hệ thức :

( : )cp c const

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :

H cp

. Tích phân trạng thái của hệ :

()

!( ) !( )

kT kT

Z e d dr e dp

(1)

Mặt khác :

()

dr V

là thể tích của hệ

cp cp

kT kT kT

kT kT

e dp e p dp e

. Thay vào (1) ta được :

!( ) !( )

N N N

kT kT

Z V V V T

Trong đó :

!( )

. Gọi

là áp suất của hệ, ta lại có :

ln ln ln

NkT

V V V

P kT NkT V T

(1)

Năng lượng của hệ

ln ln ln

U kT NkT V T NkT

(2)

Từ (1) và (2) ta có ngay :

U PV

Các đại lượng nhiệt động khác :

ln ln ln lnF kT Z NkT V T

ln ln ln ln .

T T T

S k Z kT Nk V T NkT

Hay

ln lnS S Nk V Nk T

với

lnS Nk Nk

C Nk

;

ln ln lnF PV NkT V T NkT

H U PV NkT NkT NkT2

;

C Nk2

Bài 5. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm

nguyên

tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :

H cp

. Tích phân trạng thái của hệ :

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

()

!( ) !( )

kT kT

Z e d dr e dp

(1)

Mặt khác :

()

dr V

là thể tích của hệ

kT kT

e dp e p dp

. Đặt :

kT kT

kT c c

x p x p dp x dx

1 4 3 4

1 4 2 1 4

Do đó :

()

kT kT

e dp x e dx

3 4 3 4

.Thay vào (1) ta được :

( ) ( )

!( ) !( )

N N N

kT kT

Z V V V T

3 4 3 4

Trong đó :

()

!( )

Gọi

là áp suất của hệ, ta có :

ln ln ln

NkT

V V V

P kT NkT V T

Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là :

PV NkT

Các đại lượng nhiệt động khác :

ln ln ln lnF kT Z NkT V T

ln ln ln ln .

T T T

S k Z kT Nk V T NkT

Hay

ln lnS S Nk V Nk T

với

lnS Nk Nk

ln ln ln

U F TS kT NkT V T NkT

C Nk

;

ln ln lnF PV NkT V T NkT

H U PV NkT NkT NkT

;

C Nk

Bài 6. Xác định năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm

hạt chứa trong bình có

thể tích

, biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ

thức :

0 ( , )ap a

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :

H ap

. Tích phân trạng thái của hệ :

()

!( ) !( )

kT kT

Z e d dr e dp

(1)

Mặt khác :

()

dr V

là thể tích của hệ

kT kT

e dp e p dp

. Đặt :

kT kT

kT a a

x p x p dp x dx

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

Do đó :

()

kT kT

e dp x e dx

.Thay vào (1) ta được :

( ) ( )

!( ) !( )

N N N

kT kT

Z V V V T

3 4 3

Trong đó :

()

!( )

Gọi

là áp suất của hệ, ta lại có :

ln ln ln

NkT

V V V

P kT NkT V T

Năng lượng của hệ :

ln ln ln

U kT NkT V T NkT

Các đại lượng nhiệt động khác :

ln ln ln lnF kT Z NkT V T

ln ln ln ln .

T T T

S k Z kT Nk V T NkT

Hay :

ln lnS S Nk V Nk T

với

lnS Nk Nk

C Nk

;

ln ln lnF PV NkT V T NkT

H U PV NkT NkT NkT

;

C Nk

Bài 7. Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều

cao

, diện tích đáy ở trong trọng trường ở nhiệt độ

,biết rằng số hạt khí là

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ

H mgz

. Tích phân trạng thái của hệ :

()

!( ) !( )

mgz p

kT kT mkT

Z e d e dr e dp

(1)

Mặt khác :

( ) ( )

( ) | ( )

mgh

mgz

mgz mgz

kT kT

kT kT kT

mg mg

e dr dxdy e dz e e

()

mkT mkT

e dp p e dp mkT

2 3 2

. Thay vào (1) ta được :

[ ( )( ) ]

!( )

N mgh

Z e mkT

[ ( )( ) ] ( )

!( )

mgh mgh

N N N N

kT kT

e mkT T e

3 2 5 2

1 2 1

Trong đó :

!( )

. Từ đó ta tìm được :

Năng lượng tự do :

ln [ ln ln( ) ln ]

mgh

F kT Z NkT T e

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

Nội năng :

[ ln ln( ) ln ]=

mgh

U kT NkT T e

mgh

mgh mgh

kT kT

mgh Nmgh

NkT NkT

 Nhiệt dung :

()

mgh

mgh mgh

kT kT

Nmgh

C NkT Nk Nmgh

Hay :

()

mgh mgh

kT kT

mgh mgh

mgh

kT kT

C Nk Nk

Bài 8. Trong bình hình lập phương cạnh

có chứa

phân tử khí lý tưởng ở nhiệt độ

Bình khí được đặt trong trọng trường. Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của bình

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ

H mgz

. Tích phân trạng thái của hệ :

()

!( ) !( )

mgz p

kT kT mkT

Z e d e dr e dp

(1)

Mặt khác :

()

( ) |

mgL

L L L

mgz

mgz mgz

kT kT

kT kT kT

mg mg

e dr dx dy e dz L e L e

0 0 0

()

mkT mkT

e dp p e dp mkT

2 3 2

. Thay vào (1) ta được :

[ ( )( ) ]

!( )

N mgL

Z L e mkT

2 3 2

[ ( )( ) ] ( )

!( )

mgL mgL

N N N N N

kT kT

L e mkT L T e

2 3 2 2 5 2

1 2 1

Trong đó :

[]

!( )

. Áp suất tác dụng lên mặt trên của bình

là :

ln lnZZ

V L dV

P kT kT

. Vì

nên :

dV L dL

Từ đó ta có :

[ ln ln ln( ) ln ] [ + ]=

mgL

NkT NkT

mgL

P L T e

( / )

[ + ]= [ + ]

mgL mgL

kT kT

mgL kT

NkT NkT

L kT V

2 1 2 1

(với

)

Bài 9. Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm

hạt khối lượng

và

hạt khối lượng

chứa

trong một bình hình trụ có chiều cao

và điện tích đáy . Bình khí được đặt trong trọng

trường với gia tốc

. Tìm áp suất đặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm .

Hướng dẫn : Gọi

là tích phân trạng thái của hạt loại

( , )jj 12

, ta có :

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

()

!( ) !( )

j j i

H m gz

m kT

kT kT

j j i i

Z e d e dr e dp

Mặt khác :

( ) ( )

( ) | ( )

j i j j m gh

m gz m gz m gz

kT kT

kT kT kT

m g m g

e dr dxdy e dz e e

()

m kT m kT

e dp p e dp m kT

2 3 2

. Thay vào (1) ta được :

[ ( )( ) ]

!( )

m gh

Z e m kT

[ ( )( ) ] ( )

!( )

j j j

m gh m gh

N N N

kT kT

e m kT T e

1 2 1

Trong đó :

[]

!( )

.Tích phân trạng thái của hệ là :

. Do đó áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là :

ln ln

V V h dV

P kT kT kT

Vì thể tích của hình trụ là :

nên

. Từ đó ta tìm được :

[ ln ln( ) ln ]

m gh

N m g

kT kT e

h kT

P N T e

Hay :

m gh

N m g

 Nội năng của hệ :

U kT kT

= [ ln ln( ) ln ] [ ]

m gh

j j j

kT N T e kT N

Hay :

()

m gh

N m gh

U N kT

. Gọi

là động năng trung bình của hệ, theo định lý

phân bố đều động năng ta có :

()

E N N kT N kT

. Từ đó suy ra thế

năng trung bình của hệ là :

()

m gh

N m gh

t d j

E U E N kT

(2)

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

 Nếu gọi

là tọa độ của khối tâm, ta có :

E Mgz

(3) , với

M N m N m

1 1 2 2

là khối lượng của hệ. Từ (2) và (3) ta tìm được :

()

( ) ( )

m gh

N m gh

z N kT

Mg N m N m g N m N m g

1 1 2 2 1 1 2 2

Bài 10. Biết rằng động năng của chuyển động quay của phân tử 2 nguyên tử đối với khối

tâm của chúng bằng :

sin

()

ở đây

là moment quán tính đối với khối

tâm phân tử còn

,pp

là xung lượng suy rộng ứng với các tọa độ cầu

. Hãy tính :

tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển động quay của phân tử hai nguyên tử

Hướng dẫn : Tích phân trạng thái của chuyển động quay là :

Z e d

, trong đó :

( , , , <+ )d d d dp dp p p0 0 2

. Từ đó ta có :

sin

IkT I kT

Z d d e dp e dp

. Sử dụng tích phân Poisson :

e dx

, ta được :

IkT

e dp IkT

và

sin

sin sin

I kT

e dp I kT IkT

. Thay vào biểu thức của

có :

( ) sin

Z IkT d d IkT

 Entropy của hệ :

ln ln( ) ln( )

= ln (8 ) ln( ) ln [ln( ) ]

S k Z kT k IkT kT IkT

k IkT kT k IkT k k T k Ik

2 2 2

8 8 1

 Nhiệt dung :

{ ln [ ln( ) ]} .

T T T

C T T k T k Ik T k

Bài 11. Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính đáy

, chiều cao

. Biết rằng hình

trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc .

a) Xác định áp suất của khí tác dụng lên thành bình.

b)Tìm nội năng của khí.

Hướng dẫn : Khi hình trụ trụ quay quanh trục với vận tốc góc , các hạt khí trong hình

trụ sẽ quay theo với vận tốc góc . Gọi

là khoảng cách từ hạt khí tới trục hình trụ, lực

ly tâm tác dụng lên hạt là :

f m r

. Lực này liên kết với thế năng ly tâm

()

theo

hệ thức :

()

lt lt lt lt

f du f dr m rdr u r

.Từ đó suy

ra, hàm Hamilton của hệ là :

[ ( )] ( )

i i i

p p m r

lt i

H u r

2 2 2 2

2 2 2

 Tích phân trạng thái của hệ :

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

!( ) !( )

m r p

kT kT mkT

Z e d e dr e dp

2 2 2

 Sử dụng hệ tọa độ trụ

( , , )rz

, ta có :

| ( )

m r m r m R

hkT

kT kT kT kT

e dr d dz e rdr h e e

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0 0 0



()

mkT mkT

e dp p e dp mkT

2 3 2

 Thay vào biểu thức của

ta nhận được :

!( )

[ ( )( ) ] ( )

N m R m R

N N N

hkT

kT kT

Z e mkT T e

2 2 2 2

3 2 5 2

1 2 1

trong đó :

!( )

[ ( ) ]

a) Áp suất tác dụng lên thành bình :

ln lnZZ

V R dV

P kT kT

Vì

V R h

nên

dV hR

dV hRdR

. Do đó :

[ ln ln( ) ln ]

kT NkT NkT kT

Rh R Rh R Rh

P T e

2 2 2 2

Hay :

( / )

m R kT

NkT

b) Nội năng của khí :

[ ln ln( ) ln ]

U kT NkT T e

[]

NkT

, hay :

Nm R

U NkT

Bài 12. Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường đều, biết rằng gia

tốc trọng trường là

, khối lượng một phân tử là

và nhiệt độ là

Hướng dẫn. Gọi

là số hạt của hệ , thế năng của hệ là :

E mgz

. Từ đó suy ra

E mgz

(1) . Nếu gọi

là tọa độ khối tâm của hệ, ta lại có :

E Mgz

(2),

trong đó

M Nm

là khối lượng của hệ. Từ (1) và (2) ta được :

z mgz

Nmg

(3)

Để tính

ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann trong trường lực. Biểu thức của hàm phân

bố Boltzmann có dạng :

()

mgz

z Be

. Từ điều kiện chuẩn hóa:

()z d z

, ta có :

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

( ) |

mgz mgz

kT kT

mg mg kT

B e dz B e B B

Do đó :

()

mgz

. Từ đó ta tìm được :

( ) ( | )

mgz mgz mgz

mg mg

kT kT

kT kT kT

i i i i

kT kT mg mg

z z z dz ze dz ze e dz

0 0 0

mgz

kT kT

mg mg

. Thay giá trị này vào (3) ta có :

Bài 13. Khảo sát hệ gồm N dao động tử tuyến tính cổ điển với khối lượng

và tần số .

Hãy tính tích phân trạng thái của hệ, từ đó xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng và

nhiệt dung của hệ.

Hướng dẫn. Hàm Hamilton của hệ là :

()

p m x

2 2 2

. Tích phân trạng thái :

!( )

N m x p

kT mkT

Z e dx e dp

2 2 2

. Sử dụng tích phân Poisson :

e dx

, ta được :

e dx

và

mkT

e dx mkT

Từ đó suy ra :

!( ) !( )

[ ] .

kT kT

N m N

Z mkT T

Với

!( )

 Nội năng :

(ln ln )

U kT NkT T NkT

 Nhiệt dung :

C Nk

Bài 17. Sử dụng định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý virial dưới

dạng:

, tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà tuyến tính.

Hướng dẫn . Hàm Hamilton của dao động tử là :

. Do đó, năng

lượng trung bình của dao động tử là :

(1). Theo định lý phân bố

đều động năng ta có :

2 2 2

(2). Vì

lim

nên

lim

. Do đó theo định lý virial, ta có :

. Từ biểu thức của

, ta

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

lại có :

m x m x kT

2 2 2 2

2 2 2 2 2

(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :

kT kT

E kT

Bài 18. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng.

()u x kx

Hướng dẫn: Hàm hamilton của dao động tử :

H kx E

. Do đó, năng lượng

trung bình là :

E kx

(1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có :

2 2 2

(2). Vì

lim

nên

lim

. Do đó theo định lý

virial, ta có :

. Từ biểu thức của

, ta lại có :

x x kx kx

Từ đó suy ra :

kT kT

x kx kx

2 2 4

(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :

kT kT kT

2 4 4

Bài 19. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong

trường lực có thế năng

()

U q q

(

: số tự nhiên, : hằng số dương).

Hướng dẫn: Hàm hamilton của hạt :

H q E

. Do đó, năng lượng trung

bình là :

(1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có :

2 2 2

(2). Vì

lim

nên

lim

. Do đó theo định lý

virial, ta có :

. Từ biểu thức của

, tacó :

q q n q n q

2 1 2

Từ đó suy ra :

kT kT

q n q q

2 2 2

(3). Thay (2), (3) vào (1) ta được :

kT kT kT

2 2 2

Bài 20. Chứng minh các hệ thức sau :

F kT

( khi )

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có :

( ) ( )

( , )

i i i

H H H

q q Z q

F F q p d F e dq dp

[]

j j i

dp dq F e dq

(1)

Lấy tích phân từng phần ta có :

H H H

kT kT kT

F e dq kT F e kT e dq

Vì

lim

nên

lim .

Fe 0

kT F e 0

. Do đó :

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

kT kT

F e dq kT e dq

(2). Thay (2) vào (1) ta được :

()

[ ] ( , )

i i i i

H F F F

j j i

q Z q q q

j j i

F dp dq kT e dq kT q p d kT

F kT

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có :

( ) ( )

( , )

i i i

H H H

p p Z p

F F q p d F e dq dp

[]

j j i

dq dp F e dp

(1)

Lấy tích phân từng phần ta có :

H H H

kT kT kT

F e dp kT F e kT e dp

Vì

lim

nên

lim .

Fe 0

kT F e 0

. Do đó :

kT kT

F e dp kT e dp

(2). Thay (2) vào (1) ta được :

()

[ ] ( , )

i i i i

H F F F

j j i

p Z p p p

j j i

F dq dp kT e dp kT q p d kT

Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – thống kê lượng tử .

Bài 1. Khảo sát hệ N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập

a) Tính năng lượng tự do và entropy của

dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập.

b) Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung của

dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập.

Hướng dẫn : Gọi

là tổng thống kê của hệ, ta có :

, trong đó

là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến

tính là :

( ) ( , , ,...)

0 1 2

nên, ta có :

()

sh( )

kT kT kT

kT kT kT kT

e e e

Z e e e e

1 1 1

Từ đó ta nhận được :

sh( )

[]

a) Năng lượng tự do của dao động tử là :

ln ln[ sh( )]

F kT Z NkT

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

Entropy của dao động tử :

ch( )

sh( )

ln sh( ) ln sh( )

T T kT kT

S NkT Nk NkT

hay :

ln sh( ) coth( )

kT kT kT

S Nk Nk

b) Năng lượng trung bình :

= coth

E F TS

Nhiệt dung

sh( ) sh( )

coth( ) .( ).

kT kT

T T kT kT

C Nk

2 2 2

2 2 2 2

Bài 2. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ

dao động tử điều hoà hai chiều

độc lập có các mức năng lượng

1()

suy biến bội

1()

Hướng dẫn : Gọi

là tổng thống kê của hệ, ta có :

, trong đó

()

Z g e

là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao

động tử điều hòa hai chiều là :

( ) ( , ...)

nn1 0 1

có bội suy biến

()

gn1

nên, ta có :

()

sh( )

( ) [ ]

Z n e

Từ đó ta nhận được :

sh( )

[]

 Năng lượng trung bình của hệ :

ch( )

sh( )

ln[ sh( )]=

T T kT

E kT NkT NkT

2 2 2

Hay :

coth

 Nhiệt dung :

sh sh

coth

kT kT

T T kT kT

C N N Nk

2 2 2

Bài 3. Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao động tử 3 chiều mà các mức

năng lượng

suy biến bội

( )( )

()

Hướng dẫn : Gọi

là tổng thống kê của hệ, ta có :

, với

()

Z g e

là

tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều

là:

( ) ( , ...)

có bội suy biến

( )( )

()

nên, ta có :

()

( )( )

sh( )

[]

Từ đó ta tìm được :

sh( )

[]

 Năng lượng trung bình của hệ :

ch( )

sh( )

ln[ sh( )]=

T T kT

E kT NkT NkT

2 2 2

3 2 3

Hay :

coth

 Nhiệt dung :

sh sh

coth

kT kT

T T kT kT

C Nk

2 2 2

3 3 1 1

2 2 2 2

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

Bài 4. Xác định năng lượng trung bình của hạt có các mức năng lượng không suy biến :

0 1 1 ( : ; , , ..., )const n

Hướng dẫn . Tổng thống kê của hạt

kT kT

Z e e

Năng lương trung bình :

[ln( ) ln( )]

kT kT

E kT kT e e

[]

kT kT

kT kT kT kT

kT kT

e e e e

1 1 1 1

Bài 5. Nếu hạt có spin 1/2 đặt trong từ trường

thì các mức năng lượng của nó tách làm

2 :

và

tương ứng với các moment từ - và + song song hay đối song với từ

trường

. Giả sử hệ gồm

hạt như thế được đặt trong từ trường

ở nhiệt độ

. Sử

dụng phân bố chính tắc Gibbs , xác định nội năng, nhiệt dung, moment từ của hệ.

Hướng dẫn : Gọi

là tổng thống kê của hệ, ta có :

, trong đó

là tổng thống kê của một hạt. Vì hạt chỉ có hai mức năng lượng là

, HH

nên :

kT kT

Z e e

. Do đó tổng thống kê của hệ là

[2ch( )]

 Năng lượng của hệ :

ln[ ch( )]= ( ) .th

H H H

T T kT kT

E kT NkT NkT N H

2 2 2

 Nhiệt dung của hệ :

ch ch

.( )

kT kT

T kT

C N H Nk

2 2 2

 Moment từ trung bình của hệ :

, trong đó

là moment từ trung bình cho một

hạt. Mặt khác, xác suất để hạt ở trạng thái với moment từ bằng

là

()

Do đó momen từ trung bình của một hạt là :

()

z i i

. Vì moment từ của một

hạt chỉ có thể nhân 2 giá trị bằng và nên :

sh( )

ch( ) ch( )

( ) ( ) .th( )

kT kT

e e H

Từ đó ta nhận được moment từ trung binh của hệ là :

.th( )

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/15

| | Tải xuống

Preview text:

TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của phân bố Maxwell) :
Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng :
(v , v
dx),(v , v
dy),(v , v dz) x x y y z z TAILIEUHUST.COM  TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng ( , v v dv).
Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng ( , d )
Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau : n /2 n 2 2kT n 3 a) v ( ) (n 1) TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM m 2 TAILIEUHUST.COM b) 8kT v m c) 2 kT 8 (v v) 3 ( ) m TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 3 d) 1 2 2 2 2
( m) v v (kT) 2 2
e) Vận tốc có xác suất lớn nhất : 2kT v0 m TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Hướng dẫn
 Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là :
mv2i
dW(v ) m kT
e 2 dv (i x, , y z) TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM i 2 kT i
 Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là : mv2 3
dW(v) m kT 4 e v d 2 2 v 2 kT
 Xác suất để động năng của hạt nằm tro TAILIEUHUST.COM
TAILIEUHUST.COM ng khoảng đã cho là : TAILIEUHUST.COM 2 ( ) kT dW e d (kT)3 mv2 TAILIEUHUST.COM 3 TAILIEUHUST.COM
a) Ta có n n v
v dW(v) m n 2 kT 4 v
e 2 dv . 2 kT 0 0 n 1 mv2 n mv kT 2 kT 1 2 2 Đặt n 2 x kT x v
e 2 dv
x 2 e dx . Từ đó ta được : TAILIEUHUST.COM kT 2 m m TAILIEUHUST.COM n n 1 n n 2 kT 2 x 2 2 2 kT 2 n v x e dx 3 2 . m m 2 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Trong đó : ( ) a 1 x a x
e dx là hàm Gamma. 0 / 1 2
b) Sử dụng kết quả câu a) khi n 1, ta có : 2 k 2 T v ( ) k 8 T 2 m m TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
c) Ta có (v v)2 v2
v.v (v)2 v2 (v)2 2
. Theo câu b) ta đã có kT v 8 m TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Áp dụng kết quả câu a) khi n 2 , ta có 2 k 2 T v2 (5) 2 k 2 T 3 k 3 T . Từ m 2 m 4 m 2
đó ta tìm được : (v v)2 k 3 T k 8 T kT 8 3 m m m TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 2 2
d) Ta có v2 v2 v4
v2.v2 v2 v4 v2 2
. Áp dụng kết quả câu a) với 2 2 n 2 và n 4 ta có : kT v2 2 2 (5) k 3 T và 4 2 k 2 T v (7) kT 15 m 2 m m 2 m TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 2 m2 2 2 2
. Từ đó ta tìm được : 1 2 2 kT k 3 T m v v 3 15 kT . 2 m m 2 4 mv2 3
e) Từ biểu thức của xác suất dW(v) m 2 kT 4
v e 2 dv , ta thấy để xác xuất dW(v) 2 kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM mv2 3
cực đại thì hàm f (v) m 2 kT 4 v e 2 phải đạt cực đại. 2 kT mv2 mv2 3 3 3 2
Ta có : f (v) m mv k 2 T m mv k 2 T v 2 e 4 2 ve . Từ đó 2 kT kT 2 kT kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
suy ra : f (v) v , kT v 2 0 0
. Lập bảng biến thiên của f (v) : m v 0 kT 2 m
f (v) 0 0 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM fmax
f (v) 0 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Từ đó ta thấy rằng f (v) đạt cực đại khi kT v 2
, nói cách khác vận tốc có xác suất lớn m nhất là kT v 2 0 . m
Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm Gamma : (a ) 1
a (a) (a ) 1 , (n ) 1
n ! (n
) và ( 1 )= . Khi TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 đó ta có : ( ) 2 1! , 1 ( 5) ( 3 ) 3 1 (3) 3 (1 ) 3 1 1 (1) 3 và 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (7) (5 ) 5 1 ( 5 )= 15
.Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ 2 2 2 2 4 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM (m ) 1
sử dụng công thức sau : m ax x e dx m a 1 0
Bài 2. Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị
trung bình của năng lượng của nó . TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Hướng dẫn : H( , p q)
Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng ( , ) kT p q Ae
. Đối với dao động tử điều 2 2 2
hòa tuyến tính q
x và H(x, p) p m x
E là năng lượng của dao động tử , do m 2 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM E TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM đó phân bố TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng : ( ) kT E Ae . Từ điều E E kiện chuẩn hóa
(E)dE 1, ta có : kT 1 ( ) kT A e dE A kT e 1 0 0 0 E TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM . A kT 1, hay A
1 . Do đó : (E) 1 kT e
. Năng lượng trung bình : kT kT E 1 ( ) kT E E E dE Ee
dE . Lấy tích phân từng phần ta được : kT 0 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM E E E E E 1 ( kT. kT Ee | kT kT e dE) kT e d
kT. kT e | kT kT 0 0 0 0
Bài 3. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ thức : cp N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H
cpi . Tích phân trạng thái của hệ : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM i 1 TAILIEUHUST.COM H N cpi 1 1 kT kT Z e d dr e dp (1) N !(2 )3 N !(2 ) i i N N 3
i 1 (V ) Mặt khác : dr V TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM i là thể tích của hệ (V ) cpi cp n ! kT kT e dp 4 e p d 2 p n ax x e dx i , sử dụng công thức ta tìm được : n a 1 0 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM cpi 3 kT kT e dp 8 . Thay vào (1) ta đượ i c : c N N 1 3 1 3 Z V . kT 8 V . kT N N 3 N 8 V T TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N !(2 ) N 3 c 3 i 1 N !(2 ) N c N 1 3 Trong đó : N k 8 . N !(2 )3N c
Gọi P là áp suất của hệ, ta có : lnZ P kT NkT lnV 3ln TAILIEUHUST.COM
TAILIEUHUST.COM T ln NkT V T V V
Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV NkT
Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng
nhiệt động khác như : năng lượng tự do F , entropy S , nội năng U , nhiệt dung đẳng tích C TAILIEUHUST.COM C . Lúc đó t TAILIEUHUST.COM V , thế Gibbs
, enthalpy H , nhiệt dung đẳng áp P
a sẽ sử dụng các hệ thức
liên hệ giữa tích phân trạng thái Z và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với bài tập trên ta có : F
kT ln Z
NkT lnV 3 lnT ln F ln TAILIEUHUST.COM S k ln Z Z kT
Nk lnV lnT ln NkT. 3 3 TAILIEUHUST.COM T V T V T TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Hay S S
Nk lnV N
3 k lnT S N 3 k Nk 0 với ln 0 . TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 ln Z U F TS kT NkT2 lnV 3 lnT ln N 3 kT T V T U C N 3 k V T V F PV
NkT lnV 3 lnT ln NkT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM H U PV N 3 kT NkT N 4 kT H C N 4 k P T P
Bài 4. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn
nguyên tử gồm N nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
với nhau bởi hệ thức : 3
cp (c : const) N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H
cp3i . Tích phân trạng thái của hệ : i 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM H N
cp3i 1 1 kT kT Z e d dr e dp (1) N !(2 )3 N !(2 ) i i N N 3
i 1(V ) Mặt khác : dr V i là thể tích của hệ TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM (V ) cp3 3 3 i cp cp kT 4 kT kT kT 2 kT e dp 4 e p dp 4 e | i . Thay vào (1) ta được : c 0 3 c 3 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N 1 1 N Z V . kT 4 V . kT N N N 4 V T N !(2 )3N c 3 3 3 i 1 N !(2 ) N c 1 N Trong đó : N k 4
. Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N !(2 ) N 3 c 3 lnZ P kT NkT lnV lnT ln NkT (1) V T V V Năng lượng của hệ 2 ln Z U kT NkT2 lnV lnT ln NkT (2) T V T TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Từ (1) và (2) ta có ngay : U PV .
Các đại lượng nhiệt động khác : F
kT ln Z
NkT lnV lnT ln F ln S k ln Z Z kT
Nk lnV lnT ln NkT. 1 T V T V T TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Hay S S
Nk lnV
Nk lnT S Nk Nk 0 với ln 0 . U C Nk F PV NkT V T NkT V ; ln ln ln T V H U PV NkT NkT N 2 kT ; H C N 2 k P T P TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Bài 5. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên 4
tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức cp N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H
cp4i . Tích phân trạng thái của hệ : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM i 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM H N
cp4i 1 1 kT kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Z e d dr e dp TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM (1) N !(2 )3 N !(2 ) i i N N 3
i 1(V ) Mặt khác : dr V i là thể tích của hệ (V ) TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM cp4 4 i cp 4 / 1 4 3/4 kT kT e dp 4 e p dp 2 cp kT / 1 4 2 1 kT / x p x p dp
x 1 dx 4 i . Đặt : kT c 4 c 0
cp4i 3/4 3/4 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Do đó : kT kT / 1 4 x kT e dp x e dx (3) TAILIEUHUST.COM i .Thay vào (1) ta được : c c 4 0 N 1 3/4 1 3/ N kT 3 kT 4 3 N 3N / Z V ( ) V ( ) 4 N V T N !(2 )3N c 4 3 4 i 1 N !(2 ) N c TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 1 3/ N 4 Trong đó : N k (3) . N !(2 )3N c 4 3
Gọi P là áp suất của hệ, ta có : lnZ P kT NkT lnV lnT ln NkT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM V T V V 4 TAILIEUHUST.COM
Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV NkT
Các đại lượng nhiệt động khác : F
kT lnZ
NkT lnV 3 lnT ln 4 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM F ln S k ln Z Z kT
Nk lnV 3 lnT ln NkT. 3 T V T V 4 T 4 Hay S S
Nk lnV
Nk lnT S 3 Nk Nk 0 với ln 0 . 4 2 ln Z U F TS kT NkT2 lnV 3 lnT ln 3 NkT T V T 4 4 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM U C 3 Nk F PV NkT V 3 T NkT V ; ln ln ln T V 4 4 H U PV 3 NkT NkT 7 NkT ; H C 7 Nk 4 4 P T P 4
Bài 6. Xác định năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm N hạt chứa trong bình có TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
thể tích V , biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ thức : ap ( , a 0) N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H
api . Tích phân trạng thái của hệ : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM i 1 H N api 1 1 kT kT Z e d dr e dp (1) N !(2 )3 N !(2 ) i i N N 3
i 1(V ) TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Mặt khác : dr V i là thể tích của hệ (V ) api ap 3 / 1 3/ 1 kT kT e dp 4 e p dp 2 . Đặ ap kT / 1 2 1 kT x p x p dp x dx i t : kT a a TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM api 3 4 3/ 1 4 3/ TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Do đó : kT kT x kT e dp x e dx (3) i .Thay vào (1) ta được : a a 0 N 1 3/4 1 3/ N kT 3 4 kT 3 N N 3 / Z V ( ) V ( ) N V T N !(2 )3N c 4 3 i 1 N !(2 ) N a TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 1 3/ N Trong đó : N 4 k (3) . N !(2 )3N a
Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có : lnZ TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM P kT NkT lnV 3 lnT ln NkT TAILIEUHUST.COM V T V V Năng lượng của hệ : 2 ln Z U kT NkT2 lnV 3 lnT ln 3 NkT T V T
Các đại lượng nhiệt động khác : F
kT lnZ
NkT lnV 3 lnT ln TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM F ln S k ln Z Z kT
Nk lnV 3 lnT ln NkT. 3 T V T V T Hay : S S
Nk lnV
Nk lnT S 3 Nk Nk 0 với ln 0 . U C 3 TAILIEUHUST.COM
TAILIEUHUST.COM Nk F PV NkT V 3 T NkT TAILIEUHUST.COM V ; ln ln ln T V H U PV 3 NkT NkT 3 1 NkT ; H C 3 1 Nk P T P
Bài 7. Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều
cao h , diện tích đáy ở trong trọng trường ở nhiệt độ T ,biết rằng số hạt khí là N . TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N 2 Hướ p
ng dẫn : Hàm Hamilton của hệ i H
mgzi . Tích phân trạng thái của hệ : m 2 i 1 H N mgz p2 i i 1 1 kT kT m 2 kT Z e d e dr e dp (1) TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N !(2 )3 N !(2 ) i i N N 3
i 1(V ) h mgzi mgz mgz mgh Mặt khác : kT kT e dr dxdy e dz ( kT ) kT e | kT ( kT 1 e ) i mg 0 mg (V ) ( ) 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM p2 2 i p 2 3/ mkT mkT e dp 4 p e dp
(2 mkT ) 2 2 2 . Thay vào (1) ta đượ i c : 0 N mgh 1 kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 3/ Z [ ( kT 1 e
)(2 mkT) 2] N !(2 )3N mg i 1 mgh mgh 1 kT 3/2 N 5N / [ (1 e
)(2 mkT) ] T 2(1 e )N N kT kT N !(2 )3N mg TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N 1 k 3/2 Trong đó : N 2 mk
. Từ đó ta tìm được : N !(2 ) N 3 mg mgh TAILIEUHUST.COM Năng lượ TAILIEUHUST.COM ng tự do : ln [ 5 ln ln( kT F kT Z NkT T 1 e ) ln ] 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM mgh TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM  TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Nội năng : 2 lnZ U kT NkT2 [ 5 lnT ln( kT 1 e ) ln ]= T V T 2 mgh 2 5 mgh 5 e Nmgh kT NkT = NkT mgh mgh kT T 2 2 2 kT kT 1 e e 1 mgh TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM mgh kT e 5 5  U Nmgh Nhiệt dung : kT C NkT Nk Nmgh 2 V mgh mgh T V T 2 2 kT e ( kT e )2 1 1 mgh 2 mgh 2 5 5 Hay : kT 2kT C Nk Nk V mgh mgh mgh 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 2 TAILIEUHUST.COM ( kT kT )2 2 2 sh e e 2kT
Bài 8. Trong bình hình lập phương cạnh L có chứa N phân tử khí lý tưởng ở nhiệt độ T .
Bình khí được đặt trong trọng trường. Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của bình N 2 Hướ p
ng dẫn : Hàm Hamilton của hệ i H mgz TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
i . Tích phân trạng thái của hệ : m 2 i 1 H N mgz p2 i i 1 1 kT kT m 2 kT Z e d e dr e dp (1) N !(2 )3 N !(2 ) i i N N 3
i 1(V ) TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM L L L mgzi mgz mgz mgL Mặt khác : kT kT e dr dx dy e dz
L2( kT ) kT e |L 2 kT kT L 1 e i mg 0 mg (V ) 0 0 0 p2 2 i p TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 3/ mkT mkT e dp 4 p e dp
(2 mkT ) 2 2 2 . Thay vào (1) ta đượ i c : 0 N mgL 1 kT 2 3/ Z [L ( kT 1 e
)(2 mkT) 2] N !(2 )3N mg i 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM mgL mgL 1 kT 2 3/2 N 2N 5N / [L (1 e
)(2 mkT) ] L T 2(1 e )N N kT kT N !(2 )3N mg 1 TAILIEUHUST.COM Trong đó : 3/ N
[ k 2 mk
2 ]N . Áp suất tác dụng lên mặt trên của bình TAILIEUHUST.COM N !(2 ) N 3 mg là : lnZ lnZ dL P kT kT . Vì V L3 nên : 2 dL dV L 3 dL 1 . V T L T dV dV L2 3 mgL mgL mg kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM e Từ đó ta có : NkT P [2 ln L 5 lnT ln( kT 1 e ) ln ]
NkT [ 2 + kT ]= L2 3 L 2 L2 3 L mgL kT 1 e NkT 2 mg
(mgL/kT ) [ + 1
]= NkT [ 2 + 1
] (với V L3 ) 2 mgL mgL L 3 L kT V 3 3 kT kT e 1 e 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Bài 9. Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm N hạt khối lượng m và N hạt khối lượng m chứa 1 1 2 2
trong một bình hình trụ có chiều cao h và điện tích đáy . Bình khí được đặt trong trọng
trường với gia tốc g . Tìm áp suất đặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm .
Hướng dẫn : Gọi Z j j 1 2 TAILIEUHUST.COM
j là tích phân trạng thái của hạt loại ( , ) , ta có : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM p2 H N m gz i j j j i 1 1 m 2 kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT kT j Z e d e dr e dp j j i i N !(2 ) N 3 N 3 j N !(2 ) j i j j 1 (V ) m gz h m gz m gz j i j j m gh j Mặt khác : kT kT e dr dxdy e dz ( kT ) kT e |h kT ( kT 1 e ) i m g 0 m g j j TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM (V ) ( ) 0 p2 2 i p m 2 kT 2 m 2 kT j j 3/ e dp 4 p e dp
(2 m kT) 2 . Thay vào (1) ta đượ i j c : 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N m gh j j 1 kT 3/ Z [ ( kT 1 e
)(2 m kT) 2] j j N !(2 ) N 3 m g j j i j 1 m gh m gh j j 1 kT 3/2 N N 5 /2 N N TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM [ ( kT 1 e
)(2 m kT) ] j j T ( kT 1 e ) j j j j N !(2 ) N 3 m g j j j N 1 3/2 Trong đó : j [ 2 m k ]N k j j
.Tích phân trạng thái của hệ là : N 3 m g j N !(2 ) j j j TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 Z
Z . Do đó áp suấ j
t tác dụng lên mặt trên của bình là : j 1 2 2 ln Z ln ln Z Z j j dh TAILIEUHUST.COM P kT kT kT . TAILIEUHUST.COM V T V h dV T T j 1 j 1
Vì thể tích của hình trụ là : V
h nên dh
1 . Từ đó ta tìm được : dV 2 m gh m gh j 2 j TAILIEUHUST.COM P N [ 5 lnT ln(
TAILIEUHUST.COM kT 1 e ) ln ] N m g kT kT j j kT e TAILIEUHUST.COM j j m gh h 2 kT j j 1 j 1 kT 1 e 2 N m g Hay : j j P 1 m gh j j 1 kT e 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2  ln Z Nội năng của hệ : 2 ln Z 2 j U kT kT T V T V j 1 2 m gh m gh j 2 j 2 5 2 TAILIEUHUST.COM = kT N [ lnT ln( kT 1 e ) ln ] kT N [ m gh TAILIEUHUST.COM5 j kT e ] j j j 2 m gh T 2 T 2 kT j j 1 j 1 kT 1 e 2 N m gh Hay : U ( 5 j j N kT )
E là động năng trung bình củ j . Gọi a hệ, theo định lý m gh 2 j d j 1 kT e 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2
phân bố đều động năng ta có : E 3 (N
N )kT
3 N kT . Từ đó suy ra thế d 1 2 j 2 2 j 1 2 N m gh
năng trung bình của hệ là : E U E ( j j N kT ) TAILIEUHUST.COM t d j (2) TAILIEUHUST.COM m gh j j 1 kT e 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
 Nếu gọi z E Mgz
c là tọa độ của khối tâm, ta có : t
c (3) , với M N m N m 1 1 2 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
là khối lượng của hệ. Từ (2) và (3) ta tìm được : E E 2 1 z ( N m gh t t j j N kT ) c Mg (N m
N m )g (N m N m ) j m gh j g 1 1 2 2 1 1 2 2 j 1 kT e 1
Bài 10. Biết rằng động năng của chuyển động quay của TAILIEUHUST.COM
TAILIEUHUST.COM phân tử 2 nguyên tử đối với khối TAILIEUHUST.COM p2 1 2 tâm của chúng bằng : (p ) q
ở đây I là moment quán tính đối với khối 2I sin2
tâm phân tử còn p , p là xung lượng suy rộng ứng với các tọa độ cầu , . Hãy tính : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển động quay của phân tử hai nguyên tử TAILIEUHUST.COM q
Hướng dẫn : Tích phân trạng thái của chuyển động quay là : kT Z e
d , trong đó : q d
d d dp dp (0 , 0 2 ,
p , p <+ ). Từ đó ta có : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 2 p2 p I 2 kT I 2 sin2 kT Z d d e dp e dp q
. Sử dụng tích phân Poisson : 0 0 p2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM ax e dx 2 , ta được : 2IkT e dp
2 IkT và a p2
I sin2 kT e dp I sin2 2 2 kT sin
2 IkT . Thay vào biểu thức của Zq ta TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 có : Z
(2 IkT) d sin d 8 IkT 2 q . 0 0 TAILIEUHUST.COM  TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Entropy của hệ : ln S k ln Zq Z kT
k ln(8 I
2 kT) kT ln(8 I 2 kT) q T T V
= k ln(8 I
2 kT) kT 1
k ln(8 I
2 kT) k
k lnT
k[ln(8 I 2 k) ] 1 T TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM  Nhiệt dung : S C T T
{k lnT k[ ln( I 2 8 k) ] 1 }
T. k k V T V T T
Bài 11. Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính đáy R , chiều cao h . Biết rằng hình
trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc .
a) Xác định áp suất của khí tác dụng lên thành bình. TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
b)Tìm nội năng của khí.
Hướng dẫn : Khi hình trụ trụ quay quanh trục với vận tốc góc , các hạt khí trong hình
trụ sẽ quay theo với vận tốc góc
. Gọi r là khoảng cách từ hạt khí tới trục hình trụ, lực
ly tâm tác dụng lên hạt là : f m r 2 u r lt
. Lực này liên kết với thế năng ly tâm ( ) lt theo TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM du 2 2 hệ thức : lt f du f dr m r 2 dr
u (r) m r lt lt lt lt .Từ đó suy dr 2 N N p2 p2 m r 2 2
ra, hàm Hamilton của hệ là : H [ i
u (r )] ( i i ) lt i . m 2 m 2 2 i 1 i 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
 Tích phân trạng thái của hệ : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM H N m r 2 2 p2 i i 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT 1 k 2 T m 2 kT Z e d e dr e dp !(2 )3N !(2 )3N i i N N
i 1 V
 Sử dụng hệ tọa độ trụ (r, , z), ta có : 2 2 2 h R m r 2 2 2 2 2 2 i m r m r m R kT 2 kT 2 kT kT e dr d dz e rdr 2 h TAILIEUHUST.COM
TAILIEUHUST.COMe 2 |R 2 hkT ( kT e 2 ) 1 TAILIEUHUST.COM i m 2 0 m 2 V 0 0 0 p2 2 i p  2 3/ mkT mkT e dp 4 p e dp
(2 mkT ) 2 2 2 i 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
 Thay vào biểu thức của Z ta nhận được : N m R 2 2 m R 2 2 1 2 hkT 3/2 5N / Z [ ( k 2 T e )( 1 2 mkT) ] T 2( k 2 T e )N N 1 N !(2 )3N m 2 i 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM trong đó : N 1 2 kh 3/ [
(2 mk) 2]N . N !(2 )3N m 2
a) Áp suất tác dụng lên thành bình : lnZ lnZ dR P kT kT . V T R T dV Vì V R h 2 nên dR dV 2 hRdR 1 . Do đó : dV 2 hR TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM m R 2 2 m R 2 2 m R 2 2kT e kT ln Z NkT P [ 5 lnT ln( kT e 2 ) 1 ln ] NkT kT 2 Rh R T 2 Rh R 2 2 Rh m R 2 2 2kT e 1 (m R 2 2 / k 2 T ) TAILIEUHUST.COM Hay : NkT P TAILIEUHUST.COM V m R 2 2 2kT 1 e m R 2 2
b) Nội năng của khí : 2 lnZ U kT NkT2 [ 5 lnT ln( kT e 2 ) 1 ln ] T V T 2 2 2 m R 2 2 m R TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2kT e 2 2 NkT2[ 5 kT2 2 ] Nm R /2 , hay : U 5 NkT T 2 m R 2 2 2 m R 2 2 2kT e 1 2kT 1 e
Bài 12. Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường đều, biết rằng gia
tốc trọng trường là g , khối lượng một phân tử là m và nhiệt độ là T . TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N
Hướng dẫn. Gọi N là số hạt của hệ , thế năng của hệ là :E mgz t
i . Từ đó suy ra i 1 N TAILIEUHUST.COM E mgz z
TAILIEUHUST.COM E Mgz t
i (1) . Nếu gọi c là tọa độ khối tâm của hệ, ta lại có : t c (2), i 1 N 1 trong đó M
Nm là khối lượng của hệ. Từ (1) và (2) ta được : z mgz c i (3) Nmg i 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Để tính zi ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann trong trường lực. Biểu thức của hàm phân mgz
bố Boltzmann có dạng : ( ) kT z Be
. Từ điều kiện chuẩn hóa:
(z)dz 1, ta có : 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM mgz mgz TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT B e dz ( kT B ) kT e | kT mg B 1 B . mg 0 mg kT 0 mgz
Do đó : (z) mg kT e
. Từ đó ta tìm được : kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM mgz mgz mgz z
z (z ) mg mg kT dz ze dz ( kT kT ze | kT kT e dz) i i i i kT kT mg 0 mg 0 0 0 mgz kT kT kT e | kT z . TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM mg 0
. Thay giá trị này vào (3) ta có : mg c mg
Bài 13. Khảo sát hệ gồm N dao động tử tuyến tính cổ điển với khối lượng m và tần số .
Hãy tính tích phân trạng thái của hệ, từ đó xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng và nhiệt dung của hệ. N TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM p2 m x 2 2
Hướng dẫn. Hàm Hamilton của hệ là : H (
). Tích phân trạng thái : m 2 2 i 1 N m x 2 2 p2 1 kT 2 m 2 kT TAILIEUHUST.COM Z TAILIEUHUST.COM e dx e dp TAILIEUHUST.COM . Sử dụng tích phân Poisson : N !(2 )N i 1 m x 2 2 p2 ax 2 kT e dx 2 , ta được : kT e 2 dx và m 2 kT e dx 2 mkT a m 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N N
Từ đó suy ra : Z 1
[ 2 kT 2 mkT ] 1 2 kT N
T . N N !(2 )N m 2 N !(2 )N i 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM N Với N 1 2 k N !(2 )N  Nội năng : 2 ln Z U kT NkT2 (lnT ln ) NkT T V T TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM  Nhiệt dung : U C Nk V T V
Bài 17. Sử dụng định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý virial dưới TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM dạng: H H q p i i
, tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà tuyến tính. q q i i 2 Hướ p 2 2
ng dẫn . Hàm Hamilton của dao động tử là : m x H
E . Do đó, năng m 2 2 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM lượ p 2 2
ng trung bình của dao động tử là : m x E H
(1). Theo định lý phân bố m 2 2 2
đều động năng ta có : p 1 H kT p 2 2 (2). Vì lim m x nên m 2 2 p 2 x 2 lim H
. Do đó theo định lý virial, ta có : 1 H kT x
. Từ biểu thức của H , ta TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM x 2 x 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 2 2 2 lại có : 1 H m x 1 H m x kT x x
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được : 2 x 2 2 x 2 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT kT E kT 2 2
Bài 18. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng.
u(x) kx4 . TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 Hướ p
ng dẫn: Hàm hamilton của dao động tử : H kx4
E . Do đó, năng lượng m 2 p2
trung bình là : E
kx4 (1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có : m 2 p2 1 H kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM p
(2). Vì lim kx 4 nên lim H . Do đó theo định lý TAILIEUHUST.COM m 2 2 p 2 x x virial, ta có : 1 H kT x
. Từ biểu thức của H , ta lại có : 1 H x
1 x. k 4 x3 k 2 x4. 2 x 2 2 x 2 Từ đó suy ra : 1 H 4 kT 4 kT x k 2 x kx
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được : 2 x 2 4 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT kT kT E 3 2 4 4
Bài 19. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong
trường lực có thế năng 2 ( ) n U q
q ( n : số tự nhiên, : hằng số dương). 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Hướ p
ng dẫn: Hàm hamilton của hạt : n H q2
E . Do đó, năng lượng trung m 2 p2 bình là : n E
q2 (1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có : m 2 p2 1 H kT p (2). Vì lim n q2 nên lim H . Do đó theo định lý TAILIEUHUST.COM m 2 2 p 2 TAILIEUHUST.COM q x virial, ta có : 1 H kT q
. Từ biểu thức của H , tacó : 1 H q 1 q. n 2 1 n n 2 q n q2 . 2 q 2 2 q 2 Từ đó suy ra : 1 H n 2 kT n 2 kT q n q q
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta được : 2 q 2 n 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT kT kT E 1 1 2 n 2 2 n
Bài 20. Chứng minh các hệ thức sau : a) H F F kT (H khi q ) q q i i i TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có : s H H H F F
(q, p) 1 H kT d F e dq dp q q Z q j j i i i ( ) ( ) j 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM s H 1 dp dq [ H kT F e dq ] j j i (1) Z qi j 1 j i
Lấy tích phân từng phần ta có : TAILIEUHUST.COM H H H TAILIEUHUST.COM kT F e dq
kT.F. q H i kT F kT e kT e dq i i q q q i i i H H q Vì lim H
nên lim F. kT e 0
kT.F. i kT e 0. Do đó : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM q q i qi i TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM H H H TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT F kT F e dq kT e
dq (2). Thay (2) vào (1) ta đượ i i c : q q i i s H H F 1 dp dq [ F kT kT e dq ] F kT
(q, p) F d kT j j i q Z q q q i i i i j 1 j i TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM ( ) TAILIEUHUST.COM b) H F F kT p p i i
Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có : s H TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM H H F F
(q, p) 1 H kT d F e dq dp p p Z p j j i i i ( ) ( ) j 1 s H 1 dq dp [ H kT F e dp ] j j i (1) Z p TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM i j 1 j i
Lấy tích phân từng phần ta có : H H H kT F e dp
kT.F. p H i kT F kT e kT e dp i i p p p i i i TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM H H p Vì lim H
nên lim F. kT e 0
kT.F. i kT e 0 . Do đó : p p i pi i H H TAILIEUHUST.COM H TAILIEUHUST.COM kT F kT F e dp kT e
dp (2). Thay (2) vào (1) ta đượ i i c : p p i i s H H F 1 dq dp [ F kT kT e dp ] F kT
(q, p) F d kT j j i p Z p p p i i i i j 1 j i TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM ( )
Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – thống kê lượng tử .
Bài 1. Khảo sát hệ N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
a) Tính năng lượng tự do và entropy của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập.
b) Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập. n
Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : N Z Z , trong đó kT Z e 1 1 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM n 0
là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính là : (n 1) (n , 0 , 1 , 2 ...) n nên, ta có : 2 (n 1) n 2 kT kT 2 kT kT
TAILIEUHUST.COM Z e e e e 2 1 1 1 TAILIEUHUST.COM 1 2sh( ) 2kT n 0 n 0 kT 2kT 2kT 1 e e e
Từ đó ta nhận được : Z [ 1 ]N . 2sh( ) kT 2 TAILIEUHUST.COM
a) Năng lượng tự do của dao động tử là : F
kT lnZ NkT ln[ s 2 h( )] TAILIEUHUST.COM kT 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Entropy của dao động tử : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM ch( ) F S NkT ln s 2 h( ) Nk ln s 2 h( ) kT NkT 2 T V T k 2 T kT kT2 2 sh( ) 2kT hay : S Nk ln s 2 h( ) Nk coth( ) kT k 2 T k 2 T
b) Năng lượng trung bình : E F
TS = N coth 2 TAILIEUHUST.COM
TAILIEUHUST.COM kT 2 TAILIEUHUST.COM 2 Nhiệt dung E N C coth( ) N .( ). 1 Nk 1 V T V 2 T k 2 T 2 kT2 2 sh( )2 k 2 T sh( )2 2kT 2kT
Bài 2. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N dao động tử điều hoà hai chiều
độc lập có các mức năng lượng (n 1) g( ) n TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM n suy biến bội 1 n . TAILIEUHUST.COM
Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : N Z Z , trong đó 1 n Z
g( ) kT e 1 n
là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao n 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
động tử điều hòa hai chiều là : (n ) 1 (n , 0 . 1 ..) g n 1 n có bội suy biến ( ) n (n ) 1 nên, ta có : Z (n ) kT 1 e [ 1 ]2 [ 1 ] N Z 2 1
Từ đó ta nhận được : . 2sh( ) 2sh( ) 2kT n 0 2kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
 Năng lượng trung bình của hệ : ch( ) 2 ln Z E kT N 2 kT2 ln[ s 2 h( )]= 2 kT N 2 kT 2 T V T k 2 T kT2 2 sh( ) 2kT Hay : E N coth kT 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM  Nhiệt dung : E 2 C N coth N 1 N 2 k 1 V T V T k 2 T kT2 2 2 2 sh k 2 T sh 2kT 2kT
Bài 3. Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao động tử 3 chiều mà các mức TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM năng lượ ( 1)( 2) ng 3 n g( ) n n n suy biến bội 2 n 2 n
Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : N Z Z kT Z g e 1 , với ( ) 1 n là n 0 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều ( ) 1 ( 2) là: (n 3) (n , 0 ... 1 ) g( ) n n n có bội suy biến nên, ta có : 2 n 2 (n 3) (n ) 1 (n 2) 2 kT Z e [ 1 ]3 [ 1 ] N Z 3 1 Từ đó ta tìm được : . TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2 2sh( ) 2sh( ) n 0 2kT kT 2
 Năng lượng trung bình của hệ : ch( ) 2 ln Z E kT N 3 kT2 ln[ s 2 h( )]= 2 kT N 3 kT 2 T V T k 2 T kT2 2 sh( ) 2kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Hay : N E 3 coth 2 kT 2  Nhiệt dung : E N 2 C 3 coth N 3 1 N 3 k 1 V T V 2 T k 2 T 2 kT2 2 2 2 sh k 2 T sh TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM 2kT 2kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Bài 4. Xác định năng lượng trung bình của hạt có các mức năng lượng không suy biến : TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
( : const ;
0,1, ..., n 1). n 1 n 1 n
Hướng dẫn . Tổng thống kê của hạt kT kT kT 1 e Z e e 1 . 0 0 kT 1 e n TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM Năng lương trung bình : 2 ln Z E kT 1 kT 2 [ln( kT 1 e ) ln( kT 1 e )] T T n n kT kT e e 2 2
kT2[ kT kT ] n n n TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT kT kT kT 1 e 1 e e 1 e 1
Bài 5. Nếu hạt có spin 1/2 đặt trong từ trường H thì các mức năng lượng của nó tách làm 2 : H và
H tương ứng với các moment từ - và + song song hay đối song với từ
trường H . Giả sử hệ gồm N hạt như thế được đặt trong từ trường H ở nhiệt độ T . Sử
dụng phân bố chính tắc Gibbs , xác định nội năng, nhiệt dung, moment từ của hệ. TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM n
Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : N Z Z , trong đó kT Z e 1 1 n
là tổng thống kê của một hạt. Vì hạt chỉ có hai mức năng lượng là H, H 1 2 TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM H H H H nên : kT kT Z e e ch 2 . Do đó tổ N Z 1 ng thống kê của hệ là [2ch( )] kT kT
 Năng lượng của hệ : sh H 2 ln Z TAILIEUHUST.COM E kT NkT2
ln[ ch( H )]=NkT2 2 (
H ) kT N H.th H TAILIEUHUST.COM T V T kT
kT2 ch H kT kT 2  E H 1 H
Nhiệt dung của hệ : C N H .( ) Nk 1 V T V kT2 2 kT 2 ch H ch H kT kT TAILIEUHUST.COM  TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM
Moment từ trung bình của hệ : N , trong đó z
z là moment từ trung bình cho một H i 1
hạt. Mặt khác, xác suất để hạt ở trạng thái với moment từ bằng kT W e i là ( ) i . Z1
Do đó momen từ trung bình của một hạt là : W( ) TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM z i
i . Vì moment từ của một i
hạt chỉ có thể nhân 2 giá trị bằng và nên : H H sh( H kT kT ) W( ) W( ) e e kT .th( H ) z 2ch( H ) ch( H ) kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM kT kT H
Từ đó ta nhận được moment từ trung binh của hệ là : N .th( ) kT TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM TAILIEUHUST.COM

Bài tập Vật lý thống kê | Môn Vật lý thống kê | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Đề cương ôn tập | Vật lý thống kê | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Đề thi và lời giải cuối kỳ I | Môn Vật lý thống kê | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài giảng GT - Môn Vật lý thống kê - Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội