Bài tập VD – VDC giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục
Tài liệu gồm 42 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo nhóm Strong Team Toán VD – VDC, tuyển tập 61 bài tập VD – VDC giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com BÀI TẬP VD - VDC
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
- Strong Team Toán VD - VDC - I. ĐỀ BÀI 3n 2 Câu 1.
Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn 2 lim
a 4a 0
. Tổng các phần tử của n 2 S bằng: A. 4. B. 3. C. 5. D. 2. n n 1 4 2 1 Câu 2.
Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc 0;2020 để lim .
3n 4na 6 1 A. 2019 . B. 2018 . C. 2017 . D. 2016 . 2
an n2n 1 Câu 3. Cho lim
3 với a,b 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2
1 bn 5 3n 9b A. a . B. b 9 a . C.
a 9b . D. b 3 a . 2 2 2
an 1 an 5 Câu 4. Cho lim 5
với a 0 . Tính giá trị biểu thức P a a . 1 4n A. 90 . B. 110. C. 100. D. 10 . 3 3u n Câu 5.
Cho dãy số u và n u
. Giới hạn của dãy số x u bằng: 1 2 n 1
n 2u 3 n i n i 1 11 11
A. lim x 6 . B. lim x 11. C. lim x . D. lim x . n n n 6 n 3 u 2020 1 Câu 6.
Cho dãy số u xác định như sau: 2 u 5
. Khẳng định nào sau đây sai về dãy n n * u , n n 1 2 u 2 n u ? n 5
A. u là dãy số giảm. B. u bị chặn dưới. C. limu . D. lim u 1 . n n n 4 n Câu 7.
Cho dãy số u xác định bởi công thức: n u 2021 1 1 2020
. Khi đó limu bằng: u 1 u ; n 1 n n 1 n 2 1 n n 2 1 TOANMATH.com Trang 1/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2021 4041 A. 2020 . B. . C. 4041. D. . 2 2 a Câu 8.
Số thập phân vô hạn tuần boàn 0,11272727… được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản , trong b
đó a và b là các số nguyên dương. Tính 5a b . A. 120. B. 43 0. C. 430. D. 12 0. 1 1 1 1 n Câu 9.
Cho dãy số u với u ... . Tính limu . n n 3 9 27 3 n 1 1 A. . B. . 4 4 1 1 C. . D. . 2 2
Câu 10. Thả một quả bóng cao su từ độ cao 60m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một 1
độ cao bằng độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. 3
Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. (113 m;115 m) . B. (115 m;117 m) . C. (117 m;119 m) . D. (119 m;121m) .
Câu 11. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung
bình của tam giác ABC .
Ta xây dựng dãy các tam giác A B C , A B C , A B C ,... sao cho A B C là một tam giác đều cạnh 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1
bằng x và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác A B C là tam giác trung bình của tam giác n n n
A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S tương ứng là diện tích tam giác A B C . Tính n 1 n 1 n 1 n n n n
tổng S S S ... S ... 1 2 n 3 3 2 3 A. 2 x . B. 2 3x . C. 2 x . D. 2 x . 3 2 3
Câu 12. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung
bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A B C , A B C ,
A B C ,... sao cho A B C 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1
là một tam giác đều cạnh bằng 6 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác A B C là tam giác n n n
trung bình của tam giác A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S tương ứng là diện n 1 n 1 n 1 n
tích hình tròn nội tiếp tam giác A B C . Tính tổng S S S ... S ...? n n n 1 2 n 15 9 A. S . B. S 4. C. S . D. S 5. 4 2 u 2 1
Câu 13. Cho dãy số (u ) được xác định bởi: 2u . n n u ; n 1 n 1 u 1 n 1 u 1 u 1 u 1 u Tổng 1 2 3 S ... n
.... thuộc khoảng nào sau đây? u u u u 1 2 3 n TOANMATH.com Trang 2/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 1 1
A. 2;3. B. 0; 1 . C. ; . D. 2; 0 . 2 2
Câu 14. Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả 1
sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. 10
Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất biết
quả bóng chỉ rơi xuống và nảy lên theo chiều thẳng đứng. 63
A. 63m . B. m . C. 126m . D. 77m . 10 u 2
Câu 15. Cho dãy số u sao cho 1 . Tìm limu . n u
u n, n 2 n n n 1 A. . B. 0 . C. 2 . D. .
Câu 16. Có bao nhiêu số nguyên a 0;100 để lim n
a sin n ? A. 99 . B. 98. C. 50. D. 0 . 11 11 11
Câu 17. Cho dãy số u với u
. Khi đó lim u bằng: n n 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) n 1 11 11 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 6 (3n 1)(1 8n)
Câu 18. Cho dãy số u với u
. Khi đó lim u bằng: n n 3 3 n n 3n 9 1 A. . B. 1. C. . D. . 3
Câu 19. Cho dãy số u được xác định như sau: n u 3 1 . u u u u u n n 5 n 2 5 8 n n * 16, n 1 n n Đặt v
, hãy tính lim v . n n i 1 u 3 i 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 4 u 1, u 2021
Câu 20. Cho dãy số u được xác định bởi 1 2 . Tính limu . n
u u 2 u n n n 1010 n * , n 2 1 A. 1010 . B. 1010 . C. . D. . x 1
Câu 21. Cho dãy số x được xác định như sau: 1 . n
x x (x 1)(x 2)(x 3) 1 n 1 n 1 n n n n TOANMATH.com Trang 3/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com n y 1 Đặt n
với n 1, 2,.... . Tìm lim y . x n x n n i 1 2 i 1 2 A. B. . C. 2 D. . 2 2 2
x ax b , x 1
Câu 22. Gọi a,b là các giá trị để hàm số f x 2 x 1
có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 1
x 1,x 1
. Tính a b ? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
(1 mx)n (1 nx)m Câu 23. Cho lim 15, 1 n m 1,
n, m . Khi đó n bằng: 2 x0 x A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 6 . 3 4
2x 1. 3x 1. 4x 1 1
Câu 24. Tính A lim . x0 x
A. A 2 . B. A 1 . C. A 9 . D. A 3 . 3
x 2 x 20
Câu 25. Tính L lim . x7 4 x 9 2 176 176 102 112 A. L . B. L . C. L . D. L . 27 27 27 27 f x 5
3 4 f x 7 f x 4
Câu 26. Cho f x là đa thức thỏa mãn lim
10 . Tính T lim . x 1 x 1 2 x 1 x x 2 5 5 40 5 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 9 2
2ax 30 bx 5 Câu 27. Cho lim
c với a,b,c . Tính giá trị 2 2
P a b 36c . 3 x 1 x 3x 2 A. 10 . B. 15 . C. 20 . D. 25 . 3 2 9x 4 4x 8
Câu 28. Tính giới hạn lim . x0 sin x 4 3 9 A. . B. . C. Không tồn tại. D. . 9 2 4 a a Câu 29. Ta có
với a,b * và là phân số tối giản. Tính a b 2 3 3 2 lim x x 3 x x x 3 x b b .
A. a b 5 . B.
a b 6. C.
a b 4 . D. a b 7 . 1 a a Câu 30. Cho lim . x sin
với a,b * và là phân số tối giản. Tính a b . x 3x b b TOANMATH.com Trang 4/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
A. a b 6 . B. a b 4 . C. a b 2 . D. a b 0 . 2
ax 3x 1 x 1 Câu 31. lim
. Giá trị a là: x 2
x x 2 2x 3 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 4. a Câu 32.
( phân số tối giản). Tính P 2a 3b . 3 3 2 2 lim 8x 5x 4x 3x x b A. P 7 . B. P 10 . C. P 20 . D. P 2 . 2 2
3x 5sin 2x 7 cos x a
Câu 33. Cho giới hạn A lim
, a,b . Khi đó a b là: 2 x 2x 2 b 5 7 A. 0 . B. . C. . D. 1. 2 2
Câu 34. Cho là một góc cho trước (đơn vị radian). Giới hạn: a b x sin 3 3 2 3 1 3 lim sin 3.sin 3 .sin ... 3 .sin
. Tính T a b 3c . 2 3 3 3 3 3x x c
A. T 12 . B. T 8 . C. T 8. D. T 12
Câu 35. Cho các số thực a , b , c với a 0 thỏa mãn 2
c a 2 và 2 lim
ax bx cx . Tính 3 x
P a b 5c . A. P 28 B. P 0 C. P 28 D. P 1 .
Câu 36. Giới hạn I bằng: 2 lim 4x x 1 2x x 1 1
A. I . B. I . C. I . D. I . 4 4 2 x 3x 4
Câu 37. Giới hạn I lim bằng: x 2 1 1 x
A. I 1. B.
I . C. I 0. D. I . 1 x 1
Câu 38. Kết quả của giới hạn lim ( ) là: x 2 x 2 x 2 2 A. 11. B. 0 . C. . D. . 3 2 x x
Câu 39. Kết quả của giới hạn lim là:
x x 3 1 1 A. 2 . B. 1. C. . D. . f x 10 Câu 40. Cho lim
5 và g x 3
f (x) 6 2 f (x) 2 . x 1 x 1 TOANMATH.com Trang 5/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 1 Tính lim . x 1 x 1 g(x) 5 5 A. . B. . C. . D. . 12 12 7
Câu 41. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết lim x ax x bx
. Khi đó a và b x 2 3 3 2 4 8 2 3 3
thỏa mãn hệ thức nào sau đây?
A. a 2b 33 . B.
a 2b 35. C.
a 2b 36. D.
a 2b 34. a a
Câu 42. Biết giới hạn L
với a, b là số tự nhiên và là phân số tối 3 3 2 2 lim 8x x 4x 3x x b b
giản. Tính a b . A. 7 B. 11 C. 9 D. 13
x 22 , x 1
Câu 43. Cho hàm số f x 2 3
x 6 , x 1 . Tìm a để hàm số gián đoạn tại điểm x 1. 0 2
4a 5, x 1 A. 1. B. 1. C. 1. D. 2 . 3
a 5x 1 2a 2x 2 , x 3
Câu 44. Cho hàm số f x x 3
. Tìm a để hàm số liên tục tại x 3. 0
2x 1,x 3 A. 20 . B. 22 . C. 23. D. 24 . 4x 1 3 khi x 2
Câu 45. Tìm m để hàm số f x 2 x
liên tục tại x 2 . 0 mx khi x 2 1 1 2 2
A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 3 2
2x 3x x 2 khi x 1
Câu 46. Tích tất cả các giá trị của m để hàm số f x x 1 2
m x 3mx 2021 khi x 1
liên tục tại x 1 bằng? 0 A. 2021. B. 2 021. C. 20 20. D. 2022 . 2
ax 1 bx 2 1 khi x 3 1
Câu 47. Cho hàm số f x 4x 3x 1 2
, a,b,c . Biết hàm số liên tục tại x . 0 c 1 2 khi x 2 2
Tính S abc . TOANMATH.com Trang 6/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com A. S 36 . B. S 18 . C. S 36 . D. S 18 .
6x 3 ax b khi x 2
Câu 48. Cho hàm số f x 2 x 4x 4
với a,b . Tính giá trị của biểu thức 2 2
S a b 1 khi x 2 6
khi hàm số liên tục tại x 2 .
A. S 2 . B. S 1. C. S 4 . D. S 8. 2020 x x 2 khi x 1
Câu 49. Cho hàm số f x 2021x 1 x 2021 . a khi x 1 m
Khi hàm số y f x liên tục tại x 1 thì a
n trong đó m và n là hai số nguyên tố cùng 0 1010
nhau. Tính 2n m . A. 2021. B. 2020 . C. 2022 . D. 2023. 2 x 1
khi x 3, x 2 Câu 50. Cho hàm số 3
f (x) x x 6
. Tìm m để hàm số liên tục tại x 3.
m 3 khi x 3, m 2 3 2 3
A. m 3 . B.
m 3 . C. m . D. m . 3 3 sin 5x khi x 0
Câu 51. Cho hàm số f (x) 5x
. Tìm a để hàm số f x liên tục tại x 0 .
a 2 khi x 0
A. a 1. B. a 1 . C. a 2 . D. a 2 .
x 1 ax b khi x 1
Câu 52. Cho hàm số y f x x 2 1
, với a 0 . Biết hàm số liên tục trên tập xác
c khi x 1
định. Tính giá trị biểu thức T 2a b 8c ?
A. T 1 . B. T 0 . C. T 2 2 . D. T 2 . cos x khi x Câu 53. Cho 3
a, b là các tham số thực sao cho hàm số f (x)
liên tục trên . Tính giá
ax b khi x 3
trị của biểu thức a 2b . A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 54. Phương trình nào dưới đây luôn có nghiệm với mọi m ?
A. m 3 2
1 x 2x 1 0 B. 5 4
mx x 3 0 . TOANMATH.com Trang 7/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com C. 2 m 3
x m 2 1
1 x 1 0 . D. 2
m m 7 5
5 x x 1 0 .
Câu 55. Phương trình 5 4
x 5x 4x 1 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0;5? A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Vô nghiệm.
Câu 56. Phương trình nào sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
A. m 5 2
1 x x x 1 0 . B. 5 4
mx 2x 1 0 . C. 2 m 5 2
4 x mx 2 0 . D. 2 m 5
1 x 4x 2 0 .
Câu 57. Phương trình nào sau đây có đúng một nghiệm trên khoảng 1; 1 . A. 5 3
x 5x 4x 1 0 . B. 5 4
x 3x x 3 0 . C. 4 2
x 2x 1 0 . D. 5
x 2x 1 0 .
Câu 58. Trong các phương trình sau, phương trình nào có đúng 5 nghiệm phân biệt. A. 3
2 2 3x x 2020x 4 . B. 5
x 2020x 1 0 . C. 3 3
x 2 3 3x 2 . D. 5 4 3 2
x 9x 4x 18x 12x 1 0 .
Câu 59. Số nghiệm ít nhất có thể của phương trình 3 3
m(x 1)(x 4x) x 3x 1 0 ( m là tham số) là: A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 60. Trong các phương trình sau, phương trình nào có đúng 5 nghiệm phân biệt? A. 5
x 3x 1 0. B. 5 3 2 2
x 2x 15x 14x 2 3x x 1. C. 3
x 2x 4 3 3 2x. D. 3
2x 6 1 x 3.
Câu 61. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trinh 2
m m 5 2 5
4 x 2x 1 0 có nghiệm.
A. m \ 1; 4 . B. m
;1 4; .
C. m 1; 4 . D. m . II. BẢNG ĐÁP ÁN
1A 2D 3A 4B 5D 6C 7D 8D 9A 10D 11A 12B 13D 14D 15D
16B 17D 18A 19D 20C 21A 22D 23D 24D 25D 26B 27B 28D 29D 30C
31D 32D 33D 34D 35B 36D 37B 38D 39D 40D 41C 42B 43B 44D 45B
46C 47A 48A 49D 50D 51B 52D 53B 54D 55C 56D 57D 58D 59B 60B 61A
III. LỜI GIẢI CHI TIẾT TOANMATH.com Trang 8/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Dạng toán 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số. 3n 2
Câu 1. Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn 2 lim
a 4a 0
. Tổng các phần tử của n 2 S bằng: A. 4. B. 3. C. 5. D. 2. Lời giải 3n 2 Ta có: 2 lim
a 4a 0 n 2 4 a 3 2 lim 3
a 4a 0 2
a 4a 3 0 . n 2 a 1 Vậy S 1; 3 1 3 4 . n n 1 4 2 1
Câu 2. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc 0;2020 để lim .
3n 4na 6 1 A. 2019 . B. 2018 . C. 2017 . D. 2016 . Lời giải Ta có: 1 n 1 2. n n 1 4 2 2 1 1 1 lim lim
3n 4na 3 n 4a a 2a a . 2 2 4 4 1 1 Do đó, a 4
2 16 2 a 4. 2a 16 a 0;2020 Mà
. Do đó a 4,5,6,..., 2 019 . a
Vậy có 2016 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 2
an n2n 1 Câu 3. Cho lim
3 với a,b 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2
1 bn 5 3n 9b A. a . B. b 9 a . C.
a 9b . D. b 3 a . 2 Lời giải 1 1 2
an n n a 2 2 1 n n 2a Ta có: lim lim . 2
1 bn 5 3n 1 5 3 b 3 b 2 n n TOANMATH.com Trang 9/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2a 9b Suy ra: 3 a . 3b 2 2 2
an 1 an 5 Câu 4. Cho lim 5
với a 0 . Tính giá trị biểu thức P a a . 1 4n A. 90 . B. 110. C. 100. D. 10 . Lời giải 2 1 2 5 n a n a 2 2 2 2
an 1 an 5 n n Ta có: lim lim 1 4n 1 4n 1 5 1 5 n a n a a a 2 2 2 2 n n n n 2 a a lim lim . 1 1 4 2 n 4 4 n n a Suy ra 5
a 10 a 100 . 2
Vậy P a a 100 10 110 . 3 3u n
Câu 5. Cho dãy số u và n u
. Giới hạn của dãy số x u bằng: 1 2 n 1
n 2u 3 n i n i 1 11 11
A. lim x 6 . B. lim x 11. C. lim x . D. lim x . n n n 6 n 3 Lời giải 1 Đặt v n un 1 2 Ta có v 1 u 3 1 1
(n 2)u 3 n 2 1 n 2 n v v n 1 u 3u 3 n u 3 n 1 n n 2 v 1 3 v v 1 2 1 4
Lại có v v 3 2 3 ... n 1 v v n n 1 3
Cộng vế theo vế các phương trình trên ta có TOANMATH.com Trang 10/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2 4
n 1 2 3 4 5... n 1
n 2 n 1 n n 3
v 1 ... n 3 3 3 3 3.2 6 nn 3
Suy ra dãy số v có số hạng tổng quát v n n 6 6 u n nn 3 n 6 x n
i1 i i 3 Vì 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... nn . 1 ... . 1 ... ... 1.4 2.5 3 3 4 2 5 n n 3 3 2 n 4 5 n 3 3 2 1 1 1 1 1
1 1 11n 48n 49n .1 . 3
2 3 n 1 n 2 n 3 3 6 3 2
n 6n 11n 6 n 3 2 3 2 6
1 11n 48n 49n
11n 48n 49n nên x n
i i i 6. . 3 3 6 3 2
n 6n 11n 6 3 3 2 1
n 6n 11n 6 48 49 3 2 11 2 11n 48n 49n 1 11 Suy ra lim lim n n x n 3 lim . 3 2
n 6n 11n 6 3 6 11 6 3 1 2 3 n n n 11 Vậy lim x . n 3 u 2020 1
Câu 6. Cho dãy số u xác định như sau: 2 u 5
. Khẳng định nào sau đây sai về dãy n n * u , n n 1 2 u 2 n u : n 5
A. u là dãy số giảm. B. u bị chặn dưới. C. limu . D. lim u 1 . n n n 4 n Lời giải
+ Dễ thấy u 0 với mọi *
n , do đó u bị chặn dưới. n n 2 u 5 2 u 4u 5 u u n n n 1 5 n + Xét n u u u n 1 n 2u 2 n 2u 2 u n 2 2 n n 2 u 5 1 9 1 + Lại có n u u 2
2 .2 9 2 1 u 1, n , n 1 2u 2 u n n 2 n 2 2 n TOANMATH.com Trang 11/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2 u 5 + Giả sử n 1 u 1 2
u 2u 1 0 u 1, hay mọi số hạng đều bằng 1, vô n 1 2 u 2 n 1 n 1 n 1 n 1
lý. Vậy u 1, n n + Do đó u u 0 n
, hay u là dãy số giảm. n n 1 n
+ Vì u là dãy số giảm, bị chặn dưới nên u có giới hạn hữu hạn. Đặt limu a , ta có n n n 2 u 5 2 a 5 a 1 n u a
. Vậy lim u 1 . Chọn C n 1 2u 2 2a 2 a 5( loai) n n
Câu 7. Cho dãy số u xác định bởi công thức: n u 2021 1 1 2020
. Khi đó limu bằng: u 1 u ; n 1 n n 1 n 2 1 n n 2 1 2021 4041 A. 2020 . B. . C. 4041. D. . 2 2 Lời giải Ta có: 1 2020 u 2020 u 2020 1 u 2020 u 2020 n . n 1 n 2 1 n n 2 1 n n 2 1
Đặt: v u 2020 . n n Ta có: v 1 1 1 1 nn 2 v v v 1 v v , n 1 n 1 n n 2 1 n n 2 1 n n 2 1 n Do đó: n 1 n 1 nn 2
n 1n 3 3.1
v .v .v ...v v . v . v ... v n n 1 n2 2 2 n 1 n
n 2 n2 1 n 22 n3 2 1 2 n 1
v .v .v ...v n 1 n2 n3 1 2n n 1 4041n 1 Hay v
v u v 2020 ;n 1 . n 1 2 n n n 2n 4041n 1 4041 Vậy lim u lim . n 2 2
Dạng toán 2. Tổng của cấp số nhận lùi vô hạn. TOANMATH.com Trang 12/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com a
Câu 8. Số thập phân vô hạn tuần boàn 0,11272727… được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản , trong b
đó a và b là các số nguyên dương. Tính 5a b . A.120. B. 43
0. C. 430. D. 12 0. Lời giải Ta có: 27 4 11 27 27 11 31 10 0,112727... ... . 4 6 100 10 10 100 1 275 1 2 10
Vậy a 31,b 275 . Do đó 5a b 5.31 275 120 . 1 1 1 1 n
Câu 9. Cho dãy số u với u ... . Tính limu . n n 3 9 27 3 n 1 1 1 1
A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Lời giải 1 1
u là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u và q . n 1 3 3 1 n 1 1 3 1 1 n Do đó u . 1 . n 3 1 4 3 1 3
1 1 n 1
Suy ra limu lim 1 . n 4 3 4
Câu 10. Thả một quả bóng cao su từ độ cao 60m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một 1
độ cao bằng độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. 3
Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. (113 m;115 m) . B. (115 m;117 m) . C. (117 m;119 m) . D. (119 m;121m) . Lời giải
Ta có tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt
đất bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống. 1
+) Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là 3 1 2 3 1 1 1 1 n 3 S 60. 60. 60. ... 60. ... 60. 30 . 1 3 3 3 3 1 1 3 TOANMATH.com Trang 13/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
+) Tổng quãng đường bóng rơi xuống là 1 2 3 1 1 1 1 n 3
S 60 60. 60. 60. ... 60. ... 60. 90 . 2 3 3 3 3 1 1 3
Vậy tổng độ dài hành trình của quả bóng là S S S 30 90 120(m) . 1 2
Câu 11. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung
bình của tam giác ABC .
Ta xây dựng dãy các tam giác A B C , A B C , A B C ,... sao cho A B C là một tam giác đều cạnh 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1
bằng x và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác A B C là tam giác trung bình của tam giác n n n
A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S tương ứng là diện tích tam giác A B C . Tính n 1 n 1 n 1 n n n n
tổng S S S ... S ... 1 2 n 3 3 2 3 A. 2 x . B. 2 3x . C. 2 x . D. 2 x . 3 2 3 Lời giải 3
Với n 1 thì tam giác đều A B C có cạnh bằng x nên diện tích tam giác A B C là 2 S x . 1 1 1 1 1 1 1 4 x 2 3 x
Với n 2 thì tam giác đều A B C có cạnh bằng nên diện tích tam giác A B C là S 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ................... x 2 3 x
Như vậy tam giác đều A B C có cạnh bằng
nên diện tích tam giác A B C là S n n n 1 2n n n n n n 1 4 2 3
Khi đó ta được dãy S , S ,...S ...là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 2 u S x và 1 2 n 1 1 4 1 công bội q . 4 u 3 Do đó tổng 1 2
S S S ... S ... x . 1 2 n 1 q 3
Câu 12. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung
bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A B C , A B C ,
A B C ,... sao cho A B C 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1
là một tam giác đều cạnh bằng 6 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác A B C là tam giác n n n
trung bình của tam giác A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S tương ứng là diện n 1 n 1 n 1 n
tích hình tròn nội tiếp tam giác A B C . Tính tổng S S S ... S ...? n n n 1 2 n 15 9 A. S
. B. S 4. C. S
. D. S 5. 4 2 Lời giải
Ta có dãy các tam giác A B C , , A B C
A B C ,... là các tam giác đều. 1 1 1 2 2 2 3 3 3
Đặt a , a ,..., a ,...lần lượt là độ dài cạnh của các tam giác đều trên. 1 2 n TOANMATH.com Trang 14/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 3
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều thứ n bằng a . n 6
Với n 1 thì tam giác đều A B C có cạnh bằng 6 nên đường tròn nội tiếp tam giác A B C có bán 1 1 1 1 1 1 2 3 3 kính R 6. S 6. . 1 6 1 6 6
Với n 2 thì tam giác đều A B C có cạnh bằng 3 nên đường tròn nội tiếp tam giác A B C 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3
có bán kính R 6. . S 6. . . 2 2 6 2 2 6 3
Với n 3 thì tam giác đều A B C có cạnh bằng nên đường tròn nội tiếp tam giác A B C có 3 3 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 bán kính R 6. . S 6. . . 3 4 6 3 4 6 ................... n 1 1
Như vậy tam giác đều A B C có cạnh bằng 6.
nên đường tròn nội tiếp tam giác A B C có n n n 2 n n n n 1 2 1 3 n 1 1 3 bán kính R 6. . S 6. . . n 2 6 n 2 6
Khi đó ta được dãy S , S , ...S ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u S 3 và 1 2 n 1 1 1 công bội q . 4 u
Do đó tổng S S S ... S ... 1 4 . 1 2 n 1 q u 2 1
Câu 13. Cho dãy số (u ) được xác định bởi: 2u . n n u ; n 1 n 1 u 1 n 1 u 1 u 1 u 1 u Tổng 1 2 3 S ... n
.... thuộc khoảng nào sau đây? u u u u 1 2 3 n 1 1
A. 2;3. B. 0; 1 . C. ; . D. 2;0 . 2 2 Lời giải 1 1 1 1
Ta có: S 1 1 1 ... 1 ... u u u u 1 2 3 n 1 1
Gọi ( y ) là dãy số được xác định bởi y 1 u . n n n u y 1 n n TOANMATH.com Trang 15/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Thay vào công thức truy hồi của dãy (u ) ta được: n 2 1 y 1 2 1 1 n y 1 y 2 y y . n 1 n n 1 y 1 1 y 2 2 2 n n 1 1 n y 1 n 1 1 1
Suy ra ( y ) là một cấp số nhân lùi vô hạn có y 1 và q . n 1 u 2 2 1 1 y Khi đó: 1 2
S y y y ..... y ... 1 . Hay S 2; 0. 1 2 3 n 1 q 1 1 2
Câu 14. Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả 1
sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. 10
Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất biết
quả bóng chỉ rơi xuống và nảy lên theo chiều thẳng đứng. 63
A. 63m . B. m . C. 126m . D. 77m . 10 Lời giải Ta thấy:
Ban đầu bóng cao 63m nên chạm đất lần 1 bóng di chuyển quãng đường S 63 m . 1
Từ lúc chạm đất lần một đến chạm đất lần hai bóng di chuyển được quãng đường là 1 1 63 1 S 2S . 2.63.
(do độ cao lần hai bằng độ cao ban đầu). 2 1 10 10 5 10 1
Từ lúc chạm đất lần hai đến chạm đất lần ba bóng di chuyển được quãng đường là S S (do 3 2 10 1 độ cao lần ba bằng
độ cao lần hai)... Cứ tiếp tục như vậy kéo dài ra vô tận thì ta có được tổng 10
quãng đường mà bóng cao su đã di chuyển là 2 1 1 1 63 10
S S S S ... S S S . S .
... S S 63 . 77m . 1 2 3 1 2 2 2 1 2 10 10 1 1 5 9 10
Vậy quãng đường di chuyển của bóng là 77m .
Dạng toán 3. Giới hạn vô cực của dãy số. u 2
Câu 15. Cho dãy số u sao cho 1 . Tìm limu . n u
u n, n 2 n n n 1 A. . B. 0 . C. 2 . D. . TOANMATH.com Trang 16/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com Lời giải u 2 Ta có : 1 . u
u n n 2 n n 1 n 1 (2 n)
u u 2; u u 3, ..., u u n u u 2 3 4 ... n 2 . n 1 2 1 3 2 n n 1 2
lim u . n
Câu 16. Có bao nhiêu số nguyên a 0;100 để lim n
a sin n . A. 99 . B. 98. C. 50. D. 0 . Lời giải n n a n n sin lim sin lim a 1 . n a
sin n 1 n n a a
Khi a 1 ta có 1 n lim 0; lim n a a sin n n lim 0 na n n sin lim sin lim a 1 . n a n a
Khi a 1 ta có n
a sin n 1 sin n 2 .
Khi 0 a 1 lim n
a 0 lim n
a sin n không thể là .
Kết luận có a 2;3;4;..;9
9 nên có 98 số nguyên tìm được. 11 11 11
Câu 17. Cho dãy số u với u
. Khi đó lim u bằng: n n 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) n 1 11 11 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 6 Lời giải 11 11 11 u n 3.5 5.7 (2n 1) (2n 1) 11 5 3 7 5 (2n 1) (2n 1) 2 3.5 5.7 (2n 1) (2n 1) 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 . 2 3 5 5 7
2n 1 2n 1 2 3 2n 1 11 1 1 11 lim u lim . n 2 3 2n 1 6 TOANMATH.com Trang 17/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com (3n 1)(1 8n)
Câu 18. Cho dãy số u với u
. Khi đó lim u bằng: n n 3 3 n n 3n 9 1 A. . B. 1. C. . D. . 3 Lời giải 2 24
n 5n 1 5 1 2 24 2 2 (3n 1)(1 8n) 24
n 5n 1 lim u lim lim n lim n n . n 3 3 3 3 3 n 3n 9 n 3n 9 n 5n 1 1 5 1 3 3 6 3 5 6 n n n n
Câu 19. Cho dãy số u được xác định như sau: n u 3 1 . u u u u u n n 5 n 2 5 8 n n * 16, n 1 n n Đặt v
, hãy tính lim v . n n i 1 u 3 i 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 4 Lời giải Dễ thấy * u 0, n . n Theo đề bài ta có u u u u u u u u u n n 5 n 2 5 8 n n 16 2 5 n n 2 5 8 16 1 n n
u 5u u u u u u u n n 2 8 5 n n 16 5 4 n n 2 2 2 2 2 5 4. n n Suy ra 2 u
2 u 5u 6 u 2 u 3 n 1 n n
n n 1 1 1 1 1 1 1 . u 2 u 2 u 3 u 2 u 3
u 3 u 2 u 2 n 1
n n n n n n n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 Do đó v .n . n . n . n i 1 u 3 u u u u u i i 1 2 2 2 2 5 2 i i 1 1 n 1 n 1 Mặt khác, từ 2 u
u 5u 4 ta suy ra u 5u ta có n 1 n n n 1 n u 5u 2 1 u 5u 3 2 n n 1 1 1 u
5u u .u .u ...u 5 u u .u ...u u 5 u limu lim 0 . 4 3 2 3 4. n 1 2 3 n 1 n 1 n u 2 n 1 ... u 5u n n 1 TOANMATH.com Trang 18/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 1 1
Từ đó ta có lim v lim . n . n 5 u 2 n 1 u 1, u 2021
Câu 20. Cho dãy số u được xác định bởi 1 2 . Tính limu . n
u u 2 u n n n 1010 n * , n 2 1 A. 1010 . B. 1010 . C. . D. . Lời giải Chọn C
u 1, u 2021 1 1 2 n 1 . u
u 2 u 1010 2 n2 n n 1 Đặt v u u . n n 1 n Ta có 2 u
u u u 2020 v v 2020 . n2 n 1 n 1 n n 1 n
Suy ra v lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v 2020 và công sai d 2020 . n 1
Nên v 2020 n 1 .2020 2020n . n
Khi đó: u u u u u
u u u n
n n 1 n 1 n2 2 1 1
v v .
v u 2020 n 1 n 2 1 1 n 1 n2 1 1 n n 1 2020
1 1010nn 2
1 1 1010n 1010n 1. 2 1010 1 Do đó: 2 2
lim u lim(1010n 1010n 1) lim n (1010 ) . n 2 n n 1010 1 Ta có 2
lim n và lim(1010 ) 1010 0 2 n n Vậy lim u . n x 1
Câu 21. Cho dãy số x được xác định như sau: 1 . n
x x (x 1)(x 2)(x 3) 1 n 1 n 1 n n n n n y 1 Đặt n
với n 1, 2,.... . Tìm lim y . x n x n n i 1 2 i 1 2 A. B. . C. 2 D. . 2 2 Lời giải Chọn A x
x (x 1)(x 2)(x 3) 1 x x x x
x x (1) n n n n 2 3 n n 2 3 2 n n 2 1 3 1 n 1 n n TOANMATH.com Trang 19/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Vì x 1 0 x 0, n 1, 2,... 1 n Ta có: + 2
x 1 x 3x 2 x 1 x 2 n 1 n n
n n 1 1 1 1 1 1 1 + x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 n 1
n n n n n n n 1 n y 1 n 1 1 1 1 1 1 Do đó n = x x i x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 n i 1 2 i 1 i i 1 1 n 1 n 1 Từ (1) 2 k 1 x
x 3x 1 3x 3.3 3k k 1 k k k
Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp n 1 x 3 lim x n n 1 1 1 1 1
Vậy lim y lim x
vì lim x ; lim . n n 2 x 1 n 2 x 1 2 n 1 n 1
Dạng toán 4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. 2
x ax b , x 1
Câu 22. Gọi a,b là các giá trị để hàm số f x 2 x 1
có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 1
x 1,x 1
. Tính a b ? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải
Do hàm số f x có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 1 nên x 1
là nghiệm của phương trình 2
x ax b 0 , do đó ta 1 a b 0 b a 1. x 1 a , x 1
Ta viết lại hàm số f x x 1 .
x 1, x 1
Mặt khác giới hạn cần tìm tồn tại f x f x a 2 lim lim
0 a 2 b 1. x 1 x 1 2
Do đó a b 1.
(1 mx)n (1 nx)m Câu 23. Cho lim 15, 1 n m 1,
n, m . Khi đó n bằng: 2 x0 x A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 6 . Lời giải 2 2 n m n(n 1)x Ta có: 3 3
(1 mx) 1 mnx
m x .A ( với A C mxC mx C ) n n 3 3 4 ... n n 2 n 2 2 m x 1 nxm n m( 1) 3 3 1 mnx
n x B , ( với B C nxC nx C ) m m 3 3 4 ... m m 2 m TOANMATH.com Trang 20/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
(1 mx)n (1 nx)m 2 2
m n(n 1) n m(m 1) Do đó: 15 lim lim x 3 3 m A n B 2 x0 x x0 2 2 2
m n(n 1) n m(m 1)
mn(n m) . 2 2 Khi đó ta có:
mn(n m)
n 6 N 15
mn(n m) 30 3 2 2 2
n 33n 121n 30 0 21 481 . m 11 n n 11 L m n 4 3 4
2x 1. 3x 1. 4x 1 1
Câu 24. Tính A lim . x0 x
A. A 2 . B. A 1 . C. A 9 . D. A 3 . Lời giải
Với mọi số thực a, b, c ta có:
a 1 a b
1 abc 1 abc 1 Do đó 3 4 x x
x x x 3 x 3 x x 4 2 1. 3 1. 4 1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1. 3 1 4x 1 1 3 2x 3x 2x 1
4x 2x 1. 3x 1
2x 1 1 3 3x 2 4 1 3x 1 1 4x 3 4 1 4x 2 3 4 1 4x 1 1 3 2 3 2x 1
4 2x 1. 3x 1 Do đó A lim x0 2x 1 1 3 3x 2 3 4 1 3x 1 1 4x 3 4 1 4x 2 4 1 4x 1 1 A 111 3 3
x 2 x 20
Câu 25. Tính L lim . x7 4 x 9 2 176 176 102 112 A. L . B. L . C. L . D. L . 27 27 27 27 Lời giải 3 x 2 3 x 20 3 3
x 2 x 20 Ta có: A lim x 7 x 7 lim x7 4 x 9 2 x7 4 x 9 2 x 7 TOANMATH.com Trang 21/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 1 1 x 1 1 2 3 3 x 202 3 3 x 20 9 112 6 27 lim . x7 1 1 27 4 x 3 4 x 2 4 x 32 9 2 9 4 9 8 f x 5
3 4 f x 7 f x 4
Câu 26. Cho f x là đa thức thỏa mãn lim
10 . Tính T lim . x 1 x 1 2 x 1 x x 2 5 5 40 5 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 9 Lời giải. f x 5
Đặt g x
f x x
1 g x 5 lim f x 5 . 1 x 1 x
3 4 f x 7 f x 3 4
4 f x 7 3 3 f x 4 Ta có: T lim lim 2 2 x 1 x 1 x x 2 x x 2
3 4 f x 7 3
f x 4 3 lim 2 2 x 1 x x 2
x x 2 4 f x 5 f x5 lim x 1
2 3 3
x 1x 2 f x x x f x f x 4 3 1 2 4 7 3 4 7 9
f x5 4 1 lim . x 1 x 1
2 3 3 x 2 f x x f x f x 4 3 2 4 7 3 4 7 9 4 1 5 10. . 81 18 81 2
2ax 30 bx 5 Câu 27. Cho lim
c với a,b,c . Tính giá trị 2 2
P a b 36c . 3 x 1 x 3x 2
A. 10 . B. 15 . C. 20 . D. 25 . Lời giải
Ta có x x x 2 3 3 2 1 x 2 ax bx 2 2 2 30
5 0 có nghiệm kép x 1 2 a b 2 2
x 10bx 5 0 có nghiệm kép x 1 2
2a b 0 2 2a b 2 2a b 0 2 25b 5 2
2a b 0 2 2
2a b 5b 2
2a b 10b 5 0 2 2
2a b 10b 5 0
2a b 10b 5 0 TOANMATH.com Trang 22/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2 2a b 2 2a b a 3 2 2
2a b 5b a 3 b 1 2
5b 10b 5 0 b 1
6x 30 x 5
6x 30 x 52 2 2 lim lim x 1 x 2 1 x 2 x 1 x 2 1 x 2 2
6x 30 x 5 5 x 2 1 5 5 lim lim x 1 x 2 1 x 2 2
6x 30 x 5 x 1 x 2 2
6x 30 x 5 36 Vậy P 15. 3 2 9x 4 4x 8
Câu 28. Tính giới hạn lim . x0 sin x 4 3 9 A. . B. . C. Không tồn tại. D. . 9 2 4 Lời giải 3 2 3 2 9x 4 4x 8 9x 4 2 2 4x 8 Ta có lim lim x0 x0 sin x sin x sin x 4x 3 2
9x 4 2 2 4x 8 9 4 2. 4x 8 x x x 4x 8 9 4 2 2 3 2 2 3 lim lim x0 sin x sin x x0 sin x sin x x x x x 9 9 2 2 0 . 1 4 3 2 9x 4 4x 8 9 Vậy: lim . x0 sin x 4
Dạng toán 5. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. a a Câu 29. Ta có
với a,b * và là phân số tối giản. Tính a b 2 3 3 2 lim x x 3 x x x 3 x b b
A. a b 5 . B.
a b 6. C. a b 4 . D. a b 7 . Lời giải Có 2 3 3 2 lim x x 3 x x x 3 x 2 x x x 3 3 2 lim 3 x x x 3 x x TOANMATH.com Trang 23/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2 x 3 x x 3 lim x 2
x x 3 x 3 2
x x x 32 3 3 2 2 3 .
x x x x 3 x 3 1 3 1 1 2 lim x x x x 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 3 2 1 1 1 2 3 2 3 x x x x x x x x 1 1 1 . 2 3 6
Suy ra: a b 7 . 1 a a Câu 30. Cho lim . x sin
với a,b * và là phân số tối giản. Tính a b . x 3x b b
A. a b 6 . B. a b 4
. C. a b 2 . D. a b 0 . Lời giải 1 1 sin sin 1 1 1 Ta đặt 3x 3 lim .sin lim . lim x L x x 3 x x 3 1 3 x 1 3x 3x 1 sin 1 1 1 sin t 1 Đặt t và lim t 0 thì 3 lim x L lim . 3x x 3 x 1 t0 3 t 3 3x
Suy ra: a b 1 3 2 . 2
ax 3x 1 x 1 Câu 31. lim
. Giá trị a là: x 2
x x 2 2x 3 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 4. Lời giải 3 1 3 1 2 x a x a 1 2 2
ax 3x 1 x x x x x a 1 1 lim lim lim x 2
x x 2 2 x x 1 2 x 1 2 3 3 x 1 2x 1 2 2 2 x x x x
a 1 1 a 2 a 4 . a Câu 32.
( phân số tối giản). Tính P 2a 3b . 3 3 2 2 lim 8x 5x 4x 3x x b A. P 7 . B. P 10 . C. P 20 . D. P 2 . TOANMATH.com Trang 24/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com Lời giải Ta có: 3 3 2 2 x x x x 3 3 2 x x x 2 8 5 4 3 8 5 2 4x 3x 2x 2 5x 3 x 3 2 2 2 3 3 2 2 3 4x 3x 2 8 5 2 8 5 4 x x x x x x x 2 5x 3x 2 3 2 3 2 3 2 3 3 x 4 2 8 2 8 4 x x x x x x x 5 3 5 Khi đó lim x x x x
a 5;b 4 x 3 3 2 2 8 5 4 3 2 2.2 4 4 4 P 2 . 2 2
3x 5sin 2x 7 cos x a
Câu 33. Cho giới hạn A lim
, a,b . Khi đó a b là: 2 x 2x 2 b 5 7 A. 0 . B. . C. . D. 1. 2 2 Lời giải Ta có: 2 2 2 2
3x 5sin 2x 7 cos x 3x 5sin 2x 7 cos x A lim lim lim lim
A A A 2 2 2 2 1 2 3 x 2x 2
x 2x 2
x 2x 2
x 2x 2 2 3x 3 3 +) Với A lim lim . 1 2
x 2x 2 x 2 2 2 2 x 5sin 2x +) Với A lim 2 2
x 2x 2 5 5sin 2x 5 Mà lim 0 A lim lim 0 2 2 2 2 x 2x 2
x 2x 2
x 2x 2 5sin 2x Suy ra A lim 0 . 2 2
x 2x 2 2 7 cos x +) Với A lim 3 2
x 2x 2 2 0 7 cos x 7 Mà lim 0 A lim lim 0 2 3 2 2
x 2x 2
x 2x 2
x 2x 2 2 7 cos x Suy ra A lim 0 3 2
x 2x 2 3
Lúc đó A A A A 1 2 2 2 TOANMATH.com Trang 25/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Vậy a 3, b 2 và a b 1. Câu 34. Cho
là một góc cho trước (đơn vị radian). Giới hạn a b x sin 3 3 2 3 1 3 lim sin 3.sin 3 .sin ... 3 .sin
. Tính T a b 3c . 2 3 3 3 3 3x x c
A. T 12 . B. T 8 . C. T 8. D. T 12 Lời giải 1 Áp dụng công thức 3
sin x 3sin x sin 3x 4 1 3 sin 3sin sin 3 4 3 3 3 3sin 3sin sin 2 2 3 4 3 3 2 3 2 3 3 sin 3sin sin 3 3 2 3 4 3 3 …… x 1 x 1 3 3 3 sin 3sin sin x x x 1 3 4 3 3 Từ đó suy ra x 1 3x 3 3 2 3 1 3 3 sin 3sin 3 sin ... 3 sin sin sin . 1 2 3 x x 3 3 3 3 4 4 3 Mà x sin 1 3 1 1 x 1 1 x 3 3 lim sin sin
sin lim 3 .sin sin lim . 4 4 3x 4 4 3x x x 4 4 x 3x sin 4
Vậy a b ;c 4 T 12 .
Câu 35. Cho các số thực a , b , c với a 0 thỏa mãn 2
c a 2 và 2 lim
ax bx cx . Tính 3 x
P a b 5c . A. P 28
. B. P 0 . C. P 28 . D. P 1. Lời giải 2 a c 2 x bx Ta có 2 lim
ax bx cx lim 3. 3 x x 2
ax bx cx TOANMATH.com Trang 26/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2
a c 0 a, c 0
Điều này xảy ra b
. (Vì nếu c 0 thì ). 2 lim ax bx cx x 3 a c Mặt khác, ta cũng có 2 c a 2 . 2 a c 1 Do đó,
a 1, b 6
, c 1. Vậy P a b 5c 0 . b 3
a c 6
Dạng toán 6. Giới hạn vô cực của hàm số.
Câu 36. Giới hạn I bằng: 2 lim 4x x 1 2x x 1 1
A. I . B. I . C. I
. D. I . 4 4 Lời giải I
x x x x x 2 1 1 lim 4 1 2 lim 4 2 2 x x x Do:
lim x , x 1 1 lim 4 2 4 0 2 x x x 1 1
nên lim x 4 2 . 2 x x x 2 x 3x 4
Câu 37. Giới hạn I lim bằng: x 2 1 1 x
A. I 1. B. I . C. I 0. D. I . Lời giải 2 x 3x 4
(x 1)(x 4) I lim lim 2 x( 1 ) x(1) 1 x
(x 1)(x 1) x 4 lim x(1)
(x 1)(x 1) Do lim x 4 5 ; x 1 . lim
( x 1)(x 1) 0, ( x 1)(x 1) 0 , x 1 x 1 TOANMATH.com Trang 27/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 1 x 1
Câu 38. Kết quả của giới hạn lim ( ) là: x 2 x 2 x 2 2 A. 11. B. 0 . C. . D. . Lời giải Chọn D 1 x 1 1
(x 1)( x 2 2)
1 (x 1)( x 2 2) lim ( ) lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 Ta có: lim 1 (x 1)( x 2 2) 11 x2
Mặt khác lim (x 2) 0 và x 2
x 2 x 2 0 x 2 1 x 1 lim ( ) x 2 x 2 x 2 2 3 2 x x
Câu 39. Kết quả của giới hạn lim là:
x x 3 1 1 A. 2 . B. 1. C. . D. . Lời giải 3 2 2 x x x x 2 1 x Ta có: lim lim lim
x x 3 1 x x 3 1
x x 2 1 1 1 1 Vì: 2 lim x 1; x1 lim x 2
1 0 và x 2 1 0, x 1 x 1 3 2 x x Nên lim .
x x 3 1 1 f x 10 Câu 40. Cho lim
5 và g x 3
f (x) 6 2 f (x) 2 . x 1 x 1 1 Tính lim . x 1 x 1 g(x) 5 5 A. . B. . C. . D. . 12 12 Lời giải f x 10 lim
5 nên lim f x 10 0 lim f x 10 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có 3 f x
f x f x 3 ( ) 6 2 ( ) 1 ( ) 6 4
2 f (x) 2 4 TOANMATH.com Trang 28/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com f (x) 10
2 f (x) 10
f (x) 6 4 f (x)22 3 3
2 f (x) 2 4 f (x) 10
2 f (x) 10 x 1 g(x) = x 1 2
f (x) 6 4
3 f (x)2 3
2 f (x) 2 4 f (x) 10 1 2 x f x x 1 x 1 1 ( ) 6 4
3 f (x) 2 2 3
2 f (x) 2 4 f (x) 10 1 2 x 1 x 1 2 2
x 1 f (x) 6 4
3 f (x)2 3
2 f (x) 2 4 lim x 1g(x) x 1
f (x) 10 1 2 lim x 1 x 1 2 2 x 1 x 1
f (x) 6 4 3 f (x)2 3
2 f (x) 2 4 1 2 5 1 1 1 1 0 2 2 10 6 4 3102 3 2 10 2 4
f (x) 10 1 2 5 Mặt khác lim x 1 2 x 1 x 1
f (x) 6 4 3 f (x) 2 3 12
2 f (x) 2 4 1 Và x 2
1 0 với x 2 1 0 với x 1 nên lim . x 1 x 1 g(x) 7
Câu 41. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết lim x ax x bx
. Khi đó a và b x 2 3 3 2 4 8 2 3 3
thỏa mãn hệ thức nào sau đây?
A. a 2b 33 . B.
a 2b 35. C.
a 2b 36. D.
a 2b 34. Lời giải Ta có: 2 ax 2bx 3 2 3 3 2
4x ax 8x 2bx 3 . 2
4x ax 2x 3 2
8x 2bx 32 3 3 2 2 3
2x 8x 2bx 3 4x
a b a b lim x ax x bx . x 3 2 2 3 3 2 4 8 2 3 4 6 12 TOANMATH.com Trang 29/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 3a 2b 7 Theo bài ra ta có:
3a 2b 28 3a 2b 28 . Suy ra a là số chẵn. 12 3
Vậy a 2b là số chẵn. Nên loại phương án A và B. 3
a 2b 28 a 2 Giải hệ được thỏa mãn bài toán.
a 2b 36 b 17 a a
Câu 42. Biết giới hạn L
với a, b là số tự nhiên và là phân số tối 3 3 2 2 lim 8x x 4x 3x x b b
giản. Tính a b .
A. 7 B. 11 C. 9 D. 13 Lời giải 3 3 2 2 x x x
x 3 3 2 2 lim 8 4 3 lim 8x x 2x 2x 4x 3x x x 3 3 2 x x x 2 lim 8 2 lim 2x 4x 3x x x 2 x 3x lim lim 2 x x 2 3 3 2 3 3 2 2
8x x 8x x .2x 4x
4x 3x 2x 2 x 3x 1 3 5 lim lim 2 x 1 1 x 3 12 4 6 2 3 3 x 8 8 .2 4
x 4 2 x x x
Vậy a 5, b 6 a b 11.
Dạng toán 7. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.
x 22 , x 1
Câu 43. Cho hàm số f x 2 3
x 6 , x 1 . Tìm a để hàm số gián đoạn tại điểm x 1. 0 2
4a 5, x 1 A. 1. B. 1. C. 1. D. 2 . Lời giải TXĐ: D .
Với x 1, ta có: f 2 1 4a 5.
Với x 1, ta có: lim f
1 lim x 22 9 . x 1 x 1 lim f 1 lim . 2 3x 6 9 x 1 x 1
Suy ra lim f x 9 . x 1
Vậy hàm số gián đoạn tại điểm x 1nếu lim f x f 1 2
9 4a 5 a 1 . 0 x 1 TOANMATH.com Trang 30/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 3
a 5x 1 2a 2x 2 , x 3
Câu 44. Cho hàm số f x x 3
. Tìm a để hàm số liên tục tại x 3. 0
2x 1,x 3 A. 20 . B. 22 . C. 23. D. 24 . Lời giải 3
a 5x 1 2a 2x 2 3
a 5x 1 4a 4a 2a 2x 2
Ta có: lim f x lim lim x 3 x3 x 3 x3 x 3 x 3
5a x 3
2a 6 2x lim x x 3
5x14 x342. 2x2 2x22 3 3 3 5a 4a 5a 4a 7a lim = . x 5x 1 4 4 2. 2x 2 8 12 24 2x22 3 3 3
Ta có f 3 7 . a
Hàm số liên tục tại điểm x 3 lim f x f 3 7 7 a 24 . 0 x3 24
Vậy hàm số liên tục tại điểm x 3 khi a 24 . 0 4x 1 3 khi x 2
Câu 45. Tìm m để hàm số f x 2 x
liên tục tại x 2 . 0 mx khi x 2 1 1 2 2
A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 Lời giải
TXĐ: D ; x 2 x D . 0 0
Ta có lim f x lim mx 2m . x 2 x 2 f x 4x 1 3 4 x 2 4 2 lim lim lim lim . x 2 x 2 x 2 2 x
2 x 4x 1 3 x 2 4x 1 3 3
f 2 2m .
Hàm số liên tục tại x 2 1
2 2m m . 3 3 TOANMATH.com Trang 31/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 3 2
2x 3x x 2 khi x 1
Câu 46. Tích tất cả các giá trị của m để hàm số f x x 1
liên tục tại x 1 0 2
m x 3mx 2021 khi x 1 bằng: A. 2021. B. 2 021. C. 20 20. D. 2022 . Lời giải
TXĐ: D ; x 1 x D . 0 0
2x 3x x 2 x 1 2 3 2
2x x 2
Ta có lim f x lim lim lim 2
2x x 2 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f 2
1 m 3m 2021.
Hàm số liên tục tại x 1 2 2
m 3m 2021 1 m 3m 2020 0 . 0
Ta thấy phương trình trên có ac 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu và tích hai nghiệm bằng 202 0 . 2
ax 1 bx 2 1 khi x 3 1
Câu 47. Cho hàm số f x 4x 3x 1 2
, a,b,c . Biết hàm số liên tục tại x . 0 c 1 2 khi x 2 2
Tính S abc . A. S 36
. B. S 18 . C. S 36 . D. S 18 . Lời giải
ax 1 bx 2
ax 12 bx22 2 2 a b 2 2 x 4bx 3 Ta có . 3 4x 3x 1 2x 2 1 x
1 ax 1 bx 2 2x 2 2 1 x 1 2
ax 1 bx 2
a b x 4bx 3 m2x 2 2 2 1 m 3 2
ax 1 bx 2 Để lim tồn tại thì b 3 3 1 a b x 4x 3x 1 2 1 2 0 a 3 4 2 Khi đó
ax 1 bx 2 3
x 1 3x 2 3 2x 2 2 2 1 lim lim lim 3 3 1 1 1 x 4x 3x 1 x 4x 3x 1 x 2x 2 1 x 1 2 3
x 1 3x 2 2 2 2 3 3 lim 2 . 1
x x 2 3 1
3x 1 3x 2 2 2 1 1 c
Hàm số liên tục tại x khi lim f x f 2 c 4 0 2 1 x 2 2 2
Vậy S abc 3 3 4 3 6 . TOANMATH.com Trang 32/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
6x 3 ax b khi x 2
Câu 48. Cho hàm số f x 2 x 4x 4
với a,b . Tính giá trị của biểu thức 2 2
S a b 1 khi x 2 6
khi hàm số liên tục tại x 2 .
A. S 2 . B. S 1. C. S 4 . D. S 8. Lời giải Cách 1:
6x 3 ax b Để lim
tồn tại hữu hạn thì phương trình 6x 3 ax b phải có nghiệm kép tại 2 x2 x 4x 4 x 2.
Ta có ax b2 2 2
x a x ab 2 6 3 2
6 x b 3 0
6.2 3 2a b
2a b 3 Khi đó ab 32 2 a 2b 3 2 0
6ab 9 3a 0 b 3 2a
a b 1. 2 3a 6a
3 2a 9 0
Với a b 1 ta được 2 x x x x lim f x 6 3 1 6 3 1 lim lim 2 x2 x2 x2 x 4x 4
2x 4x4 6x3 x 1 2
x 4x 4 1 1 lim lim f 2 x2 2
x 4x 4 6x 3 x x2 1
6x 3 x 1 6
Do đó hàm số đã cho liên tục tại x 2 . Vậy 2 2 2 2
S a b 1 1 2. Cách 2:
6x 3 ax b Để lim
tồn tại hữu hạn thì phương trình 6x 3 ax b phải có nghiệm kép tại 2 x2 x 4x 4 6.2 3 .2 a b
2a b 3 a 1
x 2. Khi đó d 6x 3 . a a 1 b 1 dx x2 2020 x x 2 khi x 1
Câu 49. Cho hàm số f x 2021x 1 x 2021 . a khi x 1 TOANMATH.com Trang 33/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com m
Khi hàm số y f x liên tục tại x 1 thì a
n trong đó m và n là hai số nguyên tố cùng 0 1010
nhau. Tính 2n m . A. 2021. B. 2020 . C. 2022 . D. 2023. Lời giải x x 2020 2020 x 1 x
1 2021x 1 x 2021 2 + Ta có lim lim x 1 x 1
2021x 1 x 2021 2021x 1 x 2021 x 1 2019 2018 x x
... x 1
1 2021x 1 x 2021 lim x 1 2020 x 1 2019 2018 x x
... x 1
1 2021x 1 x 2021 lim x 1 2020 2021 2021 .2. 2022 2022 . 2020 1010 2021
+ Hàm số y f x liên tục tại x 1 lim f x f 1 a 2022 . 0 x 1 1010
Vậy m 2021, n 2022 . Do đó 2n m 2.2022 2021 2023 .
Dạng toán 8. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định. 2 x 1
khi x 3, x 2 Câu 50. Cho hàm số 3
f (x) x x 6
. Tìm m để hàm số liên tục tại x 3.
m 3 khi x 3, m 2 3 2 3
A. m 3 . B.
m 3 . C. m . D. m . 3 3 Lời giải 2 x 1 3
Ta có lim f x lim . 3 x3 x3 x x 6 3
Và f 3 m 3 .
Để hàm số f x liên tục tại x 3 thì lim f x 2 3
f 3 m . x3 3 sin 5x khi x 0
Câu 51. Cho hàm số f (x) 5x
. Tìm a để hàm số f x liên tục tại x 0 .
a 2 khi x 0
A. a 1. B. a 1 . C. a 2 . D. a 2 . Lời giải
Ta có: f (0) a 2 . TOANMATH.com Trang 34/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com sin 5x
lim f (x) lim 1. x0 x0 5x
Để hàm số liên tục tại x 0 thì lim f (x) f (0) a 2 1 a 1 . x0
x 1 ax b khi x 1
Câu 52. Cho hàm số y f x x 2 1
, với a 0 . Biết hàm số liên tục trên tập xác
c khi x 1
định. Tính giá trị biểu thức T 2a b 8c ?
A. T 1. B. T 0 . C. T 2 2 . D. T 2 . Lời giải
Hàm số xác định trên 1 ;.
x 1 ax b
x 1ax b2 2 2
a x 1 2ab x 2 1 b Ta có: . x 2 1 x 2
1 . x 1 ax b x 2
1 . x 1 ax b
Hàm số liên tục trên tập xác định hàm số liên tục tại điểm x 1 . 2 2
x 1 ax b
a x 1 2ab x 2 1 b
Ta có: lim f x lim lim . x x x 2 1 x x 2 1 1 1
1 . x 1 ax b
Vì hàm số liên tục tại x 1 nên lim f x tồn tại hữu hạn. x 1 Do đó: phương trình 2 2
a x ab x 2 1 2
1 b 0 có nghiệm kép x 1.
Suy ra: a x ab x b a x 2 2 2 2 2 1 2 1 . 1 ; x 1 1 2ab 2 . 2 a 2 2 2 2 2
2a 2ab b a 3
a 2ab b 0
a b.3a b 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1
b a b a 1 b a 1 b a 1 a b 2 2 2
a a 1
VN a a 0 4 . b 3 a 3 2 b 2 8 a 1 4 1 2 3 1 x 1 2. x 1 2 Khi đó: f x 8 8 8 lim lim 8 lim . x 1 x 1 x 1 32 2 3 2 x 2 2 3 2 1 . x 1 x x 1 x 4 4 4 4 2
Hàm số liên tục tại x 1 lim f x f 1 c . x 1 32 TOANMATH.com Trang 35/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 2 3 2 2 Vậy a ;b ;c
. Nên T 2a b 8c 2 . 4 4 32 cos x khi x Câu 53. Cho 3
a, b là các tham số thực sao cho hàm số f (x)
liên tục trên . Tính giá
ax b khi x 3
trị của biểu thức a 2b . A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải
Trên mỗi khoảng ; , ; , ;
, f là hàm số sơ cấp cho bởi một công thức và 3 3 3 3
xác định nên f liên tục. Do đó, hàm số f liên tục trên khi và chỉ khi f liên tục tại x và 3 x . 3 1
Ta có: lim f x lim ax b a b ,
lim f x lim cos x cos ; 3 3 2 x x x x 3 3 3 3 1 f cos . 3 3 2 1
Hàm số liên tục tại x a b 2 a 6b 3 .(1) 3 3 2 1
Ta có: lim f x lim cos x cos ,
lim f x lim ax b a b , 3 2 3 x x x x 3 3 3 3 1 f cos . 3 3 2 1
Hàm số liên tục tại x a b
2 a 6b 3 . (2) 3 3 2 1
Từ (1) và (2) ta được a 0,b . Suy ra a 2b 1. 2
Dạng toán 9. Ứng dụng tính liên tục của hàm số trong giải phương trình.
Câu 54. Phương trình nào dưới đây luôn có nghiệm với mọi m ?
A. m 3 2
1 x 2x 1 0 . B. 5 4
mx x 3 0 . C. 2 m 3
x m 2 1
1 x 1 0 . D. 2
m m 7 5
5 x x 1 0 . Lời giải
Xét phương án A: khi m 1 thì phương trình vô nghiệm.
Xét phương án B: khi m 0 thì phương trình vô nghiệm. TOANMATH.com Trang 36/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Xét phương án C: khi m 1 thì phương trình vô nghiệm.
Xét hàm số f x 2
m m 7 5
5 x x 1 0 . Ta có:
f 0 1 0 2 f 1 19 2
1 m m 5 m 0, m 2 4
Suy ra f 0. f
1 0 . Mà hàm số f x 2
m m 7 5
5 x x 1 liên tục trên đoạn 0; 1 . Vậy phương trình 2
m m 7 5
5 x x 1 0 có ít nhất 1 nghiệm trên 0; 1 với mọi m .
Câu 55. Phương trình 5 4
x 5x 4x 1 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0;5. A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Vô nghiệm. Lời giải
Xét hàm số f x 5 4
x 5x 4x 1 liên tục trên . f 0 1 0 Ta có: 1 23 suy ra f 1 0 . f 0
. Do đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc f 0 2 2 32 1 khoảng 0; . 2 1 23 f 0 1 Ta lại có: 2 32 suy ra f . f
1 0 . Do đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc 2 f 1 1 0 1 khoảng ;1 . 2 f 1 1 0 Tương tự: suy ra f
1 . f 5 0 . Do đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc f 5 19 0 khoảng 1;5. 1 1 Ta lại có các khoảng 0; ; ;1 ;
1;5 là đôi một không giao nhau. 2 2
Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng 0;5.
Câu 56. Phương trình nào sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
A. m 5 2
1 x x x 1 0 . B. 5 4
mx 2x 1 0 . C. 2 m 5 2
4 x mx 2 0 . D. 2 m 5
1 x 4x 2 0 . Lời giải TOANMATH.com Trang 37/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Đặt f x 2 m 5
1 x 4x 2* , hàm số liên tục trên 1; 0. Ta có f 2
1 m 1 0, m
, f 0 2 0, m .
Vì f 0. f 1 0, m
nên phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 0 .
Vậy phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Câu 57. Phương trình nào sau đây có đúng một nghiệm trên khoảng 1; 1 . A. 5 3
x 5x 4x 1 0 . B. 5 4
x 3x x 3 0 . C. 4 2
x 2x 1 0 . D. 5
x 2x 1 0 . Lời giải Xét hàm số 5
f (x) x 2x 1 là hàm liên tục trên . Ta có f 1 2 0 , f 1 4 0 . Vì f 1 . f 1 0 nên phương trình 5
x 2x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 1
Giả sử phương trình có hai nghiệm x ; x trên khoảng 1; 1 . 1 2
Khi đó f x f x 5 5
0 x x 2 x x 0 . 1 2 1 2 1 2
x x 4 3 2 2 3 4
(x x x x x x x x 2) 0 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 x x 1 1 1 2 2 2 2 2 2
(x x x ) (x x x ) x x 2 0 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 Do 2 2 2 2 2 2
(x x x ) (x x x ) x x 2 0 x ; x 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 Nên 1 x x . 1 2
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm trên khoảng 1;1 .
Câu 58. Trong các phương trình sau, phương trình nào có đúng 5 nghiệm phân biệt? A. 3
2 2 3x x 2020x 4 . B. 5
x 2020x 1 0 . C. 3 3
x 2 3 3x 2 . D. 5 4 3 2
x 9x 4x 18x 12x 1 0 . Lời giải Với phương án A: 3
2 2 3x x 2020x 4 2
Điều kiện: x . 3 Phương trình 3
2 2 3x x 2020x 4 3
x 2020x 2 2 3x 4 0 . 2 Xét hàm số 3
f (x) x 2020x 2 2 3x 4 liên tục trên ; . 3 2 36260 2 f (0) 4 2 2 0, 0 f f (0). f 0
Nên phương trình f (x) 0 có ít nhất 3 27 3 một nghiệm.
Giả sử phương trình f (x) 0 có hai nghiệm x , x . 1 2 TOANMATH.com Trang 38/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Khi đó: f (x ) f (x ) 0 3 3
x x 2020 x x 2
2 3x 2 3x 0 1 2 1 2 1 2 1 2
x x 6 2 2
x x x x 2020 0 1 2 1 1 2 2 2 3x 2 3x 1 2
B 2 2 x 3x 6 x x Vì 2 2 B x 2020 0 . 1 2 1 2 4
2 3x 2 3x 1 2
Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Với phương án B. 5
x 2020x 1 0 . Xét hàm số 5
f (x) x 2020x 1 là hàm liên tục trên Mặt khác:
f (0) 1, f (1) 2020 f (0). f (1) 2020 0
Nên phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 0; 1 .
Giả sử phương trình có hai nghiệm x , x . 1 2 Khi đó:
f (x ) f (x ) 0 5 5
x x 2 x x 0 1 2 1 2 1 2
x x 4 3 2 2 3 4
x x x x x x x x 2 0 (1) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 A 2 2 1 1 1 Do 2 2 2 2
A x x x x x x x x 2 0
Nên (1) x x 1 1 2 1 2 2 1 2 2 4 2 1 2
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm. Với phương án C: 3 3
x 2 3 3x 2 . Đặt 3 3 3
y 3x 2 y 3x 2 3x y 2 3
x 2 3y x y
Ta có hệ phương trình . 3 2 2
y 2 3x
x y xy 3 0 x 1
Với x y có: 3 3
x 3x 2 x 3x 2 0 x 1 2
x x 2 0 . x 2 Với 2 2
x y xy 3 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Với phương án D. 5 4 3 2
x 9x 4x 18x 12x 1 0 . Xét hàm số 5 4 3 2
f (x) x 9x 4x 18x 12x 1 liên tục trên . 1 19 Ta có: f ( 2 ) 9 5 0, f ( 1 ) 1 0, f 0 2 32
f (0) 1 0, f (2) 47 0, f (10) 7921 0
Do đó phương trình f (x) 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng TOANMATH.com Trang 39/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com 1 1 2; 1 , 1 ; , ;0 , 0; 2, 2;10 2 2
Mặt khác f (x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
Câu 59. Số nghiệm ít nhất có thể của phương trình 3 3
m(x 1)(x 4x) x 3x 1 0 ( m là tham số) là: A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải
Xét hàm số f x m x 3 x x 3 ( ) 1
4 x 3x 1 là hàm liên tục trên .
f (2) 1, f (0) 1, f (1) 1, f (2) 3 . Ta có
* f (2). f (0) 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (2;0) .
* f (0). f (1) 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) .
* f (1). f (2) 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2) .
Từ đó suy ra phương trình có ít nhất 3 nghiệm. Mặt khác m 0 phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Câu 60. Trong các phương trình sau, phương trình nào có đúng 5 nghiệm phân biệt? A. 5
x 3x 1 0. B. 5 3 2 2
x 2x 15x 14x 2 3x x 1. C. 3
x 2x 4 3 3 2x. D. 3
2x 6 1 x 3. Lời giải A. Xét hàm số 5
f (x) x 3x 1 là hàm liên tục trên . Mặt khác:
f (1) 1, f (0) 1 f (1). f (0) 1 0 .
Nên phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 0 .
Giả sử phương trình có hai nghiệm x , x . 1 2 Khi đó:
f (x ) f (x ) 0 5 5
x x 3 x x 0 1 2 1 2 1 2
x x 4 3 2 2 3 4
x x x x x x x x 3 0 (1) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2
A 2 2 1 1 1 Do 2 2 2 2
A x x x x x x x x 3 0
Nên (1) x x 1 1 2 1 2 2 1 2 2 4 2 1 2 TOANMATH.com Trang 40/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm.
B. Phương trình đã cho tương đương với:
x x x
x x x 2 5 3 2 2 2 15 14 2 3 1 5 4 3 2
x 9x 4x 18x 12x 1 0 (1) Hàm số 5 4 3 2
f (x) x 9x 4x 18x 12x 1 liên tục trên . 1 19 Ta có: f ( 2 ) 9 5 0, f ( 1 ) 1 0, f 0 2 32
f (0) 1 0, f (2) 47 0, f (10) 7921 0
Do đó phương trình f (x) 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng 1 1 2; 1 , 1 ; , ;0 , 0; 2, 2;10 2 2
Mặt khác f (x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm. 3
C. Điều kiện: x . 2 Phương trình 3
x 2x 3 3 2x 4 0 . 3 Xét hàm số 3
f (x) x 2x 3 3 2x 4 liên tục trên ; . 2 3 19 3 f (0) 4 3 3 0, 0 f f (0). f 0 2 8 2
Nên phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm.
Giả sử phương trình f (x) 0 có hai nghiệm x , x . 1 2
Khi đó: f (x ) f (x ) 0 3 3
x x 2 x x 3 3 2x 3 2x 0 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 6 2 2
x x x x 2 0 1 2 1 1 2 2 3 2x 3 2x 1 2
B 2 2 x 3x 6 x x (Vì 2 2 B x 2 0 ). 1 2 1 2 4
3 2x 3 2x 1 2
Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
D. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 61. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình 2
m m 5 2 5
4 x 2x 1 0 có nghiệm.
A. m \ 1;
4 . B. m
;1 4; .
C. m 1; 4 . D. m . TOANMATH.com Trang 41/42
Strong Team Toán VD – VDC TOANMATH.com Lời giải + Nếu 2
m 5m 4 0 m 1;
4 thì phương trình đã cho trở thành 2
2x 1 0 . Đây là một phương trình vô nghiệm. + Nếu 2
m 5m 4 0 thì phương trình bậc 5 luôn có ít nhất một nghiệm.
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì m \1; 4 .
____________________ HẾT ____________________ TOANMATH.com Trang 42/42