40 trang 1 lượt tải

Bài tập về Phương pháp Tính - TS. Nguyễn Văn Quang - Chương 1 đến 4. Môn Phương pháp tính trong kỹ thuật (UET) | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Bài 1: Phép đo có kết quả: 999.847 ( )g 0.001( )g . Xác định sai số tương đối giới hạn của phép đo trên.

Giải: Ta có:   999.847( )g 0.001( )g  aa . Sai số tương đối giới hạn:   a 0.001 106. a999.847

Tài liệu gồm 40 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Phương pháp tính trong kỹ thuật (UET) 9 tài liệu

Trường: Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội 755 tài liệu

Tác giả:

trang le

2 ngày trước

Danh sách Quiz

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









Chương 1. Tính gần đúng, sai số

Bài 1: Phép đo có kết quả:   999.847 ( )g  0.001( )g . Xác định sai số tương đối giới hạn

của phép đo trên.

Giải: Ta có:   999.847( )g  0.001( )g  a 

Sai số tương đối giới hạn:  



0.001

 10



. a 999.847

Bài 2: Cho các số: a  1.2341, 

0.45 10



và b  0.5364, 

0.42 10



. Hãy xác

định các chữ số đáng tin của a và b.

Giải: Ta có: a   110 2 10 310

 



 



  4 10 110



 



Mà  

0.45 10



 0.5 10



. Nên số 1 là số đáng tin. Vì tất cả các số bên trái của số

đáng tin (số 1) đều là số đáng tin. Do đó tất cả các chữ số của a đều đáng tin. b  0 10

  5



  3 10



  6 10



  4 10



Mà  

0.42 10



 0.5 10



. Nên số 6 là số đáng tin. Do đó, các chữ số đáng tin của b

là 0,5,3,6.

Bài 3: Cho hàm số: u  ln x  y

 . Tính giá trị của hàm số u tại x = 0.97, y = 1.132. Xác

định sai số tuyệt đối giới hạn 

, sai số tương đối giới hạn 

, biết rằng tất cả các chữ số của

x, y đều là số đáng tin.

Giải: Giá trị của hàm số u tại x = 0.97, y = 1.132: u  ln 0.97  1.132

  0.812.

Vì tất cả các chữ số của x đều đáng tin nên:  

0.5 10



  

0.5 10



Vì tất cả các chữ số của x đều đáng tin nên:  

0.5 10



  

0.5 10



Sai số tuyệt đối của hàm số u tại x = 0.97, y = 1.132:

 

u x y

( , )   

u

(x y, )  

 x 

2  2xy   y y



lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

0.5 10



2 1.132 0.5 10  



 0.97  2  0.97  1.1322  0.00272

1.132

Do đó: u 0.812 0.00272.

Sai số tương đối của hàm số u tại x = 0.97, y = 1.132:



0.00272 0.0033  0.33%.

 

  u 0.812

Chương 2. Giải hệ phương trình đại số A.

Phương pháp khử Gauss.

 x

 2

Bài 1: Giải hệ phương trình:



 3x

 5x

  3.



 3x

 2x

 3x

 6

a. Bằng phương pháp Gauss.

b. Bằng phương pháp nhân tử LU .

Giải: a. 



12 13  51 2 3



 

 23 2 3 6  R

 

  2

3 



  03 5 32 73 6



7



 3 2 3 6



 R3



 

 113  51 2



3



 



 

  

1 300

 



 3 2  3 6   3 2  36 

  0 5 37  7  R3  



 15   R2   05 3 7  7    x1  1,x2  0,x3   1.

  0 1 3 0 0 



0 0  7 5 7 5



lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









 Ly  b

b. Ax  b  LUx  b   .



Ux  y

 1 1  1  1

Ta có ma trận hệ số: A



2 3 5

 R



  R3   3 R1 



3 2  3



 1 0 0  1 1  1

 L 



2 1 0



,U 



0 1 7



 1

 1  1

7  R3    1 R2

  0



0 



 1



 

   



3  1 1



0 0 7  

Giải phương trình: Ly  b  y

 2, y

  7, y

  7. Giải

phương trình: Ux  y  x

 1,x

 0,x

  1.

 x

 2x

 3x

 2x

 6



Bài 2: Giải hệ phương trình:   2x1  x2  2x3  3x4  8 .



3x1  2x

 x

 2x

 4



 3x

 2x

 x

  8

a. Bằng phương pháp khử Gauss.

b. Bằng phương pháp nhân tử LU .

 1 2 3  2 6   3 2  1 2 4 

Giải: a.  2 1 2 3 8     R3  R1  2 1 2 3 8 

   

 3 2  1 2 4   1 2 3  2 6 

   



2 3 2 1 8    



2 3 2 1 8   

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

 3 2  1 2 4 

RR2   2 3 RR1  0 7 3  4 3  13 3 16 3  

3   1 3 1 

 0 4 3 10 3  8 3 14 3 

  2 3 R

 



0  13 3 8 3  1 3  32 3 

 3 2  1 2 4   3 2

R2  R4



0 133 83  13 32 3



   413 R



0 133



 0 43 10 3

 83 143  R

  713 R

 0 0

  



0  7 3  43 133 16 3   



0 0

 3 2  1 24   x

 1

 0 133 83  13 32 3  

   23 R3



    x2  2 .

 0 0

5413  36131813



  1

 1 2 4 

83  13 32 3



5413  3613 1813 



 3613  541314413 

3  2

 8 1



  4 5 R



0  5  8 1



2 R3



0  5  8



  75 R

 0 0  18 5 36

5  0 0  18 5 36 5

   



0 0 0

 6



12   



  2

 1

 2

b. Ta có ma trận hệ số: A  

2 3

 1  2

 2  1

 3 R2   2 R1

 0

 R

  3 R



 5

 3 2



2  3

 1

2   0  R

  2 R



 0

 4  10

 7  4



 1 2 3  2 

 1 2 3

 2 

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨











0 0 36 5 18 5



 0 0 0



 3 4 5 1 0  0 0  18 5 36 5

   



2 7 5  2 1



 0 0 0



 1 1

 1

Tìm ma trận A



của

ma trận A



2 1



bằng phương

pháp khử Gauss-

Jordan.

 



1  1 1  

 1 1  11 0 0  1 1  1 1 0 0



  AE    2 1 0 0 10  RR32     12  RR11   0  1 2 2 1

0 

  1  1 1 0 0 1



0  2 2 1 0 1



 1 1  1 1 0 0  1 0 1 1 1 0 

R2   1 0 1    2 2  1 0  RR13     1 2R 2R2   0 1 2 2  1 0 

  0 2 2 1 0 1  



0 0 2 3  2 1



 1 0 1 1 1 0   1 0 0 1 2 0 1 2 

 1

 2

  L 

0  1

0  0

 ,U  

 5

 8

 2 

1  .



Giải phương trình: Ly  b  y

 6, y

  4, y

  , y

  36 .

Giải phương trình: Ux  y  x

 1,x

 2,x

  1,x

  2.

 1 1  1  1

Bài 3: Tìm ma trận X thoả mãn phương trình: X



2 1 0



  



1  1 1 



1 Giải: Ta có XA B XAA BA 



  X BA



 1

 2

3



5 

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

  2   0 1  2 2  10   RR12     1 2R 3R3   0 1 0  1 1

 1   .

 0 0 1  3 2 1  1 2



0 0 1  3 2 1  1 2



 1 2 0 1 2 

 A



 1 1  1



 



 3 2 1  1 2 

 1  1 3  1 2 0 1 2    3 2 0 

Do đó: X  BA



4 3 2

 

 1 1  1



 



4 5  2



     



1  2 5 

 

 3 2 1  1 2



 5 3 0  

B. Phương pháp lặp đơn.

Đưa phương trình Ax b về dạng x Bx g  .

Chọn x g

 và lập dãy  x

 theo công thức sau: x



 Bx g



Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x



: nếu B  max b

 1 thì

lim

  x x



j 1

Đánh giá sai số: xn 1  x  xn 1  xn , trong đó: x  max xi .

Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với sai số nhỏ hơn 10



 5x  y  z  7

  x  10y  z  12



 x  y  20z  22

Giải: hệ trên viết lại dưới dạng: x Bx g  , trong đó:



lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









 0  0.2  0.2  1.4

B 



 0.1 0  0.1



,g 



1.2



 B  0.4  1. Nên phương pháp lặp đơn sẽ hội tụ

   



  0.05  0.05 0



1.1



đến nghiệm chính xác. Chọn x g



Khi đó: x

  0.94,0.95,0.97

 x x



 0.307.

  1.016,1.009,1.0055

 x x



 0.051. x

  0.9971,0.99785,0.99875

 x x



 0.013.

  1.00068,1.000415,1.0002525

 x x



 0.0024 10

 2

Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình: x   1.00068,1.00042,1.00025

Nghiệm chính xác của hệ: x   1,1,1

Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn sau 4 bước lặp, đánh giá sai số:

 8x  y  z   1

  x  5y  z  16



 x  y  4z  7

Giải: hệ trên viết lại dưới dạng: x Bx g  , trong đó:

 0 0.125 0.125   0.125

B 



0.2 0 0.2



,g 



 3.2



 B  0.5  1. Nên phương pháp lặp đơn sẽ hội

   



 0.25 0.25 0



 1.75



tụ đến nghiệm chính xác. Chọn x

 .

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

Khi đó: x

   0.74375, 3.575, 2.58125  

 x x



0.83125. x

   0.89453, 3.865, 2.82969  

 x x



0.29. x

   0.96184, 3.94484, 2.93988  

 x x



0.11019. x

   0.98559, 3.98034, 2.97667  

 x x



 0.03679.

Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình: x    0.98559, 3.98034, 2.97667  

Nghiệm chính xác của hệ: x     1, 4, 3

Chương 3. Trị riêng, véc tơ riêng

A. Phương pháp lũy thừa

Tìm trị riêng có biên độ lớn nhất (trị tuyệt đối lớn nhất) trong các trị riêng của bài toán:

Ax  x.

Lập dãy  

 theo công thức sau: Ax

 



Chọn x

  1,1,1

. Sau mỗi bước đưa 1 thành phần (ở cùng 1 vị trí so với các véc tơ riêng

trong các bước lặp trước) của véc tơ riêng x

về 1 (tỷ lệ hóa).

Sai số:    n 1  n  . Khi đó: limn    n  max .

B. Phương pháp lũy thừa nghịch đảo

Ax   x A Ax A x  A 1

-1



-1

   A A x

   A x

-1

 A x

-1

   1

  x.

  

Tìm trị riêng có biên độ bé nhất (trị tuyệt đối bé nhất) trong các trị riêng của bài toán: Ax  x.

Dùng phương pháp lũy thừa để tìm trị riêng 



có biên độ lớn nhất của ma trận A

-1

. Khi đó 

là trị riêng có biên độ bé nhất của ma trận A .

Bài 1: Dùng phương pháp lũy thừa, lũy thừa nghịch đảo đến bước lặp thứ 4, tìm trị riêng có

biên độ lớn nhất, bé nhất và véc tơ riêng tương ứng của ma trận sau:

 4 1 1 

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









A



1 2 1



 



 1 1 6  

Giải: a. Phương pháp lũy thừa:

Chọn x

  1,1,1

. Khi đó: Ax

  4,2,6

 6  0.66667,0.33333,1

 

1 1

x .

 

 6,x

  0.66667,0.33333,1

  2,0.33333,5.66667

 5.66667  0.35294,0.05882,1

 

2 2

x .

 

 5.66667,x

  0.35294,0.05882,1

  0.47058, 0.52942,5.70588 

 5.70588  0.08247, 0. 09278,1

 

3 3

x .

 

 5.70588,x

  0.08247, 0.09278,1 

   0.7629, 1.10309,5.82475 

 5.82475   0.13098, 0.1 8938,1

 

4 4

x .

 

 5.82475,x

   0.13098, 0.18938,1 

 13  7 1

b. Phương pháp lũy thừa nghịch đảo: A



 5 23 3



44 



3  5 7 

Chọn x

  1,1,1

A x

-1

  0.15909,0.47727,0.11364

 0.11364 1.39995,4.  19984,1

 

 1

 

 1

 0.11364,x

  1.39995,4.19984,1

A x

-1

   0.23181,2.10447, 0.22271 

  0.22271 1.04086, 9.   44937,1

 

 1

 

 1

  0.22271,x

  1.04086, 9.44937,1 

A x

-1

  1.83356, 4.98954,1.30385 

 1.30385 1.40627, 3.   82677,1

 

 1

 

 1

 1.30385,x

  1.40627, 3.82677,1 

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

A x

-1

  1.04702, 2.09198,0.68983 

 0.68983 1.51779, 3.   0326,1

 

 1

 

 1

 0.68983,x

  1.51779, 3.0326,1 

Trị riêng có biên độ bé nhất của ma trận A

 1

 1.44963.



Trị riêng

của ma trận A:

 4,

 4 5,

 4 5.

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









Chương 4. Phương trình phi tuyến

Định nghĩa: Khoảng phân ly nghiệm là khoảng chứa 1 nghiệm duy nhất của phương trình f

x   0.

Giả sử phương trình phi tuyến f x   0 có khoảng phân ly nghiệm là  a b,  . Nghiệm

chính xác của phương trình là x



  a b,  .

A. Phương pháp lặp đơn

Đưa phương trình f x   0 về dạng: x  g x  .

Lập dãy  x

 : x

n 1

 g x

 ,x

  a b,   1

Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x



: Nếu tồn tại L g x:     L  1,x  a b,  thì

limn  x

 x



, trong đó dãy  x

 được thành lập từ  1 .



số: x

 x   x

 x

n 1

Đánh giá sai

1 L

Bài 1: Cho phương trình: 6.5x

 26x 3.9  0.

a. Chứng minh  0,1 là khoảng phân ly nghiệm.

b. Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn đối với khoảng phân ly nghiệm này.

c. Sử dụng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần đúng của phương trình đến bước lặp thứ

4 với x

 0.5, đánh giá sai số tại bước lặp này.

Giải: a. Ta có: f x   6.5x

 26x 3.9  f  0  f  1   60.84 0.

Mà f   x  19.5x

 26  0,x  0,1   0,1 là khoảng phân ly nghiệm.

b. f x   6.5x

 26x 3.9  0  x  g x  , g x   0.25x

 0.15.

Ta có: g x    0.75x

 0.75 1,x  0,1 . Do đó, phương pháp lặp đơn hội tụ đến nghiệm

chính xác. Chọn L 0.75.

c. Sử dụng công thức lặp: cho x

  0.5 x g x

 

  0.18125.

 g x

 

0.15148. x

 g x



lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

 0.15087. x

 g x

  0.15086.

 x



0.75

 5

Sai số: x

 x   0.15086 0.15087 3 10 .

Do đó:

0.25

Bài 2: Cho phương trình: 5x

 20 3 0x  . Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên bằng

phương pháp lặp đơn với độ chính xác 10



, biết khoảng phân ly nghiệm là  0,1 .

Giải: Ta có f x   5x

 20x 3 0  x  g x  ,g x   0.25x

 0.15.

Vì g x    0.75x

 1,x  0,1 , nên phương pháp lặp đơn hội tụ đến nghiệm chính xác x

Chọn L 0.75. Sử dụng công thức lặp với x

 0.5 ta có:

 g x

 

0.18125,x

x

   x

 0.9563. x

 g

0.15149,x

 x



0.0892. x

 g x

 

0.15087 ,x

 x

 0.00186.

 g x

  0.15086,x

 x

 0.00003 10



. Do đó,

 x



B. Phương pháp Newton (tiếp tuyến)

f x



  a b,   2



Lập dãy  x

 : x

n 1

 x

 f   x



Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x



: Nếu f   x , f    x liên tục, không đổi dấu

trên

 a b,  . Với x

thỏa mãn: f x

  f

 

 x

  0 . Khi đó: limx

 x



, trong đó dãy  x



được

n 

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









thành lập từ  2 .



số: x

n 1

 x    x

n 1

 x

 , với mM, là 2

Đánh giá sai

số thỏa mãn: 2m f   x  m f,    x 

M x,   a b,  .

Bài 1: Cho phương trình: x

 3x

  1 24x.

a. Chứng minh   6.94, 6.23  là khoảng phân ly nghiệm.

b. Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp Newton đối với khoảng phân ly nghiệm này.

c. Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần đúng của phương trình đến bước lặp thứ

3, đánh giá sai số tại bước lặp này.

Giải: a. Ta có: f x   x

 3x

 24x  1 f   6.94  f   6.23  0.

Mà f   x  3x

 6x 24  0,x   6.94, 6.23     6.94, 6.23  là khoảng phân ly nghiệm.

b. f    x  6x  6  0,x   6.94, 6.23  .

Do đó: f   x , f    x liên tục, không đổi dấu trên   6.94, 6.23  .

Mà f   6.9  f     6.9  0 nên chọn x

  6.9. Phương pháp Newton sẽ hội tụ đến

nghiệm chính xác x



f x



6.65359.

c. Sử dụng công thức lặp: x

 x

  

f   x



x



6.63821. x

 x

  

f   x

 f x



6.63816. x

 x

  

f   x



Ta có: m  f    6.23  55.0587,M  f     6.94  35.64.

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

Sai số: x

 x



   6.63821 6.63816

 8.09 10

 10

Do đó:

 x



Bài 2: Sử dụng phương pháp Newton, tìm nghiệm của phương trình:

  1 x 



 e

0.3

,e  2.718281, chính xác đến 5 chữ số thập phân, giá trị đầu cho

2 6

nghiệm có thể chọn là 3.

Giải: Ta có: f x    1 x 



 e

0.3

 e

, e  2.718281.

2 6

Do đó, f   x   1x  x

 e0.3x  x

 e0.3x



ex.

2 20

f    x   1x e

0.3

 3x

0.3x 3x

e0.3x



ex .



 

10 200

Mà f  3  f    3  2.11 0, ta chọn x

 3. Sử dụng công thức lặp Newton:

f x



2.695129056. x

 x



f   x

 f x



2.489725966. x

 x



f   x

 f x



2.388585665. x

 x



lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









f   x

 f x



2.364608723. x

 x



f   x

 f x



2.363379512. x

 x



f   x

 f x



2.363376399  x

 x



 x



. x

 x

  10



. Do đó:

3.113

f   x



Bài 3: Bằng phương pháp Newton, tìm hai nghiệm của phương trình: 2e



x 2 x 1

Với độ chính xác đến năm chữ số thập phân, các giá trị đầu cho mỗi nghiệm có thể chọn là

 0.6 và 0.8.

Giải: Ta có: f x   2e



. Suy ra f   x   2e



x 2 x 1  x  2  x  1

f x



Xây dựng dãy nghiệm  x

 theo công thức truy hồi: x

n 1

 x

 .

f   x

 a. x

  0.6.

f x



0.7379834759. Sử

dụng công thức lặp: x

 x

  

f   x



lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

f x



0.6993377784. x

 x

 



f   x

 f x



0.6901627765. x

 x

  

f   x

 f x



0.6897527914. x

 x

  

f   x



f x



0.6897520209. x

 x

  

f   x



Sai số: x

 x

 7.705 10

-7

. Do đó: x

 x



. b. x

 0.8.

f x



0.7696398937.

Sử dụng công thức lặp: x

 x

 

f   x



f x



0.7700913090. x

 x

 

f   x

 f x



0.7700914093. x

 x

 

f   x



lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









Sai số: x

 x

 1.003 10



. Do đó: x

 x



Bài 4: Tìm tất cả các nghiệm dương của phương trình:

 e



dt  1, chính xác đến 6 chữ số

thập phân.

Giải: Ta có: f x   10xe

 x

  1f   x   10e

 x

 3x

 1  0  x 

1 3 .

f    x  30x e

2  x

 3x

 4 .

Do đó f x  đồng biến trên  0,

1 3 và nghịch biến trên 

1 3,

 .

Ta có: f  0    1 0, f 

1 3  0, f  2  0. Nên  0,

1 3 , 

1 3,

 là các

khoảng phân ly nghiệm, mà f x   f  2  0,x  2. Vậy phương trình f x   0 sẽ có 2

nghiệm dương duy nhất thuộc các khoảng trên.

f x



Xây dựng dãy nghiệm  x

 theo công thức truy hồi: x

n 1

 x



f   x

 Mà f  0.1  f    0.1  0, ta chọn x

 0.1:

 x

 0.1001003511,x

 0.1001003517. Do đó: x

 x



. Và

f  1.3  f    1.3  0, ta chọn x

 1.3:

 x

 1.371579699,x

 1.379223518,x

 1.379317332,x

 1.379317347 . Do đó: x

 x



Như vậy 2 nghiệm dương gần đúng là: x

 x



; x

 x



C. Phương pháp dây cung (cát tuyến) Lập

dãy  x

 :

 x

 b

a. Nếu f a  



   xn 1  xn  f x nf x  

f a



   

 a



 3

 x

 a

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 



   xn 1  xn  f x f xn   

f b



 

b. Nếu f a  

 b



 3



Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x



: Nếu f   x , f    x liên tục, không đổi dấu

trên

 a b,  , không giảm tổng quát giả sử f    x  0,x  a b,  . Khi đó limn  x

 x



, trong

đó dãy  x

 được thành lập từ  3 .

số: x

n 1

 x



 M



 x

n 1

 x

, 0  m

Đánh giá sai

 f   x  M x,   a b,  . m

Bài 1: Cho phương trình: x x x



   1 0.

a. Chứng minh  0,1 là khoảng phân ly nghiệm.

b. Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp dây cung đối với khoảng phân ly nghiệm

này.

c. Sử dụng phương pháp dây cung, tìm nghiệm gần đúng của phương trình với sai số không

quá 10

 2

Giải: a. Ta có: f x   x

 x

 x  1f  0  f  1    2 0.

Mà f   x  3x

 2x  10,x  0,1   0,1 là khoảng phân ly nghiệm.

b. f    x  6x 2  0   1 f   x  6. Do đó, phương pháp dây cung sẽ hội tụ đến

nghiệm chính xác.

 x

 0

c. Vì f  0    1 0:   xn3  xn2  xn  1

  n 1  xn  xn2  2xn  3

 0.33333,x

 0.47059,x

 0.51954,x

 0.53586,x

 0.54117,x

 0.54287 .

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴



󰈞









󰈨



󰈨



󰈨









Sai số: x

 x



 5 x

 x

 0.00854  10



Do đó:

 x



Chương 5. Xấp xỉ đa thức, nội suy

I. Đa thức nội suy

Giả sử ta có bảng các giá trị (mốc nội suy):

……

y  f x



……

Xây dựng 1 đa thức (nội suy) bậc n, y  P x

  đi qua các điểm  x y

 .

Định nghĩa: Tỷ sai phân cấp 1 tại xi : fi 1  f x x i, i 1 : f x i 1  f x i   fi 1  fi

xi 1  xi xi 1  xi

Tỷ sai phân cấp 2 tại xi : fi 2  f x x i, i 1,xi 2 : f x i 1,xi 2  f x x i, i 1  fi  11 

fi 1

xi 2  xi xi 2  xi

Tỷ sai phân cấp n tại x

f x

fi n  f x x i, i 1,...,xi n  :  i 1,xi 2,...,xi n   f x x i, i 1,...,xi n  1  fi  n1 1  fi n 1

xi n  xi xi n  xi

Sai phân tiến (lùi) cấp 1 tại x

:  f

: f

i 1

 f

  f

: f

 f

i 1



Sai phân tiến (lùi) cấp 2 tại x

: 

  f

i 1

  f

 

    f

i 1



Sai phân tiến (lùi) cấp n tại xi :  n fi   n 1fi 1   n 1fi   n fi   n 1fi   n 1fi 1 

Giả sử các mốc nội suy cách đều: x

 x

 ih i,  1, ,n h  const . Khi đó ta có liên hệ giữa tỷ sai

phân và sai phân tiến (lùi):

f0 1  f x x 0 1,    f0   f1

h h

lOMoARcPSD| 58833082

󰈨󰉼󰉴

󰈞 󰈨 󰈨 󰈨 

f0 2  f x x x 0 1, , 2   2 f   2 f2

(1) 2! 2!

f0 n  f x x 0 1,,...,xn   n h!n fn0   n h!n fnn

A. Đa thức nội suy Newton tiến với mốc bất kỳ (không cách đều)

P x

   f

  x x

  f



  x x

  f



 ...  x x

  x x

 ... x  x

n 1

 



(2)

B. Đa thức nội suy Newton tiến với mốc cách đều

Đặt t



 x  x

  t h. Mà x

 x

  i h  x x

  t  i h . Từ (1) và

(2): h P xn  0  th  f0 

 f

  t



 t t  1 



 t t  1  t

 2 

1! 2! 3! (3)

 ...



 t t  1  t  2 ...  t 

n  1 n!

C. Đa thức nội suy Newton lùi với mốc bất kỳ (không cách đều)

P x

   f

  x x

  f x x

n 1

   x x

  x x

n 1

  f x x

n 1

n 2

  ...

(4)

  x x

n 1

 ... x x

  f x x

n 1

,...,x x



D. Đa thức nội suy Newton lùi với mốc cách đều

Đặt t



 x  x

  t h. Mà x

 x

  n i  h  x  x

  t  n i h . Từ (1) và (4)

suy ra:

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

Preview text:

lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
Chương 1. Tính gần đúng, sai số
Bài 1: Phép đo có kết quả:   999.847 ( )g  0.001( )g . Xác định sai số tương đối giới hạn của phép đo trên.
Giải: Ta có:   999.847( )g  0.001( )g  a  a .
Sai số tương đối giới hạn:    a   0.001  106. a 999.847
Bài 2: Cho các số: a  1.2341,  a 0.45 10 4 và b  0.5364,  b 0.42 10 3. Hãy xác
định các chữ số đáng tin của a và b.
Giải: Ta có: a   110 2 10 3100  
 1   2   4 10 1103   4 .
Mà   a 0.45 10 4  0.5 10 4. Nên số 1 là số đáng tin. Vì tất cả các số bên trái của số
đáng tin (số 1) đều là số đáng tin. Do đó tất cả các chữ số của a đều đáng tin. b  0 10 0   5
101   3 102   6 103   4 104.
Mà   b 0.42 10 3  0.5 10 3. Nên số 6 là số đáng tin. Do đó, các chữ số đáng tin của b là 0,5,3,6.
Bài 3: Cho hàm số: u  ln x  y2 . Tính giá trị của hàm số u tại x = 0.97, y = 1.132. Xác
định sai số tuyệt đối giới hạn  u, sai số tương đối giới hạn  u, biết rằng tất cả các chữ số của
x, y đều là số đáng tin.
Giải: Giá trị của hàm số u tại x = 0.97, y = 1.132: u  ln 0.97  1.1322  0.812.
Vì tất cả các chữ số của x đều đáng tin nên:   x0.5 10 2    x 0.5 10 2.
Vì tất cả các chữ số của x đều đáng tin nên:   y 0.5 10 3    y 0.5 10 3.
Sai số tuyệt đối của hàm số u tại x = 0.97, y = 1.132:
  uu x y x( , )    xu y(x y, )   y
 x  x 2  2xy   y y y 2 
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 1 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh 0.5 10 2 2 1.132 0.5 10    3  0.97  2  0.97  1.1322  0.00272 1.132
Do đó: u 0.812 0.00272.
Sai số tương đối của hàm số u tại x = 0.97, y = 1.132:  u 0.00272 0.0033  0.33%.
  u   u 0.812
Chương 2. Giải hệ phương trình đại số A.
Phương pháp khử Gauss.
 x1  x2  x3  2
Bài 1: Giải hệ phương trình:   2x1  3x2  5x3   3.
 3x1  2x2 3x3  6
a. Bằng phương pháp Gauss.
b. Bằng phương pháp nhân tử LU . Giải: a.      2    12 13  51 2 3   23 2 3 6  R2   3  R1   03 5 32 73 6 7   
  3 2 3 6   R3  R1    113  51
2 3    R3    13  R1    0 1 300     3 2  3 6   3 2  36  
  0 5 37  7  R3    15   R2   05 3 7
 7    x1  1,x2  0,x3   1.   0 1 3 0 0  
  0 0  7 5 7 5 
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 2 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh  Ly  b
b. Ax  b  LUx  b   .  Ux  y  1 1  1  1 1  1  1 1  1 1 1 7  .
7  R3    1 R2
Ta có ma trận hệ số: A   2 3 5  R2   2 R1  0  1 0    0 7 
 R3   3 R1       3 2  3    0 0     0  1 0 0  1 1  1  L   2
1 0 ,U   0 1 7  .       3  1 1    0 0 7  
Giải phương trình: Ly  b  y1  2, y2   7, y3   7. Giải
phương trình: Ux  y  x1  1,x2  0,x3   1.
 x1  2x2  3x3  2x4  6 
Bài 2: Giải hệ phương trình:   2x1  x2  2x3  3x4  8 .
 3x1  2x2  x3  2x4  4
  2x1  3x2  2x3  x4   8
a. Bằng phương pháp khử Gauss.
b. Bằng phương pháp nhân tử LU .  1 2 3  2 6   3 2  1 2 4 
Giải: a.  2 1 2 3 8 
   R3  R1  2 1 2 3 8       3 2  1 2 4   1 2 3  2 6     
  2 3 2 1 8   
  2 3 2 1 8   
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 3 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh  3 2  1 2 4   0 0 5413  36131813
RR2   2 3 RR1  0 7 3  4 3  13 3 16 3    x3   1 3   1 3 1   1 2 4   0 4 3 10 3  8 3 14 3  83 R  13 32 3  
4   2 3 R1   5413  3613 1813 
  0  13 3 8 3  1 3  32 3    3 2  1 2 4   3
2  3613  541314413  R  
2  R4 0 133 83  13 32 3
 R3   413 R2 0 133
 3 2  1 2   0  R4  4  10 8   2   2 R1    0 43 10 3  7  4 5  83 143  R4  2  3 1   0 3  2   713 R2    0 0  1 2 3  2   1 2 3  2      8 1 
  0  7 3  43 133 16 3     0 0  3 2  1 24   x1  1 
 0 133 83  13 32 3   R 
4    23 R3     x2  2 . R  3   4 5 R2   6   0  5  8 1   1   0 0 0
12     x4   2
 R4    2 R3  0  5  8  1 2 3  2  1 2   .
 2  1  2  3 R2  2 R1 5 R4 75R2 0 0  18 5 36
b. Ta có ma trận hệ số: A    0 5  0 0  18 5 36 5
 R3   3 R1     
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 4 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh  0 0 36 5 18 5  0 0 0  1 0 0 0  1 2 3  2   2 1 0 0  0  5  8 18  1  .   L   ,U     3 4 5 1 0  0 0  18 5 36 5      2 7 5  2 1 54  0 0 0
Giải phương trình: Ly  b  y1  6, y2   4, y3   , y4   36 . 5 18 
Giải phương trình: Ux  y  x1  1,x2  2,x3   1,x4   2.  1 1
 1 1  1  1  1 3 1 3 2 .
Bài 3: Tìm ma trận X thoả mãn phương trình: X  2 1 0 
Tìm ma trận A1 của   4 2     ma trận A 5    2 1   1  1 1   0  bằng phương pháp khử Gauss-
  1 Giải: Ta có XA B XAA BA 
 1  1   X BA1. Jordan.     1  1 1    1 1  11 0 0  1 1  1 1 0 0 
  AE    2 1 0 0
10  RR32     12  RR11   0  1 2 2 1 0 
  1  1 1 0 0 1 
  0  2 2 1 0 1   1 1  1 1 0 0  1 0 1 1 1 0 
R2   1 0 1    2 2  1 0  RR13     1 2R 2R2   0 1 2 2  1 0 
  0 2 2 1 0 1   
  0 0 2 3  2 1   1 0 1 1 1 0   1 0 0 1 2 0 1 2 
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 5 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
R3   2   0 1  2 2
 10   RR12     1 2R 3R3   0 1 0  1 1  1   .  0 0 1  3 2 1  1 2 
  0 0 1  3 2 1  1 2    1 2 0 1 2 
 A1    1 1  1  .  
   3 2 1  1 2 
 1  1 3  1 2 0 1 2    3 2 0  Do đó: X   BA1   4
3 2   1 1  1    4 5  2 .      
  1  2 5     3 2 1  1 2     5 3 0  
B. Phương pháp lặp đơn.
Đưa phương trình Ax b về dạng x Bx g  .
Chọn x g0  và lập dãy  xn theo công thức sau: xn1  Bx gn  . n lim
Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x: nếu B  max bij  1 thì
n  x xn   . i j 1 B
Đánh giá sai số: xn1 
 x xn1  xn , trong đó: x  max xi . 1  B i
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với sai số nhỏ hơn 102 :
 5x  y  z  7
  x  10y  z  12 
 x  y  20z  22
Giải: hệ trên viết lại dưới dạng: x Bx g  , trong đó:
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 6 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh  0  0.2  0.2  1.4 B    0.1 0
 0.1 ,g   1.2  B  0.4  1. Nên phương pháp lặp đơn sẽ hội tụ    
 0.05 0.05 0  1.1
đến nghiệm chính xác. Chọn x g0  .
Khi đó: x1   0.94,0.95,0.97 T  x x1    0.307.
x2   1.016,1.009,1.0055 T  x x2    0.051. x3
  0.9971,0.99785,0.99875 T  x x3    0.013.
x4   1.00068,1.000415,1.0002525 T  x x4    0.0024 102 .
Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình: x   1.00068,1.00042,1.00025 T .
Nghiệm chính xác của hệ: x   1,1,1 T .
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn sau 4 bước lặp, đánh giá sai số:
 8x  y  z   1
  x  5y  z  16 
 x  y  4z  7
Giải: hệ trên viết lại dưới dạng: x Bx g  , trong đó:  0 0.125 0.125   0.125 B   0.2 0
0.2  ,g    3.2   B  0.5  1. Nên phương pháp lặp đơn sẽ hội      0.25 0.25 0   
 1.75   tụ đến nghiệm chính xác. Chọn x g0  .
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 7 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
Khi đó: x1    0.74375, 3.575, 2.58125   T  x x1   
0.83125. x2    0.89453, 3.865, 2.82969   T  x x2   
0.29. x3    0.96184, 3.94484, 2.93988   T  x x3   
0.11019. x4    0.98559, 3.98034, 2.97667   T  x x4    0.03679.
Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình: x    0.98559, 3.98034, 2.97667   T .
Nghiệm chính xác của hệ: x     1, 4, 3 T .
Chương 3. Trị riêng, véc tơ riêng
A. Phương pháp lũy thừa
Tìm trị riêng có biên độ lớn nhất (trị tuyệt đối lớn nhất) trong các trị riêng của bài toán: Ax  x.
Lập dãy   n theo công thức sau: Axn   n1xn1.
Chọn x0   1,1,1 T . Sau mỗi bước đưa 1 thành phần (ở cùng 1 vị trí so với các véc tơ riêng
trong các bước lặp trước) của véc tơ riêng xn về 1 (tỷ lệ hóa).
Sai số:    n1  n  . Khi đó: limn  n  max .
B. Phương pháp lũy thừa nghịch đảo
Ax   x A Ax A x -1 1   A   1  -1   A A x
  A x-1  A x-1    1   x.   
Tìm trị riêng có biên độ bé nhất (trị tuyệt đối bé nhất) trong các trị riêng của bài toán: Ax  x.
Dùng phương pháp lũy thừa để tìm trị riêng  1 có biên độ lớn nhất của ma trận A-1 . Khi đó 
là trị riêng có biên độ bé nhất của ma trận A .
Bài 1: Dùng phương pháp lũy thừa, lũy thừa nghịch đảo đến bước lặp thứ 4, tìm trị riêng có
biên độ lớn nhất, bé nhất và véc tơ riêng tương ứng của ma trận sau:  4 1 1 
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 8 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh A   1 2 1       1 1 6  
Giải: a. Phương pháp lũy thừa:
Chọn x0   1,1,1 T . Khi đó: Ax0   4,2,6 T  6  0.66667,0.33333,1 T   1 1x .
  1  6,x1   0.66667,0.33333,1 T .
Ax1   2,0.33333,5.66667 T  5.66667  0.35294,0.05882,1 T   2 2x .
  2  5.66667,x2   0.35294,0.05882,1 T .
Ax2   0.47058, 0.52942,5.70588  T  5.70588  0.08247, 0. 09278,1 T   3 3x .
  3  5.70588,x3   0.08247, 0.09278,1  T .
Ax3    0.7629, 1.10309,5.82475  T  5.82475   0.13098, 0.1 8938,1 T   4 4x .
  4  5.82475,x4    0.13098, 0.18938,1  T .  13  7 1
b. Phương pháp lũy thừa nghịch đảo: A1  1   5 23 3 44    3  5 7 
Chọn x0   1,1,1 T . A x-1  1
0   0.15909,0.47727,0.11364 T  0.11364 1.39995,4.  19984,1 T   1 x1.   1 1
 0.11364,x1   1.39995,4.19984,1 T . A x-1  1
1    0.23181,2.10447, 0.22271  T   0.22271 1.04086, 9.   44937,1 T   2 x2 .   1 2
  0.22271,x2   1.04086, 9.44937,1  T . A x-1  1
2   1.83356, 4.98954,1.30385  T  1.30385 1.40627, 3.   82677,1 T   3 x3 .   1 3
 1.30385,x3   1.40627, 3.82677,1  T .
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 9 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh A x-1  1
3   1.04702, 2.09198,0.68983  T  0.68983 1.51779, 3.   0326,1 T   4 x4 .   1 4
 0.68983,x4   1.51779, 3.0326,1  T . 1
Trị riêng có biên độ bé nhất của ma trận A: 1  1.44963.  4 Trị riêng
của ma trận A: 1  4, 2  4 5, 3  4 5.
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 10 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
Chương 4. Phương trình phi tuyến
Định nghĩa: Khoảng phân ly nghiệm là khoảng chứa 1 nghiệm duy nhất của phương trình f x   0.
Giả sử phương trình phi tuyến f x   0 có khoảng phân ly nghiệm là  a b,  . Nghiệm
chính xác của phương trình là x   a b,  .
A. Phương pháp lặp đơn
Đưa phương trình f x   0 về dạng: x  g x  .
Lập dãy  xn : xn1  g x n  ,x0   a b,   1
Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x : Nếu tồn tại L g x:     L  1,x  a b,  thì
limnxn  x, trong đó dãy  xn được thành lập từ  1 .  L Đánh giá sai
số: xn  x   xn  xn1 . 1 L
Bài 1: Cho phương trình: 6.5x3  26x 3.9  0. a.
Chứng minh  0,1 là khoảng phân ly nghiệm. b.
Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn đối với khoảng phân ly nghiệm này. c.
Sử dụng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần đúng của phương trình đến bước lặp thứ
4 với x0  0.5, đánh giá sai số tại bước lặp này.
Giải: a. Ta có: f x   6.5x3  26x 3.9  f  0  f  1   60.84 0.
Mà f   x  19.5x2  26  0,x  0,1   0,1 là khoảng phân ly nghiệm.
b. f x   6.5x3  26x 3.9  0  x  g x  , g x   0.25x3  0.15.
Ta có: g x    0.75x2  0.75 1,x  0,1 . Do đó, phương pháp lặp đơn hội tụ đến nghiệm
chính xác. Chọn L 0.75.
c. Sử dụng công thức lặp: cho x0   0.5 x g x1   0  0.18125.
x2  g x 1 
0.15148. x3  g x 2
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 11 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
 0.15087. x4  g x 3  0.15086.  0.755 x4  x.
Sai số: x4  x 
 0.15086 0.15087 3 10 . Do đó: 0.25
Bài 2: Cho phương trình: 5x3  20 3 0x  . Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên bằng
phương pháp lặp đơn với độ chính xác 104, biết khoảng phân ly nghiệm là  0,1 .
Giải: Ta có f x   5x3  20x 3 0  x  g x  ,g x   0.25x3  0.15.
Vì g x    0.75x2  1,x  0,1 , nên phương pháp lặp đơn hội tụ đến nghiệm chính xác x*.
Chọn L 0.75. Sử dụng công thức lặp với x0  0.5 ta có:
x1  g x 0  0.18125,x1
 x* 0.9563. x2  g x 1 
0.15149,x2  x* 0.0892. x3  g x 2 
0.15087 ,x3  x* 0.00186.
x4  g x 3  0.15086,x4  x* 0.00003 104 . Do đó, x4  x.
B. Phương pháp Newton (tiếp tuyến)  
f x n ,x0   a b,   2
Lập dãy  xn : xn 1  xn  f   xn 
Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x: Nếu f   x , f    x liên tục, không đổi dấu trên
 a b,  . Với x0 thỏa mãn: f x 0  f    x0  0 . Khi đó: limxn x , trong đó dãy  xn được n 
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 12 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh thành lập từ  2 .  M 2 Đánh giá sai
số: xn1  x    xn1  xn  , với mM, là 2
số thỏa mãn: 2m f   x  m f,    x 
M x,   a b,  .
Bài 1: Cho phương trình: x3  3x2   1 24x. a.
Chứng minh   6.94, 6.23
 là khoảng phân ly nghiệm. b.
Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp Newton đối với khoảng phân ly nghiệm này. c.
Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần đúng của phương trình đến bước lặp thứ
3, đánh giá sai số tại bước lặp này.
Giải: a. Ta có: f x   x3  3x2  24x  1 f   6.94  f   6.23  0.
Mà f   x  3x2  6x 24  0,x   6.94, 6.23     6.94, 6.23  là khoảng phân ly nghiệm.
b. f    x  6x  6  0,x   6.94, 6.23  .
Do đó: f   x , f    x liên tục, không đổi dấu trên   6.94, 6.23  .
Mà f   6.9  f     6.9  0 nên chọn x0   6.9. Phương pháp Newton sẽ hội tụ đến
nghiệm chính xác x.  f x 0 6.65359.
c. Sử dụng công thức lặp: x1  x0   
f   x0  f 
x 1 6.63821. x2  x1    
f   x1  f x 2
6.63816. x3  x2   
f   x2 
Ta có: m  f    6.23  55.0587,M  f     6.94  35.64.
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 13 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
Sai số: x3  x 
  6.63821 6.63816 2  8.09 10 10 . Do đó: x3  x.
Bài 2: Sử dụng phương pháp Newton, tìm nghiệm của phương trình: ex   1
x  x2  x3  e0.3x,e  2.718281, chính xác đến 5 chữ số thập phân, giá trị đầu cho 2 6
nghiệm có thể chọn là 3.
Giải: Ta có: f x    1 x  x2  x3  e0.3x  ex , e  2.718281. 2 6
Do đó, f   x   1x  x2  e0.3x  x3  e0.3x  ex. 2 20
f    x   1x e 0.3x  3x2 0.3x
3x3 e0.3x  ex .  e   10 200
Mà f  3  f    3  2.11 0, ta chọn x0  3. Sử dụng công thức lặp Newton: f x  0
2.695129056. x1  x0   
f   x0 f x 1
2.489725966. x2  x1   
f   x1 f x 2
2.388585665. x3  x2  
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 14 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh 
f   x2 f x 3
2.364608723. x4  x3   
f   x3 f x 4
2.363379512. x5  x4   
f   x4 f x 5
2.363376399  x6  x5 3.113 10 6. Do đó:
x6  x. x6  x5   f   x5 1 1
Bài 3: Bằng phương pháp Newton, tìm hai nghiệm của phương trình: 2ex   . x 2 x 1
Với độ chính xác đến năm chữ số thập phân, các giá trị đầu cho mỗi nghiệm có thể chọn là  0.6 và 0.8. 1 1
Giải: Ta có: f x   2ex  
. Suy ra f   x   2ex  1 2  1 2 . x 2 x 1
 x  2  x  1  f x n
Xây dựng dãy nghiệm  xn theo công thức truy hồi: xn1  xn  .
f   xn  a. x0   0.6.  f x 0 0.7379834759. Sử
dụng công thức lặp: x1  x0   
f   x0 
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 15 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh  f x 1
0.6993377784. x2  x1    
f   x1  f x 2
0.6901627765. x3  x2    
f   x2  f x 3
0.6897527914. x4  x3   
f   x3   f x 4 0.6897520209. x5  x4   
f   x4 
Sai số: x5  x4  7.705 10 -7 . Do đó: x5  x. b. x0  0.8.  f x 0 0.7696398937.
Sử dụng công thức lặp: x1  x0  
f   x0   f x 1
0.7700913090. x2  x1   
f   x1  f x 2
0.7700914093. x3  x2  
f   x2 
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 16 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
Sai số: x3  x2  1.003 10 7. Do đó: x3  x. x
Bài 4: Tìm tất cả các nghiệm dương của phương trình: 10 ex3dt  1, chính xác đến 6 chữ số 0 thập phân.
Giải: Ta có: f x   10xex3   1f   x   10ex3  3x3  1  0  x  31 3 .
f    x  30x e2 x3  3x3  4 . 2
Do đó f x  đồng biến trên  0, 3 1 3 và nghịch biến trên  3 1 3,  . 2
Ta có: f  0    1 0, f  31 3  0, f  2  0. Nên  0, 3 1 3 ,  3 1 3,  là các
khoảng phân ly nghiệm, mà f x   f  2  0,x  2. Vậy phương trình f x   0 sẽ có 2
nghiệm dương duy nhất thuộc các khoảng trên.   f x n
Xây dựng dãy nghiệm  xn theo công thức truy hồi: xn1  xn  .
f   xn  Mà f  0.1  f    0.1  0, ta chọn x0  0.1:
 x1  0.1001003511,x2  0.1001003517. Do đó: x  2  x1 . Và
f  1.3  f    1.3  0, ta chọn x0  1.3:
 x1  1.371579699,x2  1.379223518,x3  1.379317332,x4  1.379317347 . Do đó: x  4  x2 .
Như vậy 2 nghiệm dương gần đúng là: x  
2  x1 ; x4  x2 .
C. Phương pháp dây cung (cát tuyến) Lập dãy  xn :  x0  b 
a. Nếu f a   0:     xn1  xn 
f x nf x   nf a     xn  a  3  x0  a
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 17 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh  
b. Nếu f a   0:
   xn1  xn  f x f xn    nf b   xn  b  3  
Điều kiện hội tụ đến nghiệm chính xác x: Nếu f   x , f    x liên tục, không đổi dấu trên
 a b,  , không giảm tổng quát giả sử f    x  0,x  a b,  . Khi đó limnxn  x, trong
đó dãy  xn được thành lập từ  3 . Đánh giá sai
số: xn1  x  M  m 
xn1  xn , 0  m
 f   x  M x,   a b,  . m
Bài 1: Cho phương trình: x x x3  2    1 0. a.
Chứng minh  0,1 là khoảng phân ly nghiệm. b.
Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp dây cung đối với khoảng phân ly nghiệm này. c.
Sử dụng phương pháp dây cung, tìm nghiệm gần đúng của phương trình với sai số không quá 102 .
Giải: a. Ta có: f x   x3  x2  x  1f  0  f  1    2 0.
Mà f   x  3x2  2x  10,x  0,1   0,1 là khoảng phân ly nghiệm. b.
f    x  6x 2  0   1 f   x  6. Do đó, phương pháp dây cung sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác.  x0  0 c.
Vì f  0    1 0:   xn3  xn2  xn  1
  n1  xn  xn2  2xn  3 x
x1  0.33333,x2  0.47059,x3  0.51954,x4  0.53586,x5  0.54117,x6  0.54287 .
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 18 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
Sai số: x6  x  5 x6  x5  0.00854  102. Do đó: x6  x.
Chương 5. Xấp xỉ đa thức, nội suy
I. Đa thức nội suy
Giả sử ta có bảng các giá trị (mốc nội suy): x
x0 x1 …… xn y y  f x 0 y1 …… yn 
Xây dựng 1 đa thức (nội suy) bậc n, y  P xn   đi qua các điểm  x yi, i  .
Định nghĩa: Tỷ sai phân cấp 1 tại xi : fi1  f x x i, i1 : f x i1  f x i   fi1  fi xi1  xi xi1  xi
Tỷ sai phân cấp 2 tại xi : fi2  f x x i, i1,xi2 : f x i1,xi2  f x x i, i1  fi11  fi1 xi2  xi xi2  xi
Tỷ sai phân cấp n tại xi : f x
fin  f x x i, i1,...,xi n  :  i1,xi2,...,xi n   f x x i, i1,...,xi n 1  fin11  fin1 xi n  xi xi n  xi
Sai phân tiến (lùi) cấp 1 tại xi :  fi : fi1  fi
  fi : fi  fi1 
Sai phân tiến (lùi) cấp 2 tại xi :  2 fi   fi1   fi
 2 fi   fifi1 
Sai phân tiến (lùi) cấp n tại xi :  n fi   n1fi1   n1fi
 n fi  n1fi n1fi1 
Giả sử các mốc nội suy cách đều: xi  x0  ih i,  1, ,n h  const . Khi đó ta có liên hệ giữa tỷ sai
phân và sai phân tiến (lùi):
f01  f x x 0 1,    f0   f1 h h
TS. Nguy ễ n Và n Quàng – Đ à i h ọ c Cọ ng ngh ễ , ĐHQGHN 19 lOMoAR cPSD| 58833082
Bà i tà p Phương phà p tí nh
f02  f x x x 0 1,
, 2   2 f   2 f2 (1) 2! 2!
f0n  f x x 0 1,,...,xn   n h!n fn0   n h!n fnn
A. Đa thức nội suy Newton tiến với mốc bất kỳ (không cách đều) P x  1  2
n   f0   x x0  f0
  x x0  x x1  f0
 ...  x x0  x x1 ... x  xn1  f n 0 (2)
B. Đa thức nội suy Newton tiến với mốc cách đều
Đặt t  x  x0  x  x0   t h. Mà xi  x0   i h  x xi   t  i h . Từ (1) và f f (2): h P x 0 0
n  0  th  f0   f0   t  2  t t  1   3  t t  1  t  2  1! 2! 3! (3) f
 ...  n 0  t t  1  t  2 ...  t  n  1 n!
C. Đa thức nội suy Newton lùi với mốc bất kỳ (không cách đều)
P xn    fn   x xn  f x x n, n1   x xn  x xn1  f x x n, n1,xn2  ... (4)
  x xn  x xn1 ... x x1  f x x n, n1,...,x x1, 0
D. Đa thức nội suy Newton lùi với mốc cách đều
Đặt t  x  xn  x  xn   t h. Mà xi  xn   n i  h  x  xi   t  n i h . Từ (1) và (4) h suy ra:
TS. Nguyễ n Và n Quàng – Đà i họ c Cọ ng nghễ , ĐHQGHN 20

Bài tập về Phương pháp Tính - TS. Nguyễn Văn Quang - Chương 1 đến 4. Môn Phương pháp tính trong kỹ thuật (UET) | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Tài liệu liên quan:

T217 Tổng hợp công thức sai số môn phương pháp tính - UET. T217 Tổng hợp công thức sai số môn phương pháp tính - UET

BG Ch1 Bài 0: Giới thiệu về Phương Pháp Tính và Số Gần Đúng. Môn Phương pháp tính trong kỹ thuật (UET) | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội.

BG Ch1 Bài 2. Sai số tích lũy và các bài toán sai số trong hàm số. Môn Phương pháp tính trong kỹ thuật (UET) | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội.

BG Bài 5.3 Phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu bằng hàm trực giao. Môn Phương pháp tính trong kỹ thuật (UET) | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội.