Bài tập về Tích phân suy rộng | Đại học Bách khoa Hà Nội

lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 TÍCH PHÂN SUY RỘNG  2 Câu 1: x
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  6  2 x 1 Giải  2  Đặ x t dx  f   xdx 6  2 x 1 2   2 2 x x 1 f x x f x  ~
  g x   3  0, lim  lim 1. 6 6 1 x x
 g  x x x
 x 6x 1   1 2 x Vì dx  phân kỳ    1 , nên dx 
phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 2 x 6  2 2 x 1 1 2  Câu 2: x 1
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  2x 1 x 0   Giải: 1 2 x 1 2 x 1 Tích phân dx 
suy rộng loại 2 tại cận dưới x  0 ; Đặt f  x  2x 1 x 2x   1 x 0   f  x 2 x 1 Xét   1 g x  có lim  lim 1. x   x0 g  x
x0 2x   1 1 dx 1 2 x 1 Mặt khác  hội tụ nên tích phân dx  cũng hội tụ x 2x 1 x 0   0   Câu 3: 1 sinx
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  x  x  3 1 1 Giải 1 sinx 2 Ta có: 0   , x   1.    2 3 1 x x x   2 1 sinx Vì dx  nên dx  2 x 1 x  x  3 1 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67  1 sinx Vậy dx 
hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh 1. x  x  3 1 1  2
x  arctan  x 1
Câu 4: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: J  . dx  x   1  7  1 x 2 Giải:  2
x  arctan  x 2 2 1
x  arctan  x  2 1
x  arctan  x 1 J  dx  dx 
dx  J  J    x   1  x  2 x   1  x  2 x   1  x  2 1 2 7 7 7 1 1 2   2 
x  arctanx 1 Khi x  f  x 4 1 :  ~  g x 1   x   1  7 x  2 3  x  2 1 2 Mà g  x 
 hội tụ nên J hội tụ 1 1 2 2
x  arctanx 1 x 1
Khi x   : f  x  ~   g x 8 2      1  7  2 x x x 2 x  Mà g
 xdx hội tụ nên J hội tụ 2 2
Vậy J  J  J hội tụ 1 2  3  Câu 5: x x
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  x  8 1 1 Giải:  3  Đặ x  x t dx  f   xdx x  8 1 1 1 3 3 x  x x 1
Khi x   : f  x  ~    8 1   8 1 x x x f  x 3 x  x
Chọn g  x 1  , ta có lim  lim  .x  1 x
x g  x x x  8 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67  Mặt khác ta có g
 xdx phân kỳ  p  1. 1  3 x  x
Vậy theo tiêu chuẩn so sánh 2, tích phân dx  phân kỳ x  8 1 1  Câu 6: x
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  x  5 1 4 1 Giải:   Đặ x t dx  f   xdx 4  x  5 1 1 1 x 1
Khi x   : f  x ~  2 5 2 4 x x 1 f  x x
Chọn g  x  , ta có 2 lim  lim  .2x  1. 2 2x
x g  x x x  5 1  Mặt khác ta có g
 xdx hội tụ  p  2  1. 1  x
Vậy theo tiêu chuẩn so sánh 2, tích phân dx  hội tụ x  5 1 4 1  2   Câu 7: x 7x 3
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  4 3x  x x 1 Giải: 2 2 x  7x  3 x 1
Với x [1;), xét f  x 
 0, g x    0 4 4 2 3x  x x 3x 3x f  x 2
 x  7x  3  2 lim  lim x   
x g  x .3 1 4
x  3x  x x   2  x  7x  3 1 Suy ra K  dx  và dx 
cùng tính chất hội tụ 4 3x  x x 2 3x 1 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67  1 Mà dx 
hội tụ, vì p  2  1. Vậy K hội tụ 2 3x 1  1,01 Câu 8: x dx Tích phân suy rộng  hội tụ hay phân kỳ? 2 2   2 2 x 4 x Giải: 1,01 x 1
Với x [2;), xét f  x 
 0, g x   0 0,99 2 2 2  4  x x x f  x 1,01  x  1 0,99 lim  lim  x  
x g  x . x 2 2    2 2x 4 x  3  dx 1,01 x dx Mà  phân kỳ nên 
phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn 0,99 x 2 2   2 2 2 x 4 x  3   Câu 9: x 5x 1
Khảo sát sự hội tụ của tích phân: dx  6 x  sinx 1 Giải  3  Đặ x  5x 1 t dx  f x dx   6   x  sinx 1 1 x 1
Khi x   : f  x 3 ~  6 3 x x 3 f x x  3 x  5x   1   1
Xét g  x  , ta có lim  lim  1. 3 x
x g  x 6 x x  sinx   1 3 x  5x 1 Mặt khác ta có dx  hội tụ nên dx  hội tụ 3 x 6 x  sinx 1 1 2  Câu 10: 1 x
Khảo sát sự hội tụ của tích phân: . dx   1 x  x 1 Giải 2 2 1 x Tích phân dx  f x dx  
là tích phân suy rộng loại 2 tại cận dưới.  1 x  x    1 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67     1    1 x x f x x x 1 1 1
Xét hàm g  x    ; lim  lim  lim  4     x 1
1 x  g  x x 1  x  x   x 1 1  x 2 1 2 1 x mà dx  phân kì nên tích phân dx  phân kì x 1  1 x  x  1 1   Câu 11: 3 s . i n2x
Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng: I  d . x  4 3 2  0 x 2. x Giải:  2  3  sin2x 3  sin2x 3  s . i n2x I  dx  dx 
dx  I  I    1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2    0 x 2. x 0 x 2. x 2 x 2. x 2 3  sin2x Xét I  dx  1 4 3 2  0 x 2. x
Hàm dưới dấu tích phân là hàm không âm. 3  sin2x 3  0 Ta có: x  0 : ~ VCB 4 3 2 3 2 x  2. x 2. x 2 3  2  Mà dx  hội tụ do   1 
 nên I hội tụ (TCSS2) 1 3 2  3  0 2. x
 3 s .in2x 3  sin2x 4 Xét I  d . x  Ta có : 0   ; x  [2;) 2 4 3 2  4 4 3 2  x 2 x 2. x x 2. x  3 Mà dx 
hội tụ do   4  
1 nên I hội tụ (TCSS1) Kết luận: I hội tụ 4 x 2 2  3 2   Câu 12: x 5x 1
Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau: dx  5 3 2
2x  x  5x 1 1 Giải: Đặ x  5x 1 1 f x 1 t f  x 3 2 
. Xét hàm g  x    ; lim  5 3 2
2x  x  5x 1 2 x x
 g  x 2   1 3 2 x  5x 1 Mà dx  hội tụ nên dx  hội tụ 2 x 5 3 2
2x  x  5x 1 1 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 2 .
x ln 1 x
Câu 13: Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau: dx  3 2  1 x 1 Giải  1 h x xln 1 x Đặ . x ln 1 x ln2 t h  x   
. Xét hàm k  x    ; lim  lim  3 2   x 1 3 x 1
x 1  k  x 3 3 x 1  x 1 2 2 1 2 .
x ln 1 x Mà dx  hội tụ nên dx  hội tụ 3 x 1 3 2  1 1 x 1 1 Câu 14: x
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  3  0 1 x Giải x 1 Ta có: 0  ~ khi x 1  1 x 3  x  1 3 2 1 1 1 1  x
Mà 1 x 2dx hội tụ  dx  hội tụ 3  0 0 1 x
Câu 15: Tích phân suy rộng sau đây hội tụ hay phân kì? Tính giá trị tích phân nếu có:  1 . dx  x 1 x 0   Giải  1  1 1 1 1 1 t 1       dx dx dx lim dx lim dx     x 1 x x 1 x x 1 x  t 0 x 1 t  x  x 1 x 0 0 1 t   1   1 1     
(Đặt u  x ) x  dx du arctan x C 1 x 2 2 2 1 u  1       t dx
lim 2arctan x  1 lim2arctan x  x 1 x t 0 t t  1 0      
 x  lim 2.  2arctan t  lim 2arctan t  2.        t 0  4 t    4    Câu 16: 7 3sinx
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  x  2 5 3  2 x 2
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 Giải:  3  7  3sinx 7  3sinx 7  3sinx dx  dx 
dx  I  I   
x  2x  2
x  2x  2
x  2x  2 1 2 5 5 5 3 3 3 2 2 3 Xét I 1  7  3sinx 7  3sin2 Khi x  2 : ~
x  2 5x  2 3 3 x  2.34 3 7  3sin2 1 Do dx,  1 
hội tụ nên I hội tụ ( TCSS2) 1 3 x  2 .34 3 2   Xét I 2 7  3sinx 10 10 Khi x   :  ~ .   2  2   2  2 2 5 5 3 3 x x x x x   10 10 Do ; dx   2  1  hội tụ nên dx 
hội tụ (TCSS2) nên I hội tụ ( TCSS1) 2 x  1 x  2 5 3  3 x 2 3
Vậy I  I  I hội tụ. 1 2  2 3 x  3x   1
Câu 17: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: J  dx  5   2
x 23 x Giải 2  x  3x 1 9 Khi x  2 : ~  0  1
5  x  2 x  3 5 5 x  2 3 3 9 9 dx 1 Mà dx    hội tụ vì   12 5 x  2 5 5 5 5  5 2 2 x 2 Từ  
1 và 2  J hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2)   Câu 18: x 1
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  3 4   1 x x 1 Giải:
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 x 1 1 Ta có: 0  ~ khi x   5 3 4 x  x 1 2 x  5   x 1 2 x dx  hội tụ  dx  hội tụ 3 4   1 1 x x 1 2  Câu 19: 1 sinx
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  3 2
x  4x  4x 1 Giải 2 2 Đặ 1 sinx t dx  f x dx  
𝑥 là tích phân suy rộng loại 2 tại cận trên x  2 3 2  
x  4x  4x 1 1 1 f  x
1 sinxx  22 1 sinx 1 sin2
Xét hàm g  x      lim lim lim hữu hạn x  2 ; 2    x g  x 3 2 2 x2   x2 x 4x 4x x 2 2 1 2 1 sinx Mà   dx phân kỳ nên dx  phân kỳ 3 2 x  22
x  4x  4x 1 1    Câu 20: x x x 1
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  3 2 x  x 1 0 Giải x x 11 1 Khi x  , ~ 3 2 3 x  x 1 2 x  1 Mà dx  hội tụ 3 1 2 x
 x x  x 1 Vậy dx 
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2 3 2 x  x 1 0 2 Câu 21: 1
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: . dx  4 1 x 1 Giải:  1 1 Khi x  1 : ~ 4 x 1 2 x 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 2 1 1 Mặt khác: dx  hội tụ do   1 2 x 1 2 1 2 x  lnx Vậy . dx 
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2 2   1 x 5x 6  Câu 22: sinx
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: dx  2 x 1 1 Giải sinx 1 Ta có:  , x  1 2 2 x 1 x   dx sinx Mà  hội tụ nên dx  hội tụ 2 x 2 x 1 1 1  Câu 23: dx
Tính tích phân suy rộng:  2   2 . x x x 1 Giải:  2 t  2 2 t  t 1 1 2 
Đặt x  x 1  t  x  x   dx  dt 1 2t 2t  2 1 Đổ 1 i cận: 2 t 
x  x 1  ;
x x  2  t  5  2; x    t  lim
x  x   x  x  2 1  2 1 2 2dt 1  I   arctan  2 t 1 2 5 2  Câu 24: dx
Tính tích phân suy rộng:  19 1 3 2 3 x . 1 x Giải:    dx dx dx      19 3 19 21 x  x 1 1 3 2 3 1 1 7  3 x . 1 x x 1 2 x Đặ 1 1 t 3 3 t  1  t 1 2 2 x x
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 1 3
 I   t t  2 3 27 3 3 1 dt  . 4   2 10 80 3 2  m Câu 25: x
Khảo sát sự hội tụ của tích phân: I  dx  3 2  0 1 cos x Giải:   m 2 m  m x x x I  dx  dx  dx    3 2 3 2 3 2    0 1 cos x 0 1 cos x  1 cos x 2 m x 1 2 1
Khi x  0 : f  x ~ 
. Tp HT khi và chỉ khi  m  1  m   2 2 m x 3 3 3 3 2. x 2 m m m x  
Khi x   : f  x   . TP hội tụ m 
 cos  x  cos  x ~ 1 1   x   x2 2 3 3 3 3 2. 2 1
Vậy tp đã cho HT với m   3  Câu 26: dx
Tính tích phân suy rộng: I   x  3 2
ln x  ln x  lnx e  Giải: Đặ dx
t t  lnx  dt 
. Ta được tpsr loại 1 của hàm hữu tỉ: x  dt  3 I   ln 3   2 3
t  t  t 8 1 1 Câu 27: lnx
Khảo sát sự hội tụ của tích phân: I  dx   0 x 1 x Giải 1 1 2 1 lnx lnx lnx I  dx  dx  dx       0 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 2
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 Khi x   f  x 1 0 : ~ . TPHT x  1
Khi x 1 : f  x ~
. TP hội tụ khi và chỉ khi   2   1 x
Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi   2 1
Câu 28: Tính tích phân suy rộng: n I  ln
 1 xdx 0 Giải: Đặt  1  t   1 t t ln x x e
 dx  e dt . Ta được tích phân 0          n n n t n t n t
1 n t  ...    1 0 1 2 1 . !. . t    1 . !. t I t e dt t e nt e n n t e n t e n e   2 1 3 3  Câu 29: x x
Tìm tất cả các giá trị m  0 để tích phân: I   hội tụ 2 m x  arctanx 0 Giải Hàm 
f  x  0, x
 (0;2]. Ta sẽ so sánh khi x  0 .Lưu ý: Không nhận xét f dương thì trừ điểm 2   f  x 3 x 1 2 : ~   TP phân kỳ 2 4 x 3 x 2 x
  2 : f x 3 ~  TP phân kỳ 2 2x 2   2 5 f  x 3 x 1 2 : ~         
TP hội tụ khi và chỉ khi 1 x  2 3 3 x  3 5
Vậy I hội tụ khi và chỉ khi 0    3  2  Câu 30: 1 x
Tìm số thực m  0 để tích phân sau hội tụ I  dx  m x  . m 1 1 x  0 
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 Giải:  2 1 2  2 1 x 1 x 1 x Ta có: I  dx  dx 
dx  I  I    m x 1 m  x   m x 1 m  x   m x 1 m  x   1 2 1 1 1 0 0 1
Hàm f  x  0, x   0 x   f  x 1 0 : ~
 I hội tụ khi và chỉ khi m  1 m 1 x 1
x   f  x 1 : ~
 I hội tụ khi và chỉ khi m  2m 2 x 2 1
Vậy I hội tụ khi và chỉ khi  m 1 2 1 2 Câu 31: dx
Tìm  để tích phân sau hội tụ I  
. Tính tích phân khi   2  2  0 x 1 4x Giải
Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho biểu thức dưới dấu tích phân không xác định. Nên ta tách ra
thành 2 tích phân suy rộng loại 2 như sau: 1 1 1 2 4 2 dx dx dx I     I  I    1 2  2  2  2    0 x 1 4x 0 x 1 4x 1 x 1 4x 4 1 4 dx
Xét tích phân I : I   1 1  2  0 x 1 4x Xét khi x 0  : 1 + Khi   0 : ~ 0  I hội tụ 1  2 x 1 4x 1 1 + Khi   0 : ~ ~ 1  I hội tụ 1  2 2 x 1 4x 1 4x 1 1 + Khi   0 : ~   2 1 4 x x x
Như vậy thì để I hội tụ thì trong trường hợp này  phải thỏa 0    1 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67
Tổng hợp lại thì với   1 thì I hội tụ! 1 1 2 dx
Xét tích phân I : I   2 2  2  1 x 1 4x 4  1 Xét khi x  : 2 + Khi 1 1 1 1 1   0 :      x 1 4x x
  x  x ~ 1 2 1 1 2 1 2 1   1  2 2 1 2x      1  1 2 2 x 2    2  2 2 x      2   1
do đây là tích phân suy rộng loại 2 và  
1 nên I hội tụ. 2 2 1 1 + Khi   0 : ~  I hội tụ. 1 2  2 x 1 4x 2  1  2  x    2  1 1 + Khi   0 : ~  I hội tụ 1 2  2 x 1 4x 2    1  1 2  x    2 
KẾT LUẬN: Do I đã hội tụ nên để cho I hội tụ thì I phải hội tụ. Vậy   1 thỏa mãn. 2 1
* Tính tích phân khi   2 1 1 2 2 2 2 x 1 x
Khi   2 thì ta có tích phân sau: I  dx  dx   2  2 1 4x 1 0 0 2  x 4   Đặ 1 1 t: x  sint với 
 t   dx  costdt 2 2 2 2  Đổ 1
i cận: x  0  t  0; x   t  2 2   2 2 1 1  1 cos2t   Tích phân trở thành: 2 sin tdt   dt     8 8  2 2  32 0 0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67  2 3   
Câu 32: Tìm  để tích phân sau hội tụ 2 2  x x I  x
 e e dx  
. Tính tích phân khi   5 1   Giải:
Đây là tích phân suy rộng loại 1. 2 3 2 3          2 3   5     x 5
Khi x   , ta có: 2 2 2 2 x x x
x  e  e
  x e 1 x   e 1 ~ x            2 2 2 2         x x  x x  
Để tích phân hội tụ thì: 2  1  1 2 3   2 2 x x e  e
Khi  5 , tích phân trở thành: I  dx  5 x 1 Đặ 1 2 t: u   du  
dx . Đổi cận: x  1  u  1; x    u  0 2 3 x x 1 1 1 1 u  u 1 u 1 Tích phân trở thành:    2 3   2 3  u I u e e du  ue du  ue
du  I  I   1 2 2 2 2 0 0 0
Đến đây dễ dàng tính được I , I bằng tích phân từng phân 1 2 2 e 2 5 Vậy I    3 8 9e 72  Câu 33: dx
Cho tích phân I   
.Tìm m để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi m x   2  1 2 x 1 m  2 Giải:
Do x  1 làm cho biểu thức trong dấu tích phân không xác định. Nên đây là tích phân suy rộng loại 1 và 2.
Tách ra thành 2 tích phân sau:  2  dx dx dx I       I  I   m
x  2 x 1
 mx 2 x 1  mx 2 1 2 2 2 2  1 1 2 x 1 2 2 dx dx
Xét tích phân I sau: I     1 1  mx 2 2     1 x 1 m 1  x 2  x  1  x  1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67  dx 1 Khi x  1 :  m
x    x   x   ~ 2 1 1 3 2  x  12 1
+ Đây là tích phân suy rộ 1 ng loại 2, thấy   1 I hội tụ. 1 2  dx
Xét tích phân I   2  mx   2  2 2 x 1
Khi x   ta xét các trường hợp của m như sau: 1 1 Khi m  0, xét 
    I phân kỳ  I phân kỳ m   ~ 1 2 2  2 2 1 x x x 1 1 Khi m  0, xét: 
    I phân kỳ  I phân kỳ m   ~ 1 2 2  3 2 1 x x x 1 1 Khi m  0, xét:  m m  2 ~ 1 2 1 x x x
Như vậy khi m  0 thì ta thấy m 1 1 I hội tụ (do đây là tích phân suy rộng loại 1). 2
Kết luận: + Do I hội tụ nên để I hội tụ thì chỉ phụ thuộc vào I . Suy ra, I hội tụ khi m  0 . 1 2
Tính tích phân khi m  2 :   dx dx
Khi m  2, tích phân đã cho trở thành: I     x  2 x 1 1 1  2  2 1 x  2 x  2 1 2 x Đặ 1 1 1 t t: 2 2 t  1  t  1  x   xdx  dt 2 2 2 x x 1 t  2 1 t 2
Tích phân đã tương đương với: t  1t xdx  1 2 2 1 1 1 2  1 1 1 t  dt  dt  dt     1 1  1  t 2 3
1 x  x  2 2 2 2 0 0 0 1  2 t  2t  t   2 2 2 2 x
1 t  1 t  1 t 2
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 6 6 1 1  t   t 1 1 1 1 1 1 1 2 2  dt    dt    2  6  6  2 6  6  6  2 6     0 0 0 6 6   t   t    t   t    t    t  2 2 2 2 2 2           1  6 6  1 1   ln  t  ln  t   ln   52 6 2 6 2 2 0 2 6    Câu 34: dx
Cho tích phân I   
.Tìm m để tích phân I hội tụ và tính tích m x   2   2 1 2x 5x 2 phân khi m  1 Giải:
- Do x  2 làm cho biểu thức trong dấu tích phân không xác định. Nên đây là tích phân bất định loại 1 và 2.
Tách ra thành 2 tích phân sau:  3  dx dx dx I       I  I   m x   1 2x  5x  2
 mx  1 2x 5x2  mx   1 2 2 2 2   2 2 3 1 2x 5x 2 3 3 dx dx
Xét tích phân I sau: I     1 1
 mx   2     2 1 2x 5x 2 2  m x   1 1 2 x    x  2  2   1 1 Khi x  2 : ~    x   1 x  x     3 2m m   1  x  2 1 2 2 12  2 
Nhận thấy với mọi m  0 (lưu ý vì hàm số chỉ xác định khi m  0 ). Thì 3 2m   1 luôn là hằng. Do đó thấ 1 y  
1 I hội tụ (đây là tích phân suy rộng loại 2). 1 2  dx
Xét tích phân I   2
 mx   2   3 1 2x 5x 2
Khi x   ta xét các trường hợp của x   như sau: 1 1
Khi m  0, ta xét hàm dương sau: 
    I phân kỳ  I phân m x   ~ 1 2 2 1 2x  5x  2 2x kỳ
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67
Khi m  0 : không xét vì làm hàm số không xác định  I không có tích phân. 1 1
* Khi m  0, ta có:  m  x   ~ m 1 2 1 2x  5x  2 2x
Như vậy khi m  0 thì ta thấy m 1 1 I hội tụ. 2
Kết luận: + Do I hội tụ nên để I hội tụ thì chỉ phụ thuộc vào I Suy ra, I hội tụ khi m > 0. 1 1  dx
Tính tích phân khi m  1:   x   2   2 1 2x 5x 2 Đặ 1 1
t: x 1   dx   dt 2 t t 1  0
Tích phân đã tương đương vớ 2 dx i: t      x   dt 2 2   2 1 2x 5x 2 1 1 1  1  2 1  5 1  2     t  t   t  1 1 1 dt dt dt       2 2 2 1   0 0 2 t t 0 9  1 t 1      2 t t t   4  2  Đặ 1 3 3 t t 
 sinu  dt  cosudu 2 2 2  3 2 cosudu  1 Tích phân trở thành: 2   arcsin  3 2 3 1 arcsin cosu 3 2  Câu 35: 1
Tính tích phân I  dx  2  1 x 4 x Giải Xét: 2
4  x  0  x  2 x 1 2  2 4  x 2 4  x 0 2 x  4
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67  2  1 1 1 Vậy, ta có: I  dx  dx 
dx  I  I    1 2 2 2 2    1 x 4 x 1 x 4 x 2 x x 4 Xét I : 1 1 1 1 Đặt t 
 x   dx   dt 2 x t t t   1 x  1  Với    1 x   2 t   2 1 1 1  dt 1 2 2 2 1 2 1 dt dt 1 1 t 2 I  dx   
 ln 2t  4t 1     1  ln 2  3 1 2 2 2 x 4  x 1 1   2 2 1 1 1 4t 1 1 4t 1 4  2 2 2 t t Tương tự  với I  2 4 1 
Vậy I  I  I  ln 2  3  1 2   2 4   
x  ln 1 x
Câu 36: Tìm tất cả số thực   0 để tích phân I    dx  hội tụ 3 2  0 x arctanx  Giải:        
x  ln 1 x 2
x  ln 1 x
x  ln 1 x I            
x  arctanx  dx
x arctanx  dx x arctanx  dx I I 1 2 3 2 3 2 3 2 0 0 2     Đặ x ln 1 x t f  x      3 2
x  arctanx  Xét I : 1  2    x     x     x  x      x  x 1 x  x 1 x      1  2     2   2  x 1
Khi x  0 : f  x ~          ~ ~  2 2  1  3 2 3 2 x x x x x x x 2 1
Suy ra I cùng bản chất với dx  1  1 x  0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67
Vậy để I hội tụ thì:  1  1    2  1 1 Xét I : 2  x 1
Khi x   : f  x ~  3 2 x x  1
Suy ra I cùng bản chất với dx  2 2 x 2 1
Vậy để I hội tụ thì: 2  1    2 2 2 1 Từ  
1 và 2 : Để I HỘI TỤ thì    2 2 1 Câu 37: 1
Tìm tất cả các số thực  để tích phân sau hội tụ I  dx  . Tính giá   0  x  1 xarctanx 1
trị của tích phân khi   2 Giải
x  0 là điểm kì dị. Khi x 0  :  1
TH1:   0 : lim x  lim        x0 x0 x 1 1 1    x   ~ ~ 1 1 . x arctanx   2 . x x 2 2 1 1 dx 2 dx
Suy ra 𝐼 cùng bản chất với    1   1 0 2 0 x 2 2 x 1 2 dx Dễ thấy    hội tụ I hội tụ   1 1 0 2 x 1 1 1 TH2:   0 :      x   ~ ~ 1 1 . x arctanx . x x 2 x
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 1 dx
Suy ra 𝐼 cùng bản chất với  1 0 2 x 1  Vậy để I hội tụ 1  12 2 Từ  
1 và 2 suy ra   1 1 1 1 Khi  
, tích phân trở thành: I  dx  2 0  x   1 . x arctan x   4 Đặ dx 2dt
t t  arctan x  dt   I   t    2 x 1 x 4 4 2 t 0 0  . x sin ax
Câu 38: Xét tính hội tụ của tích phân:
dx k  0, a  0  2 2   k  x 0 Giải x 2 2 k  x
Xét hàm g  x 
, ta có: g ' x 
. Như vậy x  k thì g 'x  0 khi đó hàm 2 2 k  x k  x 2 2 2 x
g  x đơn điệu giảm và lim g  x  lim  0 2 2 x
x k  x A 1 cosAa 2
Mặt khác, với mọi A  a : sin axdx    M  a a 0
Theo dấu hiệu tích phân Dirichle tích phân đã cho hội tụ  Câu 39: sinx
Xét sự hội tụ của tích phân: dx  với a  0 x a   Trướ sinx sinx
c hết theo định lý Dirichlet tích phân dx 
hội tụ. Tuy nhiên, tích phân dx  không x x a a hội tụ. 2 sinx sin x Do   0, x  [a,) x x 2    sin x 1 cos2x 2 sin x 1 dx 1 cos2x Mặt khác:  nên dx   dx    x 2x x 2 x 2 x a a a
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67  2 sin x
Tích phân thứ nhất phân kì, tích phân thứ hai hội tụ. Vậy tích phân dx  phân kỳ, x a  sinx  dx  phân kỳ x a 2   x Câu 40: e Tính tích phân suy rộng dx  2   0 1 2 x     2  2  x Đặ e t: I     dx  2 x   0 2  x      t Khi đó, ta có 2 e         e x  2x t t 1 t 2 : x dx  e e dtdx  e e dtdx  . dt       2 x   2 1 t 0 0 0 0 0 0 2   x  e 1 t  t    Ta thấy y: 2 dt  I '  e dt     2  1   2  2 1 t 0 2 0 x     2  Nhưng  t  t      1 t t      1 t  1 t t  2 2 2 2 2 2 e dt  1 te dt  e dt      2  1 te   e dt  e dt  2   1 t 1 t 0   1 t 1 t 0 0 0 0 0 2   x e Vậy dx    2   0 1 2 x     2    Câu 41: x dx
Tìm  để tích phân sau hội tụ: I    2  x 5 4   0 1 1 x cosx Giải:   1    x dx x dx x dx I       I  I   2 1 x  4
1 x  cosx  2 1 x  4
1 x  cosx  2 1 x  4   0 0 1 1 x cosx 1 2 5 5 5  2
Xét I , x  0 : f x ~ 1   2  x  1  2
I cùng bản chất với dx  1 2  x  0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67
Vậy I hội tụ  2   1    1 1 2
Xét I , x   : f x ~ 2   14   5 x   2
I cùng bản chất với dx  2 14   1 5 x
Vậy I hội tụ  2   1    1 2  2  Câu 42: 1 x
Tìm  để tích phân sau hội tụ: I     x  dx 1 1 x  0  Giải:  2 1 2  2 1 x 1 x 1 x I           dx dx dx I I        x 1 x  x 1 x 
x 1 x   1 2 1 1 1 0 0 1 Khi   1  1
Xét I , x  0 : f x ~ 1   x 1  1
I cùng bản chất với dx  1  x 0
Vậy I hội tụ    1 1 1
Xét I , x   : f x ~ 2   2 x   1
I cùng bản chất với dx  2 2 x 1 1
Vậy I hội tụ  2  1    2 2
Khi   1 làm tương tự  2 Câu 43: dx
Xét sự hội tụ của tích phân sau: I   sinxcosx 0 Giải:
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 
f  x  0, kỳ dị tại và 0  tách cận 2    2 3 2 dx dx dx I     I  I    1 2 sinxcosx sinxcosx  sinxcosx 0 0 3
Xét I : f x kỳ dị tại 0 1    3 1 x   f  x 1 0 : ~ . Vì 
hội tụ nên I hội tụ 1 1 x 0 2 x 
Xét I : f x kỳ dị tại 2   2   x  f  x 1 1 :  ~ 2     sinx.sin  x    x  2  2  2 1 Vì 
hội tụ nên I hội tụ 1 2    2  3  x    2 
Vậy I  I  I hội tụ 1 2  Câu 44: dx
Tính tích phân suy rộng: I    x   2  1 1 x x Giải:
x  1 là điểm kỳ dị  Tích phân suy rộng kết hợp. Ta tách thành 2 tích phân:  2  dx dx dx I        x   2 1 x  x x   2 1 x  x x   2  1 1 2 1 x x 2 2 2 dx dx dx Xét I   lim  lim    1    x   2 1 k x  x     k  x  2 1 k 1 1 x x k  x  2 3 2 1 1 1  x 1 x  2 1 Đặ 1 dx t: t   dt  x 1 x  2 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 Đổi cận: x 1 2 t 1 1 2 3 Ta có: k k dt 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 2 2 I  lim  lim ln t   t  t   1  lim ln k   k  k     2ln2  1 ln 2 1  2   1 1 1   2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 k  1 2t 3t 1 k  k  2 2 2 3 3  k  dx dx dx I   lim  lim    2 x   2 1 k x  x  x   2 1 k x  x  x  2 3 2 2 2 2 1 1  x 1 x  2 1 2 1 2  3 2 
Giải tương tự: I  ln  ln    2   2 12 2 4 2   2  3 2 
Vậy I  I  I   2ln2  ln    1 2   2 4 2     Câu 45: 2x 1
Xét sự hội tụ của tích phân: dx     0 3 x  4 5 x 1 Giải:  Khi   
x   ta so sánh: x  x   x  5 1 4 5 4 4 2 1 ~ 2 ; 3
x 1 ~ x x  x
Nên bắt buộc phải chia tp ban đầu thành tổng 2 tp như sau:  1  2x 1 2x 1 2x 1 I  dx  dx 
dx  I  I             0 3 x  4 x 1 0 3 x  4 x 1 1 3 x  1 2 5 5 4 5 x 1
I là tp của hàm liên tục trong đoạn lấy tp nên là tp xác định (tp HT) 1  1
Tp I là tp HT khi và chỉ khi dx  HT (theo so sánh trên) 2 1   1 4 x 3
Do vậy, tp đã cho HT khi và chỉ khi   4
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 2  x arctan
b1: hội tụ - phương pháp làm: arctan(1/x) ~
Câu 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: x J  dx  1/x 5 x x  x  4 b2: dùng tg đg 1 alpha > -1/2 cách làm: 1  3    Câu 2: 1 x 1 x
cho cái ở trên tương đương với x^(alpha)/căn x
Khảo sát sự hội tụ của tích phân I  dx  Xét: sin x 0
limx->0+ của biểu thức trong tp ban đầu với tphan đã chọn  2     xét với hàm g(x) = x^alpha Câu 3:  x 3x 2
Khảo sát sự hội tụ của tích phân I  x ln dx   
nhận thấy hàm dưới dấu tphan nhỏ hơn rất nhiều so 2 x 
 x 1  với hàm g(x) 1
-> g(X) hội tụ thì f(x) hội tụ 
mà g(x) hội tụ (=) alpha < -1 Câu 4: arctanx 3 Cho tích phân   dx   
. Tìm  để tích phân hội tụ và tính tích phân khi 2 
dễ chứng minh alpha > 1/2 bằng cách cho bthuc dưới tphan nhỏ hơ 2 0 1 x  n (pi/2)/(x^2+1) ^alpha
tính thì cách làm là chúng ta đặt x=tant rồi xong tphan từng phần là ra rồi nhé 1 Câu 5: arcsin xdx
Cho tích phân I  
. Tìm  để tích phân hội tụ và tính tích phân khi   1   0
x 1 x alpha<3 để cái này hội tụ (tự làm nhé lười nói cách giải)
tính tích phân: đổi biến: t = arcsin (căn x) -> tự giải nốt 1 x5 1 3
Câu 6: Tìm  để tích phân sau hội tụ : 
không hiểu alpha đặt ở đâu  arctan  2 x  x 0   Câu 7: dx
Xét tích phân suy rộng  
, là tham số. Tìm giá trị  nguyên dương bé 3  1 x 1 x 0  
nhất để tích phân suy rộng này hội tụ. Với tìm được, tính tích phân này. alpha > -2
=> alpha = 1 (số nguyên dg đầu tiên) 
tách theo hàm phân thức hữu tỉ để tính Câu 9: 1 Xét tích phân suy rộng . dx 
Tìm m điều kiện về m để tích phân suy rộng này m 3 2  1 x . 1 x
7 m > 1/3 (rất dễ để chminh)
hội tụ. Tính giá trị tích phân này khi m 
cách tính: cho căn bậc 3 x mũ 7 nhân cái x^7 vào bthuc (1+x^2) rồi sau đó rút
3 x^9 (biến thành x^3) * (căn (x^2 + 1/x^2)) ra ngoài, và đặt cái căn là đc 0 f  x Câu 10: 2 Cho f  x sin x  e
, g  x  ln
 1 sintdt. Tìm b để lim
nhận giá trị hữu hạn.  x0 g  x 3x
Với b vừa tìm được, hãy tính giá trị giới hạn trên b loz gì đấy ? lỗi đề nhé  khai triển maclaurin nhé Câu 11: sinhx
Khảo sát sự hội tụ của I  dx 
f(x) = bthuc dưới dấu tphan 2 x e  cosx 0 g(x) = x/x^2 => lim f(x)/g(x)= 2/3
-> tphan của g(X) phân kỳ
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 và NGUYỄN THỊ MAI
HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 - Nguyễn Thế Thiện - Lớp: HTTTQL - K67 chia TH ra: 2
 x  sin  2 x   1
+ TH1: a<=0 -> phân kỳ
Câu 12: Tìm  để tích phân sau hội tụ I  
 + TH2: a > 0 thì bđầu xét:  x  lnx 1 1  
cái bthuc dưới căn tg đg x^2/x^a
=> hội tụ khi alpha >2   Câu 13: 2x 1
Tìm  để tích phân sau hội tụ I      chia TH ra: 1 3 x  4 5 x 1 TH1: a<=0 -> pky
TH2: a>0 -> a>3/4 thì hội tụ 1 2
 x  arcsin 2
Câu 14: Tìm  để tích phân sau hội tụ x dx 
chia th nốt, làm y hệt :))  3 1 x x 0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)