Bài tập xác suất khoa Toán - Lý thuyết Xác suất | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Bài tập xác suất khoa Toán - Lý thuyết Xác suất | Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Lý thuyết xác suất (MATH 233)

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội

Thông tin:

203 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
BÀI TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
(Dành cho sinh viên khoa Toán - Tin)
Bộ môn Toán Ứng dụng
Khoa Toán tin - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
Hà Nội, tháng 12 năm 2018
MỤC LỤC
1 Không gianxác suất 3
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
LỜI GIẢI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Biến ngẫu nhiên 34
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
LỜI GIẢI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Vectơ ngẫu nhiên 68
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
LỜI GIẢI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Các định lý giới hạn 111
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
LỜI GIẢI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN XÁC SUẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Ω: không gian mẫu, không gian các biến cố sơ cấp.
• A = Ω\A: biến cố đối của biến cố A.
• A,B được gọi là xung khắc nếu AB= ∅.
• Định nghĩa xác suất cổ điển:
P
(A) =
số trường hợp có lợi cho A
số trường hợp có thể xảy ra
=
| |A
|
Ω|
.
• P(A) = 1 − P( )A .
• Qui tắc cộng: Nếu A
1
,A ,...,A ,...
2 n
là các biến cố đôi một xung khắc thì
P(A A A
1
∪
2
∪ ... ∪
n
∪ ...) = P(A
1
) + P(A
2
) + ... + P(A
n
) + ...
• Qui tắc cộng tổng quát (Nguyên lí bù trừ): Nếu A
1
,A ,...,A ,...
2 n
là các biến cố bất kỳ thì
P (∪
n
i
=1
A
i
) =
X
P(A
i
) −
X
P(A
i
A
j
) + ...
+
X
( (−1) ( 1)
k−1
P A A
i
1
i
2
...A
i
k
) + + (... −
n−1
P A A
1 2
...A
n
)
=
n
X
k
=1
X
1≤i
1
<i <...<i
2
k
≤n
(
−1) (
k−1
P A A
i
1
i
2
...A
i
k
) .
• Tính độc lập: A
1
,A ,...,A ,...
2 n
được gọi là độc lập nếu với mọi i, việc A
i
có xảy ra hay không không
ảnh hưởng hay liên quan tới việc có biến cố nào trong các biến cố còn lại có xảy ra hay không. Theo
xác suất thì
P P(A A
i
1
i
2
...A
i
k
) = (A A
i
1
i
2
...A
i
k
) ∀i
1
,i
2
, . . . i
k
.
• Qui tắc nhân: Nếu A
1
,A ,...,A ,...
2 n
là các biến cố độc lập thì
P P P(A A
1 2
...A
n
) = (A
1
)P(A
2
) ... (A
n
).
3
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
• Xác suất có điều kiện: Xác suất để xảy ra với điều kiện đã xảy ra rồi làA B
P
(A/B) =
P( )AB
P
(B)
.
• Qui tắc nhân tổng quát:
P P(A A
1 2
...A
n
) = (A
1
)P(A
2
/A /A /A
1
) (P A
3 1
A
2
) ...P(A
n 1
A
2
...A .
n−1
)
• Hệ đầyđủ: A
1
,A ,...,A ,...
2 n
được gọi là hệ đầy đủ nếu
+ A A
i j
= ∅ ∀i 6= j.
+ ∪A
i
= Ω.
• Công thức xác suất toàn phần: Nếu A
1
,A ,...,A ,...
2 n
là hệ đầy đủ thì
P P(H) = P(A
1
) (H/A H/A
1
) + P(A
2
)P(
2
) + ...
+ P(A
n
) (P H/A
n
) + ...
• Công thức Bayes:
P
(K/H) =
P P( )K ( )H/K
P
(H)
.
• Công thứcBernoulli:Thực hiện lặp đi lặplại một phép thử lần, xácsuất để biến cố xảy ra ở mỗin A
lần thử là . Khi đó xác suất để lần thử làp A xảy ra k lần trong n
P
k
(n; p) = C
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
∀k k∈ N, 0 ≤ ≤ n.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 4
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
B. BÀI TẬP
1. Không gianmẫu và biến cố
Bài 1.1. Một đồng xu được tung ba lần.
a. Xây dựng không gian mẫu khi ta muốn quan sát tình trạng sấp ngửa của các lần tung.
b. Xây dựng không gian mẫu khi ta xem xét số lần ra mặt ngửa.
Bài 1.2. Một xúc xắc được gieo liên tục cho tới khi xuất hiện mặt "lục" thì dừng lại.
a. Xây dựng không gian mẫu khi ta muốn quan sát các mặt xuất hiện ở mỗi lần gieo.
b. Xây dựng không gian mẫu khi ta xem xét số lần tung cho tới khi dừng lại.
Bài 1.3. Hai con xúc xắc được gieo đồng thời.
a. Xây dựng không gian mẫu về cặp mặt xuất hiện trong 2 tình huống: có thứ tự (xác định rõ mặt xuất
hiện là của viên xúc xắc nào) và không thứ tự (không quan tâm mặt xuất hiện của viên xúc xắc nào).
b. Trong trường hợp có thứ tự, xác định các biến cố sau:
A: Các chấm xuất hiện đều là số chẵn.
B: Tổng số chấm trên hai mặt bằng .5
C: Tổng số chấm trên hai mặt lớn hơn .10
D: Xuất hiện mặt có chấm.1
E: Xuất hiện đúng 1 mặt có chấm.1
Bài 1.4. Ba bạn lần lượt tung một đồng xu cho đến lúc có người thắng cuộc khi tung được mặtA,B và C
ngửa.
a. Xây dựng không gian mẫu về tình trạng sấp ngửa của đồng xu trong quá trình chơi.
b. Xác định các biến cố sau:
i. thắng.A
ii. thắng.B
iii. .A ∪ B
Bài 1.5. Cho ba biến cố . Hãy biểu diễn các biến cố sau theoA,B và C A,B và :C
a) Chỉ có xảy ra.A
b) A,B xảy ra nhưng không xảy ra.C
c) Tất cả đều xảy ra.
d) Không có biến cố nào xảy ra.
e) Có đúng hai biến cố xảy ra.
f) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra.
g) Có ít nhất 1 biến cố xảy ra.
5 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
2. Định nghĩaxác suất cổ điển
Bài 1.6. Ta tung đồng thời một số viên xúc xắc và xét tổng số các chấm trên các mặt xuất hiện. Hãy giải
thích tại sao nếu tung viên xúc xắc thì ta thường gặp tổng , nhưng nếu tung2 9 hơn tổng 10 3 viên thì tổng
10 lại xuất hiện nhiều hơn?
Bài 1.7. Một khách sạn có phòng đơn. Có khách đến muốn thuê phòng trong đó có6 10 6 nam và nữ.4
Người quản lí chọn ngẫu nhiên ra người. Tính xác suất để:6
a. Cả 6 người là nam.
b. Có 4 nam và nữ.2
c. Có ít nhất nữ.2
Bài 1.8. Có 30 tấm thẻ đánh số từ . Chọn ngẫu nhiên tấm. Tính xác suất để:1 tới 30 10
a. Cả 10 tấm thẻ đều là số chẵn.
b. Có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho .3
c. Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, tấm mang số chẵn trong đó có tấm mang số chia hết cho .5 2 10
Bài 1.9. Trong hộp có bóng đỏ vàm n bóng xanh. Ta lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại mỗi lần
một quả bóng.
a. Tính xác suất để lần đầu lấy được bóng đỏ.
b*. Tính xác suất để lần cuối lấy được bóng đỏ.
3. Các quytắc tính xác suất
Bài 1.10. Cho các biến cố xác định trên cùng không gian mẫu. Từ có thểA,B,C P( (A) + ) +P (B P C) = 1
kết luận A,B,C là các biến cố xung khắc không? Cho ví dụ minh họa.
Bài 1.11. Cho A,B là các biến cố bất kỳ. Chứng minh:
a) P P(AB) − (A) ( (P B) = P A)P(
¯
B) − P (A
¯
B B) = P(A ∪ ) − P (
¯
A
)P(
¯
B).
b) P (A ∪ B) + P(A ∪
¯
B
) + P(
¯
A ∪ B) + P(
¯
A ∪
¯
B) = 3.
c) .|P(A) − P(B)|≤P (A∆B)
d) .P(A ∪ B)P(AB) ≤ P( )A P(B)
Bài 1.12. Tìm cực trị của:
a. .P P(AB) − P(A) (B)
b. P
2
(AB) − P(A)P( )B .
c.
P
2
(AB) + P
2
(AB) + P
2
(AB .)
d.
P
2
(AB AB AB AB .) + P
2
( ) + P
2
( ) + P
2
( )
Bài 1.13. Cho dãy các biến cố . Chứng minh:A
1
,...,A
n
a)
P
n
[
i=1
A A
i
!
= P (
1
) + P(
¯
A A
1 2
) + ...+ P (
¯
A
1
¯
A
2
...
¯
A A
n−1 n
)
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 6
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b)
P
n
\
i=1
A
i
!
≥
n
X
i=1
P(A
i
) − (n − 1)
c)
P
n
[
i=1
A
i
!
≥
n
X
i=1
P
(A
i
) −
X
1≤i<j n≤
P(A A
i j
)
d)
P
∞
[
i=1
A
i
!
≤
∞
X
i=1
P(A
i
)
Bài 1.14. Rút ngẫu nhiên 5 quân bài từ một bộ bài Tú lơ khơ. Tính xác suất để trong 5 quân bài chọn ra
này có
a) ít nhất một quân Át.
b) ít nhất một quân Át và ít nhất một quân Bích.
Bài 1.15. Chọn ngẫu nhiên vé số có chữ số. Tính xác suất để trong số vé:1 5
a. Có chữ số chẵn.
b. Có chữ số .5
c. Có chữ số chẵn hoặc chữ số .5
d. Có cả chữ số chẵn và chữ số .5
Bài 1.16. Trong thư viện có ba loại báo . Thống kê thấy số tỉ lệ người đọc các loại báo này như sau:A,B,C
A : 10%; B : 30%; C C C: 5%; A và B : 8%; A và : 2%; B và : 4% và 1% số người đọc cả ba loại báo.
a) Tính tỉ lệ số người chỉ đọc duy nhất một loại báo.
b) Tính tỉ lệ số người đọc ít nhất hai loại báo.
c) Giả sử là các báo có vào buổi sáng và là báo có vào buổi trưa. Tính tỷ lệ số người đọc ít nhấtA và B C
một báo ra vào buổi sáng và một báo ra buổi trưa.
Bài 1.17. Một báo cáo về việc lựa chọn học 3 ngoại ngữ là tiếng Anh, tiếng Pháp và tiếng Trung của 1000
sinh viên khoa Toán nói rằng: có 525 sinh viên học tiếng Anh; 470 sinh viên học tiếng Pháp; 312 sinh viên
học tiếng Trung; 147 sinh viên học cả tiếng Anh và Pháp; 86 sinh viên học cả tiếng Anh và Trung; 42 sinh
viên học cả tiếng Pháp và Trung; 25 sinh viên học cả 3 thứ tiếng. Hãy chỉ ra rằng các số liệu trong báo cáo
là chưa chính xác.
Bài 1.18. Xếp ngẫu nhiên 7 quyển sách lên giá sách có 3 ngăn. Tính xác suất để ngăn nào cũng có ít nhất
1 quyển sách.
Bài 1.19. Trong đợt khuyến mại, khi mua mỗi thùng Coca, khách hàng sẽ nhận được một trong bốn phiếu
ghi chữ "CHÚC" hoặc "MỪNG" hoặc "NĂM" hoặc "MỚI" có trong thùng hàng. Người nào có đủ cả bốn chữ
trên sẽ trúng một giải thưởng. Tính xác suất để khi mua 10 thùng Coca, bạn sẽ có khả năng trúng ít nhất
một giải thưởng.
Bài 1.20. Một người bỏ ngẫu nhiên lá thư vào phong bì đã ghi sẵn địa chỉ.n n
a. Gọi A
i
là biến cố lá thư thứ được cho vào đúng phong bì. Tính xác suất của .i A
i
7 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố .A A
1
∪ A
2
∪ ... ∪
n
c. Tính xác suất của biến cố ở câu b.
Bài 1.21. Một đoàn tàu có toa đỗ ở sân ga. Có hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độc lập vớik m
nhau bước lên ngẫu nhiên một toa.
a. Gọi A
i
là biến cố toa thứ không có hành khách nào bước lên. Tính xác suất của .i A
i
b. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố A = A A A
1
∪
2
∪ ... ∪
k
.
c. Tính xác suất của biến cố .A
d. Hãy nêu ý nghĩa và tính xác suất của biến cố .A
e. * Xét r toa trong số toa. Tính xác suất sao cho chỉ có đúng toa này có hành khách bước lên.k r
f. * Tính xác suất để có đúng toa có hành khách bước lên.r
4. Xác suấtđộc lập
Bài 1.22. CMR: nếu hai biến cố độc lập với nhau thì ta cũng có các cặp biến cố độc lập: ,A và B ( )A,B
(A,B) và (A,B).
Bài 1.23. Phải gieo liên tiếp ít nhất bao nhiêu lần để với xác suất không nhỏ hơn có ít nhất một lần95%
ra mặt "lục".
Bài 1.24. Trong một cuộc xổ số, người ta phát hành vạn vé trong đó có vạn vé trúng giải. Cần phải10 1
mua ít nhất bao nhiêu vé để với xác suất không nhỏ hơn ta sẽ trúng ít nhất được vé?95% 1
Bài 1.25. Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng
vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm.
Bài 1.26. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1
viên đạn trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt
chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu:
a. máy bay bị trúng 2 viên đạn.
b. máy bay bị trúng 3 viên đạn.
Bài 1.27. Hai người chơi A và B cùng chơi một trò chơi công bằng và người thắng cuộc là người đầu tiên
thắng được ván. Tuy nhiên, vì một lí do nào đó, ở thời điểm mà người thắng được ván và người6 A 5 B
thắng được ván thì cuộc chơi bắt buộc phải dừng lại.3
a. Tính xác suất thắng cuộc của từng người nếu như cuộc chơi vẫn được tiếp tục.
b. Từ đó hãy đề xuất cách chia tiền thưởng cho hai người chơi.
c. * Mở rộng bài toán khi người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được ván và cuộc chơi buộc phảim
dừng lại khi người đã thắng được ván và người đã thắng được ván.A n B k
Bài 1.28. Một người tung liên tiếp một đồng xu cho đến khi thấy mặt ngửa thì dừng lại. Tính xác suất để:
a. Số lần tung là chẵn.
b. Số lần tung là lẻ.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 8
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
c. Số lần tung lớn hơn .5
Bài 1.29. Cho n đồng xu độc lập với nhau và xác suất ra mặt sấp của đồng xu thứ . Mỗi lần ta tungi là x
i
đồng thời cả đồng xu và ta thực hiện tất cả lần tung độc lập với nhau.n m
a. Tính xác suất để ra ít nhất mặt ngửa khi thực hiện lần tung.1 1
b. Gọi A là biến cố trong cả lần tung thì mỗi lần đều có ít nhất mặt ngửa. Tính xác suất .m 1 P(A)
c. Gọi B là biến cố tồn tại ít nhất một đồng xu mà trong cả lần tung đều ra mặt ngửa. Nêu ý nghĩam
và tính xác suất của biến cố .B
d. CMR: P(A) + P(B) ≥ 1 và rút ra kết luận.
Bài 1.30. Hai bạn tham gia một trò chơi thắng thua. Xác xuất thắng của trong mỗi ván là . TròA và B A p
chơi kết thúc khi có một người có số ván thắng nhiều hơn người kia 2 ván và người đó thắng cuộc.
a) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 4 ván.
b) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 2n ván, .n ≥ 1
c) Tính xác xuất để thắng cuộc.A
5. Xác suấtđiều kiện, công thức Bayes và côngthức xác suất toàn phần
Bài 1.31. Cho hai biến cố A và B với .P( ) ( 0A , P B) ≥
a) Biết
P(A|B) =
2
3
; P (B|A) =
1
3
và P(A ∪ B) =
7
8
. Tính .P(B)
b) Biết
P(A|A ∪ B) =
3
5
; P (B B|A ∪ ) =
4
5
. Tính P P(AB|A ∪ B) và (A∆B B|A ∪ ).
Bài 1.32. Cho các biến cố .A,B,C
a) Chứng minh nếu P(A|C) > P(B|C) và P (A|
¯
C) > P(B|
¯
C) thì P(A) > P(B).
b) Nếu P ( (A|C) > P A|
¯
C C) và P (B| ) > P(B|
¯
C C) thì có suy ra được P (AB| ) > P(AB|
¯
C) không?
Bài 1.33. Chứng minh:
a) P (A|B) = P (C|B) (P A|BC) + P(
¯
C|B)P (A|B
¯
C).
b) P (E|F ) =
n
X
i=1
P F P(B
i
| ) (E|B
i
F) ở đó B
1
,B
2
,...,B
n
là hệ đầy đủ các biến cố.
c) .P(E|E ∪ F) ≥ P (E|F )
Bài 1.34. Gieo đồng thời xúc xắc cân đối, đồng chất.2
a) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc là . Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt6 3
chấm.
b) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc nhỏ hơn 6. Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện
mặt 3 chấm.
Bài 1.35. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào cùng mục tiêu độc lập. Giả sử xác suất bắnA và B
trúng đích của lần lượt làA và B 0, 7 và .0 4,
a) Biết rằng có đạn trúng đích, tính xác xuất để bắn trúng.B
9 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b) Giả sử có một viên đạn trúng đích. Tính xác suất để đó là của .B
Bài 1.36. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng 1 lấy 90% thí sinh. Vòng 2 lấy 80% thí sinh của vòng 1 và vòng lấy3
60% thí sinh của vòng 2.
a. Lấy ra ngẫu nhiên một thí sinh, tính xác suất thí sinh đó đỗ cả vòng.3
b. Tính xác suất bị loại của mỗi thí sinh.
c. Tính xác suất bị loại của thí sinh ở từng vòng.
d. Tính xác suất thí sinh bị loại ở vòng biết rằng thí sinh đó bị loại.2
e. Tính xác suất để thí sinh đỗ cuộc thi biết rằng thí sinh đó vượt qua vòng .1
Bài 1.37. Trong 10 lá thăm có lá trúng thưởng. người lần lượt rút thăm xem ai trúng. Gọi1 3 A
i
,i =
1 2, , . . . , 10 lần lượt là biến cố lá thăm trúng thưởng rút được ở lần rút thứ .i
a. Biểu diễn biến cố thắng lợi của từng người qua các biến cố .A
i
b. Tính xác suất trúng thăm của từng người.
c. Giả sử bạn là người tham gia rút thăm, bạn chọn vị trí rút thứ mấy? Tại sao?
Bài 1.38. Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối đồng chất.
a. Tính xác suất để lần gieo thứ là lần đầu tiên ra mặt "bốn".k
b. Biết rằng lần gieo thứ là lần đầu tiên ra mặt "bốn", tính xác suất để trong lần gieo trước, khôngk k−1
có lần nào ra mặt "ba".
c. Tính xác suất để ra mặt "bốn" trước mặt "ba".
Bài 1.39. Một công ty một ngày sản xuất được sản phẩm trong đó có sản phẩm không đạt chất850 50
lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại sản phẩm để kiểm tra.2
a. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết rằng sản phẩm thứ nhất không đạt
chất lượng.
b. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng.
b. Tính xác suất để trong hai sản phẩm có ít nhất sản phẩm không đạt chất lượng.1
Bài 1.40. Một nhà máy có hai xưởng sản xuất: xưởng tổng sản phẩm, xưởngI chiếm 65% IIchiếm .35%
Biết rằng tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng tốt của xưởng I là là .90% và xưởng II 85%
a. Lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để đó là sản phẩm chất lượng tốt.
b. Xét 1 sản phẩm không đạt chất lượng. Tính xác suất đó là sản phẩm do xưởng sản xuất.II
Bài 1.41. Biết rằng tỉ lệ nhóm máu trong cộng đồng lần lượt là vàO,A,B và AB 33, 7%; 37, 5%; 20, 9%
7 9%, . Chọn ngẫu nhiên 1 người cần máu và 1 người cho máu. Tính xác suất để có thể thực hiện truyền
máu.
Bài 1.42. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi
chuồng ta bắt ra ngẫu nhiên 1 con làm thịt. Các con gà còn lại được dồn vào 1 chuồng thứ 3. Từ chuồng
thứ 3 này lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà.
a. Tính xác suất để ta bắt được gà trống.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 10
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Giả sử bắt được gà trống ở lần thứ 2. Tính xác suất để lần đầu bắt được 2 gà trống.
Bài 1.43. Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng 1 trứng (sinh đôi thật), hay do 2 trứng khác nhau sinh ra
(sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi
đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30%
cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau.
a. Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi thật.
b. Chọn ngẫu nhiên 1 cặp sinh đôi thì được 1 cặp có cùng giới tính. Tính xác suất để đó là cặp sinh đôi
thật.
Bài 1.44. Một người chơi mong muốn có dollars nhưng hiện tại anh ta chỉ có trong túi dollars ( ).n k k<n
Vì thế anh ta tham gia cá cược may rủi bằng cách mỗi lần anh ta cá dollar cho việc tung đồng xu ra mặt1
ngửa; nếu cá thua anh ta sẽ mất tiền cá cược, còn nếu thắng thì kiếm thêm được dollar. Trò chơi dừng1
lại khi anh ta hết sạch tiền hoặc kiếm đủ dollars như mong muốn. Ta sẽ tính xác suất phá sản của ngườin
chơi. Xét p
i
là xác suất phá sản của người chơi khi anh ta bắt đầu với dollars.i
a. Xác định p
0
và .p
n
b. Giả sử đồng xu có xác suất xuất hiện mặt ngửa là . Hãy tìm công thức liên hệ giữap p
k
,p
k−1
và .p
k+1
c. Giả sử . Tính .p = 1/2 p
k
Bài 1.45. Một túi chứa 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên ra 3 thẻ cho vào một hộp và từ hộp
này ta rút ra ngẫu nhiên một thẻ. Nếu rút được thẻ số 5, ta trả lại thẻ vào hộp và rút ngẫu nhiên một thẻ
khác. Tính xác suất để thẻ rút ra sau cùng này
a) là thẻ số 3.
b) là thẻ mang số chẵn.
Bài 1.46. Một hộp chứa 12 quả bóng trong đó có 4 quả bóng trắng. Ba người chơi lần lượt lấy raA,B,C
từng quả bóng, xem màu. Giả sử lấy trước, tiếp tục đến và sau đó đến . Người nào lấy được ra quảA B C
bóng trắng đầu tiên sẽ là người thắng cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi người trong các trường hợp
lấy bóng có hoàn lại và không hoàn lại.
Bài 1.47. Trong một dãy các ván chơi độc lập, người chơi có thể nhận được 0, 1 hay 2 điểm với các xác xuất
tương ứng là
1
3
,
5
12
và
1
4
. Điểm của người chơi là tổng số điểm có được ở các ván chơi. Ký hiệu là xác suấtp
n
mà người chơi có được điểm.n
a) Tính p
1
và .p
2
b) Chứng minh
p
n
=
8
11
+
3
11
.
−
3
8
n
,n ≥ 1.
11 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
LỜI GIẢI CHƯƠNG 1
1. Không gianmẫu và biến cố
Bài 1.1. Một đồng xu được tung ba lần.
a. Xây dựng không gian mẫu khi ta muốn quan sát tình trạng sấp ngửa của các lần tung.
b. Xây dựng không gian mẫu khi ta xem xét số lần ra mặt ngửa.
Giải.
a. .Ω = {SSS,SSN,SNS,SN N,NSS,NSN,NN S,NN N}
b. .Ω = {0 1 2 3, , , }
Bài 1.2. Một xúc xắc được gieo liên tục cho tới khi xuất hiện mặt "lục" thì dừng lại.
a. Xây dựng không gian mẫu khi ta muốn quan sát các mặt xuất hiện ở mỗi lần gieo.
b. Xây dựng không gian mẫu khi ta xem xét số lần tung cho tới khi dừng lại.
Giải.
a. .Ω = {1 2 3 4 5 6, , , , , }
b. .Ω = {1 2 3, , , . . . ,}
Bài 1.3. Hai con xúc xắc được gieo đồng thời.
a. Xây dựng không gian mẫu về cặp mặt xuất hiện trong 2 tình huống: có thứ tự (xác định rõ mặt xuất
hiện là của viên xúc xắc nào) và không thứ tự (không quan tâm mặt xuất hiện của viên xúc xắc nào).
b. Trong trường hợp có thứ tự, xác định các biến cố sau:
A: Các chấm xuất hiện đều là số chẵn.
B: Tổng số chấm trên hai mặt bằng .5
C: Tổng số chấm trên hai mặt lớn hơn .10
D: Xuất hiện mặt có chấm.1
E: Xuất hiện đúng 1 mặt có chấm.1
Giải.
a. Trường hợp có thứ tự: và trường hợpkhông thứ tự: .Ω = {(i,j)|1 ≤ i,j ≤ 6} Ω : {( ) 6i,j |1 ≤ ≤ ≤i j |}
b. A: .{ }(2;2) (2; 4) (2; 6) (4; 2) (4; 4) (4; 6) (6; 2) (6; 4) (6; 6), , , , , , , ,
B: .{(1;4) (2; 3) (3; 2) (4; 1), , , }
C: .{(5;6) (6; 5) (6; 6), , }
D: {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (3; 1) (4;1), , , , , , , , ,
(5;1) (6; 1), }.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 12
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
E: {(1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (3; 1) (4; 1) (5;1), , , , , , , , ,
(6;1)}.
Bài 1.4. Ba bạn lần lượt tung một đồng xu cho đến lúc có người thắng cuộc khi tung được mặtA,B và C
ngửa.
a. Xây dựng không gian mẫu về tình trạng sấp ngửa của đồng xu trong quá trình chơi.
b. Xác định các biến cố sau:
i. thắng.A
ii. thắng.B
iii. .A ∪ B
Giải.
a. .Ω = { }S
n
N|n ∈ N
b.
i. "A thắng"= .{S
n
N|n ∈ N,n ≡ 0 (mod3)}
ii. "B thắng"= .{S
n
N|n ∈ N,n ≡ 1 (mod3)}
iii. A ∪ B=" thắng"= .C {S
n
N|n ∈ N,n ≡ 2 (mod3)}
Bài 1.5. Cho ba biến cố . Hãy biểu diễn các biến cố sau theoA,B và C A,B và :C
a) Chỉ có xảy ra.A
b) A,B xảy ra nhưng không xảy ra.C
c) Tất cả đều xảy ra.
d) Không có biến cố nào xảy ra.
e) Có đúng hai biến cố xảy ra.
f) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra.
g) Có ít nhất 1 biến cố xảy ra.
Giải.
a) "Chỉ có xảy ra"= .A ABC
b) "A,B xảy ra nhưng không xảy ra"= .C ABC
c) "Tất cả đều xảy ra"= .ABC
d) "Không có biến cố nào xảy ra"= .ABC
e) "Có đúng hai biến cố xảy ra"= .ABC∪ ABC∪ ABC
f) "Có ít nhất 2 biến cố xảy ra"= .AB∪ BC∪ CA
g) "Có ít nhất 1 biến cố xảy ra"= .A ∪ B ∪ C
13 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
2. Định nghĩaxác suất cổ điển
Bài 1.6. Ta tung đồng thời một số viên xúc xắc và xét tổng số các chấm trên các mặt xuất hiện. Hãy giải
thích tại sao nếu tung viên xúc xắc thì ta thường gặp tổng , nhưng nếu tung2 9 hơn tổng 10 3 viên thì tổng
10 lại xuất hiện nhiều hơn?
Giải.
• Xét trường hợp gieo 2 xúc xắc, không gian mẫu
Ω = {(i; j)|i,j ∈ N, 1 ≤ i,j ≤ 6} ⇒ |Ω| = 6 = 36
2
.
Xét các biến cố "tổng số chấm là 9", "tổng số chấm là 10"A = B =
⇒
A = {(3;6), ,(4;5) (5; 4), (6;3)}
B = {(4;6), ,(5;5) (6; 4)}
⇒
P(A) =
| |A
|
Ω|
=
1
9
> P(B) =
|B|
|
Ω|
=
1
12
.
• Xét trường hợp gieo 3 xúc xắc, không gian mẫu
Ω = {(i; j; k)|i,j,k ∈ N, 1 ≤ i,j,k ≤ 6} ⇒ |Ω| = 6 = 216
3
.
Xét các biến cố "tổng số chấm là 9", "tổng số chấm là 10"A = B =
⇒
|A| = 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 25
|B| = 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27
⇒
P(A) =
| |A
|
Ω|
=
25
216
< P(B) =
| |B
|
Ω|
=
27
216
.
Bài 1.7. Một khách sạn có phòng đơn. Có khách đến muốn thuê phòng trong đó có6 10 6 nam và nữ.4
Người quản lí chọn ngẫu nhiên ra người. Tính xác suất để:6
a. Cả 6 người là nam.
b. Có 4 nam và nữ.2
c. Có ít nhất nữ.2
Giải. Không gian mẫu Ω có |Ω| = C
6
10
.
a. A ="Cả 6 người được chọn là nam"
⇒|
A| = 1 ⇒ P(A) =
| |A
|
Ω|
=
1
C
6
10
.
b. B ="Có 4 nam và nữ"2
⇒|B| = C
4
6
.C
2
4
⇒ P(B) =
| |B
|
Ω|
=
C
4
6
C
2
4
C
6
10
.
c. C ="Có ít nhất nữ"2
⇒|C| = C
6
10
− C
1
4
C
5
6
− C
6
6
⇒ P(C) =
| |C
|
Ω|
=
C
6
10
− C
1
4
C
5
6
− C
6
6
C
6
10
.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 14
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.8. Có 30 tấm thẻ đánh số từ . Chọn ngẫu nhiên tấm. Tính xác suất để:1 tới 30 10
a. Cả 10 tấm thẻ đều là số chẵn.
b. Có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho .3
c. Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, tấm mang số chẵn trong đó có tấm mang số chia hết cho .5 2 10
Giải. Không gian mẫu Ω có |Ω| = C
10
30
a. A ="Cả 10 tấm thẻ đều là số chẵn"
⇒|A| = C
10
15
⇒ P(A) =
|A|
|
Ω|
=
C
10
15
C
10
30
.
b. B ="Có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho "5 3
⇒|B| = C
5
10
C
5
20
⇒ P(B) =
|B|
|
Ω|
=
C
5
10
C
5
20
C
10
30
.
c. C ="Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, tấm mang số chẵn trong đó có tấm mang số chia hết cho "5 2 10
⇒|C| = C
5
15
C
2
3
C
3
12
⇒ P(C) =
| |C
|
Ω|
=
C
5
15
C
2
3
C
3
12
C
10
30
.
Bài 1.9. Trong hộp có bóng đỏ vàm n bóng xanh. Ta lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại mỗi lần
một quả bóng.
a. Tính xác suất để lần đầu lấy được bóng đỏ.
b*. Tính xác suất để lần cuối lấy được bóng đỏ.
Giải.
a. Xác suất để lần đầu lấy được bóng đỏ là
m
m
+ n
.
b*. Coi việc bốc lần lượt cũng giống như làlấy một lúc quả sau đó lấy nốtquả bóng cuối cùng.m+ n−1
Do đó xác suất để lần cuối lấy được bóng đỏ là
m.(m + n − 1)!
(
m + n)!
=
m
m
+ n
.
3. Các quytắc tính xác suất
Bài 1.10. Cho các biến cố xác định trên cùng không gian mẫu. Từ có thểA,B,C P( (A) + ) +P (B P C) = 1
kết luận A,B,C là các biến cố xung khắc không? Cho ví dụ minh họa.
15 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Giải. Chưa thể kết luận là các biến cố xung khắc. Thật vậy, rút ngẫu nhiên một quân bài từ bộ túA,B,C
lơ khơ. Ký hiệu
A là biến cố "Chọn được quân Át đen hoặc quân Q đỏ"
B là biến cố "Chọn được quân Đầu người đỏ hoặc quân đen"
C là biến cố "Chọn được quân Cơ hoặc quân Q"
P
(A) =
2 + 2
52
=
1
13
; P(B) =
6 + 26
52
=
8
13
; P(C) =
12 + 4
52
=
4
13
Vậy
P( (A) + P B) + P (C) = 1. Tuy nhiên, do là biến cố "chọn được quân đỏ" nênABC Q P(ABC) =
2
52
,
tức A,B,C không là các biến cố xung khắc.
Bài 1.11. Cho A,B là các biến cố bất kỳ. Chứng minh:
a) P P(AB) − (A) ( (P B) = P A)P(
¯
B) − P (A
¯
B B) = P(A ∪ ) − P(
¯
A
)P(
¯
B).
b) P (A ∪ B) + P (A ∪
¯
B
) + P(
¯
A ∪ B) + P (
¯
A ∪
¯
B) = 3.
c) .|P(A) − P (B)|≤P (A∆B)
d) .P(A ∪ B)P(AB) ≤ P( )A P(B)
Giải.
a) Từ P( ( (A) = P AB) + P A
¯
B) ta có
P P P P P(AB) − (A) (B) = (A) − (A
¯
B B) − P P(A) ( )
= P ( (A) [1 − P(B)] − P A
¯
B
) = P(A)P (
¯
B) − P (A
¯
B)
Mặt khác
P P P P P P P(AB) − (A) (B) = (A) + P (B) − (A ∪ B) − (A) (B)
= 2 − P (
¯
A) − P (
¯
B B
) − P (A ∪ ) −
1 − P (
¯
A
)
1 − P (
¯
B
)
= 1 − P (
¯
A
)P(
¯
B B B) − P (A ∪ ) = P(A ∪ ) − P (
¯
A
)P(
¯
B)
b) VT = 2P (A) + 2P (B) + 2P(
¯
A
) + 2P (
¯
B) − P P(AB) − (A
¯
B) − P (
¯
AB) − P (
¯
A
¯
B)
= 4
−
P( (AB) + P A
¯
B
)
−
P(
¯
AB
) + P(
¯
A
¯
B
)
= 4 − P P(A) − (
¯
A) = 3
c) Từ P( ( (A) = P AB) + P A
¯
B B) và P( ) = P P(AB) + (
¯
AB) ta có
P P P(A) − (B) = (A
¯
B) − P (
¯
AB) ≤ P(A
¯
B
) + P(
¯
AB) ≤ P(A∆B)
d) Ta có
P P P(A ∪ B)P(AB) ≤ ( )A ( )B
⇔P(A)P(B) − [P(A) + P(B) − P( (AB)]P AB) ≥ 0
⇔ [P(A) − −P P(AB)] [ (B) P(AB)] ≥ 0
Điều này luôn đúng vì
P(A) − P(AB) ≥ 0 và P(B) − P( 0AB) ≥ .
Bài 1.12. Tìm cực trị của:
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 16
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
a. .P(AB) − P(A)P(B)
b. P
2
(AB .) − P(A)P(B)
c.
P
2
(AB AB AB .) + P
2
( ) + P
2
( )
d.
P
2
(AB AB AB AB .) + P
2
( ) + P
2
( ) + P
2
( )
Giải.
a.
P(AB AB AB) − P(A)P(B) ≤ P( ) − [ (P )]
2
≤
1
4
(Dấu "=" khi và chỉ khi
P(A) = P(B) = P(AB) =
1
2
)
Mặt khác
P P P P P(AB) − P(A) (B) = ( )A (B) − ( )AB
≥
P(AB)
2
− P(AB) ≥−
1
4
(Dấu "=" khi và chỉ khi
P(A) = P(B) = P(AB) =
1
2
).
b. P
2
(AB) − P(A)P(B) ≤ 0
(Dấu "=" khi và chỉ khi ).P(A AB) = P(B) = P( )
Mặt khác
P P P
2
(AB) − P(A) (B) ≥
2
(AB) −
P P(A) + ( )B
2
2
≥
P
2
(AB) −
1 + P(AB)
2
2
≥−
1
3
(Dấu "=" khi và chỉ khi
P(A) = P(B), P(A ∪ B) = 1, P(AB) =
1
3
)
c. P
2
(AB AB AB) + P
2
( ) + P
2
( ) ≥ 0
(Dấu "=" khi và chỉ khi P(AB) = P(AB) = P(AB) = 0) Mặt khác
P P P P
2
(AB) +
2
(AB) +
2
(AB) ≤
P(AB) + (AB) + P(AB)
2
= [P( )] 1A ∪ B
2
≤
d.
P
2
(AB) + P P P
2
(AB) +
2
(AB) +
2
( )AB
≥
P P P(AB) + (AB) + P(AB) + (AB)
2
4
=
1
4
(Dấu "=" khi và chỉ khi
P P(AB) = P(AB) = P(AB) = (AB) =
1
4
)
Mặt khác
P P
2
(AB) +
2
(AB) + P P
2
(AB) +
2
( )AB
≤
P P(AB) + P(AB) + (AB) + P(AB)
2
= 1
(Dấu "=" khi và chỉ khi có 3 trong 4 giá trị là bằng 0).P P(AB), (AB), P(AB), P(AB)
17 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.13. Cho dãy các biến cố . Chứng minh:A
1
,...,A
n
a)
P
n
[
i=1
A A
i
!
= P (
1
) + P(
¯
A A
1 2
) + ...+ P (
¯
A
1
¯
A
2
...
¯
A A
n−1 n
)
b)
P
n
\
i=1
A
i
!
≥
n
X
i=1
P(A
i
) − (n − 1)
c)
P
n
[
i=1
A
i
!
≥
n
X
i=1
P
(A
i
) −
X
1≤i<j n≤
P(A A
i j
)
d)
P
∞
[
i=1
A
i
!
≤
∞
X
i=1
P(A
i
)
Giải. a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với . Giả sử đẳng thức đúng với bất kỳ, tức làn = 1 n = m
P
m
[
i=1
A
i
!
= P P(A
1
) + (
¯
A A
1 2
) + ...+ P (
¯
A
1
¯
A
2
...
¯
A
m−1
A
m
)
Với n = m + 1 ta có
P
m+1
[
i=1
A
i
!
= P
m
[
i=1
A A
i
!
+
"
P(
m+1
) − P
m
[
i=1
A A
i
!
∩
m+1
!#
=
P
m
[
i=1
A A
i m+1
!
= P (
¯
A
1
¯
A
2
...
¯
A A
m m+1
)
Vậy đẳng thức đã cho cũng đúng với n = m + 1
b)
P
n
\
i=1
A
i
!
= 1 − P
n
\
i=1
A
i
!
= 1 − P
n
[
i=1
¯
A
i
!
≥ 1 −
n
X
i=1
P
(
¯
A
i
) = 1 −
n
X
i=1
[1 − P(A
i
)] =
n
X
i=1
P(A
i
) − (n − 1)
c) Dễ thấy bất đẳng thức đã cho đúng với . Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với bất kỳ,n = 1 n = m
tức là
m
X
i=1
P
(A
i
) −
X
1≤ ≤i<j m
P
(A A
i j
) ≤ P
m
[
i=1
A
i
!
Với n = m + 1 bất đẳng thức cũng đúng vì
P
m+1
[
i=1
A
i
!
= P
m
[
i=1
A A
i
!
+ P(
m+1
) − P
m
[
i=1
A A
i
!
∩
m+1
!
≥
m
X
i=1
P
(A
i
) −
X
1≤i<j m≤
P P(A A
i j
) + (A
m+1
) −
m
X
i=1
P(A
m
A
m+1
)
=
m+1
X
i=1
P
(A
i
) −
X
1 +1≤i<j m≤
P(A
i
A
j
)
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 18
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
d) Đặt B
1
= A
1
và B
n
= A
n
\
n−1
[
i=1
A
i
với mọi n ≥ 2. Khi đó B
1
,B ,..
2
là các biến cố xung khắc và
∞
[
i=1
A
i
=
∞
[
i=1
B
i
. Ta có . VậyP( (B
n
) ≤ P A
n
) với mọi n ≥ 1
P
∞
[
i=1
A
i
!
= P
∞
[
i=1
B
i
!
=
∞
X
i=1
P(A
i
)
Bài 1.14. Rút ngẫu nhiên 5 quân bài từ một bộ bài Tú lơ khơ. Tính xác suất để trong 5 quân bài chọn ra
này có
a) ít nhất một quân Át.
b) ít nhất một quân Át và ít nhất một quân Bích.
Giải. a) Ký hiệu là biến cố "có ít nhất một quân át trong số 5 quần bài chọn ra". Ta có:A
P(A) = 1 − P (
¯
A
) = 1 −
C
5
48
C
5
52
= 0 34.
b) Ký hiệu M là biến cố "không có quân Át nào" và là biến cố "không có quân Bích nào" trong số 5N
quân bài chọn ra. Ta có:
P
(MN) = 1 − − −P(M ∪ N) = 1 P(M) P P(N) + (MN) = 1 −
C
5
48
C
5
52
−
C
5
39
C
5
52
+
C
5
36
C
5
52
= 0 124,
Bài 1.15. Chọn ngẫu nhiên vé số có chữ số. Tính xác suất để trong số vé:1 5
a. Có chữ số chẵn.
b. Có chữ số .5
c. Có chữ số chẵn hoặc chữ số .5
d. Có cả chữ số chẵn và chữ số .5
Giải.
a. A ="Có chữ số chẵn"
⇒
P(A) = 1 − P(A) = 1 −
5
10
5
.
b. B ="Có chữ số "5
⇒
P(B) = 1 − P(B) = 1 −
9
10
5
.
c. C ="Có chữ số chẵn hoặc chữ số 5"= A ∪ B
⇒
P(C) = 1 − P(C) = 1 −
8
10
5
.
d. D ="Có cả chữ số chẵn và chữ số 5"= AB
⇒ P(D) = P(A ∪ B) − −P(A) P( )B
19 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.16. Trong thư viện có ba loại báo . Thống kê thấy số tỉ lệ người đọc các loại báo này như sau:A,B,C
A : 10%; B : 30%; C C C: 5%; A và B : 8%; A và : 2%; B và : 4% và 1% số người đọc cả ba loại báo.
a) Tính tỉ lệ số người chỉ đọc duy nhất một loại báo.
b) Tính tỉ lệ số người đọc ít nhất hai loại báo.
c) Giả sử là các báo có vào buổi sáng và là báo có vào buổi trưa. Tính tỷ lệ số người đọc ít nhấtA và B C
một báo ra vào buổi sáng và một báo ra buổi trưa.
Giải. Ký hiệu tương ứng là các biến cố người đọc báo A, báo B, báo C.A,B,C
a) Dựa vào biểu đồ Ven, ta có:
P
(A
¯
B
¯
C ∪
¯
AB
¯
C ∪
¯
A
¯
BC AB BC CA ABC) = P P(A ∪ B ∪ C) − [ ( ) + P ( ) + P( )] + 2P ( )
= P ( ( ( ( (A) + P B) + P C) − 2[P AB) + P BC) + )] + 3P (CA P ( )ABC
= 0.1 + 0.3 + 0. . . .05 − 2(0.08 + 0 02 + 0 04) + 0.03 = 0 2
b) P( ( ( (AB∪ BC∪ CA) = P AB) + P BC) + P (CA) − 2P ABC) = 0.12
c) P(( ( (A ∪ B) ∩ C) = ) =P(AC∪ BC P AC) + P BC) − P(ABC) = 0 05.
Bài 1.17. Một báo cáo về việc lựa chọn học 3 ngoại ngữ là tiếng Anh, tiếng Pháp và tiếng Trung của 1000
sinh viên khoa Toán nói rằng: có 525 sinh viên học tiếng Anh; 470 sinh viên học tiếng Pháp; 312 sinh viên
học tiếng Trung; 147 sinh viên học cả tiếng Anh và Pháp; 86 sinh viên học cả tiếng Anh và Trung; 42 sinh
viên học cả tiếng Pháp và Trung; 25 sinh viên học cả 3 thứ tiếng. Hãy chỉ ra rằng các số liệu trong báo cáo
là chưa chính xác.
Giải. Đặt A,B,C tương ứng là các biến cố: sinh viên chọn học tiếng Anh, tiếng Pháp và tiếng Trung.
Tìm ra P (A ∪ B ∪ C) = 1.057 > 1 là điều vô lý.
Bài 1.18. Xếp ngẫu nhiên 7 quyển sách lên giá sách có 3 ngăn. Tính xác suất để ngăn nào cũng có ít nhất
1 quyển sách.
Giải. Ký hiệu là biến cố "ngăn thứ i không có sách", . Ta có:A
i
i = 1, 2 3,
P
(A
1
∪ A A
2
∪
3
) = 1 − P (A
1
∪ ∪A
2
A
3
) = 1 −
3.
2
2
7
7
− 3.
1
7
7
7
+ 0
= 0 826,
Bài 1.19. Trong đợt khuyến mại, khi mua mỗi thùng Coca, khách hàng sẽ nhận được một trong bốn phiếu
ghi chữ "CHÚC" hoặc "MỪNG" hoặc "NĂM" hoặc "MỚI" có trong thùng hàng. Người nào có đủ cả bốn chữ
trên sẽ trúng một giải thưởng. Tính xác suất để khi mua 10 thùng Coca, bạn sẽ có khả năng trúng ít nhất
một giải thưởng.
Giải. Đánh số thứ tự các chữ "CHÚC", "MỪNG", "NĂM", "MỚI" lần lượt là . Ký hiệu là biến cố1 2 3 4, , , A
i
"không có chữ thứ . Ta có:i trong 10 thùng hàng", i = 1, 2 3 4, ,
P
(A
i
) =
3
4
10
;
P(A A
i j
) =
2
4
10
(i 6= j);
P
(A A A
i j k
) =
1
4
10
( (i 6= j 6= k); P A A A
1 2
A
3 4
) = 0
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 20
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
⇒
P
4
[
i=1
A .
i
!
= 4
3
4
10
−
6.
2
4
10
+ 4
.
1
4
10
− 0 = 0.22
⇒ P (
¯
A
1
¯
A
2
¯
A
3
¯
A
4
) = 1 − P (A
1
∪ ∪ ∪A
2
A
3
A
4
) = 0.78
Bài 1.20. Một người bỏ ngẫu nhiên lá thư vào phong bì đã ghi sẵn địa chỉ.n n
a. Gọi A
i
là biến cố lá thư thứ được cho vào đúng phong bì. Tính xác suất của .i A
i
b. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố .A A
1
∪ A
2
∪ ... ∪
n
c. Tính xác suất của biến cố ở câu b.
Giải.
a.
P(A
i
) =
(n − 1)!
n
!
=
1
n
.
b. A A A
1
∪
2
∪ ... ∪
n
="có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì".
c. Ta có
P
(A A
1
∪ A
2
∪ ... ∪
n
) =
X
1≤ ≤i
1
<i <...<i
2
k
n
1≤k≤n
( 1) ( )
−
k−1
P A A
i
1
i
2
...A
i
k
=
X
1≤i
1
<i <...<i
2
k
≤n
1 +1≤k≤n
( 1)
−
k−1
(n − k)!
n!
=
n
X
k=1
( 1)
−
k−1
C
k
n
(n − k)!
n
!
=
n
X
k=1
( 1)
−
k−1
k!
Bài 1.21. Một đoàn tàu có toa đỗ ở sân ga. Có hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độc lập vớik m
nhau bước lên ngẫu nhiên một toa.
a. Gọi A
i
là biến cố toa thứ không có hành khách nào bước lên. Tính xác suất của .i A
i
b. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố .A = A A A
1
∪
2
∪ ... ∪
k
c. Tính xác suất của biến cố .A
d. Hãy nêu ý nghĩa và tính xác suất của biến cố .A
e. * Xét r toa trong số toa. Tính xác suất sao cho chỉ có đúng toa này có hành khách bước lên.k r
f. * Tính xác suất để có đúng toa có hành khách bước lên.r
Giải.
a.
P(A
i
) =
(k − 1)
m
k
m
.
b. A = A A
1
∪ A
2
∪ ... ∪
k
="có ít nhất một toa không có người lên".
21 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
c. Ta có
P
(A) =
X
1≤ ≤i
1
<i <...<i
2 n
k
1≤n≤k
( 1) )
−
n−1
P (A A ...A
i
1
i
2
i
n
=
X
1≤ ≤i
1
<i <...<i
2 n
k
1≤n k≤
( 1)
−
n−1
( )!k − n
k!
=
k
X
n=1
C
n
k
( 1)−
n−1
(k − n)!
n
!
=
k
X
n=1
( 1)
−
n−1
n!
d. A ="toa nào cũng có người lên" và
P(A) = 1 − P(A) = 1 −
k
X
n=1
( 1)
−
n−1
n!
.
e. * Không mất tính tổng quát, giả sử có đúng là có người lên. Xác suất cần tìm làr toa 1 2, ,...,r
P(A A
1
...A
r r+1
...A
n
)
= P(A
r+1
...A
n
) − P(
r
[
i=1
A A
i r+1
...A
n
)
=
(n − r)
m
k
m
−
X
1≤i
1
<i <...<i r
2 j
≤
1≤j≤r
(
−1)
j−1
P
A A
i
1
...A
i
j
r+1
...A
n
=
(n − r)
m
k
m
−
X
1≤i
1
<i <...<i r
2 j
≤
1≤j≤r
(
−1)
j−1
( )n − r + j
m
k
m
=
(n − r)
m
k
m
−
r
X
j=1
(
−1)
j−1
C
j
r
(n − r + j)
m
k
m
.
f. * Xác suất để có đúng toa có hành khách bước lên làr
p
= C
r
k
(n − r)
m
k
m
−
r
X
j=1
(
−1)
j−1
C
j
r
(n − r + j)
m
k
m
.
4. Xác suấtđộc lập
Bài 1.22. CMR: nếu hai biến cố độc lập với nhau thì ta cũng có các cặp biến cố độc lập: ,A và B ( )A,B
(A,B) và (A,B).
Giải. Ta có
P P P(A)P(B) = P(A) [1 − (B)] = P(A) − (AB) = P(AB).
P P P(A)P(B) = [1 − P(A)] P(B) = (B) − (AB) = P(AB).
P P P P( )A (A) = [1 − P P(A)][1 − (B)] = 1 − [ (A) + P(B) − (AB)]
= 1 − P(A ∪ B) = P(AB).
Từ đó ta có đpcm.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 22
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.23. Phải gieo liên tiếp ít nhất bao nhiêu lần để với xác suất không nhỏ hơn có ít nhất một lần95%
ra mặt "lục".
Giải. Gọi số lần gieo là . Đặt "có ít nhất một lần ra mặt lục"n A =
⇒
P(A) = 1 − P(A) = 1 −
5
6
n
≥ 0, 95
⇔
5
6
n
≤ ≥0, 05 ⇔ n log 5
6
0, 05 ⇔ n ≥ 17.
Bài 1.24. Trong một cuộc xổ số, người ta phát hành vạn vé trong đó có vạn vé trúng giải. Cần phải10 1
mua ít nhất bao nhiêu vé để với xác suất không nhỏ hơn ta sẽ trúng ít nhất được vé?95% 1
Giải. Gọi số vé mua là . Đặt "có ít nhất một vé trúng"n A =
⇒
P(A) = 1 − P(A) = 1 −
9
10
n
≥ 0, 95
⇔
9
10
n
≤ ≥0, 05 ⇔ n log 9
10
0, 05 ⇔ n ≥ 29.
Bài 1.25. Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng
vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm.
Giải.
Bài 1.26. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1
viên đạn trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt
chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu:
1. máy bay bị trúng 2 viên đạn.
2. máy bay bị trúng 3 viên đạn.
Giải.
Bài 1.27. Hai người chơi A và B cùng chơi một trò chơi công bằng và người thắng cuộc là người đầu tiên
thắng được ván. Tuy nhiên, vì một lí do nào đó, ở thời điểm mà người thắng được ván và người6 A 5 B
thắng được 3 ván thì cuộc chơi bắt buộc phải dừng lại.
a. Tính xác suất thắng cuộc của từng người nếu như cuộc chơi vẫn được tiếp tục.
b. Từ đó hãy đề xuất cách chia tiền thưởng cho hai người chơi.
c. * Mở rộng bài toán khi người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được ván và cuộc chơi buộc phảim
dừng lại khi người đã thắng được ván và người đã thắng được ván.A n B k
Giải.
a. Nếu cuộc chơi vẫn tiếp tục thì số ván chơi tiếp theo sẽ tối đa là 3. chỉ thắng cuộc nếu thắng tất cảB
3 ván, còn sẽ thắng nếu trong 3 tiếp theo có 1 ván thắng và khi đó cuộc chơi ngừng lại ngay lậpA
tức. Đặt A ="A thắng" và .B ="Bthng"= A
P
(B) =
1
2
3
=
1
8
; P(A) = 1 − P(B) =
7
8
.
23 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Như vậy ta có thể chia tiền thưởng theo phương án dựa trên cơ hội thắng cuộc của hai người, tức là
tỉ lệ tiền thưởng sẽ là .A : B = 7 : 1
c. * Giảsử là người thắng cuộcthì thắng ở ván cuốicùng và thắng vántrong sốA A m−n−1 m+j−n−1
ván trước đó và . Như vậy xác suất để thắng cuộc làB thắng j ván (0 ≤ ≤j m − −k 1) A
P(A) =
m−k−1
X
j=0
C
m n− −1
m
+j−n−1
1
2
m−n
1
2
j
=
m−k−1
X
j=0
C
m n− −1
m
+j−n−1
1
2
m+j−n
.
Xác suất để thắng cuộc làB
P(B) = 1 − P(A) = 1 −
m−k−1
X
j=0
C
m n− −1
m
+j−n−1
1
2
m+j−n
,
hoặc bằng cách tương tự ta cũng có
P(B) = 1 − P(A) = 1 −
m−n−1
X
j=0
C
m− −k 1
m
+j−k−1
1
2
m+j−k
Bài 1.28. Một người tung liên tiếp một đồng xu cho đến khi thấy mặt ngửa thì dừng lại. Tính xác suất để:
a. Số lần tung là chẵn.
b. Số lần tung là lẻ.
c. Số lần tung lớn hơn .5
Giải. Đặt A
n
="số lần tung là n" ( 1)n ≥
⇒
P(A
n
) =
1
2
.
1
2
n−1
=
1
2
n
.
a. A ="Số lần tung là chẵn"
⇒
P(A) =
X
n
.
.
.2
P
(A
n
) =
∞
X
k=1
1
2
2k
=
1
4
1 −
1
4
=
1
3
.
b. B ="Số lần tung là lẻ"= A
⇒
P(B) = 1 − P(A) =
2
3
.
c. C ="Số lần tung lớn hơn "5
⇒
P(C) = 1 − P(C) = 1 −
X
n≤5
= 1 −
5
X
n=1
1
2
n
=
1
32
.
Bài 1.29. Cho n đồng xu độc lập với nhau và xác suất ra mặt sấp của đồng xu thứ . Mỗi lần ta tungi là x
i
đồng thời cả đồng xu và ta thực hiện tất cả lần tung độc lập với nhau.n m
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 24
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
a. Tính xác suất để ra ít nhất mặt ngửa khi thực hiện lần tung.1 1
b. Gọi A là biến cố trong cả lần tung thì mỗi lần đều có ít nhất mặt ngửa. Tính xác suất .m 1 P(A)
c. Gọi B là biến cố tồn tại ít nhất một đồng xu mà trong cả lần tung đều ra mặt ngửa. Nêu ý nghĩam
và tính xác suất của biến cố .B
d. CMR: P(A) + P(B) ≥ 1 và rút ra kết luận.
Giải.
a. H ="ít nhất mặt ngửa khi thực hiện lần tung"1 1
⇒ P(H) = 1 − P(H) = 1 − x
1
x
2
...x .
n
b. P(A x) = (1 − x
1 2
...x .
n
)
m
c. B ="trong m lần tung thì mỗi đồng xu sẽ sấp ít nhất 1 lần"
⇒ B = B B
1 2
...B
n
, với B
k
="đồng xu thứ k sấp ít nhất 1 lần"
P P(B) = (B
1
)P P(B
2
) ... (B
n
) = (1 − x
m
1
)(1 − x
m
2
) ...(1 − x
m
n
).
d. Do A ⊃ B ⇒ P(A) ≥ P(B) = 1 − P(B) ⇒ P(A) + P(B) ≥ 1. Như vậy
(1 − x
1
x
2
...x
n
)
m
+ (1 − x
m
1
)(1 − x
m
2
) ...(1 − x
m
n
) ≥ 1
Bài 1.30. Hai bạn tham gia một trò chơi thắng thua. Xác xuất thắng của trong mỗi ván là . TròA và B A p
chơi kết thúc khi có một người có số ván thắng nhiều hơn người kia 2 ván và người đó thắng cuộc.
a) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 4 ván.
b) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 2n ván, .n ≥ 1
c) Tính xác xuất để thắng cuộc.A
Giải. a) Trò chơi kết thúc sau 4 ván nếu trong hai ván đầu, mỗi người thắng một ván và sau đó, có một
người thắng cả hai ván còn lại. Vậy
P(kết thúc sau 4 ván) = 2p p p(1 − )[p
2
+ (1 − ) ]
2
b) Trò chơi kết thúc sau ván nếu trong hai ván đầu mỗi người lần lượt thắng một ván (tỷ số2n (2n − 2)
hoà) và sau đó có một người thắng cả hai ván sau cùng. Vậy
P
(kết thúc sau 2n ván) = [2p p p(1 − )]
n−1
[p
2
+ (1 − ) ]
2
c)
P(A thắng) =
∞
X
n=1
P
(A thắng trong 2n ván) =
∞
X
n=1
[2 )]
p(1 − p
n−1
.p
2
=
p
2
1
− 2p(1 − p)
.
25 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
5. Xác suấtđiều kiện, công thức Bayes và côngthức xác suất toàn phần
Bài 1.31. Cho hai biến cố A và B với .P( ) ( 0A , P B) ≥
a) Biết
P(A|B) =
2
3
; P (B|A) =
1
3
và P(A ∪ B) =
7
8
. Tính .P(B)
b) Biết
P(A|A ∪ B) =
3
5
; P (B B|A ∪ ) =
4
5
. Tính P P(AB|A ∪ B) và (A∆B B|A ∪ ).
Giải.
a) Từ P( ( ( )AB) = P A).P B|A) = P (B .P(A|B) ta suy ra P(A) = 2P (B)
Vậy
7
8
= P P P P P(A ∪ B) = (A) + (B) − (AB) = 3 (B) −
2
3
P(B B) hay P ( ) =
3
8
.
b) Từ 1 = P( (A A∪ B| ∪ B) = P(A|A ∪ B) + P (B|A ∪ B) − P AB|A ∪ B) ⇒ P (AB|A ∪ B) = 0.4.
Bài 1.32. Cho các biến cố .A,B,C
a) Chứng minh nếu P(A|C) > P(B|C) và P (A|
¯
C) > P(B|
¯
C) thì P(A) > P(B).
b) Nếu P ( (A|C) > P A|
¯
C C) và P (B| ) > P(B|
¯
C C) thì có suy ra được P (AB| ) > P(AB|
¯
C) không?
Giải. a) Ta có P ( ( ) (A) = P A|C P (C) + P A|
¯
C
)P(
¯
C C C) > P(B| )P ( ) + P (B|
¯
C
)P(
¯
C) = P (B)
b) Không suy ra được P( (AB|C) > P AB|
¯
C). Xét ví dụ sau: Gieo 2 xúc xắc. Gọi C là biến cố “tổng chấm
xuất hiện là 10”; A là biến cố “ xúc xắc 1 xuất hiện mặt 6 chấm”; là biến cố “ xúc xắc 2 xuất hiện mặtB
6 chấm”. Dễ tính được
P( (A|C) = P B|C) =
1
3
> P(A|
¯
C) = P (B|
¯
C
) =
5
33
. Tuy nhiên P(AB|C) = 0 <
P(AB|
¯
C
) =
1
33
= 0
Bài 1.33. Chứng minh:
a) P (A|B) = P(C|B) (P A|BC) + P(
¯
C|B)P (A|B
¯
C).
b) P (E|F) =
n
X
i=1
P F P(B
i
| ) (E|B
i
F) ở đó B
1
,B
2
,...,B
n
là hệ đầy đủ các biến cố.
c) .P(E|E ∪ F ) ≥ P (E|F)
Giải
. a) VP =
P(BC)
P
(B)
.
P( )ABC
P
(BC)
+
P(B
¯
C)
P(B)
P
(AB
¯
C)
P
(B
¯
C
)
=
P P(ABC) + (AB
¯
C)
P
(B)
=
P(AB)
P
(B)
= P ( )A|B
b) Đặt Q( (E) = P E|F ). Ta có Q(E) =
n
X
i=1
Q B Q B(
i
) (E|
i
) mà
Q
(E|B
i
) =
Q( )EB
i
Q
(B
i
)
=
P( )EB
i
|F
P
(B
i
F)
=
P F(EB
i
)
P F
(B
i
)
= P F(E|B
i
)
c) Có P ( ( ( (E|E ∪ F ) = P (E| E ∪ F ) )F P F ) + P E|(E ∪ F)
¯
F
)P(
¯
F F) = P F P(E| ) ( ) + (1 − P F( ))
Do ( )E ∪ F F = F và P (E|(E ∪ F)
¯
F P) = (E|E
¯
F) = 1. Từ đó
P F(E|E ∪ )
P
(E|F )
= P F( ) +
1 − P F( )
P F
(E| )
≥ P F P F( ) + 1 − ( ) = 1
Bài 1.34. Gieo đồng thời xúc xắc cân đối, đồng chất.2
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 26
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
a) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc là . Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt6 3
chấm.
b) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc nhỏ hơn 6. Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện
mặt 3 chấm.
Giải. Đặt A
i
là biến cố "số chấm xuất hiện trên xúc xắc "i; i = 1, 2
a) Ta có
P
({A
1
= 3} ∪ {A A
2
= 3}|
1
+ A
2
= 6) =
P(A
1
= 3 = 3),A
2
P
(A A
1
+
2
= 6)
=
1
6
.
1
6
5
.
1
6
.
1
6
=
1
5
b) Ta có
P
({A
1
= 3} ∪ {A A
2
= 3}|
1
+ A
2
< 6) =
P(A
1
= 3 = 3 = 1),A
2
= 2) + P (A
1
,A
2
P
4
i
=1
P
5−i
j
=1
P(A
1
= i).P(A
2
= j)
= 2.
2
.
1
36
1
36
.(1 + 2 + 3 + 4)
=
2
5
Bài 1.35. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào cùng mục tiêu độc lập. Giả sử xác suất bắnA và B
trúng đích của lần lượt làA và B 0, 7 và .0 4,
a) Biết rằng có đạn trúng đích, tính xác xuất để bắn trúng.B
b) Giả sử có một viên đạn trúng đích. Tính xác suất để đó là của .B
Giải. Đặt A,B lần lượt là biến cố " bắn trúng" và " bắn trúng"A B
a)
P(B|có đạn trúng đích) =
0 4,
1
− 0 3, .0, 6
= 0 488,
b)
P
(B|có một viên trúng) =
P(B
¯
A)
P
(có một viên trúng)
=
P(B
¯
A)
P
(B
¯
A
) + P(A
¯
B)
=
0 4 0, . , 3
0 4 0
, . , 3 + 0, ,7.0 6
= 0, 222
Bài 1.36. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng 1 lấy 90% thí sinh. Vòng 2 lấy 80% thí sinh của vòng 1 và vòng lấy3
60% thí sinh của vòng 2.
a. Lấy ra ngẫu nhiên một thí sinh, tính xác suất thí sinh đó đỗ cả vòng.3
b. Tính xác suất bị loại của mỗi thí sinh.
c. Tính xác suất bị loại của thí sinh ở từng vòng.
d. Tính xác suất thí sinh bị loại ở vòng biết rằng thí sinh đó bị loại.2
e. Tính xác suất để thí sinh đỗ cuộc thi biết rằng thí sinh đó vượt qua vòng .1
Giải.
a. A ="thí sinh đó đỗ cả vòng"3
⇒ P(A) = 0, 9.0 8, .0, 6 = 0, 432
27 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. B ="thí sinh đó bị loại"=A
⇒ P(B) = 1 − P(A) = 0, 568
c. B
k
="thí sinh đó bị loại ở vòng thứ k" (k = 1, 2 3),
P(B
1
) = 0, 1
P P(B
2
) = P P(B
1
B
2
) = (B
1
) (B
2
/B
1
) = 0, 9.02 = 0 18,
và
P P P(B
3
) = P(B B B
1 2 3
) = P(B
1
) ( )B
2
/B
1
(B /B
3 1
B
2
)
= 0, 9.0 8, .0, 4 = 0, 288.
d.
P(B /B
2
) =
P(B
2
B)
P
(B)
=
P( )B
2
P
(B)
=
0, 18
0
, 568
≈ 0 3170, .
e.
P(A/B
1
) =
P(A)
P
(B
1
)
=
0, 432
1
− 0,1
= 0, 48.
Bài 1.37. Trong 10 lá thăm có lá trúng thưởng. người lần lượt rút thăm xem ai trúng. Gọi1 3 A
i
,i =
1 2, , . . . , 10 lần lượt là biến cố lá thăm trúng thưởng rút được ở lần rút thứ .i
a. Biểu diễn biến cố thắng lợi của từng người qua các biến cố .A
i
b. Tính xác suất trúng thăm của từng người.
c. Giả sử bạn là người tham gia rút thăm, bạn chọn vị trí rút thứ mấy? Tại sao?
Giải. Giả sử 3 người tham gia bốc thăm là . ĐặtA,B,C
A = "A thắng", B = "B thắng", C = "C thắng"
a. A = A A A .
1
∪ A A A
4
∪
7
∪
10
,B =
2
∪ A A
5
∪
8
,C = A
3
∪
6
∪ A
9
b. Ta có
P P(A
k
) = ( )A A
1
...A
k−1 k
= P(A
1
) ( ( ) ( )P A
2
/A
1
) ...P A
k−1
/A
1
...A
k−2
P A
k
/A
1
...A
k−1
=
9
10
.
8
9
...
11 − k
12
− k
.
1
11
− k
=
1
10
⇒
P(A) =
4
10
, P(B) =
3
10
, P(C) =
3
10
.
c. Như vậy qua kết quả xác suất thì ta nên chọn là người bốc đầu tiên để có cơ hội chiến thắng là cao
nhất.
Bài 1.38. Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối đồng chất.
a. Tính xác suất để lần gieo thứ là lần đầu tiên ra mặt "bốn".k
b. Biết rằng lần gieo thứ là lần đầu tiên ra mặt "bốn", tính xác suất để trong lần gieo trước, khôngk k−1
có lần nào ra mặt "ba".
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 28
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
c. Tính xác suất để ra mặt "bốn" trước mặt "ba".
Giải.
a. A ="lần gieo thứ là lần đầu tiên ra mặt bốn"k
P
(A) =
1
6
5
6
k−1
.
b. B ="k − 1 lần gieo đầu không có lần nào ra mặt ba"
⇒
P(AB) =
1
6
4
6
k−1
⇒
P(B/A) =
P(AB)
P
(A)
=
4
5
k−1
.
c. H ="mặt bốn xuất hiện trước mặt ba". Đặt
C
1
"lần đầu ra mặt bốn"
C
2
"lần đầu ra mặt ba"
C
3
"lần đầu không ra ba, bốn"
⇒ C
1
,C ,C
2 3
là hệ đầy đủ. Theo công thức xác suất toàn phần thì
P P P P P(H) = P(C
1
) (H/C
1
) + P(C
2
) (H/C
2
) + (C
3
) ( )H/C
3
=
1
6
.1 +
1
6
.0 +
4
6
.P( )H
⇒
P(H) =
1
2
.
Bài 1.39. Một công ty một ngày sản xuất được sản phẩm trong đó có sản phẩm không đạt chất850 50
lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại sản phẩm để kiểm tra.2
a. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết rằng sản phẩm thứ nhất không đạt
chất lượng.
b. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng.
b. Tính xác suất để trong hai sản phẩm có ít nhất sản phẩm không đạt chất lượng.1
Giải.
a. A
k
="sản phẩm thứ không đạt chất lượng"k k = 1 2,
P
(A
2
/A
1
) =
49
849
.
b. Do A
1
,A
1
là hệ đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần thì
P P(A
2
) = (A
1
)P(A
2
/A /A
1
) + P(A
1
) (P A
2 1
)
=
50
850
.
49
849
+
800
850
50
849
=
1
17
.
b. H ="có ít nhất sản phẩm không đạt chất lượng". Do là hệ đầy đủ nên theo công thức xác1 A
1
,A
1
suất toàn phần thì
P P(H) = (A
1
)P(H/A A H/A
1
) + P(
1
) (P
1
)
=
50
850
.1 +
800
850
50
849
=
97
849
.
29 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.40. Một nhà máy có hai xưởng sản xuất: xưởng tổng sản phẩm, xưởngI chiếm 65% IIchiếm .35%
Biết rằng tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng tốt của xưởng I là là .90% và xưởng II 85%
a. Lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để đó là sản phẩm chất lượng tốt.
b. Xét 1 sản phẩm không đạt chất lượng. Tính xác suất đó là sản phẩm do xưởng sản xuất.II
Giải. H ="sản phẩm lấy ra đạt chất lượng tốt". Đặt
A
1
= "sản phẩm do xưởng I sản xuất"
A
2
= "sản phẩm do xưởng II sản xuất"
⇒ A
1
,A
2
là hệ đầy đủ.
a. Theo công thức xác suất toàn phần thì
P P(H) = (A
1
)P(H/A A H/A
1
) + P(
2
) (P
2
)
= 0, 65.0, 9 + 0, ,35.0, 85 = 0 8825.
b. Theo công thức Bayes thì
P
(A
2
/H) =
P(A
2
)P(H/A
2
)
P
(H)
=
0 35, .(1 85)− 0,
1
− 0,8825
≈ 0 4468, .
Bài 1.41. Biết rằng tỉ lệ nhóm máu trong cộng đồng lần lượt là vàO,A,B và AB 33, 7%; 37, 5%; 20, 9%
7 9%, . Chọn ngẫu nhiên 1 người cần máu và 1 người cho máu. Tính xác suất để có thể thực hiện truyền
máu.
Giải. Đặt H ="có thể thực hiện truyền máu" và
O = "người nhận có nhóm máu O"
A = "người nhận có nhóm máu A"
B = "người nhận có nhóm máu B"
C = "người nhận có nhóm máu AB"
⇒ O,A,B,C là một hệ đầy đủ. Theo công thức xác suất toàn phần thì
P P(H) = P(O) (H/O) + P( )A P(H/A H/B) + P(B) (P )
+ P(C) ( )P H/C
= 0, 337 0 375(0 209(0. , 337 + 0, , 375 + 0 337) + 0, , , 209 + 0 337),
+ 0, 079 574.1 ≈ 0, .
Bài 1.42. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi
chuồng ta bắt ra ngẫu nhiên 1 con làm thịt. Các con gà còn lại được dồn vào 1 chuồng thứ 3. Từ chuồng
thứ 3 này lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà.
a. Tính xác suất để ta bắt được gà trống.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 30
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Giả sử bắt được gà trống ở lần thứ 2. Tính xác suất để lần đầu bắt được 2 gà trống.
Giải.
Bài 1.43. Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng 1 trứng (sinh đôi thật), hay do 2 trứng khác nhau sinh ra
(sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi
đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30%
cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau.
a. Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi thật.
b. Chọn ngẫu nhiên 1 cặp sinh đôi thì được 1 cặp có cùng giới tính. Tính xác suất để đó là cặp sinh đôi
thật.
Giải.
Bài 1.44. Một người chơi mong muốn có dollars nhưng hiện tại anh ta chỉ có trong túi dollars ( ).n k k<n
Vì thế anh ta tham gia cá cược may rủi bằng cách mỗi lần anh ta cá dollar cho việc tung đồng xu ra mặt1
ngửa; nếu cá thua anh ta sẽ mất tiền cá cược, còn nếu thắng thì kiếm thêm được dollar. Trò chơi dừng1
lại khi anh ta hết sạch tiền hoặc kiếm đủ dollars như mong muốn. Ta sẽ tính xác suất phá sản của ngườin
chơi. Xét p
i
là xác suất phá sản của người chơi khi anh ta bắt đầu với dollars.i
a. Xác định p
0
và .p
n
b. Giả sử đồng xu có xác suất xuất hiện mặt ngửa là . Hãy tìm công thức liên hệ giữap p
k
,p
k−1
và .p
k+1
c. Giả sử . Tính .p = 1/2 p
k
Giải. H = ="người chơi bị phá sản". Ở mỗi ván chơi, đặt A "người chơi thắng cuộc" là hệ đầy đủ⇒ A,A
a. Ta có p
0
= 1 và .p
n
= 1
b. Giả sử tại thời điểm này người chơi có và tiếp tục chơi ở ván tiếp theo.Theok dollars (0 <k <n)
công thức xác suất toàn phần thì
P P(H) = P(A) (H/A A H/A) + P( )P( )
⇒ p
k
= p.p
k+1
+ (1 − p p)
k−1
.
c. Với p = 1/2 thì 2p
k
= p
k+1
+ p
k−1
∀0 <k <n
⇒ p
k+1
− −p
k
= p
k
p
k−1
= c ∀0 <k <n.
⇒ p
n
− −p p
0
= (
n
p
n−1
) + (p p
n−1
−
n−2
) + ...
+ (p
1
− p
0
) = nc
⇒
c = −
1
n
⇒ p
k
− −p p
0
= (
k
p
n−1
) + (p
k−1
− p
k−2
) + ...
+ (
p p
1
−
0
) = −
k
n
⇒
p
k
= 1 −
k
n
.
31 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.45. Một túi chứa 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên ra 3 thẻ cho vào một hộp và từ hộp
này ta rút ra ngẫu nhiên một thẻ. Nếu rút được thẻ số 5, ta trả lại thẻ vào hộp và rút ngẫu nhiên một thẻ
khác. Tính xác suất để thẻ rút ra sau cùng này
a) là thẻ số 3.
b) là thẻ mang số chẵn.
Giải. a) Đặt C
1
là biến cố "trong hộp có thẻ số 3 và số 5"
C
2
là biến cố "trong hộp có thẻ số 3 và hai thẻ khác"
C
3
là biến cố "thẻ chọn ra sau cùng là thẻ số 3"
⇒
P P P(C) = (C
1
) (C| |C C
1
) + P(
2
)P(C C
2
) =
C
1
4
C
3
6
.
1
2
+
C
2
4
C
3
6
.
1
3
= 0 2,
b) Ký hiệu các biến cố như sau:
B= "thẻ chọn ra sau cùng là thẻ có số chẵn"
B
1
="trong hộp có 3 thẻ số chẵn"
B
2
="trong hộp có 2 thẻ số chẵn và 1 thẻ số lẻ khác 5"
B
3
="trong hộp có 2 thẻ số chẵn và thẻ số 5"
B
4
="trong hộp có 1 thẻ số chẵn và 2 thẻ số lẻ khác 5"
B
5
="trong hộp có 1 thẻ số chẵn, một thẻ lẻ khác 5 và thẻ số 5"
⇒ P (B) =
5
X
i=1
P P
(B
i
) (B|B
i
) =
C
3
3
C
3
6
.
1 +
C
2
3
.C
1
2
C
3
6
.
2
3
+
C
2
3
C
3
6
.
1 +
C
1
3
.C
2
2
C
3
6
.
1
3
+
C
1
3
.C
1
2
C
3
6
.
1
2
= 0 6,
Bài 1.46. Một hộp chứa 12 quả bóng trong đó có 4 quả bóng trắng. Ba người chơi lần lượt lấy raA,B,C
từng quả bóng, xem màu. Giả sử lấy trước, tiếp tục đến và sau đó đến . Người nào lấy được ra quảA B C
bóng trắng đầu tiên sẽ là người thắng cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi người trong các trường hợp
lấy bóng có hoàn lại và không hoàn lại.
Giải. Đặt A
k
là biến cố ”quả bóng trắng đươc lấy ra ở lần lấy bóng thứ k”, k = 1, 2, . . . .; A là biến cố “ làA
người thắng cuộc”. Tương tự với .B,C
• Nếu lấy bóng có hoàn lại thì sau một vòng 3 người lấy bóng, xác suất để chọn ra được 1 bóng trắng sẽ
không thay đổi và từ đó
P P P(A) = (A
1
) (A|A
1
) + P(
¯
A
1
¯
A
2
¯
A A
3
).P( |
¯
A
1
¯
A
2
¯
A
3
)
=
P( )A
1
.1 + P(A).P(
¯
A
1
).P(
¯
A
2
).P(
¯
A
3
)
⇒
P(A) =
P(A
1
)
1 − P (
¯
A
1
)P(
¯
A
2
)P(
¯
A
3
)
=
4
12
1
−
8
12
3
=
9
19
P P
(B) = (
¯
A A
1 2
)P(B|
¯
A
1
A
2
) + P(
¯
A
1
¯
A
2
¯
A
3
).P(B
¯
A
4
|
¯
A
1
¯
A
2
¯
A
3
)
=
P(
¯
A A
1
).P(
2
).1 + P(B).P(
¯
A
1
)P(
¯
A
2
)P(
¯
A
3
)
⇒
P(B) =
P(
¯
A A
1
)P(
2
)
1 − P (
¯
A
1
)P(
¯
A
2
)P(
¯
A
3
)
=
8
12
.
4
12
1
−
8
12
3
=
6
19
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 32
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Tương tự có
P(C) =
P(
¯
A
1
)P(
¯
A A
2
)P(
3
)
1 − P (
¯
A
1
)P(
¯
A
2
)P(
¯
A
3
)
=
8
12
2
.
4
12
1
−
8
12
3
=
4
19
• Nếu lấy bóng không hoàn lại thì
P P P
(A) = (A
1
) + (
¯
A
1
¯
A
2
¯
A A
3 4
) + P(
¯
A
1
¯
A
2
¯
A
3
¯
A
4
¯
A
5
¯
A A
6 7
)
=
4
12
+
8
12
.
7
11
.
6
10
.
4
9
+
8
12
.
7
11
.
6
10
.
5
9
.
4
8
.
3
7
.
4
6
=
7
15
Tương tự
P(B) =
53
165
và P(C) =
7
33
.
Lưu ý rằng trong cả 2 trường hợp ta luôn có P(A) + ) +P (B P(C) = 1.
Bài 1.47. Trong một dãy các ván chơi độc lập, người chơi có thể nhận được 0, 1 hay 2 điểm với các xác xuất
tương ứng là
1
3
,
5
12
và
1
4
. Điểm của người chơi là tổng số điểm có được ở các ván chơi. Ký hiệu là xác suấtp
n
mà người chơi có được điểm.n
a) Tính p
1
và .p
2
b) Chứng minh
p
n
=
8
11
+
3
11
.
−
3
8
n
,n ≥ 1.
Giải. a) Tổng điểm là 1 nếu các biến cố xảy ra{1, 01 001, ,...}
→
p
1
=
5
12
+
1
3
.
5
12
+
1
3
2
.
5
12
+ ...=
5
12
.
1
1
−
1
3
=
5
8
Tổng điểm là 2 nếu các biến cố số 0 cùng một số 1 và số 1 sau cùng . Từ đó{2, 02 002, ,...k ,k ≥ 0}
p
2
=
∞
X
k=0
1
3
3
4
k
+
∞
X
k=0
C
1
k
+1
.
5
12
.
1
3
k
.
5
12
=
3
8
+
5
12
2
"
∞
X
k
=0
1
3
k+1
#
=
49
64
b) Theo công thức xác suất toàn phần với , ta có:n ≥ 3
p
n
=
1
3
.p
n
+
5
12
.p
n−1
+
1
4
.p
n−2
→
p
n
=
5
8
.p
n−1
+
3
8
.p
n−2
Ta chứng minh
p
n
=
8
11
+
3
11
.
−
3
8
n
,n ≥ 1 bằng quy nạp. Dễ thấy khi đẳng thức đúng.n = 1 và n = 2
Giả sử nó đúng với . Ta có:n = m − 1
p
m
=
5
8
.p
m−1
+
3
8
.p
m−2
=
5
8
"
8
11
+
3
11
.
−
3
8
m−1
#
+
3
8
"
8
11
+
3
11
.
−
3
8
m−2
#
=
8
11
+
3
11
.
−
3
8
m
Vậy đẳng thức đúng .∀n ≥ 1
33 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
CHƯƠNG 2
BIẾN NGẪU NHIÊN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
a) Biến ngẫu nhiên rời rạc:
• Bảng phân phối xác suất:
p
i
= P[X = x
i
] ∀i.
Tínhchất:
+ 0 ≤ ≤p
i
1 ∀i.
+
X
p
i
= 1.
+ Nếu thìY = ϕ(X)
P
[Y = y] =
X
ϕ(x
i
)=y
p
i
.
• Hàm phânphối xácsuất:
F(x) = P[X <x .] ∀x ∈ R
Tínhchất:
+ F (x) là hàm tăng, nhận giá trị trong .[0 1],
+ F (x) liên tục trái và có giới hạn phải tại mọi điểm.
+ lim
x
→−∞
F(x) = 0, lim
x
→+∞
F(x) = 1.
+ P[ ( )a ≤ X <b] = F b) − F(a .
b) Biến ngẫu nhiên liên tục:
• Hàm mậtđộ xácsuất:
P
[X ∈ B] =
Z
B
f(x)dx .∀B ∈B( )R
Tínhchất:
+ f (x .) ≥ 0 ∀x ∈ R
+
+∞
Z
−∞
f(x)dx .= 1
34
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
+ P[a<X <b] =
b
Z
a
f(x dx.)
• Hàm phânphối xácsuất:
F(x) = P[a ≤ X <b .] ∀x ∈ R
Tínhchất:
+ F (x) =
x
Z
−∞
f(t dt.)
+
F
0
(x x) = f( ) ∀x ∈ R.
+ Nếu Y = ϕ(X) thì Y có hàm phân phối xác định bởi:
P
(Y <y) =
Z
ϕ <y(x)
f(x)dx.
c) Các số đặc trưng:
• Giá trị trung bình (Kỳ vọng):
E
[X] =
X
x
i
p
i
nếu X có phân phối rời rạc p
i
+∞
Z
−∞
xf
X
(x)dx nếu X có hàm mật độ f(x)
.
• Moment bậc :k
E
[X
k
] =
X
x
k
i
p
i
nếu X có phân phối rời rạc p
i
+∞
Z
−∞
x x
k
f
X
( )dx nếu X có hàm mật độ f(x)
.
• Tổng quát:
E
[ϕ(X)] =
X
ϕ p p(x
i
)
k
i
nếu X có phân phối rời rạc
i
+∞
Z
−∞
ϕ x f
( )
X
(x)dx nếu X có hàm mật độ f(x)
.
• Phương sai: Var[X] = E[(X − −E E[ ])X
2
] = [X
2
] ( [ ])E X
2
.
•
Độ lệch tiêu chuẩn: σ =
p
Var[X].
• Mode:
mod (
X) =
x
k
nếu p
k
= max
i
p
i
x x x
0
nếu f(
0
) = max f( )
.
d) Các phân phối quan trọng:
• Phân phối Bernoulli: X ∼ B(n,p) nếu X có phân phối xác suất
P
[X = k] = C
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
∀k k∈ N, 0 ≤ ≤ n.
Phân phối Bernoulli có .E[X] = np, Var[X] = np(1 − p)
35 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
• Phân phối hình học: X ∼ Geo(p) nếu X có phân phối xác suất
P
[X = k] = p(1 − p)
k−1
∀k ∈ N,k .≥ 1
Phân phối hình học có
E[X] =
1
p
, Var[X] =
1 − p
p
2
.
• Phân phối Poisson: X ∼ Poi(λ) nếu X có phân phối xác suất
P
[X = k] = e
−λ
λ
k
k
!
∀k ∈ N.
Phân phối Poisson có .E[ [X] = λ, Var X] = λ
• Phân phối đều: X ∼ U[a,b] nếu X có hàm mật độ
f
(x) =
1
b
− a
nếu x ∈ [ ]a; b
0 nếu x/∈ [ ]a; b
và hàm phân phối
F
(x) =
0 nếu x < a
x − a
b
− a
nếu a ≤ ≤x b
1 nếu x > b
Phân phối đều có
E[X] =
a + b
2
, Var[X] =
(b − a)
2
12
.
• Phân phối mũ: X ∼ Exp λ( ) nếu X có hàm mật độ
f
(x) =
λe
−λx
nếu x>0
0 nếu x ≤ 0
và hàm phân phối
F
(x) =
1
− e
−λx
nếu x>0
0 nếu x ≤ 0
Phân phối mũ có
E[X] =
1
λ
, Var[X] =
1
λ
2
.
• Phân phối chuẩn: X ∼N (µ,σ
2
) có hàm mật độ
f
(x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x − µ)
2
2
σ
2
.
Phân phối chuẩn có .E[ [X] = µ, Var X] = σ
2
Đặc biệt: nếu µ = 0,σ = 1 thì X ∼N(0, 1) được gọi là có phân phối chuẩn tắc.
Công thức chuẩn tắc hóa: nếu
X ∼N(µ,σ
2
) thì Z =
X − µ
σ
∼N (0 1), .
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 36
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
B. BÀI TẬP
1. Biến ngẫunhiên rời rạc
Bài 2.1. Cho biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:X
X 0 1 2 3 4
P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15
a. Tính hàm phân phối, kì vọng và phương sai của .X
b. Tính kì vọng của .
Y = X
2
+ 3
c. Tính hàm phân phối, kì vọng và phương sai của .Z = X
3
− 4X
2
+ 10
Bài 2.2. Một người có một chùm chìa khóa chiếc giống nhau trong đó chỉ có chiếc mở được cửa. Người7 2
đó thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong thì bỏ ra ngoài) cho đến khi mở được cửa. Gọi là số lần thử cầnX
thiết. Lập bảng phân phối, tính kì vọng và phương sai của .X
Bài 2.3. Trong một trò chơi trúng thưởng, người chơi sẽ đặt tiền vào 1 trong 6 ô được đánh số từ 1 đến 6.
Gieo 3 xúc xắc để xác định giải thưởng. Nếu ô bạn chọn có số trùng với số chấm xuất hiện trên 1, 2 hoặc 3
xúc xắc, bạn sẽ nhân được 1, 2 hoặc 3 lần số tiền đã đặt. Giả sử bạn đặt 6$ cho một lần chơi và là số tiềnX
lãi ở mỗi lần chơi. Tìm phân phối xác suất của X và tính .E[X]
Bài 2.4. Ghi ngẫu nhiên 5 số khác nhau lên 5 tấm thẻ và phát cho 5 người chơi, mỗi người một thẻ. Hai
người chơi sẽ so sánh số trên các thẻ, người nào có số lớn hơn là người thắng. Đầu tiên, người thứ 1 chơi
với người thứ 2. Người thắng chơi tiếp với người thứ 3 và cứ tiếp tục như vậy. Gọi là số lần người thứ 1X
thắng. Tìm phân phối xác suất của X và tính .E[X]
Bài 2.5. Một người chơi trò chơi bằng cách chọn ngẫu nhiên ra 3 quả bóng từ một hộp chứa 3 quả bóng
trắng, 3 quả bóng đỏ và 5 quả bóng đen. Giả sử với mỗi quả bóng trắng chọn ra, ta được 1 điểm và -1 điểm
với mỗi quả bóng đỏ chọn ra. Gọi là số điểm người chơi nhận được sau khi chọn ra 3 quả bóng.X
a) Tìm phân phối xác suất của .X
b) Tìm phân phối xác suất người chơi được , biết rằng người chơi nhận được số điểmk điểm ( 3)k = 1, 2,
dương.
Bài 2.6. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số con một cặp vợ chồng dự định sinh cho đến khi có đủ cả trai lẫn
gái. Tìm phân phối xác suất của và tính .X E[ ]X
Bài 2.7. Một hộp ban đầu có 1 chiếc bút xanh và 1 chiếc bút đỏ. Chọn ngẫu nhiên ra 1 chiếc bút, xem màu
và trả lại vào hộp cùng với thêm một chiếc bút khác cùng màu. Thực hiện liên tiếp quá trình trên. Gọi X
là số lần chọn bút cho đến khi ta lấy được bút xanh đầu tiên.
a) Tìm phân phối xác suất của . Chứng minh không tồn tại.X E[X]
b) Tính .P[ ]X >k ,k ∈ N∗
c) Tính
E
1
X
+ 2
.
Bài 2.8. Cho một biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm .X
a. Viết công thức tính kì vọng của .X
37 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. CMR:
E[X] =
∞
X
k=1
P[X ≥ k].
c. CMR:
E E[X
2
] − [X] = 2
∞
X
k=0
kP[X >k].
Bài 2.9. Gieo đồng thời 5 xúc xắc. Ký hiệu X và Y lần lượt là các biến ngẫu nhiên chỉ mặt có số chấm nhỏ
nhất và mặt có số chắm lớn nhất xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên . TínhX và Y
E E[ ]X , [ ]Y .
Bài 2.10. Một hộp chứa quả bóng. Một người chọn có hoàn lại, liên tiếp ra từng quả bóng. Gọi là sốN X
lần chọn bóng cần thiết cho đến khi lấy lại được đúng quả bóng đã từng được chọn ra trước đó. Tìm hàm
phân phối của .X
Bài 2.11. Một người để 2 bao thuốc, mỗi bao có N điếu thuốc trong các túi áo trái và phải. Mỗi khi muốn
hút thuốc, người đó chọn ngẫu nhiên 1 bao và từ đó lấy ra 1 điểu.
a) Khi lấy hết thuốc ở 1 bao và bao kia còn lại đúng X điếu. Tìm phân phối xác suất của .X
b) Xét thời điểm khi người đó phát hiện ra 1 bao đã hết thuốc và bao kia còn lại đúng Y điếu. Tìm phân
phối xác suất của .Y
2. Một số phân phối rời rạc quan trọng
Bài 2.12. Tính kì vọng và phương sai của:
a. Phân phối nhị thức .B(n,p)
b. Phân phối Poisson .Poi(λ)
c. Phân phối hình học .Geo(p)
Bài 2.13. Tung liên tiếp một đồng xu cân đối cho đến khi thấy mặt ngửa thì dừng lại. Lập bảng phân phối,
tính kì vọng và phương sai của số lần tung.
Bài 2.14. Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối cho đến khi thấy mặt "lục" thì dừng lại. Lập bảng phân
phối, tính kì vọng và phương sai của số lần gieo.
Bài 2.15. Bạn Minh gieo 1 xúc xắc cho đến khi mặt 6 chấm xuất hiện. Độc lập với Minh, bạn Tuấn cũng
gieo xúc xắc đó cho đến khi có được mặt có sỗ chẵn chấm xuất hiện. Tính xác suất bạn Tuấn cần số lần
gieo nhiều hơn bạn Minh.
Bài 2.16. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức .B(n,p)
a) Tính xác suất để X nhận giá trị là số lẻ (0 là số chẵn).
b) Tính
E
1
X
+ 1
.
Bài 2.17. Cho tập A gồm n phần tử. Lấy ra ngẫu nhiên một tập con của là số phần tử của tậpA và gọi X
con này. Lập bảng phân phối, tính kì vọng và phương sai của .X
Bài 2.18. Trung bình trong người thì có người mang nhóm máu O âm tính. Chọn ra ngẫu nhiên100 7 6
người. Tính xác suất:
a. Có đúng 2 người mang nhóm máu O âm tính.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 38
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Có không ít hơn người mang nhóm máu O âm tính.2
Bài 2.19. Gieo thử nghiệm hạt giống thấy có hạt nảy mầm. Chọn ra ngẫu nhiên hạt giống. Tìm1000 650 12
số hạt nảy mầm có xác suất xảy ra cao nhất? Xác suất đó bằng bao nhiêu?
Bài 2.20. Gọi X là hiệu số lần xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa sau khi gieo n lần một đồng xu. Tìm phân
phối xác suất của X và tính .E[X]
Bài 2.21. Một vật chuyển động n bước trên một đường thẳng có chia đơn vị. Giả sử bắt đầu chuyển động
từ gốc , vật thể này sẽ dịch chuyển sang trái hoặc sang phải 1 đơn vị với xác suất như nhau. Giả thiết cácO
bước dịch chuyển là độc lập. Gọi là khoảng cách từ vị trí của vật thể này sau n bước chuyển động đến gốcZ
O. Tìm phân phối của .Z
Bài 2.22. Trong 1 thành phố nhỏ, trung bình 1 tuần có 2 người chết. Biết số người chết có phân phối
Poisson. Tính xác suất để:
a) không có người nào chết trong vòng 1 ngày.
b) có ít nhất 3 người chết trong vòng 2 ngày.
Bài 2.23. Tại 1 trạm kiểm soát giao thông trung bình 1 phút có 2 xe ô tô đi qua. Biết số ô tô đi qua có phân
phối Poissson.
a) Tính xác suất để có đúng 6 xe đi qua trong vòng 3 phút.
b) Xác định t để xác suất trong khoảng thời gian t phút, có ít nhất 1 xe ô tô đi qua là 0,99.
Bài 2.24. Tại 1 nhà máy nào đó trung bình 1 tháng có 2 tai nạn giao động. Biết số tai nạn có phân phối
Poisson.
a) Tính xác suất để trong khoảng thời gian 3 tháng xảy ra nhiều nhất là 3 tai nạn.
b) Tính xác suất để trong 3 tháng liên tiếp, mỗi tháng xảy ra nhiều nhất 1 tai nạn.
Bài 2.25. Trung bình một ngày có vụ tai nạn giao thông xảy ra trong thành phố. Giả sử số vụ tai nạn5
trong ngày tuân theo phân bố Poisson. Tính xác suất để
a. Không có vụ tai nạn nào xảy ra trong ngày.
b. Có ít nhất vụ tai nạn xảy ra trong ngày.3
c. Biết rằng có ngày xảy ra ít nhất vụ tai nạn, tính xác suất để ngày đó xảy ra đúng vụ tai nạn.3 5
d. Có đúng vụ tai nạn xảy ra trong ngày. Hỏi trung bình bao nhiêu lâu mới có ngày xảy ra vụ tai20 20
nạn?
Bài 2.26. Một trạm cho thuê xe taxi có 3 chiếc xe. Hàng ngày trạm phải nộp thuế 8USD cho 1 xe (dù xe đó
có được thuê hay không). Mỗi xe được cho thuê với giá 20USD. Giả sử số yêu cầu thuê xe của trạm trong 1
ngày là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson với .X E[X] = 3
a) Gọi Y là số tiền thu được trong 1 ngày của trạm. Lập bảng phân phối xác suất của . Tính số tiềnY
trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b) Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe.
c) Trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?
Bài 2.27. Số khách đến siêu thị BigC trong ngày 1/5 là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poison tham số
λ>0. Giả sử mỗi khách đến, độc lập với mọi người khác, sẽ mua hàng với xác suất bằng p. Gọi là sốX
khách đến BigC trong ngày 1/5 và mua hàng. Tìm phân phối xác suất của và tính .X E[ ]X
39 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
3. Biến ngẫunhiên liên tục
Bài 2.28. Cho biến ngẫu nhiên có hàm mật độX
f
(x) =
k.x
−4
: x ≥ 1
0 : 1x<
.
a. Tìm k và hàm phân phối của .X
b. Tính kì vọng và phương sai của .X
c. Xét
Y =
1
X
. Tính hàm mật độ, kì vọng và phương sai của .Y
Bài 2.29. Cho biến ngẫu nhiên có hàm mật độX
f
(x) =
a + bx
2
: x ∈ [0, 1]
0 :
ngược lại
.
Biết rằng kì vọng của X bằng .0 6,
a. Tìm các hằng số a và .b
b. Tính phương sai của .X
c. Tính xác suất .P[0 5], 25 <X <0,
d. Tính kì vọng và phương sai của .
Y = X
2
Bài 2.30.
Cho biến ngẫu có hàm mật độX f (x) =
k
e
x
+ e
−x
,x .∈ R
a) Tìm hằng số .k
b) Tiến hành quan sát đúng 8 lần. Tính xác suất để có đúng 3 lần .
X X >ln
√
3
c) Phải quan sát rơi vào khoảng
X ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1 lần X
ln
1
√
3
;ln
√
3
không nhỏ hơn 90%.
d) Đặt
Y = e
X
. Tìm hàm mật độ của .Y
Bài 2.31.
Cho biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:X f (x) =
kx
−
3
2
nếu x ≥ 1
0 nếu x<1
.
a) Tìm k và hàm phân phối .F(x)
b) Đặt
Y =
1
X
. Tìm hàm mật độ của .Y
Bài 2.32. Cho biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là hàm đối xứng với số , tức làX f(x) a f(a − x) =
f(a + x) với mọi x ≥ 0 [. Chứng minh P X ≥ a] = P[X ≤ a] = 0, 5 và E[X] = a.
Bài 2.33.
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) =
1
2
e
−|x|
,x ∈ R (Phân phối Laplace).
a) Tính .P[|X|≤ln 2|X ≤ ln2]
b) Tính .E[X
2n
],n ∈ N
c) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên .Y = e
X
− 1
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 40
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
4. Một số phân phối liên tục quan trọng
Bài 2.34. Tính kì vọng và phương sai của các phân phối quan trọng như:
a. Phân phối mũ .Exp(λ)
b. Phân phối đều .U[ ]a,b
c. Phân phối chuẩn .N (a,σ
2
)
Bài 2.35. Cho .X ∼ U[ ]a,b
a) Chứng minh:
E[X] =
a + b
2
và Var[X] =
(b − a)
2
12
.
b) Đặt
Y =
X − a
b
− a
. Chứng minh: Y ∼ U[0, 1].
Bài 2.36. Cho .X ∼ U[0 1],
a) Đặt Y = (b − a) X + a. Chứng minh: .Y ∼ U[0 1],
b) Đặt Z = − ln X. Chứng minh: .Z ∼ Exp(1)
Bài 2.37. Chọn biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên .X [0 1],
a) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên
Y = −
1
λ
ln(1 − X). (Sinh phân phối mũ tham số λ>0)
b) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên
U = ln
X
1
− X
. (Sinh phân phối Logistic).
c) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên
V =
r
2ln
1
1
− X
. (Sinh phân phối Rayleigh)
Bài 2.38. Cho biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên . ĐặtU [0 1],
X
=
1 + U với xác suất 0,5
1
− U với xác suất 0,5
.
Chứng minh biến ngẫu nhiên X cũng có phân phối đều.
Bài 2.39. Cho biến ngẫu nhiên có phân phối mũ .X Exp(2)
a. Tính xác suất .P[1 ≤ X ≤ 5]
b. Tính xác suất .P[ ]]X >E[X
c. Tính giá trị các moment E[X
n
] với .n ∈ N
d. Đặt Y = 2X. Xét phân phối của biến ngẫu nhiên .Y
Bài 2.40.
a) Chứng minh rằng: nếu X có phân phối mũ tham số là 1 hằng số thì biến ngẫu nhiênλ>0 và c>0
cX có phân phối mũ tham số
λ
c
.
b) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X. Giả sử
X =
Y với xác suất p
Z
với xác suất 1-p
trong đó -Y và Z là các biến ngẫu
nhiên có cùng phân phối mũ tham số . Xác định hàm phân phối của X.λ>0
41 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 2.41. Giả sử tuổi thọ của một người tuân theo phân phối mũ . Biết rằng trung bình trongX Exp(λ)
1000 người có 500 người sống trên tuổi.60
a. Viết công thức tính xác suất . Từ đó hãy tìm tham số .P[ 60]X > λ
b. Tính tuổi thọ trung bình.
c. Tính xác suất để một người sống trên tuổi.70
d. Biết rằng có người sống trên tuổi, tính xác suất để người này sống trên tuổi.60 70
Bài 2.42. Cho biến ngẫu nhiên chuẩn tắc . CMRX ∼N (0 1),
a. Với
n lẻ, E[X
n
] = 0.
b. Với
n = 2k , E[X
2k
] =
(2 )!k
2
k
k!
c. Đặt Y = µ + σX. CMR: .Y ∼N (µ,σ
2
)
Bài 2.43. Cho biến ngẫu nhiên chuẩn .Y ∼N (µ,σ
2
)
a. Đặt
X =
Y − µ
σ
. CMR: X ∼N (0 1), .
b. Tìm α sao cho P[|Y − µ| <ασ] = 95%, biết rằng .P[|X| < 1, 96] = 95%
c. Với α ở trên, tính xác suất P[Y < µ+ ασ] và .P[ ]Y > µ− ασ
Bài 2.44.
Cho biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn . ĐặtX N( 1)µ, Y =
1 − Φ( )x
ϕ
(x)
ở đó Φ(x ϕ) và (x) lần
lượt là hàm phân phối và hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc . Tính .N (0 1), E[ ]Y
Bài 2.45. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc . Xác định hàm mật độ của biến ngẫuN (0 1),
nhiên Y = e
X
. Tính . (E[ ] [Y ,V ar Y ] Phân phối Log- chuẩn).
Bài 2.46. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn .N(0; 4)
a) Tính .P[ (X X − 1)] > 2
b) Tìm
a>0 để P[X
4
>a] = 0, 25.
Bài 2.47. Chỉ số IQ của một người là biến ngẫu nhiên có xấp xỉ phân phối chuẩn N (100; 20
2
).
a) Tính tỷ lệ số người có chỉ số IQ nằm trong khoảng (80,130).
b) Để được tham gia câu lạc bộ thông minh, các ứng cử viên phải có chỉ số IQ nằm trong tốp 1 đầu%
tiên. Xác định IQ thấp nhất được tham gia câu lạc bộ.
Bài 2.48. Chiều cao của nam giới đã trưởng thành là biến ngẫu nhiên .X ∼N (163;25)
a) Tính tỉ lệ nam giới trưởng thành cao từ 160cm đến 170cm.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 nam giới, tìm xác suất để chọn được nam giới cao trên 165cm.
c) Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 5 nam giới thì có ít nhất 1 người cao trên 165cm.
Bài 2.49. Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên An là 1 bnn (đơn vị là phút) có phân phối chuẩn.T
Biết rằng 65% số ngày An đến trường mất hơn 20 phút và 8% số ngày mất hơn 30 phút.
a) Tính thời gian đến trường trung bình của An và độ lệch chuẩn.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 42
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b) Giả sử An xuất phát từ nhà trước giờ vào học 25 phút. Tính xác suất để An bị muộn học.
Bài 2.50. Chiều cao của 1 loại cây là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Trong 1 mẫu gồm 640 cây có
25 cây thấp hơn 18m và 110 cây cao hơn 24m.
a) Tính chiều cao trung bình của cây và độ lệch chuẩn.
b) Ước lượng số cây có chiều cao trong khoảng từ 16m đến 20m trong 640 cây nói trên.
43 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
LỜI GIẢI CHƯƠNG 2
1. Biến ngẫunhiên rời rạc
Bài 2.1. Cho biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:X
X 0 1 2 3 4
P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15
a. Tính hàm phân phối, kì vọng và phương sai của .X
b. Tính kì vọng của .
Y = X
2
+ 3
c. Tính hàm phân phối, kì vọng và phương sai của .Z = X
3
− 4X
2
+ 10
Giải.
a. Hàm phân phối của làX
F(x) = P(X <x)
=
0 nếu x ≤ 0
0, 1 nếu 0 <x≤ 1
0, 1 + 0,2 = 0, 3 nếu 1 <x≤ 2
0, 1 + 0,2 + 0, 3 = 0, 6 nếu 2 <x≤ 3
0, 1 + 0,2 + 0, 3 + 0, 25 == 0, 85 4nếu 3 <x≤
1 nếu x>4
Kỳ vọng của làX
EX = 0.0, 1 + 1.0, 2 + 2.0, 3 + 3. . .0, 25 + 4 0, 15 = 2, 15
Lại có
E
X
2
= 0
2
.0, 1 + 1
2
.0, 2 + 2
2
.0, 3 + 3
2 2
.0, 25 + 4 .0, 15 = 6, 05.
⇒ DX = EX
2
− −( )EX
2
= 6, 05 (2 15) 4275,
2
= 1, .
b. .E EY = X
2
+ 3 = 6,05 + 3 = 9, 05.
c. Ta có
X 0 1 2 3 4
Z 10 7 2 1 10
P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15
Phân phối xác suất của làZ
Z 1 2 7 10
P 0,25 0,3 0,2 0,25
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 44
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Hàm phân phối của làX
F(z) = P(Z <z)
0 nếu z ≤ 1
0, 25 2nếu 1 <z ≤
0, 25 + 0, 3 = 0, 55 7nếu 2 <z ≤
0, 25 + 0, 3 + 0, 2 = 0, 75 10nếu 7 <z ≤
1 nếu z >10
Kỳ vọng của làZ
EZ = 1.0, 25 + 2.0, 3 + 7. .0, 2 + 10.0, 25 = 4, 75
Lại có
E
Z
2
= 1
2
.0, 25 + 2
2
.0, 3 + 7
2 2
.0, 2 + 10 .0, 25 = 36, 25.
⇒ DZ = EZ
2
− −(EZ)
2
= 36, 25 (4 75) 6875,
2
= 13, .
Bài 2.2. Một người có một chùm chìa khóa chiếc giống nhau trong đó chỉ có chiếc mở được cửa. Người7 2
đó thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong thì bỏ ra ngoài) cho đến khi mở được cửa. Gọi là số lần thử cầnX
thiết. Lập bảng phân phối, tính kì vọng và phương sai của .X
Giải. Phân phối xác suất của làX
X 1 2 3
P
2
7
=
6
21
5
7
.
2
6
=
5
21
5
7
.
4
6
.
2
5
=
4
21
X 4 5 6
P
5
7
.
4
6
.
3
5
.
2
4
=
3
21
5
7
.
4
6
.
3
5
.
2
4
.
2
3
=
2
21
5
7
.
4
6
.
3
5
.
2
4
.
1
3
. =
1
21
⇒
EX = 1.
6
21
+ 2.
5
21
+ 3.
4
21
+ 4.
3
21
+ 5.
2
21
+ 6.
1
21
=
8
3
.
⇒
EX
2
= 1
2
.
6
21
+ 2
2
.
5
21
+ 3
2
.
4
21
+ 4
2
.
3
21
+ 5
2
.
2
21
+ 6
2
.
1
21
=
28
3
.
⇒
DX = EX
2
− ( )EX
2
=
28
3
−
8
3
2
=
20
9
.
Bài 2.3. Trong một trò chơi trúng thưởng, người chơi sẽ đặt tiền vào 1 trong 6 ô được đánh số từ 1 đến 6.
Gieo 3 xúc xắc để xác định giải thưởng. Nếu ô bạn chọn có số trùng với số chấm xuất hiện trên 1, 2 hoặc 3
xúc xắc, bạn sẽ nhân được 1, 2 hoặc 3 lần số tiền đã đặt. Giả sử bạn đặt 6đ cho một lần chơi và là số tiềnX
lãi ở mỗi lần chơi. Tìm phân phối xác suất của X và tính .EX
Giải. Ta thấy X có thể nhận các giá trị và−6 6, , 12, 18
P
(X = −6) =
5
6
3
=
125
216
; P (X = 6) = C
1
3
1
6
5
6
2
=
75
216
P
(X = 12) = C
2
3
1
6
2
5
6
=
15
216
; P (X = 18) =
1
6
3
=
1
216
Từ đó
EX = −
17
36
.
45 Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 2.4. Ghi ngẫu nhiên 5 số khác nhau lên 5 tấm thẻ và phát cho 5 người chơi, mỗi người một thẻ. Hai
người chơi sẽ so sánh số trên các thẻ, người nào có số lớn hơn là người thắng. Đầu tiên, người thứ 1 chơi
với người thứ 2. Người thắng chơi tiếp với người thứ 3 và cứ tiếp tục như vậy. Gọi là số lần người thứ 1X
thắng. Tìm phân phối xác suất của X và tính .EX
Giải. X nhận các giá trị . Ta có0 1 2 3 4, , , ,
P P
(X = 0) = (người 1 thua người 2) =
1
2
P P
(X = 1) = (người 1 thắng người 2 và thua người 3) =
1
2
.
1
3
=
1
6
P P
(X = 2) = (người 1 thắng người 2, 3 và thua người 4) =
1
3
.
1
4
=
1
12
P P
(X = 3) = (người 1 thắng người 2, 3, 4 và thua người 5) =
1
4
.
1
5
=
1
20
P P
(X = 4) = (người 1 có số cao nhất) =
1
5
Từ đó
EX =
77
60
.
Bài 2.5. Một người chơi trò chơi bằng cách chọn ngẫu nhiên ra 3 quả bóng từ một hộp chứa 3 quả bóng
trắng, 3 quả bóng đỏ và 5 quả bóng đen. Giả sử với mỗi quả bóng trắng chọn ra, ta được 1 điểm và -1 điểm
với mỗi quả bóng đỏ chọn ra. Gọi là số điểm người chơi nhận được sau khi chọn ra 3 quả bóng.X
a) Tìm phân phối xác suất của .X
b) Tìm phân phối xác suất người chơi được , biết rằng người chơi nhận được số điểmk điểm ( 3)k = 1, 2,
dương.
Giải.
a) Ta có
P
(X = 0) =
55
165
; P (X = 1) = 1) =P(X = −
39
165
; P (X = 2) = 2) =P(X = −
15
165
và
P( (X = 3) = P X = −3) =
1
165
.
b) Gọi E là biến cố " người chơi nhận được số điểm dương".
Ta có
P P P P
(E) = (X = 1) + (X = 2) + (X = 3) =
1
3
Từ
P(X = k|E) =
P( )X = k
P
(E)
suy ra
P P P(X = 1|E) = 0.709; (X = 2|E) = 0.2727 và (X = 3|E) = 0.01818
Bài 2.6. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số con một cặp vợ chồng dự định sinh cho đến khi có đủ cả trai lẫn
gái. Tìm phân phối xác suất của và tính .X EX
Giải. Hiển nhiên . Với thìP(X = 0) = P (X = 1) = 0 n ≥ 2
P P P P P(X = n) = (A) (X = n|A) + (A) (X = n|A)
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 46
| 1/203
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
(Dành cho sinh viên khoa Toán - Tin) Bộ môn Toán Ứng dụng
Khoa Toán tin - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Hà Nội, tháng 12 năm 2018 MỤC LỤC
1 Không gian xác suất 3
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
LỜI GIẢI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Biến ngẫu nhiên 34
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
LỜI GIẢI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Vectơ ngẫu nhiên 68
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
LỜI GIẢI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Các định lý giới hạn 111
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
LỜI GIẢI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Ω: không gian mẫu, không gian các biến cố sơ cấp.
• A = Ω\A: biến cố đối của biến cố A.
• A,B được gọi là xung khắc nếu AB= ∅.
• Định nghĩa xác suất cổ điển:
số trường hợp có lợi cho A P(A) = |A| = .
số trường hợp có thể xảy ra |Ω| • P(A) = 1 − P(A).
• Qui tắc cộng: Nếu A1,A2,...,An,... là các biến cố đôi một xung khắc thì
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) + ...
• Qui tắc cộng tổng quát (Nguyên lí bù trừ): Nếu A1,A2,...,An,... là các biến cố bất kỳ thì P (∪n X X i=1Ai) = P(Ai) − P(AiAj) + ... X + (− n 1)k−1P(A n−1 i A ...Ai ) + ... + (−1) P(A1A 1 i2 k 2 ...An) = X X (−1)k−1P (Ai A ...A ) . 1 i2 ik 1≤i1k=1
• Tính độc lập: A1,A2,...,An,... được gọi là độc lập nếu với mọi i, việc Ai có xảy ra hay không không
ảnh hưởng hay liên quan tới việc có biến cố nào trong các biến cố còn lại có xảy ra hay không. Theo xác suất thì
P(Ai A ...Ai ) = P(Ai A ...A ) ∀i 1 i2 k 1 i2 ik 1,i2, . . . ik.
• Qui tắc nhân: Nếu A1,A2,...,An,... là các biến cố độc lập thì
P(A1A2 ...An) = P(A1)P(A2) ...P(An). 3
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
• Xác suất có điều kiện: Xác suất để xảy ra A với điều kiện B đã xảy ra rồi là P(AB) P(A/B) = . P(B)
• Qui tắc nhân tổng quát:
P(A1A2 ...An) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) ...P(An/A1A2 ...An−1).
• Hệ đầy đủ: A1,A2,...,An,... được gọi là hệ đầy đủ nếu + AiAj = ∅ ∀i 6= j. + ∪Ai = Ω.
• Công thức xác suất toàn phần: Nếu A1,A2,...,An,... là hệ đầy đủ thì
P(H) = P(A1)P(H/A1) + P(A2)P(H/A2) + ... + P(An)P(H/An) + ... • Công thức Bayes: P(K)P(H/K) P(K/H) = . P(H)
• Công thức Bernoulli: Thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử n lần, xác suất để biến cố A xảy ra ở mỗi
lần thử là p. Khi đó xác suất để A xảy ra k lần trong n lần thử là
Pk(n; p) = Ck npk(1 − p)n−k ∀k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 4
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán B. BÀI TẬP
1. Không gian mẫu và biến cố
Bài 1.1. Một đồng xu được tung ba lần.
a. Xây dựng không gian mẫu khi ta muốn quan sát tình trạng sấp ngửa của các lần tung.
b. Xây dựng không gian mẫu khi ta xem xét số lần ra mặt ngửa.
Bài 1.2. Một xúc xắc được gieo liên tục cho tới khi xuất hiện mặt "lục" thì dừng lại.
a. Xây dựng không gian mẫu khi ta muốn quan sát các mặt xuất hiện ở mỗi lần gieo.
b. Xây dựng không gian mẫu khi ta xem xét số lần tung cho tới khi dừng lại.
Bài 1.3. Hai con xúc xắc được gieo đồng thời.
a. Xây dựng không gian mẫu về cặp mặt xuất hiện trong 2 tình huống: có thứ tự (xác định rõ mặt xuất
hiện là của viên xúc xắc nào) và không thứ tự (không quan tâm mặt xuất hiện của viên xúc xắc nào).
b. Trong trường hợp có thứ tự, xác định các biến cố sau:
A: Các chấm xuất hiện đều là số chẵn.
B: Tổng số chấm trên hai mặt bằng 5.
C: Tổng số chấm trên hai mặt lớn hơn 10.
D: Xuất hiện mặt có 1 chấm.
E: Xuất hiện đúng 1 mặt có 1 chấm.
Bài 1.4. Ba bạn A,B và C lần lượt tung một đồng xu cho đến lúc có người thắng cuộc khi tung được mặt ngửa.
a. Xây dựng không gian mẫu về tình trạng sấp ngửa của đồng xu trong quá trình chơi.
b. Xác định các biến cố sau: i. A thắng. ii. B thắng. iii. A ∪ B.
Bài 1.5. Cho ba biến cố A,B và C. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A,B và C:
a) Chỉ có A xảy ra.
b) A,B xảy ra nhưng C không xảy ra.
c) Tất cả đều xảy ra.
d) Không có biến cố nào xảy ra.
e) Có đúng hai biến cố xảy ra.
f) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra.
g) Có ít nhất 1 biến cố xảy ra. 5
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
2. Định nghĩa xác suất cổ điển
Bài 1.6. Ta tung đồng thời một số viên xúc xắc và xét tổng số các chấm trên các mặt xuất hiện. Hãy giải
thích tại sao nếu tung 2 viên xúc xắc thì ta thường gặp tổng 9 hơn tổng 10, nhưng nếu tung 3 viên thì tổng
10 lại xuất hiện nhiều hơn?
Bài 1.7. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến muốn thuê phòng trong đó có 6 nam và 4 nữ.
Người quản lí chọn ngẫu nhiên ra 6 người. Tính xác suất để:
a. Cả 6 người là nam.
b. Có 4 nam và 2 nữ.
c. Có ít nhất 2 nữ.
Bài 1.8. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên 10 tấm. Tính xác suất để:
a. Cả 10 tấm thẻ đều là số chẵn.
b. Có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3.
c. Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó có 2 tấm mang số chia hết cho 10.
Bài 1.9. Trong hộp có m bóng đỏ và n bóng xanh. Ta lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại mỗi lần một quả bóng.
a. Tính xác suất để lần đầu lấy được bóng đỏ.
b*. Tính xác suất để lần cuối lấy được bóng đỏ.
3. Các quy tắc tính xác suất
Bài 1.10. Cho các biến cố A,B,C xác định trên cùng không gian mẫu. Từ P (A) + P (B) + P (C) = 1 có thể
kết luận A,B,C là các biến cố xung khắc không? Cho ví dụ minh họa.
Bài 1.11. Cho A,B là các biến cố bất kỳ. Chứng minh:
a) P (AB) − P (A)P (B) = P (A)P ( ¯ B) − P (A ¯B) = P (A ∪ B) − P ( ¯ A)P ( ¯B).
b) P (A ∪ B) + P (A ∪ ¯B) + P ( ¯A ∪ B) + P ( ¯A ∪ ¯ B) = 3.
c) |P (A) − P (B)|≤P (A∆B).
d) P(A ∪ B)P(AB) ≤ P(A)P(B).
Bài 1.12. Tìm cực trị của:
a. P(AB) − P(A)P(B). b. P2(AB) − P(A)P(B).
c. P2(AB) + P2(AB) + P2(AB).
d. P2(AB) + P2(AB) + P2(AB) + P2(AB).
Bài 1.13. Cho dãy các biến cố A1,...,An. Chứng minh: a) ! ¯ n[
A1A2) + ...+ P ( ¯ A1A2...¯An−1An) P i=1 Ai = P (A1) + P ( ¯
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 6
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán b) n ! n\ X P (Ai) − (n − 1) P i=1 Ai ≥ i=1 c) n ! n[ X X P (AiAj) P
i=1 Ai ≥ i=1 P (Ai) − 1≤id) ! ∞[ ∞X P (Ai) P i=1 Ai ≤ i=1
Bài 1.14. Rút ngẫu nhiên 5 quân bài từ một bộ bài Tú lơ khơ. Tính xác suất để trong 5 quân bài chọn ra này có
a) ít nhất một quân Át.
b) ít nhất một quân Át và ít nhất một quân Bích.
Bài 1.15. Chọn ngẫu nhiên 1 vé số có 5 chữ số. Tính xác suất để trong số vé:
a. Có chữ số chẵn.
b. Có chữ số 5.
c. Có chữ số chẵn hoặc chữ số 5.
d. Có cả chữ số chẵn và chữ số 5.
Bài 1.16. Trong thư viện có ba loại báo A,B,C. Thống kê thấy số tỉ lệ người đọc các loại báo này như sau:
A : 10%; B : 30%; C : 5%; A và B : 8%; A và C : 2%; B và C : 4% và 1% số người đọc cả ba loại báo.
a) Tính tỉ lệ số người chỉ đọc duy nhất một loại báo.
b) Tính tỉ lệ số người đọc ít nhất hai loại báo.
c) Giả sử A và B là các báo có vào buổi sáng và C là báo có vào buổi trưa. Tính tỷ lệ số người đọc ít nhất
một báo ra vào buổi sáng và một báo ra buổi trưa.
Bài 1.17. Một báo cáo về việc lựa chọn học 3 ngoại ngữ là tiếng Anh, tiếng Pháp và tiếng Trung của 1000
sinh viên khoa Toán nói rằng: có 525 sinh viên học tiếng Anh; 470 sinh viên học tiếng Pháp; 312 sinh viên
học tiếng Trung; 147 sinh viên học cả tiếng Anh và Pháp; 86 sinh viên học cả tiếng Anh và Trung; 42 sinh
viên học cả tiếng Pháp và Trung; 25 sinh viên học cả 3 thứ tiếng. Hãy chỉ ra rằng các số liệu trong báo cáo là chưa chính xác.
Bài 1.18. Xếp ngẫu nhiên 7 quyển sách lên giá sách có 3 ngăn. Tính xác suất để ngăn nào cũng có ít nhất 1 quyển sách.
Bài 1.19. Trong đợt khuyến mại, khi mua mỗi thùng Coca, khách hàng sẽ nhận được một trong bốn phiếu
ghi chữ "CHÚC" hoặc "MỪNG" hoặc "NĂM" hoặc "MỚI" có trong thùng hàng. Người nào có đủ cả bốn chữ
trên sẽ trúng một giải thưởng. Tính xác suất để khi mua 10 thùng Coca, bạn sẽ có khả năng trúng ít nhất một giải thưởng.
Bài 1.20. Một người bỏ ngẫu nhiên n lá thư vào n phong bì đã ghi sẵn địa chỉ.
a. Gọi Ai là biến cố lá thư thứ i được cho vào đúng phong bì. Tính xác suất của Ai. 7
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An.
c. Tính xác suất của biến cố ở câu b.
Bài 1.21. Một đoàn tàu có k toa đỗ ở sân ga. Có m hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độc lập với
nhau bước lên ngẫu nhiên một toa.
a. Gọi Ai là biến cố toa thứ i không có hành khách nào bước lên. Tính xác suất của Ai.
b. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak.
c. Tính xác suất của biến cố A.
d. Hãy nêu ý nghĩa và tính xác suất của biến cố A.
e. * Xét r toa trong số k toa. Tính xác suất sao cho chỉ có đúng r toa này có hành khách bước lên.
f. * Tính xác suất để có đúng r toa có hành khách bước lên.
4. Xác suất độc lập
Bài 1.22. CMR: nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì ta cũng có các cặp biến cố độc lập: (A,B), (A,B) và (A,B).
Bài 1.23. Phải gieo liên tiếp ít nhất bao nhiêu lần để với xác suất không nhỏ hơn 95% có ít nhất một lần ra mặt "lục".
Bài 1.24. Trong một cuộc xổ số, người ta phát hành 10 vạn vé trong đó có 1 vạn vé trúng giải. Cần phải
mua ít nhất bao nhiêu vé để với xác suất không nhỏ hơn 95% ta sẽ trúng ít nhất được 1 vé?
Bài 1.25. Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng
vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm.
Bài 1.26. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1
viên đạn trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt
chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu:
a. máy bay bị trúng 2 viên đạn.
b. máy bay bị trúng 3 viên đạn.
Bài 1.27. Hai người chơi A và B cùng chơi một trò chơi công bằng và người thắng cuộc là người đầu tiên
thắng được 6 ván. Tuy nhiên, vì một lí do nào đó, ở thời điểm mà người A thắng được 5 ván và người B
thắng được 3 ván thì cuộc chơi bắt buộc phải dừng lại.
a. Tính xác suất thắng cuộc của từng người nếu như cuộc chơi vẫn được tiếp tục.
b. Từ đó hãy đề xuất cách chia tiền thưởng cho hai người chơi.
c. * Mở rộng bài toán khi người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được m ván và cuộc chơi buộc phải
dừng lại khi người A đã thắng được n ván và người B đã thắng được k ván.
Bài 1.28. Một người tung liên tiếp một đồng xu cho đến khi thấy mặt ngửa thì dừng lại. Tính xác suất để:
a. Số lần tung là chẵn.
b. Số lần tung là lẻ.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 8
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
c. Số lần tung lớn hơn 5.
Bài 1.29. Cho n đồng xu độc lập với nhau và xác suất ra mặt sấp của đồng xu thứ i là xi. Mỗi lần ta tung
đồng thời cả n đồng xu và ta thực hiện tất cả m lần tung độc lập với nhau.
a. Tính xác suất để ra ít nhất 1 mặt ngửa khi thực hiện 1 lần tung.
b. Gọi A là biến cố trong cả m lần tung thì mỗi lần đều có ít nhất 1 mặt ngửa. Tính xác suất P(A).
c. Gọi B là biến cố tồn tại ít nhất một đồng xu mà trong cả m lần tung đều ra mặt ngửa. Nêu ý nghĩa
và tính xác suất của biến cố B.
d. CMR: P(A) + P(B) ≥ 1 và rút ra kết luận.
Bài 1.30. Hai bạn A và B tham gia một trò chơi thắng thua. Xác xuất thắng của A trong mỗi ván là p. Trò
chơi kết thúc khi có một người có số ván thắng nhiều hơn người kia 2 ván và người đó thắng cuộc.
a) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 4 ván.
b) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 2n ván, n ≥ 1.
c) Tính xác xuất để A thắng cuộc.
5. Xác suất điều kiện, công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần
Bài 1.31. Cho hai biến cố A và B với P (A), P(B) ≥ 0. 2 1 7 a) Biết P (A|B) = ; P (B|A) = và P (A ∪ B) = . Tính P (B). 3 3 8 3 4
b) Biết P (A|A ∪ B) = ; P (B|A ∪ B) = 5
. Tính P (AB|A ∪ B) và P (A∆B|A ∪ B). 5
Bài 1.32. Cho các biến cố A,B,C.
a) Chứng minh nếu P (A|C) > P(B|C) và P (A| ¯ C) > P(B| ¯C) thì P (A) > P(B).
b) Nếu P (A|C) > P(A| ¯ C) và P (B|C) > P(B| ¯ C) thì có suy ra được P (AB|C) > P(AB| ¯ C) không?
Bài 1.33. Chứng minh:
a) P (A|B) = P (C|B)P (A|BC) + P ( ¯ C|B)P (A|B ¯C). n
b) P (E|F ) = X P(Bi|F)P(E|BiF) ở đó B1,B2,...,Bn là hệ đầy đủ các biến cố. i=1
c) P (E|E ∪ F ) ≥ P (E|F ).
Bài 1.34. Gieo đồng thời 2 xúc xắc cân đối, đồng chất.
a) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc là 6. Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm.
b) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc nhỏ hơn 6. Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm.
Bài 1.35. Hai xạ thủ A và B mỗi người bắn một viên đạn vào cùng mục tiêu độc lập. Giả sử xác suất bắn
trúng đích của A và B lần lượt là 0, 7 và 0, 4.
a) Biết rằng có đạn trúng đích, tính xác xuất để B bắn trúng. 9
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b) Giả sử có một viên đạn trúng đích. Tính xác suất để đó là của B.
Bài 1.36. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng 1 lấy 90% thí sinh. Vòng 2 lấy 80% thí sinh của vòng 1 và vòng 3 lấy
60% thí sinh của vòng 2.
a. Lấy ra ngẫu nhiên một thí sinh, tính xác suất thí sinh đó đỗ cả 3 vòng.
b. Tính xác suất bị loại của mỗi thí sinh.
c. Tính xác suất bị loại của thí sinh ở từng vòng.
d. Tính xác suất thí sinh bị loại ở vòng 2 biết rằng thí sinh đó bị loại.
e. Tính xác suất để thí sinh đỗ cuộc thi biết rằng thí sinh đó vượt qua vòng 1.
Bài 1.37. Trong 10 lá thăm có 1 lá trúng thưởng. 3 người lần lượt rút thăm xem ai trúng. Gọi Ai,i =
1, 2, . . . , 10 lần lượt là biến cố lá thăm trúng thưởng rút được ở lần rút thứ i.
a. Biểu diễn biến cố thắng lợi của từng người qua các biến cố Ai.
b. Tính xác suất trúng thăm của từng người.
c. Giả sử bạn là người tham gia rút thăm, bạn chọn vị trí rút thứ mấy? Tại sao?
Bài 1.38. Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối đồng chất.
a. Tính xác suất để lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt "bốn".
b. Biết rằng lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt "bốn", tính xác suất để trong k−1 lần gieo trước, không
có lần nào ra mặt "ba".
c. Tính xác suất để ra mặt "bốn" trước mặt "ba".
Bài 1.39. Một công ty một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất
lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm để kiểm tra.
a. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết rằng sản phẩm thứ nhất không đạt chất lượng.
b. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng.
b. Tính xác suất để trong hai sản phẩm có ít nhất 1 sản phẩm không đạt chất lượng.
Bài 1.40. Một nhà máy có hai xưởng sản xuất: xưởng I chiếm 65% tổng sản phẩm, xưởng IIchiếm 35%.
Biết rằng tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng tốt của xưởng I là 90% và xưởng IIlà 85%.
a. Lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để đó là sản phẩm chất lượng tốt.
b. Xét 1 sản phẩm không đạt chất lượng. Tính xác suất đó là sản phẩm do xưởng IIsản xuất.
Bài 1.41. Biết rằng tỉ lệ nhóm máu O,A,B và ABtrong cộng đồng lần lượt là 33, 7%; 37, 5%; 20, 9% và
7, 9%. Chọn ngẫu nhiên 1 người cần máu và 1 người cho máu. Tính xác suất để có thể thực hiện truyền máu.
Bài 1.42. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi
chuồng ta bắt ra ngẫu nhiên 1 con làm thịt. Các con gà còn lại được dồn vào 1 chuồng thứ 3. Từ chuồng
thứ 3 này lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà.
a. Tính xác suất để ta bắt được gà trống.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 10
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Giả sử bắt được gà trống ở lần thứ 2. Tính xác suất để lần đầu bắt được 2 gà trống.
Bài 1.43. Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng 1 trứng (sinh đôi thật), hay do 2 trứng khác nhau sinh ra
(sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi
đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30%
cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau.
a. Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi thật.
b. Chọn ngẫu nhiên 1 cặp sinh đôi thì được 1 cặp có cùng giới tính. Tính xác suất để đó là cặp sinh đôi thật.
Bài 1.44. Một người chơi mong muốn có n dollars nhưng hiện tại anh ta chỉ có trong túi k dollars (k).
Vì thế anh ta tham gia cá cược may rủi bằng cách mỗi lần anh ta cá 1 dollar cho việc tung đồng xu ra mặt
ngửa; nếu cá thua anh ta sẽ mất tiền cá cược, còn nếu thắng thì kiếm thêm được 1 dollar. Trò chơi dừng
lại khi anh ta hết sạch tiền hoặc kiếm đủ n dollars như mong muốn. Ta sẽ tính xác suất phá sản của người
chơi. Xét pi là xác suất phá sản của người chơi khi anh ta bắt đầu với i dollars.
a. Xác định p0 và pn.
b. Giả sử đồng xu có xác suất xuất hiện mặt ngửa là p. Hãy tìm công thức liên hệ giữa pk,pk−1 và pk+1.
c. Giả sử p = 1/2. Tính pk.
Bài 1.45. Một túi chứa 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên ra 3 thẻ cho vào một hộp và từ hộp
này ta rút ra ngẫu nhiên một thẻ. Nếu rút được thẻ số 5, ta trả lại thẻ vào hộp và rút ngẫu nhiên một thẻ
khác. Tính xác suất để thẻ rút ra sau cùng này a) là thẻ số 3.
b) là thẻ mang số chẵn.
Bài 1.46. Một hộp chứa 12 quả bóng trong đó có 4 quả bóng trắng. Ba người chơi A,B,C lần lượt lấy ra
từng quả bóng, xem màu. Giả sử A lấy trước, tiếp tục đến B và sau đó đến C. Người nào lấy được ra quả
bóng trắng đầu tiên sẽ là người thắng cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi người trong các trường hợp
lấy bóng có hoàn lại và không hoàn lại.
Bài 1.47. Trong một dãy các ván chơi độc lập, người chơi có thể nhận được 0, 1 hay 2 điểm với các xác xuất 1 5 1 tương ứng là ,
và . Điểm của người chơi là tổng số điểm có được ở các ván chơi. Ký hiệu pn là xác suất 3 12 4
mà người chơi có được n điểm.
a) Tính p1 và p2. 8 3 b) Chứng minh pn = + 11 3 n ,n ≥ 1. . − 11 8 11
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán LỜI GIẢI CHƯƠNG 1
1. Không gian mẫu và biến cố
Bài 1.1. Một đồng xu được tung ba lần.
a. Xây dựng không gian mẫu khi ta muốn quan sát tình trạng sấp ngửa của các lần tung.
b. Xây dựng không gian mẫu khi ta xem xét số lần ra mặt ngửa. Giải.
a. Ω = {SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NSN,NNS,NNN}. b. Ω = {0, 1, 2, 3}.
Bài 1.2. Một xúc xắc được gieo liên tục cho tới khi xuất hiện mặt "lục" thì dừng lại.
a. Xây dựng không gian mẫu khi ta muốn quan sát các mặt xuất hiện ở mỗi lần gieo.
b. Xây dựng không gian mẫu khi ta xem xét số lần tung cho tới khi dừng lại. Giải. a. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b. Ω = {1, 2, 3, . . . , }.
Bài 1.3. Hai con xúc xắc được gieo đồng thời.
a. Xây dựng không gian mẫu về cặp mặt xuất hiện trong 2 tình huống: có thứ tự (xác định rõ mặt xuất
hiện là của viên xúc xắc nào) và không thứ tự (không quan tâm mặt xuất hiện của viên xúc xắc nào).
b. Trong trường hợp có thứ tự, xác định các biến cố sau:
A: Các chấm xuất hiện đều là số chẵn.
B: Tổng số chấm trên hai mặt bằng 5.
C: Tổng số chấm trên hai mặt lớn hơn 10.
D: Xuất hiện mặt có 1 chấm.
E: Xuất hiện đúng 1 mặt có 1 chấm. Giải.
a. Trường hợp có thứ tự: Ω = {(i,j)|1 ≤ i,j ≤ 6} và trường hợp không thứ tự: Ω : {(i,j)|1 ≤ i ≤ j ≤ 6|}.
b. A: {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 4), (4; 6), (6; 2), (6; 4), (6; 6)}.
B: {(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)}. C: {(5; 6), (6; 5), (6; 6)}.
D: {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1)}.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 12
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
E: {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1)}.
Bài 1.4. Ba bạn A,B và C lần lượt tung một đồng xu cho đến lúc có người thắng cuộc khi tung được mặt ngửa.
a. Xây dựng không gian mẫu về tình trạng sấp ngửa của đồng xu trong quá trình chơi.
b. Xác định các biến cố sau: i. A thắng. ii. B thắng. iii. A ∪ B. Giải. a. Ω = {SnN|n ∈ N}. b.
i. "A thắng"={SnN|n ∈ N,n ≡ 0 (mod3)}.
ii. "B thắng"={SnN|n ∈ N,n ≡ 1 (mod3)}.
iii. A ∪ B="C thắng"={SnN|n ∈ N,n ≡ 2 (mod3)}.
Bài 1.5. Cho ba biến cố A,B và C. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A,B và C:
a) Chỉ có A xảy ra.
b) A,B xảy ra nhưng C không xảy ra.
c) Tất cả đều xảy ra.
d) Không có biến cố nào xảy ra.
e) Có đúng hai biến cố xảy ra.
f) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra.
g) Có ít nhất 1 biến cố xảy ra. Giải. a) "Chỉ có A xảy ra"=ABC.
b) "A,B xảy ra nhưng C không xảy ra"=ABC.
c) "Tất cả đều xảy ra"=ABC.
d) "Không có biến cố nào xảy ra"=ABC.
e) "Có đúng hai biến cố xảy ra"=ABC∪ ABC∪ ABC.
f) "Có ít nhất 2 biến cố xảy ra"=AB∪ BC∪ CA.
g) "Có ít nhất 1 biến cố xảy ra"=A ∪ B ∪ C. 13
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
2. Định nghĩa xác suất cổ điển
Bài 1.6. Ta tung đồng thời một số viên xúc xắc và xét tổng số các chấm trên các mặt xuất hiện. Hãy giải
thích tại sao nếu tung 2 viên xúc xắc thì ta thường gặp tổng 9 hơn tổng 10, nhưng nếu tung 3 viên thì tổng
10 lại xuất hiện nhiều hơn? Giải.
• Xét trường hợp gieo 2 xúc xắc, không gian mẫu
Ω = {(i; j)|i,j ∈ N, 1 ≤ i,j ≤ 6} ⇒ |Ω| = 62 = 36.
Xét các biến cố A ="tổng số chấm là 9", B ="tổng số chấm là 10"
A = {(3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3)} ⇒ B = {(4; 6), (5; 5), (6; 4)} |A| 1 |B| 1 ⇒ P(A) = = = . |Ω| > P(B) = 9 |Ω| 12
• Xét trường hợp gieo 3 xúc xắc, không gian mẫu
Ω = {(i; j; k)|i,j,k ∈ N, 1 ≤ i,j,k ≤ 6} ⇒ |Ω| = 63 = 216.
Xét các biến cố A ="tổng số chấm là 9", B ="tổng số chấm là 10"
|A| = 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 25 ⇒
|B| = 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27 |A| 25 |B| 27 ⇒ P(A) = = = . |Ω| < P(B) = 216 |Ω| 216
Bài 1.7. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến muốn thuê phòng trong đó có 6 nam và 4 nữ.
Người quản lí chọn ngẫu nhiên ra 6 người. Tính xác suất để:
a. Cả 6 người là nam.
b. Có 4 nam và 2 nữ.
c. Có ít nhất 2 nữ.
Giải. Không gian mẫu Ω có |Ω| = C610.
a. A ="Cả 6 người được chọn là nam" |A| 1 ⇒|A| = 1 ⇒ P(A) = = . |Ω| C610 b. B ="Có 4 nam và 2 nữ" |B| C46C24 ⇒|B| = C4 6 .C2 = . 4 ⇒ P(B) = |Ω| C610 c. C ="Có ít nhất 2 nữ" |C| C6 ⇒|C| = C6 = 10 − C14 C56 − C66 . 10 − C14 C5 6 − C66 ⇒ P(C) = |Ω| C610
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 14
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.8. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên 10 tấm. Tính xác suất để:
a. Cả 10 tấm thẻ đều là số chẵn.
b. Có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3.
c. Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó có 2 tấm mang số chia hết cho 10.
Giải. Không gian mẫu Ω có |Ω| = C1030
a. A ="Cả 10 tấm thẻ đều là số chẵn" |A| C1015 ⇒|A| = C10 = . 15 ⇒ P(A) = |Ω| C10 30
b. B ="Có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3" |B| C510C520 ⇒|B| = C5 10C5 = . 20 ⇒ P(B) = |Ω| C10 30
c. C ="Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó có 2 tấm mang số chia hết cho 10" |C| C515C23C312 ⇒|C| = C5 15C23 C3 = . 12 ⇒ P(C) = |Ω| C10 30
Bài 1.9. Trong hộp có m bóng đỏ và n bóng xanh. Ta lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại mỗi lần một quả bóng.
a. Tính xác suất để lần đầu lấy được bóng đỏ.
b*. Tính xác suất để lần cuối lấy được bóng đỏ. Giải.
a. Xác suất để lần đầu lấy được bóng đỏ là m . m + n
b*. Coi việc bốc lần lượt cũng giống như là lấy một lúc m+n−1 quả sau đó lấy nốt quả bóng cuối cùng.
Do đó xác suất để lần cuối lấy được bóng đỏ là m.(m + n − 1)! m = . (m + n)! m + n
3. Các quy tắc tính xác suất
Bài 1.10. Cho các biến cố A,B,C xác định trên cùng không gian mẫu. Từ P (A) + P (B) + P (C) = 1 có thể
kết luận A,B,C là các biến cố xung khắc không? Cho ví dụ minh họa. 15
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Giải. Chưa thể kết luận A,B,C là các biến cố xung khắc. Thật vậy, rút ngẫu nhiên một quân bài từ bộ tú lơ khơ. Ký hiệu
A là biến cố "Chọn được quân Át đen hoặc quân Q đỏ"
B là biến cố "Chọn được quân Đầu người đỏ hoặc quân đen"
C là biến cố "Chọn được quân Cơ hoặc quân Q" 2 + 2 1 6 + 26 8 12 + 4 4 P (A) = = ; P (B) = = ; P (C) = = 52 13 52 13 52 13 Vậy 2
P (A) + P (B) + P (C) = 1. Tuy nhiên, do ABClà biến cố "chọn được quân Q đỏ" nên P (ABC) = , 52
tức A,B,C không là các biến cố xung khắc.
Bài 1.11. Cho A,B là các biến cố bất kỳ. Chứng minh:
a) P (AB) − P (A)P (B) = P (A)P ( ¯ B) − P (A ¯B) = P (A ∪ B) − P ( ¯ A)P ( ¯B).
b) P (A ∪ B) + P (A ∪ ¯B) + P ( ¯A ∪ B) + P ( ¯A ∪ ¯ B) = 3.
c) |P (A) − P (B)|≤P (A∆B).
d) P(A ∪ B)P(AB) ≤ P(A)P(B). Giải.
a) Từ P (A) = P (AB) + P (A ¯ B) ta có
P (AB) − P (A)P (B) = P (A) − P (A ¯ B) − P (A)P (B)
= P (A) [1 − P (B)] − P (A ¯ B) = P (A)P ( ¯B) − P (A ¯B) Mặt khác
P (AB) − P (A)P (B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) − P (A)P (B) = 2 − P ( ¯A) − P ( ¯
B) − P (A ∪ B) − 1 − P ( ¯A) 1 − P ( ¯ B)
= 1 − P ( ¯A)P ( ¯B) − P (A ∪ B) = P (A ∪ B) − P ( ¯ A)P ( ¯B)
b) VT = 2P (A) + 2P (B) + 2P ( ¯ A) + 2P ( ¯B) − P(AB) − P(A ¯ B) − P( ¯AB) − P( ¯A ¯B) AB) + P ( ¯A ¯ A) = 3
= 4 − P (AB) + P (A ¯B) − P ( ¯ B) = 4 − P (A) − P ( ¯
c) Từ P (A) = P (AB) + P (A ¯ B) và P (B) = P (AB) + P ( ¯ AB) ta có
P (A) − P (B) = P (A ¯ B) − P ( ¯AB) ≤ P (A ¯B) + P ( ¯AB) ≤ P (A∆B) d) Ta có P(A ∪ B)P(AB) ≤ P(A)P(B)
⇔P(A)P(B) − [P(A) + P(B) − P(AB)] P(AB) ≥ 0
⇔ [P(A) − P(AB)] [P(B) − P(AB)] ≥ 0 Điều này luôn đúng vì
P(A) − P(AB) ≥ 0 và P(B) − P(AB) ≥ 0.
Bài 1.12. Tìm cực trị của:
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 16
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
a. P(AB) − P(A)P(B). b. P2(AB) − P(A)P(B).
c. P2(AB) + P2(AB) + P2(AB).
d. P2(AB) + P2(AB) + P2(AB) + P2(AB). Giải. a. 1
P(AB) − P(A)P(B) ≤ P(AB) − [P(AB)]2 ≤ 4 (Dấu "=" khi và chỉ khi 1 P(A) = P(B) = P(AB) = ) 2 Mặt khác
P(AB) − P(A)P(B) = P(A)P(B) − P(AB) 1 4 ≥ P(AB) 2 − P(AB) ≥− (Dấu "=" khi và chỉ khi 1 P(A) = P(B) = P(AB) = ). 2 b. P2(AB) − P(A)P(B) ≤ 0
(Dấu "=" khi và chỉ khi P(A) = P(B) = P(AB)). Mặt khác P(A) + P(B) 2
P2(AB) − P(A)P(B) ≥ P2(AB) − 2 1 1 + P(AB) 2 ≥− 3 ≥ P2(AB) − 2 (Dấu "=" khi và chỉ khi 1
P(A) = P(B), P(A ∪ B) = 1, P(AB) = ) 3
c. P2(AB) + P2(AB) + P2(AB) ≥ 0
(Dấu "=" khi và chỉ khi P(AB) = P(AB) = P(AB) = 0) Mặt khác
P2(AB) + P2(AB) + P2(AB) ≤ P(AB) + P(AB 2 ) + P(AB) 2 = [P(A ∪ B)] ≤ 1 d.
P2(AB) + P2(AB) + P2(AB) + P2(AB) 1 =
P(AB) + P(AB) + P(AB) + P(AB) 2 4 4 ≥ (Dấu "=" khi và chỉ khi 1
P(AB) = P(AB) = P(AB) = P(AB) = ) 4 Mặt khác
P2(AB) + P2(AB) + P2(AB) + P2(AB)
≤ P(AB) + P(AB) + P(AB) + P(AB) 2 = 1
(Dấu "=" khi và chỉ khi có 3 trong 4 giá trị P(AB), P(AB), P(AB), P(AB) là bằng 0). 17
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.13. Cho dãy các biến cố A1,...,An. Chứng minh: a) ! ¯ n[
A1A2) + ...+ P ( ¯ A1A2...¯An−1An) P i=1 Ai = P (A1) + P ( ¯ b) n ! n\ X P (Ai) − (n − 1) P i=1 Ai ≥ i=1 c) n ! n[ X X P (AiAj) P
i=1 Ai ≥ i=1 P (Ai) − 1≤id) ! ∞[ ∞X P (Ai) P i=1 Ai ≤ i=1
Giải. a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đẳng thức đúng với n = m bất kỳ, tức là ! ¯ m[
A1A2) + ...+ P ( ¯ A1A2...¯Am−1Am) P i=1 Ai = P (A1) + P ( ¯ Với n = m + 1 ta có ! ! " ! !# m+1 [ m [ m [ P i=1 Ai = P i=1 Ai + P (Am+1) − P i=1 Ai ∩ Am+1 ! ¯ m[ A1A2...¯AmAm+1) = P i=1 AiAm+1 = P ( ¯
Vậy đẳng thức đã cho cũng đúng với n = m + 1 b) ! ! ¯ ! n\ n \ n [ P i=1 Ai = 1 − P i=1 Ai = 1 − P i=1 Ai n n n ≥ 1 − X P ( ¯
Ai) = 1 − X [1 − P (Ai)] = X P (Ai) − (n − 1) i=1 i=1 i=1
c) Dễ thấy bất đẳng thức đã cho đúng với n = 1. Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với n = m bất kỳ, tức là m ! X X m [ i=1 P (Ai) − 1≤ii=1 Ai
Với n = m + 1 bất đẳng thức cũng đúng vì ! ! ! ! m+1 [ m [ m [ P i=1 Ai = P i=1 Ai + P (Am+1) − P i=1 Ai ∩ Am+1 m m ≥ X X P (A P (A iAj ) + P (Am+1) − X mAm+1) i=1 P (Ai) − 1≤ii=1 m+1 = X X P (AiAj)
i=1 P (Ai) − 1≤iBộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 18
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán n−1
d) Đặt B1 = A1 và Bn = An \
[ Ai với mọi n ≥ 2. Khi đó B1,B2,.. là các biến cố xung khắc và i=1 ∞ ∞ [ A B P (Bn) ≤ P (A i = [ i. Ta có n) với mọi n ≥ 1. Vậy i=1 i=1 ! ! ∞[ ∞ [ ∞X P (Ai) P i=1 Ai = P i=1 Bi = i=1
Bài 1.14. Rút ngẫu nhiên 5 quân bài từ một bộ bài Tú lơ khơ. Tính xác suất để trong 5 quân bài chọn ra này có
a) ít nhất một quân Át.
b) ít nhất một quân Át và ít nhất một quân Bích.
Giải. a) Ký hiệu A là biến cố "có ít nhất một quân át trong số 5 quần bài chọn ra". Ta có: C5 P (A) = 1 − P ( ¯A) = 1 − 48 C5 = 0.34 52
b) Ký hiệu M là biến cố "không có quân Át nào" và N là biến cố "không có quân Bích nào" trong số 5 quân bài chọn ra. Ta có: C5 C5 C5
P (MN ) = 1 − P (M ∪ N) = 1 − P (M) − P (N) + P (M N) = 1 − 48 − 39 + 36 C5 = 0, 124 52 C552 C552
Bài 1.15. Chọn ngẫu nhiên 1 vé số có 5 chữ số. Tính xác suất để trong số vé:
a. Có chữ số chẵn.
b. Có chữ số 5.
c. Có chữ số chẵn hoặc chữ số 5.
d. Có cả chữ số chẵn và chữ số 5. Giải. a. A ="Có chữ số chẵn" 5 5 . ⇒ P(A) = 1 − P(A) = 1 − 10 b. B ="Có chữ số 5" 9 5 . ⇒ P(B) = 1 − P(B) = 1 − 10
c. C ="Có chữ số chẵn hoặc chữ số 5"= A ∪ B 8 5 . ⇒ P(C) = 1 − P(C) = 1 − 10
d. D ="Có cả chữ số chẵn và chữ số 5"= AB
⇒ P(D) = P(A ∪ B) − P(A) − P(B) 19
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.16. Trong thư viện có ba loại báo A,B,C. Thống kê thấy số tỉ lệ người đọc các loại báo này như sau:
A : 10%; B : 30%; C : 5%; A và B : 8%; A và C : 2%; B và C : 4% và 1% số người đọc cả ba loại báo.
a) Tính tỉ lệ số người chỉ đọc duy nhất một loại báo.
b) Tính tỉ lệ số người đọc ít nhất hai loại báo.
c) Giả sử A và B là các báo có vào buổi sáng và C là báo có vào buổi trưa. Tính tỷ lệ số người đọc ít nhất
một báo ra vào buổi sáng và một báo ra buổi trưa.
Giải. Ký hiệu A,B,C tương ứng là các biến cố người đọc báo A, báo B, báo C.
a) Dựa vào biểu đồ Ven, ta có: P (A ¯ B ¯ C ∪ ¯ AB¯C ∪ ¯ A ¯
BC) = P (A ∪ B ∪ C) − [P (AB) + P (BC) + P (CA)] + 2P (ABC)
= P (A) + P (B) + P (C) − 2[P (AB) + P (BC) + P (CA)] + 3P (ABC)
= 0.1 + 0.3 + 0.05 − 2(0.08 + 0.02 + 0.04) + 0.03 = 0.2
b) P (AB∪ BC∪ CA) = P (AB) + P (BC) + P (CA) − 2P (ABC) = 0.12
c) P ((A ∪ B) ∩ C) = P (AC∪ BC) = P (AC) + P (BC) − P (ABC) = 0.05
Bài 1.17. Một báo cáo về việc lựa chọn học 3 ngoại ngữ là tiếng Anh, tiếng Pháp và tiếng Trung của 1000
sinh viên khoa Toán nói rằng: có 525 sinh viên học tiếng Anh; 470 sinh viên học tiếng Pháp; 312 sinh viên
học tiếng Trung; 147 sinh viên học cả tiếng Anh và Pháp; 86 sinh viên học cả tiếng Anh và Trung; 42 sinh
viên học cả tiếng Pháp và Trung; 25 sinh viên học cả 3 thứ tiếng. Hãy chỉ ra rằng các số liệu trong báo cáo là chưa chính xác.
Giải. Đặt A,B,C tương ứng là các biến cố: sinh viên chọn học tiếng Anh, tiếng Pháp và tiếng Trung.
Tìm ra P (A ∪ B ∪ C) = 1.057 > 1 là điều vô lý.
Bài 1.18. Xếp ngẫu nhiên 7 quyển sách lên giá sách có 3 ngăn. Tính xác suất để ngăn nào cũng có ít nhất 1 quyển sách.
Giải. Ký hiệu Ai là biến cố "ngăn thứ i không có sách", i = 1, 2, 3. Ta có: 17 − 3. 22 77
P (A1 ∪ A2 ∪ A3) = 1 − P (A1 ∪ A2 ∪ A3) = 1 − 3. + 0 = 0, 826 77
Bài 1.19. Trong đợt khuyến mại, khi mua mỗi thùng Coca, khách hàng sẽ nhận được một trong bốn phiếu
ghi chữ "CHÚC" hoặc "MỪNG" hoặc "NĂM" hoặc "MỚI" có trong thùng hàng. Người nào có đủ cả bốn chữ
trên sẽ trúng một giải thưởng. Tính xác suất để khi mua 10 thùng Coca, bạn sẽ có khả năng trúng ít nhất một giải thưởng.
Giải. Đánh số thứ tự các chữ "CHÚC", "MỪNG", "NĂM", "MỚI" lần lượt là 1, 2, 3, 4. Ký hiệu Ai là biến cố
"không có chữ thứ i trong 10 thùng hàng", i = 1, 2, 3, 4. Ta có: 3 10 2 10 (i 6= j); P (Ai) = ; P (AiA 4 j ) = 4 1
10 (i 6= j 6= k); P (A1A2A3A4) = 0 P (AiAjAk) = 4
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 20
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán ! 4 [ 3 10 2 10 1 10 − 0 = 0.22 ⇒ P i=1 Ai = 4. − 6. + 4. 4 4 4 ⇒ P ( ¯ A ¯ ¯ ¯
1 A2A3 A4) = 1 − P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4) = 0.78
Bài 1.20. Một người bỏ ngẫu nhiên n lá thư vào n phong bì đã ghi sẵn địa chỉ.
a. Gọi Ai là biến cố lá thư thứ i được cho vào đúng phong bì. Tính xác suất của Ai.
b. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An.
c. Tính xác suất của biến cố ở câu b. Giải. 1 a. (n − 1)! . P(A = i) = n! n
b. A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ="có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì". c. Ta có k−1 X (−1) P (Ai A ...Ai ) 1 i2 k P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = 1≤i11≤k≤n X (−1)k−1 (n − k)! n! = 1≤i11≤k≤n+1 n n k−1 = (n − k)! (−1) X (−1)k−1Ck n = n! X k! k=1 k=1
Bài 1.21. Một đoàn tàu có k toa đỗ ở sân ga. Có m hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độc lập với
nhau bước lên ngẫu nhiên một toa.
a. Gọi Ai là biến cố toa thứ i không có hành khách nào bước lên. Tính xác suất của Ai.
b. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak.
c. Tính xác suất của biến cố A.
d. Hãy nêu ý nghĩa và tính xác suất của biến cố A.
e. * Xét r toa trong số k toa. Tính xác suất sao cho chỉ có đúng r toa này có hành khách bước lên.
f. * Tính xác suất để có đúng r toa có hành khách bước lên. Giải. a. (k − 1)m P(A . i) = km
b. A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ="có ít nhất một toa không có người lên". 21
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán c. Ta có n−1 X (−1) P (Ai A ...A ) 1 i2 in P(A) = 1≤i11≤n≤k k − n X (−1)n−1 ( )! k! = 1≤i11≤n≤k k k n−1 = (−1) X Cn n−1 (k − n)! = k (−1) n! X n! n=1 n=1
d. A ="toa nào cũng có người lên" và k (−1)n−1 P(A) = 1 − P(A) = 1 − X n! n=1 .
e. * Không mất tính tổng quát, giả sử có đúng r toa 1, 2,...,r là có người lên. Xác suất cần tìm là P(A1 ...ArAr+1 ...An) r = P(A AiA r+1 ...An) − P( [ r+1...An) i=1 (n − r)m = X − 1≤i (−1)j−1P Ai ...Ai A km 11 j r+1...An 1≤j≤r (n − r)m n − r + j m = X (−1)j−1 ( ) km − km 1≤i11≤j≤r r (n − r)m (n − r + j)m = − X (−1)j−1Cj r . km km j=1
f. * Xác suất để có đúng r toa có hành khách bước lên là r p = Cr (n − r)m (n − r + j)m − (−1)j−1Cj r km X j=1 k . km
4. Xác suất độc lập
Bài 1.22. CMR: nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì ta cũng có các cặp biến cố độc lập: (A,B), (A,B) và (A,B). Giải. Ta có
P(A)P(B) = P(A) [1 − P(B)] = P(A) − P(AB) = P(AB).
P(A)P(B) = [1 − P(A)] P(B) = P(B) − P(AB) = P(AB).
P(A)P(A) = [1 − P(A)] [1 − P(B)] = 1 − [P(A) + P(B) − P(AB)] = 1 − P(A ∪ B) = P(AB). Từ đó ta có đpcm.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 22
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.23. Phải gieo liên tiếp ít nhất bao nhiêu lần để với xác suất không nhỏ hơn 95% có ít nhất một lần ra mặt "lục".
Giải. Gọi số lần gieo là n. Đặt A ="có ít nhất một lần ra mặt lục" 5 n ≥ 0, 95 ⇒ P(A) = 1 − P(A) = 1 − 6
5 n ≤ 0, 05 ⇔ n ≥ log 5 0, 05 ⇔ n ≥ 17. ⇔ 6 6
Bài 1.24. Trong một cuộc xổ số, người ta phát hành 10 vạn vé trong đó có 1 vạn vé trúng giải. Cần phải
mua ít nhất bao nhiêu vé để với xác suất không nhỏ hơn 95% ta sẽ trúng ít nhất được 1 vé?
Giải. Gọi số vé mua là n. Đặt A ="có ít nhất một vé trúng" 9 n ≥ 0, 95 ⇒ P(A) = 1 − P(A) = 1 − 10 9 n ≤ 0, 05 ⇔ n ≥ log 9 0, 05 ⇔ n ≥ 29. ⇔ 10 10
Bài 1.25. Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng
vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. Giải.
Bài 1.26. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1
viên đạn trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt
chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu:
1. máy bay bị trúng 2 viên đạn.
2. máy bay bị trúng 3 viên đạn. Giải.
Bài 1.27. Hai người chơi A và B cùng chơi một trò chơi công bằng và người thắng cuộc là người đầu tiên
thắng được 6 ván. Tuy nhiên, vì một lí do nào đó, ở thời điểm mà người A thắng được 5 ván và người B
thắng được 3 ván thì cuộc chơi bắt buộc phải dừng lại.
a. Tính xác suất thắng cuộc của từng người nếu như cuộc chơi vẫn được tiếp tục.
b. Từ đó hãy đề xuất cách chia tiền thưởng cho hai người chơi.
c. * Mở rộng bài toán khi người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được m ván và cuộc chơi buộc phải
dừng lại khi người A đã thắng được n ván và người B đã thắng được k ván. Giải.
a. Nếu cuộc chơi vẫn tiếp tục thì số ván chơi tiếp theo sẽ tối đa là 3. B chỉ thắng cuộc nếu thắng tất cả
3 ván, còn A sẽ thắng nếu trong 3 tiếp theo có 1 ván thắng và khi đó cuộc chơi ngừng lại ngay lập
tức. Đặt A ="A thắng" và B ="Bthng"= A. 1 7 ; P(A) = 1 − P(B) = . 1 3 = 8 8 P(B) = 2 23
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Như vậy ta có thể chia tiền thưởng theo phương án dựa trên cơ hội thắng cuộc của hai người, tức là
tỉ lệ tiền thưởng sẽ là A : B = 7 : 1.
c. * Giả sử A là người thắng cuộc thì A thắng ở ván cuối cùng và thắng m−n−1 ván trong số m+j−n−1
ván trước đó và B thắng j ván (0 ≤ j ≤ m − k − 1). Như vậy xác suất để A thắng cuộc là m−k−1 P(A) = − −1 X Cm n 1 m−n 1 j j=0 m+j−n−1 2 2 m−k−1 = − −1 X Cm n 1 m+j−n . j=0 m+j−n−1 2
Xác suất để B thắng cuộc là m−k−1 P(B) = 1 − P(A) = 1 − − −1 X Cm n 1 m+j−n , j=0 m+j−n−1 2
hoặc bằng cách tương tự ta cũng có m−n−1 P(B) = 1 − P(A) = 1 − X Cm−k−1 1 m+j−k j=0 m+j−k−1 2
Bài 1.28. Một người tung liên tiếp một đồng xu cho đến khi thấy mặt ngửa thì dừng lại. Tính xác suất để:
a. Số lần tung là chẵn.
b. Số lần tung là lẻ.
c. Số lần tung lớn hơn 5.
Giải. Đặt An ="số lần tung là n" (n ≥ 1) 1 1 ⇒ P(An) = . 1 n−1 = 2n . 2 2
a. A ="Số lần tung là chẵn" ∞ 1 1 4 1 X P(A = = . n) = X 22k 1 − 1 3 ⇒ P(A) = .. k=1 4 n .2
b. B ="Số lần tung là lẻ"= A 2 ⇒ P(B) = 1 − P(A) = . 3
c. C ="Số lần tung lớn hơn 5" 5 1 1 X = 1 − X = . 2n 32 ⇒ P(C) = 1 − P(C) = 1 − n≤5 n=1
Bài 1.29. Cho n đồng xu độc lập với nhau và xác suất ra mặt sấp của đồng xu thứ i là xi. Mỗi lần ta tung
đồng thời cả n đồng xu và ta thực hiện tất cả m lần tung độc lập với nhau.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 24
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
a. Tính xác suất để ra ít nhất 1 mặt ngửa khi thực hiện 1 lần tung.
b. Gọi A là biến cố trong cả m lần tung thì mỗi lần đều có ít nhất 1 mặt ngửa. Tính xác suất P(A).
c. Gọi B là biến cố tồn tại ít nhất một đồng xu mà trong cả m lần tung đều ra mặt ngửa. Nêu ý nghĩa
và tính xác suất của biến cố B.
d. CMR: P(A) + P(B) ≥ 1 và rút ra kết luận. Giải.
a. H ="ít nhất 1 mặt ngửa khi thực hiện 1 lần tung"
⇒ P(H) = 1 − P(H) = 1 − x1x2 ...xn.
b. P(A) = (1 − x1x2 ...xn)m .
c. B ="trong m lần tung thì mỗi đồng xu sẽ sấp ít nhất 1 lần"
⇒ B = B1B2 ...Bn, với Bk="đồng xu thứ k sấp ít nhất 1 lần"
P(B) = P(B1)P(B2) ...P(Bn) = (1 − xm
1 )(1 − xm2 ) ...(1 − xm n ).
d. Do A ⊃ B ⇒ P(A) ≥ P(B) = 1 − P(B) ⇒ P(A) + P(B) ≥ 1. Như vậy
(1 − x1x2 ...xn)m + (1 − xm
1 )(1 − xm2 ) ...(1 − xm n ) ≥ 1
Bài 1.30. Hai bạn A và B tham gia một trò chơi thắng thua. Xác xuất thắng của A trong mỗi ván là p. Trò
chơi kết thúc khi có một người có số ván thắng nhiều hơn người kia 2 ván và người đó thắng cuộc.
a) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 4 ván.
b) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 2n ván, n ≥ 1.
c) Tính xác xuất để A thắng cuộc.
Giải. a) Trò chơi kết thúc sau 4 ván nếu trong hai ván đầu, mỗi người thắng một ván và sau đó, có một
người thắng cả hai ván còn lại. Vậy
P (kết thúc sau 4 ván) = 2p(1 − p)[p2 + (1 − p)2]
b) Trò chơi kết thúc sau 2n ván nếu trong (2n − 2) hai ván đầu mỗi người lần lượt thắng một ván (tỷ số
hoà) và sau đó có một người thắng cả hai ván sau cùng. Vậy
P (kết thúc sau 2n ván) = [2p(1 − p)]n−1[p2 + (1 − p)2] ∞ ∞ p2 c) n−1
P (A thắng) = X P (A thắng trong 2n ván) = X [2p(1 − p)] .p2 = . 1 − 2p(1 − p) n=1 n=1 25
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
5. Xác suất điều kiện, công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần
Bài 1.31. Cho hai biến cố A và B với P (A), P(B) ≥ 0. 2 1 7 a) Biết P (A|B) = ; P (B|A) = và P (A ∪ B) = . Tính P (B). 3 3 8 3 4
b) Biết P (A|A ∪ B) = ; P (B|A ∪ B) = 5
. Tính P (AB|A ∪ B) và P (A∆B|A ∪ B). 5 Giải.
a) Từ P (AB) = P (A).P(B|A) = P (B).P(A|B) ta suy ra P (A) = 2P (B) 2 3
Vậy 7 = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 3P (B) − P (B) hay P (B) = . 8 3 8
b) Từ 1 = P (A ∪ B|A ∪ B) = P (A|A ∪ B) + P (B|A ∪ B) − P (AB|A ∪ B) ⇒ P (AB|A ∪ B) = 0.4.
Bài 1.32. Cho các biến cố A,B,C.
a) Chứng minh nếu P (A|C) > P(B|C) và P (A| ¯ C) > P(B| ¯C) thì P (A) > P(B).
b) Nếu P (A|C) > P(A| ¯ C) và P (B|C) > P(B| ¯ C) thì có suy ra được P (AB|C) > P(AB| ¯ C) không?
Giải. a) Ta có P (A) = P (A|C)P (C) + P (A| ¯ C)P ( ¯C) > P(B|C)P(C) + P(B| ¯ C)P( ¯C) = P(B)
b) Không suy ra được P (AB|C) > P(AB| ¯ C). Xét ví dụ sau: Gieo 2 xúc xắc. Gọi C là biến cố “tổng chấm
xuất hiện là 10”; A là biến cố “ xúc xắc 1 xuất hiện mặt 6 chấm”; B là biến cố “ xúc xắc 2 xuất hiện mặt
6 chấm”. Dễ tính được 1 5 P (A|C) = P (B|C) = > P(A| ¯C) = P (B| ¯C) = . Tuy nhiên P (AB|C) = 0 < 3 33 1 P (AB| ¯C) = = 0 33
Bài 1.33. Chứng minh:
a) P (A|B) = P (C|B)P (A|BC) + P ( ¯ C|B)P (A|B ¯C). n
b) P (E|F ) = X P(Bi|F)P(E|BiF) ở đó B1,B2,...,Bn là hệ đầy đủ các biến cố. i=1
c) P (E|E ∪ F ) ≥ P (E|F ). P (ABC) P (B ¯ P (ABC) + P (AB¯ P (AB) Giải P (BC) C) P (AB¯C) C) . a) VP = . + = = P (B) P (BC) P (B) P (B ¯C) P (B) = P (A|B) P (B) n
b) Đặt Q(E) = P (E|F ). Ta có Q(E) = X Q(Bi)Q(E|Bi) mà i=1 Q(EBi) P (EBiF ) Q(E|B P (EBi|F ) i) = = = = P (E|BiF ) Q(B P (B i) iF ) P (BiF )
c) Có P (E|E ∪ F ) = P (E|(E ∪ F )F )P (F ) + P (E|(E ∪ F ) ¯
F )P ( ¯F) = P(E|F)P(F) + (1 − P(F))
Do (E ∪ F )F = F và P (E|(E ∪ F ) ¯ F ) = P (E|E ¯F ) = 1. Từ đó P (E|E ∪ F ) 1 − P (F ) = P (F ) + ≥ P (F ) + 1 − P (F ) = 1 P (E|F ) P (E|F )
Bài 1.34. Gieo đồng thời 2 xúc xắc cân đối, đồng chất.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 26
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
a) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc là 6. Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm.
b) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc nhỏ hơn 6. Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm.
Giải. Đặt Ai là biến cố "số chấm xuất hiện trên xúc xắc i; i = 1, 2" a) Ta có 1 1 P (A ,A . 1 P ({A 1 = 3 2 = 3) 6 6
1 = 3} ∪ {A2 = 3}|A1 + A2 = 6) = = = P (A1 + A2 = 6) 1 1 5. 5 . 6 6 b) Ta có P (A ,A ,A P ({A 1 = 3 2 = 2) + P (A1 = 3 2 = 1)
1 = 3} ∪ {A2 = 3}|A1 + A2 < 6) = P j=1 P (A1 = i).P(A2 = j) 4 P5−i i=1 1 2. 2 = 2. 36 1 = .(1 + 2 + 3 + 4) 5 36
Bài 1.35. Hai xạ thủ A và B mỗi người bắn một viên đạn vào cùng mục tiêu độc lập. Giả sử xác suất bắn
trúng đích của A và B lần lượt là 0, 7 và 0, 4.
a) Biết rằng có đạn trúng đích, tính xác xuất để B bắn trúng.
b) Giả sử có một viên đạn trúng đích. Tính xác suất để đó là của B.
Giải. Đặt A,B lần lượt là biến cố "A bắn trúng" và "B bắn trúng" a) 0, 4
P (B|có đạn trúng đích) = = 0, 488 1 − 0, 3.0, 6 b) P (B ¯A) P (B ¯A) P (B|có một viên trúng) = = P (có một viên trúng) P (B ¯ A) + P (A ¯B) 0, 4.0, 3 = = 0, 222 0, 4.0, 3 + 0, 7.0, 6
Bài 1.36. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng 1 lấy 90% thí sinh. Vòng 2 lấy 80% thí sinh của vòng 1 và vòng 3 lấy
60% thí sinh của vòng 2.
a. Lấy ra ngẫu nhiên một thí sinh, tính xác suất thí sinh đó đỗ cả 3 vòng.
b. Tính xác suất bị loại của mỗi thí sinh.
c. Tính xác suất bị loại của thí sinh ở từng vòng.
d. Tính xác suất thí sinh bị loại ở vòng 2 biết rằng thí sinh đó bị loại.
e. Tính xác suất để thí sinh đỗ cuộc thi biết rằng thí sinh đó vượt qua vòng 1. Giải.
a. A ="thí sinh đó đỗ cả 3 vòng"
⇒ P(A) = 0, 9.0, 8.0, 6 = 0, 432 27
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. B ="thí sinh đó bị loại"=A ⇒ P(B) = 1 − P(A) = 0, 568
c. Bk ="thí sinh đó bị loại ở vòng thứ k" (k = 1, 2, 3) P(B1) = 0, 1
P(B2) = P(B1B2) = P(B1)P(B2/B1) = 0, 9.02 = 0, 18 và
P(B3) = P(B1B2B3) = P(B1)P(B2/B1)P(B3/B1B2) = 0, 9.0, 8.0, 4 = 0, 288. d. P(B P(B2) 0, 18 P(B 2B) 2/B) = = = P(B) P(B) ≈ 0, 3170. 0, 568 e. P(A) 0, 432 P(A/B1) = = = 0, 48. P(B1) 1 − 0, 1
Bài 1.37. Trong 10 lá thăm có 1 lá trúng thưởng. 3 người lần lượt rút thăm xem ai trúng. Gọi Ai,i =
1, 2, . . . , 10 lần lượt là biến cố lá thăm trúng thưởng rút được ở lần rút thứ i.
a. Biểu diễn biến cố thắng lợi của từng người qua các biến cố Ai.
b. Tính xác suất trúng thăm của từng người.
c. Giả sử bạn là người tham gia rút thăm, bạn chọn vị trí rút thứ mấy? Tại sao?
Giải. Giả sử 3 người tham gia bốc thăm là A,B,C. Đặt
A = "A thắng", B = "B thắng", C = "C thắng"
a. A = A1 ∪ A4 ∪ A7 ∪ A10,B = A2 ∪ A5 ∪ A8,C = A3 ∪ A6 ∪ A9. b. Ta có P(Ak) = P(A1 ...Ak−1Ak)
= P(A1)P(A2/A1) ...P(Ak−1/A1 ...Ak−2)P(Ak/A1 ...Ak−1) 9 8 1 1 = . 11 − k . = 10 ... 9 12 − k 11 − k 10 4 3 3 ⇒ P(A) = , P(B) = , P(C) = . 10 10 10
c. Như vậy qua kết quả xác suất thì ta nên chọn là người bốc đầu tiên để có cơ hội chiến thắng là cao nhất.
Bài 1.38. Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối đồng chất.
a. Tính xác suất để lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt "bốn".
b. Biết rằng lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt "bốn", tính xác suất để trong k−1 lần gieo trước, không
có lần nào ra mặt "ba".
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 28
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
c. Tính xác suất để ra mặt "bốn" trước mặt "ba". Giải.
a. A ="lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt bốn" 1 P(A) = 5 k−1 . 6 6
b. B ="k − 1 lần gieo đầu không có lần nào ra mặt ba" 1 P(AB) ⇒ P(AB) = 4 k−1 ⇒ P(B/A) = 4 k−1 . = 6 6 P(A) 5
c. H ="mặt bốn xuất hiện trước mặt ba". Đặt
C1"lần đầu ra mặt bốn" C2"lần đầu ra mặt ba"
C3"lần đầu không ra ba, bốn"
⇒ C1,C2,C3 là hệ đầy đủ. Theo công thức xác suất toàn phần thì
P(H) = P(C1)P(H/C1) + P(C2)P(H/C2) + P(C3)P(H/C3) 1 1 4 = .1 + .0 + .P(H) 6 6 6 1 ⇒ P(H) = . 2
Bài 1.39. Một công ty một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất
lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm để kiểm tra.
a. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết rằng sản phẩm thứ nhất không đạt chất lượng.
b. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng.
b. Tính xác suất để trong hai sản phẩm có ít nhất 1 sản phẩm không đạt chất lượng. Giải.
a. Ak ="sản phẩm thứ k không đạt chất lượng" k = 1, 2 49 P(A2/A1) = . 849
b. Do A1,A1 là hệ đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần thì
P(A2) = P(A1)P(A2/A1) + P(A1)P(A2/A1) 50 49 800 50 1 = . + = . 850 849 850 849 17
b. H ="có ít nhất 1 sản phẩm không đạt chất lượng". Do A1,A1 là hệ đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần thì
P(H) = P(A1)P(H/A1) + P(A1)P(H/A1) 50 800 50 97 = .1 + = . 850 850 849 849 29
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.40. Một nhà máy có hai xưởng sản xuất: xưởng I chiếm 65% tổng sản phẩm, xưởng IIchiếm 35%.
Biết rằng tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng tốt của xưởng I là 90% và xưởng IIlà 85%.
a. Lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để đó là sản phẩm chất lượng tốt.
b. Xét 1 sản phẩm không đạt chất lượng. Tính xác suất đó là sản phẩm do xưởng IIsản xuất.
Giải. H ="sản phẩm lấy ra đạt chất lượng tốt". Đặt
A1 = "sản phẩm do xưởng I sản xuất"
A2 = "sản phẩm do xưởng II sản xuất"
⇒ A1,A2 là hệ đầy đủ.
a. Theo công thức xác suất toàn phần thì
P(H) = P(A1)P(H/A1) + P(A2)P(H/A2)
= 0, 65.0, 9 + 0, 35.0, 85 = 0, 8825.
b. Theo công thức Bayes thì P(A P(A 2)P(H/A2) 0, 35.(1 − 0, 85) 2/H) = = ≈ 0, 4468. P(H) 1 − 0, 8825
Bài 1.41. Biết rằng tỉ lệ nhóm máu O,A,B và ABtrong cộng đồng lần lượt là 33, 7%; 37, 5%; 20, 9% và
7, 9%. Chọn ngẫu nhiên 1 người cần máu và 1 người cho máu. Tính xác suất để có thể thực hiện truyền máu.
Giải. Đặt H ="có thể thực hiện truyền máu" và
O = "người nhận có nhóm máu O"
A = "người nhận có nhóm máu A"
B = "người nhận có nhóm máu B"
C = "người nhận có nhóm máu AB"
⇒ O,A,B,C là một hệ đầy đủ. Theo công thức xác suất toàn phần thì
P(H) = P(O)P(H/O) + P(A)P(H/A) + P(B)P(H/B) + P(C)P(H/C)
= 0, 337.0, 337 + 0, 375(0, 375 + 0, 337) + 0, 209(0, 209 + 0, 337) + 0, 079.1 ≈ 0, 574.
Bài 1.42. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi
chuồng ta bắt ra ngẫu nhiên 1 con làm thịt. Các con gà còn lại được dồn vào 1 chuồng thứ 3. Từ chuồng
thứ 3 này lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà.
a. Tính xác suất để ta bắt được gà trống.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 30
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Giả sử bắt được gà trống ở lần thứ 2. Tính xác suất để lần đầu bắt được 2 gà trống. Giải.
Bài 1.43. Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng 1 trứng (sinh đôi thật), hay do 2 trứng khác nhau sinh ra
(sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi
đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30%
cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau.
a. Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi thật.
b. Chọn ngẫu nhiên 1 cặp sinh đôi thì được 1 cặp có cùng giới tính. Tính xác suất để đó là cặp sinh đôi thật. Giải.
Bài 1.44. Một người chơi mong muốn có n dollars nhưng hiện tại anh ta chỉ có trong túi k dollars (k).
Vì thế anh ta tham gia cá cược may rủi bằng cách mỗi lần anh ta cá 1 dollar cho việc tung đồng xu ra mặt
ngửa; nếu cá thua anh ta sẽ mất tiền cá cược, còn nếu thắng thì kiếm thêm được 1 dollar. Trò chơi dừng
lại khi anh ta hết sạch tiền hoặc kiếm đủ n dollars như mong muốn. Ta sẽ tính xác suất phá sản của người
chơi. Xét pi là xác suất phá sản của người chơi khi anh ta bắt đầu với i dollars.
a. Xác định p0 và pn.
b. Giả sử đồng xu có xác suất xuất hiện mặt ngửa là p. Hãy tìm công thức liên hệ giữa pk,pk−1 và pk+1.
c. Giả sử p = 1/2. Tính pk.
Giải. H ="người chơi bị phá sản". Ở mỗi ván chơi, đặt A ="người chơi thắng cuộc"⇒ A,A là hệ đầy đủ a. Ta có p0 = 1 và pn = 1.
b. Giả sử tại thời điểm này người chơi có k dollars (0 công thức xác suất toàn phần thì P(H) = P(A)P(H/A) + P(A)P(H/A)
⇒ pk = p.pk+1 + (1 − p)pk−1.
c. Với p = 1/2 thì 2pk = pk+1 + pk−1 ∀0 ⇒ pk+1 − pk = pk − pk−1 = c ∀0 ⇒ pn − p0 = (pn − pn−1) + (pn−1 − pn−2) + ... + (p1 − p0) = nc 1 ⇒ c = − n
⇒ pk − p0 = (pk − pn−1) + (pk−1 − pk−2) + ... k + (p1 − p0) = − n k ⇒ pk = 1 − . n 31
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 1.45. Một túi chứa 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên ra 3 thẻ cho vào một hộp và từ hộp
này ta rút ra ngẫu nhiên một thẻ. Nếu rút được thẻ số 5, ta trả lại thẻ vào hộp và rút ngẫu nhiên một thẻ
khác. Tính xác suất để thẻ rút ra sau cùng này a) là thẻ số 3.
b) là thẻ mang số chẵn.
Giải. a) Đặt C1 là biến cố "trong hộp có thẻ số 3 và số 5"
C2 là biến cố "trong hộp có thẻ số 3 và hai thẻ khác"
C3 là biến cố "thẻ chọn ra sau cùng là thẻ số 3" C1 1 C2 1 ⇒ P (C) = P (C 4 4 1)P (C|C1) + P (C2)P (C|C2) = + = 0, 2 C3. . 2 6 C36 3
b) Ký hiệu các biến cố như sau:
B= "thẻ chọn ra sau cùng là thẻ có số chẵn"
B1="trong hộp có 3 thẻ số chẵn"
B2="trong hộp có 2 thẻ số chẵn và 1 thẻ số lẻ khác 5"
B3="trong hộp có 2 thẻ số chẵn và thẻ số 5"
B4="trong hộp có 1 thẻ số chẵn và 2 thẻ số lẻ khác 5"
B5="trong hộp có 1 thẻ số chẵn, một thẻ lẻ khác 5 và thẻ số 5" 5 C3 C2 2 C2 C1 1 C1 1 P (B 3 3.C1 2 3 3.C22 3.C12 i)P (B|B .1 + + .1 + + ⇒ P (B) = X i) = = 0, 6 C3 C3 . . . 3 C3 C3 3 C3 2 i=1 6 6 6 6 6
Bài 1.46. Một hộp chứa 12 quả bóng trong đó có 4 quả bóng trắng. Ba người chơi A,B,C lần lượt lấy ra
từng quả bóng, xem màu. Giả sử A lấy trước, tiếp tục đến B và sau đó đến C. Người nào lấy được ra quả
bóng trắng đầu tiên sẽ là người thắng cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi người trong các trường hợp
lấy bóng có hoàn lại và không hoàn lại.
Giải. Đặt Ak là biến cố ”quả bóng trắng đươc lấy ra ở lần lấy bóng thứ k”, k = 1, 2, ....; A là biến cố “A là
người thắng cuộc”. Tương tự với B,C.
• Nếu lấy bóng có hoàn lại thì sau một vòng 3 người lấy bóng, xác suất để chọn ra được 1 bóng trắng sẽ
không thay đổi và từ đó P (A) = P (A ¯ ¯ ¯ ¯
1)P (A|A1) + P ( ¯ A1 A2A3).P(A| ¯A1 A2A3)
= P (A1).1 + P (A).P( ¯ A1).P( ¯ A2).P( ¯A3) 4 P (A ⇒ P (A) = 1) = 12 9 1 − P ( ¯A = 1)P ( ¯ A2)P ( ¯ A3) 3 19 8 1 − 12 P (B) = P ( ¯A ¯ ¯ ¯ ¯
1A2)P (B| ¯A1A2) + P ( ¯A1A2 A3).P(B ¯A4| ¯ A1A2A3)
= P ( ¯A1).P(A2).1 + P (B).P( ¯ A1)P ( ¯ A2)P ( ¯A3) 8 4 P ( ¯A . 1)P (A ⇒ P (B) = 2) = 12 12 6 1 − P ( ¯ A1)P ( ¯A2)P ( ¯A3) = 3 19 8 1 − 12
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 32
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán 4 2 . Tương tự có P ( ¯A 8 12 P (C) = 1)P ( ¯ A2)P (A3) 4 1 − P ( ¯ A = 1)P ( ¯ A2)P ( ¯ 12 19 = 3 A3) 8 1 − 12
• Nếu lấy bóng không hoàn lại thì P (A) = P (A ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1) + P ( ¯ A1 A2 A3A4) + P ( ¯A1 A2 A3A4 A5A6A7) 4 8 7 6 4 8 7 6 5 4 3 4 7 = + . . . + . . . . . . = 12 12 11 10 9 12 11 10 9 8 7 6 15 Tương tự 53 7 P (B) = và P (C) = . 165 33
Lưu ý rằng trong cả 2 trường hợp ta luôn có P (A) + P (B) + P (C) = 1.
Bài 1.47. Trong một dãy các ván chơi độc lập, người chơi có thể nhận được 0, 1 hay 2 điểm với các xác xuất 1 5 1 tương ứng là ,
và . Điểm của người chơi là tổng số điểm có được ở các ván chơi. Ký hiệu pn là xác suất 3 12 4
mà người chơi có được n điểm.
a) Tính p1 và p2. 8 3 b) Chứng minh pn = + 11 3 n ,n ≥ 1. . − 11 8
Giải. a) Tổng điểm là 1 nếu các biến cố {1, 01, 001,...} xảy ra 5 1 5 5 5 1 5 → p1 = + . + ...= . = 12 3 1 2 .12 12 1 8 + 1 − 12 3 3
Tổng điểm là 2 nếu các biến cố {2, 02, 002,...k số 0 cùng một số 1 và số 1 sau cùng ,k ≥ 0}. Từ đó ∞ 1 ∞ p C1 2 = X 3 k + X 5 1 k 5 k=0 k=0 . . 3 4 k+1. 12 3 12 3 = " # ∞ 5 2 X 1 k+1 4964 + = 8 12 3 k=0
b) Theo công thức xác suất toàn phần với n ≥ 3, ta có: 1 5 1 pn = .p .p .p 3 n + 12 n−1 + 4 n−2 5 3 → pn = .p .p 8 n−1 + 8 n−2 Ta chứng minh 8 3 pn = + n = 1 và n = 2 11 3
n ,n ≥ 1 bằng quy nạp. Dễ thấy khi đẳng thức đúng. . −
Giả sử nó đúng với n = m − 11.Ta c 8 ó: 5 3 5 3 3 p " # " # m = .p .p + + 8 m−1 + 8 m−2 = 8 11 3 m−1 3 8 11 3 m−2 . − + . − 8 11 8 8 11 8 8 3 = + 11 3 m . − 11 8
Vậy đẳng thức đúng ∀n ≥ 1. 33
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
a) Biến ngẫu nhiên rời rạc:
• Bảng phân phối xác suất: pi = P[X = xi] ∀i. Tính chất: + 0 ≤ pi ≤ 1 ∀i. X + pi = 1. + Nếu Y = ϕ(X) thì X pi. P[Y = y] = ϕ(xi)=y
• Hàm phân phối xác suất:
F (x) = P[X Tính chất:
+ F (x) là hàm tăng, nhận giá trị trong [0, 1].
+ F (x) liên tục trái và có giới hạn phải tại mọi điểm. + lim F (x) = 0, lim F (x) = 1. x→−∞ x→+∞
+ P[a ≤ X b) Biến ngẫu nhiên liên tục:
• Hàm mật độ xác suất: Z f(x)dx ∀B ∈B(R). P[X ∈ B] = B Tính chất: + f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R. +∞ + Z f(x)dx= 1. −∞ 34
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán b + P[aZ f(x)dx. a
• Hàm phân phối xác suất:
F (x) = P[a ≤ X Tính chất: x + F (x) = Z f(t)dt. −∞ + F 0(x) = f(x) ∀x ∈ R.
+ Nếu Y = ϕ(X) thì Y có hàm phân phối xác định bởi: Z f(x)dx.
P(Y c) Các số đặc trưng:
• Giá trị trung bình (Kỳ vọng): X + x ∞ ipi
nếu X có phân phối rời rạc pi. xf E[X] = Z X (x)dx
nếu X có hàm mật độ f(x) −∞
• Moment bậc k: X i pi
nếu X có phân phối rời rạc pi + xk ∞ . k E[Xk] =
Z x fX(x)dx nếu X có hàm mật độ f(x) −∞ • Tổng quát: X + ϕ ∞ (xi)kpi
nếu X có phân phối rời rạc pi. ϕ(x)f E[ϕ(X)] = Z X (x)dx
nếu X có hàm mật độ f(x) −∞
• Phương sai: Var[X] = E[(X − E[X])2] = E[X2] − (E[X])2. p
• Độ lệch tiêu chuẩn: σ = Var[X]. • Mode: xk nếu pk = max pi i . mod (X) = x0 nếu f(x0) = max f(x)
d) Các phân phối quan trọng:
• Phân phối Bernoulli: X ∼ B(n,p) nếu X có phân phối xác suất
P[X = k] = Ck npk(1 − p)n−k ∀k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n.
Phân phối Bernoulli có E[X] = np, Var[X] = np(1 − p). 35
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
• Phân phối hình học: X ∼ Geo(p) nếu X có phân phối xác suất
P[X = k] = p(1 − p)k−1 ∀k ∈ N,k ≥ 1. Phân phối hình học có 1 E[X] = 1 − p , Var[X] = . p p2
• Phân phối Poisson: X ∼ Poi(λ) nếu X có phân phối xác suất P[X = k] = e−λ λk ∀k ∈ N. k!
Phân phối Poisson có E[X] = λ, Var[X] = λ.
• Phân phối đều: X ∼ U[a,b] nếu X có hàm mật độ 1 nếu x ∈ [a; b] b − a f(x) = 0 nếu x/ ∈ [a; b] và hàm phân phối 0 nếu x < a x − a nếu a ≤ x ≤ b b − a F (x) = 1 nếu x > b Phân phối đều có a + b E[X] = (b − a)2 , Var[X] = . 2 12
• Phân phối mũ: X ∼ Exp(λ) nếu X có hàm mật độ λe−λx nếu x>0 f(x) = 0 nếu x ≤ 0 và hàm phân phối
1 − e−λx nếu x>0 F (x) = 0 nếu x ≤ 0 Phân phối mũ có 1 1 E[X] = , Var[X] = . λ λ2
• Phân phối chuẩn: X ∼N (µ,σ2) có hàm mật độ (x − µ)2 1 f(x) = − √ e 2σ2 . σ 2π
Phân phối chuẩn có E[X] = µ, Var[X] = σ2.
Đặc biệt: nếu µ = 0,σ = 1 thì X ∼N(0, 1) được gọi là có phân phối chuẩn tắc.
Công thức chuẩn tắc hóa: nếu X − µ X , . ∼N (µ,σ2) thì Z = ∼N (0 1) σ
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 36
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán B. BÀI TẬP
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Bài 2.1. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất: X 0 1 2 3 4 P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15
a. Tính hàm phân phối, kì vọng và phương sai của X.
b. Tính kì vọng của Y = X2 + 3.
c. Tính hàm phân phối, kì vọng và phương sai của Z = X3 − 4X2 + 10.
Bài 2.2. Một người có một chùm chìa khóa 7 chiếc giống nhau trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa. Người
đó thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong thì bỏ ra ngoài) cho đến khi mở được cửa. Gọi X là số lần thử cần
thiết. Lập bảng phân phối, tính kì vọng và phương sai của X.
Bài 2.3. Trong một trò chơi trúng thưởng, người chơi sẽ đặt tiền vào 1 trong 6 ô được đánh số từ 1 đến 6.
Gieo 3 xúc xắc để xác định giải thưởng. Nếu ô bạn chọn có số trùng với số chấm xuất hiện trên 1, 2 hoặc 3
xúc xắc, bạn sẽ nhân được 1, 2 hoặc 3 lần số tiền đã đặt. Giả sử bạn đặt 6$ cho một lần chơi và X là số tiền
lãi ở mỗi lần chơi. Tìm phân phối xác suất của X và tính E[X].
Bài 2.4. Ghi ngẫu nhiên 5 số khác nhau lên 5 tấm thẻ và phát cho 5 người chơi, mỗi người một thẻ. Hai
người chơi sẽ so sánh số trên các thẻ, người nào có số lớn hơn là người thắng. Đầu tiên, người thứ 1 chơi
với người thứ 2. Người thắng chơi tiếp với người thứ 3 và cứ tiếp tục như vậy. Gọi X là số lần người thứ 1
thắng. Tìm phân phối xác suất của X và tính E[X].
Bài 2.5. Một người chơi trò chơi bằng cách chọn ngẫu nhiên ra 3 quả bóng từ một hộp chứa 3 quả bóng
trắng, 3 quả bóng đỏ và 5 quả bóng đen. Giả sử với mỗi quả bóng trắng chọn ra, ta được 1 điểm và -1 điểm
với mỗi quả bóng đỏ chọn ra. Gọi X là số điểm người chơi nhận được sau khi chọn ra 3 quả bóng.
a) Tìm phân phối xác suất của X.
b) Tìm phân phối xác suất người chơi được k điểm (k = 1, 2, 3), biết rằng người chơi nhận được số điểm dương.
Bài 2.6. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số con một cặp vợ chồng dự định sinh cho đến khi có đủ cả trai lẫn
gái. Tìm phân phối xác suất của X và tính E[X].
Bài 2.7. Một hộp ban đầu có 1 chiếc bút xanh và 1 chiếc bút đỏ. Chọn ngẫu nhiên ra 1 chiếc bút, xem màu
và trả lại vào hộp cùng với thêm một chiếc bút khác cùng màu. Thực hiện liên tiếp quá trình trên. Gọi X
là số lần chọn bút cho đến khi ta lấy được bút xanh đầu tiên.
a) Tìm phân phối xác suất của X. Chứng minh E[X] không tồn tại.
b) Tính P[X >k],k ∈ N∗. 1 c) Tính E . X + 2
Bài 2.8. Cho một biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm X.
a. Viết công thức tính kì vọng của X. 37
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán ∞
b. CMR: E[X] = X P[X ≥ k]. k=1 ∞
c. CMR: E[X2] − E[X] = 2 X kP[X >k]. k=0
Bài 2.9. Gieo đồng thời 5 xúc xắc. Ký hiệu X và Y lần lượt là các biến ngẫu nhiên chỉ mặt có số chấm nhỏ
nhất và mặt có số chắm lớn nhất xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên X và Y . Tính E[X], E[Y ].
Bài 2.10. Một hộp chứa N quả bóng. Một người chọn có hoàn lại, liên tiếp ra từng quả bóng. Gọi X là số
lần chọn bóng cần thiết cho đến khi lấy lại được đúng quả bóng đã từng được chọn ra trước đó. Tìm hàm
phân phối của X.
Bài 2.11. Một người để 2 bao thuốc, mỗi bao có N điếu thuốc trong các túi áo trái và phải. Mỗi khi muốn
hút thuốc, người đó chọn ngẫu nhiên 1 bao và từ đó lấy ra 1 điểu.
a) Khi lấy hết thuốc ở 1 bao và bao kia còn lại đúng X điếu. Tìm phân phối xác suất của X.
b) Xét thời điểm khi người đó phát hiện ra 1 bao đã hết thuốc và bao kia còn lại đúng Y điếu. Tìm phân
phối xác suất của Y .
2. Một số phân phối rời rạc quan trọng
Bài 2.12. Tính kì vọng và phương sai của:
a. Phân phối nhị thức B(n,p).
b. Phân phối Poisson Poi(λ).
c. Phân phối hình học Geo(p).
Bài 2.13. Tung liên tiếp một đồng xu cân đối cho đến khi thấy mặt ngửa thì dừng lại. Lập bảng phân phối,
tính kì vọng và phương sai của số lần tung.
Bài 2.14. Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối cho đến khi thấy mặt "lục" thì dừng lại. Lập bảng phân
phối, tính kì vọng và phương sai của số lần gieo.
Bài 2.15. Bạn Minh gieo 1 xúc xắc cho đến khi mặt 6 chấm xuất hiện. Độc lập với Minh, bạn Tuấn cũng
gieo xúc xắc đó cho đến khi có được mặt có sỗ chẵn chấm xuất hiện. Tính xác suất bạn Tuấn cần số lần
gieo nhiều hơn bạn Minh.
Bài 2.16. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(n,p).
a) Tính xác suất để X nhận giá trị là số lẻ (0 là số chẵn). 1 b) Tính E . X + 1
Bài 2.17. Cho tập A gồm n phần tử. Lấy ra ngẫu nhiên một tập con của A và gọi X là số phần tử của tập
con này. Lập bảng phân phối, tính kì vọng và phương sai của X.
Bài 2.18. Trung bình trong 100 người thì có 7 người mang nhóm máu O âm tính. Chọn ra ngẫu nhiên 6
người. Tính xác suất:
a. Có đúng 2 người mang nhóm máu O âm tính.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 38
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b. Có không ít hơn 2 người mang nhóm máu O âm tính.
Bài 2.19. Gieo thử nghiệm 1000 hạt giống thấy có 650 hạt nảy mầm. Chọn ra ngẫu nhiên 12 hạt giống. Tìm
số hạt nảy mầm có xác suất xảy ra cao nhất? Xác suất đó bằng bao nhiêu?
Bài 2.20. Gọi X là hiệu số lần xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa sau khi gieo n lần một đồng xu. Tìm phân
phối xác suất của X và tính E[X].
Bài 2.21. Một vật chuyển động n bước trên một đường thẳng có chia đơn vị. Giả sử bắt đầu chuyển động
từ gốc O, vật thể này sẽ dịch chuyển sang trái hoặc sang phải 1 đơn vị với xác suất như nhau. Giả thiết các
bước dịch chuyển là độc lập. Gọi Z là khoảng cách từ vị trí của vật thể này sau n bước chuyển động đến gốc
O. Tìm phân phối của Z.
Bài 2.22. Trong 1 thành phố nhỏ, trung bình 1 tuần có 2 người chết. Biết số người chết có phân phối
Poisson. Tính xác suất để:
a) không có người nào chết trong vòng 1 ngày.
b) có ít nhất 3 người chết trong vòng 2 ngày.
Bài 2.23. Tại 1 trạm kiểm soát giao thông trung bình 1 phút có 2 xe ô tô đi qua. Biết số ô tô đi qua có phân phối Poissson.
a) Tính xác suất để có đúng 6 xe đi qua trong vòng 3 phút.
b) Xác định t để xác suất trong khoảng thời gian t phút, có ít nhất 1 xe ô tô đi qua là 0,99.
Bài 2.24. Tại 1 nhà máy nào đó trung bình 1 tháng có 2 tai nạn giao động. Biết số tai nạn có phân phối Poisson.
a) Tính xác suất để trong khoảng thời gian 3 tháng xảy ra nhiều nhất là 3 tai nạn.
b) Tính xác suất để trong 3 tháng liên tiếp, mỗi tháng xảy ra nhiều nhất 1 tai nạn.
Bài 2.25. Trung bình một ngày có 5 vụ tai nạn giao thông xảy ra trong thành phố. Giả sử số vụ tai nạn
trong ngày tuân theo phân bố Poisson. Tính xác suất để
a. Không có vụ tai nạn nào xảy ra trong ngày.
b. Có ít nhất 3 vụ tai nạn xảy ra trong ngày.
c. Biết rằng có ngày xảy ra ít nhất 3 vụ tai nạn, tính xác suất để ngày đó xảy ra đúng 5 vụ tai nạn.
d. Có đúng 20 vụ tai nạn xảy ra trong ngày. Hỏi trung bình bao nhiêu lâu mới có ngày xảy ra 20 vụ tai nạn?
Bài 2.26. Một trạm cho thuê xe taxi có 3 chiếc xe. Hàng ngày trạm phải nộp thuế 8USD cho 1 xe (dù xe đó
có được thuê hay không). Mỗi xe được cho thuê với giá 20USD. Giả sử số yêu cầu thuê xe của trạm trong 1
ngày là biến ngẫu nhiên X có phân bố Poisson với E[X] = 3.
a) Gọi Y là số tiền thu được trong 1 ngày của trạm. Lập bảng phân phối xác suất của Y . Tính số tiền
trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b) Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe.
c) Trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?
Bài 2.27. Số khách đến siêu thị BigC trong ngày 1/5 là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poison tham số
λ>0. Giả sử mỗi khách đến, độc lập với mọi người khác, sẽ mua hàng với xác suất bằng p. Gọi X là số
khách đến BigC trong ngày 1/5 và mua hàng. Tìm phân phối xác suất của X và tính E[X]. 39
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
3. Biến ngẫu nhiên liên tục
Bài 2.28. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ k.x−4 : x ≥ 1 . f(x) = 0 : x<1
a. Tìm k và hàm phân phối của X.
b. Tính kì vọng và phương sai của X. 1 c. Xét Y =
. Tính hàm mật độ, kì vọng và phương sai của Y . X
Bài 2.29. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ a + bx2 : x ∈ [0, 1] . f(x) = 0 : ngược lại
Biết rằng kì vọng của X bằng 0, 6.
a. Tìm các hằng số a và b.
b. Tính phương sai của X.
c. Tính xác suất P[0, 25 .
d. Tính kì vọng và phương sai của Y = X2. Bài 2.30. k
Cho biến ngẫu X có hàm mật độ f (x) = ,x ∈ R. ex + e−x
a) Tìm hằng số k. √
b) Tiến hành quan sát X đúng 8 lần. Tính xác suất để có đúng 3 lần X >ln 3. 1 √
c) Phải quan sát X ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1 lần X rơi vào khoảng ln √ ; ln 3 không nhỏ hơn 90%. 3
d) Đặt Y = eX. Tìm hàm mật độ của Y .
kx−32 nếu x ≥ 1 .
Bài 2.31. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: f (x) = 0 nếu x<1
a) Tìm k và hàm phân phối F (x). 1 b) Đặt Y =
. Tìm hàm mật độ của Y . X
Bài 2.32. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) là hàm đối xứng với số a, tức là f(a − x) =
f(a + x) với mọi x ≥ 0. Chứng minh P[X ≥ a] = P[X ≤ a] = 0, 5 và E[X] = a. Bài 2.33. 1
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) =
e−|x|,x ∈ R (Phân phối Laplace). 2
a) Tính P[|X|≤ln 2|X ≤ ln 2].
b) Tính E[X2n],n ∈ N.
c) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = eX − 1.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 40
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
4. Một số phân phối liên tục quan trọng
Bài 2.34. Tính kì vọng và phương sai của các phân phối quan trọng như:
a. Phân phối mũ Exp(λ).
b. Phân phối đều U[a,b].
c. Phân phối chuẩn N (a,σ2).
Bài 2.35. Cho X ∼ U[a,b]. a + b a) Chứng minh: E[X] = (b − a)2 và Var[X] = . 2 12 X − a b) Đặt Y =
. Chứng minh: Y ∼ U[0, 1]. b − a
Bài 2.36. Cho X ∼ U[0, 1].
a) Đặt Y = (b − a) X + a. Chứng minh: Y ∼ U[0, 1].
b) Đặt Z = − ln X. Chứng minh: Z ∼ Exp(1).
Bài 2.37. Chọn biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [0, 1]. 1
a) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = − ln(1 − X). (Sinh phân phối mũ tham số λ>0) λ X
b) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = ln
. (Sinh phân phối Logistic). 1 − X r
. (Sinh phân phối Rayleigh) 1− X
c) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên V = 2 ln
Bài 2.38. Cho biến ngẫu nhiên U có phân phối đều trên [0, 1]. Đặt 1 + U với xác suất 0,5 . X = 1 − U với xác suất 0,5
Chứng minh biến ngẫu nhiên X cũng có phân phối đều.
Bài 2.39. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ Exp(2).
a. Tính xác suất P[1 ≤ X ≤ 5].
b. Tính xác suất P[X >E[X]].
c. Tính giá trị các moment E[Xn] với n ∈ N.
d. Đặt Y = 2X. Xét phân phối của biến ngẫu nhiên Y . Bài 2.40.
a) Chứng minh rằng: nếu X có phân phối mũ tham số λ>0 và c>0 là 1 hằng số thì biến ngẫu nhiên λ
cX có phân phối mũ tham số . c Y
với xác suất p trong đó -Y và Z là các biến ngẫu
b) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X. Giả sử Z với xác suất 1-p X =
nhiên có cùng phân phối mũ tham số λ>0. Xác định hàm phân phối của X. 41
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 2.41. Giả sử tuổi thọ X của một người tuân theo phân phối mũ Exp(λ). Biết rằng trung bình trong
1000 người có 500 người sống trên 60 tuổi.
a. Viết công thức tính xác suất P[X >60]. Từ đó hãy tìm tham số λ.
b. Tính tuổi thọ trung bình.
c. Tính xác suất để một người sống trên 70 tuổi.
d. Biết rằng có người sống trên 60 tuổi, tính xác suất để người này sống trên 70 tuổi.
Bài 2.42. Cho biến ngẫu nhiên chuẩn tắc X ∼N (0, 1). CMR
a. Với n lẻ, E[Xn] = 0. (2k)!
b. Với n = 2k , E[X2k] = 2kk!
c. Đặt Y = µ + σX. CMR: Y ∼N (µ,σ2).
Bài 2.43. Cho biến ngẫu nhiên chuẩn Y ∼N (µ,σ2). Y − µ a. Đặt X =
. CMR: X ∼N (0, 1). σ
b. Tìm α sao cho P[|Y − µ| <ασ] = 95%, biết rằng P[|X| < 1, 96] = 95%.
c. Với α ở trên, tính xác suất P[Y < µ+ ασ] và P[Y > µ− ασ]. Bài 2.44. 1 − Φ(x)
Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N (µ,1). Đặt Y =
ở đó Φ(x) và ϕ(x) lần ϕ(x)
lượt là hàm phân phối và hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N (0, 1). Tính E[Y ].
Bài 2.45. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N (0, 1). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu
nhiên Y = eX. Tính E[Y ],V ar[Y ]. (Phân phối Log- chuẩn).
Bài 2.46. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (0; 4).
a) Tính P[X(X − 1)] > 2.
b) Tìm a>0 để P[X4 >a] = 0, 25.
Bài 2.47. Chỉ số IQ của một người là biến ngẫu nhiên có xấp xỉ phân phối chuẩn N (100; 202).
a) Tính tỷ lệ số người có chỉ số IQ nằm trong khoảng (80,130).
b) Để được tham gia câu lạc bộ thông minh, các ứng cử viên phải có chỉ số IQ nằm trong tốp 1 % đầu
tiên. Xác định IQ thấp nhất được tham gia câu lạc bộ.
Bài 2.48. Chiều cao của nam giới đã trưởng thành là biến ngẫu nhiên X ∼N (163; 25).
a) Tính tỉ lệ nam giới trưởng thành cao từ 160cm đến 170cm.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 nam giới, tìm xác suất để chọn được nam giới cao trên 165cm.
c) Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 5 nam giới thì có ít nhất 1 người cao trên 165cm.
Bài 2.49. Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên An là 1 bnn T (đơn vị là phút) có phân phối chuẩn.
Biết rằng 65% số ngày An đến trường mất hơn 20 phút và 8% số ngày mất hơn 30 phút.
a) Tính thời gian đến trường trung bình của An và độ lệch chuẩn.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 42
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
b) Giả sử An xuất phát từ nhà trước giờ vào học 25 phút. Tính xác suất để An bị muộn học.
Bài 2.50. Chiều cao của 1 loại cây là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Trong 1 mẫu gồm 640 cây có
25 cây thấp hơn 18m và 110 cây cao hơn 24m.
a) Tính chiều cao trung bình của cây và độ lệch chuẩn.
b) Ước lượng số cây có chiều cao trong khoảng từ 16m đến 20m trong 640 cây nói trên. 43
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán LỜI GIẢI CHƯƠNG 2
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Bài 2.1. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất: X 0 1 2 3 4 P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15
a. Tính hàm phân phối, kì vọng và phương sai của X.
b. Tính kì vọng của Y = X2 + 3.
c. Tính hàm phân phối, kì vọng và phương sai của Z = X3 − 4X2 + 10. Giải.
a. Hàm phân phối của X là F (x) = P(X 0 nếu x ≤ 0 0, 1 nếu 0 0, 1 + 0, 2 = 0, 3 nếu 1 = 0, 1 + 0, 2 + 0, 3 = 0, 6
nếu 2 0, 1 + 0, 2 + 0, 3 + 0, 25 == 0, 85 nếu 3 1 nếu x>4 Kỳ vọng của X là
EX = 0.0, 1 + 1.0, 2 + 2.0, 3 + 3.0, 25 + 4.0, 15 = 2, 15. Lại có
EX2 = 02.0, 1 + 12.0, 2 + 22.0, 3 + 32 2 .0, 25 + 4 .0, 15 = 6, 05.
⇒ DX = EX2 − (EX)2 = 6, 05 − (2, 15)2 = 1, 4275.
b. EY = EX2 + 3 = 6, 05 + 3 = 9, 05.. c. Ta có X 0 1 2 3 4 Z 10 7 2 1 10 P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15
Phân phối xác suất của Z là Z 1 2 7 10 P 0,25 0,3 0,2 0,25
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 44
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán Hàm phân phối của X là 0 nếu z ≤ 1 0, 25
nếu 1 F (z) = P(Z 0, 25 + 0, 3 = 0, 55
nếu 2 0, 25 + 0, 3 + 0, 2 = 0, 75 nếu 7 1 nếu z >10 Kỳ vọng của Z là
EZ = 1.0, 25 + 2.0, 3 + 7.0, 2 + 10.0, 25 = 4, 75. Lại có EZ2 = 12.0, 25 + 22.0, 3 + 72 2 .0, 2 + 10 .0, 25 = 36, 25.
⇒ DZ = EZ2 − (EZ)2 = 36, 25 − (4, 75)2 = 13, 6875.
Bài 2.2. Một người có một chùm chìa khóa 7 chiếc giống nhau trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa. Người
đó thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong thì bỏ ra ngoài) cho đến khi mở được cửa. Gọi X là số lần thử cần
thiết. Lập bảng phân phối, tính kì vọng và phương sai của X.
Giải. Phân phối xác suất của X là X 1 2 3 6 2 5 4 2 4 P 2 5 5 = . = . . = 7 21 7 6 21 7 6 5 21 X 4 5 6 P 5 4 3 2 3 5 4 3 2 2 2 5 4 3 2 1 1 . . . = . . . . = . . . . . = 7 6 5 4 21 7 6 5 4 3 21 7 6 5 4 3 21 6 5 4 3 2 1 8 ⇒ EX = 1. + 2. + 3. + 4. + 5. + 6. = . 21 21 21 21 21 21 3 6 5 4 3 2 1 28 ⇒ EX2 = 12. + 22. + 32. + 42. + 52. + 62. = . 21 21 21 21 21 21 3 28 20 ⇒ DX = EX2 − (EX)2 = . 8 2 = 9 − 3 3
Bài 2.3. Trong một trò chơi trúng thưởng, người chơi sẽ đặt tiền vào 1 trong 6 ô được đánh số từ 1 đến 6.
Gieo 3 xúc xắc để xác định giải thưởng. Nếu ô bạn chọn có số trùng với số chấm xuất hiện trên 1, 2 hoặc 3
xúc xắc, bạn sẽ nhân được 1, 2 hoặc 3 lần số tiền đã đặt. Giả sử bạn đặt 6đ cho một lần chơi và X là số tiền
lãi ở mỗi lần chơi. Tìm phân phối xác suất của X và tính EX.
Giải. Ta thấy X có thể nhận các giá trị −6, 6, 12, 18 và 125 75 ; P (X = 6) = C1 5 3 = 216 1 5 2 = 216 P (X = −6) = 6 3 6 6 1 P (X = 12) = C2 1 2 5 15 1 3 = 216 3 = ; P (X = 18) = 6 6 216 6 Từ đó 17 EX = − . 36 45
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
Bài 2.4. Ghi ngẫu nhiên 5 số khác nhau lên 5 tấm thẻ và phát cho 5 người chơi, mỗi người một thẻ. Hai
người chơi sẽ so sánh số trên các thẻ, người nào có số lớn hơn là người thắng. Đầu tiên, người thứ 1 chơi
với người thứ 2. Người thắng chơi tiếp với người thứ 3 và cứ tiếp tục như vậy. Gọi X là số lần người thứ 1
thắng. Tìm phân phối xác suất của X và tính EX.
Giải. X nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4. Ta có 1
P (X = 0) = P (người 1 thua người 2) = 2 1 1 1
P (X = 1) = P (người 1 thắng người 2 và thua người 3) = . = 2 3 6 1 1 1
P (X = 2) = P (người 1 thắng người 2, 3 và thua người 4) = . = 3 4 12 1 1 1
P (X = 3) = P (người 1 thắng người 2, 3, 4 và thua người 5) = . = 4 5 20 1
P (X = 4) = P (người 1 có số cao nhất) = 5 Từ đó 77 EX = . 60
Bài 2.5. Một người chơi trò chơi bằng cách chọn ngẫu nhiên ra 3 quả bóng từ một hộp chứa 3 quả bóng
trắng, 3 quả bóng đỏ và 5 quả bóng đen. Giả sử với mỗi quả bóng trắng chọn ra, ta được 1 điểm và -1 điểm
với mỗi quả bóng đỏ chọn ra. Gọi X là số điểm người chơi nhận được sau khi chọn ra 3 quả bóng.
a) Tìm phân phối xác suất của X.
b) Tìm phân phối xác suất người chơi được k điểm (k = 1, 2, 3), biết rằng người chơi nhận được số điểm dương. Giải. a) Ta có 55 39 15 P (X = 0) = ; P (X = 1) = P (X = −1) = ; P (X = 2) = P (X = −2) = 165 165 165 và 1 P (X = 3) = P (X = −3) = . 165
b) Gọi E là biến cố " người chơi nhận được số điểm dương". Ta có 1
P (E) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 3 Từ P (X = k) P (X = k|E) = suy ra P (E)
P (X = 1|E) = 0.709; P (X = 2|E) = 0.2727 và P (X = 3|E) = 0.01818
Bài 2.6. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số con một cặp vợ chồng dự định sinh cho đến khi có đủ cả trai lẫn
gái. Tìm phân phối xác suất của X và tính EX.
Giải. Hiển nhiên P (X = 0) = P (X = 1) = 0. Với n ≥ 2 thì
P (X = n) = P (A)P (X = n|A) + P (A)P (X = n|A)
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 46