Giải bài tập Xác suất thống kê - Lý thuyết Xác suất | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Giải bài tập Xác suất thống kê - Lý thuyết Xác suất | Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực

36 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Lý thuyết xác suất (MATH 233)

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội

Thông tin:

125 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
1
BÀI T P
XÁC SU T TH NG KÊ
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
2
CHƯƠNG 1: XÁC SU T
1.1.
M t h p có 100 t m th nh nhau c ghi các s t 1 n 100, Rút ng u ư ñư ñ
nhiên hai th r i t theo th t t trái qua ph i. Tính xác su t n ñ ñ
a/ Rút c hai th l p nên m t s có hai ch s . ñư
b/ Rút c hai th l p nên m t s chia h t cho 5. ñư
Gii
a/
A
:“Hai th rút c l p nên m t s có hai ch s ” ñư
( )
2
9
2
100
9.8
0,0073
100.99
A
P A
A
= = ≈
b/
B
: “Hai th rút c l p nên m t s chia h t cho 5” ñư
S chia h t cho 5 t i là 0 ho c 5. có bi n c n cùng ph Đ
B
thích h p v i ta rút
th th hai m t cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 th còn l i t vào v trí âu. Do ó s tr ng h p thu n l i cho là 99.20 ñ ñ ñ ư
( )
2
100
99.20
0,20
P B
A
= =
1.2.
Mt h p có ch a 7 qu c u tr ng và 3 qu c u en cùng kích th c. Rút ñ ư
ngu nhiên cùng m t lúc 4 qu c u. Tính xác su t ñ trong 4 qu c u rút ñưc có
a/ Hai qu c u en. ñ
b/ Ít nh t 2 c u en ñ
c/ Toàn c u tr ng
Gii
Rút ng u nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu c u nên s tr ng h p ng kh ư ñ
năng là
4
10
C
a/
A
:”trong 4 qu c u rút có 2 qu c u en” ñ
( )
2 2
3 7
4
10
.
C C
P A
C
= =
b/
B
:”trong 4 qu c u c rút có ít nh t 2 qu c u en” ñư ñ
( )
2 2 3 1
3 7 3 7
4
10
. .
1
3
C C C C
P B
C
+
= =
c/
C
:”trong 4 qu c u c ch n có toàn c u tr ng” ñư
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
3
( )
4
7
4
10
1
6
C
P C
C
= =
1.3.
Mt h p thu c có 5 ng thu c t t và 3 ng kém ch t l ng. Ch n ng u ư
nhiên l n l t không tr l i 2 ng. Tính xác su t : ư ñ
a/ C hai ng c ch n u t t. ñư ñ
b/ Ch ng c ch n ra u tiên là t t. ñư ñ
c/ trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t.
Gii
Chn ng u nhiên l n l ưt không tr l i 2 trong 8 ng nên các tr ưng hp
ñng kh năng là
2
8
A
.
a/
A
:” C hai c ch n u t t” ng ñư ñ
( )
2
5
2
8
0,357
A
P A
A
= ≈
b/
B
:” Ch c ch n ra u tiên là t t” ng ñư ñ
( )
1 1
3 5
2
8
.
0,268
C C
P B
A
= ≈
c/
C
:” trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t”
( )
2
3
2
8
1 0,893
A
P C
A
= − ≈
1.4.
Mt h p ng 15 qu bóng bàn trong ó có 9 qu m i. L n u ng i ta l y ñ ñ ñ ư
ngu nhiên 3 qu ñ thi ñu, sau ó l i tr vào h p. L n th hai l y ng u nhiên 3 ñ
qu. Tính xác su t ñ c 3 qu l y ra l n sau u m i. ñ
Gii
Đt
A
:” c 3 qu l y ra l n sau u m i” ñ
i
B
:” Trong 3 qu l y ra thi u có ñ ñ
i
qu m i”
{
}
0;1;2;3
i ∈
Ta th y các
{
}
0 1 2 3
; ; ;
B B B B
lp thành nhóm y các bi n c , theo công th c xác ñ ñ
sut toàn ph n
(
)
= + + +
( )
    

= + + + ≈
1.5.
T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ng i ta ch n ng u nhiên ư
5 sinh viên l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t ñ ñ
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
4
a/ BCB g m 3 n và 2 nam,
b/ BCB có ít nh t m t n ,
c/ BCB có ít nh t hai nam và hai n .
Gii
Đt
k
A
: “BCB có k nam sinh viên” (
{
}
0,1,2,3,4,5
k ∈
),
chúng ta có:
5
12 8
5
20
.
C
C
( )
C
k
k
k
P A
−
=
a/ BCB g m 3 n và 2 nam.
Xác sut ph i tính:
3
2
12 8
5
20
.
77
2
323
( )
C
C
P A
C
= =
b/ t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì Đ
5
N A
=
.
Do ñó,
0
5
12 8
5
20
5 5
.
33 613
646 646
( ) ( ) 1 ( )
1
P N P A P A
C
C
C
= = −
= − = − =
c/ t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”. Đ
Do ó, ñ
(
)
(
)
(
)
2 3
P H P A P A
= +
=


 

+ =
1.6.
T m t h p ch a 8 viên bi và 5 viên bi tr i ta l y ng u nhiên 2 ñ ng ngư
ln, m i l i. Tính xác su t l y c n 1 viên bi, không hoàn l ñ ñư
a/ 2 viên bi ; ñ
b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi th hai là bi tr ng.
Gii
Vi
{
}
1, 2 ,
i ∈
ñăt:
i
T
: “viên bi l y ra l n th
i
là bi tr ng”,
i
D
: “viên bi l y ra l n th
i
là bi ”. ñ
a/ t Đ
A
:“ly ñưc 2 viên bi ñ”, chúng ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
8 7
14
13 12 3
1
9
. . /P A P D D P D P D D = ===
b/ t Đ
B
: “l y c hai viên bi khác màu”, chúng ta có: ñư
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
5
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
. / . /
P B P T D D T P T D P DT
P T P D T P D P T D
= + = +
= +
Suy ra:
5 8 8 5 20
13 12 13 12 39
( )P B = + =
c/
2 1 2 1 2
T TT DT
= +
, nên xác su t ph i tính là:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
. / . /
P T P TT P D T
P T P T T P D P D T
= +
= +
suy ra
(
)
5 8 5 5
4
2
13 12 13 12 13
P T
= + =
1.7.
M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ng i, g m 5 nam và 3 n n p ư
ñơn xin d tuyn, và m i ng i u có c hư ñ ơ i c tuyñư n như nhau. Tính xác su t
ñ ư ñư trong 4 ng i c tuyn,
a) có duy nh t m t nam;
b) có ít nh t m t n .
Gii
Đt
: “Có
nam c tuy n trong 4 nhân viên” ñư
 
∈
Gi
: “có duy nh t 1 nam”
( ) ( )
1 3
5 3
1
4
8
.
5
70
= = =
a) Gi
: “có ít nh t 1 n ”
( )
4
5
4
4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
1.8.
M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ng i, g m 5 nam và 3 n n p ư
ñơn xin d tuyn, và m i ng i u có c hư ñ ơ i c tuyñư n như nhau. Tính xác sut
ñ ư ñư trong 4 ng i c tuyn,
a/ có không quá hai nam;
b/ có ba n , bi t r ng có ít nh t m t n ã c tuy n. " ñ ñư
Gii
Đt
: “Có
nam c tuy n trong 4 nhân viên” ñư
 
∈
a/ G i
: “có không quá 2 nam”
( )
1 3 2 2
5 3 5 3
1 2
4
8
. .
1
( ) ( )
2
+
= + = =
b/ G i
: “ch n ra 3 n , bi t r ng có ít nh t 1 n c tuy n”. " ñư
Gi
B
: “Có ít nh t m t n c ch n”. ñư
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
6
Ta có
( )
4
5
4
4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
( )
1
1
( )
1
( | )
( ) 13
= = =
1.9.
M t c a hàng sách c l ng r ng: Trong t ng s các khách hàng n c a # ư ư " $ ñ #
hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách th c hi n c hai u trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính % ñi
xác su t ng i này ñ ư
a/ không th c hi n c hai u trên; % ñi
b/ không mua sách, bi t r i này ã h i nhân viên bán hàng. "ng ngư ñ
Gii
Đt
: “khách hàng c n t v n” ư
: “khách hàng c n mua sách”
Theo ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,3; 0,2; 0,15
= = =

a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách c n t v n là: ũng không c ư
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 15 13
. 1 1 1
10 10 100 20
= + − = − + − − − =

b/ không mua sách, bi t r i này ã h i nhân viên bán hàng. "ng ngư ñ
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 15
1
10 100
/
3
2
10
−
−
= = = =


1.10.
M t cu c u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i ñi '
sn ph m (
, 50% dùng lo i s n ph m (
và trong s nh ng ngưi dùng
, có
36,5% dùng
. Ph ng v n ng u nhiên m t ng i dân trong thành ph ó, tính xác ư ñ
sut ñ ngưi y
a/ Dùng c
và
;
b/ Không dùng
, cũng không dùng
.
Gii
Đt
: “ ng i dân trong thành ph n ph m ư dùng s (
”
: “ ng i dân trong thành ph dùng s n ph m ư (
”
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,207; 0,5; | 0,365
= = =
a) Xác su t ng ưi dân ñó dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
. / 0,5.0,365 0,1825
= = =

b) Xác su t ng ưi dân ñó không dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
(
)
. . 0,4755
= + − =

1.11.
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
7
M t cu c u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i ñi '
sn ph m (
, 50% dùng lo i s n ph m (
và trong s nh ng ngưi dùng
, có
36,5% dùng
. Ph ng v n ng u nhiên m t ng i dân trong thành ph ó, tính xác ư ñ
sut ñ ngưi y
a/ Dùng c
và
;
b/ Dùng
, bi t r ng ng i " ư y không dùng
.
Gii
Đt
: “ ng i dân trong thành ph n ph m ư dùng s (
”
: “ ng i dân trong thành ph dùng s n ph m ư (
”
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,207; 0,5; / 0,365
= = =
a/ Xác su t ng i dân ư ñó dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
. / 0,5.0,365 0,1825
= = =

b/ Xác su t ng i dân ư ñó dùng
, bi t r "ng không dùng
là
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
.
0,5 0,1852
/ 0,404
1 0,207
−
−
= = = =
−
1.12.
Theo m t cu c u tra thì xác su t m t h gia ình có máy vi tính n u ñi ñ ñ
thu nh p hàng n m trên 20 tri u (VN ) là 0,75. Trong s các h c u tra thì ă % Đ ñư ñi
60% có thu nh p trên 20 tri u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t m t h gia % ñ
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nh p hàng n m trên 20 tri u; ă %
b/ có máy vi tính, nh p trên 20 tri u. ưng không có thu nh %
Gii
Đt
: “H gia ình c ch n ng u nhiên có máy vi tính” ñ ñư
: “H gia ình c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng n m trên 20 tri u” ñ ñư ă %
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,52; 0,6; / 0,75
= = =
a/ Xác su t h gia ình c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng n m trên ñ ñ ñư ă
20 tri u là: %
(
)
(
)
(
)
. / 0,6.0,75 0, 45
P AB P B P A B= = =
b/ Xác su t h gia ình c ch n có máy vi tính nh p ít h ñ ñ ñư ưng thu nh ơn 20
tri%u là:
(
)
( ) ( )
0,52 0,45 0,07
= − = − =  
1.13.
Theo m t cu c u tra thì xác su t m t h gia ình có máy vi tính n u ñi ñ ñ
thu nh p hàng n m trên 20 tri u (VN ) là 0,75. Trong s các h c u tra thì ă % Đ ñư ñi
60% có thu nh p trên 20 tri u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t m t h gia % ñ
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nh p hàng n m trên 20 tri u; ă %
b/ Có thu nh p hàng n m trên 20 tri u, bi t r ng h ó không có máy vi ă % " ñ
tính.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
8
Gii
Đt
: “H gia ình c ch n ng u nhiên có máy vi tính” ñ ñư
: “H gia ình c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng n m trên 20 tri u” ñ ñư ă %
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,52; 0,6; / 0,75
= = =
a/ Xác su t h gia ình c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng n m trên ñ ñ ñư ă
20 tri u là: %
(
)
(
)
(
)
. / 0,6.0,75 0, 45
P AB P B P A B= = =
b/ Xác su t h gia ình c ch n có thu nh p hàng n m trên 20 tri u nh ñ ñ ñư ă % ưng
không có máy vi tính là:
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
0,6 0, 45
/ 0,3125
1 0,52
−
−
= = = =
−

1.14.
Trong m t i tuy n có hai v n ng viên A và B thi u. A thi u tr c ñ ñ ñ ñ ư
và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh h ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có ư'
60% kh n ng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh n ng này c a B ch còn 30%. ă ă
Tính xác su t c a các bi n c sau:
a/ i tuyĐ n th ng hai tr n;
b/ i tuyĐ n th ng ít nht mt trn.
Gii
Đt
: “v n ng viên ñ
th ng” v i
{
}
,
∈
Theo bài ta có:ñ
( ) ( )
(
)
0,8; / 0, 6; / 0,3
= = =
a/ Xác su t i tuy n th ng 2 tr n là ñ
(
)
(
)
(
)
. / 0,8.0,6 0,48
= = =
b/ i tuyĐ n th ng ít nh t mt tr n nghĩa là có ít nh t mt trong hai v n ng viên ñ
A, ho c B th ng. Xác su t c n tính là:
(
)
(
)
(
)
(
)
.
0,54 0,8 0,48 0,86
A B B A A B
P M M P M P M P M M
∪ = + −
= + − =
1.15.
Trong m t i tuy n có hai v n ng viên A và B thi u. A thi u tr c ñ ñ ñ ñ ư
và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh h ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có ư'
60% kh n ng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh n ng này c a B ch còn 30%. ă ă
Tính xác su t c a các bi n c sau:
a/ B th ng tr n;
b/ i tuyĐ n ch thng có mt trn.
Gii
Đt
: “v n ng viên ñ
th ng” v i
{
}
,
∈
Theo bài ta có:ñ
( ) ( )
(
)
0,8; / 0, 6; / 0,3
= = =
a/ Xác su t B th ng tr n là:
( ) ( )
(
)
(
)
( ) | . . | 0,54
B A B A A B A
P M P M P M M P M P M M
= + =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
9
b/ t Đ
: “ i tuyñ n ch th ng 1 tr n”
Xác su t i tuy n ch th ng 1 tr n là: ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. . . .
B A
A B A A B B A B
P D P M M P M M P M P M M P M P M M
= + = − + −
(
)
(
)
(
)
2. . 0,8 0,54 2.0,48 0,38
A B A B
P M P M P M M= + − = + − =
`
1.16.
Đ thành l p i tuy n qu c gia v m t môn h c, ng i ta t ch c m t cu c ñ ư $
thi tuy n gm 3 vòng. Vòng th nh t ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ã qua vòng th hai. ñ ñ Đ
vào c i tuy n, thí sinh ph i v t qua c c 3 vòng thi. Tính xác su t ñư ñ ư ñư ñ
mt thí sinh b t k ỳ
a/ c vào i tuy n; Đư ñ
b/ B lo i vòng th ba. '
Gii
Đt
: “thí sinh c ch n vòng ñư '
” v i
{
}
1, 2,3
∈
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
0,8; | 0,7; | 0, 45
= = =
a/ Xác su t thí sinh ó c vào i tuy n là ñ ñ ñư ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 3 1 2
. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252
= = =
b/ Xác su t thí sinh ó b lo i vòng th III là ñ ñ '
(
)
( ) ( )
(
)
3 3
1 2 1 2 1 1 2
. / . /=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
. | . 1 | 0,8.0,7.0,55 0,308
= − = =
1.17.
Đ thành l p i tuy n qu c gia v m t môn h c, ng i ta t ch c m t cu c ñ ư $
thi tuy n gm 3 vòng. Vòng th nh t ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ã qua vòng th hai. ñ ñ Đ
vào c i tuy n, thí sinh ph i v t qua c c 3 vòng thi Tính xác su t ñư ñ ư ñư ñ
mt thí sinh b t k ỳ
a/ Đưc vào i tuy n; ñ
b/ B lo i vòng th hai, bi t r ng thí sinh này b lo i. ' "
Gii
Đt
: “thí sinh c ch n vòng ñư '
” v i
{
}
1, 2,3
∈
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
0,8; | 0,7; | 0, 45
= = =
a/ Xác su t thí sinh ó c vào i tuy n là ñ ñ ñư ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 3 1 2
. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252
= = =
b/ t K: “Thí sinh ó b lo i” Đ ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 3
1 1 2 1 1 1 2 1 2
1= + + = − + − +
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
10
( ) ( )
(
)
3
1 2 1 1 2
1 . / 1 0,8.0,7 0,308 0,748
= − + = − + =
Vy, xác su t thí sinh ó b lo i vòng II, bi t r ng thí sinh ó b lo i là: ñ ñ ' " ñ
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
2
. . . |
0,8 1 0,7
| 0,3209
0,748
−
= = = = =
1.18.
M t lô hàng có 9 s n ph m gi ng nhau. M i l n ki m tra, ng i ta ch n ( ư
ngu nhiên 3 s n ph m; ki m tra xong tr s n ph m l i lô hàng. Tính xác su t ( ( ñ
sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m u c ki m tra. ( ñ ñư
Gii
Chia 9 s n ph m thành 3 nhóm. G i (
: “Ki m tra nhóm
”
{
}
1, 2,3
∈
Đt
:”Sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m u c ki m tra” ( ñ ñư
( )


= = =
1.19.
M t l p h c c a Tr ng i h c AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n ư Đ
sinh viên. S sinh viên quê An Giang chi m t l 40% trong n sinh viên, và ' %
chim t l 60% trong nam sinh viên. %
a)
Chn ng u nhiên m t sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ ch n ñưc m t
sinh viên quê An Giang. N u bi t r ng sinh viên v a ch n quê An ' " '
Giang thì xác su t sinh viên ó là nam b ng bao nhiêu? ñ ñ "
b)
Chn ng u nhiên không hoàn l i hai sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ
có ít nh t m t sinh viên quê An Giang, bi t r ng l p h c có 60 sinh viên. ' "
Gii
a)
Đt :
: “Ch n c sinh viên nam” ñư
( )
2
3
=
: “Ch n c sinh viên n ” ñư
( )
1
3
=
: “Ch n c sinh viên quê An Giang” ñư '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
( ) | |
15
= + = + =
 
Do ó, ñ
( ) ( ) ( | ) 3
( | )
( ) ( ) 4
= = =

b)
Lp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n
S sinh viên Nam quê An Giang: 24 '
S sinh viên N quê An Giang: 8 '
Nên t ng s sinh viên quê An Giang là 32 sinh viên $ '
: “ít nh t m t sinh viên quê An Giang” '
2
28
2
60
232
( ) 1 ( ) 1
295
= − = − =
1.20.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
11
Có ba h p A, B và C ng các l thu c. H p A có 10 l t t và 5 l h ng, ñ
hp B có 6 l t t và 4 l hng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng
a/ L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c, tính xác su t c 3 l ñ ñư
cùng lo i.
b/ L y ng u nhiên m t h p r i t h p ó l y ra 3 l thu c thì c 1 l t t ñ ñư
và 2 l h ng. Tính xác su t h p A ã c ch n. ñ ñ ñư
Gii
a/ và
:“l l y ra t h p th
là t t”
{
}
∈
Nên, xác su t c 3 l cùng lo i ñ ñư

     
+ = +
= + =
b/ t Đ
:“Ly ñưc h p th
”
{
}
∈
;
:“Ly ñưc 2 l h ng và 1 l
tt”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

  


= + +
= + + =
Khi ó xác su t h p A c ch n ñ ñ ñư
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)




= = = =
1.21.
Có hai h p B và C ng các l thu c. H p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C ñ
có 5 l t t và 5 l h ng. L y ng u nhiên hai l thu c t h p B b vào h p C, r i
tip theo l y ng u nhiên m t l thu c t h p C thì ñưc l h ng. Tính xác su t ñ
a/ L h ó là c a h p B b sang; ng ñ
b/ Hai l thu c b t h p B vào h p C u là l h ng. ñ
Gii
Gi
: “Hai l thu c l y t h p B b vào h p C có
l h ng”
{
}
∈
và t ñ
: “l thu c l y t h p C (sau khi ã b 2 l t B b sang) b h ng” ñ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


= + + =
a/ l h ó là c a h p B b sang ng ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
 

   
+
= =
= + =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
12
b/ hai l thu c b t h p B vào h p C u là l h ñ ng
(
)
(
)
(
)
 
 
 
= = = =
1.22.
Trong m t i tuy n có 3 v n ng viên A, B và C thi u v i xác su t ñ ñ ñ
chin th ng l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ng # ưi thi ñu m t tr n ñc l p
nhau.Tính xác su t : ñ
a/ i tuyñ n th ng ít nh t mt tr n,
b/ i tuyñ n thng 2 tr n.
Gii
Đt :
: “v n ng viên A chi n th ng” ñ
(
)
0,6
=
: “v n ng viên B chi n th ñ ng”
(
)
0,7
=
: “v n ng viên C chi n th ñ ng”
(
)
0,8
=
a/ G i
: “ i tuyñ n thng ít nht 1 tr n”
(
)

= − = − =
b/ G i
: “ i tuyñ n th ng 2 trn”
(
)
(
)
(
)

= + + =
1.23.
Trong m t i tuy n có 3 v n ng viên A, B và C thi u v i xác su t ñ ñ ñ
chin th ng l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ng # ưi thi ñu m t tr n ñc l p
nhau.Tính xác su t : ñ
a/ i tuyĐ n thng ít nht mt tr n,
b/ A thua trong tr ng h p i tuyư ñ n thng 2 trn.
Gii
Đt :
: “v n ng viên A chi n th ng” ñ
(
)
0,6
=
: “v n ng viên B chi n th ñ ng”
(
)
0,7
=
: “v n ng viên C chi n th ñ ng”
(
)
0,8
=
a/ G i
: “ i tuyñ n thng ít nht 1 tr n”
(
)

= − = − =
b/ A thua trong tr ng h p i tuyư ñ n thng 2 trn
Gi
: “ i tuyñ n th ng 2 tr n”
(
)
(
)
(
)

= + + =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
13
(
)

  


= = = ≈
1.24.
Trong n m h c v a qua, tr i h c XYZ, t l sinh viên thi tr t ă ' ưng ñ % ư
môn Toán là 34%, thi tr t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr t ư ư
môn Toán, có 50% sinh viên tr t môn Tâm lý. G p ng u nhiên m t sinh viên ư
ca tr ng XYZ. ư
a/ Tính xác su t anh ta tr t c hai môn Toán và Tâm lý; u c hai môn ñ ư ñ
Toán và Tâm lý.
b/ N u bi t r ng sinh viên này tr t môn Tâm lý thì xác su t anh ta u " ư ñ ñ
môn Toán là bao nhiêu?
Gii
: “sinh viên thi tr t môn Toán” ư
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi tr t môn Tâm Lý” ư
(
)
0,205
=
khi ó ñ
( | ) 0,5
=
a/ Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
 
= = =
Xác su t sinh viên u c môn Toán và Tâm Lý ñ
(
)
(
)
(
)
(
)

= − ∪ = − − + =
b/ Xác su t sinh viên u môn Toán, bi t r ng tr t môn Tâm Lý: ñ " ư
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)



−
= = =
.
1.25.
Trong n m h c v a qua, tr i h c XYZ, t l sinh viên thi tr t ă ' ưng ñ % ư
môn Toán là 34%, thi tr t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr t ư ư
môn Toán, có 50% sinh viên tr t môn Tâm lý. Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a ư
trưng XYZ. Nhi u kh n t là s có bao nhiêu sinh viên thi tr ăng nh + ưt c hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác su t t ng ng. ươ
Đáp s
G i
: “sinh viên thi tr t môn Toán” ư
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi tr t môn Tâm Lý” ư
(
)
0,205
=
khi ó ñ
( | ) 0,5
=
Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
 
= = =
Nên, Sinh viên tr t c Toán và Tâm lý v i xác su t không i ư ñ$

=
.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
14
Do ó, ch n 12 sinh viên ngh a là th c hi n 12 phép th Bernoulli v i xác ñ ĩ % #
sut thành công (trưt c Toán và Tâm lý) không ñ$i

=
.s sinh viên nhi u
kh n ng tră ưt c hai môn
(
)

+ = =
.
Xác su t t ng ng là ươ
( ) ( ) ( )
2 10
2
12 12
2 0,17 . 1 0,17 0,296
= − = .
1.26.
Trong n m h c v a qua, tr i h c XYZ, t l sinh viên thi tr t ă ' ưng ñ % ư
môn Toán là 34%, thi tr t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr t ư ư
môn Toán, có 50% sinh viên tr t môn Tâm lý. Ph i ch n bao nhiêu sinh viên ư
ca tr ng XYZ sao cho, v i xác suư t không bé h n 99%, trong s ó có ít nhơ ñ t
mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm lý.
Gii
: “sinh viên thi tr t môn Toán” ư
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi tr t môn Tâm Lý” ư
(
)
0,205
=
khi ó ñ
( | ) 0,5
=
Xác su t sinh viên u c môn Toán và Tâm Lý ñ
(
)
(
)
(
)
(
)

= − ∪ = − − + =
G i
n
là s sinh viên c n ch n. Xác su t sinh viên u c hai môn Toán ñ ñ
và Tâm Lý không i ñ$

=
nên ta có quá trình Bernoulli
(
)
,
B n p
.
Đt
: “ ít nh t m t sinh viên u c hai môn Toán và Tâm Lý ”. ñ
Theo yêu c u bài toán ta c ñư
(
)
(
)
(
)
  
= − = − − ≥
(
)
(
)
      
⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Vy, ch n ít nh t 5 sinh viên.
1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 c a m t xí nghi p s n xu t, theo th t , 60%, 30% và %
10% t ng s s n ph m c a m t xí nghi p. T l s n xu t ra ph ph m c a các máy $ ( % % (
trên, theo th t , là 2%, 3% và 4%. L y ng u nhiên m t s n ph m t lô hàng c a (
xí nghi%p, trong ó l n l n các s n ph m do 3 máy s n xu t. ñ ñ (
a/ Tính xác su t s n ph m l y ra là s n ph m t t. Ý ngh a c a xác ñ ( ( ĩ
sut ó ñ ñi vi lô hàng là gì?
b/ N u s n ph m l y c là ph ph m, thì nhi u kh n t là do ( ñư ( ăng nh
máy nào s n xu t?
Gii
Đt
: “s n ph m l y ra do máy (
s n xu t” v i
{
}
1, 2,3
∈
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0,6; 0,3; 0,1
= = =
Và
:“sn ph m l y ra là ph ph m” ( (
(
)
(
)
(
)
  
= = =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
15
a/
:”sn ph m l y ra là s n ph m t t” ( (
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= + + =
Ý ngh a, xác su t th hi n t l s n ph m t t c a lô hàng. ĩ % % (
b/ Xác su t l y ra s n ph m là ph ph m ( (
(
)
(
)

= − =
Theo công th c Bayes
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)



= = = =
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)



= = = =
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
 


= = = =
Do ó, s n ph m do máy 1 s n xu t ra ph ph m nhi u nh t. ñ ( (
1.28.
Chia ng u nhiên 9 t m vé s , trong ó có 3 vé trúng th ng, u cho 3 ñ ư' ñ
ngưi (m i ng ưi 3 t m). Tính xác su t ñ c 3 ng ưi ñu ñưc trúng thư'ng.
Gii
Đt
: “Ng i mua vé th ư
ñưc vé trúng th ng” v i ư'
{
}
1, 2,3
∈
( ) ( ) ( ) ( )

= = =
1.29.
Trong s các b nh nhân ang c u tr t i m t b n, có 50% u % ñ ñư ñi %nh vi% ñi
tr b nh A, 30% u tr b nh B và 20% u tr b nh C. T i b nh vi n này, xác % ñi % ñi % % %
sut ñ ch a kh i các b nh A, B và C, theo th t , là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t %
l% b c ch a kh i b nh A trong t ng s b nh nhân ã c ch a kh i %nh nhân ñư % $ % ñ ñư
b%nh trong b n. %nh vi%
Gii
Đt
: “b u tr b%nh nhân ñi %nh
” v i
{
}
, ,
∈
: “b c kh i b nh” %nh nhân ñư %
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,5; 0,3; 0, 2
= = =
và
(
)
(
)
(
)
/ 0,7; / 0,8; / 0,9
= = =
Xác su t b nh nhân kh i b nh là ñ % %
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
16
( ) ( ) ( )
. / 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0, 77
=
= = + + =
∑
Xác su t b nh nhân tr kh i b nh A là ñ % %
( )
(
)
(
)
. |
0,5.0,7
| 45,45%
( ) 0,77
= = =
1.30.
Có hai bình nh sau: Bình A ch a 5 bi , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ư ñ
cha 3 bi ñ và 5 bi tr ng. Gieo m t con xúc x c vô t : N u m t 3 ho c m t 5 ư
xut hi n thì ch n ng u nhiên m t bi t bình B; các tr% ưng hp khác thì ch n ng u
nhiên m t bi t bình A. Tính xác su t ch n c viên bi u viên bi tr ñ ñư ñ. N ng
ñư ñc chn, tính xác sut mt 5 ca con xúc xc xut hi%n.
Gii
Đt
: “Gieo con xúc x c c m t 3 ho c m t 5”, ñư ă
=
: “L y t bình ra m t bi là bi ”. Ta có ñ

= + = + =
Gi
: “m t viên bi c ch n là bi tr ng” ñư

= + = + =
Đt
: “gieo con xúc x c c m t 5”. ñư
Xác su t m t 5 xu t hi n, bi t r ng bi c ch n là bi tr ng là % " ñư
( )
(
)
(
)
(
)



= = = =
1.31.
Có hai bình nh sau: Bình A ch a 5 bi , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ư ñ
cha 3 bi ñ và 5 bi tr ng.
L y ng u nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, r i t bình B l y ng u
nhiên 1 viên bi thì c bi . Theo ý b n, viên bi ó v n thu c bình nào? ñư ñ ñ
Gii
Gi
: “ có
k
bi trong 3 viên bi l y t bình A b vào bình B” v i ñ
{
}
0,1, 2,3
∈
Đt
: “L y m t bi t bình B ra là bi ”. ñ
 
 

 
 

  
=
= = + +
+ + =
∑
Đt
: “bi sau cùng l y t bình B”. ñ
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
17


= =
Do ó ñ
(
)
(
)
(
)
(
)

 
  
= = = = >
.
Vy, bi sau cùng nhi u kh n ng nh t là c a bình B. ñ ă
1.32.
Có hai chu ng nuôi th . Chu ng th nh t có 1 con th tr ng và 5 con th
nâu; chu ng th hai có 9 con th tr ng và 1 con th nâu. T m i chu ng b t ng u
nhiên ra m t con nghiên c u. Các con th còn l i c d n vào m t chu ng th ñ ñư
ba. T chu ng th ba này l i b t ng u nhiên ra m t con th . Tính xác su t con ñ
th b t ra sau cùng là m t con th nâu.
Gii
Đt
: “Th b t chu ng 1 ra nghiên c u là th nâu ” '
=
: “Th b t chu ng 2 ra nghiên c u là th nâu” '

=
Gi
: “Th b t chu ng 3 ra nghiên c u là th nâu ” '
(
)
(
)
(
)
(
)
= + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= + +
+ +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= + +
+ +
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
(
)

    
= + + + =
1.33.
Ban giám c m t công ty liên doanh v i n c ngoài ang xem xét kh ñ ư ñ
năng ñình công ca công nhân ñ ñòi t ng l hai nhà máy A và B. Kinh ă ương '
nghi%m cho h bi t cu c ình công nhà máy A và B x y ra l n l t v i xác su t ñ ' ư
0,75 và 0,65. Ngoài ra, h c t r ng n nhà máy B ũng bi " u công nhân ' ñình công
thì có 90% kh n ng nhà máy A ình công ng h . ă ñ công nhân ' ñ
a/ Tính xác su t công nhân c hai nhà máy ình công. ñ ' ñ
b/ N u công nhân nhà máy A ình công thì xác su t công nhân nhà ' ñ ñ '
máy B ình công ng h b ng bao nhiêu? ñ ñ "
Gii
Đt :
: “ Công nhân nhà máy A” ñình công '

=
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
18
: “Công nhân ình công nhà máy B” ñ '
(
)

= =
a/ Xác su t công nhân 2 nhà máy là ñình công '
(
)
(
)
(
)
. | , . , ,


= = =
b/ N u công nhân nhà máy A ình công thì xác su t nhà máy B ' ñ ñ công nhân '
ñình công là
( )
(
)
( )
,
| ,
,



= = =
1.34.
M t nhân viên ki m toán nh n th y 15% các b n cân i thu chi ch ñ a các
sai l m. Trong các b n ch a sai l m, 60% c xem là các giá tr b t th ng so ñư ư
vi các s xu t phát t g c. Trong t t c các b n cân i thu chi thì 20% là nh ñ ng
giá tr b t th ng. N u m t con s m t b ng cân i t ra b t th ng thì xác su t ư ' ñ ư
ñ s y là mt sai lm là bao nhiêu?
Gii
Đt
: “b n cân i thu chi ch a sai l m” ñ

=
: “b n cân i thu chi ch a giá tr b t th ng” ñ ư
(
)
= =
Xác su t 1 con s 1 b ng cân i t ra b t th ng là 1 sai l m: ' ñ ư
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
| ,
,


= = = =
1.35.
M t hãng s n xu t m t lo i t l nh X c tính r ng 80% s ng i ư "ng kho ư
dùng t nh do hãng ng ng l nh có c qu ng cáo t l ñ y s n xu t. Trong s nh ưi
ñ ñc qung cáo, có 30% mua loi t lnh X; 10% không c qung cáo cũng mua
loi t l nh X. Tính xác su t ñ m t ng ưi tiêu dùng ã mua lo i t l nh X mà có ñ
ñc qung cáo.
Gii
Đt
: “ng i ó c qu ng cáo” ư ñ ñ
=
: “ng i ó mua t l nh X” ư ñ
( )
(
)
/ , ; / ,
= =
Trưc tiên tính xác su t ñ ngưi mua t l nh X
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
. / . / ,
= + = + =
Xác su t 1 ng i tiêu dùng ã mua lo i t l nh X mà có c qu ng cáo: ñ ư ñ ñ
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
|
,


= = = =
1.36.
Trên m t b ng cáo, ng i ta m c hai h th èn c l p. H ng qu ư % ng bóng ñ ñ %
thng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh %
năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t ,c là 0,1. Vi c h% ng c a
m i bóng c a m i h th % ng ñưc xem như ñc l p. Tính xác su t ñ
a/ H th ng I b h ng; %
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
19
b/ H th ng II không b h ng. %
Gii
a/ t Đ
:”bóng ñèn th
trong h th ng I bi h ng” %
{
}
∈
.
Xác su t h th ng I b h % ng
(
)

= + + + = − = − =
b/ t Đ
:”bóng ñèn th
trong h th ng II bi h ng” %
{
}
∈
.
Xác su t h th ng II không b h ng %
 
+ + = − = − =
1.37.
Trên m t b ng cáo, ng i ta m c hai h th èn c l p. H ng qu ư % ng bóng ñ ñ %
thng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh %
năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t c là 0,1. Vi c h , % ng c a
m i bóng c a m i h th % ng ñưc xem như ñc l p. Tính xác su t ñ
a/ C hai h th ng b h ng; %
b/ Ch có m t h th ng b h ng. %
Gii
a/ t Đ
: “bóng èn th ñ
trong h th ng I bi h ng” %
{
}
∈
.
và
:”bóng ñèn th
trong h th ng II bi h ng” %
{
}
∈
.
Xác su t h th ng I b h % ng
(
)
 
= + + + = − = − =
Xác su t h th ng II b h ng là: %
(
)

= =
Nên, xác su t c hai h th ng b h ng là %
  

= = =
b/ Xác su t ch có m t h th ng b h % ng

+ = + =
1.38.
M t lô hàng g m r t nhi èn, trong ó có 8% bóng èn x u. M t u bóng ñ ñ ñ
ngưi ñn mua hàng vi qui ñnh: Ch n ng èn em ki m tra và u nhiên 10 bóng ñ ñ
nu có nhi u h n m ơ t bóng ñèn x u thì không nh n lô hàng. Tính xác su t lô ñ
hàng ñưc ch p nh n.
Gii
Vi%c ki m tra 10 bóng èn, ngh a là th c hi n 10 phép th Bernoulli, v ñ ĩ % # i
xác su t “thành công” g u p bóng x

=
(không ñ$i).
Khi ó ñ
(
)
; , , . , , , , ,...,
−
= =


  
(
:s l n thành công trong 10 phép th ) #
Đt
: “nh n lô hàng”
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

  
     
= + = − =
1.39.
Mt nhóm nghiên c u ang nghiên c u v nguy c m t s c t i m t nhà ñ ơ
máy n nguyên t s gây ra s rò r . Nhóm nghiên c u nh n th y các ñi% # + phóng x
loi s c ch có th là: ho ho n, s gãy ñ$ c a v t li u ho c sai l m c a con %
ngưi, và 2 hay nhi u h ơn 2 s c không bao gi cùng x y ra.
Nu có h a ho n thì s rò r phóng x x y ra kho ng 20% s l n. N u có s
gãy c a v t li u thì s rò r phóng x x y ra kho ng 50% s l n, và n u có s ñ$ %
sai l m c a con ng i thì s rò r s x y ra kho ng 10% s l n. Nhóm nghiên c u ư +
cũng tìm c xác su t : Hoñư ñ ho n và s rò r cùng x y ra là 0,0010, phóng x
gãy v t li u và s rò r cùng x y ra là 0,0015, sai l m c a con ng i ñ$ % phóng x ư
và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0012. Tìm xác su t ñ
a/ có ho ho n; có gãy v t li u và có sai l m c a con ng ñ$ % ưi;
b/ có m t s rò r phóng x ;
c/ m t s rò r phóng x c gây ra b i s sai l m c a con ng i. ñư ' ư
Gii
Đt
: “x y ra h a ho n”
: “x y ra gãy ” ñ$
: “x y ra sai l m c a con ng i” ư
: “s rò r ” phóng x
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
 
  
  
= = =
= = =
a/ Xác su t có ho ho n là
( )
(
)
( )
,
|


= =
Xác su t có gãy v t li u là ñ$ %
( )
(
)
( )
,
|


= =
và xác su t sai l m c a con ng i ư
( )
(
)
( )
,
|


= =
b/ Xác su t có s rò r x y ra: phóng x
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
  
  
= + + = + + =
c/ Xác su t m t s rò r c gây ra b i s sai l m c a con ng i là phóng x ñư ' ư
(
)
(
)
 
 

= = =
1.40.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
21
M t a ph ng có t l ng i dân nghi n thu c lá là 30%. Bi t r ng t l ñ ươ % ư % " %
ngưi b viêm h ng trong s ng ưi nghi n thu c lá là 60%, còn t l % % ñó trong s
ngưi không nghi%n thu c lá là 40%. Ch n ng u nhiên m t ng ưi t ña phương
trên.
a/ N u ng i ó b viêm h ng, tính xác su t ng i ó nghi n thu c lá. ư ñ ñ ư ñ %
b/ N u ng i ó không b viêm h ng, tính xác su t ng i ó nghi n ư ñ ñ ư ñ %
thuc lá.
Gii
Đt
: “ng i dân nghi n thu c lá”ư %
(
)
,
=
: “ng i dân b viêm h ng” ư
( )
(
)
| , ; | ,
= =
a/ Tr c tiên ta tính xác su t ng i này viêm hư ư ng
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
. | . | ,
= + = + =
Xác su t ng i nghi n thu c lá n u b viêm h ng là ñ ư %
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
|
,


= = = =
b/ Xác su t ng i nghi n thu c lá n viêm h ng là ñ ư % u không b
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
. |
|
− −
= = = =
−


1.41.
Mt nhà xu t b n g i b n gi i thi u sách m i n 80% gi ng viên c a m t # % ñ
trưng ñi h c. Sau m t th i gian, nhà xu t b n nh n th y: Có 30% gi ng viên
mua sách trong s nh i nh n c b n gi i thi u, và trong s nh ng ng ngư ñư % ng gi
viên không nh ng gi ng n c b n gi i thi u, có 10% mua sách . Tìm t l nhñư % %
viên nh n c b n gi i thi u trong s nh ng ng i mua sách. ñư % ư
Gii
Đt
: “gi ng viên nh n c b n gi i thi u sách m i” ñư %
(
)
,
=
: “gi ng viên mua sách”
( )
(
)
| , ; | ,
= =
Trưc h t ta tính xác su t ñ gi ng viên mua sách
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

 = + = + =
Nên, xác su t gi ng viên nh n c b n gi i thi u trong s nh ng ng i mua ñ ñư % ư
sách:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
/
,


= = = =
1.42.
Nhà tr ng mu n ch n m t s h c sinh t m t t g m 7 nam sinh và 6 ư $
n.sinh. L n u ch ñ n ng u nhiên 2 h c sinh; sau ó, ch n ti p 1 h c sinh n a. ñ
a/ Tính xác su t h c sinh c ch n l n sau là nam sinh. ñ ñư
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
22
b/ Bi t r ng h c sinh c ch n l n sau là n sinh, tính xác su t c hai " ñư ñ
hc sinh c ch n l n u u là nam sinh. ñư ñ ñ
Gii
a/ G i
: “ch n
hc sinh nam trong 2 h c sinh l n u” ñ
{
}

∈
  
= = =
:”hc sinh ñưc ch n sau cùng là nam”
(
)
  
   
= + +
= + + =
b/ Xác su t h c sinh ch n l n sau cùng là n là
( )

= =
nên xác su t 2 h c sinh c ch n l n u là nam: ñ ñư ñ
( )
( )
 



= = =
1.43.
S li u th ng kê v b nh lao ph i t i m t a ph t: Có 15% s % % $ ñ ương cho bi
ngưi làm ngh ñ,c á (LNñ ĐĐ) và b lao ph i; có 50% s ng $ ưi không LNĐĐ và
không b ng không b lao ph i; có 25% s ng i LN nh$ ư ĐĐ ư lao ph i. Ngoài ra, t $
l% nh i không LN nh ng bng ngư ĐĐ ư lao ph i là 10%. Chúng ta có th k t lu n $
gì v m i quan h gi a ngh c á và b nh lao ph i? % ñ, ñ % $
Gii
Đt
: “làm ngh c á” ñ, ñ
: “b lao ph i” $
Theo s li u bài ta có: % ñ
(
)
  

= = = =
Khi ó, ñ
(
)
 

= + = + =
và
(
)
 

= + = + =
D- th y
(
)
(
)
 

= ≠ =
do ó b nh lao ph i có liên quan ñ % $
ñ ñ,n ngh c ñá. Xét
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)



= = = =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
23
Ta th y
(
)
(
)
≈
. Ch ng t r ng, xác su t ng i b lao ph i khi " ư $
ngưi ó làm nghñ ñ,c á cao g n g p hai l n xác su t ngñ ưi b lao ph i nh $ ưng
ngưi ó không làm nghñ ñ,c á. ñ
1.44.
Gi s m t xét nghi m X cho k t qu d ng tính (+) i v i nh ng ng i # % ươ ñ ư
nhi-m HIV v i xác su t 95% và cho k t qu (+) i v i nh m ñ ng ngưi không nhi-
HIV v i xác su t 1%. M t ng i n t a ph ng có t l nhi m HIV là 1% ư ñ ñ ươ % -
ñư ñ ưc làm xét nghi%m X và cho kt qu (+). Tính xác sut ng i này thc s
nhi-m HIV.
Gii
Đt
: “Ng i b nhi m HIV n t a ph ng” ư - ñ ñ ươ
(
)

=
: “ng i n t a ph ng làm xét nghi m X cho k t qu d ng tính v i ư ñ ñ ươ % ươ
HIV”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
    
= + = + =
Xác su t ng i n t a ph ng có t l 1% c xét nghi m và cho k t qu ñ ư ñ ñ ươ % ñư %
dương tính là
   
 
= = =
1.45.
M t h p ch a 15 l thu c, trong ó có 6 l h ng. L y l n l t t ng l ñ ư
không hoàn li ki m tra, cho n khi g p 3 l h ng thì d ng. ñ ñ
a/ Tính xác su t vi c ki m tra d ng l i l th ba; l th sáu ñ % ' '
b/ N u vi c ki m tra d ng l i l th sáu, tính xác su t l c ki m % ' ñ ñư
ra u tiên là l h ng. ñ
Gii
Đt
:” l n ki m tra th
ñưc l h ng”
a/ Xác su t vi c ki m tra d ng l i l th ba ñ % '
( )
   
= =
Đt
:” ki m tra liên ti p 5 l n c 2 l h ng và 3 t t” ñư
 

 
= = = =
:”kim tra d ng l i ' l th sáu”
( )


= = =
b/ Vi c ki m tra d ng l i l th sáu, xác su t l c ki m ra u tiên là l % ' ñ ñư ñ
hng.
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
24

 

 

= = ≈
1.46.
T m t lô hàng có r t nhi u quy n v v' i t l% v h' ng là 5%, ng i ta ư
chn ng u nhiên t ng quy n v ki' ñ m tra.
a/ H i ph i ki m tra ít nh t bao nhiêu quy n v xác su' ñ t có ít nh t mt
quyn v' ơ hng không bé h n 90% ?
b/ Gi s vi c ki m tra s d ng l i khi phát hi n 3 quy n v h ng. Tính # % + % '
xác su t vi c ki m tra d ng l i l n ki m tra th 10, ñ % '
Gii
Gi
là xác su t v h ng trong m i lô hàng. '

=
và g i
là s
quy n v' c n kim tra. Ta có dãy phép th Bernoulli v i xác su t thành công (v # '
hng) là 0,05. Do ó, ñ
(
)

a/ t Đ
: “ít nh t m t quy n v h ng” '
(
)
(
)
  
= − = − ≥ ⇔ ≥
Nên ph i ki m tra ít nh t 45 quy n v . '
b/ Vi c ki m tra phát hi n 3 quy n v h ng suy ra 9 l n ki m tra u phát hi n 2 % % ' ñ %
quy n v' hng và l n th 10 phi là v' hng.
Đt
:”kim tra d ng l i l n th 10”
(
)
(
)
(
)
      
= = =
.
1.47.
H p th nh t có 8 s n ph m lo i (
và 2 s n ph m lo i (
; h p th hai có 5
sn ph m lo i (
và 3 s n ph m lo i (
. Ly ng u nhiên t m i h p ra 2 s n ph m. (
a/ Tính xác su t c 3 s n ph m lo i ñ ñư (
;
b/ Gi s l y c m t s n ph m lo i # ñư (
và 3 s n ph m lo i (
. Nhi u
kh n ng là s n ph m lo i ă (
thu c h p nào? T i sao?
Gii
Ly ng u nhiên t m i h p ra 2 sp v i
{
}
∈
và
{
}
∈
Đt
:” l y c ñư
sp lo i
t h p th nh t”
:” l y c ñư
sp lo i
t h p th hai”
a/
: “l y c 3 sp lo i ñư
và 1 sp lo i
”
( ) ( ) ( )
 


= + = + =
b/ G i
(
)
(
)
ln l t là xác su t sp lo i ư ñ
thu c h p th nh t và h p
th hai
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
25
Ta có
( )
( )
( )

 

= = =
( )
( )
( )


 

= = =
Ta th y
(
)
(
)
<
nên sp lo i
nhi u kh n ng thu c h p th hai. ă
1.48.
H p th nh t có 8 s n ph m lo i (
và 2 s n ph m lo i (
; h p th hai có 5
sn ph m lo i (
và 3 s n ph m lo i (
. Ly ng u nhiên m t h p, r i l y ng u
nhiên t ó ra 4 s n ph m. ñ (
a/ Tính xác su t c 3 s n ph m lo i ñ ñư (
;
b/ Gi s l y c m t s n ph m lo i # ñư (
và 3 s n ph m lo i (
. Nhi u
kh n ng là s n ph m lo i ă (
thu c h p nào? T i sao?
Gii
a/ L y ng u nhiên ra 1 h p, r i l y ng u nhiên t ó ra 4 sp ñ
Đt
:” l y c h p th ñư
”,
{
}
∈
suy ra
( ) ( )
= =
gi
:” l y c 3 sp lo i ñư
và 1 sp lo i
”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= +


 
= + = + =
b/ G i
(
)
(
)
ln l t là xác su t sp lo i ư ñ
thu c h p th nh t và h p
th hai
Ta có
( )
( ) ( )
( )


 

= = =
( )
( ) ( )
( )

 

= = =
Thy
(
)
(
)
>
nên sp lo i
nhi u kh n ng thu c h p th nh t. ă
1.49.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
26
M t nhà máy s n xu t linh ki n n t v i 96% s n ph m có ch t l % ñi% # ( ưng
cao. M t qui trình ki m tra ch t l ng s n ph m có c m: 2% s n ph m có ư ( ñ ñi (
cht lưng cao l i không ñưc công nh n và 5% s n ph m không có ch t l ( ưng
cao l i c công nh n. Hãy tính xác su t sau khi ki m tra, m t s n ph m ñư ñ (
ñư ư ưc công nhn có cht l ng cao ñúng là sn ph(m có cht l ng cao.
Gii
G i
: “sp ch t l ng cao” và ư
: “sp c công nh n” ñư
(
)
=
,
(
)

=
và
(
)

=
Ta có
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

−
= = =
suy ra
(
)


=
.
Li có
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)


−
= = =
suy ra
(
)

=
Xs 1 sp ó c công nh n ch t l ng cao úng là sp ch t l ng cao là ñ ñ ñư ư ñ ư
( )
(
)
(
)




= = =
1.50.
Gi s b n em giao m t lô hàng, r t nhi u s n ph m, mà b n bi t r # ñ ( "ng nó
có t l ph ph m là 10%. Ng i nh ngh l y ng u nhiên 6 s n ph m % ( ư n hàng ñ ( ñ
kim tra, và n u có quá
ph ph m thì không nh n lô hàng. B n ngh ( ñ
b"ng
bao nhiêu v a thuy t ph c c ng i nh n, v a hy v ng kh n ng lô hàng ñ , ñư ư ă
không b t ch i ít nh t là 95%?
Gii
T l ph ph m là % (
=
Vi%c l y ng u nhiên 6 sp ñ ki m tra ngh a là th c hi n 6 phép th ĩ % #
Bernoulli v i xs thành công (g p ph ph m) (
=
(không ñ$i). Ta c ñư
(
)
 
−
=
Nhn xét:
(
)
(
)

+ <
và
(
)
(
)
(
)
 
+ + = >
nên theo yêu c u bài toán
=
.
1.51.
M t khu dân c A có t l m c b nh B là 30%. ư % %
a/ Trong m t t u tra, ng i ta ch n ng u nhiên 10 ng i. Tính xác su t ñ ñi ư ư
trong ó có nhi u nh t ba ng i m c b nh B. ñ ư %
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
27
b/ c bi t trong khu v c ó có 60% dân s có chích ng a b nh B. T l Đư ñ % . %
ngưi kháng b nh B % ñi vi ngưi ñưc chích ng a là 95%. Còn t . l kháng b nh % %
B i v i ng i không chích ng a là 20%. Ch n ng u nhiên m t ng i th y ng i ñ ư ư ư
này không mc b nh B. Tính xác su t ng i này có chích ng a. % ư
Gii
Gi
: “Ng i c ch n m c b nh B” ư ñư %
(
)
=
.
Chn ng u nhiên 10 ng ưi là th c hi n 10 phép th Bernuolli v % # i xác su t thành
công (m c b nh B) %
(
)
=
(không ñ$i). Ta có
(
)

 
 
−
=
.
a/ Xác su t trong ó có nhi u nh t ba ng i m c b nh B ñ ư %
(
)
(
)
(
)
(
)
   

    
+ + + =
= + + + =
b/
:” chích ng a b nh B” %
(
)
=
(
)

= và
(
)
=
Xác su t ch n ng u nhiên m t ng i th y ng i này không m c b nh B: ư ư %
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= + =
xác su t ng i này có chích ng a: ư
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = = .
1.52.
T l s n xu t ra ph ph m c a m t máy là 8%. Kh o sát m t lô hàng g m 75 % (
sn ph m do máy ó s n xu t ra. ( ñ
a/ Tính xác su t trong lô hàng, có 10 ph ph m ñ (
b/ Trong lô hàng, nhi u kh n ng nh t là có bao nhiêu ph ph m? Tính xác ă (
sut tương ng.
Gii
Nu xem vi c máy s n xu t ra m t s n ph m là m t phép th Bernoulli, v i % ( #
xác su t cho “thành công” là
0,08
p
=
, thì khi máy ó s n xu t 75 s n ph m, nó ñ (
ñã
thc hi n quá trình %
(
)
75
;0,08
P k
a/ Xác su t ph i tính:
10 10 65
75 75
10 0 08 0 92 0 03941
P C= =
b/ S ph ph m nhi u kh n ng nh t trong lô hàng là: ( ă
(
)
75 1 .0,08 6
+
=
vi xác su t t ng: ương
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
28
6 6 69
75 75
(6) (0,08) .(0,92) 0,16745
P C
= =
1.53.
Ngưi ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lô h t gi ng có t l %
ht lép là 3% nghiên cñ u. Hi ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho xác su t
ñ ơ có ít nht mt ht lép không bé h n 95% ?.
Gii
Gi
n
là s h t ph i l y, chúng ta có
(
)
;0,03
n
P k
. Xác su t có ít nh t m t h t ñ
lép là
( )
1 1 0,03 1 0,97
( )
n
n
− − = −
.
Theo gi thi t, chúng ta có:
( ) ( )
1 0,97 0,95 0,97 0,05
ln 0,05
98,3523
ln 0,97
n n
n
− ≥ ⇔ ≤ =⇔ ≥
Vy, ph i l y ít nh t 99 h t gi ng.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
29
CHƯƠNG 2: BI N NG U NHIÊN
2.1.
Có ba h p
và
ñng các l thuc. Hp
có 10 l t t và 5 l h ng,
hp
có 6 l t t và 4 l h ng, h p
có 5 l t t và 7 l h ng. L y ng u nhiên t
m i h p ra m t l thu c.
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s l thu c t t trong 3 l l y ra.
b/ Tìm xác su t c ít nh t 2 l t c 3 l cùng lo i. ñ ñư t; ñư
Gii
Gi
là bi n ng u nhiên ch s l thu c t t trong 3 l l y ra
{
}

=
a)
: “ l thu c l y ra t h p th
là l t
t
”.
( )
(
)
(
)
(
)

= = = =
( )


= = + + =
( )


= = + + =
( ) ( ) ( ) ( )
= = = =
Bng phân phi xác su t c a
0 1 2 3
(
)





b) Xác su t ñ ñưc ít nh t 2 l t t
( ) ( ) ( )


≥ = = + = =
Xác su t c 3 l cùng lo ñư i
( ) ( )


= + = =
2.2.
Trong m t i tuy n, 3 v n ng viên ñ ñ
và
thi u v i xác xu t thñ ng
trn c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñt thi ñu, m i v n ñng
viên thi u m t tr n c l p nhau. ñ ñ
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a i tuy n. ñ
b/ Tính xác su t i tuy ñ ñ n thua nhi u nht mt tr n. Tính xác su t ñ
ñi tuy n th ng ít nht mt tr n.
Gii
a/ G i
là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a i tuy n. ñ
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
30
{
}

=
Gi
: “V n ng viên ñ
th ng”
: “V n ng viên ñ
th ng”
: “V n ng viên ñ
th ng”
Ta có
(
)
(
)
   
= = = = =
(
)

= = + + =
(
)

= = + + =
(
)
(
)
 
= = = =
Bng phân phi xác su t
:
0 1 2 3
(
)




b/ Xác su t i tuy ñ ñ n thua nhi u nht mt trn:
(
)
(
)
(
)

≥ = = + = =
Xác su t i tuy n th ng ít nh t m t tr n : ñ ñ
(
)
(
)

≥ = − = =
2.3.
Trong m t i tuy n, 3 v n ng viên ñ ñ
và
thi u v i xác xu t thñ ng
trn c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñt thi ñu, m i v n ñng
viên thi u m t tr n c l p nhau. ñ ñ
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a i tuy n. ñ
b/ Sau t thi u, i tuy n có hai tr n th ng; tính xác su t A thua ñ ñ ñ ñ
trn.
Gii
a/ G i
là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a i tuy n. ñ
{
}

=
Gi
: “V n ng viên ñ
th ng”;
: “V n ng viên ñ
th ng”;
: “V n ng viên ñ
th ng”
Ta có
(
)
(
)
   
= = = = =
(
)

= = + + =
(
)

= = + + =
(
)
(
)
 
= = = =
Bng phân phi xác su t
:
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
31
0 1 2 3
(
)




b/ Xác su t ñ
thua tr n, bi t r i tuy n có hai tr n th "ng ñ ng
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
 
 
=
= = = = =
= =
2.4.
Trong m t i tuy n, 3 v n ng viên ñ ñ
và
thi u v i xác xu t thñ ng
trn c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñt thi ñu, m i v n ñng
viên thi u m t tr n c l p nhau. ñ ñ
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a i tuy n. ñ
b/ Tính s tr n th ng trung bình và ph ng sai c a s tr n th ng c a i ươ ñ
tuyn.
Gii
a/ G i
là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a i tuy n. ñ
{
}

=
Gi
: “V n ng viên ñ
th ng”;
: “V n ng viên ñ
th ng”;
: “V n ng viên ñ
th ng”
Ta có
(
)
(
)
   
= = = = =
(
)

= = + + =
(
)

= = + + =
(
)
(
)
 
= = = =
Bng phân phi xác su t
:
0 1 2 3
(
)




b/ S tr n th ng trung bình
    
= + + + =
và ph ng sai c a s tr n th ng c a i tuy n ươ ñ
(
)
(
)
(
)

= − =
Trong ó, ñ
(
)
     
= + + + = .
2.5.
Mt c s s n xu t các bao k o. S k o trong m i bao là m t bi n ng u ơ ' / /
nhiên có phân ph i xác su t nh sau: ư
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
32
S k o trong bao/
18 19 20 21 22
Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm trung bình và ph ng sai c a s viên k o trong m i bao. ươ /
b/ Chi phí s n xu t c a m bao k o là 3X + 16, trong ó X là bi n ng u / ñ
nhiên ch s k o trong bao. Ti n bán m i bao k o là 100$. Không phân bi t s k o / / % /
trong bao. Tìm l i nhu n trung bình và l ch chu n c a l i nhu n cho m i bao ñ % (
k/o.
Gii
Gi
là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao. /
a/ Trung bình và ph ng sai c a s viên k o trong m i bao : ươ /
( ) ( )


 
=
= = =
∑
và ph ng sai c a s viên k o trong m i bao: ươ /
(
)
(
)
(
)

= − =
b/ G i
là bi n ng u nhiên ch l i nhu n cho m i bao k o. Ta có: /

= −
li nhu n trung bình
(
)
(
)
(
)
   
= − = − =
và l ch chu n c a l i nhu n cho m i bao k o ñ % ( /
(
)
(
)
(
)
(
)
 
σ = = − = =
2.6.
Mt c s s n xu t các bao k o. S k o trong m i bao là m t bi n ng u ơ ' / /
nhiên có phân ph i xác su t nh sau: ư
S k o trong bao/
18 19 20 21 22
Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm xác su t m t bao k o c ch n ng u nhiên s ch a t 19 n ñ / ñư + ñ
21 viên k o. /
b/ Hai bao k o c ch n ng u nhiên. Tính xác su t ít nh t m t trong / ñư ñ
hai bao ch a ít nh t 20 viên k o. /
Gii
Gi
là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao. /
a/ Xác su t bao c ch n ng u nhiên có t 19 n 21 viên k o: ñ ñư ñ /
(
)
(
)
(
)
     
≤ ≤ = = + = + = =
b/ t Đ
: “Bao ch a ít nh t 20 viên k o” /
(
)
   
= + + =
Xác su t ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k o: ñ /
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
33
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

+ = + = + =
2.7.
Mt h p ng 5 s n ph m, trong ó có hai ph ph m. Ng i ta l n l t ñ ( ñ ( ư ư
kim tra t ng s n ph m (không hoàn l i) cho ( ñn khi g p hai ph ph m thì d ( ng
li. Tìm lu t phân ph i xác su t cho s s n ph m c ki m tra. Tính s l n ki m ( ñư
tra trung bình.
Gii
Goi
là BNN ch s s s n ph m ki m tra. (
{
}
 
=
:“ l n ki m tra l n th
ñưc ph ph (m”.(
=
)
( ) ( ) ( ) ( )

= = = =
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
= + =
Tương t
( ) ( )
 
= = = =
Bng phân phi xác su t
:
2 3 4 5
(
)




S l n ki m tra trung bình:
( ) ( )
=
= = =
∑
2.8.
Mt ng i n 3 máy t ng ho t ông c l p v i nhau. Xác su t ư ñiu khi ñ ñ ñ
b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n l t là 0,1; 0,2 và 0,3. ư
a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ng t t trong m t ca ñ
sn xu t.
b/ Sau s n xu t, ng i n báo r ng su t ca ch có m t máy ho t ư ñiu khi "
ñ ñ ñng tt. Tính xác sut máy hot ng tt ñó là máy mt.
Gii
a/ G i
là BNN ch s máy ho t ng t t trong 1 ca s n xu t. ñ
{
}

=
Đt
“ máy th
b h ng trong 1 ca”. Suy ra,
(
)
(
)
(
)

= = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
  
= = = = =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
34
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = = =
Bng phân phi xác su t c a
:
0 1 2 3
(
)




b/ Xác su t máy ho t ng t t ó là máy m t, bi t r ng su t ca ch có m t máy ñ ñ ñ "
hot ñng t t.
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
 
 
=
= = = = =
= =
2.9.
Mt ng i n 3 máy t ng ho t ông c l p v i nhau. Xác su t ư ñiu khi ñ ñ ñ
b hng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n l t là 0,1; 0,2 và 0,3. ư
a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ng t t trong m t ca ñ
sn xu t.
b/ Trung bình, trong m t ca, có bao nhiêu máy ho t ng t t? Tính ñ ñ
l%ch chu n c a s máy ho t ng t t trong m t ca s n xu t. ( ñ
Gii
a/ G i
là BNN ch s máy ho t ng t t trong 1 ca s n xu t. ñ
{
}

=
Đt
“ máy th
b h ng trong 1 ca”. Suy ra,
(
)
(
)
(
)

= = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
  
= = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = = =
Bng phân phi xác su t c a
:
0 1 2 3
(
)




Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
35
b/ Trung bình s máy ho t ng t t trong m t ca: ñ
(
)
=
và l ch chu n c a s máy ho t ng t t trong m t ca s n xu t ñ % ( ñ
(
)

σ
=
.
2.10.
Mt công ty có 3 t i lý. G i $ng ñ
và
theo th t là kh i l ng hàng ư
bán c trong m t này c a 3 t ng i lý trên (tính b ng t n). Bi t phân ph i xác ñư $ ñ "
sut c a các BNN
và
nh sau: ư
5 6 7 8
(
)
=
0,1
0,3
0,4
0,2
4 5 6 7 8
(
)
=
0,15
0,2
0,4
0,1
0,15
7 8 9 10
(
)
=
0,2
0,3
0,4
0,1
Tính kh i l ng hàng hóa bán c trung bình trong m t tháng (30 ngày) ư ñư
ca công ty trên.
Gii
Trung bình kh i l ng hàng hóa C bán c trong 1 tháng. ư ñư
( ) ( )
 
=
= = =
∑
Trung bình kh i l ưng hàng hóa
bán c trong 1 tháng. ñư
( )
( )
 
=
= = =
∑
Trung bình kh i l ưng hàng hóa
bán c trong 1 tháng. ñư
( ) ( )

 
=
= = =
∑
Nên kh i l ng hàng hóa bán c trung bình trong 1 tháng c a công ty là ư ñư
(
)
(
)
(
)

+ + =
2.11.
Tin hành kh o sát s khách trên m t chuy n xe buýt (SK/1C) ti mt
chuyn giao thông, ngư ñưi ta thu c s liêu sau:
SK/1C 25 30 35 40 45
Xác su t
0,15
0,2
0,3
0,25
0,1
a/ Tính k v ng và l ch chu n c a SK/1C. ỳ ñ % (
b/ Gi s chi phí cho m i chuy n xe buýt là 200 ngàn ng, không ph # ñ ,
thuc vào s khách i trên xe, công ty ph i quy nh giá vé là bao nhiêu có ñ th2 ñ ñ
th thu ñưc s ti n l i trung bình cho m i chuy n xe là 100 ngàn ñng?
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
36
Gii
Gi
là BNN ch s khách trên m t chuy n xe.
{
}
    
=
a/ Kỳ v ng c a SK/1C:
(
)
 
=
Đ l%ch chu(n ca SK/1C.:
(
)
(
)
(
)
(
)

σ
= = − =
b/ G i
là BNN ch s ti n l i cho m i chuy n xe.

= −
trong ó, ñ
(ñng) là s ti n quy nh giá vé. ñ
Yêu c u bài toán,
(
)
(
)
(
)
   
= − = ⇔ = ⇔ ≈
.
Vy, công ty ph i quy nh giá vé là 8,6 ng. ñ ñ
2.12.
Mt ng i tham gia trò ch i gieo 3 ng ti n vô t . Anh ta c 500 n u ư ơ ñ ư ñư ñ
xut hi n 3 m t s p, 300 n u xu t hi n 2 m t s p, và 100 n u ch có m t m t s p % ñ % ñ
xut hi n. M c khác, anh ta m t 900 n u xu t hi n 3 m t ng a. Trò ch% ñ % ơi này có
công b ng v i ng i này không? ( Trò ch i c g i là công b i v i ng i ă ư ơ ñư "ng ñ ư
chơi n u tham gia ch ơi nhi u l n thì trung bình anh ta hòa v n).
Gii
Gi
là bi n ng u nhiên ch s ti n nh n c khi tham gia trò ch i ñư ơ
{
}
  
= −
Đt
:”Gieo l n th
xu t hi n m t s p” %
{
}

∈
( )
(
)
(
)
(
)
(
)

= − = = =
( )
(
)
(
)
(
)
 
= = + + = =
Tương t ,
( )
 
= = = =
Bng phân phi xác su t c a
-900
100
300
500
(
)
Và
(
)

=
nên m i l n ch i anh ta th c 100 y trò ch i không công b ng. ơ ng ñư ñ. V ơ "
2.13.
Mt ng i tham gia trò ch i sau: Gieo m t con xúc x c vô t ba l n c l p ư ơ ư ñ
nhau. N u xu t hiên “ m t 1” c 3 l n thì c th ng 6 ngàn ng; n u xu t hi n ñư ư' ñ %
“ m t 1” 2 l n thì c th ng; xu t hi n “m t 1” 1 l n thì c ñư ư'ng 4 ngàn ñ % ñư
thư'n 2 ngàn ñng; khi không có “mt 1” nào xu t hi n thì không % ñưc thư'ng.
M i l n tham gia trò ch i, ng i ch i ph i ơ ư ơ ñóng
ngàn nh ñng. Hãy ñ
ñ trò
chơi công b ng. "
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
37
Gii
Gi
là BNN ch s ti n còn l i sau m i l n tham gia trò ch i. ơ
{
}

= − − −
Ta có

= − = =
;
  
= − = =
  
= − = =
;
= =
Bng phân phi xác su t c a
−
−
−
(
)


và
( ) ( )

= −
.
Trò ch i công b ng ơ "
(
)
= ⇔ − = ⇔ =
.
Vy, m i l n ch i ng i tham gia ng thì trò ch i công b ng. ơ ư ñóng 1 ngàn ñ ơ "
2.14.
Theo th ng kê dân s , xác su t m t ng i tu i 40 s s ng thêm 1 ñ ư ' ñ $ +
năm n a là 0,995. M t công ty b o hi m nhân th bán b o hi m m t n m cho ă
nhng ngưi ' ñ tu i ó là 10 ngàn, và trong tr$ ñ ưng hp ngưi mua b o hi m b
cht thì s ti n b i th ưng là 1 tri u. H i l% i nhu n trung bình c a công ty khi bán
m i th b o hi m là boa nhiêu?
Gii
Gi
là BNN ch l i nhu n c a công ty khi bán m i th b o hi m.
{
}
 
= −
Bng phân phi xác su t c a

−

(
)


và
(
)
=
.
Vy, trung bình công ty l i 5 ngàn ng khi bán 1 th b o hi m. ñ
2.15.
S l ng xe ô tô mà m t i lý bán c trong m t tu n là m t BNN có ư ñ ñư
phân phi xác su t nh sau: ư
S xe bán c 0 1 2 3 4 5 ñư
Xác su t t ng ươ ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a/ Tính xác su t i lý ó bán c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n. ñ ñ ñ ñư
Tính kỳ v ng và ph ng sai c a s xe mà i lý bán c trong m t n m. ươ ñ ñư ă
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
38
b/ Gi s chi phí cho ho t ng c a i lý b ng c n b c hai c a s xe bán # ñ ñ " ă
ñư ñ ñ ñc v i 5 (tri%u ng). Tìm chi phí cho hot ng trung bình cho hot ng ca
ñi lý trong mt tun.
Gi
X
là BNN s xe bán ra trong 1 tu n.
a/ Xác su t i lý ó bán c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n ñ ñ ñ ñư
(
)
(
)
(
)
3 1 4 5 0,6
P X P X P X≤ = − = − = =
Kỳ v ng và ph ng sai c a s xe mà i lý bán c trong m t n m. ươ ñ ñư ă
(
)
(
)
2,8; 2,16
E X D X= =
b/ G i là chi phí cho ho t ng c a i lý trong 1 tu n ñ ñ
5
Y X
= +
Nên chi phí cho ho t ng trung bình cho ho t ng c a i lý trong m t tu n ñ ñ ñ
( )
(
)
5 6,55
E Y E X
= + =
2.16.
Cho hàm
[
]
[ ]
2 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
a/ Ch ng t
( )
f x
là hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c ñ ,
X
.
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t
( )
F x
c a
X
c/ Tính xác su t
1
0
2
P X
< <
.
Gii
a/
( ) 0,f x x
≥ ∀ ∈
và
1
2
0
1
( ) 2 1
0
f x dx xdx x
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
. Do ó, ñ
( )
f x
là hàm m t xác ñ
sut c a m t bi n ng u nhiên liên t c ,
X
.
b/
( )
2
0 , 0
( ) ,0 1
1 , 1
x
x
F x f t dt x x
x
−∞
≤
= = < ≤
>
∫
c/
1
2
0
1 1
0 2
2 4
P X xdx
< < = =
∫
.
2.17.
Cho hàm
3
2
, 1
( )
0 , 1
x
f x
x
x
>
=
≤
a/ Ch ng t
( )
f x
là hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c ñ ,
X
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t
( )
F x
ca
X
.
c/ Tính xác su t
(
)
0 3
P X
< <
Gii
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
39
a/
( ) 0,f x x
≥ ∀ ∈
và
3 2
1
2 1
( ) 2 lim 1
12
b
b
f x dx dx
x x
+∞ +∞
→+∞
−∞
= = − =
∫ ∫
. Do ó, ñ
( )
f x
là
hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c ñ ,
X
.
b/
( )
2
0 , 1
1
( ) 1 ,1
1 ,
x
x
F x f t dt x
x
x
−∞
≤
= = − < < +∞
= +∞
∫
c/
( )
3
0
8
0 3 ( )
9
P X f x dx
< < = =
∫
.
2.18.
Cho hàm
3
, 1
( )
0 , 1
a
x
f x
x
x
>
=
≤
(
a
là h ng s ) "
a/ Tìm
a
ñ
( )
f x
là hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c ñ ,
X
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t
( )
F x
ca
X
.
Gii
a/
, ( ) 0 0
x R f x a
∀ ∈ ≥ ⇔ ≥
và
3 2
1
1
( ) lim
1
2 2
b
b
a a
f x dx dx a
x x
+∞ +∞
→+∞
−∞
= = − =
∫ ∫
. Do ó, ñ
( )
f x
là hàm m t xác su t c a ñ
mt bi n ng u nhiên liên t c ,
X
khi và ch khi
0
2
1
2
a
a
a
≥
⇔ =
=
.
b/
( )
2
0 , 1
1
( ) 1 ,1
1 ,
x
x
F x f t dt x
x
x
−∞
≤
= = − < < +∞
= +∞
∫
2.19.
Cho
X
là bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t , ñ
[
]
[ ]
2 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
Tìm kỳ v ng và ph ng sai c a ươ
X
.
Gii
( )
1
2
0
2
( ) 2
3
E X xf x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
( )
1
2 2 3
0
1
( ) 2
2
E X x f x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
do ñó,
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
40
( )
( )
( )
( )
2
2
1 4 1
2 9 18
D X E X E X= − = − =
2.20.
Cho
X
là bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t , ñ
[
]
[ ]
2
3 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
Tìm kỳ v ng và ph ng sai c a ươ
X
.
Gii
( )
1
2
0
3
( ) 3
4
E X xf x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
( )
1
2 2 4
0
3
( ) 3
5
E X x f x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
do ñó,
( )
( )
( )
( )
2
2
3 9 3
5 16 80
D X E X E X= − = − =
.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
41
Chương 3: M T S PHÂN PH I TH NG DÙNG Ư
3.1.
Mt ki n hàng có 10 s n ph m, trong ó có 8 s n ph m lo i A. L y ng u % ( ñ (
nhiên 2 s n ph m. t ( Đ
X
là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A có trong các (
sn ph m l y ra. Tìm lu t phân ph i xác su t c a (
X
. Tính
(
)
(
)
,
E X D X
.
Gii
Gi
X
là BNN ch s s n ph m lo i A trong các s n ph m l y ra l n th nh t. ( (
{
}
Im 0;1;2
X
=
Ta có
(
)
~ 10;8;2
X H
ta có
2
8 2
2
10
.
( ) ; 0,8
k k
C C M
P X k p
C N
−
= = = =
Nên
( ) ( ) ( )
1,6; 1 .
1 225
N n
E X np D X np p
N
−
= = = − =
−
3.2.
Có 2 ki n hàng, ki n th nh t và ki n th 2. Bi t r ng, ki n th hai có 8 s n % % % " %
ph(m, trong ó có 5 s n ph m lo n ñ ( i A. L ñu, l y ng u nhiên 2 s n ph m ( ' ki n %
th nh t b vào ki n th hai, sau ó l y ng u nhiên t ki n th hai ra 2 s n ph m. % ñ % (
Đt
X
và
Y
l n l t là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A có trong các s n ư (
ph(m l y ra l n th nh t và l n th hai. Bi t r ng b ng phân ph i xác su t c a ' "
0 1 2
(
)





Tìm lu t phân ph i xác su t c a
Y
; tính
(
)
E Y
và
(
)
D Y
.
Bài gi i
Gi
Y
là BNN ch s s n ph m lo i A trong các s n ph m l y ra l n th hai. ( (
{
}
Im 0;1;2
Y
=
Ta th y
( ) ( ) ( )
1 16 28
0 ; 1 ; 2
45 45 45
P X P X P X= = = = = =
Trong ó, ñ
( ) ( ) ( )
0 2
5 5
2
10
.
10 6 3
0 | 0 ; 0 | 1 ; 0 | 2
45 45 45
C C
P Y X P Y X P Y X
C
= = = = = = = = = =
Mt khác
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
42
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
0 0 . 0 | 0 1 . 0 | 1
190
2 . 0 | 2
2025
P Y P X P Y X P X P Y X
P X P Y X
= = = = = + = = =
+ = = = =
Tương t
( ) ( )
997 838
1 ; 2
2025 2025
P Y P Y= = = =
.
Bng phân phi xác su t c a
Y
Y
0 1 2
(
)
P Y
190
2025
997
2025
838
2025
Nên
( ) ( )
2673
1,32; 0,40525.
2025
E Y D X= = =
3.3.
Mt ki n hàng ch a 8 s n ph m, trong ó có 3 s n ph m x u và 5 s n ph m % ( ñ ( (
tt. L y ng u nhiên t ki n hàng ra 4 s n ph i). % (m (không hoàn l
a/ Hãy l p b ng phân ph i xác su t cho s s n ph m x u có trong 4 s n (
ph(m l y ra, và tính xác su t trong ó có ít nh t 2 s n ph m t t. ñ ñ (
b/ em 4 s n ph m v a l y ra i bán. Bi t r ng bán m t s n ph m t t c Đ ( ñ " ( ñư
li 50 ngàn ng, và bán m t s n ph m x u bñ ( l ng. Tính l i nhu n thu 15 ngàn ñ
ñư ñ c trung bình và l%ch chu(n ca l i nhun khi bán 4 sn ph(m trên.
Gii
a/ G i
X
là BNN ch s s n ph m x u có trong 4 s n ph m l y ra. ( (
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
( ) ( ) ( )
( )
0 4 1 3 2 2
3 5 3 5 3 5
4 4 4
8 8 8
3 1
3 5
4
8
. . .
1 6 6
0 ; 1 ; 2 ;
14 14 14
. 1
3
14
C C C C C C
P X P X P X
C C C
C C
P X
C
= = = = = = = = =
= = =
Bng phân phi xác su t c a
X
X
0 1 2 3
(
)
P X
1
14
6
14
6
14
1
14
Xác su t có ít nh t 2 s n ph m t ñ ( t:
( ) ( )
13
2 1 3
14
P X P X
≤ = − = =
.
b/ G i
Y
là BNN ch l i nhu n thu c khi bán 4 s n ph m. ñư (
200 65
Y X
= −
khi ñ
ó
( ) ( )
( )
( )
2
2
6 6 1 15
2. 3. 1,5;
14 14 14 28
E X D X E X E X= + + = = − =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
43
(
)
(
)
(
)
200 65 200 65 102,5
E Y E X E X
= − = − =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
200 65 65 47,5735
Y D Y D X D Xσ = = − = =
3.4.
M
t lô hàng có r
t nhi
u s
n ph
(
m, v
i t
l
%
hàng gi
là 30%.
a/ L
y ng
u nhiên t
lô hàng ra 10 s
n ph
(
m, tính xác su
t
ñ
có nhi
u nh
t
2 s
n ph
(
m gi
.
b/ Ng
ư
i ta l
y ng
u nhiên ra t
ng s
n ph
(
m m
t
ñ
ki
m tra cho
ñ
n khi
nào g
p s
n ph
(
m gi
thì d
ng. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t và tính k
ỳ
v
ng c
a s
s
n ph
(
m th
t
ñ
ã ki
m tra
Gii
G
i
p
là xác su
t ch
hàng gi
trong 1 lô hàng nên
0,3
p
=
.
a/ G
i
X
là BNN ch
s
s
n ph
(
m gi
.
(
)
10;0,3
X B
Xác su
t
ñ
có nhi
u nh
t 2 s
n ph
(
m gi
(
)
(
)
(
)
(
)
10 9 2 8
2 0 1 2
0,7 0,3.0,7 0,3 .0,7 0,0455
P X P X P X P X≤ = = + = + =
= + + =
b/ G
i
1
Y
là BNN ch
s
s
n ph
(
m th
t
ñ
ã ki
m tra.
Ta có
{
}
1
Im 0;1;2;...
Y
=
Ta th
y
(
)
(
)
1 1
0 0,3; 1 0,7.0,3
P Y P Y
= = = =
theo quy n
p
(
)
1
0,7 .0,3
n
P Y n= =
.
Nên k
ỳ
v
ng c
a s
s
n ph
(
m th
t
ñ
ã ki
m tra:
( ) ( )
( )
1
1 1
2
0 1
1 7
. 0,7.0,3 .0,7 0,21.
3
1 0,7
n
n n
E Y n P Y n n
+∞ +∞
−
= =
= = = = =
−
∑ ∑
3.5.
M
t lô hàng có r
t nhi
u s
n ph
(
m, v
i t
l
%
hàng gi
là 30%.
a/ L
y ng
u nhiên t
lô hàng ra 10 s
n ph
(
m, tính xác su
t
ñ
có nhi
u nh
t
2 s
n ph
(
m gi
.
b/ Ng
ư
i ta l
y ng
u nhiên ra t
ng s
n ph
(
m m
t
ñ
ki
m tra cho
ñ
n khi
nào g
p s
n ph
(
m gi
thì d
ng. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t và tính k
ỳ
v
ng c
a s
s
n ph
(
m
ñ
ã ki
m tra.
Gii
G
i
p
là xác su
t ch
hàng gi
trong 1 lô hàng nên
0,3
p
=
.
a/ G
i
X
là BNN ch
s
s
n ph
(
m gi
.
(
)
10;0,3
X B
Xác su
t
ñ
có nhi
u nh
t 2 s
n ph
(
m gi
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
44
(
)
(
)
(
)
(
)
10 9 2 8
2 0 1 2
0,7 0,3.0,7 0,3 .0,7 0,0455
P X P X P X P X≤ = = + = + =
= + + =
b/ G
i
2
Y
là BNN ch
s
s
n ph
(
m
ñ
ã ki
m tra.
Ta có
{
}
2
Im 1;2;3;...
Y
=
(
)
(
)
2 2
1 0,3; 2 0,7.0,3
P Y P Y
= = = =
theo quy n
p
(
)
1
2
0,7 .0,3
n
P Y n
−
= =
.
Nên k
ỳ
v
ng c
a s
s
n ph
(
m
ñ
ã ki
m tra:
( ) ( )
( )
1
2 2
2
1 1
1 10
. .0,7 .0,3 0,3.
3
1 0,7
n
n n
E Y n P Y n n
+∞ +∞
−
= =
= = = = =
−
∑ ∑
3.6.
M
t khách hàng mua xe t
i m
t
ñ
i lý, n
u xe có s
c
k
4
thu
t thì
ñư
c
quy
n tr
xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và
ñư
c l
y l
i nguyên s
ti
n mau
xe. M
i chi
c xe b
tr
l
i nh
ư
th
làm thi
%
t h
i cho
ñ
i lý 250 ngàn VN
Đ
. Có 50
xe
ñư
c bán ra. Xác su
t
ñ
m
t xe b
tr
l
i là 0,1.
a/ Tìm k
ỳ
vong và ph
ươ
ng sai c
a s
xe b
tr
. Tính xác xu
t
ñ
có nhi
u
nh
t 2 xe b
tr
l
i.
b/ Tìm k
ỳ
v
ng và
ñ
l
%
ch chu
(
n c
a t
$
ng thi
%
t h
i mà t
$
ng
ñ
i lý ph
i ch
u
do vi
%
c tr
l
i xe.
Gii
G
i
p
là xác su
t
ñ
m
t xe b
tr
l
i. Nên
0,1
p
=
.
G
i
X
là BNN ch
s
xe b
tr
l
i.
(
)
50;0,1
X B
ta th
y (
50 30; . 5 5; 4,5 5
n n p npq
= > = ≤ = ≤
) nên
(
)
5
X Po
Suy ra
(
)
(
)
(
)
5; 1 4,5.
E X np D X np p
= = = − =
Xác su
t nhi
u nh
t 2 xe b
tr
l
i:
(
)
( ) ( ) ( )
0 1 2
P X 2 (5) (5) (5) 0,1246
Po Po Po≤ = + + =
b/ G
i
Y
là BNN ch
t
$
ng thi
%
t h
i c
a
ñ
i lý ph
i ch
u do vi
%
c tr
l
i xe.
250
Y X
=
suy ra
(
)
(
)
(
)
250 250 1250
E Y E X E X
= = =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
250 250 530,330
Y D Y D X D Xσ = = = =
3.7.
M
t thí sinh tên M tham d
m
t k
ỳ
thi môn XSTK . M ph
i làm m
t
ñ
thi
tr
c nghi
%
m khách quan g
m 10 câu; m
i câu có 4 l
i
Gi i
khác nhau, trong
ñ
ó ch
có m
t l
i
Gi i
ñ
úng. M s
+
ñư
c ch
m
ñ
u n
u tr
l
i
ñ
úng ít nh
t 6 câu.
(a) Gi
s
#
M không h
c bài, mà ch
ch
n ng
u nhiên l
i
Gi i
trong c
10
câu. Tính xác su
t
ñ
M thi
ñ
u.
(b) Gi
s
M ch
c ch
n tr
l
i
ñ
úng
ñư
c 2 câu; còn các câu khác, M ch
n
ng
u nhiên m
t trong 4 l
i
Gi i
c
a m
i câu. Tính xác su
t
ñ
M thi r
t.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
45
Gii
G
i
p
là xác su
t
ñ
M tr
l
i
ñ
úng m
t câu h
i. Nên
0,25
p
=
.
G
i
X
là BNN ch
s
câu tr
l
i
ñ
úng trong 10 câu.
(
)
10;0,25
X B
.
Đ
t
A
:”M thi
ñ
u”
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
6 6 7
8 9 10 0,0197
P A P X P X P X
P X P X P X
= ≥ = = + = +
+ = + = + = =
b/ M ch
c ch
n tr
l
i dung 2 câu, mà các câu
ñư
c
ñ
c l
p nhau và xác su
t tr
l
i dung m
i câu là 0,25.
Do
ñ
ó, Xác su
t
ñ
M r
t trong tr
ư
ng h
p tr
l
i
ñ
úng 2 câu có ngh
ĩ
a là ta tính xác su
t
ñ
M r
t tro
G
i
Y
là BNN ch
s
câu tr
l
i
ñ
úng trong 8 câu.
(
)
8;0,25
Y B
.
Đ
t
R
:” M thi r
t”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 8 3 3 5
8 8
3 0 1 2 3
0,25 0,75 ... 0,25 0,75 0,8862.
P R P Y P Y P Y P Y P Y
C C
= ≤ = = + = + = + =
= + + =
3.8.
M
t thí sinh M tham d
m
t k
ỳ
. M ph
i làm m
t
ñ
thi tr
c nghi
%
m khách
quan g
m 10 câu; m
i câu có 4 l
i
Gi i
khác nhau, trong
ñ
ó ch
có m
t l
i
Gi i
ñ
úng. M s
+
ñư
c ch
m
ñ
u n
u tr
l
i
ñ
úng ít nh
t 6 câu.
a/ Gi
s
#
M không h
c bài, mà ch
ch
n ng
u nhiên l
i
Gi i
trong c
10
câu. Tính xác su
t
ñ
M thi
ñ
u.
b/ H
i M ph
i d
thi ít nh
t m
y l
n
ñ
xác su
t có ít nh
t m
t l
n thi
ñ
u
không nh
h
ơ
n 97%?
Gii
a/ G
i
p
là xác su
t
ñ
M tr
l
i
ñ
úng m
t câu h
i. Nên
0,25
p
=
.
G
i
X
là BNN ch
s
câu tr
l
i
ñ
úng trong 10 câu.
(
)
10;0,25
X B
.
Đ
t
A
:”M thi
ñ
u”
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
6 6 7
8 9 10 0,0197
P A P X P X P X
P X P X P X
= ≥ = = + = +
+ = + = + = =
b/ G
i
n
là s
l
n d
thi c
a M. Và
B
:“ít nh
t m
t l
n
ñ
u”
(
)
(
)
(
)
1 0 1 1 0,0197 0,97 176,238
n
P B P X n= − = = − − ≥ ⇔ ≥
V
y, M ph
i thi th
#
177 l
n.
3.9.
Nhà máy d
%
t mu
n tuy
n d
,
ng ng
ư
i bi
t rành v
m
t lo
i s
i. Nhà máy
th
#
thách ng
ư
i d
tuy
n 7 l
n. M
i l
n nhà máy
ñ
em ra 4 s
i gi
ng nhau, trong
ñ
ó ch
có m
t s
i th
t và yêu c
u ng
ư
i này ch
n ra s
i th
t. N
u ch
n
ñ
úng ít
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
46
nh
t 6 l
n thì
ñư
c tuy
n d
,
ng. M
t ng
ư
i
ñ
n xin tuy
n d
,
ng nói: "Ch
c
n nhìn
qua là có th
phân bi
%
t s
i th
t hay gi
v
i xác su
t 80% ".
a/ N
u ng
ư
i này nói
ñ
úng kh
n
ă
ng c
a mình thì xác su
t
ñư
c tuy
n d
,
ng
là bao nhiêu?
b/ Tính xác su
t
ñ
ñư
c tuy
n d
,
ng trong tr
ư
ng h
p, th
t ra, ng
ư
i
này không bi
t gì v
s
i c
.
Gii
a/ G
i
B
:” n
ă
ng l
c nh
n ra s
i th
t c
a ng
ư
i d
tuy
n” suy ra
(
)
0,8
P B
=
.
G
i
X
là BNN ch
s
s
i th
t trong 7 l
n th
.
(
)
7;0,8
X B
.
Đ
t
A
:”Ng
ư
i này
ñư
c ch
n”
(
)
(
)
(
)
6 6 7 7
7 7
6 7 .0,8 .0,2 .0,8 0,5767
P A P X P X C C= = + = = + =
b/ G
i p là xác su
t ch
n
ñư
c s
i th
t trong m
t l
n th
#
(không bi
t gì v
s
i).
0,25
p
=
.
Khi
ñ
ó
(
)
7;0,25
X B
Đ
t
A
:”Ng
ư
i này
ñư
c ch
n”
(
)
(
)
(
)
6 6 7 7
7 7
6 7 .0,25 .0,75 .0,25 0,0014.
P A P X P X C C= = + = = + =
3.10.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y 3 chai
'
lô A. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng có trong
3 chai. Tính xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng; có ít nh
t 1 chai h
ng.
b/ Ph
i l
y bao nhiêu chai (
'
lô A)
ñ
xác su
t có ít nh
t m
t chai h
ng
không nh
h
ơ
n 94% ?
Gii
a/ G
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
3;0,1
X B
v
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ng phân ph
i xác su
t c
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
t có ít nh
t 1 chai h
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ G
i
n
là s
chai l
y ra. Ta có
(
)
;0,1
X B n
(
)
1 0 0,94 0,06 0,9 26,7
n
P X n− = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
47
Do
ñ
ó, ít nh
t l
y 27 chai.
3.11.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y 3 chai
'
lô A. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng có trong
3 chai. Tính xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng; có ít nh
t 1 chai h
ng.
b/ Ch
n ng
u nhiên 1 trong 3 lô r
i l
y t
lô
ñ
ó ra 3 chai. Tính xác su
t
ñ
có ít nh
t 1 chai h
ng.
Gii
a/ G
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
~ 3;0,1
X B
v
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ng phân ph
i xác su
t c
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
t có ít nh
t 1 chai h
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ Ta có
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô
i
v
i
{
}
1;2;3
i
∈
Đ
t
i
H
:”lô
i
ñư
c ch
n”
{ }
( )
1
1;2;3
3
i
i P H
∈
⇒
=
. và
Đ
t
H
:” ít nh
t 1 chai h
ng trong 3 chai l
y ra”
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1
1 2 3
1
. | 1 1 1
3
1
3 0 0 0
3
i i
i
P H P H P H H P X P X P X
P X P X P X
=
= = ≥ + ≥ + ≥
= − = − = + =
∑
( )
3 3 3
1
1 0,9 0,92 0,85 0,2927
3
= − + + =
3.12.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c. L
y
'
m
i lô m
t chai. Tìm phân
ph
i xác su
t r
i tính k
ỳ
v
ng và ph
ươ
ng sai c
a s
chai h
ng trong 3 chai l
y
ra.
Gii
G
i
Y
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
48
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
Suy ra
(
)
0,2636 2.0,0314 3.0,0012 0,33
E Y
= + + =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2
0,2636 4.0,0314 9.0,0012 0,33 0,2911.
D Y E Y E Y= − = + + − =
3.13.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y
'
m
i lô m
t chai. Tìm phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng trong 3
chai l
y ra.
b/ M
t c
#
a hàng nh
n v
500 chai
'
lô A, 300 chai
'
lô B và 200 chai
'
lô C r
i
ñ
l
n l
n. M
t ng
ư
i
ñ
n mua 1 chai v
dùng. Tính xác su
t
ñ
ñư
c
chai t
t.
Gii
a/ G
i
Y
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
b/
Đ
t
A
:” Ch
n 1 chai h
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
| | |P A P H P A H P H P A H P H P A H
= + + =
1 499 1 299 1 199
500 300 200
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85 0,104
1000 1000 1000
C C C= + + =
Do
ñ
ó xác su
t
ñư
c 1 chai t
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
49
3.14.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ Ch
n ng
u nhiên 1 trong 3 lô r
i l
y t
lô
ñ
ó ra 3 chai. Tính xác su
t
ñ
có ít nh
t 1 chai h
ng.
b/ M
t c
#
a hàng nh
n v
500 chai
'
lô A, 300 chai
'
lô B và 200 chai
'
lô
C r
i
ñ
l
n l
n. M
t ng
ư
i
ñ
n mua 1 chai v
dùng. Tính xác su
t
ñ
ñư
c chai
t
t.
Gii
a/
Đ
t
i
H
:”lô
i
ñư
c ch
n”
{ }
( )
1
1;2;3
3
i
i P H
∈ ⇒ =
. và
Đ
t
H
:” ít nh
t 1 chai h
ng trong 3 chai l
y ra”
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
1 2 3
1
1 2 3
3 3 3
1
. | 1 1 1
3
1
3 0 0 0
3
1
1 0,9 0,92 0,85 0,2927
3
i i
i
P H P H P H H P X P X P X
P X P X P X
=
= = ≥ + ≥ + ≥
= − = − = + =
= − + + =
∑
Trong
ñ
ó
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô
i
v
i
{
}
1;2;3
i
∈
b/
Đ
t
A
:” Ch
n 1 chai h
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñư
c 1 chai t
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.15.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y 3 chai
'
lô A. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng có trong 3
chai. Tính xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng; có ít nh
t 1 chai h
ng.
Ph
i l
y bao nhiêu chai (
'
lô A)
ñ
xác su
t có ít nh
t m
t chai
h
ng không nh
h
ơ
n 94% ?
b/ M
t c
#
a hàng nh
n v
500 chai
'
lô A, 300 chai
'
lô B và 200 chai
'
lô
C r
i
ñ
l
n l
n. M
t ng
ư
i
ñ
n mua 1 chai v
dùng. Tính xác su
t
ñ
ñư
c chai
t
t.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
50
Gii
a/ G
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
3;0,1
X B
v
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ng phân ph
i xác su
t c
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
t có ít nh
t 1 chai h
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
G
i
n
là s
chai l
y ra. Ta có
(
)
;0,1
X B n
(
)
1 0 0,94 0,06 0,9 26,7
n
P X n− = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Do
ñ
ó, ít nh
t l
y 27 chai.
b/
Đ
t
A
:” Ch
n 1 chai h
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñư
c 1 chai t
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.16.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y 3 chai
'
lô A. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng có trong
3 chai. Tính xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng; có ít nh
t 1 chai h
ng.
b/ L
y
'
m
i lô m
t chai. Tìm phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng trong 3
chai l
y ra.
c/ M
t c
#
a hàng nh
n v
500 chai
'
lô A, 300 chai
'
lô B và 200 chai
'
lô
C r
i
ñ
l
n l
n. M
t ng
ư
i
ñ
n mua 1 chai v
dùng. Tính xác su
t
ñ
ñư
c chai
t
t.
Gii
a/ G
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
~ 3;0,1
X B
v
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
51
B
ng phân ph
i xác su
t c
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
t có ít nh
t 1 chai h
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ G
i
Y
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
c/
Đ
t
A
:” Ch
n 1 chai h
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñư
c 1 chai t
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.17. G
i
s
#
ngày sinh c
a ng
ư
i dân trong m
t thành ph
l
n có th
r
ơ
i
ng
u nhiên vào m
t ngày b
t k
ỳ
trong m
t n
ă
m (365) ngày. Ch
n ng
u nhiên 1095
ng
ư
i trong thành ph
ñ
ó. Tính xác su
t
ñ
:
a/ Có hai ng
ư
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho.
b/ Có không quá 7 ng
ư
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho.
Gii
G
i
X
là BNN ch
s
ng
ư
i có cùng ngày sinh trong 1095 ng
ư
i .
1
~ 1095;
365
X B
a/
Xác su
t
ñ
có 2 ng
ư
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho:
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
52
( ) ( )
2 1093
2
1095 2 2
1 364 1
2 1095. 3 =0,2565
365 365 365
P X C Po Po
= = ≈ =
b/ Xác su
t
ñ
có không quá 7 ng
ư
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
0 1 2 3 4 5
6 7
7 3 3 3 3 3 3
3 3 0,988
P X Po Po Po Po Po Po
Po Po
≤ = + + + + +
+ + =
3.18.
M
t tr
m b
ư
u
ñ
i
%
n chuy
n
ñ
i
%
n trong kho
ng th
i gian 10
-5
giây.
Trong quá trình tránh
ñ
i
%
n có các ti
ng
n ng
u nhiên. S
tín hi
%
u
n ng
u nhiên
trong 1 giây là 10
4
. n
u trong th
i gian truy
n tín hi
%
u có dù cjir m
t tín hi
%
u
n
ng
u nhiên thì tr
m s
+
ng
ng làm vi
%
c. tính xác su
t
ñ
cho vi
%
c truy
n tính hi
%
u
b
gián
ñ
o
n. bi
t r
"
ng s
tín hi
%
u
n ng
u nhiên r
ơ
i vào trong kho
ng th
i gian
truy
n tín hi
%
u là bi
n ng
u nhiên tuân theo lu
t phân ph
i poison.
Gii
G
i
X
là BNN ch
s
các tín hi
%
u
n trong kho
ng th
i gian
5
10
−
truy
n tin.
(
)
(
)
4 5
~ 10 .10 ~ 0,1
X Po X Po
−
⇔
Trong
ñ
ó,
s
tín hi
%
u
n trong kho
ng th
i gian
5
−
giây truy
n tin là
4 5
10 .10 0,1
−
= .
Do
ñ
ó, xác su
t vi
%
c truy
n tin b
gián
ñ
o
n
( ) ( )
(
)
0
0,1
0,1
1 1 0 1 0,0952
0!
P X P X e
−
≥ = − = = − =
3.19.
S
l
i trên 1 mét vuông v
i là m
t bi
n ng
u nhiên tuân theo lu
t phân
ph
i poison. Ki
m tra lô v
i, ng
ư
i ta th
y 98% có l
i. V
y trung bình m
i mét
vuông v
i có bao nhiêu l
i?
Gii
G
i
X
là BNN ch
s
l
i trên 1mét vuông v
i
(
)
X Po
λ
Lô v
i th
y có 98% l
i
(
)
(
)
1 0,98 1 0 0,98 0,02 3,9
P X P X e
−λ
≥ = ⇔ − = = ⇔ = ⇔ λ ≈
(1,5
ñ
)
V
y, trung bình m
i mét vuông v
i có 3,9 l
i.
3.20.
M
t công nhân qu
n lý 12 máy d
%
t. Các máy d
%
t ho
t
ñ
ng
ñ
c l
p
nhau, và xác su
t
ñ
m
i máy, trong ca làm vi
%
c, c
n s
ch
ă
m sóc c
a công nhân
(vi
t t
t là CCN) là 0,3.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
53
a/ Tính xác su
t
ñ
, trong ca làm vi
%
c, có
a
1
/ 4 máy CCN
a
2
/ t
3
ñ
n 7 máy CCN
b/ Trung bình, trong ca làm vi
%
c, có bao nhiêu máy CCN?
c/ Trong ca làm vi
%
c, tìm s
máy CCN nhi
u kh
n
ă
ng nh
t; tính xác su
t
t
ươ
ng
ng.
Gi i.
a/ G
i
X
là BNN ch
s
máy CCN trong ca làm vi
%
c thì
(
)
~ 12;0,3
X B
{
}
12
12
P( ) C (0,3) (0, 0,1,2,7) ,
k k k
kX k
−
∈ …= =
, k
∈
{0,1,2,…,12}
a
1
/ Xác su
t ph
i tính:
4 4 8
12
P( 4) C (0,3) (0,7
2 1
)
0, 31
X
= = =
b
2
/ Xác su
t ph
i tính:
7
= 3
P(3 7) P( )
k
X X k
≤ ≤ = =
∑
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291
= 0,7376.
b/ S
máy CCN trung bình:
(
)
12 0,3 3,6
E X
= × =
c/ S
máy CCN nhi
u kh
n
ă
ng nh
t:
(
)
13 0 .
[ ]
,3 3
Mod X
= × =
Xác su
t t
ươ
ng
ng:
(
)
3 0,2397
P X
= =
.
3.21.
Ng
ư
i ta mu
n l
y m
t s
h
t lúa t
m
t kho lúa có t
l
%
h
t lép là
0,2
ñ
ki
m tra. Bi
t r
"
ng kho lúa có r
t nhi
u h
t.
a/ Ph
i l
y ít nh
t bao nhiêu h
t lúa
ñ
xác su
t có ít nh
t m
t h
t lép không
bé h
ơ
n 95% ?
b/ L
y ng
u nhiên 100 h
t lúa, tính xác su
t
ñ
trong
ñ
ó có 25 h
t lép; có t
10
ñ
n 40 h
t lép.
Gi i.
a/ G
i
n
là s
h
t lúa c
n l
y. Vì s
h
t lúa trong kho r
t l
n, nên các l
n l
y xem
nh
ư
ñ
c l
p. Xác su
t
ñ
trong n h
t lúa l
y ra, không có h
t lép nào là (0,8)
n
.
Theo gi
thi
t:
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
54
( ) ( )
1 0,8 0,95 0,8 0,
ln(0,05)
ln (0,8)
05
n n
n− ≥ ⇔ ≤ ≥⇔
V
y, ph
i l
y ít nh
t 14 h
t lúa.
b/ G
i
X
là bi
n ng
u nhiên ch
s
h
t lép trong m
u thì
(
)
~ ,
X B n p
, v
i
100
n
=
và
0,2
p
=
. Vì
30; . 20 5
n n p
> = >
và
(
)
. 1 80 5
n p
− = >
nên chúng ta có
th
áp d
,
ng các công th
c g
n
ñ
úng DeMoivre
−
Laplace.
(i) Xác su
t
ñ
có 25 h
t lép:
25 25 75
100
P( 25) C (0,2) (0,8) 0,04388
X = = =
(ii) Xác su
t
ñ
có t
10
ñ
n 40 h
t lép:
40 100 0,2 10 100 0,2
( )
100 0,2 0,8 100 0,2
10 0
,
4
0 8
P X
− × − ×
Φ − Φ
≤ ≤ ≈
× × × ×
(5) ( 2,5) 1 (1 (2,5)) (2,5)
= Φ − Φ − = − − Φ = Φ
10 40 (
0,9938
)P X
⇒ ≤ ≤ ≈
3.22.
C
n xét nghi
%
m máu cho 5000 ng
ư
i
ñ
tìm d
u hi
%
u m
t lo
i b
%
nh
B t
i m
t
ñ
a ph
ươ
ng có t
l
%
ng
ư
i m
c b
%
nh B theo th
ng kê là 10%. Có 2
ph
ươ
ng pháp:
a/ Xét nghi
%
m t
ng ng
ư
i m
t.
b/ M
i l
n l
y máu m
t nhóm 10 ng
ư
i tr
n l
n vào nhau r
i xét nghi
%
m.
N
u k
t qu
âm tính thì thông qua, n
u d
ươ
ng tính thì ph
i làm thêm 10 xét
nghi
%
m
ñ
xét nghi
%
m l
i t
ng ng
ư
i m
t trong nhóm.
H
i ph
ươ
ng pháp nào có l
i h
ơ
n, bi
t r
"
ng m
i xét nghi
%
m
ñ
u t
n kém nh
ư
nhau và kh
n
ă
ng m
c b
%
nh c
a m
i ng
ư
i
ñ
c l
p nhau?
Gii.
a/ N
u dùng ph
ươ
ng pháp (1) thì ph
i th
c hi
%
n 5000 xét nghi
%
m.
b/ Bây gi
chúng ta xem ph
ươ
ng pháp (2):
Đ
t
X
ch
s
nhóm có k
t qu
d
ươ
ng tính thì
(
)
10
~ 500; 1
)
0,9(X B −
Đ
t
Y
ch
s
xét nghi
%
m theo ph
ươ
ng pháp (2) thì
500 10
Y X
= +
S
xét nghi
%
m trung bình theo ph
ươ
ng pháp (2) là:
(
)
(
)
(
)
10
500 10 500 5000 1 0,9 37 7
( )
5
E Y E X= + = + − ≈
.
V
y, áp d
,
ng theo ph
ươ
ng pháp (2) có l
i h
ơ
n.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
55
3.23.
M
t c
ơ
s
'
s
n xu
t, trung bình trong m
t tu
n, nh
n
ñư
c 4
ñơ
n
ñ
t
hàng. Bi
t r
"
ng s
ñơ
n
ñ
t hàng
X
mà c
ơ
s
'
nh
n
ñư
c trong m
t tu
n là m
t
BNN có phân ph
i Poisson. Tính xác su
t
ñ
c
ơ
s
'
ñ
ó
a/ Nh
n
ñư
c h
ơ
n 5
ñơ
n
ñ
t hàng trong m
t tu
n
b/ Nh
n
ñư
c 6
ñơ
n
ñ
t hàng trong hai tu
n liên ti
p
Gii.
a/
(
)
~ 4
X Po
. Xác su
t ph
i tính:
(
)
5 1 (
)
5
P X P X> = − ≤
=
5
4
0
1 0,7851 0,214
4
1 e
!
9
k
k
k
−
=
= − =−
∑
b/ G
i
Y
là BNN ch
s
ñơ
n
ñ
t hàng c
a c
ơ
s
'
trong hai tu
n liên ti
p thì
(
)
~ 8
Y Po
. Xác su
t ph
i tính:
( )
6
8
8
6 e 0,1221
6!
P Y
−
= = =
3.24.
M
t xe t
i v
n chuy
n 1000 chai r
ư
u vào kho. Xác su
t
ñ
m
i chai
b
v
5
trong khi v
n chuy
n là 0,0035. Tính xác su
t
ñ
sau khi v
n chuy
n, có 6
chai r
ư
u b
v
5
; có t
2
ñ
n 8 chai r
ư
u b
v
5
. (gi
s
#
r
"
ng s
ki
%
n các chai r
ư
u
b
v
5
là
ñ
c l
p nhau, do ch
t l
ư
ng riêng c
a m
i chai)
Gi i.
G
i
X
là BNN ch
s
chai r
ư
u b
v
5
sau khi v
n chuy
n, thì
(
)
~ 1000; 0,0035 .
X B
Xác su
t
ñ
có 6 chai r
ư
u b
v
5
:
6 6 994
1000
P( 6) (0,0035) (0,9965) 0,07709
X C= = =
Tính g
n
ñ
úng:
Vì
1000
n
=
và
. 3,5 5
n p
= <
, nên có th
xem:
(
)
~ 3,5
X Po
. Do
ñ
ó:
6
3,5
(3,5)
P( 6) 0,0771
6!
X e
−
= ≈ =
Xác su
t
ñ
có t
2
ñ
n 8 chai r
ư
u b
v
5
8
3,5
2
(3,5)
P 0,(2 8
!
85
)
43
k
k
X e
k
−
=
≤ ≤ ≈ =
∑
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
56
3.25.
Th
i gian
ñ
s
n xu
t m
t s
n ph
(
m lo
i A là m
t BNN tuân theo lu
t
phân ph
i chu
(
n v
i các tham s
µ
= 10 và
σ
= 1 (
ñơ
n v
là phút)
a/ Tính xác su
t
ñ
m
t s
n ph
(
m lo
i A nào
ñ
ó
ñư
c s
n xu
t trong kho
ng
th
i gian t
9 phút
ñ
n 12 phút.
b/ Tính th
i gian c
n thi
t
ñ
s
n xu
t m
t s
n ph
(
m lo
i A b
t k
ỳ
.
Gi i.
G
i
X
là BNN ch
th
i gian d
s
n xu
t m
t s
n ph
(
m lo
i A ,
(
)
~ 10;1
X N
.
a/ Xác su
t ph
i tính:
12 10 9 10
( )
1
9
1
12 P X
− −
Φ − Φ
≤ ≤
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2 – 1 2 1 –1
=Φ Φ − = Φ + Φ
= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.
b/ Theo qui t
c 3
σ
, h
u nh
ư
ch
c ch
n
X
l
y giá tr
trong kho
ng:
[
]
[
]
10 3 1; 10 3 1 7; 13
− × + × =
V
y, th
i gian c
n thi
t
ñ
s
n xu
t m
t s
n ph
(
m lo
i A b
t k
ỳ
là t
7 phút
ñ
n
13 phút (h
u nh
ư
ch
c ch
n).
3.26.
Cho bi
n ng
u nhiên
X
tuân theo lu
t phân ph
i
2
( )
,
N
µ σ
. Bi
t r
"
ng
X
l
y giá tr
nh
h
ơ
n 60 v
i xác su
t 0,1003 và l
y giá tr
l
n h
ơ
n 90 v
i xác su
t
0,0516, hãy tính
µ
và
σ
.
Gi i.
Theo gi
thi
t,
60
0,1003
( 60) 0,1003
( 90) 0,0516
90
1 0,0516
P X
P X
− µ
Φ =
< =
σ
⇔
> =
− µ
− Φ =
σ
60
0,8997
90
0,9484
µ −
Φ =
σ
⇔
− µ
Φ =
σ
60
1,28
90
1,64
µ −
=
σ
⇔
− µ
=
σ
V
y,
73,15
µ =
và
10,27
σ =
.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
57
3.27. Đư
ng kính c
a m
t lo
i chi ti
t do m
t máy s
n xu
t có phân
ph
i chu
(
n, k
ỳ
v
ng 20mm, ph
ươ
ng sai
(
)
2
0,2
mm. Tính xác su
t l
y ng
u
nhiên m
t chi ti
t
a/ Có
ñư
ng kính trong kho
ng 19,9mm
ñ
n 20,3mm.
b/ Có
ñư
ng kính sai khác v
i k
ỳ
v
ng không quá 0,3mm.
Gii
G
i
X
là BNN ch
ñư
ng kính c
a m
t chi ti
t, ta có
( )
(
)
2
~ 20; 0,2
X N
a/ Có
ñư
ng kính trong kho
ng 19,9mm
ñ
n 20,3mm
( )
( ) ( )
20,3 20 19,9 20
19,9 20,3
0,2 0,2
1,5 0,5 0,6247
P X
− −
< < = Φ − Φ
= Φ + Φ =
b/ Có
ñư
ng kính sai khác v
i k
ỳ
v
ng không quá 0,3mm
( )
0,3
20 0,3 2 1 0,8664
0,2
P X
− < = Φ − =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
58
CHƯƠNG 7: LÝ THUY T M U
4. 1.
Đ
nghiên c
u v
s
con trong m
t gia
ñ
ình (SCTMG
Đ
)
'
ñ
a ph
ươ
ng A,
ng
ư
i ta
ñ
i
u tra s
con c
a m
i gia
ñ
ình trong 30 gia
ñ
ình
ñư
c ch
n ng
u nhiên
'
ñ
a ph
ươ
ng A. K
t qu
ñư
c ghi l
i nh
ư
sau:
0 2 5 3 7 4 3 3 1 4
2 4 3 1 6 1 0 2 4 1
1 2 3 2 0 5 5 1 3 2
a)
Hãy l
p b
ng phân ph
i t
n s
và t
n su
t tích lu
4
cho d
li
%
u trên m
u.
b)
Trên m
u v
a nêu, tính SCTMG
Đ
trung bình
ñ
l
%
ch chu
(
n c
a SCTMG
Đ
.
Gii:
a)
G
i X là BNN ch
s
con trong m
t gia
ñ
ình. B
ng phân b
t
n s
, t
n su
t
và t
n su
t tích l
ũ
y cho X t
d
li
%
u trên.
X 0 1 2 3 4 5 6 7
T
n s
3 6 6 6 4 3 1 1
T
n su
t
0,100
0,200
0,200
0,200
0,133
0,100
0,033
0,033
T
n su
t tích l
ũ
y
0,100
0,300
0,500
0,700
0,833
0,933
0,967
1,000
b)
Giá tr
trung bình m
u là:
2,67
=
Giá tr
ph
ươ
ng sai m
u:
2
3,2644
=
Đ
l
%
ch chu
(
n:
1,81
=
.
4. 2.
Đ
nghiên c
u v
thâm niên công tác (tính tròn n
ă
m) c
a nhân viên
'
m
t
công ty l
n, ng
ư
i ta kh
o sát thâm niên c
a 100 nhân viên
ñư
c ch
n ng
u nhiên
trong công ty. K
t qu
nh
ư
sau:
Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19
S
nhân
viên
8 21 36 25 10
a)
Hãy tính giá tr
trung bình m
u và giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u.
b)
Gi
s
#
thâm niên công tác c
a nhân viên c
a công ty trên là BNN X có k
ỳ
v
ng là 12 n
ă
m và
ñ
l
%
ch chu
(
n là 3 n
ă
m. Tính xác su
t
ñ
trung bình m
u
nh
n giá tr
l
n h
ơ
n 12,5 n
ă
m.
Gii
G
i X là BNN ch
thâm niên công tác c
a nhân viên c
a công ty trên.
a)
T
d
li
%
u ta tính
ñư
c:
- Giá tr
trung bình m
u:
12.24
=
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
59
- Giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
3,27
=
.
b)
Theo
ñ
nh lý gi
i h
n trung tâm ta có:
( )
~ 0,1
µ
σ
−
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñ
trung bình m
u nh
n giá tr
l
n h
ơ
n 12,5 là:
( )
( ) ( )
12,5
12,5 1,67 1 1,67 0,0478
µ µ
σ σ
− −
> = > = > = − ≤ =
4. 3.
Đ
nghiên c
u chi
u cao c
a thanh niên l
a
tu
$
i t
18
ñ
n 22 tu
$
i
'
thành ph
LX, ng
ư
i ta
ñ
o trên m
t m
u g
m m
t s
thanh niên
ñư
c
ch
n ng
u nhiên
'
thành ph
LX. K
t qu
nh
ư
sau
(
ñơ
n v
cm):
a) Tính giá tr
trung bình m
u và giá tr
ñ
l
%
ch
chu
(
n m
u.
b) Theo tài li
%
u kh
o sát tr
ư
c
ñ
ó chi
u cao c
a
nh
ng thanh niên l
a tu
$
i trên tuân theo lu
t phân
ph
i chu
(
n v
i k
ỳ
v
ng là
166 cm
µ
=
và
ñ
l
%
ch
chu
(
n là
7 cm.
σ
=
Hãy tính xác su
t
ñ
trung
bình m
u có giá tr
l
n 167 cm.
Gii:
G
i X là BNN ch
chi
u cao c
a thanh niên l
a tu
$
i t
18
ñ
n 22 tu
$
i
'
thành ph
LX.
a) T
d
li
%
u ta tính
ñư
c:
- Giá tr
trung bình m
u:
166,55 cm
=
- Giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
5,865 cm.
=
b) Theo
ñ
nh lý gi
i h
n trung tâm ta có:
( )
~ 0,1
µ
σ
−
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñ
trung bình m
u nh
n giá tr
l
n h
ơ
n 12,5 là:
( )
( ) ( )
167
167 1,57 1 1,57 0,058
µ µ
σ σ
− −
> = > = > = − ≤ =
.
4. 4.
Gi
s
#
ñ
t
ă
ng theo ph
n tr
ă
m l
ươ
ng hàng n
ă
m c
a m
i công nhân viên
ch
c trong công ty Alpha tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n v
i trung bình 12,2% và
Chi
u cao
(cm)
S
thanh
niên
[154, 158) 10
[158, 162) 16
[162, 166) 29
[166, 170) 37
[170, 174) 15
[174, 178) 10
[178, 182) 4
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
60
ñ
l
%
ch chu
(
n 3,6%. M
t m
u ng
u nhiên g
m 9 ph
n t
#
ñư
c ch
n t
t
$
ng th
y.
Tìm xác su
t
ñ
trung bình m
u nh
h
ơ
n 10%.
Gi i
:
G
i X là BNN ch
ñ
t
ă
ng l
ươ
ng theo ph
n tr
ă
m. Ta có
(
)
2
~ 12,2; 3,6
và
( )
~ 0,1
µ
σ
−
=
( )
12,2 10 12,2 10 12,2
10 9 9 9 0,0334
3,6 3,6 3,6
− − −
< = < = Φ =
.
4. 5.
Đ
nghiên c
u tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn, ng
ư
i ta th
p th
#
100 bóng
ñ
èn tr
ư
c c
i ti
n k
4
thu
t. Sau khi c
i ti
n k
4
thu
t, ng
ư
i ta th
p l
i 100 bóng.
S
li
%
u có
ñư
c cho trong b
ng sau:
a)
Tính giá tr
ñ
i di
%
n cho m
i l
p
'
m
u 1 và l
p b
ng t
n s
, t
n su
t cho
m
u 1.
b)
Hãy so sánh giá tr
trung bình và giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n c
a hai m
u trên.
M
u 1: Tr
ư
c c
i ti
n M
u 2: Sau c
i ti
n
Tu
$
i th
(gi
)
S
bóng
ñ
èn
Tu
$
i th
(gi
)
S
bóng
ñ
èn
< 1030 2 1150 10
[1030, 1050) 3 1160 15
[1050, 1070) 8 1170 20
[1070, 1090) 13 1180 30
[1090, 1110) 25 1190 15
[1110, 1130) 20 1200 10
[1130, 1150) 12
[1150, 1170) 10
[1170, 1200] 5
> 1200 2
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
61
Gi i
:
a)
(1
ñ
)
b)
G
i
và
l
n l
ư
t là các BNN ch
tu
$
i th
c
a bóng
ñ
èn tr
ư
c và sau
c
i ti
n k
4
thu
t. Ta có
1112,15
=
;
1175,5
=
;
39,26
=
và
14,38
=
Nh
ư
v
y, trung bình m
u 1 bé h
ơ
n trung bình m
u 2 và
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u 1
l
n h
ơ
n
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u 2.
4. 6.
Theo H
i sinh viên
'
thành ph
LX thì có 60% sinh viên hi
%
n
ñ
ang theo h
c
ñ
i h
c mu
n tìm vi
%
c làm ngoài gi
h
c. M
t m
u g
m 205 sinh viên
ñư
c ch
n
ng
u nhiên. Tìm xác su
t
ñ
trong s
ñ
ó có h
ơ
n 135 sinh viên mu
n tìm vi
%
c làm
ngoài gi
h
c.
Gii:
G
i
là t
l
%
sinh viên hi
%
n
ñ
ang theo h
c
ñ
i h
c mu
n tìm vi
%
c làm ngoài gi
h
c,
0,6
=
.
T
l
%
sinh viên mu
n tìm vi
%
c làm ngoài gi
trên m
u là
205
=
.
Xác su
t có h
ơ
n 135 sinh viên mu
n tìm vi
%
c làm ngoài gi
:
Tr
ư
c c
i ti
n
Tu
$
i th
(gi
)
Giá tr
ñ
i di
%
n T
n s
T
n su
t
< 1030 1020 2 0,02
[1030, 1050) 1040 3 0,03
[1050, 1070) 1060 8 0,08
[1070, 1090) 1080 13 0,13
[1090, 1110) 1100 25 0,25
[1110, 1130) 1120 20 0,20
[1130, 1150) 1140 12 0,12
[1150, 1170) 1160 10 0,10
[1170, 1200] 1185 5 0,05
> 1200 1215 2 0,02
Tng s 100 1
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
62
( )
135 27
135
205 205 41
> = > = >
Vì
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
−
−
Do
ñ
ó
( )
( ) ( )
0
0
0 0 0 0
27
41
135
1 1
−
−
> = >
− −
( )
( )
( )
0
0 0
27 27
0,6
41 41
1 1 205
0,6 1 0,61
1 1,71 1 0,9564 0,0436
− −
= − Φ = − Φ
−
−
= − Φ = − =
4. 7.
M
t m
u kích th
ư
c n
ñư
c thành l
p t
t
$
ng th
tuân theo phân ph
i chu
(
n
v
i k
ỳ
v
ng
µ
và
ñ
l
%
ch chu
(
n là 8. Hãy xác
ñ
nh n sao cho, v
i xác su
t b
"
ng
0,9524, trung bình m
u n
"
m trong kho
ng t
µ
- 4
ñ
n
µ
+ 4.
Gii:
Ta có
(
)
( )
4 4 0,9524
4 0,9524
4
0,9524
µ µ
µ
µ
σ σ
− ≤ ≤ + =
⇔ − ≤ =
−
⇔ ≤ =
(1
ñ
)
2 1 0,9524
2
0,9762
2
1,98
2
16
⇔ Φ − =
⇔ Φ =
⇔ =
⇒ =
(1
ñ
)
4. 8.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
63
S
li
%
u th
ng kê cho bi
t có 40% các h
gia
ñ
ình
'
thành ph
A có thu nh
p
hàng n
ă
m n
"
m trong kh
ng t
1200 USD
ñ
n 2000 USD. V
y, ph
i
ñ
i
u tra m
t
m
u g
m bao nhiêu h
gia
ñ
ình
ñ
, v
i xác su
t 0,95, t
l
%
các gia
ñ
ình có thu nh
p
trong kho
ng nói trên, sai l
%
ch so v
i t
l
%
chung c
a thành ph
không quá 4%?
Gi i
:
Ta có t
l
%
h
gia
ñ
ình
'
thành ph
A có thu nh
p hàng n
ă
m n
"
m trong kh
ng t
1200 USD
ñ
n 2000 USD là
0,4
=
. G
i
là t
l
%
m
u:
(
)
0,4 0,04 0,95
− < =
( ) ( )
0,4 0,04
0,95
0,4 1 0,4 0,4 1 0,4
−
⇔ < =
− −
( )
( )
0,04
2 1 0,95
0,4 1 0,4
0,04
0,975
0,4 1 0,4
⇔ Φ − =
−
⇔ Φ =
−
( )
0,04
1,96
0,4 1 0,4
576,24 577
⇔ =
−
⇔ ≈ =⇒
4. 9.
M
t lô hàng
ñ
t tiêu chu
(
n xu
t kh
(
u n
u t
l
%
ph
ph
(
m không quá 5%. N
u
ki
m tra ng
u nhiên 100 s
n ph
(
m thì v
i t
l
%
ph
ph
(
m th
c t
t
i
ñ
a là bao
nhiêu, chúng ta có th
cho phép lô hàng
ñư
c xu
t kh
(
u mà kh
n
ă
ng không m
c
sai l
m là 95%?
Gi i:
G
i
0
là t
.
l
%
ph
ph
(
m th
c t
t
i
ñ
a.
Lô hàng
ñư
c phép xu
t kh
(
u mà không m
c sai l
m khi
0
<
. Theo
ñ
bài:
(
)
0
0,95
< =
( ) ( )
0
0,050,05
100 100 0.95
0,05 1 0,05 0,05 1 0,05
−−
⇔ < =
− −
Vì
( )
( )
0,05
100 ~ 0,1
0,05 1 0,05
−
−
nên
ñ6
ng th
c trên t
ươ
ng
ñươ
ng:
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
64
( )
0
0,05
100 0,95
0,05 1 0,05
−
Φ =
−
( )
( )
0
0,95
0 0
0,05
100 1,65
0,05 1 0,05
1,65 0,05 1 0,05
0,05 0,086
100
−
⇒ = =
−
−
⇔ = + ⇔ =
4. 10.
Chi
u cao (
ñơ
n v
cm) c
a m
t thanh niên
'
thành ph
l
n A là BNN tuân theo
lu
t phân ph
i N(165; 100). Ng
ư
i ta
ñ
o ng
u nhiên chi
u cao c
a 100 thanh niên
'
thành ph
A (TP.A).
c)
Xác su
t
ñ
chi
u cao trung bình c
a 100 thanh niên
ñ
ó l
%
ch so v
i chi
u
cao trung bình c
a thanh niên TP.A không v
ư
t quá 2cm là bao nhiêu?
d)
N
u mu
n ch
u cao trung bình
ñ
o
ñư
c sai l
%
ch so v
i chi
u cao trung bình
c
a t
$
ng th
không v
ư
t quá 1cm v
i xác su
t không d
ư
i 99% thì chúng ta
ph
i ti
n hành
ñ
o chi
u cao c
a bao nhiêu thanh niên?
Gi i
:
a)
G
i
là BNN ch
chi
u cao c
a m
i thanh niên
'
thành ph
A. Ta có
(
)
~ 165;100
.
Do
ñ
ó
(
)
~ 165;1
và
(
)
165 ~ 0,1
−
⇒
(
)
(
)
165 2 2 1 0,9545
− < = Φ 2 − =
b)
G
i
là s
thanh niên c
n
ñ
o chi
u cao. Khi
ñ
ó,
( )
165
~ 0,1
10
−
Theo
ñ
bài ta có:
(
)
165 1 0,99
− < ≥
165
0,99
10 10
−
⇔ < ≥
2 1 0,99
10
⇔ Φ − ≥
1,99
0,995
10 2
⇔ Φ ≥ =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
65
( )
1
0,995 2,5758
10
663,47
−
⇒
≥ Φ =
⇒
≥
CHƯƠNG 5: C L NG THAM S Ư Ư
5. 1.
a)
Hãy thi
t l
p công th
c tìm kho
ng tin c
y
γ
cho trung bình t
$
ng th
trong tr
ư
ng h
p t
$
ng th
có phân ph
i chu
(
n
ñ
ã bi
t
ñ
l
%
ch chu
(
n.
b)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho trung bình t
$
ng th
X
bi
t
(
)
2
~ ,
µ σ
X
v
i
3
σ
=
và m
u
ñ
c tr
ư
ng
X
có kích th
ư
c
25
=
n
trung bình m
u
10
=
x
.
Gi i
a)
V
i
ñ
tin c
y
γ
cho tr
ư
c ta tìm kho
ng
(
)
;
− +
x e x e
sao cho
(
)
µ γ
− < < + =
P X e X e
(
)
| |
| |
| |
µ γ
µ
γ
σ σ
γ
σ
⇔ − < =
−
⇔ < =
⇔ < =
P X e
X n
P n e
n
P U e
Vì
(
)
~ 0,1
U N
nên ta có
( )
2 1 ,
γ
σ
Φ − = =
n
a a e
( )
1
2
1
2
γ
γ
+
+
⇔ Φ =
⇒
=
a a u
Suy ra:
1 1
2 2
.
γ γ
σ
σ
+ +
=
⇒
=
n
u e e u
n
V
y, kho
ng tin c
y
γ
cho
µ
là
(
)
;
− +
x e x e
v
i
1
2
γ
σ
+
=
e u
n
.
b)
Áp d
,
ng công th
c trên, kho
ng tin c
y 95% cho trung bình c
a
X
là:
(
)
;
− +
x e x e
1 1 0,95 0,975
2 2
3 3
. . . 1,176
525
γ
σ
+ +
= = = =
e u u u
n
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
66
V
y kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
8,824;11,176
.
5. 2.
a)
Gi
s
#
r
"
ng tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn hình TV có
ñ
l
%
ch chu
(
n
b
"
ng 500, nh
ư
ng ch
ư
a bi
t trung bình. Ngoài ra, tu
$
i th
c
a lo
i bóng
ñ
èn
ñ
ó tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n. Kh
o sát trên m
t m
u ng
u nhiên g
m
15 bóng lo
i trên, ng
ư
i ta tính
ñư
c tu
$
i th
trung bình là 8900 gi
. Hãy tìm
kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a lo
i bóng
ñ
èn hình nói trên.
a)
M
t t
$
ng th
X có phân ph
i chu
(
n. Quan sát m
t m
u ng
u nhiên kích
th
ư
c 25 ng
ư
i ta tính
ñư
c trung bình là 15 và
ñ
l
%
ch chu
(
n là 3. Hãy
ư
c
l
ư
ng k
ỳ
v
ng c
a X b
"
ng kho
ng tin c
y 95%.
Gii
a)
Kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
V
i
8900
x
=
, và
1 0,975
2
500 500
. . 1,96. 253
15 15
e u u
n
+ γ
σ
= = = =
Do
ñ
ó
(
)

b)
Kho
ng tin c
y cho k
ỳ
v
ng c
a X là:
(
)
- ;
+
x e x e
v
i
15
=
x
Vì X có phân ph
i chu
(
n ch
ư
a bi
t
ñ
l
%
ch chu
(
n nên:
( ) ( )
24 24
1 1 0,95
2 2
3 3
. . 2,0639. 1, 24
5
25
+ γ +
= = = =
s
e t t
n
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm là
(
)

5. 3.
Gi
s
#
r
"
ng tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn hình TV có
ñ
l
%
ch chu
(
n b
"
ng
500, nh
ư
ng ch
ư
a bi
t trung bình. Tuy nhiên, trung bình m
u b
"
ng 8900
ñư
c
tính trên m
u c
5
35
=
.
a)
Hãy tìm kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a lo
i bóng
ñ
èn
hình
ñ
ang kh
o sát.
b)
Gi
s
#
r
"
ng tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn hình TV trên có phân ph
i
chu
(
n. Hãy tìm kho
ng tin c
y 90% cho trung bình t
$
ng th
.
Gi i
a)
Kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
i
8900
x
=
và
1 0,975
2
500 500
. . 1,96. 165,65
35 35
e u u
n
+γ
σ
= = = =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm là: (8734; 9066) (gi
).
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
67
b)
Kho
ng tin c
y 90% cho tu
$
i th
trung bình c
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
i
8900
x
=
.
Do X có phân ph
i chu
(
n ch
ư
a bi
t
ñ
l
%
ch chu
(
n nên:
( ) ( )
1 34
1 1 0 ,9
2 2
500 500
. . 1,6909. 142,9
35 35
n
s
e t t
n
−
+ γ +
= = = =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm: (8757; 9043) (gi
).
5. 4.
a)
Ki
m tra tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn hình TV trên m
t m
u ng
u nhiên
g
m 100 bóng
ñ
èn tính
ñư
c giá tr
trung bình m
u là 8900 gi
và
ñ
l
%
ch
chu
(
n m
u b
"
ng 500 gi
. Hãy tìm kho
ng tin c
y 95% cho trung bình t
$
ng
th
.
b)
Đ
tin c
y s
+
là bao nhiêu n
u cùng m
u trên sai s
ư
c l
ư
ng b
"
ng 130
gi
.
Gi i
a)
Kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
i
8900
x
=
.
1 1 0,95
2 2
500 500
. . 1,96. 98
100 100
+ γ +
= = = =
s
e u u
n
Kho
ng tin c
y c
n tìm: (8802; 8998) (gi
).
b)
Gi
s
#
γ
là
ñ
tin c
y, khi sai s
ư
c l
ư
ng
1 1
2 2
500 100
. 130 130. 2,6
500
100
γ γ
+ +
= =
⇒
= =
Tra b
ng 4 ta tìm
ñư
c
1
0,9953 0,9906
2
γ
γ
+
= ⇔ =
.
(
( )
1
2
1
2,6
2
γ
γ
+
+
= < = <
v
i
(
)
~ 0,1
)
V
y,
ñ
tin c
y
99,06%
γ
=
.
5. 5.
Kh
i l
ư
ng X c
a m
t s
n ph
(
m do m
t nhà máy s
n xu
t tuân theo lu
t phân
ph
i chu
(
n. L
y m
t m
u ng
u nhiên (không hoàn l
i) g
m 10% c
a m
t lô hàng
g
m 300 s
n ph
(
m c
a nhà máy
ñ
ó, ng
ư
i ta tính
ñư
c
x
= 148,50 gam và s =
35,75 gam.
a)
Hãy xây d
ng công th
c tìm kho
ng tin c
y
γ
cho trung bình t
$
ng th
h
u
h
n trong tr
ư
ng h
p l
y m
u không hoàn l
i.
b)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho kh
i l
ư
ng trung bình c
a m
i s
n ph
(
m
trong lô hàng nói trên.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
68
Gi i
a)
G
i N là kích th
ư
c t
$
ng th
, n là kích th
ư
c m
u.
Vì l
y m
u có hoàn l
i thì
1
X
X
N n
N
n
σ
−
σ =
−
Theo
ñ
nh lý gi
i h
n trung tâm,
( )
1
~ 0,1
X
X
X X N
U n N
N n
− µ −µ −
= =
σ σ −
Và
( )
1
~ 1
/ 1
U X N
T n t n
S N n
Y n
− µ −
= = −
−
−
7
ñ
ây
(
)
( )
2
2
2
1
~ 1
X
n S
Y n
−
= χ −
σ
Do
ñ
ó v
i
ñ
tin c
y
γ
cho tr
ư
c ta tìm e sao cho
(
)
P X e
− µ < = γ
T
ñ
ó
(
)
P T a
< = γ
v
i
1
e N
a n
s N n
−
=
−
Suy ra
( )
1
2
γ
+
< =
P T a
v
i
T
là BNN có phân ph
i student
1
−
n
b
c t
do.
Suy ra
(
)
1
1
2
−
+ γ
=
n
a t
V
y ta tính
ñư
c
( )
1
1
2
1
γ
−
+
−
=
−
n
s N n
e t
N
n
b)
Theo
ñ
bài ta có
30; 35,75; 300; 148,5; 0,95
n s N x
= = = = γ =
Ta tính
ñư
c
( )
29
1 0,95
2
35,75 270
. 12,685
299
30
+
= =
e t
Kho
ng tin c
y 95% cho kh
i l
ư
ng trung bình là
(
)
135,815;161,185
5. 6.
M
t lô bút bi c
a xí nghi
%
p A s
n xu
t ra g
m 1000 h
p, m
i h
p 10 cây.
Ki
m tra ng
u nhiên 50 h
p, th
y có 45 cây bút b
h
ng.
a)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
bút b
h
ng và s
bút b
h
ng c
a lô
hàng.
b)
V
i m
u trên, n
u mu
n
ư
c l
ư
ng t
l
%
bút h
ng v
i
ñ
chính xác 1,5%
thì
ñ
tin c
y
ñ
t
ñư
c là bao nhiêu?
Gii
a)
G
i
p
là t
l
%
bút h
ng c
a lô bút.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
69
T
.
l
%
bút h
ng trên m
u
45
0,09
500
p
= =
Kho
ng tin c
y 95% cho t
.
l
%
bút h
ng c
a m
u:
(
)
;
p e p e
− +
v
i
( ) ( )
1 0,95
2
1 0,09 1 0,09
1,96. 0,025
500
p p
e u
n
+
− −
= = =
Kho
ng tin c
y 95% cho t
.
l
%
bút h
ng c
n tìm là:
(
)
0,065;0,115
và cho s
bút
h
ng là
(
)
650;1150
(cây).
b)
Gi
s
#
0,015
e
=
, ta có
( )
( )
1 1
2 2
1
0,015 0,015 1,172
1
p p
n
u u
n p p
+γ +γ
−
=
⇒
= =
−
1
1 0,7588
2
 
+ γ
⇒
=
⇒
γ = − =
=75,88%.
5. 7.
Quan sát
'
m
t m
u, ng
ư
i ta có k
t qu
v
chi
u cao X(m) c
a lo
i cây công
nghi
%
p
'
m
t nông tr
ư
ng nh
ư
sau:
x
i
3 4 5 6 7
8
s
cây
2 8 23 32 23
12
a)
Hãy
ư
c l
ư
ng chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó b
"
ng kho
ng tin c
y
90%.
b)
Đ
ư
c l
ư
ng chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó
'
ñ
tin c
y 95%, v
i
sai s
không quá 2 dm thì c
n ph
i quan sát thêm bao nhiêu cây n
a?
Gi i
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
6,02
x
=
và
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u
=

s
.
Kho
ng tin c
y 90% cho chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó là:
(
)
;
− +
x e x e
,
1 0,95
2
1,206 1,206
. 1,65.
10 10
100
+ γ
= = =

s
e u u
Do
ñ
ó
(
)

b)
Gi
s
#
1
n
là s
cây c
n quan sát v
i
ñ
tin c
y 95% và sai s
không quá
0,2 (m) ta có:
0,975
1
1,45
0,2
≤
u
n
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
70
2
1 0,975 1
1,206 1, 206
1,96. 139,6
0,2 0, 2
⇔ ≥ ⇔ ≥ =
n u n
1
140
⇒
=
n
V
y ta c
n quan sát thêm ít nh
t 140 – 100 = 40 (cây) n
a.
5. 8.
Quan sát
'
m
t m
u, ng
ư
i ta có k
t qu
v
chi
u cao X(m) c
a lo
i cây công
nghi
%
p
'
m
t nông tr
ư
ng nh
ư
sau:
x
i
3 4 5 6 7
8
s
cây
2 8 23 32 23
12
a)
Hãy
ư
c l
ư
ng chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó b
"
ng kho
ng tin c
y
90%.
b)
Nh
ng cây cao t
7 m tr
'
lên g
i là cây lo
i A. Hãy tìm kho
ng tin c
y
95,44% cho t
l
%
cây lo
i A c
a nông tr
ư
ng.
Gi i
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
6,02
x
=
và ph
ươ
ng sai m
u
2

s
=
Kho
ng tin c
y 90% cho chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó là:
(
)
;
x e x e
− +
,
1 0,95
2
1,2059 1,2059
. 1,65.
10 10
100

s
e u u
+ γ
= = =
Do
ñ
ó
(
)

K =
b)
T
.
l
%
cây lo
i A trên m
u là:
35
100
p
= =
Kho
ng tin c
y 95,44% cho t
.
l
%
cây lo
i A c
a nông tr
ư
ng là:
(
)
;
p e p e
− +
v
i
( )
1 0,9544 0,9772
2
1
0,35.0,65 0,35.0,65
2. 0,0954
100 10
p p
e u u
n
+
−
= = = =
Kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
0,2546;0,4454
.
5. 9.
Đ
sâu c
a bi
n
ñư
c xác
ñ
nh b
"
ng m
t máy
ñ
o có sai s
h
%
th
ng b
"
ng 0,
còn sai s
ng
u nhiên c
a nó tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n
v
i
ñ
l
%
ch chu
(
n
20m.
a)
C
n ph
i ti
n hành bao nhiêu l
n
ñ
o
ñ
xác
ñ
nh
ñư
c
ñ
sâu c
a bi
n v
i
sai s
cho phép không quá 15m
'
ñ
tin c
y 90% ?
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
71
b)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho sai s
ng
u nhiên trung bình. Bi
t r
"
ng khi
ti
n hành
ñ
o
'
m
t
ñ
a
ñ
i
m xác
ñ
nh 25 l
n ng
ư
i ta tính
ñư
c sai s
ng
u
nhiên trung bình m
u là 100m.
Gii
a)
G
i
là s
l
n
ñ
o c
n thi
t.
Ta có
2 2
2 2
1 1
2
2 2
20
15 .1,65 4,84
15 225
e u n u
n
+γ +γ
σ σ
= ≤ ⇔ ≥ = =
V
y c
n
ñ
o ít nh
t 5 l
n.
b)
Kho
ng tin c
y 95% cho sai s
trung bình ng
u nhiên là:
(
)
;
− +
v
i
1 ,95 0,975
2
20 20
. . 1,96. 7,8
5
25
σ
+0
= = = =
V
y kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
92,2;107,8
.
5. 10.
Ng
ư
i ta mu
n
ư
c l
ư
ng t
l
%
viên thu
c b
s
t m
trong m
t lô thu
c r
t
nhi
u viên.
a)
N
u mu
n sai s
cho phép không quá 1%
'
ñ
tin c
y 95% thì ph
i quan
sát ít nh
t m
y viên?
b)
Quan sát ng
u nhiên 200 viên, th
y có 20 viên b
s
t m
. Hãy tìm kho
ng
tin c
y 95% cho t
l
%
t
$
ng th
. N
u mu
n sai s
cho phép không quá 1%
'
ñ
tin c
y 95% thì ph
i quan sát ít nh
t m
y viên?
Gi i
a)
Theo
ñ
bài ta có:
0,01
e
≤ ε =
;
2 2
1 1 0,95
2 2
2.0,01 0,02

u u
n
+ γ +
⇔ ≥ = =
V
y, ph
i quan sát ít nh
t 9604 viên.
b)
G
i
p
là t
l
%
viên thu
c b
s
t m
. Kho
ng tin c
y 95% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 1 0,95
2 2
1 0,1 0,9
0,09
1,96.
200 200

p p
e u u
n
+γ +
−
= = = =
V
y kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
viên thu
c b
s
t m
là:
(
)

N
u sai s
không quá 1%
'
ñ
tin c
y 95% ta c
n quan sát bao nhiêu:
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
72
( )
2 2
1 1 0,95
2 2
. 1 .0,1.0,9
0,01

u u
n p p
+ γ +
≥ − = =
ε
V
y, ph
i quan sát ít nh
t 3458.
5. 11.
Đ
nghiên c
u s
n l
ư
ng s
a hàng ngày (SLSHN) c
a m
t
ñ
àn bò, ng
ư
i ta
ñ
i
u tra ng
u nhiên trên 100 con bò c
a nông tr
ư
ng và có k
t qu
sau:
SLSHN (kg) 9 10 12 14 15
S
con bò 10 24 42 16 8
a)
Ư
c l
ư
ng s
n l
ư
ng s
a trung bình m
i ngày c
a m
t con bò b
"
ng
kho
ng tin c
y 97%.
b)
V
i
ñ
tin c
y 97%, có th
nói s
n l
ư
ng s
a trung bình hàng ngày c
a
m
t con bò nhi
u nh
t b
"
ng bao nhiêu?
Gi i
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
11,78
x
=
,
1,79
s
=
Kho
ng tin c
y 97% cho SLSHN trung bình:
(
)
;
x e x e
− +
V
i
1 0,97 0,985
2
1,79 1, 79
. . 2,1707. 0,39
10
100
s
e u u
n
+
= = = =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm là: (11,39; 12,17) (kg)
b)
Ta tìm kho
ng tin c
y m
t bên:
(
)
;
x e
−∞ +
:
v
i
0,97
1,79 1,79
1,88. 0,337
10
100
s
e u u
n
γ
= = = =
T
ñ
ó suy ra s
n l
ư
ng s
a trung bình hàng ngày nhi
u nh
t:
11,78 0,337 12,117
+ =
(kg)
5. 12.
Đ
nghiên c
u s
n l
ư
ng s
a hàng ngày (SLSHN) c
a m
t
ñ
àn bò, ng
ư
i ta
ñ
i
u tra ng
u nhiên trên 100 con bò c
a nông tr
ư
ng và có k
t qu
sau:
SLSHN (kg) 9 10 12 14 15
S
con bò 10 24 42 16 8
a)
Tìm kho
ng tin c
y 90% cho t
l
%
bò cho SLSHN trên 11kg.

Mu
n sai s
khi
ư
c l
ư
ng s
n l
ư
ng s
a trung bình m
i ngày không
v
ư
t quá 0,5kg và sai s
khi
ư
c l
ư
ng t
l
%
bò cho SLSHN trên 11kg không
v
ư
t quá 12%, v
i cùng
ñ
tin c
y 98%, thì c
n
ñ
i
u tra bao nhiêu con bò?
Gi i
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
73
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
11,78
x
=
,
1,79
s
=
G
i p là t
l
%
bò cho SLSHN trên 11 kg.
T
l
%
này trên m
u kh
o sát là:
66
0,66
100
p
= =
Kho
ng tin c
y 90% cho p:
(
)
;
p e p e
− +
V
i
( ) ( ) ( )
1 0,9 0,95
2
1 0,66 1 0,66 0,66 1 0,66
. 1,6449. 0,0779
100 100
p p
e u u
n
+
− − −
= = = =
V
y, t
l
%
bò cho SLSHN trên 11 kg t
58,21%
ñ
n 73,79%.
b)
G
i
1
n
là s
bò c
n
ñ
i
u tra. Ta ph
i có:
( )
2
2
2
2
1 1 0,98
2
1
2
2
2
2
1
21 1 0,98
2
2
1,79
.
2,3263 . 69, 4
0,5
0,5
1 0,66.0,34
2,3263 . 84,33
.
0,12
0,12
s
n u
n
p p
n
n u
+
+
≥
≥ =
⇔
−
≥ =
≥
Ch
n
1
85
n
=
. V
y c
n
ñ
i
u tra 85 con bò.
5. 13.
Đ
dài c
a m
t lo
i chi ti
t máy
ñư
c
ñ
o 25 l
n b
"
ng m
t máy
ñ
o có sai s
h
%
th
ng b
"
ng 0. Bi
t r
"
ng sai s
ng
u nhiên c
a vi
%
c
ñ
o có phân ph
i chu
(
n v
i
ph
ươ
ng sai 100cm và
2
ñ
dài trung bình trong 25 l
n
ñ
o là 100cm.
a)
Hãy tìm kho
ng tin c
y 99% cho
ñ
dài c
a lo
i chi ti
t máy trên.
b)
Ph
i ti
n hành bao nhiêu l
n
ñ
o
ñ
b
r
ng kho
ng tin c
y 99% cho
ñ
dài
c
a lo
i chi ti
t máy trên không quá 8 cm.
Gi i
a)
Kho
ng tin c
y 99% cho
ñ
dài chi ti
t máy nói trên:
(
)
;
x e x e
− +
.
V
i
1 0,995
2
10 10
. . 2,5758. 5,15
5
25
e u u
n
γ
σ
+
= = = =
Đ
áp s
: (94,85; 105,15).
b)
G
i
1
n
là s
l
n
ñ
o. Ta c
n có:
( )
1
2
1
2
2 2
2
2
1 1 0,995
2
2
2 8 4
. 4
100
. . 2,5758 . 41,47
4 16 16
e e
u
n
n u u
γ
γ
σ
σ σ
+
+
≤ ⇔ ≤
⇔ ≤
⇔ ≥ = = =
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
74
Suy ra,
1
42
n
=
.
V
y, c
n ti
n hành
ñ
o ít nh
t 42 l
n.
5. 14.
Gi
s
#
ñư
ng kính c
a m
t lo
i s
n ph
(
m là bi
n ng
u nhiên có phân ph
i
N(
µ
,
σ
2
).
Đ
o 10 s
n ph
(
m, ng
ư
i ta có b
ng s
li
%
u:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho
µ
và kho
ng tin c
y 99% cho
µ
và
σ
2
.
Gi i
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c:

x
=

s
=
♣♣♣♣
Kho
ng tin c
y 95% cho
ñư
ng kính trung bình:
1 9
1 0,95 0,975
2
10 10


n
s
e t t
−
+
= = =
(
)
4,0257; 4,5543
♣♣♣♣
Kho
ng tin c
y 99% cho
ñư
ng kính trung bình:
(
)
3,9102; 4,6698
♣♣♣♣
Kho
ng tin c
y 99% cho ph
ươ
ng sai là:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,99 0,995
2 2
1 9 9 23,589
n
+ γ +
χ − = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,99 0,005
2 2
1 9 9 1,735
n
−γ −
χ − = χ = χ =
(
)
2
1 9.

n s− =
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
; 0,0521;0, 7084
1 1
+γ − γ
− −
=
χ − χ −
n s n s
n n
5. 15.
Nghiên c
u v
ñ
b
n (kg/mm ) cX
2
a m
t lo
i thép, ng
ư
i ti
n hành m
t s
quan sát m
t s
t
m thép trên m
u và có k
t qu
cho trong b
ng sau:
Đ
b
n (kg/mm )
2 S
t
m thép
(95, 115]
(115,135]
(135,155]
(155,175]
15
19
23
31
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
75
(175,195]
(195,215]
> 215
29
21
6
a)
Tìm kho
ng tin c
y 97% cho
ñ
b
n trung bình c
a lo
i thép trên.
b)
S
+
ñ
t
ñ
tin c
y bao nhiêu n
u mu
n
ư
c l
ư
ng
ñ
b
n trung bình c
a
lo
i thép trên b
"
ng kho
ng tin c
y có
ñ
dài b
"
ng 6?
Gi i
a)
T
s
li
%
u trên ta tính
ñư
c:
162,6389; 33,4076
x s
= =
Kho
ng tin c
y 97% cho trung bình
ñ
b
n:
(
)
;
x e x e
− +
1 0,985
2
6,0412
12
144
 

s
e u u
n
+ γ
= = = =
(
)
(
)
; 156,6;168,7
x e x e− + =
b)
G
i
γ
là
ñ
tin c
y c
n tìm
Ta có:
1 1
2 2
144
3 3. 3. 1,0814
33,0476
s n
e u u
s
n
+γ + γ
= = ⇒ = = =
1
0,86 72%
2
+ γ
⇒ = ⇒ γ =
5. 16.
Nghiên c
u v
ñ
b
n (kg/mm ) cX
2
a m
t lo
i thép, ng
ư
i ti
n hành m
t s
quan sát m
t s
t
m thép trên m
u và có k
t qu
cho trong b
ng sau:
Đ
b
n (kg/mm )
2 S
t
m thép
(95, 115]
(115,135]
(135,155]
(155,175]
(175,195]
(195,215]
> 215
15
19
23
31
29
21
6
a)
Tìm kho
ng tin c
y 97% cho
ñ
b
n trung bình c
a lo
i thép trên.
b)
Thép có
ñ
b
n trên 195kg/mm
2
ñư
c g
i là thép lo
i A. Tìm kho
ng tin
c
y 98% cho t
l
%
thép lo
i A.
Gi i
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
76
a)
T
s
li
%
u trên ta tính
ñư
c:
162,6389; 33,4076
x s
= =
Kho
ng tin c
y 97% cho trung bình
ñ
b
n:
1 0,985
2
6,0412
12
144
 

s
e u u
n
+ γ
= = = =
(
)
(
)
; 156,6;168,7
x e x e− + =
b)
G
i
p
là t
.
l
%
thép lo
i A. T
l
%
m
u:
27
0,1875
144
p = =
.
Kho
ng tin c
y 98% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
( )
1 0,98 0,99
2
1 0,1875 1 0,1875
. .
144
0,1875 1 0,1875
2,3263. 0,0106
144
p p
e u u
n
+
− −
= =
−
= =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm:
(
)
0,1769; 0,1981
.
5. 17.
M
c tiêu hao nguyên li
%
u cho m
t
ñơ
n v
s
n ph
(
m là m
t bi
n ng
u nhiên X
tuân theo qui lu
t chu
(
n. Quan sát 28 s
n ph
(
m
ñư
c ch
n ng
u nhiên, ng
ư
i ta
thu
ñư
c k
t qu
cho trong b
ng sau:
x (gam) 19 19,5 20 20,5
s
s
n ph
(
m 5 6 14 3
Hãy xây d
ng kho
ng tin c
y 90% cho ph
ươ
ng sai t
$
ng th
trong hai tr
ư
ng
h
p:
a)
bi
t E(X) = 20g;
b)
ch
ư
a bi
t E(X).
Gi i
a)
Kho
ng tin c
y
γ
cho ph
ươ
ng sai t
$
ng th
:
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
;
γ γ
µ µ
χ χ
= =
+ −
− −
∑ ∑
n n
k k
k k
x x
n n
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0 ,9 0,95
2 2
28 28 41,337
n
+ γ +
χ = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,05
2 2
28 28 16,928
n
−γ −
χ = χ = χ =
( )
2
1
7,25
n
k
k
x
=
− µ =
∑
Kho
ng tin c
y c
n tìm:
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
77
( )
7,25 7,25
; 0,175;0,428
41,337 16,928
=
b)
Kho
ng tin c
y
γ
cho ph
ươ
ng sai t
$
ng th
:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
;
1 1
γ γ
χ χ
+ −
− −
− −
n s n s
n n
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,95
2 2
1 27 27 40,113
n
+ γ +
χ − = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,05
2 2
1 27 27 16,151
n
−γ −
χ − = χ = χ =
(
)
2
1 5,74
n s− =
Kho
ng tin c
y c
n tìm:
( )
5,74 5,74
; 0,143;0,355
40,113 16,151
=
.
5. 18.
X (
ñơ
n v
tính b
"
ng %) là ch
tiêu c
a m
t lo
i s
n ph
(
m.
Đ
i
u tra
'
m
t s
s
n ph
(
m (s.ph), ng
ư
i ta có s
li
%
u:
X
i
S
s
n ph
(
m
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15)
[15,17)
[17,19)
[19,21)
2
8
14
19
22
20
10
5
a)
Đ
ư
c l
ư
ng trung bình ch
tiêu vX
i
ñ
tin c
y 95% và
ñ
chính xác
0,3% thì c
n
ñ
i
u tra thêm bao nhiêu s
n ph
(
m n
a?
b)
Ng
ư
i ta xem các s
n ph
(
m có ch
tiêu dX
ư
i m
t m
c qui
ñ
nh là lo
i 2.
T
s
li
%
u trên, b
"
ng ph
ươ
ng pháp
ư
c l
ư
ng kho
ng t
l
%
(lo
i 2), ng
ư
i ta
tính
ñư
c kho
ng tin c
y là (4%, 16%). Tìm
ñ
tin c
y c
a
ư
c l
ư
ng này.
Gi i
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c:
13,52
x
=
;
3,35
s
=
.
Đ
ư
c l
ư
ng trung bình ch
tiêu
X
v
i
ñ
tin c
y 95% và sai s
0,3 ta c
n:
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
78
2
2
1
0,9752 2
2
1
. . 11,2420
0,3 0,3
 
u
u
n s s
+ γ
≥ = = × =
V
y c
n
ñ
i
u tra thêm 283 s
n ph
(
m n
a.
b)
G
i
p
là t
l
%
s
n ph
(
m lo
i 2
'
m
u t
kho
ng tin c
y
γ
c
a t
.
l
%
s
n
ph
(
m lo
i 2 ta có:
0,04 0,1
0,16 0,06
p e p
p e e
− = =
⇔
+ = =
M
t khác,
( )
( )
1
2
1
2
1
1
0,06 0,06
/ 100 10 2
0,3
0,1 0,9
p p
e u
n
p p
u e
n
+γ
+γ
−
=
−
⇒ = = = =
×
1
2
 
+ γ
= ⇔ γ
5. 19.
Vi
%
n th
ng kê mu
n
ư
c l
ư
ng t
l
%
p
ng
ư
i dân không
ñ
ng ý v
m
t
ñ
i
u
lu
t m
i
ñư
c
ñ
ngh
.
a)
N
u mu
n sai s
cho phép không quá 2%
'
ñ
tin c
y 90% thì ph
i h
i ý
ki
n ít nh
t m
y ng
ư
i?
b)
Trên m
t m
u ng
u nhiên 344 ng
ư
i
ñư
c h
i ý ki
n, có 83 ng
ư
i không
ñ
ng ý. Hãy tìm kho
ng tin c
y 90% cho
p
. D
a vào s
li
%
u c
a m
u này,
hãy gi
i l
i câu a).
Gi i
a)
G
i
n
là s
ng
ư
i c
n h
i ý ki
n. Ta ph
i có:
2 2
1 0,9 1 0,9
2 2
1 1
. . 1691,1
2 2.0,02
n u u
ε
+ +
≥ = =
V
y, ph
i h
i ý ki
n ít nh
t 1692 ng
ư
i.
b)
T
l
%
m
u:
83
0,241
344
p = =
. Kho
ng tin c
y 90% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 0,9
2
1 0,241 1 0,241
. 1,6449. 0,0379
344
p p
e u
n
+
− −
= = =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
0,2031;0,2789
t
c là t
20,31%
ñ
n
27,89%.
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
79
Gi
i l
i câu a), trên c
ơ
s
'
có m
u th
ă
m dò, kích th
ư
c m
u c
n tìm:
(
)
(
)
2 2
1 1 0,9
2 2
2
1 0,241 1 0,241
. 1,6449 . 752,2
0,02
p p
n u
ε
+
− −
≥ = =
V
y, c
n h
i ý ki
n ít nh
t 753 ng
ư
i.
5. 20.
Đ
nghiên c
u
ñư
ng kính X (mm)
c
a m
t lo
i s
n ph
(
m do m
t xí nghi
%
p
s
n xu
t, ng
ư
i ta
ñ
o ng
u nhiên 100 s
n ph
(
m c
a xí nghi
%
p và có k
t qu
cho
trong b
ng sau:
x
i
9,85 9,90 9,95 10,00
10,05
10,10
10,15
T
n s
8 12 20 30 14 10 6
Theo qui
ñ
nh, nh
ng s
n ph
(
m có
ñư
ng kính t
9,9 mm
ñ
n 10,1 mm là
nh
ng s
n ph
(
m
ñ
t tiêu chu
(
n k
4
thu
t. Tìm kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
và
ñư
ng kính trung bình c
a nh
ng s
n ph
(
m
ñ
t tiêu chu
(
n k
4
thu
t.
Gi i
B
ng s
li
%
u cho các s
n ph
(
m
ñ
t tckt:
x
i
9,90 9,95 10,00
10,05
10,10
T
n s
12 20 30 14 10
♣♣♣♣
G
i
p
là t
l
%
s
n ph
(
m
ñ
t tckt, t
l
%
này trên m
u là:
86
0,86
100
p = =
Kho
ng tin c
y 95% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 0,95
2
1 0,86 1 0,86
. 1,96. 0,068
100
p p
e u
n
+
− −
= = =
V
y, kho
ng tin c
y cho
p
là:
(
)
0,792; 92,8
ngh
ĩ
a là t
79,2%
ñ
n
92,8%.
♣♣♣♣
G
i
1
X
là BNN ch
ñư
ng kính c
a nh
ng s
n ph
(
m
ñ
t tckt. T
s
li
%
u ta có:
1 1
9,994; 0,06
x s= =
.
Kho
ng tin c
y 95% cho
ñư
ng kính trung bình nh
ng s
n ph
(
m
ñ
t tckt:
(
)
1 1
;
x e x e
− +
1
1 0,95
2
1
0,06
. 1,96. 0,012
86
s
e u
n
+
= = =
Kho
ng tin c
y c
n tìm:
(
)
9,982;10,006
(mm).
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
80
5. 21.
X (tính b
"
ng %) và Y (tính b
"
ng cm) là 2 ch
tiêu c
a m
t lo
i s
n ph
(
m.
Ki
m tra ng
u nhiên
'
m
t s
s
n ph
(
m, ng
ư
i ta có k
t qu
sau:
x
i
y
k
1 2
3
x
4
x
(90, 95] 5 13 2
(95, 100] 19 23 15 8
(100, 105] 12 10 7
(105, 110] 5 2
a)
Đ
ư
c l
ư
ng trung bình c
a ch
tiêu Y v
i sai s
cho phép 0,5 cm và
ñ
tin c
y 90% thì c
n
ñ
i
u tra thêm bao nhiêu s
n ph
(
m n
a?
b)
Cho bi
t kho
ng tin c
y 96% c
a ch
tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr
trung bình và
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u c
a ch
tiêu X.
Gi i
a)
B
ng phân b
t
n s
ch
tiêu Y:
k
y
(90, 95] (95, 100]
(100,
105]
(105,
110]
k
n
20 65 29 7
T
ñ
ó:
98,4504; 3,89
y
y s= =
G
i
1
n
là s
s
n ph
(
m c
n
ñ
i
u tra:
2
2 2
2
1 1 0,9
2 2
2
3,89
. 1,6449 . 163,8
0,5
Y
s
n u
ε
+
≥ = =
1
164
n⇒ =
V
y, c
n
ñ
i
u tra thêm 43 s
n ph
(
m n
a.
b)
Theo
ñ
bài ta có:
1,59 2,1
2,61 0,51
x e x
x e e
− = =
⇔
+ = =
M
t khác,
1 0,96
1 0,962
2
0,51. 121
. 2,732
2,0537
s e n
e u s
u
n
+
+
= ⇒ = = =
5. 22.
| 1/125
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân BÀI TP
XÁC SUT THNG KÊ 1
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân CHƯƠNG 1: XÁC SUT 1.1.
Mt hp có 100 tm th như nhau ñưc ghi các s t 1 ñn 100, Rút ngu
nhiên hai th ri ñt theo th t t trái qua phi. Tính xác sut ñn
a/ Rút ñưc hai th lp nên mt s có hai ch s.
b/ Rút ñưc hai th lp nên mt s chia ht cho 5. Gii
a/ A :“Hai th rút ñưc lp nên mt s có hai ch s” 2 A 9.8 P ( A) 9 = = ≈ 0,0073 2 A 100.99 100
b/ B : “Hai th rút ñưc lp nên mt s chia ht cho 5”
S chia ht cho 5 tn cùng phi là 0 hoc 5. Đ có bin c B thích hp vi ta rút
th th hai mt cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 th còn li ñt vào v trí ñâu. Do ñó s trưng hp thun li cho là 99.20 99.20 P (B) = = 0, 20 2 A100 1.2.
Mt hp có cha 7 qu cu trng và 3 qu cu ñen cùng kích thưc. Rút
ngu nhiên cùng mt lúc 4 qu cu. Tính xác sut ñ trong 4 qu cu rút ñưc có a/ Hai qu cu ñen. b/ Ít nht 2 cu ñen c/ Toàn cu trng Gii
Rút ngu nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu cu nên s trưng hp ñng kh năng là 4 C 10
a/ A :”trong 4 qu cu rút có 2 qu cu ñen” 2 2 C .C P ( A) 3 7 = = 0,30 4 C10
b/ B :”trong 4 qu cu ñưc rút có ít nht 2 qu cu ñen” 2 2 3 1
C .C +C .C 1 P (B) 3 7 3 7 = = 4 C 3 10
c/ C:”trong 4 qu cu ñưc chn có toàn cu trng” 2
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 4 C 1 P (C ) 7 = = 4 C 6 10 1.3.
Mt hp thuc có 5 ng thuc tt và 3 ng kém cht lưng. Chn ngu
nhiên ln lưt không tr li 2 ng. Tính xác sut ñ:
a/ C hai ng ñưc chn ñu tt.
b/ Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt.
c/ trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt. Gii
Chn ngu nhiên ln lưt không tr li 2 trong 8 ng nên các trưng hp ñng kh năng là 2 A . 8 2 A
a/ A :” C hai ng ñưc chn ñu tt” P( ) 5 A = ≈ 0,357 2 A8 1 1 C C b/ .
B :” Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt” P (B) 3 5 = ≈ 0,268 2 A8 2 A
c/ C:” trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt” P(C) 3 = 1− ≈ 0,893 2 A8 1.4.
Mt hp ñng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu mi. Ln ñu ngưi ta ly
ngu nhiên 3 qu ñ thi ñu, sau ñó li tr vào hp. Ln th hai ly ngu nhiên 3
qu. Tính xác sut ñ c 3 qu ly ra ln sau ñu mi. Gii
Đt A :” c 3 qu ly ra ln sau ñu mi”
B :” Trong 3 qu ly ra ñ thi ñu có i qu mi” i ∈{0;1;2; } 3 i
Ta thy các {B ; B ; B ; B lp thành nhóm ñy ñ các bin c, theo công thc xác 0 1 2 3} sut toàn phn ( ) =     
   +     
  +  
   +     
           = ( + + + )      ≈    1.5.
T mt lp có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngưi ta chn ngu nhiên
5 sinh viên ñ lp Ban cán b lp (BCB). Tính xác sut ñ 3
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ BCB gm 3 n và 2 nam,
b/ BCB có ít nht mt n,
c/ BCB có ít nht hai nam và hai n. Gii
Đt A : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ 0,1,2,3,4,5 ), k { } chúng ta có: k 5 k C . C − 12 8 P (A ) k = 5 2 C 0
a/ BCB gm 3 n và 2 nam. Xác sut phi tính: 2 3 C12. C 8 77 P( 2 A ) = = 5 323 C20
b/ Đt N: “BCB có ít nht mt n”, thì N = 5 A . Do ñó,
P(N ) = P( 5 A ) = 1 − P( 5 A ) 5 0 C 12. C 8 33 613 = − = 1 − = 5 646 646 C20
c/ Đt H: “BCB có ít nht hai nam và hai n”. Do ñó,
P (H ) = P( A + P A 2) ( 3) = + = 1.6.
T mt hp cha 8 viên bi ñ và 5 viên bi trng ngưi ta ly ngu nhiên 2
ln, m i ln 1 viên bi, không hoàn li. Tính xác sut ñ ly ñưc a/ 2 viên bi ñ; b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi th hai là bi trng. Gii Vi i ∈{1, } 2 , ñăt:
T : “viên bi ly ra ln th i là bi trng”, i
D : “viên bi ly ra ln th i là bi ñ”. i
a/ Đt A :“ly ñưc 2 viên bi ñ”, chúng ta có:
P (A) = P ( 8 7 14 1 D D2 )= P ( 1
D ).P (D2 / 1 D )= . = 13 12 39
b/ Đt B : “ly ñưc hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân P (B ) =P (T D + D T = P T D + P D T 1 2 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )
= P (T .P D / T + P D .P T / D 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) Suy ra: 5 8 8 5 20
P(B) = 1312 + 1312 = 39
c/ T = TT + D T , nên xác sut phi tính là: 2 1 2 1 2
P (T = P TT + P D T 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) = P (T P T T + P D P D T 1 ). ( 2 / 1 ) ( 1 ). ( 2 / 1 ) suy ra P (T2) 5 4 8 5 5 = 13 12 + 13 12 = 13 1.7.
Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, gm 5 nam và 3 n np
ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut
ñ trong 4 ngưi ñưc tuyn, a) có duy nht mt nam;
b) có ít nht mt n. Gii
Đt : “Có nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên” ∈    1 3 Gi . 5
: “có duy nht 1 nam” () = () 5 3 = = 1 4 70 8
a) Gi : “có ít nht 1 n” 4 13 () 5
= 1− () = 1 4 − = 4 14 8 1.8.
Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, gm 5 nam và 3 n np
ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut
ñ trong 4 ngưi ñưc tuyn, a/ có không quá hai nam;
b/ có ba n, bit r"ng có ít nht mt n ñã ñưc tuyn. Gii
Đt : “Có nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên” ∈   
a/ Gi : “có không quá 2 nam” 1 3 2 2
.+. 1 () 5 3 5 3
= () + () 1 2 = = 4 2 8
b/ Gi : “chn ra 3 n, bit r"ng có ít nht 1 n ñưc tuyn”.
Gi B : “Có ít nht mt n ñưc chn”. 5
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân 4 Ta có 13 () 5 =1 − (   ) =1 − = 4 4 14 8 () 1 () 1
= (| ) = = 1 ( ) 13 1.9.
Mt c#a hàng sách ưc lưng r"ng: Trong t$ng s các khách hàng ñn c#a
hàng, có 30% khách cn hi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách thc hi%n c hai ñiu trên. Gp ngu nhiên mt khách trong nhà sách. Tính
xác sut ñ ngưi này
a/ không thc hi%n c hai ñiu trên;
b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng. Gii
Đt : “khách hàng cn tư vn”
: “khách hàng cn mua sách”
Theo ñ ta có: () = 0,3;() = 0,2;( )= 0,15
a/ Xác sut khách hàng không cn mua sách cũng không cn tư vn là:
( ) = ( )
+ ( )− ( ) 3 2 15 13 . = 1− + 1− − 1− = 10 10 100 20
b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng. 3 15 () − ( )
() −( ) 1 10 100 / = = = = ( ) ( ) 3 2 10 1.10.
Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi
sn ph(m , 50% dùng loi sn ph(m và trong s nhng ngưi dùng , có
36,5% dùng . Phng vn ngu nhiên mt ngưi dân trong thành ph ñó, tính xác sut ñ ngưi y
a/ Dùng c và ;
b/ Không dùng , cũng không dùng . Gii
Đt : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
Theo ñ bài ta có: () = 0,207;() = 0,5;(| ) = 0,365
a) Xác sut ngưi dân ñó dùng c và là
() = () .(/ ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b) Xác sut ngưi dân ñó không dùng c và là ( .
) = (). + () − ( )= 0,4755 1.11. 6
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi
sn ph(m , 50% dùng loi sn ph(m và trong s nhng ngưi dùng , có
36,5% dùng . Phng vn ngu nhiên mt ngưi dân trong thành ph ñó, tính xác sut ñ ngưi y
a/ Dùng c và ;
b/ Dùng , bit r"ng ngưi y không dùng . Gii
Đt : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
Theo ñ bài ta có: () = 0,207;()= 0,5;(/) = 0,365
a/ Xác sut ngưi dân ñó dùng c và là
() = () .(/ ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b/ Xác sut ngưi dân ñó dùng , bit r"ng không dùng là
(.) () −( ) ( ) 0,5 −0,1852 / = = = = 0,404 () ( ) 1 −0,207 1.12.
Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu
thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì
60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u;
b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nhp trên 20 tri%u. Gii
Đt : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có: () = 0,52;() = 0,6;(/ ) = 0,75
a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u là:
P ( AB) = P( B ).P ( A/ B) = 0,6.0,75 = 0, 45
b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính nhưng thu nhp ít hơn 20 tri%u là:
() = ( )
− ( ) = 0,52 − 0,45 = 0, 07 1.13.
Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu
thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì
60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u;
b/ Có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u, bit r"ng h ñó không có máy vi tính. 7
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Đt : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có: () = 0,52;() = 0,6;(/ ) = 0,75
a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u là:
P ( AB) = P( )
B .P( A / B) = 0,6.0,75 = 0, 45
b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u nhưng không có máy vi tính là: () ( )
() −( ) 0,6 −0, 45 / = = = = 0,3125 ( ) () 1 0 − ,52 1.14.
Trong mt ñi tuyn có hai vn ñng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc
và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có
60% kh năng B thng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch còn 30%.
Tính xác sut ca các bin c sau:
a/ Đi tuyn thng hai trn;
b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn. Gii
Đt : “vn ñng viên thng” vi ∈{ ,  }
Theo ñ bài ta có:() = 0,8;(/ ) = 0,6;(/   )= 0,3
a/ Xác sut ñi tuyn thng 2 trn là (      ) = ( ) . ( /
) = 0, 8.0, 6 = 0, 48
b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn nghĩa là có ít nht mt trong hai vn ñng viên
A, hoc B thng. Xác sut cn tính là: P (M ∪M = P M + P M − P M M A B ) ( B ) ( A) ( . A B ) = 0,54 + 0,8 − 0,48 = 0,86 1.15.
Trong mt ñi tuyn có hai vn ñng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc
và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có
60% kh năng B thng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch còn 30%.
Tính xác sut ca các bin c sau: a/ B thng trn;
b/ Đi tuyn ch thng có mt trn. Gii
Đt : “vn ñng viên thng” vi ∈{ ,  }
Theo ñ bài ta có:() = 0,8;(/ ) = 0,6;(/   )= 0,3
a/ Xác sut B thng trn là: P( M ) = (
P M ) P( M | M .) + P(M ).P (M | M ) = 0,54 B A B A A B A 8
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Đt : “ñi tuyn ch thng 1 trn”
Xác sut ñi tuyn ch thng 1 trn là:
P (D) = P (M .M B + P M M = P M − P M M + P M − P M M A
) ( A. B ) ( A) ( .A B) ( B) ( .A B ) = P (M + P M − P M M A) ( B) 2. (
.A B)= 0,8 + 0,54 − 2.0,48 = 0,38 ` 1.16.
Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc
thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi. Tính xác sut ñ mt thí sinh bt kỳ
a/ Đưc vào ñi tuyn;
b/ B loi ' vòng th ba. Gii
Đt : “thí sinh ñưc chn ' vòng ” vi { ∈ 1, 2, } 3 Theo ñ bài ta có:
( = 0,8;  | = 0,7;  |  = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là
(   =   .  | .  |  = 0,8.0,7.0, 45 = 0,252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1 ) ( 3 1 2)
b/ Xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng th III là (  3
) = ( ).(/ ).( 3 / 1 2 1 2 1 1 2 )
= (.  | . 1−   |  = 0,8.0, 7.0,55 = 0,308 1 ) ( 2 1 ) ( ( 3 1 2 )) 1.17.
Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc
thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi Tính xác sut ñ mt thí sinh bt kỳ
a/ Đưc vào ñi tuyn;
b/ B loi ' vòng th hai, bit r"ng thí sinh này b loi. Gii
Đt : “thí sinh ñưc chn ' vòng ” vi { ∈ 1, 2, } 3 Theo ñ bài ta có:
( = 0,8;  | = 0,7;  |  = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là
(   =   .  | .  |  = 0,8.0,7.0, 45 = 0,252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1 ) ( 3 1 2)
b/ Đt K: “Thí sinh ñó b loi”
( ) = ( 1
) + (2
) + ( 3
) =1− () + ( ) − (  ) + ( 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 ) 9
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
=1 − ().(/ ) + (  3 =1 −0,8.0,7 +0,308 =0,748 1 2 1 1 2 )
Vy, xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng II, bit r"ng thí si nh ñó b loi là:
( 2.) (.2 ) ( ) .(2 | 1 1 1 ) ( 0,8 1− 0,7 2 | ) ( ) = = = = = 0,3209 ( ) () ( ) 0,748 1.18.
Mt lô hàng có 9 sn ph(m ging nhau. M i ln kim tra, ngưi ta chn
ngu nhiên 3 sn ph(m; kim tra xong tr sn ph(m li lô hàng. Tính xác sut ñ
sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra. Gii
Chia 9 sn ph(m thành 3 nhóm. Gi : “Kim tra nhóm ” { ∈ 1, 2, } 3
Đt :”Sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra”   ( )
    =              =   =              1.19.
Mt lp hc ca Trưng Đi hc AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n
sinh viên. S sinh viên quê ' An Giang chim t l% 40% trong n sinh viên, và
chim t l% 60% trong nam sinh viên.
a) Chn ngu nhiên mt sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ chn ñưc mt
sinh viên quê ' An Giang. Nu bit r"ng sinh viên va chn quê ' An
Giang thì xác sut ñ sinh viên ñó là nam b"ng bao nhiêu?
b) Chn ngu nhiên không hoàn li hai sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ
có ít nht mt sinh viên quê ' An Giang, bit r"ng lp hc có 60 sinh viên. Gii a) Đt : 2
: “Chn ñưc sinh viên nam” ()= 3 1
: “Chn ñưc sinh viên n” () = 3
: “Chn ñưc sinh viên quê ' An Giang” 8
() = ( ) + ( ) = ( )  (| ) + ( )
 (| ) = 15 Do ñó, (  ) ( ) (   | ) 3
(|) = = = () () 4
b) Lp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n
S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24
S sinh viên N quê ' An Giang: 8
Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang là 32 sinh viên
: “ít nht mt sinh viên quê ' An Giang” 2 232 28
() = 1− () = 1− = 2 295 60 1.20. 10
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Có ba hp A, B và C ñng các l thuc. Hp A có 10 l tt và 5 l hng,
hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C có 5 l tt và 5 l hng
a/ Ly ngu nhiên t m i hp ra mt l thuc, tính xác sut ñ ñưc 3 l cùng loi.
b/ Ly ngu nhiên mt hp ri t hp ñó ly ra 3 l thuc thì ñưc 1 l tt
và 2 l hng. Tính xác sut ñ hp A ñã ñưc chn. Gii
a/ và :“l ly ra t hp th là tt” ∈ {}
Nên, xác sut ñ ñưc 3 l cùng loi    +  
  =     
  +                           =   +   =       
b/ Đt :“Ly ñưc hp th ” ∈ { 
 } ; :“Ly ñưc 2 l hng và 1 l tt”
 = ()   +     +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                    = + + =          
Khi ñó xác sut ñ hp A ñưc chn (      ) ( ) ( ) 
 = = = =  () ()  1.21.
Có hai hp B và C ñng các l thuc. Hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C
có 5 l tt và 5 l hng. Ly ngu nhiên hai l thuc t hp B b vào hp C, ri
tip theo ly ngu nhiên mt l thuc t hp C thì ñưc l hng. Tính xác sut ñ
a/ L hng ñó là ca hp B b sang;
b/ Hai l thuc b t hp B vào hp C ñu là l hng. Gii
Gi : “Hai l thuc ly t hp B b vào hp C có l hng” ∈ {}
và ñt : “l thuc ly t hp C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b hng” 
 = () () + () () + () (=       ) 
a/ l hng ñó là ca hp B b sang    ()  +   (  )  ()  (  )
  = =      ()               = + =
          11
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ hai l thuc b t hp B vào hp C ñu là l hng       
( )( )           = = = =     ()
        1.22.
Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut
chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp nhau.Tính xác sut ñ:
a/ ñi tuyn thng ít nht mt trn,
b/ ñi tuyn thng 2 trn. Gii Đt :
: “vn ñng viên A chin thng” ( ) = 0,6
: “vn ñng viên B chin thng” ( ) = 0,7
: “vn ñng viên C chin thng” ( ) = 0,8
a/ Gi : “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”
 =  − (
 )= −        =  
b/ Gi : “ ñi tuyn thng 2 trn”
 = (
 )+ (
 ) + (  ) =  1.23.
Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut
chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp nhau.Tính xác sut ñ:
a/ Đi tuyn thng ít nht mt trn,
b/ A thua trong trưng hp ñi tuyn thng 2 trn. Gii Đt :
: “vn ñng viên A chin thng” ( ) = 0,6
: “vn ñng viên B chin thng” ( ) = 0,7
: “vn ñng viên C chin thng” ( ) = 0,8
a/ Gi : “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”
 =  − (
 )= −        =  
b/ A thua trong trưng hp ñi tuyn thng 2 trn
Gi : “ ñi tuyn thng 2 trn”
 = (
 )+ (
 ) + (  ) =  12
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
(  )      = = = ≈            1.24.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Gp ngu nhiên mt sinh viên ca trưng XYZ.
a/ Tính xác sut ñ anh ta trưt c hai môn Toán và Tâm lý; ñu c hai môn Toán và Tâm lý.
b/ Nu bit r"ng sinh viên này trưt môn Tâm lý thì xác sut ñ anh ta ñu môn Toán là bao nhiêu? Gii
: “sinh viên thi trưt môn Toán” ()= 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205
khi ñó (|) = 0,5
a/ Xác sut sinh viên trut môn c môn Toán và Tâm Lý  
  = () () =    = 
Xác sut sinh viên ñu c môn Toán và Tâm Lý ( )
=  −  
 ∪  =  − () − ( )
+ ( ) = 
b/ Xác sut sinh viên ñu môn Toán, bit r"ng trưt môn Tâm Lý: ()
() −() 
() = = = . ( ) ()  1.25.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Chn ngu nhiên 12 sinh viên ca
trưng XYZ. Nhiu kh năng nht là s+ có bao nhiêu sinh viên thi trưt c hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác sut tương ng. Đáp s
Gi : “sinh viên thi trưt môn Toán” () = 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205 khi ñó (|)= 0,5
Xác sut sinh viên trut môn c môn Toán và Tâm Lý  
  = ()() =    = 
Nên, Sinh viên trưt c Toán và Tâm lý vi xác sut không ñ$i =  . 13
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Do ñó, chn 12 sinh viên nghĩa là thc hi%n 12 phép th# Bernoulli vi xác
sut thành công (trưt c Toán và Tâm lý) không ñ$i =  .s sinh viên nhiu
kh năng trưt c hai môn (  )    + = =  .      
Xác sut tương ng là (2 )=(0,17 )2 . (1 − 0,17 )10 2 = 0, 296 . 12 12 1.26.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Phi chn bao nhiêu sinh viên
ca trưng XYZ sao cho, vi xác sut không bé hơn 99%, trong s ñó có ít nht
mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm lý. Gii
: “sinh viên thi trưt môn Toán” () = 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205
khi ñó (|) = 0,5
Xác sut sinh viên ñu c môn Toán và Tâm Lý (   ) =  −  
 ∪  =  − () − ()+ ( ) =  
Gi n là s sinh viên cn chn. Xác sut ñ sinh viên ñu c hai môn Toán
và Tâm Lý không ñ$i =  nên ta có quá trình Bernoulli B (n, p) .
Đt : “ ít nht mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm Lý ”.
Theo yêu cu bài toán ta ñưc
() =  − ( )  =  − − ≥ ( )  
⇔   ≥ ( )⇔    ≥  ( )⇔ ≥  
Vy, chn ít nht 5 sinh viên. 1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 ca mt xí nghi%p sn xut, theo th t, 60%, 30% và
10% t$ng s sn ph(m ca mt xí nghi%p. T l% sn xut ra ph ph(m ca các máy
trên, theo th t, là 2%, 3% và 4%. Ly ngu nhiên mt sn ph(m t lô hàng ca
xí nghi%p, trong ñó ñ ln ln các sn ph(m do 3 máy sn xut.
a/ Tính xác sut ñ sn ph(m ly ra là sn ph(m tt. Ý nghĩa ca xác
sut ñó ñi vi lô hàng là gì?
b/ Nu sn ph(m ly ñưc là ph ph(m, thì nhiu kh năng nht là do máy nào sn xut? Gii
Đt : “sn ph(m ly ra do máy sn xut” vi ∈{1, 2, } 3
( = 0,6;  = 0,3;   = 0,1 1 ) ( 2) ( 3)
Và :“sn ph(m ly ra là ph ph(m”
(=     =    =  ) (  ) (  ) 14
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ :”sn ph(m ly ra là sn ph(m tt”
() = ()() + ()() + ()(=        )
Ý nghĩa, xác sut th hi%n t l% sn ph(m tt ca lô hàng.
b/ Xác sut ly ra sn ph(m là ph ph(m
() =  − () =  Theo công thc Bayes (    
) ( )( ) 
(= = = =    ) () ()  
(
     ) ( ) (  ) (    = = = =    ) () ()   (    
) ()( ) 
(= = = =   ) () (  )  
Do ñó, sn ph(m do máy 1 sn xut ra ph ph(m nhiu nht. 1.28.
Chia ngu nhiên 9 tm vé s, trong ñó có 3 vé trúng thư'ng, ñu cho 3
ngưi (m i ngưi 3 tm). Tính xác sut ñ c 3 ngưi ñu ñưc trúng thư'ng. Gii
Đt : “Ngưi mua vé th ñưc vé trúng thư'ng” vi ∈{1, 2, } 3       ( ) = ( ) (  ) ( 
)                         =   =               1.29.
Trong s các b%nh nhân ñang ñưc ñiu tr ti mt b%nh vi%n, có 50% ñiu
tr b%nh A, 30% ñiu tr b%nh B và 20% ñiu tr b%nh C. Ti b%nh vi%n này, xác
sut ñ cha khi các b%nh A, B và C, theo th t, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t
l% b%nh nhân ñưc cha khi b%nh A trong t$ng s b%nh nhân ñã ñưc cha khi b%nh trong b%nh vi%n. Gii
Đt : “b%nh nhân ñiu tr b%nh ” vi {
∈ ,,}
: “b%nh nhân ñưc khi b%nh”
Theo ñ bài ta có: () = 0,5;() = 0,3;()= 0, 2
và ( / ) = 0,7; (/ ) = 0,8; (/ ) = 0,9
Xác sut ñ b%nh nhân khi b%nh là 15
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
() = ∑ (    = + + = ).
( / ) 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77 =
Xác sut ñ b%nh nhân tr khi b%nh A là (    ) . ( | ) 0,5.0,7
(| = = = ) 45, 45% () 0,77 1.30.
Có hai bình như sau: Bình A cha 5 bi ñ, 3 bi trng và 8 bi xanh; bình B
cha 3 bi ñ và 5 bi trng. Gieo mt con xúc xc vô tư: Nu mt 3 hoc mt 5
xut hi%n thì chn ngu nhiên mt bi t bình B; các trưng hp khác thì chn ngu
nhiên mt bi t bình A. Tính xác sut ñ chn ñưc viên bi ñ. Nu viên bi trng
ñưc chn, tính xác sut ñ mt 5 ca con xúc xc xut hi%n. Gii Đt 
: “Gieo con xúc xc ñưc mt 3 hoăc mt 5”,     = 
: “Ly t bình ra mt bi là bi ñ”. Ta có           =    
   + 
  =  +  =      
Gi : “mt viên bi ñưc chn là bi trng”       
  =  
   +        =  +  =       
Đt : “gieo con xúc xc ñưc mt 5”.
Xác sut mt 5 xut hi%n, bit r"ng bi ñưc chn là bi trng là  () (  )              = = =   =  ()  ()     1.31.
Có hai bình như sau: Bình A cha 5 bi ñ, 3 bi trng và 8 bi xanh; bình B
cha 3 bi ñ và 5 bi trng.
Ly ngu nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, ri t bình B ly ngu
nhiên 1 viên bi thì ñưc bi ñ. Theo ý bn, viên bi ñó vn thuc bình nào? Gii
Gi : “ có k bi ñ trong 3 viên bi ly t bình A b vào bình B” vi ∈{0,1,2, } 3
Đt : “Ly mt bi t bình B ra là bi ñ”.            =     
   =  +  + ∑    =               +  +  =       
Đt : “bi ñ sau cùng ly t bình B”. 16
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân        = =    () () Do ñó         = = =  = > . () ()    
Vy, bi ñ sau cùng nhiu kh năng nht là ca bình B. 1.32.
Có hai chung nuôi th. Chung th nht có 1 con th trng và 5 con th
nâu; chung th hai có 9 con th trng và 1 con th nâu. T m i chung bt ngu
nhiên ra mt con ñ nghiên cu. Các con th còn li ñưc dn vào mt chung th
ba. T chung th ba này li bt ngu nhiên ra mt con th. Tính xác sut ñ con
th bt ra sau cùng là mt con th nâu. Gii Đt 
: “Th bt ' chung 1 ra nghiên cu là th nâu ”   =  
: “Th bt ' chung 2 ra nghiên cu là th nâu” = 
Gi : “Th bt ' chung 3 ra nghiên cu là th nâu ” 
  = ( 
 ) + ( 
 ) + ( 
  )+ (   ) = ( 
  )( 
 ) +( 
  )(    ) +
+()() +()() = ( )
  ()( 
  ) +( )
  ()(   ) + + ( )   ( )
 (   )+ ( )  ( )
  (   ) = ( )
  ()  + ( )
  ()  + ( )
  ()  + ( )
  ()   =      1.33.
Ban giám ñc mt công ty liên doanh vi nưc ngoài ñang xem xét kh
năng ñình công ca công nhân ñ ñòi tăng lương ' hai nhà máy A và B. Kinh
nghi%m cho h bit cuc ñình công ' nhà máy A và B xy ra ln lưt vi xác sut
0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bit r"ng nu công nhân ' nhà máy B ñình công
thì có 90% kh năng ñ công nhân ' nhà máy A ñình công ng h.
a/ Tính xác sut ñ công nhân ' c hai nhà máy ñình công.
b/ Nu công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác sut ñ công nhân ' nhà
máy B ñình công ñ ng h b"ng bao nhiêu? Gii
Đt : : “ Công nhân ñình công ' nhà máy A”   =   17
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
: “Công nhân ñình công ' nhà máy B” 
=   () =  
a/ Xác sut công nhân ñình công ' 2 nhà máy là
() = ( )
.(| ) = , . , = ,
b/ Nu công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác sut ñ công nhân ' nhà máy B ñình công là ( ) , ( | ) = = = , ( ) , 1.34.
Mt nhân viên kim toán nhn thy 15% các bn cân ñi thu chi cha các
sai lm. Trong các bn cha sai lm, 60% ñưc xem là các giá tr bt thưng so
vi các s xut phát t gc. Trong tt c các bn cân ñi thu chi thì 20% là nhng
giá tr bt thưng. Nu mt con s ' mt bng cân ñi t ra bt thưng thì xác sut
ñ s y là mt sai lm là bao nhiêu? Gii
Đt : “bn cân ñi thu chi cha sai lm”   = 
: “bn cân ñi thu chi cha giá tr bt thưng” 
=  ( ) =  
Xác sut 1 con s ' 1 bng cân ñi t ra bt thưng là 1 sai lm: ( )
().(|) , . ,
( | ) = = = = , ( ) () , 1.35.
Mt hãng sn xut mt loi t lnh X ưc tính r"ng khong 80% s ngưi
dùng t lnh có ñc qung cáo t lnh do hãng y sn xut. Trong s nhng ngưi
ñc qung cáo, có 30% mua loi t lnh X; 10% không ñc qung cáo cũng mua
loi t lnh X. Tính xác sut ñ mt ngưi tiêu dùng ñã mua loi t lnh X mà có ñc qung cáo. Gii
Đt : “ngưi ñó ñc qung cáo”   =  
: “ngưi ñó mua t lnh X” (/ ) = , ;(/ ) = ,
Trưc tiên tính xác sut ñ ngưi mua t lnh X
( ) = ( )
+ ( ) = ( )
.(/ ) + ( )
.( / ) = ,
Xác sut ñ 1 ngưi tiêu dùng ñã mua loi t lnh X mà có ñc qung cáo:
( ) ().(| ) , . ,
(| ) = = = = () ( ) , 1.36.
Trên mt bng qung cáo, ngưi ta mc hai h% thng bóng ñèn ñc lp. H%
thng I gm 4 bóng mc ni tip, h% thng II gm 3 bóng mc song song. Kh
năng b hng ca m i bóng trong 18 gi thp sáng liên t,c là 0,1. Vi%c hng ca
m i bóng ca m i h% thng ñưc xem như ñc lp. Tính xác sut ñ a/ H% thng I b hng; 18
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ H% thng II không b hng. Gii
a/ Đt :”bóng ñèn th trong h% thng I bi hng” ∈ {}.
Xác sut h% thng I b hng  = 
  + + +  =  − () 
=  −   =          
b/ Đt :”bóng ñèn th trong h% thng II bi hng” ∈ {}.
Xác sut h% thng II không b hng 
  + +  =  − 
   =  −  =         1.37.
Trên mt bng qung cáo, ngưi ta mc hai h% thng bóng ñèn ñc lp. H%
thng I gm 4 bóng mc ni tip, h% thng II gm 3 bóng mc song song. Kh
năng b hng ca m i bóng trong 18 gi thp sáng liên t,c là 0,1. Vi%c hng ca
m i bóng ca m i h% thng ñưc xem như ñc lp. Tính xác sut ñ
a/ C hai h% thng b hng;
b/ Ch có mt h% thng b hng. Gii
a/ Đt : “bóng ñèn th trong h% thng I bi hng” ∈ { }  .
và :”bóng ñèn th trong h% thng II bi hng” ∈ {} .
Xác sut h% thng I b hng  = 
  + + +  = −  = −  =       (    )
Xác sut h% thng II b hng là: () = =    
Nên, xác sut c hai h% thng b hng là    =  
=    =  
b/ Xác sut ch có mt h% thng b hng 
  + =  +     
=   1.38.
Mt lô hàng gm rt nhiu bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn xu. Mt
ngưi ñn mua hàng vi qui ñnh: Chn ngu nhiên 10 bóng ñèn ñem kim tra và
nu có nhiu hơn mt bóng ñèn xu thì không nhn lô hàng. Tính xác sut ñ lô hàng ñưc chp nhn. Gii
Vi%c kim tra 10 bóng ñèn, nghĩa là thc hi%n 10 phép th# Bernoulli, vi
xác sut “thành công” gp bóng xu =   (không ñ$i).
Khi ñó (; , ) , . , − = , = , , ,...,
(:s ln thành công trong 10 phép th#)
Đt : “nhn lô hàng” 19
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân ( )
= (  ) + (  ) =( ) − (  )   =      1.39.
Mt nhóm nghiên cu ñang nghiên cu v nguy cơ mt s c ti mt nhà
máy ñi%n nguyên t# s+ gây ra s rò r phóng x. Nhóm nghiên cu nhn thy các
loi s c ch có th là: ho hon, s gãy ñ$ ca vt li%u hoc sai lm ca con
ngưi, và 2 hay nhiu hơn 2 s c không bao gi cùng xy ra.
Nu có ha hon thì s rò r phóng x xy ra khong 20% s ln. Nu có s
gãy ñ$ ca vt li%u thì s rò r phóng x xy ra khong 50% s ln, và nu có s
sai lm ca con ngưi thì s rò r s+ xy ra khong 10% s ln. Nhóm nghiên cu
cũng tìm ñưc xác sut ñ: Ho hon và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0010,
gãy ñ$ vt li%u và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0015, sai lm ca con ngưi
và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0012. Tìm xác sut ñ
a/ có ho hon; có gãy ñ$ vt li%u và có sai lm ca con ngưi;
b/ có mt s rò r phóng x;
c/ mt s rò r phóng x ñưc gây ra b'i s sai lm ca con ngưi. Gii
Đt : “xy ra ha hon”
: “xy ra gãy ñ$”
: “xy ra sai lm ca con ngưi”
: “s rò r phóng x” Ta có ( )
=  ( )
=  () =  ()
=   () =   () =  
a/ Xác sut có ho hon là ( ) ( ) = = ,
(|)
Xác sut có gãy ñ$ vt li%u là ( ) () = = ,
(| )
và xác sut sai lm ca con ngưi ( ) () = = ,
(|)
b/ Xác sut có s rò r phóng x xy ra:
( ) = (  )+ (  ) + ( ) = , + , + , = ,
c/ Xác sut mt s rò r phóng x ñưc gây ra b'i s sai lm ca con ngưi là ()         = = = ()    1.40. 20
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Mt ña phương có t l% ngưi dân nghi%n thuc lá là 30%. Bit r"ng t l%
ngưi b viêm hng trong s ngưi nghi%n thuc lá là 60%, còn t l% ñó trong s
ngưi không nghi%n thuc lá là 40%. Chn ngu nhiên mt ngưi t ña phương trên.
a/ Nu ngưi ñó b viêm hng, tính xác sut ñ ngưi ñó nghi%n thuc lá.
b/ Nu ngưi ñó không b viêm hng, tính xác sut ñ ngưi ñó nghi%n thuc lá. Gii
Đt : “ngưi dân nghi%n thuc lá” ( ) = ,
: “ngưi dân b viêm hng” (| ) = , ;(| ) = ,
a/ Trưc tiên ta tính xác sut ngưi này viêm hng
() = ( )+ () = ().(|)+ ().(| ) = ,
Xác sut ñ ngưi nghi%n thuc lá nu b viêm hng là ()
().(| ) , . , ( | ) = = = = () () ,
b/ Xác sut ñ ngưi nghi%n thuc lá nu không b viêm hng là ( ) (
  − 
  −      | ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( | ) = = = = () () − ( ) 1.41.
Mt nhà xut bn g#i bn gii thi%u sách mi ñn 80% ging viên ca mt
trưng ñi hc. Sau mt thi gian, nhà xut bn nhn thy: Có 30% ging viên
mua sách trong s nhng ngưi nhn ñưc bn gii thi%u, và trong s nhng ging
viên không nhn ñưc bn gii thi%u, có 10% mua sách . Tìm t l% nhng ging
viên nhn ñưc bn gii thi%u trong s nhng ngưi mua sách. Gii
Đt : “ging viên nhn ñưc bn gii thi%u sách mi” () = ,
: “ging viên mua sách” ( | )
= , ;(| ) = ,
Trưc ht ta tính xác sut ñ ging viên mua sách 
= ()
+ () = ( )
( ) + ( )
( ) =  
Nên, xác sut ñ ging viên nhn ñưc bn gii thi%u trong s nhng ngưi mua sách: ( )
().(|) , . ,
(/ ) = = = = ( ) () , 1.42.
Nhà trưng mun chn mt s hc sinh t mt t$ gm 7 nam sinh và 6
n.sinh. Ln ñu chn ngu nhiên 2 hc sinh; sau ñó, chn tip 1 hc sinh na.
a/ Tính xác sut ñ hc sinh ñưc chn ln sau là nam sinh. 21
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Bit r"ng hc sinh ñưc chn ln sau là n sinh, tính xác sut ñ c hai
hc sinh ñưc chn ln ñu ñu là nam sinh. Gii
a/ Gi : “chn hc sinh nam trong 2 hc sinh ln ñu” { ∈ }               =     =      =         
:”hc sinh ñưc chn sau cùng là nam” ( )
=  +  
   + 
                     =  +  +  =          
b/ Xác sut hc sinh chn ln sau cùng là n là   = ()      = 
nên xác sut ñ 2 hc sinh ñưc chn ln ñu là nam:  
  ()                = = = ( )    1.43.
S li%u thng kê v b%nh lao ph$i ti mt ña phương cho bit: Có 15% s
ngưi làm ngh ñ,c ñá (LNĐĐ) và b lao ph$i; có 50% s ngưi không LNĐĐ và
không b lao ph$i; có 25% s ngưi LNĐĐ nhưng không b lao ph$i. Ngoài ra, t
l% nhng ngưi không LNĐĐ nhưng b lao ph$i là 10%. Chúng ta có th kt lun
gì v mi quan h% gia ngh ñ,c ñá và b%nh lao ph$i? Gii
Đt : “làm ngh ñ,c ñá”
: “b lao ph$i”
Theo s li%u ñ bài ta có:() =  
=      =  =  Khi ñó,  = 
+ () = +  =   và  =  
+ () = +  = 
D- thy ()
=  ≠   = ( )
do ñó b%nh lao ph$i có liên quan ñn ngh ñ,c ñá. Xét () ( )
() =
=   ()= =  () () 22
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Ta thy () ≈ ( )
. Chng t r"ng, xác sut ngưi b lao ph$i khi
ngưi ñó làm ngh ñ,c ñá cao gn gp hai ln xác sut ngưi b lao ph$i nhưng
ngưi ñó không làm ngh ñ,c ñá. 1.44.
Gi s# mt xét nghi%m X cho kt qu dương tính (+) ñi vi nhng ngưi
nhi-m HIV vi xác sut 95% và cho kt qu (+) ñi vi nhng ngưi không nhi-m
HIV vi xác sut 1%. Mt ngưi ñn t ña phương có t l% nhi-m HIV là 1%
ñưc làm xét nghi%m X và cho kt qu (+). Tính xác sut ñ ngưi này thc s nhi-m HIV. Gii
Đt : “Ngưi b nhi-m HIV ñn t ña phương” ( ) =  
: “ngưi ñn t ña phương làm xét nghi%m X cho kt qu dương tính vi HIV” ( ) = ( )
( )
+ ()( )
=    +    =  
Xác sut ñ ngưi ñn t ña phương có t l% 1% ñưc xét nghi%m và cho kt qu dương tính là                 = = =    1.45.
Mt hp cha 15 l thuc, trong ñó có 6 l hng. Ly ln lưt tng l
không hoàn li ñ kim tra, cho ñn khi gp 3 l hng thì dng.
a/ Tính xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' l th ba; ' l th sáu
b/ Nu vi%c kim tra dng li ' l th sáu, tính xác sut ñ l ñưc kim
ra ñu tiên là l hng. Gii
Đt :” ln kim tra th ñưc l hng”
a/ Xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' l th ba (        =   =    )    
Đt :” kim tra liên tip 5 ln ñưc 2 l hng và 3 tt”            = =      = =        
:”kim tra dng li ' l th sáu” = ( =  
 =  )  
b/ Vi%c kim tra dng li ' l th sáu, xác sut ñ l ñưc kim ra ñu tiên là l hng.
(         ) (  ) ( ) ( ) ( )
()  = =  () () 23
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân                = = ≈      1.46.
T mt lô hàng có rt nhiu quyn v' vi t l% v' hng là 5%, ngưi ta
chn ngu nhiên tng quyn v' ñ kim tra.
a/ Hi phi kim tra ít nht bao nhiêu quyn v' ñ xác sut có ít nht mt
quyn v' hng không bé hơn 90% ?
b/ Gi s# vi%c kim tra s+ dng li khi phát hi%n 3 quyn v' hng. Tính
xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' ln kim tra th 10, Gii
Gi là xác sut v' hng trong m i lô hàng. =   và gi là s
quyn v' cn kim tra. Ta có dãy phép th# Bernoulli vi xác sut thành công (v'
hng) là 0,05. Do ñó, ( )
a/ Đt : “ít nht mt quyn v' hng”
=  − = − ≥ ⇔ ≥
(  )  ()    
Nên phi kim tra ít nht 45 quyn v'.
b/ Vi%c kim tra phát hi%n 3 quyn v' hng suy ra 9 ln kim tra ñu phát hi%n 2
quyn v' hng và ln th 10 phi là v' hng.
Đt:”kim tra dng li ln th 10” ( )
= ( )  = (   
      =   .   ) 1.47.
Hp th nht có 8 sn ph(m loi và 2 sn ph(m loi ; hp th hai có 5
sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Ly ngu nhiên t m i hp ra 2 sn ph(m.
a/ Tính xác sut ñ ñưc 3 sn ph(m loi ;
b/ Gi s# ly ñưc mt sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Nhiu
kh năng là sn ph(m loi thuc hp nào? Ti sao? Gii
Ly ngu nhiên t m i hp ra 2 sp vi ∈ { }
 và ∈ { }  
Đt :” ly ñưc sp loi t hp th nht”
:” ly ñưc sp loi t hp th hai”
a/ : “ly ñưc 3 sp loi và 1 sp loi ”      
() = (  ) + (  )        =  +  =             
b/ Gi (  ln lưt là xác sut ñ sp loi thuc hp th nht và hp ) ( ) th hai 24
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân       (      )   Ta có()    = = = ()          (     )   ()     = = = ()   
Ta thy (<   nên sp loi nhiu kh năng thuc hp th hai. ) ( ) 1.48.
Hp th nht có 8 sn ph(m loi và 2 sn ph(m loi ; hp th hai có 5
sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Ly ngu nhiên mt hp, ri ly ngu
nhiên t ñó ra 4 sn ph(m.
a/ Tính xác sut ñ ñưc 3 sn ph(m loi ;
b/ Gi s# ly ñưc mt sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Nhiu
kh năng là sn ph(m loi thuc hp nào? Ti sao? Gii
a/ Ly ngu nhiên ra 1 hp, ri ly ngu nhiên t ñó ra 4 sp Đt 
:” ly ñưc hp th ”, ∈ {} suy ra (=   =  ) (  )
gi :” ly ñưc 3 sp loi và 1 sp loi ”
() = (  +     ) (  ) (  ) (  )                          = + =  +  =                
b/ Gi (  ln lưt là xác sut ñ sp loi thuc hp th nht và hp ) ( ) th hai      ( 
    ) (  ) 
Ta có ()   = = = ()         () 
    ( )  ()   = = = ()   
Thy () >   nên sp loi nhiu kh năng thuc hp th nht.  ( ) 1.49. 25
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Mt nhà máy sn xut linh ki%n ñi%n t# vi 96% sn ph(m có cht lưng
cao. Mt qui trình kim tra cht lưng sn ph(m có ñc ñim: 2% sn ph(m có
cht lưng cao li không ñưc công nhn và 5% sn ph(m không có cht lưng
cao li ñưc công nhn. Hãy tính xác sut ñ sau khi kim tra, mt sn ph(m
ñưc công nhn có cht lưng cao ñúng là sn ph(m có cht lưng cao. Gii
Gi : “sp cht lưng cao” và : “sp ñưc công nhn” ( )
=   , ( )
=   và ( ) =  
() ()−()
Ta có ()= = =   ( ) ()
suy ra ()=  . ()
()− ( )
Li có ( ) = = =   () ( ) suy ra ( )
=  
Xs ñ 1 sp ñó ñưc công nhn cht lưng cao ñúng là sp cht lưng cao là () ( )   = = =  ()  1.50.
Gi s# bn ñem giao mt lô hàng, rt nhiu sn ph(m, mà bn bit r"ng nó
có t l% ph ph(m là 10%. Ngưi nhn hàng ñ ngh ly ngu nhiên 6 sn ph(m ñ
kim tra, và nu có quá ph ph(m thì không nhn lô hàng. Bn ñ ngh b"ng
bao nhiêu ñ va thuyt ph,c ñưc ngưi nhn, va hy vng kh năng lô hàng
không b t chi ít nht là 95%? Gii
T l% ph ph(m là = 
Vi%c ly ngu nhiên 6 sp ñ kim tra nghĩa là thc hi%n 6 phép th#
Bernoulli vi xs thành công (gp ph ph(m) = (không ñ$i). Ta ñưc ( )
    − =   Nhn xét:
 +   <  ( ) ( )
và  +  +  =  >   ( )  ( )  ( )
nên theo yêu cu bài toán = . 1.51.
Mt khu dân cư A có t l% mc b%nh B là 30%.
a/ Trong mt ñt ñiu tra, ngưi ta chn ngu nhiên 10 ngưi. Tính xác sut
trong ñó có nhiu nht ba ngưi mc b%nh B. 26
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Đưc bit trong khu vc ñó có 60% dân s có chích nga b%nh B. T. l%
ngưi kháng b%nh B ñi vi ngưi ñưc chích nga là 95%. Còn t. l% kháng b%nh
B ñi vi ngưi không chích nga là 20%. Chn ngu nhiên mt ngưi thy ngưi
này không mc b%nh B. Tính xác sut ngưi này có chích nga. Gii
Gi : “Ngưi ñưc chn mc b%nh B” () = .
Chn ngu nhiên 10 ngưi là thc hi%n 10 phép th# Bernuolli vi xác sut thành
công (mc b%nh B) ()=  (không ñ$i). Ta có (  )       − = .  
a/ Xác sut trong ñó có nhiu nht ba ngưi mc b%nh B
  +    +   +   =  ( )  ( )  ( )  ( )
=   +  +  +  =  
b/ :” chích nga b%nh B” ()=  ( )
=  và ( ) = 
Xác sut chn ngu nhiên mt ngưi thy ngưi này không mc b%nh B: ( )
= ()( )
+ ()( ) =  
xác sut ngưi này có chích nga: (    )
()() ()   = = = . () ()  1.52.
T l% sn xut ra ph ph(m ca mt máy là 8%. Kho sát mt lô hàng gm 75
sn ph(m do máy ñó sn xut ra.
a/ Tính xác sut ñ trong lô hàng, có 10 ph ph(m
b/ Trong lô hàng, nhiu kh năng nht là có bao nhiêu ph ph(m? Tính xác sut tương ng. Gii
Nu xem vi%c máy sn xut ra mt sn ph(m là mt phép th# Bernoulli, vi
xác sut cho “thành công” là p = 0,08 , thì khi máy ñó sn xut 75 sn ph(m, nó ñã
thc hi%n quá trình P ; k 0,08 75 ( ) a/ Xác sut phi tính: 10 10 65 7
P 5 10 = C75 0 08 0 92 = 0 03941
b/ S ph ph(m nhiu kh năng nht trong lô hàng là: (75 +1).0,08 = 6
vi xác sut tương ng: 27
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 6 6 69
P (6) = C (0,08) .(0,92) = 0,16745 75 75 1.53.
Ngưi ta mun ly ngu nhiên mt s ht ging t mt lô ht ging có t l%
ht lép là 3% ñ nghiên cu. Hi phi ly ít nht bao nhiêu ht sao cho xác sut
ñ có ít nht mt ht lép không bé hơn 95% ?. Gii
Gi n là s ht phi ly, chúng ta có P k
. Xác sut ñ có ít nht mt ht n ( ; 0, 03) lép là 1 1 ( 0,03) 1 (0,97 )n n − − = − .
Theo gi thit, chúng ta có: n n ln 0,05
1 − (0,97 ) ≥0,95 ⇔ (0,97 ) ≤ 0,05 ⇔ n ≥ = 98,3523 ln 0, 97
Vy, phi ly ít nht 99 ht ging. 28
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 2: BIN NGU NHIÊN 2.1. Có ba hp 
  và ñng các l thuc. Hp có 10 l tt và 5 l hng,
hp có 6 l tt và 4 l hng, hp có 5 l tt và 7 l hng. Ly ngu nhiên t
m i hp ra mt l thuc.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s l thuc tt trong 3 l ly ra.
b/ Tìm xác sut ñ ñưc ít nht 2 l tt; ñưc 3 l cùng loi. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s l thuc tt trong 3 l ly ra
 = {  }  
a) : “ l thuc ly ra t hp th là l tt”. (= ) 
 =  =       =    ( ) ( ) ( )  (= )   = 
  + +  =           (= )   = 
  + +  =           (= ) 
 =  =       =    ( ) ( ) ( ) 
Bng phân phi xác sut ca 0 1 2 3
()        
b) Xác sut ñ ñưc ít nht 2 l tt
(≥ ) = (= ) + (= )     = 
Xác sut ñưc 3 l cùng loi
(= ) + (= )    =  2.2.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên 
  và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Tính xác sut ñ ñi tuyn thua nhiu nht mt trn. Tính xác sut ñ
ñi tuyn thng ít nht mt trn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn. 29
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
 = {  }
Gi : “Vn ñng viên thng”
: “Vn ñng viên thng”
: “Vn ñng viên thng” Ta có
(= ) =  
  = ( )
 =    =   (= )  =    +   + 
  = 
(= )=    +    + 
  =  
(= )= 
  = ( )    
  =  
Bng phân phi xác sut : 0 1 2 3
()       
b/ Xác sut ñ ñi tuyn thua nhiu nht mt trn:
(≥ ) = (= )+ (= ) = 
Xác sut ñ ñi tuyn thng ít nht mt trn : (≥ )
 = − (= )  =   2.3.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên 
  và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Sau ñt thi ñu, ñi tuyn có hai trn thng; tính xác sut ñ A thua trn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn.
 = {}
Gi : “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng” Ta có
(= ) =  
  = ( )
 =    =   (= )  =  
 + 
 + 
  = 
(= )=    +    + 
  =  
(= )= 
  = ( )    
  =  
Bng phân phi xác sut : 30
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 0 1 2 3
()       
b/ Xác sut ñ thua trn, bit r"ng ñi tuyn có hai trn thng ( 
{=  }) (   ) (  = )
       = = = = (= )  (= )     2.4.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên 
  và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Tính s trn thng trung bình và phương sai ca s trn thng ca ñi tuyn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn.
 = { }
Gi : “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng” Ta có
(= ) =  
  = ( )
 =    =   (= )  =    +   + 
  = 
(= )=    +    + 
  =  
(= )= 
  = ( )    
  =  
Bng phân phi xác sut : 0 1 2 3
()       
b/ S trn thng trung bình 
  =   +  +   +  = 
và phương sai ca s trn thng ca ñi tuyn
() = () − ()  =   Trong ñó, (  )    
=    +   +   +   =  . 2.5.
Mt cơ s' sn xut các bao k/o. S k/o trong m i bao là mt bin ngu
nhiên có phân phi xác sut như sau: 31
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
S k/o trong bao 18 19 20 21 22 Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm trung bình và phương sai ca s viên k/o trong m i bao.
b/ Chi phí sn xut ca m bao k/o là 3X + 16, trong ñó X là bin ngu
nhiên ch s k/o trong bao. Tin bán m i bao k/o là 100$. Không phân bi%t s k/o
trong bao. Tìm li nhun trung bình và ñ l%ch chu(n ca li nhun cho m i bao k/o. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s k/o trong bao.
a/ Trung bình và phương sai ca s viên k/o trong m i bao :  () =
∑ (= ) =   = 
và phương sai ca s viên k/o trong m i bao:
() = ()− ()  =  
b/ Gi là bin ngu nhiên ch li nhun cho m i bao k/o. Ta có:
=  −  li nhun trung bình
() = ( − )=  − ()=  
và ñ l%ch chu(n ca li nhun cho m i bao k/o
σ ()= ()= (− ) =  () =   2.6.
Mt cơ s' sn xut các bao k/o. S k/o trong m i bao là mt bin ngu
nhiên có phân phi xác sut như sau:
S k/o trong bao 18 19 20 21 22 Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm xác sut ñ mt bao k/o ñưc chn ngu nhiên s+ cha t 19 ñn 21 viên k/o.
b/ Hai bao k/o ñưc chn ngu nhiên. Tính xác sut ñ ít nht mt trong
hai bao cha ít nht 20 viên k/o. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s k/o trong bao.
a/ Xác sut ñ bao ñưc chn ngu nhiên có t 19 ñn 21 viên k/o: 
 ≤ ≤  = (= ) + (=  )
 + (=  )  =  
b/ Đt : “Bao cha ít nht 20 viên k/o” ( )
=   +  +   =  
Xác sut ñ ít nht mt trong hai bao cha ít nht 20 viên k/o: 32
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
(+ ) = ( ) + (  )= ( ) + ( )   ( )
=   2.7.
Mt hp ñng 5 sn ph(m, trong ñó có hai ph ph(m. Ngưi ta ln lưt
kim tra tng sn ph(m (không hoàn li) cho ñn khi gp hai ph ph(m thì dng
li. Tìm lut phân phi xác sut cho s sn ph(m ñưc kim tra. Tính s ln kim tra trung bình. Gii
Goi là BNN ch s s sn ph(m kim tra.
 = {   }  
:“ ln kim tra ln th ñưc ph ph(m”.(=     )
(= ) = (  
=     =   ) ( ) (  )  (= )
 = (+     ) (   ) = () 
    +       =  (  ) (   )
( ) (  ) (    )  Tương t (= )  = (= )     =  
Bng phân phi xác sut : 2 3 4 5
()         
S ln kim tra trung bình: ()= 
∑ (= )=  = 2.8.
Mt ngưi ñiu khin 3 máy t ñng hot ñông ñc lp vi nhau. Xác sut
b hng trong mt ca sn xut ca máy 1,2 và 3 ln lưt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lp bng phân phi xác sut cho s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut.
b/ Sau sn xut, ngưi ñiu khin báo r"ng sut ca ch có mt máy hot
ñng tt. Tính xác sut ñ máy hot ñng tt ñó là máy mt. Gii
a/ Gi là BNN ch s máy hot ñng tt trong 1 ca sn xut.
 = { }
Đt “ máy th b hng trong 1 ca”. Suy ra,
(=    =     =   ) ( ) ( )
(= ) = (=       =  =     ) ( ) ( ) ( ) 33
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
( = )= (    + ) ( ) ( )
+ ()    +       =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( = ) = (    +  ) ( ) ( )
+ (    +       =  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(= ) = (  =       =      ) ( ) ( ) ( )
Bng phân phi xác sut ca : 0 1 2 3
()       
b/ Xác sut ñ máy hot ñng tt ñó là máy mt, bit r"ng sut ca ch có mt máy hot ñng tt.
(= 
   { }) (   ) (
   
=  = = = =  ) (= ) (= )     2.9.
Mt ngưi ñiu khin 3 máy t ñng hot ñông ñc lp vi nhau. Xác sut
b hng trong mt ca sn xut ca máy 1,2 và 3 ln lưt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lp bng phân phi xác sut cho s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut.
b/ Trung bình, trong mt ca, có bao nhiêu máy hot ñng tt? Tính ñ
l%ch chu(n ca s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut. Gii
a/ Gi là BNN ch s máy hot ñng tt trong 1 ca sn xut.
 = {}
Đt “ máy th b hng trong 1 ca”. Suy ra,
(=    =     =   ) ( ) ( )
(= ) = (=       =  =     ) ( ) ( ) ( )
( = )= (    + ) ( ) ( )
+ ()    +       =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(= ) = (    +  ) ( ) (  )
+ (    +       =  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(= ) = (  =       =      ) ( ) ( ) ( )
Bng phân phi xác sut ca : 0 1 2 3
()        34
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Trung bình s máy hot ñng tt trong mt ca: ()= 
và ñ l%ch chu(n ca s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut .
σ () =  2.10.
Mt công ty có 3 t$ng ñi lý. Gi và theo th t là khi lưng hàng
bán ñưc trong mt này ca 3 t$ng ñi lý trên (tính b"ng tn). Bit phân phi xác
sut ca các BNN và như sau: 5 6 7 8
(= 0,1 0,3 0,4 0,2 ) 4 5 6 7 8
(= 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15 )  7 8 9 10
(= 0,2 0,3 0,4 0,1 )
Tính khi lưng hàng hóa bán ñưc trung bình trong mt tháng (30 ngày) ca công ty trên. Gii
Trung bình khi lưng hàng hóa C bán ñưc trong 1 tháng.  ( ) = 
∑   = = ( )   =
Trung bình khi lưng hàng hóa bán ñưc trong 1 tháng. 
() = 
  = = ∑ ( )  =
Trung bình khi lưng hàng hóa bán ñưc trong 1 tháng. 
() = 
∑   = = ( )  = 
Nên khi lưng hàng hóa bán ñưc trung bình trong 1 tháng ca công ty là ( )
 + () + () =  2.11.
Tin hành kho sát s khách trên mt chuyn xe buýt (SK/1C) ti mt
chuyn giao thông, ngưi ta thu ñưc s liêu sau: SK/1C 25 30 35 40 45
Xác sut 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1
a/ Tính kỳ vng và ñ l%ch chu(n ca SK/1C.
b/ Gi s# chi phí cho m i chuyn xe buýt là 200 ngàn ñng, không ph,
thuc vào s khách ñi trên xe, th2 công ty phi quy ñnh giá vé là bao nhiêu ñ có
th thu ñưc s tin li trung bình cho m i chuyn xe là 100 ngàn ñng? 35
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Gi là BNN ch s khách trên mt chuyn xe.  = {} a/ Kỳ vng ca SK/1C: (
  ) = 
Đ l%ch chu(n ca SK/1C.: σ ()= () = ()− ()  =  
b/ Gi là BNN ch s tin li cho m i chuyn xe.
= − 
trong ñó, (ñng) là s tin quy ñnh giá vé.
Yêu cu bài toán, () =(−) = ⇔ () =  ⇔≈  .
Vy, công ty phi quy ñnh giá vé là 8,6 ñng. 2.12.
Mt ngưi tham gia trò chơi gieo 3 ñng tin vô tư. Anh ta ñưc 500ñ nu
xut hi%n 3 mt sp, 300ñ nu xut hi%n 2 mt sp, và 100ñ nu ch có mt mt sp
xut hi%n. Mc khác, anh ta mt 900ñ nu xut hi%n 3 mt nga. Trò chơi này có
công băng vi ngưi này không? ( Trò chơi ñưc gi là công b"ng ñi vi ngưi
chơi nu tham gia chơi nhiu ln thì trung bình anh ta hòa vn). Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s tin nhn ñưc khi tham gia trò chơi  = { 
−   }  
Đt :”Gieo ln th xut hi%n mt sp” ∈ {} (= − ) = (  
=       =    ) ( ) ( ) ( )  ( = ) = (   
+   +  =  =   ) (   ) (   )  
Tương t, (= )  
 = =  =  
Bng phân phi xác sut ca -900 100 300 500 ()        
Và () = 
nên m i ln chơi anh ta thng ñưc 100ñ. Vy trò chơi không công b"ng. 2.13.
Mt ngưi tham gia trò chơi sau: Gieo mt con xúc xc vô tư ba ln ñc lp
nhau. Nu xut hiên “ mt 1” c 3 ln thì ñưc thư'ng 6 ngàn ñng; nu xut hi%n
“ mt 1” 2 ln thì ñưc thư'ng 4 ngàn ñng; xut hi%n “mt 1” 1 ln thì ñưc
thư'n 2 ngàn ñng; khi không có “mt 1” nào xut hi%n thì không ñưc thư'ng.
M i ln tham gia trò chơi, ngưi chơi phi ñóngngàn ñng. Hãy ñnh ñ trò chơi công b"ng. 36
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Gi là BNN ch s tin còn li sau m i ln tham gia trò chơi.
 = {− − − } Ta có         
  = −  =   =
; = − =    =                   
  = − =    =  ; 
  =  =       
Bng phân phi xác sut ca
−  −  −        ()          
và ()  = −  .  ( ) 
Trò chơi công b"ng () =  ⇔ − =  ⇔ = .
Vy, m i ln chơi ngưi tham gia ñóng 1 ngàn ñng thì trò chơi công b"ng. 2.14.
Theo thng kê dân s, xác sut ñ mt ngưi ' ñ tu$i 40 s+ sng thêm 1
năm na là 0,995. Mt công ty bo him nhân th bán bo him mt năm cho
nhng ngưi ' ñ tu$i ñó là 10 ngàn, và trong trưng hp ngưi mua bo him b
cht thì s tin bi thưng là 1 tri%u. Hi li nhun trung bình ca công ty khi bán
m i th bo him là boa nhiêu? Gii
Gi là BNN ch li nhun ca công ty khi bán m i th bo him.
 = {−}
Bng phân phi xác sut ca  −  
()   
và () =  .
Vy, trung bình công ty li 5 ngàn ñng khi bán 1 th bo him. 2.15.
S lưng xe ô tô mà mt ñi lý bán ñưc trong mt tun là mt BNN có
phân phi xác sut như sau: S xe bán ñưc 0 1 2 3 4 5 Xác sut tương ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a/ Tính xác sut ñ ñi lý ñó bán ñưc nhiu nht 3 xe trong mt tun.
Tính kỳ vng và phương sai ca s xe mà ñi lý bán ñưc trong mt năm. 37
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Gi s# chi phí cho hot ñng ca ñi lý b"ng căn bc hai ca s xe bán
ñưc vi 5 (tri%u ñng). Tìm chi phí cho hot ñng trung bình cho hot ñng ca
ñi lý trong mt tun.
Gi X là BNN s xe bán ra trong 1 tun.
a/ Xác sut ñ ñi lý ñó bán ñưc nhiu nht 3 xe trong mt tun P ( X ≤ )
3 = 1− P (X = 4)− P (X = 5) = 0,6
Kỳ vng và phương sai ca s xe mà ñi lý bán ñưc trong mt năm.
E ( X ) = 2,8;D (X )= 2,16
b/ Gi là chi phí cho hot ñng ca ñi lý trong 1 tun Y = X + 5
Nên chi phí cho hot ñng trung bình cho hot ñng ca ñi lý trong mt tun
E(Y) = E( X ) + 5= 6,55 2.16. 2x , x ∈ [0; ] 1 Cho hàm f (x) = 0 , x ∉ [0;1]
a/ Chng t f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X .
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X 1
c/ Tính xác sut P 0 < X < . 2 Gii +∞ 1 1
a/ f (x) ≥ 0,∀x∈ và 2
f (x)dx = 2xdx x = = 1 ∫ ∫ . Do ñó, f ( )
x là hàm mt ñ xác 0 −∞ 0
sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X . 0 , x ≤ 0 x b/ F ( ) 2
x = ∫ f (t)dt = x ,0 < x ≤1 −∞ 1 , x 1 > 1 2 1 1
c/ P 0 < X < = 2 xdx = ∫ . 2 4 0 2.17. 2 , x >1 Cho hàm 3 f (x) = x 0 , x ≤1
a/ Chng t f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X .
c/ Tính xác sut P(0 < X < ) 3 Gii 38
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân +∞ +∞ 2 1 b
a/ f (x) ≥ 0,∀x∈ và ∫ f (x)dx = ∫ dx = − 2 lim
= 1 . Do ñó, f (x) là 3 2 b x →+∞ 2x 1 −∞ 1
hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X . 0 , x ≤ 1 x 1 b/ F ( x) =
f (t )dt = 1− ,1< x < +∞ ∫ 2 x −∞ 1 , x = +∞ 3 8
c/ P(0 < X < 3) = f ( ) x dx = ∫ . 9 0 2.18. a , x >1 Cho hàm 3 f (x) = x ( a là h"ng s) 0 , x ≤1
a/ Tìm a ñ f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X . Gii a/ x ∀ R
∈ , f (x ) ≥ 0 ⇔a ≥ 0 và +∞ +∞ a 1 b a
∫ f (x)dx = ∫ dx = − a lim =
. Do ñó, f (x) là hàm mt ñ xác sut ca 3 2 b x →+∞ 2x 1 2 −∞ 1 a ≥ 0
mt bin ngu nhiên liên t,c X khi và ch khi ⇔ a a = 2 . 1 = 2 0 , x ≤ 1 x 1 b/ F ( x) =
f (t )dt = 1− ,1< x < +∞ ∫ 2 x −∞ 1 , x = +∞ 2.19.
Cho X là bin ngu nhiên liên t,c có hàm mt ñ 2x , x [ ∈ 0;1] f (x) = 0 , x [ ∉ 0; ] 1
Tìm kỳ vng và phương sai ca X . Gii +∞ 1 2 E ( X ) 2 = xf ( ) x dx = 2 x dx = ∫ ∫ 3 −∞ 0 +∞ 1 E ( 1 2 X ) 2 3 =
x f (x)dx = 2x dx = ∫ ∫ 2 −∞ 0 do ñó, 39
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 4 1
D( X) = E ( X ) − (E( X) )2 2 = − = 2 9 18 2.20.
Cho X là bin ngu nhiên liên t,c có hàm mt ñ 2 3x , x [ ∈ 0; ] 1 f (x) = 0 , x [ ∉ 0; ] 1
Tìm kỳ vng và phương sai ca X . Gii +∞ 1 3 E ( X ) 2 = xf ( ) x dx = 3x dx = ∫ ∫ 4 −∞ 0 +∞ 1 E ( 3 2 X ) 2 4 =
x f (x)dx = 3x dx = ∫ ∫ 5 −∞ 0 do ñó, 3 9 3
D( X ) = E ( X ) − (E( X ) )2 2 = − = . 5 16 80 40
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Chương 3: MT S PHÂN PHI THƯNG DÙNG 3.1.
Mt ki%n hàng có 10 sn ph(m, trong ñó có 8 sn ph(m loi A. Ly ngu
nhiên 2 sn ph(m. Đt X là bin ngu nhiên ch s sn ph(m loi A có trong các
sn ph(m ly ra. Tìm lut phân phi xác sut ca X . Tính E( X ) ,D( X ) . Gii
Gi X là BNN ch s sn ph(m loi A trong các sn ph(m ly ra ln th nht. Im X = {0;1; } 2 k k− 2 C .C M
Ta có X ~ H (10;8;2) ta có 8 2
P(X = k ) = ; p = = 0,8 2 C N 10 N − n 64
Nên E( X ) = np = 1,6; D( X ) = np(1− p) = . N 1 − 225 3.2.
Có 2 ki%n hàng, ki%n th nht và ki%n th 2. Bit r"ng, ki%n th hai có 8 sn
ph(m, trong ñó có 5 sn ph(m loi A. Ln ñu, ly ngu nhiên 2 sn ph(m ' ki%n
th nht b vào ki%n th hai, sau ñó ly ngu nhiên t ki%n th hai ra 2 sn ph(m.
Đt X và Y ln lưt là bin ngu nhiên ch s sn ph(m loi A có trong các sn
ph(m ly ra ' ln th nht và ln th hai. Bit r"ng bng phân phi xác sut ca 0 1 2
()      
Tìm lut phân phi xác sut ca Y ; tính E (Y ) và D (Y ) . Bài gii
Gi Y là BNN ch s sn ph(m loi A trong các sn ph(m ly ra ln th hai. ImY = {0;1; } 2 1 16 28
Ta thy P (X = 0) = ;P (X = 1) = ; P ( X = 2) = 45 45 45 Trong ñó, 0 2 C .C 10 6 3
P(Y = 0 | X = 0) 5 5 = =
; P Y = 0 | X =1 =
; P Y = 0 | X = 2 = 2 ( ) ( ) C 45 45 45 10 Mt khác 41
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
P (Y = 0) = P (X =0).P (Y = 0 | X = 0) + P ( X = )
1 .P (Y = 0 | X =1) 190
+ P (X = 2 ).P (Y = 0 | X = 2 ) = 2025 997 838
Tương t P (Y = ) 1 = ; P (Y = 2) = . 2025 2025
Bng phân phi xác sut ca Y Y 0 1 2 190 997 838 P (Y ) 2025 2025 2025 2673 Nên E(Y) =
= 1,32; D( X ) = 0,40525. 2025 3.3.
Mt ki%n hàng cha 8 sn ph(m, trong ñó có 3 sn ph(m xu và 5 sn ph(m
tt. Ly ngu nhiên t ki%n hàng ra 4 sn ph(m (không hoàn li).
a/ Hãy lp bng phân phi xác sut cho s sn ph(m xu có trong 4 sn
ph(m ly ra, và tính xác sut ñ trong ñó có ít nht 2 sn ph(m tt.
b/ Đem 4 sn ph(m va ly ra ñi bán. Bit r"ng bán mt sn ph(m tt ñưc
li 50 ngàn ñng, và bán mt sn ph(m xu b l 15 ngàn ñng. Tính li nhun thu
ñưc trung bình và ñ l%ch chu(n ca li nhun khi bán 4 sn ph(m trên. Gii
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m xu có trong 4 sn ph(m ly ra. Im X = {0;1;2; } 3 0 4 1 3 2 2 C .C 1 C .C 6 C .C 6 P( X = 0) 3 5 = = ;P( X = ) 3 5 1 = = ; P( X = 2) 3 5 = = ; 4 4 4 C 14 C 14 C 14 8 8 8 3 1 C .C 1 P( X = ) 3 5 3 = = 4 C 14 8
Bng phân phi xác sut ca X X 0 1 2 3 1 6 6 1 P (X ) 14 14 14 14 13
Xác sut ñ có ít nht 2 sn ph(m tt: ( P X ≤ 2) =1− ( P X = ) 3 = . 14
b/ Gi Y là BNN ch li nhun thu ñưc khi bán 4 sn ph(m. Y = 200 − 65X 6 6 1 15
khi ñó E ( X ) = + 2. + 3.
= 1,5; D ( X ) = E ( X ) − E( X )2 2 = 14 14 14 28 42
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
E(Y ) = E( 200 − 65X ) = 200 − 65E( X ) = 102,5 và
σ(Y ) = D(Y) = D(200 −65 X ) = 65 D( X ) = 47,5735 3.4.
Mt lô hàng có rt nhiu sn ph(m, vi t l% hàng gi là 30%.
a/ Ly ngu nhiên t lô hàng ra 10 sn ph(m, tính xác sut ñ có nhiu nht 2 sn ph(m gi.
b/ Ngưi ta ly ngu nhiên ra t ng sn ph(m mt ñ kim tra cho ñn khi
nào gp sn ph(m gi thì dng. Tìm lu t phân phi xác su t và tính kỳ v ng ca s
sn ph(m tht ñã kim tra Gii
Gi p là xác sut ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3.
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m gi. X B(10;0,3)
Xác sut ñ có nhiu nht 2 s n ph(m gi
P (X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1)+ P( X = 2) 10 9 2 8
= 0,7 + 0,3.0,7 + 0,3 .0,7 = 0,0455
b/ Gi Y là BNN ch s sn ph(m tht ñã kim tra. 1
Ta có Im Y = 0;1;2;... Ta thy P Y = 0 = 0,3;P Y = 1 = 0,7.0,3 theo quy np 1 { } ( 1 ) ( 1 ) ( = = 0,7n P Y n .0,3. 1 )
Nên kỳ vng c a s s n ph(m tht ñã kim tra: +∞ +∞ 1 7 E (Y ) = ∑ .
n P (Y = n) n− 1 = 0,7.0,3 ∑ . n 0,7 = 0,21. 1 1 = n= n= (1− 0,7)2 0 1 3 3.5.
Mt lô hàng có rt nhiu sn ph(m, vi t l% hàng gi là 30%.
a/ Ly ngu nhiên t lô hàng ra 10 sn ph(m, tính xác sut ñ có nhiu nht 2 sn ph(m gi.
b/ Ngưi ta ly ngu nhiên ra t ng sn ph(m mt ñ kim tra cho ñn khi
nào gp sn ph(m gi thì dng. Tìm lu t phân phi xác su t và tính kỳ v ng ca s sn ph(m ñã kim tra. Gii
Gi p là xác sut ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3.
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m gi. X B(10;0,3)
Xác sut ñ có nhiu nht 2 s n ph(m gi 43
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
P (X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1)+ P( X = 2) 10 9 2 8
= 0,7 + 0,3.0,7 + 0,3 .0,7 = 0,0455
b/ Gi Y là BNN ch s sn ph(m ñã kim tra. 2
Ta có Im Y = 1;2;3;... 2 { }
P (Y = 1 = 0,3; P Y = 2 = 0,7.0,3 theo quy np ( 0,7n P Y n − = = .0,3 . 2 ) 1 2 ) ( 2 )
Nên kỳ vng c a s s n ph(m ñã kim tra: +∞ +∞ n − 1 10
E (Y ) = ∑n.P (Y = n) 1 = ∑ . n 0,7 .0,3 = 0,3. 2 2 = n = n = (1− 0, )2 1 1 7 3 3.6.
Mt khách hàng mua xe ti m t ñi lý, nu xe có s c k4 thut thì ñưc
quyn tr xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và ñưc ly li nguyên s  tin mau
xe. M i chic xe b tr li như th làm thi%t hi cho ñi lý 250 ngàn VNĐ. Có 50
xe ñưc bán ra. Xác sut ñ mt xe b tr li là 0,1.
a/ Tìm kỳ vong và phương sai c a s xe b tr . Tính xác xut ñ có nhiu nht 2 xe b tr li.
b/ Tìm kỳ vng và ñ l%ch chu(n ca t$ ng thi%t hi mà t$ng ñi lý phi chu do vi%c tr li xe. Gii
Gi p là xác sut ñ mt xe b tr li. Nên p = 0,1.
Gi X là BNN ch s xe b tr li. X B(50;0, ) 1
ta thy ( n = 50 > 30;n.p = 5 ≤ 5;npq = 4,5 ≤ 5 ) nên X Po (5)
Suy ra E (X ) = np = 5;D (X ) = np (1− p) = 4,5.
Xác sut nhiu nht 2 xe b tr li:
P (X ≤ 2) = Po (5) + Po (5) + Po (5) = 0,1246 (0 ) (1 ) (2 )
b/ Gi Y là BNN ch t$ng thi%t hi c a ñi lý phi chu do vi%c tr li xe. Y = 250X
suy ra E (Y ) = E (250X ) = 250E ( X ) =1250 và
σ(Y ) = D(Y) = D(250 X ) = 250 D( X ) = 530,330 3.7.
Mt thí sinh tên M tham d mt kỳ thi môn XSTK . M phi làm mt ñ thi
trc nghi%m khách quan gm 10 câu; m i câu có 4 li Gii khác nhau, trong ñó ch
có m t li Gii ñúng. M s+ ñưc chm ñu nu tr li ñúng ít nht 6 câu.
(a) Gi s# M không hc bài, mà ch chn ngu nhiên li Gii trong c 10
câu. Tính xác sut ñ M thi ñu.
(b) Gi s  M chc ch n tr li ñúng ñưc 2 câu; còn các câu khác, M chn
ngu nhiên mt trong 4 li Gi i ca mi câu. Tính xác sut ñ M thi rt. 44
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gi i
Gi p là xác sut ñ M tr l i ñúng mt câu hi. Nên p = 0,25.
Gi X là BNN ch s câu tr li ñúng trong 10 câu. X B (10;0,25) .
Đt A :”M thi ñu”
P (A) = P (X ≥ 6)= P (X = 6) + P (X = 7)+
+ P( X = 8 ) + P( X = 9 ) + P( X =10 ) = 0,0197
b/ M chc chn tr  li dung 2 câu, mà các câu ñưc ñc lp nhau và xác sut tr li dung m i câu là 0,25.
Do ñó, Xác sut ñ M rt trong trưng hp tr li ñúng 2 câu có ngh ĩa là ta tính xác sut ñ M rt tro
Gi Y là BNN ch s câu tr li ñúng trong 8 câu. Y B(8;0,25) .
Đt R :” M thi rt”
P (R) = P (Y ≤ )
3 = P (Y = 0 )+ P (Y = ) 1 + P (Y = ) 2 + P (Y = 3) 0 0 8 3 3 5
= C 0,25 0,75 + ... + C 0, 25 0,75 = 0,8862. 8 8 3.8.
Mt thí sinh M tham d mt kỳ . M phi làm mt ñ thi trc nghi% m khách
quan gm 10 câu; m i câu có 4 li Gii khác nhau, trong ñó ch có mt li Gii
ñúng. M s+ ñưc chm ñu nu tr li ñúng ít nht 6 câu.
a/ Gi s# M không hc bài, mà ch chn ngu nhiên li Gii trong c 10
câu. Tính xác sut ñ M thi ñu.
b/ Hi M phi d thi ít nht my l n ñ xác sut có ít nht mt ln thi ñu không nh hơn 97%? Gi i
a/ Gi p là xác sut ñ M tr li ñúng mt câu hi. Nên p = 0,25 .
Gi X là BNN ch s câu tr li ñúng trong 10 câu. X B (10;0,25) .
Đt A :”M thi ñu”
P (A) = P (X ≥ 6)= P (X = 6) + P (X = 7)+
+ P( X = 8 ) + P( X = 9 ) + P( X =10 ) = 0,0197
b/ Gi n là s ln d thi ca M. Và B:“ít nht mt ln ñu”
( ) =1− ( = 0 )=1− (1− 0,0197) n P B P X
≥ 0,97 ⇔ n ≥ 176,238
Vy, M phi thi th# 177 ln. 3.9.
Nhà máy d%t mun tuyn d,ng ngưi bit rành v mt loi si. Nhà máy
th# thách ngưi d tuyn 7 ln. M i ln nhà máy ñem ra 4 si ging nhau, trong
ñó ch có mt s i tht và yêu cu ngưi này chn ra si tht. Nu chn ñúng ít 45
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
nht 6 ln thì ñưc tuyn d,ng. Mt ngưi ñn xin tuyn d,ng nói: "Ch cn nhìn
qua là có th phân bi%t si tht hay gi vi xác sut 80% ".
a/ Nu ngưi này nói ñúng kh năng ca mình thì xác sut ñưc tuyn d,ng là bao nhiêu?
b/ Tính xác sut ñ ñưc tuyn d,ng trong trưng hp, tht ra, ngưi
này không bit gì v s i c . Gii
a/ Gi B :” năng lc nhn ra si tht ca ngưi d tuyn” suy ra P( ) B = 0,8 .
Gi X là BNN ch s si tht trong 7 ln th. X B (7;0,8) .
Đt A :”Ngưi này ñưc chn”
P (A) = P ( X = 6)+ P( X = 7 ) 6 6 7 7
= C .0,8 .0, 2 + C .0,8 = 0,5767 7 7
b/ Gi p là xác su t chn ñưc si tht trong mt ln th# (không bit gì v si). p = 0,25 . Khi ñó X B(7;0,25)
Đt A :”Ngưi này ñưc chn”
P( A) = P( X = 6) + P( X = 7) 6 6 7 7
= C .0,25 .0,75 + C .0, 25 = 0,0014. 7 7 3.10.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân ph i xác sut ca s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Phi ly bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác sut có ít nht mt chai h ng không nh hơn 94% ? Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X B(3;0, ) 1 vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P (X = 0) = 0,271.
b/ Gi n là s chai ly ra. Ta có X B( ; n 0,1)
1− ( = 0) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n P X ⇔ n ≥ 26,7 46
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Do ñó, ít nht ly 27 chai. 3.11.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân ph i xác sut ca s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Chn ngu nhiên 1 trong 3 lô ri ly t lô ñó ra 3 chai. Tính xác sut ñ có ít nht 1 chai hng. Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3
Và X ~ B(3;0,1) vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P (X = 0) = 0,271.
b/ Ta có X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô i vi i ∈{1;2; } 3 i 1
Đt H :”lô i ñưc chn” i∈ {1;2; }
3 ⇒ P (H = . và i ) i 3
Đt H :” ít nh t 1 chai hng trong 3 chai ly ra” 3 1
P (H ) = ∑ P (H P H H = P X ≥ + P X ≥ + P X ≥ i ). ( | i ) ( 1 1 1 1 ) ( 2 ) ( 3 ) i= 1 3 1 =
3− P( X = 0 − P X = 0 + P X = 0 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3 1 =1 − ( 3 3 3 0,9 +0,92 + 0,85 ) = 0,2927 3 3.12.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân C
phi xác sut r i tính kỳ vng và phương sai ca s chai hng trong 3 chai ly ra. Gii
Gi Y là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra. 47
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
Suy ra E (Y ) = 0,2636 + 2.0,0314 + 3.0,0012 = 0,33
và D(Y) = E(Y ) − E(Y)2 2 = ( + + ) 2
0,2636 4.0,0314 9.0,0012 − 0,33 = 0,2911. 3.13.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân phi xác sut ca s chai hng trong 3 chai ly ra.
b/ Mt c #a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai '
lô C ri ñ ln l n. M t ngưi ñn mua 1 chai v dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ G i Y là BNN ch  s chai h ng có trong 3 chai ly ra. Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P ( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng” P( )
A = P( H P A | H + P H P A | H + P H P A| H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3) = 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 = 0,104 500 300 200 1000 1000 1000
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 48
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.14.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Chn ngu nhiên 1 trong 3 lô ri ly t lô ñó ra 3 chai. Tính xác sut ñ có ít nht 1 chai hng.
b/ Mt c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v  dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ Đt H :”lô i ñưc ch n” i∈ ⇒ P H = . và i { } ( i ) 1 1;2;3 3
Đt H :” ít nh t 1 chai hng trong 3 chai ly ra” 3 1
P (H ) = ∑ P (H P H H = P X ≥ + P X ≥ + P X i ). ( | i ) ( 1 1 ≥1 1 ) ( 2 ) ( 3 ) i= 3 1 1 =
3− P( X = 0 − P X = 0 + P X = 0 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3 1 = 1− ( 3 3 3 0,9 + 0,92 + 0,85 )= 0,2927 3
Trong ñó X là BNN ch  s  chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô i vi i∈ 1;2;3 i { }
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 1 499 300 1 299 200 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.15.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân phi xác sut ca s chai hng có trong 3
chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
Phi ly bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác su t có ít nht mt chai
hng không nh hơn 94% ?
b/ Mt c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v  dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. 49
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X B(3;0,1) vi ( = ) k k 3 = 0,1 .0,9 −k P X k C (k ∈ 0,1, 2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P ( X = 0) = 0,271.
Gi n là s chai l y ra. Ta có X B (n;0, ) 1
1− ( = 0) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n P X ⇔ n ≥ 26,7
Do ñó, ít nht ly 27 chai.
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 1 499 300 1 299 200 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.16.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân phi xác sut c a s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân ph i xác sut ca s chai hng trong 3 chai ly ra.
c/ M t c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v  dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3
Và X ~ B(3;0,1) vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1, 2,3 ) 3 { } 50
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P ( X = 0) = 0,271.
b/ Gi Y là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra. Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P ( X = 0 .P X =1 .P X = 0 + P X =1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
c/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.17.
Gi s# ngày sinh ca ngưi dân trong mt thành ph ln có th rơi
ngu nhiên vào mt ngày b t kỳ trong m t năm (365) ngày. Chn ngu nhiên 1095
ngưi trong thành ph  ñ ó. Tính xác sut ñ :
a/ Có hai ngưi có cùng ngày sinh ñã cho.
b/ Có không quá 7 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho. Gii
Gi X là BNN ch s ngưi có cùng ngày sinh trong 1095 ngưi . 1 X ~ B 1095; 365
a/ Xác sut ñ có 2 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho: 51
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 1093 1 364 1 P (X = 2) 2 = C ≈ Po 1095. = Po 3 =0, 2565 1095 2 2 ( ) 365 365 365
b/ Xác sut ñ có không quá 7 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho:
P (X ≤ 7 ) = Po 3 + Po 3 +Po 3 + Po 3 + Po 3 + Po 3 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( )
+Po 3 + Po 3 = 0,988 6 ( ) 7 ( ) 3.18.
M t trm bưu ñi%n chuyn ñi%n trong khong thi gian 10 -5 giây.
Trong quá trình tránh ñi%n có các ting n ngu nhiên. S tín hi%u n ngu nhiên
trong 1 giây là 104 . nu trong thi gian truyn tín hi%u có dù cjir mt tín hi%u n
ngu nhiên thì trm s+ ngng làm vi%c. tính xác sut ñ cho vi%c truyn tính hi%u
b gián ñon. bit r"ng s tín hi%u n ngu nhiên rơi vào trong khong thi gian
truyn tín hi%u là bin ngu nhiên tuân theo lut phân phi poison. Gii
Gi X là BNN ch s  các tín hi%u n trong khong thi gian 5 10− truyn tin. X P ( 4 −5
~ o 10 .10 )⇔ X ~ Po(0, ) 1 Trong ñó,
s tín hi%u n trong khong th i gian 5 10− giây truyn tin là 4 5 10 .10− = 0,1.
Do ñó, xác su t vi%c truyn tin b gián ñon 0,1 0,1 ( )0 P (X ) 1
1 P (X 0) 1 e− ≥ = − = = − = 0,0952 0! 3.19.
S l i trên 1 mét vuông vi là mt bin ngu nhiên tuân theo lu t phân
phi poison. Kim tra lô vi, ngưi ta thy 98% có l i. Vy trung bình m i mét
vuông vi có bao nhiêu l i? Gii
Gi X là BNN ch s l i trên 1mét vuông vi X P ( o λ) Lô vi thy có 98% l i P (X ) 1 0,98 1 P ( X 0 ) 0,98 e −λ ≥ = ⇔ − = = ⇔ = 0, 02 ⇔ λ ≈ 3,9 (1,5ñ)
Vy, trung bình m i mét vuông vi có 3,9 l i. 3.20.
Mt công nhân qun lý 12 máy d%t. Các máy d%t hot ñng ñc lp
nhau, và xác sut ñ m i máy, trong ca làm vi%c, cn s chăm sóc ca công nhân
(vit tt là CCN) là 0,3. 52
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ Tính xác sut ñ, trong ca làm vi%c, có a1/ 4 máy CCN a2/ t 3 ñn 7 máy CCN
b/ Trung bình, trong ca làm vi%c, có bao nhiêu máy CCN?
c/ Trong ca làm vi%c, tìm s máy CCN nhi u kh năng nht; tính xác sut tương ng. Gii.
a/ Gi X là BNN ch s máy CCN trong ca làm vi%c thì X ~ B (12;0,3) k k 12
P( X = k) = C (0,3) (0,7) − k , k∈ 0,1, 2,… ,12 , k 12 { } ∈ {0,1,2,…,12} a1/ Xác sut phi tính: 4 4 8
P(X = 4) = C (0,3) (0,7) = 0, 23 1 1 12 b2/ Xác sut phi tính: 7
P(3 ≤ X ≤ 7) = ∑P(X =k ) k = 3
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291 = 0,7376. b/ S máy CCN trung bình:
E (X ) =12 ×0,3 =3,6
c/ S máy CCN nhiu kh năng nht: Mod ( X ) = 1 [ 3 ×0,3] = . 3
Xác sut tương ng: P (X = ) 3 = 0,2397. 3.21.
Ngưi ta mun ly mt s ht lúa t mt kho lúa có t l% ht lép là
0,2 ñ kim tra. Bit r"ng kho lúa có rt nhiu ht.
a/ Phi ly ít nht bao nhiêu ht lúa ñ xác sut có ít nht mt ht lép không bé hơn 95% ?
b/ Ly ngu nhiên 100 ht lúa, tính xác sut ñ trong ñó có 25 ht lép; có t 10 ñn 40 ht lép. Gii.
a/ Gi n là s ht lúa cn ly. Vì s ht lúa trong kho rt ln, nên các ln ly xem
như ñc lp. Xác sut ñ trong n ht lúa ly ra, không có ht lép nào là (0,8)n. Theo gi thit: 53
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân n n ln (0,05) 1− (0, ) 8 ≥ 0,95 ⇔( 0, ) 8 ≤ 0, 05 ⇔ n≥ ln (0,8)
Vy, phi ly ít nht 14 ht lúa.
b/ Gi X là bin ngu nhiên ch s ht lép trong mu thì X ~ B (n, p ) , vi
n = 100 và p = 0,2 . Vì n > 30;n.p = 20 > 5 và . n (1 − )
p = 80 > 5 nên chúng ta có
th áp d,ng các công thc gn ñ úng DeMoivre − Laplace.
(i) Xác sut ñ có 25 ht lép: 25 25 75
P(X = 25) = C (0,2) (0,8) = 0,04388 100
(ii) Xác sut ñ có t 10 ñn 40 ht lép: 40 − 100× 0,2 10 − 100× 0,2 P(10 ≤ X ≤ 0 4 ) ≈ Φ − Φ 100 0 × ,2 0 × ,8 100 0 × , 2 0 × ,8 = ( Φ 5) − ( Φ 2 − ,5) =1 − (1 − ( Φ 2,5)) = ( Φ 2,5) ⇒ P 1
( 0≤ X ≤ 40 )≈ 0,9938 3.22.
Cn xét nghi%m máu cho 5000 ngưi ñ tìm du hi%u mt loi b%nh
B ti mt ña phương có t l% ng ưi mc b%nh B theo thng kê là 10%. Có 2 phương pháp:
a/ Xét nghi%m tng ngưi mt.
b/ M i ln ly máu mt nhóm 10 ngưi trn ln vào nhau r i xét nghi%m.
Nu kt qu âm tính thì thông qua, nu dương tính thì phi làm thêm 10 xét
nghi%m ñ xét nghi%m li tng ngưi mt trong nhóm.
Hi phương pháp nào có li hơn, bi t r"ng m i xét nghi%m ñu tn kém như
nhau và kh năng mc b%nh ca m i ngưi ñc l p nhau? Gii.
a/ Nu dùng phương pháp (1) thì phi thc hi%n 5000 xét nghi%m.
b/ Bây gi chúng ta xem ph ương pháp (2):
Đt X ch s nhóm có kt qu dương tính thì X B( −( 0, )10 ~ 500; 1 9 )
Đt Y ch s xét nghi%m theo phương pháp (2) thì Y = 500 + 10X
S xét nghi%m trung bình theo phương pháp (2) là: E(Y )= + E ( X )= + ( − ( )10 500 10 500 5000 1 0,9 )≈ 37 7 5 .
Vy, áp d,ng theo phương pháp (2) có li hơn. 54
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.23.
Mt cơ s' sn xut, trung bình trong mt tun, nhn ñưc 4 ñơn ñt
hàng. Bit r"ng s ñơn ñt hàng X mà cơ s' nhn ñư c trong mt tun là mt
BNN có phân phi Poisson. Tính xác sut ñ cơ s' ñó
a/ Nhn ñưc h ơn 5 ñơn ñt hàng trong mt tun
b/ Nhn ñưc 6 ñơn ñt hàng trong hai tun liên tip Gii. a/ X ~ Po( ) 4 . Xác sut phi tính:
P( X > 5) =1 − P(X ≤ 5) 5 4k = − 4 1 − ∑ e =1 −0,7851 =0,2149 k = k ! 0
b/ Gi Y là BNN ch s ñơn ñt hàng ca cơ s' trong hai tun liên tip thì
Y ~ Po (8). Xác sut phi tính: 6 8 ( P Y = ) − 8 6 = e = 0,1221 6! 3.24.
Mt xe ti vn chuyn 1000 chai rưu vào kho. Xác sut ñ m i chai
b v5 trong khi vn chuyn là 0,0035. Tính xác sut ñ sau khi vn chuyn, có 6
chai rưu b v5; có t 2 ñn 8 chai rưu b v 5. (gi s# r"ng s ki%n các chai rưu
b v5 là ñc lp nhau, do ch t lưng riêng ca m i chai) Gii.
Gi X là BNN ch s  chai rư u b v5 sau khi vn chuyn, thì
X ~ B (1000; 0,0035).
Xác sut ñ có 6 chai rưu b v5: 6 6 994 P( X = 6) = C (0,0035) (0,9965) = 0,07709 1000 Tính gn ñúng:
Vì n =1000 và n.p = 3,5 < 5 , nên có th xem: X ~ Po (3,5) . Do ñó: 6 (3,5) 3,5 P(X 6) e− = ≈ = 0,0771 6!
Xác sut ñ có t 2 ñn 8 chai rưu b v5 8 (3,5)k 3 − ,5
P(2 ≤ X ≤ 8) ≈ ∑ e = 0,8543 k = 2 k ! 55
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.25.
Thi gian ñ sn xut m t sn ph(m loi A là mt BNN tuân theo lut
phân phi chu(n vi các tham s µ = 10 và σ = 1 (ñơn v là phút)
a/ Tính xác sut ñ m t sn ph(m loi A nào ñó ñưc sn xut trong khong
thi gian t 9 phút ñn 12 phút.
b/ Tính thi gian cn thit ñ sn xut m t sn ph(m loi A bt kỳ. Gii.
Gi X là BNN ch thi gian d sn xut mt sn ph(m loi A , X ~ N (10; ) 1 . a/ Xác sut phi tính: 12−10 9−10 P(9 ≤ X ≤12) = Φ − Φ 1 1 = Φ ( ) 2 – Φ(− ) 1 = Φ( 2) + Φ( ) 1 –1
= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.
b/ Theo qui tc 3σ, hu như ch c chn X ly giá tr trong khong: [10 −3 1 × ; 10 + 3 1 × ]= [7; 13]
Vy, thi gian cn thit ñ sn xut mt sn ph(m loi A bt kỳ là t 7 phút ñn
13 phút (hu như chc chn). 3.26.
Cho bin ngu nhiên X tuân theo lut phân phi 2 N ( , µ σ ) . Bit r"ng
X ly giá tr nh hơn 60 vi xác sut 0,1003 và ly giá tr ln hơn 90 vi xác sut 0,0516, hãy tính µ và σ. Gii. Theo gi thit, 60 − µ Φ = 0,1003 ( P X < 60) = 0,1003 σ ⇔ ( P X >90) = 0,0516 90 − µ 1 − Φ 0 = ,0516 σ µ 6 − 0 Φ = 0,8997 µ − 60 1 = ,28 σ σ ⇔ ⇔ 90 − µ 90 − µ Φ =0,9484 = 1,64 σ σ
Vy, µ = 73,15 và σ = 10,27 . 56
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.27.
Đưng kính ca mt loi chi tit do mt máy sn xut có phân
phi chu(n, kỳ vng 20mm, phương sai ( )2
0,2 mm. Tính xác sut ly ngu nhiên mt chi tit
a/ Có ñư ng kính trong khong 19,9mm ñn 20,3mm.
b/ Có ñưng kính sai khác vi kỳ vng không quá 0,3mm. Gii
Gi X là BNN ch ñưng kính ca mt chi ti t, ta có X N( ( )2 ~ 20; 0,2 )
a/ Có ñư ng kính trong khong 19,9mm ñn 20,3mm 20,3 − 20 19,9 − 20
P (19,9 < X < 20,3) = Φ − Φ 0,2 0,2 = Φ(1, ) 5 + ( Φ 0, ) 5 = 0,6247
b/ Có ñưng kính sai khác vi k ỳ vng không quá 0,3mm P ( X − < ) 0,3 20 0,3 = 2Φ −1 = 0,8664 0,2 57
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 7: LÝ THUYT MU 4. 1.
Đ nghiên c u v s con trong m t gia ñình (SCTMGĐ) ' ña phương A,
ngưi ta ñiu tra s con c a m i gia ñ ình trong 30 gia ñình ñưc chn ngu nhiên
' ña phương A. Kt qu ñưc ghi li như sau: 0 2 5 3 7 4 3 3 1 4 2 4 3 1 6 1 0 2 4 1 1 2 3 2 0 5 5 1 3 2
a) Hãy lp bng phân phi tn s và tn sut tích lu4 cho d li%u trên mu.
b) Trên mu va nêu, tính SCTMGĐ trung bình ñ l%ch chu(n ca SCTMGĐ. Gii:
a) Gi X là BNN ch s con trong mt gia ñình. Bng phân b tn s, tn sut
và tn sut tích lũy cho X t d li%u trên. X 0 1 2 3 4 5 6 7 Tn s 3 6 6 6 4 3 1 1 Tn sut
0,100 0,200 0,200 0,200 0,133 0,100 0,033 0,033
Tn sut tích lũy 0,100 0,300 0,500 0,700 0,833 0,933 0,967 1,000
b) Giá tr trung bình mu là: = 2,67
Giá tr phương sai mu: 2 = 3,2644 Đ l%ch chu(n: 1 = ,81 . 4. 2.
Đ nghiên cu v thâm niên công tác (tính tròn năm) ca nhân viên ' mt
công ty ln, ngưi ta kho sát thâm niên ca 100 nhân viên ñưc chn ngu nhiên
trong công ty. Kt qu như sau: Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19 S nhân 8 21 36 25 10 viên
a) Hãy tính giá tr trung bình mu và giá tr ñ l%ch chu(n mu.
b) Gi s# thâm niên công tác ca nhân viên ca công ty trên là BNN X có kỳ
vng là 12 năm và ñ l %ch chu(n là 3 năm. Tính xác sut ñ trung bình mu
nhn giá tr  ln hơn 12,5 năm. Gii
Gi X là BNN ch thâm niên công tác ca nhân viên ca công ty trên.
a) T d li%u ta tính ñưc:
- Giá tr trung bình mu: = 12.24 58
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
- Giá tr ñ l%ch chu(n mu: = 3,27 .
b) Theo ñnh lý gii hn trung tâm ta có: − µ = ~ (0,1) σ
Do ñó xác sut ñ trung bình mu nhn giá tr ln h ơn 12,5 là: − µ − µ ( > ) 12,5 12,5 = >
= (> 1,67) = 1− (≤ 1,67) = 0,0478 σ σ 4. 3.
Đ nghiên cu chiu cao ca thanh niên la
tu$i t 18 ñn 22 tu$i ' thành ph LX, ngưi ta Chiu cao S thanh
ño trên mt m u gm mt s thanh niên ñưc (cm) niên
ch n ngu nhiên ' thành ph LX. Kt qu như sau [154, 158) 10 (ñơ n v cm): [158, 162) 16
a) Tính giá tr trung bình mu và giá tr ñ l%ch chu(n mu. [162, 166) 29
b) Theo tài li%u kho sát trưc ñ ó chiu cao ca [166, 170) 37
nhng thanh niên la tu $i trên tuân theo lut phân [170, 174) 15
phi chu(n vi kỳ vng là µ = 166 cm và ñ l%ch chu(n là [174, 178) 10
σ = 7 cm. Hãy tính xác sut ñ trung
bình mu có giá tr ln 167 cm. [178, 182) 4 Gii:
Gi X là BNN ch chiu cao c a thanh niên la tu$i t 18 ñn 22 tu$i ' thành ph LX.
a) T d li%u ta tính ñưc:
- Giá tr trung bình mu: = 166,55 cm
- Giá tr ñ l%ch chu(n mu: = 5,865 cm.
b) Theo ñnh lý gii hn trung tâm ta có: − µ = ~ (0,1) σ
Do ñó xác sut ñ trung bình mu nhn giá tr ln h ơn 12,5 là: − µ − µ ( > ) 167 167 = >
= (> 1,57 ) = 1− (≤ 1,57) = 0,058 σ σ . 4. 4.
Gi s# ñ tăng theo phn trăm lương hàng năm ca m i công nhân viên
chc trong công ty Alpha tuân theo lut phân phi chu(n vi trung bình 12,2% và 59
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
ñ l%ch chu(n 3,6%. Mt mu ngu nhiên gm 9 phn t# ñưc chn t t$ng th y.
Tìm xác sut ñ trung bình mu nh hơn 10%. Gii:
Gi X là BNN ch ñ tăng lương theo phn trăm. Ta có   ( 2 ~ 12,2; 3,6 ) và − µ = ~ (0,1) σ − − − ( < ) 12,2 10 12,2 10 12,2 10 = 9 < 9 = Φ 9 = 0,0334 . 3,6 3,6 3,6 4. 5.
Đ nghiên cu tu$i th ca m t loi bóng ñ èn, ngưi ta thp th # 100 bóng
ñèn trưc ci tin k4 thut. Sau khi ci tin k4 thu t, ngưi ta thp li 100 bóng.
S li%u có ñưc cho trong b ng sau:
Mu 1: Trưc ci tin Mu 2: Sau ci tin Tu$ i th (gi) S bóng Tu$i th S bóng ñèn (gi) ñèn < 1030 2 1150 10 [1030, 1050) 3 1160 15 [1050, 1070) 8 1170 20 [1070, 1090) 13 1180 30 [1090, 1110) 25 1190 15 [1110, 1130) 20 1200 10 [1130, 1150) 12 [1150, 1170) 10 [1170, 1200] 5 > 1200 2
a) Tính giá tr ñi di%n cho m i lp ' mu 1 và lp bng tn s, tn sut cho mu 1.
b) Hãy so sánh giá tr trung bình và giá tr ñ l%ch chu(n ca hai mu trên. 60
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii: a) (1 ñ) Trưc ci tin Tu$i th Giá tr ñi di%n Tn s Tn sut (gi ) < 1030 1020 2 0,02 [1030, 1050) 1040 3 0,03 [1050, 1070) 1060 8 0,08 [1070, 1090) 1080 13 0,13 [1090, 1110) 1100 25 0,25 [1110, 1130) 1120 20 0,20 [1130, 1150) 1140 12 0,12 [1150, 1170) 1160 10 0,10 [1170, 1200] 1185 5 0,05 > 1200 1215 2 0,02 Tng s 100 1
b) Gi và ln lưt là các BNN ch tu$i th ca bóng ñèn trưc và sau
ci tin k4 thut. Ta có = 1112,15; = 1175,5 ; = 39,26 và = 14,38
Như vy, trung bình mu 1 bé hơn trung bình mu 2 và ñ l%ch chu(n mu 1
ln hơn ñ l%ch chu(n mu 2. 4. 6.
Theo Hi sinh viên ' thành ph LX thì có 60% sinh viên hi%n ñang theo hc
ñi hc mun tìm vi%c làm ngoài gi h c. M t mu g m 205 sinh viên ñưc chn
ngu nhiên. Tìm xác sut ñ trong s ñó có hơn 135 sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi hc. Gii:
Gi là t l% sinh viên hi%n ñang theo hc ñi hc mun tìm vi%c làm ngoài gi hc, = 0,6 .
T l% sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi trên mu là = . 205
Xác sut có hơn 135 sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi: 61
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 135 27
( > 13 ) 5 = > =   > 205 205 41 − Vì 0 ~ ( 0, ) 1 1 − 0 ( 0 ) Do ñó 27 − 0 − ( > ) 0 41 135 = > 1 − 1 0 ( 0 ) 0 ( − 0 ) 27 27 − − 0,6 0 41 41 =1 − Φ =1 − Φ 205 1 − 0,6 1 −0,6 0 ( 0 ) ( ) =1 − Φ(1, ) 71 =1 −0,9564 = 0,0436 4. 7.
Mt mu kích thưc n ñưc thành lp t t$ng th tuân theo phân phi chu(n
vi kỳ vng µ và ñ l%ch chu(n là 8. Hãy xác ñnh n sao cho, v i xác su t b"ng
0,9524, trung bình mu n"m trong khong t µ - 4 ñn µ + 4. Gii: Ta có
( µ − 4 ≤ ≤ µ + 4) = 0,9524
⇔ ( − µ ≤4) =0,9524 (1 ñ) − µ 4 ⇔ ≤ = 0,9524 σ σ ⇔ 2Φ 1 − = 0,9524 2 ⇔ Φ = 0,9762 2 (1 ñ) ⇔ =1,98 2 ⇒ = 16 4. 8. 62
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
S li%u thng kê cho bit có 40% các h gia ñình ' thành ph A có thu nhp
hàng năm n"m trong khng t 1200 USD ñn 2000 USD. Vy, phi ñiu tra mt
mu gm bao nhiêu h gia ñình ñ, vi xác sut 0,95, t l% các gia ñình có thu nhp
trong khong nói trên, sai l%ch so vi t l% chung ca thành ph không quá 4%? Gii:
Ta có t l% h gia ñình ' thành ph A có thu nhp hàng năm n "m trong khng t
1200 USD ñn 2000 USD là = 0,4 . Gi là t l% mu:
( − 0,4 < 0,0 ) 4 = 0,95 − 0,4 0,04 ⇔ < = 0,95 0, ( 4 1− 0, ) 4 0, ( 4 1− 0, ) 4 0,04 ⇔ 2Φ −1 = 0,95 0,4 (1− 0,4) 0,04 ⇔ Φ = 0,975 0,4(1 −0,4) 0,04 ⇔ =1,96 0,4(1− 0,4)
⇔ ≈ 576,24 ⇒ = 577 4. 9.
Mt lô hàng ñt tiêu chu(n xut kh(u nu t l% ph ph(m không quá 5%. Nu
kim tra ngu nhiên 100 sn ph(m thì vi t l% ph ph(m thc t ti ña là bao
nhiêu, chúng ta có th cho phép lô hàng ñưc xut kh(u mà kh n ăng không mc sai lm là 95%? Gii: Gi 0
là t. l% ph ph(m thc t ti ña.
Lô hàng ñưc phép xut kh(u mà không mc sai lm khi < . Theo ñ 0 bài:
(< = 0,95 0 ) −0,05 −0,05 0 ⇔ 100 < 100 = 0.95 0,05(1− 0,05) 0,05(1− 0,05) − 0,05 Vì 100 ~ (0, )
1 nên ñ6ng thc trên tương ñương: 0,05 (1− 0,05) 63
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân −0,05 0 Φ 100 = 0,95 0,05 (1 −0,05) − 0,05 0 ⇒ 100 = = 1,65 0,05 (1− 0,05 ) 0,95 1,65 0,05(1 −0,05) ⇔ = +0,05 ⇔ =0,086 0 0 100 4. 10.
Chiu cao (ñơn v cm) ca mt thanh niên ' thành ph ln A là BNN tuân theo
lut phân phi N(165; 100). Ngưi ta ño ngu nhiên chiu cao ca 100 thanh niên ' thành ph  A (TP.A).
c) Xác sut ñ chiu cao trung bình ca 100 thanh niên ñó l%ch so v i chiu
cao trung bình ca thanh niên TP.A không vưt quá 2cm là bao nhiêu?
d) Nu mun chu cao trung bình ño ñưc sai l%ch so vi chiu cao trung bình
ca t$ng th không vưt quá 1cm vi xác sut không d ưi 99% thì chúng ta
phi tin hành ño chiu cao ca bao nhiêu thanh niên? Gii:
a) Gi là BNN ch chiu cao ca m i thanh niên ' thành ph A. Ta có
~ (165;100) .
Do ñó ~ (165; )
1 và −165 ~ ( 0, ) 1
⇒ (−165 < 2)= 2Φ(2)−1= 0,9545 − 165
b) Gi là s thanh niên cn ño chi u cao. Khi ñó, ~ (0, ) 1 10
Theo ñ bài ta có: ( − 165 < ) 1 ≥ 0,99 − 165 ⇔ < ≥ 0,99 10 10 2 ⇔ Φ −1 ≥ 0,99 10 1,99 ⇔ Φ ≥ = 0,995 10 2 64
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 − ⇒ ≥ Φ ( 0,99 ) 5 = 2,5758 10 ⇒ ≥ 663,47
CHƯƠNG 5: ƯC LƯNG THAM S 5. 1.
a) Hãy thit lp công thc tìm khong tin cy γ cho trung bình t$ng th
trong trưng hp t$ng th  có phân phi chu(n ñã bit ñ l%ch chu(n.
b) Tìm khong tin cy 95% cho trung bình t$ng th X bit X ( 2 ~ µ ,σ ) vi
σ = 3 và mu ñc trưng X có kích thưc n = 25 trung bình mu x = 10 . Gii
a) Vi ñ tin cy γ cho trưc ta tìm khong (x − ;e x +e) sao cho
P ( X − e < µ < X + e) = γ
⇔ P (| X − µ |<e ) = γ | X − µ | n ⇔ P n < e = γ σ σ n
⇔ P |U |< e = γ σ n Vì U ~ N (0, )
1 nên ta có 2Φ (a ) 1 − = γ , a =e σ 1 ⇔ Φ (a) + γ = ⇒ a = u 1 2 + γ 2 n Suy ra: u = e ⇒ e = u . σ 1 γ + 1 γ σ + n 2 2 Vy, khong tin cy σ
γ cho µ là (x −e;x + e) vi e = u . . 1 γ + n 2
b) Áp d,ng công thc trên, khong tin cy 95% cho trung bình ca X là:
(x −e;x + e) σ 3 3 e = u . = u . = u . = 1,176 1+γ 1 0 + ,95 0,975 n 25 5 2 2 65
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Vy khong tin cy cn tìm là: (8,824;11,176). 5. 2.
a) Gi s # r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV có ñ l% ch chu(n
b"ng 500, nhưng chưa bit trung bình. Ngoài ra, tu$i th ca loi bóng ñèn
ñó tuân theo lut phân phi chu(n. Kho sát trên mt mu ngu nhiên gm
15 bóng loi trên, ngưi ta tính ñưc tu$i th trung bình là 8900 gi. Hãy tìm
khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca loi bóng ñ èn hình nói trên.
a) Mt t$ng th X có phân phi chu(n. Quan sát mt mu ngu nhiên kích
thưc 25 ngưi ta tính ñư c trung bình là 15 và ñ l%ch chu(n là 3. Hãy ưc
lưng kỳ vng ca X b"ng khong tin cy 95%. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x +e) σ 500 500
Vi x = 8900 , và e = u . = u . = 1,96. = 253 1+ γ 0,975 n 15 15 2 Do ñó ( )
b) Khong tin cy cho kỳ vng ca X là: (x -e;x +e ) vi x =15
Vì X có phân phi chu(n chưa bit ñ l%ch chu (n nên: s 3 3 (24 ) (24 ) e = t . = t . = 2,0639. = 1, 24 1+ γ 1+0 ,95 n 25 5 2 2
Vy, khong tin cy cn tìm là ( ) 5. 3.
Gi s# r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV có ñ l%ch chu(n b"ng
500, nhưng chưa bit trung bình. Tuy nhiên, trung bình mu b"ng 8900 ñưc
tính trên mu c5 = 35 .
a) Hãy tìm khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca loi bóng ñèn hình ñang kho sát.
b) Gi s# r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV trên có phân phi
chu(n. Hãy tìm khong tin cy 90% cho trung bình t$ng th. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình: (x − ;
e x + e) , vi x = 8900 và σ 500 500 e = u . = u . =1,96. =165,65 1+γ 0,975 n 2 35 35
Vy, khong tin cy cn tìm là: (8734; 9066) (gi). 66
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b) Khong tin cy 90% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x + e) , vi x =8900 .
Do X có phân phi chu(n chưa bit ñ l%ch chu(n nên: − s n 500 500 ( ) 1 ( ) 34 e = t . = t . = 1, 6909. = 142,9 1+ γ 1+0 ,9 n 2 2 35 35
Vy, khong tin cy cn tìm: (8757; 9043) (gi). 5. 4.
a) Kim tra tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV trên mt mu ngu nhiên
gm 100 bóng ñèn tính ñưc giá tr trung bình mu là 8900 gi và ñ l%ch
chu(n mu b"ng 500 gi. Hãy tìm khong tin cy 95% cho trung bình t $ng th.
b) Đ tin cy s+ là bao nhiêu nu cùng mu trên sai s ưc lưng b"ng 130 gi. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x + e) , vi x =8900 . s 500 500 e = u . = u . =1,96. = 98 1+ γ 1+0,95 2 n 2 100 100
Khong tin cy cn tìm: (8802; 8998) (gi).
b) Gi s# γ là ñ tin cy, khi sai s ưc lưng 500 100 = . = 130 ⇒ = 130. = 2, 6 1 γ + 1 100 γ + 500 2 2 1
Tra bng 4 ta tìm ñưc + γ = 0,9953⇔ γ = 0,9906. 2
(1+ γ =   <
=   < 2,6 v i ~ 0,1 ) 1 ( ) + γ ( ) 2 2
Vy, ñ tin cy γ = 99,06%. 5. 5.
Khi lưng X ca m t sn ph(m do m t nhà máy sn xut tuân theo lut phân
phi chu(n. Ly mt mu ngu nhiên (không hoàn li) gm 10% ca mt lô hàng
gm 300 sn ph(m ca nhà máy ñó, ngưi ta tính ñưc x = 148,50 gam và s = 35,75 gam.
a) Hãy xây dng công th c tìm khong tin cy γ cho trung bình t$ng th hu
hn trong trưng hp ly mu không hoàn li.
b) Tìm khong tin cy 95% cho khi lưng trung bình ca m i sn ph(m trong lô hàng nói trên. 67
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
a) Gi N là kích thưc t$ng th, n là kích thưc mu. σ N −n
Vì ly mu có hoàn li thì X σ = X n N −1 X − µ X − µ N −1
Theo ñnh lý gii hn trung tâm, U = = n ~ N (0, ) 1 σ σ N − n X X U X − µ N −1 Và T = = n ~ t (n 1 − ) / −1 S N −n Y n ( n 1 − ) 2 S 7 ñây 2 Y = ~ χ n −1 2 ( ) σX
Do ñó vi ñ tin cy γ cho trưc ta tìm e sao cho P ( X −µ < e) = γ e N −1
T ñó P( T < a) = γ vi a = n s N − n 1
Suy ra P (T <a) + γ =
vi T là BNN có phân phi student n− 1 bc t  do. 2 Suy ra ( − ) 1 = n a t 1+ γ 2 s N n Vy ta tính ñưc (n − − ) 1 e = t 1+ γ n N − 1 2
b) Theo ñ bài ta có n = 30; s = 35,75; N = 300; x =148,5; γ = 0,95 35, 75 270 Ta tính ñưc (29 ) e = t . = 12,685 1+ 0,95 30 299 2
Khong tin cy 95% cho khi lưng trung bình là (135,815;161,185) 5. 6.
Mt lô bút bi ca xí nghi%p A sn xu t ra gm 1000 hp, m i hp 10 cây.
Kim tra ngu nhiên 50 hp, thy có 45 cây bút b hng.
a) Tìm khong tin cy 95% cho t l% bút b hng và s bút b hng ca lô hàng.
b) Vi mu trên, nu mun ư c lưng t l% bút hng vi ñ chính xác 1,5%
thì ñ tin cy ñt ñưc là bao nhiêu? Gii
a) Gi p là t l% bút hng ca lô bút. 68
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 45
T. l% bút hng trên mu p = = 0,09 500
Khong tin cy 95% cho t. l% bút hng ca mu: p (1− p) 0, 09(1− 0,09) ( p− ; e p+ ) e vi e = 1 u + 0,95 = 1,96. = 0,025 n 500 2
Khong tin cy 95% cho t. l% bút h ng cn tìm là: (0,065;0,115) và cho s bút
hng là (650;1150 ) (cây).
b) Gi s# e = 0,015 , ta có p(1− p) n u1 = 0,015⇒ u +γ 1 = 0,015 = 1,172 n +γ p (1 − p) 2 2 1 + γ ⇒ = ⇒ γ = −1 = 0,7588 =75,88%. 2 5. 7.
Quan sát ' mt m u, ng ưi ta có kt qu v chiu cao X(m) ca loi cây công
nghi%p ' mt nông trưng như sau: xi 3 4 5 6 7 8 s cây 2 8 23 32 23 12
a) Hãy ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó b"ng khong tin cy 90%.
b) Đ ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó ' ñ tin cy 95%, vi
sai s không quá 2 dm thì cn phi quan sát thêm bao nhiêu cây na? Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 6,02 và ñ l%ch chu(n mu s = .
Khong tin cy 90% cho chiu cao trung bình ca loi cây ñó là: s 1, 206 1, 206 ( x − ;
e x + e) , e = u = u . = 1,65. 1+ γ 0,95 100 10 10 2 Do ñó ( )
b) Gi s# n là s cây cn quan sát vi ñ tin cy 95% và sai s không quá 1 0,2 (m) ta có: 1, 45 u ≤ 0, 2 0,975 n1 69
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 1,206 1, 206 ⇔ n ≥ u ⇔ n ≥ 1, 96. =139,6 ⇒ n = 140 1 0,975 1 0,2 0, 2 1
Vy ta cn quan sát thêm ít nht 140 – 100 = 40 (cây) na. 5. 8.
Quan sát ' mt m u, ng ưi ta có kt qu v chiu cao X(m) ca loi cây công
nghi%p ' mt nông trưng như sau: xi 3 4 5 6 7 8 s cây 2 8 23 32 23 12
a) Hãy ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó b"ng khong tin cy 90%.
b) Nhng cây cao t 7 m tr' lên gi là cây loi A. Hãy tìm khong tin cy
95,44% cho t l% cây loi A ca nông trưng. Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 6,02 và phương sai mu 2s =
Khong tin cy 90% cho chiu cao trung bình ca loi cây ñó là:
(x −e;x +e ), s 1, 2059 1, 2059 e = u = u . = 1,65. 1+ γ 0,95 100 10 10 2 Do ñó K = ( )
b) T. l% cây loi A trên mu là: 35 p = = 0,35 100
Khong tin cy 95,44% cho t. l% cây loi A ca nông trưng là: ( p − ; e p + e) p(1− p) vi 0,35.0,65 0,35.0,65 e = u = u = 2. = 0,0954 1 0 + ,9544 0,9772 n 100 10 2
Khong tin cy cn tìm là: (0,2546;0,4454). 5. 9.
Đ sâu ca bin ñưc xác ñnh b"ng mt máy ño có sai s h% thng b"ng 0,
còn sai s ngu nhiên ca nó tuân theo lut phân phi chu(n vi ñ l% ch chu(n 20m.
a) Cn phi tin hành bao nhiêu ln ño ñ xác ñnh ñưc ñ sâu ca bin vi
sai s cho phép không quá 15m ' ñ tin cy 90% ? 70
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b) Tìm khong tin cy 95% cho sai s ngu nhiên trung bình. Bit r"ng khi
tin hành ño ' m t ña ñim xác ñnh 25 ln ngưi ta tính ñưc sai s ngu
nhiên trung bình mu là 100m. Gii
a) Gi là s ln ño cn thit. 2 2 σ σ 20 Ta có 2 2 e =u ≤15 ⇔n ≥ u = .1, 65 = 4,84 1+γ 2 1 n 15 + γ 225 2 2
Vy cn ño ít nht 5 ln.
b) Khong tin cy 95% cho sai s trung bình ngu nhiên là: σ 20 20
(−;+) vi = . = . = 1,96. = 7,8 1+0,95 0,975 25 5 2
Vy khong tin cy cn tìm là: (92,2;107,8) . 5. 10.
Ngưi ta mun ưc lưng t l% viên thuc b st m trong mt lô thuc rt nhiu viên.
a) Nu mun sai s cho phép không quá 1% ' ñ tin cy 95% thì phi quan sát ít nht my viên?
b) Quan sát ngu nhiên 200 viên, thy có 20 viên b s t m. Hãy tìm khong
tin cy 95% cho t l% t$ng th. Nu mu n sai s cho phép không quá 1% ' ñ
tin cy 95% thì ph i quan sát ít nht my viên? Gii a) Theo ñ bài ta có: 2 2 u u 1+ γ 1+0,95 e≤ ε = 0,01; 2 2 ⇔ n ≥ = = 2.0,01 0,02
Vy, phi quan sát ít nht 9604 viên.
b) Gi p là t l% viên thuc b st m. Khong tin cy 95% cho p : ( p − ; e p +e) p (1 − p) 0,1 (0,9 ) 0,09 e = u = u =1,96. = 1 +γ 1 0 + ,95 n 200 200 2 2
Vy khong tin cy 95% cho t l% viên thuc b  st m là: ( )
Nu sai s không quá 1% ' ñ tin cy 95% ta cn quan sát bao nhiêu: 71
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 2 u u 1+ γ 1+0,95 2 n≥ p( − p) 2 . 1 = .0,1.0,9= ε 0,01
Vy, phi quan sát ít nht 3458. 5. 11.
Đ nghiên cu sn lưng sa hàng ngày (SLSHN) ca mt ñàn bò, ngưi ta
ñiu tra ngu nhiên trên 100 con bò ca nông trưng và có kt qu sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 S con bò 10 24 42 16 8
a) Ưc lưng sn lưng sa trung bình m i ngày ca mt con bò b"ng khong tin cy 97%.
b) Vi ñ tin cy 97%, có th  nói sn lưng sa trung bình hàng ngày ca
mt con bò nhiu nht b"ng bao nhiêu? Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 11,78, s =1,79
Khong tin cy 97% cho SLSHN trung bình: (x −e;x +e) s 1,79 1, 79 Vi e = u . = u . = 2,1707. = 0,39 1+ 0,97 0,985 n 100 10 2
Vy, khong tin cy cn tìm là: (11,39; 12,17) (kg)
b) Ta tìm khong tin cy mt bên: (−∞;x +e) : s 1,79 1, 79 vi e =u =u =1,88. = 0,337 γ 0,97 n 100 10
T ñó suy ra s n lưng sa trung bình hàng ngày nhiu nht: 11,78 + 0,337 =12,117 (kg) 5. 12.
Đ nghiên cu sn lưng sa hàng ngày (SLSHN) ca mt ñàn bò, ngưi ta
ñiu tra ngu nhiên trên 100 con bò ca nông trưng và có kt qu sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 S con bò 10 24 42 16 8
a) Tìm khong tin cy 90% cho t l% bò cho SLSHN trên 11kg.
Mun sai s khi ưc lưng sn lưng sa trung bình m i ngày không
vưt quá 0,5kg và sai s khi ưc lưng t l% bò cho SLSHN trên 11kg không
vưt quá 12%, vi cùng ñ tin cy 98%, thì cn ñiu tra bao nhiêu con bò? Gii 72
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 11,78, s =1,79
Gi p là t l% bò cho SLSHN trên 11 kg. 66
T l% này trên mu kho sát là: p = = 0,66 100
Khong tin cy 90% cho p: ( p −e; p +e) Vi p (1− p) 0,66 (1− 0,66) 0,66 (1− 0,66) e = u = u . = 1,6449. = 0,0779 1+0,9 0,95 n 100 100 2
Vy, t l% bò cho SLSHN trên 11 kg t 58,21% ñn 73,79%.
b) Gi n là s bò cn ñiu tra. Ta phi có: 1 2 2 2 s 2 1, 79 n ≥ u . 1 1 0 + ,98 2 n ≥ 2,3263 . = 69, 4 1 2 0,5 2 0,5 ⇔ p 1− p 0,66.0,34 2 ( ) 2 n ≥ u . n 2, ≥ 3263 . 84, = 33 1 1 0 + ,98 1 2 2 0,12 0,12 2
Chn n = 85. Vy cn ñiu tra 85 con bò. 1 5. 13.
Đ dài ca mt loi chi tit máy ñưc ño 25 ln b"ng mt máy ño có sai s
h% thng b"ng 0. Bit r"ng sai s  ngu nhiên ca vi%c ño có phân phi chu(n vi
phương sai 100cm2 và ñ dài trung bình trong 25 ln ño là 100cm.
a) Hãy tìm khong tin cy 99% cho ñ dài ca loi chi tit máy trên.
b) Phi tin hành bao nhiêu l n ño ñ b rng khong tin cy 99% cho ñ dài
c a loi chi tit máy trên không quá 8 cm. Gii
a) Khong tin cy 99% cho ñ dài chi tit máy nói trên: (x − ;e x +e) . σ 10 10 Vi e = u . = u . = 2,5758. = 5,15 1+γ 0,995 n 25 5 2 Đáp s: (94,85; 105,15).
b) Gi n là s ln ño. Ta cn có: 1
2e ≤ 8 ⇔ e ≤ 4 σ ⇔ u . ≤ 4 1+ γ n 2 1 2 2 2 σ σ 100 ⇔ n ≥ u . = u . = 2,5758 . = 41,47 +γ 2 ( )2 2 1 1 0,995 4 16 16 2 73
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Suy ra, n = 42. 1
Vy, cn tin hành ño ít nht 42 ln. 5. 14.
Gi s# ñưng kính c a mt loi sn ph(m là bin ngu nhiên có phân phi
N(µ, σ2). Đo 10 sn ph(m, ngưi ta có bng s li%u:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm khong tin cy 95% cho µ và khong tin c y 99% cho µ và σ2. Gii
T s li%u ñã cho ta tính ñưc: x = s =
♣ Khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình: − s n 1 9 e = t = t = 1+0,95 0,975 10 10 2 (4,0257; 4,5543 )
♣ Khong tin cy 99% cho ñưng kính trung bình: ( 3,9102; 4,6698)
♣ Khong tin cy 99% cho phương sai là: 2 χ (n − = χ = χ = + γ ) 2 1 + (9) 2 9 23,589 1 1 0,99 0,995 ( ) 2 2 2 χ (n − = χ = χ = −γ ) 2 1 − (9) 2 9 1,735 1 1 0,99 0,005 ( ) 2 2 ( n − ) 2 1 s = 9. (n − ) 2 1 s ( n − ) 2 1 s ; 0, = 0521;0, 7084 2 2 ( ) χ n −1 χ n −1 1+γ ( ) 1−γ ( ) 2 2 5. 15.
Nghiên cu v ñ bn X (kg/mm2) ca mt loi thép, ngưi tin hành mt s
quan sát mt s tm thép trên mu và có kt qu cho trong bng sau: Đ bn (kg/mm2) S tm thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 74
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6
a) Tìm khong tin cy 97% cho ñ bn trung bình ca loi thép trên.
b) S+ ñt ñ tin c y bao nhiêu nu mun ưc lưng ñ bn trung bình ca
loi thép trên b"ng khong tin cy có ñ dài b"ng 6? Gii
a) T s li%u trên ta tính ñưc: x =162,6389; s = 33,4076
Khong tin cy 97% cho trung bình ñ bn: ( x − ; e x + e) s e = u = u = = 6,0412 1+ γ 0,985 n 144 12 2 ( x − ;
e x + e) = (156,6;168,7)
b) Gi γ là ñ tin cy cn tìm s n 144 Ta có: e = u = 3 ⇒ u = 3. = 3. = 1,0814 1+γ 1 n + γ s 33,0476 2 2 1+ γ ⇒ = 0,86⇒ γ = 72% 2 5. 16.
Nghiên cu v ñ bn X (kg/mm2) ca mt loi thép, ngưi tin hành mt s
quan sát mt s tm thép trên mu và có kt qu cho trong bng sau: Đ bn (kg/mm2) S tm thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6
a) Tìm khong tin cy 97% cho ñ bn trung bình ca loi thép trên. b) 2
Thép có ñ bn trên 195kg/mm ñư c gi là thép loi A. Tìm khong tin
cy 98% cho t l% thép loi A. Gii 75
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a) T s li%u trên ta tính ñưc: x =162,6389; s = 33,4076
Khong tin cy 97% cho trung bình ñ bn: s e = u = u = = 6,0412 1+ γ 0,985 n 144 12 2 ( x − ;
e x + e) = (156,6;168,7 )
b) Gi p là t. l% thép loi A. T l% mu: 27 p = = 0,1875 . 144
Khong tin cy 98% cho p: ( p − ; e p + ) e p (1− p ) 0,1875(1− 0,1875) e = u . = u . 1 0 + ,98 0,99 n 144 2 0,1875(1− 0,1875) = 2,3263. = 0,0106 144
Vy, khong tin cy cn tìm: (0,1769; 0,1981) . 5. 17.
Mc tiêu hao nguyên li%u cho mt ñơn v sn ph(m là mt bin ngu nhiên X
tuân theo qui lut chu (n. Quan sát 28 sn ph(m ñưc chn ngu nhiên, ngưi ta
thu ñưc k t qu cho trong b ng sau: x (gam) 19 19,5 20 20,5 s sn ph(m 5 6 14 3
Hãy xây dng khong tin c y 90% cho phương sai t$ng th trong hai trưng hp: a) bit E(X) = 20g; b) chưa bit E(X). Gii n n ∑(x − µ x k )2 ( ∑ − µ k )2
a) Khong tin cy γ cho phương sai t$ng th: =k1 = k 1 ; 2 χ n χ n γ + ( ) 2 1 1 γ − ( ) 2 2 2 χ ( n = χ = χ = + γ ) 2 + ( ) 2 28 28 41,337 1 1 0 ,9 0,95 ( ) 2 2 2 χ ( ) 2 n = χ = χ = −γ − (28) 2 28 16,928 1 1 0,9 0,05 ( ) 2 2 n ∑ (x −µ = k )2 7,25 k 1 =
Khong tin cy cn tìm: 76
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 7, 25 7, 25 ; (0, = 175;0, 428) 41,337 16,928 (n−1) 2 s (n− ) 2 1 s
b) Khong tin cy γ cho phương sai t$ng th: ; 2 χ n − χ n − + γ ( ) 2 1 1 1 1− γ ( ) 2 2 2 χ ( n − = χ = χ = + γ ) 2 1 + (27) 2 27 40,113 1 1 0,9 0,95 ( ) 2 2 2 χ ( n− = χ = χ = −γ ) 2 1 − (27) 2 27 16,151 1 1 0,9 0,05 ( ) 2 2 ( n − ) 2 1 s = 5,74
Khong tin cy cn tìm: 5,74 5,74 ; (0, = 143;0,355) . 40,113 16,151 5. 18.
X (ñơn v tính b"ng %) là ch  tiêu c a mt loi s n ph(m. Điu tra ' mt s
sn ph(m (s.ph), ngưi ta có s li%u: Xi S sn ph(m [5,7) 2 [7,9) 8 [9,11) 14 [11,13) 19 [13,15) 22 [15,17) 20 [17,19) 10 [19,21) 5
a) Đ ưc lưng trung bình ch tiêu X vi ñ tin cy 95% và ñ chính xác
0,3% thì cn ñiu tra thêm bao nhiêu sn ph(m na?
b) Ngưi ta xem các sn ph(m có ch tiêu X dưi mt mc qui ñ nh là loi 2.
T s li%u trên, b "ng phương pháp ưc lưng khong t l% (loi 2), ngưi ta
tính ñưc khong tin cy là (4%, 16%). Tìm ñ tin cy ca ưc lưng này. Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc: x =13,52; s = 3,35.
Đ ưc lưng trung bình ch tiêu X vi ñ tin cy 95% và sai s 0,3 ta cn: 77
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 u 2 1 + γ u 2 2 0,975 2 n ≥ .s = .s = ×11, 2420 = 1 0,3 0,3
Vy cn ñiu tra thêm 283 sn ph(m na.
b) Gi p là t l% sn ph(m loi 2 ' mu t khong tin cy γ c a t. l% sn ph(m loi 2 ta có: p −e =0,04 p =0,1 ⇔ p +e =0,16 e =0,06 Mt khác, p (1− p ) e = u1+γ n 2 p(1 − p) 0,06 0,06 ⇒ u = e / = 100 = 10= 2 1 +γ n 0,1×0,9 0,3 2 1+ γ = ⇔ γ 2 5. 19.
Vi%n thng kê mu n ưc lưng t l% p ngưi dân không ñng ý v m t ñiu
lut mi ñưc ñ ngh.
a) Nu mun sai s cho phép không quá 2% ' ñ tin cy 90% thì phi hi ý
kin ít nht my ngưi?
b) Trên mt mu ngu nhiên 344 ngưi ñưc hi ý kin, có 83 ngưi không
ñng ý. Hãy tìm khong tin cy 90% cho p . Da vào s li%u ca mu này, hãy gii l i câu a). Gii
a) Gi n là s ngưi cn h i ý kin. Ta phi có: 2 2 1 1 n ≥ u . = u . = 1691,1 1+0,9 1+0,9 2ε 2.0,02 2 2
Vy, phi hi ý kin ít nht 1692 ngưi. b) T l% mu: 83 p =
= 0,241. Kho ng tin cy 90% cho p : ( p− ; e p+ ) e 344 p (1− p) 0, 241(1− 0,241) e = u . = 1,6449. = 0,0379 1 0 + ,9 n 344 2
Vy, khong tin cy cn tìm là: (0,2031;0,2789) tc là t 20,31% ñn 27,89%. 78
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gii li câu a), trên cơ s' có mu thăm dò, kích thưc mu cn tìm: p 1− p 0, 241 1− 0,241 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 1, 6449 . = 752, 2 1 1+0,9 2 2 ε 0,02 2
Vy, cn hi ý kin ít nht 753 ngưi. 5. 20.
Đ nghiên cu ñư ng kính X (mm) ca mt loi sn ph(m do m t xí nghi%p
sn xut, ngưi ta ño ngu nhiên 100 sn ph(m ca xí nghi%p và có kt qu cho trong bng sau: xi 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15 Tn s 8 12 20 30 14 10 6
Theo qui ñnh, nhng sn ph(m có ñưng kính t 9,9 mm ñn 10,1 mm là
nhng sn ph(m ñt tiêu chu(n k4 thut. Tìm kho ng tin cy 95% cho t l% và
ñưng kính trung bình c a nhng s n ph(m ñt tiêu chu(n k4 thut. Gii
Bng s li%u cho các sn ph(m ñt tckt: xi 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 Tn s 12 20 30 14 10
♣ Gi p là t  l% sn ph(m ñt tckt, t l% này trên mu là: 86 p = = 0,86 100
Khong tin cy 95% cho p : ( p− ; e p+ ) e p (1− p ) 0,86(1− 0,86) e = u . = 1,96. = 0,068 1 0 + ,95 n 100 2
Vy, khong tin c y cho p là: (0,792; 92,8) nghĩa là t 79,2% ñn 92,8%.
♣ Gi X là BNN ch  ñưng kính ca nhng s n ph(m ñt tckt. T s 1 li%u ta có:
x = 9,994; s = 0,06. 1 1
Khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình nhng sn ph(m ñt tckt:
(x −e;x + e 1 1 ) s 0,06 1 e = u . = 1, 96. = 0,012 1+ 0,95 n 2 86 1
Khong tin cy cn tìm:(9,982;10,006) (mm). 79
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 5. 21.
X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu ca mt loi sn ph(m.
Kim tra ngu nhiên ' mt s sn ph(m, ngưi ta có kt qu sau: x i 1 2 x x 3 4 yk (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 8 (100, 105] 12 10 7 (105, 110] 5 2
a) Đ ưc lưng trung bình ca ch tiêu Y vi sai s cho phép 0,5 cm và ñ
tin cy 90% thì cn ñiu tra thêm bao nhiêu sn ph(m na?
b) Cho bit khong tin cy 96% ca ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n m u ca ch tiêu X. Gii
a) Bng phân b tn s ch tiêu Y: (100, y (90, 95] (95, 100] (105, k 105] 110] n 20 65 29 7 k
T ñó: y = 98,4504; s = 3,89 y
Gi n là s sn ph(m cn ñiu tra: 1 2 2 2 sY 2 3,89 n ≥ u . = 1, 6449 . = 163,8 1 1+ 0,9 2 2 ε 0,5 2 ⇒ n = 164 1
Vy, cn ñiu tra thêm 43 sn ph(m na. b) Theo ñ bài ta có: x −e = 1,59 x = 2,1 ⇔ x + e = 2,61 e = 0,51 s e n Mt khác, 0,51. 121 e = u . ⇒ s = = = 2,732 1+0,96 n u 2,0537 2 1+0,96 2 5. 22. 80