Phiếu bài tập biến ngẫu nhiên - Lý thuyết Xác suất | Đại học Sư Phạm Hà Nội

PHIẾU BÀI TẬP TUẦN 2 Bộ môn Toán Ứng dụng
Khoa Toán tin - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Hà Nội, tháng 09 năm 2023
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
1. Xác suất độc lập
Bài 1. Trong một cuộc xổ số, người ta phát hành 10 vạn vé trong đó có 1 vạn vé trúng giải. Cần phải mua
ít nhất bao nhiêu vé để với xác suất không nhỏ hơn 95% ta sẽ trúng ít nhất được 1 vé?
Bài 2. Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng
vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm.
Bài 3. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1 viên
đạn trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt
chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu:
a. máy bay bị trúng 2 viên đạn.
b. máy bay bị trúng 3 viên đạn.
Bài 4. Hai người chơi A và B cùng chơi một trò chơi công bằng và người thắng cuộc là người đầu tiên
thắng được 6 ván. Tuy nhiên, vì một lí do nào đó, ở thời điểm mà người A thắng được 5 ván và người B
thắng được 3 ván thì cuộc chơi bắt buộc phải dừng lại.
a. Tính xác suất thắng cuộc của từng người nếu như cuộc chơi vẫn được tiếp tục.
b. Từ đó hãy đề xuất cách chia tiền thưởng cho hai người chơi.
c. * Mở rộng bài toán khi người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được m ván và cuộc chơi buộc phải
dừng lại khi người A đã thắng được n ván và người B đã thắng được k ván.
Bài 5. Một người tung liên tiếp một đồng xu cho đến khi thấy mặt ngửa thì dừng lại. Tính xác suất để: a. Số lần tung là chẵn. b. Số lần tung là lẻ.
c. Số lần tung lớn hơn 5.
Bài 6. Cho n đồng xu độc lập với nhau và xác suất ra mặt sấp của đồng xu thứ i là x . Mỗi lần ta tung đồng i
thời cả n đồng xu và ta thực hiện tất cả m lần tung độc lập với nhau.
a. Tính xác suất để ra ít nhất 1 mặt ngửa khi thực hiện 1 lần tung.
b. Gọi A là biến cố trong cả m lần tung thì mỗi lần đều có ít nhất 1 mặt ngửa. Tính xác suất P(A).
c. Gọi B là biến cố tồn tại ít nhất một đồng xu mà trong cả m lần tung đều ra mặt ngửa. Nêu ý nghĩa
và tính xác suất của biến cố B.
d. CMR: P(A) + P(B) ≥ 1 và rút ra kết luận.
Bài 7. Hai bạn A và B tham gia một trò chơi thắng thua. Xác xuất thắng của A trong mỗi ván là p. Trò
chơi kết thúc khi có một người có số ván thắng nhiều hơn người kia 2 ván và người đó thắng cuộc.
a) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 4 ván.
b) Tính xác xuất để trò chơi kết thúc sau 2n ván, n ≥ 1.
c) Tính xác xuất để A thắng cuộc.
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 2
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
2. Xác suất điều kiện, công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần
Bài 8. Cho hai biến cố A và B với P (A), P (B) ≥ 0. a) Biết 2 1 7 P (A|B) = ; P (B|A) =
và P (A ∪ B) = . Tính P (B). 3 3 8 b) Biết 3 4
P (A|A ∪ B) = ; P (B|A ∪ B) = . Tính P (AB|A ∪ B). 5 5
Bài 9. Gieo đồng thời 2 xúc xắc cân đối, đồng chất.
a) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc là 6. Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm.
b) Biết tổng chấm xuất hiện ở hai xúc xắc nhỏ hơn 6. Tính xác xuất để có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm.
Bài 10. Hai xạ thủ A và B mỗi người bắn một viên đạn vào cùng mục tiêu độc lập. Giả sử xác suất bắn
trúng đích của A và B lần lượt là 0, 7 và 0, 4.
a) Biết rằng có đạn trúng đích, tính xác xuất để B bắn trúng.
b) Giả sử có một viên đạn trúng đích. Tính xác suất để đó là của B.
Bài 11. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng 1 lấy 90% thí sinh. Vòng 2 lấy 80% thí sinh của vòng 1 và vòng 3 lấy 60% thí sinh của vòng 2.
a. Lấy ra ngẫu nhiên một thí sinh, tính xác suất thí sinh đó đỗ cả 3 vòng.
b. Tính xác suất bị loại của mỗi thí sinh.
c. Tính xác suất bị loại của thí sinh ở từng vòng.
d. Tính xác suất thí sinh bị loại ở vòng 2 biết rằng thí sinh đó bị loại.
e. Tính xác suất để thí sinh đỗ cuộc thi biết rằng thí sinh đó vượt qua vòng 1.
Bài 12. Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối đồng chất.
a. Tính xác suất để lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt "bốn".
b. Biết rằng lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt "bốn", tính xác suất để trong k − 1 lần gieo trước,
không có lần nào ra mặt "ba".
c. Tính xác suất để ra mặt "bốn" trước mặt "ba".
Bài 13. Một công ty một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất lượng.
Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm để kiểm tra.
a. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết rằng sản phẩm thứ nhất không đạt chất lượng.
b. Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng.
b. Tính xác suất để trong hai sản phẩm có ít nhất 1 sản phẩm không đạt chất lượng.
Bài 14. Một nhà máy có hai xưởng sản xuất: xưởng I chiếm 65% tổng sản phẩm, xưởng II chiếm 35%.
Biết rằng tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng tốt của xưởng I là 90% và xưởng II là 85%. 3
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN
Bài tập Lý thuyết xác suất cho khoa Toán
a. Lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để đó là sản phẩm chất lượng tốt.
b. Xét 1 sản phẩm không đạt chất lượng. Tính xác suất đó là sản phẩm do xưởng II sản xuất.
Bài 15. Biết rằng tỉ lệ nhóm máu O, A, B và AB trong cộng đồng lần lượt là 33, 7%; 37, 5%; 20, 9% và 7, 9%.
Chọn ngẫu nhiên 1 người cần máu và 1 người cho máu. Tính xác suất để có thể thực hiện truyền máu.
Bài 16. Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng 1 trứng (sinh đôi thật), hay do 2 trứng khác nhau sinh ra (sinh
đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa
độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30% cặp
sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau.
a. Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi thật.
b. Chọn ngẫu nhiên 1 cặp sinh đôi thì được 1 cặp có cùng giới tính. Tính xác suất để đó là cặp sinh đôi thật.
Bài 17. Một người chơi mong muốn có n dollars nhưng hiện tại anh ta chỉ có trong túi k dollars (k < n).
Vì thế anh ta tham gia cá cược may rủi bằng cách mỗi lần anh ta cá 1 dollar cho việc tung đồng xu ra mặt
ngửa; nếu cá thua anh ta sẽ mất tiền cá cược, còn nếu thắng thì kiếm thêm được 1 dollar. Trò chơi dừng
lại khi anh ta hết sạch tiền hoặc kiếm đủ n dollars như mong muốn. Ta sẽ tính xác suất phá sản của người
chơi. Xét p là xác suất phá sản của người chơi khi anh ta bắt đầu với i i dollars. a. Xác định p0 và pn.
b. Giả sử đồng xu có xác suất xuất hiện mặt ngửa là p. Hãy tìm công thức liên hệ giữa pk, pk−1 và pk+1.
c. Giả sử p = 1/2. Tính pk.
Bài 18. Một túi chứa 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên ra 3 thẻ cho vào một hộp và từ hộp
này ta rút ra ngẫu nhiên một thẻ. Nếu rút được thẻ số 5, ta trả lại thẻ vào hộp và rút ngẫu nhiên một thẻ
khác. Tính xác suất để thẻ rút ra sau cùng này a) là thẻ số 3. b) là thẻ mang số chẵn.
Bài 19. Trong một dãy các ván chơi độc lập, người chơi có thể nhận được 0, 1 hay 2 điểm với các xác xuất tương ứng là 1 5 ,
và 1. Điểm của người chơi là tổng số điểm có được ở các ván chơi. Ký hiệu p là xác n 3 12 4
suất mà người chơi có được n điểm. a) Tính p1 và p2. b) Chứng minh 8 3 pn = + n , n ≥ 1. 11 3 . − 11 8
Bộ môn Toán Ứng Dụng - Khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN 4