Bài tập Xác suất và Thống kê | Trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân

Đào Hoàng Dũng BÀI TẬP
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ - 2024 –
Bài tập Xác suất và Thống kê Chương 1
Biến cố và xác suất
Mối quan hệ giữa các biến cố. Tính xác suất của biến cố bằng định nghĩa.
1. Tung 2 đồng xu, mô tả không gian mẫu các biến cố. Các biến cố sơ cấp của phép thử này
có thể coi là đồng khả năng?
2. Một khách hàng sử dụng thẻ tín dụng tại Barnes & Noble có thể sử dụng Visa, Mastercard
hay American Express. Khách hàng này mua một trong các loại hàng là sách, thiết bị điện
tử hoặc một hàng hóa khác. Liệt kê các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu mô tả sự mua
hàng của khách hàng này. Các biến cố này có đồng khả năng không? Vì sao?
3. Tuấn và Hằng cùng nộp đơn xin việc ở một công ty. Kí hiệu T, H lần lượt là các biến cố
Tuấn, Hằng trúng tuyển vào công ty. Biểu thị các biến cố sau qua T và H.
a) Tuấn trúng tuyển còn Hằng không trúng tuyển.
b) Ít nhất một trong hai người trúng tuyển.
c) Chỉ có một người trúng tuyển.
d) Không có ai trúng tuyển.
4. Hai cử tri Ann và Bill mỗi người sẽ lựa chọn một trong 3 ứng cử viên A, B, C vào hội đồng thành phố.
a) Liệt kê các biến cố sơ cấp mô tả kết quả sự lựa chọn của Ann và Bill.
b) Liệt kê các biến cố sơ cấp mô tả sự kiện hai cử tri này cùng chọn một ứng cử viên.
c) Liệt kê các biến cố sơ cấp mô tả sự kiện không ai bỏ phiếu cho ứng cử viên B.
5. Tuấn, Bình và Nam đầu tư cổ phiếu. Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố Tuấn, Bình, Nam
có lãi. Biểu thị các biến cố sau qua A, B, C.
a) Chỉ có Tuấn đầu tư có lãi.
b) Chỉ có một người đầu tư có lãi.
c) Có ít nhất một người đầu tư có lãi.
6. Một người rút tiền ở cây ATM nhưng quên mất 3 số cuối của mã PIN và chỉ nhớ rằng chúng
khác nhau. Tìm xác suất để người đó nhập một lượt được đúng mã PIN.
7. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ một hộp có 5 bi xanh và 10 bi đỏ.
a) Mô tả không gian mẫu gồm các biến cố sơ cấp của phép thử trên.
b) Tính xác suất của các biến cố sơ cấp của phép thử trên.
8. Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác suất để:
a) Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.
b) Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ. 1
Bài tập Xác suất và Thống kê
9. Một người môi giới (broker) khuyến nghị với khách hàng 15 cổ phiếu trong đó có 5 cổ phiếu
thuộc ngành ngân hàng, 6 cổ phiếu thuộc ngành công nghệ và 4 cổ phiếu thuộc ngành bất
động sản. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 3 cổ phiếu trong danh sách được khuyến nghị
để đầu tư. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Khách hàng đó đầu tư 3 cổ phiếu thuộc 3 ngành khác nhau.
b) Khách hàng đầu tư vào 2 cổ phiếu thuộc cùng một ngành.
10. Gieo 2 con xúc xắc cân đối, đồng chất và quan sát mặt trên của mỗi con.
a) Mô tả không gian mẫu gồm các biến cố sơ cấp của phép thử trên.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A = “cả hai con đều xuất hiện mặt 3 chấm”, B = “tổng số chấm của 2 con là 7”,
C = “tổng số chấm của 2 con là một số chẵn”
11. Thang máy của một tòa nhà 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 5 khách. Coi như mỗi người
chọn tầng đến một cách ngẫu nhiên và độc lập với những người khác. Tìm khả năng xảy ra các tình huống sau:
a) Tất cả cùng ra ở tầng 7.
b) Tất cả cùng ra ở một tầng.
c) Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.
Công thức cộng, công thức nhân xác suất, công thức Becnulli
12. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên ở một trường đại học. Kí hiệu A là biến cố sinh viên đó có
thẻ tín dụng Visa, B là biến cố sinh viên có thẻ Mastercard. Giả thiết: 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) =
0,4; 𝑃(𝐴𝐵) = 0,25. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Sinh viên được chọn có ít nhất một trong hai loại thẻ nói trên.
b) Sinh viên được chọn không có thẻ nào trong hai loại thẻ nói trên.
c) Sinh viên được chọn có thẻ Visa nhưng không có Mastercard.
13. Với các giả thiết ở bài 12, tính các xác suất sau: a) 𝑃(𝐴|𝐵) b) 𝑃(𝐴̅|𝐵) c) 𝑃(𝐵|𝐴) d) 𝑃(𝐵 ̅|𝐴)
e) Biết sinh viên được chọn có ít nhất 1 trong 2 thẻ, tính xác suất sinh viên đó có thẻ Visa.
14. Một công ty tư vấn tham gia đấu thầu 3 dự án. Kí hiệu 𝐴𝑖 là biến cố công ty trúng thầu dự
án 𝑖 (với 𝑖 = 1,2,3). Giả thiết: 𝑃(𝐴1) = 0,22; 𝑃(𝐴2) = 0,25; 𝑃(𝐴3) = 0,28; 𝑃(𝐴1𝐴2) =
0,11; 𝑃(𝐴1𝐴3) = 0,05; 𝑃(𝐴2𝐴3) = 0,08 và 𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3) = 0,01. Tính: a) 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2) b) 𝑃(𝐴 ̅̅̅ ̅̅̅ 1. 𝐴2) 2
Bài tập Xác suất và Thống kê
c) 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3) d) 𝑃(𝐴 ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ 1. 𝐴2. 𝐴3) e) 𝑃(𝐴 ̅̅̅ ̅̅̅ 1. 𝐴2. 𝐴3)
15. Với các giả thiết ở bài 14, tính các xác suất sau: a) 𝑃(𝐴2|𝐴1)
b) 𝑃(𝐴2 ∪ 𝐴3|𝐴1) c) 𝑃(𝐴2𝐴3|𝐴1)
16. Cho 𝐴 và 𝐵 là hai biến cố độc lập, 𝑃(𝐴) = 0,4 và 𝑃(𝐵) = 0,2. Tính: 𝑃(𝐴|𝐵), 𝑃(𝐴𝐵), 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).
17. Theo điều tra của một ngân hàng về sử dụng thẻ tín dụng ở một công ty, có 50% dùng thẻ
A, 40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thẻ A và B, 15% dùng thẻ A và C, 10%
dùng thẻ B và C, 5% dùng cả ba thẻ A, B, C. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một
người ở công ty đó, thì:
a) Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại thẻ nói trên.
b) Người ấy dùng thẻ B, biết rằng người ấy dùng thẻ A.
18. Thống kê cho thấy ở một dòng máy tính 90% các máy được mua không phải sửa chữa trong
vòng ít nhất 1 năm đầu. Một công ty mua 3 máy tính loại này, tính xác suất để cả 3 máy tính
này đều không phải sửa chữa trong vòng 1 năm.
19. Ba người chia nhau 2 vé đi xem phim bằng cách rút thăm. Có 3 lá thăm trong đó 2 lá thăm
được vé xem phim, 1 lá không được. Mỗi người lần lượt rút 1 lá thăm. Chứng minh đây là phương thức công bằng.
20. Một công ty đầu tư vào hai dự án A và B. Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư vào 2 dự án này
tương ứng là 9%, 7% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư cả hai dự án là 4%. Tính xác suất:
a) Ít nhất một dự án gặp rủi ro.
b) Chỉ dự án A gặp rủi ro.
21. Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để các bộ phận bị hỏng lần
lượt là 0,1; 0,3 và 0,2. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Có đúng 2 bộ phận bị hỏng.
b) Có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.
22. Có ba người A, B và C cùng phỏng vấn xin việc ở một công ty. Xác suất trúng tuyển của
mỗi người lần lượt là 0,8; 0,6 và 0,7. Việc trúng tuyển của mỗi người là độc lập.
a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển.
b) Biết rằng có hai người trúng tuyển. Tính xác suất để hai người đó là A và B. 3
Bài tập Xác suất và Thống kê
23. Một ngân hàng giới thiệu một loại thẻ thanh toán mới thông qua việc quảng cáo trên đài phát
thanh và vô tuyến truyền hình. Biết rằng 34% khách hàng nắm được thông tin qua quảng cáo
trên đài phát thanh, 25% khách hàng nắm được thông tin này qua quảng cáo trên vô tuyến truyền
hình và 10% khách hàng nắm được thông tin qua quảng cáo trên cả hai phương tiện. Tính tỷ lệ
khách hàng nắm được thông tin về sản phẩm này.
24. Một tờ tiền giả lần lượt được hai người A và B kiểm tra. Xác suất để người A phát hiện ra
tờ này giả là 0,7. Nếu người A cho rằng tờ này là giả, thì xác suất để người B cũng nhận
định như thế là 0,8. Ngược lại, nếu người A cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất để người
B cũng nhận định như thế là 0,4.
a) Tính xác suất để chỉ đúng một trong hai người A hoặc B phát hiện ra tờ này giả.
b) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, tính xác suất để
A phát hiện ra nó là giả.
25. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máy là 0,01.
a) Tính xác suất trong 10 sản phẩm máy sản xuất ra xác suất: có 3 phế phẩm; có phế phẩm.
b) Cần kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm do máy sản xuất ra để xác suất có phế phẩm lớn hơn 90%.
26. Một bài thi trắc nghiệm có 40 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1
phương án đúng. Một sinh viên chọn phương án trả lời một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất
sinh viên đó được 9 điểm trở lên biết rằng mỗi câu đúng được 0,25 điểm?
Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes
27. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của 1
máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ 3
hai) lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất.
28. Trong 20 tờ tiền có 3 tờ giả. Một tờ bị rút đi không rõ thật hay giả. Người ta rút ngẫu nhiên
trong các tờ còn lại hai tờ.
a) Tính xác suất để hai tờ tiền được rút ra ở lần thứ hai là tiền thật.
b) Nếu biết rằng hai tờ tiền rút ra ở lần thứ hai là tiền thật. Tìm xác suất để tờ tiền bị rút đi
trước đó cũng là tiền thật.
29. Xét nghiệm chất cấm đối với vận động viên có tỷ lệ dương tính giả là 5% và tỷ lệ âm tính
giả là 10%. Trong số các vận động viên được kiểm tra, 4% đã thực sự sử dụng chất cấm. 4
Bài tập Xác suất và Thống kê
Nếu một vận động viên có kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất vận động viên đó thực
sự đã sử dụng chất cấm là bao nhiêu?
30. Một nửa bộ phụ tùng được sản xuất bởi máy A và một nửa được sản xuất bởi máy B. Bốn
phần trăm tổng số bộ phận bị lỗi. Sáu phần trăm các bộ phận được sản xuất bởi máy A bị
lỗi. Tìm xác suất để một bộ phận được sản xuất bởi máy A, biết bộ phận đó bị lỗi.
31. Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung
bình, rủi ro cao. Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng với
các loại trên là: 5%, 10%, 25% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi ro cao.
a) Ước tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm.
b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu?
32. Trong những hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, tỉ lệ hộ làm ăn không có lãi là 5%. Trong
các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn không có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không
đúng hạn là 88%. Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn có lãi, tỉ lệ trả
nợ ngân hàng không đúng hạn là 2%.
a) Một hộ đã vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, thì xác suất hộ đó không trả nợ ngân hàng đúng hạn là bao nhiêu.
b) Một hộ nuôi tôm đã không trả nợ ngân hàng đúng hạn, thì xác suất hộ đó làm ăn không có lãi là bao nhiêu. Bài tập bổ sung
33. Có 10 khách tới 3 quầy hàng một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để có đúng 3 người vào quầy số 1.
34. Một người chọn mua ngẫu nhiên một vé xổ số (loại truyền thống). Tính xác suất người đó:
a) Mua được vé có 5 chữ số khác nhau.
b) Mua được vé có 5 chữ số đều lẻ.
35. Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập nhau. Xác suất nhận cùng một điểm số nào
đó ở cả 3 môn đều như nhau. Xác suất để thu được một môn điểm 8 là 0,18, dưới 8 là 0,65,
xác suất cả 3 môn đều được điểm 10 là 0,000343. Tính xác suất để sinh viên thi 3 môn được
ít nhất là 28 điểm. Điểm thi được cho theo thang điểm 10, không có điểm lẻ.
36. Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến chào hàng ở công ty Phương Đông ba lần. Xác suất
để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần sau bán
được hàng là 0,9, còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được
hàng chỉ là 0,4. Tìm xác suất để:
a) Cả ba lần đều bán được hàng. 5
Bài tập Xác suất và Thống kê
b) Có đúng hai lần bán được hàng.
37. A chơi cờ với B với xác suất thắng mỗi ván là p. Tìm giá trị của p để A thắng chung cuộc
trong bốn ván dễ hơn trong sáu ván. Biết rằng để thắng chung cuộc thì phải thắng ít nhất 1 nửa tổng số ván.
38. Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở những chỗ đó
tương ứng là: 0,6; 0,8 và 0,7. Biết rằng ở một chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ câu được
một con cá. Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất.
39. Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta lấy ngẫu nhiên
1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác định xem đây là loại
rượu nào. Giả sử mỗi người có khả năng đoán đúng là 0,8. Có 3 người kết luận chai rượu
thuộc loại A và một người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy chai rượu được chọn thuộc
loại A với xác suất bằng bao nhiêu?
40. Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 500 khách hàng về một loại sản sẩm mới dự định đưa ra thị
trường và thấy có: 160 người trả lời “Sẽ mua”, 240 người trả lời “Có thể sẽ mua”, 100 người
trả lời “Không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm tương
ứng với những cách trả lời trên là 40%, 20% và 2%.
a) Hãy ước tính tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đó?
b) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có khoảng bao nhiêu phần trăm đã trả lời “Sẽ mua”?
41. Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động đạt được
độ chính xác khá cao song vẫn có sai sót. Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% còn đối
với phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị loại.
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm.
b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thực ra là chính phẩm.
42. Một túi chứa 9 nhẫn bạc và 1 nhẫn vàng. Túi kia có 1 nhẫn bạc và 5 nhẫn vàng. Từ mỗi túi
rút ra ngẫu nhiên một nhẫn. Những chiếc nhẫn còn lại được dồn vào một túi thứ ba. Từ túi
thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một chiếc nhẫn. Tính xác suất để ta rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba. 6